B l I Н . Е . К О Ч И Н , И . А . К И Б Е Л Ь , Н . В . Р О З Е ТЕОРЕТИЧЕСКА Я ГИДРОМЕХАНИКА ПО Д РЕДАКЦИЕ Й И. А. К И Б E Л Я Ч А С Т Ь В Т О Р А Я ИЗДАНИ Е ЧЕТВЁРТОЙ, ПЕРЕРАБОТАННО Е И ДОПОЛНЕННО Е Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для университетов W ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ М О С К В А 196 3 53У К 75 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвёртому изданию 7 Глав а первая . Теоретически е основы газовой динамики [И. А. Ка бель) 9 А. Уравнени я газово й динамик и § 1. Введение 9 § 2. Уравнения гидродинамики в форме интегралов. Сильные раз рывы 11 § 3. Уравнения газовой динамики в дифференциальной форме . . . 18 § 4. Слабые разрывы. Характеристики уравнений газовой дина мики 21 § 5. Распространение сильных разрывов. Теорема Цемплена . . . 29 Б. Установившиес я движения . Плоска я задач а § 6. Плоская задача. Функции 9 и I1 S2 § 7. Поверхности разрыва в плоской задаче 35 § 8. Критическая скорость. Трубки тока в сжимаемой жидкости . . . 40 § 9. Плоские вихревые движения со сверхзвуковыми скоростями. Характеристики. Угол Маха 14 § 10. Плоские безвихревые движения при v > а , .50 §11 . Использование характеристик для решения плоской безвихре вой задачи при v > а" 56 § 12. Движение газа вие выпуклой поверхности. Обтекание угла, большего чем Выход из отверстия. Движение внутри трубы. Сопло Лаваля 69 § 13. Движение газа около вогнутой поверхности. Образование сильного разрыва. Движение внутри угла, меньшего чем т.. Обтекание профиля с острой передней частью 76 § 14. Крыло в плоскопараллельиом сверхзвуковом потоке. Приближённые формулы Аккерета, Буземаиа, Донова. Гиперзвуко вые движения 87 § 15. Функция /. Примеры. Точные решения L06 § 16. Дозвуковые скорости. Теория Чаплыгина. Примеры 114 § 17. Дозвуковые скорости. Метод Христиановича 130 § 18. Приближённый метод Христиановича для решения плоских безвихревых задач. Сверхзвуковые скорости 146 § 19. Переход через скорость звука. Предельные линии. Примеры точных решений 156 § 20. Классификация сверхзвуковых течений по Христиановичу . . . 165 V 4 ОГЛАВЛЕНИ Е § 21. Построение "безударного" сопла Лаваля. Истечение газа из отверстия, сопровождаемое переходом через скорость звука 174 § 22. Численные методы решения плоских задач газовой динамики. Расчёт сверхзвукового обтекания кругового цилиндра . . . . 190 § 23. Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями. Гиперзвуковые течения и обтекание тонких тел 206 § 24. Случай реального газа, "Идеально-диссоциирующийся" газ . . 213 В. У с т а н о в и в ш и е с я движения . П р о с т р а н с т в е н н а я з а д а ч а § 25. Движения с осевой симметрией 221 § 26. Безвихревое осеснмметрическое движение при v > а. Метод Франкля 225 § 27. Осесимметрнческое обтекание круглого конуса. Конические течения. Обтекание осесимметричных тел 229 § 28. Пространственная задача. Линеаризация уравнений. Снаряд, движущийся под углом к оси симметрии 245 § 29. Потенциал ускорения. Теорема Прандтля-Глауэрта. Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке 262 § 30. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха произвольной формы в плане. Концевой эффект и вихревая пелена 273 § 31. Сверхзвуковые коннческие течения. Некоторые точные (не линейные) решения 301 § 32, Осесимметричное обтекание с отошедшей ударной волной . , 320 Г. Н е у с т а н о в и в ш и е с я движени я § 33. Одноразмерные движения. Общие уравнения. Характеристики 325 § 34. Сильные разрывы в одномерной нестационарной задаче . . . 329 § 35. Случай постоянной энтропии. Движение поршня в неограни ченной трубе. Точные решения. Наличие отражающей стенки 331 § 36. Возникновение и перемещение сильного разрыва 341 § 37. Односторонний взрыв. Плоский, цилиндрический и сфери ческий взрыв без противодавления. Сферический взрыв с противодавлением 344 Глав а в т о р а я. Движени е вязкой жидкости (Н. Е. Конан)'). . . 369 А. О с н о в н ы е у р а в н е н и я д в и ж е н и я вязко й ж и д к о с т и § 1. Понятие вязкой жидкости 369 § 2. Тензор скоростей деформации 373 § 3. Тензор напряжений 377 § 4. Уравнения движения вязкой жидкости 385 § 5. Различные формы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости 388 ') § 10, § 19, § 20, часть § 34, § 35 и § 36 написаны И. А. Кибелем. 5 ОГЛАВЛЕНИ Е § 6. Начальные и граничные условия 397 § 7. Диссипация энергии 400 § 8. Обобщение уравнений Гельмгольца 403 § 9. Закон подобия. Число Рейнольдса 406 § 10. Уравнение притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости . . 415 [3. Точны е реше н и я уравнени й движени я вязко й жидк о ст и § П . Одномерное течение между двумя параллельными плоскими стеикамн 420 § 12. Течение Пуазейля 427 § 13. Общий случай стационарного одномерного течения 432 § 14. Нестационарное одномерное течение 437 § 15. Стационарное течение жидкости между двумя цилиндрами . . 447 § 16. Диффузия вихря 450 § 17. Течение в диффузоре 460 § 18. Решение Гамеля и его обобщения 475 § 19. Одномерное движение вязкой сжимаемой жидкости 481 § 20. Задача об обтекании полубесконечной пластинки несжимаемой жидкостью 485 В. Приближённы е решени я уравнени й движени я вязко й жидкост и в случа е малы х чисе л Рейнольдс а Рейнольдс а § 28. Общая характеристика течений при больших числах Рейнольдса. Вывод основных уравнений теории пограничного слоя 542 § 29. Вывод Мнзеса. Уравнение Мизеса 549 § 30. Интегральное соотношение Кармана и его обобщения . . . . 556 § 31. Уравнения теории пограничного слоя для сжимаемой жидкости 566 § 32. Пограничный слой в несжимаемой жидкости вдоль плоской пластинки 569 § 33. Пограничный слой в диффузоре. Ламинарная струя 578 § 34. Приближённые методы теории пограничного слоя. Отрыв слоя. Метод Кочина-Лойцянского 588 § 35. Пограничный слой в сжимаемой жидкости. Обтекание пластинки. Метод Дородницына 608 § 36. Сжимаемая жидкость. Пограничный слой для произвольного профиля . 627 § 37. Основные уравнения теории исчезающей вязкости 632 § 38. Реакция потока иа тело 641 § 39. Обтекание цилиндра 644 § 40. Обтекание плоской пластинки 652 6 ОГЛАВЛЕНИ Е Глав а третья . Элементы теории турбулентности (И. А. Ка бель) 658 А. Т у р б у л е н т н о с т ь и н е у с т о й ч и в о с т ь § 1. Введение 658 § 2. Устойчивость движения между двумя коаксиальными цилиндрами 659 § 3. Устойчивость течения между пластинками и устойчивость в пограничном слое 666 Б. Р а з в и т а я т у р б у л е н т н о с т ь § 4. Сглаживание 686 § 5. Основные уравнения Рейнольдса 691 § 6. Характеристики турбулентности 698 В. Д о б а в о ч н ы е н а п р я ж е н и я и средни е з н а ч е н и я г и д р о д и н а м и ч е с к и х э л е м е н т о в § 7. Путь перемешивания и метод подобия 706 § 8. Примеры 709 Литература 718 Именной указатель 721 Предметный указатель . . . . • • 724 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЁРТОМУ ИЗДАНИЮ В новом издании книги наиболее значительной переработк е подверглась первая глава - теоретически е основы газовой динамики. В неё введено пять новых параграфов, в которы х приводятся результаты, полученные с помощью электронны х быстродействующи х машин для задач иа сверхзвуково е обтекание как в плоском, так и в пространственном случаях, изложены теория гиперзвуковых движений, теория диссоциирующего газа, линейная простран ственная задача обтекания крыла . Ряд параграфов значительно расширен. Так, в параграфе, посвящённом взрыву , даётся теория точечного взрыва без учёта противодазления, а такж е детально излагается способ решения на электронной быстродействующей машине задачи о взрыве с учётом противодавления; в параграфе, посвящённом крылу в плоско-параллельном потоке, расширено изложение, касающееся обтекания пластинки; даны новые примеры точных решений в осесимметричном случае. Уточнен ряд отдельных результатов II методов. Так, например, для метода характеристи к указываются новые варианты и, в частности, излагается применение его к расчётам, проводимым с помощью электронны х вычислительных машин. В главе о вязкой жидкости вставлен параграф, посвящённый точному решению задачи обтекания пластинки, и дано сравнение этого решения с известным решением, относящимся к пограничному слою. При подготовке нового издания исправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании. Как и в прежних изданиях, мы старались не тольк о познакомить читателя с теми или иными основными идеями, но и изложить, по мере возможности, техник у решения гидродинамических задач. И. Кибелъ ГЛАВА ПЕРВАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВЫ ГАЗОВО Й ДИНАМИК И А. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение . Газова я динамик а - эт о гидродинамик а больши х скоросте й и малой пространственно й протяжённости . Област и её применени я суть : конструировани е скоростны х самолётов , внутрен няя и внешня я баллистика , теори я паровы х турбин , теори я раке т и т . п. Мала я пространственна я протяжённост ь изучаемог о явлени я позволяе т отбросит ь в уравнения х газово й динамик и внешни е сил ы (совершенн о та к же , ка к эт о делаетс я в обычно й теори и крыл а аэроплана) . Действительно , абсолютно е значени е изменени я давле ния |Др| , происходящег о благодар я наличию сил ы тяжести , пр и перемещени и по вертикал и на ДZ будет : отсюд а \ \ p \ = g p \ z = J j ^ t e , Jj^L L = D--AL = э 8 - р s RT • 287 -T ' и есл и принят ь T з а 273 , т о дл я изменени я давлени я на 1 % пона добитс я перемещени е по вертикал и примерн о на 8 0 м. Это т выво д подтверждаетс я такж е и принципо м подобия , согласн о котором у действи е внешни х си л буде т тем меньше , чем меньш е буде т масшта б явления. Втора я особенност ь газово й динамик и - наличи е больши х ско росте й - заставляе т отказатьс я здес ь от рассмотрени я несжимаемо й жидкости . Действительно , несжимаема я жидкость , имеюща я давле ние pv плотност ь р, И движущаяс я с о скорость ю Vi, приобретает , набега я на препятстви е (и = 0), давлени е Vl P = Pl + h J • 1 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ. I Напротив, сжимаемая, движущаяся адиабатически жидкост ь приобре тает давление Л , ' ' 1 Pi A 7 z l / > = M i I S T J 1 Отсюда видим, что лишь когда р t)J/4xjo1 < 1/100, т. е. при /. = = 1,405, T= 273 , -Oi < 70 MjceK, давления для случаев сжимаемой и несжимаемой жидкости будут разниться меньше чем иа 1 % . Га зовая динамика имеет, однако, зачастую дел о со скоростями, значительно большими. На необходимость учёта сжимаемости при больших скоростя х указывает (качественно) такж е принцип подобия. Как будет выяснено в следующей главе, при больши х скоростя х вязкость играет меньшую роль (больши е значения числа Рейпольдса) и область влияния её ограничивается ничтожным пограничным слоем. В таких вопросах , как сопротивление трення, наличие пограничного слоя будет , конечно, при всей малости слоя, иметь принципиальное значение. Однако , как мы увидим, при больших скоростя х возникают, вообще говоря, други е виды сопротивлений, отодвигающие на задний план сопротивление трения. Наконец, при больших скоростя х обмен теплом с внешним пространством не успевает, как правило, совершиться - отсюда вытекает возможность ограничиться рассмотрением движений адиабатических. Таким образом уравнения газовой динамики суть, вообще говоря, уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости, не подверженной действию внешних сил. В дальнейшем мы увидим, что наличие больших скоростей порождае т совершенно специфическое явление, резко отличающее газовую дииамику от иных областей применения механики сжимаемой жидкости (динамическая метеорология и акустика): мы имеем в виду образование поверхностей, при переход е через которы е давление, а такж е и други е гидродинамические элементы претерпевают разрыв непрерывности. Наличие таки х поверхносте й ("волны", "поверхности разрыва" , "скачки уплотнения") заставляет осторожнее подойти к выводу уравнений гидродинамики в дифференциальной форме , выводу, обычно делаемому в предположении, что гидродинамические элементы непрерывны. Мы начнём поэтому с уравнений в форме интегралов. Сделаем ещё одно замечание. При весьма больши х скоростях , таких , например, с какими приходитс я иметь дело в случае искус ственных спутников Земли, в газе за скачком уплотнения могут образоваться огромные температуры . В реальной атмосфере, состоящей в основном из молекул кислорода и азота, возникает при этом ряд процессов, связанных с диссоциацией молекул на атомы, а при 12 УРАВНЕНИ Я ГИДРОДИНАМИК И В ФОРМ Е ИНТЕГРАЛО В еще ббльши х температура х - с их ионизацией. Поэтому мы должны быть подготовлены к необходимости использования более общи х законов термодинамики, чем те, с которыми приходится иметь дел о в акустике , динамической метеорологии и в классической механике сжимаемой жидкости . § 2. Уравнения гидродинамики в форм е интегралов . Сильные разрывы. Уравнения движения могут быть записаны, в нашем слу чае, в виде (приращение количества движения равно импульсу силы): f f f p V * ) ( f f f p V * ) = / f / / / (r) < f c W . l ) M Jt=U \ W Jt = U U \ (S) / [(т) - произвольный объё м жидкости , ограниченный поверхностью (5), п - единичный векто р внешней нормали к (S), I1 и - А в а каких-т о момента времени]. Уравнение неразрывности естественнее всего при этом записать в виде: \ W Jt = U \ (T) //=/ , Уравнение энергии [приращен ие живой силы частицы (т), сложенное с приращеиием внутренней энергии J itj)" J pU dx, где U - внутрен ияя энергия единицы массы, равно работе внешних сил, приложенных к частице] имеет вид: U f f W * ) \ (T) /(=( . \ (T) / t = t, + I U J f * * ) U f f f " * ) \ (T) / < = /, V (T) / 1 = 1, h = - J ( J У pV • tidsj dt. (2.3 ) и ^ (S) J Все три уравнения [(2.1), (2.2), (2.3)] могут быть записаны сле дующим образом: (Шв<к) -(Iff ad t ) = / 7 / / ^ \ W Jt = U \ 14 Jt=U U \ IS) / причём в первом случа е e = P V . сп = pti, (2.5) во втором а = р, сл = 0, (2.6 ) 1 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I в третьем V-V ,M а = ?•-2 Г т- сп = ~ pV -n. (2.7) Если функции а и сп и их производные существую т и непрерывны в интервале от I1 до f 2 и во всех точках объёмов, занимаемых жидкой частицей (т) при движении её от tl до t2, то мы можем вывести из (2.4) обычные дифференциальные уравнения гидродинамики. Производные от наших функций могут при этом претерпевать разрыв при переходе через отдельны е поверхности. Предположим, однако, что всегда существуе т одна поверхность ')£ : F{x,y,z,t) = 0, (2.8) проходящая через точки (-:) и перемещающаяся в пространстве [вхождение t в уравнение (2.8)], такая, что сами функции а и сп претерпевают при переходе через эт у поверхность разрыв. Часть пространства, прилегающая к поверхности S 1 делится этой последней на две области: с одной стороны от поверхности с другой : F (х, у, z, 0 < О, F(x, у, 2, ()> 0. Перву ю область назовём отрицательной и условимся обозначать значения, к которым стремится некая функция Ь{х, у, z, t), если приближаться к оставаясь в отрицательной области, через b 1 ; вторую область назовём положительной, а соответствующие ей значения Ь на 2 назовём Ь+. Разность Ь+ - Ь_ обозначим через [д]: Ъ+ - Ь_ = [Ь\ и назовём разрывом или скачком функции b на поверхности Б . Сама поверхность 2 называется при этом поверхностью разрыва функции Ь. Предполагая, что [а] и [сп\ отличны от нуля, посмотрим, какие условия налагает на эти разрывы наличие уравнения (2.4). Предва рительно введём некоторые термины. Поверхность (2.8) в разные моменты времени будет занимать в пространстве различные положения. Рассчитаем скорость N , с которой поверхность эта буде т в некоторой своей точке удаляться по нормали от своего положения. Возьмём некую точку M (х, у, z) на поверхности S в момент t и проведём нормаль к Б в /И, направляя эту нормаль в положительную область. Пуст ь эта нормаль пересекается с той поверхностью, ') Мы ограничиваемся случаем существования единственной поверхности; никакого труда не представит перенести наши рассуждения на случай любого конечного числа поверхностей. УРАВНЕНИ Я ГИДРОДИНАМИК И В ФОРМ Е ИНТЕГРАЛО В 1 3 в котору ю переходит Б к моменту t-\-t', в точке М*(х", у*, г'). Тогда .. им* Um -T7г-" о 1 и буде т искомой скоростью . Но MM* dF где х" = х -\ т- Sx g = + V n + n + n ( ^ = 5 7 ' • • • ) и F{x\ у\ 2s, ; + O = 0 = + ... , f + *') = = />(* , у, г, 0 + ( ^ + ^ . + ^ ) + ^ + 0 ^ ) + 0('' 2 ) . Здес ь и далее символ 0(/' 2 ) означает: "величина порядка t , 2 " . Далее , Z7 (х , у, г , t) = 0, так как точка М(х, у, г) лежит в момент t на поверхности Е, и потому ,. ЖЙ * Ft Itm -г-,- = . с^ п t е Получаем важную формул у Л (2-9) 7 Щ Щ Щ Величина N носит название скорости перемещения поверхности разрыва. Она имеет чисто геометрический характе р и никак не связана с существующи м движением жидкости . Однако , поскольк у речь идёт о перемещении поверхности E в движущейся, в свою очередь, жидкости, представляет интерес ещё и другая величина - именно скорость , с которой поверхность разрыв а 2 перемещается от одной жидкой частицы к друго й (скорост ь эта была бы равна N в случае, если бы жидкост ь покоилась). Чтобы найти эту скорост ь в каждой точке M поверхности 2 , достаточно, очевидно, вычесть из скорости N величину Vn проекци и на нормаль п к поверхности E скорости V движения жидкости в этой точк е M поверхности. Полу ченная величина е = ДГ - Vn (2.10 ) носит название скорости распространения поверхности разрыва. Заметим, что если Vn будет претерпеват ь разрыв , то то же буде т происходить и с 0, 1 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Пользуясь понятием скорост и распространения поверхности разрыва, мы без труд а можем вывести соотношения, связывающие вследствие уравнений гидродинамики скачки (разрывы) различных гидродинамических элементов. Дл я этого обратимся сперва к моменту t j и обозначим через положение поверхности разрыв а в этот момент, а через T. t l -положени е в момент Ix те х точек жидкости, которы е в момент I2 (бесконечно близкий к f, ) окажутс я на поверх ности разрыва . На поверхности отметим точку M и построим малый цилиндри к (рис. 1) с осью, совпадающей с нормалью к в точке M и до пересечения с поверхностью 2 ( j ') ; объё м этого цилиндрика и примем за объё м интегрирования (т) (к моменту tx ) в выражении (2.4). Посмотрим теперь, что произойдё т к моменту t2. Вследствие движения жидкости , точка M перейдёт в какую-т о точк у M' ; поверхность Ef1, переместившись и деформировавшись , займет некоторое положение Е ( | ; наконец, точки поверхности перейдут в точки поверхности разрыва отвечающей моменту t2. Цилиндрик наш де формируется , причём в то время как в момент tx он находился целиком в положительной области , в момент f2 . он ляжет в отрица тельной, отвечающей этому моменту области (рис. 2). Обращаяс ь сперва к левой части уравнения (2.4), оценим величины объёмов интегрирования (t) ( l и (т)(,. Очевидно, что первый будет : W 2 M f 2 + & - ') Пусть нормаль эта пересекает Sjj в точке Р . Считая, что нормаль направлена в сторону положительной области (не представит труда провести все рассуждения для противоположного случая), будем, очевидно, иметь для малых t2 - tt: 3D 5 = M f a Z 1 ) + О U f 2 W . УРАВНЕНИ Я ГИДРОДИНАМИК И В ФОРМ Е ИНТЕГРАЛО В 1 5 где г - бесконечно малый радиус , цилиндрика, a E1 - величина бесконечно малая; второй же: кгЧ A h I O ^ b r H t 2 I l ) , где E2 бесконечно мала. При этом как в том, так и в другом случаях мы разумеем под D значения скорост и распространения в одной и той же точке M и в один и тот же момент времени I1 - значения, вычисленные при приближении с разных сторон к поверх ности S t l ') . Теперь мы можем написать: ( J I J a d ^ = a+(tm)4+{h-tl)+4r4h-tl). ( 7 H a d x ) = a ^ 2 C C 2 f , ) + V 2 & - h) V (T) J h (Ej - всюду в дальнейшем бесконечно малые величины), и следовательно, (///•* ) ~( f U "* ) = \ W J H \ (T) // , = ti ) ( а + 9 + _ а _ 0 _ ) + (/ з _ ti ) = = _ (t2 tx) [в9] + E5,-2 (f 2 tx). (а + и а_-значени я а в точк е M в момент fj) . Перейдём теперь к правой части (2.4). Поверхност ь (5 ) складывается из трё х частей (рис. 3): боковой поверхности цилиндра, на которой , очевидно, J J cnds = 0 ( l ) r ( t 2 t 1 ) , (S) и дву х оснований ДЕ и Д £' . На ш цилиндрик деформируетс я и пере мещается так, что поверхность раз рыва в момент является его одним основанием, в момент t2 - его дру гим основанием, а в моменты t, лежа щие между tx и / 2 , занимает промежуточны е положения, располагаясь Рнс. 3. где-т о между "нижним" и "верхним" основаниями (рис. 3). Отсюда получается, что Д £ находится за весь промежуто к времени ') Вообще говоря, [0] ф 0, ибо [V"\ ф 0; величина же N из (2.10) разрыва не терпит. 1 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I от Z1 до t2 в одной области , а ДЕ ' - в другой . Предположим , что ДЕ находится в области отрицательной , а ДЕ' - в положительной. Тогда в выражении J Jc " ds величина сп, ка к легко показать, отлц IS) чается от значения сп, взятого в точке Ж и в момент на величину, исчезающую вместе с {t2- ^1) и Cr . Замечая, что вследствие (2.5), (2.7 ) всегда можно написать: C11 = сх cos (ji, х) + су cos (л, у) + с г cos (я, г), где п - внешняя по отношению к области (t ) нормаль, и сохраняя для нормали к ДЕ (вернее, для нормали MP ) обозначение и, мы должны, очевидно, написать для ДЕ [нормаль, идущая в сторону положительной области, направлена здесь внутрь (i)j : / / ends = - с"_X1-2 + е6г2. 1") Совершенн о аналогично этому cnds = сг1+кг* + £7г2 (Д1-) (нормаль, идущая в положительную область , направлена здесь во внешнюю часть пространства). Тепер ь мы можем написать, очевидно: h H U c d s Y = 0 , а затем и г> 0, получим основное соотношение М ] + К 1 = 0 . (2.11) Остаётся тольк о вспомнить значения а и сп из (2.5), (2.6) и (2.7) ; получим: [р 8 П = [р]я . (2.12 ) [рв] = 0, (2.13 ) + = (2.14) УРАВНЕНИ Я ГИДРОДИНАМИК И В ФОРМ Е ИНТЕГРАЛО В 1 7 Так как по (2.13 ) произведение р9 не терпит разрыва , то мы можем это произведение вынести всюду за знаки разрыв а и написать: рв [Vl = Ipl а, (2.15 ) И = 0, (2.16) P0 р т г + х ] = 1 ^" 1 ' ( 2 Л 7 ) Д о сих пор мы не говорили о виде внутренней энергии нашего газа. Мы обратимся тепер ь к классической газовой динамике, газовой динамике так называемого идеального (в термодинамическом смысле), или совершенного газа. В этом случае внутренняя энергия U единицы массы имеет вид U = CvT, (2.18) где Cv - теплоёмкость газа при постоянном объём е (величина постоянная), a T -температура . Мы вернемся в § 24 к случаю реального газа, а пока будем рассматривать тольк о идеальный газ. Дл я него условие (2.17) должно быт ь заменено соотношением ре [ J q i L + ^ l ] = IpVnY (2.19 ) Соотношения (2.15) , (2.16 ) и (2.19) , коими связаны величины 0, р, К , р, T по обе стороны поверхности разрыва , носят название условий динамической совместности. Здес ь имеется в виду совместность дву х движений: с элементами V + , р + , .. . и с элементами V_ , р_ , .. . Весьма существенным является наше предположение о том, что существуе т всегда одна и только одна поверхность разрыва . В этом смысле условия динамической совместности необходимы, и если бы оказалось, что в некоторый момент в жидкости образовалас ь поверхность разрыва , такая, что гидродинамические элементы с обеих сторон от неё различны, но не связаны соотношениями (2.15) , (2.16 ) и (2.19) , то такая поверхность разрыва существоват ь в дальнейшем одна не смогла бы; здесь возникает взрыв (см. далее § 37 этой главы). В те х точках пространства, чере з которы е поверхность разрыва в данный момент не проходит, мы должны удовлетворит ь обычным уравнениям гидродинамики. Если 6 = 0, то поверхност ь разрыва не распространяетс я по частицам, отделяя всегда одну массу газа от другой . Така я поверхность разрыва называется стационарной. Здес ь по (2.15 ) [/>] = 0, а по (2.19) [Vr J = O; напротив, [о] и скачок касательны х к S составляющих скорости совершенн о произвольны . Примерами такой поверхности могут 2 Теоретическа я гидромеханика , ч, I i 1 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I служить: волнующаяся поверхность реки (отделяющая воздух от воды), поверхность тёплого или холодного фронта (в метеорологии), поверхность газовой струи. Значительно больший интерес дл я газовой динамики представляют случаи, когда Здесь обязательно будет в =£0 . [Р\ФЪ, [VrraI Ф 0 (если при S ^ O [/>] = 0, то по (2.15 ) [F ] = 0, затем по (2.19) [7"] = 0 и, значит, [р] = 0 '), т. е. разрыва вообще нет). Пример - "баллистическая волна", бегущая перед носом снаряда. Полезно отметить, что при 0 Ф 0 скачок касательной к 2 составляющей скорости равен нулю (в этом убеждаемся, умножая скалярно обе части (2.15) на любой единичный вектор, расположенный перпендикулярно к п). Поверхности 2 , на которых сами гидродинамические элементы претерпевают разрыв, носят название поверхностей сильного разрыва. В том случае, если сами гидродинамические элементы непрерывны, но среди их первых производных по координатам или по времени найдётся хотя бы одна, меняющаяся скачком при переходе через поверхность; последняя называется поверхностью разрыва первого порядка. Вообще говоря, если при переходе через поверхность E функция Ь непрерывна, но производная по координате или по времени, начиная с некоторого порядка, терпит разрыв, то £ называется поверхностью слабого разрыва для функции Ь. Употребительны также термины просто "разрыв" или "волна". Поверхности сильного разрыва, представляющие разрыв давления, называются ещё скачками уплотнения или ударами сжатия. § 3 . Уравнения газовой динамики в дифференциально й форме. Дл я той части жидкости, в которой гидродинамические элементы и их первые производные остаются непрерывными, мы можем написать уравнения в дифференциальной форме. Уравнения движения уже были подробно выведены в ч. I из начала Даламбера. Чтобы получить эти уравнения из (2.1), поделим сначала обе части (2.1) на разность t2- tx и перейдём затем к пределу, полагая, что t2 -> tx = t. Получим, очевидно: Ж f f f P V * = / / * . * . (3.1) W (S) Мы не можем внести слева дифференцирование под знак интеграла, ибо объём (х) сам зависит от времени, но мы можем написать, ') Последнее заключаем из уравнения состояния: P = RfT. § 3] УРАВНЕНИ Я ГАЗОВО Й ДИНАМИК И В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО Й ФОРМ Е 19 вводя лагранжевы координаты: J ' f f р Vtii = f f f р Vdxdydz= f f f p VDdadbdc, СО W Со) где (3/4) - положение объем а (х) в некоторый закреплённый момент а, Ь, с - лагранжевы координаты , D - функциональный опреде литель п _ д (*• У. г ) ~~ D (а, Ь, с) ' С друго й стороны, из уравнения неразрывности следует, что Pd = Po. где Таким образом P 0 = р (в , Ь, с, /0) = р 0 (о , Ь, с). J f fpVdx==f J f v ( a , b, с, О P0 (" . c)dadbdc. () Ы Отметив, что (t0 ) и р0 от времени, по самому их определению, не зависят, мы можем написать: 4///"ул=///р"4г'dadbdc Возвращаясь к старым переменным и к (3.1), получим окончательн о / / / " j W d x = П P n d s M Ci) Далее , преобразуе м правый интеграл по формул е Грина к объём ному интегралу и перенесём всё под знак объемного интеграла. Получим, вследствие произвольности объём а (i ) и предполагаемой непрерывности подынтегральной функции : dV P S f = S ^ P , (3.2) что совпадает с уравнением (4.3) гл. II части первой, если там отбросить объёмные силы F. Уравнение неразрывности подробно был о выведено в первой части. Это буде т для сжимаемой жидкости ||--|-pdiv V = 0 . (3.3) 2 " 2 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I •к и перейти к пределу , полагая, что t2->t1 - t, даст после собирания членов: ISii r f f f W + W ^ - f f p v * (-•) ' (S) Применяя к левой части этого уравнения преобразования, аналогичные тем, что были применены при выводе уравнения, получим: W (S) Преобразу я левую часть к объёмном у интегралу по формул е Грина, перенося всё в одну сторону и собирая под один знак интеграла, напишем: M и вследствие произвольности объём а (т) и непрерывности подынтегрального выражения Умножим теперь обе части равенства (3.2 ) скалярн о на V и вычтем из (3.4) . Так ка к V ^Z--A- у v dt dt 2 и так как мы получим: V • grad р - div (pV) - р div V, T ^ P ж + ^ d i v v = 0 Дел я обе части этого равенства на р, заменяя div V по формул е (3.3 ) и вспоминая, что по уравнению состояния P = RoT, (3.5 ) мы получим: 1 cv dT 1 d? AR T dt р dt ~ Это можно записать ещё , используя снова (3.5), в виде 1 / dlnp dlnp \ d Inp л СЛАБЫ Е РАЗРЫВЫ . ХАРАКТЕРИСТИК И 2 1 Собирая члены с производными, замечая, что Cp - cv = AR, и производя простые преобразования, получим окончательно: где z есть отношение теплоёмкостей . Та к буде т выглядеть "уравнение притока тепла" - условие адиабатачности в дифференциальной форме. Отметим, что * всегда буде т больш е единицы. Дл я одноатомного газа -/.= 5 I 3 , для двухатомного газа '< = 7/s (П РИ обычных температу рах). Дл я воздуха мы будем принимать чаще всего z = 7 / 3 = 1,4 При выводе уравнений этого параграфа мы предполагали гидро динамические элементы и их производные непрерывными. Пуст ь теперь есть поверхность S 1 являющаяся поверхностью слабого разрыва , та к что сами функции непрерывны всюду , но уже первые нх производные по координатам и времени претерпевают при переход е через S разрыв. Такого рода слабые разрывы возможны, как мы в дальнейшем увидим, для нестационарного движения и дл я широкого класса стационарных движений. Остановимся на этом вопросе детальнее. § 4. Слабые разрывы. Характеристик и уравнени й газово й ди намики. Наличие поверхности сильного разрыва не накладывало, само по себе, никаки х ограничений на скачки гидродинамических элементов, и тольк о необходимость удовлетворит ь уравнениям (2.1), (2.2) и (2.3) привела к установлению соотношений (2.15), (2.16 ) и (2.19) . Напротив, в случае слабы х разрывов уже самый факт существования разрыв а производных , имеющего место вдоль многообразия деформирующегос я н перемещающегося, но всегда остающе гося единственной поверхностью, заставляет связать скачки названных производных некоторыми условиями. Последние являются следствиями геометрической или, вернее, кинематической картины движения и выводятся совершенно независимо от уравнений гидродинамики. Условия эти носят название "условий тождественности " и "кинематической совместности". Чтобы их получить, предположим, что функция (JC, у, г, t) непрерывна во всём пространстве , занимаемом жидкостью, но что её первые производные претерпевают разрыв на некоторой поверхности <£, имеющей уравнение 2 ) f ( x , у, z, 0 = 0. (4.1) 3) Употребительны ещё числа х = 1,41, а также значение у. = 4 /3 . Последнее получается, по Лайтхиллу, в пределе, если, рассматривая реальный, по так называемый идеально-диссоцинрующийся газ (в котором % зависит от Г и от числа диссоциированных молекул), устремлять число диссоциированных молекул к иулю (см. § 24 этой главы). 2) Под функцией Ф(л:, у, z, t) мы можем подразумевать какой-нибудь гидродинамический элемент непосредственно или же какую-либо его производную по координатам или по времени. 2 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Мы можем говорить о четырёхмерно м пространств е (х, у, z, t) и в нём изображать уж е неподвижную гиперповерхност ь (4.1). Пуст ь теперь имеется непрерывная вместе с производными функция ф от четырёх наших независимых переменных и такая , что на гиперповерхности (4.1) ф ( х , у, z, t) = const . Тогда вдоль гиперповерхности , ф = 0 + + (4.2) причём дифференциалы берутс я вдоль этой поверхности; но здесь, вследствие уравнения (4.1), 4 1/2 ' * + % " + % * + = (4.3) это есть единственное условие, которо е следуе т наложить на диффе ренциалы наших координат вдоль поверхности . Сопоставляя (4.2) и (4.3), заключаем, что во всех точка х поверхности разрыв а и для любого момента времени должн о быть: дх ' дх ду " ду дг ' дг ~ dt ' dt 1 ' где (1ф - некоторая функция о т координа т и времени, определённая на (4.1). Рассмотрим теперь функци ю Ф (х, у, z, t), непрерывную во всём нашем гиперпространстве и имеющую непрерывные же первые производные по координатам и времени. Пуст ь эта функция тожде ственно равна функци и Ф, но тольк о в положительной области; тогда на поверхности S Ф = Ф • = Рассмотрим ещ ё функци ю Ф, непрерывну ю вместе со своими первыми производными во всём гиперпространств е и такую , что в отри цательной области Ф = Ф; тогда на 2 : ~ , д$ (дФ \ Функция Ф - Ф непрерывна со своими производными во всём гиперпространстве и, так как [Ф] = 0, - обращаетс я в нуль на £ . Н о тогда мы можем принять функцию Ф - Ф за функци ю ф предыдуще й теоремы, и, если заметить, что на 2 , по определению Ф и Ф, будет : д ,Ж <5(r) 1дФ\ Г Й Ф 1 _ ( ф _ ф ) = _ _ = - = I ^ J СЛАБЫ Е РАЗРЫВЫ . ХАРАКТЕРИСТИК И 2 3 мы можем написать: Г5Ф1 , г MM . Г дФ 1 . ГЙФ1 _ d f . d f . d f . d f I дх J : L ду J Ч дг J : [ dt J ~~ дх ' ду ' дг : dt ' что можно записать ещё так: [ ж ] = ^ f - ( " > Условия (4.5) и суть условия совместности, о которы х мы говорилиОни показывают, что достаточно задать одну лишь функцию (лф, чтобы определить затем разрывы всех производных Ф. Достаточно знать также разрывы одной какой-нибуд ь производной. Так , например, если разрыв одной из производных первого порядка равен нулю, то и все производные первого порядка буду т на (4 .1 ) непрерывны. Формулы (4.5 ) могут быть ещ ё представлены путём деления и умножения на / " ( 3/4 ' + (-Jf) ' 4 ( f ) ' в виде [VD] = д Ф " ; j^(r) ] = ^ , (4.6 ) где п - единичный векто р нормали, a N , по (2.9), - скорость перемещения поверхности слабого разрыва . Кроме кинематических условий (4.5), нам следует подчинить разрывы производных от различных гидродинамических элементов условиям динамическим, проистекающим оттого, что элементы эти должны, в положительной и отрицательной областях отдельно, удовлетворят ь уравнениям гидродинамики. Считая, что vx, vy, vz, р, р непрерывны, можем написать: •|£. = _dlv(pV) . (4.7 ) *JL + V . V J L = о. Ot р" ' р* Уравнения наши не содержа т производных более высокого порядка, чем первый. Приписывая один раз всем производным знак плюс, а другой раз знак минус и вычитая получаемые уравнения дру г из друг а соответственно, придём к соотношениям: [ | f ] + V -[Vp ] + p[di v VJ = O, P Й ] ''-P [ й •+ P^ • i^ J ' P v W l = O 2 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Используя (4.6), получим тогда: XpIt = PXvN - VnXv?, - KiN-f VnKf -f рХу • it = О, PVV " - Pv Vv; + ' ' ^ Л = 0 ('.у есть вектор с компонентами Xv , Xv r, Xr Собирая члены с )., будем иметь: XpIt = P(N-IZ n )X v . I X t ( N V n ) ^ 9 X v n , (4.8) рХр (N Vn) - xp(N - Vn) Xp = 0. J Пять величин X удовлетворяют пяти однородным уравнениям. Для того чтобы существовали X, отличные от нуля, необходимо, чтобы был равен кулю определитель системы; проще всего получить это условие, умножая скалярно первое уравнение из (4.8) на п и вставляя вместо p(Xv • п) выражение из левой части второго из уравнений (4.8). Получим тогда: Xp = X p (N-K n )^ , что в соответствии с последним из (4.8) даст либо N V n = 0, либо ( N V n f = ^ = a \ (4.9) Первое из этих равенств отвечает случаю стационарного разрыва (0 = 0). Второе равенство показывает, что скорость распространения нестационарной (9 Ф 0) поверхности разрыва первых производных всегда равна ± а = ± л П £ . ' P Величина эта носит название скорости звука. Мы говорили о скорости распространения поверхности слабого разрыва для производных первого порядка. Можно показать, что скорость 6 распространения любого слабого разрыва (т. е. разрыва производных любого порядка) будет либо 6 = 0, либо |9 | = а . Напротив, как мы вскоре увидим, скорость 0 для сильного разрыва со скоростью звука никак не связана. Покажем теперь, как слабый разрыв связан с характеристиками системы уравнений газовой динамики. Последняя есть система пяти уравнений в частных производных первого порядка по четырём независимым переменным, содержащих пять неизвестных функций. Известно, что к рассмотрению характеристик приводит задача Коши, каковая СЛАБЫ Е РАЗРЫВЫ . ХАРАКТЕРИСТИК И 2 5 в нашем случае формулируется следующим образом. На некоторой шперповерхности S с уравнением f ( x , у. z, t) = 0 (4.10) заданы значения всех функций: v x , vy, vz, р, р. Требуется найти в области, окружающей S1 непрерывные и однозначные функции Xir р, удовлетворяющие уравнениям (4.7) и обращающиеся на 5 в систему заданных значений. Напомним, что доказательство теорем существования однозначного решения задачи Коши находится в связи с возможностью определения на многообразии 5 значений всех производных от всех искомых функций. Чтобы лучше уяснить себе процесс определения этих производных применительно к нашей системе (4.7), сделаем замену независимых переменных, переходя от х, у, z, t к х , у, z, t , так что X = X-, у = у, Z = f ( х , у, z, t)\ t = t . В этих новых переменных уравнение гиперповерхности 5 примет простой вид: и если обозначить Z = О, vx(x. у, z, t) = VxCx. у, Z, Iy,..., то, по условию задачи, нам будут даны функции: {vx(x, у, z, *)), = " = ",(* . У. 0, I y , . . . (4.11) С другой стороны, для любой функции а будем иметь да дх 1 dF да дг dz dt - дТ dt ' (4.12) Но если V д х //=0 ^ d x 'Z = 0 * д г 'I = 01 ^д х h= о' (а)/=0 = а(л:, у, 0, t) (4.13) известно, то, так как у, Z, будет просто равно дч.(х, у, 0, t)/дх, производная (да/дх)-_0 может считаться также известной; то же можно сказать и про (da/dy)= 0 и (<5a/(?f)-=0. Таким образом, если бы нам удалось еще найти (dajdz)-_0, то мы, зная (<х)^0, 27 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I сумели бы по (4.13 ) рассчитат ь (да/дх)^ 0 , . . . У нас имеется пять функций : vx, vy, V2, р. р, та к что нам надо найти пять производны х I ду* \ _ fdvу\ / д р \ ZjJT \ \ дг I i X d l j ^ 0 ' \ д г ) ' \ d l ) ' \ d l ) ; ' Чтобы нзйти их, обращаемс я к пяти уравнения м (4.7 ) и записывае м их в новых переменных , пользуяс ь (4.12) . Имеем (мы выписывае м лиш ь те члены, которы е содержа т дифференцировани е по г) : V r I L I r V t дг дх ду z дг dt H дх дг dv.у дг j V df_ 1V,, дх ду df dt >' ^ df_ J^T ^ ор ду дг dv* дг \ л дх у ду + + + дг Ot 1 f дг дг (4.14 ) dvx Of dvy дг дх дг Tду+ *>2 Of дг дг 1 <Эр /- К дх df , df ду 1 2 дг dt > l~ df . Odff . Sdf ,. d f \д/t\/др -AjP \ Пят ь наши х производны х можн о найти из этой систем ы алгебраиче ски х уравнени й лиш ь в том случае , есл и её определител ь отличен о т нуля. Определител ь этот , если обозначит ь df . df . " 2 дг 1 dt и ш + ш + + (S)If-"' ! (4.15 ) СЛАБЫ Е РАЗРЫВЫ . ХАРАКТЕРИСТИК И 2 7 Если гиперповерхность (4.10 ) и заданные на ней функции vx, V y , . . . таковы, что (4.15 ) обращаетс я в нуль, система (4.14) может допускат ь лишь неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались ко нечными, необходимо при этом потребоват ь обращени я в нуль всех определителей, составленных путём последовательного введения правых частей (4.14 ) в столбцы определител я системы. В таком случае многообразие (4.10 ) называется характеристическим многообразием (характеристическо й гиперповерхностью) или просто харак теристикой. Заметим, что при вычислении старши х производных нам придётся иметь дел о вновь тольк о с определителем (4.15) . Таким образом, если <5 в задаче Коши ест ь характеристическа я поверхность, то, если и существуе т решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два различных реше ния, принимающих на б одни и те ж е значения, у которых , однако, уже первые производные на (r) различны; таким образом может оказаться, что с разных сторон от (c) движени е представляется разными зако нами, а на самой (c) гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Н о в таком случае мы назвали бы <5 перемещающейся поверхностью слабого разрыва . В самом деле, не представляет никакого труд а убедиться, что условие равенства нулю (4.15 ) буде т совпадать с одним из условий (4.9). Дл я этого стои т лишь ввести "скорост ь распространения" 6 характеристики : ^ f l d f \ t , ( d f \ i , idf\i\dt + dx+Vy ду дг) V ш ] + U s v и заметить, что Тогда равенство определител я (4.15 ) нулю буде т овначать, что и мы вернёмся к (4.9). 03 ( 0 2 _ ^ ) = 0 . (4.16 ) Мы видим, таким образом, что перемещающиеся поверхности слабого разрыва и характеристически е многообразия системы (4.7 ) - это одно и то же . Всегда ли можно говорить о характеристически х многообразиях ? Всегда ли они буду т действительными? Отбрасыва я случай, когда 8 = 0, мы должны иметь на характеристик е 02 = (W-V n ) 2 = A2 или ± . (4.17 ) 2 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I (мы отбрасываем черту над гидродинамическими элементами), где а, как прежде, - скорост ь звука . В нестационарных случаях уравне ние (4.17 ) позволит, очевидно, при любых ti c , vy, vz. а найти действительную функцию f { x , у, z, t), и существование последней никаких ограничений на гидродинамические элементы, вообщ е говоря, не накладывает. Предположим , однако, что мы имеем дел о с установившимся движенцем. Естественн о считать здесь, что и поверхность разрыва буде т неподвижна в пространстве , т. е. что её скорост ь перемещения (но не скорост ь распространения) равна нулю: N = 0 или Q = V a . (4.18) Тогд а на поверхности разрыва имеем /.It1A+ / у Vy + f b z z V f l + f l + f t (4.19 ) или ещё ( f =^L J L =И\ V* дх Jy ду ' l z dz) |V" | = " . (4.20) Пуст ь теперь установившееся движение жидкости скорост ь везде меньше местной скорост и звука : таково, что I V I < а. В таком случае, каку ю бы поверхность S мы ни провели через некую точк у М, всегда проекци я Vn скорост и жидкости V в Al на нормаль п к поверхности S буде т меньше, чем а , и равенство (4.20) нигде не будет иметь места. Напротив , если жидкость движется так, что I V j > " , то найдутся поверхности 5 , проходящи е через М , такие, что проек ция Vn скорост и V в M на нормаль к этим поверхностям будет в точности равна а. Отсюда вытекает весьма важное следствие. Если жидкост ь движется стационарн о (установившееся движение) и притом повсюду с дозвуково й скоростью , то действительные харак теристические многообразия существоват ь не могут. Напротив, если движение жидкости совершаетс я со сверхзвуковыми скоростями, то всегда могут быть построены действительные характеристики . Мы видим, что переход через скорост ь звука играет в установившемся движении весьма существенную роль , меняя тип дифференциальных уравнений движения (эллиптический при дозвуковы х Скоростях на гиперболический при сверхзвуковых) . S 5) РАСПРОСТРАНЕНИ Е СИЛЬНЫ Х РАЗРЫВОВ . ТЕОРЕМ А ЦЕМПЛЕН Л 2 9 Наличие действительных характеристи к при сверхзвуковы х скоростя х значительно облегчает решение задачи о движении. Здес ь могут быть развиты эффективные графические методы решения, с каковыми мы и познакомимся в соответствующем месте. Мы вернёмся сейчас к случаю существования сильных разрывов, чтобы доказат ь нескольк о общи х теорем, сюда относящихся. § 5 . Распространени е сильны х разрывов. Теорем а Цемплена . Чтобы найти величину скорост и распространени я сильного разрыва , прибегнем сначала к соотношениям (2.15), (2.16), Умножая (2.15) скалярн о на я, получим: P 4Vn] = [p), (5.1) н замечая, что вследствие формул ы O = N - V n [V J = [ 0 ] , (5.2 ) напишем вместо (5.1 ) P 0(0 + -9_ ) = ( Р + Р )• (5.3) Н о по (2.16) = р _8_, (5.4 ) поэтому мы можем написать (5.3 ) в виде "2 "2 "2 fi2 P 0S2 (0.2 или M + + + - PI = P ~Р + + P = P P + . откуд а по (5.4): 2 "2 / Р_ -Р + \ и мы можем найти 0_ из соотношени я В= -1 + P- р + -р _ P [р] (5.5) Особенн о явной станет разница между величиной скорост и рас пространения слабог о разрыва, всегда равной а, и выражением, получающимся из (5.5), если мы преобразуе м (5.5), использовав для этого одно важное следствие соотношения (2.19) . Заметив, что T = p j R f и что с р - Cv = AR , придадим сначала (2.19 ) вид -JP6IV-Vi + J i r [£] = [pvn]. (5.6) Умножим теперь обе части (2.15 ) скалярн о на V + -f-V_ : Р0 (V + -( V) • (V + V) = р0 [ V • V] = [р\ п • (V + 4 V_ ) и вставим p0 [V-V ] в (5.6); получим: 3 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Раскрое м знак и разрыво в и перенесё м вс е член ы в одн у сторону ; получим : Р+ OV + V"_ ) 2P+V"+ р_ (Уя+ + Vn J + 2р_К" _ + + ^rtfj=0 ' или посл е сокращений : 0 " + + P W n ] + ~ r \ j ] = 0 (5.8 ) Н о по (5.2 ) и (2.16 ) можн о написат ь , V j = , e i = [ * ] = е Р [ ± ] . и мы може м переписат ь (5.8) : Раскрывая , далее , знак и разрыв а и отыскива я отношени е p+jp_, мы придё м к следующе й важно й формуле , заменяюще й услови е (2.19) : р + _ ( * + 1 ) Р + ( * " ) Р ( * + l ) p _ ( * - D f 4 (5.10 ) Пользуяс ь (5.10) , преобразуе м тепер ь выражени е (5.5) . Вычтем дл я этог о из обеи х часте й (5.10 ) по единице : Pjt j ^ [Р] _ ( * + 1 Щ + (''--I)!? ] ^ 2у. [р] р _ р _ ( x + I ) p _ - (" - O p 4 ("+!)(> _ -("-1 ) Р + ' Следовательно , и по (5.5 ) [Pl _ 2*1 , [р] ( * + 1 ) р _ ( * 1 ) Р + _ P_ 2р 4 (5.11 ) (5.12 ) Наряд у с формуло й (5.5 ) отмети м выражени е (5.13 ) получающеес я умножение м (5.5 ) н а и сравнение м с Р^в 4 . а такж е " > _ 2 P Р + ( * + 1 ) р + _ ( х _ 1 ) р _ получающеес я из (2.16) , (5.12 ) и (5.10) . (5.14 ) § 5] РАСПРОСТРАНЕНИ Е СИЛЬНЫ Х РАЗРЫВОВ . ТЕОРЕМ А ЦЕМПЛЕН А 3 1 Формулы (5.12J и (5.14) показывают, что скорост ь распростране ния сильного разрыва всегда отлична от местной скорост и звука . В самом деле, по этим формулам равенство * р . = 1 илн равенство : 1 одинаково влекут за собой услови е р + = р _ ; но тогда по (5.10 ) р+ = р_, а по (2.15 ) [Vl = O1 и нет никакого сильного разрыва . Нетрудн о дале е убедиться, что если [ 6 + | < а + , то | 9_ | > а_ и наоборот : если 16_ | < то ] 9 + | > а+. Есл и обратиться к стационарным движениям, для которы х N - 0, т . е. 6 = - V n , то мы получим очень важное следствие: скорост ь V11 по крайней мер е с одной сторон ы от поверхности разрыва превосходит местную скорост ь звука . Значит, неподвижные поверхности сильного разрыва , так же ка к и неподвижные характеристики , могут существоват ь лишь при наличии сверхзвуковы х скоростей . Докаже м еще т е о р е м у Цемплена : возможны лишь такие сильные разрывы, при которых IVn] < 0. Дл я доказательства этого положения приходится привлекать второй закон термодинамики, согласно котором у энтропи я при физически х процессах не убывает . Энтропия 5 может быть представлена в виде S = ^ l n f , (5.15 ) И, таким Образом, вопрос о возрастании энтропии эквивалентен вопросу о возрастании величины р/р". Итак , величина р/р'не убывает . Пуст ь имеется у нас нестационарный сильный разрыв . Нека я масса, находящаяся с одной стороны от разрыва, попадает затем на другу ю сторону . Могут представиться два случая: 0 + < О и 9 ^ > 0 . Если 0 + > О , то массы, лежавшие с положительной стороны поверхности разрыва , попадут на отрицательную , и энтропия положительной области заменится на энтропию области отрицательной; так как энтропия не убывает, будет т. е, ,X X ' P - P + Й<0' 3 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ. I Напротив , есл и 6 + < 0 , т о масс ы отрицательно й област и буду т заменен ы массам и положительно й стороны , та к чт о окажетс я Покажем , что в обои х случая х буде т [ ^ ! < 0 . В само м деле , вслед стви е (5.10 ) можн о написать : [ Л ] = - ^ = [£±--FL+VL = L ря J P+ P PxI I P Ч Р У ) ( * + l ) i ± . _ ( х - 1 ) р I k Y P Нетрудн о убедиться , что выражение , стояще е здес ь в фигурны х скобках , буде т положительн о пр и р /р _ > 1 и отрицательн о при р + /р _ < 1 . Та к ка к р и р положительны , заключаем , что есл и \plp'i > 0 . т о [р]>0 ; есл и [р/р*] < 0, т о Ip] < 0 . Таки м образом , есл и 9 + > 0 , т о [р] < 0 , и есл и 6 + < 0 , т о [р] > 0 , но ц/" ] = [0 ] = е . в р в P , 9 , + = р + 9 [р] + J J н, значит, пр и 9 + > 0 , [р] < 0 буде т [V n ] < 0 и при 9 + < 0 , [р] > 0 такж е [VJ < 0 . Теорем а Цемплен а доказана . Б. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА § 6 . Плоска я задача . Функци и 9и J0Рассмотри м стационар но е движени е газа , происходяще е одинаков о во все х плоскостях , параллельны х плоскост и (х , у) , и прито м так , что ^ 2 = O. Уравнени я Эйлер а представи м в форм е Лэмба : 1 др д V* Idvy dvx\ ~?~dx~~~Thc~1T~^'Vy 1 др д v* VlU I d v y д у ) ' dvx\ ( 6 Л ) Tay = S F T v A l u S j ) (6'2) Уравнени е неразрывност и даб т 4 ^ + ^ = 0 , (6.3 ) дх ~ ду ПЛОСКА Я ЗАДАЧА . ФУНКЦИ И 9 I i 3 3 а условие адиаоатнчностн: (6.4) Уравнение (6.3) позволяет заключить о существовании функци и ток а ф(х , у) такой, что T ^ ^ / С C 1 ^ = W ^y ( 6 ' 5 ) С друго й стороны, вдоль линии ток а имеем: d x d y ~ "^7' вставляя в это равенство Vx и Vy из (6.5), получим без труд а так что уравнения £ " + 3 ^ = 0 . ф (х, у) = const . суть уравнения линий тока (последние, вследствие стационарности , созпадают с траекториям и жидких частиц и остаются во время всего движения неизменными). Умножая первое из (6.5) на v , второе на Vx и вычитая, получим: Но если V Ф 0, соотношения (6.4 ) и (6.6) заставляю т нас считать, D l P- - о. D (х, у) Отсюда заключаем, что £ = (6-7) зависит от ф. 8 = ft (ф) Легко выразить 8 через энтропию 5 . В самом деле, по (5.15 ) предыдущег о раздела имеем: S = T I n M = T-InS 1 ) - (6-8) ') Кроме того, 9 есть, с точностью до постоянного множителя, потенциальная температура. Под последней разумеется та температура которая получится, если газ адиабатически привести к нормальному давлению P0Это будет = ^ 7 Ь = cons!. Ь. RPl'' 3 Теоретическа я i идроме 1 аника , ч 11 3 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Умножим теперь (6.1 ) на vx, а (6.2 ) па v и сложим полученные уравнения, заменив предварительн о р по формул е (6.7). Так как Vd P и так как вследствие (6.7 ) и (6.6 ) а" . д" А мы получим после простых преобразований: д ( "А , f 2 \ , д ( х -р > ; Это означает, что вследствие (6.6 ) j T + % Р * = г ' о < с 9 ) где I0 - функция одного тольк о ф. Чтобы уяснить физический смысл /0 , заметим, что v2/2 есть кине тическая энергия единицы массы, а К. X D Cn у. - 1 у. - I p Cp - RT=^ T Cv А есть "теплосодержание" (принято обозначение с р Т/ А = i)*); таким образом, Ia есть теплосодержание при отсутствии скорост и (и = 0). Величина г0 определяется, коль скоро известна температур а T0 той точки, в которой скорост ь равна нулю ( г о = ^o) • Уравнение (6,9) представляет собою не что иное, как уравнение Бернулли . И з уравнений (6.1) и (6.2 ) мы получили одно лишь соотношение (6.9). Второе соотношение позволит нам выразить вихрь и показать, что если 9 и г'0 будут постоянными величинами (не зависящими от ф), то движение буде т безвихревым , и обратно - если движение безвихревое, то, вообще говоря, 9 и I0 постоянны. В самом ]) Величина i может быть определена как сумма внутренней энергии и отношения р<у. . 1 , . ^ P P Cy + AR1 CpT '-~А и + Т ' " А Г + У = A = T Кроме термина теплосодержание для обозначения i згпотребляются ещё названия: тепловая функция единицы массы и энтальпия. J 7) ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВ А В ПЛОСКО Й ЗАДАЧЕ 3 5 деле, возьмём, например, (6.2 ) и вставим в него ^ 2 из уравнения Бернулли . Произвед я сокращение, получим: _ дУу дух 1 / dla * jTi^M дх ду Vx \ ду х -I^ ду} или, так как & и i0 зависят от у через посредство ф: 1 I dia % \ дф . наконец, вследствие (6.5) можем написать: " 1 , d f ~~ * - T ^ " "Зф Сб." ) Формула (6.11 ) показывает, что если & и I0 постоянны, то й = 0. Обратно, пусть Q = O. Тогда по (6.11 ) dt" <*ф * - di) = 0, (6.12) и если одного ф: Ф 0, то р, а значит, по (6.9 ) и v, будут функциями Случай этот не представляет интереса; ему отвечают движения с линиями тока - либо концентрическими кругами, либо параллельными прямыми (см. ниже § 15). Таким образом, вообщ е говоря, если 2 = 0, то должн о быть а по (6.12) и W = 0 ' аГф = 0 Заметим, что может оказаться , что dtjdi) ^ O a dbjd^ = 0 или же dijdb = 0, a dbjd^ Ф 0; при этом, разумеется, Q=^fcO. Мы увидим, что случай постоянного Z0 и переменной энтропии & представляет для газовой динамики наибольший интерес. § 7. Поверхност и разрыва в плоской задаче . Покаже м прежде всего, что в плоской стационарной задаче I0 не претерпевает скачка при переход е через поверхность сильного разрыва . Дл я этого обра тимся к уравнению (5.6) и перепишем его, заметив, что, вследствие стационарности, Vn = - 6, так : 3 * 3 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I или, что очевидно, откуда, перенося всё влево и собирая члены под знаками разрыва а это и означает, что если 6^=0 , то вследствие (6.9) и (6.7) [ У = 0. (7.1 ) В приложениях газовой динамики речь идёт обычно о незавихрен иых потоках газа, обтекающих какое-либо препятствие (крыло, например) или вытекающих из отверстия (сопло и т. п.). Так как в незавихренном потоке i0 = const, и так как по (7.1) даже наличие сильного разрыва не изменяет величины I0, то, оставляя в стороне влияние пограничного слоя, мы можем считать в практически важных и интересных случаях просто г'о = const. Обратимся ко второй величине, характеризующей завихренность потока, - 9. Покажем, что если в набегающем потоке и было S) = const. , т о после прохождения потока сквозь поверхность сильного разрыва обязательно, вообще говоря, станет dbjd^ Ф 0, т. е. если поток до прохождения скачка уплотнения и был потенциальным, то после он становится вихревым. Для доказательства обратимся к формуле (5.10 ) и умножим обе её части на (р_/р + ) \ Можем написать тогда: Pl ' " > 7. + 1- (* - 1 ) " P+ P \ P+/(*+1)^=--(-/.-1) или, по определению ft из (6.7): 9 , -, -'. + I -(*-1)р - P+ Формула (7.2) показывает, что & + /9 _ = 1, т. е. [Э] = 0, лишь в том случае, когда р_/р + = 1. т. е. [pj = 0, т. е. когда скачка уплотнения просто нет. Как мы увидим дальше, |р] будет, вообще говоря, различен в разных точках поверхности разрыва, но тогда и [Э] будет меняться от одной линии тока к другой, так что если 8"слева" от поверхности разрыва и было постоянно, то, претерпев в разных ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКО Й ЗАДАЧЕ 3 7 точка х этой поверхност и разны е скачки , оно стане т функцие й о т ф. Движение , бывше е пере д скачко м уплотнени я безвихревым , станет затем , вообщ е говоря , вихревым . Восемь гидродинамически х элементов : р + , р + , v x + , v y + , р_ , р_ , V y - связан ы вдол ь поверхност и разрыв а четырьм я соотноше ниями [формул ы (2.12) , (2.13 ) и (5.10)] : p0[t g = |/>]cos(" , х), (7.3 ) р" \vy] = [р\ cos(re , у). (7.4 ) [p6J = 0 , (7.5 ) Р + (* + 1) Р+ - (''-- 1) Р_ ( * + ! ) ? _ ( * ! ) P (7.6 ) содержащими , кром е упомянуты х элементов , ещ ё девяту ю вели чину - уго л межд у нормаль ю п к поверхност и разрыв а и ось ю Ox или Oy. 0, вследстви е стационарност и движения , выражаетс я чере з Vn: B = V n . (7.7 ) Таки м образом , мы можем , зна я все гидродинамически е элемент ы с одно й сторон ы о т поверхност и разрыва , найти связ и межд у любо й парой элементо в по другу ю сторон у от поверхност и ил и межд у каким-либ о из эти х элементо в и угло м наклон а поверхности . Наи больши й интере с представляе т установлени е соотношени я межд у обеим и компонентам и скоростей , а такж е выражени е плотност и чере з уго л наклон а поверхност и разрыва . Рассмотри м произвольну ю точк у M поверхност и разрыва . Пуст ь нам известн ы величины р_, р_ , vx_, vy_. Повернё м ось Ox так , чтобы она пошл а параллельн о направлени ю скорост и К _ в точк е AI1 и обозначи м V = T V P = Pv P = P P V = V V = V P+"=P P + = PПуст ь ещ ё уго л наклон а ( п , х) нормал и п в точк е Al поверхност и разрыв а буде т tp. Тогда , та к ка к v y _ = 0 , имеем прежд е всег о - 6 + = vn+= VxCOS tp 4 v y sin <р, (7.8 ) A = K n -=Ir 1 COSiy , (7.9 ) а использу я (5.12) , получим : откуд а бе з всяког о труд а найдём р/р, чере з tgtp: P * + 1 Pi of л 1 + 2 4 ( 1 + I g 8 С друго й стороны , по (7.3) , посл е сокращени я на co s (л, х) = Coscp, - PI(r)I К - )=P - Pv (7-12) а вследстви е (7.6 ) • 1 / > P 1 = 2*/,, - (7.13) х + 1-(-/.- l ) i Сравнивая два выражения для р- P1 ((7.12 ) и (7.13)) , вставляя вместо p/pj правую часть (7.10 ) и заменяя tgcp через посред ство (7.11) , приходи м посл е просты х преобразовани й к следующе й формуле , связывающей Vx и Vy: 2 / а\ \ T T T I " ' T T J ^ = ^ 1 ^ i i j • (7-И ) Остановимся на формула х (7.10 ) и (7.14) . Формул а (7.10 ) выражае т р/рг через ср. Представляю т интерес такж е формулы , выражающи е через ср отношени е Р!Р\ , а такж е величины Vx и т> . Внося (7.10 ) в (7.6) , получим посл е элементар ных преобразовани й р 2 х и? х - 1 - = i-cos 2 со . (7.15 ) P1 x-J-le f х + 1 Вставляя эт о отношени е в формул у (7.12) , получим: 2 в? 2 \ I H - 4 - COs2Cp . (7.16 ) XT 1 V^ % -J 1 J § Я П О В Е Р Х Н О С Т И Р А З Р Ы В А В п л о с к о й З А Д А Ч Е 3 9 Наконец , внося Vx из (7.16 ) в (7.11 ) и реша я полученно е уравне ние относительн о получим : 2 fa ] vy = I q r r 1 , 1 t g c p VT f c o s ^ , (7.17 ) Формул а (7.14 ) имеет многочисленны е приложения . В плоскост и (vx, v ) при данны х значениях о , и V1 уравне ние (7.14 ) представляе т кривую , симметричну ю относительн о оси Vx, пересекающу ю ев в точка х V r = V, , D v = O (двойная точка ) и X I vX 7-4-1 Г.-Ь 1 о,, = О и имеющу ю в качеств е асимптоты пря мую (рис . 4) % + 1 vi Рис . 4 . Эта крива я может быт ь получен а путём инверсии гипербол ы в её вершин е и называетс я гипоциссоидой (обычная циссоида Диоклес а может быть получен а путём инверси и парабол ы в её вершине) . Есл и скорост ь в точк е М _ отрицательно й област и имеет величину (при это м скорост ь звук а Cil получится , если /0 известно, из урав нения Бернуллп) , то коне ц вектор а V + скорост и в точк е М+ буде т лежат ь где-т о на упомянуто й гипоциссоиде . Есл и бы нам был о известн о направлени е V + , мы могл и бы , воспользовавшис ь гипоцис соидой, найти и величину вектор а V + ; совершенн о аналогично , зная величину V+, мы нашл и бы бе з труд а и направлени е (вернее , абсо лютную величину угла , составляемог о векторо м V + с направление м ^ 1 ) . Наконец , при помощ и нашей гипоциссоид ы можн о найти напра вление поверхност и разрыв а в точк е М , если известн о направлени е скорост и после прохождени я поверхност и разрыва . В самом деле , так как вследстви е (7.3 ) и (7.4 ) [Tl J co s (Т , x ) ~ F [(r) v ]COS(T , у ) = 0 (t - касательна я к линии разрыв а в плоскост и х, у), то, если обозна чить чере з Vr, проекци ю скорост и на касательну ю к линии раз рыва, - будет [У т ] = 0. Отсюд а следует , что направлени е поверх ности разрыв а должн о быт ь 1аково , что если на него спроектироват ь скорост ь m и после разрыва , т о эт и дв е проекци и буду т одинаков ы 4 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I (V T + =!/,_) . Имея гипоциссоиду (рис. 5) и зная направление ON, а значит, и величину ON скорост и V + после прохождения разрыва , соединим двойную точку P гипоциссоиды (O P = V_ ) с точкой N и опустим на продолжение прямой PN перпендикуля р из точки О до пересечения с PN в точк е Q. Очевидн о теперь, что направление OQ таково, что проекци и на него V+ и V _ одинаковы . Нам остаётся тольк о перенести эт о направление на плоскост ь ( х , у), чтобы получить нужное направление криво й разрыва . Заметим, что всякий луч, выходящий из точки О, пересечёт гипоциссоиду, вообщ е говоря, в трё х точка х (рис. 5). Однако , в силу теоремы Цемплена, точки N', расположенны е на уходящи х в беско нечность ветвях гипоциссоиды, рас сматривать не следует . В самом деле, желая получить при помощи точки N' направление касательной к поверхности разрыва , мы должн ы опустить перпендикуля р OQ', но тогда Q'N' есть нормаль к этой поверхности и OrP=V^, m ' = v n + , так что, вопреки теорем е Цемплена ( § 5), имеем: > Рис. 5. Точки N и N" обе допустимы с точки зрения теоремы Цемплена. Ветвь гипоциссоиды, содержаща я точки типа N', такж е может быт ь использована. Дл я этог о достаточно поменять местами знаки плюс и минус при выводе формул ы (7.14), положив O P = V + , а вектор ы типа ON' принять за V _ . Тепер ь гипоциссоида буде т совокупностью точек, изображающи х концы векторо в тех скоростей , которы е после прохождения разрыв а могут совпасть с OP. При таком толковании гипоциссоиды точки типа N не могут быть допу щены по теорем е Цемплена. Сказанным здесь относительно сильных разрывов мы пока ограничимся; мы вернёмся к ним уж е непосредственно в приложениях к конкретны м случаям движений. § 8. Критическа я скорость . Трубки тока в сжимаемо й жидкости . Мы знаем из предыдущи х параграфов, а такж е из недавнего рассмотрения разрывов, как важно отличать случаи, когда движение происходит со скоростью меньшей, чем скорость звука, от случаев сверхзвуковы х скоростей. Введём теперь важное понятие "крнти § 8 ] КРИТИЧЕСКА Я СКОРОСТЬ . ТРУБК И ТОК А 4 1 ческой скорости". Напишем для этог о уравнение Бернулл и (6.9 ) в виде: (здесь и в дальнейшем мы считаем, на основании сказанного в начале предыдущего пункта, что I0 = const. ) и предположим, что в некоторой точке M скорость движения v оказалась в точности равной существующей в этой точк е скорост и а распространения звука : V = а. (8.2) Соотношения (8.1), (8.2 ) представляю т собой систему алгебраически х уравнений, из которой мы можем определить непосредственно в чис лах величину скорости v в точке М . Это буде т v, : 1 'о- (8-3) Скорость эта и носит название "критической скорости" . Соответ ственно этому имеем и критическу ю скорость звука = = / 2 3/4 3/4 , (8.4) Мы видим, что величина Vt не зависит от рода движения и положения точки. Дл я всех движений, обладающих одним и тем же Z0, будем иметь всегда одно и то ж е vt. Нетрудн о убедиться, вслед ствие (8.1), что если в какой-т о точк е оказалос ь v > а,, то буде т такж е и v > а (скорост ь газа буде т больш е местной скорост и звука), и если V < я", то будет такж е и v < а. Обратн о - наличие нера венств f g S a повлечёт за собой, соответственно, наличие неравенств 11^0 , '). Привлека я ещё скорость звук а я 0 в тех точках, где скорост ь газа V = 0, г 7 . 1 мы можем дать для а , выражение (8.5) a ' = V ^ г Т " о ^ О , 9 1 1 9 а 0 (8.6) при -/ = 1,405. Таким образом, критическая скорост ь всегда меньше той скорости звука , которая возникает в покоящемся газе, обладаю щем данным значением г0. Уравнение Бернулли , если выразить в нём г0 через посредство а, , примет вид: V2 а1 7. -I-1 с?* ') Это можно непосредственно установить из (8.9) (см. ииже). 4 2 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ. I Формула (8.1) показывает, что максимальное возможное значение v получится, когда второе слагаемое левой части обращается в нуль, т. е. это будет (r)maj = У 2iO По (8.7) мы можем написать Г л 1 (8.8) Дальнейшее увеличение скорости газа привело бы к отрицательным давлениям и к явлениям кавитации. Таким образом, величина (r)/а4 заключается всегда в сравнительно тесных пределах: i t * ^ a. ^ V х - 1 При расчётах удобно пользоваться безразмерными скоростями Vja t , , Vyjatt. Отношение M = V j a называется числом Маха. Деля (8.7) на V2, мы можем затем найти связь между Vja и vja.e в виде: ( т ) •/. + ! / Р у ( 8 ' 9 > х - 1 \я,. / Видим, что число M может изменяться в пределах от 0 до со . Отметим ещё три употребительные формы уравнения Бернулли . Введём р0 (ф) - давление, которое возникло бы в некоторой точке линии тока ф = Const., если бы в этой точке скорость обратилась в нуль. Очевидно, что вследствие (6.9) и (8.6) 2 х 8 = ' + 1 Заменяя а 2 в уравнении (8.7) этим значением, получим -1 Vo / х + 1 п2 4 > I- 1 Аналогичным образом, вводя р0(ф) (плотность при v = 0) и имея в виду, что х й р * = а 2 = x & V 1 И -XP 1 T1 ^p 0 '' ' 1 = е 2 * , К Р И Т И Ч Е С К А Я С К О Р О С Т Ь . Т Р У Б К И Т О К А 4 3 мы получим ( ± Г ' = 1 * . (8.11 ) \?о) + 1 д г х - 1 Наконец, вводя температур у T0 при V = O и замечая, что a 2о = - = ^ Rп Tт д 2 и _ = I можем написать P х- 1 х- 1 2 ' T =1-rlW (8-12) х- 1 " зависит лишь от at и поэтому не зависит от ф; напротив, р0 и р0 буду т постоянны лишь в случае безвихревог о дви жения; так как р0 и р0 просто связаны с 9, то легко найти скачки этих величин при переход е через поверхность разрыва . Очевидно, будем иметь Pa+ __ ( у1 и _Ро+ Po- \ f причем •&_/Э+ можно найти по (7.2 ) и (7.10) через наклон поверх ности разрыва . Формула (8.11 ) позволяет доказат ь очень важную теорему , относящуюся к трубка м тока в стационарном движении сжимаемой жидко сти. Рассмотри м бесконечно тонку ю трубк у тока, и пусть скорост ь в элементарном сечении eS Af1 (ортогональном к линии тока) буде т H1, а плотность P1; пусть какое-либ о друго е сечение Л/ 2 характеризуетс я скоростью V2 и плотностью р 2 . Та к как масса между этими двумя сечениями исчезнуть не может, мы должн ы написать A /iPi(r) i = t ^ftf2 V2 . Таким образом, площадь Д / любого ортогональног о сечения нашей трубк и буде т д , const. J pf В несжимаемой жидкост и (р = const. ) площадь, таким образом, обратно пропорциональна скорост и (чем больш е скорости , тем уж е трубк и тока, и наоборот). Дл я сжимаемой жидкости мы можем, пользуясь (8.11), написать: Л . const. / = 4 4 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I Постоянная, стоящая справа, сохраняет своё значение вдоль всей трубки . Но такая функция будет иметь минимум, и притом един d v ~ - + 1 ] * + J "•>-' (У+ 1) a i } ' I - У 1 2 1 ^ ' X - 1 "} n(dAf/dv)v^a = 0, а, как легко видеть, {(fihfjdv2)v _a > 0. Мы получа ем следующий замечательный результат: при дозвуковых скоростях, так же как и в несжимаемой жидкости, трубки тока будут тем Уже, чем больше скорости; наоборот, при сверхзвуковых скоростях трубки тока будут тем шире, чем больше скорости. § 9. Плоские вихревые движени я со сверхзвуковыми скоростями. Характеристики. Угол Маха. Продолжим изучение дифференциальных уравнений движения, предполагая, что I0 = Const. Мы имеем два конечных соотношения; уравнение Бернулли + , *"("/>X-I * , "2 2 "г" х - 1 - 2 1 0 и условие адиабатичности: и два соотношения дифференциальных: выражение для вихря T--I (9-1) и уравнение неразрывности dpi), dot) + = 0 . дх 1 ду Исключим из уравнения неразрывности плотность. Заметим, что по определению Sи а : -/. - = а 2 = х&У 1 . P Можно теперь написать уравнение неразрывности, введя In р, в виде - а". Наличи е действительны х характеристи к позволяе т здес ь раз вит ь эффективны е метод ы решени я систем ы (9.2) , (9.5) . Чтоб ы построит ь характеристики , которы е в случа е плоско й ста ционарно й задач и будут , очевидно , линиям и пересечени я с плоско сть ю (х, у ) цилиндрически х поверхностей , предположим , что неко тора я крива я L с уравнение м У = У (х) ест ь характеристик а дл я данног о движения . Обознача я производну ю , d / д . dy д \ , п о х, взяту ю вдол ь линии L1 чере з = ^ц г + jy) и прибавля я к системе (9.2) , (9.5 ) соотношения , выполняющиес я вдол ь L : ^ j l л = ^ ( 9 7) dx ' dx ду dx ' ^ • J ojT 1 d x d y d x (9.8 ) ' напише м услови е того , чт о L ест ь характеристик а [т. е. услови е невозможност и однозначног о определени я четырё х производны х dvjdx, dvjdy, dvy/dx, dvjdy из наше й систем ы четырё х уравнени й (9.2) , (9.5) , (9.7 ) и (9.8)1. Выража я dvJdx и dvjdx из (9.7 ) и (9.8 ) п вставля я их в (9.2) , (9.5) , получим : dv ^vv [y' (а2 vl) + vxvy\~df ^ a 2 v I l W = dv r dv., 0v' о dy где у ' = ~ ~ . Следовательно , вдол ь L должн о быт ь •" dx у'{cfi - V2x) •+ VxVjl - у ' V x V с 2 + V 1 У' = О (9.9 ) ' ) Каждое из этих двух соотношений есть следствие другого, что вытекает из (9.2). § 9] П Л О С К И Е В И Х Р Е В Ы Е Д В И Ж Е Н И Я 4 7 у> Vlyt-VxVy(Cii-Vl) V x V y i ^ dvy dx = 0*) . (9.10 ) Обращаяс ь сперва к (9.9), получим, раскрыва я определитель , следующе е соотношение, связывающе е у', Vx и vy: у'1 (vl - с 2 ) - 2vxvyy' 4 v$ - а2 = 0. (9.11 ) Заметим попутно, что это соотношени е было уж е получено нами в друго м виде в обще й теории слабы х разрывов . В самом деле , мы видели, что проекци я Vn скорост и газа на нормал ь п к характери стической поверхност и должн а равнятьс я местной скорост и звук а В нашем случае I v" | = в . V = v cos(п, _>c)-f-n cos (п , у) = v*y' j_ vy n x У y ' / l + / 2 / l + / 2 ' и потому услови е V2n = а2 приме т вид: ( V y V x / ? = а* ( 1 + / ) , что, как нетрудн о убедиться , совпадае т с (9.11) . Таки м образом , тангенс угла наклона у' характеристик и может принимать два значения, определяемые как корни квадратног о уравнения (9.11) : 'Vv l + v l a 2 " I • (9-12 ) Соответственн о этом у через кажду ю точк у плоскост и (х, у) можно провести два элемент а характеристик , а вся плоскость (х, у) (в пред положении всюду сверхзвуково й скорости ) може т быт ь покрыт а двумя семействами характеристик . Есл и движени е уж е известно, т . е. Vx и Vy известны ка к функци и координат , уравнения (9.12 ) представя т Два дифференциальны х уравнения, каждо е из которых , будуч и про интегрировано, даст одну систему характеристи к в плоскости (х, у). В дальнейше м мы всегда буде м называт ь т у характеристику , котора я отвечает знаку плюс пере д корне м в (9.12) , характеристико й первог о семейства, а ту , чтодаб т у'с о знако м минус пере д корнем , - второг о *) Равенство нулю определителя с заменбнным первым столбцом получается как следствие (9.9) и (9.10). 4 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ Г Л . I семейства. Буде м писать соответственно Vt (X) или V2(Jf)1 так что VxV +aYvl + vl-O2 У = > _ ( 9 _ 13 ) Vx - а' , v x v y о Vv i x + V2 T 2 (9Л4 ) Обратимся, однако, к уравнению (9.10), которое должно выполняться вдоль характеристи к наравне с уравнением (9.9) . Раскрыва я его и группируя члены, получим сперва [/ (fl2 - + 2v,vy] (а2 vl) % = = [ / (a 2 ~ v ^ + v x v y ] 9 , (9.15 ) или вследствие (9.11) jSf-+ к °2) = +v ' - " я 1 откуда , дел я на y ^ , - и заменяя члены в квадратной скобк е правой части по формул е (9.12): dv v\ - a2 dvr aYv2 - a2 " , _ T x + / ! 2 ~ = Т - 2 Г-У' 2 - ( 9 Л ? ) где справз знак минус отвечает первому семейству, и тогда вместо у ' должно стоять yj , а знак плюс отвечает значению у ' = у2 . Мы можем представить произведение корней уравнення (9.11 ) в виде: У,У2 = у 2 • V 1 x H 2 и потому вдоль характеристи к первого семейства будет dVy+--+dvx = - Q. " y'.dx, (9.18) У У12 ^ 1 _ о "Vv^'-y-Oi а вдоль второго dv y + ^ d v x = V ^ ~ f y ' d x . (9.19) У У, Viy-O.' Соотношениям (9.12) и (9.17) можно придать более обозримый вид, если ввести вместо проекций Vx и Vy скорости величину ско § 9] П Л О С К И Е В И Х Р Е В Ы Е Д В И Ж Е Н И Я 50 рости V н угол JS, образуемый векторо м скорости с осью Ox (рис. 6): v x = Vco s р; Hy = WSinfi. (9.20) Заметим, прежде всего, что скорост ь V в точке М(х, у) буде т всегда направлена по биссектрис е между касательными к обеим характеристикам , проходящим чере з М . В этом можно убедиться из рассмотрения (9.12), проще ж е это можно получить из равенства В самом деле, тот факт, что проекци я Vn на нормаль к обеим харак теристикам скорости V точки M равна по абсолютной величине одному и тому же числу, указывает , что скорость составляет один и тот у же угол с обеими касательными, проведёнными в M к нашим харак теристикам . Угол этот называется углом Маха. Обозначим его бук вой а ; тогда по определению а будет (рис. 6): Sina = . (9.21 ) Следует подчеркнуть, что величина угла Маха а зависит исключительно Рис. 6. от отношения v/a , но не зависит от угла р. В самом деле, мы можем написать: по (8.9 ) . 2 х + 1 / я . \ 2 х - 1 2 \фV "J 2 ' Теперь мы можем представить (9.12 ) в виде: y ' = tg ф ± а ) . (9.22 ) (9.23) Прежд е чем преобразовать (9.18 ) и (9.19), найдем, как изменяется ft при перемещении вдоль характеристики . Вдоль последней буде т " = &№[* , у (*)]) , или, по (6.5), M dx ' di/\dx' ду у )' / r\ u v dx г V"у Н о тогда можно представить 2 , стоящее в (9.18) и (9.19), в виде *i 1 а? din Э X- 1 dx 4 Теоретическа я гидромеханика , ч. И 1 -I^ Vy - vxy' dx 5 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I Вставим это значени е 2 в (9.18 ) и (9.19 ) и заменим ещ£ Vx и v по (9.20) , а у ' по (9.23) . Получим : й (v sin В) + ct g (р + a ) d (г< cosp ) = _ + 1 а з y-уг а 2 tg ± ^ rflna %- 1 V (sin р - tg( ? + а) cos 3) (t>2sm2g- a 2 ) ' Наконец , собира я члены с dv и rfjj, дел я на коэффициен т при d p и применя я (9.21) , получим посл е просты х преобразований : ,n _ Ctea , , sin a COS а , , Gfp. + - d v = ± - J - d In &. (9.24 ) Мы вернемс я к вихрево й задач е в § 13, а сейча с приступи м к решени ю отдельны х конкретны х задач в безвихрево м случае . Здес ь мы буде м имет ь значительно е упрощени е форму л (9.18) , (9.19 ) и сможе м значительн о дальш е продвинутьс я в обще й теории . § 10. Плоски е безвихревы е движени я при v > а". Есл и вихр и отсутствуют , т . е. S = O, уравнени я (9.18 ) и (9.19 ) могу т быт ь записан ы в виде : вдол ь харак теристи к первог о семейства : dvv 1 - ^ = г ; (ЮЛ ) d v X У 2 вдол ь характеристи к второг о семейства : dvv 1 - = г . (10.2 ) d v X У1 Рассмотрим , кром е плоскост и (х , у), котора я вс я покрыт а линиями характеристи к у = J1 (х) и у = у%(х), плоскост ь компоненто в ско росте й (vx, Vy). М ы имеем дел о со сверхзвуковым и скоростями , значит , в это й плоскост и мы должн ы рассмотрет ь точки , лежащи е вне круг а v = at. С друго й стороны , мы знаем ( § 8), что скорост ь движени я газа Таки м образом , интересующи е нас точк и плоскост и (г),., Vy) вс е рас " . / r ^ W " положен ы в кольц е межд у окружностям и V = а, и г ) = у ^ __ ; а, . Предположим , что мы перемещаемс я вдол ь характеристик и у = Ji1 (х) в плоскост и (х, у). В плоскост и (vx, vy) мы буде м перемещатьс я ПЛОСКИ Е БЕЗВИХРЕВЫ Е ДВИЖЕНИ Я ПР И 51 при этом, вообщ е говоря, вдоль некоторой линии. Эту линию назовём характеристико й первого семейства в плоскости (vx, vy). На этой линии должн о быть выполнено всюду соотношение (10.1) . Аналогичное построение повторим для характеристи к второг о семейства. Через точку M плоскости (х , у) проведём элементы характе ристик первого и второго семейства. Пуст ь точке M отвечает точка M ' плоскости (vx, vy) (координаты точки M' суть компоненты скорост и в точке М) . Равенств о (10.2 ) показывает тогда, что касательна я к характеристик е первого семейства, проходящей в плоскости (х, у) через М , будет нормальна к характеристик е второго семейства, проходящей через соответствующу ю точку M' в плоскости (vx, vy) (ось Ox параллельна оси vt)\ также , по (10.1), касательная к харак теристике второг о семейства в (х , у) буде т параллельна нормали к характеристик е первого семейства в (vx, vy). Характеристик и в плоскости ( х , у) буду т иметь в различных задачах газовой динамики различную форму. Напротив, характе ристики в плоскости (vx, Vy) буду т для всех безвихревы х задач иметь всегда один и тот же вид, так что мы можем их рассчитать раз и навсегда. Действительно , из уравнения (10.1), например, вследствие (9.14) , следует, что dvy V2 2 dvx VlcVy - а У V2 - а2 т. е., так как а 2 выражаетс я тольк о чере з V2 -jTV2 и правая часть, x y таким образом, зависит тольк о от vx, Vy, но не зависит явно от х. у, т о мы имеем для определения характеристик и первого семейства в плоскости (vx, vy) обыкновенное дифференциально е уравнение. Дл я интеграции этог о уравнения удобн о обратиться в плоскости (vx, Vy) к полярным координата м V, р, уж е введённым нами по формула м (9.20). Именно, (9.24 ) даст нам дл я безвихревог о случая (& = COiist.) прост о dg + ^ d z i = O, (10.3) и так как Ctg a зависит исключительно от (c)(вернее, от отношения v/aj, то переменные разделены, и достаточно выполнить квадратуру . Вследствие (9.22) , имеем: c t g a / " " ( Г l/ nr(I0-4) 1 * + i U J 3* 5 2 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I так что -(-const . Квадратур а легк о выполняется, и мы получим + const . (10.5 ) Уравнения (10.5 ) представляют два (соответственно двум знакам правой части) семейства линий, зависящи х каждо е от одного параметра. Все эти линии располагаются в кольц е Нетрудн о убедиться, что это-эпициклоиды , которы е можно получить, следя за движением точек окружност и радиуса катящейся по круг у v = Мы приходим к важному результату : характеристик и в плоскости ( V x , Vy) представляются в случае без вихревой задачи всегда в виде эпициклоид . Равенство (10.5 ) может быть ещ е записано, если ввести вместо v угол а по (10.4), так : Р = ± { ] / ~ T = T а " t B ( f / " Т + Т c t S a ) + a ) + const . (10.6 ) Дл я удобства дальнейших вычислений мы будем писать для харак теристики первого семейства а дл я второго' (10.7 ) § 101 ПЛОСКИ Е ВЕЗВИХРЕВЫ Е ДВИЖЕНИ Я ПР И v > й ( 5 3 где X и р. - постоянные, а v/a, Г Г (JL) 2 _ 1 D J L У , " 1 / P f T t = J ' х + 1 U J а , - arctg , / ^ ^ r i - • (Ю.8 , | / а * - М^ Т Через каждую точку M' плоскости ( v x , Dy) ^b кольце а , С г> проходит одна эпициклоида первого семейства и одна второго семейства. При этом, по (10.7), разность соответствующих значений постоянных р - X будет в точности равна полярному углу |3 точки (vx, Vv): т. е. будет сохраняться на всём радиусе-векторе, проходящем через М' \ а сумма значений X и р. будет т. е. сохраняется на всём круг е с центром в начале (проходящем через M') . На прилагаемой таблице I мы даём значения числа 5 (с/о, ) = = 1000 - 180/тс-С, начиная от 1000 вниз через 1, и рядом соответствующие значения а в градусах и значения величин р/р0, v/a, vja, и ?vja,p.. В плоскости (х, у) направление обеих характеристик, проходящих через точку Af1 можно узнать по формулам (9.13), (9.14), если известны Vx и Vy в этой точке М. Если, однако, наши эпициклоиды уже заготовлены, то, зная vx, vy, можно найти направления у[, у'2, не производя вычислений по формулам (9.13) и (9.14). В самом деле, достаточно вспомнить, что элементы эпициклоид, проходящих через M' (с данными Vx и г1у), нормальны к элементам характеристик противоположных номеров, проходящих через М\ таким образом, чтобы построить, например, направление характеристики первого семейства в точке М, надо провести через M линию, перпендикулярную 5 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО П ДИНАМИК И [ГЛ . I Таблиц а 1 5 а р Pi via v/a S р Pt via Via^ ov/a р 100 0 90,0 0 0,52 7 1,00 0 1,00 0 1,00 0 97 2 28,9 8 0,11 6 2,06 2 1,65 7 0,56 4 99 9 67,2 8 0,47 7 1,08 4 1,06 8 0,99 4 97 1 28,4 2 0,11 0 2,09 8 1,67 3 0,54 7 99 8 61,9 6 0,44 9 1,13 3 1,10 7 0,98 6 97 0 27,8 8 0,10 4 2,13 5 1,68 8 0,53 0 99 7 58,1 8 0,42 4 1,17 8 1,14 1 0,97 6 96 9 27,3 4 0,09 7 2,17 4 1,70 4 0,51 2 99 6 55,1 2 0,40 1 1,22 0 1,17 3 0,96 5 96 8 26,8 2 0,09 2 2,21 4 1,72 0 0,49 4 99 5 52,6 6 0,38 1 1,25 8 1,20 1 0,95 3 96 7 26,3 2 0,08 6 2,25 1 1,73 5 0,47 7 99 4 50,5 8 0,36 3 1,29 5 1,22 7 0,94 0 96 6 25,8 0 0,08 0 2,29 6 1,75 2 0,45 9 99 3 48,7 0 0,34 5 1,33 2 1,25 3 0,92 6 96 5 25,3 3 0,07 5 2,33 9 1,76 7 0.44 2 99 2 47,0 7 0,32 9 1,36 6 1,27 6 0,91 2 96 4 24,8 7 0,07 1 2,37 8 1,78 1 0,42 6 99 1 45,5 4 0,31 3 1,40 1 1,29 9 0,89 7 96 3 24,4 2 0,06 6 2,42 2 1,79 5 0,41 0 99 0 44,1 6 0,29 8 1,43 5 1,32 2 0,88 2 96 2 23,9 8 0,06 2 2,46 6 1,81 0 0,39 4 98 9 42,8 4 0,28 4 1,47 0 1,34 4 0,86 5 96 1 23,5 4 0,05 8 2,50 8 1,82 4 0,37 9 98 8 41,6 2 0,27 0 1,50 5 1,66 6 0,84 9 96 0 23,1 2 0,05 4 2,55 0 1,83 7 0,36 4 98 7 40,5 1 0,25 7 1,53 9 1,38 7 0,83 2 95 9 22,7 0 0,05 1 2,59 5 1,85 1 0,34 9 98 6 39,4 8 0,24 5 1,57 2 1,40 7 0,81 5 95 8 22,2 9 0,04 7 2,64 0 1,86 4 0,33 5 98 5 38,4 7 0,23 3 1,60 8 1,42 8 0,79 7 95 7 21,8 9 0,04 4 2,68 9 1,87 8 0,32 0 98 4 37,5 3 0,22 1 1,64 1 1,44 8 0,77 9 95 6 21,4 9 0,04 1 2,73 4 1,89 1 0,30 6 98 3 36,6 7 0,21 0 1,67 5 1,46 7 0,76 2 95 5 21,1 1 0,03 8 2,77 8 1,90 3 0,29 4 98 2 35,8 2 0,19 9 1,71 0 1,48 6 0,74 3 95 4 20,7 3 0,03 6 2,82 6 1,91 7 0,28 1 98 1 35,0 2 0,18 9 1,74 4 1,50 4 0,72 5 95 3 20,3 7 0,03 3 2,87 3 1,92 8 0,26 9 98 0 34,2 6 0,17 9 1,77 9 1,52 3 0,70 7 95 2 20,0 0 0,03 1 2,92 0 1,93 9 0,25 7 97 9 33,5 1 0,17 0 1,81 5 1,54 1 0,68 9 95 1 19,6 4 0,02 9 2,96 8 1,95 1 0,24 6 97 8 32,8 0 0,16 1 1,85 0 1,55 9 0,67 0 95 0 19,2 9 0,02 7 3,02 1 1,96 3 0,23 4 97 7 32,1 0 0,15 3 1,88 4 1,57 6 0,65 3 94 9 18,9 3 0,02 5 3,07 4 1,97 5 0,22 2 97 6 31,4 5 0,14 5 1,91 8 1,59 2 0,63 5 94 8 18,5 9 0,02 3 3,13 1 1,98 7 0,21 1 97 5 30,8 0 0,13 7 1,95 4 1,60 9 0,61 7 94 7 18,2 6 0,02 1 3,18 8 1,99 9 0,20 0 97 4 30,1 9 0,13 0 1,98 9 1,62 5 0,60 0 94 6 17,9 7 0,01 9 3,35 0 2,01 2 0,18 8 97 3 29,5 8 0,12 3 2,02 5 1,64 1 0,58 2 870,6 8 0,0 0 0,00 0 с о 2,43 7 0,00 0 к касательно й к проходяще й чере з M ' эпициклоид е второг о се мейства (оси х и Vx всегд а параллельны) . На рис . 7 изображё н кусо к плоскост и ( v x , Vy) (секто р в 70° круг а радиус а j/" " j at с центро м в начал е координат) , на кото ро м нанесен ы попадающи е туд а част и эпициклои д первог о и второг о семейст в и некоторы е круг и 5 = const . Есл и в (10.7 ) ввест и вмест о С числ о 5 , мы получи м S + $° = 100 0 - (tm) Х = 2(?+100) , S P 0 = 100 0 - ^ P = 2 (7] - 100) ф ° - в градусах) , где E и TJ -новы е постоянные , заменяющи е X. и р.. На рис . 7 эпициклоид е первог о семейства , проходяще й чере з точк у V= а . ( 5 = 1000) , Ji0 = O (на рисунк е надписан ы значени я 7j - !=, § 10) П Л О С К И Е Б Е З В И Х Р Е В Ы Е Д В И Ж Е Н И Я П Р И V > А 5 5 а не р), соответствует \ = 400, эпициклоиде второг о семейства, проходящей через т у ж е точку, отвечает 7) = 600. Эпициклоиды проведены для 5 = 400; 401; 402;... ; для £ = 399; 398; для Рис. 7. TJ = 600; 601; . . . ; 7j = 599 ; 598 ; . . . Круги 5 = const, проведены дл я S = 1000, 990, 980 .. . Заметим, что в каждой точке S = 5-|-7j , P0 = S Vj-I200 , 5 6 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I Покаже м теперь, как при помощи характеристи к можно численным образом определить поле скоросте й и давление во всех точка х плоскости (х , у) в отдельных задачах газовой динамики. § 11. Использовани е характеристи к для решени я плоской безвихрево й задач и при v > а, . Мы увидим, что любой случай движения газа со сверхзвуково й скоростью и при отсутствии Рис. 8. Рис. 9. сильного разрыва мы сможем изучить, если научимся решать следую щие четыре задачи: Задач а 1. Пол е скоростей [т. е. Vx (х, у) и Vy (х, у)] задано в плоскости (х, у) на дуге AB некоторой линии L (рис. 8), не являющейся характеристикой . Определит ь Vx и Vy во всех точках области, ограниченной дугой AB и двумя характеристикам и (разных семейств), выходящими из точек А и В (рис. 8) (в некоторо м криволинейном треугольнике) . Задач а 2. Пол е скоросте й известно на дуга х AB и AC двух характеристи к разных семейств, выходящи х из точки А. Найти Vx и Vy в области, ограниченной этими дугами и дугами BD и CD ха Рис. 10. рактеристи к разных семейств, выходящи х из В и С (рис . 9). Задач а 3. Пол е скоросте й задано на дуге AB характеристик и какого-либ о семейства, причем известно, что точка А лежит на твёр дой стенке') . Найти Vx и Vy в области, ограниченной AB , твёрдой стенкой A C и характеристико й В С другог о семейства, выходящей из точки В (рис. 10). ') Направление последней в А таково, что вторая характеристика, проходящая через А, пойдёт "внутри" стенки. И С П О Л Ь З О В А Н И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К П Р И а > а. 5 7 Задач а 4. Т о же, что и в 3, но вместо стенки A C речь идёт о свободной поверхности АС, форма которой заранее, конечно, неизвестна (рис. 11). Заметим, что в задаче 1 нам за дана линия AB , отрезк и же характе ристик DC и ВС заранее неизвестны. Напротив, в задаче 2 характеристик и AB и AC считаются заранее известными (неизвестны AB и CD), в задаче 3 характеристика AB и контур считаются заданными, наконец, в задаче 4 дана дуга AB характеристики , а свободная поверхность неизвестна, так же как и ВС. Чтобы приближённо решить задачу 1. поместим на дуг е AB густой ряд точек M1, M1 Mn (рис. 12). Та к как значения (3/4., vy) на AB известны, то в каждой из точек Л , Al1, M2, . • . , Mn, В мы можем построить отрезки прямых по направлениям касагель / Рис. 13. ных к обеим характеристика м по формулам (9.13) и (9.14) . Прове дённые нами отрезк и прямых приближенно примем за элементы самих характеристик , выходящих из А, M 1 В\ в точке А нам достаточно построить лишь элемент характеристик и AC (пусть это буде т характеристика второго семейства), а в точке В - элемент В С (первого семейства). Пусть элементы характеристи к разны х семейств, проведённые из соседних точек дуги AB, пересекаются в точках N1, 5 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I N2, .. . (например, N2 есть пересечение элемента характеристик и второго семейства, выходяще й из M1, и характеристик и первого семейства, выходящей из M2 ). Чтобы найти vx, Vy в точка х N1, N2 рассуждаем так . Отметим скорост и Vx и Vy точек A, M1, ... , В в плоскости (3/4., vy )\ пусть это буду т точки А', м[, . . ., В' (рис. 13). Перемещаясь в плоскости (х, у) по характеристик е второг о семейства из точки А, мы будем в плоскости (vx, vy) двигаться по эпициклоиде второго семейства, проходяще й через А'\ перемещаяс ь же вдоль характеристик и первого семейства из M1, мы пойдём по плоскости (vx, Vy) вдоль эпициклоиды первого семейства, выходящей из M1. Об е нужные нам эпициклоиды могут быть заране е нарисованы, поэтому точка их пересечения Ni (рис. 13) может быть сраз у найдена хотя бы графически. Совершенно очевидно, что коорди наты Vx и Vy точки Ni и даду т скорост и Vx и Vy в точк е N1. Аналогичным образом мы найдём скорост и точек N2 и т . д . Ниже мы укажем на очень удобный приём графического определения скоро стей vx, Vy в этих точках . Тепер ь мы можем взять за отправную сеть ряд точек N1, N2, . . . и рассуждать по отношению к ним так же, как мы рассуждал и о точка х A, M1, . . ., Mn, В. Именно в N1, N2, . . . скорост и уж е известны; значит, можно во всех этих точка х построить характери стики обоих семейств [по формула м (9.13), (9.14 ) или как нормали к эпициклоидам плоскости (vx, Vy)] до пересечения их в точках P1, P2, P3, ... ; скорости ж е в этих точках найдутся как координаты точек пересечения эпициклоид, проходящи х чере з точки iV b N2, . . . соответственно. Так постепенно мы заполним весь криволинейный треугольник , о котором идёт речь в задаче 1. Линии AC и ВС, неизвестные вначале, построятся при этом сами собой (приближённо, как ломаные, а не как плавные кривые ; это же относится ко всем характеристикам) . Таким образом, в густой сетке точек (густота эта буде т аависеть от густоты точек M1, M2, ... , Mn на AB) нашего "треугольника " мы будем знать скорости . Линии ток а определить тепер ь легко, если вспомнить, что скорости направлены по биссек трисам углов между характеристиками , а последние по самому построению нам везде известны. Давлени е находится по уравнению Бернулли . Задач а 1 решена . Решени е задачи 2 принципиально не отличается от решения задачи 1. Поместим на характеристик е AB густой ряд точек M1, M2 Mn, а на характеристик е AC густой ряд точек Ar , N2 Nn. Во всех этих точках скорости vx, Vy нам заданы. Чере з точки AI1, Al2, . . . проведём затем элементы характеристи к И С П О Л Ь З О В А Н И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К П Р И а > А. 5 9 второго семейства (считаем, что AB - характеристик а первого семейства), а через точки Nv N2, ...-отрезк и характеристи к первог о семейства (рис. 14). Пуст ь пересечением характеристик и первого семейства, вышедшей из N1, и характеристик и второго семейства, вышедшей из M1, буде т точка Pv Чтобы найти скорость в P 1 , замечаем, что перемещение вдоль характеристик и N1P1 означает передвижение в плоскости ( v x , Vy) вдоль некоторой эпициклоиды первого семейства, выходящей из точки N1 с координатами, равными компонентам скорости в точке Nv а перемещение вдоль MxP1 означает передвижение по эпициклоиде второго семейства от точки M 1 с Рис. 14. Рис. 15. координатами - компонентами скорости в точке Al1. Точка пересечения P I (рис. 15) упомянутых эпициклои д и даст компоненты скорости в Pv Зна я скорости в точк е Pv можем провести через эту точк у обе характеристик и до пересечения с элементами характери стик первого и второго семейства, выходящих из N2 и из AI2 соответственно. Получим точки P2 и P3. Чтобы найти скорост ь в P2, рассуждаем совершенно так же, как эт о делал и при рассмотрении точки P 1 , тольк о роль прежней точки А будет теперь играть точка Nv роль точки Al1 будет играть P 1 , а на место точки N1 придется ставить N2. Аналогично можно сказать про точк у P 3 . Продолжа я построение далее, покроем постепенно весь криволинейный четырехугольник, о котором идёт речь в задаче 2, сеткой характеристик ; на пересечениях последних мы будем знать всюду Vx и v . Линии тока поведутся затем как биссектрис ы между касательными к харак теристикам, а давление найдётся из уравнения Бернулли . Задача будет решена . Отметим, что все заданные точки А , N1, Л/г, • • • расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, точки же А , M1, M2, . . . лягут на одну и т у же эпициклоиду первого семейства. Об е эти эпициклоиды выходят из А' . 6 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О П Д И Н А М И К И [ГЛ . I Переходи м к решению задачи 3. Пуст ь дуга AB есть дуга заданной характеристик и первого семейства. Нанесём на ней ряд точек Al1, M2, . • • (рис. 16). Та к как скорости везде на AB нам известны, мы можем в каждой из точек AI1, M2, .. . построить элементы характеристи к второго семейства [хотя бы по формул е (9.14)] . Про делаем это построение. Характеристик у второг о семейства, прохо дящую через нам стенкой. Тепер ь мы можем опреде лить скорост ь в точке Af1. В самом деле, направление скорости там известно - это направление стенки. Проведё м в плоскости (vx, vy) радиус-векто р под углом, Рис. 16. Рис. 17. равным угл у между направлением касательной в N1 к контур у и осью Ох . Где-т о на этом радиусе-вектор е нам надо буде т искать точку, координаты которой vx, Vy даду т скорости в точке Af1. С другой стороны, точка AZ1 лежит на характеристик е второго се мейства, выходящей из точки AI1. Пуст ь точке Al1 отвечает в плоскости (vx, vy) точка Ali (Р и с Провод я через Al1 эпициклоид у второг о семейства до пересечения с упомянутым выше радиусомвектором, мы встретим последний в точке N1, которая , очевидно, и буде т иметь в качестве координат скорости vx, Vy в точке Af1. Зная скорости в N1, построим в плоскости (х, у ) характеристик у первого семейства N1N2 д о пересечения N2 с характеристико й второго семейства Al2AZ2, выходящей из Al2. Скорост и в N2 найдутся ка к координаты точки vv, Vy пересечения эпициклоиды первого семейства, проходяще й через Ni , и эпициклоиды второг о семейства, идущей через M2. Проведё м из N2 обе характеристики , причём характеристик у первого семейства доведём до пересечения N3 с харак И С П О Л Ь З О В А Н И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К П Р И а > А. 6 1 теристико й второг о семейства, выходяще й из Al3, а характеристик у второг о семейства, выходящую из N2, проведём до пересечения с контуро м (пусть это буде т точка P 1 ) . Скорост ь в N3 находится аналогично тому, как находилась скорост ь в N2; чтобы найти ско рость в P 1 , замечаем, что направление скорости там известно (так же как был о известно направление скорост и в N1), и построим радиус вектор с этим направлением в плоскости (vx, vy); пересечение Р\ этого радиуса-вектор а с эпициклоидо й второго семейства, проходя щей через N2, и даст нам искому ю скорост ь в P 1 . Зная скорост ь в P 1 и в N3, проводим там характеристик и и т. д . Задача наша будет решена . Обратим внимание на один очень важный частный случай за дачи 3. Предположим , что нам известно, что вдоль характеристик и AB скорости имеют всюду одну и ту ж е постоянную величину и направление. Случай этот представится, например, в задаче обте кания профиля безграничным потоком, имеющим постоянную величину и направление скорости . В самом деле, пусть профиль этот начинается от точки А (рис. 16), причём безграничный поток набегает на него слева со скоростью , параллельной оси Ох . Тогда вдоль характеристик и AB (точка В може т быть взята на бесконечности) совершаетс я перехо д от режима прямолинейного набегания на контур к режиму обтекания контура . Вдоль характеристик и AB происходит "склеивание" дву х различных движений (A B как характеристик а может быть такой линией слабого разрыва), и на всей AB скорост ь постоянна по величине и направлению и равна скорости набегающего потока. Отметим попутно, что в таком случае линия AB буде т прямая. Действительно, тангенс наклона y j вдоль этой кривой, выражающийся при помощи формул ы (9.13), будет всюду один и тот же, так как правая часть (9.13 ) состоит лишь из компонентов скоростей, а они считаются постоянными вдоль AB . Итак , пусть вдоль AB всюду P = P1, a V = V1. Обратим внимание на характеристик и второго семейства M^N 1 и др . Вдоль них будет, согласно формул е (10.7), где ц - различные постоянные, характеризующи е отдельные харак теристики семейства. Найдём р. для характеристик и Al^V1. Последняя пересекается с AB ъ точке Al1; здесь P = P1 и V = V1. 