Description:

А.Н.Колмогоров, Основные Нонятнтя Теории Вероятностей, Книга, Изданная В 1933 Г. На Немецком Языке И В 1936 Г. На Русском, Сeveral Раз Переиздавалась В Английском Переводе. Хотя Значительная Часть Соодержания Включена В Учебники, Она Сохраняет Интерес Для Лиц, Занимающихся Обстоятельно Теорией Вероятностей. Основной Текст Переиздается Лишь С Небольшой Редакционной Правкой. Содержание Нредисловие К Первому Изданию 5 Нредисловие Ко Второму Изданию 7 I. Элементарная Теория Вероятностей §1. Аксиомы 10 §2. Отношение к Данным Опыта 12 §3. Терминологические Замечания 14 §4. Непосредственные Следствия Из Аксиом, Условные Вероятности, Теорема Байеса 15 §5. Независимость 17 §6. Условные Вероятности Как Случайные Величины; Цепи Маркова 23 II. Бесконечные Поля Вероятностей §1. Аксиома Непрерывности 26 §2. Борелевские Поля Вероятностей 29 §3. Примеры Бесконечных Полей Вероятностей 31 Ш. Случайные Величины §1. Вероятностные Функции 36 §2. Определение Случайных Величин, Функции Распределения 38 §3. Многомерные Функции Распределения 41 §4. Вероятности В Бесконечномерных Пространствах 44 §5. Эквивалентные Случайные Величины, Разные Виды Сходимости 52 IV. Математические Ожидания §1. Абстрактные Интегралы Лебега 57 §2. Аbsolute и Условные Математические Ожидания 60 §3. Неравенство Чебышева 63 §4. Некоторые Признаки Сходимости 65 §5. Дифференцирование И Интегрирование Математических Ожиданий По Параметру 66 V. Условные Вероятности и Математические Ожидания §1. Условные Вероятности 70 §2. Объяснение Одного Парадокса Бореля 75 §3. Условные Вероятности Относительно Случайной Величины 76 §4. Условные Математические Ожидания 78 VI. Независимость. Закон Больших Чисел §1. Независимость 83 §2. Независимые Случайные Величины 85 §3. Закон Больших Чисел 88 §4. Замечания К Понятию Математического Ожидания 100 §5. Усиленный Закон Больших Чисел, Сходимость Рядов 104 Дополнение. Одна Замечательная Теорема Теории Вероятностей 116 Литература 418 Предисловие К Первому Изданию Целью Предлагаемой Работы Является Аксиоматическое Обоснование Теории Вероятностей. Ведущей Мыслью Автора Было При этом Естественное Включение Основ Теории Вероятностей, Считавшихся Еще Недавно Совершенно Своегообразными, В Ряд Общих Понятий Современной Математики. До Возникновения Лебеговой Теории Меры И Интеграла Эта Задача Была Почти Безнадежна. После Исследований Лебега Стало Ясной Аналогия Между Мерой Множества И Вероятностью События, А Тоже Между Интегралом От Функции И Математическим Ожиданием Случайной Величины. Эта Аналогия Допускает И Дальнейшее Продолжение: Так, Например, Многие Свойства Независимых Случайных Величин Полно Analogичны Соответствующим Свойствам Ортогональных Функций. Для Того Чтобы Исходя Из Эта Аналогии Обосновать Теорию Вероятностей, Следовало Еще Освободить Теорию Меры И Теорию Интегрирования От Геометрических Элементов, Которые Ещё Имелись У Лебега. Это Освобождение Было Осуществлено Фреше. Попытки Построения Основ Теории Вероятностей, Исходящие Из этой Общей Точки Зрения, уже имеются, И Весь Круг Идей, Излагаемых Здесь, уже успел Приобрести Известную Популярность В Узком Круге Специалистов; Однако Отсутствовало Полное и Свободное От Излишних Усложнений Изложение всей системы (Подготовляется, впрочем, к печати книга Фреше, см. Frechet _2_). Я Хотел бы ещё указать здесь на те места В Дальнейшем Изложении, которые выходят за пределы упомянутого выше круга идей, уже достаточно знакомых С., Предисловие К Первому Изданию в общих чертах специалистам. Эти места следующие: распределения вероятностей В Бесконечномерных Пространствах (Глава Третья, § 4), дифференцирование и интегрирование математических ожиданий по параметру (Глава Четвёртая, § 5) И особенно теория условных вероятностей и математических ожиданий (Глава Пятая). Следует Принимать В Рассмотрение, что Все Эти Новые понятия Необходимо Возникают При рассмотрении