В . (tm) (tm) ДВИЖЕНИЕ ам . РЫЖИК ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ Москв а "Недра " 1984 УДК 532.546 Баренблатт Г. И., Ентов В. M., Рыжик В. М. Дви жение жидкостей и газов в природных пластах. M. , Недра, 1984, 211 с. Изложен ы основы теории движения жидкостей и газо в в природных пластах с учетом их реальных свойств. Приведены классические и иеклассические модели движени я однородных жидкостей, а такж е модели неравновесных фильтрационных процессов. Рассмотрено движение неоднородных несмешивающихся жидкостей и физико-химическая гидродинамика процессов вытеснения. Дл я научных работников и специалистов, занимающихся проектированием разработк и и разработко й нефтяных и газовых месторождений; будет полезна студентам старших курсов нефтяных вузов. Ил. 68, список лит.-• 48 назв. Р е ц е н з е н т д-р техн. наук Ю. П. Желтое (МИН Х и ГП им. акад . И. М. Губкина) . Григорий Исаакович Баренблатт Владимир Мордухович Ентов Виктор Михайлович Рыжик ДВИЖЕНИ Е ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ Редакто р издательства Е. А. П е т р о в а Переплет художник а Е. К. С а м о й л о в а Художественный редактор В. В. Ш у т ь к о График-иллюстратор С . И. Е р о х и н Технические редакторыН . С. Г р и ш а н о в а , Н . В . Ж и д к о в а Корректор М . И . К р я к о в к и н а И Б № 4601 Сдан о в набо р 29.11.83 г. Подписан о в печат ь 31.07.84. Т-16255. Форма т 60X90/,, . Бумаг а типографска я № 1. Гарнитур а "Литературная" . Печат ь высокая . Усл . п. л . 13,0. Усл . кр.-отт . 13,0. Уч.-издл . 13,77. Тира ж 2800 экз . ^аказ № 4-2/8596-6. Цен а 2 р . 4 0 к . Орден а "Зна к Почета " издательств о "Недра" , 103633, Москва , К-12, Третьяковски й проезд . 1/19 Харьковска я книжна я фабрик а "Коммунист" , 310012, Харьков-12 , Энгельса , 11. 2504030300-434 043(01)-8 4 1 7 7 8 4 (c) Издательство "Недра" , 1984 ПРЕДИСЛОВИ Е Механика, древнейший раздел физики, по сей день остается основой прогресса современной техники, что особенно ясно видно на примере нефтяной и газовой промышленности. Почти все технологические процессы этих отраслей народного хозяйства, начиная с бурения скважи н и кончая транспортированием добытой продукции по магистральным нефтеи газопроводам, являются механическими по своей природе. Центральное место в технологическом цикле занимают процессы разработк и нефтяных месторождений. Использование научных методов дл я совершенствования технологии- давня я традиция нефтяной и газовой промышленности. Основоположниками углубленного приложения механики к нефтяному делу в нашей стране были В. Г. Шухов и Л . С. Лейбензон, труды которых составляют предмет справедливой гордости отечественной технической мысли. В наше время существенно увеличились масштабы добычи нефти и газ а и вводятся в разработк у месторождения со сложными физико-геологическими условиями, решается важнейша я проблема увеличения полноты извлечения нефти из недр. В связи с этим значительно повысился уровень требований к пониманию того, ка к движутся в пластах насыщающие их жидкости - нефть, газ и вода. Теории движения жидкостей и газов в природных пористых средах (подземной гидродинамике) посвящено много книг. Предлагаема я книга их не повторяет - со временем не только накапливаются новые результаты и появляются новые направления, но и смещаются акценты даж е в классических разделах . Авторы стремились показать в книге естественную связь классических и современных разделов подземной гидродинамики. Книга адресована тем нефтяникам и специалистам газовой промышленности, которые ведут исследовательскую работу или готовятся к ней и испытывают при этом необходимость более широко использовать модели и методы современной механики сплошных сред. Вместе с тем, учитывая все возрастающий интерес к нефтяной и газовой проблематике со стороны математиков, механиков и физиков, авторы стремились сделать книгу полезной и дл я них. Решение практических зада ч современной нефтяной и газовой технологии требует использования и разработки самых современных теоретических построений. Поэтому основное внимание в книге уделено постановке принципиальных зада ч подземной гидродинамики, ее идеям и методам. Авторы надеются, что отбор материал а по этим принципам будет полезен специалистам и поможет начинающим исследователям быстрее приступить к самостоятельной работе в этой увлекательной области, в которой практическая 3 полезность неразрывно сочетается с подлинной научной красотой. Очень поучительно и то обстоятельство, что именно в подземной гидродинамике наиболее отчетливо прослеживаются и доводятся до обозримых конечных результатов многие фундаментальные идеи и методы механики сплошных сред. Авторы глубоко благодарны А. Ю. Ишлинскому и С. А. Христиановичу за постоянное внимание к их исследованиям, нашедшим отражение в предлагаемой книге. Они с благодарностью вспоминают свои многочисленные беседы с учеными-нефтяниками, в первую очередь А. П. Крыловым, И. А. Чарным, А. X. Мирзаджан заде, Ю. В. Желтовым , оказавшие влияние на предмет их интереса в подземной гидродинамике. Авторы благодарны всем, кто своими советами и критикой способствовал улучшению книги, и особенно Ю. П. Желтов у и А. Ф. Зазовскому, сделавшим ценные замечания по рукописи. И. А. Викторову и Л . Г. Фадееву авторы благодарят за помощь в оформлении рукописи и подготовке ее к печати. По ограничениям технического характер а авторы смогли процитировать лишь малую долю исследований, безусловно заслуживающих упоминания. Авторы сознают неполноту книги в этом отношении и приносят читателям свои извинения. Авторы будут признательны читателям за замечани я по книге. Отзывы просим направлят ь по адресу: 103633, Москва, К-12, Третьяковский проезд, 1/19, издательство "Недра". ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ ПОДЗЕМНО Й ГИДРОГАЗОДИНАМИК И § 1. Особенности теории движения жидкости и газа в природных пластах Месторождения нефти и природного газа чаще всего приурочены к поднятиям или складка м пластов терригенных и карбонатных осадочных пород (песчаников, известняков, алевролитов, глин), представляющих собой скопления зерен минералов, связанных цементирующим материалом и преобразованных в результате геологических процессов. Поровое пространство терригенных пород - сложна я нерегулярна я система сообщающихся (иногда - изолированных) межзеренных пустот с размерам и пор, составляющими единицы или десятки микрометров (рис. 1). В карбонатных породах (известняках, доломитах) система пор более неоднородна, кроме того, гораздо более развита система вторичных пустот, возникших после образования самой породы. Сюда относятся трещины, вызванные тектоническими напряжениями, а такж е канал ы и каверны, возникшие благодар я растворению скелета породы водой (иногда сопровождающемуся химической реакцией). Протяженность трещин и размеры каверн могут намного превосходить размеры первичных пор. Жидки е или газообразные углеводороды, плотность которых меньше плотности воды, скапливаются в поднятиях ("ловушках") пород, вытесняя ранее находившуюся там воду. Чтобы месторождение нефти или газа могло сохраниться, пласты-коллекторы должны быть изолированы от вышеи нижележащи х проницаемых пластов кровлей и подошвой: слоями непроницаемых пород, чаще всего глин или соли (рис. 2) . Строение нефтяных и газовых залеже й осложняется значительной неоднородностью и прежде всего многослойностью слагающих их пород. Нефте и газоносные пласты часто пересекаются крупными тектоническими нарушениями - разрывами сплошности пород. Добыч а нефти и газа, разведка месторождений и исследование пластов ведутся через отдельные скважины диаметром 10-20 см, отстоящие друг от друга на сотни метров. Мы напомнили эти общеизвестные факты, чтобы подчеркнуть вытекающие из них особенности теории фильтрации нефти и газа в природных пластах. Одна из них заключается в необходимости 5 одновременно рассматривать процессы в областях, характерные размеры которых различаются на порядки: размер пор (единицы и десятки микрометров), диаметр скважин (десятки сантиметров), толщины пластов (единицы и десятки метров), расстояния между скважинам и (сотни метров), протяженность месторождений (до десятков и даж е сотен километров). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерны е размер ы практически любого масштаба . Сведения о пласте при всем их разнообразии всегда ограничены. Они складываются из геологической и геофизической информации: данных исследования образцов породы и гидродинамических исследований скважин, результатов анализа отобранных из скважин проб нефти, газа и пластовой воды; и, наконец, из истории разработки, т. е. совокупности данных по динамике изменения давлений, отбора или закачк и нефти и воды по отдельным скважина м и в целом по объекту. Даж е если имеется весь перечисленный объем информации, что бывает далек о не всегда, ее недостаточно дл я однозначного построения модели пласта. Это ясно хотя бы из того, что люба я модель строится на интерполяции по пласту данных, полученных на основе единичных скважинных измерений, и обычно нет веских оснований считать это адекватным представлением того, что на самом деле происходит в пласте. В этих условиях основная задач а исследования заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций, а такж е количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью расчета оказывается не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе, например, системы разработк и месторождения или метода воздействия на пласт. Последующее поведение пласта позволяет внести коррективы и уточнить при РИС. 1. Шлиф нефтяного песчаника нятую модель. Все это сближае т под земную гидродинамику с те оретической физикой. Ре шающую роль играет поста новка задачи и такой анализ результатов ее ре шения, который позволяет сделать некоторые общие, скорее, качественные, за ключения. Напротив, увели чение точности качественно ясных результатов оказыва ется зачастую ненужным. Такое положение дел существовало всегда, и появление и широкое распространение вычислительных б машин лишь усугубило его. С помощью машинной математики многие технические трудности были преодолены, в результате чего возможности гидродинамических расчетов неизмеримо выросли. Однако познавательная ценность извлекаемых результатов еще более чем в домашинную эру определяется адекватностью модели, четкостью постановки задач и расчета и глубиной предварительного анализа имеющихся данных. § 2. Пористые среды Движени е жидкостей, газов и их смесей в пористых средах составляет предмет изучения особого раздел а гидродинамики - подземной гидродинамики (теории фильтрации). Сложный и нерегулярный характе р структуры порового пространства не позволяет изучать движение жидкости и газов в нем обычными методами гидродинамики, т. е. путем решения уравнений движения вязкой жидкости дл я области, представляющей собой совокупность всех пор. Действительно, простая оценка показывает, что если бы мы хотели построить такое решение, то оказалось бы невозможным записать граничные условия даж е дл я небольшого месторождения. Однако в такой записи и таком решении нет необходимости: с увеличением числа отдельных микродвижений, составляющих макроскопическое фильтрационное движение, начинают проявляться суммарные статистические закономерности, характерные дл я движения в целом и несправедливые дл я одного или нескольких поровых каналов. Это характерно для систем с большим числом однородных элементов, слабо связанных между 7 собой. Такие системы могут быть описаны ка к некоторые сплошные среды, свойства которых не выражаютс я непосредственно через свойства составляющих элементов, а являются осредненными характеристиками достаточно больших объемов среды. Так, в гидродинамике не изучается движение отдельных молекул, а вводятся некоторые осредненные динамические характеристики жидкости ка к сплошной среды и рассматриваются только объемы жидкости, размер ы которых достаточно велики по сравнению с межмолекулярными расстояниями, чтобы в любом элементе содержалось достаточно большое число молекул и было бы возможно использование осредненных характеристик Аналогично этому теория фильтрации строится на представлении о том, что пористая среда и заполняюща я ее жидкость образуют сплошную среду. Это означает, что элементы системы жидкость - пористая среда, которые считаются физически бесконечно малыми, все ж е достаточно велики по сравнению с размерами пор и зерен пористой среды; только дл я объема, в котором заключено большое число пор и зерен, достаточно представительны вводимые осредненные характеристики. В применении к меньшим объема м выводы теории фильтрации теряют силу. С точки зрения теории фильтрации значение твердого скелета пористой среды прежде всего геометрическое, он ограничивает ту область пространства, в которой движется жидкость. Лиш ь в более специальных случаях, о которых будет сказан о ниже, приходится рассматривать силовое взаимодействие между скелетом и прилежащими к нему слоями жидкости. Поэтому свойства пористой среды в теории фильтрации описываются некоторым набором геометрических средних характеристик. Важнейшая характеристика элемента пористой среды - ее пористость т, равная отношению объема Vn, занятого в выделенном элементе порами, к общему объему элемента V: т = VnZV. (1.1) Соотношением (1.1) определяется средняя пористость данного элемента. Выбрав некоторую точку пористой среды, окружа я ее элементами все меньшего объема, можно найти локальную порис тость ка к предельное значение при стягивании объема. Сущест венно, что это - "промежуточный" предельный переход: при "стя гивании" размеры элемента должн ы оставаться большими по сравнению с микромасштабом пористой среды (размером пор или зерен) . Ситуация здесь вполне аналогична положению в других раздела х механики сплошной среды; так, при определении локаль ной плотности газ а разме р объема всегда выбирается большим по сравнению с длиной свободного пробега. 1 Ка к известно из теории вероятностей, чем больше число одинаково распределенных случайных величии, образующих некоторую совокупность, тем меньше вероятность отклонения среднего по совокупности значения параметр а дл я дайной реализации от наиболее вероятного значения. Тем самым указанны е ниже требования делают интегральные характеристики движени я достаточно устойчивыми. 8 Обычно различают полную пористость, когда учитываются все поры, и активную, когда учитываются лишь те, которые входят в единую систему соединенных между собой пор и могут быть заполнены жидкостью извне. Дл я наших целей существенна, естественно, лишь активная пористость, поэтому в дальнейшем под пористостью понимается именно она. Наряд у с пористостью т иногда вводится понятие просветности п - отношения площади активных пор в любом сечении, проходящем через данную точку, ко всей площади сечения. Легко убедиться, что в сделанных предположениях просветность в данной точке не зависит от выбора направления сечения и равна пористости т. Пористость одинакова дл я геометрически подобных сред и не характеризует размеров пор. Поэтому для описания пористой среды необходимо такж е указат ь некоторый характерный разме р порового пространства d. Имеется много по существу равноценных способов определения этого размера . Естественно, например, за характерный разме р d принимать некоторое среднее значение радиуса порового канал а I или отдельного зерна пористого скелета (понимаемые ка к средние значения соответствующих случайных величин). Кривые распределения размеров пор или зерен содержат значительно больше информации о микроструктуре пористой среды, чем просто средние значения. Поэтому предпринимались многочисленные попытки определения всех геометрических и гидродинамических характеристик пористой среды на основе кривых распределения. Однако зависимости гидродинамических характе ристик пористой среды от параметров кривых распределения не могут быть универсальными - одинаковыми дл я разных пород. Действительно, вводя, например, тонкие непроницаемые перегородки, можно коренным образом изменить гидродинамические характеристики среды, не изменив либо слабо изменив вид кривых распределения. В то ж е время дл я различных процессов существенны разные статистические характеристики размеров пор и зерен. Так, для процессов переноса в пористой среде существенна степень неоднородности составляющих пористой среды - пор и зерен. В этом случае наряду со средним значением размер а существенна нег о дисперсия, характеризующа я степень отклонения от среднего значения. § 3. Зако н Дарси , пределы его применимости и уточнения Основная характеристика фильтрационного движения - вектор скорости фильтрации и - определяется следующим образом. Выберем точку M пористой среды и проведем через нее произвольную элементарную площадку AS с нормалью п. Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости AQ. Тогда проекция вектора и на нормаль п к выделенной площадке равна пределу отношения AQ/pAS при AS 0. Здесь р - плотность жидкости 9 Подчеркнем, что предел понимается в указанном выше "промежуточном" смысле и что масса жидкости делится на полную площадь AS, а не на ее часть, занятую порами. Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации - устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Здесь и далее, если не оговаривается специально противное, под давлением понимается разность между полным давлением и гидростатическим; в отсутствие движения давление жидкости в порах распределено по гидростатическому закону. Ка к только начинается движение, избыточное (над гидростатическим) давление становится переменным по пространству. Движени е жидкости в пористой среде отличается от движений, рассматриваемых в обычной гидродинамике, тем, что в любом макрообъеме имеется неподвижная тверда я фаза , на границе с которой жидкость такж е неподвижна. Поэтому система поровых канало в элементарного макрообъема гидродинамически эквивалентна системе сложным образом связанных труб. Скорость фильтрации характеризует расход через эту систему. С другой стороны, расход определяется давлениями на входах и выходах поровых каналов . Поскольку расход представляет собой суммарную по многим поровым канала м величину, он определяется перепадом, т.е . градиентом осредненного давления жидкости. Именно поэтому, в отличие от уравнений обычной гидродинамики, в теории фильтрации существует локальна я зависимость между градиентом давлени я и вектором скорости фильтрации. Некоторые сведения о форме закона фильтрации, связывающего скорость фильтрации и градиент давления, можно получить, исходя из самых общих представлений. Пориста я среда описывается геометрическими параметрам и - характерным размером d и некоторыми безразмерными величинами; пористостью т, параметрам и кривой распределения и др. Зако н фильтрации должен следовать из уравнений движения жидкости в поровом пространстве, поэтому система определяющих величин включает такж е те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения: плотность р и вязкость цТаким образом, мы ищем форму зависимости градиента давления gra d р от вектора скорости фильтрации и, геометрических характеристик пористой среды т, d и т. д. и характеристик жидкости р и р,Среди величин, от которых зависит gra d р, только скорость фильтрации и являетс я вектором. В силу изотропии среды вектор gra d р должен быть направлен по одной прямой с вектором и. В самом деле, пусть вектор gra d р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора" . Если повернуть выбранную произвольную систему координат вокруг вектора и на некоторый угол, то ни этот вектор, ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменятся. Следовательно, ие долже н измениться и вектор gra d р, зависящий только от этих параметров. Н о если gra d р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора и, то при повороте его направление 10 относительно координатных осей обязательно должно измениться. Отсюда вытекает, что направления векторов и и gra d р должн ы совпадать, та к что grad р = -си, (1.3/4) где с-некотора я скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости и, а также величин d, т, р, jj,. Рассмотрим фильтрационные движения, когда несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит большинство фильтрационных течений, встречающихся на практике, поскольку они происходят медленно. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина с зависит только от и, d, т и {х. Выпишем размерности интересующих нас величин: [т\ = 1; [с] = ML-3T-1; [и] = LT" 1 ; [d] = L; M = ML-iT-K (1.3) Из четырех определяющих параметров три (и, d и ц) имеют независимые размерности. Тогда, согласно анализу размерностей, безразмерная комбинация Cd2Ip может зависеть только от единственной безразмерной величины среди определяющих параметров - пористости т: Cd2Iv. = f (т) ; с = d~2/ и лроницаемости к Cj симметричны1. Если анизотропия пористой среды связан а с естественной слоистостью, проницаемость вдоль слоев имеет одно значение, а в перпендикулярном направлении - другое, обычно значительно 1 Это следует и з того, что квадратична я форм а пропорциональна я Удельной работе сил взаимодействи я жидкост и с пористой средой, ие должн а Зависеть от выбора системы координат . 12 меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости - Хз перпендикулярна плоскости напластования, а две другие - X1 и X2 можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Система Xu х2, X3 будет главной в каждой точке пористой среды; при этом имеем ku = k22 = k; &зз = h\ kq = 0 (i ф j). (1.11) Закон Дарси в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (1.11) следующим образом: щ = - (kip.) Opldxl-, и2 = -(k/\x) Opldx2', U3 = - (Vp) OpIOx3. При значительных скоростях, когда уж е нельзя не учитывать инерционной составляющей сопротивления движению жидкости, предпосылки, заложенные при выводе закона Дарси , перестают быть справедливыми. К числу определяющих параметров следует добавить плотность р с размерностью ML~3 . Тогда коэффициент с в (1.2) будет зависеть уж е от пяти величин, из которых можно образоват ь две безразмерные комбинации, что дает grad р = -(p.lk) ug (updlp., т). (1-12) Комбинация updlp. = Re представляет собой число Рейнольдса для фильтрационного микродвижения. Предполагая, что функция g (Re) разлагается в степенной ряд, и ограничиваясь первыми двумя членами, получим уравнение двучленног о закон а фильт рации : - (kip.) grad р = и + (3/3/41 ^1 Pии. (1.13) Здесь в качестве характерного размера d принята величина kU2 и учтено, что при и ->0 должен быть справедлив закон Дарси. Двучленный закон фильтрации впервые был предложен Форхгей мером. Формула (1.13) хорошо описывает данные наблюдений даже для весьма больших значений чисел Рейнольдса. Так, для несце ментированных (насыпных) пористых сред этот закон справедлив вплоть до чисел Рейнольдса порядка 10-100, тогда как отклонения от линейного закона начинаются при Re - 0,1-1,0. Неоднократно делались попытки выбрать характерный размер d таким образом, чтобы процесс фильтрации в пористых средах различной структуры описать единой формулой. Оказалось успешным введение в качестве характерного размера величины (klm)1/ 2 , предложенное М. Д . Миллионщиковым. Тогда число Re оказывается равным pukU2m3'2/p.. При этом удается единообразно описать закон фильтрации во многих средах различной проницаемости. Для несцементированных пористых сред коэффициенты двучленного закона фильтрации (1.13) можно записать в виде а = А (1 - m)3 m-a/D, $ = В(\-т) m-3/D. Здесь D - средний размер зерен породы, А и В-значения коэффициентов, близкие к постоянным для отдельных групп несцементированных сред, но они зависят, например, от формы зерен. 13 Поэтому и такая форма записи двучленного закона не является универсальной. Появление квадратичного члена в уравнении закона фильтрации до сих пор иногда объясняют турбулизацией течения. Однако порядок критических чисел Рейнольдса в теории фильтрации (0,1-10), рассчитанных по диаметру зерен или пористой среды, указывает на неправильность такого утверждения. Отсутствие турбулентности (т. е. флуктуаций скорости во времени) доказан о и прямыми экспериментами. Этот неправильный взгля д обусловлен тем, что в гидравлике круглых цилиндрических труб отклонение от линейной зависимости обязательно связано с турбулизацией потока, но это не та к даж е для ламинарного течения в криволинейных трубах. В задача х теории фильтрации нефти и газ а в природных пластах применение двучленного закона ограничено движением впри скважинной зоне высокодебитных скважин и фильтрацией в трещиноватых средах. Кроме нарушений закона Дарси , связанных с проявлением инерционных сил, линейный закон фильтрации можот нарушаться при очень малых скоростях, когда проявляются аномальные реологические свойства движущихся жидкостей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. III. § 4. Уравнение неразрывности и основные уравнения теории фильтрации Система уравнений общей гидродинамики состоит из уравнений сохранения массы, импульса и энергии и уравнений состояния. При движении жидкостей и газов в пористой среде уравнение сохранения импульса сводится к формуле закона фильтрации. Уравнение энергии существенно лишь в тех случаях, когда нельзя пренебрегать изменением температуры. В последующем, кроме специально оговоренных случаев, принимается условие постоянства температуры Г= cons t с учетом незначительности скоростей движения и высокой теплоемкости пород, окружающих проницаемые пласты. В связи с этим уравнения состояния сводятся к выражениям , связывающим при заданной температуре плотность жидкости и пористость среды с напряжениями в этой среде и давлением жидкости в порах. Запишем теперь уравнение неразрывности, выражающе е условие сохранения массы жидкости при фильтрации. Рассмотрим балан с массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S, предполагая, что скоростью частиц твердого скелета можно пренебречь. Приравнивая приращение массы жидкости в элементе V за время dt (1.14) 14 притоку массы жидкости через поверхность элемента за то ж е время -dt SpundS (1.15) s и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, получаем интегральное соотношение ^ + dly(Pu))dV = 0, V откуда в силу произвольности элемента V и непрерывности всех полей вытекает дифференциальное уравнение неразрывности (mp), t + div (ри) = 0. (1.16) Окончательная формулировка большинства зада ч теории фильтрации заключаетс я в составлении на основе уравнения неразрывности и закона фильтрации дифференциальных уравнений дл я распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных условий. При составлении этих уравнений и формулировке зада ч необходимо знать зависимость от давления характеристик пористой среды и насыщающей ее жидкости. Рассмотрим прежде всего влияние давления на свойства жидкости - плотность р и вязкость Ц. Дл я однородных капельных жидкостей - воды и нефти - изменения плотности в пластовых условиях обычно невелики: встречающиеся в фильтрационных движениях перепады давления (единицы М П а) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжати я Kp капельных жидкостей (5• 1 0 2 -2 * IO3 МПа) . Поэтому обычно достаточно ограничиться линейной зависимостью p(/>) = Po[l-(p-yt>o)/tfp] . (1-17) Хотя сжимаемость капельных жидкостей мала , она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захва тывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залеж и обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которой значительно больше объема нефти в залежи ; в результате этого за счет расширения воды со снижением давления может полностью компенсироваться извлекаемый объем нефти). Зависимостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех ж е пределах можно обычно пренебречь1. Фильтрационные движения газ а характеризуются тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов га з часто нельзя считать идеальным. Уравнение состояния газ а обычно записывается в виде: P = p/z(p,T)RT. (1.18) Здесь R = 8,314 Дж/(моль-К ) - универсальная газовая посто янная . 1 Сказанное не относится к иефти, находящейся в контакте с природным газом . В этом случае при повышении давлени я увеличивается количество растворенного в нефти газа , и ее вязкост ь заметно падает . 15 Преимущества такой записи связаны с тем, что для коэффициента сверхсжимаемости 2 (р, Т) составлены таблицы и графики, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления его дл я газовых смесей. Отклонение z от единицы (отличие газ а от идеального) значительнее дл я более тяжелы х углеводородных газов. Согласно кинетической теории газов, вязкость их не должн а зависеть от давления. Это утверждение такж е неприменимо к условиям, характерным для газового пласта. При фиксированной температуре вязкость газа может изменяться на десятки процентов при изменении давлени я на единицы МПа . Чтобы проанализировать зависимость от давления свойств пористой среды - пористости и проницаемости, рассмотрим поведение насыщенного жидкостью образц а при одноосном нагружении. Предположим, что нагрузка F на цилиндрический образец площадью поперечного сечения S, заключенный в непроницаемую оболочку, создается непроницаемым поршнем. Снизу на проницаемое основание действует давление р, равное давлению в жидкости (рис. 3) . Тогда из условий равновесия образц а в пренебрежении силами трения о боковые стенки следует F ^pS+F1. (1.19) Здесь Fi - сила, действующая на проницаемое основание. Оче видно, F = aS, где о - полное напряжение в насыщенном образце; FI = a'S, где of -напряжение , воспринимаемое твердым скелетом (в расчете на всю площадь S). Из (1.19) получаем о/ = a - р, (1.20) РИС. 3 . Схема насыщенного образца пористой среды под нагрузко й где а! - эффективное напряжение. Изменение пористости в условиях одноосного нагружения происходит под действием этого напряжения, вызывающего перестройку скелета пористой среды. Изменение пористости в зависимости от давления при фиксированной нагрузке, обусловленное сжимаемостью зерен, мало по сравнению со сжимаемостью пористой среды в целом, обусловленной переупаковкой зерен: жесткость материала зерен для таких сред, как песчаники ит . п., очень велика. Аналогичные соображения применимы и в более общих случаях. Опытные данные, полученные в условиях произвольного нагружения пористого образца, позволяют определить зависимость пористости не от тензора истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды, а от тензора эффективных напряжений. Та к как при действии на пористую I среду только приложенного внутри нее гидростатического давления касательные напряже 16 ния не возникают, касательны е компоненты тензор а истинных на пряжени й и тензора эффективны х напряжени й совпадают, а нормальны е компоненты отличаютс я на величину р. Поэтому имеем OHf = O i j -Pb i h (1.21) где a[j, ац - соответственно компоненты тензора эффективных на пряжени й и тензора истинных напряжений (Ьц = 1 при i = /; S1-,= = 0 при i ф /). Пористость и проницаемость ка к скалярны е величины могут зависеть только от инварианто в тензора эффективных напряже ний. В линейном приближении зависимостью от второго и третьего инварианто в обычно пренебрегают, та к что т = т (6, р); k = k(b, р)\ 6 = (1/3) af". (1.22) Можно установить связь между средним нормальным эффектив ным напряжением 6 и давлением, если рассмотреть напряженноесостояние в пласте. Пусть H - глубина залегания пласта, h - его толщина, а р0 - средняя плотность горных пород. Обычно толщина нефтяных пластов много меньше глубины их залегания, т. е. Вес горных пород, лежащих над пластсм, уравновешивается системо й напряжени й в пористой среде и гидродинамическим давлением жидкости . Систему жидкость - пористая среда можно представить себе ка к некоторую деформируемую сплошную среду, в которой к нормальным напряжениям, действующим в пористой среде, добав ляютс я нормальные напряжения , воспринимаемые жидкостью. Ком поненты суммарного напряжения а(/выражаются с помощью соотношения (1.21) где Sy - единичный тензор. = 4 + 0-23 ) Запишем уравнение равновесия системы жидкость - пористая среда с учетом силы тяжести в виде: OaiJdxa Ogi = OoiJdxa + Opldxi + Pgi = 0, (1-24) где р - суммарна я плотность системы жидкост ь - пористая среда. Учитывая, что плотности слабосжимаемы х горных пород и жид кости изменяются незначительно, а значение ее дл я газ а по сравне нию с тверды м скелетом мало , в уравнении (1.24) можн о положить p=const , т. е. это уравнение, не содержаще е явно время . Суммарны е напряжени я на кровл е и подошве пласт а (т. е. на верхней и нижней ограничивающе й пласт поверхностях) такж е можно считать не зависящим и от времени. Физически обоснование последней гипотезы сводится к следующему. Если упруги е постоянные пород пласт а и кровли примерно одинаковы, смещени е кровли, обусловливаемо е изменением давлени я жидкости, насыщающе й породу пласта и пропорциональное, очевидно, его толщи не, распределяетс я на всю огромную толщу вышележащег о 17 массива горных пород. Поэтому соответствующие относительные деформации в этом массиве малы и, следовательно, малы возникающи е в нем дополнительные напряжения (в частности, напряжени я на кровле и подошве пласта) . Однако когда вышележаща я толща в отличие от пород пласта сложена из очень жестких пород, при локальном понижении давления могут образоватьс я своды, и при изменении давления жидкости напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться. Поскольку уравнения равновесия системы жидкость - пористая среда и напряжения на кровле и подошве пласта не зависят от времени, суммарное напряженное состояние в системе жидкость - пористая среда (о 0, Ыа> О, (II.8) где a, b и с - постоянные. Простейшим из фильтрационных течений является плоско параллельный прямолинейный поток между двумя галереями с постоянным напором на каждо й из них. Пусть течение направле но вдоль оси х, составляющей угол а к горизонту. В этом случае потенциал у и давление распределены по пласту линейно; при х = 0 (верхняя галерея) р = р\, при X = L (нижняя галерея) р = р2. Тогда легко получить (pi - p)/(pi - р2 ) = х!Ц (х, у), такая, что и = д Отделяя действительную часть, получим на контуре питания и на скважин е ?к = - (2л)-1 I. С учетом (11.33) можно считать, что условие ср = const на нем выполняется достаточно точно и решение описывается формулой (11.31). Тогда на скважине и на контуре питания имеем соответственно <рс = - (2tt)V In (кгJt) + С; IL + (IU) In (И2ъгс)\. (11.35) Выражение (11.35) можно интерпретировать как формулу дл я двустороннего притока к участку галереи шириной /. Если рассматривать (11.35) как условие пропорциональности расхода и перепада давления, то, по Ю. П. Борисову, коэффициент IxL!k + (|W/fct) In (Ifarc) (11.36) можно назвать полным фильтрационным сопротивлением, состоящим из "внешнего" сопротивления pLIk, определяющего приток к галерее, и "внутреннего" сопротивления ^I n ^r , добавленного за счет искривления линий тока вблизи скважины. 27 § 2. Качественные методы теории напорных течений Эффективны е решения, подобные приведенным в предыдуще м параграфе , можн о получить лиш ь дл я фильтрационны х течений в сравнительн о простых областях . В других случая х расчет полей течения связа н с большими трудностями . Заметим , однако , что в прикладны х задача х представляю т интерес не столько сами поля, сколько некоторы е их интегральны е характеристики , чащ е всего дебиты при заданны х перепада х давления . В теории напорной фильтраци и можн о установить несколько основных принципов, которые позволяю т получать оценки дл я дебито в в областя х сложно й форм ы без вычислений. Изложи м некоторые из этих принципов и продемонстрируем на примерах , ка к ими можн о практически пользоваться . Основная задача теории пространственных напорных стационарны х течений состоит в отыскании поля давлений р (х) в некоторой пространственной области D, внутри которой задано поле проницаемости k (х), а на границе С области D задано либо давление р, либо нормальная составляющая скорости фильтрации и" (поток жидкости). Будем считать, что на части границы Cp задано давление, а на Cq - поток: Plcp = P (*), UjCq = -k (dp/dn)/CQ = q (х). (П.37) Здесь P (х), q(x) - заданные функции. Внутри области D давление и скорость фильтрации удовлетворяют, как было показано выше, системе уравнений V" = 0, я = - ( 1 1 3 8 ) откуда можно получить уравнение дл я давления V(^VP) = O. (11.39) В а р и а ц и о н н ы е принципы . Рассмотрим интеграл по об- ласти D Л = . О VfMV 1 (11.40) D где (c) и <р - произвольные векторное и скалярно е поля, обладающие достаточной гладкостью. Если векторное поле v солено идальное , т.е . удовлетворяет условию уг" = 0, то, используя формулу Остроградского - Гаусса, получим Л = i (Vnf) dS - § yyvdV = f VnfdS. (11.41) C D C В частности, подставляя р вместо ? и и вместо v, получим A-I (uyp)dV - f pundS. (11.42) D С 1 В этом параграфе дл я сокращения записи используется оператор вектор* ного дифференцирования иабла: y = gra d у , у а = div и. 28 Здес ь [pundS - работа, совершаемая в единицу времени внеш" с ними силами давления , на вдавливани е жидкссти внутрь выделен ного объема. Подынтегрально е выражени е в лево й части уравнени я (11.42) характеризуе т энергию, затрачиваему ю на работ у жидкост и в единице объем а среды на преодоление сил трения , и потому представляе т собой плотность диссипации энергии - количество энергии, переходяще е в тепл о в единице объем а пористой среды . В целом соотношение (11.42) выражае т собой т о ж д е с т в о п о л н о й д и с с и п а ц и и : вся работ а внешних сил на д жид костью в элемент е пористой среды переходит в тепло. Это тож дество верно дл я произвольного фильтрационног о течения несжи маемо й жидкост и и дл я стационарны х течений сжимаемо й жидко сти. Определим дл я векторного поля и и скалярног о поля р положительны е функционалы X и У: X =+Spk-WV; y = +Sk^\VP\2dV. (11.43) 2 Dr 2D Можно установить следующие утверждения . 1. Из всех соленоидальных векторных полей v, удовлетворяющих в точках части границы Cq условию Mc q = Q, (11.44) решение и ("истинное поле скоростей фильтрации") выделяется тем, что минимизирует функционал X* M = X M + JjWndS1 (11.45) с р называемый полным потенциалом диссипации. 2. Из всех скалярны х полей , удовлетворяющих условию на Cp ? Icp = P, (11.46) решение р ("истинное поле давлений") выделяется тем, что минимизирует функционал Y* M = у M + SvqdS, (11.47) Cq называемый полным дополнительным потенциалом диссипации. Докаже м первое из этих утверждений. Пусть и - решение, а V - пр оизвольное поле, удовлетворяющее граничному условию (11.44) и условию соленоидальности. Тогда X * - X* [и] = 4 S(^fk) (V2 - и2) dV - ^p (Vn - un) dS = £ D Cp = IJ (|x/k) (v - u) (v + u)dV - Sp (V - и) ndS > 2 Cp > Up/K) (v - U) udV - SP (V ~ U) ndS = D Cp = - S(v - u)\PdV - ] р (v - u)ndS. (11.48) 2 9 Используя тождество (11.42), получим из (11.48): X* [t>] - X*[u\>[p(v - и) rtdS - с -$p(v - u)ndS = $p(v - u)ndS = 0. (11.49) ^n Cn Тем самым мы показали, что истинное поле скоростей и мини мизирует полный потенциал диссипации X* [(c)]. Точно так же до казывается, что истинное поле давлений р минимизирует полный дополнительный потенциал диссипации Y* [<р]. С л е д с т в и я и з вариационны х принципов . Сформулированные вариационные принципы можно использовать дл я построения решений прямыми вариационными методами. Здесь ж е рассмотрено применение этих принципов дл я качественного исследования и построения оценок решений. Прежд е всего можно установить единственность решения задачи: допустив существование двух различных решений системы (11.38) при условиях (11.37), получим противоречивые неравенства X* [ui\ > X* [и2], X* [и,] < X Iu2), (11.50) откуда следует, что X* [Ui] = X [и2]. Но в силу рассуждений, подобных (П.48), ХШ -ХШ = j l(p/k)(ui - u2)2 dV. (11.51) Таким образом Ui = U2 - решения совпадают. Далее для давления справедлив принци п м а к с и м у м а: дав ление принимает свои наибольшее и наименьшее значения на гра нице области. Действительно, допустим, что в области D максимум давления Р* больше, чем на границе P+ . Следовательно, макси мальное давление достигается во внутренней точке области М*. Тогда найдется внутренняя подобласть De области D, содержащая точку M*, на границе которой р = Р * - е. Рассматривая решение уравнения (11.39) в подобласти De и учитывая его единственность, найдем, что давление P постоянно по всей подобласти Ds: р = = P* - е < Р*. Это противоречит условию, что р (M) = Р*. Полу ченное противоречие и доказывает принцип максимума. Из нашего рассуждения следует еще одно важно е утверждение: поверхности постоянного давления (изобары) в стационарном фильтрационном потоке РИС . 4. Укрупненна я трубка тока cI ч либо заканчиваются и начинаются в точках границы, либо - если они замкнуты - содержат внутри участок границы области (такое может быть только в том случае, если область движения многосвязна). '2 Ограничимся в дальнейшем наиболее существенным для 30 практики случаем, когда область фильтрации представляет собой укрупненную трубку тока (рис. 4) , т.е . ограничена непроницаемой боковой поверхностью CQ, на которой UN = 0, и двумя поверхностями постоянного давления Ci и C2 (вход и выход), на которых давление принимает значения P 1 и P2 , Р\>Р2 соответственно. Большинство задач, связанных с расчетом дебитов скважин и суммарных объемов отбора по месторождениям, принадлежит именно к этому классу. Разность P=PI-P2 будем называть перепадом давления на данной трубке тока, а полный поток жидкости через произвольное сечение трубки тока - расходом: Q = J UndS = J UndS. (И.52) C1 C1 Чаще всего нас интересует именно расходная характеристика фильтрационного потока - зависимость Q (P) - или, поскольку она, очевидно, линейна - коэффициент расхода Л = QLP = const. (11.53) Допустим, что найдено решение задачи теории фильтрации, т. е. поля и и р для трубки тока. Тогда имеем соотношения lp] = (% ) ( NPfd V s 1J " v х pdV = = -• 3 [unpdV = I ( P 1 P 2 ) Q (Ц.54) A = P2 J (% ) \ip\2dV. (11.55) D Далее, поскольку функции и , р - решение задачи теории фильтрации, имеем X* [и] = I j (?/k) u4V + \pUndS = -1J(uip)dV CP ^D ( P I P 2 ) Q = X (P1 P 2 ) Q = L Q2IA = 1 i (ц/АО u4V, (11.56) та к чт о Л = - LQ2/X* [И]. (11.57 ) Соотношения (11.55) и (11.57) можно многими способами использовать для получения оценок коэффициента расхода, продуктивности Л и доказательства общих утверждений относительно зависимости других величин от геометрических и физических параметров пласта. Действительно, возьмем произвольное скалярное поле ср, удовлетворяющее условиям tp| C j =l , >[ р [k-^vldVy . (11.62) Неравенства (11.58) и (11.62) позволяют получить строгие дву сторонние оценки для коэффициентов продуктивности без факти ческого решения задачи (11.37) - (11.38). Чтобы сделать это, нужно взят ь произвольные пробные поля <р0 и (c)о, удовлетворяющие условиям Atpo =IiQ [(c)о ] = L div Vo = 0, и вычислить для них интегралы Ji ["Pel и h Ш. Тогда /я [wo] С А с /i [То]. (П.63) Насколько удовлетворительной будет такая оценка, зависит от того, как удачно выбраны пробные функции ?о и (c)оНиже при ведем примеры использования этого подхода для оценки дебитов скважин. Вопрос об оценках коэффициентов продуктивности можно поставить и по-другому. Если область D имеет сложную форму и (или) распределение проницаемостей в ней является достаточно сложным, естественно ставить вопрос о том, что будет с дебитом (или коэффициентом продуктивности), если изменить форму области и (или) распределение проницаемости. На этом пути удается получить простые и вместе с тем важны е вариационные оценки. Докажем , прежде всего, физически ясное утверждение, что если при фиксированной форме трубки тока и граничных условиях изменим поле проницаемостей k таким образом, что в каждо й точке она не уменьшится (т. е. либо увеличится, либо останется 3 2 прежней), то при том ж е перепаде фильтрационный расход не уменьшится. Формально это сводится к тому, что рассматривается коэффициент продуктивности Л ка к функционал от формы области D и от распределения в ней проницаемости и показывается, что этот функционал является монотонным по k: А = Л [D, k], A1 = A [D, £1], (11.64) Л > A 1 , если k (M) > ki (M), для всех M ^D. Действительно, пусть {р, и} - решение, отвечающее распределению проницаемостей k, a {pi, B 1 J -решение , отвечающее распределению k\. Имеем: Ai = 2a-'P2 F * \р и ki] < 2 J i 1 P2 F * lp, £,] = = IJt-1P-2J^11 VP 12dV < Pi-1P-21 k I VP IW = D D = 2ц-1Р-2У* lp, k] = A. (11.65) При этом первое из неравенств (11.65) следует из того, что pi минимизирует функционал Y* [ k\. В частности, при введении в область течения непроницаемых перегородок коэффициент продуктивности будет уменьшаться, а при введении областей бесконечной проницаемости - увеличиваться. Разобьем поток тонкими непроницаемыми поверхностями на множество тонких трубок тока, таких, что течение в каждо й из них можно считать одномерным. (Это эквивалентно заданию направления линий тока в каждо й точке пласта.) Тогда по доказан ному подсчитанный таким образом коэффициент продуктивности окажетс я меньше действительного. Напротив, если задади м форму поверхностей постоянного давления (изобар) (что эквивалентно введению в поток множества бесконечно тонких поверхностей бесконечной проницаемости), то рассчитанный таким образом коэффициент продуктивности окажетс я завышенным по сравнению с действительным (см. пример 3) . Ещ е одно важно е утверждение получим следующим образом. Выберем вблизи непроницаемой (боковой) границы области течения примыкающую к ней подобласть Dt и будем уменьшать проницаемость в ней до нуля. В пределе будем иметь новую област ь течения с вырезанной подобластью D e (с вдавленной границей). По доказанному ранее коэффициент продуктивности уменьшится. С другой стороны, если область Ds примыкает к одной из изобар - входной C1 или выходной Сг - и проницаемость в ней стремится к бесконечности, то в пределе получим область со вдавленной внутрь входной или выходной границей. По доказанному ранее коэффициент продуктивности при этом увеличится. Таким образом, имеем та к называемый п р и н ц и п вдав ливания . При "вдавливании" в область фильтрации непроницаемых границ коэффициент расхода уменьшается, при 3 3 вдавливании" входной и выходной изобар коэффициент расхода увеличивается. Отсюда уж е непосредственно получаем п р и н ц и п сравнени я областей : если входная изобара Ci (контур питания) для области D может быть заключена между входными изобарами для областей D* и Dt, D^aDciD*, то коэффициент продуктивности дл я области D принимает промежуточное значение между коэффициентами продуктивности для областей и D*: Л* < Л < Л*. (11.66) Дл я однородных областей (k = const) ряд оценок можно получить, используя так называемые теоремы о симметризации. Известно [32], что если область D подвергается симметризации (относительно плоскости, прямой, точки) или последовательности отражений, то уменьшается интеграл f | yep 12dV. Отсюда следует, что симметри Ь зация области движения приводит к уменьшению коэффициента продуктивности (см. пример 4) . Можно рассмотреть и более общий вопрос о пределах изменения коэффициента продуктивности области, если объем ее фиксирован. Поскольку ясно, что, сближа я входную и выходную изобары, можно, не уменьшая объема области, получить сколь угодно большой расход, очевидно, что верхней границы для коэффициента продуктивности не существует. Однако существует нижняя граница. Одна из возможных при этом постановок задачи состоит в следующем. Рассмотрим бесконечную трубку Cq и пересекающую ее поверхность C2. Поставим задач у об определении такой поверхности C1, отсекающей вместе с поверхностями C2 и Cq област ь D заданного объема V, чтобы коэффициент продуктивности этой области (при входе С ь выходе C2 и непроницаемой границе Cq) был минимален. Оказывается [17], что на искомой границе Ci должно выполняться дополнительное условие постоянства потока: u" = const. Дл я однородного пласта это позволяет в явном виде сформулировать и решить задач у отыскания области минимального расхода. П р и м е р 1. Пусть задан горизонтальный пласт постоянной мощности с кон" туром питания С, на котором поддерживается постоянное давление P0, и с п эксплуатационными скважинами радиусов гк, помещенными в точках гк(хк, ук). По технологическим соображениям дл я каждой скважины устанавливается некоторое минимальное допустимое значение забойного давления Р~. Требуется так выбрать забойное Давление PK ИЗ допустимого диапазон а дл я каждой скважин ы К < pK < P0' чтобы суммарный дебит скважин Q был максимальным. Прямое решение этой задачи требует достаточно сложны х расчетов. Вначале следовало бы, решая задачу напорной фильтрации дл я области со скважинами, найти зависимость дебитов от забойных давлений: "/ = E ли (ро~ Pi) 1=1 34 где Ai--матрица коэффициентов влияния, а затем максимизировать сумму s k=1 i, I Alk(P0-Pl) A= с учетом ограничения (11.67). На самом деле во всем этом нет необходимости. Основываясь на принципе максимума, можно показать, что максимальный суммарный дебит достигается при минимальных допустимых забойных давлениях. Действительно, пусть р0(х, у)- решение задачи напорной фильтрчции, отвечающее граничным условиям р0 | C k = Р~, а р (х, у) - решение для другого набора значений давлений на скважинах Р к , удовлетворяющего условиям (11.67). Составим разность р (х, у) = р - р0 Так как задача напорной фильтрации линейна, р - решение, которое на контуре питания C0 обращается в нуль, а на контурах скважин C k принимает положительные значения. П о принципу максимума во всей области фильтрации р(х, у) > 0 = min p {С0 , C 1 , ... , С к , . . ., Cn). Отсюда и из условия на контуре питания р0 = 0 находим, что на контуре питания др/дч > 0, где ч - направление внутренней нормали. Следовательно, "v - "ov = - (kIv-) (др/дч - др0/дч) < О, Q = 5 uvdS < Q0 = ; U0Vrfsс с Это и доказывает сделанное утверждение. Приме р 2. Рассмотрим скважину радиуса р, центрально расположенную в круговом пласте радиуса R. Допустим, что эта скважина окружена зоной с проницаемостью k* § 3. Установившиеся безнапорные течения Безнапорны м называетс я фильтрационно е течение, при котором полный напор недостаточен дл я того, чтобы жидкост ь поднялас ь до кровли пласта , в результат е чего фильтрационны й поток ограничиваетс я сверху свободной поверхностью - поверхностью раздел а межд у грунтовыми водами и воздухом или межд у нефтью и газом . Аналогичное течение имеем в тех случаях , когда под слоем движущейс я нефти располагаетс я неподвижна я подошвенная вода. В термине "свободная поверхность" пренебрегается тем обстоятельством, что переходна я област ь межд у жидкость ю и газом или межд у двум я жидкостям и в пористой среде не явля ется резкой границей типа границ ы вода - воздух в стакане , а обязательн о размыт а из-за действия капиллярны х сил. Толщина капиллярног о переходного слоя измеряется десяткам и сантиметров и метрами. Поэтому кратк о рассматриваема я в этом параграф е теория оказываетс я тем более точной, чем больше характерны е размер ы потока. Будем рассматривать , таким образом , свободную границу ка к математическую поверхность, отделяющу ю фильтрационный поток от области, занято й неподвижной жидкостью . Н а этой границе должн ы выполнятьс я два физических условия. С одной стороны, така я поверхность представляе т собой поверхность тока, на которой нормальна я компонента скорости обращаетс я в нуль: Un |г = о, (11.72) а с другой стороны-давлени е на свободной границ е определяется гидростатическим давление м пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости , и потому р |г = ро - o'gz, (11.73) где р' - плотность "соседней" жидкости; р0 - давление в этой жид кости на горизонтальной поверхности (z = 0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (11.73) 36 получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р | г = ро. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений. Свободная граница отличается от заданных заране е тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишне е краевое условие служит для отыскания неизвестной заране е свободной границы. Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важны х задач . Эти задач и и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я. Кочиной [33], а такж е в [34]. В последующем изложении используется лишь приближенна я гидравлическая теория та к называемых пологих безнапорных движений. Под пологим фильтрационным движением понимается движе ние, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации Uz мал а по сравнению с горизонтальной компонентой. Та к как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С - см. формулу (I. 7) , то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мал а по сравнению с С, т. е. = (11.74) Это неравенство можно переписать еще так: fW£"Pg - (11.75) Но ^uJ k представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (11.75) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мал а по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h рас-, стояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через Z0 расстояние от водоупора до горизонтальной плоскости 2 = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно ^mhdS, ^m^dS^dt, (11.76) где S - проекция объема V на горизонтальную плоскость. Вместе с тем указанное приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt: 37 - dt^dl \undz = -dt[qndl, q= ^ udz, (H.77) г г 0 I' г" где Г - замкнутый контур, ограничивающий площадку S; ип - нормальная компонента скорости и; qn - нормальная компонента вектора потока q на Г. Приравнивая (П.76) и (11.77), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка 5 может быть выбрана произвольно, получаем уравнение mft,, + div2tf = 0. (11.78) Заметим, что уравнение (II. 78) -точное, справедливое неза висимо от каких-либо допущений. Дл я установления связи между q и h воспользуемся предположением о пологости движения. По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина H = z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h + Zo'. H = h + Z0 + О (иг/С); и = -Сgrad2 (ft + z0) + О (иг). Таким образом, пренебрегая малыми величинами, скорость и можно вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (II. 77), определяющем вектор q. Получаем q = -Oigrad 2 (ft + z0). (11.79) Подставляя (11.79) в (11.78), имеем ft, t = (CIm) div (ft grad (h + z0)). (11.80) В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость (zo = 0), уравнение (11.80) принимает вид: t = abh2, a = C/2m = 2-1kpg(i>.m)-1. (11.81) Уравнения (11.80) и (11.81) были впервые получены Буссинеском. Дл я стационарных движений уравнение Буссинеска приводится к уравнению Лапласа для квадратичной функции напора: ДХ = 0, х = 21 (ft2 + 2ftz0). (11.82) Теория пологих безнапорных движений приближенная . Не смотря на это, при фильтрации в области, ограниченной цилинд рической поверхностью с вертикальными образующими и гори зонтальным водоупором, на основе такой теории получаются точные значения дебитов и точные распределения по плоскости вектора интегрального потока q [34]. § 4. Нестационарное движени е однородной сжимаемо й жидкости. Линейная теория1 Постановк а основны х задач . Простейший и наиболее изученный случай нестационарной фильтрации - движение одно 1 См. такж е [47, 6, 12, 44] . 38 родной слабосжимаемой жидкости в упруго деформируемом пласте. Это движение (см. § 1.4) описывается уравнением ньезопроводности для давления р dp/dt = х (d2p/dx2 + д2pldy2 + d2p/dz2) = *Др, (11.83) по форме совпадающим с классическим уравнением теплопроводности. Область, в которой ищется распределение давления в жидкости, та же, что рассматривалас ь дл я стационарных течений: пористый пласт, часть границ которого непроницаема, а другая часть сообщается с вскрывающими пласт скважинами и соседними пластами. Граничные условия в задача х линейной нестационарной фильтрации задаются на границах того ж е типа, что и в задача х напорной стационарной фильтрации: непроницаемых границах,сква жинах, галереях, контурах питания. Однако теперь давление , напор или расход, задаваемы е на скважина х или галереях, являются, вообще говоря, функциями времени. Часто в модельных задача х задаетс я мгновенное изменение давления или расхода на скважине или галерее от начального до некоторого конечного, что соответствует физически быстрому пуску или закрытию скважины или галереи. Все принятые обычно варианты граничных условий укладываются в общую форму (ар + bdp/dn) = f(x, у, z, t), а2 + Ь2 ф 0; Ыа > 0. (11.84) И з общей теории уравнения теплопроводности известно, что если на границе области задан о условие (11.84), а в начальный момент времени ^=O условие р (х, у, z, 0) = ?(х, у, z), (11.85) то существует единственное распределение давления р (х, у, z, t), удовлетворяющее уравнению (11.83) и условиям (11.84), (11.85), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, на любом конечном интервале времени 0 < t < Т. Хорошо разработанна я техника решения уравнения теплопроводности (см., например, [40] ) применима и к задача м теории упругого режима фильтрации. Однако специфика этих задач, связанна я с наличием некоторых малых параметров (например, отношение радиуса скважины к расстоянию между скважинами , расстояние между скважинам и к расстоянию до контура питания) в ряде случаев существенно упрощает решение. В типичных условиях нефтяного или газового месторождения или водоносного пласта толщина пласта много меньше его горизонтальной протяженности, что позволяет рассматриват ь течение как плоскопараллельное. Рассмотрим несколько характерных случаев. зэ П л о с к о п а р а л л е л ь н о е одномерно е движение . Пусть скорость течения параллельн а оси х не зависит от координат у и z. Давлени е при этом удовлетворяет уравнению dp/dt = xd2pidx2 0 < * < L. (II .85 ) Наиболее интересны случаи, для которых в начальный момент времени движение в пласте стационарно. Поскольку стационар ное распределение давления такж е удовлетворяет уравнению (11.86), удобно отсчитывать давление в каждой точке от стацио нарного значения P 0 (*) • Таким образом, разность Р = р - P0 удовлетворяет уравнению (11.84) с нулевым начальным условием P (х, 0) = 0. Пусть при х-L (на контуре питания) давление сохраняет постоянное значение, равное начальному, а через сечение л: = 0 отбирается жидкость, и давление в нем меняется по закону p-f(t). Чтобы получить решение при указанных начальных и краевых условиях, применим преобразование Лапласа , т. е. введем функцию OO L {Р (х, 0} = P (х, о)" = $ е-'*Р (х, t)dt. (11.87) _ о Дл я P получим задачу P(O) = Llf (t)} = F (о); /тт ооч d2 Pldx2-V2P = 0; ) ' . ( 1 1 8 8 ) P (L) =0 ; V = о/*, имеющую решение P = F(o) sh [(L х) V|/sh (Lv). (11.89) Чтобы перейти от изображения к функции P (лг, i), предположим вначале, что в сечении х = 0 давление мгновенно принимает фиксированное значение P = р° Ф 0. Тогда F (о) = p°h. P = (p°/e)sh l(L - x) ^lsh (U). (11.90) Рассмотрим асимптотику решений при малых временах, чзму, согласно теории преобразования Лапласа, соответствуют большие значения |о| . Выразим в (11.90) гиперболически г функции через показательные и, считая 2L "j/"-^^ 1" разложим это выражение в ряд по степеням ехр (- 2 L VaU), т.е . [ OO OO P (*, о) = (р°/в) 2 ЕХР (- V (х + 2Ln)) - j ЕХР (- v (2L (п + I п-О п-0 + 1)-*) ) I (11.91) Производя почленное обращение ряда (11.91), с помощью формул обращения, выведенных, например, в [25], имеем P (*, t) = P0 £ Jerfc [(2Ln + х)/2 YTt] - erfc [(2L (п + 1) - л=0 - х)!2УЩ - (II.92) 4 0 Ря д (11.92) сходится при всех / и х. Рассмотрим Еначале асимптотику при условии L 2 /*/ >1 . Тогда в выражении для P (х, t) можно все значения erfc заменить их предельными erfc (оо) = Or за исключением члена ряда erfc * _ •. Имеем F 2 Vxt P (х, t) = р° erfc [х/2 Vr */]. (11.93) Полученнсе решение (II.£3) имеет ДЕСЯКИ Й смысл. С однсй стс роны, сно спксыЕает распределение ,гаЕления в пласте конечнгй длин ы L при махых Бременах v.t<^L2. С другой стороны, оно д;е т распределение давления в пласте бесконечной протяженности L* -> оо. Любое конечное изменение давления распространяется за заданнсе время лишь на конечное расстояние и, если рассматриваются малые времена, мсжно считать пласт бесконечным. Решение (11.93) автомодельно: независимые переменные х и t входят в него лишь в комбингции х/УШ. В силу линейности уравнения (11.86) решение для случая произвольного вида функции P (0, /) = /(/ ) можно получить с помощью принципа суперпозиции с использованием интеграла Дюамеля Р(х, t) = J (df (z)/dz) Pi (х, t - z)dz, (11.94) о где P1 (х, t) - решение (11.92) или (11.93) для случая скачкообразного изменения давления при х = 0. Рассмотрим теперь противоположную асимптотику t~^>L2/%. В этом случае выражение (11.92) неудобно тем, что приходится суммировать много членов ряда. Чтобы получить решение в более удобном виде, можно воспользоваться так называемой второй теоремой разложения для преобразования Лапласа [25], согласно которой регулярная функция F (а), стремящаяся к нулю при | а оо, является преобразованием Лапласа функции Ф (0 = S Res [F (о) е°<], (11.95) k Ck где сумма вычетов берется по всем особым точкам а*. функции F (а) в порядке неубывания их модулей. Тогда для F (а), выражаемого формулой (11.90), получим разложение Pi (х, t) = р°( 1 - x/L) - 2p%t- 1 s;n [к (1 - x/L)] exp (- u2 *//L2 ) -f -f O [exp (- (4 - s) K2%t/L2)]. (11.96) Из формулы (II. 96) видно, что приближение к стационарному линейному распределению давления происходит экспоненциально, причем характерное время выхода на стационарный режим имеет порядок т ^L 2 X-V2 . (11.97) Дл я типичных условий фильтрации маловязкой нефти или воды в коллекторах с высокой проницаемостью х имеет порядок 41 IO4 см2 /с. Тогда из (11.97) следует, что характерное время переходных процессов в малых блоках породы протяженностью 1 м 0,1 с, при L = 300 м (порядка расстояния между скважи нами) т =3 3 ч, L = 10 км (порядка размеров месторождения) т = 100 сут и при L=IO O км (порядка размеров крупной водонапорной системы) т " IO9 с ~ 30 лет. В коллекторах с высоковязкой нефтью и низкой проницаемостью значение х может оказатьс я на один-два порядка меньше. Тогда соответственно на один-два порядка увеличиваются значения характерных времен. В практических задача х часто приходится рассматриват ь нестационарные процессы в сложных системах, в которые входят элементы с различными собственными временами. Оценивая время установления стационарного течения дл я каждого элемента, мы упростим задачу, отделив те элементы, движение в которых можно считать стационарным, и те, в которых нестационарный процесс находится в начальной стадии. П л о с к о р а д и а л ь н о е движение . Рассмотрим одномерное осесимметричное (плоскорадиальное) нестационарное течение, соответствующее нестационарному притоку к одиночной скважине в круговом пласте. Распределение давлени я определяется как решение уравнения пьезопроводности с радиальной симметрией dp/dt = (х/г) д \rdpl дг]/дг 0 < Р < г < Я < о о , (II .98) удовлетворяющее начальному условию P(r,0) = f(r) (И.99 ) и граничным условиям при г = р и г = R. Ка к и выше, в силу линейности уравнения (11.98) можно под разумевать под р только отклонения от стационарного распределе ния давления р = Ci In r + C2, т.е . считать начальное распределение f (г) = 0. Переходя в уравнении (11.98) к изображениям по Лапласу, получаем r-'r f [rdp (г, a)/dr]ldr = v 2 P (г, a) , v2 = а/* , (11.100 ) общее решение которого имеет вид P (г, а) = C 1 I 0 (rv) + C2Ko (rv). (11.101) где Io и аргумента Ко - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка. от мнимого Будем искать решения для случая, когда на скважине зада ется постоянный дебит при всех / > 0. Решение этой задач и ис пользуется в наиболее распространенных способах определения параметров пласта по наблюдениям нестационарного притока к скважине. Положим (2тсй/|а) (гдр!дг) = - q = const или (Optdr)r=р = - qp/2izkp = p'lр; р (R, t) = 0. (11.102) 42 Удовлетворяя граничным условиям, получим из (11.101) и (11.102) P (га) = (pVpva )[Ко (/?v) I 0 (rv) - Ко (rv) I 0 (Kv)] : : [I 1 ( P v ) К о (Kv ) + Io (Kv ) K i (pv)]. (II . 103) Радиус скважины р обычно равен 10 см или менее. Если расстояние между скважинами R > 300 м, то для типичных условий исследования скважины на нестационарный приток можно применить "промежуточную асимптотику", т. е. положить р / ] / ^ " 1 " что позволяет упростить выражение (11.103), полагая При этом можно использовать асимптотические формулы для K0 (г), Ki (г), I0 (г) и Ii (г) при больших и малых значениях аргумента I 0 (z) ^ е2 Ко (z) " е2 (*/2z)W z^ со ю Ко (г) " - In (Tz/2) т = е с г -> 0, где С = 0,7772 - постоянная Эйлера. Тогда из (11.103) получим P(r , a) = - ра-'КоМ . (11.105) В частности, для давления в скважине Р( Р , a) = PtCT"1 In (TPv). (11.106) Отметим важное обстоятельство: соотношение (11.105) не содержит радиус скважины р. Это означает, что в области применимости условия р2Ut 1 распределение давления не зависит от радиуса скважины. Используя таблицы преобразований Лапласа и связь между преобразованием функции Лапласа и ее производной, пол учим р (г, 0 = Ei (- г2АЫ). (11.107) Дл я давления на скважине с помощью асимптотического выра жения Ei (-х) = 1п-р: при х с о имеем р (р, /) = _ qv. (4~&)-' In (fp2/ixt) = Qjj. (4тсМ)-1 In (2,25х//р2), (11.108) где Q - полный дебит скважины (q - дебит на единицу толщины пласта) . Формулы (11.107) и (11.108) часто используются дл я определения параметров пласта по данным о нестационарном притоке. Определени е параметро в пласта . Общий принцип исследования пластов при нестационарном течении заключается в том, что путем изменения режима эксплуатации скважин в пласте искусственно создается нестационарный режим фильтрации и измеряется давление в зависимости от времени в одной или нескольких скважинах. На основе данных об изменении дебитов и давления, используя решения зада ч нестационарной фильтрации, 43 можно оценить параметр ы пласта - проницаемость, пьезопроводность, расстояния до границ и т. д. Самым простым и наиболее употребительным способом создания нестационарного течения является временная остановка одной из скважин. Условие ее остановки с момента t0 можно рассматривать ка к задани е на скважине при t>t0 постоянного дебита - Q. Тогда давление на забое остановленной скважины описывается формулой (11.108), определяющей прямую в координата х р, In t. При построении кривой восстановления давления в остановленной скважин е асимптотически прямолинейный участок часто устанавливается через непродолжительное время, обычно в первые часы (рис. 5) . Пусть уравнение асимптоты есть р =A Int+ В. Сравнение с формулой (11.108) показывает, что A = Q^IiTzkn, B = A In (4x/fp2). Поскольку значение Q известно, то после определения по графику параметров AaB можно найти гидропроводность пласта khljj, и отношение х/р2. Следует учитывать, то радиус скважины в формуле дл я притока обычно не равен истинному вследствие того, что скважина вскрывает пласт не на всю толщину и не вся поверхность ее открыта дл я фильтрации жидкости (несовершенство скважины по степени и характеру вскрытия) . Кроме того, как было показано в § 1 данной главы, на кажущийс я радиус скважины существенно влияет загрязненность призабойной зоны, где проницаемость может быть существенно уменьшенной, или наличие в ней трещин. Поэтому, зная величину х/р2, нельзя по отдельности определить * и р2. Дл я определения пьезопроводности пласта удобнее использовать метод гидропрослушивания, т. е. исследовать изменение давления в реагирующей скважине, не работавшей к моменту изменения дебита возмущающей скважины. В этом случае характерным размером является не радиус скважин, а расстояние между скважинами , которое известно достаточно точно. Дл я определения пьезопроводности пласта методом гидропрослушивания, если дебит возмущающей скважины изменяется скачком, можно использовать формулу (11.107), записав ее в виде РИС. 5. Крива я восстановления давления '0O S 10 IS In I дp = p(r,t)-p(r, 0) = = - Qjx (Ankh)-1 Ei (- r2!4xt), (11.109) где Др-изменение давления в реагирующей скважине; Q - изменение дебита; г - расстояние реагирующей скважины от возмущающей. Обработка кривых изменения давления в реагирующей скважине заключается в том, что на кривой фиксируется время появления каких-либо 44 характерны х точек. Например , удобно фиксируется точка касания кривой Др (t) с прямой, проведенной из начала координат. В этой точке (t = 11), как следует из формулы (11.109), г 2 / = 0,44, откуда x = 0,57r7/i . Приведенны е пример ы решени я обратны х зада ч дл я определения параметро в пласт а ограничен ы условиями, при которых скважин а може т рассматриватьс я ка к мгновенно пущенный источник постоянной интенсивности в бесконечном однородном пласте. Фактически , когда возмущение, вызванно е закрытие м скважины , доходит д о грани ц пласта , т. е. через врем я порядк а Q = R2Ix, крива я восстановлени я давлени я в скважин е начинае т искажаться , а через достаточно большо е врем я выходит на горизонтальну ю асимптоту, соответствующую стационарном у пластовом у давле нию. С другой стороны, приток из пласт а в скважину , остановленную на устье, не прекращаетс я мгновенно вследстви е сжигаемо сти жидкосте й и газов , заполняющи х скважину . Врем я выхода на асимптоту в координата х Ар, In t не должн о превышат ь времени дополнительного притока после остановки. Поэтом у возможн ы условия, особенно в скважинах , расположенны х близк о от грани ц пласта , когда прямолиьейног о участк а на кривой p{\ni) не существует. В связи с этим был предложе н ря д способов обработк и кривых восстановлени я давления , учитывающи х приток в сква жин у после ее остановки. Один из наиболе е общи х методов обработк и кривых восстановления давлени я бы л предложе н в работ е [31] . В этом методе непосредственно используютс я преобразовани я Лаплас а кривых восстановления давления , вследстви е чего он пригоден при произвольном изменении дебит а скважин . Тако й метод позволяе т такж е в ряд е случае в определят ь по кривым восстановлени я дав лени я некоторые характеристик и неоднородности пласта . Рассмотрим пласт произвольной конфигурации, в котором при t = 0 начинает эксплуатироваться скважина при нестационарном режиме. Пусть в результате измерений известны зависимости р (р, t) и -^ p ~ = q (t). Давлени е в пласте р (х, у, z, t) удовлетворяет уравнению (11.83), а его преобразование по Лаплас у P (х, у, а) - уравнению V2T> = aP/x . (11.110) На непроницаемых участках границы справедливо условие дР/дп = 0, на контура х питания P = 0, на скважине P\r=? = Pi(a). Положим U = Р(х, у, z, a) /Pi (а). Функция U удовлетворяет уравнению (11.110) и однородным условиям на внешних границах пласта (на скважин е U = I ) . Эта функция не зависит от режима работы скважины . Дл я преобразования по Лаплас у дебита сква OO жины Q (с) = ^q (t) e-"{dt имеем о 45 Q (а) = 2% (АЛ/u) P J е- ' (dp/dr)r=Pdt = о = 2и рPi (а) (OUIcr)r^f. (11.111) Из формулы (ILlll ) следует, что отношение Я2/х2 имеем чг (т) = JJ^nM)1 In T + (4теЛаЛ)-1 In (4* 2 / т у 2 ) , (11.116) 4-6 где эквивалентный радиус скважины о* тот же, что и для стационарного притока (см. 11.19): р* = R (р/ £) т = р ( Р /Я)т-1 , т = Ла/Л,. (11.117) Сравнива я формулы (11.115) и (11.116), видим, что формула (11.117) описывает преобразованную кривую восстановления дав ления в скважин е радиуса р* в однородном пласте с параметрам и внешней зоны. Точно та к ж е можно показать , что эквивалентный радиус скважины , определяемый по данным о нестационарном притоке при горизонтальных или вертикальных трещинах, тако в же, как и определяемый дл я стационарного течения при тех ж е условиях. И з этого примера видно, что исследование скважин методом восстановления давлени я позволяет определить степень загрязнения призабойной зоны и оценить эффективность работ по интенсификации притока. Описанный метод обработк и кривых восстановления давлени я можно использовать и дл я определения других параметро в неоднородности пласта : расстояния до непроницаемого или проводящего экрана , радиуса трещин и т. д. Мето д интегральны х соотношений . Хорошо разра ботанна я теория уравнений математической физики позволяет получить в принципе точные решения широкого класса зада ч нестационарной фильтрации. Однак о эти решения не всегда удовлетворяют требованиям простоты и обозримости. Учитывая недостаточную точность исходных данных в задача х фильтрации, связанных с движением жидкостей и газо в в природных пластах , часто можно удовлетвориться простыми приближенными, легко обозримыми решениями. Возможность успешного применения приближенных методов в теории нестационарной фильтрации связана со следующими особенностями рассматриваемы х задач . Во-первых, большинство зада ч нестационарной фильтрации однородной жидкости сводится к решению уравнений параболического типа, дл я которых харак терно сглаживани е начальны х возмущений искомых величин со временем и по мере продвижения внутрь области от источника возмущений. Во-вторых, в ряд е задач , представляющи х практический интерес, искомое решение имеет в некоторых точках области (скважины, галереи) известные особенности. При этом в основной части области состояние системы близко к невозмущенному. Наконец , в большинстве случаев существенны лиш ь интегральны е характеристики решения. В ряде приближенных методов используется понятие области влияния или области возмущения, вне которой течение можно считать невозмущенным, т. е. сохраняются начальные значения р или и. Возможность введения такой области следует из анализ а точных решений, приведенных в настоящем параграфе . На пример, из формулы (11.93) следует, что отклонение от начального убывает с ростом Х ка к ехр(- X 2 JAxt) . Одним из наиболее 47 общих приближенных методов в теории фильтрации является метод интегральных соотношений [3] . Сущность его заключается в том, что исходное дифференциальное уравнение (11.86 ) или (11.98) в области возмущения скважины заменяется системой интегральных соотношений вида ^dpldt fc(x, t)dx = -*.Lf)d2pldx2fi(x, t)dx, i = 0, 1, ... , п, (11.118) L1U) L,(t) где fi(x, t), i = 0, 1, ..., л образуют полную систему как функции от х на отрезке [Li (/), L2 (/)]. Если р (х, t), представить в виде разложения в ряд по функциям ft(x, t), то из (11.118) получим систему уравнений для коэффициентов этого ряда. Рассмотрим задач у о возмущении первоначального стационарного движения в пласте. Возьмем простейшую систему функций - последовательные степени пространственной переменной I j XJ j • • •) J • • • Пусть в момент / = O происходит отбор жидкости из пласта с расходом - kb/pHG. Давление в этом случае распределено по линейному закону р(х, 0) = P+ Gx. (11.119) Будем искать приближенное решение задачи в виде многочлена р {х, t) = Po(t) + Pi(t)x/l+, ..., + Pn(t)x"/l" (0 <* I). (11.120) В таком виде задача имеет л + 2 неизвестных: Pi (t) и l(t). Дл я их определения можно составить систему уравнений, состоящую из некоторого числа интегральных соотношений, граничного условия при х = 0и условия при х=1. При х = 1 должны выполняться условия непрерывности давления р (I, t) = P -\-Gl и некоторой степени гладкости функции р(х, t): dp (I, t)/dx = d2p (I, t)!dx2 = ... = dkp (I, t)/dxk = 0. Выбор наилучшего приближенного метода расчета р (х, t) связан с тем, насколько удачно подобрано число используемых интегральных соотношений и условий гладкости. В рассматриваемом случае р(0, t) = pu р(х, 0) = ро = 0. (11.121) Используя интегрирование по частям и теорему о дифференци ровании определенного интеграла, приведем систему (11.118) к виду U o P d x = * ^ , (11.122) ^t\pxdx = xp(0, t), (11.123) о A Ht) "') j J pxkdx =*%k(k-\) \ pxk~2dx, k>2. (II. 124) 0 0 48 {-*/2Ул7 РИС. 6. К задаче о нестационарном притоке к галерее: О - нулево е приближение ; 1 - перво е приближе ние ; 2 - точно е решени е РИС. 7. Зависимость безразмерного давления от безразмерной координаты дл я осесимметричного течения. Решения : 1 - приближенное ; 2 - точно е Пр и я = 1 из (11.122) следует I = 2 J /Tt 1 и (0, t) = -k {др!дх)!a = k(pi - р0)!2jj. V*t. (11.125) Напомним, что при точном решении по формуле (11.93) получим "о (0 , t) = k (pi-poVv-VTit. (11.126 ) Заметим, что решение дл я п = 1 совпадает с тем, которое получается по известному методу последовательной смены стационар ных состояний [44]. Дл я второго приближени я (п = 2) используем снова соотношение (11.122) и условие что дает {др!дх)хы-о = 0 , (II . 127 ) р(х, t) = pi (1 - лЛ)2, / 2 = 1 2 ( 1 1 . 1 2 8 ) Дл я скорости фильтрации при х = 0 получим и (0, t) = k(pi - p0)/V~b~t, (11.129) что близко к точному решению (11.126). Если во втором прибли- жении вместо (11.127) использовать интегральное соотношение (11.122), то вид решения не изменится. Есл и для третьего приближения (п = 3) использовать соотношения (11.122), (11.123) и (11.127), то третье приближение совпадает со вторым. Если ж е использовать первые три интегральных соотношения без условия (11.127), то получим (опуская промежуточные выкладки) р(х, t) = pt(l- 0,583С -f-0,107C 2 f 0,0061 С3), С = xlV*t (II.130) Н а рис. 6 приведено сопоставление полученных приближен ных решений с точными. Пр и построении приближени й более высокого порядк а возникаю т трудности, обусловленные тем, что отсутствуют сколько-нибуд ь обоснованны е правил а выбор а 4" наилучшего из нескольких дополнительных условий. Кроме того, при этом приходится строить приближения функций с помощью многочленов высокого порядка. Впрочем, основная цель построения приближенных решений - получение простых аналитических зависимостей - достигается уж е приближениями второго порядка. Рассмотрим без подробных выкладок осесимметричную задач у о пуске скважин с заданным дебитом q в бесконечном пласте. Решение уравнения (11.98) ищется в виде р (г, t) = q In (г//) + P0 + P1 (r/l) + , ... , +Pn (r/l)", (11.131) где l(t) - переменный радиус зоны возмущения. Система интегральных соотношений имеет вид ^ ' f r p ( r , t)dr= -*q, (11.132) о TtVrk+iP(r> t)dr = *&2'fp(r, t)r*-4r (k>l). (11.133) о 0 В нулевом приближении (P0 = Pi = .. . = 0) имеем единственную неизвестную функцию I (t), которая определяется из уравне ния (11.132): __ _ l = 2V*t, ро (г, 0 = 9 In (г/2 V r S) . (11.134) С использованием уравнений (11.132), (11.133) и условий непре рывности р и др/дг (т. е. р = 0 и др/дг = 0) при r=l(t) получим первое приближение в виде i = y i b j , P = q\n{r/V^t)-q + qr/V^t. (ii.i35 ) При сопоставлении приближенных решений 1 с точным 2 (рис. 7) имеем, что даж е результаты расчета по формуле (11.134) и тем более по формуле (11.135) довольно хорошо согласуются с точным решением. Метод интегральных соотношений позволяет с удовлетвори тельной точностью получить простые приближенные решения за да ч о притоке к скважина м в ограниченном пласте. Соответству ющие точные решения получаются в виде плохо сходящихся рядов Фурье - Бесселя и трудно обозримы. Ограничимся здесь одним примером. Рассмотрим круговой пласт радиуса R, на контуре которого поддерживается постоянное давление, равное начальному (прини маемому за нуль). В начальный момент производится пуск сква жины пренебрежимо малого радиуса, расположенной в центре пласта. Тогда вплоть до момента t = t\ = R2/\2%t в первом приближении справедливо представление (11.135). При t > t i необходимо учитывать условие на контуре p(R, 0 = 0. (11.136) Используя снова первое приближение разложения (11.131) и полагая l(i) = R, получим с учетом (11.136) р (г, t) = qln(r/R) + PQ(t)(l-r/R). (11.137) 5 0 Тогда из первого интегрального соотношения (11.132) получим J t ] p ( r , t)rdr = j R * ^ = xp0m (11.138 ) о Уравнени е (11.138) следует решить при условии непрерывности давления при tszt\, Po !<=/, = - ЯРешение имеет вид Po (0 = - q exp [- 6* (t - ti)/R2]. (11.139) Таким образом, будем иметь приближенное выражение для рас пределения давления р (г, t) = q\n(r/R) - q(l-rlR)exp[-6x(t - tl)/R2]. (11.140) Как видно, распределение давления экспоненциально стремится к стационарному. § 5. Нестационарное движени е однородных жидкостей. Нелинейные эффекты Рассмотрим нестационарные изотермические движения газ а в пористой среде и эквивалентные им безнапорные движения. При их исследовании выявляются нелинейные эффекты, характерны е для многих зада ч подземной гидродинамики. Н а примере этих течений такж е хорошо иллюстрируются методы решения нелинейных задач . Основны е уравнени я фильтраци и газа . При исследовании фильтрации газ а основное значение имеет тот факт, что сжимаемость газ а обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды. Поэтому можно пренебречь изменением пористости т в уравнении неразрывности (/лр), t + di v р и = 0 , (11.141 ) которое приводится к виду /n ^ + div P " = 0. (11.142) Чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно использовать связь плотности газа с его давлением р и температурой T O = P (р, Т), по этой причине в задач е появляется новая переменная Т. Дл я замыкани я системы уравнений необходимо добавить еще одно уравнение - уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа настолько малы, что при расчете поля давления газ а ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, медленность фильтрационных движений и, во-вторых, наличие теплово го балласт а - скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем считать, что Р = Р (Р , Т0 ) = р (р) , (11.143) где То - постоянная температура. 51 Уравнения (11.142) и (II.143) и уравнение закона фильтрации и = - (&/[*) grad р (11.144) образуют замкнутую систему. Исключая скорость фильтрации, имеем m~ t = k div^-gradpj . (11.145) Ограничимся простейшим случаем, когда газ считается термодинамически идеальным с вязкостью, не зависящей от давления. P = рро/ро; V= const. (11.146) При этом уравнение (11.145) преобразуется к виду ("147 ) Эти уравнения - уравнения изотермической фильтрации газа - были впервые получены JI. С. Лейбензоном [26]. Он ж е указа л н а их аналогию с уравнениями Буссинеска нестационарного по логого безнапорного движения; эта аналогия позволяет рассмат ривать исследование двух упомянутых классов движений как единую задачу. Независимо несколько позже аналогичное урав нение было получено Маскетом. Инвариантны е задач и нестационарно й фильт рации . Нелинейность зада ч нестационарной фильтрации газа и безнапорной фильтрации не позволяет использовать разработанный аппарат линейных уравнений математической физики, для которых справедлив принцип суперпозиции решений. Поэтому в теории фильтрации (ка к и во многих других раздела х физики вообще и механики сплошных сред, в частности) уж е давно используются своеобразные частные решения, которые выражают ся через функции одной переменной. Вначале считалось, что их значение определяется тем, что они описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, решать которые проще, чем уравнения в частных производных. Дл я различных приближенных методов такие решения часто использовались ка к эталоны, позволяющие оценить точность метода. Однако главна я их ценность была осознана позднее. Оказа лось, что таким путем асимптотически описываются фильтрационные течения дл я весьма широких классов задач, когда детали граничных и начальных услоьий перестают быть существенными. Именно эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя незначительное время после начала отбора из скважины , пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.) . Зна я такие решения, фактически можно судить, по крайней мере, качественно, об очень широком классе фильтрационных движений (подробнее см. [4]). Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: дл я одних "автомодельных"-пространственные распределения давлений, напоров, плотностей и т. п. оказы 52 ваются во все моменты времени геометрически подобными, дл я других - кривые изменения этих параметров перемещаются, не меняя формы, с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, в которых после выполнения определенных преобразований зависимых и независимых переменных урав с-0 "^7777777777777777777777777? РИС. 8. Крива я распределения напора в горизонтальном пласте нения, граничные и начальные условия задач и остаются неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи рассматриваются ниже. Автомодельны е пологи е безнапорны е движени я пр и нулево м начально м уровн е жидкости . Ниж е рассмотрим точные решения некоторых нелинейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет принципиальный интерес, поскольку в подобных задача х наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаютс я некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных зада ч и неизбежно утрачиваемые при линеаризации. Дл я определенности при исследовании зада ч с нулевым начальным условием рассмотрим безнапорные пологие фильтрационные движения грунтовых вод в первоначально сухом грунте. Согласно обнаруженной Л . С. Лейбензоном аналогии, все получаемые результаты можно непосредственно использовать дл я задач изотермической фильтрации газа . Излагаемы е ниже решения были получены в работах [1, 2, 6]. Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу - водоупор, а со стороны канал а - плоскую вертикальную границу (рис. 8) , перпендикулярную к оси х и проходящую через точку х-0. Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t = t0: h(x, t0) = 0, h (0, /) = о(/ - to)*, (11.148) где о > 0; а - некоторая константа, выбираемая в пределах - 1/2 < < а < 0. В частности, константа а может равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение а и остается постоянным. В случае фильтрации газа сформулиро ванная задача соответствует его закачке при нулевом начальном давлении в однородный пласт постоянной мощности при изменении давления в начальном сечении пласта по степенному закону. 53 Линиями равных напоров будут линии х = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h(x, t) - решение уравнения *dt дх2 при условии (11.148). = 2т = 2^ т р 4(II-149)' Напор в некоторой точке пласта ft зависит от координаты х, времени от начала процесса t-t0, коэффициентов а и а н константы а. Та к как уравнение (11.149) однородно по времени, напор будет зависеть только от разности t-to, а не от значений t и t0 в отдельности. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как дл я рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы) получим размерности этих аргументов в следующем виде: [а] = [ft]1 L 2 T1 , [t - t0] = Т, [х] = L, [о] = [А] Т~\ (11.150) где [ft], LnT - соответственно размерности напора, длины и времени; а - безразмерная константа. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации ^ x Y r а Г ( 7 ^ + г ; (П.151) Используя анализ размерностей, выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих па раметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять a (t - t0)a), н а безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (11.151). Имеем, таким образом, ft = a (t - 1 о)а/ (£, I)', X = а/(1 + а), (11.152) где / - безразмерная функция. Параметр \ введен вместо параметра а для удобства последующего изложения. Очевидно, что а лежит в интервале - 1 < \ < 1. Имеем далее Jt = ab(t - t0)"-1/ (5, I) a (t tofx (a + 1) х T+l df . дЧ2 _ a2 (t /0)2" (а + 1) d2/2 X 2 ас (t- /") "+1 дх2 а а ( / * ) " " " di2 ' Подставляя эти соотношения в уравнение (11.149) и условия (11.148) и упрощая, получаем для функции f обыкновенно е дифференциальное уравнение ^ + = с условиями /(0 , X) = 1, /(OO1 >0 = 0. (11.154) 1 Действительно, в данном случае можн о было бы вместо напора h ввести пропорциональное ему давлени е у подошвы пласта hpg, что не отразилось бы на остальных выкладках . 54 Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями х и t. Использу я закон Дарси , имеем для расхода, приходящегося на единицу ширины пласта, выражение Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции deleft . При непрерывной f(l) и f ф 0 требование непрерывности функции df2/dt = 2 fdf/d k совпадает с требованием непрерывности производной f Однако при / = O из непрерывности df2/dt непрерывность f' (£) не вытекает. Напротив, ка к будет видно далее, искомая функци я f(l , I) имеет в точке, где / обращается в нуль, разрыв первой производной. Второе условие (11.154) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (11.149) на х и проинтегрируем по х от нул я до бесконечности. В результате получим OO OO 2 2 •2h? д*2 \ xFtdx = it I x h О d* = a J = 2\х=оо ( дн2\ + а [Л2 (0, t) - h2(co, i) = ahs (0, /). (Очевидно, что dh2/dx стремится к нулю при х -у со быстрее, чем х-1, в противном случае f не стремилось бы к нулю при E-у оо). Интегриру я в пределах от t=t0 до t при граничном условии (11.148), представив решение в форме (11.152), имеем 00 Л.2 ц i \2a-f-l оо 1 xh (х, О dx = (t J 5/ X) d.% = О 9 ' п<Л a t ^ a + 1 = а$Н*(0, t)dt= 'о (напомним, что а считается удовлетворяющим неравенству -1/2 < < а < оо), откуда получаем искомое условие в форме OO I t _ I wО . ^ = I T-T-k = IT-Гx (ПЛ56 ) B интересующей на с област и и изменения а и X права я част ь (11.156) конечна и положительна . Итак , рассматриваема я задач а свелас ь к отыскани ю решения обыкновенного дифференциальног о уравнени я второго порядк а (11.153) при условия х (11.154) и (11.156), непрерывного и имеющего непрерывну ю производну ю от квадрата . Уравнени е (11.153) инвариантн о относительно группы преобразовани й Ф(е . = X), (II . 157 ) т.е . если /(£ , X) удовлетворяет уравнению (11.153), то и Ф(Е, ц) удовлетворяет этому уравнению при произвольном положительном 55 f РИС . 9 . К исследованию уравнения (II . 159) РИС . 10. Интегр?льные кривые уравнения (11.153) ft, что дает возможность понизить его порядок. Полагая по общему правилу /(£, X) = ( ъ X); Ii = In5, =d?/rf4 (11.158) и принимая <р за независимую переменную, получим для функции ф уравнение первого порядка: dbldf = - [6?2 + + ф2 + 21 (1 - I) у + (11.159) Исследование этого уравнения показывает [1, 6], что его инте гральные кривые разбиваются иа I и II классы (рис. 9). Ни одна из таких интегральных кривых не пересекает ось ф в конечной точке. Кривые I класса вблизи начала координат стремятся к совпадению с прямой линией <|> = mw =-2 ? (af I) 1 ; на кривых II класса при ? 0 ф -"со. Лишь разделяющая эти два класса интегральная кривая сепаратриса пересекает ось ф в конечной точке. Соответственно этому интегральные кривые уравнения (11.153), удовлетворяющие условию /(0)=1 , располагаются, как покгзано на рис. 10. Кривые I класса при \ -> оо изменяются по згкону / = D^2x (D ф Q- константа, различная для различных кривых), причем ни одна из них ни в одной точке не пересекает оси абсцисс и, очевидно, не является искомой. Исключением является случай, когда а = 0 (рассматриваемый ниже), для которого все кривые I класса имеют горизонтальные асимптоты. На рис. 10 приведены зависимости / от ; при а > 0. Остальные интегральные кривые (кривые II класса) пересекают ось абсцисс в конечных точках, причем под прямым углом. Разделяющая эти два класса интегральная кривая приближается к оси абсцисс в точке S = S0 под острым углом V, 0 < V < тс/2. Поскольку напор жидкости по физическим соображениям не может быть отрицательным ясно, что искомая функция / (£, Я) должна каким-то образом комбинироваться из интегральных кривых уравнения (11.153) не принадлежащи х к I классу, в той их части, где эти кривые располагаются над осью абсцисс, и из самой оси абсцисс. Однако, если составить функцию f (| , X) таким 1 Математически эт о являетс я следствием того, что дл я уравнения (11.147) справедлив принцип максимума, в соответствии с которым решение не може т оказаться отрицательным при положительных начальном н граничном условиях. 66 образом, чтобы она представлялась отрезком некоторой кривой II класса вплоть до точки пересечения этой кривой с осью абсцисс и дале е самой осью абсцисс, то полученная функция в точке I = £с будет иметь разры в производной от квадрата . Разрыв производной на графике от S соответствует нарушению непрерывности потока жидкости, что противоречит постановке задачи. Поэтому ни одна из функций /(S, X), составленной из интегральной кривой II класса (при C=^O), продолжаемой на оси абсцисс, не может быть решением. Искомым решением, непрерывным и обладающим непрерывной производной от квадрата, будет функция, представленная кривой, состоящей из отрезка интегральной кривой, разделяющей кривые I и II классов, вплоть до пересечения ее с осью абсцисс в неко торой точке S = So, и совпадающей с осью абсцисс при S > Ассам а функция непрерывна по построению; проверим непрерыв ность производной от квадрата в точке пересечения S = S0 (в остальных точках эта непрерывность не вызывает сомнений, поскольку интегральная кривая состоит из двух участков гладких кривых). При подходе к точке S = So справа, где интегральная кривая совпадает с осью абсцисс, предел (d/2/dS)e=e0+o равен нулю. При подходе к точке S = So слева предел (d/ 2 /d;) ;=S o _ 0 = ( 2 f d f / d ^ _ , с учетом сказанного вышэ также равен нулю. Таким образом, для построенной функции производная df2)d\ непрерывна. Покажем теперь, что построенная функция удовлетворяет условию (11.156). Умножим обе части уравнения (11.153) на S и проинтегрируем в пределах от S = 0 до S = оо (или, что то же, до £ = So, так как при S > So Х) = 0). Получим е. to U 2 2 b j t f t f , Vd i + I J s 2 ^ + J ^ d ; = о. (J I 160 ) 0 0 0 Но вследствие непрерывности f и df2/d\ имеем = Pf ) 2 JS /(S1 = 2 J у (6, l)dt ; 0 0 0 о -HfW, О 0 0 откуда и из (11.160) получаем to OO Jtf (S, \)dl= J у (5, Ь)Л = (1 (11.161) о о что и требовалось доказать. Таким образом, функция /(S, отличается от нуля лишь при S < So, а при S > So она тождественно равна нулю. Разумеется, 57 величина Io зависит от параметра X. В точке I = I0 функция /(! ; X) имеет разрыв первой производной. Из требования непрерывности функций / н df2jdk и теоремы единственности решения дифференциального уравнения следует, что при составлении функции /(£, X) склеивание различных интегральных кривых уравнения (11.153) можно производить только в точках, где / = 0, откуда непосредственно вытекает единственность построенной нами функции, т. е. единственность автомодельного решения. Дл я эффективного вычисления функции /(£, X) удобно поступить следующим образом. Получим (например, численно) решение Ф(£, X) уравнения второго порядка (11.153), обращающееся при £= 1 в нул ь и имеющее в этой точке конечную первую производную, т. е. соответствующее разделяющей интегральной кривой, проходящей через точку 5=1 . Можно показать, что эта производная равна -1/4 . Функция vF (5, X), равная Ф(5, X) при £< 1 и тождественно равная нулю при \ > 1, непрерывна и имеет непрерывную производную от квадрата, удовлетворяет уравнению (11.153) и условию при \ -у оо, но условию прн \ = О не удовлетворяет. Дл я получения искомого решения вспомним, что функция /(5, X) = P--2VF (р.5, X) (11.162) также удовлетворяет уравнению (11.153) при произвольном р. > О и обладает нужными свойствами непрерывности. Выберем теперь jo. = р-1 таким образом, чтобы функция f(\ , X) удовлетворяла также и условию f (О, X) = 1, тогда полученная функция f (5, X) будет удовлетворять всем условиям, налагаемым на искомое решение. Имеем f(0, X) = 1 = ^ 2 Ф(0 , X) = H2N(X), откуда получаем [X0=A^z2(X). (11.163) Значение начиная с которого X) = 0, очевидно, равно ^ 0 = ^ 1 = ЛМ/2 (Х). (11.164) Результаты вычислений f (?, X) для ряда значений X приведены на рис. 11; на рис. 12 представлены функции So(X) и M (X) - = -df2(О, X)/dS. Видим, что кривые /(£, X), соответствующие X > 1/2, обращены вогнутостью вверх; кривая , соответствующая X = 1/2, является ломаной, составленной из двух прямых; при X <1/ 2 кривые f(l, X) обращены вогнутостью вниз, причем вплоть до функции, соответствующей X = -1/2, производная /'(О, X) отрицательна. Значению X = - 1/2 соответствует функция f(t, - 1/2) = 1 - 52/8; 01/8 , (11.165) имеющая f' (0, - 1/2) = 0. При X < - значения f' (О, X) положительны. 58 S(t,X) J К"-^ S X1/2 M ( X ) I 0 ( X ) 0,5 1/2"^ Nr 0 \ I \ \ 0 I 7 РИС. 11. Функция f (£, I) о i x РИС. 12. Функции S0 (к), M (X) Функция So(X) монотонно возрастает с убыванием X, стремяс ь к бесконечности при X, стремящемся к -1 (решение, соответствующее X = -1 , будет рассмотрено ниже). Переходя от функции / (£, X) к напору жидкости h, получаем, что он отличаетс я от нуля в кажды й момент времени лиш ь в некоторой конечной части рассматриваемо й области пористой среды, причем разме р этой област и со временем увеличивается . Конечность скорости распространени я передней границ ы возмущенной област и характерн а дл я рассматриваемог о круг а задач , отвечающи х нулевому начальном у условию; она существенно отличае т постановку задач и о пологих безнапорны х движения х от задач , связанны х с классическим и линейным и уравнениям и пара болического типа, дл я которых, ка к известно, бесконечна скорость распространени я переднего фронт а возмущенно й области . Эта особенность был а впервые обнаружен а в работа х Я. Б. Зельдович а и А. С. Компанейц а (1950) и Г. И. Баренблат т а (1952) путем исследовани я различны х автомодельны х решений. Г. И. Баренблатто м и М. И. Вишиком (1956) был о дан о доказательств о конечности скорости распространени я передней границ ы возмущенной област и дл я зада ч пологих безнапорны х движени й (а такж е широкого класс а более общих задач) , соответствующих начальны м распределения м напор а жидкости , тож дественно равны м нулю вне некоторой конечной области . Координат а движущегос я переднего фронт а жидкост и дл я рассматриваемы х автомодельны х движени й выражаетс я формулой *о (/) = 6о [ао (/ - /о)"+ 1 /(" + 1)]1/2 (11.166) (поскольку передний фронт соответствует S = S0); напомним, что параметры а и X связаны между собой соотношением X = <*/(<* + 1). Скорость распространения переднего фронта vв представляетс я соотношением va = 2-Чо [ао (t - Z0)"-1 (а + I)]1'2. 59 В частности, когда напор на границе пласта постоянен, т. е. а = 0, то X0 (0 = 2,286 Vao (t - t0); V0 = 1,143 ]/ао/( / - 1 0 ) . (11.167) Далее, для суммарного объемного количества жидкости в пласте M получается следующее выражение: ЗА + 1 ? m "l/2_3/ 2 if _ f \ 2 6" M=Imhix1 t)dx = ^ A L J ^ Vrt , (И. 168) о У"+ 1 о а дл я потока жидкости при х = 0, т. е. для скорости притока жидкости в пласт, в силу (II. 155) - выражение \дх)х=0 2а к ' \<Я h=o Интегрируя обе части уравнения (11.153) по \ от £ = 0 до £ = оо или, что все равно, до I = U, поскольку /(£, X) = О при i > ?0i получаем 2 df2 о E= O (11.170) В результате формула (11.168) приводится к виду: о '+ 3 g M = -J-^maV 2 O з/2(1 + ")1/2 (/_/" ) 2 . (11.171) Таким образом, предыдущие соотношения показывают, что решения, соответствующие 0 < а < о о , т.е . 