Description:

"Исключение аляйсинга ОСТ и разрезов равных удалений. (Dealiasing of seismic common midpoint and common offset gathers) Virgil Bardan (Sabba S. Stefanescu Институт Геодинамики Румынской Академии Наук, S. A., Str. Jean Louis Calderon 19-21, Sect. 2, 020032 Bucharest, Romania. E-mail: vbardan@pcnet.pcnet.ro) Экономичный набор 2D (3D) данных может быть сильно разреженным, что приводит к пространственному аляйсингу сейсмических данных. Можно выделить две основные причины пространственного аляйсинга. Во-первых, аляйсинг может возникнуть вследствие редкой сети наблюдений. Второй причиной является обработка сейсмических данных при их сортировке в сейсмограммы ОСТ и равных удалений. Этот тип аляйсинга возникает из-за "парадокса дискретизации" (Vermeer, 1990) и мы будем называть его ОСТ аляйсингом. Оба типа пространственного аляйсинга создают проблемы для процедур обработки до и после суммирования. Среди них можно назвать миграцию, DMO, преобразование Радона, фильтрация в f-k области. Пространственный аляйсинг также приводит к нежелательным эффектам (например, "проверка шахматной доски", Vermeer, 1990) на суммированных сейсмических разрезах. Поэтому возникает потребность в процедурах исключения аляйсинга. Используя теорему дискретизации по Petersen и Middleton (1962), которая была представлена для 2D случая Bardan (1997), мы постараемся описать эффективный алгоритм интерполяции трасс для исключения ОСТ аляйсинга и обсудим возможности его применения. Парадокс дискретизации. Непрерывное волновое поле W_W(t, xr, xs) (состоящее из бесконечного количества источников и приемников) является функцией трех переменных: t - время, xs - координата источника, xr - координата приемника. Мы также можем описать это волновое поле в терминах координаты срединной точки xm и координаты выноса xo, т.е. W_W(t, xm, xo), где переменные xm и xo определяются линейными трансформациями: xm = (xs + xr) / 2 и xo = xs - xr. Интервалы дискретизации, которые требуются для адекватной дискретизации волнового поля с минимальной кажущей скоростью Vmin и максимальной частотой fmax выражаются следующим образом: xs - xr - xo ≤ Vmin / (2fmax) и требуемый интервал дискретизации для срединных точек равен: xm ≤ Vmin / (4fmax). Если интервалы дискретизации по источникам или приемникам превосходят x, тогда происходит аляйсинг данных за счет редкой сети наблюдений. Это может происходить при работе с двумя поочередно работающими группами источников, где обычно xs = 2xr. Для восстановления отсутствующих трасс и воссоздания симметричной дискретизации могут потребоваться процедуры интерполяции данных. Мы будем называть область в пространстве Фурье, в которой амплитудный спектр сигнала не равен нулю, "полосой частот". Полоса частот для волнового поля W_W(t, xr, xs) для постоянной f определяется как квадрат ABCD в пространстве Фурье (f, kr, ks), где волновые числа kr и ks относятся к координатам xr и xs соответственно. Трансформации координат, приведенные в уравнении (1), соответствуют трансформациям координат (kr, ks) (km, ko): km = (ks + kr) / 2 и ko = kskr. По этой причине полоса частот волнового поля W_W(t, xm, xo) для фиксированной f определяется как фигура (ромб) ABCD в пространстве Фурье (f, km, ko), где волновые числа km и ko соответствуют координатам срединной точки xm и выноса xo соответственно. На Рис. 1a показана связь между конкретной конфигурацией измерительной установки и двумя системами координат (t, xr, xs) и (t, xm, xo). На данном примере представлена система наблюдений с равномерным шагом по концам съемки. На Рис. 2a (поверхностная диаграмма) каждой точке соответствует сейсмическая разрез tРис. 1. Квадрат ABCD в области (kr, ks) представляет собой полосу частот волнового поля W(t, xr, xs) при f = fmax (a), а ромб ABCD в области (km, ko) представляет собой полосу частот волнового поля W(t, xm, xo) при f = fmax (b). Разрезах (t, xm) и (t, xo) необходимо в каждом квадрате из четырех трасс воссоздать еще одну трассу. Эти места показаны на Рис. 2a кружками. Каждая интерполированная трасса в области (xr, xs) соответствует интерполированной трассе в области (xm, xo) (см. кружки на Рис. 2a и 2c). Интерполяция может быть выполнена по следующей методике: для каждого разреза (t, xr) мы применяем алгоритм интерполяции трасс sinx x (см., например, у Gulunay и Chambers 1996) для уменьшения интервала дискретизации от x до x/2. Этим мы получаем кросс интерполированные трассы (см. Рис. 2a). Далее для каждого разреза ОПП, состоящего только из кросс интерполированных трасс, применяем алгоритм интерполяции трасс sinx x для уменьшения интервала дискретизации от x до x/2 и получаем желаемые интерполированные трассы, показанные на Рис. 2a. Используя такой алгоритм 2D интерполяции трасс (состоящий из двух 1D алгоритмов интерполяции трасс) мы можем создать дополнительные трассы для исключения аляйсинга в разрезах равных удалений (t, xm) и разрезах ОСТ (t, xo) (см. Рис. 2c). Рис. 2. Поверхностная (a) и глубинная (b) диаграммы для равномерной сети наблюдений; на (b) показаны положения источников и приемников. Точки соответствуют положениям зарегистрированных трасс. Кресты соответствуют промежуточным