Description:

"Ил." "Ю. Н. Бибиков КУРС ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Допущен о Государственном комитете СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов университетов, обучающихся по специальности (Математика)" Москва "Высшая школа" 1991 ББК 22.161.6 Б59 УД К 517.2 Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. В. Ломоносова (зав. кафедры проф. О. А. Олейник) и кафедра функционального анализа Белорусского государственного университета (зав. кафедры проф. ЯВ. Радыно) Бибиков Ю. Н. Б59 Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие для ун-тов. - М.: Высш. шк., 1991.- 303 с.: ил. ISBN 5-06-001006-6 В пособии содержатся все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. ИЗЛАГАЮТСЯ важные как в теоретическом, так и в прикладном отношении разделы по теории дифференциальных уравнений с аналитическим и правым частями и по теории устойчивости движения. 1602070100-202 001(01)-91 -91 ББК 22.161.6 517.4 ISBN 5-06-001006-6 (c) Ю. Н. Бибиков, 1991 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное пособие написано на основе курсовых лекций, которые автор читает на математико-механическом факультете Ленинградского университета. Его содержание - изложение с полными доказательствами положений теории обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся теоретической основой для ее приложений в естествознании. С исследованием обыкновенных дифференциальных уравнений связано решение многих проблем механики, физики, биологии. Большое количество примеров такого рода можно найти, например, в книгах: Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., 1959; Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978; Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М., 1987. Первая глава, посвященная дифференциальным уравнениям первого порядка, играет роль введения в курс и последовательно излагается в остальных семи главах. Большое внимание в книге уделено таким традиционно включаемым в учебники по обыкновенным дифференциальным уравнениям вопросам, как существование, единственность и продолжаемость решений, зависимость их от начальных данных и параметров системы. В теории линейных уравнений и систем в дополнение к обычному материалу рассматриваются линейные системы с периодическими коэффициентами, функция Грина краевой задачи, в том числе функция Грина для периодического и ограниченного решения. Подробно изложена теория общего решения и общего интеграла. Отдельные главы посвящены системам с аналитическими правыми частями, так как их интегрирование рядами является одним из основных методов исследования дифференциальных уравнений в приложениях. В основу указанного материала положено учебное пособие автора "Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений" (Изд-во Ленинградского университета, 1981). По мнению автора, учебник по дифференциальным уравнениям должен содержать материал, близкий к каким-либо направлениям современных исследований и приложений. Помимо изложения положений общей теории дифференциальных уравнений большое внимание в книге уделено теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, играющих фундаментальную роль в теоретической механике. Рассматриваются вопросы существования и устойчивости колебаний квазилинейных, гамильтоновых и других систем. Особое внимание при этом уделяется построению бифуркационных уравнений. Изучены устойчивость решений по первому приближению и простейшие критические случаи теории устойчивости движения. Даны основы первого и второго методов Ляпунова исследования дифференциальных уравнений, метода малого параметра и метода нормальных форм. Изложенная теория применяется к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих колебания консервативной и диссипативной систем с одной степенью свободы, осциллятор ван-дер-Поля, биологической системы "хищник - жертва", изучено явление параметрического резонанса, исследуются колебания гамильтоновых и обратимых систем. Пособие рассчитано на использование "Сборника задач по дифференциальным уравнениям" А. Ф. Филиппова. Для иллюстрации положений теории использовались примеры, взятые из этого задачника. В обозначениях формул, лемм, теорем и т.д. применяется тройная нумерация. Так, формула (1.2.3) обозначает формулу с номером 3 в § 2 главы I. При работе на диске большую помощь автору оказал сотрудники кафедры дифференциальных уравнений ЛГУ Л. Ядриаиова, А. Ф. Андреев, А. В. Осипов, С. Ю. Пилюгин, В. Е. Чернышев, Ю. В. Чурин, а также С. П. Токарев. Всем им автор выражает искреннюю благодарность." Ключевые слова: единственный, координата, аз ат, det, х р, траектория, определённый, р рп, локальный, полагать, се х, интегральный кривая, периодический решение, ат ьст, кош, рассматривать, приближение, положение, крайний мера, однородный, знакомый интеграл, взаимный однозначный, существуетд, система, выполняться, формула, хо уо, хо, фундаментальный матрица, интеграл, преобразование, следовательно, совокупность переменный, место, непрерывный, показать, полоть комплексный, сила, постоянный, следующий, полоть вещественный, вектор, хо р, матрица, ь-с, хе х, ата, сужение, начальный, принимать, х х, признак вейерштрасса, комплексный, ле, монотонный возрастать, определитель вронский, теорема доказанный, доказательство, разделяющийся переменный, пространство, р с, фундаментальный, получить, нарушать общность, определяться, ост, векторный форма, форма кош, хо ц, решение уравнение, тривиальный решение, существовать, замена, устойчивость, элементарный делитель, линейный независимый, собственный, параметр, отделять вещественный, ле мм, х um, координатный ось, ф х, нуль, результат, значение, последовательность кош, легкий видеть, иррациональный, интегральный, ф р, ст ь, предположить, независимый, хе, периодический, общее решение, аналитичный, xo, задача, dt, ak bk, ч ай, аз, решение, р л, гл, произвольный, преобразование лежандр, функция, формальный, означать, точка, единственность, период, линейный, достаточный, образ, совпадать, рассмотреть, интегральный кривой, утверждение, очевидный, нулевой, коэффициент, k п, фазовый пространство, равный, доказанный, ф ф, р х, теорема, аз ат ьст, сходиться, дифференциальный уравнение, хо jo, ляпунов, резонансный, аналитический, общий, обозначить, вещественный ось, направление поле, переменный, справедливый, причем, тст, жорданов форма, интегрирующий множитель, малый, следовать, дифференциальный, ор, вещественный, х ир, удовлетворять, нормальный, ряд, использовать, z h, jc, нормальный форма, любогий, получать, метод, общий решение, ломаный эйлер, определитель, форма, причём, xi xm, полный дифференциал, дифференцировать, оо, сходящийся, вытекать, кривая, симметричный форма, ама, определение, степень, dx, определенный, уравнение, sin, положить, лемма, дать, порядок, положение равновесие, устойчивый, задача кош, уо, un-i, ранг дробление, t оо, настоящий, ата ьст, доказать, множество, x х, область, жорданова форма, квадратичная форма, соответствовать, начальный дать, окрестность, ьст, линейный зависимый, полный оборот