0 < Х < 1 , отвечают возрастанию напора жидкости на границе и общего количества жидкости в пласте; для решения, соответствующего a = X = O1 напор жидкости на границе постоянен в ходе всего процесса, количество ее в пласте возрастает. При - 1/3 < а < 0, т. е. - 1/2 < X < О, напор на границе в начальный момент бесконечен и убывает с течением времени до нуля; количество жидкости, первоначально равное, как и во всех предыдущих случаях, нулю, со временем увеличивается. При а = - 1/3, т. е. X = - 1/2, напор на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля; общее количество жидкости в пласте постоянно в течение всего процесса - жидкость через границу л = 0 в пласт не поступает. Во всех указанных случаях на границе пласта х = 0 во всякий момент времени достигается максимальное для этого момента значение напора. При - 1/2 < а < - 1 /3, т. е. - 1 < I < < - 1/2, напор жидкости на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля . Общее количество жидкости в начальный момент бесконечно велико и с течением времени убывает, стремясь к нулю, так что на границе пласта жидкость уже не втекает в него, как в предыдущем случае, а вытекает. Тогда на границе пласта напор жидкости уже не будет 60 максимальным ; максимальное его значение достигается в некоторой внутренней точке пласта, различной дл я разных моментов времени. Рассмотрим частный случай, соответствующий линейному возрастанию напора жидкости на границе пласта, т.е . когда " = 1. Пр и этом Л(0, f)=a(t-ta), l = xV2ja3(t - t0)-\ (11.172) а уравнение (11.153) принимает вид: = ("-173 ) Ка к нетрудно проверить, функция /(S 1 1) = 1-1/2, 0 < S < S o = 2, /(S, 1) = 0, S0 < S (11.174) удовлетворяет уравнению (11.173) и всем условиям задачи, откуд а получается h (х, t) = o(t - t0)-x (2^)-1^ 0<лг<(2аа)'/ 2 ( / -/ 0 ) ; (11.175) h (х , / ) = 0 , (2аа)'/ 2 ( / - to) < * < со . Координат а переднего фронта жидкости X0 (t) и постоянная скорость распространени я переднего фронта выражаютс я следующим образом: Xo (t) = (2аа)'/2 (/ -10 ), Vo = (2аа)'/2 . (11.176) Таки м образом , графи к распределени я напор а жидкост и а пласт е представляетс я отсекаемы м осями координа т отрезком прямо й линии, перемещающейс я параллельн о само й себе с постоянной скоростью. П р е д е л ь н ы е а в т о м о д е л ь н ы е движения . Рассмот рим дл я того ж е полубесконечного пласт а несколько иную зада чу. Будем исследоват ь движени е на полубесконечном интервал е времени (-оо , t), поэтому начально е распределени е напор а по пласт у несущественно. Предположим, что на больших расстояния х от границ ы пласта, т. е. при х-> со, напор жидкости равен нулю, следовательно: h(oo, 0 = 0. (11.177) Пусть , далее, напор жидкости на границе пласта возрастает со временем по экспоненциальному закону й( 0 , t) = h 0 e ( 1 1 . 1 7 8 ) а внутри пласт а h (х, t) по-прежнему удовлетворяе т уравнени ю dt = Ш' <ПЛ79> Составим полный список аргументов, от которых зависит эт а решение. Помимо координаты л: и времени t, в список войдут 61 такж е величины A0, х и а. Тогда размерности всех определяющих параметров решения представляются в виде: [х] = L, [t] = Т, [a] = [IIl-1L2T-1, [ho] = [h], [х] = 7 1 1 , (11.180) где по-прежнему символы L, T и [h] означают, соответственно, размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (11.180) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые безразмерные комбинации, которые удобно взять в виде x(^/ah0y/2, it. Отсюда и из анализа размерностей получается, что решение рассматриваемой задачи представляется в виде А = Ао'?[*(аАо/х)-1/2, х/], (11.181) где <р - безразмерная функция. Положим t = t' 4 где т - произвольная константа. При этом условие (11.177) и уравнение (11.179), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t' , так же, как и через прежнюю переменную, а условие (11.178) принимает вид: А (0 , t') = h'0ext] h'o = h0ex\ (11.182 ) Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины A0, и постановка задачи оказывается инвариантной по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения А в переменных х, t, а, х, h'0 получается та же задача, что и для определения А в переменных (11.180). Стало быть, на основе соотношений (11.181) и (11.182) имеем А = А0ср (XV, х/) = Ацср (лу, х/') = = е"Ао<р (xv, х/ - хх); v = (х/аА0)1/2 • Отсюда следует, что при любом т справедливо тождество cp(xv, х/) ^ е ' Х л е " 2 " , х/ - хх). Положим х = / и получим ср (хч, х/) = е"'ср (хч е1 / 2 " ' , 0) = (ATV е-1 Z2 ")- (11.183) Итак, функция А, зависящая от пяти аргументов (11.180), представляется через функцию одного аргумента: А = А0 е' So = 1,810; координата и скорость перемещения переднего фронта составят XQ ( 0 = 1 ,810 v е*'/ 2 , V0 (i) = 0,905x v ext'2; v = (a/i 0 /*) l/ 2 . (11.187 ) Полученное решение в некотором смысле предельное для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем пункте. В самом деле, положим в формуле (11.152) о = Zi0 (ат)-" , где Zi0- некоторая константа, имеющая размерность напора; т - константа, имеющая размерность времени. При этом, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (11.152) принимает вид Будем неограниченно увеличивать а при стремлении начального момента to к минус бесконечности по закону to = - ах . (11.189 ) Раскрывая неопределенность, получаем, что при а оо It ~ ^O \а t а~а (t - taV+1 t (-^ H PT ' Г + Т М ^ e x P l ' ( 1 М 9 0 > Уравнение (11.153) в пределе прн со переходит в (11.185), а условия (11.154) совпадают с (11.186); /(£, Л)-"•/(?, 1 ) = /(?) . Обозначая т через 1 /х, получаем, что при а->-оо выражени е (II. 188) стремится к (II . 184). Поэтому решение (И . 184) был о названо предельны м автомодельны м решение м [2]. Предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательств а их автомодельности уж е недостаточно соображений анализа размер ности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задач и относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах , а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы - группы преобразований переноса по времени. Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной за дачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах . Предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматривае 63 мой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного тип а с п р о и з в о л ь н ы м показателем степени, который может принимать сколь угодно большие значения, и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты [4, 38]. З а д а ч а . На границ е х = 0 полубесконечног о пласт а с непроницаемым горизонтальны м водоупоро м задаетс я поток (расход) жидкост и ка к степенна я функци я времени ~2C(dh2/dx)x=0=T(t-t0j А > - 1, -с > 0. (11.191) Начальны й напор во всем пласт е раве н нулю . Решение задач и представляетс я в виде: Zt = бах2 (/-Z 0 )'?+ 1 C2M2 (X) (Р + 2) 1/ 3 / 2CM (к) (Р + 2) 9. Л (t t ) ¢+2 1/3 (11.192) где M (X) = - d/ 2 ( 0 , X)/d; (см. рис. 13); координат а переднего фронта жидкости х0(t) имеет вид: *0(0 = е 0 м Qfl 2 TU-^+ 2 1/ 3 гсм (X ) ( р + 2) 2 (11.193) Осесимметричны е автомодельны е движения . При осесимметричных пологих безнапорных движениях напор жидко- сти удовлетворяет уравнению dh \ d i dh2\ С k?g /тт -dt = a T д ? ( г дг)' а = Ш = W <ПЛ94> где г - расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии. Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу горизонтальным водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачк а жидкости. Предположим что начальный -ее напор в пла;т е равен нулю, так что начальное условие имеет вид : h(r, t0) = 0. (11.195) Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражени е для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом R , имеет вид: *(/ ) = 2. S ( C h f r U = - . (11.196) По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ни ж е остановимся на причинах, по которым это допущение можно делат ь дл я большинства реальных движений) , поэтому можно принять R - 0. Та к как расход жидкости, закачиваемой в сква жину , меняется по степенному закону, граничное условие на сква жин е принимает вид: - TzC{rdh2ldr)r=o = ^{t - to) \ (11.197) где т > 0 и |3 > - 1. В частности, случай P = O соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, 6 4 решение задачи удовлетворяет уравнению (11.194) и условиям (11.195) и (11.197). По-прежнему, используя анализ размерности, можно показать, что это решение автомодельное и представляется в виде: h = (11.198) Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выра жение (11.198) в уравнение (11.194) и условия (11.195) и (11.197), находим, что функция /i (S, X) - решение граничной задачи 1 • ^ 1 M O S ^ T Ts j + T s I T X/ l - 5 E=O = - 1, /(со , Х) = 0. (11.199) Исследование этой граничной задачи проводится айалогично предыдущему, также единственным образом строится функция fi (S, X), отличающаяся от нуля лишь при 0 < S < (X), где Si (X)- некоторая функция X, а при S > Si (X) тождественно равная нулю. Функция fi (S, X), как нетрудно видеть из первого условия (11.199), при S 0 имеет особенность вида /,(S, X) !/ z r InS , S^O . (11.200) Второе условие (11.199) может быть приведено к другой форме: умножая уравнение (11.199) на S и интегрируя от S = 0 до S = со, а также используя дополнительно легко устанавливаемые из (11.199) условия (Sd/i/dS);=co = 0, [S/i (S, X)h=o = 0, получаем следующее интегральное соотношение: OO T £S/,(S , Vdl= j SMS , b)d $ = m . (11.201) о о Эффективное вычисление функции /i (S, X) удобно проводить следующим образом. Строится решение задачи Коши Ф1 (S, X) для уравнения (11.199) обращающееся в нуль при S=I H имеющее в этой точке конечную первую производную. (Исследование показывает, что эта производная равна -1/4.) Далее численно определяется величина Iim = - N(X). Величина N (X) оказывается не равной единице, поэтому функция, равная Ф1 (S, X) при S < 1 и тождественно равная нулю при S > 1, удовлетворяет всем условиям грэличной задачи (11.199), кроме условия в нуле. Воспользуемся теперь тем, что, как нетрудно показать, уравнение (11.199) и второе граничное условие инвариантны относительно группы преобразований Ф2(1, X) = ^-гф , (Sn, X), (11.202) поэтому при произвольном положительном [1 функция (r)2(S, X) 55 Лг L V N 0.5 S Sv РИС. 13. Функции /,(£, X) и - ZdWf2Jd!; РИС. 14. Функции S1(X) удовлетворяет уравнению (11.199 ) и второму граничному условию (11.199). Но (МФ^Обо = {ЫФ1 (S, X)/d;)?=o = - (X). Выбрав [а = p., = [N (X)]'/4, получим, что функция / , (S, X) = [JV ( A )]-'/*(r) , (S [ЛГ (X)] 1 ' 4 ; X) ( 0 < S < Si (X)), / i (S, >0 = о , Si (X) = [t f (X)]-'/ " < S < с о (11.203 ) удовлетворяет всем условиям граничной задачи (11.199). На рис. 13 и 14 показаны графики / i (S, X) при Х = 0, 0,5; 1,0, а также график функции Si(X), через которую координата п среднего фронта выражается по формуле г 0 = Si (X) 4а т (<--"•Л<,*)'+2 "с (Р + 2)2 1/4 Cx (/ t0)Р+2 Tt/л2 (Р + 2)*ЛГ ().) 1/4 (11.204) В приложениях особо выделяются движения с постоянным расходом закачки [3 = 0. При этом получается 1/ 2 TtC, /l А-.т2'\ 1/4 "СГ о (11.205) 66 r0(t) = 1,537 (a^/Cyi^V t - to = 1,087 (Cx/m^V * Vt - 1 0 . З а д а ч а о з а к а ч к е ил и отбор е газ а чере з сква жину . Рассмотри м горизонтальны й плас т мощности Н , вскрытый совершенной скважино й и содержащи й в начальны й момент га з под давление м P=const . Допустим , что через скважину , ради ус которой г0 , начинаетс я закачк а или отбор газ а с постоянным массовым дебитом q, причем q>0 отвечает закачке , а <7<0 - отбору газа . Тогда имеем dp2 kp i д ( др2\ . m п *ЬНр0 I др2\ /тт ОЛСч IT =INL T D A R I F Р ^ °) = - ( R W L R q • (IL206 ) Будем считать радиус скважин ы пренебрежимо малым (ниже приведем оценки, оправдывающие это допущение). Тогда условие (11.206) перепишется в виде: П1.И7 , Итак , искомое распределение давления в пласте, удовлетворяю щее уравнению (11.147) и условиям (11.206), зависит от определяющих параметров г, /, a2, q*, Р. Можно убедиться в автомодельности рассматриваемого движения, так что распределение давления представляется в виде: р = PFi (S, X), S = л (U2Pt)-''2, X = q'/P2, (11.208) где функци я Fi (S, X) - решение граничной задачи d2F\ , dF2 6 dFi I dF2\ + Ы Ъ _ г х ' Р 1 { а о Л ) = 1 ( I L 2 0 9 ) Качественна я картин а расположени я интегральны х кривых уравнени я (II . 209) исследуется аналогичн о тому, ка к описано в п. 3. Исследование показывает, что интегральные кривые, удовлетворяющие второму условию (11.209), распадаются на два класса, разделенные между собой интегральной кривой Fi(SiX) = I, соответствующей, как легко видеть, X = O (рис. 15). Кривы е первого класса, располагающиеся над кривой Fi (S, 0) = 1, с уменьшением S до нуля подходят к оси ординат, асимптотически уходя в бесконечность, так что при S 0 функци я F i (S, X) медленно возрастает по закон у Fi(l, X) = (-XlnS) 1 ' 2 +0(1) . (11.210) Каждой из интегральных кривых первого класса соответствует свое значение параметра X, монотонно возрастающее от нул я до бесконечности по мере удалени я от криво й Fi (S, 0) = 1. При S->• оо ординаты кривых обоих классов быстро стремятс я к единице по закону Fi (S, X) = 1 + О [S' ехр (- 8-1S2)]. (11.211) 67 Кривые второго класса, располагающиеся под интегральной кривой Fi (;, 0) = 1, не доходят до оси ординат, а заканчиваются, подходя под прямым углом к оси абсцисс - особой линии уравнения (11.209), поскольку на ней обращаетс я в нуль коэффициент при старшей производной в этом уравнении. В таком случае вместо первого условия, которому удовлетворяют все интегральные кривые первого класса, соответствующие Х>0 , эти кривые удовлетворяют условию (MFfAtt)6=T(X) = = ( П . 2 1 2 ) где S(X) - координата точки пересечения рассматриваемой кривой с осью абсцисс. Каждой кривой соответствует определенное значение X, монотонно убывающее от нуля до - оо по мере удаления кривых от интегральной кривой Fi (S, 0) = 1. Интегральные кривые второго класса описывают автомодельные движения, в процессе которых происходит не нагнетание газа в пласт, как в случае движений, отвечающих интегральным кривым первого класса (Х>0) , а отбор газа из пласта с расходом, определяемым соответствующей этой кривой величиной X: q = ITMHpqP2IW0 (11.213 ) (в этой формуле масссовый расход q считается отрицательным). Следует отметить, что, создава я достаточный перепад давле ния, можно, в принципе, закачиват ь газ в пласт с любым боль шим расходом через скважину сколь угодно малого радиуса. Од нако отбирать его из пласта можно лишь при расходах, н е пре вышающи х тог о расхода , которы й соответствуе т установлени ю у стенк и скважин ы нулевог о давле ния . Дальнейше е увеличение расхода отбираемого газа возможно только при условии расширения скважины. Таким образом, в от личие от случая закачки газ а нельзя ставить задач у об отборе его через скважину пренебрежимо малого радиуса. Кривые Fi(£ , X) при Х< 0 (кривые второго класса ) соответствуют авто модельным движениям, когда отбор газа с постоянным расходом, определяемым формулой (II. 213), происходит через расширяю щуюся скважину с радиусом, увеличивающимся по закону R = F(X) (U2 PTYI2 (11.214) (причем на стенке этой расширяющейся скважины давление постоянно и равно нулю). Заметим , что расширение отбирающей скважины ни в коей мере не препятствует применению рассматриваемых решений к практическим задачам , поскольку дл я значений параметра X, представляющих практический интерес, эта фиктивная скважина , ка к показывают проведенные расчеты (см. ниже) , всегда будет находиться внутри настоящей скважины. Дл я дальнейшего изложения полезно выяснить, какой порядок величины X встречается в практических задачах. Возьмем в качестве примера случай, для которого величина X будет весьма 6Ь Л , Г а .1 г РИС. 15. Интегральные кривые уравнения (II . 209). РИС. 16. Функции F 1 (£, X) и ZdF2lIdi высокой, этим самым определится порядок верхнего предела значений X. Пусть через скважину отбирается 1 ООО ООО M3 газа в сутки (имеется в виду объем при нормальных условиях); такой расход достаточно высокий. Пусть, далее, вязкость газа fi равна 0,01 мПа-с , проницаемость пористой среды k = Ю -1 2 м2, мощность пласта H ~ 10 м, начальное пластовое давление P = 3 МПа (относительно небольшое давление для столь высокого отбора газа); считаем, что плотность ро соответствуетро = 0,1 МПа. Таким образом, q/p0 - есть заданный объемный расход газа, отбираемого через скважину. Переходя к одинаковым единицам измерения и подставляя приведенные параметры в выражение для X, получим X ^ 0,04. Стало быть, в реальных случаях параметр X равен 0,01-0,02 и менее. На рис. 16 изображены кривые Fi (S, X), отвечающие нескольким значениям параметра X, как положительным, так и отрицательным, а также соответствующие кривые - \dF\fd\. Из этих кривых видно, что в довольно значительной области вблизи точки S = O (соответственно вблизи S = T(X) для кривых, отвечающих Х < < 0) функция - \dF\jd\ близка к своему значению при S = O (соответственно при S = S_(X), т. е. к X. При этом основное изменение функции Fi (S, X), т. е. основное изменение давления газа, сосредоточивается именно в этой области. При тех же значениях S, для которых функция - SdFi/dS уже существенно отклоняется от X. функция Fi (S, X) оказывается достаточно близкой к единицеВ практически наиболее интересной области значений параметра X, равных по абсолютной величине одной сотой и менее, это свойство постоянства функции - IdFildl в области, где Fi (S, X) суще 69 ственно отличается от единицы, выражено еще более резко. Обозначим через Е. значение аргумента Л, обладающее тем свойством, что при E < Е, значения -IdF2 Idl отличаются от X меньше, чем на 0,01 %. Стало быть, при E < Е, с этой же степенью точности выполняется соотношение MFbdl = I ; Fi(l, X)-F?(E. , X ) = X In ¢/5.. (11.215) Проведенные численные расчеты показывают, что при | X | <0,0 1 величина F i (Е., X) отличается от единицы менее чем на 0,03, так что при E > Е, справедливо неравенство 0,97 < Fi (Е, Х)<1 . Отсюда следует, что с практически вполне достаточной точностью в этой области уравнение (11.209) для функции /7I (Е, X) можно заменить линейным относительно F\ (Е, X) уравнением В последнем слагаемом добавлен множитель Fi (Е, X), согласно предыдущему, мало отличающийся от единицы. Линейное уравнение (11.216) легко интегрируется, в результате получим IdF2Ud-= Сехр(-^2/8), (11.217) где С-константа интегрирования. Определим эту константу из условия, что при E = E, величина IdF2Idl = -X . Имеем C= - Xexp (- fj8). Так как для рассматриваемой практически интересной области |Х|<0,01 , значение Е* весьма мало (<0,01 ) и ехр (- L8;f ) отличается от единицы не более чем в шестом десятичном знаке, то можно полагать C = - X. Интегрируя уравнение (11.217), получаем при E > Е. F\{1, X) = D-xjE-'exp(-E 2 /8 )dE. (11.218) Находя константу интегрирования из условия / 7 I(Go)=I , получим F2I = 1 - l/2XEi(- 1/8;2). (11.219) Находя из (11.219) /^(E,, X) и подставляя в (11.215), получим f\= 1 - l/2XEi( - l/8;f ) - X In (Е/Е,)- (11.220) При малых E имеем асимптотическое выражение Ei (- 1/8Е2) = In (TE2/8), так что In (Е/Е.) = 1/2 [Ei ( Е 2 /8 ) Ei ( Е?/8)]. Подставляя это выражение в (11.220), находим: F\ = 1 - 1/2Х Ei (- Е2/8) (Е < E,). (11.221) Сравнивая выражения (11.219) и (11.221), видим, что они сов падают. Отсюда следует весьма существенный вывод о том, что в 70 практически наиболее интересном интервале значений параметра X IXI < 0,01 функция Fi (Z, X) представляется в виде (11.219) при всех значениях I. Переходя от функции Fi ($, X) к давлению р по формуле (11.208), получаем, что распределение давления с весьма высокой степенью точности представляется для всех значений г и / в виде: pi = P2 I X E i Sa2Pt 0 , 0 K H = <0,01 . (11.222) TlknpaP Именно таким получилось бы решение задачи, если бы мы заменили в уравнении (II. 206) множитель р в правой части на значение р = Р этого множителя при г = оо, т. е. если бы при тех ж е граничных и начальных условиях перешли к линейному относительно р2 уравнению (11.223) Такой способ линеаризации уравнения (II. 206) был впервые предложен JI. С. Лейбензоном [26]. Приведенные расчеты показывают практически точное совпадение решения расматриваемой нелинейной осесимметричной задачи с решением линеаризованной задачи. Успех линеаризации объясняется в данном случае тем, что в случае осесимметричных движений область разбивается на две части: 1) област ь квазистационарног о дви жения , соответствующая малым значениям в которой сосредоточивается основная часть всего перепада давления, но поток газ а почти постоянен, и 2) област ь малы х депресси й (перепадов давления) , в которой поток газ а сравнительно медленно уменьшается, а перепады давлений малы. В области квазистационарного движения не только разность величин rdp2/dt и 2 а 2 р д (гдр2/дг)/дг равна нулю, как это следует из уравнения (11.206), но и каждая из них сама по себе исчезающе мала (сравнительно со значениями этих величин в тех точках, где они максимальны). Поэтому в этой области поток газа, равный - iKkpoH (рро)~]гдр2/дг, почти постоянен, а значение множител я при втором члене уравнения (11.206) несущественно, и с большой степенью точности можно заменить в этом множителе р (г, t) на Р. В области же малых депрессий, в определенной части которой оба члена уравнения (11.206) существенно отличаются от нуля, возможность такой замены обусловливается малостью разности р (г, t) - Р. Обнаруженна я допустимость линеаризации уравнений при описании нелинейных осесимметричных движений вне зависимости от возникающего перепада давления позволяет сделать важны е выводы применительно к более общим классам движения. Эти выводы связаны с малостью безразмерного параметра К - безразмерного расхода - и могут быть в общем виде установлены применением широко известной техники сращиваемых асимптотических разложений. 71 Заметим теперь, что в реальных задача х задаетс я поток газ а через скважину, хотя и малого, но конечного фиксированного радиуса, та к что граничное условие на скважине имеет вид (II. 206). Покажем , что построенное выше автомодельное решение удовлетворяет с большой степенью точности этому условию уж е спустя несколько секунд после начал а процесса. В самом деле, на основании (II. 208) имеем д А = P 2 U ^ . (11.224) г дг Jr=R \ dt Ji=Kiy^Pi Однако из сказанного выше следует, что при малых X значение функции idfi/d близко к -X при всех S, не превосходящих нескольких десятых. При радиусе скважины R % 10 см, проницаемости k= Ю -1 2 м2, пористости mss 0,2 , вязкости [1==0,01 мПас величина а2Р = = kPjltnp имеет порядок IO3 -IO4 см2/с, и тогда уже при t = 3 с S = R(a2Pt)-1'2 < 0,2. Поэтому можно с весьма высокой степенью точности полагать при ( > 3 с (IdFbdz)i=RWP о1 / 2 = - X. Используя это обстоятельство, в соотношении (II. 224) получаем, что спустя несколько секунд после начал а движения автомодельное решение с большой степенью точности удовлетворяет граничному условию (II. 207). Как было показано, встречающиеся на практике значения параметра X по модулю значительно меньше, чем рассмотренное только что, примерно равное - 0,08. Поэтому для меньших X это условие будет удовлетворяться еще быстрее. Выше было отмечено, что автомодельные решения при X < 0 соответствуют отбору газа из пласта через расширяющуюся со временем скважину. Покажем теперь, что это неестественное, на первый взгляд, свойство решений не препятствует применению их к реальным задачам, поскольку для представляющего практический интерес времени расширяющаяся (фиктивная) скважина всегда остается внутри настоящей скважины. Дл я этого определим порярядок величины S(X)- координаты точек подхода кривой Fi (S, X) при Х< 0 к оси абсцисс. Как было отмечено, при S называемую функцией Лейбензона, привести уравнение движени я газа к виду dP/dt = X(P) v 2 A (11.226) Показать , что прн обычных значения х дебитов динамику изменения давления в газовой скважин е можно описать, заменя я переменный коэффициент в правой чьсти уравнени я х (P) постоянным х 0 = х(/>0 ), отвечающим начальному значению давлени я (линеаризаци я по Л . С. Лейбензону). З а д а ч а 2. В большинстве случаев зависимости параметров пористой среды и газа (жидкости) от давления с дсстаючной точностью могут быть приближены экспоненциальными функциями (k = k0ea,,p m = m0t"mP) и т. д . Показать, что уравнение дл я давлени я в этом случа е эквивалентно уравнению политропической фильтрации газа dp/dt = a 2 v V + ' - (11.227) З а д а ч а 3 . Использу я методы, изложенные в §§ 4 и 5 данной главы, найтн способы определения параметров пласта по кривым изменения давлени я в газовых скважинах . З а д а ч а 4. Рассмотрим уравнени е (11.227) дл я радиально-симметричного движения . Допустим, что начальное давление в пласте пренебрежимо мало, а в начальный момент в скважин у быстро закачивается конечное количество жидкости M ("мгновенный источник"), так что искомое решение удовлетворяет условиям OO р (г, 0) = О, f р (г, t) rdr = M 0 . (11.228) О Показать , что движени е автомодельн о и соответствующее ему распределение давлени я дается соотношением Г / M0 \'/2 р-р Ъ <0; 5 = = ; / , = (I 2 -Z 2 )1 12 ; 0 < Z < / = 8; / , =0 , 5 > I. (11.229) Дат ь обобщение этой постановки и результата на прямолинейно-параллель ное и сфернческн-симметричное движения . НЕКЛАССИЧЕСКИ Е МОДЕЛ И ДВИЖЕНИ Я ОДНОРОДНЫ Х ЖИДКОСТЕ Й § 1. Теория фильтрации неньютоновских жидкостей. Зако н фильтрации Неньютоновски е жидкости . Аномальными или неньютоновскими называются жидкости, не следующие классической модели вязкой жидкости [35]. Наиболее простые из них нелинейно-вязкие жидкости, дл я которых девиатор тензора напряжений однозначно определяется девиатором тензора скоростей деформаций, они соосны, но зависимость между ними нелинейна. При простом сдвиге это проявляется в нелинейности криво й течения , связывающей касательное напряжение т и скорость сдвига f (рис. 17): x = F( T ) ; Т = Г (т). (III.1) Нас будут прежде всего интересовать структурирующиеся не линейно-вязкие жидкости, способные образовывать твердообразные структуры, разрушающиеся при увеличении интенсивности деформации. Такие жидкости являются псевдопластическими : кривая 7 = Г(т ) для них выпукла к оси -с: Г"(т)>0 . Крайнее проявление псевдопластичности описывается известной моделью вязко-пластической жидкос РИС. 17. Кривые течения ньютоновской (а), псевдопластической (б), дилатантнон (в) и бингамовской (г) жидкостей ти, определяемой соотношениями Бингама - Шведова: * у = - то), т > т0, T = O , 0 < T < T 0 . (III.2) Здесь то - предельное напряжение сдвига; г| - структурная вязкость. Дл я описания экспериментальных данных, особенно в небольшом диапазоне изменения переменных, часто используется и степенная зависимость вида т = Ky n . ( И 1.3 ) 74 Дл я ряда аномальных систем модель нелинейно-вязкой жидкости оказывается непригодной. Если напряжения зависят не только от текущего значения тензора скоростей деформации, но и от предыстории деформирования данного жидкого элемента, вполне ею определяясь, то така я жидкость называется простой . Частный случай простых жидкостей - упруго-вязкие жидкости, например, простейшая линейная жидкость Максвелла , для которой связь между т и у при простом сдвиге определяется дифференциальным уравнением Jij = T +бт . (III.4) где постоянная величина 9 называется времене м релакса ции . Очевидно, при медленном изменении напряжений тело Максвелл а подобно ньютоновской жидкости с вязкостью ц, а при быстром - упругому телу с модулем сдвига G = ц/9 . При движении упругих жидкостей могут накапливаться большие упругие деформации. В результате реологические аномалии упруго-вязких жидкостей проявляются по-разному при сдвиговом течении (например, в зазоре вискозиметра), когда эффективная вязкость уменьшается с ростом скорости сдвига, и при одноосном растяжении. В последнем случае при достаточно больших скоростях деформации "продольная вязкость" жидкости, определяемая по отношению действующего в сечении напряжения к скорости удлинения, резко возрастает. Заметим, что все сказанное выше относилось к несжимаемым или капельно-сжимаемым жидкостям, и, скажем , упругость жидкости - это сдвиговая упругость, которая может не иметь ничего общего с объемной упругостью (сжимаемостью) жидкости. Особенно важно, что характерны е значения модулей сдвига G могут быть на много порядков меньше модуля объемного сжати я Kv. Так, для используемых в процессах повышения нефтеотдачи полимерных растворов значения G и Kv имеют порядки, соответственно, 1 -100 П а и IO9 П а = IO3 МПа . Это позволяет рассматривать реологию объемных и сдвиговых деформаций независимо. Наконец, укажем , что в некоторых случаях нам приходится сталкиваться с системами и явлениями, не укладывающимися и в понятие "простой жидкости". Мы имеем здесь в виду в первую очередь системы, имеющие характе р коллоидных растворов, внутренняя структура которых может перестраиваться под действием обменных и физико-химических процессов. К таким системам относятся водо-глинистые растворы, ря д растворов полимеров и, по-видимому, некоторые нефти. К сожалению, в большинстве случаев не существует пока адекватного описания таких систем. Зако н фильтраци и неньютоновско й жидкости . Нелинейно-вязки е системы . Чтобы исследовать проявления неньютоновских эффектов при движении в пористой среде, необходимо прежде всего установить вид закона фильтрации для 75 неньютоновской жидкости. Из-з а большого разнообразия аномальных жидкостей единого ответа на этот вопрос не существует. Наиболее просто обстоит дело для нелинейно-вязких жидкостей. Дл я них связь между характеристиками течения в пористой среде и стандартной реологией жидкости удается с удовлетворительной точностью получить, моделируя пористую среду системой капилляров, подсчитывая среднюю скорость сдвига и напряжение на стенке капилляр а и считая, что эти две величины связаны между собой кривой течения для данного материала . Обозначим через Tte напряжение на стенке капилляра радиуса R, через ут = U/R = 4Q/nR3- характерную скорость сдвига. Тогда для течения в капилляре имеем Tm = 9 (3/4) = ^w I ^ r OO dx, (III.5) о где Г (т) - зависимость скорости сдвига от касательного напряжения, определяемая кривой течения. Дл я описания движения аномальных жидкостей часто пользуются понятием эффективной вязкости тз5ф •Яэф = Wt * = Та,/9 (fa,), (III.6) зависящей от скорости сдвига или касательного напряжения. Для пористой среды среднюю скорость сдвига Tm и среднее касательное напряжение т* можно определять по-разному. Из соображений размерности очевидно, что T* = t(m)u/d, т* = C(m)d\dp/dx\, (П1.7) где и-модуль скорости фильтрации; dp/dx - градиент давления; d -внутренний масштаб пористой среды; х и £ - безразмерные функции пористости, обычно определяемые на основе приближенного моделирования порового пространства пучком капилляров. Так, для слоя сферических частиц диаметром D полагают обычно d = D, у> = 12(1 - т)/т2, ; = m/[15(l -т)]. Эти соотношения переносятся с помощью формулы Козени - Кармана (1.8) на произвольную пористую среду проницаемости k d = (k/my2, х = 0,9 /т , С = 0,9. Таким способом для ряда систем получаются вполне приемлемые результаты. Так, на рис. 18 приведены данные для раствора поливинилового спирта [39]. Други е примеры можно найти в обзоре [39], цитированных там статьях и последующих публикациях. К числу нелинейно-вязких систем, исследованных подробно в последние годы, относятся нефти ряда месторождений Советского Союза. Интерес к их исследованию вызван тем, что было обнаружено, что они при определенных условиях ведут себя ка к псевдопластические системы. Кривые течения этих нефтей в оп 76 РИС. '8 . Зависимость скорости сдвига от эффективного напряжени я прн течении в капиллярном вискозиметре и в пористой среде ппя РИС. 19. Зависимость скорости фильтрации от градиента давления (закон фильтрации): а - движени е воды в глине : f> - течени е вязкоплэст и ческой нефти чере з образе ц пористо й сред ы ределенном диапазон е скоростей сдвига могут быть описаны уравнениям и Бингам а - Шведов а (III . 2) . Достаточн о очевидно, что жидкости, обладающи е отличным от нуля предельным напряжение м сдвига to, могут начат ь двигать ся в пористой среде лиш ь тогда, когда градиен т давлени я превзойдет некоторое пороговое значение G, называемо е начальны м или предельным градиентом давления . И з соображени й размерност и G^Cz 0 k1 ' 2 , (II 1.8) где С-постоянная . В соответствии с гипотезой о подобии течения в пористой среде и в капилляр е особенности движени я вязко-пластически х жидкосте й в пористой среде можн о описать соотношениями закон а фильтраци и с предельным градиентом давлени я w = U 4 p G 4 p / \ Vp|) , I Vp I > G, (II 1.9) г" w = 0, I Vpl < G. Соотношения (III . 8) и (III . 9) дл я описания фильтраци и вязко-пластических жидкосте й были предложен ы А. X. Мирзаджан зад е [28] , причем постоянна я С имеет порядок ~10~ 2 . Формула , 77 аналогичная (III . 9) , использовалась ка к эмпирическое уравнение закона фильтрации воды в глинах (рис. 19). Сходная "псевдопластическая" картина наблюдается при фильтрации ряда нефтей воды в глинизированных породах, а такж е при движении обычных ньютоновских жидкостей и газа в глинизированных породах, содержащих остаточную воду. В я з к о у п р у г и е э ф ф е к т ы . Часто при попытке предсказать расходную характеристику образца пористой среды по кривой течения жидкости на основе капиллярной модели получаются результаты, не согласующиеся с опытом даж е качественно. Весьма характерны в этом отношении многочисленные данные по растворам полиоксиэтилена. Н а рис. 20 показаны зависимости коэффи циента сопротивления f = 64(Ap/tyklDpw2 от числа Рейнольдса Re = (r)Dp/n для раствора полиоксиэтилена WSR-301 с молекулярной массой 3 • IO6 ряда концентраций, определяемые из опыта по движению в пористой среде, состоящей из шариков разного диаметра D. Заметим, что при течении в капилляр е эффективная вязкость исследованных растворов остается практически постоянной, та к что теоретическая зависимость имеет вид f - Re 1 . При движении в пористой среде "вязкость", начиная с некоторой скорости сдвига, сильно растет и во много ра з превосходит начальную вязкость раствора. Подобные же данные получены и РИС. 20 . Зависимость / (Re) дл я раствора полиоксиэтилена WSR-301. Концентрация полимера: 7 1 0 IO6 ; 2 - 20 . 10-6; - 40 • 10- 6 ; 4 - 80 • 10" 6 ; 5 - 160 • IO 6 . Диамет р шари ко в в мм : а - 0,11; в - 0,22; с = 0,4 5 10 10 10,2' \ \ \ \ 1,,,1.1 I mil. J 10 J lJ I I I I I I I I I ° 1 t 50 Re 78 для сцементированной пористой среды, а такж е в опытах по движению полимерных растворов через трубкй переменного радиуса, моделирующие последовательность сужений и расширений поровых каналов. Естественно, все эти результаты нельзя объяснить с помощью капиллярной модели пористой среды. Гораздо проще их понять, если учесть, что элемент жидкости в поровом пространстве проходит через последовательность сужений и расширений, и поэтому вынужден изменять свою форму с частотой ~w/mD. Если эта частота становится достаточно большой (wQ/tnD~ 1), то существенными становятся упругие эффекты, сопротивление деформации возрастает, и это объясняет наблюдаемое прираще^ ние сопротивления в области достаточно больших скоростей фильтрации. Таким образом, интуитивно легко связать наблюдаемый рост эффективной вязкости с упругостью жидкости. Имеются попытки количественнного расчета этого эффекта. Они основаны на рассмотрении движения в сужениях как аналога растяжения и указывают на известное возрастание вязкости при больших скоростях растяжения как на причину повышенного сопротивления движению упругих жидкостей в пористой среде. Полимерные растворы, наряду с эффектами вязкоупругости, проявляют при движении в пористой среде и аномалии, обусловленные их микрогетерогенностью и способностью сорбироваться в скелете пористой среды, изменяя ее гидравлическое сопротивление. Это приводит к ряду медленных нестационарных явлений, интенсивно исследуемых в настоящее время [29, 30, 20]. В данной книге мы ограничимся изучением фильтрационных аномалий, связанных с нелинейностью закона фильтрации. § 2. Стационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей И з сказанного в § 1 данной главы следует, что основная особенность движения неньютоновских жидкостей в пористой среде -• нелинейность закона фильтрации. Дл я структурирующихся систем это типичная псевдопластическая нелинейность, при которой подвижность увеличивается с увеличением скорости фильтрации; качественная модель и крайнее выражение ее соответствуют закону фильтрации с предельным градиентом (III . 9) . Поэтому подземная гидродинамика неньютоновских жидкостей это прежде всего теория движений, не следующих закону Дарси . В этом параграф е кратко изложены подходы и результаты теории стационарной фильтрации неньютоновских жидкостей; в следующем сделано то ж е применительно к неустановившимся движениям. О с н о в н ы е у р а в н е н и я и общи е утверждения . Уравнение нелинейного закона фильтрации несжимаемой жидкости в изотропной пористой среде можно представить в виде [43] Vt f = - Ф (w) w/w\ Ф (0 ) = X > 0 , Ф ' (w) > 0 , 0 < w < оо. (III . 10) 79 Если X > 0, то имеется предельный градиент давления и подразумевается, что при I I < X движение отсутствует (w = 0); если X = O, движение происходит при любом перепаде напора. Уравнение (ШЛО) вместе с уравнением неразрывности V W = O (III.11) образует систему уравнений фильтрации неньютоновских жидкостей. Граничные условия для этой системы формулируются так же, ка к в обычных задача х стационарной фильтрации, следующей закону Дарс и (см. § 1, гл. II) . Поскольку система (III. 10) - (III. 11) нелинейна и функция Ф может иметь различный вид для различных систем жидкость - пористая среда,, основная цель исследования заключается в отыскании достаточно общих подходов и фактов. Дл я фильтрационных течений неньютоновских жидкостей сохраняют силу основные качественные свойства напорных фильтрационных течений, сформулированные в § 2 гл. II. Рассмотрим течение в неоднородной среде и будем полагать, что неоднородность среды полностью характеризуется зависимостью от координат параметра р = р(х, у, г), называемого далее параметром сопротивления. Этот параметр - дополнительный аргумент в уравнении закона фильтрации. Обозначим h = V// , * = I h |, h = Ф (w, р), w = Ч? (А, р), Ф, р > 0 , f , f < 0 (III.12) и введем функции w h D(w) = Jf Ф (tw, p)dw, R (h) = ^ (h, р) dh, (III.13) 'о о называемые далее потенциалом диссипации и дополнительным потенциалом диссипации. Н а рис. 21 им соответствуют заштрихованные площади под кривой РИС. 21. К определению потенциала диссипации и дополнительного потенциала диссипации 80 Ф (w) и слева от нее. Если ввести полные потенциалы для области V соотношениями D'[w] = lD{w, р)dV, R'lh] = $R(h, р)dV, (111.14) то для них будут справедливы все утверждения, приведенные в § 2,гл. II. Используя это обстоятельство, удается показать единственность поля скоростей и (при отсутствии предельного градиента давления) поля напоров в задачах с обычными краевыми условиями и доказат ь принцип максимума в несколько измененной форме: напо р принимае т сво и м а к с и м а л ь н о е и ми н и м а л ь н о е значени я н а границ е о б л а с т и течения . Здесь под областью течения понимается та часть V+ рассматриваемой област и V, в которой до>0, включая границу (т. е. замыка ние V+ области Vr+). Если предельный градиент давления отсутствует, то V+=V, и это соответствует обычной формулировке принципа максимума, при предельном градиенте, не равном нулю, различие формулировок существенно (см. пример, с. 148). Наибольший интерес, как и в линейном случае, представляют оценки для расхода фильтрационного потока через обобщенную трубку тока. Пусть Hо - заданный перепад напора на трубке тока, Q - отвечающий ей расход. Функции Q = S(H0), H0 = Z(Q) (III.15) назовем расходными характеристиками трубки тока. На решениях задачи функционалы D* и R' превращаются в функции одного аргумента, в качестве которого мы будем брать, соответственно, Q и H0. Имеем следующие основные формулы: Назовем И и W п ш т ш D'(Q)+ Rt (H0) = QH0. (III.17) x 1 t Q = H0 R' (H0) H0 = QD (Q) (III.18) сглаженным расходом и сглаженным напором соответственно. И з сказанного следует, что для сглаженного напора при фик сированном расходе и для сглаженного расхода при фиксирован ном напоре справедливы все утверждения § 2, гл. II. Дл я степен ного закона фильтрации удается получить оценки непосредственно для расхода и перепада давления. Действительно, в этом случае Ф(ш, р) = pffi>s, W(h, р) = (Л/р)'/*, S+ 1 Dlw] = т ^ s + 1 , R [h] = ^ l t (Л/р) " . (III.19) Тогда, если w и H - решение, то с учетом (III.16) имеем sD (w) = R (h); D'[w] = s-lR"[H] = (I + s^QHo, (III.20) откуда Q = (s+I) S-1Q; H0 ^(s+I) H0. (111.21) Таким образом, поскольку при степенном законе фильтрации расход и напор пропорциональны соответственно сглаженным расходу и напору, для них верны все утверждения § 2, гл. II. Дл я произвольного закона фильтрации справедливы следу ющие утверждения [17]. 81 A. П р и н ц и п в д а в л и в а н и я . При вдавливании внутрь области фильтрации входной поверхности расход и скорости фильтрации во всех точках выходной поверхности не уменьшаются (при фиксированном перепаде напора) . Дл я двумерного случая доказано двойственное утверждение: при вдавливании внутрь области непроницаемых границ трубки тока расход не увеличивается. B. Если для данного закона фильтрации Ф(до, р), р (лгт у, z) справедливы неравенства р,щ5. = Ф, < ф (до, р) или Ф (до, р) < P2Ws' (II 1.22) (рi > О, S1> 0 - постоянные), то для соответствующих расходов Qi > Q > Q2 C. Если k Ф (до, р) > Y1 hpiufit, Xf = Const, (II 1.23) "=1 то при фиксированном Q H0 > ZliHoc (И 1.24) Здесь Hoi - перепад напора при течении с расходом Q в области той же формы при степенном законе фильтрации вида Ф (W,p) = p,iiyS'. D . Если W (h, р) < I 7 , Р Г 1 Л'/ \ т. > 0. (II 1.25) то при фиксированном H0 Q>%vQi. (111.26) i=i Здесь Qi - расход фильтрационного потока через данную область при том же перепаде напора H0 для закона фильтрации вида Ф = pia)Sl. Ниж е приведены примеры использования этих общих утверждений. П л о с к а я з а д а ч а . Рассмотрим плоскую задачу теории фильтрации при нелинейном законе сопротивления в однородной и изотропной среде. Введем обычным образом функцию тока •ф (х, у), после чего система уравнений, описывающих движение, может быть представлена в виде Hix = - Ф (до) ц/до, ф,* = -• V, Н, у = - и Н, а за независимые переменные w и 0. Это линеаризующее преобразование годографа было с успехом использовано в газовой динамике С. А. Чаплыгиным. Возможность его применения в теории фильтрации следует из установленной С. А. Христиановичем [43] аналогии между уравнениями фильтрации при нелинейном законе сопротивления и газовой динамики. После несложных выкладок получим дн Ф2 дН Ф дф дв шФ'(т) dm' dw w2 дв' j sin 6 . cos 0 , , dy = -dH + -di?. (111.28) (111.29) Соотношения (III.29) позволяют, найдя решение системы (III.28), определить х и у как функции w и 6. Тем самым установлена связ ь между координатами х и у и напором И и функцией тока ф, выраженная через параметры w и 6. Основная система уравнений (III.28) - однородная линейная система эллиптического типа, которую при желании можно свести к одному уравнению для напора или функции тока: д I Ф2 а|Л Ф дЦ _ <МюФ>) to) + ю2 <Э02 ' (111.3U) dw\ Ф dw) ф2(щ,) 3 0 2 V / Эффективность решения конкретной задачи зависит от того, кака я именно краева я задач а для уравнений (III.30) - (III.31) должна быть решена на плоскости годографа (w, 0) . Характер этой краевой задачи определяется, в основном, геометрией области движения в физической плоскости (х, у). В тех случаях, когда область движения - многоугольник, стороны которого либо непроницаемые границы, либо линии постоянного напора, на всех них направление скорости фильтрации постоянно на каждом участке и задан о заране е (соответственно, вдоль границы или перпендикулярно к ней), та к что граница области в плоскости годографа состоит из отрезков линий 6 = const. Если в области движения имеются источники или стоки, то в плоскости (w, 0) им отвечает бесконечно удаленна я точка ш->-оо, О<0<2я . При отличном от нуля предельном градиенте давления в области фильтрации могут образоваться зоны, в которых скорость фильтрации равна нулю ("застойные зоны") и область течения оказывается областью с неизвестной границей (рис. 22). Поскольку на границе застойной зоны скорость фильтрации w обращается в нуль, этой неизвестной границе в плоскости годографа соответствует отрезок линии W = 0 83 (под углом 0 при этом естественно понимать направление не обращающегося в нуль вектора градиента напора V Н ; оно совпадает с направлением касательной к границе застойной зоны). Таким образом, в задача х фильтрации с предельным градиентом преобразование годографа не только позволяет преобразовать нелинейную задачу в линейную, но и область с неизвестной границей застойной зоны переводит в известную область плоскости годографа. Во всех случаях показанная на рис. 22 область в плоскости годографа отвечает элементу симметрии области течения; соответствие точек показано буквами, а граничные условия задачи в плоскости годографа указаны на рисунках. Заметим , что при анализе течений с предельным градиентом удобно считать, в отличие от общепринятого, w и 0 декартовыми (а не полярными) координатами в плоскости годографа. Вызвано это тем, что асимптотика решения вблизи линии w = О нетривиальным образом свя РИС. 22. Примеры отображения области течения на плоскость годографа. Расстановка скважин: а - рядна я цепочк а скважин : б - площадна я (элемен т пятиточечно й системы площадног о заводнения ) з-ана со структурой течения и ее можн о задават ь по-разному. После сведения задач и при помощи преобразовани я годограф а к линейной эллиптической задач е в известной област и решение ее оказываетс я делом математическо й техники, хотя порой и достаточно сложной . Отсыла я интересующихся этой, сейчас уж е достаточно разработанной , стороной дела к книге [9] , рассмотри м некоторые простые решения . Ка к обычно в гидродинамике , дл я качественного анализ а принципиально е значени е имеет исследовани е асимптотики решения вблизи особых точек потока. Таким и точкам и являются , прежде всего, окрестности источников и стоков (скважин) , где скорость потока обращаетс я в бесконечность, окрестность бесконечно удаленно й точки, в которой скорость стремитс я к нулю, окрестность критической точки потока (при фильтраци и с предельным градиентом давлени я - застойной зоны) , где скорость потока обращаетс я в нуль, и окрестность угловы х точек границы потока. Рассмотрим течение вблизи скважины. Окружи м ее линией Г2 , на которой модуль скорости имеет некоторое постоянное значение W= Q и которая целиком расположена внутри области движения. На плоскости годографа области внутри этой линии отвечает полуполоса П 2 : 2 < w < со, 0 < 0 < 2r , (III.32 ) в которой искомое решение задачи для функции тока ф (w, 0) удовлетворяет уравнению (III.30 ) с условиями ф ( 0 ) = 0 , ф ( 2 " ) = q , ф ( 2 , 0 ) = / ( 0 ) , / ( 0 ) = 0 , / ( 2 * ) = q , ( 1 1 1 . 3 3 ) ф (оо, 0) < M < OO. Здесь q - интенсивность источника; /(0) - неопределенная функция, характеризующая распределение потока вдоль линии Г 2 . Последнее условие означает, что функция тока вблизи особой точки ограничена и мы имеем дело именно с источником (а не с комбинацией источника и диполя) . Если считать функцию / (0) известной, решение в области Пд легко получить методом Фурье , поскольку независимо от вида закона фильтрации уравнение (111.31) не содержит в явном виде угловой переменной 0. Нетрудно убедиться обычными методами, что в данном случае имеем ф [w, 0 ) = f f i + f P n / z H s i n ^ , И) > 2 , (III.34 ) л = 1 где Pnj2 (w) - убывающее на бесконечности решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения Фь2' шФ' (w) P' ./ 2 A p = о , / = ± я . (111.35 ) Рассмотрим широкий класс законов фильтрации со степенной асимптотикой в области больших скоростей Ф(цу)~ФооШ* (w^oo),s>0. (III.36) 85 Тогда при W--+ оо уравнение (1П.35) асимптотически переходит в [ s ' k " 5 / " ] ' - 4~iH2Ws-2P = О, (III.37 ) линейно независимые решения которого - степенные функции P 1 2 = ^ r ' . 