6 2 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 следовательно, должн о быт ь : 2 1 и уравнение, связывающее п и р вдоль M 1 N 1 , будет иметь вид: Но вдоль M2P1 будет выполняться в точности то ж е соотношение, ибо M2 лежит на AB, а там v = V1 и P = P1, так что и для этой линии должн о быть выполнено (11.1) . Таки м образом, в нашем слу чае скорост ь V и угол р во всех точках , лежащи х между контуром и характеристико й AB , буду т связаны соотношением (11.1 ) с одной и той же константой в то время как в общем случа е постоянная будет меняться от характеристик и к характеристике . Соотношение (11.1 ) играет здес ь рол ь дополнительного конечного соотношения, связываюшего компоненты скоростей (vx и Vy могут быть выражены через v и Р). Пользуяс ь этим соотношением, мы можем привести задачу к решению лишь одного уравнения в частных производных первого порядка с одной искомой функцией (напомним, что в общем случае мы имеем систему дву х уравнений с двумя функциями), т . е., в конечном счёте, к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы получить это единственное урав нение, напишем, например, условие отсутствия вихря, выражая Vx И Vy через v и р.' dv sin р dv cos р _ - " дх ду \ • > Помня, что теперь v и р связаны соотношением (11.1), мы можем, далее, выполнить дифференцировани е и написать или, так как по (10.3) dv - = v t g z (мы имеем дело с характеристико й второг о семейства), где а -уго л Maxa, мы можем написать, после просты х преобразований: ^ r + t g ( P + " ) ^ r = 0 (11.3 ) [здесь а - функция v по (9.22), a v - функци я от р по (11.1)]. Это уравнение в частных производных первого порядка интегри руетс я и даёт: P = f ( y t g ( P + a)A:), (11.4 ) где F - произвольная функци я своего аргумента, каковая может §11] И С П О Л Ь З О В А Н И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К П Р И V > £>( 6 3 быть определена, если задан конту р АС; достаточн о написать, что на данной линии A C [3 есть данная функция от координат л: и у . Итак , если отрезо к AB характеристик и в задаче 3 есть прямая линия, то движение внутри треугольник а ABC может быть найдено совершенно точно. Стоит тольк о после того, как F из (11.4) известна, решит ь (11.4 ) относительно fi; мы по лучим р, а затем по (11.1 ) и г" в функ циях от х и у . Мы еще не ра з вернёмся к этом у вопросу . Рис. 18. Рис. 19. Перейдем к решению задачи 4. Пуст ь скорост и заданы вдоль некото -/ рой дуг и AB характеристики , например второг о семейства, и пуст ь известно, что А лежит на свободной границе потока. Над о найти форму свободной поверхности AC и движение между AC, AB и отрезком В С характеристик и первог о семейства, проходяще й через В (рис. 18) . Нанесём на AB ряд точек M1, M2, . .. Проведё м через точку А элемент прямой, направленной вдоль известной в точке А скорости; это т элемент примем за элемент свободной поверхности, проходящей через А. Проведём затем через M1 характеристик у первого семейства д о пересечения с этим элементом в точке Af1. На свободной поверхности величина давления р будет всюду одна и та же (эт о определение свободной поверхности), значит, величина v скорост и всех точек свободной поверхности , по уравнению Бернулли , будет всюду одинакова. Построи м поэтому в плоскости (vx, Vy) кру г радиуса V = V1, где - именно это постоянное значение. Чтобы определить направление скорост и точки Af1, достаточно будет теперь , так как AZ1 лежит на свободной поверхности, найти в плоскости ( v x , vy) точк у пересечения Ni эпициклоиды первого семейства, идущей из точки M1 , координат ы которой суть известные компо ненты скорост и точки M1, с окружность ю v = Vt (рис. 19). Определи в 6 4 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 скорост ь в точке N1, построим продолжени е свободной поверхности как отрезо к прямой, направленной вдоль этой скорости , затем из Ni проведём элемент характеристик и второго семейства д о пересечения в точке AZ2 с элементом характеристик и первого семейства, идущей из AI2. Скорост ь N2 найдётся ка к точка пересечения эпициклоид ы первого семейства, проходяще й через Al2 |изображени е Al2 в плоскости г"у)]> и эпициклоиды второг о семейства, идущей через A/J. Зная скорост ь в N2, проводим характеристик у первого семейства до пересечения с элементом свободной поверхности в точке Pi и т. д . Задача будет решена. Прежд е чем приступить к приложениям к конкретны м задачам газовой динамики, скажем нескольк о слов об оценке погрешност и излагаемого здесь метода. Нетрудн о убедиться, что решение всех наших четырёх задач основано на умении пользоваться следующими двумя операциями, - назовём их А и Б. Операция А. Даны скорост и Vjc н v в двух соседних точка х AI1 и AI2 плоскости (х, у). Найти скорост ь в точке N пересечения ха рактеристи к разных семейств, выходящи х из Al1 и Al2 соответ ственно. Чтобы проделат ь эту операцию, достаточно найти точк у пересечения эпициклоид разных семейств, выходящих из AlJ и AI2 [точки плоскости (Vjc, vy), координат ы кои х суть заданные компоненты скоросте й точек AI1 и M2 соответственно]. Операция Б. Скорост ь в точк е M плоскости (х, у) известна. Дан а линия L, не являющаяся характеристико й (точка Al лежит вблизи неё) н такая, что на ней мы знаем направление (или величину) скорости . Найти величину (или направление) скорост и в точке N встречи характеристик и AIiV, идущей из Al, с линией L. Здес ь достаточно в плоскости (vx, vy) разыскат ь точку Al' с координатами, равными данным в точке AI значениям Vjc и Vy, и провести через Al' эпициклоиду до пересечения с радиусом-вектором , параллельным направлению скорост и в N' (или до пересечения с кругом, отвечающим известной величине скорост и в N'). Дл я примера рассмотрим подробнее операцию А. Точно мы можем провести лишь половину этой операции : мы можем найти точку N', т . е. скорост ь в точке N; положени е последней точки нам, однако, неизвестно, ибо вид характеристи к в плоскост и (х, у) заранее неизвестен. Мы можем, однако , построить отрезк и касательных к характеристика м в точка х AI1 и Al2 [по формулам (9.13) и (9.14)]. Эти отрезк и мы и принимаем приближённо за характеристик и M1N и M2N (рис. 20). Пересечени е этих отрезко в даст точку N", а не N, но мы можем в случае одно-одиозначной зависимости между vx, Vy и л , у заключить каждую из кирволинейных дуг характеристи к в некий угол и таким образом оценить погрешность, получающуюся оттого, что вместо N мы взяли N'. Дл я этого, пользуясь упомяну §11 ] ИСПОЛЬЗОВАНИ Е ХАРАКТЕРИСТИ К ПР И V > £>( 6 5 то й однозначно й зависимостью , над о лиш ь доказать , что делаетс я без особог о труд а (см. уравнени я эпициклоид) , что накло н каса тельной к характеристик е монотонн о меняетс я вдол ь соответствую щег о участк а характеристики ; есл и эт о так , то , прэвед я чере з Mi отрезо к прямо й M1N"*, параллельны й направлени ю касательно й к одно й из; характеристи к в N [эт о направлени е мы може м вы числит ь заранее , хот я положени е точк и N в плоскост и ( х , у ) неиз вестно , совершенн о точно , использу я (9.13 ) или (9.14 ) и найденну ю Рис. 20. Рис. 21. касательно й к друго й характеристик е в N, мы може м утверждать , что криволинейна я дуг а M1N характеристик и лежи т вся внутр и угл а l_ NiM1N'*, а дуг а M2N-внутри угл а /_ NtM2N". Таки м образом , точност ь вычислени я зависи т лиш ь о т близост и точе к Al1 и M2. Решение всех приведённых здесь задач производится при помощи построения в плоскос ти ( х, у) характеристик обоих семейств, проходящих через точки, в коих скорости известны. Мы ссылались при этом всё время на формулы (9.13) и (9.14), позволяющие всегда проделать расчёт направлении ^ 1 или у2Хотя этот расчёт и элементарен, он требует всё же неприятных выкладок - извлечения Корней и т. п. Буземан дал графический приём быстрого определения направления характеристик в плоскости (х, у) (в тех точках, где скорости уж е известны). Пусть скорость точки М(х, у) плоскости (х, у) будет V (f х , V у). Отметим в плоскости точку \vx> vy) с соответствующими координатами и проведём через M' эллипс с центром в начале и с полуосями, равными а, и ^ i i а" соответственно. Легко видеть, что таких эллипсов будет, вообще говоря, два (рис. 21). Покажем, что большие оси этих эллипсов окажутся как раз параллельными характеристикам, проходящим в плоскости (х, у) через точку M (оси O x и Vx всегда параллельны). Чтобы доказать это, представим себе, что вектор скорости V точки M разложен на две составляющие: Vz по касательной к характеристике (например, первого семейства), проходящей В плоскости (X, у) через М, и Vn - по нормали к этой характеристике 5 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 6 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 В плоскости (х, у). Мы знаем, что I V"| = а. Обратимся к уравнению Бернуллн (8.7) и заменим в нём а 2 иа Vr^ , а и2 иа V2 + V2. Тогда, собирая члены прн v\ и V2 и деля на J ? , n получим соотношение V n 2. ("А 1) (11.5) Спроектируем теперь радиус-вектор OM ' = IV j иа большую ось одного из проведённых нами эллипсов и на перпендикуляр к ней. Пусть первая проекция будет Vv а вторая v". Тогда по самому построению эллипсов будет Wl1/ al : 1. Так как, с другой стороны, для точки M ' имеем V2 = a2 + t>2, то ве личины V1 и t'2 удовлетворяют тем же двум линейным уравнениям, что и величины V2 и V2, и поэтому можио положить "т = Vv v" = Vn. Следовательно, направление большой оси нашего эллипса будет совпадать с направлением характеристики, идущей через М, а направление малой оси - с направлением нормали к этой характеристике. Изложенный здесь способ построения характеристик в плоскости (х, у) годится, естественным образом, ие только для безвихревого, но и для вихревого случая, ибо он основывается на равенстве | Vn [ = а, одинаково справедливом в обоих этих случаях. Эллипс, о котором здесь идёт речь (назовём его эллипсом Буземана), может быть заготовлен раз навсегда на прозрачной бумаге (или на целлулоиде); совместив его центр с началом координат, будем поворачивать его вокруг начала до тех пор, пока точка M', дающая в плоскости (vx, vy) скорости точки M1 ие окажется на эллипсе; иам останется тогда лишь снести направление большой оси эллипса в этом его положении на плоскость (х, у) - направление характеристики, проходящей через M1 будет найдено. Направление второй характеристики найдётся как направление большой оси второго возможного положения эллипса. Эллипс Буземана позволяет построить также и характеристики в плоскости (v c , Vy), т. е. эпициклоиды. В самом деле, мы видели [формулы (10.1), (10.2)], что характеристики плоскости (vx , Vy) (эпициклоиды) будут ортогональны к характеристикам (другого номера) плоскости (х, у). Направление большой оси эллипса Буземана совпадает с направлением характеристики в плоскости (х, у) - значит, направление малой его оси (ортогональной к большой оси) будет совпадать с направлением эпициклоиды (другого семейства). Поэтому, чтобы построить элемент эпициклоиды, проходящей через M', нам достаточно провести через M ' эллипс Буземана н затем построить элементарный отрезок, выходящий из Al' и параллельный малой оси эллипса (рис. 22). Вторая эпициклоида найдётся при построении вто §11 ] ИСПОЛЬЗОВАНИ Е ХАРАКТЕРИСТИ К ПР И f > ч , 6 7 рого Возможного положения эллипса. Отсюда получаем способ построения всех эпициклоид плоскости ( vx , Vy) при помощи эллипса Буземаиа. Поместим иа эллипсе Буземана, находящемся в произвольном положении, ряд точек и проведём через эти точки отрезки, параллельные малой оси эллипса (рис. 22); повернём затем эллипс на малый угол и, отметив точки пересечения его с малыми отрезками, построим в этих точках новые элементарные отрезки, параллельные новому положению малой оси эллипса. Продолжая построение дальше (причём вращать эллипс придётся как по, так н против часовой стрелки), заполним всё кольцо Cs < v < у а , эпициклоидами. Спосо б использовани я характеристи к дл я приближённог о решени я плоски х безвихревы х зада ч пр и v > а, , изложенны й в это м параграфе , бы л приспособле н дл я ручног о счет а и широк о применялс я до появлени я быстро действующи х электронны х вычислительны х машин . Дл я вычислени й с помощь ю электронны х машин спосо б это т неудобе н тем, что в расчё т входят тригонометрически е функци и (это за ставляе т обращатьс я к большом у числу под програм м и требуе т много машинног о времени) . Рис. 22. В самом деле , рассмотрим , например , вновь операци ю А . Вдол ь характеристи к выполняютс я соотношени я (9.23 ) и (10.3) . Эт о значит, что мы може м написать в точк е Al2 (рис . 20 ) дл я характеристик и 1-г о семейства : (3/4 = 3/43/4 + 3/4)' гд е постановк а индекса 2 означает , что соответствующа я функци я взята в точк е Al2. С друго й стороны , в AI1 имеем дл я характери стик и 2-г о семейства : (3/4-**.-.) (индекс 1 относитс я к значениям в точк е Al1). Заменя я производны е конечными разностям и (это фактическ и мы вс е время и делали) , мы найдём координат ы (х*. у*) точк и пересечени я наших характеристи к из соотношений : Y*-Y 2 = TG(P2 + %)(X * -X 2 ) , (4.6 ) У* ? ! = 3/4 ( P l (X--X 1 ) . (11.7 ) В то ж е врем я по (10.3 ) имеем: P ' P , = ( * • _ < * ) . (U.8 ) P t P r = ^ ( ^ V 1 ) . (U.9 ) 5 * 6 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 где р*. v' - значения этих функций в точк е ЛГ . Таким образом, х*. у*, р*. V* определяются из системы линейных уравнений (11.6) - (11.9). а коэффициенты этой системы содержа т тригонометрические функции. Элсрс 1J предложил приспособить расчеты с помощью характе ристик для электронных вычислительных машин следуюшим обра зом. В качестве искомых величин следует принять не " и р (о, Р), а две новые величины Y = ctga , 8 = tg р. (11.10 ) В этих новых величинах соотношения на характеристика х (9.23) примут вид: В то же время по (9.22) = Y ^ y d x - (Ч-Ч ) а2, х- 1 2 1 V2 % + 1 ~ у. + 11 4f ' так что, после элементарны х выкладок , мы получим *L= I d l u ^V = 2 Ы (1 + и dp = d'1Поэтом у (10.3) запишется в следующем виде: Коэффициенты в (11.11) , (11.12)-алгебраически е функции. Сам расчёт следуе т проводить итерациями. Именно, если дл я сокращени я письма ввести обозначения: -,о 41 _ Л fb 41 _ л Y t ' -, + 5 F = 2-[2/(1 4 1 + < к _ 1) f i E = (1 + S 2 )" 1 , то мы можем написать (рассматриваем операцию А) в первом приближении у* - у2 = O2 ( х * - -1/2); У* >'i - ( х * - x O . (3 ' b 2 ) E , = ( f l 2 ) F 2 ; (о ' S 1 J f 1 = ( f 7 , ) F i ') E h. i е г s, The method of characteristics for isoenergettc supersonic flows adapted for high-speed digital computers, J. Soc. Ind. a. Appf. Math. 7, 1959. Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А В Н Е В Ы П У К Л О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 6 9 решая эти уравнени я относительно х' , у*, В*, т*: ,." УI - У2 + O2X2 ~bjXI <22 - У* = У] Hby (х* - X1), (11.13 ) f " • + b. f i) + Л ("2Дг ТаЛ) -_ д . " * E2Ft +E1F2 • ' F1 (11.14 ) Посл е того как первое приближение построено, надо перейти ко второму приближению, вычислив значения a*, b*, E*, F* (по первому приближению) и вставив в формул ы (11.13), (11.14 ) вместо F1 + F* F2 + Ft 2 ' 2 величины соответственно. Таким а2 + а* ", + Ь* E1+ Е* 2 2 2 образом, получим новые значения х, у, о, f повторять до тех пор второе приближение. Этот процесс нужно пока не буде т достигнута требуема я точность, На протяжении этого параграфа мы говорили нескольк о раз относительно ограничений, при которы х наши рассуждения были справедливы. Так , например, мы считали, что в участках , нас инте ресующих , не возникало поверхности сильного разрыва, мы предполагали одно-однозначное отображени е плоскости (х, у) на плоскость (vx, Vy) (что существенно был о при оценке погрешности приближённого метода). В § 20, где мы будем говорить о движениях, происходящи х в одной части плоскости с дозвуковыми скоростями, в друго й - со сверхзвуковым и скоростями , мы вернёмся, следуя Христиановичу, к детальному и строгом у обследованию всех случаев, которы е могут представитьс я в сверхзвуково м поле; а сейчас перейдём к конкретному рассмотрению отдельных простых примеров. § 12. Движени е газ а вне выпуклой поверхности . Обтекани е угла , большег о чем я . Выхо д из отверстия . Движени е внутри трубы . Сопло Лаваля. Рассмотри м некоторы е движения со сверх звуковыми скоростями . Предпола гаем, как в предыдуще м пункте, отсутствие сильных разрывов . Начнём с задачи о движении газа вокруг искривлённого контура , выпуклость которог о всегда направлена в сторону газа. Пред положим, что конту р предста вляется при х < 0 в виде отрица тельной оси Ох , а при х > 0 - в виде кривой, лежаще й "под" осью положительных х-о в и так, что Рис. 23. касательная к этой кривой меняется непрерывно и в точк е О совпадает с осью Ox (рис. 23). Вдоль оси Oy поток безграничен. Считаем, что поток, бегущий над прямолинейной частью контура , постоянен по величине и направлению и имеет скорость , по величине большую 7 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 скорости звука. Пусть в этой области Vx = г>, > я* ; Vy = 0. Проведём характеристику первого семейства через точку О . Характеристика первого семейства OA, проходящая в плоскости (х, у) через точку О, будет, как мы уже знаем, прямой линией [всем её точкам будет отвечать в плоскости (vx, Vy) одна и только одна точка M'(V1, 0)], значит, во всех её точках y j будет иметь одно и то же значение. Чтобы найти движение "вправо" от характеристики OA, напомним, что вследствие постоянства скорости на OA, по сказанному в предыдущем параграфе (задача 3), мы будем здесь иметь не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но и вообще С + P = Conet. во всей части плоскости, ограниченной контуром и характеристикой OA. Это значит, что скорости этой части плоскости все расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, проходящей через M' . Проведём эту эпициклоиду. Чтобы иайти теперь скорость в какой-либо точке M 1 контура, достаточно провести в плоскости (Vx. Vy) радиус-вектор , параллельный касательной к контуру в точке M 1 ; пересечение M1 этого радиуса-вектор а с проведённой эпициклоидой и даст искомую скорость . Зная M 1 , мы можем найти направление элемента характеристики первого семейства, выходящей из M1, в плоскости (х, у). Однако легко видеть, что вся характеристика первого семейства, выходящая из M1 , будет прямой линией, так же как и характеристика OA. В самом деле, перемещаясь в (х, у) вдоль характеристики 'M1A1, мы будем пересекать различные характеристики второго семейства (не обозначены на рисунке), но в плоскости (vx, vy) всем этим различным характеристикам отвечает, как мы знаем, одна-едииственная эпициклоида второго семейства, проведённая нами через M' , скорости вдоль M1Zl1 найдутся поэтому как пересечение эпициклоиды первого семейства, проходящей через M1 , и всегда одной эпициклоиды второго семейства, идущей через M' , т. е. все скорости вдоль M1A1 будут равны по величине и направлению скорости точки M1 , а отсюда и заключаем, что M1A1 есть прямая линия. Таким образом, все характеристики первого семейства в нашей задаче будут прямые лиси I (характеристики второго семейства будут, конечно, криволинейны). Отметим, что, как в этом легко убедиться из рассмотрения эпициклоиды, выпуклость контура ведет к тому, что, по мере продвижения вдоль контура "вправо", мы будем встречать всё большие Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А В Н Е В Ы П У К Л О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 7 1 и большие значения скорости , причём характеристик и первого семейства буду т становиться всё менее и менее наклонными к оси Ох . Рассмотрим теперь задачу об обтекании угла. Предположим, что контур при х < 0 совпадает с отрицательной ветвью оси Ох , а при х > 0 имеет уравнение у = - tgPo * (рис. 24); по-прежиему над горизонтальной стенкой •vx = vi( >"*) ; (r)у = 0, и мы можем провести характеристик у первого семейства OA , построив предварительно точку M ' ((r)j, 0) в плоскости (vx, Vy). Далее , начинается обтекание угла, причём поток должен в конечном счёте пойти вдоль стенки OB (рис. 24); чтобы найти величину скорост и этого нового потока, достаточно найти пере сечение N' характеристик и второго семейства, проходяще й через M', с ра диусом-векторо м в плоскости (vx, Vy), параллельным направлению OB . Опреде лив N', проведём характеристик у первого семейства ОС. Мы можем сказать, что в угле СО В поток буде т обладать всюду постоянной скоростью , параллельной линии OB . Поворот потока совершается, таким образом, внутри угла AOC. Пучок прямых, выходящи х из О (в том числе OA И ОС), представит там характеристик и первого семейства, причём во всех точках каждой такой прямой, выходящей из О, скорость будет иметь одно и то ж е значение, легко опреде ляемое из рассмотрения эпициклоиды второго семейства, проходяще й через M' . Движение внутри угла AOC легк о построить при помощи (11.4); именно, для обтекания точки будем иметь просто y x t g ( p + a) = 0. (12.1) С другой стороны, по (10.6), в нашем примере будет Р + в = и с t g / I l f c t g a + Ч ^ . Ч } / " a r c t g | / " ^ l c t g a 1 , (12.2) где OT1- угол Маха, отвечающий скорости Vi (когда P равно нулю), т . е. угол между прямой OA и осью Ох, причём на основании (9.22); х + 1 Iai. \2 х- 1 7 2 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 Н о (12.1 ) можн о записать так : = tgf l Р-(а = 8, (12.3 ) !-де 0 - полярны й угол в плоскост и (х, у), отсчитываемы й от оси Ox против часовой стрелки . Введе м ещ е уго л B1, отсчитываемы й по часо вой стрелк е о т некоторо й новой полярно й оси из условия : B1 = а , • + ) / " ^ arc Ig а : -0 . Тогд а (12.2 ) и (12.3 ) дадут : / 3/4 arc I g Z ^ c t g a = S (12.4 ) (12.5 ) П о этой формуле , вспомина я выражени е дл я ct g а (10.4) , можем найти величин у скорост и на каждо м радиусе-векторе , проходяще м чере з начало . Уравнени я линий ток а в полярны х координата х будут : dr rdO, "9, Рис. 25. (г - радиус-вектор , Vr - проекци я ско рости на радиус-вектор ; г>9 - проек ция скорост и на перпендикуля р к радиусу-вектору) ; пр и этом , та к ка к радиус-векто р есть в то ж е врем я характеристика , а уго л межд у скорость ю и характеристико й есть а , то и мы можем написать dr = Ctg а , откуд а дл я линий ток а окончательн о получим : i+ i • = ^ 0 (co s 6 O гд е г 0 - радиус-векто р точки , в которо й O1 = O. Н а рис . 2 5 сплошным и линиями изображен ы дв е таки е линии тока . Полярна я ось расположен а в области , в которо й происходи т Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А ВНЕ В Ы П У К Л О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 7 3 •:шё прямолинейное движение. (Все продолжения линий тока образую т угол тс/2 с осью B1 = O, ибо при S1 = O буде т по (12.5 ) а = тс/2.) Найдём ещё крайнюю характеристику , после которой начинается обтекание стенки у = - t g ролг. Е ё угол Маха а 2 будет удовлетворят ь уравнению " 2 -Р о = / ~ £ r r t g a 2 ) a r c l g ( / " ^ l g a 1 ) ] + a 1 , а соответствующее 8 найдётся по формул е 6 = 3/4 3/4 . В том случае, если стенка у = - tg(30.x: отсутствуе т и газ выры вается под давлением рх, сзязанным с Vi уравнением Бернулли , в сред у с давлением р2, причём Р2<Р[, поток газа буде т поворачиваться и скорость его буде т расти до те х пор, пока не станет равной величине V2, получающейся из уравнения Бернулл и при данных & и I0. Тогда для последней характеристик и получим значение a = O2 из соотношения (9.21 ) ( а 2 - скорост ь звука при V = V2): а sin OL2 = - V2 Пр и этом угол B1 наклона струи газа после поворота вокру г обтекаемого угла найдётся по формул е (12.4 ) в виде: =/1 3/4 /S r t^ / ; 3/4 Наибольше е значение получим, когда газ вырывается в пустоту; здесь а.2 = P2 = O2 = O: Если р 2 > P 1 или если после угла О (рис. 24) газ должен дви гаться вдоль стенки у = t g р0лг, где it/2 > P0 > 0, наступает явление G L сильного разрыв а (см. § 13). Рассмотрим задачу об истече- Ри с 2 6 нии газа из отверстия . Пусть газ вырывается из отверстия (две параллельны е прямые), причём скорость движения у места выхода AB (рис. 26) имеет ком поненты V x = Vi-, V y = O-, v I "> a i > 0 Ial - местная скорост ь звука). Построив точк у NV ((c),, 0) в плоскости (vx, vy) (рис. 27), проведём через А характеристик у 7 4 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 первого семейства в плоскост и (х, у), а через точк у В - характери стику второг о семейства (рис. 26). В угле BCA имеем по-прежнему поток с Vx = Vv Vy = O. Пусть давление в пространстве, в которо е выходит газ, буде т р2. Построим в плоскости ( v x , vy) круг радиуса V2. определяемого из уравнения Бернулл и при р = р2. Двигаясь по эпициклоиде второго семейства, проведённой через M' , дойдём до этого круг а в точке N' и таким образом узнаем направление скорости после обтекания точки А. Аналогичным образом , привлекая эпициклоиду первого семейства, проходящу ю через M' , найдём скорост ь P ' окол о точки В (вообще мы, оче видно, будем иметь симметрию по отношению к оси отверстия). Зна я N' и P', проведём харак теристики AD и BE и заполним углы CAD и CBE пучками характеристи к (см. предыдущу ю задачу). Пусть CD и CE буду т криволинейные отрезки характеристи к второго и первого семейства соответственно, выходящие из С. Из рассмотрения движения в угла х мы будем знать эт и линии, а такж е будем знать скорости вдоль них. Поль зуясь способом, изложенным в задаче 2 предыдущег о пункта, мы найдём теперь движение в кри волинейном четырёхугольник е ECDF [точке F отвечает точка Q' плоскости (vx, vy)\ (см. рис. 27). Уменье решат ь задачу 4 нам даст затем возможность найти движение в области ADO (и ВЕН), где DG (и EH) - характеристик а второго (первого) семейства, проведённая через D (E), причём попутно мы сможем найти форм у свободной поверхност и AG (BH)1). Определи в скорости на DG и DF (EH и EF), можем, решая задачу 2, найти движение в четырехугольник е DGKF (FEHI), где FK (FI) - характе ристика второг о (первого) семейства, выходящая из F, a GK(HI) - характеристик а первого (второго) семейства, идущая из G (H). Затем решаем задачу 4 для области GKL(HIM), причём попутно определяем и свободную поверхность (на этот раз криволинейную) и т. д . Мы предоставляе м читателю разбо р детале й этой задачи. Мы получим здесь, по-видимому, картин у периодического сужения и расшире ния струи , причём максимальная скорост ь достигается внутри струи. Картина эта в общем хорош о согласуется с данными экспе римента. Рассмотри м теперь задачу о движении внутри трубы . Предположим , что в некотором, может быть, криволинейном, сечении труб ы AB поле ') Легко убедиться, что это будут отрезки прямых, а всё движение-• плоскопараллельным потоком со скоростями, равными по величине V2. Д В И Ж Е Н И Е Г А З А В Н Е В Ы П У К Л О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 7 5 скоросте й нам известно (рис. 28). Решае м сначала задачу 1, строя последовательно и поле скоросте й и все характеристик и (в том числе и крайние характеристик и AC и ВС), выходящие из точек отрезк а AB. Между характеристико й AC(BC) и стенкой решаем задачу 3, в ре зультате чего находим поле скоростей и характеристик и (в том числе крайнюю -СЕ (CD)) области АСЕ (BCD). Решае м далее задачу 2 дл я области ECDF (DF - характеристик а первого семейства, идущая через D, EF - характеристик а второго семейства, проходяща я чере з Е) и т. д. Большой практический интерес предста вляет построение так называемого сопла Ла заля. Здес ь речь идёт о получении в трубе , в лабораторной обстановке, сверхзвуковог о потока , который был бы в некоторо й области труб ы постоянным по величине (заданной зара W7W0 Рис. 28. нее) и направлению. Задача эта распадается на две части: во-первых , требуетс я получить сверхзвуково й поток, во-вторых , надо сделать этот поток равномерным. Получени е сверхзвуковог о потока основывается на том факте , что если мы находимся за пределами крити ческой скорости, то при увеличении скорости трубк и ток а буду т расширяться (в то время как при дозвуковы х скоростя х трубк а тока тем уже , чем больш е скорость) (см. § 8 этой главы). Если поэтому нам удастся, всё увеличивая скорост ь вдоль труб ы (путём сужения трубы), достигнуть в некотором сеченни труб ы критической скорости и если затем мы заставим нашу труб у в направлении потока расширяться , то мы и окажемс я в области сверхзвуковы х скоростей. Как практически это достигается, мы разберё м позже (§ 21), тогда же мы увидим, каког о рода трудности здесь встречаются. Сейчас ж е предполагаем, что, например, A0B0 (рис . 29) есть сечение труб ы (ось труб ы совпадает с осью Ох) , в котором скорости равны крити ческой. Плавным расширением добьёмся того, что на оси труб ы Рис. 29. (последнюю мы считаем симметричной относительно оси Ох ) получится нужная нам величина скорости . Предположи м при этом, что в нашей труб е не возникло никаких поверхностей сильного разрыв а (см. § 21). Пуст ь нужная нам величина скорост и получилась в точке А на оси Ох . Тепер ь попробуем сделать так, чтобы, начиная от некоторог о сечения трубы , скорост и всех точек были далее направлены вдоль оси труб ы и равны в точности -U1. Нам придётся для этого подобрать форму контур а трубы , начиная от некоторой точки. Именно 7 6 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 обратим внимание на точку В контура трубы , находящуюся на харак теристик е второго семейства, проходяще й через ту точк у А оси трубы , в которо й мы уж е получили нужную нам скорост ь Пуст ь M1, M2, . . . суть точки пересечения этой характеристик и с густой сеткой характеристи к первого семейства. В плоскости (vx, vy) точкам В, M1, M2, . . . , А пусть отвечают лежащи е на одной и той ж е эпициклоиде второг о семейства точки В , Mi, M2 А' (рис. 30). Мы желаем получить "справа" от А поток, параллельный оси Ox и имеющий повсюду скорост ь г",. Но тогда характеристик а первого семейства, проходяща я через А, должна оказаться строго прямолинейной, и направление её известно. Тогд а в соответствии с тем, что мы уж е говорили при решени и задачи 3, и все характеристик и первого семейства, выходящи е из Al1, Al2 такж е буду т строг о прямолинейны. Это означает, что скорости всех точек, лежащи х на характе ристике, идущей из M1, например, буду т равны но величине и направлению скорост и точки Al1 . Достаточн о поэтому проделать следующе е построение: в точке В продол жаем стенк у по касательной до пересечения в точке С с характеристико й Al1C (прямой). О т точки С мы должны затем направить стенку параллельн о скорости з M1 (т. е. параллельно лучу с характеристико й OAll l PHC. 30) и идти так до пересечения в D M2D; начиная от £>, направляем стенку парал и т . д. Та к мы дойдём, наконец, до точки E (лреилсь.но29л),учпуослOе Mч2 его контур следует взять параллельным оси Ох. Заметим , что отношение ширины рабочего сечения труб ы к ширине критического сечения мы могли бы получить заране е из условия равенства количества движения в этих обоих сечениях: F*?*^ = /=P1D1 (F& - ширина критическог о сечения; р* - критическа я плотность; F - ширина сечения с потоком ^ 1 ; P1 - плотность при скорости (c),). В таблице на стр. 54 нами были даны значения р^/р^я * в функция х от числа давления, или, если угодно, от vja^, . § 13. Движени е газ а окол о вогнуто й поверхности . Образова ние сильног о разрыва. Движени е внутри угла , меньшег о чем я . Обтекани е профиля с остро й передне й частью . Пуст ь газ движется вдоль контура , который при л: < 0 совпадает с осью Ох , а при л: > О I 131 Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А О К О Л О В О Г Н У Т О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 7 7 представляется в виде кривой, угол наклона касательной к которо й есть, по крайней мере, в некоторо й области окол о О непрерывная, монотонно возрастающая функция х. Касательная к контур у в точке О совпадает с осью Ох . Поток, бегущий над прямолинейной частью контура , имеет постоянную по величине и направлению сверхзвукову ю скорость: Vje = V1 > a* , Vy = 0. Ско рость эту отметим в плоскости Vy) в виде точки M ' оси Vx и прове дём затем характеристик у первог о семейства через точк у О (рис. 31). Эта характеристик а буде т прямой линией. Прямыми буду т такж е и все остальны е характеристик и первого семейства, выходящие из различных точек M1, M2, • • • контура . Различие по сравне нию с задачей обтекания выпуклого контур а заключается, однако, в том, дем подвигаться по контур у от точки Рис. 31. что чем дальш е мы бу 0 , тем круч е по отно шению к оси Ox буду т становиться характеристики . В самом деле, перемещаясь по контуру , мы в плоскости (vx, Vy) будем двигаться по эпициклоиде второго семейства, проходящей через M ' (см. первый из разобранных в предыдуще м параграфе случаев), причем точки M1, M2, ... , изображающие на эпициклоиде скорости точек О, M1, M2, ... , получаются путем пересечения эпициклоиды с радиусами векторами, параллельными касательным в О, M1, M2, .. . к рассматриваемому контуру ; но тогда, по мере того как мы будем пере мещаться от Mi к M2 и т. д. , эти радиусы-вектор ы будут повора чиваться против часовой стрелк и (вследствие вогнутости контура), сле довательно, характеристик а первого семейства, проведенная чере з M1, буде т наклонена к оси Ox под углом большим, чем характеристика , идущая через О, и т. д. Но если это так, то обязательно найдутся точки, в которы х две характеристик и одного и того же (первого) семейства буду т между собой пересекаться . Так как вдоль харак теристики скорость имеет своё постоянное значение, то в месте встречи двух таки х характеристи к мы получим, груб о говоря, два разных значения скорости . Здес ь наступает явление сильного разрыва . Чтобы найти точку А разрыва , нужно определить предел, к которому стремится точка пересечения характеристики , проходящей через О, и характеристики , идущей через M1, когда M1 приближается к О . Уравнение характеристик и OA будет у = у;(0 , 0)х , (13.1 ) 7 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 где у ч0, 0) обозначает у ' в точке х = у = O(O); уравнение характеристики M1A будет у -Ду 0 = у;(Дл:0, Ду 0 )( х -Дх 0 ) , (13.2) где Ax0, Ay0 - координаты точки Al1 контура. Выразим координаты вдоль контура - х 0 , у0 - параметрически через угол р наклона кривой к оси Ох\ тогда у, вдоль контура будет функцией одного (3; определим хА (абсциссу А) из системы уравнений (13.1), (13.2) (ищется точка пересечения): ЛУо - у{ ( 4 3/4 ЛУо)4-*о * А ~ >1(0, 0) у ; (Лл~Л^)~ ' Деля справа числитель и знаменатель на Др (угол наклона контура в точке M1) и переходя к пределу, полагая Др->0 , а с ним и Ax0 -> 0 и Ду0 -> 0, получим = oJ : x A пред " ' Лх" ( f A ) V ^ //PР=о Чтобы найти y j в функции р, вспомним, что где а - угол между характеристикой M1A и линией тока; ио наш контур является в то же время и линией тока, поэтому, вспоминая определение а (9.22), а также принимая в расчёт, что "справа" от прямолинейной характеристики первого семейства OA будет выполняться (10.3) с нижним знаком, получим без труда: / dxa \ 2 sia а0 cos" ар / dx0 \ 2 sin2 a0 cos2 з0 •^<4пред * + 1 ; yA n Pe i - V ):^ 0 где sin а"и = -i-. Прежде чем решать нашу задачу дальше, посмотрим, что будет, когда на контуре имеется угловая точка. Сперва рассмотрим случай, *) Формула эта справедлива только в том случае, когда кривизна обтекаемого KOHiypa будет отлична от нуля в точке О. С. Валландер показал, (Я -°. то разрыв образуется впервые не на характеристике (13.1), а на одной из следующих характеристик. В некоторых случаях разрыв также может образоваться и не на первой характеристике даже при d ^ ФО. ( <*•*() )|3 = 0 I 131 Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А О К О Л О В О Г Н У Т О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 7 9 когда вдоль контур а (рис. 32): у = О при х < 0; у = I g при х > 0 (0 < P0 < т) , где т - некоторая положительная величина, связанная с ^ 1 , о которой будет сказано ниже. Поверхность разрыв а начнется здесь непосредственно у точки О . Пуст ь слева набегает поток = V1 > а*; V y = O. По прохождении поверхности разрыва поток получит новую скорост ь и станет параллельным наклонной стенке . Найдём величину этой скорости , а такж е направление линии разрыва (последняя будет прямой, ибо после её прохождения ско рость опять будет всюду постоянной). Обратимся к плоскости (vx, vy) и в ней проведём гнпоциссоиду (7.14), отвечающую У 4 Рис. 32 Рис. 33. скорости V1. Построи м радиус-векто р AlOi под углом р0 к оси Vx-. точка M i его встречи с гипоциссоидой даст величину скорост и потока наклонной стенки (рис. 33), а описанный в § 7 приём позволит найти направление ON, параллельно е направлению разрыва в О') . Существенн о при этом отметить, что наша задача допускае т решение, о котором мы здесь говорим лишь в том случае, если угол р0 не буде т слишком велик. Именно должно быть ро < где рф - полярный угол в точке пересечения круг а V = Cilt с гипоциссоидой, отвечающей нашему 2 ). ') Из двух точек пересечения прямой ОМ{ с гипоциссоидой одна всегда находится в дозвуковой области (вкутри круга радиуса а Д другая- в сверхзвуковой. Мы выбрали сверхзвуковой режим (точка М\). Эксперимент показывает, что из двух возможных режимов осуществляется именно выбранный нами. Строгого математического доказательства необходимости выбора сверхзвукового режима ещё не имеется. ! ) Если угол P0 будет больше, чем но меньше, чем угол Pmax, образуемый осью Vx с тем радиусом-вектором плоскости ( v x , vy), который касается гипоциссоиды, то можно говорить по-прежнему о движении рас 8 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 Чтобы иметь возможность решат ь задачи обтекания угла при различных значениях Vi, следует изобразить заранее [в плоскости величины V l Ia s t , Vja i i , Vy Ia^ и заменяя в (7.14 ) а 2 через посред ством уравнения Бернулли , получим для этого семейства линий уравнения ^ j l _ ^ ( М 2 = = ^ M 2 ^ r I H . ( 1 3 . 3 ) \ о" / \ о, "" / а, 2 V1 Vx v ' * -f1 а * На рис. 34 изображено это семейство линий дл я различных vja , (сплошные кривые) 1 ) . сматриваемого типа, только теперь скорость после прохождения разрыва станет дозвуковой. Если f> > pmax, то решения рассматриваемого типа не будет - поверхность разрыва отскакивает от точки О (см. ниже). ') Здесь же нанесены пунктиром кривые постоянных значений р0+1р0_ (стр. 43). I 131 Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А О К О Л О В О Г Н У Т О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 8 1 В рассмотренном нами случае угла простота заключается в том, что после прохождени я разрыв а поток становится снова прямолинейным, что линия разрыв а есть прямая и что скачок энтропии всюду постоянен [формула (7.10 ) и т. п.), а потому движени е остаётся безвихревым . Обратимс я теперь к тому случаю, когда стенка совпадает с отрицательной осью Ox при х < 0, а начиная от точки О переходит в криволинейный контур , составляющий в точк е О с осью Ox угол [30, малый, но отличный от нуля ') . Мы предположим дл я большей иллюстративности, что стенка от передней кромк и до некоторой точки M является прямо линейной (её уравнение: у = = t g и тольк о потом начинает плавно переходить в криву ю (рис. 35). Строим ги У////////77 Рис. 35. поциссоиду, отвечающую скорост и K1 набегающего параллельно оси Ox потока, и находим направление разрыва OA окол о точки О, так ж е как и в разобранном уж е случае угла. И з точки M проводим характеристик у первого семейства до пересечения А с построенным элементом кривой разрыва . Вследствие прямолинейности отрезк а ОМ, отрезо к OA линии разрыв а буде т строго прямолинейным, скорост и во всех точка х области OAM будут постоянны по величине и направлению и изобразятся одной точкой А ' плоскости vy) (рис. 36); движение буде т здесь безвихревым, и характери стика MA будет строго прямой линией. Реши м задачу 3 дл я области, [ ) Достаточно взять P0 < где есть угол, о котором речь шла выше. 6 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 8 2 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 ограниченной характеристико й MA, контуром MNn и характеристико й второг о семейства (криволинейной) ANn, проходящей через А. В этой области задача может быт ь решена точно, ибо вдоль MA скорост и всюду одинаковы, так что здес ь буде т выполняться соотношение c(i)+?=const (см. § 11, а такж е § 15). Дале е начинаем приближённое графическо е решение . Нанесём на характеристик е ANn густой ряд точек N1, N2, . . .; им отвечают известные нам точки N1, N'T . . . эпициклоид ы второг о семейства, проходяще й через А', Проведём через точку N1 элемент характеристик и первого семейства N1B до пересечения в точке В с продолжением прямой разрыв а OA . Скорост ь В ' в точк е В найдётся на пересечении с нашей гипоциссоидой эпициклоиды первого семейства, проходящей через /VJ. Зная В' и N'2, построим с помощью их элементы характеристик N2P1 первого семейства и BP1 второг о семейства. Был о бы ошибочно думать, что скорост ь в точке P1 может быть найдена простым пересечением эпициклоиды второг о семейства, проходящей через В' , и эпициклоиды первог о семейства, проведённой через N'r Тако е построени е справедливо лишь для безвихревого движения, а движение, происходяще е справа от поверх ности разрыва и характеристик и ANn, обязательно буде т вихревым. В самом деле, наклон линии разрыв а в точк е В найдётся как направление перпендикуляра, опущенного из точки. О в плоскости (vx, vy) на продолжение прямой Е'В', и так как В' не совпадает с А', то наклон в точке В будет отличен от наклона в О или в А, строг о говоря, уж е начиная от точки А, наша линия разрыв а становится кривой, и тольк о неточность графического метода заставила нас заменить прямой линией OAB криву ю линию разрыва, в т о время как на самом дел е лишь касательная в точке А к линни разрыва совпадает с прямой AB . В соответствии с формулами (7.2 ) и (7.10), д + будет вдоль линии разрыва тепер ь меняться от одной линии тока к другой , начиная от точки А, а тогда в формула х (9.18), (9.19 ) нельзя положить 2 = 0. Чтобы найти скорост ь в P1, обратимся к уравнениям (9.18 ) и (9.19) . Перемещени ю от В до P1 вдоль харак теристик и второг о семейства, выходяще й из В, отвечают изменения скоростей, связанные соотношением (9.19). Заменяя, как всегда, дифференциал ы конечными разностями, пишем: Л(r), = {Ъу)р-(Ру)в, bvx = {vx)p-&*)B> = хР~хВ § 13] ДВИЖЕНИ Е ГАЗА ОКОЛ О ВОГНУТО Й ПОВЕРХНОСТ И 8 3 Вследстви е (9.19) , точк а P j плоскост и (Vj., Vy) с координатам и (Vx)p (Vy)p^ найдётс я поэтом у где-т о на элемент е прямой I 1 , .. ("S Vv2 - а2 Д , , " , , , ^ -ч>ув + -Щ (vx vxB) = ^ У2 ) (Хр, хв). (13.4 ) Пр и S = O мы должн ы был и бы искат ь Vx и Vy на элемент е прямой , проходяще й чере з В ' и параллельно й элемент у эпициклоид ы второг о семейства ; если S Ф 0 , мы должн ы по (13.4 ) искат ь (Kjc)P1 и (Kjf)P1 на прямой , параллельно й той же эпициклоид е второг о семейства , не проходяще й чере з точк у В' . Чтоб ы построит ь эт у прямую , мы дол жны знат ь праву ю часть (13.4) . Туд а входя т известны е в точк е В величины v, а, у'г, Vy и хр -хв. Таки м образом , нам надо тольк о узнат ь 0 _ а2 р d% Ъ 1 ~ T=T T " S p Замени м снова db на Дд и d1!/ на Дф, причё м дл я определени я S в точк е В напишем ; ДЭ = & £ Э Л ; = TOB то , очевидно , там буде т 4> = РЛ У (? ! = ^ p I a ) ; но линии ток а не претерпеваю т разрыва , а тольк о изламываютс я при переход е чере з поверхност ь разрыва , поэтом у можн о положит ь Переход я к определени ю и заметим , что здесь , очевидно, идё т реч ь о та к что надо применит ь формул ы (7.2 ) и (7.10) ; Л( ,* + lT)l _ l LLL( *^v. _-l )П Pl P ^ + I j l L ( X I ) 2а2 1/" P х + 1 . (13.5 ) гд е <рЛ и <рв- угл ы наклона нормал и к линии разрыв а в точка х А и В соответственно . Точк а P 1 (.JCpi, Jip j лежи т на пересечени и характеристик и BP 1 и характеристик и первог о семейств а N^P1. Перемещаяс ь по BPv мы 6 " 8 4 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 будем двигаться в плоскости (vx,vy) по прямой (13.4); перемещаяс ь по ZV2-P1, м ы будем, очевидно, двигаться в плоскости (vx,vy) по прямой , 1 , , /е й W о " Д , V y - VyN, + , ,s (3/4 - ^ j v J = - 2 2 У; (Xpl - XN,). (y^N1 \ "у - /JVi (13.6 ) Но (S) iv j = O1 ибо N2 лежит ещ ё в безвихревой области. Таким образом, перемещение по (13.6 ) есть перемещение по элементу эпициклоиды первого семейства, проходяще й через N2, и мы найдём точк у P ' на пересечении этой последней эпициклоиды с элементом прямой щей из /V3, а С - точка линии разрыва . Скорост ь в С найдётся как точка С ' пересечения прямой (9.18 ) [типа (13.6)1 с гипоциссоидой, скорость же в P2 - как точка P2 пересечения прямой (9.19) [типа (13.4)] с эпициклоидой первог о семейства, идущей из Ы'ъ. Нам придётся в обоих случаях знать S в точке P1; чтобы определить (dS/dty)p t заметим, что изменение dty, происшедше е благодаря перемещению от В к P1, буде т или причём di/ = ^ d x + ^ d y = ? ( v y y ' 2 v x ) d x Д4 = р£ (Vyв _ y'2VXB) (xPi - Хв), Pi х - 1 2о ? = ^ T T + , .. ч 2 С + 1 S2 <Ри>: что же касаетс я Дд, то оно может быть получено интерполированием, ибо, например, изменение 9 В - известно. Нужн о помнить только , что если окажетс я < то надо просто положить Sp1 = 0. Определи в скорости в С и P2, мы можем по указанным выше рецептам найти в этих точках 2 , а такж е построить характеристик и CQ1 и P2Q1. Скорост ь в Q1 (не обозначена на рисунке) найдётся затем как пересечение в плоскости ( v x , vy) элементов линий (9.18) и (9.19), отвечающих точкам С и P2 и т. д. Наша задача, таким образом, буде т решена. Формулы (9.18 ) и (9.19 ) представляю т то неудобство, что в правые части их входит dx; таким образом, мы как бы отдаём предпочтение координате х перед координатой у, в то время как они равноправны. Вспомним, однако, что направление прямой (9.18 ) или (9.19 ) I 131 Д В И Ж Е Н И Е ГАЗ А О К О Л О В О Г Н У Т О Й П О В Е Р Х Н О С Т И 8 5 [где вместо dvx и dvy стоит Vx-(Vx)m. и Vy - легк о опре деляется ; чтобы провести эту прямую, нам, таким образом, доста точно узнать, на каком расстоянии 8 от точки M' плоскости (vx, vy) она проходит. Согласно известному правилу аналитической геометрии, чтобы найти 8, приведём (9.18 ) и (9.19 ) к нормальному виду, умно жая их на Уч У\ K i + , J 1 K i соответственно. З-амечая, что эле мент дуги ds вдоль характеристик и первого семейства буде т -fltSl,2 Но Уч у\у'ч 1 Г ,21/ " ,2 1 Г 72 72 72 72" K i + y 2 v 1+У1 + у? +У1У2 У\Уг и вследствие свойств корне й квадратног о уравнения (9.11) : У1У2 v2 - о2 2 2 \ 2 V i y а ^ 1 + У2 I v 2 _ а 2 \ -, Д " И I ( ! Г К " 2 ) 2 ^ " 2 л 2 Таким образом а У у2 - а2 _ п а* rfln" 0 = | S3 2 f l t i I l 2 : 2 = 1ТГТ Р <гф " (13.7 ) Остаётся тольк о определить, в каку ю сторон у следуе т отложит ь 5, дл я чего достаточн о найти, например, знак проекции 5 на ось Ох . 8 6 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 Рассматрива я (9.13 ) и (9.14) , легк о убеждаемся, что, так ка к S'gn (У1 - У2) = s i ^ n v 2_ a 2 • sig n п Pjc S = sig n {(у; - dx I ') . Дл я практических вычислений удобно , как всегда, ввести безразмер ные величины: ниями V, а, 5, s, связанные с v, а, .. . соотноше v = а, V, а = а"а; I= Ji = P1 а,Щ, 8 = а,8, s = Is, где I - произвольная величина. Замечая , что а? = " Б и заменяя в (13.7) A2 по уравнению Бернулли , мы придем к следующем у выраже нию для 8: 8 = (" + D; 4 х \ * + Т ) (f 2 - 1)3/4 d" -dslt где v,1 = - , fx- 1 9 я ? H 2 х I x + 1 ^ X + 1 " 5-о+НЬ+т costp х 1 | " Изложенная здесь вихревая задача была впервые решена Ф. Фран клем. Нескольк о слов о решении задачи, о которой мы говорили в начале этого пункта. Пуст ь точка А есть первая точка характеристик и первого семейства, выходящей из О, в кото рой образовалс я сильный разрыв (рис. 37). В области между прямой OA , контуром и характеристико й AB второг о семейства, про ходящей через А, мы имеем, вообще говоря, течение с прямолинейными характеристикам и первого семейства. Н о дальнейше е решение задачи ничем не буде т отличаться от реше ния уже разобранной задачи об обтекании углового контура , причём линия AB буде т играть рол ь линии ANn (рис. 35). Рассмотри м теперь пример . Пуст ь на неподвижную пластинку AB , наклонённую под углом p 0 (

а", параллельной оси Ох . Посмотрим сначала, что происходит вблизи пластинки. На д пластинкой, начиная от точки А (рис. 38), поток будет непрерывно поворачиваться до те х пор, пока не станет параллельным направлению пластинки (см. предыдущий пункт : обтекание угла, большег о чем к) ; далее, от точки В пойдёт линия сильного разрыва ; пройдя сквозь неё, поток снова станет параллельным оси Ox (см. начало этого пункта: движение внутри угла, меньшего чем х). Под пластинкой в точке А начнётся разрыв , и поток станет параллельным к направлению пластинки; окол о ж е точки В вдоль характеристик и поток начнёт плавно поворачиваться (обтекание угла, большег о чем я ) до те х пор , пока, пройдя последнюю выходя щую из В характеристику , не станет вновь параллельным оси Ох . Отметим теперь точки £ и О , в которы х линии прямолинейных разрывов пересекаются с край- д ними характеристикам и BE и AD, про ходящими чере з В я А соответственно. Характеристик а EF, идущая через Е, будет , очевидно, играть роль характери стики ANn на рис. 35. Таким образом, от точки E начнётся искривление линии разрыва, образование вихрей и искривле ние характеристик ; аналогичную роль играет характеристик а CD. Таки м обра зом, на больши х расстояниях от пластинки движение буде т носить весьма сложный характер . Так, по Ландау, там должн ы возникнуть дополнительные поверхности разрыва . Мы можем ожидать, что тольк о в области УF < У < УD мы будем иметь сзади пластинки скорости , постоянные по величине и направлению. Заметим при этом, что скорост и буду т различны сверху и снизу от линии, проходяще й через В параллельно оси Ох ; в этом легко можно убедиться из рассмотрения эпициклоид плоско сти ( V x , Vy) и гипоциссоид. § 14. Крыло в плоскопараллельно м сверхзвуково м потоке . Приближённы е формулы Аккерета , Буземана , Донова . Гиперзву ковые движения . Парадок с Эйлера-Даламбер а справедлив не тольк о для несжимаемой, но и для сжимаемой жидкости, но лишь дл я случая дозвуковы х скоростей . Крыло, двигающееся со сверхзвуково й ско ростью, обязательно подвергается действию сопротивления (так называемого, волнового) и подъёмной силы, причём эти силы, вообщ е 8 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 говоря, значительно превышаю т обычные силы, происходящи е за счёт образовани я вихре й в погранично м сло е крыла . Пуст ь крыл о помещен о в пото к сжимаемой жидкости , бегущей параллельн о оси Ox со скорость ю K1 > а". Предположим , что крыл о имеет остру ю передню ю кромк у (поместим на ней начало коорди нат О) (рис . 39) и остру ю заднюю кромк у (точка Р) . Проекци и на оси Ox и Oy сил, действующи х на крыло , делённы е на величину qT, где q = 9lv\j2, a T-"хорда" крыла , т. е. длина OP, обозначим чере з Cx и Cy. Тогда , очевидно, будет : PosinP rfsB- f Л, sin М"н Cy = J f I I " pBcos%dsB+ f p H cosp"rfs " , (14.1 ) (14.2 ) где s - длина дуги вдол ь к контур у с осью Ох , зна к контур а крыла , р - уго л касательной "в" означает, что величина вычисляется в точках верхней части контура , а тура . Угол р положителен , если й Nz ц ~ ~ Рис. 39. " - в точка х нижней части кон откладываетс я против часовой стрелк и от оси Ox и отри цателен, если он отклады вается по часовой стрелке . Касательна я к контур у направлена в сторон у возра стания дуги s . Дуг а s от считывается ка к дл я нижней, так и дл я верхне й ветви контур а от точки О. Чтобы найти ps, мы должн ы отдельн о решит ь задачу обтекани я контура , состоящег о из отрицатель ной части оси Ох , верхне й части крыл а и прямой, па раллельно й оси Ox и выходяще й из P (жидкост ь расположит ь "над" этим контуром) . Аналогичны м образо м рп получится, ка к давлени е на крыле , образующеес я в результат е обтекани я контура , составлен ного из отрицательно й ос и Ох , нижней части крыл а и прямой (парал лельной оси Ох) , выходяще й из Р . Заметим , что если б ы оказалось , например , что дл я всех точе к верхне й части контур а Р " < 0 § 14) К Р Ы Л О В П Л О С К О П А Р А Л Л Е Л Ь Н О М С В Е Р Х З В У К О В О М П О Т О К Е 8? (крыл о лежит "под" осью Ох) , то характеристик а первого семейства, выходящая из О, была бы прямолинейна (так ж е как и все характеристик и первого семейства, начинающиеся в разных точках верха крыла) , и мы могли бы найти в функции от р", т. е . в функции от места на крыле , совершенн о точно. Дл я этого доста точно было бы написать (считаем, что [3,(0) = 0), а затем, решив это равенство относительно г"в, вставить полученное значение Ve в уравнение Бернулл и [например, в (8.10)), и разрешить последнее относительно рв. Аналогично можно был о бы найти если бы оказалос ь Р">0 . В случае, если (рв)0 > 0 и ((Зн)0 < 0, перед крылом образуетс я поверхность разрыва (рис. 35); предположим, что j ф")0 [ < р, и IffJoKP. . 1 W M после прохождения разрыв а скорост и останутся сверхзвуковыми . Наличие кривых линий разрыва, исходящих в обе стороны от О, усложняет задачу, порождая, с одной стороны, искривление характеристи к обоих семейств, с друго й стороны, - вихри. Графический метод, изложенный в предыдуще м пункте, позволяет и здесь решить задачу до конца. Однако , он не даёт готовых окончательных форму л расчёта (для Cx и Cy, например), а заставляет решать задачу для каждого случая отдельно, так сказать, арифметически; кром е того, графический метод может здесь привести к большим неточностям, так как характеристик и MA, M1B и др . (рис. 35) буду т практически почти параллельны линии разрыва АО. Однак о для случая тонких и мало наклонённых к оси крылье в (малые абсолютные значения угло в [Зв и fj") можно провести проме жуточные операции в общем внде и дать готовые формулы , по которым , зная форм у контура крыла , можно найти непосредственно давление в каждой точке крыла , а такж е Cx и Cy. Это было сделано впервые Аккеретом (192 5 г.) для случая, когда углы |р | настолько малы, что членами, содержащим и их квадраты , можно пренебречь по сравнению с единицей (линеаризация уравнений); Буземан и Вальхнер (193 3 г.) дали формулы , учитывающие квад раты углов |(3], наконец, Доно в (193 7 г.) учёл третьи и четвёртые степени углов | р |. Мы изложим хо д рассуждений и окончательные результаты Донова ; попутно мы получим, как частный случай, резуль таты предыдущи х авторов. Рассмотри м произвольную точку А/ на нашей кривой линии раз рыва OQ (рис. 39). В этой точке гидродинамические элементы меняются скачком от значений V_ (O1, 0), pv р,, O1 до значений V + (vx, vy), р, р, &. Любая пара значений элементов "справа" от 9 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 разрыва может быть связана одним соотношением. Уравнение гипоциссоиды (7.14), в частности, связывает между собою Vx и vy, и значит, г" и р. Замечая, что скорост ь после прохождения разрыва в точке N образуе т с осью Ox уго л который буде т иметь тот же порядок малости, что и углы ps контур а крыла, решим уравне ние гипоциссоиды (написанное в координата х v и р) относительно V, представляя v в виде ряда по восходящим степеням р. Просты е вычисления даду т нам (так как мы ищем четвёртое приближение , то мы ограничиваемся здесь и далее членами с P4): " " = ",( 1 ад+ ^ p H ЭД+ • • •), (14.3) где b{ = ( M 2 I ) ' ' ' , b 3 = ( M 2 1)-' / г + ~ M2 + f ( х 1) M " + Зх 2 -12 х + 5 м в (*+1) 2 .., I ' 24 ,У| ' 32 IVI J ' ь ,Ш! , .5 Г 1 I 5 М2 1 1 - 2 9 * М4 1+27* -12*" J . ^ 4 = ( M 2 I ) | - _ ) _ ¥ М 2 J ! М 24 М + I 5 + 5* - %2 + х3 ,. " 5 + * + З*2 - Зх3 . ят п 1 + 16 М ^ T S М Т M = -a, ^ = s-in Uа, С другой стороны, формул а (7.2 ) позволит вместе с (7.10 ) найти отношение bjb x в функции от tgip, a tgcp по (7.11 ) выразится чере з Vx и Vy и, следовательно, по (14.3 ) в виде ряда по Pj v . Производ я выкладки, получим 5): где = + (14.4 ) Z3 = ^ 1 M e ( M 2 I ) " ' " ; I i = ^ j = 1 M 8 (M2 - 1Г 3 [4 + 2 (х 2) м 2 - (*-1 ) M4 ]. Т о замечательное обстоятельство, что ря д (14.4) не содержи т первых и вторых степеней позволяет заключить, что если мы пожелаем ') При разложении в ряд здесь удобно ввести сначала Др = р/р, - 1 и разложить отношение 9/8, по степеням Др (величина того же порядка малости, что и Р), используя лишь (7.2) и (7.10); уже в этом разложении будут отсутствовать члены с Д в первой и второй степени. § 14) КРЫЛ О В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНО М СВЕРХЗВУКОВО М ПОТОК Е 8? учесть лишь первы е и вторые степени (3, отбрасывая члены с (З3 и далее, ка к малые (приближения Аккерет а и Буземана), то мы в праве будем считать 6 N /b 1 = l ; это значит, что в первом и во втором приближениях вихреобразовани е можно не учитывать и считать всюду & = S1 = const . Остановимся несколько подробне е на первом и втором приближениях. Та к как с точностью до малых второго порядка включительно вихрей не будет , характеристик и буду т здесь снова эпициклоидами P' К (-£-) = const . Рассмотрим на нашей линии разрыва OQ какие-нибуд ь точки N1, N2, .. . (не изображены на рисунке) и через кажду ю из них проведём по характеристик е второг о семейства до пересечения с контуром в точках M1, M2, . .. соответственно. Точкам N1, N2, . . . отвечают в плоскости ( v x , vy) точки гипоциссоиды Ni, N2, . . . Так как углы Рдг малы, то все точки Ni, Ni, . . . будут располагаться поблизости от двойной точки гипоциссоиды (р = О, V = V1). Обра тим теперь внимание на то новое обстоятельство, что с точностью до малых второго порядка включительно уравнения гипоциссоиды и эпициклоид, выходящих из точки (Vx = V1, Vy = O), совпадают. В самом деле, для эпициклоиды буде т по (10.3) и (9.22): ' 0 = 0 / d2v\ ( d v \ _ (&Л _ \d" = г", + ^ + . . . ) . Нам остаётс я вставить эт о V3 в уравнени е Бернулли , чтобы найти давление рв в функци и от рв , т . е. в функци и места на контуре . Уравнение Бернулл и "i "-1 V2 * V2 7.1'! уР^ ' "2 I" * - 1 " T + T = X удобн о заране е решить относительн о р, взяв его в виде: ^ M f I J F R ( н , ) (для второг о приближени я надо затем положит ь Вернёмся к третьем у и четвёртом у приближениям. Здес ь нам придётся считать 8 переменным по (14.4) , а тогда, вместо уравнения эпициклоид , на основании (9.24 ) мы должн ы написать вдоль характе ристики NM, например: Прибавим и отнимем в правой части (14.8 ) член - di n ft. Получим : а[ р + с ( f ) ] = "• д щ & •5111 • co s ' J a ^ co s ш &. (14.9 ) Проинтегрируе м тепер ь (14.9) , двигаясь по характеристик е от точки N д о М. Получим : M Sma1COSOI1 f (r)ж . 8 JV ) С sin a COS a -sin a, COS а, й" = г ^ г г V l n X f . / г 1 X ' N § 14) К Р Ы Л О В П Л О С К О П А Р А Л Л Е Л Ь Н О М С В Е Р Х З В У К О В О М П О Т О К Е 8? что мы можем записать ещё, если применить к стоящему справа интегралу теорему о среднем значении в виде: ~ sin a COS а - sin a. COS а, где H -значени е разности ^ ^-! 1 дл я некоторой сред ней точки кривой MN. При помощи (14.10 ) найдём теперь VM В функции от (Зж; для этого нам надо выразить входящие в правую часть (14.10 ) величины через элементы в точке М . Прежд е всего замечаем, что &ж = " 0 . где S 0 - значение Ф на передней кромк е (в верхней области), ибо Ф сохраняется после прохождения разрыв а вдоль линии тока, каковой является линия контура крыл а ОМ. Тепер ь вследствие (14.4 ) мы можем написать 1 п 1 п T = , п ^ | п Т 7 = (P3O P W + '4 (P 4 0 P W + • • • (14.11 ) (как всегда, не выписываем члены, содержащи е (3 в пятой степени и выше); таким образом, наша разность логарифмов выражаетс я через известные величины (/3, I i , JS0) и через угол Pj v . Выразим теперь Рдг + С (v N ja t ) такж е через угол Мы уж е знаем, что с точностью до малых второго порядка включительно изображение скорост и точки N лежит не тольк о на гипоциссоиде в плоскости (vx, vy), но и на эпициклоиде, проходящей через точку Vx = V1, [3 = 0 . Значит, мы можем ожидать, что Рд, f С (vN/aJ = С (v Jat) ^r б. м. третьего и четвёртого порядка. Чтобы найти эти малые третьег о и четвёртого порядка, удобно ввести в рассмотрение величину v, определяемую равенством Разлагая v в ряд по степеням получим: 9 4 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 Где ь'3 = _ (M 2 I)7 ' ' [ 1 + 1 M 2 + ( X 1) M4 + + 3 M 6 ] , ь \ = ( M 2 1 ) 5 + > 2 M 4 + 3 ~ 1 9 2 ; + M 6 + 1 + M a 3 8 " + 7*'-2" ' М ы може м написат ь теперь : = ^ ) + - - - + причём "+"Uu s /и=" , 2 =4-3/4+(3/4 к*. - ft к) рм+ • + (,1г)М й з - + б м 5 ' г о порядка , (14.12 ) 1 \а,) = -\ dv Jv=V = tg ее, - - '• 2b2 ^ \ a j KdvJv=Vl (dv_\3 ^ Iv=V, Итак , мы може м выразит ь праву ю часть уравнени я (14.10 ) чере з чере з H и чере з известны е величины ; при этом (Sjv входи т в степеня х не ниже , чем в третьей . Тщательны й анализ , на которо м мы не мо же м здес ь останавливаться , позволи л зате м Донов у выразит ь (Hjv чере з координат у хм точк и M и чере з величины , характеризующи е накло н и кривизн у контур а в точк е О (на передне й кромке) . Именно , при влека я характеристик у первог о семейств а NS, а такж е исследу я вид линии разрыв а и обеи х характеристик , Доно в показывает , что Pw = Po + ^ 0 ( 7 3/4 + б . м. третьег о порядка , (14.13 ) ^0 = (M 2 -I)-''= . E1 = ^ i M 4 ( M 2 I ) a d^jdx - производная по х от угл а [Зв, вычисленног о ка к функци я одног о х дл я верхней части крыла : Р = Р(ЛГ, уЛх)). § 14) К Р Ы Л О В П Л О С К О П А Р А Л Л Е Л Ь Н О М С В Е Р Х З В У К О В О М П О Т О К Е 8? Н о тепер ь ясно, что член, содержащи й Н , може т быт ь отброшен , ка к имеющий пятый порядо к малости . В самом деле , H имеет сама, ка к разност ь дву х функций , вычисленны х при бесконечн о близки х значениях аргумента , первы й порядо к малости ; величина ж е [Но - имеет по (14.13 ) четвёрты й порядо к малости [(d$/dx)0-мало]. Вставля я (14.13 ) в правы е части (14.11 ) и (14.12) , внося эти выражени я в свою очеред ь в праву ю часть (14.10) , получим , соби рая члены: _ Г ~ *4 _'Mh-"з)104 L ь\ > 3 e I / h ~ 6 з , s i n a I c o s a I \ " з / rfP \ I - 2Ч\ 4, + х 1 ^lxMPo\dx J o + ••• Реша я эт о уравнени е относительн о vM и выписыва я члены до четвёр тог о порядк а малост и включительно , получим: V M = B1 {1 + Ъ$ м -(b A + • b ' A + ^ + ( 3/4 К ) P3 +К - -v (3/4 - Pi+Il (3/4 "д Шм+ Нам остаётс я сделат ь последни й шаг: вставит э эт о v M в праву ю часть выражени я (14.7 ) для давления , и мы получим давлени е в ка ждо й точк е M обтекаемог о контур а в функци и от (Зж н от хм. Вы ражени е b M /b v входяще е в (14.7) , есть S 0 ^ 1 и по (14.4 ) буде т ^ = 1 7 = 1 +hfo+U?b+ . . . Посл е элементарны х преобразовани й получим окончательну ю формулу . pt = P1 + q [",P. + + "зрз + a^ + йырз ( 0 ) + ^ J (0) + + ^ = ( 0 ) ^ + ^ ( 0 ) ( ^ ) , , ^ + 6 . м. 5-г о порядка , где р" - значени е угла наклон а касательно й в точк е контур а верхне й части крыла , в которо й ищетс я р в , х - абсцисс а этой точки , 9 6 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 PB(O) - уго л наклон а касательно й к контур у (вер х крала ) в точк е О , коэффициент ы имеют следующи е значения : Pi ^ ч= г O1 = 2 (M 2 - I)"'' 1 ; e 2 = ( M 2 i r 2 ( 2 ~ 2 M 2 + i 4 L l м 4 ) ; а 3 = ( M 2 i)r/ i [ 4 2 м 2 + 4 ( * + 1 ) м 4 в4 = (М, _ ,Г5 (I _ 2 м"+ M4 - M6+ + + ^ Ma _ 2 1 + 2 0 * 3 ^ 2 v . 3 10 3 + 2 Х Х ' " 1 2 \ . 4 8 m "Г " 4 8 , У 1 ) ' "Ы = Ц 1 M 4 (M2 1)7 * ( 4 + M 2 + М') ; OID = M4 (M 2 1)5 ( + S + V W ~ _ 1 0 + 3"-fa " + " ' М 4 + 9-7x2+2x 3 м 8 + 3 + , + Э ^ , . В М = M 6 ( M 2 ] ) ' 5 ( ^ B I + 7 + 2 ; ~ 5 M 2 4 - З х - 6 х 2 + X3 3 - 7 х - 7 х г + З х 3 М 6 \ . 2 4 IVI r 9 6 IVI ) , Совершенн о аналогичным путё м дл я точек нижней части крыл а найдём : /". = / " . + * [ " . ? , + " а Р 2 ~ + (0) + ( ° ) + + " 3 < , К х ) + 6 5 " Г О порядка . § 14) К Р Ы Л О В П Л О С К О П А Р А Л Л Е Л Ь Н О М С В Е Р Х З В У К О В О М П О Т О К Е 8? Остановимся на характер е различных членов, входящи х в наши формулы . Если бы мы пожелали ограничиться вторыми степенями (3, то нам надо было бы сохранить лишь члены с O1 и а2. Мы получили бы приближения Аккерет а и Буземана . Далее , члены с ах, а2, а3, а4 - это как раз те члены, которы е получились бы, если бы мы из уравнения эпициклоиды (14.6 ) нашли v в виде ряда по степеням (3 и, вставив это выражение v в уравнение Бернулл и (14.7 ) (при & = &]), ограничились бы затем четвёртыми степенями р. Так, если то, как мы уж е говорили в начале этого пункта, лииии разрыва OQ не будет, и тогда членов с а и , a 2 d , а Ъ 1 , a i d не надо брат ь вовсе при вычислении рв. Наличие разрыв а (р в 0 > 0, р"0 < 0) порождае т члены с аы or4cf в рв и р н . Это - члены третьег о и четвёртого порядка малости. Интересн о отметить, что влияние кривизны контура в точке О (и следовательно, влияние вихреобразования, ибо если контур прямолинеен около О, то по крайней мере на некотором участке, прилегающем к О, вихрей не будет ) появляется лишь в четвёртом приближении - это член, стоящий при аи. Переход я к вычислению Cx и Cy по формулам (14.1), (14.2), введём вместо углов j3 углы, отсчитываемые от хорд ы OP крыла; именно, обозначим P= = P + PB; Pk = P + р,;. где р - угол наклона хорд ы OP к оси Ox (на рис. 39 - отрицательный). В качестве переменной интегрирования в интегралах (14.1), (14.2) удобно взять длину t, отсчитываемую по хорде OP от точки О. Пр и этом Л = cos Pb rfSB; dt = cos Pb dS , что же касается х в и хн, входящи х в давление, то их следует рассчитать по формулам t хв = t cos р - sin р J* t g P^ dt, о i Xh = t cos P - sin p J tg P^ dt, a Тригонометрические функции углов р, которы е входят в формул ы (14.1 ) и (14.2), надо, конечно, разложит ь в ряды, ограничиваясь членами четвёртого порядка. Производ я элементарные выкладки, получим окончательно О х = С Х г -\-С Х 1 -\-С х < -\-б . м. 5-г о порядка, 7 Теоретическа я гидромеханика , ч . ! [ 9 8 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 гд е С -ti ll = / С ~ K a ) ^ + ^ /(Pi 3 К' ) о о Cxt = (2e 3 P 4 + O1J [ р + p i (О)]3 + в 1 в р [р + pi (О)]3 + т + 1 ( 6 3/4 о T T + 1 (4а 3 - В J (К 3 + Pi') " + т ("3 + / (Pi4 + р; 4 ) * о о и где Cy = Cyi + C y 2 + ^y 3 + Cyt + бм 5-г о порядка , C v l = - 2e,p . г = £ / ( р ; ' р ; > . о Cy3 = (а , 2а 3 ) рз - [р Ч " Pb (О)]3 а , J p + p i (О)]3 + т т + ^ ( в 1 з в з ) р / ( р ^ + р ^ л + ^ ^ в з ) / ( P i 3 + О м-, о 6 С , 4 = "2в [ р + р ; (О)]4 + " 2 " [ P + рн (О)]4 а 3 в р [р + р ; (O)]3 + + (J311P [ р + p i (О)]3 e 4 B [ р + Pi (О)]3 ( 4 3/4 + Г + J aw [р + pi (О)]3 + ! ( ! " , 6а 4 ) P2 / ( Pi2 Pi 2 ) dt + о T T + 1 ( | в 2 4 Й 4 ) р / ( р ; ' _ р ; ' ) л - * / ( P i * P i V ^ . о о В эти х формула х надо положит ь oi e = aW а2в - e 2(i' й зв - aW а4в - й4<1> § 141 КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 99 есл и Р + Рв(0)> 0 (если линия разрыв а сверху) , и OlB = <*2в = "за = "4в = есл и fS -f PB (O) < О (нет лини и разрыв а вверху) ; аналогично , aaa = and(n=\, % г. А), есл и р + рн(0)< 0 и а т = 0 ( л = 1 , 2 , 3 , 4) , есл и р + р^(0)>0 . Коэффициент ы в , в 4 , aid aid вычисляютс я по-прежнему . Что ж е касаетс я вычислени я интегралов , т о оно в отдельны х кон кретны х случая х сильн о упрощается . Так , например , есл и конту р крыл а симметриче н по отношени ю к прямой , перпендикулярно й к OP и проходяще й чере з середин у OP (например , есл и конту р ест ь дуг а круга) , т о буде т T T J P ' р ' 3 < " = 0. о о Отметим , что есл и р = 0 и р" = 0 , мы должн ы ожидат ь отрицатель ной подъёмно й силы , ибо здес ь буде т C y l = 0 , C y i < 0 . Выбра в конту р конкретно й формы , мы може м заране е подсчитат ь все коэффициенты , стоящи е в Cx и Cy при разны х степеня х Р; мы получи м тогд а ка к дл я Cx, та к и для Cy выражени я в виде полино мо в четвёрто й степен и относительн о р. Исключа я р, получим Cx в функция х от C y . Остановимс я боле е подробн о на расчёт е сил, действующи х на пластинк у (рис . 38) . Здес ь мы имеем точны е формул ы ка к дл я верхней , так и дл я нижней частей профиля . Дл я верхне й части пластинк и имеем по (14.5 ) и (12.2 ) + ¢ ( / " T ^ T T S A ) ' ( 1 4 Л 4 > где а , -уго л Мах а набегающег о поток а (Sina 1 = 1 /М) . С друго й стороны , дл я коэффициент а давлени я Cp имеем здесь : c P 8 = j T ^ l = 1 j ^ l (14.15 ) 7 * 10 0 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 В то ж е время Pi Pi - (2.J L / Sinaа чг \"+ Г \ O1 ) \ V V 1 O 1 ) \ Sin 2 CC 1 " 2 J или, используя (9.22): / X- 1 1 + 1 ^=НЕЙгтг ) • (14лб} \ 2 Sin 2 а + / Отсюда, сопоставляя последнее равенств о с равенством (14.15) , получим Ctg Вставляя выражение дл я а из (14.17 ) в соотношение (14.14), получим явную зазисимость р0 от Cp . На д пластинкой имеем течение разрежения : так как v > V1, то а < O1. Есл и при заданном M увеличивать наклон пластинки (|Р 0 | растёт), то а будет падать (движение по эпициклоиде, рис . 7 "вниз"), пока при некотором предельном значении ф 0 = рпред) не обратится в нуль; это будет по (14.14 ) для Рпред = " , - " С t g t g " О • При этом р" = 0 образуетс я вакуум . При дальнейшем увеличе нии |р 0 | буде т всё время р в = 0. Остановимся подробнее на случа е так называемых гиперзвуковы х движений. Посмотрим, как ведёт себя число давления над пластинкой при весьма больши х значениях числа М, т . е. когда м " 1 , Ct 1 <С1 . В формул е (14.14 ) разложи м праву ю часть в ря д по степеням а и Gi1 (если то и подавно буде т a < d 1). Имеем . 2 2 х + 1 о , 2 , 2 х + 1 , , = ( ^ a 3 + •• • T = T a I + " з ( I = T F e ? + ••• • или, если ограничиться первыми степенями а и Gi1: a = a 1 + i = i p 0 (14.18 ) и по (14.16) : 2х Pa = ( 1 + i T j M P e ) 1 . (14.19 ) Pl § 14] КРЫЛ О В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНО М СВЕРХЗВУКОВО М ПОТОК Е 10 1 Есл и р < = T "M ' Т 0 Р в Н З Д 0 с 4 и т а т ь Р а в н Ы М нул ю (р п р ед= й " L _ . L \ ~ 1 м J Отмети м тепер ь дв а весьм а важны х обстоятельства . Во-первых , формул а (14.19 ) получен а линеаризацие й по отношени ю к 1/М, а не по отношени ю к f)0. Структур а её такова , что линеаризаци я её по отношени ю к р0 даё т неточны е результаты . Поэтом у формул а (14.19 ) боле е точна при ббльши х М , чем линейная формула . Во-вторых , формул а (14.19 ) содержи т комбинаци ю K = M p 0 Эта комбинаци я характерн а для гиперзвуковы х течений, в чём мы убедимс я в дальнейше м при рассмотрени и обще й теори и таки х те чений (см. § 23) . П о (14.15 ) и (14.19 ) мы получи м С Л . г" 1 ( l ф о . (14.20 ) Закрепи м значени е К . Тогда , по (14.19) , P J P l буде т закреплено , а по (14.20 ) коэффициен т давлени я окажетс я пропорциональны м ква драт у угл а наклон а пластинки . Дл я нижне й части пластинк и имеем ещ ё боле е просты е формулы . Именно , аналогичн о (14.15 ) пишем : Н о тепер ь дл я определени я отношени я P J P l используе м формул у (7.15) , п о которо й ^ M 2 sin= V ^ = I P1 X + 1 х + 1 v(14.22 ) ' где ч = и/ 2 - tp - уго л наклон а поверхност и разрыв а к оси х. Те пер ь мы имеем по (14.22 ) и (14.21 ) S I N 2 V = W + ^ L C V ( И 2 3 ) С друго й стороны , дел я (7.17 ) на (7.16) , получи м (14.24 ) Внос я V из (14.23 ) в формул у (14.24) , получи м явну ю зависимост ь tg-B0 от С . H Остановимс я опят ь на гиперзвуковы х движениях . Здес ь уго л v буде т мало отличатьс я о т р" (см. , например , построени е v по рис . 4 1 0 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 и 5). Между пластинкой и скачком образуетс я очень тонкий слой весьма уплотнённого газа. Картина течения напоминает ту, что отве чает теории Ньютона; согласно последней, частицы воздуха ударяют о тело и затем продолжаю т двигаться уж е по поверхности тела Над о отметить, что для M 1 сходств о с теорией Ньютона оказы вается не тольк о качественным, но и количественным. В самом дел е легко можно убедиться в том, что при очень больши х M и неболь ших P0 коэффициент давления буде т пропорционален р2, как эт о еле дует из теории Ньютона. В самом деле, сначала ааметим, что по (14.24 ) при малых |v [ (а значит, и малых IP 0 I ) величина sin 2 v -1/М 2 будет малой более высоког о порядка, так что приближенно можно записать . 0 2 cos V / , , 1 \ ° r u i + l sinv \ M2 ' Заменяя здесь slnv на v, cos v на 1, tg р0 на ро, получим (14.25 ) или дл я очень больши х М: С другой стороны, по (14.23 ) имеем (14.26 ) С . х + 1 •w) <14'27> или для С. Я"- ^ R V 2 , Т. е. по (14.26 ) Cp ai(-/+l)p 2 . i H Х ~Г 1 H П о Ньютону мы должны иметь Cp = 2р0 . Обе величины будут совпадать при * = 1. Любопытн о отметить, что выражение для скорости звука Уч -R T будет совпадать с выражением ньютоновской ско рости \ / RT также , если * = 1. Формулы (14.25 ) и (14.27 ) для M 1 ближе к точным форму лам, связывающим СpH и Во, нежели аналогичные линейные формулы . Действительно , по линейной теории мы имели бы просто (стр. 98) ="1 1 Po 2 I Pol I = P S P = T K m 2 I Н а рис. 4 0 нанесены значения C0 H для величин M = 3, 5 и Юсоот ветственно по точным формула м (14.23) , (14.24), по линейному закону и по формулам (14.25) , (14.27) . И з рисунка видно, что при М = 5 формул ы (14.25) , (14.27 ) дают почти точные, а при M = Ю - весьма точные результаты . § 14) КРЫЛ О В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНО М СВЕРХЗВУКОВО М ПОТОК Е 8? Так же, ка к и для верхней части пластинки, характерно й величиной будет произведение K=MPo Именно, комбинируя (14.27 ) и (14.25), можно написать: г-*-)" <"•"> Пр и значениях |Р(0)| , близки х к р* (определённому в § 13, стр . 79), но меньших, нежели р*, можно пользоватьс я приближён ным методом, указанным в предыдуще м параграфе . Если р* < |р о |<р т ах , Рис. 40. причём (dp B /dx) 0 = (rfpn /dx)0 = 0 (кривизны равны нулю), можн о ожидать ещё, что поверхность разрыв а будет "прилипать" к точк е О, хотя после прохождения поверхности разрыв а окол о О возникнут дозвуковы е скорости . К анализу движения нужно теперь подходить с большой осторожностью ; так как движение после прохождения разрыв а будет происходить (во всяком случае близ точки О) с до звуковым и скоростями, уравнения движения будут теперь эллипти 10 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И [ГЛ. 1 ческого типа; даж е если обтекаемы й конту р буде т обладат ь конечным прямолинейным участком (как это было на рис . 35, или же, если рассматривается, например, обтекание пластинки, поставленной под углом I р I > р*), поверхность разрыва , образовавшаяс я пере д ним, станет криволинейной, возникнут вихри, и задача окажетс я весьма сложной. Боле е того, Крокк о (Crocco) показал , что наличие кривизны контура ускоряе т "отскакивание " поверхности разрыва , так что здесь прилипание может осуществлятьс я лишь , если I P K Ркр. где р* < р к р < ргаа х . Но , пожалуй, самой большо й трудность ю явится то, что мы вынуждены будем обратиться здесь к исследованию движений, происхо дящи х в одной части плоскости с дозвуковыми , а в друго й со сверх звуковыми скоростями. В самом деле , если обтекаемый конту р ограничен в направлении оси O y [например, если речь идёт об обте кании пластинки (рис. 38)], то можно ожидать, что его возмущаю ще е влияние на больши х расстояниях пропадает и после прохождения разрыва скорост ь на некотором расстоянии от контур а останется сверхзвуковой . В § § 19, 20, 21 мы изложим некоторы е работы , относящиеся сюда. Особняком стоят здесь результат ы Релея , которы й дал точную формул у для подсчёта давления за поверхностью разрыва . Реч ь идёт об обтекании газом, имеющим сверхзвукову ю скорость , тупого (встречающего под прямым углом ось) профиля, симметричного относительно оси потока. Сосредоточим внимание на частице, движущейс я по оси симметрии. Н а некотором расстоянии от профиля она пройдёт , как показывает опыт, сквозь поверхность сильного разрыва , а затем добежи т прямолинейно до профиля в точке Af0 его пересечения с осью симметрии с тем, чтобы после этого начать двигаться по криволинейной траектории , огибая профиль. Найдём давление в точке M0. Если не учесть появления перед стенкой сильного раз рыва, то давление в Al0 следовало бы рассчитать прост о по уравнению Бернулли , полагая в нём г) = 0. Реле й первый обрати л внимание на появление поверхности разрыв а и на связанное с ним изменение давления в M0. Чтобы дать формул у Релея , предположим, что газ движетс я с постоянным давлением P l , постоянной плотностью P1 и постоянной скоростью vXl. При этом Пуст ь ft=!;?}/"; a? = ^ = 4 ^ + 2 ^ = ^ 7 ^ . PI 1 *+ 1 * + 1 1 Vxl > со образуетс я поверхност ь разрыва, причём P-=Pv P-=Pi; V . = V § 14) КРЫЛ О В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНО М СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 8? Найдё м сперв а р+\ полага я в (7.15 ) C o s ^ = I , получи м P1 а\ х + 1 х + 1 П о уравнени ю Бернулл и (8.10 ) можн о написать: 1 (14.29 ) V РГ 1 Х + 1 х - Г1 "" где р 2 - давлени е в Af0 пр и наличии сильног о разрыва , но по (8.9 ) *- 1 / о + V 1 та к что Н о по (5.10 ) и (5.14) : 1 - х + 1 х- 1 I - 1 Х+ 1 р, 2х 2х р + ' и мы можем переписат ь (14.19 ) следующи м образом : Комбиниру я (14.29 ) и (14.31) , мы можем составит ь отношени е P 2 IP x дл я различны х величии VxJav Здес ь приведен ы дл я сравнени я дв е таблицы : таблиц а А даё т P 2 IP i в предположении , что существуе т поверхност ь разрыва , таблиц а Б даё т P 2 Ip l по уравнени ю Бернулли , т . е. так , ка к если бы поверхност ь разрыв а отсутствовала . Рядо м с VxJal мы помещае м всюду боле е показательну ю величину VxJatt. Таблиц а А Таблиц а Б 1 Pi 1 0 6 Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 Н а рис . 4 1 изображен ы дв е кривы е (I по закон у Релея , II по урав нению Бернулли ) в функция х о т числ а Мах а VxJal набегающег о потока . Дл я больши х значений VxJal мы можем воспользоватьс я при ближённо й формулой , полагая вмест о (14.19 ) 3 "\ ' Р + ~ ( M A 2 * />, \ д , / * + i и принима я вмест о (14.20 ) <' • 1) 2 Pt ' 2Р\ 4 I + - 4 х х + 1 ^p jc i + Формул ы (14.30 ) и (14.31 ) сут ь ю формул ы Релея . Значительн о больш е изучен ы движения , происходящи е со всюд у дозвуковым и скоростями . Прежд е всег о нужн о упомянут ь здес ь точну ю • и . /f теори ю стру й сжимаемо й жидкости , ^ 3 4 S принадлежащу ю Чаплыгину ; дока Рис. 41. зан ы такж е теорем ы существовани я (Франкл ь и Келдыш , Христианович) ; разработан ы эффективны е методы приближённы х расчёто в (Христиа нович, Некрасо в и др. ) и даны приближённы е оценк и влияния сжи маемости (например , теорем а Прандтл я - Глауэрт а (см . § 29)). Прежд е чем переходит ь к изучени ю движени я пр и дозвуковы х скоростях , остановимс я ещ ё нескольк о на исследовани и вихревог о движени я и дади м приём построени я различны х классо в вихревы х движени й ка к с до , та к и со сверхзвуковым и скоростями . § 15 . Функци я Примеры. Точны е решения . Есл и движени е безвихревое , т о систем а дву х уравнени й в частны х производ ных (9.5) , (9.3 ) первог о порядк а с двум я функциям и Vx и Vy може т быт ь заменен а одним уравнение м второг о порядк а с одной функцией . В самом деле , пр и Q = O существуе т потенциа л скоросте й Ф, та к чт о _ дФ _ дФ v * -~дх' vy~~W Вставля я его в (9.3) , мы получим наш е уравнение : + [ < * + i ) ( " i (r) J ) ( * i ) (r) y 1 V = 0 . (15.1 ) Ф У Н К Ц И Я / . П Р И М Е Р Ы . Т О Ч Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я 1 0 7 заменяющее, в случае сжимаемого газа, уравнение Ф -4Ф = 0 имеющее место для несжимаемой жидкости. Рассмотрим, однако, общий случай, когда движение вихревое, т. е. S Ф 0. Функция Ф здесь не существует , однако мы можем взести некотору ю новую функцию и построить для неб единственное уравнение в частных производных 2-г о порядка, линейное по отношению ко вторым производным и решающе е вихреву ю задачу. Чтобы построить эту функцию, перейдём сперва от независимых переменных х и у к переменным S и ф, где I}I(JC, у ) есть введённая выше функция тока у) = const. -уравнени е линии тока], а 4 = х. Мы имеем, кром е уравнения Бернулли : "-1 4 + 4 I у-8(Ф)Р ; = "о(Ф) (15.2) и условия адиабатичности одно из уравнений р = V W f , (15.3 ) и определение ф: v ^ J r v Л?* . = - I J P (154 ) Vjc дх ^ vI ду р дх ' ^ j dv" dvv 1 dp ! К Г + "" T T = T T y ( 1 5 ' 5 ) = W y = Q - ( 1 5 6 ) Замену переменных очень легк о сделать, если написать сперва по (15.6): = + = - + ( 1 5 7 ' я затем, заменив х на 5: dx = dt (15.8) решить (15.7 ) относительно dy: Мы можем тепер ь написать: + (15.9 ) V x <>vx ду vv дУ _ 1 /1С ,, , 10 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Удобн о зате м перейт и к переменны м £ и <р в (15.5) . Получим : / dvy dvy ity s dvy 1 dp дф V * VT T + DX) + VY~D$~ 1 7 = - 7 ~ДУ ' ( 1 5 1 2 ) Заменя я Vx и Vy (не входящи е по д знак и дифференциалов ) по (15.6 ) и производ я сокращения , получи м окончательн о просту ю формул у dvv dp -fl T -SiT ( 1 5 Л З ) Тепер ь мы може м легк о построит ь т о единственно е уравнение , о которо м мы говорили . И з (15.13 ) заключае м о существовани и функиц и £(< , ф) такой , что ^ = ( 1 5 1 4 ) Уравнени е (15.10 ) може т быт ь тепер ь написано , есл и принят ь в ра счет , что V1x-) v2y - V1, в виде : * у = 1 | L , ( 1 5 . 1 5 ) * + где V2 следуе т выразит ь по уравнени ю Бернулл и и на основани и (15.14) , в виде : ^ = 2 ^ ^ 9 ( 3/4 ^ 1 . (15.16 ) Уравнени е (15.11 ) можн о представить , использу я (15.3 ) и (15.14) , в виде : £ = ' (15.17 ) Права я часть уравнени й (15.15 ) и (15.17 ) не содержи т функци и у , перекрёстны м дифференцирование м мы исключи м таки м образо м у и получи м одн о уравнени е дл я определени я функци и х> уравнение , о которо м мы упоминал и выше : + м т м с 4 4 & U ~ ^ 2 + = = . dty - Idty (15-18 ) Мы считае м всегд а } н f , заданным и функциям и <р. Определи в из уравнени я (15.18 ) функци ю Ф). м ы може м затем , путём просты х квадратур , найти ф) из уравнени й (15.15) , (15.17) . Лини и ток а в плоскост и (х , у ) буду т таки м образо м найдены : достаточн о положит ь 5 15] ФУНКЦИ Я х ПРИМЕРЫ . ТОЧНЫ Е РЕШЕНИ Я IOf l в функции у = у (?, =/>(+). т. е. по (15.14) и, значит, -а--'(r) х й + где q (4) - неизвестная, так же, впрочем, как р (+), функция ф. Теперь (15.15) и (15.17) примут вид: ду _ P'i + q' ду = di Vv2 - (p'i+q')2 ' д+ Yv2 - (p'i + q')2 ' где p' - dpjdi/, q' - dqjdfy, a v2 на основании (15.16), зависит лишь от ф. Предположим сперва, что Р'ФО, т. е. что давление различно иа разных линиях тока. Первое из уравнений (15.19) интегрируется и даёт: Hi+£)"+'<"• (15.20) где s (ф) - произвольная функция от 4л Дифференцируя I(15.20) по ф и сравнивая полученное выражеение со вторым из (15.19), поллуу>чим: 1 1 IГJ dL V2 " / , . о ' \ dJ L о'i 1q +, ds L ^ р'2 I1 т р') dt/ р J ^ di/ Но переменная 5 входит сюда явным образом; очевидно, что написанное равенство будет иметь место лишь, если •d4<тf= 0; -d|bг р<' = 0. т. е. s = const., q'lp' = const., при этом четыре функции ф: f(^) , />(40. 'о(Ф), Я(4<) будут связаны двумя соотношениями: уравнением Бериулли и формулой d'i р' р' 1 1 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 линии же тока, согласно (15.20), будут иметь вид (£ = х): U2 (У + COnst.)2 + (•*• + COnSt.)2 = ~~р'2 • Это - семейство кругов с общим центром. Если р ' = 0, то давление одинаково во всём пространстве. Вследствие первого из уравнений (15.19): q'i , ... ду d q' ds Но по второму из (15.19): поэтому должно быть ду _ Ь-р~1'' Ц V 1 ,'-<,> * -- . ^ = 0, т. е. ^ - = const., di/ Vv*-q'* Vv^-q'1 и семейство линий тока будет семейством параллельных прямых: у - const. X + S (ф). В качестве второго примера рассмотрим безвихревое движение с 9 = const., /0 = const. Здесь величина скорости v выражается по уравнению Бернулли через одно р: X-I = 2 T = T ^ " ' <1 5 ' 21 ) Попытаемся найти все те движения, в которых также и направление скорости (угол наклона её р) зависит лишь от давления: P = P (р), так что vx - V cos р = vx (jо); Vy = vy ( р) . Тогда dp dvy dVy dp "3ф = - = 1р"Ж ' и мы получаем, интегрируя sto уравнение: di, di dvv dp где fi(p) - неизвестная функция от р. Удобно далее ввести в качестве переменных вместо 5 и ф величины р и ф = ф. Тогда dvv _ I = X - ^ ф +fi(p); ф = ф, (15.23) н мы можем написать ду ду dVy ду ду ду / d2vy йф дх dp йф ' др дх § 15] ФУНКЦИ Я у . ПРИМЕРЫ . ТОЧНЫ Е РЕШЕНИ Я 11 1 Вставим сюда ду/дх = dy/d ; из (15.15), а ду/д\/ из (15.17); так как из (15.14): то получим: -S f " t V dy Vy dVy 9 ^ d у 2 2 Л; , ~ У ^ Ц dP + ~ dP v " ^ ' fly " у / d^j , Л Sp T7VW f l I Первое нз этих уравнений интегрируется и даёт У = + Л (P). (15.24) где / 2 - произвольная функция р. Вставляя это у во второе уравнение, видим, что для возможности движения выбранного нами типа должно быть d}v, d*vy v*~dpr+ (15'25) dU "у dA . . d f \ ~dp = i t ~dp ^ ~dp • <1526> Уравнение (15.25) показывает, что связь между (i и р не может быть произвольной; уравнение (15.26) мы используем при установлении краевых условий. Обращаясь к (15.25), замечаем, что vxv"x + vyv"y = i [(03/4 ' + (и 2 / ] vx Vy 2 J_ _ 2 Но тогда (15.25) даёт: V (15.27) С другой стороны, вследствие (15.21), О/Н' * " _ bp-1'1-1 №Vpр-~а*2г* _ V d p i "ррS-pг"?2. '4 , IVv2' 4 V3 Vs \о2 / ' где а - по-прежнему скорость звука. Таким образом, (15.27) примет вид: / rfp _\з atp --2v/*х , v s " \ d p ) v* \а2 '/• Для возможности движений рассматриваемого здесь типа необходимо, чтобы выражение в скобке в правой части было положительно, т. е. чтобы 112 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 было V > а. Таким образом, отыскиваемое нами движение возможно только при сверхзвуковых скоростях. Далее, dp = dv dp = dv v (15.28) Поэтому, извлекая из обеих частей квадратный корень, получим d$ + Vv' - а' dv ~ ~ av Но эта формула в точности совпадает с формулой (10.3), дающей связь между р н V вдоль характеристик. Следовательно, отыскиваемые нами движения будут такими, что одно нз соотношений const. выполняется не только вдоль характеристики, но н во всей области движений. Мы уже упоминали [ § 11 (11.4)], что здесь могут быть даны решения в замкнутом виде. Эти решения мы сейчас и получили. Обращаясь к определению / , и / 2 , привлечём контурные условия. Предположим, что речь идёт об обтекании контура у = F (х), (15.29) где F - заданная функция от х. Заметим, что (15.23) и (15.24) при ф - const, представляют параметрические (с параметром р) уравнения линий тока. Пусть иа обтекаемом контуре ф = 0. Тогда, вследствие (15.29), должно быть Л (P) = P(MP)) (15.30) Но по (15.26) следовательно, d f , _ dF d f , d f , dp d f , dp dp ' d F <• O Ж " g (15.31) Уравнение (15.31), решённое относительно /, , и даст / , в функции р, т. е. через jо; уравнение (15.30) даст затем Л(/>) . Задача будет решена. Отметим, что по (15.21) и (15.28): dvr dv cos S dv " . Л dp . = -.-- = - cos S - v sin B f = dp dp dp ' dp "/>-"" " sin т. e. i CЛOпсBPW± -+VVt / £ 1 . dv, i.bp . , 0 usina .. " . m - = sin (a t P) = sin (u T 0) (15.32) dp y.vp sin a v.p \ г/ у I и аналогично § 15) ФУНКЦИ Я у . ПРИМЕРЫ . ТОЧНЫ Е РЕШЕНИ Я 11 3 причём по (10.5) = arc t S (V R - -J tS=1) + c o n s t - ( 1 5 3 3 ) Таким образом можно записать (15.23) и (15.24) в виде: ° SI n " I , , г I / / , •* = T " " cos (а т Р) ф + / , (р), 7 t P V s i " " • / о* Г I / * У ~ --Г- sin (a T Р) ф+/,(/>) . ''F (15.34) При практическом использовании формул (15.34) надо вспомнить, что v н sina связаны соотношением (9.22) (уравнение Бернуллн) 2 / M _ L (15.35) U J ~ х 1 t _-,I r sin2 а 1 х - 1 и что р и sin а связаны, вследствие (8.10) и (15.35), соотношением л Po ( Т 1 ЕТГ + ' 1 - ( 1 + ^ R •) " ^ • Тогда (15.34) примут вид: = ^ ( ^ ) ^ ( 1 + ^ + T c t g a " ) 2 *" ' h m C * " * + / , (Л , * А *-п у - i k № ) " ( ' + ^ T T 1 + / , ( / > ) • Так, например, при обтекании угла (задача, решённая в § 12) мы должны положить Тогда будет _У_ = /1=/2=0 . т. е. далее будет х =tg e = fg( a + P), 6 = а + р; н, вследствие (15.33), вводя в, по формуле (12.4), получим сразу '-"("/!['Г . где 8 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 114 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 § 16 . Дозвуковы е скорости . Теори я Чаплыгина . Примеры . Переход я к движениям , происходящи м со всюд у дозвуковым и ско ростями , мы начнём с точны х решений , получаемы х в явном виде . Эти решени я был и дан ы в замечательны х работа х Чаплыгина , содер жащи х обобщени я теори и стру й Кирхгоф а - Жуковског о на случа й безвихревог о движени я сжимаемо й жидкости . Имее м безвихрево е движени е и берё м уравнени е Бернулл и в виде : = Po 1 х- 1 (16.1 ) где P0 = Const. вследстви е отсутстви я вихрей . В формул е (6.5 ) пишем р0ф вмест о t|) (иная нумераци я лини и тока ) . _ dt}> = P o ду P^y - Po дх Введём потенциа л скоросте й tp : (16.2 ) " - df ~дх> (16.3 ) Остави м tp и ф в качеств е искомы х функций , но введё м в качеств е независимы х переменны х вмест о координа т х и у величин у ско рости V и уго л наклон а [3 скорост и по отношени ю к оси OJC. В ЭТОМ и заключаетс я преобразовани е Чаплыгина . Прежд е всег о имеем : Vx = Iicosp , (r) =(r)sin f П о (16.4) , (16.3) , (16.2 ) буде м иметь : df = JtL dx +• |2 . dy = V (co s р dx • sin р dy), (16.4 ) (16.5 ) di/=. dx + dy = я ( sin P dx + co s P dy). Реша я эт и уравнени я относительн о dx и dy, получим : dx = - co s P dtp pi/ sin p d f j dy = i sin p dtp -j -Jjjco s p d f (16.6 ) Эт о значит , что dx 1 , T = - COS t dv v ' dx 1 дУ 1 • i dtp dv dtp d f pi; dv J l d f pv dp (16.7 ) dлv = -v Sin 1 ^ + J i c o s p OV pv -dy - -1 si-n , dp | l + J ^ c o s p d f dp 1 f v " dP § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 11 5 Нам остаётся тольк о исключить х и у путем перекрёстног о диффе ренцирования уравнений, входящи х в (16.7 ) соответственно. Мы получим сперва (ро/р по (16.1 ) зависит лишь от г/): smjl_ й? _ г " с й i l ^ __ fosj l d ? аф d dv cos p dip eos^dv Vi dp г ()-, ({,v J E l i t co s в i i . . J L dv pf sm dv v* dp d 3 Умножая перво е из этих уравнени й на складывая , получим: •sinp , второ е иа cos p и J . Jt L - J L (Лг Л . J? t V dv dv \ рг/ / dp • Умножая перво е из наших уравнени й на cosp , второе на sin р и скла дывая, получим: ^ L = ZI is . ^L 1 dp р dv ' Представля я р0/р по уравнени ю Бернулл и (16.1) , буде м иметь: (16.9) d ре d dv ри dv С -^7 ) или, так ка к по (8.9 ) " r r I V 1 -1 V1 * +1 1 ог -1 V2 = ^ r I = M 2 I . * + 1 ai где M = vja, мы можем написать вместо (16.8 ) d \ d z j j I j Отсюда видно, что если всюду буде т 1 - ^ т О, т. е. v а, , то равенство У) А D (х, Р) возможно лишь при обращени и в нуль обеи х производны х дф/др и дф/dx одновременно. Это может быт ь лишь в исключительных случаях. Обратимс я к задаче о струях . Буде м рассматривать течения газа, преграждённы е плоскими стенками, с краё в которы х газ срывается, обтека я затем области постоянного давления. Будем искать частное решение уравнения (16.13 ) в виде: Ф = 2"(T)si n (2/гр + ""), где Zn (т) - функция одного х, а п и "" - постоянные. Дл я определения Zn получаем уравнение 1 * + 1 11 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 ИЛИ Положи м теперь : t х± х- 1 х 2, = 0. мы получи м дл я определени я уп уравнение : Эт о ест ь известно е уравнени е дл я гипергеометрическог о ряда . Со ставля я характеристическо е уравнени е дл я показател я р в област и точк и т = 0 , имеем: т . е . р( р - 1)+(2 л + 1) Р = о , P1 = O; р 2 = - 2 л . Сохраня я т о решени е дл я ф, которо е остаётс я конечны м при т = 0 (т. е . бер я P1 = O), мы буде м иметь , пользуяс ь обозначение м Гаусса : yn{t) = F(an, Ъп, 2 л + 1; т), (16.17 ) где < л о 1 ". л(2 п + 1) Посмотри м теперь , каки е из задач указанног о выш е типа могу т быт ь решен ы пр и помощ и функци и ф = А + £ ф + S BnZn (т) sin (2" р +а") , гд е п пробегае т счётну ю последовательност ь возрастающи х положи тельны х значений , А, В, Bn, ап - постоянные . Та к ка к газова я стру я ограничен а линиями тока , т о вдол ь кон тур а област и (т, р) функци я ф должн а принимат ь т е или ины е постоянны е значения . Пр и этом , есл и рассматриваема я част ь контур а отвечае т плоско й стеике , т о вдол ь неё р = const. ; есл и ж е речь идё т о свободно й поверхности , To та м буде т P 1 = Const., и по уравне нию Бернулл и W = U1 = Const. , а значит, и х + 1 = Т | = const . Сравни м тепер ь наш у задач у с задаче й о течении несжимаемо й жид кост и при те х ж е граничны х условиях , т . е . пр и том ж е располо § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 120 жени и стенок , при те х же скоростя х в бесконечност и и при те х ж е скоростя х на границ е струй . Задач а о струйно м течени и несжимае мой жидкост и был а решен а п о метод у Жуковског о в части 1. Сле ду я этом у методу , найдем связь межд у переменным и In -£ + ¢ = h . / " ^ + i p и w = Ф • + (1F1 где Ф и W - потенциа л скоросте й и функци я ток а в соответствую ще й задач е о несжимаемо й жидкости . Пуст ь мы получил и w = f { \ n ^ f -3/4+ "•?); (16.18) предположим , что / може т быт ь разложен а в ря д вида : "I = К + В [i n ( У + ф ] + 2 Kn ( ^ J e W (где К, В, Kn - постоянные) , та к что W = А + B p + £ Bn (^-) " sin <2яр + од , (16.19 ) гд е A, Bn - неки е постоянные . Наш а задач а о течени и газа разре шитс я тогд а формулой : >.ф = А + B p + 2 В п(17) " ~ sin (2/гр • + а") . (16.20 ) где >'"(т) ест ь гипергеометрически й ря д (16.17) , у" 1 = уп (T1), X - постоянные , а А, В, Bn имеют ка к ра з т е значения, которы е входя т в (16.19) . В самом деле , при T = Tj правы е части (16.19 ) и (16.20 ) совпадают , - значит , есл и был о W = Const. при T = T1, т о буде т ф = const , при T = -C1. Далее , есл и при каком-нибуд ь значени и P = P0 функция , определяема я (16.19) , не зависи т от т, т о эт о буде т лишь , есл и sin (2"p 0 -) а п ) = 0 при всяко м п , участвующе м в сумме . Н о тогд а и права я часть (16.20 ) буде т постоянн а при том ж е р. Таки м образом , ф из (16.20 ) буде т удовлетворят ь граничным условия м за дачи. Формальн о (16.20 ) удовлетворяе т уравнени ю (16.13) . Таки м образом , есл и ря д (16.20 ) буде т сходитьс я при всяко м т < T1, а при T = T1 буде т стремитьс я к том у ж е пределу , что и ря д (16.19) , причём не тольк о ря д (16.20) , но и ряды , составленны е формальн о из (16.20 ) путё м его почленног о дифференцировани я по т и р, буду т сходитьс я абсолютн о и равномерно , т о мы вправ е считать , что частные производны е дф/дт и дф/д р находятс я путё м дифференциро вания ряд а (16.20 ) и что ф буде т действительн о искомо й функцие й тока ; тогда , использу я (16.12 ) и (16.6) , мы сможе м по известном у ф 12 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 найти ф, х и 2. Задача будет решена. В частности, по (16.12) имеем для dtp: Xd ? = x j d p + x £ d x = 1 1 j = Х 2 т ( 1 х ) ^ Г ^ d p X 2 t J l ^ ( l x ^ ^ d x = _ V 2Bn j _J_ ^ b ( I T ) и р формулой (r) = ф_|_ /W = ^ l n sin2 т 1 (16.22) где Qj2 и - Qj2 суть значения W на верхней и нижней внешних границах струи соответственно, а т - угол, под которым каждая из двух частей струи наклонена к оси X на бесконечности [см. часть 1, глава шестая, формула (17.10)]. § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 122 Чтобы решит ь задачу о стру е газа, разложим (16.22 ) в ря д и отделим его действительную и мнимую части. Имеем сначала: 9 = 2 In sin (р - Л п ^ - In [sin2 (р - Л п - Sin2 /" ] = = 2 In sin (р - I ln-^) - I n [co s 2га - co s 2 (^p - Л п ^ ] + 1п 2 = 1п-^+ гр In - + - Im In-^J+ ip + im = 2 In sin ; In sin : In sin : . i I I Вводя вместо тригонометрически х функци й показательные, получим: 2 in ( l Г 2 ' " In [ l , 2 1 " V " * + " ] _ V - 1п[1- е v J = со -2 л In - ^ £ [e -2(i (P-m)i e-2/i(P+m)i = л = 1 оо -2/1 In ~ ~ = - 2 ^ - - (1 - cos 2 пт ) (cos 2"р - I sin 2"Р). /1=1 Наконец, дл я W получаем, вставляя 2 in vjv = In xjx : CXJ V = У 1 (-M " Sin 2"Р (1 - COS 2 пт) . л \ / Таким образом, для газовой стру и можно написать со I T = S 7 Ш " ^ j O cos2^)sl n 2"р. (16.23 ) Вследствие (16.21 ) мы можем затем написать ( Я = 0): 1 со ^ . = ( 1 , ) . 1 со"2/"")со"2/" р (16.24 ) (мы взяли C = 0 . что означает, что при х = р = 0 мы берём не тольк о |)) = 0, но и tp = 0). Остаётс я тольк о определит ь значение чисел Q И т; воспользуемся для этого известными нам величинами I и Ь. Дл я определения Q представим поток жидкости через прямую, 1 2 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 перпендикулярну ю к ос и Ox и находящуюс я на бесконечност и "слева" , двум я способами : во-первых , J v?dy\ = J ",р. dy = 2ftwlPl, V Ь ' X - - со " во-вторых : Pl = Po I 1 3. 1 * I / v9dy\ = I J 9 0 ^ L d y ) = P o Q ; V-6 /х^-os \-Ь /х^-со таки м образом , I S=^ b W 1 -ISvV"' ' (1S'25) \ *- 1 * / Чтоб ы найти т, запишем , что длин а пластинк и ест ь 21. Та к та к пр и перемещени и вдол ь пластинк и буде т ф = Const., т . е. di|) = 0 , т о вдол ь пластинк и кром е того , на пластинк е Таки м образом , вдол ь пластинк и но, вследстви е (1S.6) , ду sin р sin р df V Так что вдол ь верхне й част и пластинк и буде т ф = те/2): 1 § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 124 и, следовательно, Воспользовавшись второй из формул (16.12) для выражения ду/дх и вспоминая уравнение (16.15), которому удовлетворяет zn = x"yn, получим для I, вследствие (16.23) : X ' г X I (- 1)"+ 1 1 - cos 2 п т Уп С1=]) dx. (16.26) В этом уравнении I нам задано, a Q определяется по (16.25). Та ким образом, мы можем из (16.26 ) найти т . Остановимся ещё на выражении сопротивления R пластинки. Очевидно, что ' ti Д = 2 f ( P ~ P l ) d y = 2 f - ^ i f p ^ ) d x 2 M где P1 - давление, отвечающее скорости V1, т. е. давление позади пластинки. Но по уравнению Бернулл и [формула (8.10)]: P = Po(I-T)"" 1 . Pi==Po O T 1 ) 1 . У. _L 1 где р 0 = - р0> 1 (1 - co s m)v 1 . (16.32 ) Запише м ещё , использу я (16.28 ) и (16.31) , I из (16.30 ) в виде I = т = = = j1 | ( l c o s m ) + "-уA / * + 1 Ч) П+i in Х" (X1) 1 4n 2 - 1 (1 - cos2"m)|( l - T 1 )*". (16.33 ) т y l т / "У" \ X Дел я J Легк о видеть , что *Яn" = Н - -у" = -пуп \ -X ^+ Уу '*! = -пг (16.31 ) на (16.33) , получим окончательн о R = 2 IplV2 (16.34 ) 1 - cos т S F ^ + 1 SFT= T ( ! c O s 2 n m ) где P1 - по-прежнем у плотност ь позад и пластинки . Напомним , чт о т приходитс я определят ь из (16.33 ) посл е того , ка к Q известно . В случае , когд а b = со , т . е. на пластинк у набе гает поток бесконечно й ширины , мы получим , очевидно , т - 0. В качеств е второг о пример а рассмотри м истечение газа из беско нечно широког о сосуда . Пуст ь давлени е во внешнем пространств е есть pv давлени е внутри сосуда , на бесконечности , там, где ско рост ь v = 0, есть р0. Пуст ь р0 > рх. Обозначи м ширин у отверсти я 12 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 BB' (рис . 42) чере з 2Ь, а угол , которы й составляю т стенки с ось ю Ох. - чере з qv:j2 (при 9 = 1 получнм истечение из сосуда , у ко торог о стенк и служа т одна продолжение м другой) . Дл я соответствую щей задачи в несжимаемо й жидкост и мы буде м иметь (см. ч. 1, стр . 321 и далее ; мы применяем рассмотренну ю там нумераци ю ли ний тока) : i sin р - /In (16.35 ) Пр и этом , когда P = 0 , мы имеем справ а действительну ю величину, т . е. W = O (ось Ox - середин а струи) . Есл и р = 1x17/2 (пряма я AB) , получим Рис. 42, X j T Q j 2 ; то ж е значение буде т на нижне й границе В С стру и (vj v = 1, р > 0). Есл и ж е P = - nq/2, т о = Q/ 2 (стенка А'В'), и если P < 0, V = V1 (верхня я часть В'С' струи) , т о тож е буде т 4? = Q/2 . М ы можем представит ь W в виде : -In - - - I г - + - In - - In 2 -(In J е -2(Э-Пп"|/") " M j j о Разлага я в ряд In, получим: (16.36 ) £ ( ф + № ) = = In 2 - i f l n ^ 4 i q \ V та к что, есл и VjVl = (т/т,)'''2 г. ... р V W T 2п 2 " г • Z s i n ^ p ) , QO 4 = ^ I n t o s l n T f Ря д это т - абсолютн о сходящийся , и, применяя формул у (16.20) . получим дл я функци и ток а ф, определяюще й истечение сжимаемой жидкост и из тог о же сосуд а и пр и той же скорост и на струе : 1 I / у"." 2п - " Т Ш ^ УSп/1I N P (1 6 3 7 > § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 12 7 Потенциа л скоросте й по (16.21 ) запишетс я в виде ( В - - Ijq) : П" 1 1 { t \"'я Ущд cos _ (16 38) Остаётс я тольк о определит ь Q . Чтобы сделат ь это , найдём, как меняется у вдол ь струи . Определи м сперв а вообщ е у ка к функци ю от х д о р. Дл я этог о напише м выражени е дл я ду/д$. Имеем : ду ду ду . ду дф dp ~~ dc? dp "+" дф dp ' Н о ду ду 1 дф ~D ~дх р v sin р ду Б ' йф 1 ду ~D ~дх v cos р D ' Таки м образом , D = I-V = = (1 - х)*1 v 2 . Po ' Воспользовавшис ь (16.37 ) и (16.38) , мы получим : J L 1 0 , и знак минус, - когда У < 0 . Итак , P OO / cos P £ CO S M d p = 1 ( sin P ±q 4 ) . Таким образом , вдоль границы стру и 2"р ' + 2 1 причём - ix/ 2 буде т для нижней границы (р > 0) и к/2 - для верх ней (Р < 0). ' ) Подробности о сходимости рядов см. в работе С. А. Чаплыгииа. § 161 ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . ТЕОРИ Я ЧАПЛЫГИНА . ПРИМЕР Ы 12 9 В точк е В буде т в точк е В'\ Р = | 9 , Таки м образом , мы получим связь между Q и b в виде: 4 £ / J (1 T , ) В= со "} S W 1 . Та к ка к . 2 л 3 Si n = si n (2т + 1 ) + C O s ^ Ч 2 sin - Ч ^ J s i n p s i n ^ ^ = f Sin(2 m + 1)L Iim sin p 5- ^ d P + 4 Sinpctgid p = t l ^ a j J 2 sin- J 9 <7 о fi ±c ? T + t J sin P c t g i dp , причём верхний знак надо бртт ь при р > 0 и нижний при р < 0 . Тепер ь получи м щП I (tm) L 6 = L C + J Y sinpctgidp . о что совпадае т с формуло й (17.6 ) ч. 1, гл. VI; над о лишь , в согла сии с принятым там обозначением , заменит ь U1 на с, а щ\1 на а . 9 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 13 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Определи м ещ ё "сжати е струи " в сжимаемо й жидкости . Та к ж е ка к и в жидкост и несжимаемой , максимально е сжати е буде т иметь мест о в бесконечн о удалённо й части стру и (иначе ско рост ь получил а бы максимально е значени е где-нибуд ь внутр и струи) . Есл и ширин а бесконечн о удалённо й част и стру и буде т b' , т о W y r £ г г в ' т > 0 ^ ) ^ = 0 . и мы буде м иметь 1 'ъ - " . 