интерполированным трассам, а кружки обозначают желаемые интерполированные трассы. Трасса с источником в точке x_xs и приемником в точке x_xr. На Рис. 2b приведены реальные положения источников и приемников вдоль оси x по сейсмическому профилю. Для простоты, здесь показаны только десять источников с пятью приемниками. Шаг источника dxs в данном случае равен шагу приемника dxr и оба эти шага обозначаются как x. Расстояние от каждого источника до ближайшего приемника равно x. На Рис. 2c конфигурация данной системы представлена в системе координат (xm, xo) (глубинная диаграмма). Интервал пространственной дискретизации для этих данных в случае разреза равных удалений равен dxm_x_2xm, а в случае разреза ОСТ он равен dxo_x_2xo. Соответственно интервал пространственной дискретизации на разрезах равных удалений (t, xm) в два раза больше, чем на разрезах ОСТ, который требуется для предотвращения появления аляйсинга. Более того, интервал пространственной дискретизации по выносам в два раза превосходит требуемый интервал. Следовательно, область ОСТ подверглась аляйсингу, как показано затемненными областями на Рис. 1b. Это и есть парадокс дискретизации по Vermeer: в то время как непрерывное волновое поле дискретизируется правильно в области (xr, xs), оно может остаться недостаточно дискретизированным в области (xm, xo). Для правильной дискретизации поля в области (xm, xo) нам нужно в два раза больше трасс. Используя теорему дискретизации в случае 1D по Шеннону (Jerry 1977), мы можем разрешить парадокс дискретизации путем последующей интерполяции трасс в пространстве (t, xr, xs). Если разрезы в областях (t, xr) и (t, xs) были правильно дискретизированы, они могут быть использованы для воссоздания любой трассы в области регистрации (xr, xs) с использованием инвариантной ко времени процедуры 2D горизонтальной интерполяции. Для исключения аляйсинга на разрезах (t, xm) и (t, xo) мы должны создать трассы, помеченные на Рис. 2c кружками, т.е. в центре каждого ромба, соответствующего зарегистрированным трассам, надо создать новую трассу. Такая интерполяция трасс может быть выполнена путем 2D горизонтальной фильтрации данных в области (km, ko). Начальные значения на трассах, которые должны быть интерполированы, устанавливаются нулевыми, после чего данные фильтруются в область Фурье посредством 2D фильтра с пропускной областью в виде ромба ABCD в области (km, ko) (см. Рис. 1b). Алгоритм применяется в области пространственных частот (f, km, ko) и поэтому является алгоритмом 2D интерполяции. Примеры Для демонстрации алгоритма исключения аляйсинга был создан синтетический набор данных с равномерной геометрией наблюдений. Шаг между источниками задавался как xs = 50 м. Количество приемников было равно 101 с шагом xr = 50 м. Данные содержали три линейных оси синфазности с наклонами в области источников и приемников соответственно 19600 м/с, 10000 м/с и 8000 м/с. Наиболее круто наклоненная ось синфазности не подверглась аляйсингу как в области источников, так и в области приемников, согласно уравнению (2). На Рис. 3 показан соответствующий разрез ОСТ, а на Рис. 4 показан его амплитудный спектр. Этот разрез, который попрежнему содержит три линейных оси с кажущимися скоростями 19600 м/с, 10000 м/с и 8000 м/с, сейчас подвержен аляйсингу, так как xo = 100 м (см. уравнение (2)). В этом случае амплитудный спектр этого разреза (см. Рис. 4) демонстрирует, что нарушается условие отсутствия пересечения теоремы дискретизации в случае 2D по Petersen и Middleton для точек, в которых два f-k спектра лин'_ Рис. 3. Разрез ОСТ. Рис. 4. Амплитудный спектр разреза ОСТ. Ключевые слова: gulunay chambers, eage, пространство фурье, сеть, дискретизация, линейный, seismic, требоваться, смотреть, шаг, пространственный, petersen, алгоритм интерполяция, спектр, exploration, пересечение, xm, ko, ffmax, интерполированный трасса, сейсмический, частота, spitz, парадокса дискретизация, поле, технический, парадокс, приблизительный, координата, волновой поле, кружка, ромб abcd, результат интерполяция, chambers, отсутствие, gulunay, интерполяция, точка, метод, приемник, trace, интервал дискретизация, сентябрь, исключение аляйсинга, разрез, трасса, статья, быстрый, интервал, алгоритм, показать, petersen middleton, интерполировать трасса, теорема дискретизация, равный, xo, исключение аляйсинг, exploration geophysicists, пространственный аляйсинга, полоса, break сентябрь, квадрат abcd, показанный, создать, fmax, xr, дискретизация petersen, источник, ост, источник приёмник, приводить, middleton, удовлетворяющий, дать, vermeer, содержать, ось, технический статья, geophysicists, набор, разрез ост, данный, уравнение, отсутствие пересечение, амплитудный спектр, trace interpolation, xm xo, область, f-k, society, society exploration, полоса частота, представленный, наблюдение, интерполяция трасса, спектр разрез, волновой, использовать, break, sampling, результат, соответственно, область источник, теорема, интерполировать, соответствовать, аляйсинг, представить, kr, пересечение теорема, bardan, аляйсинга, удаление, interpolation, описать, пространство, амплитудный, набор дать, исключение, равный удаление, приёмник