Description:

"Введение в численные методы Самарский А.А. Книга основана на курсе лекций автора, читавшихся на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначена для студентов прикладной математики вузов. **Предисловие** Введение Глава I. Разностные уравнения § 1. Сеточные функции § 2. Разностные уравнения § 3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка § 4. Разностные уравнения как операторные уравнения § 5. Принцип максимума для разностных уравнений Глава II. Интерполяция и численное интегрирование § 1. Интерполяция и приближение функций § 2. Численное интегрирование Глава III. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений § 1. Системы линейных алгебраических уравнений § 2. Прямые методы § 3. Итерационные методы § 4. Двухслойная итерационная схема с чебышевскими параметрами § 5. Попеременно-треугольный метод § 6. Вариационно-итерационные методы § 7. Решение нелинейных уравнений Глава IV. Разностные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Основные понятия теории разностных схем § 2. Однородные трехточечные разностные схемы § 3. Консервативные разностные схемы § 4. Однородные схемы на неравномерных сетках § 5. Методы построения разностных схем Глава V. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Методы Рунге - Кутта § 2. Многошаговые схемы. Методы Адамса § 3. Аппроксимация задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка § 4. Устойчивость двухслойной схемы Глава VI. Разностные методы для эллиптических уравнений § 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона § 2. Решение разностных уравнений Глава VII. Разностные методы решения уравнения теплопроводности § 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами § 2. Многомерные задачи теплопроводности § 3. Экономичные схемы Дополнение Литература Предметный указатель Список обозначений Предметный указатель Алгоритм неустойчивый - условно устойчивый - экономичный Аппроксимация разностная (на сетке) - суммарная Весовые множители Вычислительная неустойчивость Жесткие системы уравнений Задача Дирихле - корректная - Коши - краевая - некорректная - о собственных значениях Интерполянта Интерполяционный полином Лагранжа Ньютона Интерполяция эрмитова Итерационные методы Итерационный метод двухшаговый (трехслойный) неявный - одношаговый (двухслойный) явный Квадратурная формула Гаусса Котеса прямоугольника Симпсона трапеции Чебышева Коэффициенты Лагранжа Краевые условия 1-го рода - 2-го рода - 3-го рода Кубическая сплайн-интерполяция Линейно независимые векторы решения линейное пространство действительное комплексное Мажорантная функция (мажоранта) Матрица верхняя треугольная - диагональная - ленточная - нижняя треугольная - разреженная Мера обусловленности Метод Адамса - Штёрмера баланса (интегро-интерполяционный) Бубнова - Галеркина вариационно-разностный вариационного типа верхней релаксации дихотомии Зейделя касательных конечных элементов линеаризации минимальных невязок Ньютона скорейшего спуска сопряженных градиентов стационарный титерационный сумматорные тождеств Штёрмера энергетических неравенств Минимизирующий квадратичный функционал Наилучшее среднеквадратичное приближение Невязка для разностной схемы на решении Норма оператора Обратное интерполирование Однородная разностная схема Оператор единичный - линейный - неотрицательный - обратный - положительный - разрешающий - самосопряженный - сопряженный - факторизованный экономичность оператора Операторное уравнение первого рода Операторы перестановочные Ошибка округления Погрешность аппроксимации для краевого условия в точке, т-й порядок для уравнения на решении па сетке оператора - квадратурной формулы - метода - квадратуры числа обусловленности Процесс Эйткена Равенство Парсеваля - Стеклова Равномерное приближение Разделенные разности 1-го порядка 2-го порядка Размерность линейного пространства Разностная производная левая правая центральная схема Адамса аддитивная безусловно устойчивая (пример) двухслойная Дугласа - Рекфорда квазиустойчивая консервативная корректная Кранка - Николсона крест локально-одномерная многошаговая т-го порядка точности m-шаговая (т >_ 1) неустойчивая неявная одношаговая Писмена - Рекфорда предиктор - корректор (счет - пересчет) расщепления