8 . л V l п 1 ~ T f Sln 24 I i ( _ 1 ) ( т 1'> ~W-Г B = 1 1 г ~ Нужн о помнить , что движения , о которы х мы говорил и в этом пара графе , совершаютс я с дозвуковым и скоростями , в частности , в наше й задач е о струе , максимальны е скорост и не должн ы превосходит ь скорост ь звука , т . е . должн о быт ь < а,, что эквивалентн о услови ю в одном из следующи х параграфо в мы рассмотри м обратны й случай : § 17 . Дозвуковы е скорости . Мето д Христиановича . В настоя ще е врем я существуе т значительно е числ о работ , посвящённы х при ближённом у решени ю задач и о движени и газа с дозвуковым и скоростями . Работ ы эт и можн о разбит ь иа дв е группы : в перво й групп е рабо т решени е даётс я последовательным и приближениями , во второ й автор ы ограничиваютс я то й или иной линеаризацие й задачи . Мы изложи м основны е идеи метод а последовательны х приближе ний, предложенны е Христиановичем , отсыла я за деталям и непосред ственн о к ег о стать е ') . По-прежнем у считаем движени е безвихревы м и скорост и всюд у дозвуковыми . Введё м прежд е всег о безразмерну ю скорост ь V = Vjat ') X р и с т и а и о в и ч С. А., Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940. 5 17] ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 13 1 и нову ю искому ю функци ю S(c) , определяему ю из равенств а Г I-V* dV " Ti 2 гд е •г.- 1 Уравнени я (16.12 ) приму т теперь , посл е просты х преобразований , ви д где S = ^ F - T^-S O V №) Введём в рассмотрени е комплексну ю величин у S -< р и обозначи м чере з Ji-H v неку ю совершенн о произвольну ю аналитическу ю функ цию от этог о аргумент а Ц -H v = / ( S ф . (17.4 ) Связь межд у S , В, ji, v определитс я с помощь ю услови й Коши-Римана ; в частности, будет : Та к ка к = а 7 5 ч дч ' дч dp ' ' df ду dS_ д^ ~~df d(>.~T~dS dp ' то no (17.5 ) и (17.2 ) буде т Таки м образом , есл и перейт и в уравнения х (17.2 ) от S и р к |i и v, т о получим: Наконец , х и у можн о связат ь с (д. и v следующи м образом . Согласн о формула м (16.6 ) предыдущег о параграфа , можем написать : dx _ co s р . dx р 0 si n p 1 df v ' dty P o ' dy sin p . dy p 0 cos p | ( ' 7 . 7 ) dy v ' dlj P v I 13 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Зная S (а значит, и и), р, tp и ф в функциях от р и v, мы сможем, таким образом, найти х и у по формула м (17.7) . Обратим теперь внимание на то замечательное обстоятельство, что если г) 0, то dS^idv/v, так что S^ b In v -f const., а У K a i 1. Н о тогда при малых v уравнения (17.5 ) и (17.6) буду т в точности совпадать с уравнениями, описывающими в плоскости (fi, v) движе ние жидкости, имеющей комплексную скорость ese~l? и комплексный потенциал <р + А|). Пр и этом, как нетрудно убедиться, будет х ? ГК-ФФ, / P=т / / y ^ v . Обозначим вообще 5 = In V. Квадратурами можно найти из циях от v. Именно, производя подстановку 1 (17.8) l i r / О Щ йг 03 Q4 Ofi OS 0.7 08 09 Ifi Рис. 43. получим V = 4-" Г 1 - и ,(17.9 ) -U)h 1 + !1 где с - произвольная постоянная. Эту последнюю выберем так, чтобы Iim Vfv=X. Так как вследствие (17.8 ) мы имеем V1 I i m = = Iim я-Ю V ы-И то получим j / + j f (M l V (h -u) h l ( l + u f 2ft У (ft - A+l h-l (ft-1) " ^0,7579 . (17.10 ) (ft + 1)"+1 На рис. 4 3 изображены значения V и У к в функциях от v. Эти же величины даны в таблице II ') . Мы видим, что расхождение между V и V становится заметным лиш ь в промежутке 0,6 Ti-^l , а У К близко к единице в интервале 0 0,5 . Отметив это, пойдём дальше. Д о сих пор функция / в (17.4), связывающая S - <р с |1+г Ч была произвольной аналитической функцией. Попробуем теперь , ') Рисунок и таблица заимствованы из статьи С. А. Христиановича. 517]ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 13 3 Т а б л и ц а II VK УЖ Vlv УЖ О 0,05 0,1 0 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,6 0 0,625 0,650 0 0,0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,3410 0,3862 0,4307 0,4734 0,5144 0,5535 0,5722 0,5904 1 0,9995 0,9980 0,9954 0,9917 0,9870 0,9811 0,9742 0,9655 0,9571 0,9467 0,9353 0,9224 0.91Д6 0,9083 1 1 1 0,9999 0,9996 0,9991 0,9982 0,9965 0,9940 0,9899 0,9840 0,9754 0,9632 0,9553 0,9461 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1 0,6080 0,6251 0,6413 0,6568 0,6717 0,6857 0,6988 0,7110 0,7223 0,7324 0,7413 0,7483 0,7546 0,7577 0,9007 0,8930 0,8845 0,8758 0,8667 0,8571 0,8471 0,8365 0,8255 0,8138 0,8015 0,7882 0,7739 0,7577 0,9350 0,9221 0,9068 0,8925 0,8672 0,8416 0,8156 0,7740 0,7271 0,6788 0,6015 0,5092 0,3728 0 ориентируяс ь на указанно е сходств о с уравнениям и обтекани я в не сжимаемо й жидкости , поставит ь краевы е услови я дл я дифференциаль ных уравнени й (17.5 ) и (17.6 ) следующи м образом . Рассмотри м в пло скост и (|i, v) неки й замкнуты й конту р С (например , профил ь крыл а с задней кромко й - острие м - в точк е А) и постави м следующи е условия : 1) на контур е С р совпадае т с угло м наклон а касательно й к оси |i : , л dt • dy. на С ; 2) на бесконечност и V c o = S s c o - заданна я величин а и P r a = O; 3) есл и С имее т остру ю кромк у Л , т о в Л V имеет конечно е значение . Есл и тел о остро й кромк и не имеет , т о дан о значени е цир куляци и Г вектор а Veвдоль замкнутог о контура , охватываю щег о С в плоскост и ((Л, v). Эта групп а услови й позволи т полность ю найти из (17.5 ) функ ции S ((л, v) и р (|i, v). Следующи е услови я позволя т определит ь <Р(И-, v) и v): 4) на С ф = 0 ; 5) на бесконечност и 21\ 0 1 = 0 ; 6) наконец , потребуем , чтоб ы х = х(р , v) у = у ((i , v), полу чаемые при посредств е уравнени й (17.5) , (17.6) , (17.7) , давал и взаимно однозначны е отображени я в соответствующи х областя х ((л, v) и (х, у). 13 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Прежд е чем начать интегрировать систему (17.5), (17.6) , (17.7 ) при краевы х условиях 1) - 6), выясним, отвечает ли эт о какой-либ о гидродинамической задаче вообще и если да, то какой . Вследствие условия 6), конту р С буде т в плоскости (х , у) пере ходить такж е в замкнутый контур с (так как уравнени я (17.7 ) опре деляют х а у с , точностью до произвольны х постоянных, то можно добиться того, что точк е А буде т отвечать какая-т о заранее выбран ная точка а контур а с). Вследствие 4) на с будет ф = 0; отсюда на с будет dx = d(r), dy = ^L-dj + X 4 ; Р a (17.11 ) f M' j si n 3 . р co s p - \ . ( x A ' У A координат ы той точки плоскости (X, у), в котору ю мы переводим точк у А плоскости (;л, v)). В частности, вдоль контур а с будет (ф = 0): т COS P d t p + у ¥ si n (: / (17.12) Чтобы нагляднее представить степень отличия контуров С и с, построим функцию тока Ф и потенциал скоростей W дл я введенного выше фиктивного потока несжимаемой жидкости, обтекающе й конту р С в плоскости (]i, v) с циркуляцие й Г и со скоростью Vco на бесконечности. В частности, буде т д ц co s f ЙФ так что (W = O) по (17.12) дч si n р дФ V ' V df Г V d9 " ./ f 1 V J V ЙФ dv+yA. (17.13 ) Отсюда видим^ что для _малы х скоростей, когда Vjv близко к единице^( и ср близк о к Ф), конту р С будет близок к контур у с. Та к как Vjv < 1, то контур с буде т искажён по сравнению с С. 13 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Дл я точного определения величин х и у по формулам (17.11 ) или (17.13 ) надо выразить (ри ф через |i и v из уравнений (17.6 ) при условиях 4), 5), 6). Чтобы это сделать, Христианович разбивает каждо е из ср и ф на два слагаемых: <р = ?о+ гд е C1 и C2 - произвольны е постоянны е интегрирования . Эт и постоян ные мы подберё м так , чтоб ы P h Q равнялис ь их точным значениям при V = V^. Та к ка к S = In V и та к как по (17.3 ) и (8.9 ) YK-=^YYZZM^i где M = -J, мы може м написат ь откуд а получае м Итак , в перво м приближени и мы должн ы заменит ь (17.11 ) на мв X = f { { ^ + ) co s р а Ф * ( 4 C 2 V ) sit. р ЛГ J + хА, МА Mb у = J {(• = Ь esV') sin р - C a V ) с о " р } H у А . мд (17.25 ) гд е C1 и C2 определяютс я по (17.24) , а функци и Ф* и Ш* ка к функ ции о т (1 и V находятс я из задачи обтекани я в несжимаемо й жидкости . Нужн о отчётлив о помнить , чт о в т о время, как V и [J сут ь скорост ь и уго л соответственн о в поток е несжимаемо й жидкости , обтекающе й данны й конту р со скорость ю на бесконечност и Vca и с циркуляцие й Г , функци и Ф* и W* представляю т обтекани е тог о ж е контур а и с то й ж е скорость ю на бесконечности , но с друго й Циркуляцией-Г* . Ка к найти эту циркуляцию ? Она получается , ка к 14 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 и дл я точног о решения , из услови й однолистност и плоскост и (х , у), отвечающе й нашему решению . Подробны й и просто й выво д имеется в упомянуто й стать е Христианович а и Юрьева . Оказывается , чт о над о взять , ка к и в точно м решени и ^ r 4 7 = L = = . (17.26 ) V !-M200 Есл и обозначит ь комплексны й потенциа л нашег о поток а с цирку ляцией Г* чере з F*, комплексны й потенциа л ¢-)-/4 1 ' чере з F , нако нец, (л-fit = z, то мы сможе м написать , в частности : = § (17.27 ) и привест и подынтегрально е выражени е (17.25 ) к боле е компактном у виду: H* +W = C 1 I p d r + Ci ^ d F i . (17.28 ) гд е dF" - комплексна я сопряжённа я с dF* : dF' = йФ* - i rfl'*. Приведё м пример . Пуст ь в несжимаемо й жидкост и в плоскост и (ц, v) имеет мест о бесциркуляционно е обтекани е круг а радиус а 1 со ско рость ю K 0 0 на оо . Тогд а F 4 = F==VT 0 ^ + ! ) (17.29 ) и (17.28 ) приме т вид: - i t 1 \ 2 d(x + iy) = c1 dz+cJSco\A-p-j dz. x + iy = C1Z 4 C2V2 o (z + •=- i ) . Искажени е може т быт ь тепер ь легк о подсчитано . В случа е обтекани я эллипса , уравнени е которог о имеет вид fj.2 v 2 (1 + г2 )2 (I-/2 ) 2 = ' ' ° < Г < 1 ' достаточн о перейт и о т плоскост и Z ( = p. -J /v) к плоскост и £ по формул е Област ь |С| > 1 отображаетс я в плоскост и (г ) на область , внешнюю 517]ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 14 1 по отношению к нашему эллипсу. Равенство (17.28 ) мы запишем теперь в виде: , . . I d F t , . dF I F i I d Z V - / 1 T , m + = 1 dF К dZ + dz. (17.30 ) Пр и отсутствии циркуляции F t = F . Тогда, производя несложные выкладки, получим: x + ly = cx C + ^ +C^ Vo 2o - •Л , " J " t + r с + гК Есл и эллипс сильно вытянут так, что и 1- г = в, где е малая величина, то можно приближённ о написать х + ly = C1 (с + + (С-+ 1 + 2е Это т последний профиль будет весьма близок к нашему эллипсу . В общем случае циркуляционног о поток а уравнение (17.28 ) или (17.30 ) позволит сразу выяснить особенности, которы е возникают из-за обращени я в нуль " функций dF'jdi и dF/dL X-^T'" За подробностями мы отсы лаем к цитированной работе Христиановича и Юрьева , в которо й показано, что если конту р в плоскости ([j-, v) гладкий, то на контур е в плоскости (х , у) возникнут в местах, отвечающих упомянутым особенностям, угловы е точки. Христианович и Юрье в показывают, ка к можно избежать появления этих угловых точек в плоскости (х , у) подбором специального профиля в плоскости ((л, v). На рис. 44 дан пример появления осо бенностей в контур е на пло скости (х , у)\ здес ь М " = 0,33 3 в плоскости ((1, v) кру г радиуса 1. и P/V , Рис. 44 . = 1, причём обтекается На рис. 4 5 дан в плоскости (х, у) гладкий контур , обтеканию которог о отвечает в несжимаемой жидкости (в плоскости (u., v)) 14 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 движение вокру г контура , изображённого на рис. 46 . Этот последний контур есть Kpy r радиуса 1, к котором у присоединён отрезо к дуги круг а ббльшег о радиуса (как и в предыдуще м примере Mco = = 0,333, TmJvtjo = 1). -QA -O1S -I O14 V 8 Рис. 45. Рис . 46. При больших скоростях нельзя ограничиваться первым приближением. Вычисление функций If1, ф, бывает громоздко, но можно воспользоваться следующим рассуждением. Для d0,3 6 при обтекании круга возникнут сверхзвуковые зоны. 14 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Можн о ожидать , что при обтекани и вытянутог о контура , напри мер профил я Жуковског о или профил я крыл а современног о само лёта , искажени е буде т получатьс я горазд о менее значительным , чем в случа е круга . Н о есл и груб о считать , что профил и с и С тожде ственны, то метод Христианович а даё т замечательно е средств о быстр о рассчитыват ь распределени е скоросте й и давлений вдол ь профил я крыл а с учётом сжимаемост и пр и любы х дозвуковы х скоростях , если известн о обтекани е крыл а при малы х скоростях . Действительно , пусть мы получили, хот я бы путё м продувк и крыл а в аэродинами ческой труб е при малых скоростя х K1 на бесконечности , распределе ние давлени я вдоль крыл а С. Пуст ь V1 настольк о мало, что эффек том сжимаемост и можно пренебречь : критерие м этого може т служить , например , то , что величина V1Iat буде т почти совпадат ь с соответ ствующе й величиной V h c таблицей . П о уравнени ю Бернулл и для несжимаемо й жидкост и 1 - / K Y V и, ) - ?нес ж ' гд е _ р ~ р Я иес ж - 2 J "1 ' т Мы считаем, что q в каждо й точк е профил я известно , значит, мы можем найти Vfv1 для каждо й точк и профиля . Тепер ь спросим себя , каков о буде т распределени е скоросте й и давлени й вокру г крыл а С, если скорост ь на бесконечност и буде т V2, причём v 2 ^>v 1 ? Рас считаем сперв а V2 Iat = V,; обратимс я затем к таблиц е или к фор муле (17.9 ) и найдём соответствующу ю скорост ь фиктивног о поток а несжимаемой жидкости ; пуст ь эт о буде т V2, дл я этог о фиктивног о потока несжимаемо й жидкост и конечн о снова буде т 1 ( = ^ ) = ? " е с ж . где 9 нес ж принимает прежни е значения в соответствующи х точка х контура . Та к как V2 известно, эта формул а позволи т найти V дл я каждо й данной точк и нашег о контур а С . Тогд а по таблиц е мы можем найти безразмерну ю скорост ь v дл я каждо й точк и контур а с, близког о к С (а груб о говоря , тождественног о с С) и обтекаемог о со скорость ю V2 на бесконечности . Распределени е давлени я найдётс я затем по формул е TL 1 5 17] ДОЗВУКОВЫ Е СКОРОСТИ . МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 14 5 В начале этог о параграф а мы уж е упомянул и о том , что сейчас имеется много работ , посвящённы х приближённом у решени ю задачи о движени и газа с дозвуковым и скоростями . И з этих рабо т значительно е число отправляетс я от уравнени й Чаплыгина . Сам Чаплыгин предлагае т перейт и о т переменны х р, т к переменным [3, а, где а = - /* -J( 1 - + const . = - f 4 ^ + const . (17.34 ) J Zz J р0 v Уравнени я (16.12 ) приму т тогд а вид где £ = (17.35 ) K = Ы Г = / 1 ( 1 7 ' 3 6 ) (1 - т ) I 1 - ранее упомянута я функция , использованна я Христиановичем . Есл и положит ь тепер ь приближённ о Ktt 1, мы получим дл я ср и iji в переменны х P и о уравнени е Лапласа . Чаплыгин произвё л эт о построени е дл я приближённог о решени я задачи о струя х в сжимаемой жидкости . Слёзки н ' ) первый указа л на воз можность применения эти х уравнени й к решени ю задач о бесцирку ляционном обтекани и криволинейны х профилей . Карма н 2) и Сюэ-сэн ь цянь 3 ) исследовал и такж е бесциркуляционну ю задачу при помощи (17.35 ) и принял и К постоянным , но равны м K c o 4 ) . Преимуществ о метода Христианович а заключаетс я в том , что Христианович , не ограничиваясь первы м приближением , рассмотре л 1935^ ^ л 6 з к и н A'' К вопросу о плоском движении газа, Труды МГУ, ! ) Karma n Th., Compressibility Effects in Aerodynamics., Journ. Aer., Sci. 8, 1941. 1 3) Tsie n H. S., Two-dimensional Subsonic Flow of Compressible Fluids., Journ. Aer. Sci. 6, 1939. 4) Равенство K=Koo выполнялось бы точно, если бы мы приняли вместо формулы /> = "*• (1/рГ* (й = const., так как движение безвихревое) линейный закон P = A-B 1/о, связывающий давление и удельный объём, причём A a B подобрали бы так чтобы наша прямая в плоскости (р, 1/р) была бы касательной к кривой р = 9'(1/р)' в точке Pay (Vp)w0. В самом деле, при нашем линейном законе Пуассона 10 1 еоретлчеткая гилромеханикл, ч. II 14 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 общи й случа й обтекани я при наличии циркуляци и и что уж е в пер вом приближени и он получи л большу ю точност ь цено й введения , вмест о с, величин ы 5 . § 18 . Приближённы й мето д Христианович а дл я решени я плоски х безвихревы х задач . Сверхзвуковы е скорости . В пре дыдуще м параграф е мы рассказал и о приближённы х метода х решени я дозвуковы х задач . Эти метод ы опиралис ь на использовани е (r) и ф в качеств е искомы х функций , а плоскост и скоросте й - в качеств е плоскост и независимог о переменного . В сверхзвуково м случа е таког о род а искомы е функци и и независимы е переменны е такж е могу т помочь решени ю многи х задач . Христианович у ' ) удалось , использу я <р и ф в качеств е искомы х функци й от р и о , дат ь новый приближённы й спосо б решени я все х основны х плоски х безвихревы х зада ч в сверхзвуково м случае . Иде я решени я заключаетс я в следующем . Д о си х пор , рассматрива я движени я со сверхзвуково й скоростью , мы строил и характеристик и в плоскост и (х , у) или в плоскост и (vx, vy). Вмест е с Христиановиче м буде м тепер ь строит ь характе уравнение Бернуллн запишется в виде В , 1 у .,2 b I 1 Y 2 Т I J ) = С О П Л ~ 2 - Т ^ : ) • Но тогда в уравнении (16.8) мы будем иметь: " Po _ PPof d Poo _ PPo dv t>v 2 dv Bv2 V2 В так что на месте К будет стоять постоянная величина J J L Л в JL' С другой стороны, "соРо ''•Pa: Мы получим одно н то же значение Kx при B = ^pco/Pco, но это как ра з и означает, что прямая р = А - B-Mt будет параллельна касательной к кривой р = "*(1/рГ * в точке (Pco l 1/р СО/' 1J X р н с т и а н о в и ч С. А., Приближённое интегрирование уравнений сверхзвуковых течений газа, ПММ, т. XI, вып. 2, 1947. § 18] ПРИВЛИЖ8ННЫ И МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 14 7 ристик и в плоскост и (ср, ф) (речь идёт о безвихрево м движении) . Чтоб ы связат ь <р и ф при перемещени и вдол ь характеристики , удоб нее всег о обратитьс я к соотношения м (16.6 ) § 16. Вдол ь характе ристи к мы имеем (см. 9.23) : rfy = t g ( P ± a )dx, (18.1 ) где верхни й зна к отвечае т характеристика м первог о семейства , ниж ний - второго . Значит , по (16.6 ) вдол ь характеристи к будет : • i [cos р t g (р ± a)-si n р] - [sin р t g (р ± а ) + co s р] di/ = 0 . (18.2 ) или, после сокращени я и приведени я членов: d y = + iactgarf f (18.3 ) P Величина (p 0 /p)cfg a зависи т тольк о лиш ь от V = Vfall [см., напри мер, (9.22 ) и (16.1)] : -^Ctg a : / ^ T T T ("8.4 ) Обозначи м вмест е с Христиановиче м У " = ' г + 1 ')• (18.5 ) Легк о видеть , что %(v) есть монотонн о растуща я функци я о т V, не отрицательна я при v^ > 1, обращающаяс я в нуль пр и (r) = 1 и ~ у . I j в бесконечност ь пр и v = ^ ^ . Итак , вдол ь характеристи к первог о семейства буде т а вдол ь второго : dф = Vy.(f )J - ( 1 8 . 6 ) ^ = 7 ^ = ^ 9 (18.7 ) У / " ') X - K (v), где К (v) - функция, введенная в § 17, только К (v) было определено для w^l , а / напротиз, мы рассматриваем лишь для V > 1. IOs 14 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Вспомним теперь , что характеристик и в плоскост и скоросте й связан ы соотношение м где ь P q : С (о) = const. , _ Л / ГГ2 1 C W _ г Г у 2 ~ 1 d v _ ~ J У I ^ i , * ' " ~ I r •*.+ 1 Обознача я > .+4 -11 г' хх 4+1 (18.8) C ( O ) р = 2Х, C(o) + p=2jj . (18.9 ) и переход я к независимы м переменны м \ и ц, мы должн ы из (18.6 ) и (18.7 ) получить : йф ду 1 dty ф ^ V z f a ' д Х d x V t ( V ) ' Пр и этом , вследстви е (18.9) , (18.10) C(W) = X-^1 J., (18.11 ) т . е. 1 /Vi(V ) есть функци я от X -)- Ка к выгляди т эт а функция ? Н е представляе т труд а изобразит ь Yy i в функци и о т С : и ту , и другу ю величин у можн о считать пара метрическ и представленно й чере з v [формул ы (18.5) , (18.8 ) соответ ственно] . Так , например , легк о убедиться , что в област и С ж О причё м 1) Y x и м е е т В И Д = ( ^ ) ^ 1 ^ 3/4 + . . . Далее , крива я имеет точк у перегиб а пр и С = 0,175 . Пр и дальнейше м рост е С знак кривизн ы у Y ' / , н е меняется , и она асимптотическ и уходи т на бесконечност ь при § 18] ПРИВЛИЖ8ННЫ И МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 14 9 Кривая Y'/в ФУНКЧИИ о т представлена на рнс. 47 . Христианович замечает, что для значений С, не слишком близких к нулю, можно с большой точностью аппроксимировать нашу кривую как куски парабол; так в интервале 0,01 5 < С < 0,57 , (18.12 ) в котором V меняется в пределах 1,06 < v < 1,74, можно написать V ^ "18, 5 (С +0,185) 2 . (18.13) В интервале 0,57 < С < 1.02 (1,74 < V <2,07 ) (18.14 ) можно написать У Х я й 6,5 (С- 1,30)" (18.15) и т. п. Обычно в безвихревых задачах мы заранее знаем, в каких пределах меняется поле скоростей v (см. § 11) и поэтому мы можем выбрать представление для V' l в в11Д е наиболее подходящей параболы. Но, если у ^ = Л(С + с)2 *, (18.16) ',-Vx Рис. 47. тмА.сик- постоянные (причём к- целое число),т о система (18.10 ) может быть решена в общем виде. Именно, исключая из (18.10) ф и используя (18.11) и (18.16), мы получим для ф уравнение -д\ ^ф -+ттЬгй+гн - oe.iT ) Исключая же ф, мы получим для <р: d2

ф = ф1(Х) = ф2(1*). 1 ( 1 8 ' 2 7 ) ^ R T = Y I T Y (".28 ) входя т две функци и 1Ir1 и Ф*2. Определи м их . Умножи м об е части последнег о равенств а на X --j jjl --j с? и продифференцируе м по X и р,; "г ;(Х) = -| г 1( Х + 11 + е)ф(Х1 р.)] = ф(Х, ^ + ( Х + ^ + с ) ^ , G-O = ^ K M H + O M FOI = M r O + ^ + n + O f r Эти равенства , справедливы е всюду , запише м дл я наше й заданно й линии . Здес ь можн о написать : U-; (X) = ф! (X) + [X + M (X) + с] ^ ; , 11 M W 1 (18.29 ) W2 (р) = fc(n) + [A(n ) + I" + с] ( ^ ) I = A W Члены , стоящи е в право й части эти х уравнений , известн ы все, за исключение м (д^/дХ) и ( 15 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Остаётс я подставит ь (18.32 ) и (18.33 ) в правы е части (18.29 ) и про вест и квадратуры . Постоянны е интегрировани я найдутс я из услови я совпадени я ср и ф с заданным и значениям!! из начально й кривой . Мы принял и приближени е (18.25) . Аналогичны м образо м решаетс я задач а при = Л/(С -{с) 2 . З а д а ч а II. Есл и в задач е I пришлос ь брат ь ещ ё квадратуры , т о задач а II решаетс я совершенн о элементарно . Имее м дв е характе ристики : X = X0 и |д. = |i0 , выходящи е из одно й точк и (рис . 14 и 15). Н а эти х характеристика х движени я известны . Пуст ь буде т при X = X0 1)1 = 3/4 (р.), при [I=Ii 0 ф = ф2(Х), причём ф, Ы = <ЫХо) '8.28 ) X а полага я |i = |i0 , получим : = 08.34 ) ^ 3/4 = 3/4 3/4 ^ . С " " ) Кром е того , перво е из эти х соотношени й дас т нам: И з (18.34 ) % W = lIfI (>-о) + (*0 + t* + ^H 1 ([!). И з (18.35 ) имеем: (X) = W 3 (|10) + (X + [I0 + с) ф2 (X). Поэтом у окончательн о мы получим : ,ЬГХ и.1 - ft° + ^ + с ) 1Ij' (Ij-) + ft + ft) + О Фг СО - ftp + Po + О Ф. Ы Y k ' " X + [i + с (18.36 ) З а д а ч а Ш . Движени е задан о вдол ь одной из (заданных ) характе ристик . Пусть , например , при X = X0 буде т ф = ф 2 (|i) , где (J) 2 -из вестна я функция . Движени е происходи т межд у это й характеристико й и стенкой , причём уравнени е последне й мы напишем в вид е х = Х(§) , у = К(р ) и на стенк е примем ф = 0 . Ище м внов ь решени е в вид е (18.28) . Полага я сперв з та м X - Aq, получим! 4t , Гил + W • M W " Х0 + !х + с ' (r1l R8 ' 3 З7 Л) отсюд а сраз у найдём ¢"2((1) с точность ю д о постоянно й ^1 1 (X0 ); остаётс я определит ь ЧГ, (X). Чтоб ы эт о сделать , заметим , что есл и § 18] ПРИВЛИЖ8ННЫ И МЕТО Д ХРИСТИАНОВИЧ А 15 5 идт и вдол ь стенки , гд е ф = 0 и <" ' ^ ~ 11CO ' 9 ~~ 11CO ' так что дл я ф мы имели просто уравнение Лапласа, то в сжимаемой жидкости мы должны положить = i £ . = _ Ъ = ^L - v - vV дх ' дх' vS ~~ ду ' причём Po * Oy ' р0 Po * + 1 так что уравнение, получающееся дл я ф, буде т содержат ь в качестве коэффициента Vco(at- число Маха на бесконечности. Сама конфигура ция линии тока буде т меняться с изменением числа Маха и, таким образом, одному профилю будет отвечать бесконечное множество линий тока , представляющих обтекание этог о профиля при различных по величине скоростя х на бесконечности') , ') Несжимаемая жидкость получается как предельный случай, когда vco/a, 1, так что в выражении для р/р0 можно пренебречь членом, содержащим (fco/aj 2 ; это приводит к приближённому условию р/р"I , Другой предельный случай получится, если скорость Vco будет сверхзвуковой и -19]ПЕРЕХО Д ЧЕРЕ З СКОРОСТ Ь ЗВУКА . ПРЕДЕЛЬНЫ Е ЛИНИ И 15 7 Особенно резко проявляется изменение формы линий тока, когда в плоскости течения (обладающего ещё дозвуковой скорость ю на бесконечности) возникают сверхзвуковы е зоны. Мы уж е видели в одном из предыдущи х параграфов , на примере обтекания контура, близкого к кругу , что уж е при V 0 0 ^ 0,3 6 на профиле появляется точка, где D > а, ; при дальнейшем росте скоростей следуе т ожидать появления сверхзвуково й области. Н о здесь возникает новая специфическая трудность . Дел о в том , что течения сжимаемой жидкости обладаю т двумя особенностями по сравнению с движениями жидкости несжимаемой. Во-первых , в сжимаемой жидкост и невозможны беско нечно большие скорости I максимальная возможная скорост ь есть во-вторых , в сверхзвуково м потоке газа, в противоположность жидкост и несжимаемой, трубк и тока расширяются с увеличением скорост и (см. § 8). Последне е обстоятельство приводит к тому, что в сверхзвуковой зоне линии ток а будут, расширяясь, расходиться по отношению к обтекаемой границе; в дозвуковой зоне, напротив, линии тока буду т сужаться и как бы сходиться с приближением к сверхзвуково й зоие. Можно ожидать, что при заданном контур е буду т существоват ь скорости на бесконечности, при которы х невозможно буде т удовлетворит ь этим обоим законам. Конечность скорости , с друго й стороны, приводит к тому, что там, где решение дл я несжимаемой жидкости даёт бесконечные скорости , например, при обтекании острия, там решение для жидкости сжимаемой либо не существует , либ о соответствующие линии ток а не образуют острог о угла. Математически дело сводится к тому, что в сверхзвуково й зоне могут появиться точки и целые линии, на которы х производные от скоростей буду т обращатьс я в бесконечность. Это так называемые "предельны е линии". Таки е решения уравнений газовой динамики, формально существующие , физического смысла не имеют и реали зоваться не могут. В этих случая х движение перестраивается так, что возникает линия сильного разрыв а (не совпадающая, конечно, с предельной линией), и решени е с самого начала следует искать очень большой, т. е. если Mco = Voolaca 1. В этом последнем случае, так как по (9.22) CO мы получим, пренебрегая членом, содержащим l /М^ , р^> 0 "( 1 - ь 2 ) 1 "* 1 ' Таким образом, в этом предельном случае поток вновь не зависит от числа Маха на бесконечности. 15 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 не в виде непрерывного безвихревог о обтекания, а в виде движения, в котором имеется поверхность разрыва , форма и местоположение которой заранее неизвестны и после переход а через котору ю течение становится вихревым . Опыт показывает, что скачки, как правило, "садятся" на крыл о в сверхзвуковой зоне (крыл о движетс я с дозвуково й скоростью) . Такие же скачки образуютс я в сопле Лаваля, даже при нужном пере паде давления, сраз у после того, как совершился перехо д через звукову ю скорость, если тольк о профиль сопла ие удовлетворяе т специальным условиям (см. следующи й параграф). Условие наличия предельны х линий в том или ином решении уравнений газовой динамики, т. е. условие, при которо м появляются бесконечные ускорения (производные от скоростей), нетрудн о написать. В самом деле , это условие очевидно равносильно обращению в нуль якобиана D(x, y)jD(v, fi); но последний можно записать так : D (х, у) _ D (х, у) D (Т, ф) D (о, р) - D( = Zn (т) (Л cos 2пр -) В sin 2яр), (19.2 ) ') Tollmie n W., ZAMM 17, стр. 117-136 (1937). 2) Татаренчи к В. В., О частных решениях уравнений газовой дина мики, ПММ, т. VlIl1 вып. V, 1944. -19]ПЕРЕХО Д ЧЕРЕ З СКОРОСТ Ь ЗВУКА . ПРЕДЕЛЬНЫ Е Л И Н И И 15 9 где AwB - постоянные, a Zn по-прежнем у буде т z" = *"Уп М . H v" удовлетворяет уравнению гипергеометрического ряда (16.16) : Здес ь п - любое число. Вместе с Татаренчиком положим: 2 п + 1 = 0 , тогда для у" получим: Это уравнение интегрируется и даёт: •У,, = CI О - T)" _ 1 +С Г , где C1 и C2 - произвольные постоянные. Итак , мы можем принять в качестве решения: 4 = -j= U 1 (1 - T^ r T + C2] [Л cos р - В sin р]. (19.3 ) V * При этом для ср получается [см., например, (16.21)]: 9 = ^ ( 4 1 у е 2 ] sin р + BcosP) . (19.4) Рассмотрим частные случаи. Положим сперва с, = Д = 0; C 2 B = / " тогда буде т / т = 1 -HL = ^ 2 1 \ : \ х + 1 а\ * + 1 J А = ф = ± я п р , = ^ = -I-PL c o s R ( 1 9 , 5 ) tt" V а, V p 1 Найдём сперва, как выглядят в плоскости (х , у) линии v = Consi. Та к как вдоль этих линий и так как , по (16.7 ) и по ¢19-.5) -J L = ^ i L d n 2 p . ^ = ^ c o s 2 p , V2 р рг/2 v то dx = Usin 2р dp; dv = -= cos 2р dp . f v! 16 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Интегриру я по р в предела х от тс/2 до р, получим : X = X 0 (V ) + ^ (co s 2? + 1); у = + sin 2р, отсюд а Остаетс я нарти лиш ь x0(v) и у 0 (о) . Эт о сут ь значения, которы е при нимают х -л у ъ функция х о т V на линии р = л/2 . Н о вдол ь линии P = it/2 = const , буде т (Ix=-^rdv, dy = ^L-dv, dv dv причём (дх/dv)^^.^ = pjpv3, a(dyjdv),i=1I/2 = 0. Таки м образом , линия P = л/ 2 в плоскост и (х, у) переходи т в прямую , параллельну ю оси Ох , и можн о считать Уо = 0 . что ж е касаетс я Jc0, то оно найдётс я квадратурой' ) X 0 (V ) = / J r ^ r f v + const . = / 4 r ( l - ^ y i 2 ) * ' (/" + const . Таки м образом , линиями v = const , буде т семейств о круго в с центрам и вдол ь осп Ox и различны х радиусо в (см. рис . 48 , на которо м изображен а "верхняя " часть течения). Та к как на линии у = 0 буде т р = и/2 - все линии ток а под прямы м угло м пересекаю т ось Ох . Рассмотри м линию ток а ф = с. П о (19.5 ) там, где эта линия ток а пересекае т ось Ох , буде т V=Ifc. Перемещаяс ь вдол ь линии тока , ' ) Квадратура выполнится, если положить v- 1,40. 19] ПЕРЕХО Д ЧЕРЕ З СКОРОСТ Ь ЗВУКА . ПРЕДЕЛЬНЫ Е ЛИНИ И 16 1 мы будем встречать различные значения V. Попадём ли мы на предельную линию? Вдоль предельной линии (19.1 ) имеем по (19.5) : / J L f ( М " _ 1) _ ( Щ 2 L sin2 р = о . V p / V2 \ р / V2 Если двигаться вдоль линии тока ф = с, т о буде т по (19.5 ) sin р = = cv, COS2P = 1 -C1Vi, и на месте встречи нашей линии ток а с предельной линией будет по (8.9): 2 1 -1 Х +L 1 v. - 1T V 1 W l C 2 V i ) C1V2 = O или, если собрать члены и произвести упрощения, = 0. У этого уравнения буду т действительные корни тольк о при C2 ' > У. + 1 • Но, как мы видели, 1 /с равно значению скорости в точке пересечения нашей линии тока с осью Ох . Значит, па всех тех линиях тока , для которых скорост ь V па оси Ox будет меньше, чем у ^ p y • бесконечные ускорения не возникают, и соответствующие течения имеют физический смысл. На рис. 4 8 изображены эти линии тока, вплоть до крайней возможной V-^p y j • Круги постоянной скорости сгущаются по мере при ближения к линиям тока, на которы х возможны бесконечные ускорения . Люба я из линий тока, изображённых на рис. 48, может быть принята за границу обтекаемого контура. Н а Рис. 49. рис. 4 9 изображена одна из таких линий тока и нарисованы харак теристики первого и второго семейства, которы е возникают в нашем движении в сверхзвуковой зоне. Второй частный случай решения (19.3), (19.4 ) получим, полагая Тогд а C2 = А = 0. ClB = ^ y r . * = Ч" 1 i X T ^ 2 ) -/ s i n E i : = const, для случая п = - 3 / 4 3 ) . Отдельн о показано в увеличенном виде поле, обведенное квадратом . Здес ь как ра з появляются предельные точки. Лиш ь вне некоторой линии тока возможно физически осуществимое обтекание, сходное с тем, что разобра л Татаренчик. В несжимаемой жидкости этому движению отвечает обтекание угла в 60' . В приведенных примерах вопрос о возникновении или невозникновении предельных линий решается задним числом - после того, как решение получено, применяется критерий (19.1). Нельз я ли, ') Ringle b F., Exakle Losungen des DlfferenzlaIgleichungen elner adiabatisher Gasstromung, ZAMM 20, 1940. г) Krat l an d Dibble , Dimensional Adiabatlc CompressibieFlow Pat terns. Journal of the Aeronaut. Sci. II, № 4, 1914. 3) Постоянные, входящие в z", подобраны здесь гак, чтобы максималь ная скорость была v = 1,8. JJD]КЛАССИФИКАЦИ Я СВЕРХЗВУКОВЫ Х ТЕЧЕНИ Й П О ХРИСТИАНОВИЧ У 16 5 однако, выяснить заранее, получатся ли безразрывные , имеющие физический смысл, решения при обтекании данного контура , при данной скорости на бесконечности и при условии возникновения сверхзвуковой зоны. Этот вопрос тем более важен, что очень редк о удаётся получить точное решение задачи обтекания. Почти всегда приходится довольствоваться решением приближённым, а благодар я неточности того или иного приближённого метода мы можем пропустить появление опасных областей. Так , например, при неудачном подборе входной части сопла Лаваля может оказаться , что непрерывное движение не осуществимо, и в сверхзвуково й зоне возникает поверхность сильного разрыва (см. § 21). Некоторы й свет на условие отсутствия или возникновения разрывов проливают работы Христиановича, а такж е Никольског о и Таганова. Мы изложим в общи х чертах содержание этих исследований. § 20 . Классификаци я сверхзвуковы х течени й по Христиаио вичу . Рассмотрим некоторую область течения газа, ограниченную четырьмя характеристиками . Пуст ь криволинейный четырёхугольник AliMzM 3 M 4 (составленный из дуг эпициклоид) изображает рассматриваемую область течения в плоскости (vx, Vy) (рис. 53). Пуст ь о Рис. 53. дуги М'3М'2, М'4М[ принадлежат к эпициклоидам 1-г о семейства, а дуги MriM1 , М[М' - к эпициклоидам 2-г о семейства. 3 2 Как в плоскости <ср, ф) расположатся точки AI1, AI2, M3 , Af4, являющиеся изображениями точек Mj, М'г, М'3, М4 соответственно? Минимальное значение ip может оказатьс я в одной из четырё х точек M1 , M2 , M3 , Mi. Мы не рассматриваем здесь вырождающихся случаев, когда в плоскости (3/4 , мы будем иметь, вместо 16 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 четырёхугольника , дуг у характеристи к 1-г о или 2-г о семейства . Эти случа и полность ю был и разобран ы раньш е (см. § 12). Рассмотри м все четыр е возможны х случая . I. Минимально е значени е ip оказалос ь в точк е M3. Двигаяс ь от AI3 по характеристик е 1-г о семейств а AI3AI2, мы буде м попадат ь в област ь с ббльши м <р; следовательно , по (18.6 ) ф в точк е AI2 должн о быт ь больше , чем в AI3. Аналогичн о этому , чтоб ы попаст ь в AI4, над о двигатьс я по характеристик е 2-г о семейств а AI3AI4, и значени е ф в точк е AI4 должн о быт ь по (18.7 ) меньше , чем в AI3. Таки м образом , в этом случа е взаимно е расположени е точе к AI2, AI3, AI4 буде т таким , ка к показан о на рис . 54 . Далее , двигаяс ь от AI3 к AI4 по характеристик е 2-г о семейства , мы буде м получат ь по (18.6 ) дл я тангенс а наклон а di/jd f касательны х к характеристика м 1-г о семейств а веб меньши е и меньши е (по модулю ) значения , ибо пр и передвижени и по эпициклоид е от M3 к AI4 v растё т и значени е (Ух ) убывает . Аналогично , двигаяс ь по характеристик е AI3AI2 от M 3 к AI2, мы по (18.7 ) буде м встречат ь вс ё меньши е и меньши е значени я I йЩйч) I дл я характеристи к 2-г о семейства . Таки м образом , можн о уста новит ь характе р выпуклост и характеристи к обои х семейств . Схематическо е изображени е на шей област и в плоскост и (ср, <|>) дан о на рис . 54 . Христиано вич ' ) называе т движени я таког о типа "течениям и расширения" . Криволинейны е характеристик и ка к 1-го , та к и 2-г о семейств а Рис. 54. веду т себя здесь , есл и пере мещатьс я в направлени и течени я (т . е. п о линиям (J) = Const. от мень ши х f к ббльшим ) так же , ка к веду т себ я прямолинейны е характеристик и 1-г о семейств а в задач е о движени и газа вне выпукло й поверхност и (§ 12, рис . 23) . Возникновени е предельно й линии (пересечени е характеристик ) здес ь невозможно . II. Минимально е значени е <р пришлос ь на точк у M1. Передвижени е от точк и AI1 к точк е AI2 позволи т тепер ь заключить , благодар я предположенно й минимальност и <р в точк е AI1 и на основани и (18.7) , что (|) в точк е M2 должн о быт ь меньше , чем в AI1; аналогичн о - ф ' ) Х р и с т и а и о в и ч С. А., О сверхзвуковых течениях газа, Труды ЦАГИ, вып. 543, 1941. JJD]КЛАССИФИКАЦИ Я СВЕРХЗВУКОВЫ Х ТЕЧЕНИ Й П О ХРИСТИАНОВИЧ У 16 7 в M 4 будет больше, чем в Al1. Таким образом , точки Af1, M2, M4 расположатся так, как показано на рис. 55 . Если теперь мы будем перемещаться по характеристик е 2-г о семейства VW3AI4 от точки Al3 к точке M4, то мы буде м в плоскости (vx, Vy) дви гаться в сторону увеличе ния V и, значит, по (18.7 ) будем получать вей меньший и меньший (по модулю) наклон характеристи к 1-г о семейства (см. рис. 55). Аналогичным образом при перемещении от AI3 к M2 будем получать все меньший и меньший наклон характе ристик 1 -го семейства. Таки е движения Христианович называет "течениями сжатия". Двигаясь по течению (слева направо по линиям ф = Рис. 55. = COnst.), мы будем встречать характеристик и обоих семейств, веду щие себ I так же, как вели себя характеристик и (прямолинейные) в задаче о движении окол о вогнутой поверхности (§ 13). Характери стики сближаются по направлению течения. Предельная линия может здесь возникнуть как оги бающая каждог о из семейств характеристик . Христианович говорит в таки х случаях, что течение стремится к разрушению. В случае Il течение стремится к разрушению в трё х направлениях: в направлении возрастающих ф, в направлении убывающих ф, в направлении движения. III. Минимальное значение ip принадлежит точке M2. <Р Рис. 56. Движение по характеристик е от AI2 к AI3 приведёт теперь , вследствие (18.6), к росту ф; движение от M2 к AI1, по (18.7), - к уменьшению ф (см. рис. 56). .При движении от M2 к AI3 мы будем попадать в област ь меньших v, значит, характеристики 2-г о семейства, встречающие A^M 3 , будут подходить [вследствие (18.7)] всё круче и круч е по мере перемещения от M2 к M3. Напротив, если двигаться от M2 к AI1, мы 16 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 будем встречать всё менее и менее наклонённые характеристик и 1-го семейства. Наконец , как и в предыдущи х случаях, при перемещении по любой характеристик е мы будем иметь монотонное изменение тангенса наклона этой же характеристик и (неизменность знака кривизны). Тако е решение стремится к разрушению в направлении убывающи х ф, но в направлении течения оно может не претерпевать разрушени я - разрыв может и не возникнуть, ввиду того, что характеристики разных семейств ведут себя здесь по-разному . Этот тип можно назвать "смешанным". IV. <р достигает минимума в точк е Mi. Теперь рост ф получим, двигаясь от M4 к M1, и убывание -двигаяс ь от M4 к M3. При передвижении от M4 к M3 будем попадать в область с меньшими v и, значит, по (18.6 ) характеристик и 1-г о семейства, пересекающие MiM3, буду т становиться всё круч е по мере перемещения от M4 к M3. Напротив, двигаясь от Mi к M1, будем встречать всё менее и менее наклонённые характе ристики 1-г о семейства. Движе ние стремится к разрушени ю в направлении растущи х ф (рис. 57). Как и в предыдуще м случае, вопрос о возникновении линии разрыво в останется открытым . Течения такого типа Христианович такж е называет смешанными, объединя я их с предыдущими. Мы имеем таким образом J5 три типа течений. ' Можно был о бы провести Рис. 57. классификацию и по поведению характеристи к в плоскости (х, у) непосредственно, но здесь число классов пришлось бы удвоить. В самом деле, рассмотрим направление вогнутости характеристик в плоскости (х , у). Имеем: Так что dy dx rf2 у dx2 :tg( P ±СС). 1 d (Э ± a) dv COS 2 ( 3 ± а ) dv dx ' Но вдоль характеристик [см., например, (10.3)] = + C l g a dv ~ V ' J JD] КЛАССИФИКАЦИ Я СВЕРХЗВУКОВЫ Х ТЕЧЕНИ Й П О ХРИСТИАНОВИЧ У 16 9 а по (9.22) йч a* j X - 1 \ 2 2 sin a cos ct = - С'+ П ^ = 2 1" s i n a j V Таким образом, £ У = ± ' * L _ ^ J 1 cos 2 а - --g-^ sin2 a I . dx2 cos2 О ± a) dx V sm a cos а ( 2 J Кривизна обратится в нуль при значении a = a0 , где . п 3 - У. Sin а0 = ^ . При X = 1,4 sinя0 = 0,6325 , соответствующее число Маха будет M0 = ^ = I 1 S 6 5 . а D 0 = / 2 . Такие точки перегиба на характеристиках отчётливо видны, на пример, на рис. 49 и рис. 51 там, где наши характеристики пересекаются с линиями V = ]/2 . Таким образом, классифицировать пришлось бы отдельно для М<М о и M > M0. Посмотрим теперь, к какому классу движений принадлежит движение, получающееся сразу же за "переходной линией" (так мы будем называть линию, где v = aj) в сверхзвуковой области. Отправляемся на этот раз от уравнений (9.2): / 1 2\ dvx . jdvx dvy\ . 2 dvy {vx a) -gj -4vxvy ( + ^ ) + ( ^ ^ ) ^ = 0 и условия отсутствия вихрей dvy dvK дх ду Вводя величину скорости v и угол (3, так что Wr = Wcosp, V y = (r)sinp, мы можем переписать наши уравнения в виде ^ 2 " " 2 ) h P Ж + '** P (cos р f sin р = 0, 1 2(о20) sin р £ cos р £ + e (cos р "L + sin р I ) = О J ' ° или, если ввести v = v/a, и обозначить M = v/a: ( M ' l ) ( c o s p f + s i n p f ) + ^ p | L _ c o s p | _ ) = o,> s i n p f c o s p f + ^ ( c 0 s p f + s i n p | r ) = 0 . | 17 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ. 1 Чтобы выяснить , что буде т происходит ь окол о линии i Ci =I , рас смотрим сперв а произвольну ю линию iCi = const . Пуст ь P - точк а иа этой линии. Обозначи м длину , отсчитанну ю по дуг е от точк и P вдол ь линии v = const. , через s . Нормал ь в P к линии v = const , обозначи м букво й п. Направи в ось Ox по касательной , а ось Oy по нормал и к линии Ii = Const. в точк е Р , мы можем переписат ь уравнени я (20.1 ) в виде: _ (M2 , . . , dv . ( . " а" . й \ п 1) sin Ь -J^+ V I sin Ь - co s о ) = О, -co s 8 dv v 00s5 sitl8 db ' = 0 . •дп+ ( W + ^j = Здес ь S - угол , составляемы й векторо м скорост и с касательно й к линии iCi = const , (см. рис . 58) . Исключи в из эти х уравнени й дЬ/дп, мы получил и следующе е равенство , свя зывающе е db/ds и dv/dn: дЬ_ ds = ( 1 M S i n S ) ~дп (20.3 ) 2 2 Особенн о просто й вид получи т формул а (20.3) , когд а наша линия Ii = Const. есть линия перехода , т . е. есл и I i = I . Тогда : dv dS Hn (20.4 ) Заметим , что если нормал ь направлен а в сторон у сверхзвуково й зоны , т о буде т dv/dn > 0 , и таки м образо м db/ds > 0 . Рис. 58. Отсюд а мы получаем важно е следствие : если перемещатьс я по линии " = 1, т о уго л межд у направление м скорост и и направление м касательно й к линии i Ci=I буде т менятьс я монотонн о и именно так , что если при наше м пере мещении сверхзвукова я скорост ь остаётс я слева, т о векто р скорост и буде т вращатьс я проти в часовой стрелки . Може т ли получитьс я бесконечно е ускорени е уж е на самой линии (r) = 1 ? Согласн о (20.4) : dvjdn. = (l/cos2b)db/ds. Може т представитьс я два случая : 1) S = я/2 , 2 ) Ъ Ф к/2. Есл и 8 = тс/2, то векто р скорост и ортогонале н в точк е P к переходно й линии. Та к ка к пр и i Ci=I Sina = I 1 т . е. а = тс/2, т о в точк е i Ci = I векто р скорост и долже н быт ь орто гонален к характеристикам . Значит , когд а 8 = тс/2, т о характеристик и буду т касатьс я в P переходно й линии (рис . 59) . Пуст ь P = P* (S) - значени я угл а р н а лини и iCi = 1 в ф у н к ц и я х о т д л и н ы д у г и s , J JD] КЛАССИФИКАЦИ Я СВЕРХЗВУКОВЫ Х ТЕЧЕНИ Й П О ХРИСТИАНОВИЧ У 17 1 отсчитываемо й о т точк и Р . Дифференциру я эт о соотношени е вдол ь дуги , получи м (как и прежде , 8 - текущи й угол , составляемы й векторо м скорост и с направление м касательно й к линии I i = I , та к что р - S - уго л наклона касательно й к линии v = 1 к оси х). Кром е того , дифферен циру я вдол ь криво й Xi=I , имеем : ^ co s ф 8 ) + sin ф - 8 ) = 0 . К этим дву м уравнения м мы може м присоединит ь ещ ё дв а уравнения , которы е получатс я из (20.2 ) пр и M = I , V = 1: S•mаP ^ C O s p0 ? = п0 . . г. dv о dv , S l t l P C O S P ^ r + лч Ри с 59. + C o s p ^ + S i n p ^ = O. Реша я наши уравнени я относительн о производных , получи м dv _ co s (3 - 5) dv _ sin (p - Ъ) rfp* dy cos 2 5 ds ' dx cos 2 5 ds ' 5 ? _ siu 3/4, d'f _ co s f, dy cos Ъ ds ' dx co s 5 ds Мы предположили , что в точк е P(S = O) 3 = тс/2. Окол о точк и P мы може м написат ь Tt ( db* \ , Id2Ь'\ S2 , ;d4'\ s a . поэтом у cos 2 8 = (db'/dsf S2 + О (s3 ), где О (s3 ) обозначае т член порядк а не ниж е S3. С друго й стороны , дл я d^'jds имеем так что дл я dv/dy, например , имеем -g^= cos( P 8) " _ ( 2 0 5 ) 17 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Дл я ограниченности производной необходимо выполнение равенств ( 3/4 = ( 3/4 = о - ( 2 о6 ) Таким образом, для возможности непрерывного перехода от дозвуко вой скорости к сверхзвуковой в том случае, когда в некоторой точке линия перехода ортогональна к вектору скорости (например, на оси симметрии сопла Лаваля), необходимо выполнение специальных условий (20.6) относительно равномерности потока окол о этой точки. Если линия Xi= I сама является характеристико й (или во всех точках касается характеристик) , то дл я непрерывности движения условие (20.6) должн о выполняться во всех точках этой линии, т. е. должно быт ь FdsL 0 . и лииия перехода должна быть простой прямой. В противном случае на всей линии перехода мы будем иметь бесконечные значения наших производных, т. е. бесконечные ускорения, и тогда движение нельзя продолжить за линию перехода (сама линия перехода буде т предельной линией) и всё решение не будет иметь физического смысла. Простейшим примером такого решения может служить аналог источника или стока в несжимаемой жидкости . Именно, если в цилиндрических координата х •or = vr (г), Ii9 = O (Vr - функция одного тольк о г), то , так как по уравнению Бернулл и 1 X Po " ((r) = |(r) г /а.|) , а вследствие азрывиости, мы можем написать: V Если г, - радиус того круга , на котором v обращаетс я в единицу, то постоянная интегрирования буде т ] • т а к ч т 0 г = ^ - . (20.7 ) " Н 2 / JJD]КЛАССИФИКАЦИ Я СВЕРХЗВУКОВЫ Х ТЕЧЕНИ Й П О ХРИСТИАНОВИЧ У 17 3 1У1ы можем , казалос ь бы , представит ь себ е движени е таким : на бес конечности V = 0 , всюд у Vr < 0 - жидкост ь устремляетс я но радиуса м к центру ; скорост ь движени я монотонн о растё т по закон у (20.7 ) и на окружност и r ~ r t достигае т критическог о значения . Однак о вдол ь окружност и r = rf буде т dbjds = l/rt, та к что (20.6 ) не выпол няется. С друго й ж е стороны , ка к нетрудн о убедиться , написа в уравнени я характеристи к в цилиндрически х координатах , все характе ристик и должн ы касатьс я окружност и г = г , (где Ctg a = O). Движени е наш е не може т быт ь продолжен о внутр ь круг а радиус а г = г, . В са мом деле , знаменател ь (20.7 ) имее т максимум , и следовательно , г имеет минимум в точност и при о = 1. Это т приме р може т служит ь иллюстрацие й к сказанном у в начал е предыдущег о параграф а о невоз можности в сжимаемо й жидкост и осуществлени я таки х течений , кото рые в жидкост и несжимаемо й давал и бы бесконечны е скорости . Вмест о источника, или сток а в начал е координат , которы е получаютс я в не сжимаемой жидкости , мы имеем здес ь ядр о в вид е круг а радиус а г = г, , внутр ь которог о течени е нельз я продолжить . Вернёмс я тепер ь к общем у случаю , когд а 8 Ф тс/2 (см. рис . 60) . Нетрудн о убедиться , что движение , возникающе е в сверхзвуково й област и сраз у за линией перехода , буде т принадлежат ь к тип у смешанны х течени й по Христиаиовичу . Действительно , найдём изменение у при перемещени и по характеристике . Полна я производна я но л: пр и перемещени и п о характеристик е буде т = V [co s P + sin P t g (Р ± а)] . Таки м образом . dy dx COS ( Р ± а ) (20.8 ) Н а линии ( d f / d x ) , = 0 . переход а а = it/2 , Продифференцируе м (20.8 ) ещ ё ра з по д: и определи м эт у производ ну ю на линии перехода . Получим : V лх* ) . % da sin р ~dx ' Рис. 60. Зна к плю с следуе т взять при перемещени и вдол ь характеристи к 1-г о семейства , зна к минус -дл я 2-г о семейства . Таки м образом , есл и по мер е передвижени я от какой-либ о точк и P переходно й линии по характеристик е 1-г о семейств а <р буде т расти , то при перемеще ни и от P по характеристик е 2-г о семейств а ср буде т убыват ь и на оборот . Ясно , что эт о може т быт ь лиш ь в случа е смешанног о тече ния (рис. 5 6 и 57) . Итак , за переходно й линией действительн о може т 17 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й Д И Н А М И К И [ГЛ . 1 возникнуть предельная линия, в чбм мы и имели случай убедиться на конкретны х примерах § 19. § 21 . Построени е "безударного " сопла Лаваля . Истечени е газ а нз отверстия , сопровождаемо е переходо м чере з скорост ь звука . В § 12 мы видели, как можно путём подбора профиля сте нок получить равномерную сверхзвукову ю скорость в сопле Лаваля, после того как уже получено сверхзвуково е течение в некотором сечении сопла. Подбо р стенок производится в сверхзвуково й области. На первый взгляд может показаться, что форма стенок в дозвуковой части сопла - так называемой входной части - может быть произ вольна, лишь бы можно было достигнуть перехода через скорост ь звука. Однако это не так. Затруднени я с отысканием решения, о которы х мы говорили в предыдуще м параграфе, здесь проявляются особенно отчётливо. Если профиль входного отверстия будет произвольным, может оказаться, что переход через скорост ь звука будет сопровождаться появлением бесконечных ускорений. Физически это будет означать, что движение перестроится, так что сразу течение будет "испорчено". На рис. 61, заимствованном из статьи Астрова, Po 11.75 0 и< о 0 11,50 п 0,25 о с On о0 ы к UJ OJ* JSXjCBr tH U О WO 200 300 Ш 500 хмм 600 х Рис. 61. Левина, Павлова и Христиановича1 ), даиы результаты экспериментальных измерений распределения давления р/р0 вдоль оси одного сопла Лаваля. Сопло это было рассчитано без учёта возможности ') Астро в В., Леви н R., Павло в Л., Христианови ч С., О расчёте сопел Лаваля, ПММ, т. VII, 1943. S2I)ПОСТРОЕНИ Е "БЕЗУДАРНОГО " СОПЛ А ЛАВАЛ Я 17 5 возникновения разрыва . Как видно на рисунке, недалеко от линии перехода (на ней pjp 0 = 0,528 ) в сверхзвуково й области возник раз рыв; он породил возмущение, отражающеес я от стенок сопла и распространяющеес я по всей длине сопла. Равномерность потока оказалась испорченной. Как же следует построить входное отверстие, чтобы скачок не образовался ? Как построить безударно е сопло Лаваля ? В качестве простейшег о приёма можно, казалось бы, предложить следующий 1 ) . На оси симметрии сопла, какову ю мы примем за ось Ох , с началом координат в точке линии перехода, зададим ско рость Vx как некую аналитическую функцию от х. Пуст ь разложе ние этой функции в ря д окол о точки х = 0 имеет вид: Vx = ^ = I + Ах + Вх2 + Сх3-+ .. . (21.1) Уравнения газовой динамики [см. (15.1)]: [(х + 1 ) ( 3/4 1) + ( * 1 ) 3/4 ^ + dy •^ -[(" + ' ) ( 3/4 1 ) + ( * I K J J ^ = O, (21.2 ) где Ф - безразмерный потенциал скоростей , та к что _ дФ_ _ j54>_ Vj t - дх ' vy - ' (21.3) вместе с условиями симметрии и условием (21.1), позволят тогда последовательно определить в точке 0(0 , 0) любую производную от Ф_по х а у. Так, например, из условия (21.1 ) имеем для точки О: дФIdx = 1, а из условия симметрии: дФ/ду = 0 (vy = 0). Зате м из того же условия (21.1 ) . Линии ток а схематическ и даны на рис . 63 . Стенк и насадк а полу чаются при Ч = ± п (v = + ^V 0 0 ) - лини я ток а дважд ы повторяе т стенк у насадка . Отделя я действительну ю и мнимую часть , получим : Линии тока , дл я которы х W = + тс/2, могу т быт ь принят ы з а "стеику " С фиктивног о потока . Уравнени я эти х стено к буду т + . ( I + ' " * " * ) 1 2 Теоретическа я гидромеханика , ч. H 17 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 Потребуем теперь, чтобы Vco был о в точности равно тому значению, при которо м соответствующая скорост ь Vjo в потоке сжимаемой жидкости равна единице: Как показал расчбт упомянутых авторов , контуры в плоскости ( х , у) укорачиваются, так что линия v = 1 оказывается на конечном рас стоянии') . Далее , весьма существенн о то , что линия перехода оказывается отрезком прямой, перпендикулярной к оси Ох , и вдоль линии перехода скорост ь всюду имеет одно и то же направление, параллельное оси Ox (в несжимаемой жидкости поток стремится к этому направлению на бесконечности). Мы уж е видели в предыдуще м параграфе, что прямая линия перехода обладает преимуществом по сравнению с другими. Тот факт, что линия перехода прямая, позволяет считать, что разрывов в сверхзвуково й зоне не образуется . Практически ход построения входной части следующий. Пересечение прямой перехода с осью сопла принимается за начало координат в плоскости (х, у) (положительная ось Ox направлена по оси сопла в сторону сверхзвуковы х скоростей, отрицательная - в сторону дозвуковы х скоростей). Начиная от линии перехода (в сторону дозву ковых скоростей), расчёт стенок ведётся вплоть до тех мест, где по формулам типа (17.2), упрощённых за счёт того, что здесь KA r ^sO , wasl ; начиная от того места, где xi"s0,8 , расчёт ведётся по формула м (17.23) . В сверхзвуково й части следует сперва отойти от прямой линии V- 1 путём разложени я v и [3 в ряды, но не по степеням х а у, как это делалос ь в начале этого параграфа, а по степеням ее и ф. С этой целью можно использовать, например, урав нения Чаплыгина (16.9) , (16.10), которы е можно записать сперва в виде д? - _Pg дд<у? __ M 2 I P0 д'\> dp р ^ ' dv v P <5(J ' затем принять за независимые переменные <р и ф, а за искомые функ ции V и р и, наконец, принять за неизвестную функцию C = о 2 - 1. Написав разложение t и р по степеням ср и ф (практически можно ограничиться членами с пятыми степенями), можно при помощи эти х рядов отойти немного от линии t i = l в сторону сверхзвуковы х скоростей . Определив вдоль линии <р = Const. (упомянутые выше авторы брали <р = 0,44721 ) скорост и в нескольки х точках, можн о ') Это связано с наличием множителя Y K под интегралом выражений для х через ц. Ср. приближённые формулы стр. 143. i 21] ПОСТРОЕНИ Е "БЕЗУДАРНОГО " СОПЛ А ЛАВАЛ Я 17 9 затем уж е строит ь сверхзвукову ю часть п о методу , изложенном у в § 12. На рис. 64 , заимствованно м из упомянуто й работы , изображё н профил ь сопла , рассчитанног о так , чтобы на конц е ег о был о V = 1,7; тут же дан о распределени е давлени я вдол ь оси этог о сопла , найден ное экспериментально . Сравнени е с рис . 61 подтверждает , что здес ь удалос ь избежат ь появлени я скачк а и связанног о с ним искажени я потока . J _ P0 T Ось сопла 1H-юо-^ 37 ~263 Входнаячаст\ Профилироеанный участок сопла I сопла Ципиндр.участок - 200 Рабочая часто 1,0 3,5 0Q г>п о >п и 'о 1O и ° о о L п WO 200 ?ПП Ш PHCj 64. 500 Хмм SOO Наличи е плоско й поверхност и переход а обеспечил о "безударность " сопла . Однак о условие , чт о лини я переход а - прямая , являетс я доста точным, но ие необходимы м дл я возможност и непрерывност и движе ния. Ка к показа л Франкль') , можн о использоват ь непосредственн о уравнени я Чаплыгина дл я построени я входно й части безударног о сопла . Пр и это м линия переход а будет , вообщ е говоря , криволиней ной. Франкл ь показывает , ка к можн о продолжит ь ряд ы типа рядо в Чаплыгин а ( § 16) в сверхзвукову ю зону , и находи т условия , доста точны е дл я того , чтобы решени е оказалос ь безударным . Главна я трудност ь заключаетс я в том, что функци я ток а ф, котора я по Чаплы гину отыскиваетс я ка к функци я В и v, оказываетс я неоднозначной функцие й эти х переменны х в сверхзвуково й области , прилегающе й ') Франкл ь Ф. и., К теории сопел Лаваля, Изв. АН СССР, серия матеы., 9, 1945. 12 ' 18 0 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 к линии перехода. Остановимся нескольк о на выяснении этог о обстоятельства. Способ изложения, боле е простой, чем у Франкля, был дан позже Фальковичем 1J1 Мы будем придерживаться именно этого способа. Уравнения Чаплыгина берём в виде бф __ _Ро ^ty M 2 I J 1 ()(3/4 р dv ' dv v р (^p Примем за независимые переменные ср и ф, а за искомые функции v и р. Получим _Е_ ± | " Я ( 2 1 . 1 0 ) P0 V ду р V д'-р об 4 ' Вместе с Франклем введём теперь вместо v величину 7) = 7)(11) из равенства " = ( § / O E E l ^ . (2i.li ) Величина эта буде т действительной как при M < 1, так и при M > 1, причём при V < 1 т) > О и при V > 1 Tj < 0. Совершенн о элементарные преобразования дадут нам тогда и, если обозначим 7I V ^ S f = 0 - P B " ) получим окончательно НИ = PL 1 Z ± =М1 , (21.14 ) P Г 17 Така я форма уравнений удобна при анализе перехода через скорост ь звука . Функция Ь(г\) может быть представлена окол о Ij = O (т, е. окол о (r) = 1 ) в виде ряда по степеням т): Ъ (Ti) = J(O ) + ^ п + .. . ') Фалькови ч С. В., К теории сопла Лаваля, ГШМ, 194В. S 2I) ПОСТРОЕНИ Е "БЕЗУДАРНОГО " СОПЛ А ЛАВАЛ Я 18 1 По (21.14) при т) = 0 мы имеем неопределённость, которая легко раскрывается. Действительно, подсчитаем, например, Так как по (8.9) J iff l A i h z ^ L = + 1 ) I i m V T ^ w V-H dV 2 и по (21.11 ) то Ii m L t ^ k = - ii m 1 ( / 1 M 2 ) , г-". 2 Ь (0) = £ (х + I)''= (1+1) 1 "1 ( , + 1 )"•. (21.17 ) Чтобы выяснить поведение решения окол о линии перехода (т) = 0), заменим в уравнениях (21.15) , (21.16 ) член й(т]) на ¢(0) . Мы получим при этом главные члены ряда, представляющег о точное решение 1 ) . Теперь (21.15 ) и (21.16 ) примут вид: Пусть ось симметрии сопла есть линия ф = 0. Тогда Р(<р, 0) = 0. Кроме того, ?) (tp, ф) = т)(<р, -ф) ; р (<р, ф) = - P(tp, -ф) . Таким обра зом, р содержит лишь нечётные степени ф, а т] - лишь чётные. Частные, точные решения системы уравнений (21.18 ) буду т полиномы (а не ряды): (21-19) где А - произвольная постоянная. Смысл этой последней легко установить. Действительно, из (21.19 ) Zd2A __ А , с другой стороны, U w ^ 0 & (О)2 ' 6^ dv дх Vl - M2 dv cos P d'f dv dx df vVy dx v так что, полагая ф = <р = 0 (точка пересечения линии перехода с осью сопла), получим /dV , = (3/4+1) 3/4 Zdtr1A \&р/ т=ф= 0 а 2 \дх)х^у=0 ' ) Строго это следует из упомянутой работы Франкля. 18 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 (мы совмещае м начало координа т в плоскост и (х , у ) с точко й ер=ф=0 ) Итак , Л = 6 ( 0 ) 2 ^ ^ ^ . (21.20 ) aI ^dx 'JT = V= 0 Ось Ox направлен а в сторон у сверхзвуковы х скоростей , та к что А < 0 . Полином ы (21.19 ) годятся , конечно , лиш ь в небольшо м удалени я от линии переход а т) = 0, но зат о дл я всей област и движения . Посмотрим , как в плоскост и (ер, ф) представятс я переходна я линия и характе ристики . Н а переходно й линии по (21.19 ) буде т (•"; = 0): Вдоль характеристик , проходящи х чере з точк у р = 0, г"=1 , имеем (10.6) : V ± P = С (V). гд е ! -.(V) = f dv. J V Но та к ка к sin а = Jj и ct g а = V M 2 -1 , то, привлека я (21.11) , Характеристика Характеристика ^•й семейства найдём без труда : (21.21) Рис. 65. (т) < 0 при (r) > 1). Таки м образом , вдол ь характеристик , проходящи х чере з точк у х = у = 0, буде т р = ± | ( 7 ) ) " Л (21.22 ) (в плоскост и р, т] характеристики - полукубически е параболы) . Вставля я в (21.22 ) р и т) из (21.19) , получим дл я характеристи к 1-г о семейства : и для характеристи к 2-г о семейства <Р = 4 Ф 2 . (21-24 ) Н а рис . 6 5 схематическ и даны в плоскост и (ср, ф) стенк и сопла , линия переход а и об е характеристики . S 2 I ) ПОСТРОЕНИ Е "БЕЗУДАРНОГО " СОПЛ А ЛАВАЛ Я 18 3 Линия перехода и обе характеристики , выходящие из точки О, делят всю полосу плоскости (ср, ф), отвечающую решению, на шесть областей. Области эти пронумерованы на рисунке римскими цифрами 1 - VI, так что, например, во всей области VI мы имеем дозву ковые скорости . Посмотрим теперь , будет ли ф всюду однозначной функцией от р и т). С этой целью исключим ср из уравнения (21.19) . Получим: Л Y + tAAbli (0) - 3Ь3 (0) р = 0. (21.25 ) Относительно ф это - кубическо е уравнение. Оно буде т иметь только один вещественный корень , если j P2 + T)3 > 0. (21.26 ) Таким образом, в дозвуково й области, в области VI, где t j > 0, однозначность функции ф, а значит и ср, обеспечена. Далее , (21.26 ) сохраняется и при rj < 0 до тех пор, пока не буде т I p 2 + 7 ) 3 = 0. Следовательно, однозначность буде т иметь место ещё п в областях IV и V. Итак, в областях IV, V, VI мы можем написать В частности, на переходной линии, где т) = 0 : А = причём (21.28 ) 6(0) 6(0) дп f g p ; Отметим, что аналитическое решение, которо е мы приводили в начале этого параграфа, давало при т) = 0, как показывает простой подсчёт, те же ф и difjdv, что получаются по (21.28) . Решени е в областя х I, II, IlI изобразится в виде складчатой поверхности. Интересно отметить, что мы можем расширить наше решение, предполагая, что в области IV (а значит, и V и VI) мы имеем (21.19) , в которы х A-A1, а в об ласти III имеем (21.19) , но с A = A2=^A1 (скачок производной dvjdx скорости в точке О). Об а эти решения могут быть "склеены" при помощи переходных областей I, II следующим образом. В областях I. II ищем решение (21.18 ) в виде Тогда первое из уравнений (21.18 ) даст 18 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . 1 где t = ср/ф2, а второ е приведе т к соотношени ю ¢ ( 0 ) / ^ 3 ^ + 2 / ^ = 0 . Исключа я отсюд а F, мы придё м к одном у уравнени ю (* 2 / + 4/ 2 ) / " + ЬУ' г 2 () . Чтоб ы построит ь входну ю (дозвуковую ) часть сопла , Франкл ь предлагае т тепер ь использоват ь ряд ы типа рядо в Чаплыгина , следующег о вида : OO ф ^ В л У s i a 2 " c K (21.29 ) гд е Л и с - постоянные . Детальны й анализ , за которы м мы отсылае м к стать е Франкля , показывает , что на окружност и т = т* будет : Ф = ^ з Т + 0 (r) . ^ = ^ r + o ( f p ) , 1I См. упомянутые выше работы Франкля и Фальковича. S2I)ПОСТРОЕНИ Е "БЕЗУДАРНОГО " СОПЛ А ЛАВАЛ Я 18 5 где постоянная k определяется через с и А. Сравнивая это с (21.28) , замечаем, что главные члены ф и д^/д-ц совпадают с главными членами нашего частного решения, построенного для сверхзвуково й области. Франкль устанавливает, что ряд (21.29 ) годится для сколь угодно далёкого расстояния от критическог о сечения в глубь дозвуковой области. Мы можем теперь построить сопло следующим образом . В дозвуковой части использовать ря д типа (21.29) , вблизи линии перехода использовать решение вида (21.19); начиная с некоторого расстояния от линии перехода, в сверхзвуковой области, применить графический метод, изложенный в § 12. Параметр ы А, с, а также наклон стенок в дозвуково й области на большом расстоянии от линин перехода могут быть использованы для приспособления к заданным техническим условиям. Как показал Франкль в другой работе') , ряды Чаплыгина можно использовать при решении задачи о струе, вытекающей в пространство, в котором давление буде т меньше кри тического. В § 16 мы видели, как происходи т истечение струи, если 2 у/<-1) U + 1 / (р , - давление во внешнем простран стве, P 0 -давлени е внутри сосуда там, где газ покоится). Посмотрим теперь, что буде т в том случае, когда о ^ U + 1 ; */(х-1 ) Рис. 66. Имеем сосуд с симметрично расположенными стенками, угол между которыми равен q-к (при q= 1 стенки буду т служит ь одна продолже нием другой) (рис. 66). Через отверстие сосуда A1A2 газ вырывается во внешнее пространство. Следу я Чаплыгину, будем искать функцию тока и потенциал скоростей в зависимости от величины и направления скорости . Вместо уравнений (16.12 ) теперь удобнее буде т взять уравнение (17.35) : f = (21.30 ) где а и К зависят только от v : р d Po " К = - 1 ') Франкл ь Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течении, Изв. АН СССР, серия матем., 9 1945. 18 6 т е о р е т и ч е с к и е о с н о в ы г а з о в о й д и н а м и к и [гл . 1 Исключая из этих уравнений <р, получим для <]>: ^ + = (21.32 ) Уравнение будет эллиптического типа, когда о > 0 (в < 1, К > 0), и гиперболического при о < 0 > 1, К < 0). Посмотрим теперь, для каких границ и при каких граничных условиях мы должны решать уравнение (21.32 ) нашей задачи. Обратимся к плоскости скоростей и отметим в этой плоскости направления скоростей, отвечающие стенкам сосуда (рис. 67). Эти направления продолжим до пересечения с кругом критической скорости. Назовём точки пересечения А> и A2. Проведём теперь из точки A2 эпициклоиду 2-го семейства, из точки С' (Ojc = O., Vy = 0) - обе эпициклоиды (изображены пунктиром) и из точки Ai -эпициклоид у 1-го семейства. Пусть эпициклоиды пересекутся в точках Bi и B2. Вследствие предположенного симметричного расположения стенок точки S 1 и B2 лягут симметрично относительно оси Ox на одну окружность. Исследуем сперва частный случай. Именно, пусть давление р г во внешнем пространстве в точности равно тому давлению, которое по уравнению Бернулли отвечает кругу B2By. Такое давление, мы назовём его рв, есть функция одного только q. По Франклю, картина движения теперь будет следующей. Точка A1 плоскости (х, у) отвечает точке A1 в плоскости (vx, vy); точка A2 отвечает точке A2. Таким образом линия перехода проходит через края выходного отверстия (пунктир на рис. 66). Далее, отрезку эпициклоиды AlBi отвечает в плоскости (х, у ) одна точка Av отре s2i)п о с т р о е н и е " б е з у д а р н о г о " с о п л а л а в а л я 187 зок эпициклоиды A2B2 стягивается в одну точку A2. Эпициклоидам второго семейства в криволинейном треугольнике С AjBl отвечает пучок характеристик, выходящих из A1, а характеристики первого семейства в С'A2B2 изображаются пучком характеристик, идущих из A2. Так как радиусу-вектору О А [ отвечает вся верхняя стенка сосуда, а радиусу-вектору ОС'- ось симметрии сосуда, то четырёхугольник О А [ В \ с ' отобразится на верхнюю часть области дозвуковых скоростей и на область, заключённую между верхней частью AC переходной линии и характеристикой A1C (двуугольник A1C переходит в треугольник A(s'iC'). Таким образом в четырёхугольнике ОА[в[С МЫ должн ы решить уравнение (21.32), удовлетворяя краевым условиям'): ф = у на 0А\В{ , ф = 0 на ОС'. (21.33 ) Рис . 68. Аналогичным образом область OA2B2C отобразится на нижнюю часть дозвуковой области и на двуугольник C A v причём мы должны решить здесь (21.32 ) при краевых условиях ф = - -у на OA2B2, ф = 0 на ОС'. (21.34 ) ' ) Значени е ф н а характеристик е С' B 1 м ы найдё м пр и это м в конц е решени я задачи . Задават ь эт и значени я заране е м ы н е можем . Дел о в том , чт о м ы имее м здес ь дел о с обобщённо й задаче й Трикоми . Последня я заклю чаетс я в следующем . Имее м дифференциально е уравнени е второг о порядк а W + y ^ " • где г = г( х ' у ) ' которо е меняе т ти п и з эллиптическог о н а гиперболический , когд а м ы попа дае м н з верхне й полуплоскост и (х, у ) в нижнюю . Рассмотри м област ь D , ограниченну ю криво й L, лежаще й в эллиптическо й област и ( с концам и н а ос и ОХ) , и характеристикам и L1 и L3 разны х семейств , исходящим и и з кон цо в L (рис . 68). Пуст ь задан ы значени я г на кривы х L к L1 (и о н е н а L2). чзиком и доказа л существовани е и единственност ь решени я это й задачи , паш е уравнени е (21.32 ) являетс я обобщение м уравнени я Триком и (вмест о и м ы имее м К. (а), положительно е пр и а > 0 и отрицательно е пр и а < 0). Зада ни е ф на прямы х OA1 И ОС' буде т отвечат ь задани ю г н а 1 , а задани е ф на Tl 1 B 1 отвечае т задани ю г н а L,. Доказательств о однозначност и решени й (21.32) имеетс я у Франкля . 18 8 1 Ё б Р е т и ч е с к и е о с н о в ы г а з о в о й д и н а м и к и (гл . 1 Предположим, что нам удалось найти решения поставленных здесь задач. Это значит, в частности, что нам удалось найти движение и на характеристиках A1C и A2C. Но тогда мы будем знать скорости на характеристике A1C (и A2C), а нам, кроме того, известно, что A1 (A2) лежит на свободной поверхности, и мы можем, поскольку мы находимся уже в сверхзвуковой области, применить хотя бы метод, изложенный в § 12 (задача 4), и найти вид свободной поверхности A1D1(A2D2) и движение внутри треугольника A1CD1(A2CD2), где CD1(CD2) - вторая характеристика, выходящая из С (рис. 66). Заметим, что линии CD1 (CD2 ) отвечает в плоскости (vx, vy) характеристика С'В 2 {С'В!) . Мы можем теперь решить задачу 2 (§ 12), ибо на характеристиках CD 1 и CD 2 скорости будут известны, и найти движение внутри криволинейного четырёхугольника CD1ED2 (точке E будет отвечать точка E ' плоскости (vx, vy), лежащая на пересечении крайних эпициклоид). Далее, определим (задача IV) свободные поверхности, идущие от точек D1 , D2 и т. д. Задача буде т решена. Прежде чем сказать о том, как же конкретно решается уравне ние (21.32 ) при условиях (21.33 ) и (21.34), посмотрим, что получится, когда P1 Ф рв. Пусть сперва P1 < Pb Проведём в плоскости (vx,vy) дугу круга с центром в начале координат и с радиусом, отвечающим давлению P i ( K P b ) (рис. 69), а также эпициклоиды второго (первого) семейства, выходящие из А'2(А[), и обе эпициклоиды, выходящие из С'. Отметим пересечение всех наших четырёх эпициклоид с кругом, отвечающим давлению P1 (точки D2, Fl Fl Dx). Треугольнику A1CD1 теперь будет в плоскости (vx, vy) п о с т р о е н и е " б е з у д а р н о г о " с о п л а л а в а л я 18 9 отвечать четырёхугольник B1FiD1C'. Аналогично этому, треуголь нику A2CD2 отвечает в плоскости (Z)x, vy) четырёхугольник B2F2D2C . Далее , криволинейный четырёхугольник С D1E D2 плоскости (vx, Vy) ( d \ E ' и D2E' - дуги эпициклоид) отвечает в плоскости (х, у ) фигуре , образованной характеристиками CD1, D1E, D2E, CD2 и т. д . Таким образо м и здесь всё сводится к решению (21.32 ) при условиях (21.33) , (21.34 ) для областей OA2B2C' и ОА[в',С'. Отметим, что эти последние области буду т в точности теми же, что и области в случае, когда P1 = рв. Таким образом, течение внутри сосуда полностью определяется решением (21.32 ) и не зависит от величины давления во внешнем пространстве, если только P1 ^ рв. Наконец, в том случае, когда р0 > P1 > рв, мы должны рассмо Здесь мы должны решить уравнение (21.32 ) для области OA\D[E'\C' при краевых условиях ф = -^ вдол ь OA[d[E'i, ф = 0 вдоль ОС'. Также надо решить (21.32 ) дл я области OA2D2E2C' при краевых условиях ф = - у вдоль OA2D2E2, ф = 0 вдоль ОС'. Коль скор о решения эти получены и мы выходим в сверхзвуковую область, мы можем далее вновь применить методы, изложенные в § 12. 1 9 0 1-ЁбР етически е основ ы газово й д и н а м и к и (гл . 1 Нам остаётся только сказать, как конкретно ищется решение уравнения (21.32 ) в смешанных (до и сверхзвуковых) областях, участвующих в наших задачах. Как мы уже упомянули, Франкль предлагает искать эти решения в виде рядов типа рядов Чаплыгина. Рассмотрим для конкретности решение (21.32 ) для области ОД1В1С (рис. 67 и рис. 69). Будем искать ф в виде со где Л - 1 ап - постоянные коэффициенты, пока неопределённые, но такие, что ряд 2 fl^ сходится. Краевые условия на прямых ОС' и ОА[ удо влетворятся при этом сами собой. Сходимость ряда в дозвуковой области (треугольник OAiC) обеспечивается на основании результатов Чаплыгина. Франкль показывает1), что при непрерывном изменении данных Коши на переходной линии решение задачи типа нашей, в соответствующем характеристическом треугольнике, меняется непрерывно. Отсюда можно заключить, что (21.35 ) может представлять решение не только внутри круга " = 1 , но и внутри характеристического треугольника. Неопределённые д о этого коэффициенты ап надо найти, удовлетворяя краевому условию на характеристике AiBx . Именно, должно быть п-1 где о (р) есть результат представления а через р из уравнения эпициклоиды ^ 1 S 1 . Путём переразложения наших функций от р в ряды и сравнения коэффициентов мы получим теперь бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения ап. Практически достаточно будет сохранить конечное число членов ряда для а п , требуя выполнения равенства (21.36 ) для конечного числа заранее выбранных значений р. § 22 . Численные методы решени я плоских зада ч газово й динамики. Расчё т сверхзвуковог о обтекани я круговог о цилиндра. С появлением электронных быстродействующих вычислительных ' ) Ф р а н к л ь Ф И., loc. clt, См такж е Ф р а н к л ь Ф . И., О задача х Кош и дл я уравнени й смешанног о эллиптико-гиперболическог о тип а с на чальным и условиям и н а переходно й линии . Изв . А Н СССР , сери я матем. , 8, 1944. §22]ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х з а д а ч 191 машин стало практически возможным получение, с нужной степенью точности, решения наиболее трудны х задач газовой динамики. В качестве примера применения соответствующих численных методов рассмотрим расчёт обтекания сверхзвуковым потоком (со скоростью Vca) кругового цилиндра S (рис. 71) . От цилиндра отходит ударная волна 2 , после прохождения которой поток становится вихревым и смешанным. Требуетс я найти форм у ударной волны, её положение и движение межд у ударной волной и цилиндром вплоть д о не известной заранее линии перехода через ско рость звука и далее . Изложим здес ь схем у численного решения этой за дачи, разработанную (и применённую к расчётам) О. М. Белоцерковски м на основании метода А. А. Дород цицына ')• Этот последний мето д сводит задачу интегрирования си стемы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производ ных к решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежд е чем излагать схем у численного решения, запишем урав нения плоской вихревой стационарной тах (г, 0); такая система естественна обтекания круга. Уравнения движения примут вид задачи в полярных координа для рассматриваемой задачи dvr ve dvr v\2 1 др_ г дг ' г df> г ' р " д щ I "в д щ I v ' v b - L ' S r + г Л т г г Р дг ' а е (22.1) (22.2 ) ( v r , Vij - составляющи е скорост и п о ося м г и 0 соответственно ) Уравнени е неразрывност и запише м в виде : д г fv r . dp дг = 0 . ( 2 2 . 3 ) ') Д о р о д н и ц ы н А. А., О б одно м метод е численног о решени я некот о ры х зада ч аэродинамики , Груды III Всесоюзног о матем . съезда , Изд. А Н ССС Р 2 (1956), 3 (1958). Б е л о ц е р к о в с к и й О. M., Обтекани е произвольног о профил я с отошедше й ударно й волной , ПММ , т. XXII, вып. 2, 1958; Расчё т обтекани я кру j°(r)° r o Цилиндра с отошедше й ударно й волной, Вычислит, математика , № 3, 19 2 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 Может быть введена функция тока 6) такая, что ^ = Ж ( ^ = I f < 2 2 4 > Условие адиабатичности запишется в виде: дЬ , с 8 <М . . . . где, как и прежде, ft = р 1/3 1 р - Комбиниру я (22.4) и (22.5), заключаем, что ft зависит только от ф: I p 1 " = ^ ) . (22.6 ) Уравнение Бернулли, получающееся путем комбинации (22.1) , (22.2) и (22.4), запишется, как в любом плоском случае, в виде: где, как и прежде (§ 8, стр. 42) (r)^ а х =( х +1)/(''- l) a i (я, - КРИ" тическая скорость, не меняющаяся при переходе через поверхность разрыва и потому постоянная как для вихревого, так и для безвихревого движения). Умножая (22.1) на рг и используя уравнение неразрывности (22.3), получим без труда Определяя из уравнения Бернулли (22.7) плотность через v и 0 и вводя её в уравнение неразрывности (22.3) , получим где ^ ( ^ ) + ^ ( ^ ) = 0 . (22.9 ) л _ * ' ' + " I v r r r V l l Oia x Наконец, используя (22.4) , получим для изменения ф вдоль какой-то линии' г = Zi(B) соотношение " г ) . (22.10 ) Неизвестными функциями являются здесь Vr (r)8, ф и ft. Давление р и плотность р находятся из соотношений (22.6) и (22.7 ) через Vr, v}, д . Ввод? давление р 0 и плотность р0 адиабатического затормо § 2 2 ] ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х ЗАДА Ч 19 3 жённого (в иевозмущённой среде) потока и потенциальную температуру "о д 0 скачка, можем написать X X X ' ' ^ ' I ^ l j ) = ( ) (22.11 ) Po \ " 0 / \ " ш а х н ^ г о - ^ г - Запишем теперь краевые условия задачи на поверхности разрыва S и на обтекаемом цилиндре 5 . Выразим vr, Vf,, ф и & сразу после прохождения поверхности разрыва через угол наклона <р нормали к поверхности разрыва к оси X . Из уравнений (7.16 ) и (7.17) имеем для Vx и Vy (составляющие скорости по оси X и ей перпендикулярной) ( 2 4 > 2 . N V x = V a , 1 + - Т Г Х T c o s 2 t P ' ( 2 2 Л З > \ * И vL * + i / 2 t g ( ^ f - ccoos2

=Ро( 1 5=) ФсоГ sin 0. (22.16 ) \ t W / При этом, если поверхность 2 имеет уравнение г = г 0 + г ( 6), (22.17 ) где г 0 - радиус обтекаемог о цилиндра S, то г и 0 на поверх ности S буду т связаны очевидным геометрическим соотношением ( ~ = -tg = 0 . (22.20 ) При этом, так как S является линией тока, т о вдоль г = га величина & должна сохранять постоянное значение, которо е можн о получить из (22.19) , полагая там <р = 0 . Таким образом , / " \ " / % 1 \ " / 2 * V2 * 1 \ Л 2 а 2 при г=г 0 : у = ( ^ (22.21 ) Теперь, когда записаны дифференциальные уравнения и краевые условия задачи, перейдём к описанию аппроксимирующей системы, разработанной и применённой к расчётам О . М. Белоцерковским на основе метода интегральных соотношений, развитого А . А . Дородни цыным. Разобьё м всю область межд у цилиндром S и поверхностью разрыва S на N полосок, проводя N-1 кривую с уравнениями: r = rl(B) = r0 + J e ( 6), / = 1 , 2 N U (22.22 ) § 22) ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х ЗАДА Ч 19 5 Линии эти отстоят друг от друга на равные расстояния е ( b)j N (имеется в виду расстояние ПО г при закрепленном 0). Индекс I = N отвечает линии разрыва Е; индекс 1 = 1 отвечает первой, наиболее близкой к цилиндру S, линии и т. д. В дальнейшем будем обозначать все величины на /-й промежуточной линии индексом Л на ударной волне - индексом S (или N), на поверхности цилиндра - индексом S . Обратимся теперь к уравнению (22.8 ) и проинтегрируем обе его части по г вдоль произвольного луча 0 = const, от поверхности тела г = г0 д о границы каждой из полученных нами полос. Получим N соотношений (по числу полос) вида гI (8 ) irri + pr)t-{rri + pr)s + f *<*&Ldr= f {& + p)dr. 'а г, далее, вынося дифференцирование по 0 за знак интеграла (слева) и принимая во внимание определение (22.22 ) функции rt (6), запишем: rti 8) ~ J (pTW) dr - (PVllVr)t ~ + (rpvr + pr\ - (pr)s = г" TT (9) = У M p + p)dr, 1 = 1, 2 N. (22.23 ) (((r) r ) s = 0) . Аналогичным образом получим из уравнения (22.9): d Г . i tip SbJ ^ ^ 7 7 ^ 3 5 + ( ^ ) ( = ' 2 N. (22.24 ) Го Уравнения (22.23), (22.24 ) содержат интегралы вида / / ( г . О) dr. ГQ Аппроксимируем теперь любую подынтегральную функцию интерполяционным полиномом по г степени M принимая за узлы интерполяций границы полос: /(' > (22.25 ) m=0 ^ ' J 1 3 * 19 6 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Коэффициенты а т (0) определим так, чтобы значения J 1 (0) = / [г, (6), Oj нашей функции / на линиях T1 (9) точно представлялись с помощью нашей интерполяционной формулы. Иначе говоря, определим а, , O2 aN из следующей системы N уравнений N 2 A m P ^ t f = Z i , <=1,2 N т=о или же JV S f l " Ш " = /" - / = 1 2 т=0 Кроме того, заметим, что а 0 ~ / 0 (значение / при г - гй). Пусть мы получим N "о = / с " m = b j J 0 + ^ b j J ] ( m = 1, 2 ,V). (22.26 ) Коэффициенты bjm, bQm могут быть рассчитаны заранее. Так, для N = 1 имеем Для N = 2 имеем для N=Z: J m = I , J " = + l . ^Ol = -3 , ¢,1 = 4. J21 = I ; ¢,,2 = 2, ¢12 = 4 , S22 = 2; 11 9 J m = 2". Jii = 9. f>2i = - -2< ^31=1 ; г> ш = 9 , J 1 2 = ^ , J 2 2 = I e , J 3 2 = I ; °Аоз-- • t°13 -• 2"72"' л м_ - 2 7 " • "33 = ' Y 2 +--2 rI Ориентируясь на (22.25), мы можем теперь вычислить J f dr. Вве дем обозначение: п т / Л " ) = / / ( ' . в)*' . (22.27 ) г" Используя представление (22.25 ) функции / , мы получим N m = 0 re ( / = 1 . 2 , . . . , N ) s в ] ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х ЗАДА Ч I9 7 "ЛИ , ПО ( 2 2 . 2 2 ) : JV л W='WSSrHwf+1' (22-28) < = 1 , 2 ЛЛ Достаточн о буде т вставит ь сюд а вмест о ат их выражени я из (22.26) , и мы получим J1 (дл я каждог о / ) чере з линейны е комбинаци и от зна чений Zj U = 1 a O / , ( В ) = " ( 9 ) ( ^ / / О + Д М > ) (ZJV = Z E ) , ( 2 2 . 2 9 ) Для N = 1 / = 1 , 2 , . . . , N. Для N = 2 Для W = 3 I J ' P u J Poi - 24 ' - IT ' ^2 1 "24"' 1 2 1 Рог = "в"' Р12 - "J ' Р я = "б" - 8 ' Pia = I ' P2 3 = 8 ' P3 3 = 8 • Наконец, удобн о буде т иметь ещ ё формулу , позволяющую выразить f x fN через Д , Z2 Jn• /о Чтобы получить эт у формулу , достаточно решить систему уравнений (22.29 ) (записанную для / = 1, 2 N) относительно /у . Получим выражения типа N " / / о + т ж Е " ' ^ 1 ) ( 2 2 3 ° ) 1 = 1 Приведем коэффициенты а, , для JV = 1, 2 и 3. Для A l = 1 ' "ш = - 1, ' ) Формула (22.30) особенно полезна в случаях, когда / ¢ = 0. 1 9 8 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Для N = 2 1 1 c t Ol ~ ~ 2 ' c t I l = 2 , "21 2 ' Для N = 3 "02 = 1 , "1 2 = - 8 , "22 = 4. 1 3 3 1 "01 = 1 3 • "1 1 = 2 ' "21 = 2 ' "31 = 6 2 "02 = 3 ' "12 = 6 , "22 = 3, "3 2 = 3 ' 27 27 13 и т. д. "03 = - 1 , "1 3 = 2 ' "2 3 = 2 . "3 3 = 2 ' Вернёмся теперь к формулам (22.23), (22.24) и запишем их сперва в виде: ж w s ' № + Р г \ + + № + р ) и M1 i - de , . Ж =T v ^ Ж ( r v ^ b где для сокращения записи обозначено: (22.31) Si = (Ptte^r),, tL = (v,I);. (22.32) С другой стороны, в силу (22.30), мы можем записать dsj/dfl в виде aj s 1 аj ' N db' ~ d"b е T( в e) f S "' A (s o = ° ) 1 = 1 или, выполняя дифференцирование: ,1 v4 dj s-i ,1 dJ e ^ - db е (0) JLi U db ег (0) dd i = l i=i Аналогично, для dt^jdb имеем N - N ( 7 = 1 . 2 W (22.33 ) 1 Щ ~ м 2 4 V i ( / = 1 . 2 N) . I=1 (=1 (22.34) Но теперь мы можем внести в эти два последних соотношения выражения ds-Jdb, dtj/db из (22.31). Мы получим, выражая еще S1, tjt (r)jjp + Pi с помощью (22.29), систему уравнений, в которых слева будут стоять производные dSj/dO и dtjjdb, а справа - комбинации ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я плоских ЗАДА Ч 19 9 всех искомых функций (vt)s, (V6)1 (VT)JV; (VR)V (VR)2 (VR)IV; Ds, Ojv; е (при этом правые части будут содержать производные dejdb и ещё dtjdb). Получим систему 2Л/(У=1 , ... . N) обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, линейную относительно производных. Система эта будет содержать 2 N 1 скорости (Ur)1, (фД, . . . ... , ((r),)лг: 0 3/4 . Ш ((r)9lv (причём (VR)H = (VR)1,, (VII)N = ( V h ) J , JV -(- 1 функцию O1, ... , Sj v , а также функцию е(0 ) - итого 3JV-(3 функции. Чтобы замкнуть систему, сперва обратимся к краевым условиям. Заметим, что (Vr)v ((r)s)£ связаны с углом ср соотношениями (22.13), (22.14), (22.15). Мы можем, поэтому, ввести вместо двух неизвестных функций (VR)1 и (H9)s одну искомую функцию <р (угол наклона). При этом производные, входящие в наши уравнения, будут содержать как саму функцию <р, так и d<~ШГ J (22.38 ) х \ где a2j = - j - ( t f ^a x - v \ - ^e) - местная скорость звука. На обте каемом цилиндре (J = 0) надо учесть, что W 1 = O (тогда Ss = 0). На поверхности разрыва, где J = N(Z), справедливо (22.35 ) и dtjdb, dsJdB выражаются через rfcp/rf6. Теперь без труда из (22.38 ) и (22.37 ) получим выражение для d(vr)jldb ( / = 1 , 2 N - 1 ) и d(v,ydB J = 0, 1 N 1) через dtJdB, dtjdH и dsjjdb (J = 1, 2 N), § 22] ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х ЗАДА Ч 20 1 d (Vr)jIdb = U j , гд е 1 Г 1 / 9/ Wfr-l ) dsi dt, X rfIП 9; 1 uJ = TT LTT I l f ) "ЗГ ~ <г<'>Г5Г + CT*/^ ДгН • (22.39 ) d (гх,); Я/ " a2, dt, d (Vr)j ^ = 4 = ( ^ 7 ' ^ = = ^ + ( ^ , ^ . ( 2 2 4 ° ) Выражение (22.37)ил и (22.38 ) при у' = N(E ) используется для опре деления rfcp/dd. После этого аппроксимирующую систему в нормальной форме можно записать так: <% I drI \ W = M W I ^ , ^ L = V1, d (Vi)s Ea d(v")j Ej J = 1, 2 W 1. Входящие в правые части dsjdb и dtj/db определяются по (22.33 ) и (22.34) . Неизвестными функциями здесь являются е, fy, 9 J : f , (Vr)j, W1. (Vl)s И з аппроксимирующей системы видно, что правые части всех уравнений, кроме уравнения для dvjdb ( j = s, 1, 2, ... , N-1), являются голоморфными в области определения функциями от 9 и искомых величин. В уравнениях же для 0 , как следуе т из (22.39) , уравнения для d (Vr)jIdB особенносте й не имеют, а при 0 = 0 d (Vr)jIdb = 0 . Проведённый О . М. Белоцерковским анализ особы х точек показывает, что в уравнениях (22.40 ) особенности буду т типа "седла" , причём во всей рассматриваемой области интегрирования существуе т единственное решение, голоморфно е всюду и удовлетворяюще е усло виям как при 0 = 0, так и при (Ve)j = Ctj. Техническая трудност ь построения такого решения заключается в том, что в особы х точках в правых частях уравнений (22.40 ) буду т неопределенности типа 0/0 . Заранее раскрыть эти неопределенност и нельзя, так так положение самих особенносте й и значения многих искомых величин в них неизвестны. Дл я возможности счёта в окрестности таких точек можно поступить, например, так: решение в окрестности регулярной точки 6 = 0,, близкой к особой , разлагается по степеням (6 - 60) в ряды, по которым оно достраивается вплоть д о особо й точки 0 = 6А ( k = l , 2 N -1) ; затем в окрестности 0Й строятся ряды по (0-6 Й ) , которые дают возможность "выйти" нз особо й точки. В случае необходимости значения 9Й и други х величин в этой точке могут быть уточнены методом итераций по условиям склейки при 0 = 9 0 рядов, отправляющихся от 0Й с решением, полученным обычным путём. Как правило, эт о делать не приходится, а для возможности "выхода" из особы х точек достаточно бывает знать 2- 3 члена раз ложения. Продемонстрируе м теперь боле е детальный хо д решения на простейшем случае, когда N = 1 ("перво е приближение"). Промежуточных линий здесь нет и все подынтегральные функции аппроксимируются линейно по их значениям на цилиндре и на волне. Искомых функций буде т три: ¢(9) , ср(9) и (U4)j. Функции (Ur)2 и (Uj )s на поверхности разрыва (т. е. (Vr)l и (г>9),) найдутся сразу же из (22.13 ) - (22.15 ) после того, как ср (9) известно. Одним из трё х дифференциальных уравнений, служащих для определения е • (Vb)1, буде т уравнение (22.18) , а два других получатся из интегральных соотношений (22.23 ) и (22.24) . При N = 1 каждое из эти х соотношений записывается только один раз - для /-j = Tt = r 0 -J"(9) . Соотношение (22.23 ) приведёт нас к равенству: • Ж = •T I S " + 2 r OPs 2' : (Р-+'"й ] • + ( Р + + ( M • (22.42 ) § 22] ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОД Ы РЕШЕНИ Я ПЛОСКИ Х ЗАДА Ч 20 3 Соотношение (22..224) записывается в виде: dts , dt, 1 Г" t х de db + Ж = 7 [ Л - У Ж 2 r ' ' Tj rffl ' Входящие в правые части dsJdB и dtjdb находятся по (22.42 ) и (22.43) , a dtjdb определяется из (22.46) . Итак, мы можем выразить defdb, dyjdb, d (Vij)Jdb через 0, е , ср, (U8)s. Интегрирование системы проводится шагами по 9 от 0 = О (направление набегающего потока), где <р = 0 , (г>в)^ = 0, е 0 = е ( 0 ) - неизвестный параметр, кото рый определяется из усло вия (22.41 ) конечности d(vt)sld(r): пр и (U 8 ) i = O s ил и ("?). = К " Щ * + 1 к " должн о быть Es = 0. В о втором приближении ( N = 2 ) вводится одна промежуточная линия (квадратичная аппроксимация), в третьем ( N = 3) - две и т. д . В каждом приближении 2) добавляется по одному неизвестному параметр у (vr)j при 6 = 0 и по одному условию (22.41 ) конечности производной d (Vl)jIdQ. Совпадение ре Рис . 72. зультатов с требуемо й точ ностью в дву х последних приближениях свидетельствует о практической сходимости расчёта. Следуе т заметить, что мето д интегральных соотношений весьма быстро сходится. Приведё м некоторые результаты расчётов обтекания кругового цилиндра ( г 0 = 1, X = 1,40) , взятые из работы О . М. Белоцерковского') . Расчёты проводились на быстродействующей электронной вычислительной машине БЭСМ1 А Н СССР . Уж е приведённый выше рис. 71 отвечает случаю Moo = U c o Za c o =S . ') См. сноску на стр. 191. §22]ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 2 0 5 Минимальная область влияния здесь ограничена двумя характеристиками 1-го и 11-го семейств (обозначены цифрами 3 и 2 соответственно), что вполне согласуется со стр. 182. Линия перехода, обозначена цифрой 4. Рис. 72 показывает, как изменяется форма и положение ударной волны и звуковой линии при возрастании Mco P Рис. 75. от 3 д о 5. Там же нанесены результаты эксперимента (точки). Рис. 73, 74, 7-5 иллюстрируют сходимость метода по приближениям 2 0 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. 1 для Moo = 3 и 5 : пунктиром нанесены результаты расчётов при Л/ = 1, сплошной линией - при Л / = 2, треугольниками - при N = Z и точками - эксперимент (Г. М. Рябинков). Как видим, уже расчёт по первому приближению даёт в основном правильное положение и форму ударно й волны, распределение давления на теле, на волне. Дл я определения величин в поле при Mco 3 надо считать по крайней мере три приближения, в то время как при М л > 3 достаточно двух . § 23 . Движени е с очен ь большим и сверхзвуковым и скоро стями . Гнперзвуковы е течени я и обтекани е тонки х тел . В совре менной газовой динамике, имеющей дел о со скоростями порядка нескольких километров в секунду , возникает много теоретических и практических вопросов, требующи х изучения движения газа при очень больших значениях числа М" . Обтекания с очень большими сверх звуковыми скоростями обладают рядом специфических особенностей . В § 14, а также в § 19 мы уж е обратили внимание на некоторые характерные свойства движений, в которых Mo5 ^>1 . В настоящем параграфе мы остановимся на некоторых общи х законах таких движений. С. В. Валландер доказал (1949 ) наличие предельного, не зависящего от Moo состояния течения, возникающего при очень больших Ma 5 ') . Покажем, как это получается для плоского случая. Пусть обтекаемо е тел о помещено в поток газа, обладающий ско ростью Vi a . Образуетс я поверхность сильного разрыва, после про хождени я которой начинается вихревое обтекание тела. Движени е описывается уравнением Бернулли "4+" ? •1 ~ ~ 2 " r X I (23.1 ) уравнением неразрывности, которо е можн о взять в форме (9.2) : К W, w ~ Vy Sr+К - w =(23-2) и уравнением для вихря скорости (§ 6): (dvy Svx\ * Ч г di n 9 о" а In " ,"" " ') Результаты Валландера были получены также Осватичем (К. Oswatitsch) в работе Ahnllchkeitsgesetze fur HyperschailstrOmung, Zs. f. angew. Math, u. Phys., 1951. i23]ДВИЖЕНИ Е С ОЧЕН Ь БОЛЬШИМ И СВЕРХЗВУКОВЫМ И СКОРОСТЯМ И 20 7 Вводя а2 из (23.1) в уравнения (23.2) и (23.3 ) и переходя к безразмерным скоростям VjVy, = vx, Vy/vJ0 = Vr получим два уравнения: 2 > 2 M j J бх V * v y \ d y + дх г + + L \ ^ = 0 > (23.4) ^ \ 2 x ^ 2 " 2 M 2 t Jd y ' К ' и * \ д х ду ) \ 2 ^ у , 1 MloJ ду У ' Уравнения (23.4), (23.5) содержат три безразмерных функции: vx, v y , InO и, если не считать х, один безразмерный параметр MooПоследний входит таким образом, что при М"3 > 1 членом, его содержащим, можно пренебречь. Отсюда, однако, было бы поспешно сделать вывод о независимости нашего движения от Ms o при весьма больших McoДело в том, что мы еще не знаем поведения функции In 9 и не учли краевые условия. Определение In & тесно связано, как известно, с видом поверхности разрыва. Краевые условия надо будет как всегда записывать на поверхности тела и на поверхности разрыва. На поверхности тела: Vy=Vxtg? . (23.6) где р - угол наклона касательной к поверхности тела к оси X . На поверхности разрыва можем написать (см., например, (22.19)) : (й-Ч-тт-^ ) C T I + T i * = * ) ' Кроме того, по (7.16) и (7.17) 2 1 2 * + 1 M2 V. + 1 (23.8) V = 4 C 0 S ? Sinc p / • 1 .. . - 1 \ ' * + 1 \ Mco COS ¥ / ' Отметим теперь, и это является важным обстоятельством, что, в силу сверхзвукового характера потока, форма поверхности вдали от тела не влияет на течение вблизи головной части тела. Поток вблизи тела находится под влиянием лишь ограниченной, наиболее интенсивной части ударной волиы. На этой части coscp будет отличен от нуля. При обтекании тупого профиля coscp будет близок к единице; при симметричном обтекании клина cos ср будет близок к косинусу угла раствора клина и т, д. Поэтому, на некотором участке будет всегда достигаться 2 0 8 1-ЁбРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ(ГЛ.1 такое течение, при котором не только Моо^ > 1, но и MooCOS хорошо подтверждается экспериментально. Обратимся теперь к специальному рассмотрению обтекания тонких тел при больших сверхзвуковых скоростях. На примере обтекания пластинки (% 14) мы уже видели, что простая линеаризация уравнений по отношению к основному потоку в случае, когда Mco 1, не даёт удовлетворительных результатов. Мы видели, что характерным параметром задачи является, в случае пластинки, величина Мо>| PolДля общего случая обтекания тонких тел при Mco^S> 1 были открыты специальные законы подобия. Это было сделано Цзянем для безвихревых движений и обобщено Хэйсом на случай движений выхревык iK Следуя Г. Г. Чёрному 3), попробуем сперва дать оценки порядка различных гидродинамических величин нашей задачи. Пусть, в общем случае, мы имеем установившееся обтекание со скоростью V x на бесконечности тонкого заостренного впереди тела, расположенного так, что углы между касательными к поверхности тела и основным потоком близки к нулю. Направив ось X вдоль основного потока, имеем О (cos (п, *) ) = т, (23.9 ) где п - нормаль к телу, т - малый безразмерный параметр (например, относительная толщина тела, наибольшее значение угла, образованного поверхностью тела с направлением потока, наибольшее значение co s (я, х) и т. п.), буква О, как обычно, означает порядок величины. Из краевого условия обтекания следует тогда, что на контуре O(S y ) = Wjr, (23.10 ) ') В случае безвихревого движения, т. е. в случае отсутствия поверхности разрыва, доказательство независимости движения от IVL0 при М с о ^ > 1 было нами приведено выше. См. сноску на стр. 156. ') Tsie n Н. S., Similarity laws oi hypersonic flows. Journal Math. Phys. 3 (1946), 25; Haye s W. D., On hypersonic similitude. Quart. Appl. Math. 5 (1947). 3) Чёрны й Г. Г., Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью, Физматгиз, 1959. i 23] ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 20 9 где, как и раньше, Vx = VxIVx,, Vy = VyIVxi. Это соотношение естественно распространить и на всю область течения между поверхностью разрыва и контуром. Но на поверхности разрыва мы имеем соотношения (7.12), (7.15), из которых следует, что 2 хр - PccVx (vx -VaJ = р - Pcn = v + T (M" c o s 2 tP - 0 (23.11 ) (рос. Poa-значения р и р д о прохождения поверхности разрыва). С другой стороны, так как касательные к поверхности разрыва, составляющие скорости, непрерывны, то vx - Va, = Vcostp, (23.12 ) где V = У (vx - V c o ) 2 -!-V 2 . Внося это выражение в (23.11), получим квадратное уравнение относительно coscp, из которого без труда найдем где V=V(vx-l)2 + fj , так что O(Costp) = F + * (23.13 ) Ml ' Далее, по (7.11 ) и (23.12 ) имеем ¢^ = ( 3/4 . l ) t g tp = -Vsintp . (23.14 ) Но sintp^l , Значит, или, по (23.10) , O(V) = Oiiy) 0(К ) = т. (23.15 ) Возвращаясь теперь к (23.12 ) и учитывая (23.13), (23.14 ) и (23.15) , имеем окончательно для скоростей: О ( V x Va,) = O 0 0 ^ + (23.16 ) 0(и у ) = я л т . (23.17 ) Наконец, найдём ещё порядок величин р - P c o и р - Pa,. П о (23.11 ) имеем сперва Pa так что, используя (23.16), получим О ( ' ' У ) = М1т 2 + МооТ , (23.18 ) И Теоретическа я (идромеханика , ч, И 21 0 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 P - Po Что же до . то по (7.10) можем написать Poo р - m^3 cos 2 cpi - M ^ cos 2 ¥ + 1 2 и тогда, на основании полученныхс выше оценок для MjaCostp1 имеем и \ Pco (M c o . + !)2 J М"т + Г < 2 3 Л 9 ) Проанализируем теперь полученные нами оценки. Пусть сперва мы имеем дело с умеренными сверхзвуковыми скоростями, так что Mco Наши оценки показывают, что тогда при обтекании очень тонких тел (t<^l ) возмущения всех гидродинамических элементов малы и имеют один и тот же порядок малости: ~ 1 1 ~ ~ P-Po= _ Р - Рс" v * - - в - -~Moot , - J O "J O В то же время по (23.13), (23.15 ) имеем coscp^-J, т. е. наша поверхность разрыва будет иметь наклон того же порядка, как и наклон характеристики (большой по сравнению с наклоном обтекаемой поверхности). Мы можем поэтому при исследовании сверхзвукового обтекания тонких тел, если M c o ^l , линеаризовать уравнения движения по отношению к основному потоку, обладающему скоростями Vx = iVco, Vy = O, давлением P0 0 и плотностью P00. Иначе будет обстоять дело при исследовании обтекания тонких тел, когда Moot = 1 или же M 0 0 1 C ^ 1. Здесь наши формулы приведут к новым соотношениям: V x - v y z z n , - - ^Mc 0 ' = 1. P с о Pc o "Малость" возмущений скорости сохраняется, но характер этой малости будет различным для продольных (3/4 ) и поперечных (Vy) составляющих. Возмущения давления и плотности не будут уже малыми; более того, возмущение давления может иметь тот же порядок, что и самодавление и даже превышать его во много раз; отметим, что при этом коэффициент давления , , 2 . 2 P-Pcc CP = ~-J-(P-PA>)-. будет весьма мал - он будет иметь порядок т2. Наконец, cos ? по (23.13) и (23.15) будет мал и будет иметь порядок тот же, что и косинус § 23] ДВИЖЕНИ Е С ОЧЕН Ь БОЛЬШИМ И СВЕРХЗВУКОВЫМ И СКОРОСТЯМ И 21 1 нормали к поверхности обтекаемог о контура - поверхность разрыла буде т как бы прилипать к поверхности тела. Мы видим, таким образом, что метод линеаризации, по отношению к потоку на со , не применим в нашем случае больши х сверхзвуко вых скоростей . Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями около тонких тел называют в современной литературе гиперзвуковыми. Выведем теперь, используя нашн оценки, важный принцип подо бия, касающийся гиперзвуковых движений. Обратимся вновь к общим уравнениям движения, неразрывности и притока тепла для плоского стационарного случая. Выделим основное движение по формул е и перейдем к безразмерным координатам из соотношений: < = (r)<х>т2в Vy = VcaTV, P = KPo o M2 c o -2 Pv P = P00P1, X = X1, у = ту, . Теперь уравнения движения примут вид: £>•*( ду, 1 р, дх, 4 > дх, ^ ду, ^ р, ду, Уравнение неразрывности запишется в виде ^ ( 1 + ^ ) + 4 ^ = 0 , и условие адиабатичности даст: (23-2°) (1 + т"") J + ^ = 0. ' дх, 1 ду, р,% В согласии с приведенными выше оценками, мы можем считать, что все наши безразмерные функции имеют теперь порядок 1. Считая, что т мало и отбрасывая член, содержащи й -с2 (эт о единственное упро щение, которо е здес ь делается), мы придём к уравнениям (г3-*" а Ь % ^ 0 , (23.23 ) 14 " 21 2 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Пусть уравнение обтекаемого контура в новых координатах имеет вид F ( X 1 . у, ) = 0. Тогда краевое условие на контуре запишется или, если отбросить член т2, £ + (23.25 ) Далее, на больших расстояниях от тела возмущения пропадают, и мы должны там написать U = V = О, P 1 =I 1 P1 = • (23.26 ) Наконец, выпишем еще условия на поверхности разрыва. Пусть уравнение этой последней (в новых координатах) имеет вид /(*, . Л ) = 0. Тогда по (7.5 ) имеем P=P 1 * . {<1 ь -3/4 ) + " ^ } = или, в нашем приближении: + (23.27 ) Аналогичным образом вместо уравнений (7.3), (7.4 ) получим теперь " = Pi T i I-T. (23.28 ) df I 1 ЧжI 1 (23,29 ) а вместо (7.6 ) будем иметь: ^y1' ^ 1 = (23.30 ) Из двух параметров задачи (т и M c ) ни один не входит в уравне ния (23.21 ) - (23.24 ) и краевое условие (23.25) . Краевые условия на бесконечности (23.26 ) содержат лишь комбинацию этих параметров K = Z Mo o (результат Цзяня). Условия на поверхности разрыва (23.28 ) - (23.30 ) также содержат лишь комбинацию этих параметров (результат Хэйса). Отсюда принцип подобия, который может быть сформулирован так: СЛУЧА Я РЕАЛЬНОГ О ГАЗА . "ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ " ГА З 21 3 движения около двух тел, аффинно преобразуемых друг в друга, имеющих относительные толщины т' и т", буду т подобны, если числа Маха MJn И M^j этих движений таковы, что Уравнения наши распадаются на две группы: уравнения (23.22)-• (23.24) содержат искомые функции v, P1, P1 и не содержат и; краевое условие (23.25 ) и условия на поверхности разрыва (23.27), (23.29), (23.30 ) также содержат лишь v, P1, р,. Таким образом, задача сильно упрощается. После того как v, pv pt определены, для нахождения а может служить уравнение (23.21 ) и краевое условие (23.28) . Проще определить и из уравнения Бернулли. Хэйс обратил внимание на то, что уравнения (23.22 ) - (23.24 ) совпадут с уравнениями для одноразмерного нестационарного движения газа вдоль осн K1, если заменить X1 через некое фиктивное время. При этом краевое условие (23.25 ) представит аналог краевого условия на поршне, движущемся по закону F (X1, ^ ) = 0 (X1 - время), а условия (23.27), (23.29), (23.30), как легко видеть, отвечают в точности условиям на поверхности разрыва в нестационарном случае. § 24 . Случай реальног о газа . "Идеально-диссоциирующийся " газ . При прохождении поверхности сильного разрыва, если сверхзвуковые скорости движения очень велики, температура может увеличиваться д о весьма больших значений. В самом деле, комбинируя формулы (7.10) и (7.15), мы получим для отношения температур TfT1 на скачке формулу: Г / 2* .. 2 2 * + К/* - 1 , 2 l+tg 2

