Description:

А.К.Боярчук, *Функции комплексного переменного: теория и практика*. Справочное пособие по высшей математике. Том 4. М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352 с. «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений и теорию функций комплексного переменного. Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач. При этом он отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагаются ряд нестандартных — таких как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. **Оглавление** 1. Основные структуры математического анализа - § 1. Элементы теории множеств и отображений - Некоторые логические символы (4) - Обозначения, используемые в теории множеств (5) - Натуральные числа. Метод математической индукции (5) - Простейшие операции над множествами (6) - Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) - Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) - Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) - Обратная функция. Композиция отображений (9) - Параметрическое и неявное отображения (9) - Изоморфизм (10) 2. Математические структуры - § 2. Группа, кольцо, тело, поле, векторное пространство над полем К, нормированное пространство 3. Метрические пространства - § 3. Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) - Шары, сферы, диаметр множества (13) - Открытые множества (14) - Внутренность множества (15) - Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16) 4. Компактные множества - § 4 5. Связные пространства и связные множества - § 5 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое - § 6 7. Комплексные числа и функции комплексного переменного - Глава 2 - § 1. Комплексные числа и комплексная плоскость - Определение комплексного числа (26) - Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) - Стереографическая проекция и ее свойства (29) - Примеры (31) - § 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте - Топология комплексной плоскости (43) - Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) - Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) - Свойства компакта KCC (47) - Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) - Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) - Предел и непрерывность композиции функций (49) - Свойства функций, непрерывных на компакте (50) - § 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области - Примеры (53) 8. Элементарные функции в комплексной плоскости - Глава 3 - § 1. Дробно-линейные функции и их свойства - Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) - Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) - Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) - Примеры (88) - § 2. Степенная функция w = z^n (n ∈ N, n > 2). Многозначная функция w = ^z и ее поверхность Римана - Степенная функция (91) - Многозначная функция w = ^z и ее поверхность Римана (92) - Примеры (93) - § 3. Показательная функция w = e^z и многозначная функция z = Ln w - Показательная функция W = e^z (94) - Многозначная функция z = Ln w (96) - Примеры (96) - § 4. Общая степенная и общая показательная функции - Общая степенная функция (97) - Общая показательная функция (98) - § 5. Функция Жуковского - Определение функции Жуковского. Конформность (99) - Примеры (100) - § 6. Тригонометрические и гиперболические функции - Примеры (105) 9. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши - Глава 4 - § 1. Интеграл Ньютона — Лейбница - Первообразная (149) - Интеграл Ньютон — Лейбница (150) - Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям - § 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков - Определение и-производной и и-интеграла (153) - Формула Ньютон — Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) - Формула Тейлора (156) - § 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано - Производная Ферма — Лагранжа (156) - Теорема Тейлора — Пеано и ее обратное (157) - § 4. Криволинейные интегралы - Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) - Гомотопия двух кривых (путей) (161) - § 5. Теорема и интеграл Коши - Существование локальной первообразной аналитической функции (162) - Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) - Теорема Коши (166) - Интегральная формула Коши (172) - Примеры (173) - § 6. Интеграл типа Коши - Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) - Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) - Теоремы Лиувилля и Mopepa (178) - Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) - Формулы Шварца и Пуассона (181) - Примеры (184) 10. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки - Глава 5 - § 1. Ряд Тейлора - Общие сведения о рядах (197) - Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) - Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) - Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) - Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) - Степенные ряды (206) - Теорема Тейлора (208) - Теорема единственности (210) - Примеры (212) - § 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций - Теорема Лорана (219) - Классификация изолированных особых точек в С (227) - Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) - Бесконечная изолированная особая точка (224) - Примеры (225) 11. Аналитическое продолжение - Глава 6 - § 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути - Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) - Аналитическое продолжение вдоль пути (234) - Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235) - § 2. Полные аналитические функции - Понятие полной аналитической функции (237) - Примеры полных аналитических функций (238) - Особые точки полной аналитической функции (239) - Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240) - § 3. Принципы аналитического продолжения - Примеры (241) Ключевые слова: ось, уравнение, предметный указатель, п dz, х iy, сходимость, ir, получать, элемент, vz, комплексный плоскость, оо, монодромия, df, полярный сетка, выполняться, алый, az, вычислить, линейный, следовательно, отрезок, zn ф, du du, ch, непрерывный, ln, принцип симметрия, dz, верхний полуплоскость, особый точка, аналитический, справочное пособие, гл, отображать, кош, семейство, vt, уо, ax ay, сходиться, tl, плоскость, последовательность, c-z, первообразный, аналитический продолжение, const, принцип, dt, образ, af az, tt, метрический пространство, ip, равный, ф ь, ф п, у ху, zn, az az, вершина, предел, х гу, принимать, радиус, dr, следующий, область, dz гг, tp, хп, кривой, ц ий, поза, полоса, ограничивать общность, iz, еан, произвольный, почленно дифференцировать, получить, гр ир, п оз, ь ь, кривая, ограниченный, существовать, широта, argz, бесконечный, следовать, ди х, az ь, конечный, разрез, справочного пособие, лемма, утверждение, связно, понятие, замкнутый, pkp, относительно, сила, окружность, центр, ip ta, общий, кх ь, iv iv, значение, х х, sin, ст ь, порядок, hxy, jttf, замечание, поиск термин, оо оо, справедливый, доказать, полюс, стереографический проекция, формула, тг, кт н, комплексный, oo, открытый, , f ф, dx, рассмотреть, dz dz, круг, ц ия, va, пространство, р ъ, точка, у х, находить, дифференцировать, iim, полуплоскость, vn, математический анализ, ф оо, свойство, п п, ом п, р х, х ф, действительный, сумма, очевидный, функция, особый, целый, речь идти, р хо, vi, произведение, ь ip, определение, аналитический функция, задача, метрический, угол, дробно-линейный, верхний, пустье, ще ст, единичный, ф ун, вычет, следствие, определенный, отображение, продолжение, теорема, интеграл, равномерный, неравенство, предельный, вар, внутри, окрестность, zo, окончательный, нуль, arg, dg, ряд, прямой, конформный, степенной, ь х, множество, согласно, полагать, равенство