Description:

"Физика океана том 2 Гидродинамика океана ответственные редакторы доктор физико-математических наук В. М. Каменкович член-корреспондент АН СССР А. С. Монин Издательство "Наука" Москва 1978 Глава I Малые колебания в океане 1 Основные уравнения При анализе движений малой амплитуды будем пренебрегать диссипативными процессами (трением теплопроводностью и диффузией). Возьмем в качестве исходных уравнения движения сохранения массы диффузии соли и эволюции энтропии (см. т. 1 гл. II раздел 2) \[ \frac{\partial V}{\partial t} + \nabla P = 0, \quad \left(1.2\right) \] \[ \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} - \nu \Delta V = 0, \quad \left(1.3\right) \] \[ \nabla \cdot V = 0, \quad \left(1.4\right) \] где \(V\) — скорость; \(\Omega_2\) — угловая скорость вращения Земли; \(P\) — плотность; \(p\) — давление; \(s\) — соленость; \(t^*\) — удельная энтропия; \(g = g_r - g V r\), где \(r\) — расстояние от центра Земли. Изучим движения, мало отклоняющиеся от равновесного состояния \[ P \approx P_0 + P_1 + P_2 + \ldots \] \[ tP \approx tP_0 + tP_1 + tP_2 + \ldots \] \[ s \approx s_0 + s_1 + s_2 + \ldots \] \[ t^* \approx t^*_0 + t^*_1 + t^*_2 + \ldots \] \[ V \approx V_0 + V_1 + V_2 + \ldots \] Подставляя ряды в уравнения (1.1) — (1.4) и приравнивая нулю члены разных порядков, получим уравнение нулевого порядка \[ \frac{\partial V_0}{\partial t} + \nabla P_0 = 0, \quad \left(1.6\right) \] и уравнения первого порядка: \[ \nabla \times (V_1 - V_r) = 0, \quad \left(1.7\right) \] \[ tP_0 \nabla \cdot V_1 + P_0 \frac{\partial V_1}{\partial t} = 0, \quad \left(1.8\right) \] \[ \nabla (V_{1r} - V_r) - \Omega_2^2 r \times V_1 = 0, \quad \left(1.9\right) \] \[ (V_1 - V_r)^2 = 0. \quad \left(1.10\right) Обратим внимание на то что в этой главе \(Q\) — удвоенная величина угловой скорости вращения Земли. Глава I Малые колебания в океане Сформулируем граничные условия (см. т. 1 гл. II раздел 6). На свободной поверхности океана \(p = p_a\), где \(a\) — радиус Земли, \(\eta\) — уровень, должны выполняться динамическое условие равенства давления атмосферному давлению \(p_a\), которое здесь будем считать постоянным (силами поверхностного натяжения мы пока пренебрегаем; обсуждение этого эффекта см. в конце п. 3.1), и кинематическое условие равенства нормальных скоростей жидких частиц и самой поверхности (процессы испарения осадков таяния и образования льда не учитываются). Представляя также в виде \[ P \approx P_0 + P_1 + P_2 + \ldots \] находим условие нулевого порядка \(P_0(a) = p_a\) и условия первого порядка \[ \nabla (V_1 - V_r) = 4 r t, \quad \left(1.11\right) Исключая из этих условий уровень \(l\) получим \[ S P_0(V_1 - V_r) \approx 0 \text{ при } z = a. \quad \left(1.12\right) На дне океана и на его берегах должна обращаться в нуль нормальная компонента скорости: \[ (V_1 - D)_r = 0, \quad \left(1.13\right) где \(n\) — нормаль к граничной поверхности Г. Величины нулевого порядка предполагаются известными и задача о движениях малой амплитуды (малых колебаниях) заключается в определении величин первого порядка из системы уравнений (1.7) — (1.10) при условиях (1.12), (1.13). Систему уравнений (1.7) — (1.10) удобно преобразовать следующим образом. Поскольку \(P = P(\rho, s, T)\), то \(P_0 = P_0(P_0, S_0, T_0)\), где \(\nu^2 = (\frac{\partial^2 c}{\partial r^2})_{r=a}\) — квадрат равновесной скорости звука и все производные берутся в системе независимых переменных \(P, s, T_0\). Умножая (1.9) на \((\frac{\partial P}{\partial s})_{T_0}\), а (1.10) на \((\frac{\partial P}{\partial x_t})_{T_0}\) и складывая полученные результаты, находим в силу (1.14) \[ \nabla^2 V_1 = -S P_0(V_1 - V_r), \quad \left(1.15\right) где \(S(\Omega_2) = 4 (\frac{\partial g}{\partial r})_{r=a}\) — квадрат частоты Вейсцштейна (см. т. 1 гл. II раздел 1). Таким образом, система уравнений (1.7), (1.8), (1.15) и граничные условия (1.12), (1.13) содержит лишь величины \(V_1\), \(\nabla V_1\), \(P_1\) и задача определения этих величин оказывается замкнутой. Перейдем к вопросу об энергии рассматриваемых движений. Уравнение сохранения энергии должно быть следствием уравнений движения, сохранения массы диффузии соли и эволюции энтропии. Используя соотношение Гиббса \(T dS = dE + P dV - \sum_i \mu_i dN_i\), получим в силу уравнений (1.1) — (1.4) \[ \frac{\partial K}{\partial t} + \nabla \cdot (K v) = 0, \quad \left(1.17\right) где \(K = \rho V^2/2\) — кинетическая энергия единицы объема, а \(e = e_r + g_p(r - a)\) — сумма внутренней и потенциальной энергии единицы объема. Аналог уравнения энергии для системы уравнений первого порядка (1.7), (1.8), (1.15) имеет вид \[ \frac{\partial K_0}{\partial t} + \nabla \cdot (K_0 v_1) = 0, \quad \left(1.18\right) Справедливость этого уравнения проще всего установить прямой проверкой. Для этого следует, привлекая (1.15), переписать сначала уравнение (1.8) в виде \[ \nabla \cdot (P_0 V_1) = 0, \quad \left(1.19\right) и, продифференцировав по \(t\) содержимое фигурных скобок в (1.18), использовать (1.7), (1.19) и (1.15). Интегрируя (1.18) по всему объему жидкости \(V\) с учетом граничных условий (1.12), (1.13), получим \[ \int_V \left(\frac{\partial K}{\partial t} + \nabla \cdot (K v)\right) dV = -W_0, \quad \left(1.20\right) где \(S\) — площадь сечения бассейна сферой \(z = a\). Из этой формулы сразу следует доказательство устойчивости (относительно малых возмущений) состояния равновесия стратифицированной жидкости при условии, что \(\nu^2 > 0\). Величина по смыслу уравнения энергии (1.20) должна быть как-то связана с суммой \(S\) внутренней и потенциальной энергии жидкости. Чтобы объяснить эту связь, представим \(K\) и \(e\) в силу (1.5) в виде \[ K = K_0 + K_1 + \ldots \] \[ e = e_0 + e_1 + \ldots \] Подставляя (1.5) и (1.22) в уравнение сохранения энергии (1.17), получим \[ \frac{\partial K}{\partial t} + \nabla \cdot (K_0 v) = 0, \quad \left(1.23\right) Из этих соотношений вытекает, что уравнение (1.20) сохранения энергии для величин первого порядка не является прямым следствием общего уравнения энергии (1.17). Основной интерес представляет третье из уравнений (1.23). Интегрируя это уравнение по всему объему жидкости с учетом граничных условий (1.12), (1.13), имеем \[ \int_V \left(\frac{\partial K}{\partial t} + \nabla \cdot (K_0 v)\right) dV = -W_0, \quad \left(1.24\right) Ключевые слова: функция, черкесов, ред, blond, john wiley, формула, ss sd, труды акин, п р, fluid, равный, communs pure, вертикальный, приближение, порядок, образ, расчет, горизонтальный, показать, цунами, уравнение, модель, средний, получать, находить, рассеяние, vh-, рассмотреть, спектр, метод, точка, zc, trans, соответствовать, внутренний волна, океан, колебание, область, анализ, кх, equatorial undercurrent, скорость, расчёт, гл ii, результат, подъяполъский, волна россби, внутренний, волновой, собственный, онге-хиггинс, сплошной линия, х х, эффект, sci, биогеография пелагиаль, нуль, звуковой, масштаб, дальний зона, wc х, wb х, dp dz, meridional scale, xi, энтропия, соображение размерность, сиб отд-ние, soc, зона конвергенция, следовать, значение, выражение, ф х, space phys, частота, вып борн, поверхность, крайний мера, член, ветер, плотность, wind, volume backscattering, оо, поле, fond, evg, numerical integration, roy, зависеть, параметр, applied mathematics, model experiment, sound, qz, дать, россби, луч, расположение датчик, рускевич, р р, ом пл, space-time scale, получить, ser, tidal resonance, обмен энергия, агеев, техник, показатель преломленияп, london, привести, пограничный, прикл математик, eug, энергия крупномасштабный, линейкин, наукова думка, система, волна, ветровый, mesoscale eddy, решение, приливный, гравитационный, угол, вып, изменение, america, вода, приведенный, ехр, узловой линия, sea, слой, уровень, общий, iv, philos mag, сила, чернов, pi х, скорость звук, величина, phys, нелинейный, земной шар, ближний зона, atmos sci, зелъдис, постоянный, наука, всесоюзный школасеминар, расстояние, исакович, geofis internat, изд винити, fluid mech, ct, морс, wave, соотношение, земля, ocean, звуковой энергия, амплитуда, geophys, univ, greens function, возмущение, бархат, малый, задача, ана, ii, компонент, dtsch hydrogr, ссср, ay, marine, коэффициент, движение, ось, граничный, прилив, sympos durham, acoust, зона тень, кривая, мода, теория, азимут, смотреть, средний добавка, ана ссср, поверхностный, dz, кг ц, bacc, течение, акустик, полный, ст ь, глубина, equilibrium range, направление, бреховский, -h-h, разнесение гидрофон, дно, заславский, распространение, po, энергия, звук, oceanogr, мирополъский, з д, зависимость, vii, зона