0,0475 . Но тогда по (24.8 ) T2\ud=T\Td(4 + ct) + a = - 0,0 5 + 0,0475( 4 + 0,05)"0,25 . Таким образом, по (24.12 ) мы ') Аналогом формулы (5.14) будет теперь более громоздкое соотношение, если а_ = о, сс+ = а, то мы получим 7 S P+ P+ 2Т£ а '- (-+^-"'-('+TfcHr1 ' при и = 0 получим вновь (5.14) с £ = Va 2) Упрощенные условия на скачках, получающиеся путём отбрасыва ния р, и J11 называются "приближениями для очень сильных разрывов". 21 8 1 Ё б Р е т и ч е с к и е о с н о в ы г а з о в о й д и н а м и к и (гл . 1 должны иметь -L--)-:-^ • > 0,25 . С другой стороны, при обычных температурах T1 порядка 300'К , при отсутствии диссоциации мы имеем TjTd < 0,00 5 и, следовательно, IIudIl = ATjTd < 0,02. Таким образом, даже при ничтожных а величина iI2V2 должна зна чительно превышать I1. Ещё в большей степени это относится к PlV2 и P r Итак, приближенно имеем PitV1 = P 2 V Pi v I = Pt + Р 2 < = + ( 2 4 Л З > Исключаем v"t с помощью равенства (24.11): "", = - v,h . (24.14) Р2 ! P2 "I \ Второе равенство из (24.13) дает нам р" = р,(r)2 1 ), или, по (24.14): ' V Pi IJ Наконец, третье из (24.13) даёт нам J2 = г/ 2 'S=HI1-(Й2Ь (24Л6> Используя (24.8), можем, по (24.16) и (24.15), написать + = = + Й Или, исключая р2 с помощью (24.3): ^ ( 4 + , ) + ^ = ^ 4 + 5 1 ( 1 1 + 1 ) , Отсюда выразим p2/Pi через T2 и а: H _ J T 1 ± + h (2 4 I 7 ) P. 1 или если использовать ещё (24.2): "J = ?+ T^rM-JV1)-3)- (24Л8> Может быть построено одно трансцендентное уравнение для определения Т2/Та (или а) через Vn, и P1ZPd. Уравнение это громоздко §24] с л у ч а Й РЕАЛЬНОГ О ГАЗА . "ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩНИСЯ " ГА З 21 9 и трудн о обозримо') . Лайтхилл предлагает анализировать поведение функций после скачка последовательными приближениями. Именно, возьмем сначала какое-либо грубо е значение р2/р,, например Р2/Р1 = Ю, и найдём с его помощью по (24,16 ) I2, но по (24.8) , используя (24.15) , можно получить < 1 l U ! L ) ± + 1 + i i = JL . (24.19 ) " i f i \ P 2 / 1 + " U d Из этого равенства, внося сюда выбранное нами P2Zp1 и найденное нами /2, получим величину а. Вставив это и в правую часть (24.18 ) (вместе с выбранным p2/pi), мы получим новое, уточненное отношение p2/pi Отпрзвляясь от этого значения проведём расчёт снова и т. д. Приведём пример. Пусть V2nJad-=ItH (уп с"4,6 8 км/сек), PlIPd = = 2 • КГ'^яйО.г б • IO"3 г/смэ). Тогда по (24.16 ) имеем (пренебре гая членом с (pjlpif ) I 2 Iu d ^ 0,72 . При p2/Pi = 12 имеем p 2 /p i i =2, 4 • IO"6; при этих значениях /2 и Ps/Pi получим по (24.19 ) (отбрасывая pj/p2 в скобках) а = 0,4 2 и тогда по (24.18 ) мы сможем найти исправленное р2/р,. Это буде т р 2 /р, = 13,2. Теперь p2/pi( = 2,6 4 • Ю 0 ; если это новое значение внести в наши формулы, величины ч и p2/pj останутся практически теми же. Итак, мы получим 7^/7^=1/13,2:^0,07 5 ') Уравнение для T2IT11 можно получить, исключив сперва а из соотT "я Pl / Pt \ ношений -^ r (1 +a ) = - - I l (следствие (24.15) и (24.3)) и 'a K^ р2 \ р2 / т "I / р, \ (4 + ") + а =-д-^1 1 1 (следствие (24.16) н (24.8)). По отношению 1 d ^ Ps к рj/p2 получим при этом квадратное уравнение: I1 P1 \ г ZTd Л р, ч 2 Ud(ZT1-Td)T1 _0. \ прн этом P 2 / T2 + 2Td\ р 2 / V2nt(ITdJrT2)Td • т ^ т Ш ' т У ' А Решив указанное квадратное уравнение, найдём р,/р2 через T1, а затем а через T1. Останется вставить эти выражения в (24.2). и мы получим одно трансцендентное уравнение, связывающее TJTd с p^/pj и V2nJud. Это уравнение будет аналогом соотношения (24.1) (вернее, соотношения = _ 2*.(у.- 1) 2 , 4 ' (т. -[_ M i co s '?> получающегося из (24.1) для очень больших M,, т. е. для рассматриваемого нами сейчас случая "очень сильных разрывов"). 2 2 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. 1 (T3 " 4400° К), в то время как при отсутствии диссоциации мы получили бы по (24.1): Ti 2*(*-1 ) Ti - 2 2(*-1 ) V2 Mi co s т. е. при принятых в этом прилмеере величинах T1 6-1,44 T d ^ i 49 0,17 6 (Г 2 "1 0 000°К) . Любопытной особенностью движений с диссоциацией является то, что величина р2/р, имеет определенный экстремум, при котором а я=: 0,6-i-0,7 ; этот экстремум отвечает примерно значениям р 2 /р," ; яй13-г-15 . Заметим, что для идеального газа р2/р, монотонно растёт с ростом M1 и достигает предельного значения только при Mi = OO (ср. (7.10)) , Ps *41 4 р, _ -!-г, т. е. при * = -=-, р, х - 1 3 pi Остановимся теперь на выражении для энтропии; посмотрим, что можно сказать об изэнтропических движениях диссоциирующегося газа. Аналогично случаю идеального газа мы можем и здесь ввести скорость звука как скорость распространения малого возмущения. Заметим сперва, что энтропию 5 вновь можно сштагь функцией только р и р, ибо хотя по определению 5 зависит от Т, р и а, мы можем считать, что с помощью уравнений (24.2), (24.3 ) T и а выражены через р и р. Возвращаясь к системе уравнений (4.14), мы должны заменить лишь пооледнее из уравнений этой системы соотношением К Ж , др_ a s J r v 0 Г* у ду ^ z d z ^ dt)\dp dz ^ dp дг) Повторяя рассуждения § 4, мы получим теперь для квадрата ско dS . dS др ' др ' Если обозначить а 2 = ^ , 1 P т о Tf, аналог отношения теплоемкостей, будет зависеть от р и р. Мы можем представить f в виде: din р I Й1пр ДВИЖЕНИ Я С ОСЕВО Й СИММЕТРИЕ И 221 (дифференциалы берутся при dS = 0) и получим, после простых выкладок: 27Т""( 1 - .' ) + (2 + За'-в" ) 7" Т 1 + Г | а ( 1 . г ) + 3 ( 2 . ) ( 1 + а ) Г 2 ' ( ' 4 2 0 } Для крайних значений а = 0 и а = 1 получим соответственно I= 4 I 3 и 7 = 3/4 1 ) . Интересно отметить, что, подобно p2/pj, величина f имеет экстремум (для отношений TjTd, /.ежащих между 0,0 4 и 0,10 ) для каких-то промежуточных значений а; в этом убеждаемся из анализа формулы (24.20) . Мы ограничимся сказанным здесь относительно особенностей диссоциирующегося газа. Вопрос о движении в пограничном слое, влиянии вязкости, а также диффузии рассмотрен в ряде работ, из которых упомянем работу В. В. Щениикова2). В. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА § 25 . Движени я с осево й симметрией . Из пространственных движений рассмотрим сперва обладающие симметрией по отношению к некоторой оси. Последнюю примем на ось Oz цилиндрической системы координат; расстояние от оси будем обозначать через г, полярный угол через 6, проекции скоростей - через vz, vr, Vi соответственно. Условие осесимметричности запишется тогда в виде: др_ _ S v l _ дщ_ _ ае ае ae - Уравнение (25.6 ) отличается о т уравнения (9.2 ) наличием свобод ного от производных члена - a2vrjr. Предположим, что v > at, и введём характеристики r = r(z). Вдоль них мы имеем: dvz . dvz dr dvz dz or dz dz dvr , dvr dr dvr dz dr dz dz * Находя отсюда dvjdz и dvrjdz и внося в (25.5 ) и (25.6) , приведём последние уравнения к виду: T F [ V , + ' ' C 2 ¢) ] ( ' ' v , + / 2о о\ dvz d-Vr . a2vr • (a dvz , , dvr dvr dr ' dr dz -a . -jj VlVz j j -) ~ Чтобы линия r = r(z) была характеристикой, должно быть: г' (а2 - V2Jj + vTvz - г'V v z - (a2 - v f j 1 г' г' (а2 - и2) f vrvz (a2- f 2 ) v'z - VfVzVr + 1 LIiVr г = 0 , = 0. Первый из этих определителей даст иам, очевидно, аналогично плоскому случаю: '' (V2 - а 2 ) - 2 v v / -+v 2 - a 2 (25.7 ) z r r VrVz ± a YР* - Д* (25.8 ) где значку 1 отвечает знак плюс, значку 2-знак минус перед корнем. Мы видим таким образом, что в плоскости (г, г) характеристики г = г (Z) строятся из скоростей vz, Vr совершенно так же, как в 2 2 4 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ. 1 плоскости ( х , у) характеристики у = у (х) строятся из Vx и V r Обратимся теперь ко второму определителю. После простых преобразований получим: J g . [,' (в" _ *t)+2v,v,] (а2 -3/4 = Замечая, что вследствие (25.7) коэффициент при v'r будет равен (V2 - O2^Jr', деля на него и' заменяя члены в квадратной скобке правой части по формуле (25.8), получим: dv, V2 -O2 d v , aQ Vv2 - а2 a2v r' 1 f r *1 - -T г' _1 T , dz ' V2 - a2 dz Вспоминая затем, что получим окончательно: вдоль характеристики первого семейства: 1 ( OSlVv2-а2 г, а \ вдоль характеристики второго семейства: * о г + ^ о 2 = ( + J d , . (25.10 ) Так же, как и в плоском случае, можно придать формулам более обозримый вид, если ввести величину скорости v и угол наклона р к оси z : Oj = OCOsp, Or = Osinp. (25.11 ) Мы получим тогда вместо (25.8 ) (Sb2 =tg^i а)" (25Л2) где, как и прежде, sin а = a/v. Формулы (25.9 ) и (25.10 ) перейдут при этом в соотношения Q _ MJ L d v = S'" ^ " а щ а _ " " " Ж , (25.13 ) г V - 1 si n ф -) а ) г ' r l W 7. - 1 1 Sin (|1 - а ) Г 4 ' БЕЗВИХРЕВО Е ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ДВИЖЕНИ Е ПР И V>a 22 5 Формулы (25.9) , (25.10 ) существенно отличаются от формул (9.13) , (9.14 ) плоской задачи наличием вторых членов фигурной скобки справа. Формулы (25.13) , (25.14 ) отличаются от (9.24 ) наличием члена, содержащег о drjr. Это буде т особенн о явно в безвихрево м случае, к которому и переходим. § 26 , Безвихрево е осесимметрическо е движени е при v > о . Мето д Франкля . Если вихри отсутствуют , т. е. Q = 0, будет : вдоль характеристики первого семейства: dv,+XdVt = .aIv' 2,r[dz, (26.1 ) вдоль характеристики второго семейства: dvr + -Ldvz= , f " ' г; dz. (26.2 ) г, г (v 2 -а 2 ) Задача о б исследовании такого движения была решена впервые Франклем. Наряду с плоскостью (г, г) рассмотрим плоскость (vz, Vr). Совер шенно аналогично тому, как это было в плоской задаче, нашему движению отвечают точки плоскости (vz, Vr), лежащие межд у кру гом V2 = -V2z Vir = а2 и кругом V2 = э т о объясняется тем, что уравнение Бернулли V22+ V2 а2 "-)1 о(r) 2 ^ - ^ZT T T пишется здес ь так же , как и в плоской задаче. Однако характеристики в плоскости (vz, vr) не буду т теперь эпициклоидами и даж е боле е того, они аналогично характеристикам в плоскости (г, г) не могут быть найдены д о тех пор, пока движение не определено . Происхо дит это вследствие наличия в (26.1 ) и (26.2 ) правых частей. Легко видеть, что наша задача представляет формальную аналогию с рассмотренным нами в § 8 случаем плоского вихревого движения. В самом деле, соотношения вдоль характеристик в плоскости (Z)jt, Vj,) в вихревой задаче представлялись в виде неинтегрируемых комбинаций (9.18 ) и (9.19) , заменяемых при практических расчётах уравнениями типа (13.4) , (13.6) . Н о (26.1) , (26.2 ) отличаются от (9.18) , (9.19) , кроме того, что вместо х и у в них стоят z и г, только видом коэффициента при dz\ при этом коэффициент при dz в (26.1 ) и (26.2 ) даже проще, чем коэффициен т при dx в плоской задаче (последний содержит подлежащу ю сложном у определению величину Q). Что же касается д о характеристик плоскости (Z, г), то они определяются по формулам (25.8) , т. е. совершенно так же, как 1 5 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 2 2 6 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 характеристики в плоскости (х, у); уравнения (25.8 ) по-прежнему эквивалентны соотношению (п - нормаль к характеристике); уравнение Бернулли справедливо в прежней форме; можем легко провести характеристики в плоскости (г, г). Обращаясь к задачам типа 1, 2, 3 и 4, рассмотренным в § 11, заметим, что для приближённого (графического) решения их здесь, как и там, достаточно научиться следующим трём операциям: 1) находить скорость в точке пересечения характеристик разных семейств, выходящих из двух различных, близко расположенных точек, в которых скорости уже известны; 2) находить скорость в точке пересечения с заданным элементом стенки характеристики, выходящей из близкой к стеике точки, в которой скорость известна; 3) находить скорость в точке пересечения характеристики, выходящей из точки, близкой к некоторой свободной поверхности, с заданным элементом этой свободной поверхности. Научимся сперва операции 1. Операция 1. Пусть в близких точках AI1 и AI2 плоскости (г, г) (рис. 77) известны скорости; отметим в плоскости (v2, Vr) точки AIi и M2, координаты которых суть компоненты скоростей в точках M1 и M2 соответственно. Через точки AI1 и AI2 Jjf' проведём элементы характеристик разных се S l мейств д о их пересечения в N1 (пусть для S1U J конкретности Al1W1 - элемент дуги характе ""< ристики первого семейства, a AI2W1 - второго г семейства). Это построение можно выполнить, '1,2 Рис. 77. ской задаче, элементы характеристик следует заменять элементами касательных к характе ристикам. Чтобы найти скорость в точке Nv рассуждаем так. Перемещаясь по элементу AI1W1 в плоскости (г, г), мы будем, вследствие (26.1), перемещаться в плоскости (vz, vr) по элементу прямой [ t ^ L ^ w J - < 2 6 3 > где постановка значка AI1 при скобке означает, что выражение БЕЗВИХРЕВО Е ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ДВИЖЕНИ Е ПР И V>a 22 7 Mmv буде м двигаться по прямой V r M m , (3/4 Точка NI плоскости (vz, VR), лежащая на пересечении прямых (26.3 ) и (26.4) , даст компоненты скорости точки N v Операция 2. Известна скорость в точке Mv и дан элемент твер дой стенки, близкий к Mv но не проходящий через Al1 (рис. 78). Через Al1 проведём характеристику, например, первого семейства Vr Рис . 78. Рис. 79. д о пересечения с о стеикой в точке Nv Скорость точки N1 находится в плоскости (V2, VR) на пересечении прямой (26.3 ) с радиусом-векто ром, параллельным направлению касательной к стеике в точке N1 (рис. 79). Операция 3. Известна скорост ь в точке Al1 и дан элемент сво бодной поверхности, близкий к Al1, но не проходящий через AI1. Проведём через AI1 характеристику, например, первого семейства д о пересечения со свободной поверхностью в точке W1. Скорость в W1 найдётся в плоскости (vz, vr) на пересечении прямой (26.3 ) с кругом V = VV где VI есть скорость, отвечающая, по уравнению Бернулли, давлению, имеющемуся на свободной поверхности. В практических приложениях построение прямых (26.3 ) и (26.4 ) можно проводить графически, используя то их свойство, что каждая из них ортогональна соответствующей характеристике другог о номера, проведённой в плоскости (2, г) (тангенсы наклона наших прямых суть - 1 J(r'2)M и 1 /[г[) м )• Н о если мы знаем направление элементов (26.3) , (26.4) , то, чтобы уметь их провести, достаточно найти ещё, например, их расстояние о т точек Al1 и AI2 соответственно. Приводя уравнения наших прямых к нормальной форме, получим для этих расстояний 8 следующи е выражения: 22 8 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Заменяя в случае первой характеристики \dz\ на \dz\ ds где Cfs 1 длин а дуги вдоль характеристики (например, отрезок AI1N1 рис. 77), а для S a : Ictel = . ^ f L = и замечая, что V l + r ' l Vl+r'jVl+r'l (см. вывод для плоской вихревой задачи § 13), получим: |dSl|; 8! = |"^H 8S = I ^ F l H i I - ( 2 6 5 > Остаётся только найти, с какой стороны от той или иной точки плоскости (г"г, vr) надо проводить на расстоянии S1 или S2 наши характеристики, иначе говоря, надо знать знак проекции S1 и S2 на какую-либо ось, например, на ось Oz. Из элементарных геометрических соображений получим, что sign пр2 S1 ,2 = sign (vr J ^ a 2 dz^j = sign [vr (о2 - a2) dz\. (26.6) В качестве примера рассмотрим движение внутри трубы заданной формы, обладающей осевой симметрией по отношению к оси Oz. Предположим, что в некотором произвольном сечении трубы AB (рис. 80, рассматриваем одну только полуплоскость) скорость движения превышает звуковую и нам известна. Нанесём на отрезке AB ряд точек A, /H1, M2, .. . и через все эти точки проведём элементы характеристик первого семейства. Характеристику, выходящую из AI1, доведём до пересечения с контуром в точке N1 и, пользуясь операцией 2, найдём скорость в N1; проводя затем из N1 элемент характеристики второго семейства д о пересечения в точке N2 с характеристикой первого семейства, идущей из AI2, найдём с помощью операции 1 скорость в точке N2 и т. д. Заметим, что скорости точек, лежащих на оси Oz, должны находиться из условия Tir = O (скорость направлена там вдоль оси Oz)\ при этом, желая найти 8 для точек оси Oz, мы должны будем вычислять там выражение vr/r - 0[0. Последнее надо заменить на dvrjdr, так что при s .,7 ] ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ОБТЕКАНИ Е к р у г л о г о к о н у с а 22 9 вычислении S в точках оси трубы придётся брать значение vrjr для соседних точек, которые не лежат на оси, и в которых скорости уже известны. Решим задачу о получении плавного потока (сопло Лаваля). Пусть в точке С мы имеем нужную нам сверхзвуковую скорость, н CD (рис. 80) есть характеристика второго семейства, проходящая через С. Так как в осесимметрических задачах нет интегрируемых комбинаций характеристик, то здесь не будет, вообще говоря, и прямолинейных характеристик, а потому применить метод, данный в § 12, нам здесь не удастся. Но веб же одна прямолинейная характеристика (след в меридиональной плоскости характеристического конуса с осью, совпадающей с осью Oz) может существовать и здесь, а именно, она получится для потока, параллельного оси Oz и обладающего всюду постоянной скоростью. Как раз такой поток мы и хотим получить "вправо" от точки С; проведём же через С заранее прямолинейную характеристику первого семейства. Чтобы подобрать вид стенки, начиная от точки D "вправо", нанесем на прямолинейной характеристике (так же, как и на кривой CD) ряд точек и, пользуясь операцией 1, начнём узнавать скорости в криволинейном четырёхугольнике, рассмотренном в задаче 2 ( § 11). Если мы возьмём крайнюю точку на прямолинейной характеристике достаточно далеко, нам надо будет затем лишь построить (путём интерполяции) линию тока, проходящую через D. Её мы и можем принять за искомую стенку. Переходим к внешним задачам и прежде всего к вопросу об обтекании конического острия. Случай этот не поддаётся нашему методу, ибо на таком острие г = 0 , а " , ^ 0 и 8 обращается в со . § 27 . Осесимметрическо е обтекани е круглог о конуса . Конические течения . Обтекани е осесимметричны х тел . Пусть поток, обладающий постоянной сверхзвуковой скоростью V1 > av набегает на круговой конус с вершиной в точке P и с осью вдоль оси Oz. Пере д конусом образуется коническая поверхность разрыва (рис. 81 ) с вершиной в P на этой поверхности линии тока претерпят, как всегда, излом, а затем начнётся обтекание конуса. В противоположность тому, что мы имели в плоской задаче при обтекании угла (§ 13 и Рис81. рис. 32), линии тока, после прохожде ния разрыва, станут здесь кривыми. Простота задачи обтекания конуса заключается, однако, в том, что скорости буду т иметь одну и ту же величину и направление во всех точках какого-либо конуса с осью Oz и с вершиной в Р . Таким образом, наш потрк не только не будет 2 3 0 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 зависеть от полярного угла в плоскости, перпендикулярной к оси Oz, но также не буде т зависеть от расстояния 5 от точки Р . Вводя в меридиональной плоскости (г , г) (плоскости, проходяще й через ось Oz) полярные координаты (с полюсом в Р) s и ср, буде м таким образо м считать, что скорости VR и VZ зависят лишь от ср: vz = vz( V z ^ O1Jv2 (см. рис. 90), пересекающей ось VZ в точке O1Jvz и имеющей асимптоту VZ = Iv2 (х+1 ) + CfiJv 2 . Кривая L будет теперь "начинаться" на гипоцис С и, Рис. 89. соиде, а "заканчиваться" на оси z (в точке В), где и определится скорость W1. Оба типа течений, рассмотренных нами, реализуются только при наличии конической поверхности сильного разрыва и являются течениями сжатия. Следующим образом докавывается, что движение 2-г о типа не может существовать без поверхности сильного разрыва. Пусть наша кривая L может быть продолжена до пересечения с осью симметрии (пунктир на рис. 90) в точке D. Дифференцируя уравнение (27.4 ) по VZ и полагая / = 0, получим f ' f " = 2 I + / ' 2 + i j ^ l i ) . (27.6 ) Равенство это показывает, что /'/ " должно быть положительным, С другой стороны, из рисунка видно, что / ' < О около точки D, что же д о /" , то, в силу (27.2), мы можем написать / " = - d(tg 0. Трети й тип движений, удовлетворяющих (27.2) , (27.3) , был найден А. А. Никольским (1949) . Это осесимметрическое коническое течение, при котором невозмущённый поток с о скоростью W1, начиная с некоторого характеристического конуса (с вершиной на оси симметрии), непрерывно разряжается. Течение эт о можн о рассматривать как внешнее обте кание невозмущённым сверхзвуко вым потоком некоего тела вращения-полубесконечного цилиндра, который после некоторого сечения начинает постепенно сужаться (см. рис. 89) . Возможност ь су ществования такого течения видна из следующег о рассуждения . Возьмём в плоскости годо графа скорости (рис. 91 ) некоторую точку B1 (у'г, v'J. Через эт у точку проходи т бесконечное мно жество интегральных кривых уравнения (27.4) . Сред и этих кри Рис. 90. вых найдутся такие, которые буду т обращены выпуклостью к оси V2. В самом деле , по (27.3) , если проекция U на касательную к нашей кривой скорости в точке B 1 будет меньше чем а , то ^Vi радиус # буде т отрицательным (v r < 0), что и означает выпуклость соответствую щей кривой L. Межд у тем всегда можно выделить та кой угол с вершиной в точ ке В,I, что проекция скоРости на любу ю прямую, проходящую через B 1 внутри этого угла, окажется меньше р и с gi чем а. Итак, через B 1 про В,(<Л,о1) ходит бесконечное множество интегральных кривых L, выпуклых по отношению к оси vz. Если мы буде м двигаться по одной из таких кривых по направлению к оси vz, то, как легко видеть, выпуклость нарушаться не буде т (точки перегиба не встретятся), и мы сможем 23 8 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 пройти по нашей линии L до оси VZ. Пусть мы попадём при этом в точку A1 (V1, 0). Наклон нормали к линии L в точке A1 легко определить. Для этого достаточно положить в уравнении (27,4 ) vr**0, VZ = V1. Получим (J')a = ± V M i I . (27.7 ) -1+1 ^ - 2 . 2 1 -Vf Соответствующий равенства (27.2) ) конус K1 (рис. 92 ) буде т иметь наклон Ip1, определяемый равенством Sin tpj : 1 М, Следовательно, конус K1 буде т характеристическим конусом. Таким образом, движение, определяемое нашей линией L, можно представить в виде прямолинейного потока со ско ростью V1, который после прохождения характеристического конуса K1 начинает плавно поворачиваться, расширяясь. Точка B 1 нашей кривой не может быть расположена сколь угодно далеко от оси VZ. Двигаясь по L, начиная от A1, мы рано или поздно дойдём д о точки перегиба (/ " = 0) этой кривой, после чего кривая L станет обращаться вогнутостью к оси vz. При движении от A1 по L нормаль к L вращается по часовой стрелке; после прохождения точки перегиба нормаль начнёт вращаться против часовой стрелки, т. е. мы вынуждены будем возвращаться в область течения, уж е описанную кривой A1B1, и это решение не имеет смысла. Поэтому движение наше может быть доведено только д о точки перегиба кривой L. Приравнивая нулю / " в уравнении (27.4) , мы можем найти значение f'Q на месте точки перегиба: / vrvz -fa Vv1 - а1 h ~ V l U i Наклон f отвечает некоторому конусу Ka (рис. 92) (он также есть конус характеристик). Раствор продольного конуса K0 будет различен для различных интегральных кривых (различных точек B1). Течение этого типа можно построить (и параллельно построить соответствующую обтекаемую поверхность), отправляясь от оси VR = 0 и задавая скорость V1. Затруднением, однако, является то, что линия VR 0 являетси особой линией для уравнения (27.4 ) и такой, что через каждую точку A1 оси Vr=O проходит бесконечное множество интегральных линий L и кривизны s.,7]ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ОБТЕКАНИ Е КРУГЛОГ О КОНУС А 23 9 всех !тих линий буду т одни и те же') . Окончательно можно остановиться в" следующем способ е построения течений Никольского. Задаёмся "иачением V1; по этому значению определим M1 и построим / J по формул е (27.5 ) /J = -VmTzT. Отойдём теперь в плоскости годографа от оси V1 на небольшое расстояние / 2 яй0,01о , по нормали ( f 2 = Vr). Соответствующее значение (V i ) i находится по приближённой формуле (замена производной конечной разностью): (P1)2-V1 Ji Мы получили точку <42 (((r)г )2 , / 2 ) , в которой можем найти я2 по уравнению Бернулли: В точке A2 зададим теперь значение /' . Так как, по определению нашей кривой L, проекция скорости на касательную к L должна быть меньше скорости звука (U < а), и так как проекция на характеристическое направление буде т всегда в точности равна скорости звука, мы должны выбрать / 2 так, чтобы наклон L оказался большим, чем наклон, отвечающий (27.2) . В остальнЬм / 2 может быть произвольной, и от выбора этой величины зависит, какую именно интегральную кривую мы получим в конце расчёта. ') Действительно, по формуле (27.4) мы получим для (/"), неопределённость типа 0/0, которую надо раскрыть по правилу Лопиталя: 1 , f2 (3/4+//') ' Ita / " = Iim а% /+ о /->о / ~ Отсюда, принимая в о внимани е (27.7) найдё м f = i ± ! М' 1 а > K m T = I ' 2 4 0 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 После того как / j известно, мы можем найти по формуле (27.4): И . I / Л 4 Г Дальнейшее построение можно проводить шаг за шагом, задавшись близкими друг к другу значениями (O2)3, (O2)4 (о2 )" величины о 2 . Если fn_v Yrl-X' f'n-\ известны, то величины / , f найдутся по формуле / " = / " _ , + / ; _ , [(3/4) , -(",)"_ j ; / ; = / ; _ , + / ; _ ! [(3/4) . K u ] . величина а" найдётся затем из уравнения Бернулли: 7 , - 1 а нз соотношения Вычисление надо вести д о тех пор, пока / " не станет нулём. Расчёты ведутся практически, конечно, в безразмерных величинах (vja t , vr la" и т. д.). На рис. 93 даны примеры, взятые из работы Никольского, двух профилей рассматриваемого типа, отвечающих одному и тому же значению Mj =1,7 . Здесь же показано распределение давления вдоль профиля Никольского. Задача обтекания произвольного тела вращения, имеющего впереди острие, и с осью вращения, расположенной вдоль потока, была s.,7]ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ОБТЕКАНИ Е КРУГЛОГ О КОНУС А 24 1 исследована впервые ф . Франклем. Угол острия должен быть, как и в плоском случае, не слишком велик, чтобы не образовалось до звукозых скоростей. Если это условие выполнено, то задача обтекания решается без труда. В меридиональной плоскости имеем контур с остриём в P (рис. 94). Пусть обтекаемое тело представляется близ P в виде конуса, а затем контур его начинает плавно переходить в криволинейный. Перед конической частью (отрезок контура РА ) образуется коническая поверхность разрыва (линия PB), и мы можем найти движение в области между PA и PB по методу, изложенному выше; проведём при этом через А характеристику л б первого семейства, отметим на ней ряд точек: Al1, Al2, .. . (рис. 94) и построим элементы характеристик второго семейства, проходящие через эти точки. Пусть M1 - самая близкая к А точка, Al1C - проведённый через неё элемент характеристики второго семейства, С - точка контура. При помощи операции 2 (§ 26) найдём скорости в точке С и проведём через С характеристику первого семейства д о пересечения в точке N1 с характеристикой второго семейства, идущей из Al2. Ско р рости в N1 найдутся при помощи опе рации 1 (§ 26) и т. д. Так мы заполним Рис. 94. всю область между линией AB1 конту ром AE и характеристикой второго семейства BE, выходящей из В. Из близкой к В точки. NN характеристики BE проведём элемент характеристики первого семейства д о пересечения D с продолжением прямой РВ. Точка D лежит на поверхности разрыва; чтобы найти скорость в D, мы должны поступить так же, как в операциях 2 и 3, только вместо пересечения соответствующего отрезка характеристики плоскости (vz, Vr) с радиусом-вектором (или с кругом) нам придётся искать пересечение с гипоциссоидой. Определив в D скорость (при помощи гипоциссоиды) и направление поверхности разрыва, проведём из D характеристику второго семейства д о пересечения Q с характеристикой PNQ первого семейства (PN - точка, близкая к NN и лежащая на BE). Ход решения дальше был• бы ясен (определение скорост--и * в Q, проведение характеристики QF д о пересечения с отрезком DF линии разрыва и. т. д.), если бы не пришлось учесть появления вихрей. Последние не появлялись при обтекании конуса, ибо поверхность I B Теоретическа я гидромеханика , ч , I I 2 4 2 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ. 1 разрыва там пересекала меридиональную плоскость по прямой; но теперь линия разрыва есть кривая, после прохождения возникнут вихри, и придётся воспользоваться формулами (25.9), (25.10) . "Расстояние" 8 из § 26 найдётся теперь по более сложной, чем (26.5), формуле, содержащей д и Впрочем, вычисления и & совершенно аналогичны вычислениям этих величин для плоской задачи (§ 13). Изложенный здесь графический приём решения задачи на обтекание при всей его простоте отличается громоздкостью. Могут быть предложены другие методы использования соотношения на характеристиках (даже если по-прежнему говорить о ручном счёте). А. А. Дородницын предлагает использовать формулы (25.13 ) и (25.14 ) (при движении вдоль характеристик), выполняя в них интегрирование (вдоль той или иной характеристики) с попутной аппроксимацией самих характеристик в виде кривых второго порядка по г; при этом подынтегральные функции там, где они остаются, также аппроксимируются тем или иным способом. Применени е этог о приём а иллюстрируе м н а случа е наличи я пр и обте кани и криволинейног о скачк а уплотнения . Пуст ь обтекаемо е тел о вращени я имее т с самог о начал а кривизну , отличну ю о т нул я (рис . 95) . Над о определит ь форм у скачк а уплотнени я н течени е позад и него . Возьмё м н а поверхност и обтекаемог о тел а вращени я вблиз и носик а P точк у А. Пуст ь чере з эт у точк у проходи т характеристик а 2-г о семейств а AC и характеристик а первог о семей ств а AB ; точк и С , В лежа т н а поверхност и разрыва . Форм а этн х обеи х характеристик , та к же , ка к и форм а поверхност и разрыва , не известна . М ы буде м и х аппрокси мироват ь с помощь ю трё х па рабол . Дл я поверхност и разрыв а приме м z = c, r + с2гг, (27.8 ) гд е Ci, C2 подлежа т определению . Дл я характеристик и 1-г о се мейств а AB напише м Рис . 95. г = г д + а , ( r _ r a ) f 4 , ( г г а ) \ (27.9) гд е (za, га) - координат ы (известные ) точк и А, а, н я 2 - постоянные , под лежащи е определению . Наконец , дл я характеристик и 2-г о семейств а A C напише м z = ^ a + a 2 ( f r a ) + 4 2 ( / f a ) 2 , (27.10 ) гд е а2 и Ь2 заране е неизвестны . Обозначи м чере з v уго л касательно й к поверхност и разрыв а с ось ю г . Дифференциру я (27.8) , получи м Ctgv p = C1, Ctgv i j = ct g V p + 2 c / s , 2 7 ] ОСЕСИММЕТРИЧЕСКО Е ОБТЕКАНИ Е КРУГЛОГ О КОНУС А 24 3 где -J , Чд - углы наклона поверхности разрыва в точках P н В соответственно, Гь - ордината (неизвестная) точки В. Таким образом, вместо (27.8) можем напнсать c t S v O c t S v D Z = Ctgv p f + В2г" (27Л1 ) В частности, в точке В 2J = I r 1 ( r i S v ^ c l S V ) ' <27Л2> Угол Vp можно считать известным и равным углу скачка для коиуса, каса тельного к телу в точке Р. Три известных величины: чд, гь, гь связаны одним соотношением (27.12). Далее, дифференцируя уравнение (27.9) и учи тывая (27.12), мы можем написать Ctg (Рд aU) = a t c t S + c f g (Pa + aU) + 2 b i Сь r a). так что для точки В по (27.9) имеем -3/4 = ft^i H g ФА + "U) + ctSfl3B + a s)l - ( 2 7 1 3 ) В этом соотношении - угол касательной к контуру в точке А - известен, но неизвестны величины zb> г . Так как точка В лежит на поверхности разрыва, то значения и а в могут быть выражены через Именно, нз условия непрерывности скорости, касательной к поверхности разрыва, имеем vb = U1 cos vB sec - (27.14) Здесь V1 - скорость набегающего потока, скорость v$ выражается через угол Маха как всегда с помощью соотношения (9.22). Кроме того, деля (7.17) на (7.16), можем получить Jgp e = Ctg ^ 2 °' g J f l - . (27.15) 1-' ' 1 %-f 1 jI Таким образом, в качестве неизвестных остаются четыре величины: v^, гь> Воспользуемся теперь соотношением (25.13). Проинтегрируем его вдоль линии AB в л (Функция С определена по формуле (10.8)). в sitrn>fрtsе?iтn< яп d/Irf sin (р - а) г А (27.16) Вклад первого интеграла правой части (27.16) незначителен, приближённо можно принять, в качестве подынтегрального выражения зтого интеграла, 1 6 * 2 4 4 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 значени е ег о в одной какой-т о точке , наприме р до прохождени я поверхност и разрыва . Выражение , входяще е в о второ й интеграл , можн о аппроксимиро ват ь в вид е sin р sin a ^ N sin (р - а) определя я M и N так , чтоб ы соотношени е эт о выполнялос ь в точка х А и В: sin 8 sin а , N sin В " sin a N UJ A-MA ^=MA . ra s m O l Ba B ) гъ Тогд а соотношени е (27.16) приме т ви д В R г / ^ А r f ^ V i+ . sina.cosa , Ьь ^B Р д Ч в . ; H a J * 1 " Ч • ш р д . 1 п " д / г д г ь \ SinjS f l мп Я д / г , г 6 \ (27.17) Здес ь P a , г а нзвестиы , р в и г ь выражаютс я чере з найдётс я n o Vfi с помощь ю (7.2), (7.10); чт о ж е д о 9 т о он о известн о и определяетс я че ре з чр, нб о вдоль линни ток а (обтекаемо й поверхности ) 8 н е меняется . Неизвестным и являютс я по-прежнем у v , г ^ Z6, а л . Таки м образом , мы имее м три соотношени я (27.12), (27.13) и (27.17), содержащи е четыр е неизвестных . Чтоб ы замкнут ь задачу , используе м соотношени е вдол ь характеристик и АС. Точк а С находитс я на поверхност и раз рыв а (27.11); значит , во-первых , можн о написат ь ctg v. +ct g-v j. l-jSC tTgV n^l,jl Ъ (27Л8> н, во-вторы х (ка к результа т дифференцирования) , ctg м " - Ctgvn CtgVc = CtgV p + * в ^ S p ^ {27Л9 ) В последни х дву х равенства х содержатс я новы е тр и неизвестны е вели чины: zc, rc, v r . Запишем , наконец , услови я на характеристик е (27.10) ^ = г а + 1 С , ra) H g ("а\ г! M sin a I cos a I i" ftC I pA-^yaJ t U J * 1 + sin^sin a / г г \ sin e sin а / г г \ (2721) В равенств е (27.20) величин ы Vc и S c находятс я чере з ic, а остальны е величин ы введен ы былн выше . Таки м образом , мы имее м сем ь трансцендент § 28) ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 24 5 ных уравнений: (27.12), (27.13), (27.17)-(27.21) с семью неизвестными гь гь: гс< г с а > vB. V Практически решение зтих уравнений облегчается тем, что г с будет значительно меньше, чем rs , так что чс очень близко к чр. Положив в первом приближении чс = чр, мы получим z та г Ctgv 8 P ' с P' Подставляя этн величины в (27.20), определим гс и Ze через известные величины г , Zq, (5 " р , ас и неизвестную величину а д . Затем, вставляя найденные rc, Zc в (27.21), найдём и а-А. После того как аА получено, сразу можно найти из системы (27.12), (27.13) величины г , гь через чд и затем из уравнения (27.17) найти чв. Теперь подставим найденные значения >в н гь в (27.18), (27.19). При этом мы получим новые значения г , i v, i функциях от гс, а используя (27.20), (27.21), определим исправленное значение а л . Переходя снова к системе (27.12), (27.13), (27.17), найдём исправленные значения Vfl н гь и т. д. Наконец заметим, что при решении осесимметрических задач на электронных быстродействующих машинах удобно использовать переменные, аналогичные тем, что были введены в § 11 (по Элерсу). Этот вопрос подробно рассмотрен в упомянутой выше статье Элерса (стр. 68), а также в работе П. И. Чушкина1 ). § 28 . Пространственна я задача . Линеаризаци я уравнений . Снаряд, движущийс я по д угло м к ос и симметрии . Обращаясь к общему пространственному случаю установившегося движения, напишем уравнения движения: V = gra d J ^ - V X Q = } gni d р (28.1 ) (И - вектор вихря), уравнение неразрывности: grad In р • V + dlv V = O (28.2) и уравнение притока энергии: V . grad = 0. (28.3) Уравнение (28.3 ) равносильно тому условию, что величина 8P сохраняется в частице, т. е., вследствие стационарности движения, на каждой линии тока. Умножая (28.1) скалярно на V, получим, так как XI 1 * - Г" у grad р = Op-1 ^gradj P = -- j-8-grad p , ') Чушк и н П. И., Затупленные тела простой формы в сверхзвуковом потоке газа, ПММ, т. XXIV, в. 5, 1960. 2 4 6 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 для величины I0: X-I j T 1 1 + T ^ T * = 'о (28.4 ) сохраняется на каждой линии тока. Мы примем, как и раньше, что вообще I0 = const. Тогда (28.2 ) после преобразований, аналогичных тем, что были сде ланы в § 9, даст: dv,. dv,, dv" + *** > йг+^r)+"л йг+-Jr)+v" Йг •+ = (28.5 ) где, как раньше, а2 = ^JL = *& р * =*6*р*_1. Предположим, что поле скоростей в нашем движении может быть представлено в виде: V = V, -+ V1: V = (c)'; V = V 1 , X > X у Z Z где %>'х, v'y, v'z - бесконечно малые, зависящие от х, у, z функции, a C1 - постоянная величина. Такое движение получится, например, если поток скорости O1, параллельный оси х, набегает на бесконечно тонкое, наклонённое под бесконечно малым углом атаки к оси х крыло, или же на бесконечно тонкий и бесконечно мало отклоненный от своей оси симметрии снаряд и т. п. В свою очередь, давление р и плотность р буде м искать в виде: P = Pi + P'\ Р = Р1 + Р'. где P1 и P1 - постоянные; при этом P1=ад (28.6 ) и 2 "-1 T + T ^ T * ='o - (28-7 ) По аналогии с тем, что было в подобных случаях в плоской задаче (приближение Аккерета и Буземана для тонких крыльев), мы и здесь вправе считать, что, с точностью д о малых второго порядка, § 28) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 24 7 вихри будут отсутствовать, если на бесконечности поток был потенциальным. Будем же считать, что существует потенциал скоростей Ф: V = grad Ф, (28.8 ) причём где ф = (r) ^ (r) ' , (28.9) = V1X1 а Ф' - бесконечно малая функция от х, у, z такая, что , дФ' . , дФ' , дФ' Теперь уравнения (28.1) могут быть заменены одним уравнением Бернулли (28.4 ) и уравнением (28.5), причём будет ft = O1 = const. Уравнение Бернулли даст, если ограничиваться малыми первого порядка: 2 I 1 H Г " * j = <<" или вследствие (28.7 ) и (28.6): + £ = (28.11 ) Вводя потенциал скоростей, напишем ещё ^ + £ =0- (28-12) Уравнение (28.5 ) примет вид, если ограничиться малыми первого порядка: <Л aO дх aI ду aI dz где O2 = TtpJP1 или, если разделить на а \ и ввести Ф': v2\ д2Ф' д2Ф' д2Ф' ! 4 ) + - + - = 0. (28.13 ) Прежде чем идти дальше, заметим, что линеаризация, которую мы только что произвели, не буде т точной в двух случаях: когда b I O1 (околозвуковые течения) и когда O1 G1 (гиперзвуковые случаи). В обоих случаях мы можем провести частичную линеаризацию. В первом случае мы можем построить уравнение, заменяющее 24 8 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 уравнение (28.13), следующим образом. Пусть для простоты C1 = G1. Тогда обе эти величины равны а * и мы можем написать ^ = ^ = 3/4 " = ( 2 8 Л 4 ) dv' ду' дъ' где -д^, -j^• -gj малы по сравнению с а* . Запишем теперь уравнение (28.5) в виде: [(* •+1 ) {< fx) - (* •-1 ) +=P2z)] ? " + [ ( * + 1 ) ( < - - (X 1) (ср2. + 93/4] Cfyy + [(< + 1) ( а \ 9 3/4 ( . 1 ) ( 3/4 + Cf2)] ? я _ - 4 (МуЪг , + ЧуЧЯуг + Ш и ) = 0 (28.15 ) (это аналог уравнения (15.1) ) и оставим лишь главные члены в квадратных скобках. Именно, в первой скобке мы получим, пренебрегая + tf|, 2 ( * + 1) <*tf'x; в о второй и третьей квадратных скобках оставим только 2а 2 , заменим в остальных членах на а * и отбросим член, содержащий произведение трё х малых величин: VyfWyz получим вместо (28.13): (*•+! ) ? > " + а , К + * " ) = 0 . (28.16) Заметим далее, что если 0(tf/ ) = e, то порядок будет е''". Действительно, пусть порядок будет е"; сопоставляя 1-й и 2-й члены уравнения (28.16), замечаем, что О = О ( ^ г ) = (r)г> зн а " чит дифференцирование по у имеет порядок г 2 -' ; но тогда по (28.14), так как О (tp') = О = е . имеем О ((r)у) = О = Итак , е 3 я = е2, т. е. H = 3 I2 . Аналогичным путём докажем, что О = Но тогда 0 ( 9 ^ ^ , ) = 0 ( 9 ^ . ^ ) = 53 и мы можем пренебречь двумя последними членами уравнения (28.16) . Получим окончательно взаMSH (28.13 ) + (28-17) Во втором случае - в случае гиперзвуковых движений - мы по лучим уравнения, совершенно аналогичные уравнениям (23.21) - (23.23) плоского случая. Вывод их очевиден и мы на нём не останавливаемся. Вернёмся к детальному исследованию случаев, описываемых уравнением (28.13). Решение нашей задачи сводится к определению функции Ф' из линейного уравнения (28.13) с постоянными коэффициентами; при § 28) ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 24 9 этом давлени е определитс я из уравнени я (28.12) . В качеств е краевы х условий надо прннять: *<"• + "'> = 0 ( 2 8 1 8 ) на обтекаемы х твёрды х стенках , или P 1 + р ' = const . на свободно й поверхности . Можн о указат ь сраз у ж е ря д замечательны х частны х решени й уравнения (28.13) . Именно , если формальн о перейт и о т переменны х х, у, z к переменным х, у, г, та к что х = у = | / 1 z = y l j z , (28.19 ) го уравнени е (28.13 ) перейдё т в уравнени е Лапласа , и мы може м в качеств е решени я взять, например , потенциа л источника , находя щегося в точк е (О, О, 0): Ф ' = const. Ух> + Уг + Z' Возвращаяс ь к стары м переменным , получим в качеств е решени я уравнения (28.13) : ф ' = cons t ' . (28.20 ) Если W 1 ^ G 1 , то приближённ о (28.19 ) буде т иметь тот ж е вид, что и потенциал , в несжимаемо й жидкост и источника , помещённог о в точке (0, 0, 0). Мы можем , таки м образом , считать , что потенциа л вида ф ( х , у, Z) = V1X-1 с \ х x ' f + - [(у у у + (Z z ' f ] представляе т в сжимаемо й жндкост н результа т наложени я потока V1, параллельног о оси х, на источник бесконечн о малой интенсивности , помещённый в точк е ( х' , у', z'). Та к ка к уравнени е (28.13 ) линейно, т о сумма выражени й вида Ф , = - J (28.21 ) у ( х Х ' У + ^ i ± J Ц у У у + ( z z y i 25 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 дл я разны х (х', у', z') и с буде т такж е решение м (28.13) . Кром е того , решениям и буду т функции , получающиес я пута м дифференци ровани я право й части (28.21) . Потенциал ы вид а Ф Q мы може м тепер ь использоват ь дл я краево й задач и газово й динамики . Пуст ь дл я конкретност и речь идё т о б обтекани и крыл а конечног о размаха , бесконечн о тонког о и беско нечно мал о отклонённог о к оси х. Помести м во все х точка х M' (х', у', z') поверхност и крыл а источник и с потенциалам и Ф ^ вид а (28.21) , считая, что с ест ь функци я о т х', у', z', а зате м возьмё м Ф ' в виде интеграл а о т Ф q , распространённог о по поверхност и крыла : Ф ' (х, у, г) = = J J с W ) d° (28.22) y f <* x' Y + ( l [(У У')2 + ( Z г') 2 ] Вид функци и с останетс я определит ь из краевог о услови я (28.18) , которое , если ограничитьс я малым и первог о порядка , може т быт ь записан о в виде дФ' Oj co s (га, х)-\- ^j = O на поверхност и крыл а (28.23 ) (так ка к co s (га, х) = б. м. , co s (га, у) = б. м., co s (га, г ) = 1 + 6 . м.), и, таки м образом , дас т интегрально е уравнени е дл я с. Есл и O1 < ^ 1 , т о подкоренно е выражени е в Ф ^ положительн о во всё м пространстве , и мы може м действительн о распространит ь интегра л (28.22 ) на все точк и поверхност и крыла . Качественн о движени е буде т происходит ь здес ь та к же , ка к в несжимаемо й жидкости . Принципиальн о иначе буде т обстоят ь дел о при O1 > a v Тепер ь Фд буде т имет ь смысл лиш ь д о те х пор , пок а ( X x ' f ^ i ^ 1 ^ / ) 2 + ( 2 2 ' ) 2 ] . Эт о значит , во-первых , что есл и мы имеем единственны й источник , помещённы й в точк е М'(х', у', z'), т о он буде т поставлят ь потен циа л Ф ' лиш ь в точк и М(х, у, г) , расположенны е внутр и прямог о круглог о конуса , вершин а которог о находитс я в M' , ось параллельн а оси х, а котанген с половин ы угл а раствор а раве н у V2 Iaf - 1, иб о уравнени е таког о конус а в пространств е (х, у, z) буде т ( Х х ' ) 2 = { ^ ~ l ) [(у / ) 2 + ( 2 2 ' ) 2 ] . (28.24 ) Во-вторых , эт о значит , что есл и мы имеем ря д источников , поме щённы х в различны х точка х М'(х', у', г') , т о в какой-нибуд ь точк е §28)ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 2 5 1 M (х, у, z) пространства (х, у, z) буду т проявляться лишь те источники М'(х', у', Z'), которы е попадут внутрь конуса = - 1 ^ [ ( / _ у ) 2 + ( г ' _ г ) 2 ] , (28.25 ) вершина которог о находится в М, ось параллельна оси х, а котан генс половины угла раствор а равен Y^iI a I - 1 • Н о если это так, то при вычислении потенциала Ф ' в точк е М'(х, у, z) мы должны, при выполнении интегрирования (28.22) , распространят ь интеграл лишь на т у часть поверхности крыла , котора я отсекается конусом (28.25 ) и лежит внутри этого конуса . Легко видеть, что угол раствор а нашего конуса есть в точности двойной угол Маха, отвечающий невозмущённому потоку: если Sina1 = C1Zf1, то 1 / 4 1 = V 5 1 =cfc"i P< а\ у Sini Ix1 Конусы (28.24 ) - эт о характеристик и наших линеаризированных диф ференциальных уравнений гиперболического типа. Прежд е чем переходить к конкретны м случаям, отметим ещё, что с точки зрения нашего первого приближения безразлично, интегрировать ли в (28.22 ) по поверхности крыла , или же по площадке , получающейся ка к проекция нашего крыла на плоскость ( х , у). Это происходит от того, что с само бесконечно мало и, заменяя интегрирование (28.22 ) на интегрирование по бесконечно близкой поверхности z' = 0, мы совершаем ошибку второго порядка малости. То же относится и к условию (28.23), каково е можно написать при z' = 0. Итак , чтобы найти потенциал Ф' , вызываемый в точке M ( х , у, z) заданными источниками, расположенными на поверхности бесконечно тонкого и бесконечно мало наклонённого крыла , бегущего со сверх звуковой скоростью , надо: 1) построить проекцию (F) крыла на плоскость (х, у), 2) построить конус , вершина которог о находится в точке М, ось параллельна оси х, угол раствора равен 2a t , 3) рас считать интеграл (28.22), распространя я его на т у часть площади (F), назовём её (F'), которая находится внутри построенного конуса . В качестве примера рассмотрим сперва уже разобранно е нами выше крыл о бесконечного размаха . Пуст ь передняя кромк а его совпадает с осью у, а "глубина" его равна T (рис. 96). Очевидно, что Ф ' не будет зависеть от у, и можно искать Ф' , например, в точках M (х, 0, г) ; естественно, далее, считать, что с такж е не зависит OT У С = С ( X f ) . 25 2 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Тогд а имеем (z ' = 0): Ф ' О ,0 , Г Г J-J V l r г'У* - M /,,<2 2 (28.26 ) где к 2 = ctg 2 CT1. (Г) - х' у - & (у' + г ) Жела я выбрат ь ( f ) , мы должн ы рассмотрет ь отдельн о тр и случая , в зависимости от того , как расположен а точк а М . Коиус характе ристик, выходящий из M1 всегда пересекае т плоскост ь ( х , у) по гипербол е '), ибо плоскость (х, у) параллельн а оси конуса; однак о эта гипербола либо: 1) целиком лежи т вне полосы 0 < ^ < Т, Z=O, занимаемой крыло м (кривая / на рис. 96), либо 2) пересекае т наше крыл о так , что вершин а гипербол ы лежи т внутри этой полосы (кривая //) , либо 3) гипербола пересекае т крыло , Рис. 96. но вершина е ё лежи т вне нашей полосы . В первом случае крыл о не попадает внутр ь конус а вовсе, и мы должн ы положит ь там Ф'ЗЭО . Так ка к уравнение нашей ветви гипербол ы буде т jc' - х = - k Vу'2 -+Z 2 ( х ' и у'- текущи е координаты) , то первый случай мы получим, когда х < k\z\, т. е. I г \ > t g H1X, результат , уж е известный нам по плоской задаче. Во втором случае мы должн ы принять за (F") сегмент, отсекае мый от нашей гиперболы отрезко м AB (рис. 96), т. е. написать ' ку' + Vtf-Xf)*Ш2 - 7 / С (X') = -У(X-C'!'1г>г' Y(x - xy - k z -k y'' dy' [ dx'. J ' ) Мы берём лишь ту ветвь гиперболы, которая уходит на - со, § 28) ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 25 3 Выполня я интегрировани е по у', получим : х' = X-k I Z [ Ф - / '"I I arc sin JC-Sl z[ ky' \Ьу' = 1\'(х-х'?-Ь'*> k4? dx' = T I c ^ dx' (28.27 ) Наконец , в третье м случа е имеем : х'= Т ["Sy' = + Ku-Jt')' k'z* Ф•'= f C(Xr) f У(Х - х'У - A2/2 - kW dy' dx'= '=° Lfty' = -Y(x-x')'-kw х'=T = -= f c(x')dx' = const . Этот последни й потенциа л буде т существоват ь везде , гд е x - k \ z \ > l , т . е . | 2 | < t g a j ( ^ - Т). Краево е услови е (28.23 ) позволи т определит ь ви д функци и с(х') в (28.27) , если известе н ви д сечения нашег о бесконечног о крыла . Та к ка к в (28.27 ) входи т \г\, т о удобн о отдельн о произвест и вы кладк и дл я верхне й ( г > 0) и дл я нижне й ( г < 0 ) части пространства . Пуст ь уравнени е верхне й части крыл а буде т 2 ' = C b (х'). Тогд а по (28.23 ) должн ы написат ь d i в it jc'=jхc--Нкгг 1 Итак , дг f c"(x')dx'\ = - ъсв(х). 0 7 it dx Аналогичн о получи м дл я ся(х'): C t M = + " ( f ) . Итак , дл я z > 0: дл я z < 0 : ф',(х, 0, z) = - ^(.B(x - kz), фы(х, 0, z)= + f ^ K ( x + kz). 2 5 4 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 По уравнению Бернулл и мы получим при этом n ' = J ^ p I ' M * * * ) • I ^ k i i + M P k дх ' Ря k дх Так, для пластинки бесконечного размаха, бегущей под углом "р к плоскости (х, у), получим: I p It l I а . ' Plt , i о так что буде т что совпадает с первым приближением Аккерет а (см. § 14). При этом получится V12 = V1I В областях 1 и 3 мы имеем В качестве второго примера рассмотрим уже изученный в § 27 случай обтекания снаряда, ось симметрии которого параллельна иа этот раз оси х. Предположим, чтобы можно было применить наш метод линеаризации, что снаряд сильно вытянут, так что его меридиональное сечение имеет вид: г = R(X)1 где R вместе с dRjdx - бесконечно малы (г - расстояние от оси х). Здес ь удобно воспользоваться уравнением (28.13), записанным в цилиндрических координатах: ( "?\д 2 Ф ' 1 дФ ' дЧ ' 1 д 2 (r) ' 1 5 J H 1 = (28.28 ) \ а\/ дх2 г dr дг г2 дB2 4 ' Потенциал Ф' , не зависящий от 6 (осевая симметрия) и удовлетворяющий этому уравнению, возьмём в виде Ф ' с Y (х - х'У - к'г2 (источники расположены на оси снаряда). Мы можем тепер ь написать потенциал Ф ' в точке (х, г) меридиональной плоскости в виде X' =X-Iir Ф, _ Г с (х') dx' § 28) ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 25 5 Вычислени я с эти м потенциало м удобн о делат ь посл е замен ы пере менных, перейд я от JC' к и но формул е Тогд а kr U-=CS : Ch U. Ф ' = - J с(х - kr ch и) du (28.29 ) " = arc h Xlk r [ar ch а = In (a-) ^ a 2 - l ) ] , и есл и предположить , что C(O) = O, т о U=O V дФ' дх - j* с (х - kr ch и) du = п • аяг ch Xjhr х'=x-krkr - / dc (х') .dx'. х'=0 d x ' V (X - x' Y - Ь2г2 U=O v'r = ^ r = j" к ch и с ( х - kr ch и) du = U = SIChxlkr х' -х-kr 1_ j" dc (х') х - х' Tdx'. , А dx' V(x - x'Y - k2r2 дг' =0 ' Дл я определени я с буде м имет ь интегрально е уравнени е j x'-x-kr j - + { f ==_glrfjc/> = 0 (28,30) ./ /(д г - лг')2 - AV2 dx ' I U ' o 1 > Ir=K(X) Зна я с, може м найти р ' по уравнени ю Бернулли , а зате м и сил у W, действующу ю на снаряд . Последня я будет , очевидно , Jr = O х=Т г х' =X-Iit 1 \ = о Vxi a d x V ( x x y k W J dx ГД° T -длин а снаряда . Есл и обтекаемо е тел о ест ь конус , т . е . R(x) = Igp0*, (28.31 ) 25 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 т о можн о считать, что ^ r = V1K = COnsi Пр и это м уравнени е (28.30 ) действительн о удовлетворится , и надо буде т лиш ь иайти К из услови я К = - -^=L g2 p " : 3/4 B2 . (28.32 ) K l -featg2 Эо 0 Сопротивлени е таког о конуса , рассчитанно е по (28.31) , делённо е на Pjt^/ 2 и на площад ь Itfg 2 P 0 T 2 основани я конуса , буде т с _ 2 a r c h ^ k Vi-k4g* р0 В случа е снаряд а произвольно й форм ы рассмотри м на линии его меридиональног о сечения густо й ря д точе к 0(0 , 0), Af l (Jt i , ^ 1 ) , .. . ... , Mn(Xn, RN). Равенств о (28.30 ) должн о быт ь справедлив о для любог о х\ запишем ж е ег о N раз , вставля я вмест о х последова тельн о значения X1, X2 xN. Буде м тепер ь считать все дуг и OM1, M1M2 J^MN за отрезк и прямы х линий, т . е. представи м себе , что снаря д построе н из отрезко в конусов , имеющи х кажды й свой уго л раствора ; тогд а в предела х каждо й из упомянуты х ду г величина dcjdx' буде т сохранят ь постоянное значение (на дуг е OM1 эт о буде т O1 K1, ... , а на дуг е Mn^Mn буде т V1KN). Тепер ь дл я какой-нибуд ь точк и ха, Rn мы може м написат ь вместо (28.30) : -W l R Rn-Rn-i+к Г X - Х-л J. dx' п п . . . + K N F ХП-Х' ^ R D X R = O, что дас т после выполнения квадрату р и просты х преобразовани й (JC 0 =^ 0 = O): 1 Rn- k х п - ^ r t I I^ZF e S e m z F t "/W e e WM z ' ) • (28.33 ) § 28) ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ Й 25 7 Придава я га последовательны й ря д значени й п= 1, 2 N, мы получим систем у N линейны х уравнени й дл я определени я N вели чин Zf1, K2, . . . . KN. Заметим , что систем а наш а такова , что в пер вое (при га=1) уравнени е входи т тольк о Zf1, во второ е - тольк о KI и K2, в "е - K1, K2 Kn. Таки м образо м мы може м сперв а найти К1 из уравнени я перво й степени ( я = 1 ) , зате м вставит ь K1 в уравнени е при га = 2 и найти Zf2 из этог о уравнени я и т . д . Посл е тог о ка к Ki найдены , давлени е р'п в точк е (х п , /? л ) найдётс я в вид е Я i = i аг ch хп - Xt + kRi kR n ar ch -X,., + kR,. kRn а поделбино е на p,"J/2 и на площад ь основани я KR2n сопротивле ние Cx снаряд а може т быт ь вычислен о по формул е (28.31) : ^S ="RSI-RIr 1 ISM " г c h *n - xt +Ml kR" - ar ch kRn ( 2 8 . 3 4 ) Отметим , что наши формул ы пригодн ы лиш ь д о те х пор , пок а V1Ia (а значит , и к) не слишко м велико . Так , например , фор мула (28.32 ) теряе т смысл , будет близк о к единице . В качеств е третьег о пример а рассмотри м слу чай вытянутог о симмет ричного снаряда , поме щённог о в пото к со ско ростью V1, направлени е которог о составляе т ма лый угол I р|| с ось ю симметри и снаряд а (рис . 97) . Разложи м скорост ь потока V1 на дв е состав ляющие : а - параллель если , несмотр я Atgp 0 Рис. 97. ную оси симметри и снаряд а и w тогда перпендикулярну ю к это й оси ; и = V1 COsB W : V1 Sin причём и буде т величиной конечной , a w - в сил у малост и угл а р - бесконечн о мало . Помести м начал о координа т по-прежнем у в вершин е 1 7 Теоретическа я гидромеханика , ч, H 25 8 1 Ё б Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О В Ы Г А З О В О Й Д И Н А М И К И (ГЛ . 1 снаряда и направим ось х цилиндрической системы коорди нат г, 6, х вдоль оси симметрии (рис. 97). Буде м теперь искать потенциал Ф ' в виде суммы TpSx потенциалов Ф^ и Ф^: ¢ ^ ¢ [ ! ¢ ^ + ¢ ^ (28.35 ) из коих = - wrzOS0 23/4l Uifir co s 6, и представляет плоско-параллельны й поток скорости (бесконечно малой величины w), бегущий параллельно плоскости, проходяще й через направление V1 и через ось снаряда; Ф^ представляет уж е разобранный нами потенциал осесимметрического обтекания, получающегося от того, что снаряд помещён в поток скорости и (она же приближённо равна Vi), а Фз - не обладающий осевой симметрией потенциал, получающийся из-за наличия, кроме скорости и, ещё и боковой скорости VI. В силу линейности задачи, такую суперпо зицию трё х решений строить совершенн о законно . Чтобы найти Фг достаточно, ка к мы эт о уж е и делали, отпра вляться от обладающего осевой симметрией решения уравнения (28.28 ) (a"Ui) , т . е . искать Ф2 не зависящим от 0. Чтобы найти Фз, нам надо обратиться к полному уравнению (28.28) . Феррари и Цзянь предлагают искать Фз в виде Фз = cos OF (лг, г). (28.36 ) Тогда (28.28 ) даст / i>? \ а2/' 1 aF д2Г F Н о тепер ь легко видеть, что в качестве F можно принять ЙФ' Jf = T j b (28.38 ) где Ф ' - выражение вида (28.29) . Действительно , продифференцировав по г уравнение / t A d V 1 ЙФ' й 2 Ф' _ Y " ^ y i Z + T l T + I ? 0 ' получим Й! ЙФ' 1 Й ЙФ' й2 ЙФ' 1 Й Ф ' _ a f / й?~~й Т + T 7r~dr J r "d^~d' r 7г дг ~ ' что совпадает с (28.37) , если заменить дФ'/дг на F. § 28] ПРОСТРАНСТВЕННА Я ЗАДАЧА . ЛИНЕАРИЗАЦИ Я УРАВНЕНИ И 25 9 Использу я подстановку , употребленну ю в (28.29) , мы можем таким образо м окончательн о написать : а=0 Фз (х , г, 6) = Acos O f с2(х- kr ch и) ch и da = in= ar ch xjkr x'^x-kr r X--O ' V i x x y k > r > где c2{.x') - функция , подлежаща я определению . Что ж е касаетс я Фг (х, г), т о ег о мы ище м по-прежнем у в виде B = O Ф2(х, г) = - J C1 (х- kr ch и ) du = и = a r ch XJk r х' =x-kr Ло V ( x x y k ' r * где Cl(Xr) - функция , определяемая , ка к эт о уж е был о проделан о выше, из интегральног о уравнени я (28.30) , где вмест о с стои т C1, Краево е услови е задач и (28.18 ) напишетс я тепер ь так : cos(" . х ) 3 | ( ф 1 + ф ; + ф ; + ф ; ) + с о 5 ( " , +cos(" , в ) 1 ^ . ( Ф ; + Ф ; ) = о при г = R(x ) (уравнени е контур а снаряда) . Н о co s (я , х ) = б . м. ; co s (я , г ) =1-)-6, м. , co s (я , 6) = 0, та к что, оставля я малы е первог о порядка , получим : cos (п , X) V1 + It f со. в + + я = 0 , или, если разделит ь члены, содержащи е 0 и свободны е от 0: cos (п , х ) ^ + ( ^ ) ^ = 0 ; tt f с м в + ( ^ ) ^ = 0 . Перво е и з эти х уравнени й дас т *** + | 7 '' , d c ^ d x \ =0, dx \ J V(x - x')' - k*r3 dx' U 1 = O v ' Jr=/ ; 17 * 26 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 чт о в точност и совпадае т с уравнение м (28.30 ) уж е решённо й нами задач и (надо тольк о заменит ь с на C1). Второ е уравнени е дас т ( а 7° \ =(* 2 7 з ^ 2 ^ " ) = \ ix=arch^/ftr /тЦ ( 1 ' T ' d ^ , . (28.39 ) г" J dx' Y(x - x'y - k*r* ' ' I * ' = 0 4 ' Ir=R Эт о интегрально е уравнени е и следуе т решить , чтоб ы найт и с 2 и, значит , О "О Определив LV L2 LN последовательно из N уравнений первой степени (28.47) с одним неизвестным каждое, мы можем затем написать P2 в точке M n в виде: P1 r r l 2 = *pj>,4> S i i ( / C T 1/3/4 . , , О . (28.48) так что Cr и Cm могут быть записаны в виде: N i г " Cr =-Щ ^ Я.+ #?." Xn-Xn., ^ ^ ( y ^ n z n . /I= U N N L (= i VCZFO N I П " V ДЯ + Д "1 •*"-•*"1 Г г I 9 , I ,] £ MVCF r r о L;=i Как С,, так и C a i пропорциональны углу р . § 29 . Потенциал ускорения . Теорема Прандтля-Глауэрта . Крыло конечного размах а в сверхзвуково м потоке. В предыдущем параграфе отправным пунктом является проведение для получения решения уравнения (28.13) операции вида (28.22) над потенциалом вида (28.21). Однако функция с (Af'), участвующая в этом методе, не имеет наглядного аэродинамического смысла. Прандтль предлагает подвергнуть (28.21), с целью получения решения, операциям, отличным от (28.22); он отправляется при этом от понятия потенциала §291ПОТЕНЦИА Л УСКОРЕНИЯ . ТЕОРЕМ А ПРАНДТЛ Я ГЛАУЭРТ А 26 3 ускорения . Последни й существуе т всегда , кол ь скор о существуе т потенциа л скорости , иб о тогд а dv ЧГ и мы може м н ааз в а т ь величину дФ , 1 Г/дФ\2 . (дФ\2 , /дФ \21 TP = ^ T + 2 1 . Ы + Ы + B ? ) J потенциало м ускорения . Пр и линеаризации , проводимо й ка к в предыдуще м пункте , полу чим (в стационарно м случае) : * = " i 4 r ( 2 9 1 ) причём по уравнени ю Бернулл и (28.11) : т = Pi (29.2 ) Уравнение (29.1 ) показывает , что ср удовлетворяе т уравнени ю (28.13 ) так же , ка к и Ф' . Есл и крыл о обладае т подъёмно й силой, т о давле ния р' в какой-либ о верхне й точк е M' крыл а и р'н - в нижней точке с теми ж е координатам и х, у буду т различны . Эт о значит, что, с принятой нами точностью , мы можем сказать , что р' терпи т скачо к при переход е чере з горизонтальну ю площадк у (F), на котору ю проек тируетс я крыло . Н о тогд а по (29.2 ) ср терпи т скачок пр и переход е через (F). В несжимаемо й жидкост и ср удовлетворял о бы уравнени ю Лапласа (так ж е ка к и Ф') , и мы могли бы искат ь ср в виде потенциала двойног о слоя : (F) (F) (F) где ср" и срв - значения ср в точка х M' площадк и (F), а г = V (* X j + (у у'? + (z z ' f . В сжимаемо й жидкост и ср удовлетворяе т уравнени ю (28.13) , а ег о решением , имеющим характе р потенциал а источника , будет , ка к мы знаем, не ljr, а (28.21) . Прандтл ь предлагае т по аналоги и с несжи 26 4 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 маемой жидкостью, искать tp для сжимаемой жидкости в виде ' ( п У ( * * ' ) 1 1 + ^ J [ ( У / ) ' + " • ] Та к как разность р'и - р'в представляет подъемную силу, отнесённую к единице площади крыла, то удобно её обозначить, ориентируясь на теорему Жуковского, так: K P ' , = PitYf (*' • У ) (29.3) и назвать f "циркуляцией". Тогда ср запишется в виде: tp(*, у, г ) = J Т ( * . У ) - р = . (29.4) у (х х'У +(l--±J [(у у')' + г=] Зная tp, найдём Ф ' путём квадратур по (29.1): X f t ( x , y , z ) d x , (29.5) - СО а скорости будем иметь в виде: X X ^ = T T 1 e J = TTI F I t f i x ' * z ) d x ' < = h d x -со -со (29.6) Запишем ещё краевые условия задачи определения tp. На поверхности крыла V11 = 0, т. е. cos (л, ^)^-)-(^ ) = 0 на (F). (29.7) Это последнее уравнение и должно служить дл я определения циркуляции f ( x ' , у'). Для дозвуковых скоростей уравнение (29.4) позволяет сделать одно важное заключение. Замена переменных § 291 ПОТЕНЦИА Л УСКОРЕНИЯ . ТЕОРЕМ А ПРАНДТЛ Я ГЛАУЭРТ А 26 5 приведёт (29.4 ) к виду: 4. d, J J V c z y + b y y + * но это в точности совпадает с потенциалом ср дл я жидкости несжимаемой. Отсюда выводится следствие: подъёмная сила тонкого крыла, помещённого в поток сжимаемой жидкости, имеющей на бесконечнее(tm) скорост ь о, и плотность O1, буде т в * раз У 1 - (ViIal)2 больше подъёмной силы того ж е крыла , помещённого в поток несжимаемой жидкости плотности р, и скорости V1 на бесконечности. Эта теорема была доказана Прандтлем и Глауэртом . Обратимся к сверхзвуковым скоростям и напишем (29.4 ) в виде 1 ) : "(*. у, Z ) = f f t ( X ' . y ' ) d X ' d y ' причём, как и прежде , будем считать "ргэО, если (X - x'f<,k2[(y - У) 2 + г 2 ] , так что площадь ( F ' ) буде т выбираться, ка к в предыдуще м пункте . Рассмотрим в качестве примера случай, когда крыл о есть трапе циевидная пластинка, наклонённая под углом (J к плоскости (х, у); пусть в проекции иа плоскость (х, у) крыл о даё т трапецию ABDC (рис. 98), так что передняя кромк а расположена по стороне AB (она лежит на оси у), и крыл о имеет размах AB = Ь, а ширину OE = t. Пусть I OBD = I OAC = I - 6 0 . Начало координа т - в середине передней кромки . Из точек А, В, С, D проведём конусы характеристик , т . е . прямые круглы е конусы с вершинами в этих точках, с осями, парал лельными оси х, и с углами раствора 2а1 , где sin ос1, = . Линии пересечения этих конусов с плоскостью (х, у) изображены на рис. 98 2). Чтобы найти поля скоросте й и давления, вызываемые наличием этого крыла в некоторой точке M(х, у, z) пространства ') Cf берётся удвоенным против (26.3), чтобы сохранить за ? смысл циркуляции (см. ииже). г) Предполагается, что о, > Sg > О, 26 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 (.х, у, г), нам надо (аналогично тому, как мы это делали в преды дущем параграфе) при пользовании формуло й (29.8) выбрать за площадк у (Fr) часть трапеции ABDC, попадающую внутрь конуса характеристик , вершина которог о находится в точке М . Ветвь гиперболы, по которой этот последний конус пересекает плоскость (ху) , буде т в зависимости о т расположени я M отсекать разные части тра пеции ABDC. Так, например, дл я точек М, расположенных "над" плоскостью или "под" плоскостью Z = IgalX г = - ig Oi1X, эта гипербола вовсе не встретит прямоугольника ABDC, и дл я этих точек надо считать <р = 0. Число всех возможных случаев равно здесь 15, в то время как дл я крыл а бесконечного размаха их был о только 3 (см. предыдущий параграф). Метод Прандтля позволяет найти скорости и давления в любой из этих областей. Мы остановимся подробно лишь на отыскании j и на вычислении сил, действующих на наше крыло ; для этого необ" ходимо найти скорость v'z и давление р' в точках крыла . Если вспомнить, что в краево е условие (29.7), служаще е для нахождения у, входят только точки крыла, станет ясно, что из всех пятнадцати областей нам достаточно теперь рассмотреть лишь те, пересечения § 291 ПОТЕНЦИА Л УСКОРЕНИЯ . ТЕОРЕМ А ПРАНДТЛ Я ГЛАУЭРТ А 26 7 которы х с плоскость ю ( х , у) не выходя т за предел ы трапеци и ABDC, Област и эти , пересекающиес я с ABDC по площадкам : AFGB (обозна чена цифро й 2), ACF (цифр а 3) и BGD (цифр а 4), назовё м областям и // , III , IV соответственно . Начнё м с област и II. Область , отсекаема я о т крыл а наше й гипер болой , буде т здес ь совершенн о така я же , ка к если бы мы решил и задач у о крыл е бесконечног о размаха . Есл и бы реч ь шл а о движе нии трапеци и ABGF, т о силы , на не ё действующие , был и бы поэтом у в точности те же , что и в случа е крыл а бесконечног о размаха . Жела я подсчитат ь у дл я област и 2 , мы можем заране е считать его постоянным, и услови е W L 0 = E I ? ( 2 9 9 ) при постоянном Y удовлетворится . Действительно , здес ь буде т (для верха) : x'=x-kz у'=у+А P i f Г [' dy' dx' 2 i fe J J У IX _ Х>У _ /У _ УЧА _ КГГГ = д х-kz D1T 2~ дz k - ~~2~ ' где A = ^V(x-х')2-K2Z2. Дл я област и 1 (лежаще й над пло скость ю z = xjk или под плоскость ю Z = - xjk) имеем прост о Поэтом у в выражени и 9 = 0 . I=X ф'=-1 f ?a,y,z)di нам достаточн о распространит ь интегрировани е о т \ = kz (или о т E = - kz при z < 0) д о 1 = х. Итак : Ф' (х, у, z) = (х - kz), та к что 26 8 ТЕОРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И [ГЛ . I Мы действительно можем удовлетворит ь (29.9), если положим 1 ) I = ^ f - (29.11 ) Обратимся к области IV (для области III вычисление можно будет провести по аналогии). Здес ь мы имеем переменное у = у'), причём, так как возмущение, происходяще е в угл у GBD, обусло влено наличием точки В, можно искат ь f как функцию от комбинации U y т. е. считать f одинаковым во всех точка х одного луча, выходящего из В, и меняющимся от луча к лучу . Можно считать, что f обра щается в нуль на луче BD и обращаетс я в ^ 0 : To = 2 I T < 29Л 2 > на луче BG. Н о тогда в интеграле (29.8 ) удобн о перейти к цилиндрическим координатам г, г', Ь' по формулам: = г' cos0' ; y' = ~b - r' SinS' ; и дл я области IV получим: Ь у ( х , у, ") = -£.X в'-"/2 Г=г, 6 х й.. JГ Jг" _ T ( ') г' dr' dV в'=о" r''-0 r'cosB') 2 - А 2 [( у - ! " + rsine'^-!-,^!' ' (29.13 ) ') Мы видим, что 7 действительно похоже на циркуляцию, ибо 2v?p P l PitYT = - к так что C2 будет _ 2f?PP! C 2 = что отвечает формуле Аккерета. ip.v 2 к ' 2 § 291 ПОТЕНЦИА Л УСКОРЕНИЯ . ТЕОРЕМ А ПРАНДТЛ Я ГЛАУЭРТ А 26 9 Здесь T1 - наименьшее из тех дву х значений гi и г2, которы е обращают подкоренное выражение в формуле (29.13 ) в нуль. Эти значения суть х cos 0' - k'1 ( у - ^j sin 8' r I ^ = COSa 8' - A2 Sin2O' + A ]/"[• * sin 6' - - у ) cos Э' J + Z1 (cos2 в' - A2 sin2 0') + COS2 в' - A2 sin2 8' ' ( 2 9 ' 1 4 ) причём верхний знак отвечает случаю T1, а нижний - случаю г2 . Для того чтобы выполнить дифференцирование по г в (29.13), удобн о перейти к новому переменному % из соотношения Мы получим сперва: Cfiv (х, у, Z) = 9'=i/2 О - - I l J - Г f -г' 1 J t l i v " < ' (1 -г г ) г Vr COS2 A'-A2 Sin2 S' 4 ' п Теперь мы можем выполнить дифференцирование по г ; используя (29.14 ) и выполняя квадратур ы по получим: ТДД*. У. Г) = = Y Т О О / * ' A 2 [ ( j y f + 2 ж 9'"90 [л: sin 8' -( у - у ) cos 6' J + г 2 (cos* 6 ' - A2Sin2A') (29.15 ) Заметим, далее, что' ) d(y sin 6' - ( д - У j cos 6' j f г 2 (cos2 в' - A2 sin2 8') = -г d arc i g - w ' . ') Это преобразование было дано Фальковичем. Первое применение теории Прандтля принадлежало Шлихтиигу, но его рассуждения оказались неточными. Дальнейший подсчет ведётся здесь по Фальковичу. 27 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Вставляя это выражение в (29.16) и производя интегрирование по частям, получим: ' Ar = л/2 b v i x , у, г ) = £ { 7 ( B O a r c t g ^ > J г /ь \> Нам надо положить f (0О) = 0. Кроме того, во всём интервале от 8' = CT1 до 9' = тс/2 мы должны принять F = const. = F0. Таким образом мы получим: "' ф(*.у.*)= f [ c(x',y')dx'dy' ' , J c o , I у (х-х'У - A2 ((у-у') 2 + и введем вместо у ' независимую переменную 6 из равенства У' = У - i У(х - x'f - /3/43/42 co s 6. (30.3 ) Та к ка к dy ' = j V ( x ~ x ' f - k W sin 0 d0 и (X - л') 2 - A2 [(у у') 2 + г2] = sin* еЦх - х'У2 - k2z\ получим: х<=х-Ы в Г с / CQS Л z)= J J - ъ -J-dbdx'. дг' = " 8= 0 (30.4 ) 18 * 27 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Дифференциру я (30.4) по параметр у z и полагая затем Z = O, при дём к соотношению (30.2) . Можно отметить четыре характерны х положения ветви гиперболы, составляющей границу области интегрирования в выражении (30.1) : 1) ветвь гиперболы лежит целиком вне крыла (кривая I, рис. 102); 2) ветвь гиперболы пересекает крыло , но так, что точки A n C остаются вне области интегрирования (кривая I); 3) ветвь гиперболы пересекает крыло , и точка А (или С) находится внутри области интегрирования, но точка В (и D ) находится вне области интегрирования (кривая III); 4) ветвь гиперболы расположена так, что А и В (С и D ) попадают внутр ь области интегрирования. В случае 1) точки области интегрирования потоком не возму щаются. Мы имеем здесь Ф'(х, у, z) = 0. В случае 2) подынтегральная функция из (30.1 ) будет известна всюду, и точки области интегрирования все лежа т на крыле; если уравнение поверхности крыла z = Z(x, у), то по (28.23 ) и (30.2 ) С(х , " = (30.5 ) В случае 3) област ь интегрирования будет частично выходить за пределы крыл а (часть плоскости между линией AA' и контуром крыла) ; здесь принято говорить о влиянии "концевого эффекта" . §30jСВЕРХЗВУКОВО Е ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГ О КРЫЛ А 27 7 Функция с(х, у ) буде т и здес ь определятьс я с помощь ю (30.2) , однак о тепер ь с буде т заране е неизвестн а в те х точка х област и интегрирования , которы е лежа т вн е поверхност и крыла . В случа е 4) област ь интегрировани я заходи т за предел ы крыл а ещ ё и в вихреву ю пелену ; здес ь говоря т о влиянии "вихрево й системы за крылом" . Как и в 3), функци я с буде т заране е неизвестн а в точка х област и интегрирования , находящихс я вне крыла . Чтоб ы решит ь задач у в случая х влияния концевог о эффект а и вихрево й системы , постави м краевы е условия . Н о прежд е чем эт о делать , обратимс я к описани ю форм ы поверхност и крыла . Д о си х по р мы не определял и ви д поверхност и крыла . Пред положим , чт о поверхност ь верхне й ( z > 0) части крыл а представлен а уравнение м г = C0 (л , у), (30.6 ) а поверхност ь нижней части крыл а имеет вид: Г = CIL (* , у) . (30.7 ) Рассмотри м два типовы х случая : а ) случа й крыла , симметричног о по отношени ю к плоскост и 2 = 0 ; здес ь C"(JC, у ) = - С" (* , у ) и 6) случа й крыл а нулево й толщины ; здес ь CS (х, у) = С"(л:, у) . Легк о видеть , что общи й случа й може т быт ь сведё н к рассмотрени ю эти х типовы х случаев . Действительно , пуст ь крыл о задан о уравнение м (30.6 ) и (30.7) . Состави м комбинаци и Цх, У)=[С В (* . у) - С"(* . У)]Ь Т) = (СВ(Д:, У) + С"(* . У)] У (30.8 ) и реши м задач у обтекания , симметричног о по отношени ю к пло скости Z = 0 крыл а с уравнение м поверхност и = у), Zk = ~ Ц х , у), (30.9 ) а такж е задач у обтекани я крыл а нулево й толщин ы с уравнениям и поверхност и zB = r,{x. у), z" = r,(x.y). (30.10 ) Та к ка к 5 -(- -rj = -rj - 5 = Cn и так ка к наш а задач а линейна, то , складыва я решения , отвечающи е крылья м (30.9 ) и (30.10) , мы полу чим решение , отвечающе е задач е обтекани я произвольног о профил я (30.6) , (30.7) . Перейдё м тепер ь к формулировк е краевы х услови й задачи . В случа е крыла , симметричног о относительн о плоскост и Z = 0, естественн о считать , чт о скорост и вдол ь осн z антисимметричн ы по отношени ю к плоскост и Z = 0 . Тогд а дл я всех точе к плоскост и г = 0 вне поверхност и крыл а мы должн ы буде м считать дФ' ST = 0 С 3 0 1 1 ) 27 8 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Таким образом, в формул е (30.1 ) надо просто положить с = 0 во всех точках вне крыл а и определит ь с по формул е (30.5) в точ ках, отсекаемых на крыл е гиперболами типа Ш или IV. Горазд о сложнее обстоит дел о в случае профиля нулевой тол щины. Здес ь дФ'/dz буде т симметрично относительно плоскости г = 0 . Поверхности R, Q, T являются поверхностями разрыв а функции Ф' ; на этих поверхностях должн ы выполняться условия непрерывност и нормальной составляющей скорости и давления. Это означает, что вне крыла , при переходе через плоскость г = 0, производные дФ'/дг и дФ'/дх по (28.12 ) буду т непрерывны . Н о так как тепер ь дФ Jdz Q симметрично относитель но плоскости г= = 0, то дФ'/дх должн о быть антисимметрично, или, так ка к дФ'/дх непрерывн о при переход е через плоскость г = 0, то мы должн ы потребовать , чтобы был о дФ' S7 = 0 при г = 0 (30.12 ) на вихрево й пелене Т, а такж е в областях R и Q. Замети м ещё, что на линии AA' (CC') (рис. 103) должно быт ь Ф ' = 0, и тогда, по (30.12) , во всей об ласти R (Q) будет Ф ' = 0. Таким образом, в случае крыла нуле вой толщин ы мы должн ы решить следующую краеву ю задачу. Опре делить Ф ' так , чтобы был о при Z = O д Ф ' " ЙС -дГ=" ^ SI Ф ' = 0 ЙФ' = 0 дх Покажем , как можно решить эт у задачу. Начнем со случая влияния одного концевого эффекта . Итак , пусть положение гиперболы, отделяюще й область интеграции в выра жении (30.1) , отвечает на рис. 102 кривой III. В области R функ ция с (х, у ) неизвестна. Построи м интегральное уравнение для её определения. Дл я этого обратимся к той части области R, котора я расположена между характеристико й AA' (рис. 103) и характеристи кой BB " (точка А - по-прежнем у точка, в которо й характеристик а § 30j СВЕРХЗВУКОВО Е ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГ О КРЫЛ А 27 9 касаетс я контура , точк а В - крайня я справ а точк а контура) . Вырази м по формул е (30.1 ) потенциа л скорост и Ф ' какой-либ о точк и N(x, у, 0 ) это й области . П о (30.14 ) это т потенциа л раве н нулю . Област ь интегрировани я разобьё м на дв е части (ка к показан о на рис . 103 ) -област ь S(х, у) и o(JC, у). Област ь S - эт о част ь крыла , находя щаяс я внутр и характеристическог о конус а с вершино й в N(x, у, 0) . В област и S , согласн о (30.2 ) и (30.13) , функци я задана . Област ь з - часть област и R, находящаяс я внутр и нашег о конуса . В это й об ласт и с являетс я неизвестно й величиной . Таки м образом , мы прихо дим к интегральном у уравнени ю 0 = [ f e^'' yJ=== dx' dy' + f ( x , у), (30.16 ) • Li) -•* ) - А Су - у )* где f (х, у) - известна я функция : f ( x , y ) = ± С Г X ус. У1) 1 , H v , H , n S r L n дх' Y ( x x y k > i y y ' ) ' (30.17 ) Интегрально е уравнени е (30.16 ) существенн о упрощаетс я и може т быт ь легк о решено , есл и ввест и вмест о х и у характеристически е координат ы XV у , из равенств : X1 = х - Jc0 - к (у - у0 ); Jil = X - JC0 + k (у - Ji0); J jc; = JC' - J C 0 к ( у - JI0); у[ = х' - х0+к(у' - j>0). J ( Здес ь Jc0, Ji0 - любы е числа , например , координат ы точк и О , пересече ния характеристик , проходящи х чере з Л и С соответственн о (рис . 103) . Та к ка к по известном у правил у D Ix., у ) а У = ТУУГТ Г т о мы получи м вмест о (30.17) : d x f f V T = ^ S = = K . У ( x I X 1 ) (V1-V1) J dx' dy' = Ikdx' dy', к ^ =-^kf- (3 0 '19 ) В иовы х координата х переменны е интегрировани я в област и о буду т менятьс я в предела х о < * ; < * " (*, ) < у ; < у, , где Ji1 = Iji1(Jc1) - уравнени е в новы х координата х боково й кромк и крыл а -дуг и AB (рис . 104), в област и S переменна я Jcj меняетс я 28 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 в те х ж е пределах , а переменна я меняетс я в предела х гд е ^1 = ^(-^1) - уравнени е передне й кромк и крыл а - дуг и CA . О, Рис . 104. Таки м образом , наш е интегрально е уравнени е (30.19 ) буде т иметь вид f f d y [ d X ' 0 ^ w y O * 1 ^ Х * У ! ) х, . , aI-xVyiI J J / Vf \ (30-20) - / О ф(х,> У (•*! -•",) (У1 У, ) я дх (30.21 ) (известна я величина). Решени е уравнени я (30.20 ) равносильн о ре шению дву х уравнени й Абеля . Собира я оба интеграл а из (30.20) , получим <Ы*1> / , /ч 1 с 1 г c W л ) , , , Г7 "(*1.У1) I CfJC1 = 0 . оJ v V-TJt =J7 ; L ^J , Vy =уJ; " ' J Vy -У ! 1 t t i i 1 1 (30.22 ) Эт о - уравнени е Абел я с переменны м предело м и с право й частью , тождественн о равной нулю . Следовательно , квадратна я скобк а § 30j СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГО КРЫЛА 28 1 в (30.22 ) должна быть нулем при X1 = X и, таким образом , 4ч M [ р & г Ъ - f ф ^ 4 ^ ; . (30.23 ) ь'м У У1-У1 *W УУ1-У1 Это вновь уравнение Абеля, но с правой частью. Чтобы решит ь его, умножим сперва обе его части на IjV t - у , и проинтегрируем по о т J1 = iIj (X ) д о у , = t. Получим 1 1 1 I f , №) Vi •У1 " ,у ; L y 1 = УУ1-У 1 J +1 1*д 5 _ f ' I f a ^ I l l dy[ (Iy . (30.24 ) Или, меняя порядок интегрирования справа и слева: * Г ' Г С(хг у'Л f . Ф1М dy[ •• Ф. M г ' -1 = - f а(х..у'Л f . dy'. (30. 25) H o H rfy. / • : ^ л Х * * ) ' и мы придВм к формуле : 11 fc(.*i-y'i)dy'i = Ф.И) , - • Iw T Дифференциру я обе части этого равенства по ( и заменяя затем t на у, , получим окончательно: <М*|) ; с ( - y i ) a _ l _ l [ a ( x v M * . ) * , (30.26 ) 282 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 Заметим , что по (30.26 ) скорост и возмущённог о поток а v'2 обра щаютс я в бесконечност ь пр и приближени и к дуг е AB (к линии JI1 = = Iji1(JC1)) извне ка к IjR, где R - расстояни е от точк и JV (Jc1, JJ1, 0 ) д о дуги . Значени е функци и с в област и Q найдётс я аналогичны м образо м заменой функци й ф и ^ 1 на соответствующи е функции , представляю щи е форм у кромк и "лево й сто роны" . Зна я с в област и R, мы може м найти тепер ь потенциа л Ф ' в любо й точк е М , дл я которо й област ь интегрировани я в (30.1 ) распро странен а на поверхност ь крыл а и област ь R (случа й III, рис . 102); пуст ь эта област ь интегрирова ния отсекаетс я гиперболо й Г (рис . 105). Дл я нахождени я по тенциал а перейдё м к координа там X"u1, Jу',j,, *г1. : JЧC]-X ~~~0~ - к(у - уо), УГ•• X Z1 - kz. X O + К (У - JJ 0 ) , Рис. 105. где д:0, JJ0 - координат ы точк и O1 пересечени я касательных , прохо дящи х чере з Л и С (рис . 105). В новы х координата х (30.1 ) запишетс я в виде : -P' (* , Л . = ^ j / / у[) -dx[ Cly1 r 1-I с y'l) -Ax1 1 1Ay 1 } . (30.27 ) Област ь интегрировани я разбит а в это й формул е на тр и части ^ 0 + ^ 1 + 3/4 (Р и с 105) . Здес ь S 2 - часть област и интегрирования , расположенна я в R\ S 0 - часть крыла , расположенна я межд у гипер боло й Г и прямой, параллельно й оси K1 и проходяще й чере з точк у E пересечени я гипербол ы Г с контуро м крыла ; S 1 - остальна я часть крыла . Пользуяс ь формуло й (30.26) , вычисли м интегра л по площадк е S 2 в формул е (30.27) . В предела х площадк и S 2 переменна я Jc j меняется о т 0 д о хЕ, гд е хЕ-абсцисса упомянуто й точк и Е\ 0 х'х ^ хЕ § 30j СВЕРХЗВУКОВО Е ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГ О КРЫЛ А так как уравнение ветви Г буде т - Xr ^y - yj) - Z2 = 0, 283 1 1 1 У ! = У Г X 1 X 1 т о у[ на площадк е S 2 лежит в пределах г? Таким образом, мы можем написать по (30.26) : y х S1 или, меняя интегрирование по у1 и yj : -tE Фа*." , - * X о Ф(*|) v : xI-xI X / Ф. м dy1 Vy'i-*i(4){y'i-/i)v У1-fU--у; ' у X 1 X 1 dy'[dx[. Внутренняя квадратур а выполняется и даё т V У1-У1 X Х\ ' ) Интеграл / • . . • с помощью замены Vfyl -оЛ( В -у[ ) = = ( л '-о) < приводится к виду 2 [ й - , " 284 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 и таки м образо м мы получаем xE ф, (дг,) j = f Г , а(х[, y'[)dy'[ix\ (30.28 ) Обраща я внимание на предел ы интегрировани я в (30.28) , заметим, что последне е распространяетс я на площадк у S 1 . П о (30.27 ) можем тепер ь написать: H I Ф'(*1 . УV -Z1) = a(x'l,y'l)dx'ldy'l ^ г Г a{x[,y[)dx[dy[ SL+S L ^ ( ' . ' 0 ( 3/4 3/4 ) ' ? 2 k W V ( * x ' ) ( y y ' ) 4 ' Н о тогда интеграл ы п о площадк е S 1 сокращаютс я так , что Ф ' при нимает вид : V(*i-4)(yi-y'i)-*2i (30.29 ) М ы получили , таки м образом , интересны й результат : дл я вычисле ния Ф ' приходитс я интегрироват ь п о поверхност и крыла , причем тольк о по той ег о части, котора я находитс я межд у гиперболо й Г д и прямой , параллельно й характеристик е и выходя щей из точк и E пересечени я гипербол ы Г с контуро м крыл а (заштрихован а на рис . 105) . В рассматривавшемс я нами случае , отвечающе м рис . 105, приходилос ь учитыват ь концево й эффек т тольк о одног о кра я крыл а (AE). Н а рис . 106 пред ставлен тако й случа й пере сечения гипербол ы Г с пло скость ю крыла , пр и которо м приходитс я учитыват ь кон цевой эффек т обои х краев . Рис . 106. Повторя я рассуждения , при веденны е выше , убедимся , чт о достаточн о буде т распространит ь инте грировани е на площад ь S 0 1 -I-S 0 2 (заштрихована) , причем интеграл , распространенны й на област ь S 0 2 , над о взять с обратны м знаком . Простот а этог о случа я заключаетс я в том , что части R(Q), кото ры е здес ь приходитс я рассматриват ь (област и S2, Sj) , находятс я §30jСВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 285 кажда я под влиянием концевого эффект а лишь своего края : влияние "левого" концевого эффект а не распространяется на область S 2 , влияние "правого" кра я крыла не распространяется на S 2 . В общем случае может оказаться так, что для некоторых точек поверхности крыла и области R(Q) буду т интерферироват ь влияния обоих концов. Это может произойти в случае, когда крыл о мало распространено вдоль оси Y и вытянуто вдоль оси X . Тако е крыл о называется крылом "малого удлинения" (рис. 107). Пуст ь /I l (Ci ) точки контура крыла , в кото рых касательные к контур у параллельны ха рактеристикам . Введем, как и прежде , систему осей X1, Y1 (аналогично случаю, изображённому на рис. 105). Через точку A1 проведём харак теристику (параллельную оси X1) до пересечения с контуром в точке C 2 . И з точки C1 проведём характеристик у (прямую, параллельну ю оси K1) д о пересечения с контуром в точке A2 . Из точки A2 проведём характеристик у до пересечения с левой частью контура (C3); из точки C 2 проведём прямую до пересечения с правой частью крыла в A3 и т. д. Полоск и области R(Q), лежащие между проведёнными характеристиками, обозначим чере з °i(°i) , O2(Oj)1 .. . (см. рис. 107). Пуст ь ещё уравнение правой коицевой кромки крыла (линия ^ 1 Zi 2 ...В ) записывается как и прежде в виде ^ 1 = Iji1 (X1), а уравнение левой концевой кромк и (линия C1C2 ... D) имеет вид = ф 2 (X 1 ) . Запишем Рис. 107. теперь условие, что потенциал Ф ' в любой точке N (X1, у!) полоски ок равен нулю. Аналогично тому, как это имело место в случае рис. 104, мы получим вновь уравнение Абеля типа (30.20) , откуда последует равенство типа (30.21) . Это будет УN , f f а{х"'У1) Н У ; + 'M 5 W , *_2 "<+, , , + 1 ^ У1 ^ + Е / # 4 ^ = 0. (30.30 ) JV У 1 I = Iyl Уу"У-/У-У1 28 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ. 1 Здес ь Ck = - 1/(r) ду'/дг в точка х полоски ак, ук - ордината точки пересечения через точк у y = yN и прямой, параллельной оси X1 и проходящей через точк у ck_v Что же касается д о функци й C1^x1, у,) , c'2(xv yj) , . . . , с'к_1(х1, у,), т о эт о значения величин - I j T t d f ' j d z в полоска х a'v а'2 O^ 1 соответственно (член, содержащи й S 1 появляется тольк о при к 3). Есл и известны с[, с'г ... , c'k_v т о функци я Ck найдётся путём решени я уравнени я Абел я (30.30) , Совершенн о так же , ка к и в слу чае (30.21) , мы получим vyN Ыхы) [ Ф ; (ЖЛГ ) Кулг-У , . Г cU-I(Xwyl) dyj v Г cI \х№ i/~T~r ч T j , y t _ 1 У "l I = Iyi ' >N У1 (30.31 ) С друго й стороны, можем написать аналогичную формул у дл я cKxM• Ум)1 где xM и Ум- координат ы любой точки М(хм, ум) области <з'к. Именно, если записать уравнени е правой концевой кромк и в виде, решённом относительн о X1 : X1 = УЛ(у,), а левой - X1 = /2(J11), то мы будем иметь: щ'м) V x " x [ Х>См) , ^ г Xk^i ' ХМ~xI + Y J 1 "(*у>м)УыУк>^ах, } . (30.32 ) 1 = 1 X1 V ХМ~~ Х I Формул ы (30.31) , (30.32 ) позволя т последовательн о определит ь все функци и Cv c'r В самом деле , функци и C1, с[ уж е определен ы выщ е (формул ы типа (30.26)) . Зна я с, , с[, найдём по (30.31 ) н (30.32 ) вначения C2 и с'2 и т . д . На деталя х расчёта мы не будем останавливаться. Перейдё м тепер ь к рассмотрению влияния вихрево й системы за крылом (рис. 102, § 30j СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГО КРЫЛА 287 гипербола IV). Будем отправляться вновь от основной формул ы потенциала (30.1) . Вновь введём характеристически е координаты Jf1, yv Влияние вихревой системы за крыло м буде т распространятьс я на точки области T (рис. 105), а такж е на точки области R(Q), рас положенные внутри конуса характеристик , выходящего из точки В (D). В области T должн о выполняться условие (30.15) , которо е в пере менных Jf1, J1 имеет вид: а г . ' бу, (30.33 ) Во всех точках области R выполняется условие (30.14) : tp' = 0 . Следовательно, и в этих точках буде т выполняться условие (30.33) . Потенциал <р' в точках N интересующе й нас области имеет вид (30.34 ) причём интегрирование распространяется на три площадки: ! ) площадку S 0 -I-S 1 , отсекаемую на крыл е характеристикой , проходяще й через N параллельн о оси K1 (рис. 108), 2) площадк у S 2 - полоску области R (вне крыла), расположенную между Y1 и линией, парал лельной Y1 и проходящей через точк у В, 3) площадк у о - область вне крыла , лежащу ю внутри конусов характеристи к с вершинами в точках B a N , Заметим теперь, что значение с на поверхности крыла нам известно; мы обозначили его через A (X1, у^ . Значение с в области S2 мы уж е умеем находить (формул а (30.26)) , причём мы знаем, что интеграл (30.34) . взятый по области S 2 , должен сократитьс я в силу (30.28 ) с интегралом, взятым по части S1 (рис. 108) крыла , отсекае мой продолжением характеристики , проходящей через В параллельн о оси K1. В области о функция неизвестна. Дл я определения с области о воспользуемся условием (30.33) . Прежд е чем начать производить выкладки , связанные с дифферен цированием под знаком интеграла, поставим условие непрерывности функции с на задней кромк е крыл а (линия BBrD), т . е. поставим условие c<-xv Y(X1)) = а (хь f (JC1)), (30.35 ) где у , = Y (X1) - уравнени е задней кромки. Это требование аналогично условию Жуковског о дл я обтекания крыл а несжимаемой жидкостью. 288 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 Есл и уравнени е передне й части кромк и (дуга АА'С) буде т JJ 1 = = (J)(^1), т о мы може м записат ь (30.33 ) в виде : У1 дL I? дх, f? c{x[,y[)dy[dx; L Г Г = 0, (30.36 ) гд е х в -абсцисс а точк и В (рис . 108) . Прежд е чем дифференцировать , О, преобразуе м наши интеграл ы путё м интегрировани я по частям. Именно , интегриру я по х[, получи м Г Г c(x'i> y'l) iy\dx\ _ П 1 Гс (х[, y[)dy[ I I v ^ l h v ^ ' ¢(3/4. y'i)dy'i dxU --Ч V x 1 X j j I Hxв) V ^ v ' + 2 J V ^ 7 L I 7 * J L T F L dx[ - T d ^ \ ) c { x \ M A ) l d x , ( 3 0 3 7 ) 2 J dИг. X A ^ I H O i 301 СВЕРХЗВУКОВО Е ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГ О КРЫЛ А 289 Аналогично услови ю ( 30.35 ) примем ещ ё непрерывност ь с при пере ходе чере з линию А' В (рис . 108). Тогд а первы й интегра л право й части равенств а (30.37 ) буде т раве н нулю (см. (30.23)) , и мы полу чим, дифференциру я обе части (30.37 ) п о параметр у X1: 1 ас dXl i s / V{x 1 *[) (yi у[) i s / V(*1 *[) (у, у[) дх[ сIyl dx[ г 1 <54 ^ 1 ^ ) ^ 1 + 1 ( * ! ) ] dx'i •c(x[,^(x[))dx[. (30.38 ) Второ й интегра л в право й части (30.38 ) берётс я вдол ь линии А'С передне й части кромк и крыла . Запише м ещ ё ра з на ш интеграл , выполняя на это т ра з частное интегрировани е по у[: Г Г c(x[,y[)dy[dx[ ^ j> 1 У I : (х[. у[) / = dy[ dx[ = 4 ¢ ( ^ ) ^ 1 ^ ) ( ^ 1 ) J b у ^ Я S Ух i-x[ Vyl-V1 2 V y 1 t t f ) с ( х ' , ф(*;"+ + 2 [ Vy l -^(X 1 1 ) ^ r d y r 1 •(' О dx[. (30.39 ) Дифференциру я (30.39 ) по параметр у y l t получим: <> С С cM-Уд , , , , "+S, дг. (х'и у! ) , -•-.-v 1 и dx' dy + Ф!.+(-*!))Ч* ! I >4*1-*! ) [ * + (*!) ] (30.40 ) 1 9 Теоретическа я гидромеханика, ч. II 29 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Складыва я (30.38 ) и (30.40 ) и заменя я с(х', у') там , где он о из вестно , на а(х', у'), приде м п о (30.36 ) к соотношению : X, У, / I , r j c бс(х\,у\) t дс(х\,у\) дх. Cly1l dxJ -в *(*;) ^( I х, •'('; ) - / S D у\) *У1 ' ( x I y i ) ,da(x'vy'i) дх. Oy1 dy[ dxJ - *Kfi ) йх\ a(x[, (x[))dx[ . (30.41 ) Второ й интегра л справ а следуе т брат ь вдол ь линии дуг и CA' (её уравнение : Ji1 = ^(X 1 ) ) передней част и контур а крыла . Дважд ы реша я дс дс уравнени е Абел я (30.41) , мы сможе м найти -| , посл е чего , реша я уравнени е первог о порядк а в частных производных , найдём Л) Собира я в (30.41 ) интегрировани е по у | и приравнива я подынте грально е выражени е нул ю (см. наш и рассуждени я для уравнени я (30.22)) , сраз у ж е реши м одн о уравнени е Абеля и получим: / "4*1 . Уд I dcfci.y Q dy\ = dxt +' (x,) Oy1 da(Xl,y\) 6а(х1,у[) - f • w У У1 -У\ Ox1 dy j dy[ _ 1 .T l i i M l a ( x (30.42 ) Vy I-H-T 1 ) L "X, J ' ' Эт о уравнени е легк о решаетс я (см. аналогично е уравнени е (30.23 ) и его решени е с помощь ю форму л (30.24 ) и далее) . Мы придё м к равенству : дс , дс + 'IXi) 1 1 f (/дI а* . + < А" \ W (•*,) -yt d y , дх, ду, г. Y y l Y (х[) ' (X1) СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГО КРЫЛА 29 1 Уравнени е (30.43 ) проинтегрируе м вдол ь прямой , параллельно й набе гающем у потоку . Пр и это м удобне е перейт и к переменны м из равенст в дс , дс та к что ^ + g ^ = 5 = I1 = X 1 у , . дс -J^, а лини я т) = const , представляе т линию x -JJ lI 1 = UCUOI LnOsIt..,, Тт. е. , по (30.18) , линию y = const. , являющуюс я прямой, параллельно й основном у потоку . На м остаётс я выполнит ь одн у квадратур у по E (заменив в пра вых частя х (30.43 ) переменну ю X1 на Ji1 - на \ - ij). Есл и точк а N(xv Ji1), дл я которо й ведётс я расчет , находитс я в полос е Т, т о интегрироват ь по £ над о буде т от S д о с, гд е % найдётс я из уравне ния ^ - IjZ(^) = X1 - V1 (точк а контур а находитс я н а пересечени и с прямо й H = X1 - У!, выходя щей из /V). Таки м образом , функци я Cfx 1 , У]) буде т определен а внутр и вихрево й полос ы Т. Остановимс я ещ ё на определе нии давлени я р' (х , у , 0) на поверхност и крыла . П о (28.12 ) P'- • т ^ . (30.44 ) В случа е крыла , симметричног о относительн о плоскост и г = О , функци я дФ'/дх буде т антисим метричн а (см. стр . 278 ) и мы може м написать , например : Рис. 109. Таки м образом , ка к дл я определени я давления , та к и дл я определе ния разност и давлени й достаточн о буде т умет ь определит ь производ ну ю дФ'/дх на поверхност и крыл а (иначе говоря-определит ь потен циально е ускорени е ^ = V1 дФ'/дх; см. предыдущи й параграф) . Остановимс я на это м подробнее . Рассмотри м конкретный , но достаточн о общи й случай , отвечающи й рис . 109 . Пуст ь передня я кромк а Л С крыл а имее т в характеристи чески х координата х уравнени е Ji1 = ф (X1 ), а в решенно м относи тельн о X1 вид е X1 = X^i) ; пуст ь концева я кромк а крыл а задан а в вид е у , = " (X1 ) (дуг а AB), или X1 = Х п ( У ] ) и ^ = ( Ду Г а CD), 19* 29 2 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 или X1 = ХЛ Cy1); задняя кромка дана в виде Jil = IjZ(Jr1), или X1 = = ^'(jij) . Найдём давление потока на поверхность крыла. Пусть характеристики, выходящие из точек А и С, пересекаются между собой на крыле в точке E (рис. 109) и пересекают заднюю кромк у крыла в точках А ' и С" соответственно. Пуст ь ещё характеристики, выходящие из В и D, пересекаются между собой на поверхности крыла в точке E ' и встречают кромку крыла в точках В' и D' соответственно. Всю поверхность крыла естественно разбить на 9 областей (см. рис. 109). В области 1 концевой эффект не сказывается. В области 2 (3) сказывается концевой эффек т правой (левой) части, но не сказывается концевой эффект левой (правой) кромки; в области 4 сказываются оба концевых эффекта; в области 5 (6) ска Рис . 110. зывается влияние вихревой пелены, сбегающей с правой (левой) части крыла. В области 7 (S) сказывается эффект вихревой пелены, сбегающей с правой (левой) части кромки и ещё концевой эффект, отвечающий левой (правой) кромке . Наконец, в области 9 сказываются вихревые полосы, сбегающие как с правой, так и с левой стороны. В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: a (xv у;) = it дх = -"JL(JLL. л Vdx1 3 ~ду Ь(х[. У V У.) = (x'i >!) V{xi - x'i)(y\ - У!) 1 да (х[, у( ) да(х'уУ[) d(x[. У[; X1, У,): V{x\-x\){yi-y\) дх. В характеристических координатах 0 / аФ' . <ЭФ'\ PK-PB = 2 P L MDT T Обратимся к области 1 (рис. 110). Здесь имеем по (30.29): х, у, Ф ' = 2 ¥ f f B{X'VI>'V XI-Vi) аУ[ DXV (30.45) (30.46) (30.47) § 30j СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 29 3 Выполним здес ь частное интегрировани е по х\ и продифференцируе м полученное выражени е по X1 (при этом мы воспользуемс я преобра зованием на стр . 27 8 и далее) ; выполним затем частное интегриро вание по у[ и продифференцируе м результа т по у{. Складыва я оба выражения , получим дл я област и 1 (р'"-Р'Л = П Г ^ f Id (x V Я ХУ y ¥ x \ d y \ + + / 1 l Kj c O1 ^ d x !) - (3 0 48 ) гд е L - дуг а М'М" передне й кромк и крыл а (при интегрировани и перемешаемс я от M ' к М") . В област и 2 (рис . 111 ) отправляемс я от выражени я (30.29) : X1 у, Ф'*=1к / f ь(х[, у'{, Xv у . у у ' ^ . (30.49 ) "n(V,) Выполняе м дифференцировани е аналогичн о тому , ка к эт о был о сде лано выш е >)• Мы получим дл я област и 2: ( p ' n ~ p ' B % = 1 T L { f f d ( x v У;= У , ) ^ ; ^ ; + + [ * ^ r 1 ] / * ( * . ( * ) • / Г У О ^ } . ( 3 0 5 ° ) ' ) При дифференцировании по у , удобно будет начать с дифференцирования по нижнему пределу: а(r)2 1 дО Г 1 у. а(х'уУ[) , ду1 = UIki "дavУ17 •/ f In (У,) T Ayl dx[ = Ф (In ( У, )) х, + K . A V yyi-yl i dx. 2 9 4 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 где S 0 - заштрихованна я на рис . 111 площадь , L - дуга М" M' " передней части контура , Li - прямая линия М"М ' (направление интегрирования по L и L1 указан о стрелками) . Совершенн о аналогично дл я области 3 получим: ( X K ) 3 = 1 F L I / f d i x ' v y'v xv Vjdx'.dyl + + / *(х(у; > y'v xV У1) L ^x (у р "У, dy\ dx. ] / Hxv U x J У.) RFJFII- ( 3 0 5 1 ) где площадь S 0 , дуг а L и прямая L2 даны на рис. 112. прн этом для вычисления квадратной скобки удобно записать Vi , , , д р a (X1, yi)dy1 ду 1 Ф ft) Vy-y'i д <5у, -2 | V y 1 S l C f a У ;) + 2 / V y l V l j*rdy[ HJRD HJRD 1 • § 3 0 ] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ тонког о КРЫЛА 29 5 В област и 4 при вычислении Ф ' нам придётс я вести интегриро вание по дву м площадка м (см. рис . 113): S 0 1 и S 0 2 или ж е по одной площадк е S 0 (рис . 