р-устойчивая Рунге - Кутта с весами с опережением симметричная условно устойчивая схема (пример) устойчивая чебышевская итерационная чисто неявная Эйлера экономичная явная Разностное уравнение линейное с постоянными коэффициентами m-го порядка (т >_ 1) однородное Разностные неравенства - формулы Грина Сетка квадратная - неравномерная 16 - равномерная 16 Сеточная функция Сплайн порядка т Среднеквадратичное уклонение Сходимость разностной схемы с квадратичной скоростью Уравнение теплопроводности Устойчивость разностной схемы с весами Формула Тейлора Формулы бегущего счета Численное интегрирование Число обусловленности Шаблон квадратурной формулы Предисловие Эта книга представляет собой введение в теорию численных методов, использующее минимум сведений из анализа, линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений. Книга возникла в результате обработки лекций, которые автор читал для студентов второго курса факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Содержание книги традиционное - интерполяция и аппроксимация, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, разностные методы решения задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Автор стремился сделать изложение доступным для первого чтения, обращая внимание на основные понятия теории численных методов и иллюстрируя их простейшими примерами. В настоящее время при численном решении многих задач физики и техники, описываемых уравнениями математической физики, используется метод конечных разностей. Основные понятия теории разностных методов (аппроксимация, устойчивость, сходимость) мы иллюстрируем на примерах разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений." Ключевые слова: метод редукция, функция, jn i, линейный пространство, метод рунг, формула, vi vi, устойчивый, аппроксимация, линейный независимый, задача копт, алгебраический уравнение, метод ньютон, п р, равный, уп уп, порядок, образ, верхний релаксация, xi, итерационный, показать, il, квадратурный, последовательный, уравнение, выполненный, произведение, sin, получать, находить, трехточечный шаблон, max, рассмотреть, метод, точка, возможный, положить, вектор, соответствовать, устойчивость, tn, ама, записать, оценка, отрезка, собственный, полином, ошибка округление, х х, наука, порядок возрастание, эллиптический уравнение, нуль, решение уравнение, теплопроводность, соседний точка, ои, ф ун, правый, дифференциальный уравнение, интерполяция, известный, неявный, ах х, прямой метод, следовать, значение, решение задача, требоваться, эквивалентный, ф х, требуемый точность, схема, положительный, б dy, разностный, уравнение теплопроводность, треугольный, сеточный функция, линейный, производный, крайний мера, ih, пространство, попеременно-треугольный метод, векторный форма, целый, вычислить, переменный, асимптотический устойчивость, скалярный произведение, определение, итерационный метод, ar, численный интегрирование, краевой, cii, iii, задача дирихле, разногагпык уравнение, зависеть, параметр, yh, разностный уравнение, исходный схема, порядок точность, собственный вектор, самосопряженный, принцип максимум, метод прогонка, корректный задача, получить, dx, tn уп, pn х, численный, vi, сходимость, позняк, очевидный, сеточный, -ь л, пятиточечный шаблон, определяться, задача разрешимый, система, верный, решение, шаг, прямой ход, ara, алгебраический, начальный, общий, дифференциальный, разностный схема, оперативный память, сила, менять знак, задача кош, квадратурный формула, wi, безусловный устойчивый, оператор, значащий цифра, однородный, алгоритм, постоянный, остаточный член, задача itoiini, энергетический пространство, х dx, существовать, д ля, аз ат, линейный комбинация, ные, прогонка, гл vi, итерация, интегральный форма, отрезок, простой, ay, гл, lu, точностьюе, явный, iti, следовательно, широта, задача, ii, матрица, коэффициент, точность, достаточный, учитывать, четный, yn, задать, погрешность, hn hn, теория, модельный задача, вычисление, краевой задача, схема эйлер, неравенство, норма, компонент вектор, ход изложение, вычислительный, сетка, воспользоваться, кош, корень, разностный задача, уп, степенной закон, х ф, умножать скалярный, метод зейдель, ai, выполнить, yi, заданный, теорема, узел, vii