Полностью Конкретных Физических Задач 1). Шестая Глава содержит обзор отдельных результатов А. Я. Хинчеппа и автора, касающихся условий применимости простого и усиленного закона больших чисел. В Списке Литературы приведены некоторые новые работы, представляющие интерес с точки зрения вопросов обоснования теории вероятностей. Приношу свою сердечную благодарность А. Я. Хинчеппу, внимательно прочитавшему всю рукопись и предложившему целый ряд улучшений. Клязьма Близ Москвы, 1 Мая 1933 Г. А. Колмогоров 1) Ср., например, цитированную в сноске 1) к стр. 69 работу М. А. Леонтовича и автора, а также М. L e o n l o w i t s c h , Zur Statislik der kontinuierlichen Systeme und des zeitlichen VerSaufes der physikalischen Vorgange, Physik Zeilschr. d. Sowjetunion, т. 3, 1933, стр. 35—63. Предисловие К Второму Изданию G Первого Немецкого Издания этой Книжки Прошло Сорок Лет. Было Решено, Тем Не Менее, Не Подвергать Её Существенной Переработке. А. Н. Ширяевым и Мною Внесены Небольшие Усовершенствования Изложения. Модернизированы Некоторые Обозначения. Для Некоторых Теорем § 3 — 5 Главы VI Даны Доказательства, Отредактированные А. Н. Ширяевым По Моим Работам 1925—1930 Годов. В Современных Учебниках Эти Теоремы Обычно Доказываются С Помощью Аппарата Характеристических Функций. Мои Первоначальные Доказательства Прямыми, Элементарными Средствами, Может Быть, Сохраняют Некоторый Интерес. Намеченные В § 2 Первой Главы Просмотры На Пути Обоснования Применимости Аксиоматической Теории Вероятностей К Реальным Задачам Были Развиты Мною Подробно в _1_. Но И Здесь Оставались Не Выясненными Причины Того, Почему Мы Так Часто встречаемся На Практике с Устойчивостью частот. Новый подход к этому вопросу был мною намечен В _2_ и _3_ (см. также _4_): _1_ Монография «Математика, Её Содержание, Методы И Значение», Изд. АН СССР 1956, Глава XI. _2j А. Н. К ол мог ор о в, Три Подхода к Определению Понятия «Количество Информации», Проблемы Передачи Информации, т. I, Вып. 1 (1965). _3 А. Н. К ол мог ор о в, К логическим Основам Теории Информации и Теории Вероятностей, Проблемы Передачи Информации, т. V, Вып. 3 (1969). _4_ А. К. Св он кин и JI. A. JIе в и п, Сложность Конечных Объектов И Обоснование Теории Информации Успехи Математических Наук, Том 25, Вып. 6 (1970). Отмечу специфически те вопросы, по которым Читателю Следует особенно настоятельно рекомендовать сопоставление изложения, данного в этой Книжке, с более современным. 1. В § 1 Главы V Дано Определение Условной Вероятности P (А I ?), Где I — Случайный Элемент Некоторого Множества X, Т. Е. Отображение Q b X. С этим Отображением Можно Связать Алгебру ^fz ? f Всех Принадлежащих $ Полных Прообразов Подмножеств Множества X. Теперь Предпочитают сначала Определять Условные Вероятности По Отношению к Любой а-Подалгебре S r ' cz: jf И Затем Считать, Что P(A l) _ P(A f_ 2. Результаты § 4 Главы III Широко Употребляются, по Не дают Непосредственно Приемлемых Распределений В Имеющих Реальный Интерес Функциональных Пространствах (См. Об этом На Стр. 46). 17 Декабря 1973 Г. А. Колмогоров I. Элементарная Теория Вероятностей Мы Называем Элементарной Теорией Вероятностей ту Часть Теории Вероятностей, В которой Приходится иметь Дело с Вероятностями Лишь Конечного Числа Событий. Теоремы, которые Здесь выводятся, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событий, однако при изучении этих последних применяются также существенно новые принципы. Поэтому Единственная Аксиома Математической Теории Вероятностей, относящаяся именно к случаю бесконечного числа случайных событий, вводится Лишь В Начале Второй Главы (Аксиома V). Теория Вероятностей как Математическая Дисциплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Соответственно этому в § 1 Определяется Понятие Полей Вероятностей как Системы Множеств, Удовлетворяющей Определенным Условиям. Что Представляют собой Элементы Этих Множеств, Совершенно Безразлично для Чисто Математического Развития Теории Вероятностей (ср. Введение Основных Геометрических Понятий в «Основах Геометрии» Гильберта или определение групп, колец и тел в абстрактной алгебре). Всякая Аксиоматическая (Абстрактная) Теория Допускает, как Известно, Бесконечное Число Конкретных 10 Г. Элементарная Теория Вероятностей Интерпретаций. Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. Так, мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям Науки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова. Аксиоматизация Теории Вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из лее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события и его вероятности. Существуют также другие системы аксиоматического построения теории вероятностей, а именно такие, в которых понятие вероятности не относится к числу основных понятий, а само выражается через другие попятия. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности. § 1. Аксиомы Пусть Q — множество элементов со, которые мы будем называть элементарными событиями, а _ — множество подмножеств из Q. Элементы множества будем называть случайными событиями (или просто — события), a Q — пространством элементарных событий. I. является алгеброй множестея). Ср., например, R. von M i s e s_ Ключевые слова: однозначный, место, sn, ор, устойчивость нормальный, общий, wn, значить, доказанный, ол, ата, определённый, определение, случайный событие, м р, множество, се л, цепь марково, наверное, функция множество, нулевой средний, дальнейший изложение, борелевский множество, рассматривать, доказать, определяться, paris, oo, бесконечномерный пространство, ii, независимый, ата ьст, ф ун, ms, дополнительный множество, непосредственный, существовать, удовлетворять равенство, sv, iim, следовать, неравенство следовать, теория, удовлетворять аксиома, основное множество, математический ожидание, величина, соответствовать, бесконечный, точка, аксиома iiv, п п, iu сл, замечание, условный вероятность, смысл, теория вероятность, элементарный событие, условный, крайний мера, практический достоверность, оо, равенство, апа, свойство, многий простой, xi, fv х, постоянный, аз ат, ьст, усиленный закон, формула, ост, меридианный круг, rn, последовательность, интеграл, п оо, выбрать произвольный, положить, следовательно, однозначный функция, поле вероятность, поле, вероятность, traite, ожидание, ат ьст, ре, полоть вероятность, элементарный, нормальный устойчивость, ioi, случайный, определенный, вероятностный функция, теорема сложение, ве, легкий показать, ряд сходиться, oo oo, понятие, удовлетворять, легкий, следующий теорема, действительный функция, гр ир, сходиться, функция распределение, уравнение, следовать непосредственный, алгебра, элемент, вероятностный, единица, однозначный определяться, борелевский алгебра, независимость, xv, ле, ля, прочий, ние, понятие ожидание, борелевский, ширяев, необходимый, п р, частность, ограниченный, ряд, р д, probabilites par, распределение, сл, iii, система, точка непрерывность, достаточный выполнение, ц ия, пята, конечный, широта, равный нуль, говорить, отношение, однократный реализация, функция, аксиома, равный единица, эквивалентный, math, значение, существование предел, доказательство, место равенство, тн, вероятность единица, fn х, непересекающийся подмножество, сумма, испытание, достаточный, аз, разложение, acad, сходимость, цилиндрический множество, черезр, iv, принадлежать, устойчивость, абсолютно непрерывный, ai, место неравенство, хп, sk, произвольный, событие, ана, получать, р л, пространство, соотношение, sci, согласно, математический, де, непосредственный следовать, стр, sur, dx, выбор множество, понятие вероятность, случайный величина, определенный предел, der, lincei, действительный, теорема, образ, закон, сравнить, вероятность событие, следующий, неравенство, х ч, утверждение, обозначить