114) в зависимост и от того, пересекаютс я ли характеристик и ATAl l v и М" M' " на крыл е или вне крыла . В первом случае буде т Ф;= f f b ( x [ , у\\ x v уl)dx\dy[ - f f Ъ(х[. у'{, X1. yi)dx\dy[ Soi S ,j и тогда, после преобразований , аналогичны х тем, что были сделан ы выше, мы получим ( К р ' . ) * = 1 T I f f d { x ' v y'v х у у, ) dx[ dy\ 1' Sn - J fd(xi' xV yi)dx'idy'i - Sia ^ ж 1 ] f HMyJ y'v xV Уд^ + L + 1 1 ^ 1 } f b ( x ' r м * . ) ; jfI y J d x ' ] (30.52 ) где L есть дуг а M'"M14, L1 пряма я Al i v AI' , I2 - прямая Af" Al" ; направлени е интегрировани я указан о на рисунке . 29 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ . 1 В случае, изображённом на рис. 114, имеем: К ~ К ) 4 = ПГ {//<*(*;• У[\ xv yi)dx[dy[ + / ь(х\, X1, + M ^ m J f Ь (х п Cy1). у| ; у ^ у \ + + Г1 3 ^ T 1 ] J HxV W Xv y,)dx[\, (30.53 ) L, ' где L1, L2, L изображены на рис. 114. Распределение для области 5 (аналогично для 6) вычисляется проще . Дл я случая 5 интегрирование для Ф ' мы должны распространит ь на область S 0 -I-S 1 -I-S 2 (S2 находится вне крыла в области R) , или же, Рис . 115. Рис . 116. по аналогии с (30.28) , на область S 0 (рис. 115). Здес ь вновь мы получим простую формулу , аналогичную формуле, отвечающей области 1: = f f d{x'v xi- y ^ d y ' , + s, + f \ 1 4>(*;); Xv yx)dx'\, (30.54 ) L DXL J где L - дуга M2M3 (рис. 115). Аналогичным образом для области 6 имеем: [ f f d ( x ' v y'v у>)'ax^y1+ + f Му>> y'S *v № (см. рис. 116). L (30.55 ) §30jСВЕРХЗВУКОВО Е ОБТЕКАНИ Е ТОНКОГ О КРЫЛ А 29 7 Дл я областе й 7 и 8 получим , комбиниру я наши соотношения : { Р ' Я Р ' Х = = £ T L { f f d i x ' v УV xV Ух)**[Щ - - f f d ( x v y'v xV yi)dx'idy'i - 's,' ~ 1 ч х ' г и*\У> x V у.) ( 1 + [ * 3/4 ^ ] / 4 x ' v t N xv У , ) ^ ; ) ( А Д (см. рис . 117; линия L- эт о дуг а M4MS-, линия L2- прямая MIM2), ( ^ ^ ) 8 = ^ ( / / ^ ( ^ У\xv y ^ f d x \ d y ' i J f d(x'v y'v xV yi)dx'idy\ - C 1 j b J t l ] J у ; : ( 3 0 5 7 ) (площадк и S0 и 5, , линии L и L1 даны на рис . 118). Мы не останавливаемс я отдельн о на случае , когда точка пере сечения MiM4 и M2M3 находитс я вне крыла . 2 9 8 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Наконец , в област и 9, где сказываетс я влияни е вихрево й пелены , сбегающе й с обеи х задни х кромок , имеем (см. рис . 119) (р"-р,)" = 1 F L I// d i x v X P V d d x W i - I f D W ' ; yi)dx'idy'i - - f b{x\, <]>(*;); X . у,) р dif{x[) dx[\. (30.58 ) 1 L L 1dxI. В заключени е заметим , что дл я вычислени я подъемно й сил ы или момента , действующег о на крыло , не обязательн о вычислят ь пред варительи о рк-рв; та к ка к рв 0, п <ЭФ' р й = Zp1V1 , т о дл я вычисления , например , подъемно й силы P р = Sp l ^ 1 J f - dx'dy' или, выполня я интегрировани е по х'\ ув Я = 2р,(r)1 J* . 2 (1 + k tg B0) (у, kb) + (1 k Ig B0) (у, -X1-Hb) I к* [2 arcsm ( I M g e 0 ) ( ^ y 1 M ) ) или, если вернуться к обычным координатам х, у ^no формулам X l =X-J r -^ j .ky , Ji1 = + feyj, ввести в', как и в § 29, то из равенства - х = у t g 8 ' найдём \ + klgt>0-2ktg9 = Й Г a r c c o s I H g e ' что находится в полном согласии с (29.23) . §31]СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 30 1 § 31 . Сверхзвуковы е конически е течения . Некоторы е точны е (нелинейные) решения . Обтекани е прямог о круглог о конус а та к же , как и обтекани е кра я плоског о прямоугольног о крыла , являютс я частными случаям и боле е обще й задач и обтекани я произвольног о кони ческого тела . Представи м себе, что тел о коническо й форм ы с вер шиной в начале координа т и с произвольно й направляюще й обте каетс я сверхзвуковы м потоком сжимаемо й жидкости . Пуст ь ещ ё наш е тел о расположен о по отношени ю к поток у таки м образо м и имеет та кую форму , что скорост ь обтекани я получится в виде : v = V1. V = v', V =V4-4и-v'. X х' у у' г I I г* где v'x, v'y, v'z малы по сравнени ю с V1, и их квадратам и можн о пренебречь , аналогично тому , ка к эт о был о сделан о в предыдущи х параграфах . Задач а о таки х движения х был а исследована Буземано м ') . Как и прежде , мы можем написать для потенциала скорости : 5 2ф ' д2Ф' с , .2 .чд'Ф ' " (M i - 1 J J J r = 0 (где M i = IyiZi ) и совершенн о таки е ж е уравнени я для v'x, v', в частности, d2vl d2v' , , , d2v' A ^ + V F O ' 1 ) ^ = 0 (311 ) Простот а рещени я задачи в случае , когда обтекаемо е тел о имеет коническу ю форму , заключаетс я в том , чт о здес ь все решени я буду т зависет ь о т " = 7 ^ = T ' (31.2 ) а не о т х, у, z. Компонент ы скорост и возмущени я v', v', v'-вдоль каждог о луча, выходящег о из О , буду т постоянными , меняясь о т луча к лучу . Ввод я в качеств е переменны х i) и г = г и считая, что v' не зависит о т z, придём, посл е совершенн о элементарны х преобразо ваний, к уравнени ю d2v' Л ' d2nl (1 № ) 2 ^ ^ + (1 kW) ^ f = где, ка к и прежде , = (31-3 ) |) Buseman n A., Infinlteslmale kegelige Ueberschallstromung. Schriften der Deut. Akad. d. Luftfahrtforschung, 1943. 30 2 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Плоскост и (¢, •")) можно дать простой геометрический смысл: это - плоскость, параллельная плоскост и (х, у) и находящаяся на рас стоянии Z = 1 от последней [z= 1 в (31.2)]. Нетрудн о убедиться в том , что уравнение (31.3 ) будет смешанного типа: в одной части плоскости (5, г/) эллиптического, в дру гой - гиперболического . В самом деле, вдоль характеристик , если искать уравнения последних в форм е т) = т)(у , будет : d-ц _ ~ ^ * ] f V + f ^ r _ _ _ ^ gl j ± у кг (£2 + f ) 1 .. X Z ^ N R ^ ' k* * Значит, внутри круга радиуса 1 jk наше уравнение (31.3 ) буде т эллиптического типа; напротив, при ^ + т)2 > 1/3/42 - вне круга ра диуса Ijk- буду т существоват ь действительные характеристики . Последние представляются в виде всевозможных прямых линий, касательных к круг у радиуса l/k 1 ) . На рис. 121 даны некоторы е из этих характеристи к (одно семейство сплошными линиями, дру гое - пунктиром). Окружност ь ра диуса Ijk в плоскости (£, т;) является, вследствие (31.4), местом пересечения с плоскость ю Z= 1 конуса ха рактеристи к в пространстве (л:, у, г) . Обтекаемо е тело пересечёт плоскост ь (£, -г/) по некоторо й кривой , котора я может лежат ь или целиком внутри круг а радиуса 1/й или целиком вне этог о круга , или, наконец, частично внутри, частично вне круга . Написав краевы е условия, мы должн ы приступить к решению (31.3) . Рис. 12]. Путём геометрических преобра зований переменных, заимствован ных из одной работ ы Чаплыгина, Буземан приводит (31.3) к двумер ному уравнению Лапласа 2 ) . Это сведение к уравнению Лапласа можно ') Проще всего убедиться в этом, если перейти в (£, у) к полярным координатам г, Уравнение (31.5) после интеграции примет тогда внд: г cos (? - ?") = 1 jk, где (r)0 - постоянная интегрирования. *) Значительно раньше, чем это было сделано Буземаном, решение рассматриваемого здесь тнпа было получено, в связи с другой физической задачей, в работе С. Л. Соболева и В. И. Смирнова. См., например, дополнения С. Л. Соболева в книге Франк Р. и Мпзес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. И, ОпТИ, 1937. §31]СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 30 3 проделать и другим путём. Мы остановимся иа выввде, данном в ра боте Гуревича') . Чтобы это сделать, удобно вернуться к уравнению в форме (31.1) и перейти сперва формально к переменным х , у, г : .X - , у х = 1 Т , у = г = г . Мы получим в переменных х, у, г трёхмерное уравнение Лапласа, и, если ввести "сферические координаты" г , о, 9 из равенств x = rcososin& , у = г sin о sin 9-, z = rcos9 , то можно написать: 6 / , " \ d I 1 ^f' \ д i " dv, \ -W И " 8 и г ) + IT U R F •*Г) + Ж I S I N а и г ) = ' Вспомним теперь, что V1z зависит лишь от E и TJ; это значит, что в переменных г, а, Э, не зависит от г: v'z = v'z (a, Э). Тогда будет + sin " -J5I sin 8 ~ I = 0. Мы легко избавимся от мннмости преобразования, положив 9 = г'в. Итак , если cos о th 8 TJ = sin a th 9 , , " ) -г (31.6 = 0. (31.7) Остаётся сделат:. последнюю замену переменных, вводя вместо 8 величину s так, чтобы было т. е. dt _ d% < sh 8 ' e = t h ± (31.8) и мы окончательно получим для v'z уравнение Лапласа в плоскости полярных координа т е (радиус-вектор ) и о (полярный угол): -A'' д ( dv'\ ", " da2 ^ d ') Гуреви ч М. И., Подъёмная сила стреловидного крыла в сверхзвуковом потоке, ПММ., том 10, вып. 4, 1946. 305 1 Ё б Р Е Т И Ч Е С К И Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Таким образом, можно рассматривать v' как действительную часть некоторой функции комплексного переменного т = ее'°. (31.10) Обозначим мнимую часть этой функции буквой S и напишем = (31.11) Легко видеть, что внутренность круга радиуса Ifk плоскости (£, -ц) переходит на плоскости (т) во внутренность круга радиуса 1 (е=1) . В самом деле, Я = = = (31.12) я * l + th"-I А 1 + так что при е, меняющемся от 0 до 1 , R будет меняться от 0 до \/k . Так как i)/5 = tgo , - полярные углы при нашем преобразовании не меняются. Прежде чем переходить к выяснению краевых условий в плоскости (т), посмотрим, как выражаются скорости V1 , v' в функциях новых переменных г и а. Найдём полный дифференциал от ш = и'-| iv' при движении по радиусу-вектору (т. е. при а = const.). Имеем дш да , ди . 1 /" dco . ди> \ W r = _ c o s a + w s m a = + С другой стороны, мы можем вспомнить, что в переменных ц, г : ди> Q ^ ^ д<я drj W t _ L ^ o j \ дг дг ~ Й5 дг ~д^~дг~~~7\ ИТ ~ду)' Таким образом, dco z дАш" z I dv'x dv'y \ Вследствие отсутствия вихрей мы имеем: dvx dvz 1 dv'z dv'y dv'z 1 dv'z так что дг дх г д; ' дг ~ду ~~г di) § 31 ] СВЕРХЗВУКОВЫ Е КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 30 5 Далее , нетрудн о выразит ь праву ю часть этог о равенств а чере з функ ции / и / (сопряжённа я с /) . Есл и ввест и С: С = E + /т) = Re'"; С = (31.14 ) то, очевидно , можн о написать : ± + l ± = 2 L . (31.15 ) di дт) 54 Наконец , можн о связат ь дифференцировани е по С с дифференцирова нием по т и т . В самом деле , п о (31.10) , (31.14 ) и (31.12 ) имеем: так что С R _ 2 1 _ 2 1 Т ~ £ - k 1-f E2 - к 1 +-CX с = ! ^ , C = I = к к 1+ст (31.16 ) 2 Д . = k ( ! ± t t * А + 4 \ = k 1 ± * ( с А + J ^ ) . 1 _ A2 \ dz ' dz J i - i ' \ d z ' d z ) Принима я во внимание, что можно написать тепер ь K = ^ I f ( ) + / W B ^ = + (31Л7 ) 4 1 - E 2 E L dz ' dz\ Есл и тепер ь двигатьс я по радиусу-вектор у a = Const., т о будет : d R = \ "'Г',' dr, d-. = el*ds, dx = e-l°dz, к (1 + £ ) так что окончательн о изменени е <о при передвижени и по радиусу вектор у будет : а" = _ 1 а/ + \ и давле ния р' буду т сохранят ь постоянны е значения , причё м при переход е чере з крыл о буду т менят ь знак . Таки м образом , на дуг е С О и на дуг е HD мы имеем v'z = да . Н а дуг е OE и на дуг е HF имеем (r)j = - на дуга х CD и EF Vz = O', при этом wQ мы должн ы определит ь чере з заданны е величины : ! н V1. Обозначи м уго л ' ) Эт а формул а отвечае т частном у случа ю формул ы (29.23) пр и O0 = 0. 3 1 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 дуги DH через з 0 . Та к как при переход е о т плоскости (С) к пло скости (т) углы сохраняются, нам надо решит ь следующую задачу. Определит ь аналитическую функцию /(т ) так, чтобы I Re/ = kw0, если 0 < в < з 0 и тс- з 0 < о < it, на круг е s = 1 1 _ , . " . . , ^ ^ I Re / = - kw0, если 0>з>о 0 и --тс-)-а 0 >в>- it . Далее , на круг е е = 1: Re / = 0, если тс- O0 > в > O0 и - i t -j з 0 < о < - в0 . Наконец , на отрезк е действительной оси от е = - 1 до е = -)-1 : Im / = 0. Функцию / можно построить по особенностям. Это будет : По рис. 125 и 126 заключаем, что OB = CM = t g 8 и что, таким образом, угол о0 буде т определён равенством 1 AtgS • (31.23 ) Величину W0 найдём из краевог о условия на крыл е (мы использовали ,4 \ / К) V p /I е н\ \в . Рис126. эт о условие лишь частично, записав, что Im / = 0). Именно, на крыл е мы имеем: < = + ^i? . (31-24) § 31] СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИЯ 31 1 а из (31.18), интегрируя по мнимой оси от i до 0 и замечая, что на мнимой оси т = - т, djjdz =- d f / d i , получим: о ^ = T L M / I Im 2 . f ' 2* I f t 1 , + J . L L _ \ ( T _ I W T = о о = ^ s i n a 0 I m f i n = ^ s i n a , (31.2 3/4 Таким образом, no (31.24) w.0 Pt/, k sin n0 Найдём ещё коэффициент подъёмной силы C y . Так как для крыла будет то подъёмная сила Y, действующая на крыло высоты L и основания 2ItgS , будет: L ZtgJ tg ь Y = 2р,и1 J J V^dxdz = P1H1I2 J v'td\. О -ZtgS -tgS Если S - площадь крыла ( S = £ 2 tg8) , то tgt 2 J v'xdi Су = ~ = • (31.26) P1IifS t/, tg 5 Так как вдоль частей крыла, выступающих из конуса характеристик, будет v z = const. = ± W0, т о получим: 2(r) , с о ' " vitg a 31 2 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИК И (ГЛ. 1 Интеграл , стоящий справа в числителе, можно взять по частям, записав ( 5 = 0 на действительной оси): + 1 , + 1 / Щ ( т F F ? ) = 1 1 . , T T ^ < T / T P ? d К + i S ) = _ _2 Swa } sin 2.27) где S - по-прежнем у угол стреловидности . М. И . Гуревич продолжае т функцию \f k /(х ) на всю плоскост ь (т) с разрезами от - о о до - 1 /Ь, от - b до и от Ijb д о с о и даё т решение в виде v^ + is = R t 2 + 1 (31.28) V C 2 ^2) где В есть действительная постоянная, котору ю мы должн ы найти из краевог о условия на пластинке (v'z =^tf 1 ) . Решени е легко проверить непосредственно. Чтобы найти В, используем вновь (31.18 ) и произведём, как и в предыдущем случае, интеграцию по мнимому ' ) Пластинка есть частный случай стреловидного крыла (в = л/2). § 31 ] СВЕРХЗВУКОВЫ Е КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 31 3 радиусу . Получим , ка к и прежде , = _ i l m B ir+"bf l2Frr-W Таки м образом , / к nih L M 2 Г 0 + E2)2rfs С , * = " И ' + Т ) . / + Подстановко й г = & t g tp приведё м эт о выражени е к вид у / 'Ч f (6' + I-(I-M)Sin 2 ?] 2 где ? i = a r c t g y Раскрыва я числител ь подынтегральног о выражения , напишем : Vi с <\ - Г ' ^ г У о - 2 4 J [ I - ( l - 6<) sin 2 =?]*' " ] Л _ ( 1 _ 4" ) Sin 2 f f Vl - ( I - &i)sin2 Таки м образом , в противоположност ь тому , что имел о мест о в пре дыдуще м случае , отношени е CyJ /' 4 6 здес ь не являетс я постоянным , а буде т зависет ь от Ь и <р, т. е . п о (31.27 ) и (31.29 ) о т произведе ния fetgS. Н а рис . 127, заимствованно м из стать и Гуревича , по гори зонтально й оси откладываетс я величин а k t g 8, по вертикально й оси / 4¥ величин а - C y J-^. Д о значени я A t g S = I используе м (31.31) , при k t g S > 1 получи м постоянную , равну ю единиц е (формул а Аккерет а справедлив а для стреловидног о крыла , выходящег о за кону с харак теристик) . Вернёмс я к обще й пространственно й задач е и покажем , ка к можн о найти некоторы е новы е класс ы точны х (нелинейных ) решений . В случа е осесимметрическог о обтекани я конус а (£) конц ы вектор а скорост и располагалис ь на кривы х Vr = f (Vz). Эт о значит, что в про странств е ( V j t , Vy, Vz) конц ы вектор а скорост и располагалис ь в это м § 31] СВЕРХЗВУКОВЫ Е КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 31 5 случае на поверхности вращения. Возникает вопрос, нельзя ли построить други е виды движений, более общие в том смысле, что в них концы вектора скорости хотя и лежат на некоторой поверхности Е, но последняя не обязательно является поверхностью вращения. -f О 0,2 0,4 0,в Рис . 127. Задача эта была исследована впервые А. А. Никольски м ' ) (194 9 г.). Изложим некоторые результат ы эти х исследований. Пуст ь уравнение поверхности 2 в пространстве скоростей записывается в виде Vz = Ffv j l , V9). (31.32 ) Построим дифференциальное уравнение в частных производных, ко торому удовлетворяе т функция F. Мы рассматриваем безвихрево е движение, так что выполняются соотношения: dvrL = Uvu dvvL - dv, dv, L L - dvr i (3133 1 ду дх ' дг ду ' дх дг У • ) ' ) Никольски й А. А., О классе адиабатических течений газа, которые в пространстве годографа скорости изображаются поверхностями, ЦАГИ, Сборник теоретических работ по аэродинамике, Оборонгиз, 1957. Никольски й А. А., Об одном классе точных решений простран"веннм х уравнений газовой динамики, АН СССР, Инженерный журнал, 316 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 Кром е того, должн о выполнятьс я уравнени е (28.5) , которое , использу я (31.33) , мы можем записат ь в виде: dvr dv., Ov-, К F L 2 ) -Л Г • + К Л W + К ^ + + + + = (31-34 ) Вставим тепер ь Vz из (31.32 ) в уравнени е (31.34) , используе м ещ е ра з (31.33 ) и перегруппируе м члены . Получи м 2 ^ [ к^ yг/I-+-^г/y rF d V x T v x r d V i 4i v( Я - а?) d-V x ^ tfj i J 1 д у --1+ Перейдё м тепер ь о т переменны х х, у, г к переменны м и, v, С из соотношений : Легк о видеть , что u = vx, v = vr C = г . Ovx ду Ovx дх dVy дх дх dv ' ду ~ dv dy да Ovx dvv 1 dvx \2 где \~dy~J 1 ^ 0 т о г д а (31-35 ) може т быт ь перепи сано в виде : В это м уравнени и коэффициенты , стоящи е при dyjdv, dx/dv, дх/ди, зависят тольк о о т и, v, сами ж е величины х, у зависят ка к от и, v. та к и о т С. Покаже м теперь , что в наше м движени и х и у суть ли нейны е функци и о т С с коэффициентами , зависящим и от и и v . Дл я этог о введ&м в рассмотрени е функци ю % из равенства : 1 = их + vy + F (и, v) С - f ( x , у, С), где ср- потенциал скоростей , так , что и = д<р/дх, v = d^/dy, F = dtp/di. Легк о видеть , что х зависи т лиш ь о т а и v, но не зави § 31] СВЕРХЗВУКОВЫ Е КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 31 7 сит от С. Действительно : д Y = и i f . + с Ё1 . + F _ i t if _ _ _ i t _ й ? _ " №. ^ d£ ^ д х ас ду dt <К ~~ Ox , ду . " дх ду г, л. Далее , ду. _ , , " i f . , " i z . i _ r i ^ _ i t i i _ i i i 3 L _ v . . г i t Таки м образом , Аналогично > = (31-33 ) Таким образом , х и у являются линейным и функциям и от С с коэф фициентами , зависящим и о т и и v. Мы можем тепер ь написат ь _ dlI г O1P Ox _ д\ . d2F dv dv2 д.2,2 > д.. д-. ^ dv Ol = O2I c O2F du да2 du2 ' dv да dv du dv ' Вставляя эт н выражени я в (31.36 ) и приравнива я нул ю члены с С, получим уравнени е дл я определени я функци и F: Одновременн о с этим , приравнива я нул ю члены , свободны е от С, получим уравнени е дл я у. М'+даМ'+^п^ + Обрати м прежд е всег о внимани е на одн у замечательну ю особен ность нашег о движения . Рассмотри м какую-либ о точк у поверхност и Wl. 32 ) vx = и0, vy = v0, Vi = W0 = F (и0, V0). В сил у (31.37) , (31.38 ) 31 8 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ. 1 этой точке в пространстве ( х , у, z) будет отвечать целая прямая = ; у = Ш z ( * f . \ . (31.41) Таким образом, в нашем движении существуют целые прямые, вдоль которых значение скоростей сохраняется (меняясь от прямой к прямой). Расположение этих прямых в пространстве (х, у, z) зависит от вида функций х и F Задание поверхности F уже определяет направление этих прямых: каждая из прямых (31.41) параллельна нормали к 2 , проведённой в точке к0,13/4. Размещение этих прямых в пространстве регулируется функцией X (и, и). В частности, если х = COnst. (это значение тождественно удовлетворяет уравнению (31.40)), имеем * = , y = z [ g \ V d U /".,№ V d V и тогда все прямые постоянного вектора скорости проходят череа одну точку х = у = z = 0. Если взять X = C1U -+C2V + C3F (и, V) +С, где C1, с2, с3, С - произвольные постоянные (такая х< к а к легко видеть, вновь удовлетворяет уравнению (31.40), если F удовлетворяет уравнению (31.39)), получим: * = С 1 + ( С з г ) Щ _ , Теперь мы будем иметь в пространстве (х, у, z) пучок прямых, проходящих через точку х = с{, у = C2, Z = C3. Это-своег о рода конические течения (не осесимметрические), вид которых остаётся в значительной степени произволен, пока не задана F. На конкретных примерах различных F мы не останавливаемся. Рассмотрим теперь пространственные течения газа, в которых концы вектора скорости располагаются на некоторой линии. Такие течения были рассмотрены А. А. Никольским (1950) в том виде, как это излагается ниже. Пусть в пространстве Vx, V r Vz области течения соответствует кривая I, имеющая уравнение vx = u, vy = v(u), Vz = W(U). (31.42) Рассмотрим в нашем течении, в пространстве (х, у, г) , поверхность р(х, у, z) = P0 = const. (31.43) § 31] СВЕРХЗВУКОВЫ Е КОНИЧЕСКИ Е ТЕЧЕНИ Я 319 П о уравнени ю Бернулл и и в сил у (31.42 ) мы буде м имет ь в о все х точка х это й поверхност и одни и т е ж е значени я vx, Vr vz\ пуст ь эт о буду т vx = u0, Vy = V0, V2 = W0. Таки м образом , в пространств е (xtX' t V "°г> в с е й наше й поверхност и буде т отвечат ь одна точк а А(и0, v0, W0) криво й I. Докаже м теперь , что поверхност ь (31.43 ) есть плоскост ь в пространств е координат . Действительно , по урав нению движени я dV 1 -W = J g r a d P Это равенств о означает , что при бесконечн о малом удалени и вдол ь линии ток а от поверхност и р = const , приращени е d\ вектор а ско рост и буде т всегда нормальн о к поверхност и р = const . Н о построен ные таки м образо м приращени я d\l в о все х точка х поверхност и р = const , имеют одн о и т о ж е направлени е - они параллельн ы ка сательно й к криво й I в одной-единственно й точк е А (U0, v0, W0). Зна чит, любая поверхност ь р = const , являетс я плоскостью , нормал и к которо й параллельн ы касательной , проведённо й чере з соответствую щую точк у кривой . Воспользуемс я тепер ь уравнение м (31.33 ) и (31.34) . II o (31.33 ) имеем: dvx Ovy dv du dvx dvz dw du W дх ~ du dx ' dz dx du I x dvy dv dvx / dv \2 du dVy dv dvx dv оу du dy du / dx ' HF du dz du ди ~дх dvz dw dvx dw \2 du - ( dz du dz du J dx " Подставим полученны е выражени я в уравнени е (31.34 ) и сократи м его на величин у dujdx; получи м следующе е соотношени е межд у диф ференциалам и du, dv, dw вдол ь криво й I-. (а 2 - и2) (daf -f (а 2 - к 2 ) (dv f + (а 2 - w2) (dwf - - 2uv du dv - 2 u w du dw - 2vw dv dw = 0 . (31.44 ) Это соотношени е можн о записат ь в виде : (a\d\\f = (V-dVf, (31.45 ) где дифференциал ы берутс я вдол ь криво й I, причём V2 = и2 -f V2 -f w2. Прежд е всег о отсюд а следует , что движени е рассматриваемог о тип а буде т обязательн о сверхзвуковым . Действительно , соотношени е (31.45 ) инвариантн о по отношени ю к направлени ю осей и, v, w (vx, vy, vz). Возьмём какую-либ о точк у M криво й / и направи м ос ь и по каса тельной к I в точк е М; тогд а в это й точк е dv - dw ~ О и мы буде м иметь (о 2 - u 2 )du 2 = 0 и, та к ка к du ФО, то и2 = а2, т. е . величин а 320 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 проекци и скорост и на направлени е I равна скорост и звука . Отсюд а следует , что рассматриваемо е движени е може т быт ь тольк о сверх звуковым . Плоски е безвихревы е движения , которы е мы изучали ранее , являются частным случаем рассматриваемы х сейчас движений : они получатс я в случае , когда крива я I - плоска я кривая . Пр и этом , ка к мы знаем, годографо м скорост и буду т те или иные эпициклоиды . Уравнения этих эпициклои д найдутс я сраз у ж е из уравнени я (31.44) , если положит ь там dw - 0. Уравнение (31.45 ) можн о буде т ещ ё записат ь в виде (31.46 ) где ds - элемент дуг и вдол ь линии I в пространств е (и, v, w). Та к как скорост ь звук а а есть функци я одног о тольк о модул я V, эт о уравнени е интегрируетс я в квадратурах ; оно даё т ту ж е зависимост ь длин ы дуг и s от V, кака я связывал а в случа е эпициклои д соответ ствующи е величины на плоскости . Есл и провести прямолинейны е луч и чере з некотору ю точк у кри вой I и чере з начало О системы (и, v, w), мы получим коническу ю развёртывающуюс я поверхность . Разверну в её в плоскость , увидим, что крива я I обратитс я в эпициклоиду . В самом деле , расстояни я V точе к криво й I от точки О, а такж е элемент ы длины дуг и при это м не изменятся и поэтом у уравнени е (31.46 ) буде т удовлетворятьс я и дл я плоскости ; но на плоскост и уравнени е (31.46 ) есть уравнени е эпициклоид . Эт о соображени е позволяе т найти все интегральны е кривы е урав нения (31.44) . Дл я их получения достаточн о взят ь любу ю коническу ю поверхность , развернут ь е ё на плоскость , нанести на ней два семейства эпициклои д и затем снова восстановит ь исходну ю поверхность . Нанесённы е нами эпициклоид ы перейду т в систему I. Боле е подробн о вопрос ы геометри и движений , отвечающи х случаю наличия /, были рассмотрен ы в работа х А. А. Никольского , С . В. Baландер а и П . Жермен . § 32 . Осесимметрично е обтекани е с отошедше й ударно й волной . Пр и обтекани и тупог о осесимметричног о тела сверхзвуковы м потоко м (скорост ь по бесконечност и направлен а вдол ь оси симметрии тела ) образуетс я осесимметрична я ударна я волна, отходяща я от по верхност и тела . Задач а определени я форм ы ударно й волны и вихре вого движени я межд у поверхность ю разрыв а и поверхность ю тел а решаетс я численно. Схем а решени я был а дана О . М. Белоцерковски м и реализован а на электронно й быстродействующе й вычислительно й машине . Та к же ка к и в аналогичном плоском случае ( § 22) , здес ь бы л применён мето д Дородницына , позволяющи й решит ь задачу в точ § 32] ОСЕСИММЕТРИЧНО Е ОВТЁКАНИЕ С ОТОШЕДШЕЙ УДАРНО Й ВОЛНОЙ 32 1 ной постановк е и с нужно й степень ю точности . Пут ь решени я заклю чаетс я в следующем . Вводятс я сферически е координат ы (г , 0, X) (ос ь в - вдол ь потока) . В сил у осево й симметри и движени е не зависи т от X и составляю ща я Vk скорост и равн а нулю . Уравнени я движени я приму т вид : dvr Vb dvr vl 1 dp vr~dT + T S b - V R = T D R < 3 2 Л ) A 1 + = L ( 3 2 . 2 ) r дг г дг г рг дг 4 ' Использу я уравнени е неразрывност и JF (r2Pvr " П Б ) + -щ I R ^ S I N 9 ) = ^ 3 2 3 ) введе м функци ю ток а W такую , чт о (J з С/ * г2pvr si n 0 = р , rpv,j si n Q = -Jp-. (32.4 ) Пр и это м d9 г , . . й ( dR : Rp si n б ^o 9 - RvrJ, (32.5 ) db есл и дифференцировани е проводитс я вдол ь некоторо й лини и г = R(Q). Уравнени е (32.5 ) ест ь анало г уравнени я (22.10 ) плоског о случая . Комбиниру я (32.2 ) и (32.3) , получи м анало г уравнени я (22.8) : £ r^ sin 9 (р + Pv2) + ± ( г sin 9Pvtvr) = г (2р + P vf ) sin 0. (32.6 ) Соотношения , выражающи е р и р чере з V2 = V ^ V 2 f l буду т имет ь то т ж е вид , чт о и в плоско м случа е (см . (22.11 ) и (22.12)) . Неиз вестным и функциям и являютс я Vi, vr, Ч* и В качеств е краевы х услови й имее м на теле : г = г о (0) , = w = " = "(0) , (32.7 ) причё м значени е &(0 ) даётс я формуло й (22.21) . Н а ударно й волн е г = г 0 4е (6), гд е е(б)-функци я о т б, подлежаща я определению , имее м внов ь соотношени я (22.13)-(22.15) , связывающи е Vb Vr и tp (<р у Г О л н а к л о н а Н О р М а л и к поверхност и разрыв а к ос и симметрии) ; кром е того , имее м очевидно е соотношени е 4L__4r +(ro+e ) tg ( 0 + cp ) (32-8) - анало г соотношени я (22.18) . Наконец , п о (32.4 ) должн ы имет ь на ударно й волне : ] I ^ L S i n H = I (r 0 + S f Р о ( 1 j L Y ^ s i n ^ . (32.9 ) 2 1 Теоретическа я гидромеланика , ч. II 322 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( Г Л . 1 Процес с решени я задачи , ка к и в плоско м случае , заключаетс я в раз биени и област и интегрировани я межд у тело м и поверхность ю разрыв а на N областе й путё м проведени я лини й П = r 0 (6) + ^(0) , где I1 = ^ (1, 2 , . . . , T V ) с последующи м интегрирование м уравнени й (32.3 ) и (32.6 ) вдол ь линий б = const , о т контур а тел а до границ ы каждо й из поло с и с замено й подынтегральны х функци й интерполяционным и полиномами . Искомым и функциям и буду т значени я функци й на граница х полос . Граничны е услови я выполняютс я точно . Задач а сводитс я к численном у интегрировани ю систем ы обыкновенны х дифференциальны х уравнени й по б, причём част ь краевы х услови й задаетс я на оси симметрии : при 9 = 0 (WeX= O, ^ i = O1 (O) = V 9 = 0, а остальны е на особо й линии. Небольшо е отличи е о т плоског о слу чая заключаетс я в том , что теперь , кром е N подвижны х особы х точек , мы буде м кажды й ра з имет ь дл я некоторы х уравнени й систем ы особенност и вдол ь оси симметрии . Эти последни е особы е точк и будут , однако , фиксированным и регулярным и особым и точками ; ка к и в пло ско м случае , и здес ь придётс я имет ь дел о с рядам и по степеням 9. Здес ь (ка к и в плоско м случа е на стр . 191) предполагалось , чт о границ а тел а представляе т собо й гладки й контур . П о рассмотренно й методик е можн о проводит ь расчё т тел , образующа я которы х в обла сти влияни я имее т излом (в это м случа е оди н из параметро в опре деляетс я из услови я того , что в точк е излом а должн а быт ь звукова я скорость) , а такж е расчё т "комбинированных " те л (сфер а - кону с и др.) . Мето д може т быт ь обобщё н на случа й сверхзвуковог о обте кани я затупленны х те л потоко м реальног о газа (с учёто м диссоциаци и н ионизации) . Есл и задатьс я цель ю создат ь едину ю программ у дл я быстродействующи х электронны х счётны х машин , пригодну ю дл я рас чёто в ка к плоских , та к и осесимметричны х те л разнообразно й форм ы (гладких , сильн о затупленных , с изломо м образующей , "комбиниро ванных" ) при различны х значения х показател я адиабат ы k и чисел Мах а набегающег о поток а (1 < M c o < со) , т о весьм а удобн о за независимы е переменны е взят ь s u n (s - длин а дуг и вдол ь тела , от считываема я от критическо й точки , п - нормал ь к телу) . Приведё м некоторы е результат ы расчёто в осесимметрически х тел , полученны е О . М . Белоцерковски м J ) . Н а рис . 128, 129, 130 представлен ы картин ы обтекани я эллип соидо в вращени я (S = 0,5 ; 1,5 ) и сфер ы (8=1,0 ) при различны х значения х M c o (8 -отношени е вертикально й оси эллипсоид а к гори ') Б е л о ц е р к о в с к и й О. M., О расчёте обтекания осесимметрических тел с отошедшей ударной волной на электронной счётной машине, ПММ, т. XXiV1 вып. 3, 1960. 32] ОСЕСИММЕТРИЧНО Е ОБТЕКАНИ Е С ОТОШЕДШЕ Й УДАРНО Й ВОЛНО Й 32 3 Рис. 128. Рис. 129. 21* 324 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 J 33] ОДНОРАЗМЕРНЫ Е ДВИЖЕНИЯ . ОБЩИ Е УРАВНЕНИ Я 32 5 зонтальной). На рис . 131 дано распределени е давлени я р/р0= = р (г0 , в)/ р (г0, 0) вдол ь поверхност и эллипсоид а с 8 = 0,5 . Н а рис. 132 показано , ка к меняется расстояни е от тел а д о поверхност и разрыв а вдоль оси симметрии . Рис . 133 и 134 иллюстрирую т сходимост ь метода при A r = 1,2 , M j o = 4 ; на рис . 133 приведена ударна я волна , звукова я линия и характеристик и / и / / семейств ; на рис . 134 даны распределени я давлени я вдол ь тел а и поверхност и разрыва . В заключени е следуе т отметить , что мето д интегральны х соот ношений с успехом применялс я и дл я решени я други х зада ч газово й динамики и прикладко й математики . Так , П . И . Пушкиным 1 ) был о рассмотрен о обтекани е произвольног о тел а в дозвуково м и звуково м поток е газа, а такж е дозвуково е обтекани е эллипсо в с циркуляцией . Г. НЕУСТАНОВИВШИЕС Я ДВИЖЕНИ Я § 33 . Одноразмерны е движения . Общи е уравнения . Характе ристики . Пуст ь газ движетс я вдол ь оси х так , что все элемент ы движения vx, р, р являются функциям и одног о тольк о JC и времен и t. Таким образом , (r)у = Vz = 0; V x = vx (х , 0 ; Р = Р ( х , t); р = р (*, t) . Предполагая , что внешних сил и сил вязкости нет, мы можем написать уравнени е движени я в виде 1 dp dvx dvx P дх ' dt V* дх Уравнение ж е неразрывност и даст : dp I _ дуу х дх ' дх _ _ Q Прибави м ещ ё услови е адиабатичност и движени я * J L + v * JL = о . w f 1 •* дх Мы имеем таким образо м тр и уравнени я для определени я трё х функ ций: vx, р, р . Как и прежде , введем величину прост о связанну ю с энтропией , из услови я р = "*(*, t) р \ (33.1 ) ) Ч у ш к и н П. И., Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым п°мм°М Газ а ' В ы ч ' ма т ' ' 2 ^ 95 7 ) ' Расчёт некоторых звуковых течений газа, HMM1 т. XXI, в. 3, 1957; Расчёт обтекания произвольного профиля и тела вращения в дозвуковом потоке газа, Выч. мат., 3 (1958); Дозвуковое обтекание эллипсов с циркуляцией, ДАН СССР, 125 (1959), № 4. 326 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( Г Л . 1 5 + . ^ 0 . Уравнени е (33.2 ) показывает , что в случа е непрерывност и движе ния 0 сохраняетс я в частице. Вмест о функци й vx, р, р удобн о бу де т ввести vx, а (скорост ь звука ) и Та к ка к а 2 = у. | = x&*p*-i = , т о I n p = ^ 1 I n a - In (х""). Таки м образом , уравнени е неразрывност и дас т посл е просты х пре образований : H dt ^ v * дх ) X I V ^ l n " ' ^ v X d x m 9 дх -U' что, вследстви е (33.2) , може т быт ь записано в виде: T i - S f + £ < з м > Уравнени е движени я дас т dvx , dvx р_ д\пр а2 I 2 х д In а х д InхЭ \ dt х дх ~ р дх х \ х - 1 дх х - 1 дх J' что може т быт ь представлен о в следующе м виде: ^vX I dvx . 2 да а2 <5 I n , " " .. Мы уж е упомянул и о том, что 0 сохраняетс я в частице; распре делени е ft от частицы к частице следуе т считать поэтом у в задача х газово й динамики ка к бы начальным условием и данной функцие й [наподобие того, ка к в плоско й стационарно й задаче мы считали известной функци ю O = S (ф)] от лагранжево й координат ы (мы буде м обозначат ь её в это й главе букво й 5): о = a (5). Аналогичн о тому , ка к в плоском случа е мы вводили вспомогательну ю функци ю ф от х и у, введём тепер ь вспомогательну ю величину 5 - лагранжев у координат у - функци ю от х и t\ 5 = 5(*, t). Функци ю эт у мы получим, если реши м уравнени е х = л: (5, 0 относительн о 5. С друго й стороны , уравнени е неразрывност и позволяе т заключит ь о существовани и функци и А (х, t), такой, что дА дА P = W P v X = W ОДНОРАЗМЕРНЫ Е ДВИЖЕНИЯ . ОБЩИ Е УРАВНЕНИ Я 327 Уравнение (33.2 ) заставляе т нас считать , что А зависи т лиш ь от Боле е того , ввод я плотност ь ря в неки й исходны й момен т ка к функ цию Ь Po (s). м ы можем найти связ ь межд у А и В самом деле , напишем тождеств о ? = $(*(&, t), t) ц продифференцируе м ег о обе части п о получим d'j (х, t) дх (с, t) . дх &• ' но вследстви е уравнени я неразрывности , написанног о в форм е JIaгранжа , дл я нашег о одноразмерног о движени я имеем : д х _ P o (5 ) . значит, так что дх P 0 F P O ( № Таки м образом , Z(x , t) должн а удовлетворят ь одном у из дву х урав нений #дх = -2; 4dt = р (33.5 ) Заметим , что, зада в ft (E) и р0 (?), мы можем определит ь и /?0 (£) и а и (? ) (давлени е и скорост ь звук а в исходны й момент) . В самом деле : / л X X- 1 V/ n (Л X X Мы можем тепер ь записат ь (33.4 ) в вид е где (33.6 ) л I (х0") (33.7 ) Таки м образо м мы должн ы определит ь дв е функции : vx {х, t), а(х, t), удовлетворяющи е дифференциальны м уравнения м (33.3 ) и (33.6) , причём в последне е уравнени е входи т ещ ё треть я функци я t), но уж е не под знакам и дифференциалов ; эта функци я £ должн а Удовлетворят ь одном у из уравнени й (33.5) . Задач а наш а представляе т аналогию с плоско й вихрево й задачей , рассмотренно й выш е ( § 9): т а м речь шл а об определени и функци й vx, Vy из уравнени й (9.1) , (9.2), причём формул а (9.1 ) содержал а ещ ё функци ю какова я 328 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 должн а был а удовлетворят ь одном у из дифференциальны х уравне ний (9.6) . Обращаяс ь к систем е (33.3) , (33.6) , буде м искат ь дл я неё харак теристически е многообрази я в вид е Jf = X (/) . Вдол ь эти х линий dvx dvx dv, da да да 1 dt dt дх х'\ dt Ht + I I ~дх ~dt dt ^ дх • Наход я отсюд а dvjdt и dajdt и вставля я их в уравнени я (33.3) , (33.6) , получим : - 1 dv. 2 дх да da ( V x X ) 1 ^ = - dv, 2а да дх у. - 1 дх Po ^In O 2 •/.-1 di 1 ' dv. dt Услови е невозможност и определени я dvx/dx и да/дх из это й систем ы уравнени й заключаетс я в равенств е нул ю определителе й 1 2 a v x - х 2 а V r - х % da ~dt 0 . Po rf'na л 2 1 di а ' И з первог о равенств а находим dx Jt dv, 2 а dt (33.8 ) И з второго : 2 da -Z=TaIit d In " dvr 0 1 di dt или, если применит ь (33.8) , посл е просты х преобразований : dvx 2 da р0 d 1 n 9 2 dt ~ х - 1 4t ~~ v. - 1 ~dT~ й ' (33.9 ) Уравнени е (33.8 ) показывает , что при любо м нестационарно м одноразмерно м движени и газа чере з кажду ю точк у плоскост и (х , t) § 34] СИЛЬНЫ Е РАЗРЫВ Ы В ОДНОМЕРНО Й НЕСТАЦИОНАРНО Й ЗАДАЧ Е 32 9 проходят две характеристики . Назовё м характеристико й первог о семейства ту , что отвечает знак у плюс, а характеристико й второг о семейства - ту, что отвечает знак у минус. Т е линии, вдол ь которы х мы перемещаемс я в плоскости (vx, а), когда в плоскост и (х, t) мы идём по характеристикам , назовём характеристикам и (первог о или второго семейства) плоскости (vx, а). Заметим , наконец , что вдол ь характеристик , вследстви е (33.8 ) и (33.5) : d; 'dt dt д1 дх х ' Po (-3/4+*') = ± Po (33.10 ) Итак, вдоль характеристи к первог о семейства dx "df da = + а ; d In S 2 x+ 1 (33.11 ) dt + • • 1 dt х - 1 dt dt X I A X I вдоль характеристи к второг о семейства : dx ~dt а\ dvx ~dt di_ da 1 dt 2 X+l din " •1 dt } (33.12 ) I dt = - a n X- I Л 1 § 34 . Сильные разрыв ы в одномерно й нестационарно й за даче . Поверхност ь разрыв а в одномерно й задач е буде т плоскостью , перпендикулярно й к оси, вдол ь которо й происходи т движение . Есл и мы условимся считать отрицательно й область ю ту , что лежи т о т поверхности разрыв а в направлении отрицательно й оси х, а поло жительной область ю - ту , что лежи т "справа " (в направлени и положительно й оси х), то у нас буде т прост о Vn=-Vx (п направлено всегда в сторон у положительно й области) . Таки м об разом, Ь = М - V n = N V x . (34.1 ) Уравне пня (2.15 ) и (2.16 ) § 2 этой главы примут вид: об {vx+-vxJ) = p+-p_. (34.2 ) р + 0 + = р_0_ . (34.3 ) Кроме того, ка к всегда, имеет мест о формул а (5.10 ) § 5. Таки м образом , семь величин: N, р + , р_ , р+, р_, vx±, vx_ связаны трем я соотношениями, и мы можем, считая тр и величины (например , vx + , Pи р + ) известными, выразит ь любу ю из оставшихс я величин через одну из этих последних величин. В предыдуще м параграф е мы заме 330 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 нили, однако , отыскани е величин р и р отыскание м а и f>; поэтом у и здес ь мы вырази м р и р чере з а и 0 . Буде м искат ь связь межд у и vx_ и межд у и N. Попутн о найдём такж е зависимост ь vx_ от N. Мы ограничимс я дл я простот ы дальнейши х выкладо к тем слу чаем, когд а vx+ = 0 , т . е. разры в распространяетс я в покоящейс я среде . Пр и это м буде м считать , что а + - а 0 = const. , /> + =/? 0 = = const. , р + = р 0 =const . ("исходная " плотность) . Назовё м зате м vx_=v, jо_ = р, р _ = р , а_=а. Формул а (5.14) , решённа я относительн о р + /р_ , даст : P , х - 1 2 а 2 , - Т + - 7 T f ; (34.4 ) Р _ х + 1 s + 1 0 + заменя я здес ь р+ /'р_ п о (34.3 ) чере з 6_/9 + и замечая , что по (34.1 ) 6_ == N-vx, 6 + = N, получим из (34.4 ) зависимост ь межд у N и Vx в виде : N 2 N v x O 2 = (34-5) С друго й стороны , формул а (34.4 ) дас т нам Po • 1 . I a l P X + 1 1 х + 1 N 2 ' что в соединени и с формуло й (34.6 ) />0 _ П г ё _ _ ( + D f ( X I ) (34.7 ) P "1Р х x + i _ ( x _ i ) A дас т возможност ь написат ь чере з посредств о N (и конечно , P0, а 0 ) . Наконец , чтоб ы найти зависимост ь межд у а и vx, восполь зуемс я сперв а формулой , аналогично й формул е (34.4) , р _ х - 1 2 а2_ т . е . P + _ * • + ! * + 1 62 _ A 2 ( N V x ) 2 что, вследстви е (34.3) , напише м ещ ё так : х- 1 , 2 a 2 N х + 1 1 х + 1 (N - v r ) 2 N V x ' Остаётс я тольк о исключит ь из (34.5 ) и из этог о уравнени я N. Дл я этог о запише м сперв а последне е уравнени е в виде Ni +'J^-VxN - ^=I v l ~ a2 = Q §35]СЛУЧА Й ПОСТОЯННО Й ЭНТРОПИИ . ДВИЖЕНИ Е ПОРШН Я 331 и вычтем из него почленно (34.5) ; получим посл е просты х преобра зований vr а 1 1 (34.8 ) Наконец , вставляя эт о M в (34.5) , получим искому ю зависимост ь межд у а и vx: < + 2 а2 + а2 о Vi2 4 ( A 2 A 2 ) 2 = 0 . (34.9 ) % ( 7 . 1 ) 2 Уравнение (34.9 ) представляе т в плоскост и (a, vx) некую криву ю четвёртог о порядка . В интересующе й нас област и значений а ( а > 0) она имеет двойну ю точку : а а{), V r = O (рис. 135) и симметрична по отношению к оси vx, а такж е по отношению к оси а ; её асимптоты имеют уравнени е 7 . ( 7 . 1 ) Vx 0,527 к Кроме того , оказывается , что достаточн о рассмотрет ь тольк о т у часть кривой, на которо й а > а0. Уравнения (34.6 ) и (34.7 ) показывают , что если f!+ = = const. , но N меняется (зависит от времени), то станет переменной величиной, т . е. если в среде , покоящейс я и обладающе й постоянной энтропией , пере мещается с переменной ско ростью поверхност ь силь ного разрыва , то посл е прохождени я её сред а получит в разны х точка х разну ю энтропию . § 35 . Случа й постоянно й энтропии . Движени е поршня в неог раниченно й трубе . Точны е решения . Наличи е отражающе й стенки . Предположи м сперва , что О (E) = const . Уравнения для характеристи к (§ 32 ) примут тогда особенн о простой вид: здес ь = и мы можем проинтегрироват ь уравнени е (32.9) . Получим вдол ь характеристик : V r X 2 v . - 1 а = const . Таким образом , в плоскост и ( v x , а) характеристикам и являются два семейства параллельны х прямых , наклонённы х к оси Vx по д углом , 332 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 танген с которог о ест ь ± (х- 1)/ 2 (рис . 136) . Буде м писат ь дл я ха рактеристи к первог о семейств а а дл я второг о - 1 а = 2Х, 2 Y а = 2[А (35.1 ) (35.2 ) (наш е семейств о прямы х являетс я аналого м семейств а эпициклои д плоско й безвихрево й задачи) . Аналогичн о тому , ка к эт о был о в § 11 , мы може м и здес ь наметит ь дв е основны е операции , назо вём их а и р. Операция а . В дву х распо ложенны х близк о дру г о т друг а точка х Al1 и M2 пло скост и (х, t) дан ы значени я г\. и а. Найт и Vx и а в точк е P пересечени я характеристи к раз ны х семейств , выходящи х из M1 и M2 соответственно . Эт а операци я выполняетс я сразу , если отмети м точк и /И | и M 2 плоскост и (v x , а ) с координатами , равным и скоростя м в точка х Al1 и M2 соответственно ; действительно , заме тим , что, перемещаяс ь в плоскост и по характеристик е M1P, - пуст ь дл я конкретност и эт о буде т характеристик а первог о семейства , мы буде м двигатьс я в плоскост и ( V x , а) по известно й прямолинейно й t характеристик е первог о семейства , проходяще й чере з M1: 2 vX - (Vx)Mt + ^ z t (а - а м ) = 0; двигаяс ь ж е вдол ь M2P, мы пойдё м в ( V x , а) вдол ь известно й прямо й 2 0 Vt (Vx)M2 1 (a -CtM1) - 0 . Рис . 137. Точк а P ' пересечени я эти х прямы х и дас т скорост ь Vx и а в Р . Операция [3. Н а некоторо й криво й L, не являющейс я характе ристико й и лежаще й в плоскост и (х, t), дан ы значени я v х. В точк е М , расположенно й бли з кривой , н о вне её , известн ы Vx и а. Над о найт и об е скорост и в точк е P пересечени я с криво й L характери стики , проходяще й чере з M (рис . 137) . Чтоб ы эт о сделать , обра тимс я к плоскост и ( V x , а) и, отмети в в ней точк у M' , координат ы которо й сут ь скорост и в точк е М , проведё м чере з M ' прямолиней §35]СЛУЧА Й ПОСТОЯННО Й ЭНТРОПИИ . ДВИЖЕНИ Е ПОРШН Я 333 HVю характеристик у (тог о ж е семейства , чт о и MP ) и на ней оты щем точк у P' , в которо й Vx равн о известном у значени ю величин ы Vx в P Ординат а точк и P' (vx, а) и дас т нам скорост ь звук а в P'. Практическ и мы сможе м провест и наш и операци и точн о лиш ь наполовин у (та к ж е ка к эт о был о в § 11): именно , мы може м точн о найти величин ы vK. и а в точк е P' характеристик и в плоскост и (<Уг я) , н 0 н е сможе м определит ь точн о местонахождени е точк и Р , иб о ви д характеристи к плоскост и (х, t) неизвестен . Можно , однако , по формул е (33.8 ) найт и угл ы касательны х к характеристика м в точ ках M1 и M2 (или М), провест и эт и касательные , найт и пересече ние P эти х отрезко в прямы х и считать , чт о точк е P ка к ра з и от вечает найденна я точк а P' плоскост и (ух, а). Ошибк а пр и это м те м меньше , чем ближ е точк и M1, M2 дру г к друг у или Чем ближ е к криво й L точк а М. М ы можем , та к ж е ка к и в § 11, дат ь оценк у погрешности , заключа я неизвестны е нам дуг и характеристи к в из вестны е углы : мы сможем , в случа е однозначно й зависимост и межд у точкам и плоскост и (vx, а) и (л;, t), опираяс ь на легк о доказываему ю монотонност ь изменени я при перемещени и вдол ь характеристик и угла наклон а касательно й к характеристике , заключить , чт о харак теристик а M1P, наприме р (операци я а) , лежи т внутр и угл а межд у отрезко м AI 1 P s касательно й к характеристик е в M1 [находящейс я по формул е (33.8) ] и отрезко м M1P**, параллельны м касательно й к характеристик е M1P в точк е P [накло н отрезк а M1P найдётс я по (33.8) , та к ка к скорост и в неизвестно й точк е P нам точн о из вестны - эт о координат ы Pf]. Дв а слов а о б определени и величин ы Е. Есл и нам известн о 5 в точка х M1 и M2, то , чтоб ы найт и ? в Р, над о обратитьс я к фор мулам (33. 1 1), (33.12) : Зна я £ в точк е Al1 ил и M2, може м найт и та м ад(Q и таки м образо м найти d'z/dt. Остаётс я написат ь приращение : 2 х + 1 если двигатьс я по M1P или Д* = - \а 0 X+ I a J m 2 Ы, есл и дви гатьс я по M2P, причё м первы й ра з M = t p - tM,, а во второ й ра з bt = t p - t M l . Переход я к конкретны м задачам , остановимс я сперв а на одно м важно м частно м случае , сраз у ж е допускающе м сведени е задач и к обыкновенны м дифференциальны м уравнениям . Пуст ь движени е 334 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 наш е таково , что в плоскост и (х, t) существуе т одн а характе ристик а Л , во всех точка х которо й ка к vx, та к и а сохраняю т постоянно е значение . Эта характеристик а Л буде т тогд а прямой линие й [вследстви е (33.8 ) вдол ь неё буде т dx/dt = const.] ; пуст ь дл я кон кретност и Л ест ь характеристик а первог о семейства . Рассмотри м тепер ь характеристик и второг о семейства : L1, L2, .. . Пуст ь они пересекаю т Л в точка х M1, M2, . . . соответственно : вдол ь линии L1 будет , по (35.2) , 2 о v x - T I Z T а = = 2 ^i' ' вдол ь L2 : 2 0 V X - ^ T T Y А = и т . д . Очевидно , что [X1 можн о найт и из условия , что L1 проходи т чере з M1: 2 ( 3/4 ) * , - = 2 I 1 I такж е [х2 найдётс я по формул е 2 (Vx)M1 -х --1Г (Cl)M1 = 2[X2 и т . д . Но , вследстви е предположенного , (vx)m, = (Vx)M2 = • • • '> (0Xw1 = = (а) Ж г = значит , буде т [X1 = JX 2 =... , т. е. не тольк о вдол ь каждо й характеристики , но и во всей плоскост и буде т выполнятьс я соотношени е V - 2 г а ~ const . = iWjr 2 a (35.3 ) x 1 T v где vXl и Ci1 сут ь постоянны е значени я Vx и а на Л . Н о тогда урав нение (33.4 ) в соединени и с (30.3 ) даст : х + 1 dt (V* - v X l ) Ч VXl + Cll дх • 0 . (35.4 ) Таки м образом , задач а сводитс я к одном у уравнени ю в частны х про изводны х первог о порядка , т . е . к систем е обыкновенны х диффе ренциальны х уравнений . Замети м ещё , что в это м случа е не тольк о характеристик а Л , но и вообщ е все характеристик и первог о семейства буду т прямыми . В самом дел е вдол ь каждо й тако й характеристик и буде т V x A r + [2/(* - 1)] а = 2Х(н а каждо й сво ё /.), но, кром е того , повсюд у вы полняетс я (35.3) ; таки м образом , вдол ь каждо й характеристик и пер вого семейств а Vx и а буду т связан ы двум я алгебраическим и соот ношениями , т . е. буду т постоянны . Отсюда , вследстви е (33.8) , сле дуе т прямолинейност ь характеристи к первог о семейства . Разумеется , что Vx и о будут , сохраняяс ь на каждо й характеристик е первог о се § 35] СЛУЧА Й ПОСТОЯННО Й ЭНТРОПИИ . ДВИЖЕНИ Е ПОРШН Я 335 мейства, меняться с переходо м от одно й характеристик и первог о семейства к другой , та к что характеристик и второг о семейств а бу ду т кривым и [в плоскост и (х, t)\. Подобног о род а картин а буде т всегд а иметь мест о при распро странени и движени я в покоящейс я и обладающе й постоянны м давле нием и температуро й среде , заключённо й в неограниченны й цилинд р (прямолинейност ь движений) . В самом деле , постоянств о давлени я и температур ы означае т постоянств о ft и скорост и звук а (обозначи м последню ю чере з а 0 ) ; услови е поко я дас т vx = Q, таки м образом , dxjdt = ± а0 = const. , X= + a0t-\ const. , и мы имеем прямолиней ные характеристик и в плоскост и (х, t). Есл и вдол ь одно й из них движени е начнё т переходит ь в другу ю форму , т о мы сможе м заклю чить, что в это м ново м движени и все характеристик и одног о кс кого-т о семейств а буду т прямыми . Пуст ь в неограниченно м цилиндр е движетс я по заданном у закон у x = f ( t ) поршень . Предположим , что газ в момен т t = О бы л в поко е и облада л всюд у одно й и той ж е энтропие й 0 и скорость ю звук а а0. Пуст ь в начальны й момен т скорост ь поршн я равн а ( 3/4 . = ° а затем монотонн о убывает . Найдё м движение , которо е возникне т при это м в газе "вправо " (т. е. в направлени и положительно й оси х) о т поршня . Пуст ь X0 = OA (рис . 138) ест ь расстояни е поршн я от начала координа т в начальны й момент . Все точк и оси х, лежащи е вправ о от А (точки, лежащи е влев о от А, нас совер шенно не интересую т - мы изучаем лиш ь движени е газа вправ о от А), имею т одн о и т о ж е значени е скорости : и одно и т о ж е а: а = а0 Рис. 138. (как точк и при ^ = 0). Возьмё м каку ю угодн о точк у В вправ о от А на оси х и представи м себе , что мы провел и из А характеристик у первог о семейства , а из В - характеристик у второг о семейств а и что эти характеристик и встретилис ь в точк е С. Н о тогда , применя я операци ю я, убеждаемс я в том , что скорост и в С совпадаю т с о ско ростями в А (или в В); в самом деле , и Л и В представляютс я в пло скости (и г , а) одно й и то й ж е точко й А' (рис . 139),-значит , и характеристик и типа MiP и М'2Р' из операци и а пересекутс я в это й 336 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 самой точк е А ' (эт о буду т прост о характеристики , выходящи е из это й точки) . Та к ка к В (и, значит , С) произвольны , т о на всей ха рактеристике , выходяще й из А, буде м иметь одни и т е ж е значе ния скоростей : Vx = 0, а = а0, т . е. мы имеем целу ю прямолиней ную характеристик у первог о семейства : 1 X ^Q Qq^ " Эт о ест ь та характеристика , вдол ь которо й поко й буде т перехо дит ь в движение . М ы уж е знаем , что в плоскост и ( v x , а) мы буде м при это м находитьс я на одно й и то й же прямо й 2 2 vX - 71Г Т а = - ^ T T ай- (35.5 ) Нанесё м в плоскост и (дг, t) зако н дви жеии я поршн я - пуст ь эт о буде т лини я L. Возьмё м произвольну ю точк у А это й лн Рис. 139. нии и постараемс я найти в ней vK и а. Значени е Vx находитс я сраз у - скорост ь части ц газа, прилегающи х к поршню , равн а скорост и поршн я - нам над о тольк о найти в точк е танген с наклон а нашей криво й к оси t\ d f / d t . Чтоб ы найти а в точк е A1, вспомним, что Vx и а должн ы быт ь связан ы соотношение м (35.5) . Достаточн о на прямолинейно й характеристик е второг о семейства , идуще й чере з А' , найти орди нат у то й точк и A'v абсцисс а которо й равн а скорост и поршн я в A1. Определи в Vx и а в A1, може м построит ь не тольк о направлени е характеристик и первог о семейства , идуще й чере з A1, но и всю ха рактеристик у (ибо мы знаем , что она прямолинейна ) по формул е x - x A l = [(IF j r ) i4 l + a A1 ](t - t A l ) . Вдол ь всей это й прямо й буде т Vx = (Vx)Al и a = O-A1Заметим , что, вследстви е предположени я о неположительност и производно й /' , числ о (Vx)Al-iT aA, буде т меньше , чем (Vx)a + аА = 0 -f а0 (aAl < а0 вслед стви е наклон а характеристик и второг о семейства , идуще й чере з А') ; следовательно , характеристик а первог о семейства , проходяща я чере з A1, нигде не пересечётс я с характеристико й первог о семейства , идуще й из А. Подобны е рассуждени я можн о применит ь к о всем точка м линии L и можн о построит ь расходящийс я веер прямы х ха рактеристи к первог о семейств а с известным и на них скоростями . Та к мы узнаё м скорост и во свех точка х плоскост и (х, t), т, е. скорост и в любо й точк е вдол ь цилиндр а и в любо й момен т времени . Мы може м изобразит ь зате м в плоскост и (х, t) закон ы движени я все х частиц , т. е. провест и линии £ = £(лг, t) = Const. В самом деле , на оси х достаточн о положит ь I. = х (начальны е координаты) ; то ж е § 35] СЛУЧА Й ПОСТОЯННО Й ЭНТРОПИИ . ДВИЖЕНИ Е ПОРШН Я 337 самое можн о сделат ь на характеристик е первог о семейства , выхо дяще й из А. Затем , пользуяс ь формулам и 2 х + 1 Cli = х ап 1-1 1 Ла *-1 I t - -uO мы може м найти \ во всех точка х плоскости . Останетс я тольк о соединит ь линиями точки , в которы х 5 одинаковы . Задач а о движе нии буде т решена . Нескольк о сло в об аналитическо м решени и задачи . Дл я интегри ровани я (35.4 ) мы должн ы написат ь в нашем случае : значит, dt d x T ~ Т + 1 ; ' 2 v x + а0 v x = F [ x ( ^ v x ^ r a ^ t ] , (35.6 ) где F - совершенн о произвольна я функци я своег о аргумента . Мы должн ы подобрат ь эт у функци ю так , чтобы на поршне , движущемс я по закон у х = f (t), имелис ь данны е скорост и vx = d f / d t . Эт о зна чит, что надо положит ь дл я определени я F : Рассмотри м пример . Пуст ь поршен ь движетс я равномерн о замедленн о так, что ^ = / ( 0 = 3/4 1 ( " > 0 ) . Тогда должн о быт ь Kt = F ( - + ^ t I Щ2 _ O^ ; ,, п{2 7 1 1 ооознача я ^ - 1 - - n ^ 2 - a 0 t = r), получим : пак , Т . е . T = ^ R U 0 - V R A I Н 2 Y FT V I) F ( 7 ! ) = - Т U 0 - ^ A Q + 2*NI)) , v * = V \ a * V ~ A I + 2 Ш [ * ( 1 T 1 "О ) *]} • Реша я эт о уравнени е относительн о Vx, найдём окончательно : == I {п 4-а0 _ У [ п t + a0j2 + 2я* (х V ) ) • 2 2 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 338 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Последня я формул а годитс я лиш ь д о те х пор , пока скорост и поршн я не стану т слишко м велики . Именно , по (35.5 ) а станет отрицательно , если Vx < 0 и \vx\ > ^JLt а0. Частицы , прилегающи е к поверхност и поршня , имеют скорост ь поршня ; значит, если принят ь дл я поршн я зако н х - то дл я момен 2 а то в t ^ ^ формул а буде т неприменима . Позад и поршн я обра зуетс я вакуум . Обратимс я тепер ь к боле е трудном у случаю . Попробуе м изучит ь движение , в которо е приходи т газ , находящийс я межд у перемещаю щимс я по заданном у закон у поршне м и стенкой . Пуст ь в начальны й момент газ находилс я в поко е (v x = 0) и имел постоянно е а = а 0 , а поршен ь движетс я по закон у х = f ( t ) , причём в начальны й момент / ' = О, /(O)=X 0 . Пуст ь стенк а имеет абсцисс у X1. В плоскост и (х, t) изобрази м зако н движени я поршн я L и проведё м "лини ю стен ки " Lv уравнение м которо й буде т х = Xv Проведё м чере з точк у А (х = xQ. t = 0 ) пряму ю характеристик у первог о семейств а AB1 * д о пересечени я со стенко й в точк е Bv получи м • Xn • a0t. v i 1 Треугольни к ABlAx буде т отве чать покою . В област и межд у L, а Pn/ \ X ^ C1 А в > k / ^ L R С ^ 1 J l Cl Пу A A1 Рис . 140. О Рис . 141. прямо й ABy и характеристико й (криволинейной ) второг о семейства , проходяще й чере з Bv буде т движени е уж е разобранног о тип а с пря молинейным и характеристикам и первог о семейства . Нанесё м на харак теристик е B1B густо й ря д точе к Bv M1, M2, . . . , В (рис . 140). В плоскост и (vx, а) эти м точка м буду т отвечат ь точк и Bi , M v Мг, . •• прямолинейно й характеристик и второг о семейства , проходяще й чере з точк у (0, а0) (в точк е B1 ещ ё буде т vx=0, а = а0) (рис . 141). Чтоб ы найти скорост и в точк е C1 пересечени я с L1 характеристик и первог о семейства , проходяще й чере з Mv обращаемс я к операци и р. £ 35) СЛУЧА Й ПОСТОЯННО Й ЭНТРОПИИ . ДВИЖЕНИ Е ПОРШН Я 33 9 На L1 всюд у Vx = Q, значит, в плоскост и ( V x , а) нам придётс я от M1 перемещатьс я по прямой характеристик е первог о семейства до встреч и в Ci с осью а . Определи в таким образо м скорост ь в точке C1 , применим тепер ь к точка м M2 и C 1 операци ю а и опре делим скорост и P 1 на пересечении P1 характеристи к Al 2 P 1 и C 1 P 1 [точка P i найдётся в плоскости ( v x , а) на пересечении характеристик , идущих из M2 и C2 соответственно] . Дойд я до точки Pn (рис. 140), применим к Pn и к линии L операци ю р и найдём скорост ь в точк е С и т. д. Легк о видеть, что тепер ь оба семейства характеристи к в (х , t) буду т криволинейными . Изложенны й здес ь мето д графическог о решени я задачи очень прост и позволяе т произвести вычисления с любой точностью . Он аналогичен том у способ у решени я плоской стационарно й задачи при помощи характеристик , которы й мы подробн о излагали в раздел е Б этой главы . Однако , в то время как в главе о плоски х движения х мы не имели общи х решений , кром е как в случае наличия прямо линейных характеристик , здесь в одноразмерно й стационарно й задаче можно написать точные решени я и в общем случае . Правда , это относится лиш ь к таким газам, дл я которы х х удовлетворяе т опре делённому соотношени ю (см. ниже), но, в частности, это относитс я к случаю, когда х-1,4 . На это обрати л внимание ещ ё Адамар') . Чтобы показат ь это , возьмём уравнени я (33.6 ) (при & = const. ) и (33.3 ) и примем в качеств е независимы х переменных , вместо х н i , величины Vx и а. Использу я наши характеристики , мы можем очень легко выполнит ь эт о преобразовани е следующи м образом . Дл я удоб ства письма обозначим Vx через и: V r = и. Обозначим, затем, как и прежде , 2 х - 1 2 а = 21, (35.7 ) Y а = 2 р. и введём в качеств е независимы х переменны х X и р.. Очевидно , что будет X = const , вдоль характеристи к первог о семейства и p. = const , вдоль характеристи к второг о семейства . -Мы можем всегда вернутьс я к переменным а и а по формула м " = Х + 1 ч \ (35.8 ) а = -2-( X - ц). j 1 OHadamar d J., Lemons sur la propagation des ondes, 1903. 2 2 * 340 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . Та к ка к вдол ь характеристи к первог о семейств а dx - (и -f a) dt, т о мы можем написать: + (35.9 ) Вдол ь второг о семейств а характеристи к dx = ( а - a) d t , и мы можем написать Ж = < и в > ! Г ' (35.10 ) Остаётс я вставит ь в (35.9 ) и (35.10 ) значения и и а из (35.8) , и мы получим систем у уравнени й дл я определени я х н t в функция х от л и р.: дх / х + 1 , , 3 - * \ dt - ' 1 1 a J д ц \ 2 1 2 1 Z ду . (35,11 ) дхх /33 - % , . х4--f11 \ dt = ( 2 к 4 g - IXJ д Х Исключа я х , придём к уравнени ю Есл и 4 r / о/. 1 2 7. - 1 \ C1 U dA J 1 * ± J L - 2 4 - 1 т ' где т - цело е число, т о мы получим уравнени е Дарбу , которо е интегрируетс я в обще м виде. В частности, при у. - 1,4 мы буде м иметь m = 3, так что наше уравнени е приме т вид: дЧ , 3 / dt d t \ дХ д<1 X - /j, \ df i Уравнени е эт о имеет общим решение м Os Л ( X ) M ( P ) 1*->х ' ( б о л г ) Посл е тог о ка к t определено , х може т быт ь сраз у найдено по (35.11) . Эт о буде т Произвольны е функци и Л и М, входящи е в (35.12) , должн ы опре делятьс я из краевы х условий , аналогично тому , ка к эт о делаетс я в классическо й задач е о струне . ВОЗНИКНОВЕНИ Е И ПЕРЕМЕЩЕНИ Е СИЛЬНОГ О РАЗРЫВ А 341 § 36 . Возникновени е и перемещени е сильног о разрыва . Пред положим теперь , что в покоящейс я среде , обладающе й всюду постоянной энтропией ft и постоянной скорость ю звук а а0 и заполняю щей бесконечны й цилиндр , движетс я поршен ь по закон у x = f(t) . Пусть, как и прежде , но в т о время, ка к раньш е мы считали, что / ' - монотонно убы вающая функци я t, предположи м теперь , что / " (/) може т оказатьс я положительной . Дл я больше й ясности предположи м просто, что всегда буде т / " ( ^ ) > 0 (рис . 142). В это й задаче, так же как и в соответствующе й задаче предыдущег о параграфа , характеристик и первого семейства буду т прямые, и движени е може т быть определен о и графически и аналитически . Однак о в т о время как характеристик и перво ю семейств а при / " < О станови лись, по мере продвижени я вдол ь линии L, начиная от точк и X0 = f (0), всё круч е по отношению к оси х , здес ь характеристик и будут становитьс я всё положе . В самом деле, точка A1, например , буде т имет ь Vx > 0 и а > а0, значит, rf^ (vx)Ai + а , 0 • и 0 , х \ Clt 'A1 dt Ja ' что и доказывае т наше утверждение . Н о тогда прямолинейные характеристик и пер Рис , 142. вого семейства, исходящи е из разны х точек L, начнут, ран о или поздно, пересекаться . Наступи т явление сильног о разрыва . Нетрудн о подсчитать расстояни е от начального положени я поршн я До "первой " точки поверхност и разрыв а и момент возникновения такового. Дл я этог о достаточн о найти предел , к котором у буде т стремиться место пересечения характеристики , идуще й из А (рис. 142), и характеристики , идуще й из A1, когда A1 стремитс я к А, Дл я первой из этих характеристи к имеем: Дл я второй X JCq - U^t. х - X0 - Ax 0 = [а (х 0 -f Ax 0 , М) + V x (х0 + Дх 0 , Af)] (t - М), гДе Ax0 есть разност ь абсцис с Л , и Л , а M - разност ь ордина т в этих точках . Отсюд а найдём дл я точк и пересечения этих прямых : t - A x 0 + [ a (X0 + Ax 0 , М) 4 vx (х 0 f Ax 0 , AQ] At vx f а (х 0 + Ax 0 , A t ) - аа X : a0t. 342 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 Н о Дх 0 = f (X 0 ) М, V x + а а , = Ц 1 Vx(х0 + Дх 0 , М ) " ^ ± 1 д , [ ( Л о = 0 ] , и мы получим в предел е дл я момент а T возникновени я разрыв а а дл я положени я X : Г = X-. 2 д 0 < * + 1 ) / о 2 a l / о Появившийс я таки м образо м разры в усложняе т картин у явления в дву х направлениях . Во-первых , он заставляе т искривлятьс я все характеристик и характеристик у первог о второг о семейств а [после того , ка к они пересеку т семейства , идущу ю чере з точк у (X , T)], во-вторых , и эт о существеннее , бла годар я тому , чт о скорост ь N пере мещени я поверхност и разрыв а бу дет , вообщ е говоря , переменной , поверхност ь буде т оставлят ь позад и себ я област ь переменно й энтропии . Поэтом у формул ы § 3 5 и прямо линейны е характеристик и в плоско ст и ( V x , а) неприменимы , и нам надо обратитьс я непосредственн о к фор мула м (33. 1 1), (33.12) , (33.13 ) из § 33 . Рис. 143. Покажем , ка к решаетс я графи ческ и задач а о движени и разрыва , если разры в возникае т уж е при ^ = O n y самог о поршня . Эт о буде т в случае , если поршен ь в начальны й момент получае т сраз у ско рост ь отличну ю о т нуля . Пуст ь некоторо е врем я поршен ь дви жетс я с это й постоянно й скоростью , а зате м скорост ь поршн я начинае т непрерывны м образо м менятьс я по произвольном у закону . Изобразим , ка к всегда , зако н движени я поршн я L в плоскост и (х , t) (рис . 143). Обращаяс ь к плоскост и (vx, а), найдём на криво й четвёртог о порядк а (34.9 ) значени е а = ах, отвечающе е значени ю Vx = Vl (С' на рис . 144) . П о формул е (34.8 ) мы може м найти тепер ь >) Мы предполагали при выводе, что "первая" точка разрыва лежит на "первой" характеристике. Условие это может и не выполняться. В общем случае первую точку надо искать на огибающей системы прямолинейных характеристик. ВОЗНИКНОВЕНИ Е И ПЕРЕМЕЩЕНИ Е СИЛЬНОГ О РАЗРЫВ А 343 JV -скорост ь перемещени я поверхност и разрыва : Отрезо к A C прямо й X = хА j Nt буде т представлят ь отрезо к линии L1, изображающе й перемещени е поверхност и разрыв а окол о точк и А. Пуст ь В ест ь точк а L, посл е кото рой L начинае т искривляться ; проведё м пряму ю характеристик у первог о семейств а ВС д о пересечени я с проведённы м уж е отрезко м АС. В прямолинейно м треугольник е ABC движени е происходи т с о ско рость ю iUx = ^ 1 = Const. В области , ограниченно й прямо й ВС, криво линейным отрезко м BD линии L и криволинейно й характеристико й CD а О Рис . 144. второг о семейства , движени е найдётс я та к же , ка к эт о был о сделан о в предыдуще м параграф е (прямолинейны е характеристик и первог о семейства и т . д.) . На линии CD нам будут , таки м образом , известн ы vx, а и с. Нанесё м на CD густо й ря д точек : M 1 , M2, . .. ; из точк и M1 проведём характеристик у первог о семейств а (элемен т её) M1Z;, исполь зуя формул у до пересечени я с продолжение м CE прямо й АС. Чтоб ы найти скорост ь в точк е Е , проведё м из точк и M1 (рис . 144) [в плоско сти (г>А., а)}, отвечающе й точк е M1 плоскост и (х , /) , пряму ю ха рактеристик у первог о семейств а д о пересечени я в E ' с нашей кри во" четвёртог о порядка . Определи в координат ы E' , т . е. найдя зна чения vx и а в точк е Е , може м зате м построит ь нову ю скорост. , поверхност и разрыв а в E по формул е (34.8 ) и провест и из точк и E "осый, не являющийс я продолжение м прямой CE элемен т линии раз Pwsa. Построи м тепер ь элемен т характеристик и второг о семейства , 344 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 идущи й из M2 по формул е ( 3/4 = + " W и элемен т характеристик и второг о семейства , выходящи й из Е , по формул е [ ж ] Е = аЕ. Был о бы ошибочн о искат ь скорост и в точк е P 1 пересечени я эти х характеристи к ка к координат ы точк и пересечени я в плоскост и (vx, а) прямых : 2 2 Vx - ("д-Ь = - у (а - "я). - (Vx)Мг == - р (а - аЖг); в самом деле, уж е начиная о т точк и С, линия разрыв а начнёт искри вляться , т . е. N начнёт меняться со временем , а это , ка к мы знаем, приведё т к тому , что разны е точк и получа т разну ю энтропию ; нельзя буде т больш е считат ь dbjd ^ = О, а следовательно , нельзя пользо ватьс я соотношениям и (35.1) , (35.2) . Мы должн ы обратитьс я к общим формула м (33.11) , (33.12 ) и искат ь P i на пересечении прямы х ( 3/4 + ^ y (" a*,) = T=Thl J j • 2 а Р " Vx - (Px)e - - у ( в - в £ ) = - ^ f y \ n f . E Значени е ЬЕ находитс я по формула м (34.6) , (34,7) , ибо N в E мы уж е знаем . Значени е буде т тем же , что и постоянно е для всего криволинейног о треугольник а ACD значение ft. Чтоб ы найти ftp,, найдём сперва , чему буде т равн о S в точк е P 1 ; по (33.12 ) / 2 х + 1 \ д е = - = U o - а *> ) Е (/P 1 - t E ) . причём в качеств е "исходной " скорост и а0 в точк е E можн о принять прост о значение аЕ, что ж е касаетс я то эт о буде т прост о координат а хЕ (зако н движени я представляетс я дл я всех точе к межд у линией AL1 и ось ю AX прямыми , параллельным и оси t; линии закон а движения разрыв а не терпят , а лиш ь изламываютс я при переход е чере з ALx). Зна я Spi и вспоминая, что & зависи т лиш ь от мы можем затем найти ftp, просты м интерполирование м (по и Ы ) . § 37 . Односторонни й взрыв . Плоский, цилиндрически й и сферически й взрыв бе з противодавления . Сферически й взрыв с противодавлением . Мы уж е упомянул и в § 2 этой главы, что если услови я (2.15) , (2.16 ) и (2.17 ) не выполнены , т о возникае т взрыв . §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 345 На пример е одноразмерны х движени й покажем , ка к эт о явлени е буде т протекать . Пуст ь в начальны й момен т (Y = O) по обе сторон ы от плоскост и х = 0 задан ы значени я гидродинамически х элемен тов vx, р, р; дл я простот ы предположим , чт о дл я х < 0 в началь ный момен т всюду : Wx = Const1 = W1; P = Const1 = P 1 ; P = Const= P1, и дл я х > 0: vx - const . = W2; р = const . = р 2 ; P = const . = р2, и эта шестёрк а чисел совершенн о произвольн а ( р и р лиш ь поло жительны) , т. е. их значени я не удовлетворяю т уравнения м (2.15) , (2.16 ) и (2.17 ) ни при како м M [например , пуст ь ^ 1 = U2 = O, а р 2 ф P 1 - тогд а (2.15 ) не выполняется] . Сраз у ж е от тог о мест а (х = 0), гд е бы л в начальны й момен т разрыв , побегу т тр и поверх ности разрыва , одна из них - крайня я "слева"-буде т распростра няться по сред е имевше й в начальны й момен т Vx = Vl, . . . , друга я - крайня я "справа"-буде т распространятьс я по среде , имевше й при / = O Vr = V2, .. . Наконец , средня я буде т поверхность ю стационар ного разрыв а и она , перемещаяс ь в пространстве , не буде т распро странятьс я по частицам , отделя я всегд а газ, обладавши й значениям и элементо в v2, р2, р2 от газа, имевшег о значени я элементо в D1, ри O1. В момен т времени , бесконечн о близки й к начальному , рассмотри м все четыр е области , таки м образо м образовавшиеся . Назовё м чере з wj, p'v pj значения гидродинамически х элементо в межд у крайне й "слева " и средне й поверхность ю разрыва ; пуст ь W2, р 2 , р2 - значе ния элементо в межд у средне й поверхность ю разрыв а и крайни м справ а разрывом , Тогда , вследстви е стационарност и средне й по верхност и разрыва , давлени е р' на это й поверхност и разрыв а не терпит , та к что при это м буде т 2 = P'-, "; Р ; = 8 ^ ( 3 7 . 1 ) (если •/. одинаков о в обеи х средах) . Кром е того , та к ка к 6 = 0, т о W2 W1; пуст ь эт о буде т w': Vr = V11 = v'2. Н. Е . Кочин показал , что могу т быт ь четыр е случая : 1) обе край ние поверхност и сут ь поверхност и сильног о разрыв а (разры в давле ( | ил); 2) обе крайни е поверхност и разрыв а сут ь поверхност и слабог о разрыв а (характеристики) ; 3) права я крайня я поверхност ь ест ь ха рактеристика , левая крайня я - сильны й разрыв ; 4) лева я крайня я поверхност ь - характеристика , права я крайня я - сильный разрыв . 346 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 В качеств е пример а рассмотри м подробнее , чт о произойдёт , если : причём V1 = V2= О, Pi > Р* буде м искат ь решени е задачи , ка к в случа е 4 . Крайня я справ а (рис . 145) поверхност ь разрыв а буде т переме щатьс я в сред е с величинам и р 2 , р2, A2 с постоянной , подлежаще ! определени ю скорость ю N (рис . 146, линия ОА)\ средня я поверх ност ь буде т перемещатьс я с постоянно й скорость ю v', такж е за ране е неизвестно й (линия ОВ)\ наконец , слабы й разры в буде т бежат ь r I-P 1 справ а налев о с заране е известно й скорость ю а , : у ^ p (линия ОС). Межд у это й последне й поверхность ю и поверхность ю стационарног о разрыв а (средней ) буде т осуществлятьс я непрерывны й перехо д ско рост и vK движени я жидкост и о т значени я 0 д о значени я v', при чём, та к ка к крайня я характери стик а прямолинейна , т о и вс е характеристики , выходящи е из точк и О, буду т прямолинейн ы (пучок прямых , обозначенны х пунктиром) . На м остаётс я тольк о связат ь семь ю соотношениям и сем ь постоянны х величин: Рис . 146. n, р', V, Р; Прежд е всего , та к как при переход е чере з поверхност ь слабог о раз рыв а величина & изменитьс я не может , можн о считать , что тогд а по (37.1 ) имеем: (37.2 ) (37.3 ) §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 347 Далее , так ка к характеристик а второг о семейства О С прямолинейна и S1 = Const., т о мы можем считать, что соотношени е 2 х - 1 а = const . выполняется не тольк о на каждой характеристике первог о семейства в угл у СОВ , но и во всём этом углу . В частности , для линии OB плоскост и (х , t): V + ^ а \ = ^ а х , (37.4 ) где / 2 р' о Р\ а = х j l T , а\ = * - . P i P i причём, по определени ю f>, /> ' = "?Р; х . (37.5 ) Наконец , мы имеем услови я на линии разрыв а (OA) . Здес ь = P+ = P2 P+ = Pr b+ = N v x + = N , vx_=v', P_=р2. Р_ = Р'> = N - vX-=1N - V, и по (34.2 ) -P2Nv'= р2~р\ (37.6 ) P2N=p'2(N-V'), (37.7 ) P2 ( х + 1 ) P 2 ( X - 1)Pa ( x f l ) p 2 - ( x - l ) p 2 (37.8 ) Уравнения (37.2) , (37.3 ) (37.8 ) и позволя т нам определит ь семь неизвестны х величин. Чтоб ы найти движени е внутр и угла СО В плоскост и (х , t), нам над о написат ь вмест о (33.4) , по аналогии с уравнение м (35.4) : L (1+1 у -О d t t ^ 2 v * a ' j дх -U и искат ь решени е этог о уравнения , зависяще е от отношени я x/t. Эт о буде т 2а, , 2 х vx - 7 + Т ' х + 1 t " Изменени е скорост и от О д о v' происходи т в £_COD. Именно , на линии О С имеем x/t = - O1, т . е. vx = 0, что ж е касаетс я наклон а линии OD, т о он найдётся из услови я х , х+ 1 , 348 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 после тог о как v' уж е известно. Внутр и DOB имеем постоянну ю скорост ь v', постоянное давлени е р' и постоянную плотност ь р'. Дл я тог о чтобы найти v', р' и р', заметим прежд е всего, что все эти величины в отрицательно й област и могут быт ь выражен ы чере з р2, P2 и V2 и чере з N. Действительно , по (34.5 ) имеем ^ т + г ^ ж Ь (37'9) тогд а по (37.6 ) и (37.9 ) имеем 2 / 7. - 1 а \ \ р' = ^ r P 2 ^ v 2 1 1 г г ж ) ' ( 3 7 Л ° ) % + а по (37.7 ) и (37.9 ) можем написать . + 1 / 2 в ? r ^ + ^ r ^ j • ^ ) Таки м образом , остаётс я тольк о найти N. Дл я тог о чтобы эт о сде лать, вспомним сперва , что v' и а'х связаны соотношение м (37.4) . С друго й стороны , х1 х1 а'* = %Ь[р' * = *&,/>' * • та к что мы можем написать по (37.4) : X D1 P ^ l T = ^ a 1 ^ = I v r J . Остаётс я тольк о вставит ь в эт о равенств о выражени я дл я v' и р' из (37.9 ) и (37.10) , и мы получим уравнени е дл я определени я неизвестной величины N: _ * - 1 / 4 . 27. /JV N 2 XI (37.12 ) а2 х + 1 а2 \ N2 v. +Wa2/V в , ] х + 1 Отметим ещ ё формулу , по которо й можно вычислить . Комбиниру я (37.10 ) и (37.11) , получим 2 д 2 V ^ 2 * ~ l V X + 1 A r 2 J V 7. + 1 а\ X + 1 Поверхност ь сильног о разрыв а бежи т со скорость ю N, оставля я за собой област ь со значениями потенциально й температур ы постоянной, но отличной от O2Позад и поверхност и сильног о разрыв а движетс я со скорость ю v' поверхност ь стационарног о разрыва , после прохождени я которо й i> вновь меняется скачком от значения &2 до §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 34 9 значения 9, . Простот а задачи , тольк о чт о нами рассмотренной , происте кае т из того , чт о сред у мы считал и безграничной . Рассмотри м ещ ё случай , когд а в начальны й момен т буде т р = pv P = P1, v - 0 не дл я реей бесконечно й полупрямо й ( х < 0), а тольк о на отрезке : На всей остально й прямо й пуст ь буде т вначал е р причём , ка к и прежде , рх > р2. ••Р ь Р : 0 . Возникаю т дв е поверхност и сильног о разрыва , бегущи е одн а вправо , друга я влев о (рис . 147 , линии O1A, OiA ; сзад и них дви жутс я поверхност и стационарног о разрыв а ( O 1 B , о[в ). Характери стик и 2-г о семейств а (1-г о се мейства), выходящи е из O 1 (O1'), - эт о пучо к прямых . Н а характе ристика х O 1 C и OJ C (та к же , ка к и во всём треугольник е OiCO 1 ) , всюд у буде т а = av V = 0 . Внутр и криволинейног о треугольник а CBOv сторонам и которог о буду т криволинейна я характеристик а 1-г о семейств а CB , прямолиней ная характеристик а 2-г о семей ства O 1 C и зако н движени я ста ционарног о разрыв а (прямая ) O1B, движени е буде т происходит ь в точност и по законам , описанны м выш е дл я случа я бесконечно й среды . Аналогично е можн о сказат ь пр о треугольни к CB Ov Зна я движени е на криволинейны х отрезка х CB, CB' характе ристик обои х семейств , выходящи х из С , мы може м тепер ь найти Движение в криволинейно м четырёхугольник е CBEB'. Движени е на CB и CB' може т быт ь точн о найден о (с помощь ю форму л этог о параграфа) . В частности , легк о получается , что : на дуг е CB характеристик и 1-г о семейств а имее м 1 t х + 1 ' 2 Т ^ Г ь д , ) -/.- 1 const. , а на дуг е CB1 характеристик и 2-г о семейств а буде т t причём >. и (1 определен ы по (35.7) . 350 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Предположи м далее , что х = 1 , 4 . Тогд а мы може м использоват ь формул ы (35.12) , чтоб ы найти A(X) и M (р.) по дву м условиям , за писанным нами на дуга х характеристи к CB, CB'. Тем самым мы определи м движени е внутр и всег о криволинейног о четырехуголь ника CBEB', а значит , в частности , и на характеристика х BE и В'Е. Тепер ь мы должн ы перейт и к определени ю движени я в четырех угольник е ABEF (A'B'EF'). Здес ь нам придётс я сопрягат ь решени я вдол ь заране е неизвестно й линии BF ( В' F ') , определяюще й зако н движени я стационарног о разрыва . Та к как в каждо й из областе й BAE (В'А'Е), BFA (B'F'A') величин ы ft ещ ё остаютс я постоянными , т о мы може м вновь воспользоватьс я формулам и тип а (35.12 ) дл я каждо й из эти х трехугольны х областей . Начина я о т точе к А (А') , линия , представляюща я зако н движени я ударно й волны , начинае т искри вляться ; ftg становитс я переменны м и точны х решений , вообщ е говоря , не будет . Решени е можн о вест и дальш е аналогичн о тому , ка к эт о описан о в § 36 . Есл и устремит ь L к нулю , мы придё м к задач е о плоско м взрыве . Замечательно е точно е решени е это й задач и (с меняющейс я энтропией ) удаётс я получить , есл и краевы е услови я (37.9) , (37.10) , (37. 1 1) взят ь в приближённом , применительн о к "сильном у взрыву" , виде Именно , при "сильно м взрыве " можн о пренебреч ь давление м пере д ударно й волной по сравнени ю с давление м за ударно й волной . Эт о исследовани е взрыв а "бе з противодавления" . Пренебрежени е эт о экви валентн о пренебрежени ю величино й "2 /Л/ по сравнени ю с единицей . Пр и это м пренебрежени и (37.9) , (37.10) , (37.11 ) приму т ви д " ' " L p i V , (37.14 ) р' т т т P^2- ( 3 7 Л 5 ) (37.16 ) Конечно , формул ы (37.14)-(37.16 ) годятс я лиш ь дл я начально й ста ди и возникновени я взрыва ; на больши х расстояния х от начальног о положени я давлени я за и пере д ударно й волно й выравниваются ; кром е того , формул а (37.16 ) не очень точна , так ка к она получен а путё м пренебрежени я в (32.11 ) членом 7 ^ = ^ ( е с л и " ' = M ) по сравнени ю с единицей . Однак о дл я первы х моменто в посл е начала взрыв а можн о говорит ь о большо й точност и выполнени я услови я (37.14)-(37.16) . Аналитиче ' ) Ср . аналогичны е приближени я в стационарно м случае , которы е был и нами приняты в § 24 при рассмотрении диссоциирующегося газа. §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 351 ское решени е задачи о взрыв е бе з противодавлени я был о дан о впер вые Л . И . Седовы м (1946 ) ! ) . Изложи м решени е Седова . Буде м искат ь автомодельно е решени е уравнени й (33.2) , (33.3) , (33.4) : ( ^ J X 0()0 . a = ^ A(I), V x = J f V Q , ) , где X - безразмерны й парамет р к=Ь (37.17 ) (37.18 ) (37.19 ) так что b - постоянная с размерность ю L t~ . Мы увидим впослед ствии, ка к эта постоянная выражаетс я чере з начальную энерги ю E0 взрыва и чере з плотност ь р2. Задач а сводится к решени ю системы обыкновенны х дифферен циальных уравнений . Именно , уравнени е (33.2 ) приведё т к равенств у 3^-1-)1-4^1 ) 0 = 0 - (37.20 ) Уравнение (33.3 ) приведё т к соотношени ю 3 , . ( , 4 2) X. M j . " J * dl ' 2 """ dl 1 2 = (37.21 ) Наконец , уравнени е (33.4 ) даё т нам равенств о тIA v . l dl х-1 0 dl з ( к J ) х ( 1 / 1 ) = 0 (37.22 ) или, если исключить 6 с помощь ю (37.20) : 6 L а ЛА 2 \ , dV 2 7 - 1 =V(V-I). 1 Л dl 1 + ( X I ) I v (37.23 ) Нам надо решит ь систем у обыкновенны х дифференциальны х уравне ний (37.21 ) - (37.23 ) содержащу ю две искомые функци и А и V. По отношению к dV/d'K и dAjdX уравнени я наши представляю т систему дву х линейны х алгебраически х уравнений . Реша я эту систему, ' ) Постановк а задач и и численно е решени е полученно й систем ы уравне нии независим о о т Седов а дан о Тейлоро м (1941 , 1947). 352 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 !•яйдё м 3). ^ f = - f ^ . (37.24 ) (37.25 ) Есл и принять в качеств е независимо й переменно й вмест о X функ цию V, мы получи м без труд а уравнени е , л л ( Ч 1 " о 1 ) ^ V i V V ( V 4 ) ( ^ 3/4 1 ) * (37.26 ) не содержаще е X. Посл е тог о ка к А в функция х о т V буде т из этог о уравнени я определено , останетс я выполнит ь квадратур у в урав нении (37.24) , чтоб ы найти X в функция х от V, а затем найти 9 из уравнени я (37.20) , которо е можн о записат ь в виде : { 2 \ 2 d i n e " 2 V I Г З ) * ( 3 7 > 2 7 ) IiV 3 Наш а систем а содержи т тр и дифференцирования . Тр и краевы х усло вия мы получим , привлека я равенств а (37.14) , (37.15) , (37.16) , кото ры е должн ы выполнятьс я на поверхност и сильног о разрыва . Равен ства эти согласуютс я с наши м решение м (37.17) , (37.18) , если считать , что поверхност ь разрыв а перемещаетс я так , что на ней всегда X==COrist. Н е наруша я общности , мы може м положит ь на поверх ности разрыв а ( 3 ? 2 g ) (пр и это м парамет р b остаётс я подлежащи м определению) . Поверх ност ь разрыв а перемещается , таки м образом , по закон у x = x*(t), гд е _ 1 А (37.29 ) x*(t) = b 'iCi \втора я поверхност ь разрыв а движетс я п о закон у х Пр и этом N найдётс я в виде ( л / = ^ ) 2 - - о * * N = H з = . £ * (37.30 ) О о t §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 353 Посмотри м теперь , ка к можн о согласоват ь наш е решени е с усло виями (37.14)-(37.16 ) пр и X = I (на поверхност и разрыва) . Cono 2 2 х * ставлени е с (37.14 ) нам даё т x*jtV(\) = - р у у - I значит , нам достаточн о положит ь ^ 0 ) = 3 ( ^ 1 ) ( 3 7 3 1 ) Комбиниру я (37.15 ) и (37.16) , найдё м зате м U K = а 2 \ ( Y U 2 ( I ) = 2/. (х - 1) 4 / х и у 9 А 2 W = I ^ T T F ( 3 7 ' 3 2 ) Наконец , из равенств а 9= /7 1 ^ 1 получи м 1 XI 0 ( 1 H W W f ^ P 2 " * * ( 3 7 ' 3 3 ) Таки м образом , мы должн ы лиш ь пр и отыскани и наши х решени й удовлетворит ь краевы м условия м (37.31)-(37.33 ) и сопряжени е буде т достигнуто . Остаётс я ещ ё найт и значени е параметр а Ь. Потребуем , чтоб ы полна я (кинетическа я и внутренняя ) энерги я оставалас ь постоянной , равно й начально й энерги и E0, выделяющейс я пр и взрыве . Эт о зна чит, что •г* * * Г ?vi с cvoTR 2 J dx + 2 / с _ с dx = E0 = const . (37.34 ) р о и " 1 2 Та к ка к р = а 1 ft "-1, T= L а 2 , то , использу я (37.17) , (37.18 ) и переход я к независимо й переменно й X по (37.19) , получи м 1 I -O O 2 х OO 2 / ' * ^ ! ( I p у V M ^ r r l . А + / ^ A ^ X L л L i 1 (37.35 ) Равенств о (37.35 ) позволи т определит ь Ъ п о заданном у Яд, посл е тог о ка к V, А, в известны . Заметим , чт о в т о врем я ка к V и А не завися т ни о т каки х параметро в [ка к эт о следуе т из уравнени й (37.21) , (37.26 ) и и х к раеаы х услови й (37.31) , (37.32)] , функци я б зависи т о т р2. П о (37.33) , е с л " принят ь в расчё т уравнени е (37.27) , функци я 6 буде т пропор 2 3 Теоретическа я гидромеханика , ч, I I 354 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ. 1 циональн а величине р2 ж . Поэтом у интеграл ы из (37.35 ) буду т пропорциональн ы перво й степен и р2, и мы може м написать й =K-I s . (37.36 ) где а - число, зависяще е тольк о о т /.. Остаетс я тольк о решит ь уравнени е (37.26) . Особым и точкам и уравнени я (37.26 ) в плоскост и (V, Л) буду т точк и с координатами : (0, 0), (2 I3 , 0), (1, 0), (2/Зх , ос), (2/3> со). П о Седов у надо выбрат ь ту ветв ь решения , котора я проходи т чере з точк у (2/3/ , со), как единственную , с помощь ю которо й можн о со пряч ь движени е и поко й (с переходо м чере з подвижну ю поверхност ь разрыва) . Седо в нашё л замечательно е решени е уравнени й (37.26 ) -(37.28) , отвечающе е это й ветв и и удовлетворяюще е краевы м условия м (37.31)-(37.33) . Он о имеет вид: Л ' = , (37.37 , ^ = ^ ( т >)Г й И 1 - ^J fe l • (37.38 ) ^ ^ • • е г ^ е к м Р * (5-/.-1)(1--/.) х X [ 3 ( 1 4 1 ^ ^ " ( l ^ ) ' 2 . (37.39 ) Подставля я (37.37)-(37.39 ) в формул у (37.35) , получим при •/. = 1,4 дл я а величину порядк а 0,6 . Уравнени я (37.37)-(37.39 ) вместе с формулам и (37.18) , (37.19) , (37.36 ) полность ю решаю т задачу о плоско м взрыв е бе з противодавления . Аналогичны м образо м Седо в построи л решени е дл я цилиндриче ског о и сферическог о взрывов . Покажем , ка к эти решени я строятся . В том случае , когд а движени е зависи т лиш ь о т расстояни я г от оси z цилиндрическо й системы координа т и о т времени , услови я адиабатичности , уравнени е непрерывност и и уравнени е движени я при мут вид : <98 , <99 " -dt+Vr-dF = 2 dt ' dt 1 ' дг 1 г diV Ovl . 2 да _ а2 <91п& dt дг + -/.-1 а dr ~ v. - 1 дг ' ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 355 В случа е же , когд а движени е зависи т лиш ь от времен и и от рас стояния R о т центр а сферическо й систем ы координат , мы получим : дЬ_ 'dt дЬ j ••О, dR dvp da да R 2av + Ж + ^ ~dR R dv R d V R -4 9 da a 2 г? Sn & dt 1 uR dR 1 dR ~ x - 1 dR Оба эти случа я можн о объединит ь с плоски м случае м и уравнени е адиабатичност и записыват ь всегда в виде б " , й " Ht + " dx О , (37.40 ) [где и - скорост ь (vK, Vr или Vr), а л; - координат а (х, г или R)], а уравнени е неразрывност и - в виде : djuu , 2 j(даda ,. d a \ \ , аи x О (37.41 ) (v = 1 дл я плоског о случая , v = 2 дл я цилиндрическо й и v -3 дл я сферическо й симметрии) ; уравнени е движени я запишетс я в виде: du (37.42 ) S t Движени е ищем всегд а в форме : -К и •• t V ( l ) , 2 т A ( I ) , (37.43 ) " = ( * ) G(X), X = ^ J y Решени я это й форм ы действительн о удовлетворяю т систем е (37.40) (37.42) ; аналого м уравнени ю (37.24 ) буде т тепер ь уравнени е Л ! on ' d ^ dk V ( V I ) V x ( v + 2 ) v] A2 (37.44 ) Вместо уравнени я (37.26 ) тепер ь буде т иметь мест о соотношение : d\ 23* (37.45 ) 35 6 1-ЁбРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. 1 Вмест о уравнени я (37.27 ) получи м rfine ^ к - 1 dV - v. i t / 2 \ 2 ( V ^ ) " . . V\ A1 + 2) M (37.46 ) Замети м теперь , чт о в формул е (37.9) , дающе й услови е на поверх ност и разрыва , v' имее т смыс л нормально й к поверхност и разрыв а скорост и (см . § 2 это й главы) . Поэтом у пр и отсутстви и противо давлени я мы опят ь може м применит ь краевы е услови я (37.14)-(37.16) , причё м по д v' може м разумет ь в о все х случая х величин у и посл е скачка . Внов ь считаем , чт о на скачк е X = I , та к чт о зако н движе ния x*(t) поверхност и скачк а буде т имет ь вид : I 2 х* (f) = b"+4v+2. Тогд а и мы получи м 1 X i N = - - - , v + 2 t ' I ( X I ) X ( x + l ) ( v + 2 ) ; i 4 2 W ( х + 1 ) ^ + 2 ) ' 1 1 ( 1 ) ~ [ ( ч + 2 ) 2 ( х + 1 ) ] Х + 1 р 2 х1 (37.47 ) Парамет р Ъ определяетс я внов ь и з услови я сохранени я полно й энер гии (формул а тип а (37.34)) , которо е в цилиндрическо м случа е при ведё т к соотношени ю X* X* f 2 и : x d x + f ~ j 2 k x 2 dx = E 0 = const. , (37.48 ) о о а в сферическо м случа е - JT* X* f ^UTCX2dx + j ^ t ATiX2 dx = E 0 = const . (37.49 ) о о Точно е решени е (37.45) , удовлетворяюще е (37.47) , имее т ви д 1/2 ( - A 2 = = Z l = l 1 _ A ^ ± 2 )_t ( 3 7 > 5 0 ) V -ТГ x ( v + 2 ) § 37) ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 357 Внося A2 из (37.50 ) в уравнение (37.44) , легко приведём последнее к виду d l i U _ 2 ( х 1 ) ( у + 2 ) 1 , T V V ч + 2 ( * 1 ) у о Г х( у + 2 ) J X,* (у" + 4) - X (Зуг - 8У 4 4) 4 4У ( У - 2 ) 2 [v -f 2 ( х 1) ] Наконец , комбиниру я (37.46 ) и (37.50) , буде м иметь (37.51 ) rflne 2 2(х-1)4-т а 1 , * 1 , * dV V v4-2(x- 1 ) 2 2 + (37.52 ) Элементарны е квадратур ы завершаю т решени е задачи . Постоянна я Ь, как и прежде , може т быт ь представлен а в виде Ь = C-EJp2, причём а S i 0, 8 дл я цилиндрическог о случа я и а я ь 1,17 5 дл я случая сфе рического . Особенность ю всех приведённы х здес ь точны х решений является то, что они даю т в центр е (д: = 0) значения р = 0, Г = сю (р ф 0), что следуе т непосредственн о из вида соответствующи х форму л (особа я точк а V = -;-г-ог> Л = оо |. \ *• С* 42) J Решени е Седов а хорош о согласуетс я с экспериментом . В случае , когда противодавление м нельзя пренебреч ь и приходитс я пользо ваться точными формулам и (37.9 ) - (37.11) , автомодельног о реше ния больш е не существует . Случа й это т можн о рассчитат ь численно, построи в соответствующи е конечно-разностны е уравнени я и выбра в расчётную схему . В качеств е пример а приведё м пут ь решени я полной задачи дл я случая сферическо й симметрии, предложенны й в работ е Д . Е . Охоцимского , И . Л . Кондрашевой , 3 . П . Власово й и Р . К. Казаковой 1 ) . В качеств е независимы х переменны х введём лагранжев ы коорди наты: х - врем я и ?-расстояни е от начальной точк и взрыва . Уравнение (37.40 ) приме т тепер ь просто й вид = 0 или d = (37.53 ) ' ) О х о ц и м с к и й Д. E., К о н д р а ш е в а И. Л., Власов а 3. П., Казаков а Р. К., Расчёт точечного взрыва с учётом противодавления, 'РУДЫ Матем. нн-та им. В. А. Стеклова, 1957. 358 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Вид функци и Э (c) надлежи т определить . Вмест о уравнени я (37.41 ) имеем уравнени е неразрывност и в лаграижевы х координатах : дх i2 р2 d i X 2 р где, ка к и прежде , р 2 - начальна я плотност ь среды , предполагаема я постоянной . Вырази в р через а и г>, получим £ З Д Р (^r r - <3""> Пр и это м дх ^ p = U. (37.55 ) Наконец , уравнени е (37.42 ) може т быт ь приведен о к виду S + r h M ' ^ W * ) * (i)* =" • * * В качеств е искомы х функци й фигурирую т и (£, т), а (Si, т), х(%, т), 0(5) . Движени е должн о сопрягатьс я с покое м путё м переход а чере з поверхност ь разрыва ; при это м должн ы выполнятьс я услови я (37.9) , (37.10) , (37.11) . С помощь ю и, а, Ь мы представи м эт и услови я в виде : и 2 N ( al \ -аг = -хT+1I а2 \ I XNT2 FJ v(37.57 ') / &\я 2% / х - [ \ % { N 2 х - 1 1 / 2 а\ = х + 1 \ * + 1 / 2 х / \ + х 1 A P / ' ( 3 7 ' Выбере м тепер ь начальны е данные . Мы примем , чт о дл я малог о промежутк а времен и от начала взрыв а д о некоторог о момент а т0 процес с можн о считат ь автомодельным , т . е. можн о пренебреч ь противодавлением . Решени е дл я таког о движени я нами уж е изложено . Тогд а нам предстои т решит ь следующу ю задачу . Найт и гидродина мически е элемент ы в части плоскост и (с, х), ограниченно й неизвестной , подлежаще й определению , линие й В С (см. рис . 148), изображающе й зако н движени я ударно й волн ы (на это й линии должн ы удовлетво рятьс я услови я (37.57 ) - (37.59)) , отрезко м прямо й AB (х = X0) (здес ь все искомы е функци и нам известны ) и осью симметри и с = 0 (здес ь и = 0 = х). Прежд е чем приступит ь к изложени ю схем ы §37)ОДНОСТОРОННИЙВЗРЫВ 359 решени я задачи , рассмотри м поведени е искомы х функци й на "началь ном" отрезк е AB . Дл я этог о обратимс я к формула м (37.50) , (37.51) , (37.52 ) пр и v = 3 . Пр и X = O (т . е . S = O) автомолельны е решени я -п я а и 0 обладаю т особенностью . Последня я отвечае т значени ю " 2 т . е. при V: 3 V = части V и /. буду т связан ы соотно шением 5г. ' сил у (37.51 ) главны е С О ( V м + 2("-1 ) _ 2х + 1 2 = l (х-1)(, + 2) 5("-" 2 х + 1 "ЛИ, по (37.43) . О ( v - ^ ) = * " 1 (при закреплённо м т). Н о тогда , по (37.50) , имее м О (Л 2 ) = / 2 1 ^ 1 = O ( К - = х '1 и, п о 5х2 1 5х2 I Рис. 148. (37.52) , 0 ( 0 ) = о ( у - -J r ) 2 х + | х = х '/ .-]I "T, Обращаяс ь тепер ь к (37.54 ) и (37.55) , м ы може м определит ь характе р зависимост и 9 от S па отрезк е AB . Именно , привлека я (37.42) , имее м сперв а 5х~ 2 з 2х + 1 3 O ( O ) = X x C 1 H = X '/.-1 . О (а2) = х1 х 1 Таки м образом , п о (37.54) , I з дх dz У.• XI 2 ^ + 1 CS 2 X где С - некотора я постоянная . Отсюд а получи м XI х = const . S * . Определив , таки м образом , асимптотическу ю зависимост ь х о т S Для точек , прилегающи х к центр у (отрезо к AB) , мы найдём , далее , 'т о вблиз и центр а i А х1 г> = COnst. s \ a 2 = COIist. S \ и - const . S . (37.60 ) Подготови м тепер ь наш у систем у уравнени й дл я расчёта . Замети м сперва , чт о уравнени е (37.55) , есл и ег о продифферен цироват ь по S и привлеч ь (37.54) , приведё т к соотношению : X 2 2 да ди х* ( .-I ( а \ у.-х 2аи , , 7 Г 1 . Т ^ Т T-: + А Т Г I T J U V + Т Г ^ 0 , ^ 3 7 ' 6 1 ) 36 0 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 Буде м тепер ь искат ь линейны е комбинаци и 9 и 1 F о т наши х функ ций а и и п о формулам : '-VTfeM + *) Введе м ещ ё безразмерну ю координат у = £/3/4 и безразмерно е врем я = причё м приме м S ^ = чт о ж е д о выбор а S2, т о е ё м ы определи м из рассмотрени я полны х энерги й - формул ы (37.49) . Можн о положит ь A _ А р2Ц=*Е, т . е . I2 = E3P2 " , где Е = аЕ0, а а - параметр , введённы й выш е (а = 1,17 5 пр и х = 1,4) . Складыва я уравнени я (37.56 ) и (37.61) , получи м посл е просты х преобразовани й гд е /2 м = ± i Л = ^ i i , (37.65 ) у = м ь Щ < £ _ ( 3 7 6 6 ) Вычита я из (37.61 ) уравнени е (37.56) , получи м аналогичны м образо м Наконец , уравнени е (37.54 ) приме т ви д Тепер ь искомым и функциям и буду т 9 , W, ft, х и дл я и х определе ни я служа т четыр е уравнения : (37.63) , (37.67) , (37.68 ) и (37.53) . Краевы е услови я (37.53) , (37.57 ) запишутс я тепер ь в виде : V-f-TTT^-TH/f . <37-69> [ • ^ " Г ^ П т 5 = 1 ) - <3"0) Треть е условие , (37.59) , остаетс я бе з изменения . §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 361 Опише м схем у численног о интегрирования , составленну ю упо мянутым и выш е авторам и применительн о к счёт у на электронно й вычислительно й машине . Предварительн о сделае м ещ ё одн о замечание . Определя я функци и ср и W1 м ы имел и дел о с безразмерным и функ циями а/аь uja2, с а м и функци и ср, 1* тож е безразмерны . В качеств е и х' входя т безразмерны е величины . Поэтом у вс е наши уравнени я и краевы е услови я буду т носит ь универсальны й характер . Приступа я к численном у интегрированию , рассмотри м плоскост ь (?'> x O (рис . 149) . Раздели м отрезо к на равны е интервал ы и про ведё м чере з точк и делени я прямы е V = const . Ша г п о времен и буде м выбират ь так , чтоб ы был о Дт = (37.71 ) гд е N -скорост ь переме щени я ударно й волны . Таки м образом , ша г п о времен и буде т меняться , в т о врем я ка к ша г п о остаётс я одни м и те м же . Перенумеруе м горизонталь ны е лини и т ' = Const., на чиная с прямо й АВ\ пере нумеруе м вертикальны е ли Рис . 149. нии = Const. , начина я с лини и $' = 0 . Буде м обозначат ь значе ния какой-т о функции , наприме р ср, в узла х наше й сетк и путё м постановк и номеро в прямых , проходящи х чере з эт у точку . Так , означает , чт о ср берётс я на пересечени и I-Vi вертикально й лини и и п-й горизонтальной . Предполагаем , чт о на м известн ы значени я все х функци й (в то м числе и Nja^) вплот ь д о п-й горизонтально й линии . Ка к найт и значени я наши х величи н на я-{-1й горизонтально й линии ? Замени м сперв а в уравнения х (37.68) , (37.67 ) частны е производ ные конечным и разностям и п о формулам : / *г У 4 1 ( + Т Г 1 1 M 7 2 , U 7 V ^ = Д П ~ 2 2 J ' ( 6 7 J 2 ) (37.73 ) Аналогичн о запише м dW/dl', dWjdx', Производны е эт и записаны , ка к видно , в центр е соответствующе й клетки . Тогд а мы получи м 362 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 следующи е разностны е уравнения : Дх 1 • I A ' + 2 I /i г ^ 4 2 ( A + V ) J = O 1 (37.74 ) < + 2 Дх ,. 1 Д; г + 2 1 а -'-- + 2( A + V')_ (37.75 ) где V = V ) (причём, в сил у (37.53) , дЬ/д? зависи т лиш ь о т номер а I, н о не зависи т от п) . Уравнени е (37.75 ) реши м относительн о 1I1Y11; получим ^l + 1 = A X i t l + B h (37.76 ) где 1 \ 1 / 1 ' " I , AS \ Ai Bi = WUl-AiW1I-2 Буде м считать пок а извес значени е величины Дт (Д | - стандартно) . Тогд а Л г , B i буду т известны . Пуст ь последня я "справа " точк а га-й горизонтально й линии (т. е. точка , отвечающа я поверхност и разрыва ) имеет номе р "й" . Ясно, что Ai, Bi буду т иметь смысл лиш ь д о тех пор , пока г -jl Ik. Это ж е относитс я и к формул е (37.76) . Применя я формул у (37.76 ) сперва дл я i-j \ = k , потом дл я i-\-\=k - 1 и т . д. , получим или WnkZ1l = ,ЧГГ1 + Bn-U Wtl = Ak_2Wnkt\ + В*_2. . . . WnkIl = Ак_2 (A^1Wt1 + B*_i)+ 2 = = Ak^2Atl-XWnk А + A h I B k ^ 2 и т. д . §37)ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫВ 363 T JKH M образом , путё м рекуррентны х соотношени й мы може м вы разит ь IT " + 1 VF" + 1 VD"1+1 Ч-'АЬ ^O через посредств о 1 (неизвестна я величина) . Именно , O1 = A 1 U m , (37.79 ) bi = W'Ui - Ai (W'l - bi + l ) c-t, (37.80 ) 1 / I 4 1 Я + / И + - д с \ С 1 = 2 Д ? ( Л + J + ; (37-81 ) av bj, Ci все последовательн о определяются , причё м ак + 1 = 1, bk + l = Q. Та к ка к по определени ю (37.77 ) величина Ai всегд а буде т меньш е единицы , т о коэффициент ы at буду т по (37.80 ) убыват ь к центр у (к осп т' ) и при достаточн о большо м числе расчётны х точе к мы можем считат ь S 0 -XO . Н о тогд а в центр е буде т причём , так ка к па оси = 0) имеем и = 0, т о по (37.62 ) мы може м считать ^ 1 = b O (37-82> Н о тепер ь мы може м обратитьс я к уравнени ю (37.74 ) дл я определе ния значений ср?+1 во все х остальны х точка х соответствующе й гори зонтали . Получи м сперв а = <Р? ~ \ (<р"+1 ср?+1) C r (37.83 ) И з этог о равенств а бе з труд а получи м значени я ср?+1 в о всех точка х п -(1й горизонтали , за исключение м точек , лежащи х на линии скачка (т . е . за исключение м с И т а к , мы може м найти пок а все значения cpn + I , ¥ я + 1, за исключение м tp^+J. Дл я тог о чтобы найти эт и последни е величины , запише м услови е на ударно й волне . Пр и это м мы представи м производны е в виде односторонни х конечны х разностей : \di') k - 2Д5 [Vft + i V* -I-V a w v * ~ д г Записыва я в развёрнуто м виде разностны е уравнени я (37.63 ) и (37.67 ) Н а поверхност и разрыва , заметим , что тепер ь производну ю дЬ[д\' 364 1-ЁбРЕТИЧЕСКИ ЕО СНОВ ЫГАЗОВО Й ДИНАМИК И ( ГЛ . 1 нельз я считат ь известной , та к ка к значени е е ё в гранично й точк е ге 1 й горизонтал и нам неизвестно . М ы должн ы буде м написат ь dbjd%' (в коэффициента х уравнения ) в виде : ( 1 3/4 1 I * i * l i \ _ h + i * k i U 2 <55' Jk ~ 2&2 \ Д5 -1- Д; J 2AS ("2 + 1 = Тепер ь разностны е уравнени я записываютс я дл я строк и n j T l I i и столбц а k . Уравнени е (37.63 ) приме т ви д H W + 1 ? * " ) + Ш M ^ П + 1 + " П + 0 + Вмест о (37.67 ) имеем л-V ^r 1 i + ^ 1 ) + + А ^ + ^ (37.85 ) В уравнени и (37.84 ) неизвестным и являютс я ср£+| и в уравне нии (37.85)- ^ + 1 . и С | Ю в а b k+ v Присоедини м к нашим уравнения м тр и услови я на ударно й волн е - услови я (37.59) , (37.69) , (37.70) , записанны е дл я л-1-г о ряда ий-) 1-г о столбца , и мы получи м пять уравнени й дл я определе ния пяти неизвестны х "я+ 1 ITfI+ 1 ITfn + 1 Cl KTn + 1 Уравнени я эт и следуе т решат ь методо м итераций . Именно , зада дим в качеств е первы х приближённы х значени й N значения , отве чающи е предыдуще й горизонтально й строчке , т . е . Nk Тогд а (37.59 ) / а \ " + 1 позволи т найти ) ; подстави в эт о значени е в уравнени е (37.84) , V 5 Wf t + ! найдём cp^+J. Зна я ((r), N, найдё м с помощь ю (37.69 ) значе ние ^Fftti. посл е чего из уравнени я (37.70 ) получи м ново е значе ние Ns + {. Эт о ново е значени е N сравни м с Nk-, если эт и величин ы не совпаду т с желаемо й точностью , т о в качеств е следующег о при ближени я возьмё м средне е арифметическо е из них, снов а проделае м выкладки , пока не получим с заданно й точность ю все четыр е вели чины N, Ь, tp, W на ударно й волне . Тепер ь из уравнени я (37.85 ) найдём W^ + 1 и тем самы м заверши м задач у определени я функци й ср, ЧГ, 8 § 37) ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 36 5 Т а б л и ц а III Радиус ударной волны, скорость ударной волны, давление на фронте в зависимости от времени 1 5 1 1 X : г .