Description:

"Техническая статья: Разрешение и неопределенность спектрального разложения", Matt Hall За последние пять лет спектральное разложение стало одним из основных способов интерпретации сейсмических данных. Этот метод, обычно используемый для качественной оценки сейсмического геоморфологического анализа (напр., Marfurt and Kirlin, 2001), все чаще используется количественно при расчете толщины слоев (описано в Partyka et al., 1999). Он также применяется для прямого обнаружения углеводородов (Castagna et al., 2003). В широком смысле мы используем принципы спектрального разложения всякий раз, когда исследуем спектр или выделяем отдельный импульс. На данный момент для разложения обычно используется "кратковременное" преобразование Фурье, но в последнее время к списку возможностей присоединились и другие методы: S-преобразование (Stockwell et al., 1996), преобразование элементарных волн, и matching pursuit (напр., Castagna and Sun, 2006). В литературе часто упоминается "разрешение" этих различных способов. Неожиданностью может явиться то, что принцип неопределенности Гейзенберга иногда используется для подтверждения превосходства одного метода перед другим. В этой статье мы пытаемся ответить на вопрос, что конкретно имеется в виду под "разрешением" в этом контексте, каковы его ограничения, и какое отношение к этому имеет квантовая теория. Естественное свойство принципа неопределенности Гейзенберга следует из классического неравенства Коши-Шварца и является одним из основных принципов квантовой теории. Сам Вернер объяснил его так: В момент времени, когда позиция определена, то есть, когда фотон рассеян у электрона, электрон испытывает прерывное изменение момента. Это изменение обратно пропорционально длине волны света; при наименьшей длине волны расположение частицы определяется с наибольшей точностью. Таким образом, во время, когда расположение электрона известно, его момент может быть определен лишь до величины, при которой происходит прерывное изменение. Соответственно, чем точнее определена позиция электрона, тем менее точно может быть определен его момент. Верно и обратное. Heisenberg (1927), стр. 174-5. Самым важным аспектом принципа неопределенности является то, что хотя он изначально был выражен через наблюдения и измерения, он не является следствием каких-либо ограничений измерительного оборудования или математических приемов, с помощью которых мы описываем результаты. Принцип неопределенности * hallmt@conocophillips.com не ограничивает предел наших знаний, он описывает реальное положение вещей: электрон не может одновременно обладать точным местоположением и моментом. Это тревожное наблюдение является основополагающим в так называемой копенгагенской интерпретации квантовой теории, которая так расстроила Эйнштейна (который оказался неправ насчет нее). Габор (1946) был первым, кто обнаружил, что принцип неопределенности имеет отношение к теории информации и передаче сигнала. Благодаря корпускулярно-волновому дуализму, сигналы ведут себя точно так же, как и квантовые системы. В результате, точное время и частота сигнала не могут быть известны одновременно: сигнал невозможно начертить в виде точки на временно-частотной плоскости. Эта неопределенность является свойством сигналов, а не ограничением, накладываемым математикой. Принцип неопределенности Гейзенберга описывается через стандартное отклонение позиции ox, стандартное отклонение момента a, и постоянную Планка h: ox * a ≥ h/2π Другими словами, произведение неопределенностей позиции и момента не может быть менее некой ненулевой постоянной. Для сигналов нам не нужна постоянная Планка для определения соотношения квантовых величин, но форма уравнения остается такой же. Если обозначить стандартные отклонения времени и частоты как, соответственно, ot и a,, тогда мы можем переписать принцип неопределенности Габора в виде: ot * a ≥ 80 мсГц Мы позже вернемся к этой неопределенности. Если мы можем количественно описать неопределенность с такой точностью, в чем же проблема? Отчасти она заключается в том, что понятие, обычно описываемое словом "разрешение", состоит как минимум из двух частей: частота дискретизации и локализация. Эти тесно связанные понятия существуют как во временной, так и в частотной области. Дискретизация Живя в цифровом веке, мы все знакомы с понятием дискретизации. Оно аналогично разрешению в цифровой фотографии, которое обычно измеряется в точках на дюйм (Рис.1), и описывает, насколько детально наше знание чего-либо. Как при построении цифровых изображений дискретизации подвергается пространство, а цифровых сигналов - время, так цифровые спектры требуют дискретизации частот. Интуитивно можно предположить, что дискретизация частот Af зависит от дискретизации времени At. На самом деле, временная дискретизация определяет максимальную полосу пропускания (частота Найквиста равняется половине частоты дискретизации), но не имеет влияния на интервал между замерами в частотной области. Единственное, что контролирует частоту дискретизации при преобразовании Фурье - длина окна анализа (Рис.2). Конкретнее, интервал между замерами частоты Af равняется 1/T, где T - длина окна в секундах. Окно в 100 мс означает, что мы получаем информацию о частоте через каждые 1/0.100 _ 10 Гц; если же сократить окно до 40 мс, интервалы становятся значительно больше: 1/0.040 _ 25 Гц. В чем же практическое значение скверной дискретизации частоты? Во-первых, она может ограничить нашу возможность аккуратного определения