2, п, 2 = 21 [1 S ± Vsn2 + (1 S)2]. (III.38 ) Очевидно, показатели r\, 2 вещественны и имеют различные знаки. Таким образом, одно из линейно независимых решений уравнения (III.37) можно выбрать убывающим на бесконечности, причем другое оказывается неограниченно возрастающим. И з сказанного легко заключить (и это можно доказат ь строго), что условием ограниченности на бесконечности выделяется единственное с точностью до множителя решение уравнения (III.35) , которое при w-*-оо убывает как wr., /-2 = 2 4 ( 1 s) - [(I-S) 2 + sn2]'/2}. (II 1.39) В частности, при линейном возрастании Ф (w) в области боль ших скоростей s = l , r2 = - 1/2п, a Pnft{w) убывает с ростом w как Wi I 2 n . Таки м образом , пр и w->co <|" (w, 0) = + О (шЛ). (II 1.40) Тогда из (И 1.28) и (II 1.29) имеем H = H(W)= Лf ^rrdw, х + iy = гё\ 2% J Wi , r - Ф-ЧН , г = ф = А . ( ,".4 " Очевидно, формулы (II 1.40) и (III.41) описывают плоско-радиальное фильтрационное течение вблизи источника. Течение обладает осевой симметрией; распределения скоростей фильтрации и функции тока не зависят от вида закона фильтрации, линии тока - радиусы, исходящие из источника; скорость убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, линии постоянного напора - концентрические окружности с центром в источнике. Тем самым показано, что при любом законе фильтрации Ф(ш) и любой геометрии пласта течение в промежуточно-асимптотической области р<Сг<С/?, г Д е P - радиус скважины; R - внешний масштаб пластовой системы (например, расстояние между скважинами или расстояние от скважины до границы пласта) - простейшее плоско-радиальное течение. Используя (111.41), легко находим формулу, связывающую расход фильтрационного потока с перепадом напора H i - H 2 между двумя концентрическими линиями постоянного напора: "Ч H i H i = Ц ^ d w , Wu2 = 2^7 * (Ш.42) ш, 86 В частности, при фильтрации с предельным градиентом Ф (w) = w + X и степенном законе фильтрации Ф (w) = W имеем, соответственно, Н\ /Z2 = ^ l n r 2 +Цг 2 -г,) ; (III.43) • г П . (III.44) Если г\ <С г2, последнюю формулу можно упростить, положив РИС. 23. Обтекаьие фильтрационным потоком непроницаемой полупрямой 2 кг. 1 • s < 1. (III.45) Таким образом, при подсчете дебита плоского фильтрационного потока со степенным законом фильтрации можно рассматривать задачи с контуром питания, унесенным в бесконечность при s> l или с нулевым радиусом источника (при s 1. Более детальный анализ подтверждает это допуще ние. Вблизи вершины клина скорость фильтрации обращается в бесконечность (это обычный формальный результат, связанный с предположением о бесконечной кривизне линий тока вблизи вер шины угла) . В частности, при получаем решение задачи об обтекании непроницаемой полупрямой, т. е. бесконечно тонкого клина (рис. 23). Соответствующее ему уравнение (III.35) прини мает вид шФ' Р'\--,P = 0. (III.47) Легко убедиться непосредственной проверкой, что решением этого уравнения, удовлетворяющим условию убывания на беско нечности, является выражение Pt(w)= 1/Ф (w). (III.48) 87 Используя (III.28) и (III. 29) , найдем, что решение задачи об обтекании фильтрационным потоком непроницаемой полупрямой дается выражениями t = Я = -Icos0' (Ш-49) оо х+iy = Q Г- и2Ф (к) ! _ ( е 2"_1 ) 2Фш ^ > Решение (111.49) обладает рядом примечательных особенностей. Прежде всего заметим, что г = (х2 + */2)1/2 0 0 при до -> О и фиксированном 0, так что течением охвачена вся плоскость независимо от вида закона фильтрации. В то же время при наличии предельного градиента давления Ф (O) = X > О при до-"-О функция тока ф (до, 0) ограничена значением Q/X и, следовательно, расход фильтрационного потока конечен. Если же X = O, то, так же, как и в соответствующей задаче линейной фильтрации, расход потока бесконечен. Друга я интересная особенность найденного решения обнаруживается, если рассматривать плоскость хОу как вертикальную и вычислить изменение величины у вдоль линий тока ф = const. Согласно (III.29) и (II 1.49) имеем dy + s^dH = dy-^dH = О, так что вдоль линий тока у - (ф/<Э)Я = const. (II 1.50) Если взять ту линию тока, на которой T|> = Q, ТО на ней будет постоянна величина H - у. Замети м теперь, что если плоскость хОу - вертикальная с осью Oy, направленной вверх, то разность H - у будет пропорциональна гидростатическому давлению. Следовательно, найденное решение отвечает течению в вертикальной плоскости, для которого на одной из линий тока давление остается постоянным. Тогда, рассматривая лишь верхнюю полуплоскость у> 0, можно взять эту линию тока за свободную поверхность и получить точное решение задачи безнапорной фильтрации при нелинейном законе сопротивления. Это решение, найденное Энгелундом, является обобщением классического решения Н. Е. Жуков ского о безнапорном притоке к дренажной щели, расположенной на водоупоре. Рассмотрим асимптотику решений в области малых скоростей. Если в области фильтрации имеется точка (критическая точка) или застойная зона, в которой скорость фильтрации обращается в нуль, то эту критическую точку можно окружить замкнутой линией Гш, на которой модуль скорости фильтрации принимает постоянное значение ш и внутри которой нет других особых точек потока. Область D a между линией Гш и критической точкой (застойной зоной) на плоскости годографа отображается в полосу 88 Дш : О < до < со, причем удобно считать ее бесконечной по 0 : - со < < О < со, поскольку при каждом обходе вокруг критической точки угол 0 получает приращение 2 K N . Целое число N назовем крат ностью критической точки (застойной зоны). На границе застойной зоны (в критической точке) функция тока принимает постоянное значение, которое можно принять за нуль. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы в полосе Дш найти решение уравнения (II 1.30), обращающееся в нуль при до = 0, и периодическое по й с периодом 2nN. Это решение имеет вид ф (W, 0) = J Pn/N (w) Г A Sin ~ + Bn COS 5 • 1=1 L (III.51) Здесь PV(W), обращающееся в нуль при W=0, - решение уравнения (III.35) с l = n/N-, An и Bn - постоянные. Соответствующие формулы для напора и координат имеют вид ( 1 " 5 2 ) dz = effl [- Ф1 dH + iw-Щ). Из выражений (III.52) следует, что вид прообраза линии W = 0, - со < 0 < со на физической плоскости вполне определяется асимптотикой решений PJ (и-') при до -"0. Действительно, на границе застойной зоны имеем dz = dx + idy = е" ^ф = - ete Hm ( -J ^ dd = ^Ф' И dw) -""l,i!S ( 5 3/4 ' + <"••""> Из анализа решений PT (w) несложно установить, что при /> 1 существует конечный предел Xi = Iim Ф dPT(w) (111.54) -о шФ' {w) dw для любого вида закона фильтрации. При этом Xi= 0, если Ф (0) = 0 и ^ii f c O ' если Ф (O) = X ф 0, а если / < 1, конечный предел существует при фильтрации с предельным градиентом, для степенного ж е (или асимптотически степенного) закона фильтрации указанный предел равен бесконечности. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что в отсутствие предельного градиента давления в потоке могут существовать лишь изолированные критические точки, находящиеся в конечной части плоскости, если все %i=0(l >1) , или в бесконечно удаленной точке, если найдется такое п, для которого I =n/N= 1. Иными словами, топологическая структура фильтрационного потока при отсутствии предельного градиента остается такой же, как и при линейном законе фильтрации. 89 РИС . 24. Возможные структуры течения с предельным градиентом в неограниченной области Если ж е имеет место фильтрация с предельным градиентом (Ф(0)=Х>0) , то не существует изолированных критических точек потока; вместо них образуются области неподвижной жидкости (застойные зоны), остающиеся в конечной части плоскости или уходящие в бесконечность. Особенно сложной оказывается структура потока при фильтрации с предельным градиентом в окрестности бесконечно удаленной точки. Если предельного градиента нет, то из требования ограниченности функции тока на бесконечности следует, что либо там расположена критическая точка, либо сток (источник) и линии тока стремятся к радиально расходящимся лучам (6=const) . При фильтрации с предельным градиентом можно получить сколько угодно решений с ограниченной на бесконечности функцией тока; они отличаются расположением уходящих на бесконечность застойных зон. Така я неединственность решений задач фильтрации с предельным градиентом в неограниченных областях не указывает на их дефектность, а отражае т специфическое свойство "дальнодействия": если мы вносим в поток препятствие, а затем "уносим" его в бесконечность, то "память" об этом препятствии не исчезает полностью, как при линейной фильтрации, а остается в виде уходящей на бесконечность застойной зоны. Так, на рис. 24 показаны три различные структуры течения, создаваемого уединенным источником в бесконечной плоскости, получаемые предельным переходом из трех различных течений - осесимметричного притока к центральной скважине в круговом пласте (а), притока к центральной скважине в пласте, имеющем в плане форму квадрат а (б) , а такж е притока к скважине вблизи непроницаемой прямолинейной границы (в). Предельный переход к 90 лН/ld 1,0 0.5 л-8 - . 2 0 10 Q -nq/\R РИС . 25. Зависимость относительной площади застойных зон от относительной интенсивности потока a/lL РИС. 26. Индикаторные кривые скважин прн фильтрации с предельным градиентом: 1 - дл я элемент а пятиточечно й сетк и скважи н с диагональ ю d; In (d/2р) = 7; 2 - дл я сква жин ы на расстояни и d от прямолинейног о контур а питания , ln(rf/rcp) = 6; 3 - дл я скважин ы в кругово м пласт е радиус а f( , In R / p = 7, / . - оценк а снизу , I* - оценк а сверх у течению в неограниченном пласте осуществляется увеличением линейного размер а L до бесконечности. П р е д е л ь н о е р а в н о в е с и е . Особенность, принципиально отличающая фильтрацию с предельным градиентом, заключается в отсутствии движения жидкости при непостоянстве распределения давления по пласту, если только градиент давления не превосходит по модулю предельное значение G. В том случае, когда в каж дой точке пласта |Vp | = G, распределение давления называется предельно равновесным. Слово "предельный" означает, что даж е малое изменение давления может привести к началу движения. Если на некоторой линии (в пространственном случае - поверхности) С, ограничивающей область D, задан о давление, то найти предельно равновесное распределение давления в D можно, решая уравнение IAPl=G , M£D , (III.55) при граничных условиях р = / (х, у, z), M £dD = С. Это уравнение имеет многочисленные аналоги в других областях физики. Например, уравнение эйконала в геометрической оптике, имеющее вид (III.55), если поверхности постоянного давления считать волновыми поверхностями. Нормали к этим поверхностям - линии направления градиента давления - оказываются при этом прямыми, а семейство поверхностей постоянного давления - семейством поверхностей, находящихся друг от друг а на фиксированном расстоянии (эквидистантных). Рассматриваема я задач а в двумерном варианте имеет и другой весьма наглядный аналог. Если функция р (х, у) - решение этой задачи, то она в некотором масштабе описывает форму поверхности сыпучей среды ("песка"), если на контуре С задан а 91 толщина слоя песка. Нетрудно сообразить, что предельно равновесные распределения давления могут не удовлетворять принципу максимума, если не сделать оговорок (см. п. 1). Пусть на плоскости заданы эксцентричные окружность радиуса R и расположенная внутри нее окружность радиуса р ("контур питания" и "скважина"), на которых заданы давления P 1 и P2 соответственно. Построим на каждой из них конические поверхности "воронкой" вверх и вниз с наклоном образующих G Pt= P1 ±G[R*-(x*+y2)]112, и положим pt = P2±G[(x 5) 2 + у 2 р 2 ] 1/ 2 (III. 56 ) P+ (*> У) = max (pt, pt), р~{х, y) = mm{pt, р^). (III.57) Нетрудно понять, что функциям р+ и р~ соответствуют два предельно равновесных решения задачи (III.55)-верхне е и нижнее. Это показывает, что предельно равновесные состояния определены не единственным образом; существенно уметь находить именно те предельно равновесные или просто равновесные состояния, которые реально достижимы в ходе некоторого нестационарного процесса. Приведем некоторые результаты расчета основных элементов течения при фильтрации с предельным градиентом. Н а рис. 25 показан а зависимость относительной площади застойных зон, образующихся внутри кольцевой батареи п равнодебитных скважин, от относительной интен РИС . 27. Зависимость ширины трубки тока от интенсивности пото ка q/lL прн фильтра ции с предельным гра диентом. Расхо д через квадратный элемент пятиточечной сетки в % : 1 - 20; 2 - 8 0 ДI/L 92 сивности потока, а на рис. 26 - индикаторные кривые скважины в центре кругового контура питания радиуса R. Во всех случаях расчеты проведены для относительного радиуса скважины р/R = IO-3 . Влияние предельного градиента давления сказывается не только в образовании застойных зон, но и в общем усилении неравномерности потока, проявляющемся в концентрации основного потока внутри относительно узкой струи. Количественно эту особенность иллюстрирует рис. 27. Основные проявления "псевдопластической" нелинейности типа фильтрации с предельным градиентом давления - увеличение перепадов давления и усиление присущей потоку неравномерности, вплоть до образования застойных зон. Эффекты эти становятся особенно значительными, когда мал а интенсив ность потока (q/XL< 1). Ка к показано ниже, эти основные закономерности сохраняются и дл я более сложных течений, в том числе и в задача х вытеснения нефти водой. З а д а ч а 1. Использу я соотношения (III.23) - (III.24), показать, что для обобщенной трубки тока любой формы перепад давления при фильтрации с предельным градиентом удовлетворяет неравенству bp> bpD + Z ^ G = APD + APO> (III.58) гд? ^ dd -перепа д давления, рассчитанный при G = O; L ^ - минимальное расстояние между "входом" и "выходом" трубки тока; Ap 0 - пороговый перепад давления, при котором начинается движение. З а д а ч а 2. Построить отображение на плоскость годографа скорости фильт рации элемента симметрии течения, создаваемого кольцевой батареей п равно дебитных стоков интенсивности q и центрального источника интенсивности Q = nq. Как при такой геометрии течения будет располагаться застойная зона в случае фильтрации с предельным градиентом? З а д а ч а 3 . Показать, что для уравнения закона фильтрации вида Ф (ОУ) = (ОУ2 + Х 2 ) 1/ 2 (III.59) функция Ф (w, 0) может быть выражена через гармоническую вспомогательную функцию. (Этот результат впервые получен С. В. Панько.) З а д а ч а 4. Показать, что при произвольном законе фильтрации уравнение (III.30 ) допускает частное решение вида W ф (w, 0) = PY (W) sin 0, Р~ (w) = [Ф (Qy)J - 1 J рф'(о) dv. (II 1.60) о Указать гидродинамический смысл полученного решения; проанализировать его структуру для степенного закона фильтрации и для фильтрации с предельным градиентом. Задачк а 5 . Показать , что при нелинейной безнапорной фильтрации образом свободной поверхности на плоскости годографа служит кривая [43] -1ф (W) + С sin й = 0, C=£pg/[X . (II 1.61) З а д а ч а 6. Используя формулу (III.42) , получить связ ь между дебитом и перепадом давления для притока к скважине при двучленном законе фильтрации - см. формулу (1.13). § 3. Нестационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей Нестационарные процессы в пластовой системе при фильтрации неньютоновских жидкостей обладаю т определенными особенностями, позволяющими в некоторых случаях обнаружить нарушения закон а Дарси , оценить их количественно и дат ь прогноз их возможного влияния на показатели разработки нефтяного месторождения. Поэтому наблюдение нестационарных процессов - важный источник информации о свойствах пластовой системы. Основны е уравнения . Пусть P (х, г/, z) - распределение давления, отвечающее некоторому стационарному фильтрационному движению, а р (х, у, z, t) - распределение давления в нестационарном процессе, начинающемся в момент ^ = O, причем р (х, у, z, 0 ) = P. (I I 1.62 ) 9Я Разность P = P P (III.63) назовем возмущением давления или отклонением от стационарного состояния. Комбинируя уравнения неразрывности слабосжимаемой жидкости m/C1 /?,,+div " = 0 (III.64) и закона фильтрации, которое запишем в виде grad/? = -ПФ(ы/Х)"/ы, и = -Xiji (| ур |/П) у/?/| yp | (III.65) (П - характерное значение градиента давления; X - характерное значение скорости фильтрации), получаем систему уравнений фильтрации неньютоновской жидкости при упругом режиме, которую можно привести к одному уравнению <ш.бб, Стационарное распределение, дл я которого p,t =0 , такж е удовлетворяет уравнению (III.66) или системе (III.64) - (III.65) . Однако р, будучи разностью двух решений уравнения (III.66), вообще говоря, из-за нелинейности функций Ф и не является решением. Таким образом, при нелинейной фильтрации несправед лив принцип суперпозиции решений, и характе р возмущений зависит, вообще говоря, не только от свойств пластовой системы и инициирующих возмущение внешних воздействий (например, пуск скважины) , но и от начального состояния. Дале е в тех случаях, когда особо не оговорено противное, будем считать начальное состояние отвечающим первоначально невозмущенному пласту (P = Po = Const), причем в силу того, что в уравнения (III.64) - (III.66) давление^ входит только под знаком производных, можно положить P0 = O, ~р=р. Б е г у щ а я волна . При распространении возмущения с той или иной степенью строгости выделяется фронт возмущения, отделяющий невозмущенную область от области возмущения. Выберем вблизи фронта возмущения некоторую малую область, движущуюся со скоростью фронта. В силу малости области распределение давления в ней можно в любой момент считать стационарным Будем искать поэтому решение уравнений (III.64) - (III.65) , соответствующее бегущей (равномерно распространяющейся в направлении оси Ох) волне: p = p(x - Vt), " = "(?), \ = x-Vt. (III.67) 1 Читатель, знакомый с методом сращиваемых асимптотических разложений , легко заметит, что речь ндет, по существу, о построении внутреннего решения задачи, отвечающего структуре фронта. Нетрудн о проделать соответствующие формальные рассуждения . 94 РИС. 28. Распределение давления вблнзн фронта возмущения при нелинейной фильтрации. Волны : а - с бесконечно й скорость ю распространения ; б - с конечно й скорость ю распространени я Подставляя выражения (III.67) в систему (III.64) - (III.65), получим о"6 8 ' откуда dU/dl = -V(r) (U), U = "/X, V = mVRHK, ^ = -c(t/)/v , /> = Ш/.л" + />., 0(U)=$[O(U)]~ldU. (III.69) Из очевидных условий на бесконечности р = и = 0, S * оо получаем = 0. Дальнейшие выводы существенно зависят от характера закона фильтрации. Если Ф (U) при U-*0 остается конечным либо стремится к нулю достаточно медленно (например, как Us, s < 1), то интеграл в (III.69) сходится на нижнем пределе и, следовательно, существует граница S = So, на которой и правее ее P = U = 0, т.е . волна распространяется с конечной скоростью. В силу произвола в выборе начала отсчета S будем полагать So = 0. Вблизи фронта волны S = So производная d%jdU обращается в бесконечность, если Ф (0) = 0 (предельный градиент давления отсутствует), и конечна при фильтрации с предельным градиентом. Таким образом, на переднем фронте волны давление и скорость фильтрации обращаются в нуль плавно, если предельного градиента нет; при наличии предельного градиента на фронте волны распределение давления имеет угловую точку (рис. ЧЪ). Устремим теперь U к бесконечности. При этом, если о(оо) = оо, то S-* -оо ; если же о(оо) < оо (так будет, например, при Ф (U) - ~ U:, С > 1), то давление и скорость фильтрации в равномерно движущейся волне обращаются в бесконечность в конечной точке. Выбрав точку, совпадающую в начальный момент с фронтом волны, за входное сечение (х = 0) пласта и полагая в полученных соотношениях S = - Vt , найдем, по какому закону нужно менять во времени давление в этом сечении для того, чтобы волна в пласте двигалась равномерно. Обращение этого давления в бесконечность за конечное время означает, что добиться равномерного движения волны давления в течение более длительного времени невозможно; она должна начать замедляться. В рассмотренном решении наиболее существенным моментом является характе р изменения давления и скорости фильтрации вблизи фронта волны. Скорость распространения возмущений конечна, если интеграл (III.69) сходится на нижнем пределе (в частности, при законе фильтрации с предельным градиентом), и 95 распределение давления имеет на фронте угловую точку, Ф(O)=^O, причем при приближении к границе из области движения градиент давления стремится к предельному. Эти существенно для правильного понимания качественных особенностей решения и для их приближенного построения выводы подтверждаются анализом известных решений более сложных задач. В некоторых случаях такие выводы можно строго обосновать. Т е ч е н и е в б л и з и с к в а ж и н ы . При исследовании пластов наибольший интерес представляют течения вблизи возыущающей скважины. Считая начальное состояние пласта невозмущенным, имеем одномерное плоско-радиальное течение, определяем соотношениями др_ _ /aj _ А. Qt т г дг [ ' " \ П дг р (г, 0) = 0; Iim [2кг/АТ(П-'/>.,)] = Q(Z) или р(р, t) = рш (III.70) г-о (при условиях задани я на скважине дебита или давления соответственно). Указанна я задач а автомодельна в следующих случаях. 1) при степенном законе фильтрации; 2) при произвольном зак о не фильтрации, если дебит изменяется по закону Q=At 1 I - (см. далее задачу 1). Поскольку этим условиям не удовлетворяю практически важные задачи, их приходится исследовать либо приближенно методом интегральных соотношений (см. гл. II) , либо численно. Дл я отыскания приближенного решения задач и (III.70) примем распределение скоростей фильтрации в виде " {г' 11 2T.rh 1 7 3/4 ] , ' < / , (111.71) где l{t) - граница зоны возмущения. Выберем l(t) таким образом, чтобы в кажды й момент удовлетворялось следующее из (III.70) первое интегральное соотношение: соотношение материального баланс а i ± . \ ^ Р ( Г , O d r = Q (0. (111.72) о Здесь с учетом условия p (1, 0 = 0 вместо p (г, t) следует подставить выражение т) р (г, O = J Пф( | ц ( ( ' O I )dr , (III.73) где и (г, 0 дается соотношением (III.71). Выражение (III.71) для скорости фильтрации правильно отражает особенности распределения ее вблизи скважины и на границе зоны возмущения. Поэтому можно получить при таком приближенном решении достаточную точность. 9 6 В частности, для закона фильтрации с предельным градиентом при Q = Const получим (II = G1 X = kG/p, Ф(Ц) = U+l): P/^а '> =I Q STSRi гIh.l T(. +2Iтс1khlG\(.^-Jгl1-Tr 1. При малых временах имеем I < Пренебрегая в (III.75) членами порядка //7*, можно убедиться, что формально это эквивалентно предположению G = O, т. е. при малых временах решение задачи фильтрации с предельным градиентом оказывается подобным решению линейной задачи: Р " = Й а 1 п 7 Г ; ' = 02*0 1/ 2 "/* . (111.75) Причина такого совпадения решений линейной и нелинейной задач состоит в том, что при малых временах изменение давления происходит в узкой зоне, где градиенты давления весьма велики; при таких обстоятельствах поправка, вносимая предельным градиен том, пренебрежимо мала. Со временем область движения расширя ется, и все большую долю ее составляет область малых градиентов (напомним, что скорость фильтрации на расстоянии г от скважины, очевидно, не превосходит Q/(2%rh). Поэтому все более существенным оказывается вид закона фильтрации при малых скоростях. Если / > /*, имеем О Й В Г + Й ^ + Й - ("1.7 4 Таким образом, дл я значительных времен закон изменения давления в скважине оказываетс я уж е не логарифмическим, а степенным. График pw(\nt) показан на рис. 29, распределение давления в функции от расстояния от скважины имеет логарифмическую асимптотику вблизи скважины, а на границе зоны возмущения градиент давления равен предельному. Позднее вернемся к анализу найденного решения. Воспользуемся тем же приближенным подходом для того, чтобы рассмотреть пуск скважины с постоянным забойным давлением рш = P0w < 0. Приняв вновь приближенное распределение скорости фильтрации в виде (III.71), после несложных выкладок получим 97 Q(t) = ^ (Pw + G/)/(ln -J 1 •; Pw > -Gl-, P " /, + = ( I I L 7 7 ) где p - радиус скважины. Последние соотношения приводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка для I. При малых временах, P < I -PwlG предельный градиент давления не проявляется. При этом I Zz (12Х<)1/2> Q^-2rMPJpln(Il9). (III.78 ) С другой стороны, при I -"• -PwIG = дебит Q^O , и из (III.77) легко находим, что с увеличением времени ( t с о ) граница зоны возмущения асимптотически стремится к распределение давления при этом стремится к предельному (г) = Pw + (г - р)G, r0) , которому отвечает распределение Р(х, у, z) а в момент t - Q начинается нестационарный процесс, характеризуемый возмущением давления р (х, у, z, t). Будем полагать это возмущение малым, та к что в любой точке пласта V P l " I v n (III.81) Тогда для возмущений давления р можно получить приближенное линейное уравнение, если подставить в (III.66) р = Р + р и провести разложени е по степеням р, ограничившись линейными членами. Учитывая, что P -решени е уравнения (III.66) , получим, очевидно, Напомним, что P (х, у, z) считается здесь известным, так что (III.82) представляет собой линейное параболическое уравнение относительно возмущения р . В частности, если невозмущенное течение представляет собой однородный поток с градиентом давления П0 , уравнение (III.82) принимает вид (III.83) Уравнение (III.83) - линейное уравнение теплопроводности в анизотропной среде с коэффициентами проводимости, различными по осям х и у. Коэффициенты проводимости составляют: х0 по оси у и XoIVvFo по оси х. Их отношение равно отношению угловых коэффициентов касательной к кривой ЧГ (С) в точке С = П0 /П и секущей, проведенной из начала координат в ту же точку. Дл я псевдопластического характера закона фильтрации (¥ " > 0) это отношение всегда больше единицы. Вообще говоря, оно зависит от интенсивности невозмущенного течения и, в частности, для закона фильтрации с предельным градиентом (I1(C) = C - 1, II = G) монотонно убывает от бесконечности до единицы с ростом интенсивности течения от П = G до бесконечности. Нетрудно убедиться непосредственно в том, что локально в каждой точке неоднородного потока структура уравнения для возмущений будет близка к (III.83), если под х и у понимать оси, ориентированные по невозмущенному потоку и по нормали к нему. Уравнение (II 1.83) преобразованием (III.84) 99 В частности, если начальное возмущение создается в начале координат (х = у = 0), то в системе XOY задача осесимметрична: p = p(R, ty, R2 = X2+ Y2. (III.85) С учетом (II 1.84) это означает, что в исходной системе хОу линии уровня возмущения р (х, у, t) - эллипсы, определяемые уравнением (х/^) 2 + {у/Wо)2 = const. (II 1.86) Следовательно, возмущение давления распространяется по однородному начальному потоку с различной скоростью в разных направлениях - нестационарный процесс обладае т "наведенной анизотропией". Приведенный анализ нельзя непосредственно ис пользовать для исследования основной задачи о возмущении одно родного потока при пуске скважины, поскольку в этом случае возмущения градиента давления вблизи скважин ы не малы. Однако можно ожидать, что характер изменения давления качест венно будет таким же, как и в рассмотренной линеаризованной задаче. Численные расчеты 1 возмущения, вносимого в однородный фильтрационный поток пущенной в работу скважиной, в основном подтверждают эти предположения. На рис. 30 показано распространение линии уровня возмущения, отвечающей р = 0,05 QG/k при различных значениях интенсивности исходного потока. Помимо предсказанной нами заране е анизотропии распростра нения возмущений (тем сильнее выраженной, чем меньше интен сивность внешнего потока) наблюдается и своеобразный их "снос" внешним потоком. Этот существенно нелинейный эффект объяс няется тем, что внешний поток и поток от скважин ы с одной сто роны от нее (см. рис. 30, слева) противоположно направлены, в результате чего образуется застойная зона. Последствия такого локализованного вблизи скважины взаимодействия проявляются и на удалении от нее, где линии уровня давления оказываются смещенными по потоку. Анализ динамики изменения давления в скважин е при пуске ее в работу показывает, что внешний поток может оказыват ь на нее существенное влияние. И з рис. 29 видно, прежде всего, что достаточно сравнительно слабого внешнего потока дл я того, чтобы кривая изменения давлени я (т. е. зависимость давлени я в скважи не от времени) стал а существенно отличной от кривой, рассчитан ной для осесимметричного притока в невозмущенном пласте. С увеличением интенсивности внешнего потока это различие рас тет, и кривая изменения давления приближается к кривой, отвеча ющей линейному закону фильтрации. А н а л и з д а н н ы х и с с л е д о в а н и я скважин . Ка к уж е говорилось, основная цель исследования нестационарных 1 Приводимые в этом параграф е данные численных расчетов получены в ИП М АН ССС Р Ф. Д . Турецкой. 100 процесов состоит в том, чтобы дать методы определения параметров пластов по данным исследования скважин. В тех случаях, когда речь идет о течениях, не следующих закону Дарси , эта задача , непростая сама по себе, становится особенно трудной. Главна я трудность состоит в том, что нельзя заранее указать, какого рода отклонения от идеальной модели упругого режима филь РИС. 30. Распространение линий уровн я возмущений от скважины при наличии однородного внешнего потока трации присущи исследуемому объекту. Так, искривление индикаторных диаграмм скважи н может быть вызвано не только нелинейностью закона фильтрации, но и разгазированием нефти, нелинейно-упругой деформацией пласта в целом или раскрытием трещин в прискважинной зоне и т. д. Далее , если даж е установлено, что нелинейность обусловлена нарушением закона Дарси , остается проблема выбора между, допустим, законом фильтрации с предельным градиентом давления и степенным законом фильтрации. В настоящее время нет законченной методики анализа результатов наблюдений, позволяющей решать сформулированную выше проблему выбора. Более того, уж е ясно, что така я методика не может быть чисто гидродинамической, а должн а использовать всю совокупность сведений о пласте для уменьшения числа конкурирующих гипотез. Ниж е рассматривается только вопрос о различении эффектов нарушения закона Дарс и и нелинейно-упругого режим а по данным исследования скважин. Этот вопрос был детально исследован в последнее время численно. Рассматриваетс я пуск в работу скважины в первоначально невозмущенном пласте с постоянным начальным давлением P0, причем предполагается, что проницаемость k и пористость т зави сят от давления и использована экспоненциальная аппроксимация k(p) = k0 ехр Iak(P-P0)Y, т(р) = т0ехр[ат(р - Р0)]. (II 1.87) Одновременно допускается, что движение следует закону фильт рации с предельным градиентом вида (III.9) с постоянным значе нием G. Были рассмотрены различные режимы изменения дебита скважины во времени и соответствующие им режимы изменения давления в скважин е и на удалении от нее. На рис. 31 показаны кривые относительного изменения давления Лр / Q при пуске скважины с постоянным дебитом при нелинейноупругом режиме (G = O) и слабо меняющейся пористости (ат = 0> 101 дл я различных значений единственного безразмерного параметра задачи (Q > О отвечает закачке, Q < 0 - отбору жидкости) С ростом параметра А относительное изменение давления уменьшается. Если учесть, что в широком диапазоне изменения А зависимость Др/Q от InZ достаточно близка к линейной (см. рис. 31), то при любой интерпретации результатов исследований с ростом интенсивности закачки увеличивается эффективная гидропроводность пласта (kh/p), определенная по кривым изменения давления (соответственно уменьшается гидропроводность с увеличением интенсивности отбора). Если не учитывать зависимости проницаемости и пористости от давления, но считать закон фильтрации нелинейным псевдопластическим (рост относительной подвижности с ростом скорости фильтрации, Ф"(С/)<0) , то анали з кривых изменения давления при пуске скважины по стандартной методике [11] приводит к выводу, что эффективна я гидропроводность возрастает с увеличением абсолютного значения дебита, при котором проведено исследование скважины. Причем, если закон фильтрации аппроксимируется степенной зависимостью Ф (U ) = Ua, то зависимость эффектной гидропроводности от дебита такж е степенная: (£%) э Ф ~|<21 с - С = 2(s-l)/(3-s) . (II 1.88) Таким образом, основное отличие между эффектам и нелиней но-упругого режим а и нелинейной фильтрации при исследовании скважи н проявляется в том, что РИС . 31 . Кривые относительного изменения давления . Значени я А: 1-0; 2 0,03 : 3-0,03 ; 4 0,15: 5 - 0,15 ; 6 0,3; 7 - 0,3 ; 8 - 1,5; 9 - 3,0 102 первым соответствует рост эффективной гидропроводности с ростом дебита при закачк е и падение при отборе; вторым - рост гидропроводности с ростом дебита ка к для закачки, та к и для отбора (рис. 32). Легко убедиться, что это - общий факт, не зависящий от принятых аппроксимаций. Такое отличие служит своего рода "диагностическим признаком" для различения двух причин нелинейности. Можно предположить методику выделения каждог о из этих эффектов, выделяя четную и нечетную по Q части зависимости Ap/Q от Q. Другим важным диагносцирующим признаком может быть характер распространения возмуще* ний на больших расстояниях от РИС . 32. Изменение эффективной гидропроводности при нелинейно-упругом режиме (!) и нелинейной фильтрации (// ) 4 р •м/мн• " о ' \ CfiS V I 1< J " Л ' Л -0,0 5 л7XT\ 7v J \ 0,4 1.2 РИС. 33. Изменение давления при периодическом возбуждении скважины: 1- вдал и о т скважины ; 2 -в точке , близко й к скважин е скважины. В этой области давление мало отклоняется от невозмущенного, а скорости фильтрации близки к нулю. Поэтому очевидно, что здесь нелинейно-упругие эффекты слабы, а эффекты нелинейной фильтрации, в особенности типа предельного градиента давления, выражены особенно сильно. Так, на рис. 33 показано изменение давления на различных расстояниях от возмущающей скважины при периодическом (со сменой знака ) изменении дебита в ней. Помимо относительно быстрого затухания возмущений и конечности расстояния, на которое они распространяются, существенно, что с растоянием последовательные импульсы давления не сглаживаются, а все более приближаются по форме к прямоугольным. Этот качественный признак можно использовать для установления наличия в пластовых условиях предельного градиента давления. З а д а ч а 1. Показать, что решение задачи о притоке к скважине, пущенной в работу с постоянным дебитом Q, автомодельно при степенном законе фильтрации. Исследовать зависимость давления в точке наблюдения от времени. Получить зависимость (111.88). З а д а ч а 2. Объяснить качественно эффект перестройки импульсов в прямоугольные при фильтрации с предельным градиентом. З а д а ч а 3. Определить максимальный возможный отбор газа в расчете на одну скважину, если начальное пластовое давление р0, минимально Допустимое давление на забое р н движение газа следует закону фильтрации ри = - £r(vp 2 -nvp 2 /|vp 2 |) ; I VP2 I > п . Р" = о, Iv^2 ! < п. 103 § 4. Неравновесность при фильтрации однородных жидкостей. Движени е в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах1 Вводя в качестве основных локальных характеристик фильтрационного движения давление р и скорость фильтрации и (а в некоторых случаях и температуру пористой среды Т), мы неявно допускаем, что в пределах физически бесконечно малого объема пористой среды эти величины изменяются незначительно. В свою очередь, это означает, что локально кажды й элемент среды находится в состоянии термодинамического равновесия. Такое допущение справедливо, пока рассматриваются процессы существенно более длительные, нежели процесс установления термодинамического равновесия в физически бесконечно малом объеме пористой среды. Однако в некоторых существенных для приложений случаях строение реальных объектов таково, что "элементарный объем" достаточно велик, а процесы установления термодинамического равновесия в нем настолько замедленны, что их длительность оказывается сопоставимой со временем переходного процесса в пласте в целом. Тогда эти неравновесные процессы подлежат учету и их влияние может оказаться определяющим. Именно так обстоит дело в некоторых задача х двухфазной фильтрации (см. гл. IV) . В этом параграф е рассматриваются неравновесные процессы, происходящие при неустановившемся движении однородной, ньютоновской жидкости в трещиноватопористых и слоистых пластах. Ф и л ь т р а ц и я о д н о р о д н о й жидкост и в трещи новато-пористо й среде . Ря д крупнейших месторождений нефти приурочен к трещиноватым породам, в которых существует развита я система трещин, полностью или частично, наряду с порами, обусловливающая фильтрационные свойства среды. Специфика такой среды обусловлена тем. что трещина, в отличие от пор, имеющих все размеры одного порядка, это - узка я щель, дв а измерения которой на несколько порядков больше третьего. В результате даж е при самом незначительном объеме трещин в общем объеме пустот твердого скелета они могут оказывать определяющее влияние на движение жидкости. Обычно различают чисто трещиноватые и трещиновато-пористые среды. Первые из них представляют собой блоки горной породы, между которыми имеются трещины, причем сами блоки непроницаемы и не обмениваются жидкостью с трещинами (например, трещиноватые граниты) ; в трещиновато-пористой среде блоки представляют собой куски обычной пористой среды, обла 1 Основные положения теории нестационарной фильтрации в трещиноватопористых средах были сформулированы в работах Г. И. Баренблатта , Ю . П. Желтов а и И. Н. Кочиной [7], а зате м развиты многими исследователями - см. более подробное изложение и библиографию [6, 21, 34] . 104 дающей пористостью и проницаемостью (трещиноватый известняк). Во всех случаях объем трещин пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом, занятым твердым скелетом и пустотами, в большинстве случаев он мал и по сравнению с, общим объемом пустот, складывающимся из объема порового пространства пористых блоков и объема самых трещин. Лиш ь в тех случаях, когда собственная пористость блоков практически равна нулю (например, у трещиноватых изверженных пород), приходится принимать в расчет объем собственно трещин. РИС. 34 . Схема трещиновато-пористого пласта Напротив, в большинстве случаев гидравлическая проводимость системы трещин во много раз больше гидравлической проводимости блоков. Поэтому можно сказать, что в трещиноватопористой среде жидкость "хранится" в пористых блоках, а перемещается по трещинам. При стационарном движении жидкости это не приводит к существенным отличиям от обычной пористой среды. Однако при нестационарных процессах и в процессе вытеснения одной жидкости другой проявляется ряд важных особенностей. Фильтрация в чисто трещиноватых средах происходит качественно та к же, ка к в обычных пористых, лишь с небольшими количественными отклонениями. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется трещиновато-пористым средам. З а к о н ф и л ь т р а ц и и . Дл я ламинарного движения вязкой жидкости в щели с параллельными стенками справедлива формула Буссинеска Здесь Q - расход жидкости; Ь--ширина щели в сечении, перпендикулярном к оси х; h -раскрыти е щели; - вязкость жидкости; р - давление. Существование такой простой формулы, справедливой дл я движения в отдельной трещине, побудило многих исследователей к поискам выражений, описывающих течение в упорядоченной системе трещин. Однако более эффективным оказалось описание течения в трещиновато-пористой породе методами механики сплошной среды. Допустим, что трещиновато-пористая среда состоит из системы блоков, отделенных друг от друга трещинами, причем форма и расположение блоков нерегулярны (рис. 34). Возьмем в качестве элементарного макрообъема (см. гл. I) объем, размер ы которого велики по сравнению с размерам и отдельного блока, а следовательно, и интересующие нас процессы происходят в масштабе, значительно более крупном, чем размер блока. (Размер ы блоков и, следовательно, длина трещин I бывают самыми раз личными. Излагаемы й подход основан на предположении, что 105 d-CZ-CL, т. е. блоки велики по сравнению с размером пор d, но малы по сравнению с размером пласта L). Рассмотрим вначале наиболее существенный случай, когда проницаемость блоков мала настолько, что при описании макроскопического движения жидкости ею можно пренебречь. Считая движение в трещинах медленным (безынерционным), можно записать для него закон Дар си, который выводится из анализ а размерности так же, как и в гл. I. При этом, учитывая возможную анизотропию системы трещин и то, что кажда я из них характеризуется двумя размерами - длиной I и раскрытием h, формулу закона фильтрации удобно представить в виде: Здесь Ui - компоненты вектора скорости фильтрации, определяемого обычным образом; 1гц - тензор трещинной проницаемости; h - среднее раскрытие трещин; / - характерный размер блока. Конкретный вид безразмерного тензора проницаемости k% определяется геометрией системы трещин; дл я среды, состоящей из непроницаемых блоков и нескольких систем плоских регулярно расположенных трещин, он может быть получен на основании формулы Буссинеска (11.89). В общем случае трещиновато-пористой среды формулу закона фильтрации такж е можно записать в виде (111.90). Н е р а в н о в е с н о с т ь распределени я давлений . Как уж е упоминалось, характерна я особенность трещиновато-пористой среды состоит в том, что движение жидкости в ней происходит в основном по трещинам, в то время как объем трещин мал и основные запасы жидкости заключаются в пористых блоках. Предположим, что на границе трещиновато-пористого пласта, жидкость в котором первоначально находилась под давлением P0 , происходит снижение давления до некоторого иного значения P1 . Пренебрегая проницаемостью блоков, можно использовать дл я описания движения в трещинах обычные соотношения теории фильтрации в пористой среде (например, в случае слабосжимаемой жидкости и упруго деформируемого пласта - уравнения теории упругого режима) . После некоторого переходного процесса в трещинах установится новое стационарное распределение давления, причем, по крайней мере вблизи границы пласта, давление окажетс я значительно ниже первоначального. Поскольку давление в блоках в силу предположений их непроницаемости не могло измениться, то между жидкостью в блоках и жидкостью в трещинах создается значительная разность давлений - порядка P 0 - Pi , а следовательно, в блоках возникают локальные градиенты давлений ~ (Po- Pi)/' , значительно превосходящие существующий в пласте градиент давления в трещинах ~ (P 0 - Pi)/Z-. В этих условиях в пласте даж е при самой незначительной проницаемости блоков возникают локальны е фильтрационные потоки, 6 обусловливающи е приток жидкости из блоков в трещины и выравнивани е местных разностей давлений межд у блокам и и трещинами. Тот факт , что в трещиновато-пористой среде могут в нестационарном процессе возникать местные разности давлени й и местные перетоки межд у блокам и и трещинами , лежи т в основе описания среды, состоящей из малопроницаемы х пористых блоков и трещин, при малом суммарном объем е трещин. Введем вместо одного давлени я жидкости в данно й точке среды дв а - давлени е в трещина х р\ и давлени е в порах блоков р2• В предположении, что проницаемость блоков k2 очень мала , можн о дл я определения фильтрационного потока в жидкост и через некоторую площадк у среды использовать уравнени е (111.90), подставля я в него значение давлени я в трещина х р\. Составим уравнени я баланс а жидкости в трещина х и блоках . Обознача я через Ttil трещинну ю пористость (отношения объем а трещин к полному объему среды) , имеем Щр + div (pa) q = 0, (III.91) где q - количество жидкости , перетекающе е за единицу времени из блоков в трещины в единице объем а среды. Дл я блоков можн о пренебречь непосредственно фильтрационным потоком, та к что уравнени е неразрывности имеет вид: д Im0р") 4 Р + 9 = 0, (Ш.92 ) где т2 - пористость блоков (в расчет е на общий объем среды) . Дл я того, чтобы замкнут ь полученную систему уравнений, нужно, помимо уравнени я состояния жидкости и уравнений, связывающих изменения пористостей Irii и т2 с давлением , дат ь и выражени е дл я потока q. Это выражени е можн о получить из анализ а размерностей. Замети м прежд е всего, что поскольку движени е жидкости в пласт е считается безынерционным, то безынерционным должн о быть и движени е жидкости в блоках . Далее , поток q може т зависет ь от давлений в блока х р2 и в трещина х р\, размер а I и проницаемости k2 блоков, вязкости жидкост и ц, ее плотности р и долже н обращатьс я в нуль при равенств е давлений P1 и р2. Предположи м вначале , что плотность р и вязкост ь ц жидкости мал о завися т от давлени я и их можно считать постоянными, равно ка к и проницаемость блоков k2. Тогда выражени е дл я q должн о быть инвариантным относительно выбора начал а отсчета давлени я и може т зависет ь лиш ь от разности р\-р 2 . Таким образом, q зависит от размерны х величин р2-рь р, р, k2, I. Заметим теперь, что вследствие безынерционности движения размерности проницаемости, давления и вязкости могут быть выбраны независимо, при одном лишь условии [k2\ [р] [[А]-1 = L2T~l; по той же причине можно считать, что размерность массы M не связана 107 с размерностью давления или вязкости. Отсюда следует Pfc 2 P 2 -P 1 Я - а ~ (III.93) гд е а - безразмерная постоянная, характеризующая геометрию среды. Соотношение (111.93) должно быть уточнено в случае, если плотность жидкости р и вязкость ее р зависят от давления. Например , при фильтрации термодинамически идеального газа имеем я = $ ^ ( Р \ Р \ ) , ( i n 9 4 ) 21 pfa где ро - давление, отвечающее плотности р0. Трещинная пористость т\ обычно мала, и ею в большинстве случаев можно пренебречь, если среда трещиновато-пористая (но не чисто трещиноватая), а пористость блоков т2 считать функцией обоих давлений р\ и р 2 . Ограничиваясь линейным приближением, имеем соотношение где величины j32i, Р22 и т2о можно считать постоянными. Изменени е пористости т, ка к обычно, следуе т учитыват ь лиш ь в тех выражениях , где она дифференцируется . Кром е того, поскольк у т входит в уравнени я тольк о в произведении с плотностью р, изменения пористости существенны лиш ь в случа е слабо сжимаемо й (капельной ) жидкости ; при фильтраци и газ а ими можн о пренебречь. Ограничиваяс ь случае м капельно й жидкости , имеем P = Pot l + М р - Po)], (111.96) где р = р\, р2 - в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в блоках. Подставляя выражения (111.90), (111.95) и (III.96) в (III.91) и (III.92) и полагая т.\ = 0, имеем систему уравнений Po д / , dpi\ ctPo^2 Р2 - Pi (х дх,\кч dxj = 0; -оРо [-P 2 1 £ + (P22 + P J + ^ ^ = 0. (111.97) Чащ е всего рассматривается случай , когда среда однородна и изотропна, так что проницаемость выражается шаровым тензором kij = kibtj. При этом система (III.97) принимает простой вид: 108 где dp? dp, 2 Г f a r (Pa-Pi ) = Of * v p i Л (P 2 -Pi ) = O1 (III.98) л (^ Ч akz2 + P J '' ^ O (P + P.)е Р2^2' + P*' Из системы (III.98) можно исключить одно из давлений. Определив из второго уравнения р2 и подставив полученное значение в первое уравнение, имеем dpi ^V2P1 х 2 х Ж-Ч-дГ =TZT p V Pu -Ti= л ( 1 _ р ) = ^ 2 (I-P ) . (II 1.99) В пределе при т]-"-0, что соответствует беспрепятственному обмену жидкостью между блоками и трещинами, уравнение (II 1.99) переходит в обычное уравнение упругого режима с коэффициентом пьезопроводности х/(1-р) . Нетрудно видеть, что этот коэффициент пьезопроводности отвечает проницаемости системы трещин и пористости и сжимаемости блоков. О с о б е н н о с т и п о с т а н о в к и зада ч фильтраци и в трещиновато-пористы х средах . Уравнение (111.99) и система (III.98) обладают рядом особенностей, которые на первый взгляд кажутс я необычными и причина которых лежи т в вырожденном характер е рассматриваемой системы, относящейся к среде с пренебрежимо малыми трещинной пористостью и проницаемостью блоков. В связи с этим представляет интерес исследование свойств решений этой системы. Заметим, что уравнению вида (III.99) удовлетворяет не только давление р\, но и давление р2 и, следовательно, любая их линейная комбинация. Чтобы убедиться в этом, достаточно второе уравнение (III.99) умножить на Р/Л и продифференцировать по t, а затем прибавить к исходному уравнению. После этого из системы (III.98) легко исключается р\. Это показывает, что обоим давлениям и любой их комбинации присущи те свойства, которыми должно обладать любое решение уравнения (III.99). Вместе с тем, как нетрудно убедиться, не все эти линейные комбинации равноправны. Среди них есть одна, а именно р = р 2 - j3pi, которая должна быть непрерывной по времени в замкнутой области определения решения, включая и границу t = 0. Действительно, пусть надо найти ограниченное решение системы уравнений (III.98) в пространственной области D при 0 < ^ < Т; заданы начальные распределения давлений pi И р2. Интегрируя первое уравнение (III .98) по малому промежутку времени 0 < t < е и устремляя е к нулю, находим Iim р (я, t) = р(х, 0). 