з 3 P = P2 0,00037119261 0,04244628 9 45,740446 1743,3237 1474,9341 1258,1257 0,00042703441 0,04488250 0 42,07280 5 0,00048762427 0,04732779 4 38,858086 0,0005995071 8 0,051398404 34,337009 982,35847 0,0007254937 0 0,05547374 9 30,632996 781,8170 3 0,00086611344 0,059544816 27,55422 5 632,52942 0,001021861 3 0,06362156 8 24,964868 519,20386 0,001193211 9 0,067691539 22,759084 431,4799 3 0,001380645 7 0,071766942 20,861669 362,50770 0,001584603 6 0,075838074 19,217523 307,59432 0,001805517 0 0,079912387 17,780127 263,27742 0,0021440497 0,08561090 3 16,051502 214,54226 0,002688847 8 0,093763569 14,030664 163,88294 0,003308376 6 0,10190901 12,407207 128,11566 0,004005324 6 0,11006138 11,082088 102,17722 0,0047821258 ОД 1820625 9,9845968 82,910144 0,0056408701 0,12635901 9,0655001 68,319410 0,006583508 2 0,13450470 8,2843368 57,025197 0,007611987 9 0,1426566 5 7,6144750 48,150192 0,008727891 8 0,1508023 0 7,0358149 41,085577 0,009932694 8 0,1589534 3 6,531690 5 35,385817 0,01177085 7 0,1703558 8 5,9289607 29,127146 0,01470785 5 0,18666876 5,2296777 22,624607 0,018014821 0,2029682 6 4,673952 5 18,038194 0,02169310 3 0,2192841 4 4,2254576 14,712077 0,025740906 0,23558771 3,8581134 12,237532 0,03015416 5 0,2519075 5 3,5536611 10,357089 0,03492642 2 0,26821567 3,2986924 8,9011431 0,04004935 3 0,2845335 2 3,0831432 7,7548102 0,045513409 0,30084347 2,8991640 6,8376267 0,051307927 0,3171649 2 2,7411281 6,094819 5 0,05995346 0 0,3399996 0 2,5546710 5,271953 5 0,07332108 5 0,37266609 2,3430052 4,408061 1 0,08779273 8 0,40539768 2,178359 4 3,787708 0 0,1032676 3 0,43807059 2,0480066 3,328609 3 0,1196494 3 0,47077027 1,9430553 2,979553 3 0,15478498 0,53615332 1,7863459 2,492526 3 0,17338380 0,56881836 1,7269304 2,3185739 0,19257978 0,60154095 1,6766648 2,1760040 0,24075188 0,68006497 1,5833527 1,9225047 0,28279541 0,74537449 1,5262107 1,7744325 0,32624714 0,81084344 1,4817491 1,6629836 0,37087547 0,87613419 1,4463630 1,5766384 0,41649606 0,94159634 1,4176835 1,5081888 0,46296120 0,0068640 1,3940443 1,4527996 366 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Продолжение 1 5 . _ 3 6 t : Е'!г р^ 1 г.3 3 х-. E р, N V ^ т Рг P = Pi 0,5483590 8 1,137578 5 1,3607171 1,3692012 0,6551771 8 1,268283 5 1,330964 9 1,309556 4 0,7242629 7 1,359650 0 1,316313 4 1,2772341 0,8241575 3 1,490218 9 1,299427 5 1,240426 6 0,9252126 0 1,620780 1 1,286038 7 1,211579 6 1,027217 4 1,751343 6 1,275197 1 1,188439 7 1,130011 5 1,881913 5 1,266261 9 1,169515 9 1,337495 9 2,143075 4 1,252451 0 1,140228 0 1,442009 2 2,273658 3 1,247021 5 1,129218 8 1,694475 9 2,587095 3 1,236721 9 1,107900 8 1,906274 7 2,848376 4 1,230232 7 1,094560 4 2,119071 4 3,109635 2 1,225054 5 1,083965 4 2,546959 7 3,632003 6 1,217341 4 1,068266 8 2,761803 4 3,893174 2 1,214403 1 1,062312 5 3,192862 0 4,415560 4 1,209747 8 1,052908 2 3,408955 2 4,676753 3 1,207876 2 1,049137 3 4,145822 2 5,565072 7 1,203034 7 1,039410 5 4,580474 8 6,087601 3 1,200941 1 1,035216 2 5,451715 9 7,132583 4 1,197794 3 1,028926 0 5,888097 5 7,655060 5 1,196585 3 1,026513 6 6,762025 2 8,699613 9 1,194657 6 1,022672 4 7,812340 2 9,953490 5 1,192942 5 1,019259 8 9,565635 7 12,04374 1 1,190955 4 1,015312 4 11,32132 5 14,13364 0 1,189610 8 1,012644 9 13,07868 8 16,22340 1 1,188645 4 1,010731 5 14,83728 3 18,31282 1 1,187920 9 1,009296 8 17,82886 5 21,86584 5 1,187162 6 1,007795 8 дл я все й горизонтально й п -f 1й полосы . Остаётс я ещ ё найт и эйле ров у координат у х ' . Дл я этог о воспользуемс я уравнение м (37.68) , в сил у которог о о Расчё т этог о интеграл а проводитс я п о формул е трапеций ; пр и вы числени и в перво м интервал е (примыкающе м к точк е = 0 ) на м придётс я пр и это м использоват ь асимптотически е представлени я (37.60) . 1 Л+-Г Д о си х по р м ы предполагал и коэффициент ы (Л , М, V') \ и 2 в разностны х уравнения х известными . Н а само м дел е счё т прихо дитс я проводит ь в дв а этапа . Н а перво м счёт е коэффициенты , упо ОДНОСТОРОННИ Й ВЗРЫ В 367 мянуты е выше , записываютс я в середина х соответствующи х интерва лов я-г о ряда . Посл е нахождени я всех функци й W1 ср, !> в п -j1м ряд у вычисляютс я значени я коэффициенто в А, М, V' в центра х соответствующи х ячеек , посл е чег о производитс я пересчё т значений функци й в n-J1м ряду . Наконец , Дх в перво м счёт е определяетс я по значения м N в га-м ряду , а пр и пересчёт е - по среднем у ариф метическом у из решени й на яй и л -(- 1й горизонтали . Pr I 1000 P1 600 T 400 гоо 0,000В ом 0,060,080,1 0,2 OA 0,80,81 2 Рис . 150. Н е останавливаяс ь на дальнейши х подробностя х вычислени й (уменьшени е числа интервало в с увеличение м времени , контрол ь счёта и т. п.), приведё м некоторы е результат ы расчётов , заимство ванные из упомянуто й выш е работ ы (см. сноск у на стр . 357 , таб лица III). В таблиц е дан ы значени я расстояни я поверхност и взрывно й полны от центра , а такж е скорост и волн ы и давлени е на волн е - fi функция х о т времен и (вс ё в безразмерны х величинах) . Расчё т на чинался от автомодельног о решени я при х' = 0,00037119 ; при это м --•= т' 2 '= 0,042448 . Первоначальны й ша г по пространств у бы л взят Д ; ' = 0,0026530 . Н а перво м этап е област ь задани я начальны х значений был а разбит а на 16 интервалов , 368 1-ЁбР ЕТИЧЕСКИ Е ОСНОВ Ы ГАЗОВО Й ДИНАМИК И (ГЛ . 1 Н а рис . 150 дан ы в логарифмическо й шкал е давление , скорость , плотност ь и температур а за фронто м волн ы и врем я в функция х о т положени я фронта . Ту т же пунктиро м изэбраже : ы значени я соответ ствующи х величин дл я автомодельног о решения . Дл я конкретност и на рисунк е взят ы в качеств е начальны х данны х /J2 = 10 32 1 кг/м2, р2 = 0,12 5 KtceK 2 IM i (стандартно е давлени е и плотност ь на уровн е моря), E0 = 8,5 4 • 10 й кг. м, E = E0 а ; а = 1,17 5 (ка к мы видели , решени е определяетс я полность ю задание м трё х величин : р2, р2 и Е) . М ы не затрагивал и в это й книг е явлени й горени я и детонации , при которы х наш а постановк а задач и буде т неверна . С теорие й эти х явлений читател ь може т познакомиться , например , по книге : Лан да у Л . Д . и Л и ф ш и ц Е . M. , "Механик а сплошны х сред" , 1944 . ГЛАВА ВТОРАЯ ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ А . ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я ДВИЖЕНИ Я ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И § 1. Поняти е вязко й жидкости . Д о сих пор мы рассматривал и исключительн о движени я идеально й жидкости , т. е. мы предполагали , что поверхностны е силы, приложенны е к элемента м поверхност и dS любог о объём а жидкости , представляю т собой нормальны е давления , направленны е внутр ь объёма . Однак о все действительны е жидкост и являются в той или иной степени вязкими; иначе говоря, они обладаю т свойст вом внутреннег о трения . Дл я выяснения сущност и этог о свойств а рассмотри м следующи й типичный пример . Имеютс я дв е параллельны е пластинки (рис . 151), межд у которым и находитс я жидкость . Нижняя пластинк а удержи вается неподвижной , в т о время ка к верхню ю заставляю т дви гаться в одном и том же направлени и в своей плоскост и с постоянной скорость ю U . Обозначи м расстояни е межд у пластинкам и через h. Тогда , в конц е концов , получим следующу ю картин у движени я жидко сти. Сло й жидкости , непосредственн о примыкающи й к нижней пластинке, буде т находитьс я в покое ; слой жидкости , непосредственн о примыкающи й к верхней пластинке , буде т обладат ь той ж е самой ско ростью U , что и эта пластинка . Наконец , любой промежуточны й слой буде т двигатьс я со скорость ю v, пропорционально й расстоя нию у от неподвижной пластинки : v = (1.1 ) 24 Теоретическая гидромеханика, ч. II 370 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОГ 1 ЖИДКОСП 1 I Л . IL Пр и этом как к верхней , та к и к нижней пластинк е необходим о приложит ь силы , а именно: к верхне й пластинк е необходим о прило жит ь силу , лежащу ю в её плоскост и и имеющу ю т о же направле ние, что и направлени е движени я пластинки . К нижней ж е пластинк е необходим о приложит ь таку ю ж е силу , тож е лежащу ю в её плоско сти, но имеющу ю прям о противоположно е направление . Величина ка к той, так и друго й силы , отнесённа я к единиц е площади , равн а Коэффициен т [j. в это й формул е имеет дл я каждо й жидкост и при заданно й температур е сво ё значени е и называетс я коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости. Формул у (1.2 ) можн о в тольк о что рассмотренно м случа е написат ь и так : d v / 1 0 \ ' = H - ( 1 . 3 ) М ы примем , ка к опытны й факт , справедливост ь формул ы (1.3 ) и в том случае , когд а два соседни х слоя , перпендикулярны х оси Oy и находящихс я на расстояни и dy дру г о т друга , двигаютс я парал лельн о оси Ox со скоростями , соответственно , v и v-\-dv. Пр и это м т означае т касательно е напряжение , т . е . силу , отнесённу ю к единиц е площади . Отсюд а видно , что в случа е движени я вязко й жидкост и мы не може м ограничиватьс я при рассмотрени и поверхностны х сил одними тольк о нормальным и давлениями , а должн ы вводит ь в рассмотрени е такж е и касательны е напряжения . Можн о поэтом у дат ь тако е определение : жидкость называется вязкой, если поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности любого объёма жидкости, имеют, вообще, говоря, кроме нормальных, ещё и касательные составляющие. Происхождени е сил вязкост и следуе т искат ь в молекулярно й природ е строени я материи . Отдельны е молекул ы жидкост и при свои х собственны х движения х перенося т вместе с собо й из одног о места пространств а в друго е определённы е количеств а материи , энергии , количеств а движения . Т е величины , с которым и мы имеем дел о в гидродинамике , представляю т собо й средни е величины , получаю щиес я в результат е суммарног о учёта , относящегос я к весьм а боль шом у количеств у молекул . Собственно е движени е молеку л способ ствуе т выравнивани ю в соседни х слоя х значений эти х средни х величин . Так , например , при наличии дву х соседни х слоё в одно й и то й ж е жидкости , но разно й плотности , перено с молеку л буде т способствоват ь выравнивани ю эти х плотностей : получаетс я процесс диффузии. Точн о та к же , если имеем неравномерно е распределени е ПОНЯТИЕ вязкоп жидкост и .371 температуры , т о перено с молеку л буде т способствоват ь выравнива нию температур : в это м находи т сво ё объяснени е процесс теплопроводности. Наконец , в наше м случа е наличия вязкост и мы имеем дел о с процессо м перенос а молекулам и своег о собственног о коли чества движения ; это т процес с приводи т к выравнивани ю скоросте й соседни х слоё в жидкости . В соответстви и с этим можн о дат ь выво д основны х уравнени й движени я вязко й жидкости , основанны й на пред ставления х молекулярно й теори и материи . Мы, однако , ограничимс я выводо м основны х уравнени й движени я вязко й жидкост и из нескольки х просты х предпосылок . Дл я этог о нам нужн о буде т вернутьс я ещ ё ра з к разобранном у уж е в глав е I части перво й это й книг и вопрос у о деформаци и жидко й частицы , рассмотрет ь затем подробн о вопро с о тензор е напряжени й и уста новить , наконец , связ ь межд у напряжениям и и деформациями . Дл я тог о чтоб ы сделат ь читател ю боле е ясной структур у это й главы , скаже м тепер ь нескольк о сло в о современно м состояни и тео рии движени я вязко й жидкости . Уравнени я движени я вязко й жидкости , которы е мы получим , имею т довольн о сложны й вид; поэтом у их полно е интегрировани е удаётс я произвест и в сравнительн о небольшо м количеств е случаев ; некоторы е из эти х случае в буду т разобран ы во второ м раздел е это й главы . Теори я движени я вязко й жидкост и пошла , главны м образом , по линии развити я приближённы х методо в интегрировани я уравнени й движени я вязко й жидкости . Уравнени я движени я вязко й жидкост и являютс я математически м выражение м равновеси я нескольки х сил ; нас сейчас не интересуе т точно е выражени е каждо й из эти х сил по отдельности ; дл я нас достаточн о тольк о перечислить , каков ы эти силы : 1) внешни е силы , приложенны е к жидкост и (например , сил а тяжести) , 2) силы инер ции, 3) сил ы давлени я и 4) силы внутреннег о трения . Ясно, что при невозможност и учест ь все эти силы , т . е. при невозможност и полность ю проинтегрироват ь уравнени я движени я вязко й жидкости , можн о попытатьс я одн у из этих сил , наимене е важную , отбросить . Н о мы не може м отбрасыват ь внешни е силы , та к как , конечно , мы их вводи м тольк о тогда , когд а считае м их важными . С друго й стороны , мы не може м отбрасыват ь сил ы давления , та к как эти сил ы сут ь сил ы внутренние , через посредств о которы х осуществляетс я равновеси е всех остальны х сил. Есл и мы отброси м тепер ь сил ы внутреннег о трения , остави в тольк о сил ы инерции , т о мы получим , очевидно , гидродинамик у идеально й жидкости . Напротив , отброси в силы инерци и и остави в силы трепня , мы получае м возможност ь приближённог о решени я ряд а задач о движения х вязко й жидкости . Целы й ряд примеро в таког о рола разбираетс я нами в третье м раздел е это й главы . 24* 37 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . It Однак о полное пренебрежение силами внутреннего трения или силами инерции не всегда даёт достаточно точные результаты . Заметим при этом, что когда силы внутреннего трения малы по сравнению с остальными силами, мы можем говорить о маловязкой жидкости . Напротив, когда мы пренебрегаем силами инерции в виду их малости сравнительно с силами вязкости, мы можем говорить о спльновязкой жидкости. Таким образом первым приближением для теории маловязкой жидкости является теория идеальной жидкости, первым же приближением для теории сильновязкой жидкости является теория, в которой полностью выброшены силы инерции. Как было указано выше, и та и другая приближённые теории имеют ограниченный круг применений. Гораздо лучшие результаты дают более точные теории, принадлежащие шведскому учёному Oce ен у (С. W. Oseen ) и немецкому учёному П р а н д т л ю (L. Prandtl) . Основная мысль Осеена состоит в том, что при изучении движений сильновязкой жидкости не нужно полностью выбрасывать из рассмотрения силы инерции, а следует оставить в уравнениях, кроме сил вязкости, также и главную часть сил инерции. Оказывается, что и при этом допущении уравнения движения во многих случаях могут быть проинтегрированы. Примеры такой трактовк и движений сильновязкой жидкости буду т нами приведены в том же третьем разделе этой главы. Точно так же заслуга Прандтл я состоит в том, что он обратил внимание на невозможность пренебрегать силами вязкости вблизи твёрды х стенок даже в случае маловязких жидкостей. Вблизи твёрдых стенок образуется тонкий пограничный слой, внутри которог о необходимо учитывать влияние сил вязкости; вне этого тонкого слоя влиянием вязкости можно пренебрегать. В результате развития этих мыслей получается очень плодотворная теория пограничного слоя, позволяющая разъяснить ряд вопросов, не поддающихся решению в рамках теории идеальной жидкости, как, например, вопрос о зарождении вихрей. Изложению теории Прандтля посвящён последний раздел настоящей главы. Вторая половина этого раздела посвящена другой теории, тож е относящейся к движениям маловязкой жидкости и принадлежащей Осеену. Сущность этой теории Осеена в двух словах такова: найти то движение жидкости, которо е получается в пределе из движения вязкой жидкости, если после интегрирования уравнений движения вязкой жидкости мы совершим предельный переход, устремив коэффициент вязкости и к нулю. Оказывается, что это предельное движение будет отлично от того движения, которо е мы могли бы ожидать на основании обычной гидродинамики идеальной жидкости. Можно думать, что движение маловязкой жидкости будет мало отличаться от предельного движения Осеена. Нужно , однако, отметить, что Осеену не удалось совершить предельный переход, исходя из точ ТЕНЗО Р СКОРОСТЕ Й ДЕФОРМАЦИ Й 37 3 ных уравнений движения вязкой жидкости. В основу рассуждений им были положены упрощённые уравнения вязкой жидкости, и эт о до некоторой степени умаляет ценность полученных Осееном резуль татов . Наконец , в заключение этого параграфа заметим, что даже точные уравнения движения вязкой жидкости не могут непосредственно описать целую группу движений жидкости, движений, являющихся для практики, пожалуй, наиболее интересными и важными. Мы говорим о так называемых турбулентных движениях жидкости, отличительным признаком которы х является крайне беспорядочный характе р перемещений отдельных частиц жидкости. Теории турбулентны х движений будет посвящена следующая глава, в настоящей же главе вопросы турбулентны х движений жидкости буду т затрагиваться лишь попутно. § 2 . Тензо р скоросте й деформации . В главе I, части первой, в § § 5-9 , был уже подробно разобран вопрос о деформации жидкой частицы. В целях большей ясности дальнейшего изложения мы вспомним введённые нами обозначения и сделаем несколько дальнейших замечаний, относящихся к этому вопросу. Рассмотрим какую-либ о точку О движущейся среды; скорост ь этой точки обозначим через v0. Пусть далее А - бесконечно близкая к О точка О Рис . 152. (рис. 152); обозначим через р радиус-векто р OA и через -yj, С - проекции этого вектора на прямолинейные прямоугольные оси координат. Как в § 1 главы 1 части первой, введём обозначения: dv, dvx дх dv,. dvx dvy dv. dvv dv. дг dvr dy dv. dz dv. dz dvx dv. dx dvv dy dvr\ a y dz dz dx dx dy (2.1) причём все эти величины вычисляются для точки О; ясно, что (B1, U3 являются составляющими вектора 1 to rot V. (2.2) Как было выяснено в главе 1 части первой, скорость точки А может быть представлена в следующем виде: V = V 0 ^-V l -J r V 2 , (2.3) 37 4 ДВИЖЕНИ Е вя з КОП ЖИДКОСТИ [ГЛ. и где P1 = WX P е с т ь скорость вращательного движения точки А вокруг мгновенной оси, проходящей через точк у О, причём вектор угловой скорости равен м, а векто р V2 есть скорост ь чистой дефор мации. Составляющие этой последней скорости имеют KH:I: 1 1 "2 у ^ 0 I И " ^ + Y 6 I^ . V2z = "J 0S^ + у 9I7I "Г Таблица девяти величин е, ^ з I ^ 2 ' £ 2 ^ 0 1 1 R 1 H ~2 °2 ~2 0 I 8 з (2.4) (2.5) носит название тензора скоростей деформации. Если этот тензор обращается в нуль, т. е. если все девять составляющих вышеуказанной таблицы равняются нулю, т о по формулам (2.4) н скорость деформации обратится в нуль. Это означает, что распределение скоростей частиц жидкости в окрестности точки О даётся той же формулой V = VQ = W х р . что и распределение скоростей точек твёрдого тела, т. е. что дефор мация частицы в окрестности точки О отсутствует . Рассмотрим кром е системы осей х , у, z ещё другую прямолинейную прямоугольную систему осей х , у, z. В этой новой системе осей составляющие введённых нами векторов и тензора Ф примут какие-т о другие значения; условимся отмечать эти новые значения путём постановки чёрточки над соответствующими буквами. Поставим себе задачу вывести соотношения, связывающие новые и старые составляющие тензора Ф. Дл я краткости письма введём следующие обозначения для косинусов углов между старыми и новыми осями координат cos(x , х ) = a u , COS (Х, у) = а1 2 , cos(x , z) = a I 3 , j cos (у, x ) = Os21, cos (у, у) = a? 2 , cos (у, z) = a2:3, } (2.6) cos (z, x ) = a3 1 , cos (г, y) = a3 2 , cos (z, z) = a3 3 . J ТЕНЗО Р СКОРОСТЕ Й ДЕФОРМАЦИ И 37 5 Составим теперь скалярное произведение векторов V2 и р. Не сложное вычисление показывает, что 2 2 2 V 2 P = V2/i + V2yV1 + V2z: S1S -Ir S2Tj + E3C + O1TjC f O2V, f 63iYj. Но очевидно, что это выражение не может зависеть от того, в какой системе координат мы его вычисляем. Мы имеем поэтому равенство: ^; 2 • + W 2 + ~Ф • + V f + Ш + Щ = = S 1 S 2 + e 2 T j 2 + S 3 C 2 + S 1 Tj C + № + Ч ' П ' ( 2 7 ) С другой стороны, вследствие формул (2.6), между старыми и новыми составляющими вектора р существуют соотношения P = ";" cos (х, х) + Tj cos (у, х ) + С cos (z, х ) = ~о.п + Tja21 -j Ca31, Tj= Sa12 -f Tja22 -fCa32, C = Sa 1 3 H-Tja 2 3 -I-Ca a 3 . Подставляя эти выражения в правую часть формулы (2.7), производя вычисления и сравнивая затем коэффициенты при S2, т 2, . . . в обеих частях тождества (2.7), мы придём к искомым формулам, из которы х приведём тольк о две: S 1 = 5 ^ + 2 2 ^ 1 2 + 3/4 3/4 + 9 ^ 1 2 ^ 1 3 + 0 2 ^ 1 3 3/4 ] + 0 3 А 1 1 А 1 2 . у 0, = s1 a2 1 a3 1 f s2 a2 2 a3 2 f s3 a2 3 a3 3 -j i O1Oi22a33 f ~ Oja32K23 -f + Y 0 2 Я 2 3 а 3 1 + J 6 2 a 2 1 a 3 3 + \ 9 3 a 2 l a 3 2 + 4 ° 3 a 3 1 a 2 2 ' Если бы мы ввели обозначения $ 1 1 = s L Ф 2 2 = £ 2 Ф 3 3 = £ 3 > ) 1 1 1 \ (2.8 ) ( D 1 2 = (D21 = ^ O 3 , Ф ! 3 = Ф 3 1 = т 0 2 , Ф 2 3 = ¢ 3 2 = 2 0 ! , j то, как легко убедиться, предыдущие формулы приняли бы гораздо более компактный вид: = ( Л / 5 = 1 , 2 . 3 ) . (2.9 ) T= 1 S = I Формулы преобразования (2.9) являются характерными для преобразования составляющих какого-либ о тензора. Именно, если мы для каждой системы координат имеем девять величин рПг, причём значения Ptks соответствующие какой-либ о системе координат х , у, z, 37 6 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И связаны со значениями pik, соответствующим и системе координа т х, у, z равенствам и _ з з Pm= 2 2 PrsV-irHs- (2.10 ) Г - 1 5 1 т о говорят , что величины plk образую т тензо р (точнее говоря , афин ный ортогональны й тензо р второг о ранга, но мы никаки х други х тензоро в рассматриват ь не будем) . Формул ы (2.9 ) показывают , что Ф действительн о есть тензор , так что данно е нами выш е названи е "тензо р скоросте й деформаций " вполне оправдано . Рассмотри м поверхност ь второг о порядка : M 2 + H ^ + + S 1 ^ + S2C^ + Q 3 ^ = С; направим тепер ь новые оси координа т х', у', z' по осям симметри и это й поверхности . Тогд а уравнени е поверхност и приме т вид: Мы в 1дим, что в системе координа т х', у', г' составляющи е тензор а скоросте й деформаци й имеют особенн о просто й вид, ибо, ка к выте кает из предыдущег о уравнения : 0( = Q 2 = 6 3 = 0 . Положи м ещ ё e I - eV V ~ eV е з = е у Направлени я осей х', у', z' носят название главных осей тензора скоростей деформаций, величины ег, е2, еъ называютс я главными В систем е осей х', у', г' тензо р скоросте й деформаци й прини мает особенн о просто й вид: 0 0 ф = | 0 е 2 0 (2.11 ) 0 0 е . Величины ех, е,2, ег были уж е введены в § 3 главы I части первой, где был о приведен о и уравнени е третье й степени, котором у эти величины удовлетворяют . Напомним ещ ё непосредственн о вытекающу ю из обозначени й (2.1 ) формулу : dvr dvv Ovz + + + = (2.12 ) Эта формул а имеет место в любо й системе координат , так что, в частности , мы имеем е, -fе 2 -(-е 3 = div г?. (2,13 ) ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 377 В § 4 главы I части первой было показано, что эта величина представляет собой кубическое расширение жидкости, отнесённое к единице времени. § 3 . Тензо р напряжений. Перейдём теперь к рассмотрению поверхностных сил, появляющихся при движении вязкой жидкости. Вырежем внутри жидкости объём т при помощи замкнутой поверхности 5 ; рассмотрим элемент dS этой поверхности. Обозначим через п направление внешней нормали к этому элементу поверхности. Тогда действие частиц жидкости, расположенных с внешней стороны элемента dS, на частицы жидкости, прилегающие к этому элементу с внутренней стороны , может быть приведено к действию поверхностной силы pndS. Если обозначить чере з рх, ру, pz напряжения поверхностных сил для площадок , внешние нормали которы х параллельны и одинаково направлены, соответственно, с осями х, у, z, то, как было выяснено в § 3 главы II части первой, имеет место соотношение PN= PxCOS (П, X)-\-PyCOS(ll, y)+pzcos(n, Z). (3.1 ) Введём теперь следующие обозначения для проекций на оси коорди нат векторов рх, р и pz: при этом рхх носит название нормального напряжения, действую щего на площадку , перпендикулярную к оси Ох , а рху зываются касательными напряжениями. Тогда , проектируя (3.1) на оси координат, будем иметь: Pnx Pxxcos *) + Pyxcos ("• У)+Pzxcos(". *)' Pny = Pxy cos (re, х) 4 Pyy cos (re, у) + ргу co s (re, z), Pnz = PXZcqS (N, X) -j- PYZ co s (re, Y) + pzz co s (re, z), (3.2 ; Введём теперь в рассмотрение ещё произвольное направление т и обозначим через рпт проекцию вектор а рп на это направление. Так как Pnm = Pnxcos (т *) + Pny COS (M , у) -FPNZCOS (т, Z), то предыдущие равенства приводят к следующей формуле : PNM = pxxcos(n, x)cos (m, pyxcos(n, y)cos(m , .*) + -j pzxcos (re, z)cos(m , x) -j pxy co s (re, x)cos(m, y) + + pyy cos (re, y)co s (m, Y) + pzy cos (re, z)cos(m , y) + -Jp x z cos (re, x)cos{m, z)-) pyz cos (re, y)cos(m , z)-J -j-p z z co s (re, z)cos(m , z). (3.3) 378 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗ КО П ж и д к о с т и [ГЛ . IL Эта общая формула содержит в себе, как частный случай, девяп , формул (2.10), если мы условимся обозначать рхх через рп, р через рп и т. д. и аналогично будем обозначать р-- ч е ре з ргу, P x ; через р и и т. д. Но теперь мы можем утверждать , что таблица девяти неличин Pxx Pxy Pxz j Pyx Pyy Pyz (3.4 ) Pzs Pzy Pzz > определяет тензор, который называется тензором напряжений. Можно доказать, опираясь на общие законы механики, симметричность тензора П, выражающуюся формулами '): Pxy = Pyx Pxz = Pzx' Pyz = P z y (3.5 ) В нашем случае напряжений в вязкой жидкости симметричность тензора II получится как следствие тех предпосылок, которые мы положим в основу вычисления этого тензора. Относительно тензора II можно повторить всё то, что было сказано о тензоре деформаций Ф. Существую т три взаимно перпендикулярные главные оси тензора напряжений и соответствующие им главные напряжения pv р2, р3. Будучи отнесён к главным осям, тензор напряжений принимает особенно простой вид; ( Pl 0 0 I I = \ 0 Pl 0 1 0 0 Рл При этом, аналогично равенству s L + 3/4 + 5 з = ^i г + имеет место равенство Pxx + Pyy -jT Pzz = Pl + />2 + Pi' (3-7 ) т. е. сумма нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки не зависит от ориентации этих площадок. Перейдём теперь к установлению связи между тензором скоростей деформаций и тензором напряжений в вязкой жидкости. В основу наших рассуждений мы положим два допущения. I. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к соответствующим составляющим ') См., например, Кочи н Н. E,, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1938, стр. 363. ТЕНЗО Р НАПРЯЖЕНИ Й 37 9 тензора напряжений в идеальной жидкости. Иными словами, мы должны иметь Pxx = - PjT ~хх- Pyy = P + ~уу • P 2 2 = P j T Izz.. Pxy = ' x y Pxz = "^xz И ТД- (3.8) где величины V l , х , xzz, хху, . . . могут быть отличны от нуля только в случае вязкой жидкости . Линейный характе р рассматриваемой нами зависимости вполне естественно допустить, ибо такой тип зависимости является простейшим. Независимость же коэффициентов рассматриваемых линейных функций от выбора координатной системы выражает, очевидно, свойство изотропности вязкой жидкости, т. е. свойство однородности по отношению к различным направлениям. Выводимые нами уравнения справедливы только для таких изотропных вязких жидкостей. Пуст ь теперь оси координа т х' , у' , z ' направлены по главным осям тензора скоростей деформаций, так что Q1 = O 2 =Q 3 = O1 и пусть gj, е2, е3 суть соответствующи е главные скорости удлинений, так что тензор скоростей деформаций имеет в рассматриваемой системе координат вид (2.11). Нетрудн о определить общий вид величин -с в этой системе координат . Пусть , например, мы имеем: V x ' = e I e I + в 2 в 2 + в З в З - ( 3 ' 9 ) где AJ1, а2, я 3 -некоторые , не зависящие от выбора осей координат, коэффициенты. Ясно тогда, что т , , и v Z ' должны определяться фбрмулами: V y ' = a I e 2 j T a 2 e Z j T a Z e V V z ' = " 1 " з + в 2 в 1 + в З е 2 - ( З л ° ) ибо достаточн о переименовать в соотношении (3.9) ось х' в ось у', ось у ' в ось z ' и, наконец, ось z ' в ось х' , чтобы получить первое из соотношений (3.10). Аналогично получается второе из соотношений (3.10). Покажем теперь, что я 2 =я 3 . Произведём для этого преобразо вание координат X1 = X f , у' = Z', ? = - у' ясно, что новые оси координат опять являются главными осями тензора скоростей деформаций. Очевидно, далее, что в новой системе 38 0 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. И координа т мы имеем следующие формулы : V JS = V х, , ' V-у,' = V 1г", V-г,' = - V у",. dv- dv dv dv ~ x e ^ у г' " дх' дх' 1 ' ду' дг' dv dv , дг' ду' ^x' X' "^х'х" Соотношение (3.9 ) можно применить, согласно допущению П , и к системе координа т х', у', г': откуда , на основании вышеупомянутых формул, выводим: V*' = aIeI + a2e3 + a3e2 Сравнение с формулой (3.9) приводит нас к искомому соотно шению а2 = а 3 . Вводя теперь обозначения A 1 = X-J2[А , A 2 = O 3 = X1 мы можем переписать формулы (3.9) и (3.10) в следующем виде: V * ' = M e 1 + " a + e e ) + 2 ^ e I • V y = H e I + е 2 + е з ) + 2 ^ 2 (3 . Li ) V * ' = *( в 1 + в 2 + " з ) + 2 P e 8 Докаже м теперь, что в системе координа т х', у', z' все каса тельные напряжения Xje, ,, х х , г , и т. д. обращаютс я в нуль. Доста точно обнаружить , что тх .у , = 0 . Согласно допущению II , мы должны иметь: V y = ¥ i + % + ¥ 3 ' < З Л 2 ) где а4, аъ, а6 - некоторые постоянные коэффициенты. Н о произведём преобразование координа т ТЕНЗО Р НАПРЯЖЕНИ Й 38 1 Новые оси координа т опять буду т главными осями тензора ско ростей деформаций, причём имеют место формулы: = Vx, Vyi = -- v , , V ----V2,, у Z' dv- dv X' Xr dv- у с - dv ' -- У дх' дх' ду' dy' dv- dv Z' Z' tX' у' х'у" дг' dz' Последняя формула вытекае т из следующих соображений: ~х. , есть проекция на ось у' напряжения, действующего на площадку, внешняя нормаль к которой имеет направление оси х'\ т-? - есть У проекция на ось у' напряжения, действующего на ту же самую площадку, ибо оси х' и х' одинаково направлены. И так как оси у' и у' имеют прямо противоположное направление, т о ясно, что ^x' у' " ^х'у" Вследствие допущения II , мы должны иметь формулу : V F = e 4 e l + e 6 e 2 + e 6 e 3 На основании предыдущих равенств мы выводим отсюда, что V y ' = O 4 e I I в 5 в 2 + " 6 в 3 ' но тогда сравнение с формулой (3.12 ) показывает, что иными словами, что а 4 = а 5 - а 6 = О , Итак , мы показали, что тху, , = T x,'z, ' = Tу', г,' = Tу',х', = T z,'y, ' = Tz',x,' = 0. v(3.13') Собирая вместе формулы (3.8), (3.11) и (3.13) и припоминая, что eI + е2 + "3 = d i v *>• приходим к следующим выражениям для составляющих тензора напряжений в системе осей х', у', z', служащих главными осями тензора скоростей деформаций: P х'х' = - P + 1 d i v V + V 1 • Ру>г = - /? + ). div (r) + 2ае2 , P z z ' = - /> + 'div FO -f 2 IAe3, Рх'У = P x z ' = P y x = P y z ' = Pz-x' = P z r = (3.14) 38 2 Д В И Ж Е Н И Е вяз КОП Ж И Д К О С Т И [ГЛ . И Из этих формул следует, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями тензора скоростей деформации-. Выведем теперь выражения для составляющих тензора напряжений в произвольной прямолинейной прямоугольной системе координат. Предварительно остановимся на нескольких элементарных понятиях из теории тензоров . Легко прежде всего убедиться, что таблица девяти величин, заданных в любой системе координа т следующим образом: I = (3.15) определяет тензор; это т тензор называется единичным тензором. Пусть , далее, мы имеем два тензора : а п а 12 а 1 3 Ь\\ Ь12 у 1 3 A- а 2 \ а22 а2Ъ В = { Ь, J2Z Ui 3j^1 aIi^3 2 аа3^3 / V t/ 3 1 t/ 3 2 ^ 3 3 тогда под суммой этих тензоров А~\-В и под произведением UA = Ak тензора А на постоянное число k понимаются следующие тензоры : 0 I l + ^l l "12 + ^12 " 1 3 + ^13 Ajsr В " 2 Г а Ь22 " 2 3 + ^ 2 3 aU ~Ь К а32 ~Ь ^32 азз ~Г~ ^33 (3.16) • ka31 Ua7i2 ka-iZ При этих обозначениях девять равенств (3.14) могут быть следующим образом записаны в тензорной форме: К div v) • 0 или, вследствие (3.4), (3.15) и (2.11): I I = ( - р \ ) . d i v 0 ) / + 2.A . ( 3 . 1 7 ) Но если соответствующие составляющие двух тензоров равны в какой-либо системе координат, то они будут равны и в любой I 3| ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИ И ЙЬЗ другой системе координат. Поэтому предыдущее равенство в системе осей .v. у. ( Pxx Px у Pyx Pyy I Pzx Pzy принимает вид: P X1 I Pyz j = Pzz ' 2 ' 1 О О :(/? + Xdiv(r)){ 0 1 О О 0 1 откуда вытекают следующие равенства: Pxx = ~ P + Х d j V V 21X6,, Pxy = Pyx : :U.9 3 , : аб 2 . (3.18) PYY = - Р Tdiv V -(2]Х£2, PXZ = PZX = : UO 1 . Pzz = - P + Х d i v (r) + 2IxsS /V = /3/4 : Из этих выражений ясно видна симметричность тензора напряэкений Складывая первые три формул ы (3.18) и вспоминая, что e I + е 2 H з = d i v (r)> легко получим равенство Pxx + Pyy j T P z z = ^ P j T № + 2а) di^ ( 3 1 9) В несжимаемой жидкости, где div(r) = 0, коэффициент л сам собой выпадает в выражениях для напряжений, и последнн. принимают вид: Pxx dv. Р + Pxy = Pyx = ^ ( 3/4 1 + ^ r ) ' P y y = P ' f 2H dvy dv, Pxz Pz / dvx Ov1 ч 1 dv. (3.20) P z z = P j T 2 а д > Pyz Pzy A дг ду В частном случае, когда мы имеем течение, параллельное оси Ох , так что Vy = V2 = 0, причём скорост ь течения vx = v есть функция одного только у, мы получаем из формул (3.20) для касательного напряжения выражение dv P ху Pyx = V dy ' совпадающее с формулой (1.3), с рассмотрения которой мы начали эту главу. 38 4 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . и Мы уже упоминали, что постоянная р. называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости. Нетрудн о установить размерность этого коэффициента. Если M есть символ единицы массы, L - единицы длины и T-единицы времени, то симьолом единицы ускорения буде т LT"2 и единицы силы - MLT~2, поэтому символом единицы напряжения рху, являющегося силой, отнесённой к единице площади, буде т AIL 1 T 2 , с другой стороны, размерностью величины OvJdy служит, очевидно, Т~1. Так как _ Px у 1 ~~ dvx dvy ' ду ^ дх то для размерности р. получаем выражение ML~lT~l. Так , например, в системе CGS р. будет измеряться в г/см • сек. Например, коэффициент вязкости для воды при температур е О' С равняется 0,01 8 г/см-сек, а при температуре 20° С это т коэффициент имеет значение 0,01 0 г/см • сек4, для воздуха при температур е 0° С и давлении 760 мм ртутного столба коэффициент вязкости равняется 0,0001 7 г/см • сек. Часто для характеристики вязкости употребляют вместо а другую величину, а именно . _ P ' эта величина носит название кинематического коэффициента вязкости. Та к как размерность р есть ML 3, т о размерностью v является L2T в системе CGS значения v измеряются в см2/сек\ например, при температуре O 0 C кинематический коэффициент вязкости для воды равняется 0,01 8 см2/сек, а для воздуха при вышеуказан ных условиях 0,13 3 см2/сек. В общем случае сжимаемой жидкости коэффициент X остаётся наряду с р., так что формулы для напряжений принимают вид: ^ x . dVy\ = p Л ду дх )' ~дуГ' Pxz = Pzx ~дГ' Pyz = Pzy dvx дуг\ V d F " + дх )' дуу t дУ;} V дг + ду Г (3.21) Чтобы определить коэффициент X, можем сделать следующее допущение: примем, что давление в вязкой жидкости всегда равно взятому с обратным знаком среднему арифметическому из трёх напряжений, приложенным к трём взаимно перпендикулярным площадкам. Формулы (3.19) показывают, что это само собой выполнится для УРАВНЕНИ Я ДВИЖЕНИ Я ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И 38 5 несжимаемой жидкости . Чтобы это допущени е выполнялос ь и в обще м случае, надо, очевидно, положит ь (3.22 ) § 4 . Уравнени я движени я вязко й жидкости . В главе II, § 2 части первой был о выведено обще е уравнени е движени я сплошно й среды; J (F-W) о dx + fp"dS = 0. (4.1 ) т s Здес ь т означает произвольны й объём , вырезаемый внутри жидкости поверхность ю р-плотност ь частицы жидкости , F- векто р массовой силы, отнесённой к единице массы, w - ускорени е частиц ы жидкости , п - направление внешней нормали к поверхност и S , рп - векто р напряжения поверхностно й силы. Мы имеем при этом равенств о Pn=PxC0S(n> х) +Py cos (п, у) + PzCOS (п, z). (4.2 ) Преобразуе м тепер ь поверхностны й интеграл , входящий в фор мул у (4.1) , в объёмный . Дл я этог о заметим, что имеет место сле дующа я формула : f a co s (я, x)dS= f J j dz, (4.3 ) S т где а есть произвольны й вектор , непрерывны й вместе со своей про изводной по х в объём е т. В самом деле , есл и составляющи е вектор а а суть ах, ау, аг, так что a = axi~\-ayj + azk, г д е i, j , k - координатны е орты , то мы имеем, применяя формул у Гаусса, следующи е тр и формулы : j CixCOS ( п , х ) dS = ^ d z , s '-, f flycos (п, x)dS= j" -^J dx, s ' 11 аг cos ( n , x) dS = j" dx. ' ) Некоторы е физик и склонн ы вводит ь поняти е второг о коэффициент а вяз кост и или "второ й вязкости " и не пользоватьс я допущением , приводящи м к формул е (3.22), см. , например , Л а н д а у Л . Д . и Л и ф ш и ц Е. M. , Механик а сплошно й среды , Гостехиздат , 1944. 2 5 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 38 6 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. и Умножая первое из этих равенств на i, второе на J, треть е на k и складывая три полученные формулы , мы докаже м равенство (4.3). Но тогда ясно, что на основании равенства (4.3) и аналогичных ему равенств, мы имеем: У*Pn d S = J [рхcos(п, х ) + P y cos (п, у) PxCOs (п, z)]dS = i s _ C l d p x I д р у I д Р г \ dx. ~~ .1 \ дх ду ^ дг I1 Потому равенство (4.1) принимает вид: J [(F- W) р + dx = 0. Мы, конечно, предполагаем при этом, что все те функции и их производные, которы е мы рассматриваем, являются непрерывными функциями от своих независимых переменных. Н о при этом условии предыдущее равенство, в котором т есть произвольный объём жидкости, может иметь место тольк о в том случае, если в каждой жидкости в любой момент движения подынтегральная функция будет равна нулю. Мы приходим таким образом к следующему уравнению движения: • д а + 1 I d p x дру dp-z\ )-0 . р дх ду дг (4.4) Его можно записать такж е в форме да = / 7 + - di v П , (4.5) если условиться называть расхождением тензора П и обозначать через div II вектор дРх , дРу , <>Р* дх ду дг div П . ( 4 6 ) Проекциями этого вектора на оси координат, очевидно, являются: др?х (div П) , ( d i v (r) , дг д Р г у дг dPzz дг (4.7) ибо проекциями вектора рх являются рхк, рху, рхг и т. д. УРАВНЕНИ Я ДВИЖЕНИ Я ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 38 7 Обознача я проекции массовой силы Fна оси координат через X , Y , Z и вспоминая , что проекциями ускорени я w являются величины dvx/dt, dv /dt, dvjdt, найдём из (4.5) уравнения движения в следующей форме: dvx " . 1 / дрхх др"ухух дргх \ ) ' (4.8) Воспользуемся теперь формулами (3.21), (3.22) и предположим, что ^ = COnst. Тогда без труда получим, что, например: дрх др ух dPz dp 2 д div о d2Vx (di v И ) , = дх ду дг ' д2^ дх d2v, 3р дх d2vr 2 V M d2vz + P ду2 дх ду ^ дхдг 2 2 2 .JtP 2 д di v V d vr , d vx . d v • ) + дх ' dvr дх <Ь " dvz дх 2 1 ду 2 ^ dp 1 дг2 д di v v • Ij дх ду ~Sz ) - дх Поэтому , дхвып\ исывая ещё в полном виде проекции ускорения, получим из (4.8) следующие окончательные уравнения движения вязкой жидкости : dvx . dvr . dvr , dt dv x • X dz v (r) . 1 dv. dvv dvy dvy v V d f + v x s i + v y S y S I у 1 dvz dvz dv, 1 dp , V д di v V . dt + Vx, dx -v. y S y dz v Дг", . г 1 К этим уравнениям нужно присоединить ещё уравнение неразрывности :0 . (4.10) Уравнения (4.9) называются уравнениями Навье-Стокса. Они были опубликованы французскими учёными Навье (Navier), рассматривавшим тольк о случай несжимаемой жидкости, в 1827 г., н Пуассоном (Poisson) , рассматривавшим случай сжимаемой жидкости, 388 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкост и [ГЛ . II в 1831 г. 1 ) . И тот и другой исходили из гипотетических представлений о молекулярных силах. В 1843 г. Сен-Венан (Saint-Venant) и в 1845 г. Стоке 2 ) (Stokes) дали новые выводы уравнений (4.9), по образцу которы х построено и наше рассуждение. Уравнения (4.9) имеют очень сложный вид, поэтому их точное интегрирование удаётся лишь в редких случаях. Однако в ряде случаев получается хорошее совпадение результатов экспериментов с результатами вычислений, основанных на использовании их. Это показывает, что уравнения (4.9) с большой степенью точности описывают движения действительных жидкостей. Можно поэтому сказать, что построение теории движения вязких жидкостей сводится к всестороннему исследованию этих уравнений. § б. Различные формы уравнений движения вязкой несжи маемой жидкости. Если мы имеем дело с движением вязкой несжимаемой жидкости, то четырёх уравнений (4.9) и (4.10) недостаточно для определения пяти неизвестных функций р, р, vx, vy, vz. В этом случае необходимо учитывать такж е и термодинамические свойства изучаемых процессов. В § 10 этой главы мы дадим подробный вывод дополнительного соотношения - "уравнения притока тепла" для вязкой сжимаемой жидкости, а пока обратимся к жидкости несжимаемой. Уравнениям движения вязкой несжимаемой жидкости можно придать различную форму; в одних случаях выгодно пользоваться одной формой уравнений, в других - другой. Прежде всего, уравнения (4.9) и (4.10) для случая несжимаемой жидкости упрощаются следующим образом: "ST dvz dx dvz dvz + 3/4 dvz P dy 1 dp dt + V x dx + vy = Z - dz P + ^ V z , dz dvr _ _ | dv,, y_ I dvT £ _ дх ' ду дг ' ) N a v i e r С . L., M . H . Memoir e su r Ie s Loi s d u Mouvemen t de s Fluides , Mem . d e l'Acad . de s Science s 6 (1872) , P o i s s o n , S. D. , Memoir e su r Ie s Equation s generate s d e l'equifibre , e t d u Mouvemen t de s Corp s solide s elasti que s e t de s Fluides . Journa l d e l'Ecol e Polytechniqu e 13 (1831) . 2 ) S a i n t V e n a n t , Not e a joindr e a u memoir e su r l a dynamiqu e de s fluides , Compte s Rendu s d e l'Acad . a Pari s 17 (1843) , 240 ; S t o k e s Q . O. , O n th e Theorie s of th e Jnterna l Frictio n of Fluid s i n Motion , Math , an d Phys . Paper s 1, 75 . § 5] РАЗЛИЧНЫ Е ФОРМ Ы УРАВНЕНИ И ДВИЖЕНИ Я 38 9 § О) В векторной форме эти уравнения имеют вид: = F igradp -ИД(r) ; div(r)=0 . (5.2) P^pll v - о эти уравнения приводятся к уравнениям движения идеаль ной жидкости. Последние уравнения были записаны нами в § 6 - 7 второй главы части первой, в так называемой форме Ламба . Дадим обобщение этой формы на случай вязкой жидкости. Дл я этого заметим, что мы имеем для любого вектора а следующее тождество : Д а = grad div a - rot rot a . (5.3) Применим теперь это тождеств о к вектору скорости несжимаемой жидкости v, причём воспользуемся последним равенством (5.2) и обозначением тогда получим Q = rot v , Av = - rot Q. Вспоминая уравнение (6.4) главы II части первой, можем поэтому переписать первое уравнение в следующем виде: + g r a d + Q X f = F grad р - v rot Q . Предположим ещё, что массовая сила F имеет потенциал V: F== - gra d V, н введём обозначение H = t + тогда уравнения гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости примут следующий вид: Г) 7) ( Q X f = = - g r a d H - V ro t Q , d i v v = 0 , i > = ro t v, H = J L + (5.4) Во многих случаях, как, например, при изучении вопроса об обтекании цилиндра или сферы, бывает удобно пользоваться, вместо прямолинейных прямоугольных координат х, у, z, криволинейными координатами, чаше всего ортогональными, например, цилиндрическими или сферическими. Представляе т поэтому интерес иметь 39 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ жидкост и [ГЛ. II уравнения гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости в криво линейных ортогональных координатах . Пуст ь IJv q2, <73 суть криволинейные координаты, так что в некоторо й области изменения этих координат имеются зависимости (для краткост и мы обозначаем Х через XV У через X2 и z через X3): Xi = Z i i q v < Ь 1з) ( * = 1 . 2 3 ) : решая эти три уравнения относительно qv q2, q3, получим обратные зависимости: qt = Fi(xv х2, х3) (1=1, 2, 3). Мы будем рассматриват ь тольк о ортогональны е криволинейные координаты ; условием для этог о является тождественное выполнение следующих трё х равенств: Вводим далее в рассмотрение коэффициенты Ламэ: " * •= -1 / / ^ ( 3/4 ) 2 ( * = 1 ' 2 3 > 1 (= 1 Тогда, ка к было показано в § 2 0 главы I части первой, мы имеем следующие выражения для основных операций векторного анализа - градиента, расхождения и вихря: (S ra d 9)/ = 73/4" 3/4 ( / = 1 . 2 , 3 ) . (5.5) d i v а = J Г д (a H2H3) сЧа ЩНх) д (ChHiHi) | H1H2Hз L dq, 1 dq3 J ' к J (rot а \ (rot 1 Г д (Н3а3) д (Н2а2) ]1 . ъ) (5.7) ^ a = 7 7 ^ R f " U1) Исход я из этих формул и пользуясь тождеством (5.3), нетрудно найти выражения для проекций на оси криволинейных координат вектор а Да. Обозначая через (Ac)i проекцию этого вектора на напра §5]РАЗЛИЧНЫ Е ФОРМ Ы УРАВНЕНИ И ДВИЖЕНИ Я 391 вленне касательной к координатной линии qt, будем, очевидно, иметь, чт о что : _ 1 д f' 1 Г~ д (HlHlHt) д (U H H ) д (Ci H H ) 2 t l 3 l 2 ( A a ) 1 - Hi dqi \ HH11HH22HH33 LL dq, ' dq2 dq г 1 ({ д гГ HH33 д (H2(I2) 1 д г H3 d(H,a,) 1 H2H3 \ dq2 [H1H2 "] dq2 [' H1H2 dq2 J L r . H2 d (Я,а,) д 1 H2 д (H3as) ] dq3з L H3H1 dq3 J dq3 L H3H1 dq1 Дл я ( A a ) 2 и ( A a 3 ) имеем две аналогичные формулы . Если рас крыть предыдущее выражение, т о после длинных, но совершенно элементарных вычислений получим следующую окончательную фор мулу: (Aa) 1 : + 1 d*a, 1 д*а Hzl dqi Hi dqi H2H3 • 1 дга1 ^ H 2 dq\ 1 da1 ( J M L ) д ( Ш Л d i ^ A \ Hi ) , da, "I H2 I , da, H3 J H1H2H3 I ' 2 dH, da2 dq I dq 2 dH2 da2 dq2 dH, dq 3 da3 dq 3 + HiH 2 dq2 dqx HlHi dq dq H2 H 2 1 2 dH3 da3 _1_ d 1 3 dq3 1 d (H2H3) dq x + H1H2 dq i dq H dqi H\H H dqi 3 1 2 :i 1 d • H3 dH1 1 d I H2 dH. H2H3 dq2 I H1H2 dq2 ]+ dq 3 H1H3 dq а + I L L f 1 d (H3H1) 1 1 d Г ЯH33 dH. + 1 H1 dq, L H1H2Hi dq2 J d (H1H2)I H2H3 1 dq2 IH1H2 dq d r H2 dH. dq, L H1H2H3 dq3 J Я 2 // 3 L ЯH33ЯH1, -]}3/4 . (5.8) Точно IHтак же, применяя для вычисления проекций ускорения w на оси криволинейных координат формул у dv V2 -щ+ grad -j + rot v X (c) dt и пользуясь формулами (5.5) и (5.7), после несложных вычислений получим: Wl dv | , у, dv i I Щ_ dv^ , ^dv 1 у,v2 dH, + dt Н, dq I H2 Яd"q2 J-T 3 dЛqл ' Н,Н2 dq2 LZjV3 дН{ dH2 dH, (5.9) 1 H1H3 dq3 H1H2 " л в е аналогичные формул ы для W2 и щ"3. dqi H3H1 dq, 39 2 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Тепер ь мы могли бы уж е написат ь уравнени я движения в проек циях на криволинейны е оси координат , но предварительн о мы хотим ещё показать , ка к вычисляются в криволинейны х координата х составляющи е тензор а скоросте й деформаци й и тензор а напряжений. Пуст ь M 1 и M 2 - дв е бесконечн о близкие частицы жидкости , и пусть Mi и M2 - положения эти х частиц через бесконечн о малый промежуто к времени dt. Обозначи м криволинейны е координат ы точки M1 через qv q2, q3, а точк и M 2 через q^oq^, to + fyfa <73-fZq3 Криволинейные координат ы точки Mi буду т (точка над букво й означает дифференцировани е по времени): 4i = 4i + dqi = <7/ + <7; dt, но та к ка к мы имеем равенств а dst = H1 dq-v Vl = ^ f = H t f i , т о будем иметь: a' -a I УЛЯьЯъЧг^) c I i V i + H i i q u q i t 4 3 ) d t Точно та к же, обозначая координат ы точки M 2 через qi-\-oqi , бу дем иметь: п ' -J W - п -4 Ьп J V i + + b q i ' + 5 ? 3 ' ^ H t Qi + Ч - "V+ bqt + H t ^ l q u qi + bqt, q3 + bq 3) d L Сравнива я эт о равенств о с предыдущим , находим: W 1 = ч н 5 ( • $ ) • d t Н о ясно, что bq'. означает значение Iql в момент t-j-dt; можн о поэтому , с друго й стороны , написать , что Iq1 = I q l ^ d o q . . Поэтом у мы имеем следующе е равенство : Cibqi = O ^ y t (i=l, 2, 3). Рассмотри м тепер ь бесконечн о малый жидкий отрезо к M 1 M 2 = Ss и его удлинение dS s = MiM 2 - M 1 M 2 . Дл я квадрат а бесконечн о малого элемента длины Ss=M 1 M 2 мы имеем в криволинейны х коор дината х выражени е з ^ = 2 ^ 3/4 , q2, q3)lq). i = i Дифференцировани е даёт : з з Ss • d Ss = 2 Hi dHi bq) + 2 H2i Iqi d Iqi. I=I §5]РАЗЛИЧНЫ Е ФОРМ Ы УРАВНЕНИ И ДВИЖЕНИ Я 39 3 Мы имеем далее очевидные формулы : з з - V д Н 1 v " Я * ft = l k = \ 3 д A = I d 5 5 ^ i = ( 3/4 ) ^ = S /6= 1 V ^ / oqk dt, поэтому предыдущая формула может быть приведена к виду: o s • dbs L ) V ^ { " M l ^^ bL q 2MA ^ L L H 2 O q I q dt I= 1 ¢= 1 н . k ^qk 4 ^ dqk " 4i чь Обозначим теперь через Isi = H1 Iqi элементарные перемещения в направлении координатны х линий, тогда можем написать: з з Zs • dbs v S щ d H i , Hj IsiIsk (5.10 ) Tt S H Oq i "Г" /= I S= I Hi k k 0S Hk dqk В случае прямоугольных координа т х, у, z мы имеем H1 = H2= = H3= 1 , V l = V x , v2 = v y , V3 = V z , SS 1 = BA;, Ss2 = Sy1 Ss3 = Sz, и легко убедиться, что предыдущее выражение принимает вид: Bs • dbs Ovx 2 dv 2 dv. I dvx dvv \ л Tt дх Sx dv. ^Sy ду dv k Iz дг dv" + Ь гду+ I ^ l b x b y + dv. + dz Г dдхx J) S x S z -' ь \ dz ~ dy ) Sy Sz = = S1 Sx2 f s2 Sy2 + s 3 Sz2 + 0j Sy bz f Q2 Sz Sx f S3 Sx By. (5.11) Ho теперь, сравнивая выражени е (5.10) с (5.11) и обозначая в случае криволинейных координа т составляющие тензора скоростей деформаций 1 1 e I 2 " s 2 " 2 Ф : Y 6 з е 2 у 6 I 1 A 1 A 2 ° 2 Y 1 3 39 4 ДВИЖЕНИ Е вязко й ж и д к о с т и [ГЛ. II теми же буквами, что и в случае прямолинейных координат , легко найдём искомые выражения, например: _ V ^ L _ L W 1 dv. V1 dHx . V3 dHx iI ~ Z l HxHk dqk "Г £ = 1 dqx H1 Sq1 HiH2 Oq2 1 H1H3 dq3 H2 • m H 1 (5.12 ) H3 dq3 1 H2 dq2 Щ I dUv2 I ^v 3 _ dH 2 V3 dH3 H3 dq3 ' H 2 dq2 H2H3 dq3 H2H3 dq2 Выражения для e2, e3, 92 ческой перестановкой. з получаются из предыдущих цикли Та к как тензор напряжений ' Рз\ Рз2 Рзз связан с тензором скоростей деформаций для случая несжимаемой жидкости соотношением П = - p / f 2^Ф , то для составляющих тензора напряжений получим формул ы следующего типа: 1 dv 1 . v2 OH1 , v3 OHi P n = - P j T 2 ^ i = P j T ^ j Jj i dq > H1H2 dq2 HxHi dq3 (5.13 ) й \ 1 dvi 1 dv2 V1 OHx v2 dH, P 1 2 = ^0 3 = ^ 1 Я , dqx HxH2 dq2 HxH2 dql Tl Напишем теперь уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических и сферических координатах . Рассмотрим сначала цилиндрические координаты г, 6, z , связанные с декартовыми координатами формулами: х = г cos 9, г = У х 2 + у2. у = Г Sin I Z = Z, • arc tg-^, Z = Z. В этой системе координат коэффициенты Ламэ имеют следующие значения: H r = I , H f j = г, H z = I . Обозначим через Fr, Z7 , Fz проекции массовой силы F на оси цилиндрических координат . Тогда , производя вычисление всех чле § 5] РАЗЛИЧНЫ Е ФОРМ Ы УРАВНЕНИ И ДВИЖЕНИ Я 39 5 нов уравнений (5.2) по формулам (5.9), (5.5), (5.8) и (5.6), найдём окончательно уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах : Ovr Ovr Щ d v r d v , _,2 •vr SF+ Г dz 1 dp ( P v 1 <54 d2vr = Fr \ dr2 r2 <)02 1 dz2 + дщ_ dVq . Vj дщ dvB 1 dvr "Г" r dr I vrvb _ 2 dt/ 9 r 2 ()0 (5.14) dt + vr~dF + ~гF~ db t I Р г д в + z dz ' r , ( }' 1 d ' v , d2v, * f fe t I Or2 r r 2 дв2 dz2 r dr : 0 . Формулы (5.13 ) позволяют составить составляющие тензора напряжений в цилиндрических координата х I о dvr / dvr , dvn a ) . Prr = ~~ P + PrH = )?•{-, <30 (дщ , 1 dr ddvt, Pm Pbz A dz d f ) (5.15) dv. Pzz = P + 2 ^ , = + Сферические координаты г, 9, X связаны с декартовыми коорди натами следующими соотношениями: х = г sin 9 cos X, г = Y x 2 Ь У2 + ^2 у - г sin 6 sin X, 9 = arc tg ^ x , : T COS ( X = : arc tъg -2. х Коэффициенты Ламэ имеют следующие значения: H r = I , Htj = г , H1 = г si n 6 . 39 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [гл . и Поэтом у уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в сферических координата х имеют следующий вид: dv. dv, • vO dvr V1 dvr "о + vI dst f + V дг + Г " d2vr г si n 6 д к 1 d2vr 1 d*rr 2 dvr ctg ( г1 dvr <зо дг2 ^ 2 <3v" дв <302 2 г 2 si n 0 г 2 sin 2 0 Л 2 x 2vr ~дк T2 ~ 1 г дг 2 el " (j dv c , dv. дг Щ dVj дв r sin 0 dv. <3X v\ ci g О r J _ (d2V(j 1 d 2 f e 1 (53/4 = Fli L . I v " f <36 > \ dr2 "f" r2 dU2 r2 sin 2 0 dl 2 (5.16 ) 2 <3t>" ctg 9 dv0 2 co s 0 dvy 2 dvr Щ d r 2 <50 r2 sin 2 0 ~dt r2 <30 r2 sin 2 6 * * I Vb dvy_ v dv x VrV\ I VbVr Ctg о dt • F г дв 1 dp r sin 0 v f 2^ r dk 1 d2vx r2 sin 2 0 r d2v dk 2 4 K p r si n 0 <3X 2 dvx ct g 0 <3i/> W r 2 dvr + 2 co s 0 dvf j 2 2 r dr ^ r 2 <30 ' r2 sin 0 <3X r 2 sin 2 0 ~дГ ~ + r Sill 0 dvr + 1 дщ • 1 di'x , 2vr J t i c t g O ^ 0 j ~dF r dO r sin 0 dk причем для составляющих тензора напряжений получаются формулы: - " ( L J ^ J t V Р* - V( 7 " Ж + " д г _ / 1 I ' г <д3в0 г )' (5.17 ) 1 dvx Pxx = / > + 2 ^ ( r sin 0 дк dvr P x ' ~ V { d r ^ r r sin 6 dk , Vr , Щ ctg 0 ' r ' r В это м параграф е м ы рассматривал и переменны е Эйлера . Дл я некото ры х зада ч представляе т интере с использовани е переменны х Лагранжа . Чтоб ы записат ь уравнени е (5.1 ) в переменны х Лагранжа , представи м сперв а в эти х переменны х величин ы Дг/Г, Дг/у , kv z . Замети м сперва , чт о дл я любо й функци и f ( x , у , z, t) м ы може м напи сат ь d f . дх D U , У, г) I L D (х, у, г) ' dy D (х, / , z) Ж. D (х, у, г) ' дг D (х, у, / ) D (х, у, г) 6 ] НАЧАЛЬНЫ Е И ГРАНИЧНЫ Е УСЛОВИ Я 39 7 или, если ввести переменные Лагранжа а, Ь, с, df _ D (/ , у , г) D (а , b, с) df = D (х, / , г ) D (а , 6, с) дх ~~ D (а , Ь, с) D (х, у, г)' ду D (а , Ь, с) D (х, у , г ) ' _ D (х, у , / ) D (а , Ь, с) дг ~~ D (а, Ь, с) D (х, у, г)' D (а , Ь,с) , _ В несжимаемо м жидкост и д ^ у ^ - Д л я сокращени я письм а введе м обозначени е Тогд а D(a, b, с) 1 1 J £ = [/.**] . f = I * . / . ' I . f = [-•>',/] , + [Jr. У. / 1 = [ [/ . у. г], у, г] + [*, [X, / , г], г] + [х, у [х, у, / ] ]. Поэтому взамен уравнения (5.1) мы получим в переменных Лагранжа = , , * ! + , { [ [ • £ . ) , , * ] , у , * ] + + [ * • [ ' • & • 4 s M * ' 4 " 3/4 ] } ' + [ * [ * £ • 4 • ] + [ . " [ . " I f ] ] } . ^ = 2 1 ( * , у , у , г] , у, г ] + + [,.[,. .].. ] + [" , [,.,#]]}•> . § 6. Начальные и граничные условия . Начальные условия для задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости не отличаются от таковых же условий для случая идеальной жидкости. И в том и в другом случае должно быть задано в начальный момент t = 0 распределение скорости во всей рассматриваемой области, т . е. должны быть заданы три следующие функции: v j x , у, z, 0 ) = Z 1 Ck 1 у , г), vy(x, у, г, 0 ) = / 2 (* , у , г) , J vz(x, у, z, 0) = Z3O- у, z). j ') См. M о н и н А. С., О лагранжевых уравнениях гидродинамики несжимаемой жидкости, ПММ, 1962. 398 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкост и [ГЛ . и Впрочем, в очень многих задачах приходится рассматривать движение или стационарное, или сводящееся к стационарному, и тогда вопроса о начальных условиях вовсе не возникает. Напротив, граничные условия в случае вязкой жидкости будут иными, чем в случае идеальной жидкости. Это обстоятельств о имеет громадное принципиальное значение. Нужно особенно подчеркнуть, что с математической точки зрения исследование движений вязкой жидкости отличается не тольк о усложнённостью уравнений движения по сравнению со случаем идеальной жидкости, но и своеобразием пограничных условий. Переходим теперь к формулировк е пограничных условий в случае вязкой жидкости. Мы рассмотри м три случая, которые в дальнейшем нам понадобятся: 1) жидкост ь примыкает к неподвижной стенке, 2) жидкость примыкает к подвижной стенке и 3) жидкость ограничена свободной поверхностью. Мы будем считать, что в точках, где вязкая жидкость примыкает к твёрдой неподвижной стенке, скорость жидкости обращается в нуль. Иными словами, в точка х соприкосновения вязкой жидкости с твёрдой неподвижной стенкой не тольк о нормальная составляющая скорост и обращаетс я в нуль, как это имеет место и для случая идеальной жидкости, но и касательная составляющая скорости тоже равна нулю. Таким образом , вязкая жидкость прилипает к твёрдым стенкам. В настоящее время считается, что это допуще ние достаточно хорош о подтверждаетс я опытом. В точках, в которы х вязкая жидкость примыкает к подвижной стенке, мы потребуем выполнения следующего условия: в этих точках скорость жидкости должна по величине и направлению совпадать со скоростью соответствующей точки стенки. Рассмотрим теперь случай свободной поверхности жидкости, граничащей с пустотой, где давление pQ принимается равным нулю, или с воздухом, где давление принимается имеющим постоянное значение р 0 . На такой поверхности должн о выполняться, во-первых, кинематическое условие: нормальная к свободной поверхности составляющая скорости должна совпадать со скоростью перемещения поверхности разрыва, и во-вторых , динамическое условие: вектор напряжения рп для площадок, касательных к свободной поверхности, должен быть направлен по нормали к этим площадкам внутрь и по численной величине должен быть равен р0, так что мы должны иметь Pnn = - P0, Pns=O, если s есть любое направление, касательное к поверхности в рассматриваемой точке. Приведём теперь несколько соображений, показывающих, какое большое значение имеет правильный учёт граничных условий. Рас смотрим уравнения вязкой несжимаемой жидкости (5.4). Эти урав нения отличаются от уравнений идеальной жидкости тольк о членом НАЧАЛЬНЫ Е И ГРАНИЧНЫ Е УСЛОВИ Я 39 9 vrotQ . Если вектор Q = rot(r) есть потенциальный вектор, т . е. если rot v == grad х , то rotQ = 0, и уравнения вязкой жидкости совпадут с уравнениями идеальной жидкости. В частности, это имеет место для безвихревого движения, когда rot(r) = 0, т. е. когда (r) = gradtp, (6.2) причём, вследствие уравнения неразрывности, <р есть гармоническая функция, т . е. удовлетворяет уравнению Лапласа Atp = O. (6.3) Итак, мы имеем довольно обще е решение уравнений движения несжимаемой жидкости , как вязкой, так и идеальной. Однак о это решение, в случае идеальной жидкости позволяющее рассмотреть целый ряд задач, в случае вязкой жидкости оказывается почти совершенно бесполезным. Допустим , например, что мы рассматриваем задачу о прямолинейном и равномерном движении твёрдого тела в жидкости со скоростью U параллельно оси х. Тогда в случае идеальной жидкости мы имеем всего лишь одно граничное условие, которое должно выполняться во всех точках поверхности S, огра ничивающей тело, а именно Vn = Uzos (п, х) ил и = U co s (п, х), (6.4 ) где п есть направление нормали к поверхности 5 . Как известно, условие (6.4) определяет гармоническую вне поверхности 5 функ цию <р единственным образом, если отвлечься от постоянного слагаемого, которое , по (6.2), не играет никакой роли при определении v. В случае вязкой жидкости мы имеем, вместо (6.4), во всех точках поверхности 5 три граничных условия: Й " I f = 0 ' <м > и легко видеть, что не существуе т решения уравнения (6.3), удовлетворяющего всем условиям (6.5) . Этот пример показывает нам, что трудност ь решения задач гидромеханики вязкой жидкости кроется не тольк о в усложнённом виде Уравнений движения, но и в большем, по сравнению со случаем идеальной жидкости, количестве пограничных условий. Мы видим далее, что безвихревы е движения не дают решений задач гидромеханики вязкой жидкости не потому, что они не удовлетворяют основным уравнениям движения, а потому, что они не выполняют пограничных условий. А это означает, что завихренность Движений вязкой жидкости обусловливается наличием граничных Условий, т. е. существованием прилипания жидкости к стенкам. 40 0 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. И Поэтому в движениях вязкой жидкости следует, вообще говоря, ожидать наличия большой завихренности в областях вблизи стенок, в то время как в областях, далеки х от стенок, движение может приближаться к потенциальному. Особенно большо е значение приобретают эти рассуждения в случае жидкостей с очень малыми коэффициентами вязкости. В самом деле, в этом случае уравнения движения всюду очень мало отличаются от уравнений движения идеальной жидкости и поэтому казалось бы, что соответствующие решения уравнений идеальной жидкости должны давать движения жидкости, очень мало отличающиеся от истинных движений вязкой жидкости. Н о вся беда в том, что указанные решения уравнений идеальной жидкости не могут, вообще говоря, удовлетворить пограничным условиям, имеющим место для вязкой жидкости . Это приводит к тому, что движение даж е маловязкой жидкости может очень сильно отличаться от движения идеальной жидкости и притом, главным образом, вблизи стенок. § 7. Диссипаци я энергии. В этом и двух следующих парагра фах мы рассмотрим ряд общи х свойств движений вязкой жидкости, причём будем исходить из выведенных выше общи х уравнений движения. Вглядываясь внимательным образом в уравнения (5.1), мы можем прежде всего подметить необратимость процессов, описываемых этими уравнениями. Это означает следующее: рассмотрим некоторое движение вязкой жидкости , происходяще е под действием сил, не зависящих от времени, и в некоторый момент времени / = O определим поле скоростей; переменим тепер ь направления всех скоросте й на обратные и примем это распределение скоростей за начальное; тогда жидкость будет совершать некоторо е движение. Если бы жидкость была идеальной, то каждая частица жидкости проходила бы в обратном порядке ту траекторию , по которой она двигалась до момента / = 0 и притом с теми же самыми скоростями, но только прямо противоположно направленными; в случае вязкой жидкости этого обстоятельства существоват ь не будет - новое движение не будет уже иметь тако й непосредственной связи с первоначальным. С математической точки зрения это последнее утверждение сводится к тому, что если мы имеем решения v(x, у, z, t) и р(х, у, z, t) уравнений (5,1), то функции v^x, у, z, t) = - v(x, у, z, -t), 1 р^х, у, z, t) = р{х, у, z, -t) } не будут уже давать решения уравнений (5,1). В самом деле, соотношения (7.1) приводят к равенствам типа: ^vIx - ^vX ". dvlx -_ dvx dv 1Х - dvx dt ~ dt ' lx дх ~ * dx ' 1V ду У dy ' d v i x . . . d ^ x <5/>i др ДИССИПАЦИ Я ЭНЕРГИИ 40 1 причём в левы х частях эти х равенст в аргументам и являютс я х , у, z, t, а в правы х х , у, z, - t . С друго й стороны , мы, очевидно, имеем равенства : Aw 1 ,.= - Awjfl Awly = -Aw y , A w u = A w 2 , а тогда ясно, что функци и W1 и р{ не удовлетворяю т систем е (5.1) , что и доказывае т необратимост ь движени я вязкой жидкости . С этим обстоятельство м тесн о связан о наличие так называемо й диссипации энергии, котора я состои т в том, что при движения х вязкой жидкост и некотора я часть механическо й энергии переходи т в энерги ю тепловую . Исход я из уравнени й движения , мы можем, конечно, обнаружит ь тольк о потер ю механическо й энергии , причём можем подсчитат ь количеств о теряемо й энергии . О том, что эта энергия переходи т в тепловую , мы судим уж е на основании общег о принципа сохранени я энергии, по котором у при потер е энерги и в одном каком-либ о виде должн о появиться эквивалентно е коли чество энергии в други х формах . Рассмотри м внутр и жидкост и произвольны й объё м т, ограничен ный поверхность ю 5 . Как выше , обозначим чере з F массову ю силу . Элемент dx имеет массу р dr , поэтом у массова я сила, приложенна я к элемент у dx, буде т равна Fpdx, а работ а этой силы за врем я dt буде т равна F-vpdxdt, ибо перемещени е элемент а жидкост и dx равн о vdt. Работ а всех массовы х сил, приложенны х ко всем эле ментам объём а т, буде т равна : A1 = J F • vpdx dt. (7.2 ) Далее , к элемент у dS поверхност и S приложен а сила pndS, работ а которо й за врем я dt буде т равна РП-V dSdt, а работ а поверхност ных сил, приложенны х ко всем элемента м поверхност и 5 , буде т равна : A2=Jpn-VdSdt. (7.3 ) 5 Пользуяс ь формуло й (3.1 ) и формуло й Гаусса , мы можем пре образоват ь выражени е A2: А 2 ~ f {рх ' v c o s (п> х ) + P y ' v c o s (П' У) j T p z ' V c o s z)} dS dt = S мы имеем далее : Md(Px-V) д (py-v) д (Pi-V) \ = J {-Ш Ь - i y h ^ - )dtdx-, 1 ' V "~Г~ I dv , dv , dv .. I-, , r, + P x ^ + P y ^ j T P z = d l y H ' " + Я 2 6 Теоретическа я гидромеханика , ч. II 40 2 ДВИЖЕНИЕ вяз КОП ЖИДКОСТИ [ГЛ. И причем мы пользуемся следующим обозначением: с d(r) I " d V _ L " d V - E = P*'-fc-T~py " З у + Л ' 1 7 - _ _ L i j L L 4 L i L l j L ^ L i i - P x x ~дх ' Р х У ~дх P x z дх P" x ду p y y ду ' Р У г ду dvx dvy dvz + Pzx "ar + Pzy -Jz + Pzz или, что то же, E = Pxxh + Pyye 2 + PzzH + РхуЧ + Pxze2 + Pyz6I• (7-4) Итак , A1-JrA2 = f [F-(r)p-fdivll • v-±-E\didt. t Воспользуемся теперь уравнениями движения (4.5), тогда получим A1-^-A2 = J [w • (r)р -j Е] di dt. т Н о если обозначить через T кинетическую энергию рассматриваемого объёма : X то будем, очевидно, иметь: (7.5) и так как т о dT T / V2 \ 1 d I-g-J = j d ((r) • v ) = V • dv = V • 1W dt, d T = J pv • lWdxdt. Поэтом у окончательно получаем: A1-^r A2 = dT-\ j" Ed^dt. (7.6) T Это равенство говорит, что производимая массовыми и поверхностными силами работа тольк о частью идёт на увеличение кинетической энергии Т. Друга я часть этой работы, которая, будучи отнесена к единице объём а и единице времени, численно равняется Е, в случае несжимаемой жидкости пропадает, как механическая работа . ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 403 Таки м образом, в случае несжимаемой жидкости количество диссипирующейся энергии, т. е. количество механической энергии, превращающейся в тепловую, будучи отнесено к единице времени и единиц е объёма, определяется выражением (7.4). Если воспользоваться формулами типа Pxx = - P + 2 I j s H Pxу = IJ-6S и условием несжимаемости div V = 0, то легко получим друго е выражение для £ = р [2е ? + 2 ^ + + Si + 81 + б| ] = Эта формула показывает, что диссипация энергии отсутствует тольк о в таки х движениях жидкости, когда все составляющие тензора скоростей деформаций приводятся к нулю, т. е., когда движение сводится к комбинации поступательного и вращательного движений, иначе говоря, сводится к движению твёрдого тела. § 8 . Обобщени е уравнений Гельмгольца . В главе V части первой при рассмотрении вихревых движений в идеальной жидкости были выведены уравнения Гельмгольца. Смысл этих уравнений заключается в том, что они дают возможность количественного учёта изменений, происходящих с вихрями. Выше было отмечено, что громадное большинство движений вязкой жидкости является движениями вихревыми. Понятно поэтому т о большое значение, которо е должны иметь в случае вязкой жидкости уравнения, аналогичные уравнениям Гельмгольца. К выводу этих уравнений, протекающему совершенно аналогично случаю идеальной жидкости, мы теперь и приступим, причём мы предположим для определённости, что имеем дело с вязкой несжимаемой жидкостью, находящейся под действием массовых сил, имеющих потенциал. Тогда основные уравнения гидромеханики даются формулами (5.4), первая из которы х имеет вид: Atn + Q X V = - grad H - V rot Q . Возьмём от обеих частей этог о равенства операцию rot, тогда получим: rot -I rot [Q X v) = - v rot rot Q, (8.1) 26 * 40 4 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И ибо rot grad H = 0 . Заметим теперь, что, с одной стороны, с другой стороны, d i v (r) = 0 , div Q = di v rot v = 0. Поэтом у формула векторного анализа rot ( а X &) - a div & - & div а + (& • V) a - ( а • V)& сразу даёт нам, что rot (Q X (r)) = ((r) • V) Q - (Q • V)v . Тогда так же формула (5.3) сразу показывает, что A Q = - rot rotQ . Замечая, наконец, что , dv д rot V dQ H t - dt ~~ I t ' мы можем записать уравнение (8.1) в виде: Jg L . f ( " . V) Q -( Q • V) г" = v AQ или короче: i g = (Q.V) * + vAQ. (8.2) Это уравнение, равносильно трём скалярным уравнениям, первое из которы х мы выписываем: dQx dQx , ^Qjt- dQx dt ~ x dx 1 У dy ^ dz ~~ = 2 ^ + Qy ^ + + (8.3) и представляет собою обобщение уравнения Гельмгольца. Полагая V = 0, мы получим уравнения, установленные Гельмгольцем для случая идеальной несжимаемой жидкости. В главе V части первой было подробно исследовано физическое значение этих последних уравнений. Из сказанного там вытекает, что уравнение (8.2) при v = 0 является математическим выражением следующего факта: вихри с течением времени изменяются таким образом, что вихревая линия все время совпадает с той жидкой линией, с которой она совпадала в начальный момент времени, причём интенсивность любой вихревой трубки с течением времени не изменяется. Иными словами, вихри перемещаются вместе с частицами. Таким образом, те члены уравнения (8.2), которые не зависят от вязкости, определяют тако е изменение вихрей, которо е можно коротк о охарактеризоват ь как перенос вихрей вместе с частицами жидкости. 8 ] ОБОБЩЕНИ Е УРАВНЕНИ Й ГЕЛЬМГОЛЬЦ А 40 5 Остаётся выяснить какое значение имеет последний член в урав нении (8.2) или в уравнениях (8.3) . Рассмотрим, например, уравне ние (8.3) и заметим, что, как показывается в векторном анализе 1 ) , (Дср)Жо = Iim ~ J (срж - ср^) dS, £->0 о где M есть переменная точка сферы S с центром в точке M0, радиус которой равен е. Отсюда вытекает, что если (Д(р)уц0 > 0, то среднее значение функции tp на бесконечно малой сфере с центром в точке M0 больше значения функции tp в центре M0 этой сферы; если же (Atp)M0 <С 0. т 0 среднее значение функции tp на сфере меньше значения этой функции в центре сферы. Вглядываясь теперь в уравнение (8.3), мы замечаем, что если > 0, то от члена с вязкостью величина dQxjdt получает положительную слагаемую, т . е. в этом случае влияние вязкости сказывается в уравнении Qx. Но, как мы только что указывали, в этом случае среднее значение Qx на бесконечно малой сфере больше значения Q x в центре этой сферы. Таким образом вязкость стремится сравнять значение Qx в какой-либ о точке со значениями Qx в окружающи х точках. Аналогичные обстоятельства имеют место и в случае < 0. Отсюда мы можем вывести заключение, что дрйствие вязкости сводится к выравниванию значений вихрей внутри жидкости. Коротк о это т процесс выравнивания величин вихрей можно назвать диффузией вихрей. Итак , член vAQ в уравнении (8.2), зависящий от вязкости, определяет изменение вихрей, сводящееся к их диффузии. В дальнейшем мы будем иметь несколько конкретных примеров диффузии вихрей. Особенно простой и важный вид получает уравнение Гельмгольца в случае плоского движения. В этом случае Vz = 0, a Vx и Vy не зависит от z . Уравнение неразрывности принимает вид: dvx dv,, 1 L - о дх ду и показывает, что существуе т функция тока W (х, у, t), через которую проекции скорости выражаются формулами: ^1" /О AS Из трёх составляющих вихря тольк о одна Qz может быть отлична от нуля. А именно, мы имеем: dv., dvr Qz2 = V l L = A ^ . (8.5) дх ду ' ^ м., например , К о ч и н Н. E,, Векторно е исчисление , ГОНТИ , 1938, 40 6 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Обобщённое уравнение Гельмгольца сводится к одному уравнению, аналогичному уравнению (8.3), имеющему вид: dQz , dQ, , дй, ЛГ1 -ж+ •v* ~d+^y w = v ^8 -6) Подставляя сюда значения vx, VY и й2 > окончательно находим следующе е уравнение для функции тока ЧГ: дШ . дЧГ dAW дЧГ д AW . ,ч S T + W S T I з г ^ г ( 8 7 ) Это уравнение, играющее фундаментальную роль при изучении плоских движений вязкой жидкости , является, таким образом, мате матическим выражением тех изменений, которы е происходят с вих рями в этом движении. § 9. Закон подобия. Число Рейнольдса . В предыдущих параграфах мы уже вывели, опираясь на общие уравнения движения вязкой жидкости, целый ряд свойств этих движений, например, что эти движения должны быть вихревыми движениями, что с течением времени происходит диффузия вихрей, что кинетическая энергия движения частью переходит в тепловую и т. д. В настоящем параграфе мы, также исходя из общих уравнений гидромеханики вязкой жидкости, рассмотрим очень важный вопрос о законах подобия в гидромеханике, а такж е приведём ряд связанных с этим вопросом соображений. Вопрос о подобии в гидромеханике особенно важен потому, что экспериментальные исследования могут быть произведены зачастую тольк о над моделями тел и по этим экспериментальным данным необходимо бывает выяснить, как буду т вести себя в соответствующем потоке сами тела. Положим, для определенности, в основу наших рассуждений уравнение гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости. Выпишем одно из этих уравнений: dvz , dvz . dv, , dv, " 1 dp . A /ri , . -W + v * d T + v > W + Vz-dF = z - 7 + (9 1 ) Рассмотрим теперь какое-нибуд ь движение жидкости, например обтекание сферы радиуса а потоком, имеющим на бесконечности скорость U , или течение жидкости внутри цилиндрической трубы радиуса а со средней скоростью U и т . п. Производя соответствующие экспериментальные исследования, мы будем иметь дело с различными размерами обтекаемых тел, с различными скоростями движения и с жидкостями различной вязкости. В соответствии с этим, в результат е опытов получается зависимость формы течения и других интересующих нас величин, как , например, численного значения сопротивления, испытываемого телом при его движении в жидкости, от целого ряда параметров. Оказывается, §9]ЗАКО Н ПОДОБИЯ . ЧИСЛ О РЕЙНОЛЬДС А 40 7 однако, что, изучая движения жидкост и окол о или внутр и геометри чески подобны х тел , мы при определенны х соотношения х параметро в получаем геометрически подобны е течения. А эт о имеет своим следствием, что интересующи е нас величины, как , например, величина сопротивления, испытываемог о телом , могут зависеть тольк о о т определенны х комбинаций упомянуты х выш е параметров . Дл я целей обработк и экспериментальны х данны х эт о обстоятельств о имеет гро маднейшее значение, так как оно позволяе т в большо м числе случаев сводить результат ы эксперименто в к выявлению функционально й зависимости от одног о или дву х независимых переменных . Переходи м тепер ь к боле е подробном у рассмотрени ю всего этог о комплекса вопросов . Установим прежд е всего достаточны е условия механического подобия дву х течений жидкост и окол о или внутр и двух геометри чески подобны х тел . Обозначим через tx, X1, yv Z1, V1, X1, Y1, Z 1 , P1, P1, V1 величины, относящиеся к первом у течению, а через t2, х2, у2, z2, v2, X2, Y2, Z2, р2, P2, V2- величины, относящиес я к о втором у течению. Есл и рассматриваемые течения механически подобны, т о после надлежа щего выбора начала координа т и начала отсчёта мы будем иметь соотношения: = Ci, ^ = lL - b . - !*=c" t\ ' X1 X1 Z1 11 ' v(9.2 ) где tx и t2 - соответствующи е моменты времени, X1, ylt Z1 и х2, у2, Z2 - координат ы соответствующи х точек , I1 и Z2 - соответствующи е размеры; Ct и C1 сут ь постоянные . Пр и этих обозначениях мы имеем далее, в силу самого понятия механическог о подобия: v2(x2, у2, z2, t2,) = CvV1 (X1, ух, Z1, tx), (9.3 ) где Cv есть новая постоянная, равна я при этом ClICt, ибо, например, _ ^x2 _ Cl Cix1 _ Cr Vz* ~~ dt2 ~~ Ct At - Ct v^f Допусти м далее , что для соответствующи х точе к мы имеем соот ношения: X2 (х2, у2, Z2, t2) Y2 Z2 р X 1 ^ y l , Z u t l ) Y 1 Z 1 ?2 =1C9Pu v 2 = C v v l . где C p , C p l Cv - тож е постоянны е величины. (9.4 ) Составля я уравнени е (9.1) дл я второг о течения, мы на основании тольк о что выписанных равенст в (9.2) , (9,3), (9.4 ) легк о перепишем 40 8 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкост и [ГЛ. II его в виде: C^dv11 , _£j W O^ll - 7 Г + Отсюда мы заключаем, что если -2 (9.6) ^ = = C p = ^ . (9.7) C1 C1 F Cl к ' и С ViC г\С j P i = j l TT^P V (9.8) w то уравнение (9.5) и ему аналогичные будут удовлетворены и, следовательно, второе течение, по условию подобное первому, тоже может иметь место в действительности. Равенства (9.7) позволяют выразить все постоянные С через две из них, за которые мы примем Cv и C1. А именно, мы имеем: С .С С г. С. С _ _ г) " 7 ^ = 1 . ^ r 1 = 1 ' T ^ = 1 P^=CfClp1. bV uVbI Подставляя сюда значения постоянных С из равенств (9.2), (9.3) и (9.4), мы легко придём к следующим соотношениям: t2v2 txvx Z2I2 Z1 Z1 V2 V1 р2 Pl I2 I1 v\ V21 V2I2 V1I1 ' P2I^ P1^f (9.9) Следовательно, достаточными условиями механического подобия является выполнение соотношений (9.9) для любых двух соответствующих точек рассматриваемых течений. Первое из этих соотношений является, собственно говоря, условием кинематического подобия, последнее же из соотношений (9.9) определяет р2 и, следовательно, всегда может быть выполнено. Таким образом, по существу говоря, мы получаем в рассматриваемом случае два условия механического подобия". V 2 I 2 Vjl ] (9.11 ) V 2 V 1 § 9] ЗАКО Н ПОДОБИЯ . ЧИСЛ О РЕЙНОЛЬДС А 40 9 Обозначим через I характерны й для данного движения размер, например, в случае задачи об обтекании сферы это будет радиус сферы; точно так же обозначим через V характерну ю для данного движения скорость , например скорост ь на бесконечности в случае задач и об обтекании сферы. Положим, наконец, что внешний мас с о в о й силой является сила тяжести, так что Z = - g. Введём в рассмотрение два числа: (9.12) называемое числом Рейнольдса, и называемое числом Фруда. Мы видим, таким образом, что для вязкой несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести, два течения, обладающие одинаковыми числами Рейнольдса и Фруда, являются подобными. Конечно здесь, как и в дальнейшей части этого параграфа, всегда предполагается, что речь идёт о течениях окол о или внутри геометрически подобных тел . Примером, где закон подобия должен был бы применяться в тольк о что полученной форме, является испытание моделей кораблей . В самом деле, сопротивление корабля слагается как из сопротивления трения, так и из волнового сопротивления, обязанного своим происхождением волнам, образую щимся на свободной поверхности жидкости под действием силы тяжести. Однако на практике мы встречаемся со следующим затруд нением: пусть величина модели в 100 раз меньше величины судна в натуре; по уравнению (9.13), для того чтобы число Фруда F осталось неизменным, нужно взять скорость V в 10 раз меньше скорости судна в натуре. Чтобы число Рейнольдса R тоже осталось неизменным, коэффициент вязкости v нужно взять в 1000 раз меньше коэффициента вязкости воды; практически этого осуществить нельзя. Поэтому при испытаниях применяют тоже воду и сопротивление трения определяют по особым опытным формулам . Остаточное же сопротивление - волновое - пересчитывается по закону подобия для идеальной несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести; но этому закону Таким образом, при испытаниях моделей судов линейные размер ы модели должны быть пропорциональны квадрат у скорости движения модели. Если жидкость находится под действием силы тяжести, но свободных поверхностей в рассматриваемом течении нет, то закон 41 0 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. и подобия сильно упрощается . В самом деле, в этом случае в уравнения движения можно ввести вместо давления р новую величину Я = P -jT P gz, (9.14) если считать ось Oz направленной вертикально вверх. Тогда урав нения движения принимают вид: (9.15) т. е. сила тяжести является исключённой. В случае наличия свободной поверхности этот искусственный приём не дал бы результата, так как на свободной поверхности имеется граничное условие, в которое входит величина р, а не q. Н о раз внешняя сила оказалас ь исключённой, то условия (9.10) уж е более не получается, и мы приходим к следующему закон у подобия, открытом у Осборном Рейнольдсом: для вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил или при действии силы тяжести, но при отсутствии свободных поверхностей, два течения, обладающие одинаковыми числами Рейнольдса, являются подобными. Отсюда вытекает, что при рассмотрении течений вязкой жидкости число Рейнольдса должно играть колоссальную роль . Так , например, мы указывали в самом начале этой главы, что кроме правильных, так называемых ламинарных течений жидкости, существую т течения беспорядочные, так называемые турбулентные. Когда мы рассматриваем различные течения жидкости окол о или внутри геометрически подобных тел, то оказывается, что при малых числах Рейнольдса эти течения ламинарны, при больших же числах Рейнольдса они становятся турбулентными. Таким образом, число Рейнольдса определяет даже самый характе р течения. Подойдём теперь к вопросу о подобии с нескольк о другой точки зрения. Рассматривая какое-либ о течение жидкости, введём, как выше было указано, характерну ю для данного течения скорост ь V и характерну ю длину /. Та к как можно принять, что характерна я скорость V равна отношению характерно й длины I к характерном у для данного течения промежутку времени Т, то характерным промежутком времени будет T=IjV. Наконец , характерны м ускорением бу дет VjT или V2jl. Введём в рассмотрение безразмерные величины, а именно, положим: х = И; у = lf]\ Z = /С; ] V = Vu-, / = р = Pp. j (9.16) §9]ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА 411 Преобразуе м тепер ь уравнени я движения , например , уравнени е (9.1) , к введённы м безразмерны м величинам , причё м дл я определён ност и буде м считать , чт о массова я сил а ест ь сил а тяжести . Так , на пример , м ы имеем : Ovz _ V2_ диг_ dt I dz ' л d'v* I d*vz I Pvz V 1 d3uz . д*иг , d*uz \ V дх* ду2 "Г" dz1 /2 ^ di2 ^ r drf "т" д^ J ~ I2 ^ Просты е вычисления показывают тогда, что уравнение (9.1) после указанного преобразования и умножения на IjV2 принимает следующий вид: d u Z J U , , dBz-L-U I и duZ IZ P dP I ^ Л ,, Q T j T U x d i -F-U y ^ -F-U z ^ - у 2 ? у 2 д с T i v V V Мы положим: P = pV2, и введём, как выше, числа Рейнольдса и Фруда: R - тогда уравнение принимает вид: duz . duz d u Z i l l d"z _ 1 cqi7> И з этог о уравнения ясно видно, что характе р течения зависит от значений чисел F H R . Обратно , если для дву х течений окол о геометрически подобных тел числа Рейнольдс а и Фруда одинаковы, то уравнения движения в безразмерных величинах для обоих течений будут одинаковы, так же как и граничные условия и, следовательно, их, иу, uz буду т для обоих течений одинаковыми функциями от £, TJ, С, г. Но тогда из уравнений (9.16 ) ясно видно, что ^ = Z 2 Z 2 A . tI - l ^ v 1 _ Z 2 п I1V2 ' V1 v^t а это и означает, что два рассматриваемых течения подобны между собою. Итак , при совпадении для двух движений чисел Рейнольдса и Фруда эти движения подобны между собою. Наконец , третий способ вывода условий подобия основан на соображениях теории размерностей') . Возьмём определённое течение жидкости, характеризуемо е в некоторо й системе единиц величинами ' ) В книг е Б р и д ж м э н П . В., Анали з размерностей , ГТТИ , 1934, со держитс я подробно е изложени е теори и размерностей , см . также : ^ е д о в Л . И. , Метод ы теори и размерносте й и теори и подоби я в механике , 1 остехиздат , 1944. 41 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкост и [ГЛ . И х , у, z, t, vx, vy, vz, р, р, v. g. Пусть мы имеем дело с физической системой единиц, так что основными единицами являются: единица длины, единица времени и единица массы. Изменим теперь эти единицы, положив старую единицу равной L новым единицам длины, старую единицу времени - T новым единицам времени и старую единицу массы - M новым единицам массы. Принимая во внимание размерности всех вышеперечисленных величин, а именно [X ] = [у ] = [2 ] = L, [t] = Т, [Vx] = [Vy] = [vz] = А , [? ] =AfZT 3 1 [р]= ML~lT~2, [v] - L2I \ [g] = LT~2, и обозначая численные значения всех вышеприведенных величин в новой системе единиц теми же буквами с чертой наверху, будем иметь: X -- Lx, У = Ly, Z = Lz, 7= Tt, L V x = T v x , M L = T v Г Vz (9.18) J = U ? • P V 7" 2 J Обратим внимание на то, что в новой системе численные значения всех рассматриваемых величин изменились, но так как нами рассматривается одно и то же движение жидкости, то уравнения движения всё равно будут удовлетворяться. Итак, величины vx, v , vz, р, р удовлетворяют уравнениям движения, в которых вместо g стоит g и вместо v стоит v. Но тогда никто не может нам помешать вернуться к старым единицам и рассматривать такое новое движение новой жидкости (коэффициент вязкости которой в старых единицах равен v) и находящейся под действием силы тяжести, ускорение которой равно g, в котором численные значения составляющих скорости, плотности и давления, измеренные в старых единицах, равны как раз vx, vy, vz, р, p. Из первых двух строк равенств (9.18) сразу видно, что старое и новое движения будут подобны между собою. Последние два равенства (9.18), определяющие значения, которые должны иметь для нового движения величины v и g, дают нам искомые условия механического подобия. Обозначая опять через I и V и соответственно через IhV характерные длину и скорость, мы будем иметь: L-- - - Y !L-IY L - ^12 ~ I ' T - V ' T ~~ IV ' T1 ~~ IV2' §9]ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА 41 3 и поэтом у дв а последни х услови я (9.18 ) принимаю т вид : - J Z Z l Z i V V ' Ig Ig Короч е говоря , должн о быть : R = R 1 F = F. т. е. в двух рассматриваемых нами подобных движениях числа Рейнольдса и Фруда совпадают. Этот вывод, может быть, не столь простой, как предыдущие, замечателен тем, что нам совершенно не понадобилось использовать вид уравнений движения вязкой жидкости: нам достаточно было знать только, какие величины входят в эти уравнения. С другой стороны, этот вывод уясняет нам до некоторой степени связь, которая существует между законами подобия и теорией размерности. К уяснению этой связи можно подойти ещё иным способом. Допустим, что нами рассматривается вопрос о сопротивлении Q, испытываемом телом определённой геометрической формы, двужущимся в вязкой несжимаемой жидкости прямолинейно и равномерно со скорость ю V. Обозначим характерны й размер тела через /, плотность жидкости через р, коэффициент вязкости через v. Если свободных границ нет, то действие силы тяжести скажется тольк о в гидростатической подъёмной силе, т. е. на сопротивлении Q никак не отразится. Нам нет теперь надобности знать точный вид уравнений движения, а достаточно тольк о точно перечислить все величины, от которы х может зависеть сопротивление Q. В данном случае мы будем иметь: Q = Ф (/, V, р, V). (9.19) Применим теперь соображения теории размерностей. Формула (9.19) должна иметь место, какой бы системой единиц мы ни пользовались. Пусть , как выше, мы пользуемся физической системой единиц и пусть мы вводим новые единицы длины, времени и массы, соответственно в L, T и M раз меньшие старых единиц. Обозначая, как выше, численные значения всех рассматриваемых величин в новой системе единиц теми же буквами с чертой наверху, будем иметь Т=1Л. V = J r V . P=^Lpi 7 = £ V i q ^ M L Q , Поэтом у равенство (9.19), которо е должно иметь место и в новой системе единиц, принимает вид: (9.20) 41 4 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. И Сравнивая (9.19) и (9.20), мы приходим к выводу, что должно существовать следующее тождество : Ф / , , L M L \ M L , , . . , . / п [Li, T V , JJ Р, - v j = ^ (r) ^ V, р, v) . (9.21 ) Положим теперь в этом тождестве : Г 1 T ' тогда получим равенство: Ф(/ , V , р, v) = P V a j ^ i i I j 1 , J L ^ . ( 9 22 ) Чтобы подойти к обычной форме для сопротивления, обозначим через 5 величину площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения. Ясно, что S = а/2 , где з есть безразмерная величина. Пусть , далее , R = - V есть число Рейнольдса . Если ввести теперь обозначение 1ф(1 , 1, I.-*) = /(R) . то формула (9.22 ) принимает вид: ф(/ , V, р, v) = 5 ^ P z ( R ) Итак , при сделанных допущениях мы получаем следующее выражение для испытываемого телом сопротивления: Q = S ^ Z ( R ) - (9-23) Таким образом, чтобы уметь вычислить сопротивление, испыты ваемое телом данной геометрической формы при его равномерном движении во всех жидкостях, при всевозможных скоростя х и раз мерах тела, достаточно знать функцию Z(R ) одного тольк о аргумента R . Эта функция в некоторы х случаях может быть найдена теоретически, в громадном же большинстве случаев её можно получить тольк о экспериментально. Заметим ещё раз, что для каждой формы тела и даже для одной и той же формы тела, но в различных его положениях (например, для эллипсоида, движущегося в направлении наибольшей оси и для того же эллипсоида, движущегося в направлении наименьшей оси) функции f (R) буду т различными. Если мы имеем дело с движением тела в вязкой несжимаемой жидкости при наличии свободной поверхности, то формула для УРАВНЕНИ Е ПРИТОКА ТЕПЛА 41 5 сопротивления усложняется. А именно, вместо (9.19) мы имеем в э то м случае формулу: Q = Ф(/ , V, р, v, g). Те же самые рассуждения, что и выше, приводят в этом случае к формуле: Q = 5 е р / ( R 1 F) , (9.24) г д е F = V 2 Il g есть число Фруда. Д о сих пор мы всюду предполагали, что имеем дело с несжимаемой жидкостью. В случае сжимаемой жидкости все наши выводы усложняются. Как известно, в случае сжимаемой жидкости фундаментальное значение имеет скорост ь а распространения звука. В связи с этим для сжимаемой жидкости появляется, кроме чисел Фруда и Рейнольдса, ещё число Маха M = -J. (9.25) При одновременном действии сил тяжести и вязкости в случае сжимаемой жидкости два течения окол о или внутри геометрически подобных тел с одинаковыми числами Фруда, Рейнольдса и Маха будут подобными. Точно так же закон сопротивления (9.24) усложняется и принимает следующий вид: Q = 5 / (R1 F . М). (9.26) Если число Маха M невелико, т о /(R , F , М ) " / ( R , F , 0) и коэф фициент Маха пропадает из закона сопротивления. Таким образом , влияние сжимаемости начинает сказыватьс я тольк о тогда, когда харак терная скорость достигает значений, сравнимых со скоростью звука . § 10. Уравнение притока тепла для вязкой сжимаемо й жидко сти. Начиная с § 5 и далее, мы занимались лишь несжимаемой вязкой жидкостью. Уже было указано , что в случае вязкой сжимаемой жидкости четырёх уравнений (4.9), (4.10 ) недостаточно для определения пяти функций р, р, vx, vy, vz. С подобным обстоятельством мы столкнулись ещё в главе по газовой динамике. Там нам пришлось прибавить пятое, заимствованное из термодинамики соотношение, и лишь тогда мы сумели замкнуть систему дифференциальных уравнений. Однак о то уравнение, которо е мы называли в предыдущей главе уравнением притока тепла, носило частный характе р - М ы рассматривали там движение с большими скоростями и считали, ц ю частицы не успевают обмениваться теплом с окружающим пространством. Сейчас мы рассмотрим общий случай. Имея в виду конкретные приложения, мы, как и прежде, ограничимся рассмотрением совершенных газов. 416 ДВИЖЕНИЕ вязко й жидкост и [ГЛ. и Уравнение приток а тепл а мы выведем из принципа сохранени я энергии . Рассмотри м произвольны й объё м (т) конечны й или беско нечно малый, вырезанны й внутр и жидкост и замкнуто й поверх ностью (S). Это т объё м обладае т массой : J p dz, где dt-элемен т объём а (т). Та к ж е ка к и в случае газово й дина мики, это т объё м обладае т двум я видами энергии : кинетическо й К и так называемой внутренней . Перва я може т быт ь представлен а в виде * = / P l T * м вторая , для совершенны х газов, имеет вид: f CvTp dz, где Cv - теплоёмкост ь при постоянном объёме , T - температура . Изменени е энерги и частиц ы (х) происходи т теперь , в отличие от того , что был о в газово й динамике , не тольк о за счё т работ ы объёмны х и поверхностны х сил, приложенны х к частице, но и за счёт приток а тепл а к этой частиц е извне. Основны м видом приток а тепл а к частице являетс я приток , происходящи й при помощи теплопровод ности. Есл и обозначим коэффициен т теплопроводност и чере з k, т о количеств о тепла , прошедшег о благодаря теплопроводност и чере з по верхност ь частицы внутр ь её за промежуто к времени от t1 д о t2 будет : и / / llWdsdt t, (S) где п - внешняя нормал ь к элемент у dS нашей частицы . Пусть , кром е того , s буде т происходяще й за счёт други х причин прито к тепл а за единицу времен и и в единице объём а частицы . Эт о може т быть , например , притоко м тепл а от излучения . Тогд а к предыдущем у интеграл у мы должн ы прибавит ь величину ti J Jedzdt. t\ (t) Работ а объёмны х и поверхностны х сил за то т ж е промежуто к времени будет : и t, J J pF • vdzdt f J J Pn-lVdS dt, и 0*> (S) где F - векто р силы, отнесённо й к единиц е объёма . УРАВНЕНИЕ ПРИТОКА ТЕПЛА 41 7 Итак , мы можем записать: = = / { / s ^ + J k ^ T d S + A f p F v ^ + A f Pn-lOdsXdt, t\ I W (S) (T) (S) J (ЮЛ ) где интегралы в левой части берутся , как показывают значки, один раз в момент t2, другой раз в момент tx, а А - термический эквивалент работы. Дел я обе части нашего равенства на t2 - tv устремляя t2 к и переходя к пределу, получим: А W / 2 T V d x + W / c ^ d x = (-) (1!) = J e d x J r f k ~ d S + A f F-Vpdx-+-A f pn-vdS. (10.2 ) (1) (S) (т) (S) По самому смыслу составления уравнения (10.1 ) мы следим за движением одной и той же частицы, так что в уравнении (10.2) мы слева имеем индивидуальные производные по времени. Так как масса частицы сохраняется, мы можем заменить выражение вида w где Ф - какая-т о функция координа т и времени, на С другой стороны, по теореме Грина, J k-^dS= f div (й grad Г ) dx (S) W ' ) Подробн о эт о доказан о был о в перво й глав е пр и вывод е уравнени я приток а гепл а в § 3. 27 Теоретическая гидромеханика, ч, II 418 ДВИЖЕНИ Е в я з КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И И A j P n V d S = A f {рх • vcos(n, х)-{-ру • (r)cos(/i , у ) + (S) +-Pz-V co s (п, .г)) dS = ( л • " ) + £ (Ру • о + i (Pz • } л . Таки м образо м мы можем записат ь (10.2 ) в виде: А / Y р Ht (r) ' (r) d^ + / c^p H t i d x = / ес1х + f d i v Srad г ) + г ) м (Ь (-> + л / p F v d ^ A f [ ^ ( p x v ) + ^ ( p y v ) + ^ ( p z v ) } d ^ (-) (t) Собира я все члены в обеи х сторона х под один знак интеграла , вспо миная, что объё м (") совершенн о произволе н и предполага я непрерывност ь подынтегральны х функций , получим уравнени е приток а тепл а в виде Y ^ H t v ' (r) "+" c ^ H f ~ s + d i v ( k ^ r a d Г ) + ApF-V + + Л + 00-3 ) Соотношени е эт о и является тем пятым уравнением , которо е следуе т прибавит ь к четырё м уравнения м § 4 в случае сжимаемой жидкости . Температур а T связана с давление м р и плотность ю р соотношение м (для совершенног о газа) Клапейрона : р = RpT. Вид s следует , конечно, уточнит ь при решени и той или иной задачи. В приложения х этог о уравнения , которы е буду т иметь мест о в этой главе , мы буде м считат ь е = 0 . Уравнение (10.3 ) може т быт ь преобразован о к боле е просто й форме , если использоват ь уравнени я движения (4.8) . Действительно , умножа я скалярн о обе части (4.4 ) на v , получим , dPx , dPy , dPz п л п ^ pF-w - p w • v+v • + (r) • + v • НГ = 0 (1° ^ Н о \дг + ду (10.6 ) Уравнение (10.6 ) отчётлив о показывает , за счёт чего происходи т изменение температур ы движущейс я частицы и является существен ным дополнением к рассуждения м § 7 . Пр и X=fj . = ft = 0 мы получим внов ь уравнени е приток а тепла Для идеально й сжимаемо й жидкости , которо е в случае , когда г = 0, дас т условие адиабатичности. 27 * 42 0 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Отметим ещ ё форму , котору ю примет (10.5 ) для несжимаемо й жидкост и при е = 0. Здес ь C v O ^ f = AW O f c g r a d T ) + ^ { 2 -' Ovx\2 f d v y y t Z dvz \2 dx J 1 \ dy J ' \ дг + Zdvjc dv \2 Idvx dvz\2 Zdvy d v z y \ + U r + i r ) + b r + ^ r j + U r + ^ J ) • ^ 1 0 7 ) Та к ка к температур а не входи т в уравнени я движени я вязко й несжимаемой жидкости , уравнени е (10.7 ) можн о решат ь отдельно , после тог о как поле скоросте й определено . Это-обобщени е на случай жидкост и классическог о уравнени я теплопроводност и дл я твёрдог о тела : - = div (a 2 gra d Т) , (10.8 ) где а2- та к называемы й "коэффициен т температуропроводности" . Новы е краевы е и новые начальны е условия , которы е следуе т вводить при решени и нового уравнени я (10.5) , мы будем дават ь в каждо м конкретно м случа е приложени й этог о уравнени я в различны х раз дела х этой главы . Замети м ещё , что в сжимаемо й жидкост и част о нельз я буде т считать коэффициент ы вязкост и постоянными . Это же относитс я и к коэффициент у теплопроводност и k . Дел о в том, что и вязкост ь и теплопроводност ь могут зависет ь от температур ы Т. Зависимост ь эт а определяетс я в физике , и мы используе м её в отдельны х конкретны х приложения х (см. ниже) . Здес ь отмети м только , что отно шение \>.cp/k (10.9 ) буде т уже , дл я данног о газа , постоянным . В этом отношени и с р - теплоёмкост ь при постоянно м давлении , которая , ка к мы отмечали в глав е по газово й динамике , связана с Cv формуло й C p C v = AR. Безразмерна я величина \>.cp/k носит названи е числа Прандтл я и обо значаетс я букво й Р . Эта величина вместе с отношение м должн а быть прибавлен а в случа е сжимаемо й жидкост и к числам Рейнольдса , Фруд а и Мах а в рассуждения х о подобии . Б. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ § 11. Одномерно е течени е межд у двум я параллельным и плоским и стенками . В предыдуще м раздел е мы вывели основные уравнени я гидромеханик и вязко й жидкост и в различны х форма х и установил и ряд свойств , присущи х либ о всем движения м вязкой §111ТЕЧЕНИ Е МЕЖД У ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ И ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 421 ж и д к о с т и , либо большим классам таких движений. Теперь же мы переходим к исследованию отдельных конкретных движений вязкой ж и д к о с т и и, в первую очередь, к исследованию важнейших из тех случаев , когда можно точно проинтегрировать уравнения движения вязко й жидкости. При этом мы будем иметь дело, как правило, q несжимаемой жидкостью. В качестве первого примера мы рассмотрим течение несжимаемой ж и д к о с т и между двумя параллельными плоскими стенками. Пуст ь у р а в н е н и я этих плоскостей будут соответственно Z = - h, z = h\ д о п у с т и м ещё, что внешних сил нет, что движение стационарно и происходит параллельно оси Ох, так что X=Y = Z = 0, vy = vz = 0, Vx = V (х, у, 20 Основные уравнения гидромеханики (5.1) при сделанных допущениях сильно упрощаются: Й . ' 0 + S ) ' £ = " • & = <>. £ 0 . ( п . . ) Последнее из этих уравнений показывает, что V может зависеть только от у и z: средние же уравнения показывают, что р может зависеть только от х; но тогда первое уравнение (11.1), в левой части которого стоит функция от одного только х, а в правой части функция от у и z, может выполняться тольк о в том случае, если левая и правая части этого уравнения являются постоянными величинами. Итак , должно быть: dp дх , const Для определения v имеем уравнение: и граничные условия Hy 2 Hz 2 = ( 1 1 , 2 ) V = O при Z= ±h, (11.3) вытекающие из требования прилипания жидкости к ограничивающим неподвижным стенкам. Легко найти частное решение уравнений (11.2 ) и (И.З) . зависящее тольк о от z\ в самом деле, в этом случае мы имеем: d2v _ 1 dp dz2 Iл дх ' и интегрирование этого уравнения даёт нам: 1 Op 42 2 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И где А и В - две произвольные постоянные, для определения которых служа т два уравнения (11.3). Из этих последних уравнений мы выводим, что откуд а J ЁЕ, /г2 + Ah -f В = 0; 2;л дх J_ др_ H1 - A h B = O, 2,iл и, следовательно: Л = 0 , В: 2|л дх /г 2 ) . Легко доказать, что полученное нами решение и есть то решение уравнений (11.2) и (11.3), которо е нам нужно. В самом деле, по ложим: 2|л дх h2) + а (у, г); тогда ясно, что функция и (у, z) должна удовлетворять уравнению Лапласа ш т ш м ш ш ш т . Рис . 153. д2и , дги п . ,. д ^ + 1 ^ = 0 ( И 4 > и двум граничным условиям и= = 0 или г = ±h. (11.5) Но если потребовать, чтобы <о, а, следовательно, и и оставались ограниченными в рассматриваемой нами области, то единственным решением уравнений (11.4) и (11.5 ) будет и = O1 ). Итак , при сделанных допущениях, течение жидкости определяется следующей зависимостью: 1 др 2 2 2м. дх (Ji Z ). (11.6) На рис. 153 графически изображено полученное распределение скорости по закону параболы. Вычислим количество жидкости Q, протекающее в единицу времени в призме, ограниченной стенками и двумя плоскостями у = Q и у = Ь. Так как Ii ft / " * * = W i S r f f t f t 2 Zi3 д р 3|л дх ') В противном случае функция и, будучи ограниченной при указанных граничных условиях, достигала бы максимума или минимуме. §111ТЕЧЕНИ Е МЕЖД У ДВУМ Я ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ И ПЛОСКИМ И СТЕНКАМ И 42 3 Т О в - T S i Й Деля это выражение на поперечное сечение 2hb вышеупомянутой призмы, получаем для средней скорости жидкости V выражение: - H1 др / л . а . * = S ^ d T Если взять на оси Ox две точки M0 и M1 на расстоянии I друг от друга и обозначить давления в этих точках соответственно через Po и PP Т 0 ' з а м е ч а я > ч т 0 dp P i Po дх I получим из (11.7) для падения давления формулу: P 0 _ З а Q q Таким образом, в рассматриваемом случае падение давления на единицу длины прямо пропорционально коэффициенту вязкости и протекающему количеству жидкости и обратно пропорционально кубу расстояния между стенками. Рассмотрим теперь другой частный подслучай. А именно, допустим, что жидкость ограничена двумя параллельными стенками, одна из которых z = 0 остаётся всё время неподвижной, в то время как другая z = h перемещается в своей собственной плоскости параллельно оси O x со скоростью U . При тех же допущениях, ч ю и выше, мы найдём, что дх Для простоты примем, что = const. Тогда те же рассуждения, что и выше, покажут нам, что v должно определяться дифференциальным уравнением ( и л ) но только теперь граничные условия будут V=O при z = 0, ) V= U " z = h,\ (11.12 ) ибо частицы жидкости, прилегающие к нижней стенке, должны оставаться неподвижными вместе со стенкой, частицы же, прилегающие 42 4 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И к верхней стенке, должны перемещаться с той же скоростью, что и эта стенка. Интегрирование уравнения (11.11) даёт: V = Аг В, где A n B - произвольные постоянные, определяющиеся из уравнений (11.12): B = 0, A = ^ . h Итак, в рассматриваемом случае течение определяется формулой (11.13) Как раз с рассмотрения этого течения мы начали нашу главу и уже представили графически полученный лнн йный закон распределения скорости на рис. 151. Просты : вычисления дают для протекающего количества жидкости и для ср.-ше й скорости выражения Uhb - U , , Q = --, г " = ' у (11.14) Вычислим ещё силу трепня, действующую на каждую единицу площади стенки. Мы имеем формулу dv и, следовательно, для искомой силы тргния получаем выражение Наконец, чтобы показать пример того, как надо учитывать граничные условия на свободной поверхности, разберём ещё один частный подслучай. Пусть на жидкость действует сила тяжести, и пусть жидкость ограничена сверху свободной поверхностью, снизу же неподвижной плоскостью Оху , наклонённой к горизонту под углом а, причём ось Oy горизонтальна, а ось Oz направлена перпендикулярно к плоскости вверх, так что X=g sina , K = O, Z= -gc osa . (11.16 ) Будем опять считать движение происходящим параллельно оси Ox и стационарным. Рассмотрение основных уравнений гидромеханики снова приводит к выводу, что др - const. дх Примем для простоты, что 4 ^ = 0. (11.17) ох § 111 ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 42 5 Уравнения (5.1) приведутся тогда к виду: / OliV , 1)Ч< \ ? g s m X + 4 ^ r j = O; * < _ " . -V < 1 1 Л 8 > , - 0 , 4 '. р co s i = 0 , ду Ox ' ^ та к чт о : С - pg r co s а , гд е С некотора я постоянна я величина . Граничны е условия , согласн о § 6 , имею т следующи й вид . Н а неподвижно й плоскост и V = O пр и г = 0 ; н а свободно й ж е поверхност и z = h должн ы выполнятьс я условия : P z z = P v Pzx=Pzy= 0 . Н о та к ка к V y = vz = 0 и V x = v ест ь функци я тольк о о т у и т о , 0 OVuz I/ OVvz , OdvVx.. \ dv Pzz = P •+ = Р, Pz, = > [ 7 ) i -'Г = V. dz 1 " __,,( ' d t ^ . О}'* \ о следовательно, мы приходим к следующим граничным условиям: Р = Р<1 ' I r " " 0 п р и z = = h - (11.19 ) Первое из этих условий определяет постоянную С: С = р0 + pgh cos а, так что p = p0 + pg(h-z) cos ос. (11.20 ) Отыскиваем теперь частное решение уравнения (11.18) , зависящее только от z, так что Pfir si n a f J t ^ s = O . Общее решение этого уравнения есть V = - P f Sin а , J, . , z2 r A2 постоянные A n B определяются из граничных условий г" = 0 при Z = О, dv " 42 6 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ. И которы е дают Итак , B = О, A= ?ghsina . I 1 Pgz (2 h - z ) si n а V 2[ I (11.21 ) Легк о тепер ь убедиться , что это и есть то решени е рассматри ваемой задачи, которо е нам нужно . В самом деле , если положит ь Pgz (2 h - г ) si n < + и (У то дл я функци и и (у, 2) получится уравнени е Лапласа 2 при граничных условия х д2и . fдfh и дг и ди ~dF • 0 при Z = О, = 0 при z = h4, если потребоват ь ещ ё ограниченности и во всей рассматриваемо й нами области , то непременно должн о быт ь и = 0, что и доказывае т высказанно е утверждение . Распределени е скоросте й получаетс я по параболическом у закон у (рис . 154). Дл я протекающег о количеств а жидкост и Q и дл я сред г ней скорост и легк о получаем формулы : Q = P g b h i si n а I 3j l ' 7 h у ^ ^ Pgh2 si n а 3j l ' (11.22 ) \ 0 / / / / у / / / > • Рис . 154 . та к что протекающее количество жидкости обратно пропорционально коэффициенту вязкости жидкости и прямо пропорционально кубу глубины жидкости. Осветим ещ ё на этом последнем пример е вопро с о диссипаци и энергии . Рассмотри м то количеств о жидкости , которо е находитс я над пря моугольно й площадь ю основания, одно ребр о которой , параллельно е оси Ох , имеет длин у I, а другое , параллельно е оси Oy , имеет длин} Ь. Сила тяжести , действу я на отдельны е частицы этог о объём а ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕПЛЯ 42 7 жидкости, производит некоторую работу. А именно, частицы объёма Ibdz и массы plbdz, для которы х координата z лежит между z и z-\-dz, за единицу времени опустятся на г/sin а, так что работа силы тяжести будет рlb dz • vg sin а . Интегриру я эт о выражени е п о z о т 0 д о h, м ы найдё м работ у с и л ы тяжести , производиму ю з а единиц у времени : /г A=J Г plIbUgv si-n aJ . dz = pgIlUbsin a •Pl jg^ AJ Sin a == P-P -A Zftsin S • о Но так как никакого увеличения кинетической энергии жидкости не получается, то, очевидно, вся энергия, получаемая за счёт силы тяжести, диссипируется. Действительно, если мы вычислим по фор муле (7.7) диссипирующуюся энергию Е, отнесённую к единице времени и единице объёма \ dz ) и проинтегрируем это выражение по рассматриваемому объёму, то получим: п rtoJp2sin2a Г . , ZftA3P2CT2Sin2Ce ./ <А ~ ^ d z = ' о т. е. величину, равную как раз А. В заключение отметим, что при больших числах Рейнольдса рассматриваемое течение становится турбулентным, следовательно, полученные нами формулы применимы тольк о к случаю очень малых глубин и сравнительно малых скоростей и неприменимы, например, к случаю течений воды в реке, имеющих уже турбулентный характер. § 12. Течени е Пуазейля . Мы займёмся теперь теорией ламинарного течения в цилиндрических трубах . Исследование течений в труба х имеет, как это вполне очевидно, громадное практическое значение; понятно поэтому, что этому вопросу посвящены были многочисленные работы, приведшие к открытию важных закономерностей. Так, например, Гаген (Hagen) на опытах с трубами изучал как ламинарную, так и турбулентну ю формы течений, а такж е переход от одной формы течения к другой. Осборн Рейнольде установил известное условие перехода от ламинарной формы течения к турбулентной, заключающееся в том, что число Рейнольдса переходит через некоторое критическое значение, такж е на основании своих опытов с течениями в трубах . 428 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Задач а о течении в труб е имеет, ка к мы сейчас увидим, вполне точное и строго е решение . Однак о это относится тольк о к случаю ламинарной формы течения. Дл я турбулентно й форм ы течения мы таког о стр о е-го pi ш.пи я пека ац ё не имеем. Однак о преобладающе е большинств о течений в трубах , с которым!! приходитс я иметь дел о на практике , - течения турбулентные . Наиболе е важным случаем ламинарны х течений являются течения в тонки х трубках , так называемых капиллярах . Несмотр я на э'ю обстоятельство , теори я ламинарног о течения в труба х имеет весьма f ольшо е значение. Дел о в том, что поскольк у мы имеем в атом случае строго е решение уравнени й гидромеханик и вязкой жидкости , получается возможност ь сравнит ь результат ы тео рии с результатам и опыта. Оказалось , что опыт блестящ е подтвер ждае т выводы теории , а это показывает , что основные предпосылк и теории : уравнения Навье-Стокс а и принятые нами граничные усло вия (прилипание жидкости к стенкам сосуда ) являются оправданными . С друю й CTi р -ны, neibifi ряд приборо в для определени я вязкости имеет ыамч Ж своей частью капиллярну ю трубку , через котору ю происхон и rt ч-. пне жидкости , так что теори я этих приборо в основана на т.ерп п .'laMiii'apiiuio 1 л пни жидкост и через тр>бы . В 0еь0!Г\ I аших рассуждени й естественн о положить основные уравнении гидромеханик и Вкнксй несжимаемой жидкости в цилиндри ческих координата х i5.14i и (5 15). Сфорчули р ем основные допущения . Пуст ь мы имеем цилиндри ческою труб \ кругово ю счч.дшя, радиу с которог о равен а. Ось этой трубы примем за ось Oz цилиндрическо й системы координат . Пуст ь несжима мая жидкост ь течёт вдоль этой трубы , причём внеш ние силы отсутствуют . Допустим , наконец, что течение стационарн о и что в каждо й точке скорост ь направлена параллельн о оси трубы , так что Vr = Vi1 = О, Vz = V (г, б, z). Пр и этих допущения х уравнени я (5.14 ) принимают, ка к легк о видеть, следующи й простой вид: } (12.1) Первы е два из этих уравнений показывают , что р може т зависет ь тольк о от г; последнее же уравнени е показывает , что v есть функ ция тольк о г и 9. Но так как правая часть третьег о уравнени я (12.1 ) не зависит от г, то и лева я часть не может зависет ь от z и, ТЕЧЕНИ Е ПУАЗЕПЛ Я 42 9 следовательно, др есть постоянная величина • = const. дг Если давления в двух точках M 1 и M2 на оси Oz, отстоящих одна от другой на расстоянии /, обозначить соответственно через P1 и р2, то будем, очевидно, иметь: (12.2) Итак, функция v(r , 8) удовлетворяет уравнению ^ i i L u 4 I L I l L П 2 Т> дг2 ^ r г2 до2 ^r г дг~~ ,>. дг u ^ и очевидно граничному условию на стенке U = O при г = а. (12.4) Мы можем легко найти решение уравнения (12.3), зависящее только от г и удовлетворяющее условию (12.4). В самом деле, если V = V(г), то (12.3) может быть переписано так: ~ ( г d v \ = 1 д р гdr \ dr ) [х дг ' интегрируя, получаем: dr 2JA дг деля на г и ещё раз интегрируя по г, находим: V = ^ i l r r 2 + A l n r + B - ( 1 2 5 ) Произвольные постоянные A n B нужно определить из граничного условия (12.4 ) и добавочного условия, что скорость v остаётся ограниченной во всей рассматриваемой области. Но если АфО, то, как показывает формула (12.5), скорость v становится бесконечной при г = 0, т . е. на оси трубы ; поэтому надо непременно положить A = 0. Услови е (12.4 ) даё т теперь : откуда 1 d P "2 43 0 ДВИЖЕНИ Е в я з КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Итак, мы нашли решение уравнений (12.3) и (12.4): Никаког о другог о решения задачи не существует. В самом деле, положим Ь ^ ( а 2 ~ и { г ' Ь ) ' тогда ясно, что функция и (г, 0) должна удовлетворять уравнению , д2и , 1 д2и , 1 ди п ~ Hr2 + T2 'W T T r ' т. е. должна быть гармонической функцией и, кроме того, должна удовлетворять условию и = 0 при г = а. Но известно, что гармоническая функция достигает своего максимума и минимума на контуре, следовательно, должно быть us=Q , откуда и вытекает наше утверждение. Заменяя, наконец, dpjdz его значением по (12.2), окончательно находим: V= Pl^lpL (а2 - г2). (12.6) Распределение скорости подчиняется, очевидно, параболическому закону . Наибольшая скорость, равная " - по 7) имеет место на оси трубы . Объё м жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы , определяется, очевидно, по формул е а Q= f 2кг vdr= (12.8) о Деля это выражение на тм2 , найдём среднюю скорост ь течения - Q _ O2 P1-P2 _ 1 П9 Q, Определим, наконец, силу трения т0, действующую на стенки трубки . Дл я этого вычислим по формуле (5.15) значение величины / dv, . dvr\ dv_ _ _ (pt - p^_r_ dr ~~ i f ТЕЧЕНИ Е ПУАЗЕПЛ Я 43 1 п р и г = а и изменим знак (p r z даё т силу, действующу ю на элемент ы жидкости ; на стенк у же буде т действоват ь та же сила, но в прямо противоположном направлении); в результат е получим: (Pt -Pi) а 1 O 21 4;wv (12.10 ) В опыта х обычн о определяетс я величина р { - P 2 ^P Поэтом у решим уравнени я (12.8 ) и (12.9 ) относительн о Ар: P 1 P 2 = A P = ^ ; Д ( 1 2 . 1 1 ) Мы получаем, таким образом , закон Гагена - Пуазейля: При ламинарном течении падение давления пропорционально секундному объёму протекающей жидкости и длине трубы а обратно пропорционально четвёртой степени радиуса трубы. Или иначе: падение давления пропорционально средней скорости течения и длине трубы и обратно пропорционально квадрату радиуса трубы. Тольк о что выведенны е соотношени я были экспериментальн о найдены независимо дру г от друг а Г. Гагеном в 183 9 г. и Пуазейлем (PoiseuilIe ) в 1840-184 1 гг. Мы имеем, таким образом , в этом случае блестяще е совпадение результато в опыта с выводами теории . В заключени е настоящег о параграф а остановимс я ещ ё на вопрос е о предела х применимост и полученног о нами теоретическ и течени я Пуазейля . Мы уж е нескольк о ра з упоминали, что существую т две формы течений жидкости : ламинарна я и турбулентная . Ламинарна я форм а течения характеризуетс я правильны м движением части ц жидко сти, как , например , эт о имеет мест о в течении Пуазейля . Напротив , в турбулентно м движении частиц ы двигаютс я весьма беспорядочны м образом , так что при турбулентно м движении в труб е на главное движение в направлении оси труб ы налагаются беспорядочны е пуль сации движения ка к в направлени и оси трубы , так и перпендику лярно к этом у направлению . Наглядн о можно показат ь различи е этих дву х фор м течений, если ввест и в некоторо м месте оси труб ы небольшо е количеств о окрашивающе й субстанции ; тогд а при лами нарной форм е течения мы увидим одну резк о окрашенну ю струйк у жидкости , в то врем я как при турбулентно й форм е течения вся жидкост ь окажетс я окрашенной , что показывае т на сильное переме шивание частиц жидкости . Мы уж е упоминали выше , что зако н Гагена - Пуазейля , выражаю щийся формулам и (12.11) , для турбулентно й форм ы течения перестаё т иметь силу . Таки м образом , зако н сопротивлени я при переход е от лами нарной формы течения к турбулентно й резк о меняется. Эт о изменение закон а сопротивлени я является , пожалуй , наиболее важным кри терием для различения ламинарно й форм ы течения от турбулентной . 43 2 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И Осборн Рейнольде показал , что при движени и воды в труб е ламинарны й или турбулентны й характе р течени я зависи т от значения соответствующег о числа Рейнольдс а (12.12 ) Есл и число Рейнольдс а меньш е некоторог о критическог о значе ния Rft, т о течение буде т ламинарным , в противном случае оно буде т турбулентным . Позднейши е исследовани я внесли в эт о поло жение целый ря д уточнений, о которы х буде т идти реч ь в главе 0 турбулентности , но сейчас для нас тольк о что приведённая груба я формулировк а услови й переход а ламинарног о течения в турбулентно е буде т вполне достаточна . Итак , движени е жидкост и буде т ламинарным , если или скорост и течения достаточн о малы, или диамет р труб ы достаточн о мал, или жидкост ь достаточн о вязка . Опыт ы показывают , что для течений в цилиндрически х труба х критическо е число Рейнольдс а равняетс я приблизительн о 1000-1100 . В качеств е пример а рассмотри м течение воды в труб е диаметр а 1 см. Та к как v = 0,01 8 OM1IceK, а = 0, 5 см, то , принимая Rf t = 1000, найдём, что движени е буде т ламинарным при v < 36 см/сек. Пр и диаметр е труб ы в 1 мм движени е остаётс я ламинарным при скорост и V < 3, 6 MjceK. § 13. Общи й случа й стационарног о одномерног о течения . В дву х предыдущи х параграфа х мы рассмотрел и наиболее важны е случаи стационарны х одномерны х течений. Рассмотри м тепер ь общи й случай стационарног о течения. Допустим , чт о движени е стационарн о и происходи т вдол ь оси Oz, та к что Vx = Vy = O, Vz= V (х, у, z). Считая внешни е силы отсутствующим и и повторя я рассуждени я начала § 11, мы легк о придём к выводу , что 4^ = const . дг и что функци я V зависи т тольк о от х и у и удовлетворяе т уравнени ю d2v . d2v 1 dp Мы различим тепер ь два случая , смотр я по тому , обращаетс я ли др/дг в нул ь или нет. I. dpjdz = 0. В этом случа е скорост ь v удовлетворяе т уравнени ю Лаплас а d2v дги ОБЩИ Й СЛУЧА Й СТАЦИОНАРНОГ О ОДНОМЕРНОГ О ТЕЧЕНИ Я 43 3 Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях. Ясно, что в данном случае границами жидкости могут служить только цилиндры с образующими, параллельными оси Oz, которы е могут оставаться неподвижными или перемещаться параллельно оси Oz с постоянной скоростью. Пусть , например, рассматривается движение жидкости между двумя цилиндрами, сечения которы х плоскостью Oxy суть кривые C1 и C2, охватывающие одна другую (рис. 155). Пусть первый цилиндр перемещается параллельно оси Oz со скоростью V1, а второй со скоростью V2В этом случае граничные усло вия, которым должна удовлетворять гармоническая функция v, будут : V = v, на Cu ) V = V2 " C2. ) (13.3 ) Но тогда ясно, что рассматриваемая задача сразу может быть сведена к эквивалентной задаче о плоском безвихревом движении несжимаемой жидкости. В са Ри с 155 мом деле, рассмотрим такое плоское течение жидкости в области S, расположенной между контурами C1 и C2, причём потребуем, чтобы сами контуры C1 и C2 были бы линиями тока этого течения и чтобы на контуре C1 значение функ ции тока равнялось бы V1, а на контур е C2 равнялось бы V2. Если комплексный потенциал этого вспомогательного течения обозначить через w = <р -f Ц, то ясно, что ф тоже должна удовлетворят ь как уравнению Лапласа л , ду2 = 0 , так и тем же граничным условиям, что и функция v: ф : = V, ф ; • V0 на C1 " C0. Но ясно, что при этих условиях функции ф(х , у) и v(x, у) должны совпадать. Таким образом, рассматриваемый случай стационарного одномерного движения вязкой жидкости полностью свёлся к хорош о изученной ранее задаче о безвихревом движении несжимаемой жидкости. Эту аналогию можно продолжить ещё дальше. Известно, что Для плоских движений несжимаемой жидкости важную роль играет понятие циркуляции скорости. Посмотрим, что является аналогом 2 s I еорешчеекая гидро:,паника , ч, II 434 ДВИЖЕНИ Е вяз КОП ЖИДКОСТ И [ГЛ . И циркуляци и скорост и дл я рассматриваемог о случа я движени я вязко й жидкости . Подсчитае м дл я этог о сил у трения , котора я действуе т н а оди н из ограничивающи х цилиндров , наприме р второй , с о сторон ы жидко сти . Достаточн о рассмотрет ь част ь поверхност и этог о цилиндра , заключённу ю межд у плоскость ю Oxy и параллельно й плоскостью , отстояще й о т плоскост и Oxy на расстоянии , равно м единиц е длины . Рассмотри м элемен т ds контур а C 2 и обозначи м чере з п направле ни е внутренне й (т . е . направленно й внутр ь област и S) нормали . Тогд а на элемен т ds рассматриваемо й част и поверхност и буде т дей ствоват ь сил а трения , равна я znz dS = [J. L- ds, а на вс ю рассматриваему ю част ь цилиндр а буде т действоват ь сил а трени я с, Переход я к соответствующем у плоском у течению , получи м дл я сил ы трени я выражени е Но , ка к известно : T = i x § i t d s C2 И ^ d s = Г , Otl OS J OS с гд е Г ест ь циркуляци я скорост и п о контур у С. Следовательно , м ы находим , чт о T = ^ r 2 , (13.5 ) гд е Г 2 ест ь циркуляци я скорост и п о контур у C 2 . Итак , сила трения, испытываемая каким-либо ограничивающим цилиндром и отнесённая к единице длины этого цилиндра, равняется произведению коэффициента трения на циркуляцию скорости по контуру поперечного сечения цилиндра в соответствующем плоском течении, причём контур пробегается в положительном направлении, т. е. так, что область при обходе этого контура остаётся слева. Тепер ь остановимс я н а примерах 1 ) . В качеств е первог о возьмё м следующи й пример . Пуст ь C 1 и C 2 - окружност и радиусо в гх и г 2 с общи м центро м в начал е координат , и пуст ь V1 = U, V2 = O, та к ' ) См. такж е B r i l l o u i n M., Lemons sur Ia viscosite de s Iiquidese t de s gaz, 1 (1907), стр. 61-73, Paris , ОБЩИ Й СЛУЧА Й СТАЦИОНАРНОГ О ОДНОМЕРНОГ О ТЕЧЕНИ Я 43 5 ч т о имее м дел о с о скольжение м внутреннег о цилиндр а внутр и дру гог о неподвижног о цилиндра . Известно , чт о безвихрево е течени е межд у Д В У М Я окружностям и определяетс я комплексны м потенциало м w - In Z -f const. , где мы вводим , ка к обычн о эт о делаетс я в теори и плоског о тече ния, комплексну ю координат у Z = x + iy, п р и ч ё м Г ест ь циркуляци и скорост и ка к п о окружност и Cv та к и по окружност и C2 Ввод я полярны е координат ы г и 0, буде м иметь : Граничны е услови я Z : re го. ф = ^ In/+ с . определяю т нам Г и С: Г = Г и : 0 2 -U пр и " r = rv г = г2, U In г2 In r 2 - Inr 1 ' Следовательно , мы получаем , чт о In Г2 In г , I n r 2 I n r V : U Inr 2 - Inr 1 (13.6 ) и что сил а трени я с о сторон ы жидкост и на подвижны й цилиндр , отнесённа я к единиц е длины , равн а T = - , - . (13.7 ) Inr 2 - Inr 1 ' Зна к мину с берётс я потому , чт о циркуляци я скорост и п о контур у Cv пробегаемом у п о часово й стрелке , равн а -Г . И з формул ы (13.7 ) видно , чт о пр и заданно м диаметр е внеш нег о цилиндр а сил а трени я буде т те м больше , чем уж е зазо р межд у цилинд рами . В качеств е второг о пример а возьмё м Движени е пластинк и ширино й 2 с = CC внутр и эллиптическог о цилиндр а АВА'В', полуосям и которог о являютс я а и Ь, У в С' 0 с а фокус ы лежа т ка к ра з в точка х С и С ' ° (рис . 156) . Таки м образом , здес ь C 1 ест ь Ри с 15 6 Дважд ы пробегаемы й отрезо к CC', a C2 е ст ь эллип с АВА'В'. Пр и это м эллиптически й цилинд р м ы считае м неподвижным , а пластинк у CC' предполагае м перемещающейс я парал лельн о ос и Oz с о скорость ю U. 436 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [гл. Ii Конформно е отображени е област и 5 на кольц о 1 < |С| < R пло скост и С даётс я в данно м случае , ка к известно , формуло й причё м та к чт о а 4Ь а + b Га-\-Ь R Va T2 У a - b ' М ы може м тепер ь применит ь формул ы (13.6 ) и (13.7) , в кото ры х над о принят ь = 1, r2=R, г = |С| . В результат е дл я ско рост и вязко й жидкост и получае м обще е выражени е U I n ^ , (13.8 ) In/ ? |С | а дл я сил ы трения , испытываемо й пластинко й CC' (с обеи х е ё сто рон ) и отнесённо й к единиц е это й пластинки : т = _ р м = р ш ' ( S i ) II. ф 0 . В это м случа е скорост ь v удовлетворяе т уравнени ю Пуассон а есл и дл я краткост и ввест и обозначени е A = I ^ = * * , (13.11 ) р. OZ р./ v гд е P1 - р2 ест ь падени е давлени я на отрезк е длин ы /, расположен ном параллельн о ос и Oz. Наиболе е важны м случае м этог о тип а являетс я вопро с о движе нии вязко й жидкост и в неподвижно й цилиндрическо й труб е с обра зующими , параллельным и ос и Oz. Есл и поперечно е сечени е это й труб ы ест ь крива я С, т о граничны м условие м дл я искомо й функци и v буде т служит ь V = O на С . (13.12 ) М ы имее м в это м случа е обобщени е течени я Пуазейл я на случа й труб ы произвольног о сечения . К задач е решени я уравнени я (13.10 ) пр и гранично м услови и (13.12 ) приводитс я такж е задач а теори и упругост и о к р у ч е н и и призмы , а такж е задач а о плоско м движени и идеально й н е с ж и м а е м о й §l4iНЕСТАЦИОНАРНО Е ОДНОМЕРНО Е ТЕЧЕНИ Е 437 жидкост и в област и 5 , конту р которо й С вращаетс я с постоянно й углово й скорость ю и, наконец , задач а о прогиб е мембран ы по д дей ствие м равномерно й нагрузки . В связ и 'с эти м задач а интегрировани я уравнени я (13.10 ) пр и гранично м услови и (13.12 ) решен а дл я весьм а большог о числ а контуро в J ) . М ы ограничимс я одни м просты м примером . А именно , легк о найт и решени е уравнени я (13.10 ) в вид е полином а второ й степен и v(x, у) = AX2 -f B y 2 D . Достаточн о дл я этог о принят ь A + B = - (13.13 ) Услови е (13.12 ) показывает , чт о уравнение м контур а С являетс я Л. V 2 + S y 2 + D = O. Тепер ь легк о добитьс я того , чтоб ы конту р С оказалс я контуро м эллипс а 1 = 0 . (13.14 ) b Дл я этог о достаточн о принят ь a- w , а- ж чтоб ы удовлетворит ь такж е и услови ю (12.13) , нужн о принят ь D _ kaW (Р\ - Pi) a2b2 2 (аг 4 Ьг) 2\М (а2 + Ьг) и, следовательно , • е я Ф ^ П 1 £ £ ) • с " " ) Итак , функци я (13.15 ) решае т задач у о ламинарно м течени и вяз ко й жидкост и чере з труб у эллиптическо ю сечения . Полага я а = Ь, мы внов ь восстанови м решени е задач и о течени и Пуазейля . Просто е вычислени е даё т дл я объём а протекающе й в единиц у времен и чере з труб у жидкост и выражение : < 1 3 1 6 > § 14 . Нестационарно е одномерно е течение . Рассмотри м тепер ь случа й движени я вязко й жидкост и боле е общий , чем тот , с которы м мы имел и дел о в предыдуще м параграфе , а именн о отброси м усло B 'i e стационарности . ' ) См., HaiIDiiMep, обзорную стать ю P o s c h l Th., Bisherig e Losungen aes Torsionsproblerns, Zs-. f. angew . Math . u. Mech., 1 (1921), сЩ>. 312-328. 438 ДВИЖЕНИ Е вязко й ж и д к о с т и [ГЛ. IT Итак , допустим , чт о движени е вязко й несжимаемо й жидкост и пр и отсутстви и внешни х си л происходи т параллельн о ос и Ox V y = V z = 0 . Уравнени е неразрывност и показывает , чт о Vr н е зависи т о т х, т . е . Vv = v (у, г, t). Уравнени я гидромеханик и поэтом у сильн о упрощаются : P дх \dy2 Г dzV dt ' ду - дг ' И з последни х уравнени й видно , чт о р зависи т тольк о о т х п t. Н о тогд а в перво м уравнени и лева я част ь н е зависи т о т у и г, а права я част ь н е зависи т о т х; следовательно , ка к левая , та к и права я част и являютс я функциям и одног о тольк о t: }£-/<<> • <"-2> Есл и f ( t ) = 0 , уравнени е дл я v принимае т вид : dv Zd1V d2v\ /1,,04 = v U f + ( 1 4 3 ) Есл и ж е f (t) ф 0 , т о введё м вмест о v нову ю функци ю v, положи в t v = v + J f ( 0 dt\ (14.4 ) о тогд а ^ 1 = = ^ 1 . f ( t ) dt dt w и , следовательно , v буде т удовлетворят ь том у ж е уравнени ю (14.3) ; правда , граничны е услови я пр и это м нескольк о изменяются . Итак , в о все х случая х нестационарног о одномерног о течени я дел о сводитс я к интегрировани ю уравнени я (14.3) . Эт о уравнени е ест ь основно е уравнени е теори и теплопроводности ; известн о решени е большог о числ а частны х задач , связанны х с эти м уравнением , чт о даё т возможност ь определит ь большо е числ о соответствующи х тече ни й вязко й жидкости . Конечно , пр и решени и уравнени я (14.3 ) необ ходим о такж е учитыват ь соответствующи е граничны е и начальны е условия ; последни е сводятс я к задани ю функци и v дл я начальног о момент а времен и t = 0 . Есл и и граничны е и начальны е услови я н е завися т о т координат ы у, т о и решени е v уравнени я (14.3 ) н е буде т зависет ь о т у, а тогд а функци я v (z, t) буде т удовлетворят ь уравне ни ю теплопроводност и дл я линейног о случа я dv d2v ., . сч § l 4 i НЕСТАЦИОНАРНО Е ОДНОМЕРНО Е ТЕЧЕНИ Е 43 9 М ы рассмотри м задач у о движени и вязко й жидкости , занимающе й вс ё пространство , причё м буде м считат ь распределени е скорост и в начальны й момен т известны м и заданны м формуло й V (г, 0 ) = F(z). (14.6 ) Дл я интегрировани я уравнени я (14.5 ) можн о был о б ы применит ь мето д Фурье ; м ы примени м друго й мето д - мето д источников . Допусти м сначала , чт о функци я F(z) отличн а о т нул я тольк о в окрестност и точк и Z = O и чт о J F (z) dz = Q. (14.7 ) - со Ясно , чт о в это м случа е скорост ь v(z, t) в какой-либ о точк е буде т функцие й следующи х четырё х величин : v(z, О - Ф (z, t, V , Q), причё м очевидн о также , чт о v буде т прям о пропорциональн о Q, та к чт о V (z, t) = QW (z, t, v) . Примени м тепер ь соображени я теори и размерностей . М ы имеем , очевидно , следующи е размерност и отдельны х величин : [v] = LT~\ [z] = L, [t} = T, [+ = L2T"1, [Q] = L2T~\ Н о тогда , применя я т е ж е соображения , чт о в § 9 , м ы легк о при дё м к тождеств у Z W (г, t, v ) = W ( Lz , Tt, ~ v ) . Полага я здес ь T=-^-, L = * , легк о получим : ' У \t 1 ) ил и ^ W f H ) Итак , "Де положен о 440 ДВИЖЕНИ Е вязко й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Н о функци я v(z, t) должн а удовлетворят ь уравнени ю (14.5) . Соста вля я dvjdt, dvjdz, d2vjdz2, находим : / * (r) " < 0 + w (r)> Поэтом у уравнени е (14.5 ) даё т нам равенств о 1 [ / (5 ) + 2 : / ' ((=)] = 2 [ / ' (t ) + 2 ; / " (E)] ; подели в об е част и этог о равенств а на , получим : ил и Y f / ( 0 + / ' (3/4 + 4 / ' ( у + у* Г (S)] о , 2 откуд а 4^ l1 V^ T/ /( f0f 1l l ++ 44 -4 l 1 ^ / 4 0 1 = 0 . V T 1 / Й + 4/ ' (E)] = C . Н о пр и S = O лева я част ь этог о равенств а обращаетс я в нул ь (есл и считат ь /(0 ) и /'(0 ) ограниченными ) и, следовательно , С = 0 . Итак , 4/ ' (3/4 + /(E ) = O. Интегрировани е этог о уравнени я даё т на м f (S) = Ae'*. гд е А ест ь некотора я численна я постоянная . Итак , Чтоб ы найт и значени е постоянно й At состави м со а f v ( z . t ) d z = ^ J V r ^ O O - У И Z'' ^7 d z . H o известно , чт о со Je-X"dx= У к. (14.8 ) § l4i НЕСТАЦИОНАРНО Е ОДНОМЕРНО Е ТЕЧЕНИ Е 44 1 Полагаяс ь здес ь получим , чт о 2 Y ^ t -X= f е ы dz = V-k. (14.9 ) 2Y^t J Таки м образом , имеем : J V ( z , t ) dz = 2Л< 2 Утс , в частности , Iim Г V (z, t) dz = 2AQ /> о J но по услови ю (14.7 ) лева я част ь должн а равнятьс я Q, поэтом у необ ходим о взят ь 2 У 7 ' и м ы окончательн о находи м следующе е выражени е дл я v: г1 v ( z , t ) = - ( 1 4 . 1 0 ) ; IYFM Нетрудн о тепер ь разобрат ь и общи й случа й начальног о зада ния (14.6) . В само м деле , уравнени е (14.5 ) линейно , поэтом у сумм а частны х ег о решени й тож е буде т решение м этог о уравнения . Разо бьё м тепер ь вс ю ос ь Oz на малы е участк и и, рассматрива я участо к а < .г < а t f a , положим : V (z, 0) = 0 вн е участк а а < z < a -Jr da., v(z, 0) = F (а.) на участк е a < 2 < a f t f a . Ясно , чт о дл я величин ы Q м ы получае м в это м случа е значени е a + da J F (z) dz = F (а ) do.. а Поэтом у рассматриваемы й элемен т dx даёт , согласн о формул е (14.10) , в которо й надо , очевидно , заменит ь z на z - а , дл я функци и 442 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости [ГЛ. II V ( z , t) следующе е выражение : j _ (г-") г Интегриру я полученно е выражени е по все м элемента м da, мы и найдё м требуемо е выражени е дл я функци и v (z, t), удовлетворяюще й уравнени ю (14.5 ) и начальном у услови ю (14.6) : со 1 /' ( г -" ) г v ( z , t ) = - J = е м F{o.)da. (14.11 ) 2 у TZ-it J - JO Можно , впрочем , есл и не считат ь предыдущи й выво д достаточн о строгим , непосредственно й проверко й показать , чт о функци я (14.11 ) удовлетворяе т ка к уравнени ю (1 4 5) , та к и начальном у услови ю (14.6) . Покажем , например , последнее . Дл я этог о сделае м в интеграл е (14.11 ) замен у переменной , положи в а = г + 2С У Я , тогд а интегра л приме т вид : v ( z , t ) = j = f e v p ( z + 2 ^ y 7 t ) d L (14.12 ) - OO Положи в тепер ь t ~ 0 , увидим , чт о вследстви е равенств а (14.8 ) со V (z, 0 ) = ~ f e ' ! F ( z ) c f , = F(z), У т. <> - со чт о и требовалос ь доказать . Рассмотри м тепер ь дв а просты х пример а применени я полученно й формулы . Пуст ь в начальны й момен т распределени е скорост и имее т следующи й вид : та к что плоскост ь Oxу являетс я в начальны й момен т поверхность ю разрыв а скорости . Можн о сказать , что в начальны й момен т вдол ь плоскост и Oxу расположе н вихрево й слой . Посмотрим , чт о буде т происходит ь с эти м вихревы м слое м с течение м времени . Применя я формул у (14.12 ) к данном у случаю , получим : 2V-.1 со 21 у/ * ( * , , ) = : _ ^ r / г ' Л + ^ = ^ / е-? Л. 2V it ZVit §l4iНЕСТАЦИОНАРНО Е ОДНОМЕРНО Е ТЕЧЕНИ Е 443 иб о Точн о та к ж е со J f Я. -со Я о J " < ? d C = J е р Л ; о поэтом у получае м окончательну ю формулу : 2 2Kv< v{z,t) = - e-^dL (14.14) Функци я X Ф(х) = e-^rfC, (14.15 ) играюща я большу ю рол ь в теори и вероятностей , носи т названи е функци и Крамп а ил и интеграл а вероятности . Дл я это й функци и имеютс я таблицы . И з формул ы (14.8 ) следует , чт о Ф ( с о ) = 1 , с друго й стороны , ясно , чт о Ф (O) = O. Итак , (14.16 ) Пр и ^ > 0 функци я V (г , f ) буде т уж е непрерывно й функцие й о т г , та к чт о пр и t > 0 скачк а скорост и уж е нет . Можн о сказать , что о н рассеялс я п о все й жидкости . Рассматриваемо е движени е целе сообразн о поэтом у назват ь диффузией вихревого слоя. И з формул ы (14.14 ) видно , чт о пр и 2 > 0 значени е скорост и непрестанн о падае т от величин ы V0 пр и t = 0 д о нул я пр и t-> со . Просто е вычислени е по таблиц е функци й Крамп а показывает , чт о скорост ь уменьшитс я г2 вдво е чере з промежуто к времен и ^ = 1 , 1 - . Состави м ещ ё выражени е дл я вихр я скорост и dv = P p _ с д г (14.17 ) dz VtM М ы видим , чт о в кажды й данны й момен т максимально е значени е вихр я буде т пр и Z = 0 , т . е . на мест е бывшег о разрыв а скорости . Далее , просто е исследовани е функци и (14.17 ) показывает , чт о в дан Ном месте величина вихря сначала нарастает, достигает максимума 444 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II в момен т t = z2 /2V и зате м падае т д о нуля ; пр и это м значени и ма ксимум а равно , очевидно , f p _ _ Vq Г~~Т V ^ t e \г\ У w ' В качеств е второг о пример а рассмотри м движени е жидкости , расположенно й выш е плоскост и Oxy и находящейс я в начальны й момен т в состояни и покоя , та к чт о V (z, 0 ) = 0 пр и z > 0 , (14.18 ) и допустим , чт о ограничивающа я жидкост ь бесконечна я плоскост ь Oxy внезапн о получае т в момен т ^ = O скорост ь V0 в направлени и ос и Ох , котору ю зате м сохраняет . Решени е это й задач и легк о полу чаетс я на основани и предыдущего . В само м деле , функци я (14.16 ) обращаетс я пр и Z = 0 в 0 ; поэтому , есл и образоват ь функци ю v { z , t ) = v (14.19 ) т о ясно , чт о пр и / = 0 эт а функци я обратитс я в нуль , а пр и 2 = 0 в v0, т . е . удовлетвори т все м поставленны м требованиям . Пр и любо м 2 > 0 функци я V (z, t) стремитс я пр и < " с о к значе ни ю V0. Эт о означает , чт о в вязко й жидкости , ограниченно й с одно й сторон ы твёрдо й стенкой , последня я пр и своё м движени и увлекае т з а собо й вс ю жидкость . Замети м ещё , чт о вследстви е соотношени я Ф (о о ) = 1 мы имеем : 1 - Ф (х ) = Ф ( о о ) - Ф (я ) = OI X с о = J L /* 2 Г 2 г VH J VH J V ъ J ' о r O * и , следовательно , формул у (14.19 ) можн о заменит ь такой : OO v (2. 0 = -3/4 [ e-'2d(,. (14.21 ) у к 0 . (14.22 ) Положим , далее , чт о на свободну ю границ у жидкост и действует , помим о нормальног о давлени я р0, ещ ё касательно е напряжени е Г по " §l4iНЕСТАЦИОНАРНО Е ОДНОМЕРНО Е ТЕЧЕНИ Е 445 с т о я н н о й величин ы и направленно е п о положительно й ос и Ох . Опре дели м возникающе е движени е жидкости . К тако й постановк е задач и сводится , очевидно , в перво м при б л и ж е н и и вопро с о возникновени и морски х течени й по д действие м ветра . Вспомина я выражени е дл я касательны х составляющи х напряже ния, запише м гранично е условие , которо е должн о выполнятьс я н а сво бодно й поверхности , в вид е J J .f)l~) = - Т пр и 2 = 0 . (14.23 ) Итак , на м нужн о решит ь уравнени е ^ L = , ^ L (1 4 24 ) dt дг2 1 пр и начально м услови и (14.22 ) и гранично м услови и (14.23) . Покажем , ка к решени е поставленно й задач и можн о сраз у выве ст и из тольк о чт о полученны х результатов . Дл я этог о заметим , чт о функци я dv тож е удовлетворяе т уравнени ю (14.24 ) и, кром е того , начальном у услови ю w (z, 0 ) = 0 пр и z > 0 . Н а свободно й ж е поверхност и гранично е условие , вследстви е (14.23) , имеет , очевидно , ви д W = - T пр и Z = 0 . Н о легк о видет ь теперь , чт о есл и заменит ь V0 н а - Т, т о функ ци я V (z, t), построенна я нам и в о второ м и з рассмотренны х выш е примеров , буде т полность ю удовлетворят ь все м условия м дл я функ ции w(z, t). Поэтому , применя я формул у (14.21) , находим , чт о в наше й задач е dv 2ZTT со f _r2 .r [X -3 - = = - / йС . ' дг Y т. J 2 Vyt Дифференциру я эт о выражени е п о z, определи м | xd^vldz 2 , а тогд а из уравнени я (14.24 ) найдем : 446 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ж и д к о с т и [ГЛ. II Интегриру я полученну ю функци ю п о t и замечая , чт о пр и ^ = O V обращается , вследстви е (14.22) , в нуль , находим : t V = dt Уг.р р V f (14.25 ) Дл я численны х подсчёто в удобне е преобразоват ь эт у формулу . Введё м вмест о t нову ю переменну ю С, положи в г dt zd'Q C = 2 V ^ t ' "* % у \ V t с2 Та к ка к пр и £ = 0 имее м C = со , т о получим : z 2 VTt OO Просто е вычислени е показывает , чт о - / *(т) =- +/ T^ 2С>: -ж 2 W е ^ л . В результат е получае м дл я функци и v(z, t) выражение : V (г. t) = - / г ' те или , чт о т о же , п о (14.20) : ~ ы 2 г V т /' 2 V v< v ( z , f ) = y < 2 yt Ait - z + г Ф 2 V-* t (14.26 ; Пр и бесконечно м возрастани и t последни й чле н в скобка х стре митс я к нулю ; второ й остаётс я конечным , а первы й бесконечн о растёт , та к чт о м ы имее м приближённо е равенств о V (z, t)>, пр и t > оо ; пр и z = O м ы имее м совершенн о точно : " ( 0 . 0 2 ^ / " . (14.27 ) (14.28) • 5] СТАЦИОНАР . ТЕЧЕНИ Е ЖИДКОСТ И МЕЖД У ДВУМ Я ЦИЛИНДРАМ И 44 7 М ы видим , таки м образом , чт о течени е всюд у стремитс я принят ь ту скорость , котора я имее т мест о на свободно й границе . Пр и это м на какой -либ о глубин е 2 скорост ь v достигае т половин ы значени я с к о р о с т и н а свободно й границ е в то т момен т t, когд а J l f - " С + C O ( C ) = ^ 7 = . (14.29 ) У * ' ' 1 ' гд е C = -T-T = • (14.30 ) 2 Y -it Реша я уравнени е (14.29) , находи м С = 0,35 , та к чт о глубин а z , на которо й скорост ь v равн а половин е скорост и н а свободно й гра нице , определяетс я уравнение м 2 = 0,7}/"^" . Так , например , дл я вод ы v = 0,01 8 см1\сек\ примем , далее , 2 = 1 0 0 .M = IO4 см, тогд а * = т0т,4^9тмг = Ы З X 10' ° сек . = 35 9 лет . Отсюд а видно , чт о указанны м образо м морски е течени я объяснит ь нельзя , та к ка к в движени е приводятс я тольк о поверхностны е масс ы воды ; следует , по-видимому , думать , чт о движени е вод ы буде т не ламинарным , а турбулентным ; груб о можн о учест ь турбулентны й характе р движени я таки м образом , чт о вмест о коэффициент а вязкост и v нужн о взят ь значительн о больши й коэффициент турбулентной вязкости V\ тогд а время , в течени е которог о внутренни е масс ы жидкост и приду т в движение , значительн о уменьшится . Кром е того , в задач е о морски х течения х очен ь существенну ю рол ь играе т откло няюща я сил а вращени я земли , которо й мы в наше м пример е прене брегали . М ы замети м только , чт о пр и учёт е отклоняюще й сил ы вра щени я Земл и течени е жидкост и не буде т уж е одномерны м и чт о скорост ь не буде т с течение м времен и возрастат ь д о бесконечности , ка к в наше м примере , а буде т оставатьс я ограниченной . § 15. Стационарное течени е жидкост и межд у двум я цилин драми . Переход я к рассмотрени ю плоски х течени й вязко й несжи маемо й жидкости , начнё м с простейшег о пример а движени я жидкост и межд у двум я концентрическим и цилиндрами . Пуст ь жидкост ь заклю чена межд у двум я круговым и соосным и цилиндрам и радиусо в гх и г 2 (рис . 157) , вращающимис я окол о обще й ос и с постоянным и угловым и скоростям и и , и W2Определи м движени е жидкости , счита я ег о ста ционарным , а внешни е сил ы отсутствующими . Ввод я цилиндрически е координат ы г, 6, 2 , можем , очевидно , считать , чт о движени е проис ходи т п о окружностя м с центрам и на ос и Oz, та к чт о V2 = Vr = O, v;] = V (г), р = р{г). Очевидно , прощ е всег о использоват ь уравнени я движени я вязко й жидкост и в цилиндрически х координата х (5.14) , которы е в данно м 448 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости [ГЛ. II случа е сильн о упрощаются : L i l L р dr г d2v . 1 dv dr2 ' г dr 0 . (15.1 ) Уравнени е дл я v ест ь уравнени е тип а Эйлера , поэтом у дв а ег о частны х решени я должн ы имет ь вид : V = г\ подстановк а этог о значени я v в уравнени е (15.1 ) даё т k ( k - 1 ) + А - 1 = 0 , откуд а получае м следующи е значе ни я k \ A1 = I , k 2 = 1 и следующи е частны е решения : 1 t", = г, V2 = . Рис. 157 Итак , обще е решени е уравнени я (15.1 ) ест ь V = A r + . (15.2 ) Произвольны е постоянны е А и В нужн о определит ь и з граничны х условий , которые , очевидно , имею т вид : V - u V i пр и r = rv V : " г = г2, та к ка к имее т мест о прилипани е жидкост и к поверхност и цилиндров . Просто е вычислени е определяе т А и В и даё т окончательно е выра жени е дл я v: (" 2 г \ - <й,Г?) Г 2 + (O)1 - ш 2 ) г\г \ г ИKr, (15.3 ) Вычислим , кака я сил а трени я действуе т на элемент ы внутреннег о и внешнег о цилиндров . Применя я формул ы (5.15) , находим : Prb M dv ~дг 2f х В 2f i ((r) | - ш 9 ) г\г\ " r 2 { r \ r \ ) (15.4 ) Рассмотрим , например , част ь цилиндр а C 1 , высот а которо й в направлени и ос и Oz равн а единице . Н а элемен т rx d9 это й част и поверхност и действуе т в направлении , касательно м к цилиндру , сил а p^r^db , момен т которо й относительн о ос и цилиндр а раве н 5 ,5] СТАЦИОНАР . ТЕЧЕНИ Е ЖИДКОСТ И МЕЖД У ДВУМ Я ЦИЛИНДРАМ И 44 9 Поэтом у полны й момен т си л трения , приложенны х к элемента м рас сматриваемо й част и цилиндр а C 1 , раве н 4л и Сю, - W9-) M1 = (15.5 ) г 2 г х Точн о та к ж е полны й момен т относительн о ос и Oz си л трения , приложенны х к част и цилиндр а C 2 , отнесённы й к единиц е длин ы этог о цилиндра , равен : 4 тс [ х (о, 2 - со, ) г\г \ M2 = ^ { . (1о.6 ) r 2 - r x Таки м образом , чтоб ы заставит ь цилиндр ы вращатьс я с пред писанным и угловым и скоростями , нужн о приложит ь к цилиндр у C 1 на кажду ю единиц у длин ы этог о цилиндр а вращающи й момен т - M1, а к цилиндр у C 2 - вращающи й момен т - Af 2 . П о известном у правил у вычислени я работ ы необходим о пр и это м затрачиват ь в кажду ю еди ницу времен и количеств о работы , равно е 4Я[А (м, - со,) 2 r\rl K = A f j f f l l М 2 " о 2 = - ! Ц 2 L1 ^. (15.7 ) Вс ё эт о количеств о энергии , очевидно , диссипируется . Диссипаци я энерги и отсутствует , есл и W1 = ш2, н о в это м случа е v = (D1/-, и дви жени е жидкост и состои т в чисто м вращени и окол о ос и Oz, тожде ственно м с вращение м твёрдог о тела . В это м и тольк о в это м слу чае об а момент а Al 1 и Al2 тож е обращаютс я в нуль . В частно м случае , когд а г 2 = сю, w2 = 0 , получае м движени е жидкост и вн е цилиндра , вращающегос я с заданно й углово й скорость ю О), г ? O = L i . (15.8 ) Ка к известно , в тако м движени и жидкост и вихр и отсутствуют . Дл я вращающег о момент а получае м выражение : Ж = 4тг[х(U1/-2, (15.9 ) пропорционально е коэффициент у вязкости , углово й скорост и враще ния цилиндр а и квадрат у радиус а цилиндра . Опыт ы показываю т дл я рассматриваемог о случа я удовлетвори тельно е согласи е величин , получаемы х экспериментально , с величи нами , вычисленным и на основани и вышеприведённы х формул . Конечно , эт о имее т мест о тольк о в случа е ламинарны х течений , т . е . пок а Уь;овы е скорост и вращени я цилиндро в остаютс я достаточн о малым и 11 не переходя т критически х значений , посл е чег о наступае т турбу лентны й режим . 2 9 Теоретическа я гидромеханика , ч . И 450 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. II § 16 . Диффузи я вихря . В качеств е важнейшег о пример а неста ционарног о плоског о движени я вязко й жидкост и рассмотри м вопро с о диффузи и прямолинейно й вихрево й нити . Пуст ь в начальны й момен т времен и имеетс я распределени е ско ростей , соответствующе е прямолинейно й вихрево й нити , расположен но й п о ос и Oz и имеюще й интенсивност ь Г . Таки м образом , в момен т времен и t = 0 проекци и скорост и на ос и цилиндрически х координа т г, 0, z имею т следующи е значения : vr = 0. = Vz=O. (16.1 ) Требуетс я определит ь движени е жидкост и в любо й следующи й момен т времени . Совершенн о ясно , чт о в это м движени и Vr и vz вс ё врем я равн ы нулю , a Vii зависи т тольк о о т r u t : Vr = V z = 0, Vij = V (г, t), р = р (г, t). Уравнени я (5.14 ) показываю т нам , чт о dv (d2v , 1 dv Ж ~~ v I I r 2 Введё м ещ ё в рассмотрени е вихр ь скорост и 2 = 1 3/4 ^ . (16.3 ) В § 8 м ы вывел и уравнени е (8.6) , определяюще е изменени е вихр я с течение м времени . В цилиндрически х координата х эт о уравнени е имее т вид : дб2 J ' В наше м случае , когд а Dr = O и Q не зависи т о т 8, эт о уравне ни е сильн о упрощается : ^dt = v f\-dgr2? E +^ l г ^dr A) = г dr (1 1 6 4 ); Впроче м ясно , чт о (16.4 ) вытекае т из (16.2 ) вследстви е (16.3) . Пр и рассматриваемы х начальны х условия х мы бе з всяког о труд а проинтегрируе м уравнени е (16.2 ) или (16.4) , есл и воспользуемс я соображениям и теори и размерностей . Рассмотрим , например , уравне ни е (16.4) . Функци я 2 , кром е переменны х r u t , може т зависет ь тольк о о т дву х параметро в v и Г , причё м ясно , чт о Q прям о про порциональн о Г ; итак , 2 = Г Ф (г, t, V). (16.5 ) Выписывае м тепер ь размерност и все х входящи х в эт у формул у величин : [2 ] = [V] = L2T'1, [г] = L, [t\ = Т, [v] = L2T'1. § J6 ] ДИФФУЗИ Я ВИХРЯ 45 1 Есл и мы произведё м изменени е едини ц длин ы и времени , умень ши в единиц у длин ы в L раз , а единиц у времен и в T раз , т о числен ное значени е г увеличитс я в L раз , численно е значени е t - в T раз , численно е значени е S - в If T ра з и т . д . Поэтом у в новы х единица х мы буде м имет ь Г Ф \rL, tT, Заменя я здес ь S ег о выражение м (16.5) , получае м следующе е тождество : Ф (г, t, у) = £2ф {rL, tT, , J j r ) . Положи м тепер ь Т= - , L = , тогд а буде м иметь : t у-4 О ' т . е . 1 Итак , Полага я V* вычисляем : Составля я тепер ь уравнени ь (16.4) , легк о находи м уравнени е дл я функци и /(E) : / (c) + M' (5 ) + 4 [ / ' (? ) + i f " (£) ] = 0 . Ег о можн о переписат ь такж е в форм е / ( 0 4 4 / ' (E) 4 \ f (?) + 4 / ' (E)] = О, откуд а видно , чт о U/(£ ) + 4/ ' (5)] = C. Н о есл и считать , чт о /(E ) и /'(E ) пр и E = O остаютс я конечными , т о следуе т принят ь C = O1 ка к эт о видн о из предыдущег о равенства , 29* 452 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ж и д к о с т и [ГЛ . II есл и в нём положит ь $ = 0 . Итак , / ( £ ) + 4 / ' ¢ ) = 0 . Интегриру я эт о уравнение , получим : с f (K) = A e ^ , гд е А - постоянная , подлежаща я определению . Итак , Л Г •it Вычисли м циркуляци ю Г л п о окрул<ност и радиус а R, с центро м в начал е координат . П о формул е Стокс а м ы имеем : R R Y r = f f Q d S = f 2 2 nrdr = f е~ ^ r d r = о Ar,AYe тг r = 0 = 4пЛ Г \ 1 - е . (16.6) Есл и устремит ь t к 0 , т о е ы тож е буде т стремитьс я к нулю , поэтом у Hm Г р = 4тсЛГ. t-> о Но , п о условию , в начальны й момен т времен и Г Д = Г , следова тельно , должн о быт ь А = ~ . (16.7 ) Итак , м ы окончательн о получае м следующе е решени е наше й задачи : М ы имее м далее , из равенст в (16.6 ) и (16.7) , следующе е выра жени е дл я циркуляци и скорост и п о окружност и радиус а г с центро м в начал е координат : ( Г Г = Г\ 1 - е ы ) . (16.9 ) Н о та к ка к Г г = 1т,rv, т о §16)ДИФФУЗИ Я ВИХР Я 453 Легко , впрочем , проверит ь и непосредственно й подстановкой , чт о функци я (16.10 ) удовлетворяе т уравнени ю (16,2) . Очевидн о далее , чт о пр и t- > 0 м ы имее м предельно е равенств о Iim г" (г , t ) = ~ , t 0 гак чт о удовлетворен ы и начальны е услови я (16.1) . Исследуе м полученно е нам и решени е задач и о диффузи и вихря . Формул а (16.8 ) показывает , чт о вихрь , сосредоточенны й в начальны й момен т времен и в начал е координат , с течение м времен и вс ё боле е я боле е расплывается . Пр и это м видно , однако , чт о наибольша я завихренност ь буде т в то м месте , гд е первоначальн о находилс я вихрь ; п о мер е удалени я о т этог о мест а завихренност ь очен ь быстр о падает . Чтоб ы численн о охарактеризоват ь расплывани е вихря , найдём , ка к изменяетс я с течение м времен и радиу с то й окружност и с цен тро м в начал е координат , котора я содержи т внутр и себ я половин у все х вихрей , иным и словами , радиу с г то й окружности , циркуляци я н о которо й равн а '/ 2 Г . Формул а (16.9 ) показывает , чт о г должн о определятьс я равенство м откуд а р 4-It _L1 е - 2 ' г = 1,665 V t f . (16.11 ) Просто е исследовани е Q показывает , чт о завихренност ь в дан по м мест е возрастае т с течение м времен и о т нул я д о максимума , равног о Smax = ' ( 1 6 Л 2 ) ъе и зате м опят ь падае т д о нуля . Рассматриваемы й приме р являетс я чрезвычайн о характерны м дл я динамик и вихревог о движени я в вязко й жидкости . О н показывает , чт о основно й тенденцие й внутри вязко й жидкост и являетс я вырав нивани е завихренносте й различны х части ц жидкости . Наоборот , м ы увиди м далее , чт о в соседств е с ограничивающим и жидкост ь стенкам и вязка я жидкост ь обладает , п о сравнени ю с идеально й жидкостью , резк о выраженно й вихреобразующе й способностью . Рассмотренну ю нам и задач у можн о значительн о обобщить . А именно , вмест о тог о частног о распределени я скорост и в началь ны й момен т времени , которо е даётс я формулам и (16.1 ) и соответ ствуе т случа ю сконцентрированног о вихря , рассмотри м произвольно е распределени е скорост и v в начальны й момен т времен и vir, 0} = ""(/•) . (16.13 ) 454 ДВИЖЕНИ Е вязко й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Начально е распределени е вихр я даётс я в это м случа е формулой : 2 ( r , (J) = Q 0 (г ) = 1 3/4 ^ . (16.14 ) Но , ка к м ы видел и выше , искома я нам и функци я Q (г, t) удовле творяе т линейном у дифференциальном у уравнени ю до. АО (д29. . д29.\ Поэтом у сумм а отдельны х частны х решени й этог о уравнени я тож е буде т ег о решением . Н о заданно е начально е распределени е вихр я можн о заменит ь бесчисленны м множество м отдельны х сосре доточенны х вихрей ; дл я этог о введё м н а плоскост и цилиндрически е координат ы R, к и положим , чт о на элемент е RdRdk плоскост и находитс я сосредоточенны й вихр ь интенсивност и Q0(R)RdRdX. (16.15 ) Обозначи м чере з и расстояни е межд у точкам и (R, X) и (г, 0) , та к чт о и2 = R2 + г2 - 2Rr co s X. Тогд а п о формул е (16.8 ) получим , чт о о т вихр я (16.15 ) в точк е (г , 0 ) в момен т t получитс я завихренность : Интегриру я эт о выражени е п о все м R и все м X, м ы и получи м требуемо е выражени е вихря : j P Rl+r*-2Rr cos X 2 ^ Ъ = j Q o ( R ) e ~ Ы R d R d l . (16.16 ) о о Но , ка к известн о из теори и бесселевы х функций , м ы имее м *): о Поэтом у = £ ) = 2 . 1 , ( & ) . 2 " . I < 1 6 ' 9 " Ясно , чт о м ы получил и задач у о диффузи и вихр я конечны х размеров , интенсивност ь этог о вихр я равна , очевидно , Г = I иа 2 2 0 . (16.20 ) Применя я формул у (16.17) , м ы найдё м распределени е вихре й в любо й следующи й момен т времени : Q (г, O = I K 4 ^ / e ^ 7 O Щ г ) R d R < 1 6 ' 2 1 ) о Преобразуе м эт у формул у к другом у виду , боле е удобном у дл я численны х вычислений . Введё м прежд е всег о безразмерны е переменные , полага я А2 Г2 _ R2 _ . тогд а буде м имет ь " а ' A-rt 4vi> - 0.(Г, t)=Q0e~f J е ' / 0 ( 2 / р С ) Л . (16.22 ) о 456 ДВИЖЕНИЕ вязко й жидкост и [ГЛ . U Воспользуемс я тепер ь перво й и з следующи х основны х форму л в тео ри и бесселевы х функци й ') : / о J* 4 й ( i f f е""*"-*-1*" ( k = ± \ . ±2. . . . ) , I гд е I 0 ест ь окружност ь произвольног о радиус а с центро м в начал е координат , и интегра л берётс я п о контур у это й окружност и в поло жительно м направлении . Та к ка к / 0 ( 2 V f i ) = J 0 ( 2 / / р Т ) , то , применя я предыдущу ю формулу , найдём : рс ' . O V T D i / . T i 'с и, следовательно , о / \о / Внутренни й интегра л сраз у берётс я е c ^O 1 )> r^fCr = в U i 1 ' U о 1 ^ w И ПОЭТОМУ := о / Г Ч Л У Ъ * ^ / / (16.23 ) о Ii /" Радиу с окружност и I 0 можн о брат ь п о произволу . М ы воспользуемс я эти м произволо м дл я того , чтоб ы получит ь дл я S дв е формулы , одно й из которы х удобне е буде т пользоватьс я дл я малы х значе ни й г/а, друго й дл я больших . А именно , выбере м сначал а радиу с окружност и I 0 меньшим , че м р. В это м случа е ^ J l L O , (16.24 ) 1 р ' ) См., например , С м и р н о в В. И., Кур с высше й математики , 3 (1939), стр . 677. § 16) ДИФФУЗИ Я ВИХРЯ 45 7 та к ка к подынтегральна я функци я голоморфн а внутр и окружност и / 0 . М ы имеем , далее , н а окружност и Z0 разложени е 1 1 1 и и 2 S u k ' 1 и - P р , U ? Г г ** Pа* ' 1 _ 7 A = I и поэтом у f ^ l d u = V f u ^ e ^ d u . 2га, / и - р ^ 2 x 1 0 * J /" ¢ = 1 Y Ы Н о п о то й ж е основно й формул е теори и бесселевы х функци й мы имеем J j f du = ( / VTp) * J_k (2 / /оГр ) = ( _ i Vapf Jk (2 / V^p). h Вводя , далее , функци и Бессел я с мнимы м аргументо м легк о найдём , чт о Ik (г) = J J k ( iz ) , Итак , 1 2 да f и"->еи+ " ) ' • /о ft = i Тепер ь п о формула м (16.23 ) и (16.24 ) легк о получи м перву ю нуж ну ю нам формулу : со к Q (г, t) = Q0S-P- ( f ) T 7* (2 6'25> Й = 1 Возьмё м тепер ь в формул е (16.23 ) радиу с окружност и I0 превос ходящи м р. Тогд а п о известно й теорем е о вычета х буде м иметь : 1 e 2га / h J J W ; (16.26 ) Далее, на окружност и /0 , вследстви е того , чт о | и | > р, буде м имет ь разложени е 1 L I I P I . i l L V j L U P U j р ~~ U U2 ' U3 "г ' • ' ^ + : й 6 = 0 458 ДВИЖЕНИЕ вязко й ж и д к о с т и [ГЛ . I I и поэтом у -J-T [ - du : 2ти J и - р /о 1 2та du : k = 0 I0 со A = O = • S P f t ( ' V ^ ) " 4 ( 2 = - S ( i f ( 2 V ^ - (16.27 ) A = O A = O Вследстви е форму л (16.23) , (16.26 ) и (16.27) , находим : 2 (г , 0 = 2 0 Q o e P J ] ( I ) 2 / , ( 2 / а р ) . ( 1 6 . 2 8 ) A = O Возвращаяс ь к прежни м независимы м переменным , получи м оконча тельны е формулы : тг + а г OO Q (г . Q = Q , ^ r ^ { y j f ( Z ) . \2-it!' A = I r2+ a 2 OO Q (г . f ) = Q 0 Q 0 T - S f e K l j R ?V A= O (16.29 ) Совершенн о ясно , чт о перво й из эти х форму л следуе т пользоватьс я пр и г а, а второ й пр и г < а. Пользуяс ь таблицам и бесселевы х функций , нетрудн о тепер ь вычислит ь значени я Q (г , t ) дл я различны х значени й r u t . Рис . 15 8 даё т зависимост ь Q/Q 0 о т г/а дл я значени й 2vif " 1 I 1 n -^J= O, -j , -ту, 1. Ясн о видно , ка к вихр ь расплываетс я п о всем у пространству . Чтоб ы имет ь количественну ю характеристик у быстрот ы расплы вани я вихря , найдём , чере з како й промежуто к времен и г значени е завихренност и в центр е вихр я буде т равн о Q 0 /2 . Последня я из фор му л (16.29 ) показывает , чт о 2(0 , и, следовательно , т должн о определятьс я из формул ы а2 (16.30 ) 4vx 1 2 ' 4ч In 2 : 0 , 3 6 . (16.31 ) Дл я вод ы пр и v = 0,0 1 GM2IceK имее м т = 36а 2 , наприме р пр и = 1 см буде т т = 3 6 сек . Дл я воздух а пр и v = 0,13 3 см2/сек имее м §16)ДИФФУЗИ Я ВИХР Я 459 2,7а 2 , т . е . пр и а = 1 см буде т т = 2, 7 сек . Н о уж е пр и а = 1 ." окажетс я т = 45 0 мин . Отсюд а ясн о видно , чт о на вихря х малы х размеро в диффузи я проявляетс я горазд о сильнее , чем на боль ших . С это й точк и зрени я пр и рассмотрени и атмосферны х движени й больши х масштабо в (циклона , антициклона ) м ы могл и б ы совсе м пренебрегат ь вязкостью , счита я возду х идеально й жидкостью . Однак о нужн о имет ь в виду , чт о движени я атмосферы , особенн о в нижни х е ё слоях , нося т част о турбулентны й характер ; турбулентност ь ж е действуе т на вихр и таки м ж е образом , ка к вязкость . Иногд а груб о оцениваю т 1,0 диффузи ю вихрей , происхо Ofi дящу ю по д действие м турбу o s лентности , формулами , ана логичным и вышеприведён ным , тольк о коэффициен т v беру т горазд о больши м (в 10 0 000- 1 00 0 00 0 раз) . OA В качеств е второг о при OJ мер а рассмотри м цилиндри Q^ чески й вихрево й слой . При мем , чт о в начальны й момен т вихр и всюд у равн ы нулю , 0 кром е окружност и радиус а а, на которо й мы имее м равно мерно е распределени е вих рей , причё м полна я интенсивност ь эти х вихре й равн а Г . Математи ческ и эт о означает , чт о функци я S 0 (R) равн а нул ю всюду , кром е бесконечн о мало й окрестност и точк и а, причё м f Q 0 ( R ) 2 i t R dR = Г . (16.32 ) Н о тогд а ясно , чт о формул а (16.17) , в которо й вс е подынтеграль ны е элемент ы равн ы нулю , кром е элементов , соответствующи х зна чени ю R = а и бесконечн о близки м значениям , дас т нам Q (Г, t ) : 4nit г2+ а2 4 it i W i (16.33 ) Рис . 15 9 даё т вычисленну ю п о это й формул е зависимост ь QjY о т rja дл я значени й 2 vt/a 2 = l j 6 , lj4, lj2, 1. Совершенн о отчётлив о видно , ка к вихрь , сконцентрированны й в начальны й момен т времен и вдол ь окружност и радиус а а, начинае т расплыватьс я в об е стороны , 460 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО? ! ж и д к о с т и [ГЛ . и быстр о заполняе т вс ю внутренност ь круг а радиус а а, посл е чег о происходи т процес с расплывани я вихр я п о все й плоскости . Распределени е скорост и в это м случа е определяетс я формулой , вы текающе й из (16.18 ) н а основани и сделанны х предположений : " ( г , t ) = о (16.34 ) Н о выражени е в право й част и с точ ность ю д о перемен ы обозначени й (Q 0 = Г/2т:г , а = г, г = а) совпадае т с право й часть ю формул ы (16.21) . А тогд а ясно , что , производ я т у ж е саму ю перемен у обозначени й в фор мула х (16.29) , м ы получи м дл я рас сматриваемог о нам и случа я цилиндрическог о вихревог о сло я следую щи е результаты : " г . } (16.35 ) Ti + 0 г OO I ft = 0 J § 17 . Течени е в диффузоре . Очен ь важны м дл я понимани я механизм а течени я вязко й жидкост и вблиз и стено к являетс я подроб но е изучени е точног о решени я уравнени й гидромеханики , определяю щег о течени е в диффузоре , т . е . в расширяющейс я трубе . М ы буде м разбирать , следу я в основно м Гамел ю ') , тольк о пло ску ю задачу , т . е . буде м изучат ь движени е вязко й жидкост и межд у двум я плоским и стенками , наклонённым и дру г к друг у по д угло м а . Естественн о предположить , чт о движени е буде т чист о радиальны м (рис . 160) . В соответстви и с эти м возьмё м уравнени я гидромеханик и в цилиндрически х координата х (5.14 ) и постави м себ е задаче й найт и точно е решени е эти х уравнени й следующег о вида : Vr = V (Г, б), Vil = V2 = 0. ' ) H a m e l Q., Spiralformig e Bewegunge n zahe r Fliissigkeiten, Jahres berich t der deutsche n Mathematike r Verelnigung , 25 (1916), стр. 34-60. § 171 ТЕЧЕНИ Е В ДИФФУЗОР Е 461 Уравнени я (5.14 ) даю т пр и эти х условия х следующи е равенства : dv JL L ( d * v I 1 ^ i V • v d F = P дг v Urd2r2 г* Э02 ^ г дг' d(rv) n I dp . 2ч ddvv Ti M' (17.1 ) 0 . dr Последне е из эти х уравнени й показывает , чт о rv (г, 8) = и (8). (17.2 ) Очевидно , н (8) даё т нам распределени е скоросте й в единично м рас стояни и о т начал а координат . Средне е из равенст в (17.1 ) приводи т тепер ь к равенств у откуд а следует , чт о dp 2pt da Ж - У2" M ' P (г , 6 ) = % а (6 ) + / ( г ) . Наконец , подставля я эт о выражени е дл я р в перво е уравнени е (17.1) , легк о найдё м следующе е дифференциально е уравнени е дл я определени я функци и и (в): d2u , л I Й Р + 4 " + U2 _ _ Г (г ) г 3 откуд а видно , чт о ка к левая , та к и пра ва я част и являютс я постоянно й вели чиной . Итак , откуд а и окончательн о 2(л Pir, 8) = ^ ( 6 ) 3/4 + ^ . (17.3 ) С друго й стороны , и (6) должн о удов летворят ь уравнени ю и"f 4м -j' :0 , (17.4 ) Рис. 160. которо е легк о интегрируетс я в квадратурах . А именно , умножи в предыдуще е уравнени е на а' , м ы може м посл е этог о прост о ег о 462 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкост и [ГЛ. II проинтегрировать ; в результат е получим : + - C u - C 2 = O . Решае м эт о уравнени е относительн о к' : du M'' ± | / ~ м 3 - 6vij 2 + 3vC " + 3vC 2 ) , разделяе м переменны е и интегрируем : л Г \ 6 = ± Г J - d u . (17.5 ) V З ч J Y U 3 ^ U 1 + 3vCi i + 3vC 2 Есл и воспользоватьс я эллиптическим и функциями , т о можн о дат ь явно е выражени е зависимост и и о т в . А именно , переписывае м пре дыдуще е равенств о в виде : и полагае м Тогд а id /" du V ^ = ± J f l u 3 + -VhJci ^17"6) н( f) ) = - 2 v f M 1 (B) . du = dux, 4 M 3 + 2 4 V M 2 - 12VCM - 12VC 2 = 4M3 - ^ 2 M 1 § 3 . гд е g2 и g2 - новы е произвольны е постоянные . Есл и значени е 6 пр и к = с о ест ь S0 (конечно , O0 може т оказатьс я комплексны м числом) , то , ка к следуе т из (17.6) : i (6 б") _ _ ± Г dux / 6 , J / 4 в з "2 И 1 - " 3 Таки м образом , 6 являетс я известно й функцие й о т M1 и , обратно , K1 буде т известно й функцие й о т 0. Эт а последня я хорош о исследо вана , а именно , он а непосредственн о выражаетс я чере з эллиптическу ю функци ю $ Вейерштрасса . Итак , и, значит , " (в) = 2 v + ? ( I f c J i ) l g" е,у (17.7 ) §171ТЕЧЕНИ Е В ДИФФУЗОР Е 463 Остаётс я исследоват ь полученно е решение , представленно е фор мулам и (17.5 ) и (17.7) . Последня я из эти х форму л содержи т тр и произвольны х постоянных : 60 , g 2 и g 3 , дл я определени я которы х мы имее м ка к ра з тр и условия . Прежд е всег о на стенка х диффузора , уравнени я которы х пуст ь буду т 6 = ± а/2 , должн о выполнятьс я усло вие прилипани я жидкост и к стенкам : в ( ± | ) = 0 . (17.8 ) Кром е того , м ы должн ы выразит ь ещ ё условие , чт о чере з любо е поперечно е сечени е диффузор а в кажду ю единиц у времен и проходи т определённы й объё м жидкости . Это т объё м выражается , очевидно , формулой : Ct Ct 2 ~2 Q = J v(r,6)-rde= f и(в)ав. (17.9 ) Ct Ct Величин у Q м ы буде м называт ь обильность ю источник а и буде м считат ь е ё заданной . Есл и Q положительно , м ы имее м дел о с источ ником , т . е . с расходящимс я течение м в диффузоре ; есл и ж е Q отрицательно , т о м ы имее м дел о с о стоком , т . е . с о сходящимс я течением . Итак , дл я определени я трё х произвольны х постоянны х 60 , g 2 и g 3 м ы получил и тр и уравнени я (17.8 ) и (17.9) . Кром е тог о ясно , чт о искома я функци я и (6) н е должн а обращатьс я внутр и промежутк а (-а/2 , а/2 ) в бесконечность . М ы не буде м в полно м объём е решат ь вопро с о том , имее т л и поставленна я нам и задач а решени я и, есл и имеет , т о скольк о буде т эти х решени й и како в буде т их характер . Наше й главно й задаче й буде т показать , чт о сходящиес я и расходя щиес я течени я в диффузор е имею т пр и некоторы х условия х совер шенн о различны й характер . Целесообразн о пр и это м сраз у ж е ввест и в рассмотрени е безраз мерны е величины . Основно й безразмерно й величино й является , ка к Vl м ы знаем , числ о Рейнольдс а R = - , гд е V - характерна я ско рость , а / - характерна я длина . Формул а (17.9 ) показывает , чт о в наше м случа е величин а Q имее т ка к ра з размерность , равну ю произведени ю размерност и скорост и на размерност ь длины . Поэтому , обознача я чере з |Q | абсолютно е значени е величин ы Q, удобн о буде т определит ь числ о Рейнольдс а формуло й (17.10 ) 464 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. II Вмест о величин ы и (Q) м ы введё м в рассмотрени е безразмерну ю вели чин у U (в), полага я и ( 6 ) = [Q | U (В). (17.11 ) Ясн о теперь , чт о уравнени е (17.4 ) перейдё т в U" -)-4(7-) Rt/ 2 - D = 0 , (17.12 ) а формул а (17.5 ) превратитс я в 8 d l J (17.13 ) гд е D, Dv D2- новы е произвольны е постоянные . Наконец , формул ы (17.8 ) и (17.9 ) перейду т в U ( ± ! ) = 0; f t/(6)rfe= ± l ; (17.14) причё м в последне й формул е имее т мест о зна к плю с дл я источник а и зна к мину с дл я стока . Разложи м тепер ь полином , стоящи й по д знако м корн я в фор мул е (17.13) , на просты е множители : и* + ~ U2 D1U D2 --= (U - е,) (U - е2) (U - е3). Сравнени е коэффициенто в пр и U2 в дву х частя х этог о равенств а показывает , чт о + = (!7-15 ) Формул а (17.13 ) принимае т тепер ь вид: . Ь л Г ^ = ± Г d U (17.16 ) V з J Y(e]-U)(U-ei)(U-e3) Полино м третье й степен и с вещественным и коэффициентами , стоящи й в право й част и равенства , имее т тр и корня , оди н из которы х всегд а вещественный , дв а ж е други х корн я могу т оказатьс я ил и веществен ными , ил и ж е комплексн о сопряжёнными . Разберё м сначал а случай , когд а имеетс я оди н вещественны й корен ь ех и дв а комплексн о сопряжённы х е2 и е3. Тогд а дл я все х вещественны х U имее т мест о неравенств о (U-e2)(U-еъ)> О §171ТЕЧЕНИ Е В ДИФФУЗОР Е 465 н, следовательно , дл я вещественност и корня , входящег о в интегра л (17.16) , необходим о считат ь C1 - U > О, та к чт о U ограничен о сверх у число м ех. Н о м ы знаем , чт о н а стен ка х U обращаетс я в нуль , следовательно , U меняетс я в предела х ОТ о д о ех: О C L r O 1 , причё м ех должн о быт ь положительным . Ясно , чт о м ы имее м дел о с источником . Пуст ь тепер ь вс е тр и корн я вещественны . Расположи м и х в порядк е убывани я Ясн о вследстви е равенств а (17.15) , чт о еъ отрицательн о и чт о . 2 Очевидн о теперь , чт о (ех - U) (U- е2) (U - е3) > 0 , есл и - с о < U < е 3 ил и е2 < V < ех, (е , - U) (U-e2) (У - ег) < 0 , есл и е 3 < U < е2 ил и ех < U < со . Та к ка к выражение , входяще е по д знако м корн я в формул у (17.16) , не може т быт ь отрицательно , т о ясно , чт о U должн о изменятьс я либ о в предела х о т - с о д о е 3 , либ о в предела х о т е2 д о ех. Н о первы й случа й долже н быт ь исключён , та к ка к U должн о принимат ь на стенка х значени е 0 . Итак , м ы в о всяко м случа е должн ы иметь : Различи м тепер ь случа и источник а и стока . Пр и это м ка к в том , та к и в друго м случая х м ы ограничимс я рассмотрение м тольк о наи боле е интересног о случая , когд а в о всё м диффузор е имее т мест о течени е одног о направления , т . е . вытекани е в случа е источника , втекани е в случа е стока . Ясн о тогда , чт о в случа е источник а U поло жительно , причё м на стенка х обращаетс я в нуль . Эт о може т быт ь только , есл и ех > 0 , е2 С 0 . причё м U лежи т в промежутк е О < [ / < " ! . Напротив , в случа е сток а U отрицательно , поэтом у должн о быт ь e I < 0 , ех > О и е2 < V < 0 . Резюмиру я сказанное , получаем : в случа е сток а вс е корн и веще ственны , причё м e 2 < f / < 0 , ^ > 0 , е 3 < - I , (17.17 ) 3 0 Теоретическа я гидромеханика , ч. II 466 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. I I в случа е ж е источник а ест ь оди н вещественны й положительны й корен ь ех и дв а корн я е2 и ег либ о отрицательных , либ о комплексн о сопряжённых , причё м O C L r O 1 . (17.18 ) Рассмотри м тепер ь подробне е случа й источника . И з симметри и ясно , чт о максимально е значени е функци и U , равно е ех, достигаетс я на ос и диффузора , т . е . пр и 6 = 0 . Пр и увеличени и 6 значени е U уменьшается , следовательно , в формул е (17.16 ) нужн о взят ь зна к мину с и з а нижни й преде л нужн о взят ь ev Итак , в случа е источ ника : 6 1 / Щ = - f - f _ ( о < 6 < £ ) . (17.19 ) У 3 ./ Y(el-U)(U-ei)(U-e,) \ ^ ^ 2) Значени ю U = O соответствуе т 6 = 2 . Эт о даё т на м равенство : Та к как : = / ' _ = d U (17.20 ) ¥ Ь -J Y(el-U)(U-ei)(U-ei) 2 R , 0 dU аь •• 3 Y i e U) ( U e ) ( U ) последне е равейств о (17.14) , эквивалентно е в случа е источник а равенств у даё т на м услови е е. / U(Q)dB = ~ , U dU / Ь / Y(ex-U)(U~e2)(U~e3) (17.21 ) Тр и равенств а (17.15) , (17.20 ) и (17.21 ) служа т дл я определе ни я трё х величи н ех, е2 и е 3 пр и заданны х R n a . Однак о эт а систем а н е всегд а имее т решение ; м ы эт о покаже м пр и помощ и про сты х оценок . М ы имее м вследстви е (17.15) : (U е3) (и-еъ) = U*-(e2 + е3) U + *2 0 (иб о е2 и еъ либ о ком плексн о сопряжённые , либ о ег ^ е2 0)> то (U-e2)(U-e3)>(e,+^) U. Поэтом у и з равенств а (17.20 ) находим : и та к ка к ли о Y r ( " , [ " , + 4 ] е, 1 Г dU _ Г dx J Y l H e l U ) j Y x ( I X ) т о получае м оценк у ^ k I TУ T T "" " ' < ZУ T T ^ r ' + " I + J М ы видим , таки м образом , чт о уго л а в о всяко м случа е долже н быт ь меньш е тс. Пуст ь тепер ь уго л а задан . И з услови й (17.18) , (17.20 ) и (17.21 ) мы сраз у може м вывест и неравенство : Г R g F dU g al/~R. ^ 6 6lJ Yiel-U) (U-e,)(U-e3) &' откуд а следует , чт о еха. > 1 . С друго й стороны , и з (17.22 ) вытекает , чт о Re, а 2 < ^ - а 2 , 6 т . е . вследстви е предыдущег о неравенства : R < 6 ( 7 t 2 7 a 2 ) 07.23 ) Итак , расходящеес я течени е в диффузор е рассматриваемог о тип а н е може т имет ь мест а пр и больши х числа х Рейнольдса . Следова тельно , пр и больши х числа х Рейнольдс а вытекани е жидкост и и з Диффузор а може т происходит ь тольк о таки м образом , чт о внутр и Диффузор а област и вытекани я жидкост и буду т сменятьс я областям и втекания . 30" 468 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. II Таки м образом , дл я случа я расходящегос я течени я в диффу зор е заданног о угл а раствор а а < т: м ы имее м следующу ю картину ; пр и малы х числа х Рейнольдс а имее т мест о симметрично е течени е рассматриваемог о типа ; пр и увеличени и числ а Рейнольдс а на ступи т момент , когд а н а стенк е н е тольк о U, н о и U' обратятс я в нуль . Пр и дальнейше м увеличени и числ а Рейнольдс а буду т существоват ь тольк о таки е решения , в которы х област и вытекани я жидкост и буду т сопровождатьс я областям и втекания . А именно , мы буде м имет ь выте кани е в некоторо й област и -( 3 < 6 < р, гд е P < а/2 , и втекани е окол о стено к в областя х § < 6 < а/ 2 и -а/ 2 < 6 < - Б у д у т существоват ь такж е и боле е сложны е картин ы течения , в которы х имее т мест о вытекани е окол о одно й стенк и (в некоторо м интервал е - а/ 2 < 6 < f ) и втекани е окол о друго й (-[ < 6 < а/2) . Числ о таки х чередующихс я областе й втекани я и вытекани я може т быт ь скол ь угодн о большим , причё м пр и увеличени и числ а Рейнольдс а растё т и минимально е числ о чередующихс я областе й вытекани я и втекани я жидкости . Есл и б ы вязкост ь отсутствовала , т о течени е жидкост и предста влялос ь б ы простым и формулам и *): U = T P = P o ^ r (17-24) т . е . жидкост ь вытекал а б ы в о все х направления х с одинаково й скоростью . М ы видим , чт о расходящеес я течени е в диффузор е пр и больши х числа х Рейнольдс а резк о отличаетс я о т соответствующег о потенциаль ног о течения . Обрати м ещ ё внимани е на то , чт о расходящеес я течени е в диффузор е ест ь течени е проти в градиент а давления , та к ка к в потенциально м поток е давлени е быстр о убывае т пр и г->0 . В случа е сток а м ы имее м совсе м другу ю картину . Напише м дл я этог о случа я основны е формулы . М ы знаем , чт о в случа е сток а e 2 < t / < 0 , 0 , \=ех - (ег - е2) sin 2 <]>, (17.34 ) и введё м ещ ё парамет р ft < 1, положи в k 2 _ h u h . , (17.35 ) §171ТЕЧЕНИ Е В ДИФФУЗОР Е 471 Тогд а буде м иметь : I1 - U = Ie1 - е2) sin 2 ф, U - е2 = (ех - е2) cos 2 ф, U - е 3 = (C1 - ¢3) (1 - k2 sin 2 ф), dU = - 2 (^ 1 -C 2 ) sin ф co s ф пр и это м значени ю U = е2 соответствуе т значени е ф = тс/2, а значе нию U = O значени е ф = ф0 , гд е ф0 ест ь решени е уравнени я sin ф0 = = ( о < Ф ь < т ) - ( 1 7 ' 3 6 ) Просто е вычислени е показывае т теперь , чт о равенств о (17.27 ) заменитс я чере з * V/ " 56 = -у 7 = ^ = Jf Y гl - к2 е е Ф< равенств о ж е (17.28 ) приме т вид : Sin 2 ф (17.37 ) 71/2 - _ 2 Г [g | - (g | - е2) Si n 2 ф ] ^ ф _ V 6 - 1AiT=-^: s Ф n C g \ 4 2 / L = O 0 0 т Поэтом у равенств о (17.39 ) даё т нам , чт о л y \ k 2 (У 3 + У2) '/Ч I n ' ) См . напр. , У и т т е к е р- В а т с о н, Кур с соврем , анализа , ГТТИ , 1934 стр . 371-372. §171ТЕЧЕНИ Е В ДИФФУЗОР Е 473 откуд а l/"!? ? 1 - ft2 = 1 6 ( / 3 / 2 ) 2 е ' г 2 . Н о п о формул е (17.35 ) м ы имеем : 1 - f t 2 = е 2 - е 3 н приближённ о ег - -Зе 2 , поэтом у е 2 - е 3 = 4 8 ( / 3 / 2 ) 2 е 2 е ' 2 . Итак , пр и больши х числа х Рейнольдс а R симметрично е течени е рассматриваемог о тип а дл я случа я сходящегос я течени я в диффузор е существуе т и определяетс я следующим и приближённым и значениям и параметров : = T - ^ ! [ 1 + 4 8 ( / 3 / 2 ) 2 * ^ ] , (17.41 ) _ 2_ ! а Остаётс я найт и распределени е скоростей . И з равенств а (17.26 ) посл е просты х вычислени й получим : V 6 YVe.- - ее. л/2 JJ *> Y1 - ^ 2 sin2 ф x г Рассуждая , ка к выше , получим : / T f ^ S P T 7 ! 1/2 , п с ^ ( т т ) = = - / f + l n ( / 3 + / 2 ) l n Ctg-(I-I) . тI а к ка к ещ е е , - - 3 а т о легк о находим , чт о V r й = 5 / " T + , n ^ 3 + / 2 ) l n c t g ( | | ) . (17.42 ) Н о п о основно й формул е (17.34) : U = е 2 f (C1 - е 2 ) cos 2 <]> = - I A cos 2 <]>. (17.43 ) 474 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. II Та к ка к co s <]>: и та к ка к ( / 3 + / 2 ) еУК12л (а/2-0) + ( / 3 - V~fye-yRr2a QU V (г , 8 ) = т о м ы находи м окончательно е выражени е дл я распределени я скорости : V (г, 9 ) = Га ' 1 г = = = Л . (17.44 ) [ ( / з + V~2) e v R ' 2 e ( а / 2 е ) + ( / 3 / 2 ) е-у(tm)* <°/2 " I t Легк о тепер ь видеть , чт о почт и в о всё м сектор е 0 < 6 < а/2 , з а исключение м непосредственно й близост и стенки , значени е скорост и V (г , 6) очен ь мал о отличаетс я о т значени я Q/r a (см . рис . 161 , вычер ченны й дл я a = 60° , R = IOO). Тольк о пр и значения х 0, близки х к а/2, значени е показательно й функци и е у R/ 2 * (1*/2-0) буде т невелико , и второ й чле н в фигурны х скобка х предыдуще й формул ы сильн о повлияе т на величин у v(r , 0). Итак , дл я случа я сходящегос я тече ни я в диффузор е течени е пр и больши х числа х Рейнольдс а очен ь мал о отли чаетс я о т потенциальног о течени я идеально й жидкости . Тольк о вблиз и стено к происходи т очен ь быстро е изме нени е скорост и о т значений , соот ветствующи х потенциальном у поток у идеально й жидкости , д о нулевы х зна чений , требуемы х условиям и прилипа ни я вязко й жидкост и к стенкам . Обра ти м внимани е на то , чт о сходящеес я течени е в диффузор е происходи т в на Рис. 161. правлени и падени я давления . В т о время , ка к пр и малы х числа х Рейнольдс а схо дящеес я и расходящеес я течени я в диффузор е имею т одинаковы й характер , пр и больши х числа х Рейнольдс а течени я нося т совершенн о различны й характер , а именно , сходящеес я течени е всюду , кром е непосредственно й близост и стенок , мал о отличаетс я о т потенциаль ног о течения , расходящеес я ж е течени е резк о отличаетс я о т потен циальног о течения . РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 47 5 § 18 . Решени е Гамел я и ег о обобщения . Течени е в диффузоре , рассмотренно е нам и в предыдуще м параграфе , являетс я частны м случае м горазд о боле е общег о точног о решени я уравнени й гидро механик и вязко й несжимаемо й жидкости , которо е м ы сейча с и рас смотрим . Движени е жидкост и м ы буде м предполагат ь плоским , стационарны м и происходящи м по д действие м сил , имеющи х потенциал . В § 8 был о показано , чт о в это м случа е проекци и скорост и могу т быт ь выражен ы чере з функци ю ток а 1 F (х , у) : M Q 1 Ч ^ = 3 7 ' ^ = W ( 1 8 1 ) котора я удовлетворяе т уравнени ю J ^ ду дх J ^ = V M V . (18.2 ) дх ду Введё м тепер ь вмест о х и у криволинейны е координат ы <р и у , которы е м ы выбере м таки м образом , чтоб ы выражени е т=ср(х , у) -I -ix(x , у) был о аналитическо й функцие й о т z = x-(- iy. Итак , ? + ' X = *(*) . (!8-3 ) та к чт о <р(х, у ) и х(х< У) удовлетворяю т уравнени ю Лаплас а Acp = A x = = O . (18.4 ) Смыс л этог о преобразовани я состои т в следующем : состави в уравнени е дл я v F в переменны х tp и м ы може м зате м отыскиват ь решени е этог о уравнения , зависящее , например , тольк о о т tp. Ясн о тогда , чт о лини и ток а нашег о движени я вязко й жидкост и буду т совпадат ь с линиям и ср = Const. , т . е . линиям и ток а некоторог о потенциальног о движения , хот я сам о движени е не буде т потенциаль ным , есл и вихр ь 2 = - AW буде т отличны м о т нуля . Прежд е всег о преобразуе м к новы м переменны м выражени е дх2 ^ ду2 Пр и это м м ы буде м дл я отчётливост и пользоватьс я временн о следующи м обозначением : 9 ~~ д . , ^ д (d\nQ\ , д Zdin Q \ d 9 \ Q д 9 J ^ d 1 W д х ) Поэтом у равенств о (18.9 ) даё т нам , есл и принят ь в о внимани е ещ ё (18.10) , чт о + (18.12) Итак , уравнени е (18.8 ) принимае т следующи й окончательны й вид : ДДЧГ + 2 а Ущ - 2Ь + (с 2 + V ) ДТ ] = / (33/4' i, ^t 0Ч; у\ д.ц"г, ,, (53/4" ЙоаДчЧ; Г a- (18.14 ) т ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости [ГЛ . II Здес ь положен о дл я простот ы C = - д , чт о нискольк о не вре ди т общност и рассуждений . Ввод я полярны е координат ы Z-Zn • re1 (18.15 ) н разделя я в (18.14 ) вещественну ю и мниму ю части , получим : 2 ( а I n г + 60 ) а 2 + Ь2 X 2 (6 In г - а0) a 2 + ^ 2 (18.16 ) Очевидно , чт о кривы е <р = const , и / = = const , образую т дв а семей ств а логарифмически х спиралей , ортогональн о пересекающи х дру г друг а (рис . 162) . Рис. 162. Мы може м тепер ь отыскиват ь частны е решени я уравнени я (18.13) . Так , например , Гамел ь нашё л решени е этог о уравнения , зависяще е тольк о о т <р: ^ = Z(T) . (18.17 ) Осеен' ) рассмотре л решени я уравнени я (18.13 ) вида : * = / ( < Р ) М х . (18.18 ) ') O s e e n С. W., Exakt e Losungen der hydrodynamische n Differentialgleichungen, Arkiv for Matematik 1 Astr. und Fysik, № № 14, 22 (1927). ^ ISJ РЕШЕНИ Е ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИ Я 47 9 гд е с - постоянно е число ; Розенблат т ж е изучи л боле е общи е решени я уравнени я (18.13) , имеющи е вид : T = / ( ? ) + X m A (?) . (18-19 ) гд е т - положительно е число . Рассмотрим , например , случа й Гамеля , т . е . положим , чт о ^ = Z(T) ; (18.20 ) тогд а уравнени е (18.13 ) приводи т к уравнени ю четвёртог о порядк а дл я определени я функци и f : /I V 2 а f " + ( а 2 -f b2) f " - ~ f ' f " = 0 , которо е сраз у интегрируетс я / " ' + 2аГ + (а2 + b2) f ~ Z' 2 = С . гд е С ест ь произвольна я постоянная . Положи м теперь , вмест е с Гаме лем , / ' = = " . (18.21 ) тогд а и удовлетворяе т уравнени ю второг о порядк а и" f 2 аи' + (а2 -\-Ь2)и - ~ и2 = C. (18.22 ) Проекци и скорост и в цилиндрически х координата х прост о выра жаютс я чере з и\ в само м деле , аналогичн о формула м (18.1) , м ы може м написать : 1 дЧ? " 0 о о ч V f ~ T ~ W ' v ^ S F ( 1 8 2 3 > Поэтом у н а основани и (18.20 ) и (18.16 ) м ы имеем , например : _ I J L _ I f ' ( J L - 2fe V r ~ ~ г 191 ОДНОМЕРНО Е ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО!"' СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 48 1 т о переменны е могу т быт ь разделены , и м ы получае м искомо е реше ни е в виде : < ? ? " = f г , d U ( 1 S3 O ) Полученно е уравнени е определяе т tp ка к некотору ю функци ю о т и ; обратна я функци я "(tp ) является , ка к известно , эллиптическо й функцией . § 19. Одномерное движени е вязкой сжимаемо й жидкости . В качеств е пример а точног о решени я дл я вязко й сжимаемо й жидкост и рассмотри м одномерно е стационарно е движение , в которо м вс е гидродинамически е элемент ы завися т лиш ь о т одно й координаты , например , о т х: Vx=U(X), vy = vz = 0, р = р(х), р = р(х). Здес ь и м ы може м написат ь j - da di v v = -г- . dx Pxx = - Р + Q-+ 2р. ) ~~, PXY = PYX = PXZ = PZX = PYZ = PZY = 0 , . , du . , du Pyy = P ^ 1 Y x ' = Есл и внешни х си л нет , перво е из уравнени й движени я (4.8 ) дас т 11 du 1 d dx р dx [ / > + (>• + 2 ^ ] ; (19.1 ) остальны е дв а выполняютс я сам и собой . Уравнени е неразрывност и дас т = (19.2 ) Наконец , уравнени е приток а тепл а (10.5 ) в наше м движени и при ведётс я к вид у причём , ка к и прежде , м ы считаем , чт о T = ^ . (19.4 ) Уравнени е (19.2 ) интегрируетс я и даё т ом = а = const . (19.5 ) •31 Теоретическая ги 1роме\,ччнка, ч. И 48 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И !ГЛ . 11 Умножа я об е част и (19.1 ) на р и использу я (19.5) , получим , путё м интегрирования : + (19.6 ) гд е b - втора я произвольна я постоянна я интегрирования . Обратимс я к уравнени ю (19.3) . И з уравнени я (19.6 ) м ы може м найт и (X + 2|а) du/d x и вставит ь эт о в праву ю част ь (19.3) ; кром е того , м ы може м заменит ь ри по (19.5) . М ы получим : dT , , d 1 d (. dT\ , , du , . с*аЧГ+АРа1й T = IuKk и ) + А O l i a u ^ P b I ' но тепер ь легк о видеть , чт о члены , содержащи е р в это м уравне нии, сокращаются ; в само м деле , п о (19.5) : d 1 d а du dx р dx р dx М ы може м тепер ь выполнит ь и здес ь квадратур ы и тогд а получи м c v a T = k ^ + a у и 2 - М и + с , (19.7 ) где с - треть я постоянна я интегрирования . Итак , задач а сводитс я к определени ю четырё х функци й и, Т, р , р из дву х дифференциальны х уравнени й первог о порядк а (19.6) , (19.7 ) и дву х конечны х уравнени й (19.4) , (19.5) . Умножа я об е част и (19.6 ) на и и, замечая , чт о up upRT = aRT, получим : (X + 2II .) M -| J = аи2 ^ r R a T Ьи. (19.8 ) Ка к тольк о м ы найдё м и и Г из дву х дифференциальны х уравне ний (19.7 ) и (19.8) , м ы определи м давлени е и з соотношени я (19.6) , а плотност ь из (19.5) . И и и Г являютс я функциям и одног о тольк о х , значит , м ы може м считать , чт о T ест ь функци я одног о и , например . Беккер у удалос ь найт и решени е эти х уравнений , имеюще е совершенн о ясны й физи чески й смысл . Именно , Бекке р ище т T в вид е полином а второ й степен и о т и: Г=< х + р " + Т и 2 (19.9 ) с коэффициентами , которы е надлежи т дале е подобрать . Вставля я эт о T в (19.7) , получим , посл е приведени я подобны х члено в к Ф + 2 fit ) ~ = (а с л - а 4 ) " 2 + ( a c ^ + а А "> и + a c v a ~ с Уравнени е ж е (19.8 ) даст : (>. + 2и.) и ^jt = {а + Ra-fi и2 + (Яа З - Ь) и + Raa. (19.10 ) ОДНОМЕРНО Е ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТ И 48 3 Сравнени е эти х дву х уравнени й заставляе т на с считать , чт о ^ 3/4 = ^ 3/4 1 = - ^ 3/4 ^ . Ов-11 " Дл я определени я дву х коэффициенто в а и у м ы имее м тр и уравне ни я (19.11) . Реша я эт и уравнения , м ы получи м бе з труд а н о пр и это м обязательн о должн о выполнятьс я следующе е соотноше ние , связывающе е межд у собо й об а коэффициент а X и [А, коэффи циен т теплопроводност и k и величин у ср: C p ^ = 1. (19.13 ) Соотношени е эт о выполняетс я дл я воздух а с большо й точностью ; 2 с" (х так , есл и X = - -g-jj., т о получаетс я ^ = 0,75 ; дл я воздуха : ¥ " 0 , 7 3 3 . к Предположи м поэтом у вмест е с Беккером , чт о (19.13 ) имее т место . Та к ка к ср - Cv = AR, т о тепер ь * = т = ! Е Г ( 1 9 Л 4 ) Уравнени е (19.10 ) приме т вид : du. сп + с~ RC + = + - . (19.15 ) Уравнени е эт о легк о интегрируется . Прежд е всего , ег о можн о пред ставит ь в вид е + = U ^ ( U U 1 ) ( U U 2 ) , (19.16 ) гд е постоянны е U1 и U2 связан ы с Ь/а и с/а соотношениями : 2с" Ь 2R с U 1 +U2, J - = U1U2. Cp+ Cv а 1 1 Cp+ Cv а •Мы може м тепер ь записат ь интегра л (19.16 ) в виде : in J h Z Z ± J i Z l i ^ i (19.17 ) Ъ. (К + 2ц) Ui - U2 U1 - и2 U1 - и2 U1 - U2 гд е произвольна я постоянна я интегрирования , входяща я вмест е с х аддитивно , положен а равно й нул ю (что , конечно , не нарушае т dl * 484 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ. II общности) . Выражени е дл я температур ы T приме т пр и это м вид : т _ + 1 2 x R ( ц 1 % ~ т + т " 2 ) ( 1 9 1 8 ) Физически й смыс л (19.17 ) очен ь прост . Пр и х =- о о м ы имее м и = Uv пр и ^ = -I 0 0 и = U2 (нетрудн о убедиться , чт о м ы всегд а може м считат ь U1 > и2). Назовё м ещ ё чере з P1, pv T1 плотность , давлени е и температур у пр и х = - оо , а чере з р2, P2, T2 - т е ж е величин ы пр и л: = -)-со . Равенств о (19.5 ) дас т тогда : Pi" i = P 2 "2 (19.19 ) Та к ка к вследстви е (19.16 ) dujdx обращаетс я на бесконечност и в нуль , равенств о (19.6 ) даст : P i " ? + P i = ?А + РТ (19.20 ) Наконец , исключи м b из (19.6 ) и (19.7 ) и заметим , чт о на беско нечност и н е тольк о dujdx, н о и dT/dx обращаютс я в нуль . Получи м посл е просты х преобразовани й I CvTl , uI \ , / Cv T2 и \ \ P i m I j T Y J j T a I P i z = ^ y A Ь 2 ~ ) г "2/>2 (19.21 ) Н о уравнени я (19.19 ) - (19.21 ) в точност и совпадаю т с тем и соотно шениями , которы е получаютс я и з услови й существовани я сильны х раз рыво в в идеально й жидкост и [глав а первая , формул ы (2.15 ) - (2.17) ] дл я случа я одномерног о стационарног о движени я (9 = - V n = - и). В идеально й жидкост и м ы имел и б ы движени е с постоянно й ско рость ю Uv плотность ю P1, давление м pv вплот ь д о поверхност и раз рыва ; зате м движени е скачко м принял о б ы скорост ь и.,, плотност ь р2, давлени е р2. В вязко й жидкост и м ы имее м непрерывны й перехо д о т U1 к U2 пр и помощ и (19.17) ; п о (19.5 ) м ы може м найт и о, п о (19.6 ) - р. М ы имее м ка к б ы "размывание " поверхност и разрыва . Каков а ж е буде т толщин а переходног о слоя , заменяющег о поверх ност ь разрыва ? Подсчитае м п о (19.17) , чем у буде т равн о расстоя ни е Ах, на протяжени и которог о и изменитс я о т 0, 9 U1 д о 1, 1 и2. Эт о буде т . Ъ . X -I- ( п , 0,1 л . 1 . 0,9л - 1 } Ax = -г= < г I n ," т H г I n -рг j v , v. + 1 а ( п - 1 л-1, 1 ' п - 1 0,1 I где п = U1/и2. Пуст ь тогд а буде т Jj., -/. = 1,40; - = 0,13 3 см2/сек, п= 2; •3 14 U1 = 4 • IO 4 см/сек, Ax = 2 I 1 /* 0 t 10""'I n 16 2 ^ 0,26 3 • IO" 5 см. 2,40 .3 4 J, -20] ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 48 5 Величин а эт а имее т порядо к длин ы пробег а молекул ; тако е расстоя ние пренебрежим о с точк и зрени я механик и сплошно й среды . Эт о являетс я д о некоторо й степен и подтверждение м правильност и те х исследовани й разрывов , которо е м ы проводил и в глав е п о газово й динамике . Некоторы м предостережение м являетс я то , чт о пр и рас смотрени и расстояни й порядк а длин ы пробег а молекул ы м ы едв а ли може м пользоватьс я уравнениям и механик и сплошно й среды . § 20 . Задач а о б обтекани и полубесконечно й пластинк и не сжимаемо й жидкостью . Пуст ь плоска я полубесконечна я пластинк а движетс я параллельн о само й себ е с постоянно й скорость ю v вдол ь отрицательно й ос и X . На м удобн о буде т обратит ь движени е и рас сматриват ь обтекани е пластинки , расположенно й вдол ь ос и OX (х^>0), Рис. 163. равномерны м потоком , имеющи м постоянну ю скорост ь U (рис . 163) ') . Рассмотри м случа й несжимаемо й жидкости . Вводи м функци ю ток а ф из равенст в = = ( 2 0 ' 1 ) и приходи м внов ь к уравнени ю <96 <Мф <Мф ду дх дх ду (20.2) Эт о уравнени е буде м решат ь пр и следующи х краевы х условиях . Вдол ь пластинк и мы должн ы записат ь услови е прилипани я (vx = vy = 0) , и эт о значит , чт о ф = I^ = O пр и у = 0 , х > 0 . (20.3 ) ') Исследование задачи излагаетс я по работ е Кочина Н. E., выполненной и 1944 г. и опубликованной впервы е в Собр. соч. Кочина Н. E., т. И; 1948. 486 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Н а бесконечност и имее м услови е д ф ду • U. (20.4 ) Дл я удобств а решени я задач и перейдё м о т координа т х, у к пара болически м координата м Xv У] с помощь ю соотношени я 2 = X2 (20.5 ) гд е z = х --jiy, 1 = X1 + iyv та к чт о х - У • Ix^y v Коор динатны е лини и X 1 C o n s t = C представляю т собо й парабол ы Г2 L "2 о 4 С 2 У . причё м лини я X1 = 0 вырождаетс я в дважд ы проходимы й отрезо к вещественно й ос и л; о т - с о д о 0 . Лини и у , = const . = С являютс я такж е параболам и 1 2 4 C 2 C причё м лини я = 0 вырождаетс я в дважд ы проходимы й отрезо к вещественно й ос и о т х = 0 д о х = -\-оо. Чтоб ы перейт и в уравнени и (20.2 ) к новы м переменным , м ы може м воспользоватьс я преобразованием , приведённы м в предыдуще м пара графе ; достаточн о положит ь в (18.3) : ср(л \ у ) = X 1 Пр и это м буде т п о (18.5 ) Q Х(Х, у) = уу y2) и уравнени е (20.2 ) п о (18.7 ) може т быт ь записан о в вид е дф д Аф дф д Аф ^ Д,ф (20.6) 1+ у* дхх ду X2 +у 2 1 A + причё м ^y1 дхх X2 г 1 дх ду2 Установи м тепер ь краевы е услови я дл я ф. Пластинк а соответ ствуе т лини и y j = 0 . Таки м образом , п о (20.3 ) имее м пр и Jf l = O: Ф = 0 , = 0 . (20.7 ) Пр и удалени и о т пластинк и скорост ь должн а стремитьс я к U. § 2F| ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО Й ПЛАСТИНК И 48 7 Удалени е от пластинки отвечае т стремлени ю к со . Та к как _ д ф d£i _ , _дф. ду^ 1 / дф д ф \ dy д х , ду ^ ду, ду - 2(л?+ у?) У ' д Г ^ ^ д у , )' = д ф _ _ д ф дх , . д ф ду , _ _ 1 I Jt y а ф \ у дх дх,дх^ду, дх 2(х2 + у2) \ 1At1 ^y1 / ' т о мы имеем 1 <Эф Раздели м эт о равенств о на и устреми м У] к оо , принимая в о внимание, что при yj->o o vx->U, г> у ->0 . Получим : д Iim -=.- у,->о о д х Буде м искать решени е уравнени я (20.6 ) в вид е ряда ^ V o M + / i M + j T Z a M + W a (л ) + •• • (20.9 ) Ря д это т можн о рассматриват ь лишь дл я больши х значени й Jc1, сходимост ь ег о сомнительна , но можн о считать ег о асимптотически м рядом . Посл е подстановк и (20.9 ) в (20.6 ) получим , собира я члены при одинаковы х степеня х JC1, рекуррентну ю систем у обыкновенны х диф ференциальны х уравнени й для определени я функци й / 0 , / г , / 2 , . . . : VZJv+ /oZT +ZJZS = O; (20.10) v z r + / о / Г + 3 / ; z ; + / о А / о л = * ( y ? z j v + ь х ) + + yVofo + bi/'of'o + Ьг/о/о' (20.1 О ^ 2 v + z 0 z r + 5 z ; z 2 3 z 0 7 2 = = V ( y ? / i v + 4 > . z r 1 2 / ; 4 y 2 / j v - 8 y 2 / ) - ( У\/ 0 Г о ~ W o r 0 + 4y ? Z 0 Zo ) + +у ] (/ о / Г + S Z 0 Z o + 3 z ; / ; - п Z 1 ) + 2 * (z 0 z; ' - п /о ) - 2 ( / 0 / ; + 5 / ; д + / , z r - 3z;z;" > (20.12 ) и вообщ е v t + Z o z ; + ^ + ! ) ^ : + ^ ; , = ^ . / 0 . Z 1 / " _ , ) . (20.13 ) причем правая часть содержи т независиму ю переменну ю у ; и функ /о Z u Z /ji с и х производным и д о 4-ГО порядка . 488 ДВИЖЕНИ Е вязко й ЖИДКОСТ И [ГЛ. и Хо д решени я буде т тепер ь следующим . И з нелинейног о уравне ния (20.10 ) над о определит ь / 0 . Посл е того , ка к / 0 известно , м ы може м перейт и к определени ю fx из линейног о (н о отьошени ю к f x ) уравнени я с коэффициентам и и право й частью , зависящим и от / 0 . Далее , определи м / 2 из линейног о (п о отношени ю к / 2 ) уравнени я с коэффициентами , зависящим и о т / 0 и с право й частью , содержа ще й / 0 , Z 1 и т . д . Граничны е услови я дл я функци й / 0 , fx, . . . буду т следующи е / n (° ) = /"(° ) = 0 " = ° . 1. 2, 3, . . . (20.14 ) Iim - = 2U, Iim - = 0 , " = 1 , 2 , 3 , . . . (20.15 ) у,->с о У | у, -> со У] Применя я правил о Лопигаля , запише м услови я (20.15 ) в вид е f'0(oo)=2U, / ; ( с о ) = 0 . (20.16 ) Обратимс я к решени ю уравнени я (20.10) . Заметим , прежд е всего , чт о он о може т быт ь записан о в виде : ^ 7 K ' + / 0 / ; ' ) = 0 (20.17 ) и, следовательно , допускае т одн о интегрирование ; посл е проведени я этог о интегрировани я получи м v /o " + / o / o = ° ( 2 0 1 8 ) (постоянна я интегрировани я выбран а равно й нулю , чт о обеспечивае т затухани е f" и Д " п о со) . Уравнени е (20.18 ) известн о в гидродинамическо й литератур е по д имене м уравнени я Блазиуса . Он о впервы е был о исследован о в 190 8 г. пр и решени и задач и о погранично м сло е (см . ниж е § 32) , с тем и ж е краевым и условиями , чт о и в наше й задаче 1 ) . Дл я исследовани я этог о уравнени я перейдё м к безразмерно й функци и С и безразмерно й координат е \ из условий : / 0 = 1Л17С(") . Vi = 4 W 1 { Ж 1 9 ) Пр и это м м ы получи м уравнени е 2С'"4-СС " = 0 (20.20 ) и краево е услови е C(O) = C(O ) = O, C ( C O ) = I . (20.21 ) ') B l a s i u s H., Grenzschichie n in FliissigkeHen niit kleiner Reibung. Zs. f. Ma'li. п. Piiys. 