частоты сигнала. Истинная частота любого сигнала находится скорее всего между двумя замерами (Рис.3). Различия лежат в пределах плюс или минус одной четвертой интервала, или 1/4T, и таким образом могут быть очень большими при коротком временном окне. Например, в Рис.3 погрешность составляет около ±4 Гц. Помимо ухудшения точности оценки частоты одного сигнала, низкая частота дискретизации также затрудняет возможность определения присутствия в сигнале двух или более различных частот. Продолжая аналогию с временной областью, или цифровыми изображениями, возможность такого разделения - то, что мы обычно называем "разрешением". Рис.4 демонстрирует, что для того чтобы можно было аккуратно различить частоты двух сигналов, они должны быть хотя бы вдвое выше, нежели частота замеров. Интуиция подсказывает, что локальные максимумы должны быть разделены минимумом. Если они слишком близко, их сложно выделить в спектре (хотя точные результаты зависят от функции окна и реальных частот). 64-миллисекундное окно Ханна, показанное в Рис.4, вызывает дискретизацию в 15.6 Гц; мы не можем использовать преобразование Фурье для обнаружения двух сигналов, различающихся менее чем на 32 Гц. Подобные сигналы выглядят как один широкий пик в спектре. А как же методы, не использующие преобразование Фурье? Другие алгоритмы спектрального разложения приобретают все большую популярность, особенно S-преобразование и различные преобразования элементарных волн (Castagna and Sun, 2006). К сожалению, жаргон и математика, стоящая за этими методами, часто мешают понять их суть. Я рекомендую всем интересующимся книгу Hubbard (1998); она очень хорошо написана и должна быть доступна любому ученому. Рис.1. Разрешение, локализация в цифровой фотографии. (a) Изображение с максимальным разрешением: 350 точек на дюйм (dpi), 512 x 512 пикселей. Различаются чрезвычайно мелкие детали. (b) То же изображение после "размывки по Гауссу" 25 x 25 пикселей. (c) То же изображение, где разрешение уменьшено фильтром 10 x 10 пикселей до 51 x 51, или 35 dpi. (d) Изображение после размывки (b) и уменьшения разрешения. Дискретизация сглаженного изображения не имеет такого эффекта, как с оригинальным изображением. Рис.2. Дискретизация и локализация. (a) Сигнал в 128 мс, 32 Гц, прошедший через окно 256 мс. (b) Его спектр, рассчитанный с помощью быстрого преобразования Фурье (FFT); короткое окно означает, что спектр снят с большим интервалом замеров, т.к. Af _ 1/0.256 _ 3.9 Гц. (c) Тот же самый сигнал (128 мс, 32 Гц), окно 1024 мс. (d) Его спектр; длинное окно улучшило частоту дискретизации (Af _ 1/1.024 _ 0.977 Гц), но неопределенность остается такой же, судя по широкому центральному пику в спектре. (e) Сигнал в 768 мс, 32 Гц, окно 1024 мс. (f) Его спектр, с такой же частотой дискретизации, что и (d), но с гораздо лучшей локализацией. Адаптировано из Stockwell (1999). Рис.3. Измерение одиночной частоты. (a) Три сигнала в 64 мс; частота дискретизации - 1000 Гц; интервал замеров 1/0.064 _ 15.6 Гц. Сигналы - синусоиды с частотой 43 Гц (синий), 47 Гц (красный), и 51 Гц (зеленый). Были использованы окна Ханна. (b) Спектры чрезвычайно похожи, и, скорее всего, не могут быть различены, особенно в присутствии шума. Важным аспектом этих алгоритмов с точки зрения понимания разрешения является то, что они - лишь модификации анализа Фурье, отличаясь от него лишь анализирующей функцией. В анализе Фурье и S-преобразовании, это функция Гаусса; в анализе элементарных волн это набор волновых цугов. Стоит отметить, что один из этих наборов (часто используемые волны Morlet) использует функцию Гаусса в качестве основной формы. Отличие этих методов от анализа Фурье заключается не в математике, а в способе, которым анализирующая функция - окно - применяется к сигналу. Иногда утверждается, что метод элементарных волн не использует окна: это не совсем так. Дискретизация в частотной области не очень хорошо исследована для альтернативных способов. Тем не менее, S-преобразование, преобразования элементарных волн... Ключевые слова: функция, измерение, локализация частотный, break декабрь, равняться, толстый, временной, образ, определенный, широкий, гц гц, мс, габор, спектр, метод, точка, пиксель, колебание, область, анализ, принцип, дискретизация, стандартный отклонение, обладать, dpi, university, конкретный, длина окно, сейсмический, окно, гейзенберг, описывать, хороший, обычный, отклонение, гц, квантовый, означать, сейсмический дать, декабрь, частота, локализация, stockwell, возможность, спектральный разложение, пик, break, частотный, цуг, неопределённость, интервал замереть, цифровой фотография, изображение, элементарный, зависеть, утечка, дать, частый, информация, длинный, элементарный волна, точный, цифровой, разложение, отношение, волна, дискретизация частота, длина, изменение, момент, должный, замер, transform, спектральный, преобразование, слой, частота сигнал, разрешением, спектральный пик, описать, минимум, алгоритм, хороший локализация, временной область, принцип неопределённость, heisenberg, неопределенность, интерпретация, castagna, интервал, применяться, замереть, фурье, spectral, низкий, технический статья, использовать, ханна, короткий, стандартный, преобразование фурье, точность, kirlin, hubbard, разрешение, электрон, теория, eage, высокий частота, основной, частотный область, theory, уменьшение, анализирующий функция, технический, последний, статья, sun, частота дискретизация, высокий, сигнал, неопределённость габор, преобразование элементарный