109 Представим теперь второе уравнение системы (111.98) в виде: -Ap + (1 - Р) Api + XV2Pi = 0. Если выбирать достаточно малые моменты времени, то первый член этого выражения будет стремиться к своему начальному значению р(х, 0). Следовательно, к такому ж е значению с обратным знаком будет стремиться и сумма двух других членов. Поэтому для того, чтобы давление pi (х, t) было непрерывным при t -> 0, необходимо, чтобы начальное распределение pi (х, 0) удовлетворяло уравнению *V 2 pi + (1 - PMp i = Ap (х, 0) (III.100) при соответствующих граничных условиях. В противном случае давление рi (х, t) в трещинах при / = 0 скачкообразно изменяется в соответствии с уравнением (III.98). Если р Ф 0 и поэтому р Ф р2, происходит также и мгновенное перераспределение давления в порах р2 при неизменном р. Это имеет простой физический смысл. Изменение давлений pi и р2 вызывает изменение массы жидкости, заполняющей пористые блоки, что приводит к перетоку некоторого количества жидкости из блоков в трещины или обратно. Если изменение массы жидкости конечно (не бесконечно мало), оно требует конечного времени, так как происходит под действием ограниченных сил давления, которые не могут вызвать бесконечно больших скоростей перетока. Это показывает, что мгновенное изменение массы, заключенной в блоках жидкости, невозможно, а следовательно, невозможно и мгновенное изменение приведенного давления р = = р2 - Ррь однозначно связанного с этой массой. Если же pi и р2 одновременно изменяются скачком таким образом, что приведенное давление р не меняется, то перемещения жидкости не происходит и такое согласованное мгновенное изменение давлений возможно. Если учесть также собственный объем трещин, то появится также и другая независимая комбинация давлений р' , определяющая изменение эффективного объема трещин; давления pi и р2 окажутся непрерывными при t = 0, и необходимо будет задавать их начальные значения отдельно. Друга я особенность системы (II 1.98) заключается в том, что в ней исключен за малостью поток жидкости непосредственно по пористым блокам. Поэтому выравнивание разности поровых давлений между двумя соседними точками среды может происходить лишь посредством обмена жидкостью между блоками и трещинами и перемещения ее по трещинам. В результате в трещиновато-пористой среде, описываемой уравнениями (111.98), могут существовать разрывы непрерывности (скачки) порового давления, которые не исчезают мгновенно (как при упругом режиме) , а затухают во времени по экспоненциальному закону. Чтобы убедиться в этом, установим условия на скачках для решений системы (111.98). Рассмотрим изолированную поверхность разрыва £ . Пр и выводе условий на скачках ее можно считать плоской и принять за плоскость х=0 . 110 Проинтегрируем второе уравнение (III.98) по х в пределах от -е до е. В силу ограниченности р2, Pu d2pi/dy2 и d2pi/dz2 при s-j0 имеем dpi дх А , . ^2P1 а2 Р , т ( P . P i ) ^ T ^ F j rfx-* 0. Таким образом, производная dpi/dx, а вместе с ней и само давление в трещинах pi непрерывны на поверхности £ . Запишем теперь первое уравнение системы (III.98) для точек впереди поверхности разрыва (х = +0 ) и для точек за этой поверхностью (х=-0) , обозначая соответствующие значения знаками + и -, и вычтем полученные уравнения друг из друга. Имеем d (pt~P7 ) a d ( p t ~ РГ) dt dt + А [(р -Pi Pi ')] = о. По доказанному, [pi] = pt - pi =0 , так что для скачка давления [р2] = pt - рТ имеем d[p2]/dt+A[pi] = 0. (III.101) Таким образом, скачки порового давления р2 должны удовлетворять уравнению (III . 101) или после интегрирования [р2] = [р2]оехр (-Л0- (III. 102) Здесь через [р2]0 обозначен начальный скачок в момент i = 0. Допустим теперь, что вблизи поверхности S ' (являющейся или не являющейся поверхностью разрыва давления р2) производная дрх/дх непрерывна. Тогда первое уравнение системы (II 1.98) можно вне поверхности (принимаемой за плоскость х = 0) продифференцировать по х, получив при этом dt V дх J ' дх 0. (III . 103) Применяя к этому уравнению те же рассуждения, что и выше, и используя непрерывность производной др{/дх на поверхности S' , получим д_ dp2 dP2 dp2 dIl 1 dt dx + А дх = 0, dx . дх Jcехр {-At). (III.104) Отмеченные особенности решений уравнения (111.99) и системы (111.98) порождают соответствующие особенности в постановке граничных и начальных условий, которым должны удовлетворять эти решения. Прежде всего, как уже было сказано, нельзя требовать, чтобы при стремлении t к нулю оба давления (в порах и трещинах) принимали зар анее заданные значения р\ (0, х, у, z); р2 (0, х, г/, z). Обязательно соблюдение условия непрерывности приведенного давления и - Pi - Ррь тогда давление в трещинах pi определяется из U l уравнения (III . 100) и может оказаться разрывным. Таким образом, начальное условие будет иметь вид: р (0, х, у, г) = р2 (0, х, у, г) - Ppj (0, л, у, г) = f(x, г/, г). (III.105) В свою очередь, при стремлении к границе области лишь дав ление в трещинах рi должно быть непрерывно вместе со своими производными. Д и н а м и ч е с к и е процесс ы в окрестност и сква жины . Хотя уравнения нестационарной фильтрации в трещино вато-пористом пласте и сложнее уравнений пьезопроводности, будучи линейными, они допускают полное исследование стандарт ными методами. Проследим специфику переходных процессов в трещиновато-пористой среде на примере течения вблизи скважины. Рассмотрим осесимметричную задачу, предполагая, что в пласт, находящийся при постоянном давлении Po = O, начинается закачк а жидкости с расходом Q через скважину пренебрежимо малого радиуса. В цилиндрических координатах рассматриваема я задач а сводится к решению уравнения при условиях Pi (0, Г) = 0; Pl (t, СО) = 0; (г = = P t (t). (III. 107) Эта задача сформулирована для давления в трещинах pi; при желании ее можно сформулировать для давления в пористых бло ках Р2• Тогда краевое условие при г = Q примет вид: ( dpA , , д ( dpA 17),= 0 + ^ W V аг^ о = -P* Остальные условия и основное уравнение останутся без изменения. Применяя к соотношениям (III . 106) - (III.107) преобразование Лапласа, получаем Этим условиям удовлетворяет решение (III. 109) где Ко - функция Макдональда, так что по формуле обращения при Pi e = const (пуск с постоянным дебитом) С-Н~ " ('-') = & J T-MV^rM* С-i оо Этот интеграл может быть сведен к интегралу по вещественной переменной. Проанализируем лишь асимптотику полученного реше 112 ния при малых значениях параметра р = 2 - x rfVxt . Представим выражение (III.liO ) в виде: с+г'оо P1 V>r) т М ' / Г + W K C-Ioo (1ПЛ11) При ri/xt I рассматриваемое выражение переходит в известную формулу теории упругого режима (см. § 4 гл. III) . Если же ^fxt > I, то аргумент функции Макдональда равномерно мал, так что для нее можно воспользоваться приближенным представлением Ko(Z)= ( c + ln-f) + o(l). В результате получаем pi (t, г) = -pt [С + In (2-WV^)] , г (xt)-i/2 < 1, xtfri С I. (III.112) Смысл соотношения (III.112) прост: оно означает, что если характерное время трещиновато-пористой среды 6=г|/ х не слиш ком мало, существует промежуточный квазистационарный ре жим, когда жидкость, поступающая из скважины, поглощается ближайшими к ней блоками. Лиш ь тогда, когда давление в бло ках в окрестности скважины сравняется с давлением в трещи нах (т. е. по истечении времени - О), начинает сказываться обмен жидкостью с более отдаленными участками пласта. Отметим еще одно обстоятельство. Соотношение (III.112) показывает, что существует некоторый промежуток времени на протяжении которого давление в скважине не ме няется. Если временем г2fx можно пренебречь (обычно это сотые доли секунды и менее), то из (III . 112) следует, что при скачкообразном изменении дебита скважины давление в ней изменяется скачком, а затем сохраняет постоянное значение на протяжении времени ~ 6. Это действительно наблюдается на практике и может быть использовано дл я оценки характерного времени 6. Допустим теперь, что дебит скважины изменяется периодически по гармоническому закону, та к что р , = Р*е1ш'- (И 1.113) Тогда в пласте со временем установится периодическое распре деление давлений р (г, O = Р(г)е ш , (III. 114) где P (г) - комплексная амплитуда колебаний давления. Выражение для нее можно получить либо из задачи (III.106) - (III.107), либо по известным правилам операционного исчисления. В результате получим ' ^ 4 / 3/4 ' / ? ) - с"-1'5' Проанализируем это выражение при малых и больших значеиях г = г (ю/х)1/2. Если (например, когда измерения производятся 113 непосредственно в скважине) г < 1, то можно воспользоваться известной асимптотикой Ко (г) (C + lnz/2)+0(z 2 ) . Полагая здесь z = (//(1 + iy)l/2r, получим Если то г < (х/ш)1^, т в > > 1 > (/"/* " !/", " 0, r 2 "Tj) , Р(г)/Р* = -С + Inp-V 4 1 / 2 ) . (III.117) Колебания давления в окрестности скважины происходят синхронно с колебаниями дебита, причем таким образом, как если бы мы имели квазистационарную фильтрацию в пласте радиуса R = 2е<у/ 2 = 3,563/41/2. (III.118) При фиксированной амплитуде колебаний дебита амплитуда колебаний давления не зависит от частоты. Если ш0 1, г то P (г) = -С + In [г (ю/х)1/2^] + 1/4иг (III . 119) и возникает сдвиг фаз, равный г 2 2 Г -\ 1 /2 9(" ) = агсЦ-/1п^ с ];|ЯМ|/Р. = (=ё + 1 п " ^ У ^ ) . (III.120) Така я асимптотика соответствует обычному упругому режиму; амплитуда колебаний давления падае т с ростом частоты. Таким образом, с ростом частоты амплитуда колебаний давления падает, а сдвиг фа з возрастает примерно до со~х/г|=1/0 , затем сдвиг фа з начинает падать, а амплитуда колебаний давления остается постоянной. Это обстоятельство может быгь использовано для оценки характерного времени 6 трещиновато-пористого пласта по наблюдениям колебаний давления при периодическом возбуждении скважины. Движени е в слоисты х пластах . Близкие по характеру задачи возникают при исследовании фильтрации в слоистых пластах. Например, если движение происходит в двух лежащи х друг на д другом пластах, отделенных слабопроницаемой перемычкой, то давление в каждо м из них следует уравнению упругого режима, в правую часть которого входит интенсивность перетока между пластами. Эту интенсивность в большинстве случаев можно считать пропорциональной разности давлений в соответственных точках пластов. Сходство возникающей задач и с задачей фильтрации в "двойной" пористой среде очевидно. Из всего разнообразия зада ч этого цикла мы рассмотрим здесь лишь одну - задач у об истощении пласта, граничащего с пластом 114 большой мощности, но малой проницаемости. Она представляет большой интерес в связи с оценкой запасов нефти и газ а некоторых месторождений. Предположим, что область фильтрации имеет вид, приведенный на рис. 35. Допустим, что пласты I и II сложены породами одинаковой пористости, но существенно различной проницаемости, так что kh.'pkiH , хотя H y h . я 'Sf ///////{^ // s//////////////^ л H h к 1 777777777777777777777777" х-0 РИС . 35 . Схема слоисто-неоднород" ного пласта . Слои : / - высокопроницаемый ; / / - малопроницаемы й Будем рассматривать истощение системы, предполагая, что вначале она находилась под давлением Po, а с момента Z = O начинается отбор жидкости через нижний пласт в сечении х = 0, причем давление на всей линии х = 0 одинаково, а отбор жидкости Q сохраняется постоянным. Система считается замкнутой, т. е. границы AB, ВС и CD непроницаемы. При этом задача сводится к решению совокупности уравнений др (д2Р ^ dt ду + Й (0 a <ш-123> -п При сделанных предположениях (тонком нижнем и слабопроницаемом верхнем пластах) постановку задачи можно упростить. Заметим, что в силу равенства граничных значений давления в обоих пластах при у = 0 производные по х от давления в этих пластах -одного порядка, а следовательно, скорость фильтрации в направлении оси х в верхнем пласте пренебрежимо мала (по условию kiH Щ Вместе с тем скорости фильтрации в направлении оси у совпадают при у = 0, что может быть только в случае, если изменение давления в направлении этой оси в верхнем пласте происходит быстрее, чем в нижнем. Отсюда следует, что д2р1ду2^д2р1дх2, у> 0. Поэтому второе уравнение системы (III . 121) можно записать в виде: dp/dt = %\д2р/ду2, у> 0. (III . 124) 115 Первое уравнение, относящееся к нижнему пласту, можно осреднить по мощности. Имеем ар _ а^я ^ /ар\ _ д-р Ж dt ~ + T Wy)y=_0 + \ду!уы= =+о п 1 Spdy . (III. 125) P = -I r -А' Наконец, заменим условие р = P \у=-о н а P | 0), р (х, у, 0) = P (х, 0) = Po, Р(х, О, 0 = Р(х, о , (III. 127) Зе = 0 , ^ 1 = Q = const, ~ = 0. (II 1.128) ду 1,=н JJдх Ix=O ^ ' дх x=L ' Решение этой задачи легко получить операционным методом. Не приводя его полностью, выпишем формулу для изображения от давления на галерее ро = P (0, t). Имеем P Po l j S i s ' [ т / С " (IIU29> Отсюда легко получить несколько простых выражений, отвечающих различным временам с момента пуска галереи. Пусть прежде всего время t настолько мало, что возмущение, возникающее на галерее, не достигло непроницаемых границ системы; t L2/vi Н2/уц. При этом в (II 1.129) можно ограничиться асимптотикой о xL-2 %\Н~2. Дл я таких значений о гиперболические тангенс и котангенс можно заменить их предельными значениями при о-э-оо, равными единице. Учитывая, что в данном случае kivi/khYoxi < 1, имеем P0 qVy. ( / r ^ Y v z ^pO Р ° ~ = - [ ° + -ШУ T1J S -('-4 3/4 + -")' (ШЛ30) следовательно, 116 Po(t) = P o + 2 ] / r ^ + ^ j / . . . (III. 131) Таким образом, на первой стадии движения влияние верхнего слабопроницаемого пласта сказывается лишь в добавлении малых членов, порядк а t l/ 2 по сравнению с главными. Аналогичным образом дл я промежуточного диапазона времен, < H 2 Ix l из (III . 129) получаем pO qx ( , k I x 1/"7\~1 P=--LV[a+lh V X1) ' Po (0 = Po - xtq/L . . ., (^(Xty2Ikh "1) , (III.132) xq 2kh PoW = Po-Z , (k\(xty'2Ikh > 1). (III . 133) L/ kh Первое из выражений (III . 133) отвечает движению в высокопроницаемом пласте в пренебрежении притоком из малопроницаемого; согласно второму изменение давления определяетс я в основном притоком из верхнего пласта. Наконец, при еще больших временах, t > H2Ix 1, начинается вторая фаза фильтрации в верхнем пласте (истощение верхнего пласта). При этом ,0( 0 = ^ 0 ^ 4 3/4 1 . (III . 134) Таки м образом , дл я двуслойного пласт а рассматриваемог о вида отчетливо выделяютс я два периода движени я при эксплуата ции на истощение. На протяжени и первого периода истощаетс я первый пласт, а движени е в малопроницаемо м верхнем пласте незначительно, на второй стадии нижний плас т практическ и полностью истощен, и происходит истощение верхнего пласта . Если по данным о падении давления по мере отбора на первой стадии подсчитать запасы жидкости или газа в пласте, то получим лишь запасы в нижнем пласте V0 = mhbL, что значительно меньше истинных запасов V = (mh + т\Н) bL. Это обстоятельство оказывается существенным для ряда месторождений. ДВУХФАЗНА Я ФИЛЬТРАЦИ Я И ТЕОРИ Я ВЫТЕСНЕНИ Я НЕФТИ ВОДО Й § 1. Основные представления теории двухфазног о течения в пористых среда х Распределени е фа з в порово м пространстве . К а п и л л я р н о е д а в л е н и е . Формирование залеже й происхо дит путем оттеснения из пластов-коллекторов первоначально находившейся там воды. Поэтому вместе с нефтью и газом в коллекторах всегда содержится некоторое количество (обычно 10-30 %, иногда до 70 % порового объема ) та к называемой погребенной воды. Кроме того, многие продуктивные пласты заполнены нефтью и газом лишь в верхней, купольной зоне, а нижележащи е зоны заполнены краевой водой. Самые верхние части нефтяных залежей содержа т газ, образующий та к называемы е газовые шапки. Таким образом, даж е в ненарушенном состоянии в природных пластах может находиться несколько отдельных подвижных фаз. Двухили трехфазное течение возникает практически во всех случаях разработк и нефтяных месторождений, поскольку движущие нефть силы возникают вследствие упругости или гидравлического напора газ а или воды. В данной книге рассматриваетс я наиболее простое двухфазное течение, соответствующее вытеснению жидкости, первоначально заполнявшей поры, другой жидкостью, не смешивающейся с первой и образующей отдельную фазу. Говоря более конкретно, речь будет идти в основном о вытеснении нефти из пласта водой или газом. Введем основные характеристики многофазного течения - насыщенность и скорость фильтрации. Дол я объем а пор в элементарном макрообъеме, охватывающем данную произвольную точку, занятого i-й фазой, называетс я н а с ы щ е н н о с т ь ю порового пространства этой фазой в данной точке и обозначается s,. Очевидно, п IlSi= 1 (IV.1) I=I где п - число отдельных фаз. Таким образом, в системе п фаз имеется п - 1 независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации двухфазной жидкости достаточно рассматривать лишь одну насыщенность. Движение каждой из фаз можно охарактеризовать вектором скорости фильтрации данной фазы "<. Аналогично скорости фильтрации однофазной жидкости Ui определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление равна объемному потоку г-й 118 фазы через единичную площадку, перпендикулярную к данному направлению. Следует помнить, что эта площадка пересекает как твердую фазу, так и другие подвижные фазы. Граница двух фа з в пористой среде разбивается на множество искривленных участков, радиус кривизны которых сопоставим с размером пор. Ка к известно, на межфазной границе возникает капиллярный скачок давления, определяемый по формуле Лап лас а /> e =a(l/tf , + l//?2 ), (IV.2) где а - межфазное натяжение; R i и R2 - главные радиусы кривизны поверхности раздела фаз в данной точке, близкие размерам пор. Как отмечалось в § 2 гл. I, характерный размер поровых каналов имеет порядок V k/m, т. е. при обычной для песчаников проницаемости (10~13 м2) он составляет 5-IO мкм. Межфазное натяжение на границе большинства углеводородных жидкостей и газов с водой находится в пределах 0,03-0,05 Н/м. Это означает, что капиллярное давление на границе углеводородов с водой составляет -10 кПа . Вследствие хаотической искривленности межфазной границы в порах при двухфазном течении возможно образование изолированных частиц каждо й фазы. Представим себе изолированную каплю одной из фаз размером порядка характерного размера пор, окруженную другой фазой и твердым скелетом. При продвижении этой капли в порах радиус кривизны ее поверхности должен изменяться от минимального до максимального радиуса пор, т. е. примерно на V Mm' Тот же порядок будет иметь и разность радиусов кривизны переднего и заднего фронта капли при движении. Это означает, что дл я проталкивания капли через пористую среду перепад давления на ней должен составлять величину, близкую к капиллярному давлению. Если и длина капли имеет порядок размер а пор г, то для ее перемещения потребуется приложить градиент давления рс/г, т. е. порядка десятков и сотен МПа/м , что намного превышает существующие и возможные градиенты давления, возникающие в результате практически всех естественных и искусственных процессов. Отсюда следует, что подвижна почти всегда только связная часть каждо й из фаз, насыщающих поровое пространство. Таким образом, капиллярные силы способны создать в пористой среде градиенты давления, намного превышающие градиенты, создаваемые внешними воздействиями. Поэтому именно капиллярные силы полностью определяют распределение фа з в порах. Капиллярное давление, согласно (IV.2) пропорциональное кривизне межфазной границы, зависит от структуры порового пространства и от преимущественной смачиваемости скелета пористой среды каждо й из фаз . Дл я каждой фазы, имеющей связную часть, можно ввести фазовое давление в точке pi, понимаемое как осредненное по 119 элементарному макрообъему давление в связной части фазы. То, что в отдельных изолированных каплях давление может значительно отличаться от среднего, никак не будет сказываться на движении. Дол ю объема порового пространства в окрестности данной точки, занятую связной частью фазы, в дальнейшем будем называть а к т и в н о й н а с ы щ е н н о с т ь ю , долю несвязной части - пас сивно й н а с ы щ е н н о с т ь ю . На распределение фа з в порах, кроме поверхностного натяжения, значительное влияние оказывают преимущественная смачиваемость скелета породы одной из фа з и угол смачивания. Давлени е в менее смачивающей среду фаз е будет выше на значение капиллярного давления. К а п и л л я р н о е р а в н о в е с и е в пористо й среде . Прежд е чем перейти к выводу уравнений фильтрации двухфазной жидкости, рассмотрим условия равновесия двух несмешивающихся жидкостей разной плотности под действием гравитационных и капиллярных сил. Гидростатическое равновесие двухфазной системы в образце пористой среды устанавливается в основном двумя путями: во-первых, вследствие впитывания более смачивающей жидкости (например, впитывание воды в сухой, т. е. насыщенный воздухом, вертикально расположенный образец пористой среды) к, во-вторых, путем дренирования образца, когда менее смачивающая фаз а вытесняет более смачивающую. Последнее происходит, например, при вытеснении (оттеснении) воды газом сверху из первоначально водонасыщенного образца. Рассмотрим элемент пористой среды, в котором две жидкости находятся в состоянии равновесия под действием капиллярных сил и силы тяжести. В связной части каждо й из фа з введем давления р 1 и р2 (индекс 1 относится к более смачивающей фазе) . Условия равновесия дл я элемента длиной dz имеют вид dpi/dz = pig; dp2/dz = рг£; d (р2 - pi)/dz = (pi - p2 )g. (IV.3) Разность давлений в фазах равна капиллярному давлению в дан ном сечении. Поэтому из (IV.3) следует dPc/dz = (pi - ?2)g. (IV.4) Изменение капиллярного давления с высотой происходит вслед ствие уменьшения или увеличения насыщенности. Более смачива юща я фаз а имеет тенденцию преимущественно заполнять более мелкие поры, поэтому с ростом ее насыщенности радиус кривиз ны границы раздел а фа з должен увеличиваться. Предположим для определенности, что смачивающа я фаз а обладае т большей плот ностью, ка к это чаще всего бывает в условиях вытеснения нефти водой Тогда в состоянии гидростатического равновесия водона сыщенность будет постепенно уменьшаться с высотой. В силу мик ронеоднородности пористой среды вода при впитывании поднима 1 Основным минералом большинства песчаных коллекторов нефти и газа являетс я кварц, который лучше смачивается водой, чем нефтью или газом, т. е. гидрофилен. Гидрофильны чаще всего н карбонатны е породы. 120 ется выше, а при дренировании удерживается на более высоком уровне в системах поровых канало в малого диаметр а по сравнению с каналам и большего диаметра. Эта тенденция осложняется поперечными перетоками между канала ми разного диаметра. В поперечном (горизонтальном) направлении равновесное распределение фа з по системам поровых канало в полностью определяется капиллярными силами. Соотношение (IV.4) может интерпретироваться ка к связь капиллярного давления с насыщенностью в дифференциальной форме. И з распределения насыщенности с высотой может быть получена зависимость капиллярного давления от насыщенности S=S(2) , Pc(S) = ( P l K ) gz. (IV . 5 ) РИС. 36. Кривые капиллярного давления (насыпная среда проницаемостью 7 мк/ма ): 1 - вытеснение ; 2 - пропитк а Кривые Pc(s), называемые кривыми капиллярного давления, представляют собой широко употребляемую интегральную характеристику структуры и микронеоднородности порового пространства. Вид связи Pc(s) зависит от направления изменения насыщенности, т. е. существует так называемый капиллярный гистерезис. Кривые Pc (s), соответствующие увеличению насыщенности более смачивающей фазой s, называются кривым и пропитки , а соответствующие уменьшению s -кривым и дренировани я (рис. 36). Кривые капиллярного давления, построенные по данным установления гидростатического равновесия, на практике почти не используют. Чащ е всего их получают при медленном равновесном вытеснении более смачивающей фазы (воды или углеводородной жидкости) менее смачивающей (газом) . Подробное описание методов получения кривых капиллярного давления можно найти в руководствах по физике нефтяного пласта. Кривые капиллярного давления, отвечающие дренированию, используются для оценки распределения насыщенности в та к называемых переходных зонах на границе нефть - вода, газ - вода или газ - нефть в нефтяных и газовых месторождениях до начал а разработки. Это распределение непосредственно описывается формулой (IV.5). Кривые капиллярного давления можно построить для различных пар жидкостей и газов, отличающихся межфазным натяжением и краевыми углами смачивания на данной породе. Чтобы получить функции насыщенности, характеризующие только структуру порового пространства, следует привести функцию капиллярного давления к безразмерному виду: Pc =2aVmJ(s, e)/l'k, (IV.6) где в - краевой угол смачивания. Формула (IV.6) получена по аналогии с выражением для капиллярного давления в одиночном цилиндрическом капилляр е радиуса г: Pc = 2а cos в/г . В случае 121 пористой среды ввиду хаотического расположения стенок поровых каналов зависимость капиллярного давления от в не может быть выражена единой формулой. Тем не менее, по аналогии с круговым цилиндрическим капилляром Леверетт предложил записывать безразмерное выражение для капиллярного давления в виде Pc = a. Vm cos в 0 / (s)/Vk. (IV.7) Выражени е (IV.7) означает, что кривые капиллярного давле ния считаются геометрически подобными при использовании раз личных пар жидкостей в одной и той ж е пористой среде. Угол во в этом случае играет роль интегральной характеристики смачива емости в системе пористая среда - жидкость. Функцию /(s ) при нято называть функцией Леверетта. Эти функции для разных типов пород-коллекторов нефти и газ а систематизированы, напри мер, в работах В. А. Иванова и др. [22]. Кривые капиллярного давления определены не для всех значений s, поскольку при дренировании образц а пористой среды вытеснение более смачивающей фаз ы никогда не бывает полным. Остаточная часть фаз ы находится в виде изолированных целиков в самых мелких порах или вблизи контактов между зернами. Небольшие изолированные целики, капли или пузырьки не могут быть вытеснены другой фазой при реально существующих градиентах давления. Поэтому в процессах ка к дренирования, та к и пропитки существует некоторая насыщенность вытесняемой фазой (так называема я неснижаема я насыщенность), которая не уменьшается с ростом выталкивающего перепада давления. Если насыщенность меньше неснижаемой, капиллярное давление оказывается неопределенным, поскольку остаточная фаз а состоит из отдельных не связанных между собой капель. Замети м также , что и при на сыщенности больше неснижаемой часть вытесняемой фазы такж е находится в виде изолированных капель. Когда насыщенность более смачивающей фазой приближается к неснижаемой, капиллярное давление быстро возрастает и на экспериментальных кривых капиллярного давления часто изображается неограниченный рост Pc при s -"s*. Физически более оправдано полагать, что при s s* капиллярное давление и функция Леверетта стремятся к конечным величинам, определяемым радиусом кривизны капель, составляющих пассивную насыщенность остаточной смачивающей фазы. О б о б щ е н н ы й з а к о н Д а р с и дл я двухфазног о течения . Теория фильтрации двухфазной жидкости во многом аналогична теории капиллярно-гравитационного равновесия. Ка к и в случае капиллярно-гравитационного равновесия, системы пор, занимаемые подвижной частью каждой фазы, следует представлят ь себе в виде каналов , протяженность которых в направлении движения намного больше, чем их размеры поперек потока. Поэтому в первом приближении можно принять, что кажда я подвижная фаз а течет в занимаемом ею пространстве под действием "своего" давления, т. е. так, ка к если бы она была ограниче 122 на только твердыми стенками. Поскольку сопротивление движению каждо й фазы определяется только геометрией занимаемой ею части порового пространства, то закон фильтрации каждой из жидкостей двухфазной системы по Маскету и Леверетту можно записать в виде Ui = - ( k f d p t ) grad рс , i = 1,2 , (IV.8) где /,• - безразмерные величины, называемые относительными фазовыми проницаемостями. Пусть совместное течение двух фаз медленное, та к что изменение насыщенности происходит квазиравновесным образом. Силы вязкого сопротивления можно рассматривать ка к распределенные массовые силы, пропорциональные скорости фильтрации. В одномерном случае из уравнений (IV.8) можно получить выражение, аналогичное по форме (IV.3): д (р2 - PiVdx = U 1 - U2; Ui = a ,UiIkfl. (I V.9) При выводе выражени я (IV.4) неявно предполагалось, что Pc(S)-характеристика, зависяща я от структуры порового пространства и поверхностных сил взаимодействия жидкостей между собой и с твердым скелетом, но не от гравитационных (массовых) сил. Это предположение подтверждается определениями кри вых капиллярного давления с использованием различных жидкостей и путем центрифугирования [23]. Расужда я по аналогии, можно применить тот ж е вывод к распределению фа з в порах при медленной квазиравновесной совместной фильтрации, т. е. принять, что при данной насыщенности жидкости распределены та к же, как и в условиях гидростатического равновесия. Это означает, во-первых, что разность давлений в фаза х р2-р\ может быть принята равной капиллярному давлению Pc(s) и зависящей только от насыщенности: p2-pi = Pc(s) = °.VmJ(s)/Vk. (IV. 10) Во-вторых, ка к уж е отмечалось, капиллярные силы в поровых канала х существенно преобладают на д внешним перепадом дав ления и определяют распределение фа з в порах. Поэтому можно допустить, что кажда я из фа з движется по "своей" системе поро вых каналов, ограниченных твердым скелетом и другой фазой. Та ким образом, при данной насыщенности гидравлические сопротив ления, а следовательно, и проницаемость для каждо й из фа з ока зываются однозначно определенными. Эксперименты показали [27, 48], что в широком диапазоне условий совместного течения и вытеснения двух фа з в пористых средах относительные проницаемости не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. Это можно объяснить тем, что поверхность соприкосновения (и сила взаимодействия) каждо й из фа з с твердым скелетом намного больше, чем с другой фазой. В некоторых исключительных случаях взаимодействие подвижных фа з все ж е проявляется. Например, иногда 123 маловязка я вытесняемая фаз а кратковременно образует дл я высоковязкой вытесняющей жидкости на поверхности скелета слой "смазки" и относительная проницаемость для вытесняющей фазы возрастает до значений, больших единицы. Но такой слой смазки, по-видимому, неустойчив и существует недолго. В дальнейшем изложении, если не оговорено противное, относительные проницаемости и функция Леверетта считаются однозначными функциями насыщенности, не зависящими от отношения вязкостей. Типичный вид функций относительной проницаемости для более смачивающей фазы /i (s), (s - ее насыщенность) и для менее смачивающей фазы f2 (s) показан на рис. 37. Эти кривые получены при стационарном совместном течении воды и нефти на малых образцах песчаника. Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость для нее меньше. При малых насыщенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и ее относительная проницаемость становится равной нулю, т. е. /i (s) = 0 при s < Silt, / 2 (s ) = 0 пр и s > s* = 1 - а* . Заметим, что хотя речь идет о совместной фильтрации двух несмешивающихся жидкостей, приходится различат ь вытесняющую и вытесняемую фазы, т. е. относи РИС. 37. Типичные кривые относительных проницаемостей: F(S) - функци я Бакле я - Леверетта ; F' (S) - ее производна я Oi 0 = 0,5) 124 тельные проницаемости, ка к и кривые капиллярного давления, различны в зависимости от того, кака я из фа з (более или менее смачивающая) первоначально заполняла пористую среду, т. е. существует гистерезис относительных проницаемостей, аналогичный гистерезису кривых капиллярного давления. "Неподвижные" насыщенности s" и а. совпадают с "неснижаемыми" насыщенностями на кривых капиллярного давления. Итак, если распределение фа з в порах равновесно, дл я фильтрации двухфазной жидкости справедливы уравнения Маскета и Леверетта Ui = - ( kf t (S)I^i) grad Pi, 1=1,2 , (IV.11) P 2 P l = Pc(S). (IV . 12 ) Чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо записать уравнения сохранения массы для обеих фаз, которые выводятся совершенно аналогично тому, как уравнение неразрывности для однофазного течения (1.16): J ( ^ p 1 S ) d i V (R 1 B 1 ) = О, (IV.13) ~ [тр2 (1 - s)] - di v b и 2 ) = 0. (IV. 14) Поскольку P1 и р2 - функции давлений р\ и р2, а изменение пористости в однородном пласте зависит только от изменения сред него давления р = p{s-\р2( 1- s) , уравнения (1V.11) - (IV. 14) образуют замкнутую систему для pi и s. Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабссжимаемые капельные жидкости, влиянием сжимаемости на распределение насыщенности часто можно пренебречь. Действительно, характерное время нестационарного перераспределения давления за счет сжимаемости составляет Z1 = L2/*, где * - коэффициент пьезопроводности; L - характерный размер. Характерное время вытеснения t2 = L/u, где и - средняя скорость фильтрации. Обычно скорость фильтрации равна около IO3 см/с, L не более IO4-IO5 см, а х;^; IO4 см2/с. Поэтому t\/t2 = uL/x ^ Ю 2 , откуда видно, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале вытеснения. Если жидкости и пористую среду можно считать несжимаемыми, вместо (IV. 13) и (IV. 14) получаем соотношения mds/dt - div B1 = 0; mds/dt + div S 2 = 0. (IV. 15) Уравнения (IV. 15) замыкают систему уравнений фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости (IV. 11) - (IV. 12). Иногда неудобно использовать в уравнениях фильтрации рх и р2 , так как давление в каждой из фаз не определено в тех областях, где соответствующая фаза неподвижна или отсутствует. Введение среднего давления в виде р = P1S + р2 (1 - s) может быть удобно для учета сжимаемости скелета пористой среды, но приводит к довольно громоздким соотношениям при общей формулировке задач вытеснения. Дл я несжимаемых жидкостей оказывается удобным определить среднее давление по формуле 1 P = PlF (s) + р2 [1 F (s)] S Pc (s) F' (s) ds, (IV. 16) где F (s) = /i (s)/[/i (s) + цоЬ (s)], = p-i/p-zИз (IV. 12) и (IV. 16) нетрудно получить 1 P1 = P + I Po (s) F' (s) ofs Pc (s) [1 F (s)], s \ р2= P + 1 Pc(s)F'(s)ds +PC(S)F (s). (IV . 17 ) S 125 Отсюда можно получить для суммарной скорости фильтрации обеих фаз в = Bi + S 2 выражение и = - (k? (s)/pi) gra d Р , (IV. 18) де <р (s) = fi (s) + 1x0/2 (s). Выражение (IV. 18) может рассматриваться как обобщение закона Дарси для суммарной скорости. Комбинируя соотношения (IV. 17) с уравнениями обобщенного закона Дарси и неразрывности, можно получить систему уравнений двухфазной фильтрации, содержащую только неизвестные P и s: div [? (s) gradP ] = О, (IV. 19) dsZdt - div [(kfi (S)Zmpi) grad Р ] - а2ЬФ (s) = О, (IV.20) где S Ф (s) = 1 J'(S) U (S)F (s) ds; a2 = a. J / % , Vm о Д - оператор Лапласа. Ограничения в применимости системы уравнений двухфазной фильтрации в форме (IV. 11), (IV. 12) и (IV. 15) связаны главным образом с действием трех факторов: неоднородности пористой среды, влияния гидродинамических сил на распределение фаз в порах и неравновесности. Соотношение гидродинамических и капиллярных сил в порах может быть охарактеризовано безразмерным параметром [48] Пс = Vk l I grad P |/ot Vm , (IV.21) где I - характерный размер порового канала, занятого одной фазой. Если в качестве I принять характерный размер пор Vkjm, то вместо Пс получим параметр n * = £|gradP|/(zm . (IV.22) Последний параметр часто записывается через скорость фильтрации и = I (% ) grad PI и иногда называется капиллярным числом Nc. Nc = upi/a.. (IV.23) Экспериментальны е исследования показывают, что параметр Nc при малых его значениях не влияет на вид кривых относительной проницаемости вплоть до некоторого критического значения N0 . Согласно результатам Д . А. Эфроса [48], значение N0c имеет порядок Ю 5 , т.е . влияние гидродинамических сил сказывается на распределении фаз в порах, когда они на несколько порядков меньше капиллярных. Так как критическое значение Nc крайне мало, есть основания сомневаться в правильности выбора параметра Nc или П.* в виде (IV. 22) или (IV. 23). По всей вероятности, в опытах на довольно крупных образцах, проведенных Д . А. Эфросом и В. П. Оноприенко, характерный размер (диаметр) каналов, занятых каждой 126 фазой I, намного превосходил размер пор У k/m. В результате критическое значение параметра Пс оказывается намного больше, чем критическое значение H c или Nc. Характерный размер I определяется, по-видимому, неоднородностью пористой среды и тем больше, чем больше размер рассматриваемой области течения или образца породы ("масштабный фактор") . Влияние неоднородности на распределение фа з на макроуровне в связи с этим будет рассмотрено в § 5 данной главы. В последнее время, в связи с широким применением поверхностно-активных веществ дл я повышения нефтеотдачи пластов рядом авторов проведены детальные исследования возможности уменьшения остаточной нефтенасыщенности при вытеснении путем снижения поверхностного натяжени я на границе нефть - вода. С точки зрения теории двухфазного течения в пористой среде эти исследования сводятся к оценке влияния капиллярного числа Nc на "неподвижную" насыщенность. Эксперименты проводились на малых образца х с высокой степенью однородности и на модельных пористых средах или моделях элементарных пор. Эксперименты показали, что при JVc <0,05 остаточная насыщенность о* (менее смачивающей фазы) не зависит от этого параметра , а при JVc >0,3 8 происходит полное вытеснение (о* = 0) . При значениях скорости фильтрации, вязкости и межфазного натяжения , соответствующих условиям вытеснения нефти водой без применения поверхностно-активных веществ, параметр Nc находится в пределах IO6 -IO4 , т. е. влияние Nc на остаточную нефтенасы щенность не должно наблюдаться. Заметим, что во всех экспери ментах высокие значения Nc (до 0,1-1,0) достигались путем снижения межфазного натяжени я до 10~5-Ю-6 Н/м . Достигнуть высоких значений Nc путем увеличения скорости не удается вследствие нарушения закон а Дарси . Рассмотренное влияние скорости на относительные проницаемости сказывается ка к в стационарных, та к и в нестационарных условиях течения. В нестационарных процессах, кроме того, проявляется влияние неравновесности распределения фа з (см. § 4 данной главы) . Т р е х ф а з н а я ф и л ь т р а ц и я . В предыдущем изложении мы ограничились только случаем двухфазной фильтрации. В немногочисленных пока исследованиях трехфазной фильтрации закон фильтрации записывается в форме ut = -(kft(su s2)/pi) grad pi, i = l , 2, 3, (IV.24) Pi~Pi = PiJ (si, s2), i, / = 1, 2, 3. (IV.25) Исследования относительных проницаемостей в системе трех фа з показали, в частности, что в системе нефть - газ - вода в гидрофильных средах относительная проницаемость для наиболее смачивающей фазы (воды) зависит только от водонасыщенности и не зависит от соотношения двух других фаз . 127 Уравнения неразрывности в трехфазной системе при условии несжимаемости фа з имеют вид, аналогичный (IV.15): т (dsi/dt) + div щ = 0. (IV.26) § 2. Структура двухфазног о течения при крупномасштабном описании. Задач а Баклея-Леверетта Н а вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке нефтяных месторождений. Это либо вторжение в пласт краевой воды или газ а газовой шапки, продвигающих нефть к забоям добывающих скважин (естественный напорный режим) , либо закачк а вытесняющей жидкости или газ а через систему нагнетательных скважин дл я поддержания давления в пласте и продвижения нефти к добывающим скважинам. Рассмотрим задач у о вытеснении нефти водой или газом (более широко - задач у о вытеснении одной несмешивающейся жидкости другой) на основе уравнений двухфазной фильтрации, полученных в предыдущем параграфе . Дл я решения системы уравнений (IV.11) - (IV.15) широко применяется аппара т численных методов. Основываясь на общих принципах, изложенных в гл. I, ограничимся только исследованием общих свойств поля насыщенности, дл я чего применим асимптотический подход, основанный на малости некоторых безразмерных параметров, входящих в условия задачи о вытеснении несмешивающихся жидкостей [5]. У р а в н е н и я Б а к л е я - Леверетта . О б щ а я теория . Запишем основную систему' уравнений дл я давления и насыщенности в виде (IV.19) и (IV.20), используя безразмерные переменные X = XjL, Y = y/L, Z = zjL, t = kAptjmp\L = = u0f/mL, Pi = PifAp, JI=PjAp, & = a2ju0L = = a cos в Y~k! V mkp. Здесь L - характерный размер (например, расстояние между скважинами или галереями); "о -характерна я скорость, связанная с характерным перепадом давления А р. Получим div [? (s) grad П] = 0, (IV.27) dsjdt - div [/i (s) grad П] - еДФ (s) = 0, (1V.28) где Д - оператор Лапласа. В задачах нефтяной подземной гидродинамики перепад давления на границах области течения, размер которой достигает сотен метров, составляет несколько десятых или единиц мегапаскалей, скорость фильтрации Ю 6 -Ю 5 м/с, капиллярное давление в нефтяных пластах равно Ю 4 -Ю 2 МПа, а параметр а 2 -Ю 8 - - IO 6 м2/с. Отсюда следует, что параметр е в уравнении (IV.28) порядка Ю 2 - IO 4 , поэтому в крупномасштабном приближении 128 членом, содержащим е, можно пренебречь, т.е . записать вместо (IV.28) ds/dt - div [/i (s) grad П] = 0. (IV.29) Чтобы исследовать общие свойства поля насыщенности на основ уравнений (IV.27) и (IV.29), последние удобнее переписать в размерном виде div в = 0; и = - (&? (S)/|m) grad р , (IV.30) mds/dt + F'(s) (и grads ) = 0, (IV.31) где и = Ui + S 2 - суммарная скорость фильтрации обеих фаз. Система уравнений (IV.27) и (IV.29) эллиптического типа относительно давления и гиперболического - относительно насыщенности. Для уравнения (IV.31) можно получить семейство характеристик, на котором выполняются соотношения dx/dt = uF' (S)Im1 dy/di = vF' (s)jm, (IV.32) dz/dt = wF' (s) lm, ds/dt = 0. Соотношения (IV.32) при заданном мгновенном поле скоростей можно рассматривать как уравнения распространения точек с постоянной насыщенностью. Рассмотрим поверхность Г с постоянным на ней значением насыщенности s (так называемую изосату), уравнение которой ф (х, у, z, t) = 0. Тогда из (IV. 32) следует Vn = (dty/dt)(d^/dn) = UnF' (s)/m, (IV.33) где Vn - скорость перемещения изосаты по нормали к ней; ип - проекция суммарной скорости фильтрации на нормаль к изосате. В задач е о вытеснении несмешивающихся жидкостей в системе скважин или галерей граничными условиями дл я уравнений (IV. 30) и (IV. 31) являются, во-первых, обычные условия для давления, задаваемы е на скважина х или галереях при движении несжимаемых жидкостей (см. гл. II) , и, во-вторых, условия для насыщенности на нагнетательных скважина х или галереях. Когда нагнетается чистая вытесняющая фаза , насыщенность на контурах нагнетания должна , очевидно равняться максимальной s*. Кроме того, дл я насыщенности должно быть задано начальное распределение s(x , у, г, 0 )=f(x , у, z). Уравнения (IV.32) означают, что при заданной скорости фильтрации скорость распространения насыщенности s пропорциональна производной функции Баклея - Леверетта F'(s). Типичные кривые относительной проницаемости как для смачивающей, так и для несмачивающей фазы вогнуты к оси s, вследствие чего функция F(s), равная тождественно нулю при s < s* и единице при s > s*, имеет точку перегиба, а функция F'(s)-максимум (см. рис. 37). Поэтому в соответствии с формулами (IV.32) большие значения насыщенности вытесняющей фазой s (на рис. 38 слева) могут "обгонять" меньшие (на рис. 38, начиная с T = 0,5), вследствие чего появляются поверхности разрыва (скачки), при переходе через которые насыщенность меняется на конечную величину. 129 Появление скачков насыщенности связан о с пренебрежением членом со старшей производной в уравнении (IV.28). Скачкам и насыщенности аппроксимируются области, внутри которых велик Igra d s I, и поэтому нельзя пренебрегать последним членом уравнения (IV.28). При точном решении (IV.28) вместо скачков возникают узкие области с быстро меняющейся насыщенностью. Асимптотическому исследованию распределения насыщенности в этнх зонах посвящен следующий параграф . Прежд е чем исследовать формирование и эволюцию скачков насыщенности, выведем соотношения, выражающи е условия сохранения массы и давлени я на них. Пусть скачок насыщенности проходит через цилиндрический элемент пористой среды объемом 2 , вырезанный по нормали к поверхности скачка и ограниченный участками поверхностей S, параллельных поверхности скачка, находящихся на расстоянии Дп от нее. Условие сохранения массы первой фазы в элементе имеет вид d ||msdwj /dt + I Uindo = 0. ^jy 34^ Далее d (J msdu>)idt=mVnc(s--s+) S + 0 (£/ Д 2 ) , (IV.35) где s~, s+ - соответственно насыщенности за и до скачка; R - радиус кривизны поверхности скачка; Vnc - скорость перемещения скачка по нормали к нему. Разность потоков вытесняющей жидкости через сечения, параллельные поверхности скачка, равна (цГп - "it ) S , где, Uin - проекция скорости фильтрации первой фазы на нормаль к поверхности скачка. Поток, связанный с касательной составляющей, исчезающе мал при стремлении Дп к нулю. Тогда условие сохранения массы первой жидкости при стягивании элемента Q к участку поверхности примет вид Vnc={uu~utn)/m{s--s+). (IV. 36) Условие сохранения массы второй жидкости с учетом (IV. 36) сводится к условию непрерывности нормальной составляющей сум марной скорости фильтрации при переходе через поверхность раз рыва: РИС. 38. К формированию неоднозначного распределения насыщенности к задаче Бакле я - Леверетта Г-0, 5 r o \ J " 0.5 " 130 Ul п + U2n = U^ = ut = Un. Из (IV.30) и (IV. 17) нетрудно получить Ui = F(S)U, U2 = (I-F(S))U. (IV.37 ) Эти формулы показывают, что по физическому смыслу функция Бак лея - Леверетт а F(s) выражае т долю первой фазы в потоке (при пренебрежении капиллярным и силами) . Подставляя их в (IV.36), имеем Vnc = [F(s~) - F (s+)] u"/m (S- s+). (IV.38) Кром е условий (IV.36) на скачк е должн о выполнятьс я условие непрерывности давления , которое сводится к следующи м соотно шениям : (др/дЬ)~ = (др/дЬ)+; иъ/иь+ = ср (s+) /<р (s~), (IV.39) где & - направление по касательной к поверхности скачка; "" - проекция скорости фильтраци и на это направление. Различие касательных и сохранение нормальных компонент скорости фильтрации приводит к излому лини й тока при переходе через скачок. Рассмотри м подробнее возникновение и распространени е скачк а в одномерном случае, когда вместо уравнени й (IV. 30) и (IV. 31) имеем mds/dt + uF' (s) ds/dx = 0; и = и (t). (IV.40) Пуст ь начальное распределение насыщенности монотонно So (x)<0 . И з (IV.32) получим решение уравнени я (IV.40) в виде t х = X0(S) + UF'(S)Inv, U = $u(z)dz. (IV.41) о Поскольк у функция F'(s) имеет максимум, формальное решение (IV.41) при достаточно больших временах становится неоднозначным, фактически ж е в момент t*, когда касательная к кривой s (х, t%), определяемой формулой (IV.41), становится вертикальной, возникает скачок насыщенности. И з формулы (IV.41), записанной для насыщенности на скачке s- = sc, получим, дифференцируя по t: dxjdt = [uF'(sc)]/m + [UF"(sc) + х'0 (sc)] dsjdt. (IV.42) Далее , приравнивая (IV.42) выражению дл я скорости скачка (IV.38), получим дифференциальное уравнение дл я насыщенности на скачке sc: dsddt = и [F(sc) F(S0) - F'(sc) (sc - s0)]/ (sc s") [UF"(sc) + + mx'0(sc). (IV.43) Чтобы определить значение So = s+, входящее в уравнение (IV.43), нужн о использовать условие х (Sc) = х (Sq) или UF'(sc) + тхо (sf) = UF(S0) + тх0 (s0). (IV.44) И з уравнения (IV.43) следует, что если насыщенность на скачке при его распространении остается неизменной, то она должна удовлетворять соотношению F(sc) = [F(sc) F(S0)] / (sc s0), (IV.45) впервые полученному Баклеем и Левереттом. Оно означает, что скорость распространения стационарного скачка равна скорости распространения насыщенности на скачке - см. (IV.33) и (IV.38). Уравнение (IV.43) для Sc = s получено С. Н . Бузиновым И. А. Чарным. Условие (IV.45) допускает простую геометрическую интерпретацию на плоскости переменных F, s: значение Sc находится как точка 131 касания прямой AB, проведенной из точки s = so, к кривой F(s) (рис. 39). При этом тангенс угла наклона прямой AB к оси s пропорционален скорости скачка. Если начальная насыщенность S0 постоянна, а во входном сечении х = 0 выполняется условие s (0, t) = s*, то распределение насыщенности описывается классическим решением Баклея - Леверетта х = UF'(s)/m, (s* > s > sc), х = UF'(sc)/m, (s0 < s < sc), s = So при mx/U > F'[Sc), (IV.46) в котором насыщенность на скачке постоянна и удовлетворяет условию (IV.45) при s0 = const (рис. 40). Выше рассмотрены задачи о вытеснении для плоскопараллельного одномерного течения. Однако нетрудно показать, что решения (IV.41) и (IV.46) описывают также плоско-радиальное и сферическирадиальное течение лишь с заменой координаты х на г2/2 и г3/3 соответственно. Дл я стационарного цилиндрического или сферического скачка остается справедливым и условие Бакле я - Леверетта (IV.45) Дл я общего пространственного движения выражение (IV.38) можно использовать для описания эволюции поверхности скачка (х, у, z, t), поскольку Vnc = (d^c/dt)/(d'],c/dn). (IV.47) Пусть в некоторый начальный момент вдоль поверхности скачка насыщенность постоянна и выполняется условие (IV.45). Пусть, кроме того, везде за скачком (т. е. со стороны контуров нагнетания) s > Sc, F'(s) < F'(sc), т. е. насыщенности за скачком в его окрестности не "обгоняют" насыщенность на скачке в соответствии с условиями (IV.32) и (IV.33), а насыщенность So постоянна. Тогда, очевидно, скачок и изосата s = Sc будут распространяться совместно, т. е. условие (IV.45) будет выполняться в течение конечного промежутка времени. В частности, если начальная насыщенность постоянна, РИС. 39. К графическому построению решения Бакле я - Леверетта на плоскости s, F; функци я F(S) та же , что на рис . 37 . РИС. 40. Распределение насыщен, ности при автомодельном решении задачи Бакле я - Леверетта; 1 - дл я проницаемостей , показа н ных на рнс . 