Description:

"Основы Математического Моделирования Физический факультет МГУ им. Ломоносова Боголюбов А. Н. Глава I Основные понятия и принципы математического моделирования §1 Математика и математическое моделирование §2 Прямые и обратные задачи математического моделирования §3 Универсальность математических моделей Принцип аналогий §4 Иерархия моделей Глава II Некоторые классические задачи математической физики §1 Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) §2 Общая задача Коши Функция Римана 2.1 Функция Римана 2.2 Физический смысл функции Римана 2.3 Уравнения с постоянными коэффициентами §3 Задача о промерзании (задача о фазовом переходе задача Стефана) 3.1 Метод подобия §4 Динамика сорбции газа §5 Простейшие задачи для уравнения Шредингера 5.1 Уравнение Шредингера 5.2 Гармонический осциллятор 5.3 Ротатор 5.4 Движение электрона в кулоновском поле 5.5 Свойство полиномов Эрмита Глава III Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов §1 Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения 1.1 Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности 1.2 Решения с обострениями §2 Математические модели теории нелинейных волн 2.1 Метод характеристик 2.2 Обобщенное решение Условие на разрыве 2.3 Уравнение Кортевега-де Фриза законы сохранения 2.4 Схема метода обратной задачи 2.4.1 Прямая и обратная задачи рассеяния 2.4.2 Решение задачи Коши 2.4.3 Схема построения быстроубывающих решений задачи Коши Глава IV Методы исследования математических моделей §1 Вариационные методы решения краевых задач и определения собственных значений 1.1 Принцип Дирихле 1.2 Задача о собственных значениях §2 Некоторые алгоритмы проекционного метода 2.1 Общая схема алгоритмов 2.2 Метод Ритца 2.3 Метод Галёркина 2.4 Обобщенный метод моментов 2.5 Метод наименьших квадратов §3 Метод конечных разностей 3.1 Основные понятия 3.2 Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке 3.3 Метод прогонки 3.4 Экономичные разностные схемы Схема переменных направлений 3.5 Консервативные однородные разностные схемы 3.5.1 Интегро-интерполяционный метод (НИМ) метод баланса 3.5.2 Метод конечных элементов (МКЭ) проекционно-сеточный метод §4 Асимптотические методы 4.1 Метод малого параметра 4.1.1 Регулярные возмущения 4.1.2 Сингулярные возмущения 4.2 Метод ВКБ (Венцеля Крамерса Бриллюэна) 4.3 Метод усреднения Крылова Боголюбова Глава V Некоторые новые методы и объекты математического моделирования §1 Фракталы и фрактальные структуры 1.1 Фракталы в математике 1.2 Размерность самоподобия 1.3 Фракталы в природе 1.4 Моделирование дендритов 1.5 Иллюстрации к параграфу §2 Самоорганизация и образование структур Синергетика 2.1 Диссипативные структуры 2.2 Модель брюсселятора www.mathphys.r u Гл I Основные понятия и принципы математического моделирования §1 Математика и математическое моделирование Основные этапы метода математического моделирования 1 Создание качественной модели Выясняется характер законов и связей действующих в системе Задача моделирования выявить главные характерные черты явления или процесса его определяющие особенности Применимо к исследованию физических явлений создание качественной модели формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента 2 Создание математической модели постановка математической задачи Если математическая модель описывается некоторыми уравнениями такая модель называется детерминированной Рассмотренные в курсе методов математической физики начально краевые задачи примеры детерминированных дифференциальных моделей Если модель описывается некоторыми вероятностными законами такая модель называется стохастической 1 Выделение существенных факторов Основной принцип если в системе действует несколько факторов одного порядка значимости все они должны быть учтены или отброшены 2 Выделение дополнительных условий начальных граничных условий сопряжения и тд 3 Изучение математической модели 1 Математическое обоснование модели исследование внутренней непротиворечивости модели обоснование корректности дифференциальной модели до казательство теорем существования единственности устойчивости решения 2 Качественное исследование модели выяснение поведения модели в крайних предельных ситуациях 3 Численное исследование модели а Разработка алгоритма б Разработка численных методов исследования модели разрабатываемые методы должны быть достаточно общими пригодными для исследования математических моделей достаточной широкого класса и алгоритмичными обеспечивающими автоматизацию вычислений Новое требование возможность распараллеливания использование кластерных вычислительных систем в Создание и реализация программы Компьютерный эксперимент Лабораторный эксперимент компьютерный эксперимент Образец Физический прибор Калибровка Измерения Анализ данных Математическая модель Программа Тестирование программы Расчеты Анализ данных По сравнению с лабораторным натурным экспериментом компьютерный эксперимент дешевле безопасней может проводиться тех случаях когда лабораторный эксперимент принципиально невозможен 4 Получение результатов и их интерпретация Сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа натурного эксперимента данными полученными с помощью других численных алгоритмов уточнение модификация модели методов ее исследования 5 Использование полученных результатов Предсказание новых явлений закономерностей www.mathphys.r u" Ключевые слова: функция, л л, формула, универсальность математический, вторая ступень, дх, равный, структурный, единственность, дифференциальный модель, оо, ди, уравнение, исследование, модель, мочь, обоснование, топливо, колебание, тр, анализ, принцип, скорость, яга, требование, структурный масса, результат, га, ракета, х х, ип, работник, гу, теплопроводность, краевая задача, занятой работник, помощь, отброс, п—юый, равновесие, математический модель, математический моделирование, значение, ф х, поведение, схема, разностный, поверхность, задача синтез, ток, глава, характеристика, случай, поле, прямой, направленность, -л, определение, фактор, параметр, иерархия, основной понятие, сопоставление, масса, прямой обратный, проекционный, гурс, ду, процесс, ага, натурный эксперимент, существование, численный, ступень, последовательность, обратный задача, удовлетворять, система, го, решение, лабораторный эксперимент, математический физик, компьютерный эксперимент, квадрат, лабораторный, построение, должный, задача распознавание, создание, фрактал, физик, разностный схема, закон, объект, уг, конечный, нелинейный, обратный, щ х, математик, физический, решение задача, явление, алгоритм, распределение, эксперимент, разработка, ау, обкладка, простой, параметр модель, универсальность, природа, гл, возмущение, моделирование, широта, малый, задача, световод, условие, аналогия, относительно, математический, синтез, уу, численность, достаточный, шрёдингер, обобщенный, понятие, программа, дип, качественный, зарплата, пример, проектирование, выделение, качественный модель, риман, структура, единственность решение, кош, сопротивление, задача математический, распознавание, алый, сохранение, популяция, интегро, заданный, дщ, такая модель, компьютерный, сгорание, использование, простая задача, сг