37; 2 - дл я прямолиней ны х относительны х проницаемосте й (Но = 0,5 ) V v Ft(S) г \ - / > / ч Ч 132 а на нагнетательных скважина х равна s*, то в окрестности скважин в начале вытеснения осуществляется решение Бакле я - Леверетта для плоско-радиального течения. В таком случае на образующихся скачках (фронтах вытеснения) насыщенность определяется по соотношению (IV.45) и в дальнейшем при искривлении поверхности скачка продолжает оставаться постоянной и равной sc. Выполнимость условия Бакле я - Леверетта в общем случае плоского вытеснения была отмечена Г. П. Цыбульским. Ч а с т н ы е случаи . Рассмотрим некоторые частные случаи одномерной задач и вытеснения и следствия из формул Бакле я - Леверетта . Образование скачков насыщенности связано с существованием интервалов изменения s, на которых функция F(s) имеет вогнутую форму. В зависимости от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей возможно ка к отсутствие таких интервалов и, следовательно, скачков насыщенности, та к и образование нескольких скачков. Рассмотрим случай, когда относительные проницаемости могут считаться пропорциональными соответствующим насыщенностям, т. е. fi = s, /г= 1 - s. Такими функциями можно описать совместное течение взаимно смешивающихся жидкостей, когда распределение фа з в порах полностью случайно и не связано с капиллярными силами, причем кажда я из фа з сохраняет подвижность при любой насыщенности. Тогда F(S) = Sflp0 + (1 - цо) S], F(S) = р0/[р0 + (1 - р0) s] 2 , F"(S) = 2р0 (1 ji0) / [р0 + (1 и,) sp. (IV.48. Из (IV.48) следует, что функция F"(s) сохраняет знак при любых s, причем, если но < 1, то F"(s) < 0, и обратно: если но>1 , то F"( s )>0 . В первом из этих случаев по формуле (IV.37) получаем непрерывную монотонно убывающую зависимость s(x) при любом t. Вид решения Баклея - Леверетта при условии, что функция F(s) выражается формулой (IV.48) и цо = 0,5, показан на рис.40 вместе с решением Бакле я - Леверетта для обычных функций относительной проницаемости. Если PoS=O, производная F"(s) нигде не отрицательна. Вследствие этого непрерывное решение, соответствующее (IV.37), не существует. Решение со скачком соответствует предельному случаю "поршневого" вытеснения: s = 1 (х < Urn); s = S0 (х > Um). (IV.49) Физически это означает, что если вязкость вытесняющей фазы больше, чем вытесняемой, процесс вытеснения имеет поршневой характер. Если ж е больше вязкость вытесняемой фазы, фронт вытеснения "размывается". Качественное различие вида решения при значениях параметра но, больших и меньших единицы, связано с вопросом об устойчивости фронта вытеснения, рассматриваемым в § 5 настоящей главы. Решения уравнения (IV.40) с функцией F(s) вида (IV.48) рассматривались А. М. Пирвердяном в связи с задачей о перемещении водонефтяного контакта. 133 Одной из практически важных характеристик вытеснения нефти водой является коэффициент нефтеотдачи, т. е. доля вытесненной нефти от первоначального ее содержания в пористой среде. Из автомодельных решений вида (IV.46) можно получить простые соотношения, позволяющие оценить зависимость коэффициента нефтеотдачи от объема прокачанной жидкости и отношения вязкостей фаз. Пусть вытеснение происходит из элемента трубки тока между сечениями х = 0 и X=L при s (х , 0) = so = const. Поскольку условия в выходном сечении X = L не влияют на решение задачи Бакле я - Леверетта, формулы (IV.46) справедливы для образца конечной длины L, причем насыщенность в выходном сечении находится по формулам (IV.42) или (IV.46) как s(L, t). Пусть насыщенность в выходном сечении х = L, SL равна или больше насыщенности на скачке sc , определяемой формулой (IV.45), т. е. рассматриваются моменты времени после прорыва вытесняющей жидкости через выходное сечение. Для насыщенности при х = L, S = SL выполняется равенство F1(Sl) = LlUm. (IV. 50) Средняя насыщенность в рассматриваемом участке с учетом (IV.46) равн а _ L SL s=L-' J sdx = (F'(Sl))-1 I sT(s) ds = sL + ( 1 - F(s)) /F'(sL) - О s* - s* F'(s*)/F'(sL). (IV.51) Обычно вид функций /i (s) и /2 (s) таков, что /2 (s*) = 0 и /1 (s*) = 0, откуда и F'(s*) = 0. Тогда, по Уэлджу, связь между s и sL примет вид S = S Z . + (1 - F (S T ) ) /F(SL) • _ (IV.52) Отсюда следует, что при заданном sL значение s можно найти с помощью простого построения на плоскости F, s, указанного на рис. 39. В частности, средняя насыщенность при прорыве вытесняющей фазы находится на пересечении касательной к F(s) из точки so, F(SO) (дающей значение sc) с прямой F = I . Зная s, нетрудно найти коэффициент нефтеотдачи т] и обратно: •q = (s - S 0 )/( 1 - So); s = ( 1 - So) та + So. (IV.53) Кроме определения коэффициента нефтеотдачи, формулы (IV.51) и (IV.52) можно использовать для нахождения вида функции F (s) по экспериментальным данным, полученным при вытеснении нефти водой. Измеряя расходы нефти и воды q2 и q\ в каждый момент времени, можно найти по ним текущее значение функции F , соответствующее насыщенности в выходном сечении SL : F(sL) = qi/(q\ + q2). Далее, по текущей нефтеотдаче можно найти значение s в любой момент времени. После этого значение sL, соответствующее данному F, можно определить по формуле (IV.51) с учетом (IV.50): sL=l- Um(I-F)IL. (IV.54) На основе автомодельного решения Баклея-Леверетта, Д.А.Эф рос [48] и ря д других исследователей предложили формулы, позво 134 ляющие определить по данным вытеснения нефти водой в линейном образце не только функцию F(s), но и относительные проницаемости. Дл я линейного вытеснения после прорыва вытесняющей фазы перепад давления Др можно выразить формулой, следующей из (IV.41): SL Др = PIU0Umk-1 J F"(s)[/, (S) + Pof (S)]-1 ds. (IV.55) S* Заменив в соотношении (IV.55) переменную s на F' = dF/ds, получим pL J (Flfx) dF' = Др (t) kF[/u0 (t) p,L, Fl= F'(sL). (IV.56) о Полагая khp/u0 (t) pxL = П и дифференцируя соотношение (IV.56) по U = mL/FL, найдем для H (SL): U (SL) = F/[П U (dU/dU)\. (IV.57) Все величины, входящие в правую часть (IV.57), можно вычис лить по результатам измерений интегральных характеристик про цесса вытеснения и перепада давления. Схемой Бакле я - Леверетт а можно описать такж е одномерное двухфазное течение с учетом силы тяжести. В крупномасштабном приближении, т. е. в области, где можно пренебречь влиянием капиллярных сил, выражени е закона фильтрации двухфазной жидкости с учетом силы тяжести имеет вид: Ui = - (kf\ (s) Zp1) д (р + pigsin а)/дх, U2 = (kf2 (s) / ц2) д (р + P2g Sin а)/дх. (IV.58) При этом ось х направлена вверх, 0 < о. < . Уравнения неразрывности сохраняют для прямолинейного течения вид mds/dt + ди\/дх = 0, щ +U2= и (t). (IV.59) Простые преобразования приводят к одному уравнению для s, если u(t) задано: mds/dt + udF (s)/dx - Wd [f2 (s) F (s)] Idx = О, (IV.60) где IF = (kg(p2) (Pl - р2) sin а, U1 = uF (s)- Wf2(S)F (s). Решение уравнения (IV.60) определяется интегрированием системы уравнений характеристик dx/dt = и (t) F' (s) - Wdf2Flds; s = const. (IV.61) Если характеристики, определяемые уравнениями (IV.61), пере секаются на плоскости х, t, для отыскания решения, имеющего физический смысл, нужно вводить скачки насыщенности. Условия 135 на скачках снова выражаются формулами (IV.36) и (IV.38), где вместо F (s) следует подставить функцию (s, t) = uF- Wf2F. Особый интерес представляет течение при условии и (t) = 0, что соответствует разделению фаз под действием силы тяжести (гравитационная сегрегация). Если пласт неограничен по толщине, а жидкости вначале разделены резкой горизонтальной границей, причем более тяжелая жидкость находится сверху, т.е . S = I при х > О, S = O при х < 0, решение уравнения (IV.60) при и = 0 может быть записано в виде S = xmlWt = d. (f2F) Ids. (IV.62) Функция ф (s) -f2F, типичный вид которой изображен на рис. 41, имеет две точки перегиба, что вызывает возникновение двух скачков, на которых должно выполняться условие dxjdt = Sc = [ф (SC) - ф (so)] / (SC S0). (IV.63) Дл я стационарного скачка должно выполняться условие, аналогичное (IV Л 9): f (Sc) = [ф (SC) - Ф (So)] / (s, So). (IV.64) Согласно этому условию, насыщенности sci и SC2 находятся с помощью графического построения на плоскости ф, s, показанного на рис. 41. Соответствующая картина распространения скачков на плоскости s, S показана на рис. 42. Предлагаем читателю самостоятельно исследовать движение, возникающее, когда при всех х >0 s(0, t) = Si = const, s* < Si < s*, граница x = 0 непроницаема, что соответствует сегрегации равномерно распределенных фаз. § 3. Структура течения при мелкомасштабном описании. Стабилизированная зона. Капиллярные эффекты в пористых средах. Стабилизированна я зона . При крупномасштабном асимптотическом описании вытеснения несмешивающихся жидкостей воз .\L), т. е . полежим безразмерную координату X равной х/l, сохранив Y = y/L, Z = z/L. Масштаб времени примем равным to = l/u0 = a2/ul и положим т = t/t0 = Uotla2. Тогда система уравнений (IV. 19), (IV.20) при пренебрежении членами порядка в и выше сведется к следующей: д [<р (s) д П /дХ] /дХ = 0, ср (s) д П /дХ = - ш (У, Z, т), (IV.65) ds/dx + (ш/m) F' (s) ds/dX -д2Ф (s) /дХ2 = 0, ш = и/и0. (IV.66) Система уравнений двухфазной фильтрации свелась к одномерной ввиду того, что радиус кривизны поверхности разрыва, определяемый условиями внешнего течения, имеет порядок L и все вторые производные по координатам Y K Z ВХОДЯ Т В уравнения с коэффициентами, пропорциональными е, а производные по X - с коэффициентами порядка единицы. В пределах переходной зоны, где течение можно считать одномерным, суммарная скорость ш фильтрации обеих фаз вдоль оси X не зависит от "быстрой" координаты X , а зависит только от "медленных" переменных - времени т и координат на поверхности скачка YhZ. Изменение скорости ш происходит за времена порядка L/uо, т. е. большие в масштабе внутреннего разложения. Установление распределения насыщенности вдоль переходной зоны происходит за время t0 = a2/ul, т. е. много быстрее, чем изменение скорости. Поэтому при асимптотическом исследовании течения в переходной зоне (внутреннее разложение) скорость ш можно считать постоянной, а распределение насыщенности - стационарным в координатах, связанных со скачком. Уравнение (IV.66), описывающее одномерное вытеснение несмешивающихся жидкостей с учетом капиллярных сил, называется уравнением Рапопорта - Лиса. Основное значение имеет его решение типа бегущей волны s s (С); C = X V°T; V0 = V/U0, (IV.67) где V - скорость распространения скачка, определяемая из внешнего разложения. Именно это решение описывает распределение насыщенности поперек скачка, поскольку внутренняя структура скачка очень быстро приспосабливается к изменению внешних параметров. В сил у большого различия масштабов / и L(/- °° имеем в первом случае ности в стабилизиркованной зоне S ^ S c C 1 ехр ,,, (С/В) uo C i C ^ B In (sc - s), (IV.73) а во втором s^ sc+ C2/с, с = C 2 / (S-S c ) . (IV.74) 138 °'5 n г При s^so , т.е . C ^ + со, знаменатель подынтегрального выражения в (IV.71) и (IV.72) имеет порядок s - so. Поэтому, если F (s) и F' (s) конечны при s =S 0 , то имеем С - Cl ^ C 3 I n ( S S 0 ) . (IV.75 ) Если F(So) = O, то So < s*. Это означает, что вытесняющая фаза при С + со находится в несвязном состоянии. Рассмотрим вначале случай So = Si.. Тогда, учитывая, что Ф' (s)= - f2(s)F(s)J' (s) и что при s, близких к s*, F(s)^f i (s) ^ ( s - г д е р>1 , характер функции С (s) будет зависеть от сходимости интеграла I (Si) = ]' ( s s ^ Ч ' (s)ds. (IV.76) S1 Есл и интеграл (IV.76) сходится, то s обращается в St при конечном значении С, если же расходится, то у кривой s(C) имеется горизонтальная асимптота. Ка к уже отмечалось в § 1 данной главы, капиллярное давление и функция Леверетта J (s) должны быть конечными при "неподвижной" насыщенности st, поэтому сходится интеграл jV'(s)d s и тем более интеграл (IV.76). Расходимость интеграла (IV.76) может быть лишь следствием неудачной аппроксимации эмпирических функций отнссителгной проницаемости и функции Леверетта. Cic ддимость интеграла (IV.76) при s Sii означает, что равенство s = St достигается при конечном значении координаты С = С, и при всех С > С, s остается постоянным и равным st, т. е. существует выраженный фронт вытеснения. Если же насыщенность So при С > + о о меньше st, то для всех s в интервале S0 < s < st C = ccnst, т. е. насыщенность от S0 до St меняется скачком. Возникновение скачка в решении задачи о вы теснении с учетсм капиллярных сил связано с допущением, что при насыщенностях, меньших SP, ЕСЯ Еытесняющая фаза находится в не связном состоянии. По-видимому, на самом деле часть этой фазы вблизи фронта становится подвижной и при насыщенностях, мень ши х, чем st, и вблизи скачка имеется зона, где происходит обмен между связной и несвязной частями вытесняющей фазы. Ка к было сказано, протяженность стабилизированной зоны обратн о пропорциональна а2 /и0 , т. е. при использовании одной и той ж е среды и жидкостей обратно пропорциональна скорости вытеснения . Экспериментальная проверка этой зависимости проведена В. Н. Мартосом и В. М. Рыжиком. В экспериментах воздух вытеснялся водой при атмосферном давлении на Еыходе с постоянной скоростью из горизонтальных труб длиной 170 см, заполненных кварцевым песком с проницаемостью 10 мкм2 и пористостью 0,40. Начальна я (неподвижная) водонасыщенность равнялась 0,21. Распределение водонасыщеннссти по длине модели измерялось методом электросопротивления. Скорость вытеснения U0 менялась в пределах 1,1 • Ю 5 - 2 • Ю 4 м/с. Во всех экспериментах и:менение водона сыщенности со временем в различных точках по длине модели практически повторялось со сдвигом, обратно пропорциональным скорости вытеснения, т. е. образовывалась стабилизированная зона. Протяженность стабилизированной зоны d условно определялась как расстояние между точками с насыщенностями 0,40 и 0,80. Из рис. 44 видно, что при малых скоростях (V 1 > 2 • IO4 с/м) d при 139 близительно пропорционально V 1 , как и следует из вышеуказанной теории. Однако при значении V 1 около 1 • IO4 с/м d(V~x) имеет минимум, а при меньших значениях V1 снова наблюдается рост стабилизированной зоны. По-видимому, увеличение d связано с неравновесностью вытеснения, т. е. с запаздыванием перераспределения фаз в порах (см. § 4 данной главы). Существование минимума на кривой d(V~l) согласуется с обнаруженным ранее В. Г. Оганджанянцем наличием максимума на кривой зависимости нефтеотдачи при прорыве воды от скорости вытеснения. Область применимости уравнения Рапопорта - Лиса ограничивается в описанных экспериментах скоростями менее 5 • Ю-"5 м/с или значениями безразмерного параметра Nc Nc = < 0,7 • 10-е. а Такое критическое значение Nc на несколько порядков ниже критических значений Nct необходимых для движения в порах изолированных капель, разме р которых сравним с размером пор (см. § 1 данной главы) . Ка к и аналогичный результа т Д . А. Эфроса и В. П. Оноприенко о влиянии параметр а Nc = П1 на нефтеотдачу, это означает, что характерны е размеры систем поровых каналов, занятых каждо й из фаз, и изолированных скоплений каждой фазы намного больше характерных размеров пор. Соответственно могут быть значительными и характерны е времена перестройки потока под действием капиллярны х сил. Возникающие при такой перестройке неравновесные явления в ходе вытеснения несмешивающихся жидкостей изучаются в § 4 настоящей главы. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я и к о н ц е в ы е эффекты . Рас смотрим задачу о вытеснении несмешивающихся жидкостей из образц а длины L с учетом капиллярных сил в одномерной постановке, т. е. на основе уравнения Рапопорта - Лис а (IV.66), которое запишем в размерных переменных: asIdt + (U0 F'(s) lm) ds/dx - а2д2Ф (s) Idx2 = 0, (IV .77) РИС. 4 i. Экспериментальная зави симость ЗОНЫ Ol нения L . . 1И длины стабилизированной обратной скорости вытес РИС. 45. Функци я Ф (s) XL 20 \ . IO о 140 160 V-' с/см где а2 = aV'k/рУт, Ф (s) = - J / а (s) ^7 (s) J' (s) дз. о В тех же обозначениях из уравнений обобщенного закона Дар си (IV. 11) и (IV. 12) следует: Ui = U0F(S) - а2тдФ/дх, U2 = и0 - щ. (IV.78) Типичный вид функции $(s) , соответствующей относительным проницаемостям fi (s) = S4 / 2 (s) = (1 + s) (1 - s)3 и / ' (s) = s1 ^ , по казан на рис. 45. Пусть образец длины L первоначально заполнен вытесняемой жидкостью с насыщенностью о0 (х) =1- S 0 (х), и через сечение X = = О начинается закачка вытесняющей фазы со скоростью фильтрации U = U0 (t). Уравнение (IV.77) - квазилинейное уравнение в частных производных второго порядк а параболического типа. В задаче о вытеснении дл я этого уравнения должны быть заданы граничные условия как во "входном" сечении при х = 0, так и в "выходном", при х = L. Формулировк а граничных условий зависит от состояния жид костей и пористой среды вне рассматриваемог о образц а и от преимущественной смачиваемост и его скелет а вытесняющей или вытесняемой фазой, т. е. в случае вытеснения нефти водой от того, являетс я среда гидрофильной или гидрофобной. Заданным и на входе могут быть отношение скоростей фильтрации фа з либо насыщенность, либо некоторая их комбинация. Рассмотри м некоторые типичные постановки. Пусть пористая сред а соприкасаетс я при х< 0 со свободным пространством, заполненным нагнетаемо й вытесняющей фазой. При этом возможн ы две ситуации. Если вытесняюща я фаз а менее смачивающая , то только она и будет двигатьс я в сечении, примыкающе м к входному концу, т. е. будет выполнятьс я условие равенств а нулю скорости фильтрации вытесняемой фаз ы при х = 0, что с учетом формул (IV.78) дае т U2 = U0 (1 - F (Si)) + а2тдФ/дх = 0, * = О, (IV.79) где s i = s (0, t). Если ж е вытесняюща я фаз а более смачивающая , чем вытесняема я (гидрофильна я среда) , то последняя може т выходить в свободное пространство путем противотока. Поэтому условие (IV.79) выполняется только в том случае, если на входном конце образц а установлен а полупроницаема я мембран а (из материал а противоположной смачиваемости) , не допускающа я противоточной фильтраци и вытесняемой фазы . Если ж е возможе н выход несмачиваемой вытесняемой жидкости в свободное пространство, заполненное вытесняющей фазой, то тако е истечение происходит в виде отдельных капель, радиус которых г р близок к радиусу самы х крупных пор. В тако м случае при х = 0 задаетс я условие 141 равенства капиллярного давления в среде капиллярному давлению в капле Pc (si) = 2аIrp, (IV.80) откуда определяется значение si = s(0, t). Поскольку радиус гр велик по сравнению со средним радиусом пор, Si оказывается близким KS* - максимально возможной насыщенности при вытеснении. Условие (IV.79) в безразмерных переменных внешнего разложения X = x!L, х = UoiIL имеет вид 1- Z y (Si) + ейШс],=,) = О, (IV.81) где s = O1IuoL - малая величина. При s -"0, т. е. в рамках нулевого приближения внешнего разложения, условие (IV.81) сводится к F (si) = 1 или si = s*. Формулировка условия при X = L также зависит от состояния среды вне рассматриваемого образца и может быть различной. Предположим, что при х > L находится пористая среда, проницаемость которой kt много больше, чем проницаемость рассматриваемого образца, первоначально насыщенного вытесняемой фазой. На границе двух сред при двухфазном течении должно выполняться условие непрерывности давления в обеих фазах и, следовательно, непрерывности капиллярного давления . Из соотношения Леверетта (IV. 10) следует, что в высокопроницаемой среде капиллярное давление близко к нулю при всех насыщенностях, соответствующих подвижным фазам. Поэтому в основной (малопроницаемой) среде при равенстве капиллярных давлений насыщенность должна быть близка к s*, если вытесняющая фаза более смачивающая (гидрофильная среда при вытеснении нефти водой), и к st, если она менее смачивающая (гидрофобная среда). Предельный переход kt -"да приводит к случаю, когда при х> L происходит истечение в свободное пространство, причем выполняются граничные условия вида S (M ) = S*, S (M ) = S,. (IV.82) для гидрофильной и гидрофобной сред соответственно (под s подразумевается насыщенность вытесняющей фазой). Условия (IV.82) в отличие от (IV.81) не согласуются с условиям и при x=L , вытекающими из внешнего разложения (решение Бакле я - Леверетта), в котором s (L, t) = sL - переменная величина, определяемая из равенства L= U0F' (sL)tlm. Несогласованность граничных условий означает, что вблизи границы X = L образуется узкая зона (пограничный слой) с переменной насыщенностью, меняющейся от SL ДО ST или до s*. Распределение насыщенности в этой зоне можно исследовать методом сращиваемых асимптотических разложений, вводя, как и в стабилизированной переходной зоне, "капиллярный" пространственный масштаб 1 = а21и0, сохраняя, од нако, масштаб времени внешнего разложения. Заметим, что при вытеснении нефти водой из гидрофильной среды начальная насы щенность S0 < s*. Значение s = s* при X=L достигается после подхода воды к выходному сечению не мгновенно, а через времена 142 порядка t0 = Ci2Iu2. Значение to много меньше характерного времени вытеснения Llu0', период установления насыщенности s* при X=L нами не рассматривается. Перейдем в уравнении (IV.77) к безразмерным переменным ? = м0 (L- х) /та 2 , т = = Uotlm. В результате имеем zdsldx - F' (s) dsldt - д2Ф (s) Idi2 = 0. (IV.83) В нулевом приближении распределение насыщенности удовлетворяет стационарному уравнению dFldl + д2Ф Idl2 = 0. (IV.84) Это означает, что ьблизи выходного сечения распределение насыщенности в ходе РИС. 46. Распределение насыщенности при вытеснении нефти водой с учетом концевых эффектов Среда : 1 - гидрофильная : 2 - гидрофобна я вытеснения квазистационарно. Граничные условия для уравнения (IV.84) определяются следующим сбразом: при ? = 0 выполняется условие (IV.82). При \ -> оо должно выполняться условие асимптотического сращивания с тем значением s, которое получается на границе X=L во внешнем приближении, т. е. в решении задачи Баклея - Леверетта s(-оо,/) =sL(t), где Sl определяется из (IV.46) как s(L,t). Интегрируя уравнение (IV.84), получим распределение насыщенности вблизи x=L , удовлетворяющее граничным условиям при $ = 0 и £ = -оо (рис. 46). Гидрофильная среда s Гидрофобная среда < l v 8 5 > р Г Ф' (s) ds ? J f ( S ) F ( S ) ' s , L Отклонение распределения насыщенности вблизи выходного сечения от распределения, полученного без учета капиллярности и справедливого вне концевой области, называется к а п и л л я р ны м к о н ц е в ы м э ф ф е к т о м . И з формул (IV.85) следует, что распределение насыщенности после полного вытеснения нефти в гидрофобной и гидрофильной пористых средах различное, т. е. в зависимости от того, кака я из фа з является более смачивающей. Для гидрофильной среды при t о о , s* амплитуда изменения насыщенности в интеграле (IV.85) стремится к нулю, и в пределе s = s* при всех х О < х < L, т. е. во всех точках, достигается предельная насыщенность. Если среда гидрофобна, то SL s , а нижним пределом в (IV.85) является S4. Поэтому с ростом sL интеграл стремится к конечному пределу для всех s < SL. Это означает, 143 что после полного вытеснения, т, е. после прокачки неограниченного объема воды, в гидрофобном образце остается конечный объем нефти с насыщенностью выше н еподвижной а = 1 - s*. Перепишем интеграл (IV.85) для гидрофобной среды в размерных переменных (IV.86) Формула (IV.86) описывает стационарное распределение остаточной нефти в образце. И з нее следует, что протяженность зоны концевого эффекта , т. е. зоны, содержащей остаточную нефть, обратно пропорциональна скорости вытеснения. Таким образом, конечная нефтеотдача гидрофобных сред возрастает с ростом скорости вытеснения, а нефтеотдача гидрофильных сред от скорости не зависит. Этот вывод был неоднократно подтвержден экспериментально. К а п и л л я р н а я пропитка . В неоднородных пластах возможны ситуации, когда при вытеснении несмешивающихся жидкостей влияние капиллярных сил на процесс вытеснения оказывается доминирующим. Важнейшим процессом подобного рода является капиллярна я пропитка - самопроизвольное впитывание более смачивающей фазы в пористую среду, насыщенную другой фазой, без внешнего воздействия на какую-либо из жидкостей. Та к обстоит дело, когда малопроницаемый блок породы, насыщенный нефтью, оказывается окруженным со всех сторон водой, продвигающейся по высокопроницаемым участкам. Тогда извлечение нефти из этого блока возможно лишь за счет капиллярной пропитки. Дл я получения качественных оценок рассмотрим следующий идеализированный процесс. Пусть цилиндрический образец пористой среды первоначально заполнен менее смачивающей фазой. Боковые поверхности и один из торцов предполагаются непроницаемыми, а свободный торец в начальный момент приводится в соприкосновение со смачивающей жидкостью. В результате начнется процесс противоточной капиллярной пропитки, т. е. смачивающа я фаз а будет впитываться, а несмачивающая выходить через единственную открытую торцевую поверхность. Очевидно, впитывание будет происходить преимущественно по мелким порам, а выход несмачивающей фазы - по крупным. Ка к показывают эксперименты по противоточной пропитке, проведенные на прозрачных образцах, фильтрация обеих фа з во встречных направлениях происходит равномерно по всему сечению, и кажда я из фа з движется по своей системе поровых каналов. Противоточную пропитку поэтому можно рассматриват ь в рамка х представлений, принятых для обычной одномерной двухфазной фильтрации. Относительные проницаемости для противоточного течения могут отличаться от соответствующих функций при однонаправленном течении обеих фаз. Однако в последующем качественном исследовании это различие не учитывается. 144 Уравнение закон а фильтраци и будем записыват ь в виде (IV. 10) и использовать уравнение Рапопорт а - Лис а (IV.77) при условии дл я противоточного течения: U0 =U1+ U2 = 0. (IV.87) что дает Из (IV.78) ds/dt - a2d2Ф (s)/dx2 = 0. (IV.88) щ = а2т ~ = a2mh (s) F(s)J' (s) * (IV.89) В задаче о противоточной капиллярно й пропитке граничным условием во входном сечении должно быть равенство нулю капиллярног о давления, так как Pc = 0 в свободной жидкости. Иными словами, s(0 , t) = s*, где s*- предельная насыщенность, при которой вытесняемая несмачивающая фаза переходит в несвязное состояние и капиллярно е давление обращается в нуль. Поскольку / 2 (s*) = 0, то для того, чтсбы при s s* ti\ и U2 оставались конеч Qs ными, необходимо, чтобы предел f2(s)J'(s)^ при х ->0, s ->s* был отличен от нуля . В закрытом сечении при X = L выполняется условие U1 = U2= 0, т. е. либо s < s,, либо ds/dx = 0. Пусть начальная насыщенность постоянна и равна SoРассмотрим течение при временах t, удовлетворяющих неравенству £/ а 2 " t " L2Ia2, (IV.90) т. е. таких, когда распределение насыщенности в порах в тонкой зоне вблизи входного сечения (толщиной порядка размера пор) уже установилось, но возмущение не дошло до сечения х =L . Тогда s должно быть функцией только трех размерных переменных х, t и а2, из которых может быть составлена единственная безразмерная комбинация \ = x/a~\ft, т. е. задача является автомодельной. Уравнение (IV.89) переходит в обыкновенное диффе ренциальное уравнение lds/di + 2d2/d¥ = 0 (IV.91) с граничными условиями s(0) = s*, s(со) =s0. (IV.92) Дл я s, близких к s*, Ф (s) можно приближенно представить в виде (r)(s)^(r) 0 - A (s* - s)n. Тогда решение уравнения (IV.91) при условии s(0) = s* имеет дл я малых \ вид s* - s =Cl2ln-1. Меняя С, можно получить семейство решений, каждому из которых соответствует свое значение s(oo) = s0 . Если s(0) s, можно получить подбором такого значения свободного параметра, при котором выполняется второе краевое условие. 145 Обращаясь к случаю So < ST, отметим, что уравнение (IV.91) при s, близких к s( , имеет вид 2 A \d'2an/dl2 + Ыо/dl О, (IV.93) где a = s - st ; Ф (s) Л! (s - sj" , если s-+st. Дл я всех реальных кривых относительной проницаемости и капиллярного давления п > 1. Как было показано в § 5 гл. II , решение уравнения вида (IV.93) достигает граничного значения а ~ 0 при конечном значении \ = с. В данном случае это означает, что существует "фронт пропитки". Вблизи точки \ = с, а = 0 решение уравнения (IV.93) асимптотически представляется в виде 2A\tx (л;"' (2с 1 + с х )~Чх . о (IV.94) Если S0 < s", то на фронте пропитки, как и выше, в случае стабилизированной зоны, возникает скачок насыщенности от So до st в точке Ч = с. Физический смысл этого скачка тот же, что и скачка впереди стабилизированной зоны. На скачке должно выполняться условие (IV.36). Из формул (IV.89) и (IV.94) получим для Ui (? = с) выражение Ui = (атФ' (s)lVT) ds/dl = amcxlVT. (IV.95) Из условия на скачке V = UI/M(st - s0) = ас/2 Vt, откуда 2с, =C(S-S 0 ) . (IV.96) Тогда из (IV.94) имеем c c = 2c-'(s-sj"/(s.-s 0 ) , (IV.97) с ~ = (п-1)с (s ~ s ^ ' ^so = (I V ' 9 8 > Соотношения (IV.97) и (IV.98) позволяют выделить из семейства интегральных кривых, удовлетворяющих условию при S = O, те, которые соответствуют заданному значению So < st. РИС. 47. Распределение насыщенности при противоточной капиллярной пропитке 146 Ifc^ 1 с] ч Г РИС. 48. Зависимость средней насыщенности от безразмерного времени при противоточной капиллярно й иропитке Заметим, что при S0=St вблизи t = c Ui^zamca/2 Vt, т.е . "истинная" скорость впитывающейся фазы U\/ma при ау 0 остается конечной. В задачах двухфазной фильтрации в трещиновато-пористых средах (см. ниже) используется функция, выражающая зависимость средней насыщенности пропитывающего блока пористой среды от времени. Чтобы получить эту зависимость, следует решить задачу о пропитке образца конечной длины. Если начальная насыщенность So < st, скорость "фронта пропитки" хс конечна, то до подхода его к непроницаемой границе X = L можно использовать автомодельное решение s(£). При этом средняя насыщенность _ I xO _ S = jIsdx = S0 + KVx (т < С-2), (IV.99) о где С К (S0, s0) = $(s-s0)dl HV.100) о Чтобы получить приближенное решение для моментов времени t > tc, воспользуемся методом интегральных соотношений. Проинтегрировав уравнение (IV.91) по л: от 0 до L, получим а2 Ф' (s") (dsjdx) о = LdsIdt. (IV. 101) Будем искать распределение s в виде (с учетом условия при ^= L): S = S 0 2x(2L - X)(S° - s)/3L2. (IV. 102) Тогда из (IV. 101) получим d's/dt = 3a2(r)'(so) (s0 - s)/ZA (IV. 103) Интегрируя уравнение (IV. 103) при условии, что t=tc и решение совпадает с (IV.99), получим окончательно ; = so _ (So _ S o __ K j d ) е х р [_ЗФ ' (S0) ( т _ Те) ] (IV. 104) при т > тс = с~2, где т = a2t/L2. Зависимость s(x), соответствующая формулам (IV.99) и (IV. 104), приведена на рис. 48. Модел ь вытеснени я в среда х с двойно й пористос тью . Полученные ранее соотношения, характеризующие капиллярную пропитку, используются для построения модели вытеснения нефти водой в средах с двойной пористостью, т. е. состоящих из областей с проницаемостью k\, в которых имеются включения с проницаемостью k 2 <^ki . При движении вытесняющей воды по водопроницаемым зонам малопроницаемые блоки оказываются окруженными водой, и нефть из них извлекается путем противоточной капиллярной пропитки. Ограничимся здесь только случаем трещиновато-пористых сред, общая характеристика которых приведена в § 4 гл. III, и воспользуемся гипотезами модели фильтрации в трещиновато-по 147 ристых среда х (см. рис. 34) . Инач е говоря, предположим , что емкость трещин намног о меньше пористости блоков, а проницаемость блоков, напротив, пренебрежим о мал а по сравнени ю с проницаемостью системы трещин . Вода движетс я по системе трещин, впитываетс я в пористые блоки, вытесня я нефть. Поступа юща я из блоко в нефть движетс я дале е по системе трещин . Пренебрега я непосредственным переносом жидкост и по блока м и емкостью трещин, уравнени я неразрывност и в каждо й из систем двойной среды можн о получить в виде diva , + q = 0, mds/dt - q = О, (IV.105) где и\ - скорость фильтрации вытесняющей фазы; s - насыщенность в блоках; q - интенсивность обмена жидкостью межд у трещинами и блоками, определяемая скоростью капиллярно й пропитки . В принятой модели с момента подхода воды к блоку на его границе мгновенно устанавливается максимальное значение насыщенности s*, соответствующее P c = O. Тогда интенсивность пропитки и обмена жидкостью между фазами зависит только от времени нахождения данного элемента или блока в обводненной зоне. В одномерном случае система (IV. 105) примет вид dui/dx +< 7 = 0, mds/dt -q = 0. (IV. 106) Введем, следуя Ю. П . Желтову , В. JI. Данилов у и А. А. Бок серману, неизвестную функцию t0{x) -врем я прохождения фронта воды в трещинах через точку с координатой х. Тогда интенсивность перетоков q в уравнения х (IV. 108) будет функцией времени нахождения блока в зоне за фронтом t-t0(x) = i. Вид функции q( т ) может быть установлен, например, исходя из выражения для пропитки одного элемента (IV.104). q(т) должно быть пропорционально ds/dz, т. е. q =NlUt)-'/г, т < тс; (IV 107) q = (N&VL*) exp ( U/tt), , > тс, > где N\ , N2 и \ - постоянные. Выражение (IV.107) получено из приближэнно й формулы (IV. 104). Болег удобно использовать для q (т) единую аппроксимацию для всех х, например, предложенную Э. В. Скворцовым, формулу q (т) = Аг~ь'/У^ (IV. 108) Постоянные A u b подбираются так , чтобы ближе соответство вать формулам (IV. 107) или экспериментальным данным. Рассмотрим одномерную задачу вытеснения нефти водой из трещиновато-пористой среды для модели, описываемой системой (IV.106). Проинтегрируем первое из этих уравнений от х = 0 до фронта воды х = Xo (t) = f (/). t U1(Z)= J q[t - T (x)\dx = ^q(t - T)f (T) dT. (IV. 109) 148 Если задана скорость вытеснения при х=0 M1 (t), то, решая интегральное уравнение (IV. 109), можно найти скорость продвижения фронта / (t) и обратную функцию t0 (х). Тогда из второго уравнения системы (IV. 106) найдется распределение насыщенности в блоках s-So=y~] { X ) q(z)dx . (IV.110) о Правая часть уравнения (IV. 109) имеет вид свертки, и оно может быть решено методом преобразования Лапласа. Пусть U (X), Q(X) и 1F(X) - преобразования Лапласа функций M1 (t), q (t) и / (t) соответственно. Тогда из (IV. 109) получим, пользуясь теоремой о свертке и условием / (0) = 0, W(I) = U (I)IlQ (к). (IV. 111) Пуст ь q (t) Еыргжается формуло й (IV.1C8) и M = W0 = Consl Тогда W(K)= U 0 V ^ T B I Л V ^ 2 - ( I V . 112 ) В результате по таблицам преобразования Лапласа можно найти / (t) = (ио/А V*) (1 + 2 Ы ) erf (VFt) + (2U0 IA V^>) (1 + е-*') , (IV. 113) /' (t) = (2м0 VbIA Vъ) erf (VFt) . (IV. 114) Из формулы (IV. 114) следует, что при t с о скорость пере мещения фронта V = 2"о |/г/ Л К* . (IV. 115) Если /'( 0 = V = const, то в соответствии с формулой (IV. 110) получим s = S0 + (S0 - So) erf (Vb (t - xlV)). (IV. 116) Таким образом, s есть функция х-Vt, т.е . при t со рас пределение насыщенности приобретает вид бегущей волны. Bc е изменение насыщенности от S0 до S0 происходит в зоне, перемещающейся с постоянной скоростью, протяженность которой имеет порядок U0I2Ia2. Эта зона по аналогии с рассмотренной выше зоной вблизи скачка при обычном вытеснении получила название стабилизи р ованной . Однако в отличие от зоны, описываемой уравнениями (IV.71) или (IV.72), протяженность стабилизированной зоны пропорциональна м0, а не U j f Д л я трещиновато-пористой среды капиллярные силы оказывают стабилизирующее влияние на процесс вытеснения. В случае однородной среды капиллярные силы вызывают диссипацию ("размазывание") фронта вытеснения (см. § 4 данной главы). 149 § 4. Неравновесные эффекты при двухфазно й фильтрации Н е р а в н о в е с н о с т ь распределени я фа з в пори сто й среде . Ка к уж е говорилось, в основе классической теории двухфазной фильтрации лежит представление о том, что распределение фа з в элементарном макрообъеме порового пространства (а потому и гидродинамические характеристики - капиллярное давление и фазовые проницаемости) полностью определено, если известно локальное значение насыщенности s. Физический смысл этого заключается в том, что из всех возможных распределений фаз реализуется термодинамически наиболее выгодное (т. е. равновесное). Установление равновесного распределения фаз, однако, требует определенного времени. Это время зависит от того, что реально понимается под "элементарным макрообъемом" •- той предельной степенью дискретизации, которая допускается в теории фильтрации. Ограничимся в рассуждениях лишь наиболее простым случаем, когда речь идет о двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей - воды и нефти, а термодинамическое равновесие, по существу, равновесие капиллярное; тогда на основе результатов § 3 данной главы имеем оценку для времени установления т ~ [л/2/£Дрс ^ Ci^6-1/2/01, (IV. 117) где k - проницаемость элемента неоднородности среды; I - его линейный размер; Дрс - действующая разность капиллярных давлений. Задавая масштаб осреднения \ при описании двухфазного течения, мы тем самым неявно устанавливаем и характерный масштаб времени, отделяющий "медленные" процессы двухфазного течения, к которым применима классическая теория вытеснения, от "быстрых", на которые могут существенно влиять неравновесные процессы. Практическая значимость неравновесных эффектов определяется тем обстоятельством, что реальный масштаб осреднения в задача х разработки нефтяных месторождений сопоставим с расстоянием между скважинам и и составляет, по крайней мере, десятки метров. Соответствующие времена установления равновесия т измеряются годами. Поэтому неравномерность фильтрации будет существенно влиять на показатели разработки, и важн о знать возможные последствия такого влияния. Есть другая - чисто теоретическая - необходимость анализа неравновесных эффектов. Действительно, согласно классической теории, в потоке имеются области резкого изменения насыщенности - фронты вытеснения. Толщина фронтов (см. § 3 данной главы) уменьшается с ростом скорости вытеснения, и при этом увеличивается скорость изменения во времени насыщенности внутри фронтов. Это означает, что с увеличением скорости вытеснения обязательно наступит момент, когда характерное время изменения насыщенности станет сопоставимым с временем установления "внутреннего" капиллярного равновесия. При больших скоростях класси 150 ческая теория становится неприменимой, и следует учитывать эффекты неравновесности. М о д е л ь н е р а в н о в е с н о й двухфазно й фильтра ции . Основные эффекты неравновесности ясно обнаруживаются при анализе простейшей модели [5]. Рассмотрим процесс вытеснения несмачивающей жидкости смачивающей из гидрофильной пористой среды. В стационарном потоке каналы, по которым перемещаются фазы, различные: по более узким перемещается смачивающая фаза , по более широким - несмачивающая. По мере возрастания насыщенности смачивающей фазой ей предстоит вытеснить несмачивающую из части занятых ею каналов (наиболее узких) . Это происходит не мгновенно, и на промежуточном этапе часть вытесняемой фаз ы задерживаетс я в узких каналах , а часть вытесняющей временно движется по более широким, чем в стационарном потоке, каналам . Поэтому фазова я проницаемость для вытесняющей фазы временно выше, а для вытесняемой - временно ниже, чем в стационарном потоке при той ж е насыщенности. (Дл я простоты ограничимся крупномасштабным анализом без учета капиллярного давления) . Существенно, что фактически речь идет не обязательно о канала х в масштабах отдельных пор, а о каналах , образующихся в реальной пористой среде с присущей ей неоднородностью разных масштабов. Из вида кривых относительных проницаемостей (см. рис. 37) ясно, что увеличение фазовой проницаемости вытесняющей жидкости в нестационарном потоке эквивалентно как бы мгновенному установлению стационарной фазовой проницаемости, отвечающей некоторой увеличенной по сравнению с действительной насыщенности. Аналогично уменьшение в нестационарном потоке фазовой проницаемости для в-ытесняемой жидкости эквивалентно как бы мгновенному установлению стационарного значения, соответствующего увеличенному значению насыщенности вытесняющей жидкостью. Пренебрегая возможным различием между "эффективным увеличением насыщенности" для обеих фаз, примем следующую гипотезу. При нестационарной фильтрации несмешивающихся жидкостей неравновесные фазовые проницаемости при насыщенности s равны фазовым проницаемостям при некоторой эффективной насыщенности s. Гипотезой здесь, конечно, является лишь то, что эффективная насыщенность s одинакова для обеих фазовых проницаемостей. С учетом сказанного основные уравнения движения записываются в виде m s , + v " I = 0 , _ m s , + v " 2 = 0, (IV. 118) U1 = - (k/p2)fi(s)v pi. (IV. 119) Чтобы замкнуть эту систему, необходимо связать эффективную насыщенность s с истинной насыщенностью s. Естественно предпо 151 ложить, что отличие s от s определяется локальной скоростью изменения насыщенности s t и характерным для данной среды временем установления равновесия т. Тогда, используя соображения размерности, получим: s _ s =(",) , (IV. 120) где Ф - неотрицательная при положительных значениях аргумента функция, причем, очевидно, Ф (0) = 0. Ограничиваясь линейным разложением функции Ф и полагая коэффициент разложения равным единице (это эквивалентно переопределению времени т, определенного лишь с точностью до порядка), положим окончательно J - S = -ZSj. (IV. 121) В рассматриваемой упрощенной модели будем считать т по стоянной величиной. Соотношения (IV. 118), (IV. 119) и (IV. 121) можно, как и в клас сической теории, привести к системе двух уравнений для насы щенности s и полной скорости фильтрации U: ms,t + V [UF (s -f ts,<)] = 0; VU = 0. (IV. 122) Существенно, что первое уравнение системы (IV. 122) уже не разрешено относительно производной по времени. Стабилизированна я зона . Произведем асимптотический анализ решений системы (IV. 122) по аналогии с анализом, данным в § 3 настоящей главы. В результате получим решение, описывающее стабилизированную зону, но иной физической природы. Перейдем к безразмерным переменным b = t/tu I = XlL, s, У = U/Uu a y 123) = (X 1 L^V , Ui=MplplL, если задано давление на границе области движения; t\ = L/U\, U1 = Uо, если задана нормальная компонента полной скорости фильтрации на границе. Здесь Ар - характерный перепад давления на границе; U0 - характерная скорость на границе; L - характерный размер области. Уравнения (IV. 122) принимают вид ms, b + 4[VF(s + ElS,b)] = 0, V V = 0, г , = т//, . (IV.124) Проведем асимптотический анализ системы (IV.124) в предположении, что параметр s, мал. При этом для внешнего решения получаем ту же задачу, что и в § 2 данной главы, определяющую прежний вид решения с поверхностями разрыва насыщенности. Неравновесность скажется только на внутреннем решении. Область быстрого изменения насыщенности представляет собой тонкий пограничный слой вблизи поверхности разрыва насыщенности внешнего решения. Вновь введем локальную декартову систему координат с началом в произвольной точке поверхности разрыва S внешнего решения и осью С, направленной по нормали к Е. Вве 152 дем новую единицу длины e t L по оси С, оставив масштаб по другим 1 осям равным L, и "быстрое" время 6 =0/6] . Тогда производные по С будут иметь порядок единицы, а производные по остальным пространственным переменным-в]. В нулевом приближении по Si получаем из (IV. 124) уравнения ^ • + й М ' + S ) ЗУ, ^ = 0 = 0, (IV. 125) РИС. 49. К исследованию уравне Дл я нахождения в нулевом при ближении структуры фронта ищем ния (IV. 129) вновь решение системы (IV. 125) в виде бегущей волны: s = s (E)1 Vc = V; (£), 6 = С - св. (IV. 126) Из второго уравнения (IV. 125) получим Vc = const = У, причем V определяется из внешнего решения. Подставляя (IV. 126) в (IV. 125) и интегрируя, находим - tncs + VF (s - cs) = const. (IV. 127) Граничные условия имеют вид s( -оо ) = s2, s(oo) = s b где S1, S2 берутся из нулевого приближения внешнего решения, т. е. в одномерном случае - из решения Бакле я - Леверетта. При С = = jсо s = 0, так что из (IV. 127) следует V F (S2) F (S1) const = - ITics2+ VF (s2); с т 2 i I (IV. 128) Подставляя это выражение в уравнение (IV. 127), получим: F ( S 2 ) F ( S 1 ) F( s - cs) = F ( S 2 ) + (s - s2 ) (IV. 129) Это уравнение легко исследуется графически (рис. 49). Отрезок AB соответствует правой части уравнения (IV. 129); отсюда следует, что отрезок ВС соответствует - cds/dс. Таким образом, при изменении s от S2 до S] величина - cds/dl все время остается положительной; она обращается в нуль по краям интервала и имеет один максимум. Перепишем уравнение (IV. 129) в виде ds F ( S 2 ) F ( S 1 ) г U7(S2) • (S2 - S) (IV. 130) где х - функция, обратная F , очевидно, она определена и монотонно возрастает на отрезке [0, 1]; правая часть уравнения (IV.130) 153 обращается в нуль по концам интервала [s b s2] и положительна внутри него. Интегрируя уравнения (IV. 130), получим у F(S2)-F(S1) Г" ф т S<;2.> - s 1 J i s - - ] X|F(s) 2 I (I V . 131 ) Из этого соотношения, как и в § 3 данной главы, получаем для эффективной толщины фронта вытеснения-расстояния, на котором насыщенность изменяется от S1 + В до S2 - 8, Л = YF M f ^ Y (IV. 132) _ S-XlF (S)] s, + 5 Таким образом, в отличие от структуры, непосредственно обусловленной влиянием капиллярного давления (стабилизированной зоны), толщина фронта вытеснения при преимущественном влиянии неравновесности прямо пропорциональна скорости вытеснения. Заметим, что отношение малых параметров, отвечающих двум указанным физическим эффектам, равно £ / £ i = ^ c o s H m ( I V 1 3 3 ) (X1Xff Поэтому классическая модель, приведенная в § 3 данной главы и отвечающая е/E1 ;>> 1, справедлива при малых скоростях вытеснения, а рассмотренная в данном параграфе модель, когда e/ei < 1 (преимущественное влияние неравномерности), соответствует большим скоростям. Учитывая результаты § 3 данной главы, приходим к выводу, что зависимость толщины фронта вытеснения от скорости имеет вид немонотонной кривой, неограниченно возрастающей как при малых, так и при больших скоростях. Этот вывод согласуется с лабораторным экспериментом (см. рис. 44). Дл я условий вытеснения нефти водой в нефтяном пласте а гг; ^ 0,0 1 Н/м, m ^ 0,1; £^10, 3 м 2 , ~ Ю" 3 Па-с . Тогда е/е, - - (IO6 -107 )/т, где т - характерное время установления равновесия в секундах. Если учесть, что это время, как показывают оценки, может быть весьма велико - до года и более, то в обычных условиях основную роль играют эффекты неравновесности. Поэтому в промысловых условиях толщина фронта должн а расти с ростом скорости вытеснения, и в конце концов может стать сопоставимой по размера м с размерами пласта. Эти выводы, полученные здесь на простейшей модели неравновесности, имеют общий характер. Из них следует существенность неравновесных процессов при разработке нефтяных месторождений и необходимость их изучения и учета при проектировании разработки. 154 § 5. Устойчивость вытеснения несмешивающихся жидкостей Дл я того, чтобы реально осуществлялись движения, описываемые приведенными выше решениями уравнений двухфазной фильтрации, они должны быть устойчивы, по крайней мере, к малым возмущениям. Возмущения, связанные с неоднородностью среды и непостоянством скорости фильтрации, всегда возникают при течении жидкостей в реальных пористых средах. Они могут быть немалыми, тогда устойчивость к малым возмущениям есть необходимое, но не достаточное требование. 1. При исследовании устойчивости решения Бакле я - Леверетта в крупномасштабном приближении нужно ограничиваться возмущениями, длина волны которых (кривизна фронта скачка) велика по сравнению с толщиной стабилизированной переходной зоны. Рассмотрим устойчивость плоскопараллельного вертикального вытеснения несмешивающихся жидкостей с учетом силы тяжести. Уравнения двухфазной фильтрации в крупномасштабном приближении запишем в виде U1 = - ( k f i (S)I14) grad (р + pigx), / = 1 , 2 , (IV. 134) mds/di + div и \ = 0; div " = 0; и = U1 + и2. (IV. 135) Компоненты векторов и по ссям х, у, z обозначим Vj, W1-. Ось х направлена вертикально вверх. Течением, устойчивость которого исследуется, является плоскопараллельное движение вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации UQ = "ю + "го Позади и впереди скачка, движущегося со скоростью V, насыщенность постоянна и равна соответственно s~ = Sc, s+ = SoПри этом выполняются соотношения (см. § 2 данной главы): V = Uo (фс - ф 0 )/ т (sc - S0), U1 = Що = "офс, С < 0, и\ = "1о =Ыофо, С > 0, (IV. 136) (IV. 137) где фс = ф (sc); ф0 = ф (s0); ф (s) = F (s) [1 - W f 2 (s)/"0]; W = kbpgfa; Ap = pi - р2, С = х - Vt. Распределение давления описывается соотношениями, вытекающими из уравнений (IV. 134) и непрерывности давления на скачке рТ = - Ы* ) (uo/vc + WFc) С + р2£С + Po, (С < 0), ( 1 у pt = - (pi/k) (uo/fo + WF0) с + P2gC + Po, (ОО) , где срс = ср (sc); Cp0 = ср (s0); Fc = F(Sc)-, F0 = F(S0)-, Po = const; ср (s) = = f 1 (S) + ^0/2 (s), JlO = [Al/i-12. 155 Рассмотрим решение уравнений (IV. 134) и (IV. 135), отличающееся от описываемого соотношениями (IV. 136)-(IV. 138) малыми возмущениями всех переменных, кроме насыщенности, т. е. положим и , = и, о + BUh P=Po + г р \ } = 1 , 2 . (IV . 139 ) Здесь е - малая величина; вектор и/ имеет компоненты U1-, v), w]. Уравнение возмущенного фронта скачк а примем в виде Zc = Xc-Vt= ех'(у, z, t). (IV. 140) Подставляя выражения (IV. 139) в уравнения (IV. 134) и (IV. 135), получим, что в первом приближении по е возмущения (величины, обозначенные звездочкой) удовлетворяют системе уравнений и] = (kf , (Sc)Zw) grad р', С < 0, / = 1 , 2 (IV. 141) и, = - (kf; (S0)Zi4) S r a d Р*. С > 0 , div и' = 0. (IV. 142) Поскольк у искажения фронта малы, условия на скачке можно снести на плоскость С. Тогда с точностью до малых величин порядк а е получим условия дл я возмущений при C = O: и\~- и\+ = т (sc - S0) dx'/dt. (IV. 143) и*Г + "2~ = "1 + + "2 + = и , (IV. 144) р р'+ = v.\tk [ 1/сре 1/сро) U0 + W (2 F0 Fc)] х-. (IV. 145) Кроме того, возмущения должны обращаться в нуль при С -" -J+ со . Произвольное возмущение фронта скачка может быть разложено в интеграл Фурье по у и z. Поэтому дл я исследования устойчивости достаточно рассмотреть развитие синусоидального возмущения, которое выразим в комплексной форме х" = X (t) ех р (ifay + t'J32z). (IV. 146) Тогда нетрудно показать, что возмущение давления р", удовле творяющее уравнениям (IV. 141) и (IV. 142) и стремящееся к нулю при С -> ± со, должно выражаться в виде P^ = P т (0 ехр (i^y + i?2z ± PC). (IV. 147) где P = V^Pi + РгВозмущения скоростей фильтрации получаются из (IV. 147) и уравнения (IV.141). Используя условия (IV. 143)-(IV. 145) и исключая P+ (t), по лучим уравнение, описывающее изменение амплитуды произвольного синусоидального возмущения: dX/dt = -NpX/m(sc - s0) (<Р7' + ?О-1), (IV. 148) где N = ( 1 Z f c 1 /сро) "о + W (2 F0 - Fc). Решение уравнения (IV. 148) при условии X(O) = X 0 X = X 0 ехр [- N^tZm (sc - S0) (1/<ре + 1/сро)] (IV. 149) 156 Таким образом, если W = (1/<Рс- 1/<ро)"о + W (2 - F0 Fc) >0 , (IV. 150) т о начальные малые возмущения со временем затухают, в противном же случае возрастают. Поскольку в условие (IV. 150) не вхо дит волновое число |3, то оно справедливо для малых начальных возмущений произвольной формы. Условие устойчивости (IV. 150) получено без учета возмущений насыщенности. Можно показать, что малые возмущения насыщенности распространяются, не затухая и не разрастаясь, и поэтому не меняют вида условия устойчивости. Величину fep(s)/ni принято называть подвижность ю фильтрующейся двухфазной жидкости, функцию 0, т. е. плотность вытесняющей жидкости больше, чем вытесняемой, а вытеснение происходит снизу вверх, то действие силы тяжести способствует стабилизации фронта, и наоборот. Условие (IV. 150) было получено впервые И. А. Чарным несколько иным путем. Отношение подвижностей на скачке M' = ср0/<рс зависит от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей фаз M = = 1/jj-o. С ростом M отношение подвижностей М* также растет, но критическое значение M* = 1 достигается при M = Л1кр, обычно превышающем единицу. Например, если относительные проницаемости имеют вид: Zl(S ) = ( 5 8 . ) 2 / ( 1 S J 2 . / 2 (S ) = ( S T S ) V S ' 2 , ^ , G J (fi= 0 при ss*) , a so = s,, то из формулы (IV.45) нетрудно получить sc = s, + (s' s,) (M1 + 1)-1/2; M' = 2[\-(Ml + 1)-1/2], M1 = Ms'2/( 1 - sj 2 . Заметим, что если s* = 1 -s", то M1 = М. Отношение подвижностей М* равно единице при M 1 = 3. Таким образом, для квадратичных относительных проницаемостей вытеснение устойчиво при M1 < 3 и неустойчиво при Mi > 3. Если относительные проницаемости выражаютс я в виде кубических функций соответствующих насыщенностей, то критическое значение отношения вязкости составляет около 9,8, а если в виде четвертых степеней - то около 18,3. 2. Условие устойчивости (IV. 150) было получено без учета капиллярных сил. Капиллярны е силы, обладающие диссипативным действием на распределение насыщенности, способствуют стабилизации фронта вытеснения. Точное исследование их влияния на устойчивость аналитическим путем провести не удается. Здес ь 157 даны результаты асимптотического исследования при принятом выше условии, что длина волны возмущения велика по сравнению с протяженностью переходной (стабилизированной) зоны. Действие капиллярных сил в таком приближении учитывается в граничных условиях на скачке. Чтобы избежать громоздких выкладок, рассмотрим течение без учета сил гравитации, описываемое системами уравнений (IV. 19) и (IV.20). Второе из этих уравнений запишем в виде mds/dt + F' (s) (и grad s) - а 2 тД Ф (s) = 0. (IV. 152) Пусть невозмущенное движение направлено вдоль оси х и опи сывается (IV. 136)-(IV. 138). При этом положим IF = O, откуда ф (s) = /7 (s). Определим возмущения скоростей и давления формулами (IV. 139). В линейном приближении относительно е возмущения по обе стороны фронта удовлетворяют уравнениям (IV. 141) и (IV. 142). Чтобы получить дл я них граничные условия, проинтегрируем уравнения (IV.19) и (IV.152) по х вдоль переходной зоны, считая, что граница раздела слабо искривлена. При этом пренебрегаем членами порядка ширины зоны и квадратам и производных по у и г. Переходя в полученных выражениях к возмущениям, снова получим условия (IV. 144) и (IV.145). Однако вместо (IV.143) из уравнения (IV.152) следует dx'/dt - u'V/uo - а 2 [(Фс - Ф0)/(вс - s0)] ( d 2 x'/dy 2 + d4'/dz2) = 0 (Фс = ф (SC), Ф0 = ф (So)). (IV . 153) х' и р*~ по-прежнему выражаются формулами (IV. 146) и (IV. 147). Условия (IV.144), (IV. 145) при Г = 0 и (IV. 153) приводят к следующему уравнению для X (t): dXfdt + рХ [V (1 - ЛГ)/( 1 + M*) + а2 р (Фс - Ф0)Ц? - S0)] = 0. (IV. 154) Из уравнения (IV. 154) следует условие устойчивости У (1 Л1*)/( 1 + ЛГ) + a2P (Ф, ¢,)/(3/4 S0) > 0. (IV. 155) Условие (IV.155) совпадает с (IV.150), если отсутствуют капиллярные и гравитационные силы. При М* > 1, когда без воздействия капиллярных сил фронт скачка неустойчив, они обеспечивают устойчивость возмущений, длина волны которых меньше критического значения Xc, определяемого, в соответствии с условием (IV. 155), формулой Xc = 2гс/[Зс = [2КО.* (Фс Ф0)/У (SC - S0)] (Af* + 1 )/(ЛГ - 1). (IV. 156) Вывод условия (IV. 155) и формулы (IV. 156) был сделан в пред положении, что ширина переходной зоны много меньше длины волны возмущения. Согласно результатам, изложенным в § 3 на стоящей главы, протяженность стабилизированной переходной зоны Ы, пропорциональна a2/V. Поэтому предположение Xc 8/ выпол 158 няется только при M' , близком к единице, т. е. лишь вблизи границы устойчивости по параметру М*. В общем ж е случае критическая длина волны возмущения Xc, разделяющая области устойчивого и неустойчивого вытеснения, являетс я функцией параметров а2, V и M = JJ-2/JJ-iИз соображений размерности следует Xc = аЦ (M)/V. (IV. 157) Вид функции <|> (Л!) может быть получен в результат е численного исследования [14]. Н а устойчивость фронт а вытеснения влияю т и неравновесны е эффект ы описанные в предыдуще м параграфе . Они оказываю т стабилизирующе е влияни е на мелкомасштабны е (коротковолновые) возмущени я в гетерогенных средах . Н е л и н е й н а я с т а д и я р а з в и т и я неустойчивости . Приведенны й нелинейный анали з устойчивости указывае т на возможност ь возникновения экспоненциальн о разрастающихс я при малы х времена х искажени й фронт а вытеснения (скачка ) при нарушении условия (IV. 150) или (IV. 155). Дальнейше е раавити е возмущений фронта може т быт ь исследован о методам и физического или численного моделироваия . Экспериментальны е исследования , проведенные в 1950- 1960 гг. Саффмано м и Тейлором , Чуоком и другими, показали , что развити е возмущений плоского фронт а вытеснения в пористой сред е при нарушении устойчивости происходит в виде неограниченно разрастающихс я "языко в обводнения". Эксперименты Б. Е . Кисиленко на насыпных пористых среда х показали , что нарушение устойчивости происходит при отношении вязкости нефти и воды, превышающе м критическое значение Mkv, находящеес я в предела х 10-15. В то ж е врем я при малы х скоростях вытеснения возмущени я затухаю т даж е при отношениях вязкосте й больших критического, что согласуетс я с условием (IV.155). Искажени е фронт а вытеснения нефти водой приводит к снижени ю нефтеотдачи и росту обводненности, что обусловливае т практическу ю важност ь изучения неустойчивости вытеснения. Единственным методом теоретического исследования нелинейного развити я возмущений при нарушении устойчивости остаетс я численное моделирование , начато е в работа х Рэчфорд а и позж е М. И. Швидлера , Р . М. Кацг , П. В. Индельмана . Приведе м некоторы е результат ы численных расчето в неустойчивого вытеснения, выполненых В. М. Битовым и В. Б. Таранчуком . Моделировалось вытеснение без учета капиллярны х и гравита ционных сил в плоской прямолинейной области между двумя галереями с заданным расходом до на входной галерее х = 0. Относительные проницаемости задавались в виде (IV. 151) при St = 0, s* = 1, чему соответствует критическое отношение вязкостей М к ? = 3. На входе формировалось малое синусоидальное возмущение фронта с амплитудой Xo и длиной волны L, а затем прослеживалась его эволюция. Было установлено, что справедливо условие устойчивости (IV.150), т.е . при М<3 амплитуда возмущений фронта 159 со временем затухает, при M > 3 растет, при M = 0 - со временем не меняется. На основе численного моделирования была получена зависимость относительной амплитуды фронта скачка X/L ( L - длина волны возмущения) от безразмерного времени т = tpt k/mpiL2 , где P t -давлени е во входной галерее. Расход д0 выбирался таким, что qop\Llkpt = 0,3. Соответствующие зависимости Z = In (X/L) от т при различных значениях параметров приведены на рис. 50. Дл я кривых 1 и 2 начальные амплитуды X0 = 0,05L (при т = 2), для кривых 3 и 4 X 0 = O1 IL. На рис. 50 видно, что на начальном участке зависимость Z(T) прямолинейна, что согласуется с формулой (IV. 150). Угловой коэффициент прямой Z(T) согласно формуле (IV.150) при M = 10 составляет 0,357, при M = I - 0,244, а при численном моделировании соответственно 0,345 и 0,249. Предсказываемый линейной теорией экспоненциальный закон роста возмущений оказывается справедливым даже для возмущений, амплитуда которых сопоставима с длиной волны. Однако при достаточно больших возмущениях экспоненциальный закон роста нарушается. В тех случаях, когда амплитуда возмущения сравнима с длиной волны или больше нее (кривые 3 и 4 на рис. 50), заметно постепенное снижение ускорения роста возмущений и переход к режиму их равномерного роста. Этот режим соответствует изученному Саффманом и Тейлором стационарному движению языков большой протяженности относительно окружающей их вытесняемой жидкости. Процесс вытеснения после потери устойчивости, по крайней мере, при одномерной фильтрации, происходит в виде хаотически расположенных языков. Дл я упрощенного описания такого процесса сделаем следующие предположения: во-первых, протяженность языков в направлени и потока буде м счи РИС. 50. Зависимость т а т ь намног о больше й их ширины (распротяженности "языков" сматриваетс я стади я развитог о языкооб от безразмерного времени: разования) ; во-вторых, течение в средне м будем считать одномерным, поэтому скорость фильтрации каждо й из жидкостей, осредненная по некоторому представительному сечению, направлена вдоль оси х; в-третьих, насыщенность внутри каждого "языка" принимается постоянной. При таких предположениях для осред ненного течения получим обычные уравнения двухфазной фильтрации, но с относительны ми проницаемостями, линейно зависящими от соответствующих насыщенностей. Решение Баклея - Леверетта для линейных зависи мостей Д от s приведено в § 2 данной главы, см. (IV. 155). Напомним, что при этом для M < 1 вытеснение оказывалось поршневым 160 а для M > 1 протяженность зоны переменной насыщенности (зоны языков) пропорциональна величине X = (M2-I) t/M. (IV.158) Линейный рост языков со временем согласуется с приведенными результатами численного моделирования. Дальнейши м обобщением осредненного описания неустойчивого вытеснения на случай неоднородных пластов является модель Хэрна, А. К. Курбанова та к называемых фиктивных относительных проницаемостей. Согласно этой модели, пористая среда представляется в виде набора слоев различной проницаемости, свободно сообщающихся между собой, т. е. в одномерном потоке в каждо м сечении давление (гидродинамический потенциал) предполагается постоянным. Кроме того, предполагается, что вытесняющая фаз а в первую очередь занимает высокопроницаемые прослои. Н а основе сделанных предположений, очевидно, можно при заданной средней по сечению насыщенности вытесняющей фазой найти среднюю проницаемость для каждой фазы, т. е. определить осредненные относительные проницаемости в зависимости от средней насыщенности. Вид функций относительных проницаемостей тогда полностью определяется статистической функцией распределения проницаемости по сечению. Например, если функция распределения проницаемости Ф(к/ко) , линейна в интервале k = 0- -k = ko, т. е. Ф = 0 (£ < 0); Ф =/г//г0 (0 < £ < £ 0 ) ф = l(k>k 0 ) , (IV. 159) то осредненные (фиктивные) относительные проницаемости имеют вид / , = 1 ( 1 5 ) 2 ; = ( 1 5 ) 2 ; s (iy.160 ) Легко убедиться, используя формулы § 2 данной главы, что при таком виде относительных проницаемостей при M > 0,25 F" (s) везде меньше нуля и скачок насыщенности не возникает; такая ситуация соответствует образованию развитой системы языков. При M < 0,25 образуется скачок насыщенности, интенсивность которого растет с уменьшением М, а при M-*0 характер вытеснения приближается к поршневому. § 6. Теория вытеснения неньютоновских жидкостей. Влияние вязкопластических свойств нефти на нефтеотдачу 1 Оценка влияния реологических аномалий на процессы разработки пласта в частности, вытеснения нефти водой,- один из центральных вопросов, который приходится решать в том случае, если нефть обладае т неньютоновскими реологическими свойствами (см. гл. III) . Очевидно, что если нефть обладае т предельным напряжением сдвига (или вообще псевдопластична), в пласте образуются застойные зоны, которые будут обходиться потоком вытесняющей жидкости, превращаяс ь в та к называемые целики оста 1 См. такж е [9, 19, 41] . 161 Точной нефти. Целик и будут разрастатьс я с ростом предельного напряжени я сдвига и с уменьшением интенсивности движения . Поэтому существенно заране е оценить возможны е вредные последствия этого явлени я и принять меры к их предотвращени ю путем рациональног о выбора режим а разработки . Д в у х ф а з н о е т е ч е н и е н е н ь ю т о н о в с к и х ж и д к о с тей . Прежд е всего обобщим теорию двухфазног о течения на случай, когда обе фаз ы или одна из них обладаю т неньютоновскими свойствами. Будем считать в качестве основного допущения, что, ка к и при "обычной" двухфазно й фильтрации, на микроуровне пористой среды капиллярны е силы значительн о превосходят гидродинамические (включа я сюда, возможно, и силы пластического сопротивления) . Иными словами, будем по-прежнему полагать, что распределени е фа з в элемент е пористой среды происходит по д действием капиллярны х сил. Сохраним и второе основное положение теории двухфазног о течения, а именно, примем, что каж да я из фа з движетс я в "своей" части порового пространства так , как если бы втора я фаз а отвердела . Наконец , положи м дополнительно, что дл я каждо й из фа з при фиксированном значении насыщенности (т. е. при фиксированном распределени и жидкос тей по поровому пространству) справедли в принцип реологического подобия (см. § 1 гл. III) . И з первых двух допущений имеем общу ю систему VPi = - 0>1 ("1, s)ui/uu V p 2 = - Ф 2 ( U 2 , s) U2IU2, P 2 P 1 = Pc (s). (IV . 161 ) Из-за наличия дву х эмпирических функций двух переменных Ф1 и Ф2, описывающих законы фильтрации фаз, это система мало содержательна, хотя и на ее основе можно развить теорию вытеснения по аналогии с теорией Бакле я - Леверетта. Гораздо более конструктивным такой подход оказывается для вязкопластичных жидкостей и нелинейно вязки х жидкостей, следующих степенному реологическому закону. Действительно, при допущении о реологическом подобии получаем дл я этих дву х случаев, соответственно: Ui = - fi (s ) р Г ' И V P i G i (S ) 4pil\vPi\\> I v p 2 1 > Gt Ui = О, I Vp1-1 < Gi, (IV. 162) Ui = - сPt (s) (Ц1 I VPi \)[/пI V P d\ VPi | . (IV . 163 ) В соотношении дл я степенной жидкости (IV. 163) показатели tit те же, что и в реологических соотношениях, и не меняются с изменением насыщенности, величина П-масшта б градиента давления - по существу, определяется из соображений нормировки. Здесь fi(s) и сpi(s) - функции, аналогичные фазовым проницаемостям обычной теории двухфазной фильтрации; они нормированы так, что при полном насыщении закон фильтрации сводится к закону фильтрации однородной неньютоновской жидкости. Поэтому A(O) = Cp1(O) = O; / 2 (1 ) = ср2 (1) = 0; /,(I ) = Cp 1 (I)=I ; /2 (0) = <р2 (0) = 1. 162 Более того, последовательное применение принципа преобладания капиллярных сил над гидродинамическими приводит к выводу, что при фильтрации с предельным градиентом функции f;(s) должн ы совпадать с обычными функциями относительных фазовых проницаемостей (отсюда и обозначение). Соотношение (IV. 162) показывает, что при любом распределении фа з по порам кажда я фаз а движется в соответствии со своим законом фильтрации с предельным градиентом. Переменность предельного градиента учитывает перестройку структуры порового пространства для каж дой из фаз с изменением насыщенности. При этом, поскольку первой фазой мы считаем более смачивающую, средний размер пор di, занятых i-й фазой, воз 0 (2 | / Г Ю'г РИС . 51. Зависимость скорости фильтрации вязкопластичной жидкост и от гради"нта давлени я при двухфазно й фильтрации по результата м моделировани я на сеточной капиллярно й модели Кривы е 1-7 соответствую т значения м водонасыщенност и s = 0.006 ; 0,022; 0,053 ; 0,297; 0,464 н 0,58 5 растает с ростом насыщенности s, и потому, учитывая оценку Gi(S)-Xodd i (S ) (I V.164) (x0i - предельное напряжение сдвига i-й фазы), мы вправе ожидать падения фазового предельного градиента Gi с ростом насыщенности (GI(S) < 0). Дале е мы будем говорить исключительно о двухфазной фильтрации вязкопластичных жидкостей. Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е данные . Последующие рассуждения целиком опираются на постулированные выше соотношения (IV. 164). Естественно, хотелось бы иметь возможность сопоставить их с экспериментом. Немногочисленные экспериментальные данные по двухфазной фильтрации системы вязкопластичная жидкость - вода, в основном, согласуются с теоретической схемой, во всяком случае, для не слишком малых скоростей фильтрации фаз . Сходную картину дает и имитационное моделирование двухфазного течения на стохастической сетке капилляров, результаты которого показаны на рис. 51. Этот чисто математический "эксперимент" показателен в том отношении, что подтверждает справедливость для каждого распределения фаз принципа реологического подобия, который приходится постулировать при выводе соотношений (IV. 169). Ф р о н т а л ь н о е вытеснение . Рассмотрим в крупномасштабном приближении одномерное вытеснение, считая обе фазы вязкопластичными несжимаемыми жидкостями. Записыва я урав 163 нения неразрывности фаз и используя соотношения (IV.162), имеем Ui = kfi (S) dp . r P1 [д-х+ Gi ds md7 + lF = 0' Ui+U2= U-, dp дх < -Gb "1 = 0, - Gi < др.'дх <0 . (IV.165) kf 2 (S) (d p dp < -G , U = 0, -G < др/дх < О, U2 = -H2 \Ld-x+' "G]2' дх 2 2 2 S (лг, 0 ) = So, "l(0 , t)=U, U2 (0, t) = 0, 0 < X < со , 0 < / < со . Проведем обычную процедуру исключения из системы (IV. 165) давления и фазовых скоростей (ограничиваясь случаем G2 > Gi): ds , U dF* (s, U) Л Л/г*/ тг\ дГ + ^ ^ Г - = 0' ul = UF*(s,v., U). F* (s, U) = F (s) [1 + kf2 (s) (G2 Gi)/p2U], U > kfi (s) (G2 С,)/иь F* (s,U) = 1, U ^ kfi (s) (G2 -Gi)/pi, (IV.166) s (0, O = So, F*(s, ¢/) U-o=l . F (s) = fi (s) [fi (s) + р,1/2 (S)Z1X2]-1. Таким образом, по существу, мы имеем детально изученную выше задачу Баклея - Леверетта с тем лишь отличием, что функция распределения потоков F* зависит от суммарной скорости вытеснения U. Легко убедиться, что при G2 > Gi это изменение сводится к уменьшению функции F* с увеличением U при сохранении ее обычного вида (рис. 52): dF/dU < 0, dF/ds > 0, F* (s, со) = F (s). (IV. 167) Поэтому технологические показатели вытеснения закономерным образом зависят от скорости вытеснения, улучшаясь с ростом ее. Пр и U->-оо рассмотренная задач а переходит в задач у Баклея- Леверетта. Таким образом, наличие у вытесняемой жидкости РИС. 52. Зависимость функции распределения потоков F* от скорости вытеснения: 1 - и = U1: 2 - и = U1 > H1 РИС . 53. Зависимость фронтовой насыщенности S^1 и коэффициента вытеснения KQ от скорости вытеснения дл я вязкопластичной нефти 1, P -0. 4 0.5 KF 0.5 164 пластических свойств всегда приводит к снижению показателей вытеснения по сравнению с вытеснением обычной нефти с вязкостью, равной пластической вязкости неньютоновской нефти, причем это снижение тем более выражено, чем меньше темп вытеснения (рис. 53). С практической точки зрения наиболее важным является вопрос о том, каким должен поддерживаться темп вытеснения, чтобы указанные дополнительные потери нефти не были значительными. Из рис. 53 и данных аналогичных расчетов следует, что для предотвращения значительного снижения коэффициента безводной нефтеотдачи и предельного коэффициента нефтеотдачи при вытеснении вязко-пластичной нефти водой интенсивность вытеснения, характеризуема я безразмерным параметром I=U ? i /kG 2 , (IV.168) должна быть не меньше 1. (Заметим, что с увеличением интенсивности вытеснения могут возрасти отрицательные эффекты неравновесности и неустойчивости вытеснения, та к что назначение оптимального режим а требует учета всей совокупности существенных факторов.) П р е д е л ь н а я н е ф т е о т д а ч а . Целик и остаточно й нефти . Как уж е говорилось, предельное напряжение сдвига у нефти (предельный градиент давления при фильтрации нефти) приводит не только к снижению локального коэффициента вытеснения, но и к образованию областей невытесненной нефти - целиков. Оценить связанные с этим потери нефти достаточно сложно; значительного упрощения можно добиться, рассматрива я лиш ь предельное состояние - те наибольших размеров целики (так называемые предельно-равновесные целики), остаточной нефти, которые могут существовать в омывающем их фильтрационном потоке воды сколь угодно долго, но равновесие нарушится, если допустить существование целика больших размеров. Таким образом, получаем следующую теоретическую схему: на поздней стадии вытеснения рассматривается стационарное состояние, при котором весь пласт (пространственная область D) раз бивается на две области Di и D2. Одна из них (D1) занят а неподвижной нефтью; в другой (D2) движется вода, причем в этой области нефтенасыщенность снижена до предельно достижимого значения. Движени е воды следует закону Дарси . Неизвестная граница С между областями D^ и D2 является для потока воды поверхностью тока. Кроме того - и это принципиально - будем полагать, что на С выполняется у с л о в и е п р е д е л ь н о г о рав новесия , состоящее в том, что в каждой точке поверхности С градиент давления (направленный, очевидно, вдоль С) равен по абсолютной величине предельному градиенту давления для нефти в данной точке пласта. Иными словами, мы полагаем, что нефть находится на грани начала движения в каждо й точке поверхности С. Ситуация здесь типична для предельного равновесия пластических тел и во многом аналогична равновесию тела на наклонной поверхности, составляющей с горизонтом угол, равный углу 165 трения. При этом считается, что в каждо й точке области D задан ы в качестве свойств пласта проницаемость k\ предельный градиент для нефти С; предельная водонасыщенность s0 ; отвечающая максимально возможному вытеснению нефти, и соответствующее значение фазовой проницаемости для воды в промытой зоне /i(s°) . Дале е S0 и fi{s°) полагаются постоянными, хотя не составляет большого труда учесть их зависимость от проницаемости пористой среды и достигнутого градиента давления. В рассматриваемом случае во все соотношения войдет только проницаемость для воды в промытой зоне k* = kfi(s°), которая считается заданной в каждой точке пласта и связанной с локальным предельным градиентом соотношением (см. § 1 гл. III) : k*G2 = ^oGo = const. (IV. 169) В качестве основного модельного объекта рассмотрим слоисто неоднородный пласт с проницаемостью k* (z), возрастающей от кровли к подошве пласта, k' (2) < 0, 0 < 2 < H. Свойства пласта будем считать неизменными в плане, пласт - вскрытым на всю мощность сеткой нагнетательных и добывающих скважин. Область движения в плане обозначим через Д. Очевидно, что при таких условиях промытая зона будет располагаться в нижней части плас та, а целик остаточной нефти - в верхней; они разделяются неиз вестной границей z = h(x, у), определяемой в ходе решения задачи. В той части (Ai) области Д, где пласт промыт полностью, h (х, у) = = Н; там, где целик занимает всю мощность пласта, область Дз)й = = 0. Наконец, в оставшейся части Д2 области Д имеем 0 < h < Н. Даже в рассматриваемом частном случае сформулированная задача еще чересчур сложна, и получить ее решение сложно даже численно. Учитывая явную аналогию ее с задачами безнапорной фильтрации (см. § 3 гл. II), будем искать ее приближенное решение, пренебрегая различием плотностей нефти и воды и считая распределение давления по мощности пласта гидростатическим (аналог приближения Буссинеска). Тогда распределение давления можно вполне характеризовать, задав его на подошве пласта р(х, у). Градиент избыточного над гидростатическим давления постоянен вдоль вертикали в каждой точке пласта и равен у 2 р . Поскольку в пределах области Д2 он должен быть равен предельному градиенту на поверхности целика G (h), получаем возможность непосредственно выразить мощность промытого слоя через у р из уравнения 1 G[h(x, y)] = \vp(x, у)\. (IV. 170) Теперь можно перейти к интегральному описанию движения воды как фильтрационного течения в слое переменной толщины. 1 Нетрудно понять, что поскольку на поверхности целика градиент давле ния долже н быть направлен вдоль нее, соотношение (IV. 170) верно с точностью д о членов порядка (V/гу р) 2 / | ур\ 2 . Поэтому совершаема я ошибка тем меньше, чем более пологой являетс я искомая поверхность. 166 Интегрируя уравнение движения по мощности пласта, приходим к системе уравнений div w = О, W = - (К/^) Vp ; , A(Ivpl) . Л(|УР|) W=-H n O { и(х, у, z)dz, К(\Ч р\) = -гnг f Jfe (Z) dz. (IV.171) O (Здесь операторы div и V понимаются как двумерные). Величины w и /С(|ур| ) будем называть эффективной скоростью и проницаемостью; мощность промытой части пласта ^(|Vp| ) определяется из уравнения (IV.170). Уравнения (IV.171) эквивалентны уравнениям нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости V w = 0, Sjp = -1Ф (w) w/w, (IV. 172) которые преобразованием годографа переводятся в линейную систем у (см. § 1 гл. 3). Конкретное выражение эффективного закона фильтрации Ф (ш) определяется видом распределений k(z) и G (z) из соотношений (IV . 170) - (IV.171). Рассмотрим примеры. Примем с учетом корреляции (IV. 169), что зависимости k (г) и G (г) имеют вид k (г) = A0 (1 + z/z0 )-2 , G (г) = G0 (1 + zfz0). (IV.173) Здесь г 0 -некоторы й параметр; G 0 =G(O) . Из соотношений (IV. 171) - (IV . 172) получим следующее выражение эффективного закона фильтрации: + Vo G o ,, V o ф (ю ) = х = _ _ _ ; K0 = -J f (IV. 174) т.е . для распределения проницаемости и предельного градиента в виде (IV.!74) задача отыскания целика в осредненной постановке приводится к известной задаче фильтрации с предельным градиентом для однородной жидкости (§ 3 главы I). Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующих соответствий: г ^(ю2 + *2 )1 '2 k^=-ZT, ч. G(Z) = G 0 Ch, Ф (w) к • (I V ' 175 ) ch (г/z0) zO Ао Вообще, если зависимость k (г) допускает параметрическое представление dz kOа/ h h\a~[ h З Й т К ' Ч ) ' " ^ ( ^ y (IVJ76 ) то ей соответствует выражение эффективного закона фильтрации вида Ф (да) = ^iT 1 ( w 2 / " + I 2 ' У 2 . (IV. 177) Устремляя параметр а к нулю, что соответствует однородному пласту с про ницаемостью k0, получим Ф (w) = G0, w < X; Ф (w) = VWlK0, w>l. (IV.178) Во всех примерах приведенные соотношения справедливы для скоростей, меньших Xw = KHG ( H ) H ± \ при этом Ф (w)G(H). (IV. 179) о В тех случаях , когда общая интенсивность движения невелика, полностью промытые зоны локализуются вблизи скважины. Если их влиянием на процесс формирования целиков можно пренебречь, то осредненное движение во всем пласте описывается уравнениями нелинейного закона фильтрации вида (IV. 174) - (IV. 178). Формально это соответствует асимптотике Я с о . При этом для оценки размеров целиков можно использовать многочисленные решения задач нелинейной фильтрации, полученные ранее. Целик и в о д н о р о д н о м пласте . Рассмотрим случай однородного пласта, k = const. Дл я такого пласта G(O) = G(H) = G, а мощность промываемой водой части пласта h и эффективная проницаемость К становятся кусочно-постоянными функциями градиента давления: A ( I V P I ) = OJ /С( | vp| ) = o, | V P I < G , h(\vp\) = H, K(\vp\) = k, \vp\>G. (IV. 180) Из этих соотношений ранее делался вывод о том, что при достижении градиентом давления значения G, равного предельному, на некоторой линии физической плоскости мощность промытого слоя скачком изменяется от нуля до полной мощности пласта. Это соответствует эффективному разрывному закону фильтрации, описываемому выражениями (впервые предложенными М. Г. Алишаевым с соавторами) Ф (W)=VwIk' W>\; 0 < Ф < G; W = 0; X = fcC/ji. (IV.181 ) Однако при предельном переходе от описанной схемы течения в пластах с непрерывно изменяющейся проницаемостью к течениям в однородных пластах оказывается, что в общем случае условие равенства модуля градиента давления предельному выполняется не на линии в плоскости (х, у), отвечающей вертикальной границе целика, а в области (A2), в которой мощность промытого слоя h(x, у) является непрерывной функцией потока воды. С изменением эффективной скорости фильтрации от нуля до X мощность промытого слоя изменяется от нуля до Н . Соответствующий эффективный 3 акон фильтрации определяется уравнениями Ф^) = в, 0 < w < А; Ф (w) = pw/k, w > X, 0 < Ф (w) < G, W = 0. (IV. 182) В отличие от разрывного, этот закон фильтрации позволяет рассматривать течения и в области скоростей w, меньших X. 168 Таким образом, при формировании целиков остаточной нефти и в однородных пластах вся область течения на физической плоскости в общем случае распадается на три подобласти: A1 - полностью промытого пласта; A2 - частично промываемого пласта, в которой модуль градиента давления постоянен и равен предельному; A3 - подобласть, в которой целик занимает всю мощность пласта и движение воды отсутствует. Дл я соответствующих областей имеем V2p(x, у)= 0, h(x,y) = H, (х, у)£ A1, i VP У) I = G' Vih (*. У) VP/G) = 0" (*. У) € Л2, w (х, у) = 0, h (х, у) = 0, (х, у) £ A3. (IV. 183) На границах областей решения удовлетворяют условиям непрерывности давления, потока и мощности h(x, у). При переходе на плоскость годографа (до, 6) область A1 отображается в область Q1, лежащую в полуплоскости до > X; A2 - в область Q2, лежащую в полосе 0 < до < X, a A3 - в отрезок линии до = 0. Уравнения (IV. 183) в соответствующих областях плоскости годографа принимают вид дф k dp др _ (х дф . fi\ г о dw~ - ^dO' dw ~ ' ( W ' ) < z ь <*•>£%• откуда для области A2 постоянного градиента давления имеем решение <|> = / (6), р (до, 0) = -Gw-Г (0) + ? (0), Z = X + I Y = Z 0 (X , 6 ) + е ' У (6 ) (До1 - х 1 ) , ( I V . 185 ) где / (6) и <р (6) - неизвестные функции. Из (IV. 185) следует, что при /'(B)=^ O области • Q2 на физической плоскости соответствует область, в которой линии тока являются прямыми, давление вдоль них изменяется линейно, а эффективная скорость w и мощность промытой части пласта h определяются выражениями W = [Х-1 + |2(ДО, 8) - 2(Х, 6)1//'(6)]-' , h =HwjX. (IV. 186) Если же / ' (0) = 0, то соответствующая часть области на физической плоскости отображается в линию, являющуюся отрезком линии тока. Поток жидкости в этих точках направлен по касательной к линии I V^ I = G, при переходе через которую мощность промытой части пласта h(x, у) изменяется скачком от нуля до Н. Иными словами, постановка задачи со скачкообразным изменением промытой мощности оказывается частным случаем, когда неизвестная граница является линией тока осредненного плоского течения. Задачи указанного класса сводятся к отысканию решения урав нения Лапласа в плоской области, часть границы которой заранее 169 неизвестна и отыскивается из того условия, что она является одновременно линией тока и линией постоянства модуля градиента давления (или, что эквивалентно, скорости фильтрации). Эта задача, сформулированная впервые в [34], эффективно решается методами теории струй [9, 24]. Характерные результаты приведены на рис. 54. Детали расчетов можно найти в книгах [9, 24]. Гораздо сложнее решаются задачи, в которых область постоянного модуля градиента давления 0 < h< Н, | v p | = G (область Д2) не вырождается в линию. В настоящее время они являются предметом интенсивного изучения, развиты подходы к их решению, В. Н . Панковым и С. В. Панько получен ряд точных и приближенных решений. На рис. 55 показаны возможные качественно различные варианты расположения целиков при разработке кругового пласта эксцентрично расположенной скважиной. То обстоятельство, что задач а отыскания предельно-равновесных целиков в осредненной постановке приводится к задач е нелинейной фильтрации с законом фильтрации специального вида, позволяет применить к ее решению весь хорошо разработанный к настоящему времени аппарат теории нелинейной фильтрации (см. •§ 3 главы I и цитированную там литературу) . Таким путем достаточн о легко может быть оценено влияние различных параметров на размеры и форму целиков. Так, на рис. 56 показано расположени е целиков дл я системы источник--сток интенсивности Q, расположенных на расстоянии 2а друг от друга в двухслойном пласте. Решение построено численно в безразмерных переменных. Масштабами длины и скорости выбраны величины а и Q/a, при этом РИС. 54. Расположение целиков и зависимость коэффициента охвата дл я пятиточечной схемы площадного заводнения от интенсивности потока РИС. 55. Расположение целиков остаточной нефти при разработке кругового пласта эксцентрично расположенной скважиной по результатам расчетов В. Н . Панкова и С. В. Панько: а - г - возможны е конфигураци и деликп в в г 170 решение зависит от двух безразмерных параметров е = Kak2Gly-Q, 8=( 1 +^H2IkiHi). Результаты расчетов, приведенные на рис. 56, отвечают е = 0,4, 8 = 5. В заключение этого парагра фа необходимо сделать несколько замечаний об использовании теории предельно равновесных целиков при оценке предельной нефтеотдачи пластов, содержащих вязкопластичные нефти. Определив предельно равновесные целики, мы имеем основание утверждать, что целики больших размеров не могут оставаться неподвижными в омывающем их потоке воды. Однако в силу неединственности равновесного состояния пластической жидкости мы не вправе утверждать, что в у/а РИС. 56. Расположение целиков дл я системы источник - сток в двухслойном пласте реальном процессе вытеснения сформируются в конце концов предельно равновесные целики, а не целики меньших размеров (на границе которых выполняется неравенство |Vp|cG , но не всюду оно переходит в равенство). Таким образом, можно полагать, что оценка потерь нефти по объему предельно равновесных целиков - это оценка сверху. Чтобы определить степень близости этой оценки к тому, что реализуется фактически, для некоторых схем течения было проведено моделирование вытеснения вязкопластичной жидкости вязкой на щелевом лотке. Результаты моделирования (точки на рис. 54) достаточно хорошо согласуются с расчетами по предельной схеме. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКА Я ПОДЗЕМНА Я ГИДРОДИНАМИК А НЕФТЯНОГ О ПЛАСТА Заводнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, на сегодня является основным технологическим процессом извлечения нефти. Однако оно, как уж е говорилось, сопряжено с большими потерями нефти в пласте. Поэтому сейчас все больше обращаются к процессу вытеснения нефти из пласта нагретой водой или водой с различного рода добавками. Свойства воды, нефти или пористой среды изменяются при этом так, что условия вытеснения под влиянием возникающих физико-химических процессов становятся более благоприятными. Мы будем называть такой технологический процесс ф и з и к о х и м и ч е с к и м заводнением . Большое разнообразие возможных агентов воздействия и режимов их введения, большая стоимость процесса физико-химического заводнения в сравнении с обычным заводнением и, что весьма существенно, зависимость результатов процесса от режима и большего числа параметров пластовой системы предъявляют повышенные требования к предварительному анализ у и расчету физико-химического заводнения. Такой анализ и расчеты основаны на теории гидродинамических процессов, сопровождаемых химическими превращениями, а такж е теплои массопереносом. Этот раздел подземной гидродинамики по аналогии с соответствующим разделом общей гидродинамики естественно назват ь физико-химической подземной гидродинамикой. Особо нас будут интересовать с учетом сказанного выше такие процессы, в которых физико-химические факторы сами оказывают влияние на движение жидкостей. Физический или химический агент, переносимый потоком и непосредственно влияющий на гидродинамику, мы будем называть д и н а м и ч е с к и а к т и в н о й примесью . Прежд е чем переходить к изложению соответствующей теории, целесообразно рассмотреть основные закономерности процессов переноса в пористой среде на более простом примере однофазного течения несжимаемой жидкости. § 1. Процессы тепло и массопереноса в пористой среде Рассмотрим пористую среду, насыщенную однофазной жидкостью. Будем считать, что жидкость содержит растворенное вещество (примесь), массовую концентрацию которого мы обозначим через с. В то ж е время допустим что часть примеси а в расчете на 172 единицу объема среды может содержаться в скелете пористой среды. Поглощение скелетом примеси будем называть сорбцией; понимая под этим адсорбцию (физическую и химическую) примеси на поверхности скелета, растворение (абсорбцию) примеси в материал е зерен скелета, а иногда даж е механическое удержани е примеси в сужениях поровых канало в (это существенно для полимерных растворов). Плотность раствора в соответствии с общими термодинамическими положениями определяется концентрацией, температурой и давлением: P = P (с,Т,р). (V.I) Поэтому в единице объема пористой среды содержится примеси и растворителя, соответственно, mc + а, т(р-с) . (V.2) Фильтрационный поток со скоростью фильтрации w переносит ка к растворитель, так и примесь. Легко убедиться, что для сме си форма уравнения неразрывности остается неизменной. Чтобы составить балан с растворенного вещества, необходимо рассмот реть структуру потока примеси через границу выделенного объема. Этот поток состоит из нескольких различных по своей природе со ставляющих. Одна из них соответствует переносу растворенного вещества общим потоком, характеризуемому плотностью потока массы: q\ = cw. (V.3) Этот поток существует даж е при равномерном по объему пористой среды распределении примеси, если жидкость движется. Если примесь распределена неравномерно, то даж е в отсутствие общего потока (ау = 0) будет происходить перераспределение ее, обусловленное диффузией. Как известно, диффузия вызывается хаотическим движением на молекулярном уровне; чтобы подчеркнуть это, будем называть ее молекулярной диффузией. Согласно основному закону диффузии (закону Фика) , для изотропной среды диффузионный поток пропорционален и противоположен по направлению градиенту концентрации: qD = - D v c . (V.4) В пористой среде примесь может, вообще говоря, диффундировать и в твердых зернах, и по поверхности контакта скелета с поровой жидкостью (поверхностная диффузия) , та к что закон Фика нуждается в уточнении. Эти эффекты несущественны для наших целей. Поэтому в дальнейшем используется выражени е для диффузионного потока в форме (V.4) с коэффициентом диффузии DJ постоянным и близким к коэффициенту молекулярной диффузии в жидкости. Существенно, что в пористой среде при наличии фильтрации должен существовать, наряду с уж е рассмотренными конвективным переносом и молекулярной диффузией, некоторый механизм переноса, обычно называемый дисперсией, обусловленный пространст 173 венными флуктуациями поля скоростей фильтрационного движения (т. е. отклонением локальных значений истинной скорости от среднего значения w) [12]. Для пояснения закономерностей этого механизма напомним, что коэффициент диффузии в газе равен по порядку величины произведению пульсации скорости (имеющей порядок скорости звука с а - IO 3 м/с) на длину свободного пробега (X-Ю 9 -Ю -1 0 м), DM-C0XПодобно этому пространственные флуктуации поля фильтрационных скоростей вызывают как бы диффузионное перемешивание, называемое конвективной диффузией коэффициент диффузии для которого по порядку величины должен быть равен произведению флуктуации скорости (имеющей порядок скорости фильтрации w) на масштаб флуктуации /. Если этот масштаб считать равным внутреннему масштабу пористой среды d, то D' ~ wd. (V.5) При обычных скоростях фильтрации это произведение невели ко (~10~ 1 0 м2/с) и поэтому имеет порядок коэффициента молеку лярной диффузии для жидкостей. Однако те ж е соображения при менимы к перемешиванию, обусловленному флуктуациями ско рости любого масштаба вплоть до 1 -10 м. Вообще говоря, кон вективная диффузия происходит тем быстрее, чем сильнее выра жена неоднородность пласта и чем шире спектр размеров неодно родностей. Это важно е обстоятельство необходимо учитывать при всех оценках роли конвективной диффузии. В тех случаях, когда оценок недостаточно и нужны более точные количественные рас четы, приходится прибегать к экспериментальному определению коэффициентов конвективной диффузии. Пространственные флуктуации поля скоростей приводят к дополнительной дисперсии не только в направлении движения, но и в поперечном направлении. Нет оснований ожидать, даж е дл я изотропной среды, что "поперечная" дисперсия будет происходить с той ж е скоростью, что и "продольная". Поэтому необходимо вводить продольный и поперечный коэффициенты дисперсии Dt = IIW, DL = lLw. (V.6) И з изложенного следует вывод, подтверждаемый более деталь ным анализом. Именно в реальных пористых пластах процесс дис персии доминирующий. Дл я него справедлив закон Фика, однако этот процесс анизотропен, и коэффициент диффузии растет с рос том скорости; выражение для потока имеет вид q, = -DijOddxi. (V.7) Тензор коэффициентов дисперсии (конвективной диффузии) D1-, имеет в изотропной среде в качестве одного из главных направ 1 Наиболее близкий аналог конвективной диффузии - так называемая тейлоровская дисперсия - перемешивание примеси в неоднородном по сечению потоке. 174 лений направление скорости фильтрации и в соответствующих глав ных осях принимает диагональный вид: Dw = I \\W, D1 = Dm= lLw, Dx2 = D23 = D' 3l=0. (V.8) Коэффициенты /Ц И I1, имеющие размерность длины, определяются строением пористой среды и должны определяться для каждого объекта или класса объектов. Накопленный к настоящему времени материал, в основном, подтверждает приведенные соображения, хотя экспериментальная зависимость коэффициента конвективной диффузии от скорости ближе отвечает степенному закону D'- х=1, 1 - 1,2. (V.9) Можно убедиться, что степенной характер зависимости является следствием наличия у среды спектра масштабов неоднородности. Запишем окончательно выражение для потока примеси: q = cw-Dvc-, (V. 10) Qi = CWI - Dijdcdxj; Dij = Dm S,7 + Dij. (V. 11) Тогда уравнение баланс а примеси после обычных преобразований приводится к виду. d (тс + a)/di + div q = 0 (V.12) или после подстановки выражения для q (тс+ a),t+ V ( wc ) = V(DVc). (V.13) Даж е если поле скоростей w известно и известна зависимость тензора конвективной диффузии D от скорости, из уравнения (V.13) нельзя найти поле концентрации. Дело в том, что еще не задано распределение примеси между жидкой и твердой фазами. Наиболее общее допущение, которое будет использоваться, состоит в том, что скорость межфазного обмена примесью зависит от количества сор бированной примеси в единице среды а, концентрации примеси в растворе с и скорости фильтрации w: at = 0. (V.16) Этим уравнением и ограничимся, хотя в последующем может оказаться необходимым рассмотрение более сложных кинетических схем. Входящие в уравнение (V.16) функции а (с, w) считаются заданными. Определение их - экспериментальное, или из более детальной теории - особая задача, которая должна составить предмет специального рассмотрения. 175 В тех случаях, когда примесь может образовываться или уничтожаться, в правой части уравнений (V.13) и (V.14) должны быть дописаны члены, равные интенсивности генерации примеси, т. е. количеству примеси, образующемуся в единицу времени в единице объема пористой среды, соответственно, в жидкости и в материале скелета. Путем аналогичных рассуждений можно записать уравнение баланс а тепла для пористой среды. При этом, поскольку, как уж е известно, время установления теплового равновесия между жидкостью и пористым скелетом мало, температуры их можно считать равными. При этом получим: (CT + m?i),t+ V (рш) = V (X V Т) + Q. (V.17) Здесь T - абсолютная температура; i(p, Т) - удельная энталь пия жидкости; С - теплоемкость скелета в расчете на единицу объема среды. Тензор теплопроводности X учитывает и обычную (молекулярную) и конвективную теплопроводность, обусловленную, подобно конвективной диффузии, микронеоднородностью поля ско ростей. Однако поскольку температуропроводность жидкости на несколько порядков выше коэффициента молекулярной диффузии, относительная роль конвективной теплопроводности обычно невелика, и ее можно не учитывать. В этом случае X превращается в обычный коэффициент теплопроводности насыщенной пористой среды. Интенсивность тепловыделения Q учитывает тепловыделение за счет механической диссдпации, тепловой эффгкт химических реакций, тепловой эффзкт адсорбции и другие источники тепла. В задачах, рассматриваемых ниже, существенное тепловыделение происходит лишь при внутрипластовом горении; в прочих случая х им можно пренебречь. Если не происходит фазовых переходов, то di = CpdT, где Cp - теплоемкость жидкости при постоянном давлении можно считать постоянной. Тогда, считая тепловыделение равным нулю, получим из (V.17) уравнение конвективной теплопроводности д (mpCpT + CT)/dt + V (?СрТи) = v (XvT). (V. 18) Используя уравнение неразрывности и считая X и С постоянными, преобразуем (V.18) к виду Уравнение (V.19) с формальной точки зрения представляет собой упрощенный вариант уравнений переноса примеси (V.13) - (V.14) и потому может быть исследовано в рамках общей с ними теории. До тех пор, пока поле скоростей фильтрации считается известным, а тепловые и диффузионные процессы не связанными между собой, можно рассматривать гидродинамическую картину, массоперенос и теплоперенос последовательно и независимо друг от друга. Более того, ничего не изменится, если рассматривать произвольное число 176 переносимых потоком примесей различной природы. Гораздо более сложная картина возникает, если существенно влияние примесей дру г на друга и на гидродинамику. Рассмотрим пока основные особенности задачи о переносе фильтрационным потоком динамически нейтральной (т. е. не оказывающей обратного влияния на поток) примеси. Будем считать, что заданы характерный линейный размер потока L и характерная скорость U. Тогда, вводя безразмерные координаты I i и время т, Ii = XiIU x = tU/L, (V.20) получим из (V.13) (V.14): i По сделанным оценкам при наличии макроскопического фильтрационного потока D - Ul, так что DlUL - 1/L. Эта оценка показываем что для переноса примеси в пористой среде число Шмидта (часто называемое также диффузионным числом Пекле PeD ) Sh = = UL/D, характеризующее относительную роль конвекции и диффузии, имеет порядок отношения L/1 линейного размера потока к внутреннему масштабу пористой среды I и потому обычно много больше единицы. Рассмотрим для уравнения (V.21) внешнее приближение, отвечающее по предыдущему (см. гл. IV) исследованию процесса в масштабах всего пласта, т. е. перейдем в системе (V.21) формально к пределу L-*со. Тогда получим (тс + a), t -fWic,и = 0, ср (а, с, w) = 0, а = а (с, w). (V.22) Соотношение (V.22) представляет собой уравнение переноса ней тральной примеси в крупномасштабном приближении. Физически оно соответствует пренебрежению диффузией и предположению о равновесном распределении примеси между твердой и жидкой фа зами. Дифференциальные уравнения (V.22) легко интегрируются в общем виде для любого стационарного потока. Действительно, рассмотрим произвольную линию тока фильтрационного потока, определяемую параметрически условиями ds/dt = m~~lw, dxi = m~lWi, Xi(U) = X0 . (V.23) Здесь X0 - координаты жидкой частицы в момент t = to - харак теризуют выбранную индивидуальную линию тока. Согласно уравнениям (V.22), скорость движения вдоль линии тока и можно считать известной функцией длины дуги s, и = и (s). Пусть в момент t = t0 в точке M0 {я?} концентрация примеси равна с0. Рассмотрим точку М, движущуюся по линии тока Г°, проходящей через M0 со скоростью v(s) = и (s) [т + а, с]-1. (V.24) 177 При этом в точке M имеем: d Таким образом, каждое значение концентрации примеси переносится по пласту вдоль линий тока со скоростью, равной скорости жидкой частицы и/т, умноженной на постоянный множитель (1 + + а с/т)-х, меньший единицы. Весьма важно, что на перенос вдоль данной линии тока совершенно не влияет характер распределения примеси в поперечном направлении. Таким образом, в внешнем (крупномасштабном) приближении процесс переноса примеси описывается одномерным уравнением ^r [тс + а (с, и (S))] + " | = 0. (V.25) Как было упомянуто (см. § 2, гл. IV), общее решение этого уравнения имеет вид S t = t(c, s) =/ о + (1 + Л'(С)) J A =-Z-. (V.26) Это выражение определяет время прихода примеси заданной концентрации с в точку с координатой s вдоль линии тока. Ему можно дать иную, более ясную физическую интерпретацию. Рассмотрим узкую трубку тока, окружающую данную линию тока. Из условия неразрывности для ее нормального сечения ш (s) легко получим СО (S) U (s) = IO0Uo = const. Поэтому интеграл в (V.26) пропорционален объему 5 (s) трубки тока между сечениями, отвечающими значениям координаты S0 и s. Этот объем монотонно зависит от s, и его удобно использовать в качестве универсального параметра вдоль линии тока, так как уравнение переноса и его общее решение при этом принимают особо простой вид: ^ T d 2 + ; 3/4 = 0 ' S(c ) = So(c) + "o(/-fo)//n(l+i4'(c)) . (V.27) Иными словами, в плоскости t, S каждое значение концентрации с переносится с постоянной скоростью, отношение которой к скорости потока ио/т зависит только от с. Дальнейшее исследование производится вполне аналогично анализу вытеснения в задаче Баклея - Леверетта. Начальными и граничными условиями определяется на плоскости t, S линия , вдоль которой заданы значения концентрации. Эти значения переносятся по проведенным через граничные точки прямолинейным характеристикам (V.27). Если характеристики не пересекаются между собой, то решение задачи оказывается (во всяком случае, при гладких начальных условиях) гладким. Если же характеристики пересека 178 ются, то даже при гладком начальном распределении решение оказывается разрывным. Поскольку, как видно из (V.27), наклон характеристик в плоскости (/, S) пропорционален (1 +Л > с ) 1 , характер решения вполне определяется начальными и краевыми условиями и видом изотермы сорбции а (с). Если начальное возмущение концентрации имеет вид "ступеньки" с (s , 0) = Со, с(0, /) = с0, (V.28) т о возникающая волна концентрации распространяется как сту" пенька с постоянной скоростью при (с0 - C0) А" (с) < 0, се(с 0 ,с0 ) и в виде непрерывной вслны, если Еерно обратное неравенство. Если на отрезке (со, с ) знак кривизны изотермы сорбции изменяется, то при помсщи соотношений (V.26) получаем комбинацию скачков и непрерывных волн. При этом на скачках концентрации выполняется соотношение баланса примеси (см. гл. IV) [с] + [А] = У [с], [С] = C + С - (V.29) Результат исследования задачи о распространении по пласту за данного на входе (х = 0) начального скачка концентрации - условия (V.28) - удобно сформулировать в следующем виде. Пусть Со < с0. Определим при Со < с < с0 функцию А* (с) = min \а (с), A (C1) ( С _ С 1 )1 , (V.30) с,. ¢. е Л J которую назовем вогнутой оболочкой функции А (с). Если представить себе график А (с) вырезанным из жесткого материала шаблоном, то график Ajf (с) будет соответствовать форме нити, натянутой между точками с0, А (C0); с0, А (с0) снизу на этот шаблон. Тогда устойчивое решение задачи о распространении скачка дается соот ношением S (с, t) = Uotlm (1 + А[ (С)), (V.31) причем, как видно из (V.31), прямолинейным участкам Aif (с) отвечают скачки c(S, t), а вогнутым дугам - участки непрерывного изменения концентрации. Угловым точкам A3f (с) соответствуют участки постоянства с при изменении 5 . На рис. 57 показаны возможные типы решений, отвечающие различным формам изотермы сорбции а (с). Аналогии между задачами переноса сорбирующейся примеси и задачами двухфазной фильтрации не ограничиваются описанием процесса в крупномасштабном приближении. В области скачков градиент концентрации и производная ее по времени, отвечающие крупномасштабному приближению, бесконечно велики, и, какими бы малыми не были диффузия и время релаксации, пренебрегать ими нельзя. 179 Будем действовать по аналогии с исследованием решения вблизи скачков насыщенности (см. гл. IV). Пусть S - поверхность разрыва концентрации, отвечающая крупномасштабному приближению. Будем считать ее гладкой и введем в окрестности этой поверхности локальную подвижную систему координат Si, S2, £з, где S2 и S3 - криволинейная ортогональная сетка координат на поверхности 2 ; Si - координата, направленная по нормали к ней. Запишем уравнение линий тока фильтрационного течения: г = R (M0, t), dR/dt = "(г). Здесь M0 - положение отмеченной точки на поверхности разрыва при t = 0. Дальнейшее движение поверхности разрыва в силу соотношений на скачках описывается уравнением г = Ri (Mo, /), dRi/dt = и (r)lm [1 + А' (с (Af0))] = V. В локальной системе координат уравнения переноса примеси примут вид: д (тс а) дГ~ -(KV e ) (тс + а) + ("V E )c = VE (^Vtc V £=(Ущ)а = (V.32) В координатах Si переменные с и а гладко изменяются по направлениям S2 и S3 и резко по направлению Si. Произведем растяжение переменных, положив Ci = D1 Si, x = D1 / . (V.33) Упрощая полученные уравнения (опуская малые члены по ана логии с гл. IV), получим внутренню ю задачу : uN dc d (тс -fа) _ <Рс_ . V n K ~~ Л ~ dл?г*г L 2 I ! I f O г 4 t РИС . 57 . Характерный вид решения в задача х переноса сорбирующейс я примеси. Изотермы сорбции: / - выпукла я : 2 -смешанная ; 3 - вогнута я РИС. 58. К анализу уравнения (V.39) I 18 0 3/4 = * . C (+OOj = C i . а(+оо ) = а ± . (V.34) Здесь UN И Vn-нормальные к S компоненты скорости фильт рации и скорости скачка. Краевые условия служа т для согласования внутреннего решения с внешним. Интегриру я первое уравнение (V.34), получим с учетом условий на бесконечности uNc - VN (тс + а) - VNDCJDI = const = UNCI - VN (тс + а±). (V.35) И з второго уравнения (V.34) и условий на бесконечности по лучаем а±=а(с±). (V.36) Затем из (V.35) с учетом условий на бесконечности находим необходимо е услови е с у щ е с т в о в а н и я стационар ног о в н у т р е н н е г о решения , совпадающее с полученным раньш е выражением для скорости скачка: V N = UNLM (1 + [Л]/[с]); А = a/m. (V.37) ЭТО соотношение выведено в предположении, что искомое внутреннее решение существует. Чтобы доказать его существование, рассмотрим уравнение (V.35) совместно со вторым уравнением (V.34) и покажем, что они имеют решение с требуемой асимптотикой при С + оо. Перепишем эту систему в виде dc V n'rfJCR = UN (С~ - с) + V n [Т (с - С~) + А - А~] = UN а - а+ (1 +И1/[с]) щ а - а~ + (с - с~) с+-с £ = V с). (V.38) Система (V.38) не содержит явно независимой переменной С, и ее удобно представить на фазовой плоскости переменны х а, с. Имеем £ас = WVjj а -а T C ) сw) Да/АДс ; А{С} = С+-С. (V.39) Изоклины нуля Г0 : da/dc = О и бесконечности T"daldc = оо - уравнения (V.39) заданы, соответственно кривой а = а (с) и прямой а = а~ + (с - с )Да,Дс . Эти изоклины обязательно пересекаются в точках (рис. 58) М~(с~, а~) и M+ (с+, а+ ) н разбивают представляющий физический интерес первый квадрант плоскости (с, а) на ря д областей, знаки производной da/dc в которых определяются следующим образом. При больших значениях а и малых с, очевидно, da/dc < 0; далее каждый переход через изоклину нуля или бесконечности приводит к смене знака . Поэтому для показанного на рис. 58 расположения изоклин точка M + является седлом, точка M-узлом , и имеется единственная интегральная кривая уравнения (V.39) -сепаратрис а седла M + , соединяющая обе особые 181 точки. Отвечающее ей решение обозначим через а°(с). Если оно найдено, то из уравнения (V.38) имеем C = f Ь Ш £ 1 ^ £ , У 4 0 ) J а0 (с) - а + (с - с~) (а - а+)/(с+ - с~) ' При этом, как и должно было быть по условию задачи, интеграл расходится при c-vc ± . Характер расходимости зависит от порядка касания линий Го и T00 в соответствующих точках (см. гл. IV). Если эти линии пересекаются под конечным углом, то подынтегральное выражение в (V.40) имеет нуль первого порядка и С - In I с - с± |, так что с~с ± + С ± ехр(т ± С) , т + > 0 ' T <0 . (V.41) Если допустить, что линии T0 и Г оо касаются друг друга, то подынтегральное выражение (V.40) имеет нуль более высокого по рядка, и стремление концентрации к ее соответствующему предель ному значению оказывается степенным: с-с± = 0(|С I"'*) , Vi > 0. (V.42) Заметим, что дл я возможности построения структуры скачка, т.е . внутреннего решений задачи, обладающего требуемыми асимптотиками, принципиальное значение имеет выполнение условий а (с) > а (с ) + (Да/Дс) (с - С~), C+ < С < С~, а (с) < а (с ) + (Да/Дс) (с - с~), C+ > с > с~. (V.43) Действительно, если это условие нарушается, не удается построить интегральную кривую, соединяющую точки M + и M, вдоль которой С изменилось бы монотонно. Таким образом, мы видим, что условия (V.43) необходимы и достаточны для существования внутреннего решения в виде равномерно движущейся волны концентрации. По этому, если ограничиться построением внешнего решения, из все возможных вариантов разрывных решений, удовлетворяющих урав нениям баланса, нужно выбрать такие, для которых на каждом разрыве выполнены условия существования внутренней структуры (V.43). При этом получаем процедуру построения, опнсанную вышэ. Такие же соображения окажутся основными и в более сложных за дачах, рассматриваемых в последующих параграфах. § 2. Вытеснение нефти растворами активных примесей П о н я т и е а к т и в н о й примеси . Основны е уравне ния . Рассмотрим двухфазное фильтрационное течение нефти и воды, предполагая, что вода (а возможно, и нефть) содержит некоторую добавку, способную влиять на гидродинамику потока. Такую добавку независимо от ее природы назовем а к т и в н о й при месью . Концентрацию примеси будем считать малой и не меняющей удельных объемов фаз . К активным примесям можно отнес 182 ти практически все химические реагенты, применяемые для увеличения нефтеотдачи. При всем разнообразии механизмов их действия гидродинамическое описание роли таких примесей оказывается в сделанном предположении единым. Действительно, поскольку в силу независимости плотности фа з от содержания примеси уравнения баланса воды и нефти не изменяются, любое гидродинамическое действие активной примеси может сводиться лишь к изменению проницаемости k, фазовых проницаемостей вязкостей и капиллярного давления P c . В свою очередь, это сводится, в силу сказанного в гл. IV, к влиянию активной примеси на проницаемость k (что существенно лишь при описании неодномерных процессов), на функцию распределения потоков F и на функцию Pc (что, в свою очередь, существенно в тех условиях, когда капиллярным скачком давления нельзя пренебречь). Таким образом, при описании одномерных крупномасштабных процессов достаточно знать лишь влияние активной примеси на функцию распределения потоков F. Отдельным важным вопросом становится влияние примеси на неравновесные процессы. Этот вопрос должен стать предметом специального рассмотрения; в настоящее время по нему имеются лишь первоначальные представления. Примесь может находиться в трех состояниях - растворенном в воде, растворенном в нефти и сорбированном пористой средой. Поэтому полное количество ее в единице объема среды равно (Zrasc1-J + т( 1- s)c 2 + a), а поток ciui+c2u2+q, где с,-- концентрация примеси в i-й фазе; а - количество примеси, сорбированное пористым скелетом; q - диффузионный поток. Уравнение баланса примеси имеет вид Imsc1 + т (1 - s) C2 + a), t + div (C1W1 + C2W2 + q) = г, (V.44) где г - скорость генерации примеси в единице объема среды. Рассматривая крупномасштабные медленные процессы, следует пренебречь диффузионными потоками (см. § 1 данной главы), а распределение примеси между фазами считать термодинамически равновесным. Ограничимся в последующем рассмотрением одномерных движений. Тогда (при г = 0) имеем С = с, с2 = <р (с), а = а(с , s), F = F(s,c), (V.45) [msc+m{\-s) О при начальных и граничных условиях s (х, 0) = S0, с (*, 0) = C0, s (0, t) = S0, с (0, t) = с0. (V.48) Возникшая ситуация близка к той, которая хорошо изучена в газовой динамике. Эта аналогия существенно облегчает исследование. Анализ размерностей показывает, что решение этой задачи авто модельно и имеет вид s = s(S); c = c(S); t = mx/Ut, (V.49) где s (S), c(S) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений j. ds _ dF (s, с) 6 5! ~ dt ' (V.50) , d[e s + (l - s) y {с)+ aim] _ d [cF + у (с) (1 F)] С ds Ti при краевых условия х S(O) = S0 C(O) = C0 S(OO) = S , C(O ) = C . (V.51) 1 1 0 0 0 При этом, как и в газовой динамике, ни исходная задача (V.47) - (V.48) для уравнений в частных производных, ни задача (V.50) - (V.51) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений не имеют, вообще говоря, классического решения, и необходимо допустить существование решений со скачками. Н а скачка х должны выполняться соотношения баланса массы фаз и примеси, сводящиеся к условиям mV [s-*" - s ] = U [F (s+, с+) - F (s~, с~)], (V.52) т у { $ ± + y ( c + ) 9 ( C ) + [ g ( C + ) a ( c ) ] / m -I = L C + -с + у (с-)у (с+) J ! / [ / > + + (V.53) L C+ с + V (с-) V (с+) J v ' 184 Здесь V - скорость скачка; s~, с~, S+, с+ - соответственно значения за скачком и до него. Скачки могут быть либо скачками насыщенности при неизменной концентрации - тогда существенно лишь условие (V.52) , a (V.53) выполняется тождественно, либо сопряженными скачкам и концентрации и насыщенности. Соответственно этому могут существовать скачки и в автомодельном решении, и условия на них получаются из общих условий заменой mV/U на где S/ - значение автомодельной переменной, соответствующее скачку . При этом оказывается, что можно построить бесконечно много решений, удовлетворяющих уравнениям, начальным условиям и условиям на скачках. Физически осмысленное решение должно удовлетворять дополнительному условию устойчивости скачков. Каждый из них характеризуется пятью величинами - значениями скорости скачка V и значениями искомых величин перед (s+, с+) и за скачком (s-, с-) . Эти пять величин связаны двумя условиями: (из двух условий (V.53) одно является следствием другого и условия (V.52)). Дл я того, чтобы устранить неопределенность, т. е. обеспечить устойчивость скачка, необходимы еще три дополнительных соотношения, которые прямо или косвенно отражают влияние начальных и граничных условий задачи. Это влияние передается вдоль характеристик исходной системы дифференциальных уравнений; каждая приходящая в данную точку характеристика дает одно соотношение меж^у переменными (для системы (V.47) характер нстики и соотношения на них выписаны ниже). В данном случае для устойчивости скачка необходимо, чтобы на него приходили три характеристики . В сбщем случае системы п уравнений сохранения типа (V.47) для переменных с п соотношениями на скачках для устойчивости скачк а необходимо, чтобы на него приходила (п + 1) характеристика. Это услоЕие устойчиЕости скачка используется в ряде задач теории ударны х ЕОЛН ; строгое его доказательство известно для одного уравнени я типа первого (V.47) и системы квазилинейных гиперболически х уравнений, однако при условиях, которым системы рассматриваемого нами типа не удовлетворяют. Поэтому в дальнейшем это условие используется как эвристическое. Некоторым обоснованием этих условий служит анализ тонкой структуры скачков (см. § 3 гл. V). Приходящим и на скачок из зоны за скачком будут при этом считаться характеристики, скорость которых не меньше скорости скачка; из зоны перед скачком - характеристики, скорость которых не больше скорости скачка. Иными словами, любая характеристика, имеющая равную со скачком скорость, считается приходящей на скачок [36]; характеристики, не удовлетворяющие этому условию, считаются уходящими . Дл я системы (V.47), как легко убедиться, характеристики определяютс я соотношениями Л * I U_SF_ dt Tn 4_ P d c nd x + r ' d f = 0' Tt 185 Допустим, что задача решена. Тогда, зная функции s(£) и с (S), можно для каждого £ вычислить F (s, с), а затем, исключая из указанных зависимостей S и с, получить связь между F HS , поэтому каждому S отвечает некоторая точка на плоскости s, F в квадрате (0,1) х (0,1), а всему решению - кривая, которую в дальнейшем мы будем называть путем . Поскольку в силу первог о уравнения (V.50) l=dF/ds, где производная берется вдоль пути (s, F), авто модельное решение однозначно восстанавливается, если он задан. При этом скачкам решения соответствуют прямолинейные участки пути, а угловым точкам - участки постоянства насыщенности; концентрация с на непрерывных участках решения неявно задана соотношением F = F (s, с). Решающую роль играет то обстоятельство, что путь на (s, F) - диаграмме удается построить, причем зачастую вполне элементарными средствами, до решения задачи. Особенно просто осуществляется построение в случае, если скачок концентрации распространяется без размазывания, т. е. существует подлежащее отысканию значение Sc такое, что с = с°, 0 < S < Sc, с = со, Sc < S < оо (V.55) (достаточные условия распространения скачков концентрации без размазывания указаны ниже). Используя уравнения (V.50), условия (V.52) и (V.53), и условие устойчивости скачков, можно дать элементарную графическую технику построения пути (s, F) и, следовательно, решения, обобщающую известный способ решения задачи Бакле я - Леверетта, изложенный в гл. IV. В построении используются лишь кривые функции F(s, с) при двух значениях: с - начальном и конечном - и значения функций <р и а, отвечающие этим двум значениям концентрации активной примеси. Это обстоятельство весьма важно , поскольку дополнительно резко ограничивает требуемый объем экспериментов для получения исходных данных к расчетам. Очевидно, решение состоит из (примыкающего ко входу пласта, О < S < S/) участка с с = с°, удаленного участка S > S/, в котором концентрация примеси сохраняет первоначальное значение, с = с0, и скачка при S = = S/, на котором изменяются и концентрация, и насыщенность. Первому участку на (s, F) - диаграмме отвечает отрезок кривой F(s, с0), второму - отрезок кривой F (s, Со). Из условий (V.52) следует, что относительная скорость скачка S/ = mV/U равна угловому коэффициенту отрезка, соединяющего точки s+, F+ и s~, F~, отвечающие значениям переменных по обе стороны скачка (т. е. точно так же, как и в обычной теории Бакле я -Леверетта , только соответствующие точки не обязательно располагаются на кривой F (s, с), отвечающей фиксированному значению концентрации примеси). Из условия (V.53) следует, что дл я скачка, происходящего с изменением концентрации, относительная скорость равна угловому коэффициенту прямой, соединяющей точки s+, F+ или s~, F~ с "полюсом" -Spt -Fp , 186 примеси = S i ^ рр = дСТ, : = - А = ( у 5 6 ) Таким образом, точки s+, F+, s~, F~ и -sp , - F p лежат на одной прямой, и луч, отвечающий скачку, принадлежит пучку, про ходящему через полюс (-sp , - F p ) . Чтобы выбрать из этого пучка единственный "нужный" луч, заметим, что им не может быть луч, пересекающий кривую F (s, с0) "сверху" (рис. 59, в), так как при этом вблизи точки пересечения значение автомодельной переменной за скачком больше, чем на самом скачке: S = (dF (s, c0)/ds)~ > Ii = (F- F+)/(s~ s+), (V.57) и "решение" получается неоднозначным. Если мы допустим, что луч, соответствующий скачку, пересекает кривую F (s, с0) "снизу" (см. рис. 59, в), то в точке сопряжения I (dF/ds) < I1. (V.58) При этом число характеристик, приходящих на разрыв, равно лишь двум, и нарушается условие устойчивости скачка (см. по дробнее ниже). Таким образом, путь на плоскости (s, F), отвеча ющий автомодельному решению, обязательно содержит скачок по лучу , проходящему через полюс (-sp, -Fp ) и касающемуся кривой F (s, с0) в точке (s~, с ) (см. рис. 59). (Здесь считается, что, как это обычно бывает, такая точка касания единственна. Можно пока зать, что из нескольких точек касания при построении решения нужно выбрать верхнюю.) После определения положения сопряженного скачка концентрации и насыщенности ("с-переход"), дальнейшее достраивание решений в областях двухфазного потока с постоянной концентрацией примеси производится очевидным образом 187 РИС. 60. К анализу процесса довытеснения нефти раствором активной примеси по аналогии с теорией Баклея - Леверетта; два различных вариант а возможных путей в (s, F) плоскости показаны на рис. 59. Н а рис. 59 показаны соответствующие распределения насыщенностей в один момент времени для вытеснения водой (пунктир) и раствором активной примеси при малой (а) н значительной (б) сорбциях. Во всех случаях фронту примеси предшествует фронт вытеснения нефти водой; если сорбция значительна, он движется с той же скоростью, что и при вытеснении чистой водой. Это означает, что сильно сорбирующаяся примесь не изменяет момента обводнения и начальной стадии водного периода разработки; роль примеси при этом сводится к некоторому замедлению роста обводненности продукции на промежуточной стадии и увеличению полноты вытеснения нефти на заключительной стадии. Если примесь сорбируется слабо (а), то несколько затягивается безводный период эксплуатации и снижается обводненность продукции на начальной стадии обводнения. Сходное построение позволяет проанализировать и применение активной примеси для довытеснения нефти из залежи, первоначально разработанной при заводнении (т. е. в качестве "третичного" метода). Построение соответствующего (s, F) пути показано на рис. 60, в, а характерные распределения насыщенностей по длине пласта - на рис. 60, а, б. Принципиально возможно образование двух типов решений. Один из них характеризуется отставанием фронта примеси от фронта вытеснения и образованием отчетливо выраженного нефтяного вала. Дл я решения второго типа характерно образование нефтяного плато с медленным снижением нефтенасыщенности на заднем его фронте; передний фронт плато совпадает с фронтом продвижения активной примеси (см. рис. 60, б). Какой именно из режимов осуществляется, можно определить на (s, F)диаграмме. Если верхняя точка пересечения касательной к F (s, с°) 188 РИС. 61. К решению задачи о вытеснении нефти раствором вредной активной примеси из точки (-Spi - F p ) с F (s, Со) лежит на участке s > s0, то образуется нефтяной вал, в противном случае - нефтяное плато. Д о сих пор речь шла о примеси, снижающей долю воды в водонефтяном потоке, т. е. снижающей относительную подвижность воды или увеличивающей относительную подвижность нефти. Ясно, что полезные активные примеси принадлежат именно к этому классу. Можно, однако, поставить вопрос о роли примесей, увеличивающих относительную подвижность воды. Соответствующая задача вытеснения легко решается построением рис. 61, б и приводит к распределению насыщенности, показанному на рис. 61, а. Наличие примеси не влияет на структуру передней части зоны вытеснения; прохождение фронта примеси, отстающего от фронта закачиваемой воды, сопровождается некоторым увеличением водонасыщенности и доли воды в потоке, которые затем длительно сохраняются на постоянном уровне. Рассмотрим построение автомодельного решения в общем случае, когда не предполагается, что существует полный скачок концентрации примеси, хотя и считается по-прежнему что содержание примеси в нефти и в пористом скелете зависит только от концентрации ее в воде (? = ср(с), а = а (с)). В анализе нуждается только та часть решения (или соответствующего пути на s, F-диаграмме), на которой изменяется концентрация. Изменение концентрации может происходить в с-с к а ч к а х или с-в о л н а х (участках непрерывного изменения с (S)). Будем характеризовать с-скачки значениями концентрации по обе стороны скачка [с~, с+], причем с= с (с,± 0); для определенности далее полагается с0 > C0. Тогда возможны скачки четырех основных типов: 1) [с°. со]; 2) [с0, с*]; с0<с*< с0; 3) [с*, cj , со < с* < с* < с0; 4) [с*, C0]; C0 < с* < с0 . 189 Запишем соотношения на скачках в виде = F--F+ ^ F± +(AyMc)(I-VAc)' / у 59 > 1 S--S + ' S i + (Дср/Дс + ДЛ/Дс) (I - Д=р/Дс)-1 Здесь F± = F(s±, Ci ); каждое из уравнений (V.59) является следствием двух остальных. Обозначим через Sjt,2 безразмерные характеристики скорости по обе стороны скачка: Jit = F S^ i 1 с~), Е± = ^ + ^ / о ^ ) ( V б 0 2 M i VOP i ) 1 ' Из условия устойчивости скачка либо min S^2 < S/ < min IT,2, S/ < max £+2. (V.61) либо шах if,2 < Ii < max IV,2, Ij < min 17.2 (V.62) Заметим, что, если к скачку примыкают участки непрерывного изменения переменных (sили с-волны), то из условия однозначности решения предельные значения автомодельной переменной в них удовлетворяют неравенству < Ii < S+. (V.63) Учитывая, что на с и s-волнах значение автомодельной пере менной совпадает с характеристической скоростью, из (V.62) и (V.63) находим, что реализуется одно из следующих соотношений: I + = шах > Г = min IYi2 = Ij, = min 17,2 = Ii = min S^2 = S+, Г = max 17.2 = max it,2 = S + = I h (V.64) S = min Siy2 < S+ = max lt,2 = S/ < max S^2 Анализируя расположение характеристик обоих семейств, не трудно прийти к заключению, что для типичного расположения кривых F (s, с), показанного на рис. 59, (с0 - Co)FrC<0, при обычных значениях so и S0 решение может содержать лишь скачки, для которых верны первые два соотношения (V.64). Рассмотрим вначале скачок типа [с0, с*]. Дл я него, очевидно, верно второе условие (V.64). Тогда в дополнение к уравнениям (V.59) имеем: ^ + = = r = ^ < * с°>- <у-б5> S++ .(-?++ А+)/(1 Из (V.65) и (V.59) находим систему уравнений для определения с+ = с*, s+, S, Ii. Ограничимся пока вариантами, когда эта система уравнений решается элементарными средствами. Пусть ? (с) = 9ос, ч' (с) = Ду/Дс = 9о - const. (V.66) 190 со с + с . с* с" a с - t / / / / / / / / Jy C РИС . 62. К определению структуры решения по виду изотермы сорбции Тогда из (V.65) и (V.59) имеем для с+ уравнения F+ + ?o/0-*o ) f + + Е,имеем участок непрерывного изменения концентрации (с-волну). Пусть решение содержит скачок третьего типа [с*, CIT]. Из соотношений (V.59) и условий (V.64) получаем t Fi + А<р/(Ас - Atp) _ "+ _ _ S i + (Д<р + АА) /(Ac - А?) ~~ F ± + t Р ' ± (I-"р' ±) " 1 (V.70) Если у = voc, по соотношениям (V.70) получаем а' (с+) = а' (с ) = [а (с+) - а (с~)]/(с+ - с~). (V.71) с+ и с- - абсциссы точек кривой а (с), имеющих общую касательную (см. рис. 62); E7определяется как характеристическая скорость в с-волне, приходящей в точку М~ (s~, F (s~, с~); значение s+ определяется как абсцисса точки M + пересечения прямой, проведенной через точку Af с угловым коэффициентом E/; с кривой F(s+, с+). Последующая с-волна строится из точки Af+ в соответствии с уравнением dF _ F + '/ (1 ds ~ s + (?' + л ' ) / ( 1 9 ' ) ' Наконец, для скачка четвертого типа имеем с+ = с°; F i +A t p (Ac-A t p )1 F + 0; структура с-перехода при этом определяется видом функции а* (с). Столь же просто устанавливается заранее структура с-перехода при произвольной функции <р (с), если а(с) = 0. При этом необходимо, чтобы Д<р/Дс = (с ± ) . (V.75> Здесь знак -f берется для скачков второго типа, знак -для скачков четвертого типа; для скачков третьего типа берутся уравнения с обоими знаками. Таким образом, при а (с) = 0 структура решения определяется видом вспомогательных функций ?* (с) и (с) (рис. 63) при со > с0 и с0 > со соответственно, при этом предполагается, что функции F (s, с) имеют обычный вид max [F (s, с) - s] > 0 > min [F (s, с) - s|. S S Если F i с (с0 - со) > 0, то проходит аналогичная техника нахождения автомодельных решений (см. рис. 59), с той лишь разницей, что в этом случае построение следует начинать с больших значений £ и пользоваться соотношениями (V.64). Изложенная процедура гарантирует построение одного автомодельного решения с устойчивыми скачками, но не гарантирует отсутствие других устойчивых решений. Рассмотрим кратко возможности построения автомодельного решения в общем случае, когда ? (с)-произвольная возрастающая функция, а количество сорбированного вещества зависит не только от концентрации с, но и от насыщенности, a = a(c,s). Ограничимся основным случаем F > c (c ° - со) < 0. Прямое обобщение изложенной 193 процедуры заключается в том, что решение строится "слева направо", т. е. от малых значений S. Пусть решение "достроено" до точки (s , с~, F~), S = min Sf^Будем искать его продолжение как "скачок" (может быть, бесконечно малый скачок), обеспечивающий минимальное значение скорости Из условий на нем F+- F~ Fi + Ay(Ac-Ay)' Е/ = l ^ = = .+• •+ (Дер + дл) (Ac - д-о. = E- ( v 7 6 ) получаем два независимых уравнения для определения с+ и s+. Если единственное решение этих уравнений есть с+ = с~, s+ = s _ , данный участок решения представляется sили с-волной и следующий шаг должен быть бесконечно малым (практически равным шагу численного интегрирования) в соответствии с уравнением dF/ds = £. (V.77) Если же система (V.76) имеет нетривиальное решение со < с+ < < с~, s+, то производится скачок в точку s+, F (s+, с+), после чего построение решения продолжается по тому же алгоритму вплоть до достижения концентрации с0. Если F с (с0 - со) > 0, то аналогичное построение проводится справа налево (от больших значений S к меньшим) с выбором на каждом шаге S + = S/ = max (S1S2) Фронтально е вытеснение . Неавтомодельны е ре шения . Вытеснени е оторочко й активно й примеси . Запаздывающе е воздействие . Анализ автомодельных движений не исчерпывает гидродинамического исследования процессов вытеснения нефти растворами активных примесей. Из числа неавтомодельных движений, которые также удается изучить в рамках изложенного общего подхода, наибольший практический интерес представляют вытеснение нефти оторочкой раствора активной примеси и закачка активного агента с запаздыванием воздействия на пласт. В настоящее время эти задачи интенсивно исследуются. Рассмотрим методику решения и ее возможности. Оторочко й обычно называют имеющую конечный объем порцию раствора активного агента, который закачивается на начальной стадии вытеснения, а затем проталкивается по пласту водой. Основной смысл использования оторочек состоит в экономии дорогостоящих химических реагентов при сохранении повышенной нефтеотдачи с применением химических реагентов при заводнении. Формально задача о фронтальном вытеснении нефти оторочкой активной примеси в крупномасштабном приближении сводится к решению системы уравнений (V.47) при начальных и граничных условиях. s (х, 0) = S0, с (х, 0) = 0; F(s, с) Ix=O = 0, с(0, O = C0, 0<1<Т, с(0, /) = 0, t>T. (V.78) Очевидно, что до момента t = T решение сформулированной за дачи совпадает с рассмотренным автомодельным решением. В момент 194 РИС. 64. К задаче о вытеснении нефти оторочкой активной примеси t = T на границе х = О появляется скачок концентрации. При t > T распространяющееся от него возмущение взаимодействует с центрированной волной, примыкающей в автомодельном решении к о входу пласта. Ограничимся простейшим вариантом задачи, когда изотермы сорбции а (с) и распределения примеси <р (с) линейны: а = тГс, f = "рос. (V.79) В этом случае, как легко установить, прямой и обратный скачки концентрации распространяются без искажения; мгновенная, скорость скачка в каждый момент U F+ -F _ и F± + C ° ) [ F ( S , C0) + F p ) / ( S S p ) (V.83) Соотношение (V.83) устанавливает зависимость от времени насыщенности s+ перед вторым сопряженным скачком. Координаты и скорость скачка определяются соотношениями X 2 = (Ulm) F' (s+t с°) t, V = (U/m) [F (s+) + F p ] (s+ + S P ) ' . (V.84) Из (V.83) и (V.84) видно, что по мере распространения второго скачка его скорость постепенно увеличивается и стремится к ско рости первого сопряженного скачка F ' (s4); насыщенность перед фронтом постепенно убывает и стремится к S4 при t -*• оо; она в каждой точке меньше скорости соответствующей характеристики F'(s + ) . Отсюда следует, что второй скачок не влияет на условия распространения первого сопряженного скачка и на решение при jc > X1 (0 Расстояние межд у скачками равно L (t) = X1 (t) - X2 (t) = (Ulm) t [F' (s4) - F ' (s+)]. (V.85) Используя (V.83), легко показать, что существует конечный пре дел L(°o ) = L". Таким образом, асимптотически при t -*• оо форми руется стационарная оторочка, движущаяся со скоростью, равно й скорости первого сопряженного скачка Vi = (UIm) F' (s4 ). Чтобы построить решение в области за вторым скачком, заметим, что из последнего условия (V.80) можно найти величину s~ (() - проще всего это сделать графически (см. рис. 64). Легко видеть из рис. 64, что Sa скачком (х = X2 - 0) оба семейства характеристик уходят со скачка. Поэтому решение в области х < X2 (t) определяется полностью начальными данными на линии X = X 2 (t) и описывается уравнением л; (t, s) = X2 (t2, s) + F ' (s, 0) (UIm) (t - t2 (s)). (V.86) Здесь в качестве параметра на линии х = X2 ( t ) взята насыщен ность непосредственно за скачком, s = s-; X2 и t2 - соответству ющие значения координаты скачка и времени. Естественно поставить вопрос об асимптотике решения при больших временах. Ее можно получить, рассматривая предел полученного выше решения. Можно, однако, рассуждать и по-другому. Как было показано, со временем оторочка стабилизируется и начинает двигаться с постоянной скоростью. Поэтому будем искать в подвижной системе координат, связанной с оторочкой, стациоларное решение вида s = 5 (3/4), с =C (kj), T1 = x - Vt, С(ч) = 0, | , | > / , С0а) = с°, (V.87) 196 Подставляя выражени я (V.87) в основную систему (V.47), получим: ~mV^ + U~ = 0, - UF + mVS = const, , у d\mcs + m(l - s) у + а] у d [cF + у (1 - F)] = Q у g g df] d<) > V • / - [mcs + my (1 - s) + а] V + U [cF + у (1 - F)] = C onst2 . Ка к нетрудно видеть, условия (V.88) показывают, что значения насыщенностей перед оторочкой s+ и з а ней s~ связаны между собой и со скоростью V условием на скачке : mV/U = (F+ - F~)/(s+ - sr). (V.89) При этом значение s внутри оторочки определяется пересечением прямой, соединяющей точки M+ (s+, F+) и М~ (s~, F~) с кривой F = F (s, с0). Второе уравнение (V.88) показывает, что пряма я Af + Af проходит через полюс (- s p t - F p ) . Наконец , учитывая условия устойчивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что пряма я Af + Af должна быть касательно й к кривой F(s, с0), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение тип а равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом представляет собой внутреннюю асимптотик у решения, отвечающую малости объема оторочки или -чт о эквивалентно - большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие активной примеси (с = 0) с дополнительным скачком насыщенности, обусловленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s+ и s , определяемыми из внутреннего решения. На (s, /^-диаграмме ему соответствует путь ABGDE. Полученный результат заслуживае т особого комментария. Дело , в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соответствующее пути ABGDEt существует и в отсутствие активной примеси; однако оно неустойчиво. Таки м образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчивого решения, отвечающего рис. 59, г.. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижени я подвижности воды, которая достигается в оторочке. Есл и активна я примесь "полезная", то FtC < 0, и последнее утверждени е означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентраци и примеси в оторочке. Та же техника позволяет проанализировать влияни е запаздыва ния закачки активного агента на показатели разработки . Запазды вание достаточно часто происходит по техническим причинам. Будем считать, что пласт, первоначально однородно насыщенный нефтью, 197 с момента ^= O разрабатывается заводнением, а при t = T начинается закачка активной примеси. Этим условиям отвечает задача s (х, 0 ) = s 0 , с (х, 0 ) = c 0 , s ( 0 , t) = S [с ( 0 , /)]; ¢(0, 0 = 0, 0 So. (V.91) При t = T от границы пласта внутрь него начинает переме щаться поверхность разрыва концентрации и насыщенности, причем мы будем полагать выполненными условия распространения скачка без размывания, так что C = C0 = O1 х> Xc(t), C = C0, x [а (с+) - а (с-)] (с+ - c-)-i . (V. 103) В дальнейшем будем предполагать, что условие (V.103) выпол няется при с+<с<с- . На роль, которую это условие играет при построении тонкой структуры скачка, указал А. Ф. Зазовский. С учетом принятых допущений В < 0, и знаменатель в правой части уравнения (V.101) обращается в нуль при Z > 0, Y > 0, т. е. изо клина бесконечности dcjds = оо, лежит вне криволинейного тре угольника М+М~М* (см. рис. 66). В этом случае поле направле ний в фазовой плоскости уравнения (V. 101) принимает вид, пока занный на рис. 66, и существует единственная траектория М+М~, соединяющая особые точки M+ и М~. Более детальный анализ показывает, что траектория М+М~ является сепаратрисой седла M+, принадлежащей пучку траекторий, входящих в седло-узел М~. Асимптотика решения вблизи особых точек устанавливается при помощи известной техники, причем оказывается, что вблизи точек M+ и М~, соответственно с - с+ = k(s - s+), k>0, с-с~ с+ ex p [R/(s - s-) ] (s - s~)~2, s< s~, R = 2G~ \F~ г, {s~ + A-)}/B~F7ss > 0. (V. 104) РИС . 66 . К исследованию структуры сопряженного скачка насыщенности и концентрации активной при меси РИС. 67. К определению знака Z (с) с / OO "К/ у M L ' у 4ч1 ' * В с j 202 Интегрируя уравнени я (V.100) и использу я асимптотические соотношения (V.104), находим s - S - 2G~/B~H~F~ss"}> с - с~~ const I 3 2 ехр (-X I 3 ) , -д^-со , s - S+ ~ const ехр (-х+1з)> с - ~ const ехр (-х+1з)> Tt -*0 0 . X i = S "/ -Jt- + ~дГ = da/dt = х1 ? (с, а) <р (с, а* (с)) = 0, (V.106) s (х, 0) = S 0 , с (х, 0) = C0, s (t, 0) = S0 , с (t, 0) = с0, а (х, 0) = а* (с0). Отношение времени установления равновесного распределения примеси к времени движени я жидкости в пласте играет в последующем рассмотрении роль малого параметра задачи . Внешнее решение задачи остается прежним . Чтобы построить внутреннее решение, перейдем к подвижной системе координат: ц = (х - Vt)/zV; 203 V = tfx, и будем искать стационарное распределение S = S(^)1 с = = с(тз). При этом имеем F - Cj-S = F + - = F~ - IjS= const, cF - (cs -M ) = c±F± - 5/ (c±s± + Л±) = const, da/d-g = - <р(а, с) (Л = fl/m). (V.107) Выражая из первых двух соотношений (V.107)a через с, имеем линейную связь между этими величинами: а = а+ + If 1 т {с - с + ) (F + - Ii S+ ), (V. 108) с = с+ -f Ii (а - a+) (F+ - £/s+)->/т. При этом связь между ц и а определяется интегрированием уравнения (V.107) Дл я интерпретации этого результата удобно воспользоваться (с, а)-диаграммой (см. рис. 58). Нетрудно видеть, что равновесная изотерма сорбции а = а* (с) разбивает первый квадрант плоскости (с, а) на две части; над этой кривой <р < 0, под ней ? > 0. Интегрирование (V.109) происходит по прямой, соединяющей точки (с+, а+) и (с , а~), так что при очевидных допущениях <р положительно вдоль пути интегрирования и обращается в нуль в крайних точках. Пр и этом 13 изменяется от -оо до оо. Стационарное распределение концентрации, определяемое выражением (V.109), в физических координатах имеет эффективную толщину, пропорциональную tV , и, таким образом, расширяется с увеличением скорости вытеснения. Соответствующий профиль насыщенности однозначно определяется из первых соотношений (V.107). Полученное решение определяет главный член поправки к крупномасштабному решению, вносимой неравновесностью сорбции. Согласно ему неравновесность сорбции сказывается на динамике нефтеотдачи, но не на ее конечном значении. Эффекты, связанные с конечной нефтеотдачей, требуют анализа следующих членов разложения. Капиллярна я пропитка . Как уже говорилось в гл. IV, одним из важнейших процессов, формирующих нефтеотдачу гетерогенных пластов, является капиллярная пропитка-впитывани е воды в малопроницаемые пропластки и блоки породы, первоначально заполненные нефтью. Поэтому важно знать, как влияет на эти процессы наличие в воде активной примеси, влияющей на фазовые проницаемости и капиллярное давление. Рассмотрим здесь лишь основной процесс одномерной противоточной капиллярной пропитки, характеризующейся равенством нулю суммарного потока фаз. Описание этого процесса дается системой (V.98), в которой следует положить U S= 0. Имеем задачу: ds 1 д [Ff2/п ds . г> дс\1 л 20 4 д [msc + а (с)] dt "Л + С, S FJ1 = V-T-D дс , (V.110) -T дх дх s (х, 0) = S0, с (х, 0) = со, s (О, 0 = S 0 . с (О, O = C0. Сформулированная задача, как легко видеть из соображений размер ности, имеет, подобно задаче обычной капиллярной пропитки, автомодельное решение вида s=S(£) , C = C(S)1 где функции S(S) и S = Ar(SZ)-1/2, (V-IU ) С (S) - решение РИС. 68. Распределение концентра ции с активной примеси и насыщенности s при капиллярной пропитке: 1-Р.с+О; 2-P,= О задачи Ffo Y = P P2 ' d IrYds J *VdC\ 1_D HDdC\ J $ D ^MCS + FL> = 0. (V.112) Tti TZ Tij di(-ж)+1 51 Характер этого решения определяющим образом зависит от соотношения капиллярного и диффузионного коэффициентов переноса. Ограничимся здесь случаем, когда диффузионный перенос мал, что отвечает обычному соотношению параметров. При этом, полагая в (V. 112) D = OH вычитая из второго уравнения первое, умноженное на с, получим <Я" + а, с) ! + . ( * ! • + а т = °- ^ Л 1 3 > Таким образом, перенос концентрации примеси описывается уравнением первого порядка, которое допускает разрывные реше ния (в частности, концентрация примеси может переноситься в виде "ступеньки"). При этом, поскольку в силу первого уравнения (V. 110) капиллярное давление на скачке непрерывно, скачок кон центрации сопровождается скачком насыщенности из условия P (s+, с+) = P (S, C-) . (V. 114) Условие баланса насыщенности, следующее из лэрвого уравне ния (V.110), определяет связь между скоростью скачка, величиной скачка насыщенности и скачками производных s, * и с, Типичная картина решения показана на рис. 68. Характерно отставание фронта примеси от фронта воды. Это свойство имеет важные последствия. Поскольку ведущий механизм - капиллярная пропитка чистой водой, наличие активной примеси слабо влияет на скорость пропитки. В этих условиях основной эффект активной примеси может быть связан лишь с ее влиянием на неснижаемую нефтенасыщенность (1 - s0). Ясно, что на этот показатель и следует 205 обращать внимание при подборе агента воздействия при заводнении гетерогенных пластов с гидрофильными блоками. Иная картина получается, если блоки первоначально гидрофобны и пропитка их водой невозможна. В этом случае принципиального улучшения показателей процесса можно достичь, добавив к воде гидрофилизующий реагент (ПАВ), делающий поверхность породы гидрофильной. Можно показать, что в таком случае скорость процесса определяется опережающей диффузией химреагента, который ведет за собой пропитку. Этот вывод также существен для правильного выбора гидрофилизирующих реагентов. СПИСО К ЛИТЕРАТУР Ы 1. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде.- ПММ, т. 16, 1952, вып. I, с. 67-78. 2. Баренблатт Г. И. Об автомодельны х движениях сжимаемой жидкости в пористой среде.- ПММ, т. 16, 1952, вып. 6, с. 679-698. 3. Баренблатт Г. И. О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме.-Изв. А Н СССР, 1954, №9 , с. 35-49. 4. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика . Теория и приложения к геофизической гидродинамике. Изд. 2-е. Гидрометеоиздат. Л. , 1978. 5. Баренблатт Г. И., Винниченко А. П. Неравновесная фильтраци я несмешивающихся жидкостей.- Успех и механики, 1980, №3 , с. 35-50. 6. Баренблатт Г. И., Ентов В. M., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. M., Недра, 1972. 7. Баренблатт Г. И., Желтое Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представления х теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах.- ПММ , т. 24, 1960, вып. 5, с. 852-864. 8. Бедриковецкий П. Г. Вытеснение нефти оторочками растворов активных "римесей.- Докл . А Н СССР, 1982, т. 262, № 1, с. 49-53. 9. Бернадинер М. Г., Ентов В. М. Гидродинамическа я теори я фильтрации аномальны х жидкостей. M., Наука , 1975. 10. Берчик Э. Свойства пластовых жидкостей. М. Гостоптехиздат, 1960. 11. Бузинвв С. H., Умрихин И. Д. Гидродинамические методы исследования скважи н и пластов. M., Недра, 1973. 12. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкостей / А. Бан , А. Ф. Богомолова , В. А. Максимов н др. M., Гостоптехиздат, 1962. 13. Губкин И. М. Учение о нефти. M., Наука , 1975. 14. Данилов В. JI., Кац Р. М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкости в пористой среде. M., Недра, 1980. 15. Движение углеводородных смесей в пористой среде. В. Н. Николаевский, Э. А. Бондарев, Г. С. Степанова и др. M., Недра, 1968. 16. Девликамов В. В., Хабибуллин З.А., Кабиров М. М. Аномальные нефти. M., Недра, 1975. 17. Ентов В. М. Некоторые проблемы математической теории нелинейной фильтрации.- Записки научных семинаров Ленингр. отд. мат. ин-та АН СССР, т. 96, 1980. 18. Ентов В. М. Физико-химнческая гидродинамика процессов в пористых средах. (Математические модели про 20 6 Цессов повышения нефтеотдачи пластов.) M., Изд. ИПМ А Н СССР, 1980. 19. Ентов В. M., Панков В. H., Панько С. В. К расчету целиков остаточной вязкопластической нефти - ПММ, т. 44, 1980, вып. 5, с. 847-856. 20. Ентов В. M., Полищук А. М. О роли сорбционных процессов при движении полимерных растворов в пористой среде.- Изв. АН СССР, сер. МЖГ , 1975, № 3, с. 68-76. 21. Желтое Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта. M. , Недра, 1975. 22. Иванов В. А., Храмова В. Г., ДияровД. О. Структура порового пространства коллекторов нефти и газа. M. , Недра , 1974. 23. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. Пер. с англ. M., Мир, 1964. 24. Котляр Л. M., Скворцов Э. В. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом. Изд. Казанского ун-та. 1978. 25. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 2-е. M., Физматгиз, 1958. 26. Лейбензон Л. С. Подземная гидродинамика. M., Изд-во АН СССР, 1953. 27. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти. Перев. с англ . М.-Л. , Гостоптехиздат, 1953. 28. Мирзаджанзаде А. X. О теоретической схеме явления ухода раствора.-ДА Н АзССР, 1953, т. 9, №4 , с. 203-205. 29. Мирзаджанзаде А. X. Особенности фильтрации неравновесных систем. Минск, Изд. ИТМО АН БССР, 1975. 30. Неравновесные эффекты при фильтрации вязкоупруги х жидкостей/ Г. И. Баренблатт , Ю. Г. Мамедов, А. X. Мирзаджанзад е и др.- Изв. АН СССР, МЖГ , 1973, № 5, с. 76-83. 31. Об определении параметров нефтяного пласта по данным о восстановлении давления в остановленных скважинах / Г. И. Баренблатт , Ю. П. Борисов, С. Г. Каменецкий и др.-Изв . АН СССР, 1957, №11 , с. 84-91. 32. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрнческие неравенства в математической физике. M., Наука , 1975. 33. Полубаринова-Конина П. Я . Теория движения грунтовых вод. M. , Наука , 1977. 34. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). Отв. ред. П. Я. Кочина. M., Наука , 1969. 35. Рейнер М. Деформация и течение. Пер . с англ. M., Гостоптехиздат, 1963. 36. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. M., Наука , 1978. 37. Рыжик В. М. О капиллярно й пропитке водой нефтенасыщенного гидрофильного пласта.-Изв. АН СССР, сер. Механика и машиностроение, № 2, 1960, с. 149-151. 38. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. M., Наука , 1977. 39. Сейвинс Дж. Неньютоновское т е чение в пористой среде.- Механика . Сб. перев., 1974, № 2 (144), с. 59-115. 40. Тихонов А. #., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M. , Наука , 1972. 41. Физико-геологические основы повышения нефтеотдачи пластов/А . X . Мирзаджанзаде , М. Ф. Мирчинк, Ю. В. Желтов и др. M., Недра, 1975. 42. Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтяных пластах/ М. Д . Poзенберг, С. А Кундин, А. К. Курба нов и др: M., Недра , 1969. 43. Христианович С. А. Движени е грунтовых вод, не следующее закон у Дарси.-ПММ, т. 4, 1940, вып. I , с. 33-52. 44. Чарный И. А. Подземная гидродинамика. M., Гостоптехиздат, 1963. 45. Чарный И. А. Строгое доказательство формул Дюпюи для безнапорной фильтрации с промежутком высачивания.-Докл . АН СССР, т. 79, 1951, № 6, с. 937-940. 46. Шейдегер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. M. , Гостоптехиздат, 1960. 47. Щелкачев В. Н. Разработк а нефтеводоносных пластов прн упругом режиме. M., Гостоптехиздат, 1959. 48. Эфрос Д. А. Исследование фильтрации неоднородных систем. M., Гостоптехиздат, 1963. ОГЛАВЛЕНИ Е ПРЕДИСЛОВИ Е Глав а 1 ОСНОВНЫ Е понятия ПОДЗЕМНО Й ГИДРО ГАЗОДИНАМИК И Глав а 2 КЛАССИЧЕСКИ Е МОДЕЛ И ТЕОРИ И ФИЛЬ ТРАЦИ И ОДНОРОД НОЙ ж и д к о с т и Глав а 3 НЕКЛАССИЧЕСКИ Е МОДЕЛ И ДВИЖЕНИ Я ОДНОРОДНЫ Х ЖИД КОСТЕ Й Глав а 4 ДВУХФАЗНА Я ФИЛЬТ РАЦИ Я И ТЕОРИ Я ВЫТЕСНЕНИ Я НЕФТИ ВОДО Й Глав а 5 ФИЗИКО-ХИМИЧЕ СКА Я ПОДЗЕМНА Я ГИДРОДИНАМИК А НЕФТЯНОГ О ПЛАСТА СПИСО К ЛИТЕРАТУР Ы § 1. Особенности теории движени я жидкости и газ а в природных пластах . . . . . 5 § 2. Пористые среды 7 § 3. Зако н Дарен , пределы его применимости и уточнения 9 § 4. Уравнение неразрывности и основные уравнения теории фильтрации 14 § 1. Простейшие установившиеся напорные те чения . 20 § 2. Качественные методы теории напорных течений . 2 8 § 3. Установившиеся безнапорные течения 36 § 4. Нестационарное движение однородной сжимаемой жидкости. Линейна я теория 38 § 5. Нестационарное движение однородных жидкостей. Нелинейные эффекты . . . 51 § 1. Теория фильтрации неньютоновскнх жид костей. Зако н фильтрации 74 § 2. Стационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей . . . . . . . 79 § 3. Нестационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей 93 § 4. Неравновесность при фильтрации однородных жидкостей. Движени е в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пласта х 104 § 1. Основные представления теории двухфаз ного течения в пористых средах . . . .11 8 § 2. Структура двухфазног о течения при круп номасштабном описании. Задач а Бакле я - Леверетт а 128 § 3. Структура течения прн мелкомасштабном описании. Стабилизированная зона . Капиллярные эффекты в пористых средах 136 § 4. Неравновесные эффекты при двухфазной фильтрации 150 § 5. Устойчивость вытеснения несмешивающих ся жидкостей 155 § 6. Теория вытеснения неньютоновских жид костей. Влияние вязко-пластическнх свойств нефти на нефтеотдачу 1 . . . . 161 § 1 Процессы тепло и массопереноса в пористой среде 172 § 2. Вытеснение нефти растворам и активных примесей . 182 § 3. Эффекты диффузии и неравновесности в задача х вытеснения нефти раствором активной примеси 200 203/4