156 (1908), стр. 1-37. J,-20]ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 489 Ище м решени е уравнени я (20.20 ) в вид е ряда , расположенног о п о возрастающи м степеня м 5. Обозначи м ещ ё C(O ) = а . (20.22 ) Тогд а последовательн о дифференциру я уравнени е (20.20 ) и исполь зу я услови я (20.21) , легк о найдё м Г (0 ) = 0 ; C' I iVv (/ лOч) = пO.; r VC ,vп (\ O ) = J^_ a 2 2 Применя я к равенств у (20.20 ) формул у Лейбница , легк о обнару жить , чт о вообщ е C 1 3 ^(O ) = C 3 m i i (O ) = O (А = 0 , 1, 2 , . . .) . (20.23 ) Положим , далее , C (3ft+2 ) (0 ) = ( - ( А = 0 , 1, 2 , . . . ) (20.24 ) н найдё м рекуррентны е соотношени я дл я коэффициенто в с к \ м ы имее м прежд е всег о C 0 = I . Примени м тепер ь формул у Лейбниц а к (20.20) , взя в о т обеи х часте й этог о равенств а производну ю порядк а ЗА-1 ; тогд а получим : 1_ ^ k - {3fe + 1 > J гд е ( ^ j = - ^ означае т биноминальны й коэффициент . Пользуяс ь формулам и (20.23 ) дл я начальны х значени й производ ных , получи м равенство : С<3*+2) (0 ) = 1 [C3ft-1' (0 ) С" (0 ) -f ( 3 V 1 ) г (3 к ~ 2 ) ( ° ) ( ° ) + + с (0)C (3ft+1 ) (0) ] = - i 2 ( 3 V 1 ) ^ 1 3 ^ (0 ) С (3г+2 ) (0) ; г= 0 4 подставляя , наконец , сюд а значени я (20.24 ) и сокраща я вс ё равенств о на ^ 2 J + получи м искому ю рекуррентну ю формулу : fc-i c " = S ( 3 A 3 r l)c*-r-icr (202 5 ) r = 0 Тепер ь м ы бе з труд а може м написат ь ря д Тейлор а дл я функци и С: i ^ = S H ) * W T W ^ + 2 ' (20.26 ) 490 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Пр и заданно м а это т ря д сходитс я дл я достаточн о малы х п о модул ю значени й S. Пр и а = 1 м ы получае м функци ю со ^ = 2 ( ^ ( 3 * 3/4 ) ^ 2 - (20.27 ) Jt = O дающу ю решени е уравнени я (20.20) , определяющеес я начальным и условиям и C 0 (O) = 0 , Co(O) = O1 Co(O)=I - (20.28 ) Сравнива я выражени я (20.26 ) и (20.27) , легк о убедиться , чт о С (S) = CtX 0 (&"'*). (20.29 ) Пр и больши х значения х S м ы не може м воспользоватьс я рядо м (20.27 ) дл я вычислени я функци и CQ (S ) и должн ы прибегнут ь к ана литическом у продолжению , чтоб ы получит ь значени я функци и C0 (3/4 дл я все х положительны х значени й S. В рассматриваемо м случа е прак тическ и прощ е всег о произвест и численно е интегрировани е уравне ния (20.20) . В само м деле , м ы сейча с покажем , опираяс ь на элемен тарны е соображения , чт о крива я C0 (3/4 имее т очен ь плавны й характер . Вследстви е начальны х услови й (20.28 ) функци я C0 (S) и е ё дв е первы е производны е C0 (S) и Со (?) пр и малы х положительны х зна чения х S положительны , а та к ка к пр и всяко м S C0 ' = - у с 0 С (20.30 ) т о Co7(S) буде т пр и те х ж е условия х отрицательна . Покажем , чт о пр и все х положительны х S функци я C0 (S) и е ё производны е C 0 (S ) и C 0 (S ) буду т положительны , а производна я C0 (S ) буде т отрицательна . Рассмотри м прежд е всег о C 0 (S ) и допустим , чт о эт а функци я обра щаетс я в нул ь в некоторо й точк е S 1 > 0 , оставаяс ь положительно й дл я S < S 1 . Тогд а в это й точк е и C0' обратитс я в нуль , согласн о уравнени ю (20.30) . Н о дифференцировани е этог о уравнени я даё т на м -I V 1 г'г" 1 г г'" Ч) - - ~2 ^ o - 2~ ^о^о I откуд а следовал о бы , чт о и CiV (SI )=O1 и т . д . В результат е получилос ь бы , чт о в точк е S1 вс е производны е функци и C0(S)1 начина я с о второй , обращаютс я в нуль , т . е . чт о функци я C0 (S) ест ь линейна я функция , а эт о противоречи т начальны м условия м (20.28) . J, -20] ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 49 1 Итак , пр и все х положительны х S функци я CoO;) положительна , н о тогд а ясно , чт о та к ж е ка к <"(*)-/ " Оо ( E о тож е положительны , а следовательно , п о уравнени ю (20.30 ) функ Г Ш /Cs ци я C0 (¢) отрицательна . Тепер ь ясно , чт о пр и изменени и $ о т 0 д о о о функци я Со ( 3/4 вс ё врем я убывает , функци и ж е Со ( 3/4 и Со (c) вс ё врем я возрастают . Докажем , наконец , чт о пр и S>с о значени е Со (3/4 стремитс я к определённом у конечном у положительном у значени ю к . Возьмё м какое-нибуд ь определённо е значени е S, наприме р S = I 1 и вычисли м C 0 (I ) и Co(I) . Вследстви е сказанног о ясно , чт о пр и S > 1 Со (c) > C 0 (I ) + ^ ( 1 ) ( 5 1 ) (20.31 ) и, следовательно , C0 (S) неограниченн о возрастае т вмест е с S. И з ра венств а (20.30 ) м ы може м вывести , чт о I r C 0 ' ~ 2 интегриру я эт о соотношени е п о S в предела х о т 0 д о S и принима я в о внимани е начальны е услови я (20.28) , получим : I " I J W E M E In Со (c) = - J C0 (S) d% ил и Co(S) = * 0 о Ещ ё ра з интегриру я эт о соотношени е и пользуяс ь (20.28) , найдём : с E 1 J C"(E)dE с ; (S) = J е 0 dl (20.32 ) о Пр и S>с о это т интегра л сходится , та к ка к подынтегральна я функ ци я очен ь быстр о стремитс я к нулю , иб о J C 0 (S)^ S пр и больши х S о п о неравенств у (20.31 ) имее т порядо к S2. Итак , м ы доказал и наличи е предельног о равенств а I i m C o ( S ) = A . о " 492 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкости [ГЛ . II Произвед я численно е интегрировани е уравнени я (20.30) , получаем : k = 2,0854 . Подберё м тепер ь а так , чтоб ы удовлетворит ь граничном у усло ви ю (20.22) . Соотношени е (20.29 ) показывает , чт о с ' (f ) = oc4oс о Iim r'(l ) = v.'i*k. оо Н о п о услови ю лева я част ь этог о равенств а должн а равнятьс я еди нице , поэтом у величин а я должн а имет ь следующе е значение : _ 2 i = k 1 = 0 , 3 3 2 ] ) . На м понадобятс я ещ ё ассимптотически е выражени я дл я функци и С и е ё производны х пр и больши х значения х Е. Прежд е всего , аналогичн о (20.32) , имее м 4 / С" = а е u . (20.33 ) Проинтегрируе м об е част и этог о равенств а п о % о т 0 д о и учтё м услови е (20.21) . Получи м * -I f u n С = 1 +• f ае 0 di.. (20.34 ) <"С Выполни м ещ ё одн о интегрировани е п о о т о о д о Буде м имет ь £ 5 j J CrfS С = ?,- X+ J J ае о dt.dl (20.35) CXD СО гд е X - постоянна я интегрирования , или , зыполня я интегрировани е п о частям , E J М т . С = ? - Х + а J (6 - Ti) е о d7h (20.36 ) ' ) Боле е точно е значение а = 0,33206., J,-20]ЗАДАЧА О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 493 Постоянна я X може т быт ь определена , когд а решени е известно , п о формул е X = Iim (С - S). S " со Производ я численно е интегрирование , получи м X = 1,72077 . М ы можем , таки м образом , представит ь С в вид е C = S - X -jС (S)1 (20.37 ) гд е C(S) обращаетс я в нул ь пр и £-> сю . Возвращаяс ь к (20.33) , представи м тепер ь входящи й туд а инте гра л в вид е F f L dl. = i (S • Х)2 1 X 2 + f С (S) d\ • та к чт о гд е I ( S X ) S ^2r + I CdS + I US , о -I(E-X) = 2 . С" = C e 4 е 0 0 , (20.38 ) -1• Xх"= 4 2 "/ f C = а е 4 е о Численно е значени е дл я С будет : Тепер ь п о (20.34 ) имее м С = 0,23378 . C = I + С J e 4 < е Х > е 2 ^ rfS, (20.39 ) а п о (20.36 ) и (20.37 ) 1 4-(т, -'•)'У J ? dri C = C J ( S - у\)е ^ d-q. (20.40 ; 4 9 4 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости [ГЛ. II Та к ка к / _ , 4 = _ 2 ( 6 . _ Х ) f е 4 : Т (E-X)' = 4 ( J X ) 2 12( 5 т rt-^ dt[ = 0 • (Е-;-) то , п о (20.40) , имее м дл я больши х ¢: (E-X)1 C O U fd i y / > tfS = С • О j / ~ \ (• I I ) 3 I со и м ы може м написат ь окончательн о дл я больши х S С " = ^ 4 ^ + О ( . 4 ^ а х г " ) . E 1 ^ 7 C 4 V :' = I + с / 4 ^ d r i + o ( e 4 ^ ^ ( S X ) 4 ) . (20.41 ) C = S ? . + С J t ( Z T l ) e ' * ( n ~ 1 ) ! d r i + o ( e (; - X) 5 ) Обращаяс ь к определени ю функци й Z 1 , / 2 , заметим , чт о уравне ни е (20.13 ) може т быт ь представлен о в виде : ^ [ < + f o K + 2 < f n V " l ) f o f n ] = Fn{yv /. /"-.)• Введём , наряд у с (20.19) , безразмерну ю функци ю Cn из равенств а Выполня я квадратуру , получи м тепер ь (лева я част ь обращаетс я в нул ь пр и S>оо , та к чт о справ а следуе т взят ь интегра л о т с о д о S): 2 С f U " + 2>Л' С - (2 я - 1 ) С " = 8 ^ (-3/4) 2 " " / (20.42 ) со В частности , дл я функци и C1 в право й част и (20.11 ) замени м v/J v 1! v/y" п о (20.17 ) и (20.16) ; получи м посл е просты х преобразовани й = f * ~ ^ ) 2 = (SC _ С)2. (20.43 ) J, -20] ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 495 та к что , выполня я квадратур у в право й част и и замечая , чт о п о (20.41 ) (SC - Q-^ 0 0 = X1 получи м окончательн о щ + е е ; + 2 c q - C C 1 = ~ K S C - о 2 х 2 ] . (20.44 ) Ка к обычно , решени е ище м в вид е сумм ы общег о решени я одно родног о уравнени я (20.44 ) и частног о решени я неоднородног о урав нения . Однородно е уравнени е имее т в качеств е одног о из решени й С" = C', в чё м убеждаемс я просто й подстановко й с учёто м уравне ния (20.20) . Остальны е дв а решени я однородног о уравнени я ище м в вид е Cn = Cw . Обозначи м ещ ё v = ^pr Тогд а дл я v имее м диф ференциально е уравнени е второг о порядк а 2v' ' + ( 6 T + ( 2 0 4 5 ) Назовё м ег о независимы е решени я буквам и V1 и V2. Тр и решени я однородног о уравнени я - м ы назове м их K1 , K2 , K 3 - м ы може м тогд а представит ь в виде : OO U K1 = с , K2 = с J V1 d\, K 3 = С' J D2 di. с S Поведени е функци й V1, V2 (и K2 , K3 ) пр и больши х S можн о опреде лит ь из следующи х соображений . Заметим , чт о п о асимптотически м выражения м (20.41 ) коэффициент ы С"/ С и С"'/С' в (20.45 ) стремятс я к нул ю пр и больши х S(C- >-1 , С->-S--X); поэтом у решени я V1 и V2 пр и больши х S окажутс я близким и к решения м уравнени й 2v" K S X) v'2 + 2 nv = 0 . Об а независимы х решени я этог о последнег о уравнени я известны . М ы може м положит ь .,"2/11 L e J н I t e M 2 d i ' J 2 ^ 1 1 ,2 П1 (E-M2 ,л2 П I di 4 d\ гд е # 2 "_ j - полино м Эрмит а степен и 2 п - 1 . Име я эт о в виду , може м считать , чт о пр и больши х S наш и ре шени я веду т себ я ка к K 1 I , K 2 M S X f V ^ 2 1 K 3 - (S - X)~ 2/i+ 1 . 49 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ ж и д к о с т и [Гл. П Как обычно записываем теперь общее решение уравнения (20.42) в виде с С Y 7 Y i Y o V . , Cfi = C1 K 1 + C 2 K 2 + C 3 K 3 +K 1 J /(S)tf S + со П Y,,Y[ - Y[Y, Г Y1YV-Y2Y'. j l j ( 2 0 4 6 + K2 J J I i r ^ L f (S) dl + K3 j ^ V / К ' ) где W - детерминант Вронского системы, который можно взять в виде W = C", а / - правая часть (20.42). Асимптотическое представление подынтегральных выражений будет соответственно const. /(5) , Г^ ( 5 " Х ) , (5-Х)2 я /(") . (S-)-) 2 ""'/(?) . При й = 1 имеем, по (20.41), 4/($ ) = (й'-У->2 S + CS f e d-q - S + X C f (S-T i ) e 4 m ^t j .).2 4), C e < <5 X)S Теперь мы видим, что (для п= = 1) все члены правой части (20.46), за исключением члена, содержащего C3, таковы, что соответствую , _ I(J-X) S щее Ci--е 4 . Мы должны, поэтому, положить C3 = O. Что же до C1 и C2, то их надо определить из краевых условий. Аналогичные соображения можно высказать относительно функ ций с любым значком п. На рис. 164 нанесены значения функций C(S) и C1(S). На рис. 165 нанесены величины vJU и I0vy/U в функ циях от безразмерного расстояния К = W . Подсчёт произведен по -у формуле (20.9) (/ 2 , / 3 и далее считаются нулями) для безразмер W ного значения X = -Ar=IOO ; величина vJU с увеличением К стремится к 1, величина vyjU - к нулю. J, -20] ЗАДАЧ А О Б ОБТЕКАНИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНО И ПЛАСТИНК И 49 7 I I 32 Теоретическа я гидромеханика , ч , I l 49 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II В. ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА § 21 . Плоско е течени е межд у двум я пластинками . В преды дущи х параграфа х был о дан о в точном виде решени е нескольки х задач гидромеханик и вязко й жидкости . Как уж е указывалось , интегрировани е уравнени й гидромеханик и вязкой жидкост и в точном виде удаётс я сравнительн о редко ; нужно , помимо того , отметить , что многие точны е решения уравнени й гидромеханик и вязкой жидкост и имеют мал о гидродинамическог о интереса , так как они могут быт ь осуществлен ы тольк о при наличии граничны х услови й необычного в практик е вида . С друго й сторон ы большинств о важны х с точки зрения возможност и эксперимент а или наблюдени я в природ е движений вязко й жидкост и не поддаётс я точном у гидромеханическом у анализу . В качестве примера можн о указат ь на задач у о движении сфер ы в вязко й жидкост и с постоянной по величине и направлени ю скоростью . Совершенн о естественно , что при невозможност и точног о реше ния какой-либ о проблем ы мысли учёны х обращаютс я на изыскани е приближённы х методов решени я этой проблемы . Таким и приближён ными методами гидромеханик и вязкой жидкост и мы тепер ь и зай мёмся. Все приближённы е метод ы гидромеханик и характеризуютс я одним общим признаком : в этих метода х либ о в основны х уравнениях , либо в граничны х условия х часть членов или совсем отбрасывается , или учитываетс я не в полной мере . В тех случая х движени й вязкой жидкости , которы е буду т нас преимущественн о интересовать , входя т в рассмотрени е тр и категори и сил: силы инерции, силы вязкост и и силы давления . Последни е силы являются внутренними силами , и порядо к их величины определяетс я порядко м величины первы х дву х категори й сил. Что касаетс я сравнительно й величины сил инерции и сил вязкости , то некотору ю ориентаци ю в этом направлении даё т нам число Рейнольдс а R = /V/v, равное , ка к мы знаем, отношени ю произве дения характерно й скорост и V на характерну ю длину / к кинематическом у коэффициент у вязкост и v. В соответстви и с этим мы можем говорит ь о дву х типах при ближённы х решений уравнени й механикн вязкой жидкости . К первом у типу принадлежа т те случа и движений , в которы х силы инерции малы но сравнени ю с силами вязкости и для которых , следовательно , является малым числ о Рейнольдса , содержаще е коэф фициен т кинематическо й вязкост и в знаменателе . Н о число Рей нольдс а буде т малым в трё х случаях : 1) когда характера я длина / очень мала , либо 2) когда характерна я скорост ь V очень мала, либо, наконец , 3) когда коэффициен т кинематическо й вязкости v § 211 ПЛОСКО Е ТЕЧЕНИ Е МЕЖД У ДВУМ Я ПЛАСТИНКАМ И 49 9 очень велик. Таким образом, к рассматриваемому типу относятся, например, случаи медленных движений очень малых частиц в сравнительно вязких жидкостях. Приближённая трактовк а движений первого типа состоит либо в полном отбрасывании из уравнений гидромеханики членов, дающих силы инерции, либо же в упрощении вида этих членов. Другой , противоположный тип движений охватывает те случаи, когда силы вязкости малы по сравнению с силами инерции и когда, следовательно, число Рейнольдса является очень большим. Для этого нужно, чтобы либо характерна я длина, либо характерна я скорост ь были очень большими, либо же чтобы вязкость жидкости была очень малой. Таким образом, ко второму типу движений относятся случаи быстрых движений тел большого размера в маловязких жидкостях. Если мы полностью отбрасываем, при приближённом рассмотрении движений второго типа, силы вязкости, то мы приходим, очевидно, к уравнениям движения идеальной жидкости. Нам остаётся поэтому рассмотреть тольк о ту трактовк у движений второго типа, когда мы лишь отчасти учитываем силы вязкости, оставляя в уравнениях из членов, дающих силы вязкости, лишь главнейшие. Мы начнём теперь рассмотрение ряда конкретных случаев движений первого типа, т. е. движений, обладающих малыми числами Рейнольдса. Рассмотрим течение очень вязкой жидкости между двумя параллельными пластинками, расстояние А между которыми мы будем считать очень малым. Если мы будем считать значения средних скоростей жидкости тоже малыми, т о число Рейнольдса R = VA/v будет очень мало. Будем далее считать внешние сипы отсутствующими. При этих условиях мы можем в основных уравнениях гидромеханики (5.1) пренебречь находящимися в левых частях этих уравнений силами инерции; тогда получим уравнения: d P = J . d2vx . d2vx I d 2 v x \ ( 2 1 . ! ) Вудем теперь считать, что оси Ox и Oy лежат в одной из граничных плоскостей, а ось Oz направлена по перпендикуляру к этим плоскостям, так что уравнения граничных плоскостей суть z = 0 и z = A. 32 * 50 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Примем далее, что скорост ь каждой частицы направлена параллельно граничным плоскостям, так что V z = O. Заметим, наконец, что ввиду малости h изменение скоростей Vv и Vy по направлению оси Oz будет происходить горазд о быстре е изменения этих величин в направлении осей Ox и Oy; это означает, что порядок производной dvxjdz велик по сравнению с порядками производных dvjdx и dvjdy, точно так же порядок производной d2vx/dz2 велик по сравнению с порядками производных d2vx/dx2 и O2VxIdy2. При этих условиях уравнения (21.1 ) принимают вид: др дЧ>,- dp d2v., dp dv,. dvv dx l' dz2Л ' dy = 1IX dz2V ' dz' 0 ,' dx 1 dy> = 0 . (21.2 ) Третье из полученных уравнений показывает, что р зависит только от х и у; но тогда первое уравнение легко может быть проинтегрировано: г) р функции А и В могут быть определены из граничных условий •У* = 0 при ^ = O и z = h \ этл условия сразу дают нам В(у, х) = 0, А(х, у ) = A g и, следовательно, = (21.3 ) Точно так ж е легко получим, что Наконец, последнее уравнение системы (21.2) сразу даёт, после подстановки значений (21.3 ) и (21.4), уравнение для определения функции р(х, у): что = < 2 ' 5 > Заметим, что из форму л (21,3), (21.4) и (21.5 ) сразу следует, d2vx d2vx d2vv d2vv £ _i f = 0 I = 0 dx2 ' dy2 1 dx2 ' dy2 H o тогда ясно, что найденное нами решение строго удовлетворяет уравнениям (21.1), ибо те члены, которыми мы пренебрегли в этих уравнениях, тождественно обращаются в нуль. ПЛОСКО Е ТЕЧЕНИ Е МЕЖД У ДВУМ Я ПЛАСТИНКАМ И 50 1 Введём вместо Vx и v средние скорости по высоте: п п Vx (X, у) =Y J Vx(x, у, z) dp, vy(x, y) = j f v y ( x , у, z)dz. (21.6) о о Так как '' 2 T j z(h~z)dz = h~, о то для средних скоростей Vx и Vy получаем формулы : . Ki dp - , , K2 др V x ( X . у) = - щ ш , V y Кх, у) = -щ- . Введём теперь вместо р(х, у) функцию sin6; (22.6) такое напряжение действует на каждую единицу площади зоны сферы, расположенной между двумя параллелями сферы; так как площадь этой зоны равна 2 ъ а sin Ba dв и так как плечом этих сил напряжения служит, очевидно, a sin б, то для искомого вращающег о момента мы получаем выражение: M = J 3(Ш sin е • a sin О • 2 -a 2 sin в dB = о TZ = 6я[ашa3 j sin3 BdB = 8тср. a3u>. (22.7) о Если бы рассматривалось движение вязкой жидкости между Двумя сферами радиусов а1 и а2, вращающимися с угловыми ско ростями W1 и CB2 окол о общего диаметра, то, исходя из того же решения (22.4) и определяя произвольные постоянные C 1 и C2 из граничных условий А (Г, ) = CB1 a v A (r2) = Ш 2 а2, 50 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ. IL мы пришли бы к следующему решению задачи: * < г 0 ) = [ ш > a * ( r 3 ~ at ) - <"2fl2 (г 3 а?)] . (22.8 ) Для вращающего момента в этом случае получаем выражение 3 3 ^ = 8 ^ ( 0 , , 0 3/4 ) ^ 3/4 . (22.9) " 2 - a I § 23 . Медленное движени е сферы. Рассмотрим теперь задачу о течении вязкой жидкости, вызываемом движением сферы радиуса и, перемещающейся прямолинейно и равномерно со скорость ю U . Сразу же отметим, что задача, очевидно, эквивалентна задаче об обтекании сферы радиуса а потоком вязкой жидкости, имеющим па бесконечности постоянную по величине и направлению скорост ь U . За число Рейнольдса в рассматриваемом случае можно, очевидно, взять R = - . (23.1) V ' Если число Рейнольдса R достаточно мало, т. е. для заданной жидкости либо скорость движения сферы достаточно мала, либо радиус сферы очень мал, то можно опять применить приближённый метод решения задачи, использованный нами в предыдущих параграфах, а именно при интегрировании уравнений движения отбросить в них инерционные члены. Та к именно и поступил Сток е 1J1 впервые решивший в 1851 г. задачу о движении сферы в вязкой жидкости. Отбрасыва я в основных уравнениях движения (5.1) инерционные члены и полагая, что внешние силы отсутствуют , мы получим систему уравнений: дх 1 х ду у dz >2 dvr , dvy , dvz q дх 1 dy 1 dz (23.2 ) Рассматривая, для определённости, задачу об обтекании покоящейся сферы, центр которо й находится в начале координат , потоком вязкой жидкости, будем, очевидно, иметь следующие граничные условия: Vx = Vy = V2 = O при г = а, (23.3) где г = УX2у2-f-Z2; кроме того, считая, что на бесконечност и поток имеет направление, параллельное положительной оси Ох , будем ' ) S t o k e s G. G., 1. с. § 4 и O n the effec t of th e interna l frictio n ol fluids on th e motion of pendulums , Math , and Phys . Papers , 3, стр. 1. §23)МЕДЛЕННО Е ДВИЖЕНИ Е СФЕР Ы 50 5 иметь следующие условия на бесконечности: V x -+U , Vy -> 0, V 2 * 0 при г -> оо. (23.4) Среди различных методов решения поставленной задачи одним из наиболее естественных, хотя, может быть, и несколько громоздким, является метод использования сферических координат, которы й мы и применим. Совершенно очевидно, что, вводя сферические коорди наты г, 9, X, вследствие симметрии движения относительно оси Ох , от которой мы будем отсчитывать углы 9, мы будем иметь: vr = V r ( г , в), v0 = Vlj ( г , 6), ^ x = 0, р = р ( г , 9). Поэтому основные уравнения движения (5.16), после отбрасывания в них инерционных членов, примут вид: др Id2Vr дг V K d ^ I d2vr . 2 dvr . 72' T I f T Ci g 6 dvr 2 dvH 2vr 2 ct g 0 V11 ~ " " <38 r) 0 1 дор (дЧ<.. I d2v" 1 dvJ J _ cj g 0 dv г OD dii 2 r dr 1 r2 ti (23.5) dO + dvr ~дГ I 2 dv, r2 d0 1 dv9 , Ivr Vh ct g 6 r (36 r r : 0 . r 2 sin 2 8 J Граничные условия (23.3) заменятся следующими: vr (а , 9) = 0, vb (а, 9) = 0. (23.6) Что же касается условий на бесконечности, то, как видно из рис. 166, они примут, очевидно, такой вид: при • U cos 9, vb-> - U sin б г -> со. (23.7) Вид граничных условий наводит на мысль попробовать отыскать решения основных уравнений (23.5) в форме : V r (Г, 6 ) = / ( Г ) CO S 6 , V f j ( г , 9) = - g ( г ) sin 9, P (Г, 9) ah ( г ) cos 9. х Рис . 166 . В самом деле, простое вычисление показывает, что для трёх функ ций /(г) , g (г) и h(r) получаются из (23.5) три обыкновенных 50 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТ И [ГЛ. II дифференциальны х уравнения : H ^ f ^ r I r ^ l i l = Z J L (23.8) причём из (23.6) и (23.7) вытекаю т следующие граничные условия: /(а ) = 0, г(") = 0. /(C 0 )=J/ , g (оо) = U. (23.9 ) Решение системы (23.8 ) не представляет никакого труда ; третье уравнение определяет нам g : g = ^ f ' r + f . (23.10) после чего из второго уравнения (23.8 ) после простых дифферен цирований находим h\ Л = A / ' " / 2 + 3 / / 4 2 / ' (23.11) и, наконец, первое уравнение (23.8 ) доставляет дифференциальное уравнение для определения / : /-3 Zi v + 8л 2 /' " + 8Л/ " - 8/ ' = 0. (23.12 ) Но это последнее уравнение есть уравнение типа Эйлера и потому легко интегрируется; среди его частных решений всегда существую т решения вида f = rk; уравнение будет удовлетворяться, если к есть решение уравнения четвёртой степени к( к - \ ) (к -2 ) {к - 3) + 8/г (As-I ) (к 2 ) + 8/3/4 [к - 1 ) 8 6 = 0 или 6 ( 6 2 ) ( 6 + 1)( 6 + 3) = 0, т. е. к должно принимать одно из следующих четырёх значений: к = 2, 6 = 0, 6 = -1, 6 = -3. Таким образом, частными интегралами уравнения (23.12) являются f x = г2, / 2 = 1 , / 3 = -, - , я общим его интегралом будет / = ~ + ~ + С + £ л 2 . § 23) МЕДЛЕННО Е ДВИЖЕНИ Е СФЕР Ы 50 7 Уравнения (23.10 ) и (23 .11 ) даю т тепер ь соответствующи е значения g и А: * = - ^ + -!г + С + ЗО/-"; A = A + IODr. Постоянны е А, В, С и D определяютс я из граничных услови й (23.9) , которы е дают : D ~-0, C=U, B = ^ U a , A=-Ua?. Собира я все полученны е результаты , приходи м к следующем у решени ю задачи : vr(r,6) = Uc o s f l f l i i + l-^-] , V0 (г, в) = - ¢ / Si n в [ l . A i _ I . f l3 4 г 4 г (23.13 ) , 3 Ua P (Г , 6 ) = - g р. -J 5 -COS l Вычислим ещ ё силу, с которо й поток воздействуе т на сферуДл я этог о вычислим по формула м (5.17 ) напряжения, действующи е на элемент ы сферы : I о dvr I 1 dvr . dVn Va \ Prr = P + ^ S F ' р ^ П т ж ^ д Г T i ) ' Н а поверхност и сфер ы iUr = iU9 = O, а следовательно , и dv /d^ = 0, dv!t/d8 = 0; наконец , из последнег о из уравнени й (23.5 ) ясно, что d v j d r на поверхност и сфер ы тож е обращаетс я в нуль, поэтом у предыдущи е формул ы сильн о упрощаютс я и дают для точек сфер ы следующи е соотношения : 3 11.U 0 Ov0 ЗиЛ . ,, Prr = P = 2 a c o s 6 ' P r ^ V W = яп fJ Направлени я эти х сил показан ы на рис . 166. Ясно, что направление равнодействующе й всех сил, приложенны х к элементам сферы , совпа дае т с направление м поток а на бесконечности . Поэтом у величина этой равнодействующе й определитс я формуло й W= J Jip r r co s в - P r b sin в) d S = s * ч 2 = j"(prr COS в - Prb sin 6) 2-я sin 9 dd = Зги, t/ a Jsi n 9 dd или о о W=Qr^Ua, (23.14 ) 50 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii Полученна я формул а дл я сил ы сопротивления , испытываемо й сферо й в вязко й жидкости , носи т названи е формулы Стокса. Интересн о попутн о отметить , чт о т а част ь сил ы сопротивления , котора я происходи т за сче т си л давления , равн а TI TC 1 J p r r C o s S • Чт.а si n 0 db = Ък\>.иa J c o s 2 9 si n b dB 2-[х Ua (23.15 ) н составляет, таким образом, противления, испытываемого Рис. 167. только третью часть полной силы сосферой при её движении в вязкой жидкости, остальные две трети происходят за счет сил вязкости. На рис. 167 построены линии тока полученного движения. Аналитически эти линии тока можно получить следующим образом. Проведём через точку M с координатами (г, 9) окруж ность с центром на оси Ох , расположенную в плоскости, перпендикулярной к этой оси, и подсчитаем количество жидкости, протекающей через сегмент сферы радиуса г с центром в начале координат, ограниченной этой окружностью ; эт о количеств о можн о определит ь формуло й IF (г, 6) = Jvr(г, 0) 2-г 2 sin 9 db. (23.16 ) нашем случае для функции тока W получается выражение ¥(/, 6) := sin2 9 (г 2 - 3 аг 1 а. \ (23.17 ) 2 T ) ' Приведём ещё выражение функции тока для того случая, когда рассматривается движение сферы в неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности. Это движение получается из предыдущего наложением добавочного потока со скоростью U, направленной по отрицательной оси Ох . Аналитически это наложение сводится к вычитанию из выражения (23.13 ) для Vr величины U cos 9 и соответственно из выражения для V0 величины - U sin 9; поэтому для рассматриваемого случая получим: Vr- ~ U co s 6 1 , г • Г ( а '6 о ( 1 \ щ = J и sin 6 г 3 7 J , (23.18 ) §23)МЕДЛЕННО Е ДВИЖЕНИ Е СФЕР Ы 50 9 и, следовательно, функция тока будет выражаться уравнением: W ( г , 9) = Y * ( / a 2 s i n 2 9 ( у - 3 ~ ) . ( 2 3 . 1 9 ) Соответствующие линии тока абсолютного движения сферы показаны на рис. 168. Как эти линии тока, так и линии тока относительного движения (рис. 167) лежа т совершенно симметрично относительно плоскости, перпендикулярной к направлению движения сферы и проходящей через центр сферы. Чтобы получить решение в декартовы х координатах, совершим преобразование по известным формулам: X : Г COS ( V, у : г sin 8 cos X, v = vr sin 8 cos X vH cos 8 cosX-v} .sin X, > (23.20 ) z = г sin 6 sin X, vz = vr sin 8 sin X -) vf, cos 8 sin X vx cos X; в результате получим для случая обтекания сферы: Vy . U l А ± _ 1 _ A U a x 2 ]I 4 г 4 г ъ ) 4 г 3 V _3 <7дл:у / . я М 4 г з Г 2 j V , 3 Uaxz I }• (23.21) Поставим теперь вопрос о том, в каких случаях полученное решение может считаться достаточным приближением к точному решению задачи. Дл я этого нужно по смотреть , как велики те члены, которыми мы пренебрегли. Обращаяс ь для такой оценки к уравнениям (5.16 ) и рассматри вая для простоты тольк о точки, лежащие на оси Ох , для которы х 9 = 0, легко получим следующее выражение для проекции ускорения на направление оси г: ( d v \ ' dvr\ \dt) г - Vyr дг je=0"" 9 = 0 3 IPa о я о За . J_ я М 2г ' 2 г 3 / ' Рис. 168. Для величины же 1 др дг и для равной этой величине соответствую щей составляюще й сил вязкости мы получим, согласно последней формуле (23.13) , выражение I (Ё£\ = O P г 3-iUa 51 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Отношение двух полученных величин имеет значение 2v \ 1 г") V 2г ' 2 г3 / ' которо е для больших по сравнению с а значений г приближённо равняется U г /2v . Отсюда мы видим, что наше решение пригодно только в той области, в которо й число £/r/v достаточно мало, во всяком случае меньше единицы. Чтобы решение годилось в сфере , радиус которой в несколько раз превышал бы а , необходимо, чтобы величина R = Uaj v была бы в соответствующе е число раз меньше единицы. При выполнении этого условия то обстоятельство, что вне упомянутой большой сферы члены, которыми мы при решении пренебрегли, становятся большими в сравнении с оставленными членами, не имеет уже значения, так как на больших (по сравнению с а) расстояниях ка к оставленные, так и выкинутые члены буду т очень малы (опять-таки по сравнению со значениями этих величин вблизи сферы радиуса а) и не смогут повлиять на течение вблизи ограничивающей жидкость сферы. Конечно, все эти рассуждения носят общий характер , и только опыт может подтвердить правильность полученного решения и указать пределы его применимости. В результате многочисленных экспериментальных исследований над падением шариков в вязких жидкостях была установлена справедливость формулы сопротивления Стокса (23.14 ) и формул , её уточняющих (об одной из которы х мы будем говорить ниже, при изложении теории Осеена), для достаточно малых чисел Рейнольдса, а именно для значений R < 1I2. Не останавливаясь на численных данных, доставляемых опытом, мы отметим только то обстоятельство, что формула Стокса была использована как для измерения коэффициента вязкости жидкости, так и в других исследованиях, как, например, в исследовании Милликена об измерении заряда электрона . В заключение этог о параграфа рассмотрим следующий харак терный для рассматриваемого круга вопросов пример. Пусть капля воды сферической формы падает в воздухе. Кроме силы тяжести на неё будет действовать сила сопротивления воздуха; допустим, что последнюю можно вычислить по формул е Стокса и что указанные две силы взаимно уравновешиваются, так что капля падает равномерно со скоростью U . Если плотность воды есть р', а плотность воздуха р, и если радиус сферы обозначим через а, то на каплю будет действовать сила тяжести 4 l^a 3 p' g (подъёмной силой Архимеда 4 I^a 3 P g можно, очевидно, пренебречь); приравнивая эту силу силе сопротивления Стокса 6itp-Ua, получим равенство 4 na^p'g = 6 upV ( У а ПАРАДОКС CTOKCA 51 1 ИЛИ С другой стороны, I f I s a 2 P ' U ~ 9 V р ' R = U-a , поэтому легко находим, что e 3 = = T y f " R ' ^ 3 = 4 ^ R 2 у (23.22 ) Подставляя численные значения V2 = O1133 см2[сек, §= 981 с м/се к2, р'/р = 770, легко находим а = 0,004 7 см, U = 28 f w см/сек. Есл и R < 1/2, то а < 0,003 7 см, U < 18 см/сек. Как видно, размеры тех капель, к которым применима предыдущая теория, равно как и их скорости, очень малы. § 24 . Парадокс Стокса. Как было выше отмечено, решение Стокса задачи о движении сферы, изложенное в предыдущем пара графе, представляется неудовлетворительным, потому что в этом решении отбрасываются члены, которы е на достаточно больших рас стояниях становятся сколь угодно большими по сравнению с оставленными членами. В случае плоской задачи с решением дело обстоит гораздо хуже . А именно, оказывается, что задача об обтекании плоским потоком вязкой жидкости кругового цилиндра совсем не имеет решения, если в основных уравнениях отбросить полностью инерционные члены. Форма цилиндра не имеет при этом никакого значения. Высказанное утверждение, как будет сейчас доказано , справедливо для цилиндра произвольной формы. Пусть С есть кривая, содержаща я внутри себя начало координат, по которой плоскость Oxу пересекает наш цилиндр (образующие которог о предполагаются параллельными оси Oz), и пусть рассматривается обтекание цилиндра потоком, имеющим на бесконечности скорость U, направленную параллельно оси Ох. Тогда, пренебрегая в основных уравнениях движения (5.1) инерционными членами и внешними силами, мы приходим к системе: dp dp dvx dvv , , . V ^ A I I V . T 5 T = I i ^ r l u + d F = 0 ' ( 2 4 Л ) при граничных условиях Z -.Vy = O на С, vx->U, V ~> 0 при г -~> со, (24.2) 51 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И [ГЛ . и где г -= У х'2 4 у2 . Обозначим через 5 область плоскости, ограниченную кривой С н окружностью Г большого радиуса R с центром в начале координат, и составим двойной интеграл dvx / / ' дх dvx d V :'dv dvy 'УЖ м dvy 1 1 Ox ду дх ду dx dv - f f (vx Avx-Jr vy Avy) d x d y . (24-3) По формуле Гаусса, замечая, что Vx и Vy обращаются иа кри вой С в нуль, и обозначая через п направление внешней нормали к контуру Г, получим: / / д К * ~дх ! dvx • ду dx dv дх ' ду ' д х ду ' f { v* [ ж cos^rt- x ) ' + ^ f c o s ( " > ^)] + dvy dvy dv* , диУ 1 + V y дх cos (я , x ) -f -щ co s (", у) ds * дп Vy *r>as- Далее , вследствие уравнений (24.1 ) и вследствие той же формулы Гаусса, имеем: / / (vx ^vx + vy Avy) d x d y = j j f ( v x 3/4 + vy dx dy = J J I х дх ^ vV ду ^ ' l дх ^ r dv J s dx dy L f f \ d { p v ^ I A p ^ A 1 ДЧГ есть однозначная аналитическая функция вне контура С. Производная от этой функции имеет выражение ? к > дх 1 ду Поэтому, на основании уравнений (24.1), можем написать: Y(z) = ^ ( v x - Lvy). (24.5) Пусть теперь z = х - Iy означает число, комплексно сопряжён ное с Z = x-\-iy, тогда z -f Z Z Z Возьмём в какой-нибудь функции А(х, у) вместо х и у за независимые переменные z и z, т. е . положим А(х, У ) = а{^+1-, = а ( z , I ) , тогда простое вычисление показывает, что I Д А T 3 3 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 51 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТ И [ГЛ. II Поэтому уравнение (24.5 ) может быть переписано в виде д2 ( V j c W y ) tp' (z) = 4[х дг дг после чего оно очень легко интегрируется _ д (vx - ivv) "Р (*) + Xi(S) = ^ V У . (24.6) дг где XiC2O есть, очевидно, однозначная аналитическая функция от z . Интеграл от этой функции J Xi dz , может быть, не будет уже однозначной аналитической функцией, но получающуюся многозначность очень легко выделить. В самом деле, мы имеем дело с двухсвязной областью, лежащей вне контура С. Пусть конту р C1 охватывает конту р С один раз в отрицательном направлении, и обозначим через К значение интеграла Ясно, что функция C1 / C l n I при обходе контура C1 в отрицательном направлении увеличивается на 2 щК . Поэтому функция X(Z) = J" X1(Z) dz - Klnz будет уже однозначной аналитической функцией от z вне контура С. Теперь мы можем проинтегрировать уравнение (24.6 ) последний раз: 4[х (vx - IVy) = ztp (Z ) -( X (г ) + К I n 2 • + \ (*) • Если мы представим аналитическую функцию X1(Z) в виде суммы X1 (z) = ZCln z + X(z), то получим окончательное равенство 4ц {vx - ivy) = ztp (z) + х ( 3/4 + X (z) + К In (zz). (24.7 ) В этом последнем равенстве все члены, кроме X(z), по доказанному, являются однозначными функциями от х и у, следовательно, и X(z) будет однозначной функцией от г . Используем теперь заданное нам условие, что при г~>о о функция vx - Ivy стремится к предельному значению U. Если бы vx - ivy было бы аналитической функцией от х + г'у, то, ка к показывается § 24] ПАРАДОК С CTOKCA 51 5 в теории аналитических функций, из только что указанного условия сразу вытекало бы разложение а з V x I v y = U + ^ . п= 1 В рассматриваемом нами случае имеет место аналогичный же результат. А именно, напишем разложения в ряды Лорана однозначных аналитических функций f(z) , %(z), l(z): со со со <р(*>"23ь ^)=2-3/4-- x ^=ES; --CJO -со -со пусть, далее, Cr есть окружность большого радиуса г с центром в начале координат. В точках этой окружности z = r e l z = re~i% и, следовательно, на Cr мы имеем следующее равенство: СО СП " OO 4ц (v-ivy) = ^i-^T е-' + 2 Ja " ^ + £ -Jfе ~ 1п Ь + 2 1 < 1 п - CJO -со - OO Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по 6 в пределах от О до 2тс. Замечая, что 2л J Bi r Hb = Q при г ф О, о легко придём к следующим соотношениям: 2* ^ f ( V x t v y ) e ^ = + j ^ ( k = ± l , ± 2,...) , о 4 S i J (Vx - toy) dQ = 2 i t (CC. V + P 0 + T o + 2 * I n r) . о По предположению, Vx - Ivy равномерно стремится к U при г ->со , следовательно, в первом равенстве левая часть стремится к нулю, а во втором к 8тгц U . Это возможно только в том случае, если O 0 ^pl 1 ==O 1 O1 = O. F S = O (ft >2) , Oft = O (ft<- 2) , Tft = O (ft < - 1) . а_ , = 0, Po+ Т о ==4^ . K = 0. 33 * 51 6 Д В И Ж Е Н И Е В Я З К О Й Ж И Д К О С Т И [ГЛ , I i Н о тогд а формул а (24.7 ) показывает , что функци я Vx--Ivy должн а иметь следующи й вид: с о on ал я = 2 п1 и= 1 Дифференциру я это равенств о по z и принимая во внимание равен ство (24.6) , найдём, что со п-2 Н о тепер ь ясно, что при возрастани и г давлени е р убывае т ка к Ijr2, та к же убываю т производны е dvjdr и dvyjdr (мы могли бы к р, а следовательно , и к ср(г) прибавит ь ещ ё произвольну ю постоян ную Pq, НО мы можем , не наруша я общности , считать последню ю равно й нулю) . Н о тогда подынтегральна я функци я в выражени и (24.4 ) буде т порядк а IjR2, а сам интегра л / буде т порядк а 1/R. Мы дока зали , таки м образом , что Iim 1 = 0. с о Н о та к ка к подынтегральна я функци я в двойном интеграл е I неотри цательна , т о непременно должн о быт ь во всякой точк е дУх dvx dvy _ dvy т . е. d x ду дх ду ' IT c =Const. , Uy = Const. , и вследстви е первы х дву х граничны х услови й (24.2) : Vx = O, Vy = O, что противоречи т условия м на бесконечност и (24.2) . Парадок с Стокс а показывае т нам, что мы не можем получить приближённог о решени я плоско й задачи даж е для малы х чисел Рей нольдса путё м полного отбрасывани я инерционных членов . § 25 . Уточнённо е решени е задач и о движени и сферы . Ocee n (Oseen ) показа л в 1910 г. на пример е движения сфер ы в вязкой жидкости 3 ) , что мы получим горазд о лучши е результаты , есл и в уравнения х движения оставим тольк о важнейши е из инерционных членов, отброси в остальны е инерционные члены. А именно, будем рассматриват ь задач у об обтекани и сфер ы потоком , имеющим на бесконечност и скорость , параллельну ю оси Ox и рав ' ) О s е е п С. W., Ueber die Stokessche Formel und fiber eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik, Arkiv fiir Mat., Astr. och Fysik, 6 (1910), № 29; 7(1911), № 1. § 251 УТОЧН Ё ННО Е РЕШЕНИ Е ЗАДАЧ И О ДВИЖЕНИ И СФЕР Ы 51 7 ную U . Как было отмечено выше, неудовлетворительность решения Стокса проявляется на далёких от сферы расстояниях. Но в далё ких от сферы точках : U + v', LV (25.1 ) где v'x, v', v'z суть малые величины. Рассматрива я теперь инерционные члены, стоящие в левых частях первых трёх из уравнений (5.1), мы увидим, что они отличаются от dVx U dvy U dv z (25.2 ) дх дх U дх малыми членами второго порядка, если считать vx, v , Vz и инерционные члены за малые члены первого порядка. Поэтом у мы получим гораздо лучшее приближение в далёких от сферы областях, если заменим уравнения (5.1 ) следующими обобщёнными уравнениями Стокса: U дУх дх dv.. в д х ' л 1 др U дх P ду • V Av,, (25.3) dvz и дх dv r : 1 dJpL _i,_ v ЛAV 7 р К 1 г dv v dv. дх ду дг :0 . которые имеют очень простой вид, если их записать в векторной форме: U ^ - ygra d p-jv Дг"; div г> = Ch (25.4) Нужн о отметить, что для области жидкости, непосредственно при мыкающей к сфере, замена инерционных членов величинами (25.2) ничуть не лучше замены этих членов нулями, так как в этой области vx, vy, Vz малы (на самой поверхности сферы vx, vy, vz обращаются в нуль), и мы не можем использовать факта малости v'x по сравнению с U . Однако , поскольк у мы рассматриваем движения с малыми числами Рейнольдса, то как полные инерционные члены, так и заменяющие их в наших уравнениях выражения (25.2 ) будут малы по сравнению с членами, происходящими от сил вязкости. Следовательно, в области, примыкающей к сфере, уравнения (25.3) и уравнения Стокса являются в одинаковой мере хорошими приближениями к полной системе дифференциальных уравнений (5.1) . 51 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Граничные условия, которы м должн о удовлетворят ь решение системы (25.3), остаются прежними: Для решения поставленной задачи мы применим метод Ламба') . Образуем расхождени е и вихрь от обеих частей первого из уравнений (25.4); принимая ещё во внимание второе из этих уравнений, придём к формулам: Ap = 0, (25.6 ) где U Ц ^ v ДО, (25.7 ) Q = rot V. Используем теперь симметрию движения относительно оси Ох . Ясно, что вихревые линии должны быть окружностями с центрами на оси Ох , так что во всяком случае S j c = O. (25.8 ) Н о тогда условие div Q = dQr L j dQv y__ t dS, ^ приводит к равенству откуда следует, что dx > dy ' dz dQ y dQ z >0 , ду ' dz Итак , мы имеем формулы : dVj e -• ^L J ^ L д г ' х - d l dy dz ' дг дх ' dz ' dx ~ду~ ~ЗУ' Сраз у видно, что частным решением этой системы является Vx= 1, vy = 0, Vz = O, общим же решением будет I ^ d% ') Ьаш Ь H., On the Uniform Motion of a Sphere through a Viscous Fluid, Phil, Mag., 21 (1911), стр. 120. § 251 УТОЧНЁННО Е РЕШЕНИ Е ЗАДАЧ И О ДВИЖЕНИ И СФЕР Ы 51 9 Подстановка значений (25.9) в уравнение (25.7 ) приводит к ра венствам, которы е будут удовлетворены, если С другой стороны, подставляя значения (25.10 ) в уравнение неразрывности, находим: M = = A l OX и, на основании предыдущего равенства Д& = * д х . U откуда видно, что следует принять = I J X + V' где tp удовлетворяет уравнению Лапласа A t p = O , (25.11 ) Введём для краткост и обозначение ^ = А; (25.12 ) тогда выражения для составляющих скорост и примут следующий окончательный вид: " - J A L _ V " - A L J_ A _ A L •* дх "т2k дх у ду ' 2k ду ' причём tp удовлетворяет уравнению Лапласа (25.11) , а / - уравнению Д Х I k | J = 0. (25.14 ) Подставляя значения (25.13 ) в уравнения (25.3), можем решить эти последние уравнения относительно р, в результат е чего получим: P = P 0 P U ^ L . (25.15 ) Уравнению Лапласа (25.11 ) удовлетворяе т функция 1 1 52 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ . IL очевидно далее, что функции dyjdx, д2у0/дх2 и т. д. тоже являются решениями уравнения Лапласа (25.11) . Мы положим поэтому ^ + ^ 7 ) + ^ ( 7 ) + • • • • <25-16> где постоянные коэффициенты Л 0 , A1, A2 должны быть определены из граничных условий. Перейдём теперь к решению уравнения (25.14) . Сделаем подстановку, положив 1 = тогда, после простых вычислений, найдём для определения функ ции а3 а4 , " [ cos 6 , 3 cos2 61 3 C2 (3 cos2 8- 1) . . . + c I j " ^ 4 2 ^ ^+ t/co s 0 = 0, A1 6A2 cos 6 . n ( 1 k ." D. 1 . _>_ l . I C o j ^ J (1 --cos 6) J + , c , SC2 cos e 1 2 ka3 ka* _ j j __ Приравнивая в первом равенстве коэффициенты при 1, cos 0 и 3 cos2 6-1 , а во втором коэффициенты при 1 и cos 0, получаем пять уравнений для определения шести коэффициентов Л0 , Av A2, CQ, C1 И C2I А ^ L П 2k 2 2 А Ч Д JL-Г k a 4 С 1 д 2 I З С 2 п 2 о 4 2 + " 3/4 " 0 , ^1 + ^0-^-(1 -ka)-\-~=Uaz, Исключая из второго и четвёртог о равенств и C1 , получаем: 'Ja с о = 3/4 3" ka. (25.22 ) 2 исключая же из третьего и пятого уравнений A2 и C2, находим: C0ka4 - C1O2 = 0, откуда Ь - Г т в " < 2 5 2 3 > 2 после этого первое и второе уравнения определяют A0 и Av А Wa(\-k4*) о Л (4-3 ka ) ' (MUb) 2Ua3 /ог 52 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ , Ii Наконец, A2 и C2 определяются тольк о в комбинации C0 Uka5 ^ 2 + 2k 2 ( 4 - 3 ka ) (25.26 ) так как при принятой степени приближения невозможно отделить A2 от C2 . Мы видим, что сделанные нами допущения о порядке коэф фициентов Л и С действительно имеют место. Перейдём теперь к исследованию полученного решения. При этом мы будем ограничиваться в разложениях для ср и Х тольк о первыми двумя членами и соответственно этому упростим найденные выраже ния для коэффициентов A0, A1, C 0 и C1 , отбросив в A0 и A1 члены порядка k, а в C0 и C 1 - члены порядка k2. Тогда можно принять 3 Ua 3 k a ' 2 V* 4 ) ' С 1 3Ua 3ka Ak А U a3k, Ua3. (25.27 ) Составляем теперь по формулам (25.19 ) выражения для проекций скоростей Vr и причём будем пренебрегать членами, содержащим и k множителем: Л 2Л, cos 0 CQe~kr (1-cosi 2kr2 [1 +kr( 1 +co s 8)1 + C 1 cos Og-^d-cosfj ) kr3 + t / cos 0, Д sin 0 C 0 sin 6 e _£ r ( 1 _ c o s 0 ) _j _ 2r 2kr3 -kr (l-co s 0) - и s j n (25.28 ) Дл я давления, на основании (25.15 ) и (25.20), мы имеем формулу: ••Po + Pu А О cos О -PtM 1 3 COS 2 0 - 1 -Po- V-Ua ( l + A f ) _ 1 P ^ L (3 cos2 6 1 ) . (25.29) Дл я точек вблизи сферы, разлага я в формула х (25.28) показательные функции по степеням kr и ограничиваясь той же степенью приближения, получим: vT = U cos б j 1 - За , 1 а3 2~ T 2~ 7 Т ь (25.30 ) Vh = - U sin 6 j 1 3 а ~4Т _1_ а?_ 4 г 3 §251УТОЧНЁННО Е РЕШЕНИ Е ЗАДАЧ И О ДВИЖЕНИ И СФЕР Ы 52 5 т. е. восстанавливаем формулы Стокса (23.13). Следовательно, вблизи сферы течение имеет, по-прежнему, вид, изображённый на рис. 167 (относительное движение) и на рис. 168 (абсолютное движение). На далёких от сферы расстояниях дело обстоит совсем иначе. В этом случае мы можем отбросить в формулах (25.28) члены, содержащие коэффициенты A1 и C1 , как малые, по сравнению с членами, содержащими A0 и C0 . Мы будем, далее, рассматривать для определённости абсолютное движение сферы в жидкости, покоящейся на бесконечности; тогда в выражениях (25.28) нужно отбро сить также и члены UcosO и - U sin 8. В результате мы приходим к следующим простым выражениям: A0 . Л^й,"<1_с05! г' 1 kA n sin Ь Vu -k r (1 cos ( • [ l + A r ( l + c o s 8)1, (25.31) причём нужно помнить, что сфера двигается вдоль оси Ox в тельном направлении со скорость ю U. Рассмотрим теперь отдельно движения жидкости перед отрицателем и позади тела. Рассмотрим сначала ту область, где kr( 1- co s 0) имеет значительную величину, т. е. где kr велико, а 0 достаточно отличается от нуля; в этой области мы можем пренебречь значением показательной функции, в результате чего получим: Vr = A0 _ 3Ua Л . 3ka \ 1 Ak 'У -г- 4 ) г 2 • (25.32) Но к упомянутой области не принадлежит тольк о узкий хвос т позади тела. Поэтом у полученная формула показывает, что на далёких расстоя ниях всюду, кроме узког о хвоста параболоидального вида позади тела, Рис. 169. течение мало отличается от течения, вызванного источником, находящимся в центре сферы и имеющим интенсивность " 3Uan (. . 3ka\ с / . . 3ka\ Q = т ( 1 + - ) = 6 (tm) v ( 1 H ~ r ) • (25.33 ) Только что высказанное положение наглядно подтверждается рис. 169, на котором даны линии тока для абсолютного движения сферы. Напротив, рассмотрим область далек о позади тела, в которой Угол 0 мало отличается от 0, a kr велико, причём величина 526 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii kr( 1- cos6 ) близка к нулю. Тогда выражение 1 + kr (1 f cos б) мало отличается от 2 kr , значение e~kr а _ co s 8i мало отличается от единицы, и мы получаем приближённое выражение для Vr следующего вида: Vrr = 2 Aak 3Ua l , , 3 ka' г 2 г ( 1 + 3/4 ^ ) . (25.34 ) Мы видим, что в узком хвосте далек о позади тела жидкость движется в том же направлении, что и тело , причём на больших рас стояниях скорост ь изменяется обратн о пропорционально первой степени расстояния. На рис. 169 видно резко е различие течений впереди и позади тела . Сущност ь этого различия легко выяснить, если найти распреде ление вихрей в рассматриваемом течении. Дл я вычисления вихрей проще всего воспользоваться формулам и (25.8 ) и (25.9), в которы х мы, согласно рассматриваемому приближению, должны взять г е Ь(х-г) _3Ua /(lл ,| 3ka\ \ е* <*> В результате находим: Qjr = O1 S y = - ^ V + 4 ) г откуда z ду и г2 г a ^ C o e ^ d ^ ^ i t ^ s l n e . (25.35 ) Дл я больших значений kr( 1 - cos0) , т . е. далек о впереди тела (точнее говоря, вне узког о хвоста позади тела), значение 2 очень мало, следовательно, далек о перед телом движение носит почти потенциальный характер . Напротив , в узком хвосте позади тела, где величина kr( 1 - co s 6) очень мала, движение носит завихренный характер . Правда , при 6 = 0 мы получаем й = 0, но при 6 = 1 [\fkr, где kr- очень большо е число, т . е. на поверхности параболоидального вида, мы получаем: Q = ^ T V J ' (25-36 ) так что вихри в области позади тела затухают обратно пропорцио нально полуторной степени расстояния. Чтобы вычислить функцию тока I r (г, 6), мы можем применить формул у (23.16) . При этом мы воспользуемся формулой (25.31) , чтобы получить функцию тока для движения сферы в жидкости, покоящейся на бесконечности, в соответствии с рис. 169 вычерчен § 251 УТОЧНЁННО Е РЕШЕНИ Е ЗАДАЧ И О ДВИЖЕНИ И СФЕР Ы 52 7 ным при этих ж е предположениях . В результат е простог о вычисле ния находим: ЧГ(г, 0) = + ^ ) ( 1 Ч -cosG ) [1 - e-ftrd-cosS)] . (25.37 ) Покажем , наконец , ка к вычислить сил у воздействи я поток а на тело . Мы уж е имели в § 2 3 общу ю формул у для рассматривае мого случая W = / J ( P r r C0 S 6 ~ Рг Ч S i " 6 ) d S ' (25.38 ) s причём на поверхност и сфер ы dvb Prr = ~P' PrV = P-^T' Прощ е всего вычислить значение dv^dr, есл и воспользоватьс я выра жениями (5.7 ) для проекци й вихр я в сферически х координата х г, б и X: 0 _ 1 Г d (sin 6t>x) дщ ] /• sin 6 L дв дк J ' О - 1 Г д у г д ( r si n Н ) 1 ^ e - /-sin6 L д \ ~ ~ д г J ' О _ 1 Г д (rv") dvr } _ ^e , 1 . 1 dvr . ^x ~ 7 Г~д? WJ ~ дг "Г" г г дв ' в нашем случа е Q r = Q5 = O; что же касаетс я значений Qx . т о на поверхност и сфер ы x;e = 0, Vr = O, а следовательно , и dvTjd0 = 0 . Итак , на поверхност и сфер ы 4 , 4 ? С друго й стороны , мы имеем дл я составляющи х вихр я выражения : 9 , = 0 , Q v = ^ , Q следовательно , по формула м (23.20 ) переход а от декартовы х коор динат к сферически м Q x = - Q y si n X -j- Q 2 cos X = co s X -j- si n X. Помня , что р = р0- pUdy/dx, находим дл я подынтегрально й функ ции в формул е (25.38 ) выражени е Ptt co s 0 - рт1) si n 0 = [Po -• pu-0%) c o s о0 - jx ^pc o s KX ssiin 9a - JXjx 4 ^ si n X si n 0 = • P0cos 9 + co s 9 ^ r L l c o s X s i n 0 g si n X si n I 52 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I конечно, это равенство справедливо тольк о на поверхности сферы . Но ведь на поверхности сферы V x =^V y = Vz = O; поэтому по фор мулам (25.13 ) 4^1 = - 2k -^-=-2/3/4*?-. ду ду dz dz Замечая, наконец, что по тем же формулам преобразования (23.20 ) 4^ co s 8 -I--^-CO s Xsi n G H - s i n X si n 8 = t ^ ^f ' , дх 1 ду 1 dz дг приходим к следующей простой формуле : W = ? U f f w d S > (25.39 ) s ибо интеграл от р0 cos в, очевидно, равен нулю. Н о для со мы имели общее выражение (25.16) . Все члены этог о выражения, кроме первого, при интегрировании dtp/дг по всей поверхности сферы дадут нуль; первый же член даёт, очевидно, значение Итак , мы получаем следующую формулу : W = - 4%pUA0. (25.40 ) Воспользовавшись теперь выражением (25.27), найдём: W = 6icjit/a( l f (25.41 ) Эта последняя формула, данная Осееном, представляет уточнение формулы Стокса . Аналогичные предыдущим вычисления были произведены и для более сложных случаев, как, например, для случая движения сферы в полупространстве, ограниченном плоской стенкой, или для случая движения сферы по оси цилиндра. Полученные для этих случаев фор мулы сопротивления, обобщающие формулу Стокса, могли быть проверены на опыте. Не останавливаясь на цифровых данных, мы отметим только, что получилось удовлетворительное совпадение результатов опыта и теории для малых чисел Рейнольдса, не превышающих единицы. § 26 . Движени е цилиндра. Решение задачи об обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости в предположении, что за исходные урав ДВИЖЕНИ Е ЦИЛИНДР А 52 9 нения можно взять и dvx 1 dp . . U дх =г р дJхОV AvX' dvy 1 др U Aдх = dv. dvv 1 У - О, дх ду р -дз у '1 V Д оу (26.1) протекает совершенно аналогично решению задачи об обтекании сферы, так что при изложении этог о решения можно быть очень кратким . Мы имеем опять формулы : vX -- дх ^ 2k vдх У-' v y - ду ^ r 2k ду ' (26 2) причём tp удовлетворяет уравнению Лапласа (26-3) a X - уравнению ДХ _ 2 f t g = 0. (26.4 ) Тогда все уравнения (26.1 ) будут удовлетворены, если взять P = P 0 р и A l . (26.5) Уравнению (26.3) удовлетворяет функция Inr , а также и т. д. Поэтом у мы принимаем л 1 I л <5 In г . . <32 In г . ( p = i 4 0 I n r + i 4 1 g F + i 4 2 ^ ^ r + (26.6 ) В уравнении (26.4 ) делаем подстановку X = тогда получаем для определения <]) уравнение дх2 + ду* -и' имеюще е в полярны х координата х (г , 8) вид : Отыскивае м т о решени е этог о уравнения , которо е зависи т тольк о о т г и, следовательно , удовлетворяе т обыкновенном у дифференциаль ном у уравнени ю 3 4 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 53 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ , Ii Решениями этого последнег о уравнения являются бесселев ы функци и с чисто мнимым аргументом I0(kr) = J0(Ikr) и K0(kr) = HiWlkr). Однак о I0(kr) безгранично возрастае т вместе с г , в то время как K0(kr) стремится к нулю при г ->со ; поэтом у единственно приемлемым для нас решением уравнени я (26.8 ) является K0(kr). Функции дК0 (kr) д'Ко (kr) дх ' дх2 ' '' ' такж е буду т решениями уравнения (26.7) . Мы можем поэтом у принять : Та к как ~д~дInх~г гх2_ ~ coгs 0 ' б2 In г ~~ coWs 20 c9(^fiо.1Шпч) т о для <р находим следующе е разложение : V = . , I . cos 0 . cos 20 . . (26.11 ) A0Xnr-^Al- A2-J2 1 . . С друго й стороны , мы имеем при малых kr разложения : h i k r ) = + . . . k4rA K0 (kr) = 1 0 (kr) In ( 1 T ftr ) + 3/4 1 + ( l + { )J (2 • 4)2 ~ где f - постоянная Маскерон и (f = 1,7811 ; In 7 - 0,57722) . Огра ничиваясь самым первым приближением , мы можем принять, что K0(kr)" - In т kr) , дКо (kr) ^ 1 х cos 8 t дх ~ г г г ' поэтому вблизи цилиндра, считая ka малым, будем иметь приближённ о г = - U C0 [in ( у тАг ) + A r cos 9 In T ft r ) ] - C 1 AEtL , (26.12 ) Тепер ь мы можем вычислить по формула м + = ^ + (2 6 1 3 ) ') См., например, Смирно в В. И., Курс высшей математики, т. III, 1939, стр. 687 или Кузьми н Р. О., Бесселевы функции, ГТТИ, 1935. §26 ] ДВИЖЕНИ Е ЦИЛИНДР А 53 1 приближённы е выражени я дл я проекци й скорост и вблиз и цилиндра ; Л _ _ A1 cos 9 + ^ c o s 9 _ VrT r /" С 1 co s 0 - co s 0 In ^ y "fftrj j C 1 cos 0 ~ ° { 2Жkr 2 2kr2 Aл ,i SsiI Nn 0U J I C Л Ы П U . / 1 , \ I ОC,1 SsIiNn 0U ,ПГ 1 ,V "в = 7 2 t/ Я П 9 - C 0 ^ I n ^ t TftrJ H - ^ p r , (26.14 ) при вычисления х мы отбрасывае м некоторы е члены, малы е в сра внении с оставляемыми , а именно, вычисля я ^ co s 9 и xsin0 , мы пользуемс я ещ ё боле е упрощённы м выражение м для x = = _ f / _ C 0 l n ( i Tfer) ; кром е того , в выражени и для <р берутс я тольк о два первы х члена . Полага я в полученны х формула х г= а, составля я равенств а vr (a, 6) = t" 9 (a , 9) = 0 и приравнива я нулю коэффициент ы при 1, cos 9 и sin 9, приходи м к трё м уравнения м дл я определени я четырё х коэффициентов : A0, A1, C0, C1: CSL л r ^ 0 2 ka C 1 а2 1 2 [l~la(h M H w = 0 А , и откуд а легк о находим : 2 U л 0 = С , 2£ а 2 = 0 , 4v k [ l - 2 In ( J l f t a ) ] 1- 2 In ^ a ) ' C n = C 1 2 £ 4г / 2 f/fl 2 (26.15 ) 1 -21 п Пр и принятой степени приближени я коэффициент ы A1 и C1 по отдель ности определен ы быт ь не могут . Подставля я найденные значения коэффициенто в в формул ы (26.14) , находи м выражени я дл я проекци й скоростей , пригодны е в област и вблизи цилиндра : {/co s 0 v . = l 2 1 n (i-r ka } U si n 0 1 - 2 In(т (26.16) 34 * 53 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ . IL На больших расстояниях от цилиндра, беря только члены, содер жащие A0 и C0, и рассматривая абсолютное движение цилиндра в жидкости, покоящейся на бесконечности, будем иметь: Vr = ^ + ^ C0ekr co s 6 [Ко (kr) - cos BK0 (kr)}, t>0 = i С0еЬг co s 6ZC0 (kr) sin 0. (26.17) Из теории бесселевых функций известно, что для больших значений аргумента имеют место асимптотические формулы Отсюда вытекают заключения, совершенно аналогичные тем, которые мы делали, рассматривая движение сферы. А именно, рассмотрим семейство парабол, зависящих от параметра а : kr( 1- co s б) = а . (26.18) Если а достаточно велико, то Vr мало отличается от AJr, т. е. в области вне некоторой из парабол (26.18) движение мало отличается от движения, соответствующего источнику с интенсивностью Q = A0 =- ^ L (26.19) k Jl21п(д "T^j J Напротив, если а - порядка 1, но kr велико, то cos б будет близко к 1, и мы будем иметь следующую приближённую формулу : V r = C o e ^ y r (26.20 ) показывающую, что за цилиндром жидкость увлекается вместе с цилиндром. Для вихря мы легко находим по формулам (26.2) выражение dvy dvx дг , у = Co kr cos 6 ZCo(kr) & sin 6; (26.21) на больших расстояниях от цилиндра мы будем иметь: Q = ~ с о ] / Г s i n e e * ^ 1 ^ 0 ) . (26.22 ) Как рассмотрение скоростей течения, так и рассмотрение вихрей приводят к одинаковому заключению об асимметрии течения; перед цилиндром течение носит потенциальный характер , за цилиндром - вихревой. § 2 В ] ДВИЖЕНИ Е ЦИЛИНДР А 53 3 Приведё м тепер ь формул у дл я давления; вследстви е (26.5 ) и (26.6 ) имеем: j , . cos 0 , , . . cos 20 I P = Po-pUAo-p + PUA1-^ f . . . (26.23 ) Вычислим, наконец , сопротивление , испытываемо е цилиндром; общая формул а W = J* (prr co s 0- р г Ь sin 6) ds с в данном случа е упрощается : 2% W = a J (- р co s 6 - sin 6) d0. (26.24 ) о Та к ка к в полярны х координата х вихр ь выражаетс я формуло й 0 16 (rve) 1 dvr dv& j 1 dvr дг г дв дг ' г г и так как на контур е цилиндр а v , = V = dvrr' = " , то на контур е r r О цилиндра будем иметь формул у 1 = Q = LL . дг " ду Теперь нетрудн о найти значение подынтегрально й функци и в выра жении (26.24) : р co s 0 + [ A s i n Q=P 0 CO s 9 - pU -L-cos 9 + ц -L sin 0 = = P0 cos в PU (3/4 co s 9 -L^L si n б) . Та к ка к на поверхност и цилиндр а Vy = O, т о втора я из фор му л (26.2 ) показывает , чт о и та к ка к ещ ё 2k ду ~ ду ' ^ c o s 9 + ? Sin e = M ^ , 2х /Po cos Odd = О, о т о мы приходи м к следующем у общем у выражени ю дл я сопротивле ния цилиндра : 2к W = pUa f ^ d d . (26.25 ) 534 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii Но по формуле (26.6) мы имеем на поверхности цилиндра: dtp A0 co s 0 2A2 co s 2 0 ~дг ~а а? 1 аъ и ясно, что W = 2it p UA0. (26.26 ) Подставляя найденное выше значение Л0 , получаем формулу Ламба для величины сопротивления, испытываемого цилиндром при его движении в вязкой жидкости , причём эта сила отнесена к единице длины цилиндра: W = ^ (26.27 ) 1 - 2 I n'О ) Конечно, следует ожидать справедливости этой формулы тольк о при малых значениях числа Рейнольдса R, как это и подтверждается опытами. § 27 . Гидродинамическа я теори я смазки. Одним из наиболее важных для техники случаев ламинарного движения вязкой жидко сти является движение смазочной жидкости между цапфой и подшипником. Более того, в этом случае числа Рейнольдса бывают обычно очень малы, так что мы имеем право применять приближённые методы решения. Закон ы трения, имеющие место при наличии смазки, резко отличаются от обычных законов сухого трения. В первом приближении сухое трение определяется законом Кулона, по котором у на единицу поверхности трущихся тел при их скольжении друг по другу действует касательная сила Т, определяемая формулой T = k N , (27.1) причём коэффициент трения k принимается не зависящим от величины нормального давления N, величины трущихся поверхностей и их относительной скорости . Обозначим для случая трения в подшипнике через P нагрузку, приходящуюся на цапфу, через г - радиус цапфы и через M - момент сил трения относительно оси цапфы. Если бы для этого слу чая можно было применить закон сухого трения, то сила трения была бы равна kP, плечо этой силы относительно оси цапфы равняется г, и следовательно, момент сил трения определялс я бы фор мулой M = kPr. (27.2) В 1883 г. Н . П . Петро в высказал положение, что в трении подшипников основную роль играет внутреннее трение смазочного слоя, и установил соответствующий закон трения для простейшего случая. Он исходил из рассмотренного нами в § 15 движения вязкой жидко §271ГИДРОДИНАМИЧЕСКА Я ТЕОРИ Я СМАЗК И 5 3 5 сти в области между двумя цилиндрами. Он предполагал, правда, что жидкость может скользить по поверхности этих цилиндров, причём развивается внешнее трение, пропорциональное относительной скорости скольжения жидкости вдоль поверхности цилиндра. Если принять, как это всегда теперь делается, условие прилипания жидко сти к ограничивающим стенкам, то решение Н . П . Петрова совпадает с решением, изложенным в § 15. Для теории смазки имеет значение случай, когда внутренний цилиндр радиуса гг = а вращается с угловой скоростью ш и, следовательно, с окружной линейной скоростью U = ша, а наружный цилиндр радиуса r 2 = а-)-§(§ - толщина смазочного слоя) остаётся неподвижным. Дл я момента сил трения мы получим в этом случае формулу (15.5) 4тшсо О о гТГо M = 2 ' 2 2 , (27.3 ) ri rI величина 8 всегда очень мала; поэтому мы имеем приближённо: r\ - r\ = (г2 H г J (г 2 - г х ) " 2а§ , отсюда •. 2я(ли а3 М- J . Так как мы рассматриваем момент, отнесённый к единице длины цапфы, то площадь смоченной смазкой поверхности F = 2va\ введём далее вместо ш линейную скорость U , тогда предыдущая формула примет вид: M = ^ a F ^ (27.4 ) эта формула и должна заменять формулу (27.2) для случая трения смазанного подшипника. Из неё видно, в противоположность фор муле (27.2), что момент сил трения не зависит от нагрузки на цапфу, но зато растёт вместе со скоростью U. Однако всё это справедливо тольк о в первом приближении. В самом деле, основное допущение Н. П . Петрова о том, что цапфу и подшипник можно рассматривать, как соосные цилиндры, не может соответствовать действительности, ибо при этом допущении силы трения будут распределены симметрично относительно оси цилиндра и очевидно, что главный вектор этих сил трения сведётся к нулю; это означает, что цапфа не может нести никакой нагрузки. Решение Н. П. Петрова соответствует, таким образом, случаю очень малой нагрузки. Более общее решение мы получим, если примем, что цапфа расположена относительно подшипника эксцентрически, причём смазка может заполнять или всё пространство между цапфой и подшипником, или же часть этого пространства, 53 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Мы рассмотрим, следуя А. Зоммерфельду , приближённое решение плоской задачи о смазке для случая, когда жидкость заполняет всё пространство между цапфой и подшипником, длину которы х будем считать очень большой. В соответствии с этим под цапфой и подшипником будем понимать их сечения, нормальные к оси. Пуст ь О обозначает центр цапфы С, О' - центр подшипника С' (рис. 170). Расстояние OO ' обозначим через е и примем прямую OO ' за ось полярных координат г, 6, а точку О-з а центр этих полярны х координат. Радиу с цапфы С обозначим через а, внутренний радиус подшипника - через а + Уравнение окружности С ' можно написать в виде г = а-\ h, причём с достаточной степенью точности можно принять, что й = 8 + есо 5 6 , как показывает простое геометрическое вычисление. Обозначая, наконец, окружну ю скорость точек цапфы через U , легко можем написать следующие граничные условия: (27.5 ) Примем теперь во внимание, что величина Ь/а очень мала, отсюда следует, что величина dvjdr будет очень велика в сравнении с величиной 1 /rdvJdO. В самом деле, f 0 изменяется от 0 до У на очень малом расстоянии h, имеющем порядок 8, поэтому производная dv6jdr имеет порядок £//8, в то время как производная dv^dft имеет порядок U , и следовательно, 1 /rdv^jd b имеет порядок t//" . Точно так же порядок производной d2v^dr2 равен Ujb2. Рассмотрим теперь второе уравнение (5.14) . В этом уравнении мы пренебрегаем, прежде всего, левой частью, определяющей инерционные члены; мы полагаем далее F$ = Q, так как считаем внешние силы отсутствующими или пренебрежимыми; наконец, из членов, содержащих множителем v, мы сохраняем только первый, так как только он один будет иметь порядок U/82 , все же остальные члены будут иметь меньшие порядки. При этих допущениях рассматриваемое уравнение примет вид: 1 dp O2Vfl § 271 ГИДРОДИНАМИЧЕСКА Я ТЕОРИ Я СМАЗК И 537 Мы можем, наконец, заменить в левой части г на а\ тогда получим окончательно следующее простое уравнение: i t = РМ > Мы будем считать левую часть не зависящей от г; тогда предыдущее уравнение легко может быть проинтегрировано по г. Удобнее, однако, ввести вместо г новую независимую переменную С , положив г = в + С; в результате интегрирования уравнения (27.6), получим: Vh 1 др 2 a\i. 6 0 с 2 + л с + д где Л и В - постоянные, не зависящие от С, но могущие зависеть от 6 и определяющиеся из граничных условий (27.5): Vtj = U при C = O, Таким образом мы получаем: 1 др 1*0 = 0 пр и C = / г . U ( I i Z ) Vll 2щх 6 0 C ( C A ) 4 (27.7) Через всякое сечение между цапфой и подшипником протекает одно и то же количество жидкости, которое мы обозначим через Uh 0 ] 2 : a+h f Ve dr ; f Vh d(,-. 1 д р h 3 Uh Uhn 2ау. дв 6 Отсюда находим равенства: др 6ар. U (h-h0) дЬ р(Ь)-. h3 : p ( 0 ) + 6 a v . u l f ^ h 0 f • I o о rfO /г 3 (27.8) Но в случае замкнутого слоя смазки давление р должно быть непрерывной периодической функцией от угла 9, т. е. должно иметь место условие р (2и) = р(0) , (27.9) 2к j" db J № K j Л 3 ' (27.10) и 53 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii откуда находим Zz0, после чего мы полностью будем знать V6 и давление р, последнее, впрочем, с точностью до произвольного постоянного р (0). Введём обозначение тогда Положи в ещё 2и " = -7( 1 <"<схэ) ; (27.11) Л = е ( a + cos 9). (27.12) будем иметь: / = г м ^ 2 С * J ( a + cos0) * J M ( а + COS 0) * ' Та к ка к е Г M _- r Zz 0 = = e 2 (27.13) '3 2= aа гr(c. ft g (/ уf аа ~-~ 1 f J А +4 COS 0 О TO >V Va 2 -I 1 , ЙГ С g ( К аА _+L. 11 g ъ jI : Дифференцирование под знаком интеграла показывает, что J _ dlx 2па J d/2 _ г.(2а 2 + 1 ) da ] / " ( а 2 - l ) 3 3 2 da / ( " 2 - 1 ) 5 * Из (27.13) найдём теперь, что 2) Здес ь можно пренебречь величиной prh по сравнению с dp/dB, ибо последняя величина содержит , ка к показывает формула (27.16), малую величину е в знаменателе во второй степени, в то время ка к p r h содержит эту величину тольк о в первой степени. Итак : 2 it 21С cos 0 db = а/ ^ ( a + cos0)fif0 : db Qa2IxUV\т 2а (а2 - 1) r 1 12т.ца2и 2 * 2 + 1 4 Исследуем полученные формул ы 4 r.[xUa 2 a ("а 4 2 ) M е2 ( 2 а 2 + 1)Уа2- 1 \2r,;j.Ua2a2 (27.18 ) 6 (2а 2 + 1 ) У а 2 - 1 ' о 2 (2а 2 + 1 ) V a 2 - 1 §271ГИДРОДИНАМИЧЕСКА Я ТЕОРИ Я СМАЗК И 54 1 Видно, что ка к Р , так и M прямо пропорциональны как коэффициенту вязкости \i, так и окружной линейной скорости U. Считая известными |х, U , а , 3 и Р , мы по второй из предыдущих формул определим а, а следовательно, и эксцентриситет е = 8/а, после чего первая формула определит М . Введём безразмерную величину 1f ~ - - Pa' являющуюс я для закона сухого трения коэффициентом этого трения. В нашем случае / = J L = J L = L t l . (27.19 ) J Pa а З а v у При значениях а , близких к единице, коэффициент / имеет значение, близкое к Но из (27.18) ясно, что значениям а, близким к единице, соответствуют малые значения скорости U, точнее, величины 3/4 1 - (27.20 ) Таким образом, в случае малых скоростей гидродинамическая теория смазки приводит к формул е M = P a f 0 , (27.21) аналогичной закону сухого трения (27.2). Напротив, в случае очень больших значений а значения величины (27.20) должны быть велики; в то же время из (27.18 ) простым предельным переходом получим для момента сил трения выражение 2 m i l d 2 M = , (27.22) совпадающее с формулой (27.4 ) Н . П. Петрова . Минимальное значение / получится, как это легко установить из формулы (27.19) , при а = У 2, тогда : 0.943/ 0 ; соответствующие же значения U h P связаны соотношением lx.Ua2 5 о2P - 24л = 0,0663 . Более строгое решение рассмотренной задачи было дано в работе Н. Е . Жуковског о и С. А. Чаплыгина, рассмотревших плоскую задачу о движении вязкой жидкости в области между двумя эксцен 54 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I трическ и расположенным и окружностям и при единственном пред положении о том, что в уравнения х гидромеханик и можн о пренебреч ь инерционными членами. Дл я случая , когд а радиус ы окружносте й отличаютс я дру г от друг а на весьма малую величину, их решени е переходи т в тольк о что рассмотренно е приближенно е решение . Нужн о отметить , что разобранны й выш е простейши й случай полного заполнени я жидкость ю област и межд у цапфой и подшипником представляе т простейшу ю схем у явления и не позволяе т полностью осветить его, те м более , что мы ограничилис ь тольк о плоско й задачей . Г. ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА § 28 . Обща я характеристик а течени й при больши х числа х Рейнольдса . Выво д основны х уравнени й теори и пограничног о слоя . Нам и был о уж е указано , что приближённы е метод ы решени я уравнени й движени я вязко й жидкост и были развит ы тольк о в дву х случаях , а именно, в случа е очень малы х чисел Рейнольдс а и, наобо рот , в случа е очень больши х чисел Рейнольдса . В предыдуще м раз дел е этой главы мы рассмотрел и подробн о методы , относящиес я к случаю движени й с малыми числами Рейнольдса . Обратимс я тепер ь к изучению методов исследовани я движени й с большим и числами Рейнольдса . Больши е числа Рейнольдс а получаются , когд а характер ная длина I велика , или когд а характерна я скорост ь V велика , или ж е когд а кинематическа я вязкост ь v мала . Казалос ь бы, в этом случа е мы должн ы получить очень хороше е приближение , целиком отбрасыва я силы вязкости , пропорциональ ные коэффициент у кинематическо й вязкост и v. Однак о так делат ь нельзя, потому что при этом получаютс я уравнени я Эйлер а движе ния идеально й жидкости , решени я которы х не могут , вообщ е говоря , удовлетворит ь тем граничным условия м прилипания к стенкам , кото рые мы имеем дл я случа я вязко й жидкости , движущейс я хот я бы и при очень больши х числа х Рейнольдса . Отсюд а можн о сделат ь вывод, что при больши х числа х Рейнольдс а главное воздействи е сил вязкост и буде т проявлятьс я окол о стенок , ограничивающи х жидкость ; понятно, что частицы жидкости , побывав шие окол о стенок, попадая при дальнейше м своём движени и внутр ь жидкости , могут распространит ь эти воздействи я сил вязкост и на внутренни е област и жидкости . Мы можем, однако , ожидать , что во всей той област и внутр и жидкости , в котору ю не попадают частицы жидкости , побывавши е окол о стенок , движени е жидкост и буде т мал о отличатьс я от движени я идеальной жидкост и и с очень большим приближение м може т быт ь принят о за движени е идеальной жидкости . Остаётс я определит ь характе р течения жидкост и в непо q28!ОБЩА Я ХАРАКТЕРИСТИК А ТЕЧЕНИ Й ПР И БОЛЬШИ Х R 54 3 средственной близости стенок и в той области, которая заполнена частицами, побывавшими у стенок. К сожалению, мы не имеем пока полной теории этого вопроса. Одна из первых работ на эту тему относится к 1904 г. и принадлежит Л. Прандтлю') . В результате развития идей Прандтля возникла теория, носящая название теории пограничного слоя, изложению основ которой и будет посвящён этот раздел . Иначе подошёл к той же самой проблеме движений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса Осеен 2 ) . Он поставил вопрос о том, во что переходит движение вязкой жидкости, если число Рейнольдса R устремить к бесконечности. Однако Осеен смог дать ответ на этот вопрос только для того случая, когда исходные уравнения Навье - Стокса берутся в упрощённом виде, и в этом состоит недостаток его теории, носящей название теории исчезающей вязкости. Полное изложение теории Осеена потребовало бы много места; поэтому мы ограничимся несколько упрощённой трактовкой этой теории (см. § 37 и далее). Прежде чем переходить к выводу дифференциальных уравнений теории пограничного слоя, мы остановимся несколько на выяснении общего характер а течений вязкой жидкости при больших числах Рей нольдса. Дл я определённости будем V рассматривать задачу об обтекании цилиндрического твердого тела по током, имеющим на бесконечности заданную скорость V (рис. 172). Если бы мы могли совсем пре небречь силами вязкости, то мы получили бы потенциальное обтека р и с 172 ние тела потоком идеальной жидко сти. В точках контура С нормальная составляющая скорости этого потока обращаетс я в нуль, касательная же составляющая отлична от нуля. Н о в течении вязкой жидкости как касательная, так и нормальная составляющие скорост и должны в точках контура С обра щаться в нуль. Принимая ещё во внимание, что при больших числах Рейнольдса в некотором отдалении от контура С течение жидкости мало отличается от течения идеальной жидкости , мы приходим к заключению, что распределение касательной составляющей скорости вдоль нормали к контур у С должно иметь вид (см. рис. 172) кривой, относящейся к точке M1. Эта кривая показывает, что каса ! ) Prandt l L., Ueber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandlungen der dritten Internat. Math. Kongr. in Heidelberg 1904, Leipzig, 1905; имеется русский перевод. 2) О s е е п С. W., Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik, Leipzig, 1927. 54 4 ДВИЖЕНИ Е в я з к о п ж и д к о с т и [ГЛ . п тельная скорость, равная нулю в точк е M1, для точек, расположен ных на нормали к контуру, постепенно увеличивается и, наконец, на некотором расстоянии от контура принимает значение, очень мало отличающееся от значения, соответствующего потенциальному течению идеальной жидкости. Как мы увидим далее, при больших числах Рейнольдса, переход от нулевой скорости на контур е С к скорости, мало отличающейся от скорости потенциального течения идеальной жидкости, совершается в очень тонком слое жидкости, ко торый и носит наименование пограничного слоя. Как мы знаем, силы вязкости тем больше, чем больш е соответ ствующие изменения скорости . Так как в пограничном слое происходит быстрое изменение касательной составляющей скорости от нуля до величины порядка V, то силы вязкости в пограничном слое могут получать значительную величину. Таким образом, главное воздействие сил вязкости будет иметь место около стенок: на далёки х же от стенок расстояниях силы вязкости будут очень малы. Мы можем поэтому представить себе схематически картину течения вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса следующим образом. Всю область течения мы разбиваем на две части, а именно на тонкий пограничный слой вблизи тела и на остающуюся область течения, в которо й течение можно считать совпадающим с потенциальным течением идеальной жидкости. В пограничном же слое мы будем учитывать также и силы вязкости; однако, то обстоятельство, что толщина пограничного слоя очень мала, позволяет сильно упростить уравнения Навье - Стокса; в результат е такого упрощения мы получим уравнения Прандтля, решения которы х тем менее буду т отли чаться от точных решений уравнений движения вязкой жидкости, чем больше будет число Рейнольдса и чем, следовательно, меньше будет толщина пограничного слоя. Необходимо, однако, обратить внимание на то, что частицы, побывавшие у стенок тела, могут в дальнейшем попасть внутрь жидкости; так как внутри пограничного слоя мы имеем сильно завихренное движение жидкости, то при этом внутрь жидкости попадают вихри, образовавшиеся в пограничном слое; происходит, как говорят, отрыв вихрей. Причины такого отрыва вихрей лежа т в следующем. Пусть для определённости выпуклый конту р С имеет симметричную форм у относительно прямой AB , имеющей направление скорост и на беско нечности, и пусть циркуляци я потока отсутствует . Тогда в потенциальном течении идеальной жидкости касательная скорост ь будет возрастать от нуля в точк е А до максимальной скорост и в точке К и затем буде т убывать д о нулевой скорости в точке В. В соответствии с этим, согласно уравнению Бернулли , р-\ ри2/2 = const. , давление будет убывать от точки А до точки К и затем возрастать от точки К до точки В . Как увидим в дальнейшем, распределение q 28! ОБЩА Я ХАРАКТЕРИСТИК А ТЕЧЕНИ Й ПР И БОЛЬШИ Х R 54 5 давления в пограничном сло е очень мало отличаетс я от распределе ния давления по контур у С в потенциальном течении идеально й жидкости . Иначе буде т обстоят ь дел о с распределение м скоростей . Ясно, что силы вязкости приводя т к некотором у затормаживани ю частиц жидкост и в пограничном слое . Поэтому , попадая в област ь задней части тела , где давлени е возрастает , частицы начинают полу чать ускорени е в направлении от точки В к точк е К и в результат е касательная скорост ь эти х части ц обращаетс я в нул ь где-т о на линии MiN, проходяще й межд у точкам и К и В. В област и BM3N касательна я скорост ь частиц получае т обратны й знак , т. е. возникает возвратно е движени е жидкости , результато м которог о является срыв завихренны х частиц с поверхност и тела и уно с их внутр ь жидкости . Теори я пограничног о слоя не даё т возможност и просле дить, ка к меняется в этом случае характе р течения в област и B M z N , прилегающей к задней части тела . Следует , таким образом , различат ь два случая . Есл и мы имеем дел о с телом , имеющим очень плавны е очерта ния контура , т о возможно , что срыв а вихре й происходит ь не будет . В этом случае мы можем сказать , что вне тел а имеет мест о потен циальное течение идеальной жидкости , и действие сил вязкост и ска зываетс я тольк о в пограничном слое . Если же услови я обтекани я таковы , что с тела срываютс я вихри , то за тело м образуетс я вихрева я зона; что касаетс я пограничног о слоя, то мы можем теоретическ и рассмотрет ь тольк о ту часть его, котора я простираетс я д о места отрыв а вихрей . Сделаем ещ ё одн о обще е замечание. Течение жидкост и внутр и пограничного слоя может быт ь или ламинарным или турбулентным , в зависимости от значений числа Рейнольдс а и от условий обтека ния тела, например , от степени гладкост и или шероховатост и кон тура и т. п. Мы будем рассматриват ь тольк о ламинарны е течения; некоторы е соображени я о турбулентно м пограничном слое буду т изложен ы в следующе й главе, посвящённо й турбулентности . Перейдё м тепер ь к вывод у дифференциальны х уравнени й Пранд тля, определяющи х течение в пограничном слое , причём рассмотри м для определённост и случай течения вязко й жидкост и вдол ь пластинки . Мы будем , таким образом , иметь дел о с плоско-параллельны м течением жидкости ; предположим , что внешние силы отсутствуют . Тогда основны е уравнени я гидромеханик и (5.1 ) принимают вид: д и х , , д%>х_ L dR. iI dt и* дх у ду ~ р дх " ^ r .J, d(-d2yXV x _Ii_ d 2 v x \ \ d x 2 ^ dy 2 } ' dvy dvy dvy 1 dp (d2vy d2v ( ^ y dx T Vy dy ' p 'ду A ' V дdхx22 dvr dv., -г- -1( T 2 = 0 . " г ddyy2 ) ' (28.1) dx dv 3 5 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 54 6 ДВИЖЕНИ Е в я з к о п ж и д к о с т и [ГЛ . п Дифференциальны е уравнения Прандтл я получаются в результате надлежащего упрощения предыдущих уравнений. В основе этого упрощения лежит сравнение различных членов уравнений (28.1) по их относительной величине. Как мы уже указывали, толщина пограничного слоя, которую мы будем обозначать буквой 8, очень мала (см. рис. 173); это выражение нужно, конечно, понимать так, что мало отношение 8 :1, где I есть характерны й размер для рассматриваемой задачи. Отметим попутно, что толщина о в разных точках контура и в разные моменты времени можег быть различна, так что о есть функция от л: и t. Кроме того, нужно отметить, что самое поня тие толщины пограничного слоя имеет нескольк о неопределённый характер , поскольк у в действительности нет никакой резкой границы, отделяющей область пограничного слоя от внешней области, в которой силы вязкости Рис. 173. совсем не учитываются. Однако мы увидим, что эта неопределённость по нятия толщины пограничного слоя не повлияет на окончательный вид уравнений Прандтля. В следующем параграф е мы дадим иной вывод этих уравнений, свободный от тольк о что указанного недостатка, сейчас же мы будем следовать Прандтлю. Составляющая Vx может иметь на внешней границе пограничного слоя различные значения, но все эти значения буду т иметь один и •ют же порядок, а именно V, где V есть характерна я скорост ь рассматриваемого течения. На стенке эта составляющая обращается в нуль. Рассматриза я изменение Vx в зависимости от координаты у, мы видим, что при изменении у от О до 8 значение Vx изменяется от нуля до величины порядка V. Н о отсюда следует, что среднее значение dvxjdy в точках внутри пограничного слоя имеет порядок V/о. Точно так же придем к заключению, что d2vxjdy2 имеет внутри пограничного слоя порядок Vjo2. Порядок производных по координате л: мы можем оценить, учитывая, что составляющая скорости vx при перемещении точки параллельно контур у С на отре зок порядка характерной длины I может испытать изменение порядка V; поэтому величина dvxjdх имеет порядок Vjll а величина d2vxjdx2 - порядок Vjl2. Но тогда из последнего уравнения системы (28.1) dvy dvx ду дх следует, что dvyjdу тоже имеет порядок Vjl. А та к как при у = О значение Vy вследствие условия прилипания равно нулю, то из ра ОБЩА Я ХАРАКТЕРИСТИК А ТЕЧЕНИ И ПР И БОЛЬШИ Х R 54 7 венств а С d v y J о найдём , чт о Vy внутр и пограничног о сло я буде т имет ь порядо к V8// . Далее , дл я величин ы OvyIdx находи м порядо к Vbjl2, дл я O2VyIdx2 порядок Vbjl3 и, наконец, для d2vyjdу2 порядо к Vjlb. Ясно теперь, что в первом из уравнений (28.1 ) мы можем отбро сить член d2vxjdx2 порядк а Vjl2 ка к малый по сравнению с членом d2v jdy2, имеющим порядо к Vjb2, ибо отношение А : А - (A ^ есть квадра т малой величины. Итак , первое уравнени е системы (28.1 ) принимает следующий вид: A x j , , , dvx dvX _ 1 dp ^ V r Второй и третий члены слева имеют, ка к показывае т простой подсчёт, один и тот же порядо к V2jl, второ й же член справа имеет порядок '/Vjb2. Отношени е сил вязкост и к силам инерции имеет, таким образом , порядок : A X l _ L - J L ( L \ 2 1 о 2 : I - VS 2 ~ ' IV \ Т ] ~ _r I/ tВ)\ 2 ' Прандгл ь принимает, что внутр и пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковы й порядок : но тогда величина D / 8 \ 2 VS 2 К должн а иметь порядо к единицы; иными словами, величина Zjl должн а иметь порядо к l/V^R . Мы получаем, таким обра зом, первый результа т теори и пограничного слоя: образующийся при течениях с большими числами Рейнольдса R пограничный слой имеет толщину 8, порядок которой равен l/УR, т. е. Приведём просто й численный пример: возьмём I= 1 м = 100 см, ^ = I MjceK= 100 см/сек, v = 0,0 1 см2/сек (вода при 20° С), тогда j / " L = 0, 1 с л = 1 мм. Как видно, толщина образующегос я пограничног о сло я очен ь мала . В уравнени е (28.2 ) входя т ещ ё член ы dvjdt и (1/р ) др/дх; м ы ''УДем предполагать , чт о изменени е течени я с о временем , есл и он о происходит , совершаетс я стол ь плавно , чт о порядо к dvxjdt н е пре восходи т порядк а V2Il, тогд а чле н (1/р ) др/дх са м собо ю долже н б УДе т имет ь то т ж е порядо к V 2 // . 35 54 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii Переходим теперь к рассмотрению второго из уравнений (28.1) . Мы без всякого труда найдём, что порядок левой части этого урав нения равен V4/12. Точно так же для порядка сил вязкости, входящих в правую часть этог о уравнения, найдём, по вышесказанному , выражение yVjlb, имеющее, по сделанному выше допущению Прандтля, тот же порядок, что и выражение V2Ijl2. Мы видим теперь из второго уравнения (28.1), что (1/р)др/д у имеет порядок V2Ijl2 в то время, ка к (ljp)dpjdx имеет порядок V2 //. Но это означает, что градиент давления в направлении нормали к контуру очень мал в сравнении с обычными значениями градиента давления. Поэтому можно с большо й степенью точности заменить второе уравнение системы (28.1 ) простым уравнением $ = 0 . ( 2 8 3 ) Мы получаем таким образом второ й результат теории пограничного слоя: давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется, следовательно, тому давлению, которое имеет место на внешней границе пограничного слоя в рассматриваемом месте. В предыдущем параграф е мы уже воспользовались этим результато м при рассмотрении качественного характер а течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса . Итак , задача определения течения вязкой жидкости в пограничном слое свелась к решению следующей системы: dvx , dvK 1 <3/? j дгьх dt ' * дх ' у ду ~ р дх > ду2 dvx dvv дх ду (28.4 ) Здесь Vx и Vy суть неизвестные функции от л:, у и t, а р есть заданная функция от х и t. Если можно принять, что вне пограничного слоя течение жидкости есть потенциальное течение идеальной жидкости, то р(х, t) совпадает со значениями давления этого течения на внешней границе пограничного слоя, а та к как толщина пограничного слоя очень мала, то за р(х, t) можно взять просто значения давления этого течения в точках самого контура С. Если же с тела срываются вихри и последние сильно видоизменяют картин у течения пограничного слоя, то приходится р брать на основе экспериментальных данных. Функции Vx и Vy должны удовлетворят ь следующим граничным условиям: во-первых, на стенке должн о выполняться условие прилипания Vx = V =0 при у = 0, (28.5 ) § 2П] ВЫВО Д МИЗЕСА . УРАВНЕНИ Е Л1 ИЗЕС А 54 9 Hi во-вторых , на внешней границе пограничного слоя, т. е. при V . = 8, составляющая Vx должна переходить в соответствующую составляющую Vx скорости течения вне пограничного слоя. Как выше в случае давления, можно за Vx принять составляющую скорости в точках самого контура С: для краткост и мы обозначим эту составляющую через U (х) = (vx)c. Кроме того, ввиду неизвестности 8, мы можем потребовать выполнения граничного условия при у = со вместо у = 8, т. е. потребовать, чтобы Vx асимптотически приближалось к U . Тогда при у = 8 величина Vx будет очень мало отличаться от Vx = U , и мы получаем такое граничное условие: V x = U при у->со . (28.6) Наконец, в случае неустановившегося движения нужно принимать ещё во внимание начальные условия: при £ = 0 Vx должно приводиться к заданной функции от х и у . § 29 . Вывод Мизеса . Уравнени е Мизеса . Дадим теперь вывод основных уравнений Прандтля, основная идея которог о принадлежит Мизесу '). Этот вывод носит более формальный, но в то же время более строгий характер . Из него ясно вытекает, что уравнения Прандтля являются предельной формой уравнений гидромеханики вязкой жидкости, получающейся при определённых условиях при устремлении числа Рейнольдса R к бесконечности. При этом выводе нет никакой необходимости ограничиваться случаем прямолинейного контура . Итак , положим, что мы имеем дело с обтеканием криволинейного контура С. Мы будем исходить из тех же основных уравнений гидромеханики (5.1), что и в предыдущем параграфе, только напишем их в безразмерном виде. А именно, если I есть характерна я длина, а V -характерна я скорость , то мы введём новые безразмерные величины формулами: х = Ix, у = Iy, t = L t , v,x = Vvx> V y = V v r P = P V 2 P , V = ^ 1 (29.1) После подстановки этих значений в формулы (5.1) и сокращения обеих частей двух первых уравнений этой системы на V2jl, а по ' ) M i s e s R., Bemerkunge n zur Hydrodynamik , Zeitschr . fu r angew . Math, und Mech. , 7 (1927), стр. 425-431 и дискусси я по поводу этой статьи -^сжду Прандтлем и Мпзесо.ч в том ж е журнале , 8 (1928), стр. 249-252. 55 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I следнего уравнения - на V[l, легко получим уравнения; ' ' X ^ T dt ddxv,, dvr У ду dv" dy ' R v dx2 y ~dj2 (29.2) dx dy = 0, отбросив, для простоты, чёрточки над буквами. Итак , уравнения гидромеханики, написанные в безразмерном виде, сохраняют свой вид, только плотность р заменяется при этом на 1, а кинематический коэффициент вязкости v - на 1/R, где R - число Рейнольдса. Пусть теперь qx и q2-криволинейные ортогональные коорди наты, a H1 и H2 - соответствующие коэффициенты Ламэ. Напишем уравнения (29.2) в криволинейных координатах qx и q2, для чего воспользуемся общими формулами § 5. В результате мы получим систему из трёх уравнений, первым из которых будет ^ L -U-^ l -^i U -^ L U щ I л д Н х - <г, dt. ^H1 d4l ^r H2 dq2 "I" H1H2 Л dq2 V2 dH2 dqx i 1 1 d v, 1 d v, '(f ) dv, 2 2 Hi dq1 R H\ dq\ + H1H2 dqt dqx + 1 \H2) dv, -4 dH2dv2 I + H H dq dq HfH dq dq H H 2 dq dq. . " Г 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 + 11( dWH2, \ . 1 dд / 1 dHx I ЩH fdinq. \ H1H2 dJql H2 dq2 X\ H1H2 dq2 1 d 1 dH, H1 Oql XHlHt dq2 w 2 ( 2 9 , 3 ° а вторым и третьим - dv2 • + 1 2 x dH \ . U dv I ^H2 Oq2 H1H2 dH V"i 2 v ^ r 1 Ф I 1 1 d2v2 1 d2v, >(t)dv, H2 dq2 ^ R Щ < M H\ dq\ H1H2 dqx dqx + >M dv2 2 dH2 dv. H1H2 dq2 dq2 HjH2 dq2 Oq1 H1Hi dqx dq2 §2П]ВЫВО Д МИЗЕСА . УРАВНЕНИ Е Л1ИЗЕС А 55 1 + H дд \н,н J_ J L ( 1 ^ y 1 х г H2 dq2 Vtf 1 Zf 2 ^ J 1 д / 1 дН1 \ / 1_<эя 2 \ Я , dq, XH1H2 ГЯ2 dq2 XH H dq, Г' (29.3") l t dv и дуг . H 0 дUНJ J 2. -•у, дН = 0 . (29.3'") Выберем теперь следующую систему криволинейных ортогональных координат (рис. 174). Проведём в точках контура С нормали к С, и пусть нормаль через произвольную точку М, лежащую вблизи контура С, пересекает этот контур в точке N . Выбрав на контуре С определённую точку О за начало отсчёта дуг, будем определять положение точки M координатами Q1 = s и q2 = п, где s и п суть взятые с надлежащими знаками длины дуги кривой ON и отрезка нормали NAl. Возьмём соседнюю с M точку M' и вычислим расстояние do между точками M и AI'. Бесконечно близкие нормали MN и MfN' пересекаются в центре кривизны К кривой С, соответствующем точке N. Обо Рис. 174. значим радиус кривизны кривой С в точке N через г (S) и предположим, что г (s) есть непрерывная функция от s вместе со своей первой производной. Так как, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, мы имеем: do1 = ML2 + LM' , LM' = •• dti, ML = [r(s)-\-n]dB, NN' = ds = г (s)dd, ML т о r(s)-\-n• ds, Г (S) и следовательно, do2-. ['+ 7 3/4 ^ + dn2, H1 = 1 Я 9 = 1 . (29.4) г (S) ' Сделаем, наконец, последнее преобразование. Положим, чтобы не вводить новые буквы Q1 = S = X V, = V c = V,. __ У W 1 = I + VRr (х) 55 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ. IL Таким образом, теперь уже х означает расстояние между точками OhN, измеренное по кривой линии С (следует помнить, что за единицу расстояния принята длина I), у же означает расстояние точки M от контура С, увеличенное в j^ R раз; точно так же Vy есть проекция скорости на нормаль, увеличенная в V^R раз. Вставим теперь значения (29.5 ) в уравнения (29.3), обе части среднего из которых мы поделим на V r R и найдём, какую предельную форму они получат, если мы устремим R к бесконечности, считая при этом величины vx, vy, р и их первые и вторые производные по t, х и у конечными. Легко видеть, что большинство членов уравнений (29.3) будет содержат ь множителями некоторые целые положительные степени 1/J/R . В пределе все эти члены обратятся в нуль, и мы получим уравнения: dvr dvr dt dvx ду др_ дх Q = ду • d2vx ду* (29.6) дих I F dvy 0 . ~д7 Мы будем считать, что вне пограничного слоя происходит обтекание контура С потенциальным потоком. Но при R -> со весь пограничный слой прижимается к контур у С; это видно из того, что по формулам (29.5) всякому конечному у соответствует значение п, сколь угодно малое при достаточно большом R . Пусть в точках контура С для потенциального потока давление имеет значение р(х, t), а скорость-значени е U (х, t). Тогда мы можем считать, что при у->оо решение уравнений (29.6 ) должно удовлетворять граничным условиям: Iim р = р (х, t), Iim vx = U(x, t), о у-> л по по среднему из уравнений (29.6 ) р не зависит ог у; следовательно, во всём пограничном слое р имеет значение р (х, t). Итак , мы приходим к следующей системе для определения Vx и vy: dvx I дух л dvr _ dp , дЧк dt ' х дх ' "у д.х п оу2 Oox ду 4 . > О, OX 1 d v (29.7) §2П]ВЫВО Д МИЗЕСА . УРАВНЕНИ Е Л1ИЗЕС А 55 3 ri e р(х> t) берётс я из потенциальног о потока , обтекающег о кон ivp С; кроме того, должн ы выполняться пограничные услови я Vx = Vy = O при у = О, Vx=U tit (х, ^t) " у ->оо JI (2 9 '8 ) н, если речь идёт о неустановившемс я движении,-такж е ещё и начальные условия . Вернёмся тепер ь к первоначальным размерны м координата м (29.1) , т. е. заменим х на xjl, у на у У R// , t на Vt/l, vx на vx/V, vy на v УR/V, P "a plpV2 и R на IV/v. Тогда вместо системы (29.7 ) мы получим систему уравнений : dvx t Ovx , dvx 1_ др_ , <Э V t dt 1 дх 1 UVУ дЛул. dvx dvy дх * ду О, рП д^хV "1I дуг (29.9 ) вполне тождественну ю с уравнениям и Прандтля . Напомним ещ ё раз, что в этой системе у означает расстояни е какой-либ о точки погра ничного слоя от контур а С, измеряемое по нормали к С, а х есть расстояние от основания этой нормали до начальной точки контур а С, измеряемое вдоль этой кривой . Приведённый в этом параграф е вывод показывае т вполне чётко, что уравнения Прандтл я являются предельной формой уравнений Навье - Стокса при R ~> со . Необходимо , однако , отметить следующе е обстоятельство . Пр и очень больши х числах Рейнольдс а движение вязкой жидкост и имеет обычно турбулентны й характер . С этой точки зрения может показаться , что предельный перехо д R- >о о не може т иметь физического смысла. На самом деле это не так , а именно: пусть число Рейнольдс а R / ; , характеризующе е перехо д ламинарно й формы течения в турбулентную , очень велико, тогда для больши х чисел Рейнольдс а R , не превосходящи х R f t , мы с очень большим приближением можем считать верными уравнения Прандтля , так как эти уравнения отличаются от точны х уравнений членами порядка 1/VR , малыми при больши х R . Дл я чисел же Рейнольдс а R , превосходящи х R f t , пограничный слой становится турбулентным , и к нему уже нельзя применять уравнения (29.9) ; теория турбулентног о пограничного слоя буде т затронута в главе о турбулентности . Для случая установившегос я движения Мизес свёл систему урав нений (29.9 ) к одному нелинейному уравнению в частных производ ных второг о порядка типа уравнени я теплопроводности . В основе вывода уравнения Мизеса лежи т введение новых независимых переменных и новой функции. 55 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ. IL Последне е из уравнени й (29.9 ) показывает , чт о можн о принят ь ^=If = (29Л°) где ф(х , у) есть функция тока , причём можно считать, что на кон туре С ф обращается в нуль. Возьмём теперь за новые независимые переменные х и ф и преобразуем уравнение dvx , dvx 1 dp d2vx . , к этим новым независимым переменным. Функции Vx и Vy, выраженные в новых переменных х и ф, обозначим для ясности через Vx и vy, так что Vx (х, у) = Vx (х , ф); Vy (х , у) = Vy (х , ф). Теперь ясно, что, рассматривая Vx и Vy как сложные функции от х и у, мы будем иметь: dvx Vy <Эф ' ду <Эф ду ' х дф ' d2v" д (- dv ду 2 - Vхr -=TT I f , T f-M =V 2 дф \ дф / дф \ 2 Подставляя эти значения в уравнение (29.11), получим: _ dvx I dp - д2 / V2 Vx ~дх~ = ~ J~dx j r ^ x "йф2" \~Т По условию, нам должна быть известна функция р(х). Эта функция связана с U (х ) интегралом Бернулли : P + 1 = const. , (29.12 ) имеющим место в потенциальном течении вне пограничного слоя. Мы имеем таким образом уравнение Sv2 dU2 _ d2v2 дх Л с + ^ З ф Г - ^29ЛЗ) Поэтому, если мы введём новую неизвестную функцию 2{х , ^ = U 2 V 2 x , (29.14 ) так что vx = Y i P ~ z , § 2П] ВЫВО Д МИЗЕСА . УРАВНЕНИ Е Л1ИЗЕС А 55 5 хо уравнение примет очень просто й вид: T Z ^ v z t = ' W ( 2 9 л 5 ) Это и есть уравнени е Мизеса . Найдё м ещё , каким пограничным условиям должн о удовлетворят ь решение этог о уравнения. На контуре, т. е. при ф = 0, составляюща я скорост и Vx обращаетс я в нуль, следовательно , вследстви е (29.14 ) имеем Z = U2(X) при ф = 0. На внешней границе пограничного слоя, т. е. в наших новых независимых переменных при ф = со , составляюща я Vx должн а пере ходить в U (х) ; поэтому получаем второ е пограничное условие : Z->0 при ф->оо. Наконец, если мы знаем распределени е составляюще й Vx (х, у) при х = 0, т. е. знаем функци ю г>х(0, у), то нетрудн о буде т вычислить и значение функции 2(0 , ф). В самом деле, первое из уравнений (29.10 ) определяе т <|> через у равенство м Ф(0. У) - /Vr (0, У)йу, решив это уравнение , мы найдём зависимост ь у от ф, после чего по формул е (29.14 ) получим: 2(0 , < | 0 = t / 2 ( 0 ) - (c) i ( 0 , у) . Таки м образо м решение уравнени я (29.15 ) должн о удовлетворят ь таким трём пограничным условиям : Z = U2(X) при ф = 0, ] 2 = 0 " ф = со , (29.16 ) z =z(0, ty) " х = 0. J Найдя z(х, ф), мы определи м Vx(х, ф) из уравнения (29.14 ) Vx (х, ф) = V U 2 Z , (29.17 ) после чего из первог о уравнени я (29.10 ) можем определит ь у(х, ф): О O r Реша я это последнее уравнени е относительн о ф, мы получим Функцию ток а (jj (х , у), т. е. окончательн о решим задачу . 556 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО П ЖИДКОСТ И 1ГЛ. IL § 30 . Интегральное соотношени е Кармана и ег о обобщения . При детальном изучении какого-либ о движения жидкости приходится всегда исходить из дифференциальных уравнений движения жидкости. Но если мы хотим рассматриват ь движение тольк о в общих чертах, то тут часто большую помощь оказываю т общие теоремы гидромеханики, а именно закон количеств движения, закон моментов количеств движения и закон энергии. Настоящий парагра ф будет посвящен применению закона количеств движения к теории пограничного слоя. Для ясности мы будем исходить сначала из основных уравнений теории пограничного слоя (29.9). При этом мы введем в рассмотре ние толщину пограничного слоя о. Мы знаем уже, что понятие толщины пограничного слоя есть несколько неопределённая величина, так как в пограничном слое скорость vx изменяется от нуля па контур е С до скорост и U , имеющей место в потенциальном потоке , асимптотически приближаясь к этой последней величине (рис. 175). Можно было бы, например, определять о как то расстояние от контура С, на котором величина Vx отличается от U на 1% . Дл я нас будет несущественно то или иное определение величины о, лишь бы при этом соблюдались следующие два условия: во-первых , скорость vx при у = о должна мало отличаться от скорости U (т. е. разность vx - U должна быть мала в сравнении с характерно й скоростью V), и, во-вторых , значение производной dvx/dy должно быть мало (опять-таки в сравнении с V/1). Наиболее точным с математической стороны представляется введение так называемой толщины вытеснения S*, определяемой условием: СЮ J (U - vx)dy = bi:U. (ЗОЛ) о Если прямая AB на рис. 175 пересекает кривую распределения скоросте й OKL так, что площадь OAK равна площади KBL, то ясно, что 8* =OА. Ясно, что в общем случае 8* будет функцией от х и t. Проинтегрируем теперь обе части первого из уравнений (29.9 ) по у в пределах от 0 до 8 и рассмотрим по отдельности все получающиеся при этом члены. Мы имеем прежде всего по правилу дифференцирования интегралов с переменными пределами: ^ о w / ^ ^ = Г ^ f d ^ + • 5 • (30-2) о о 5 30] ИНТЕГРАЛЬНО Е СООТНОШЕНИ Е КАРМАН А И ЕГ О ОБОБЩЕНИ Я 55 7 следовательно , о 8 f Ж = Ж J * х а У - ° Л * . 0 3/4 ( 3 0 3 ) о М ы имее м далее : Г dvx w 1У=5 С dvV j J v> d y = v*v* U - J vX h y аУ = о ' 0 Г dv v = v y ( x , t , t ) vx ( x , b , t ) - J V x ^ d y , 0 ибо Vx = Vy = O при y=0. H o из второг о уравнения (29.9) имеем: X < s л С d v x j Vv (х, Ь, t) = - J - dy, ~ду~ ~ ^ F ' '"У заметим , чт о д дх поэтом у 5 / Vxdy = f ^ d y + v x ( x , 8, t о ) О о и, значит, (х , b , t ) = ~ f vx dy + ^ (х , 8, t ) -g (30.4 ) J v y ^ d y = v x ( x , 8, t ) ± J v x d y + v l t x , b , t ) ^ x + f v x d ^ d y . о о о Вычислим интеграл Г dvx i / dv2x I d f t 1 J vX 2 J d T d ^ 2 T 7 . i < d y ^ v l ( x , Ь, O g j . O o о Собирая все полученные результаты , придём к выводу, что /№+" , тЗН",^)'" о 7 ' о о S ^ Ж f vX dV + ш f ^ d^-vX (х< Ъ' ^ Ж / vX dV-vX 8O-J • л 55 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, Ii Вычисли м тепер ь интегра л о т право й част и уравнени я (29.9) . Здес ь м ы имеем : о та к ка к р не зависи т о т у . Далее , поэтом у с J ду* ^ \ ду J y ^ \ ду )у=0 ' J \ р дх ^ д у * ) а у р дх 0 ^ \ ду ;у=8 \ дУ В итоге , перво е уравнени е систем ы (29.9 ) даё т на м следующе е равенство : о >, S T t f v2 dy - v x { x , 8, f v x d y v x ( x , 8, 0 3/4 - = Эт о равенств о справедлив о пр и любо м значени и 8; приме м теперь , чт о 8 ест ь ка к ра з толщин а пограничног о слоя , тогда , ка к был о выш е указано , м ы може м принят ь Vx (х , 8, t) равны м U (х , t), a {dvxfdy)y = & може м заменит ь нулём . В результат е получаетс я интегральное соотношение Кармана 0 0 о S i f v x d y + L f V 2 x d y U [X, t ) L f v x d y U { x , 0 3/4 = 0 0 о = _ ± i £ 8 - v ( ^ J L ) , (30.6 ) P д у \ дх J y ^ 0 v > которо е в частно м случа е установившегос я движени я имее т вид : о о у Подчеркнё м ещ ё ра з приближённы й характе р эти х соотношений , выво д которы х основывалс я на отбрасывани и некоторы х малы х ве личин . § 30] ИНТЕГРАЛЬНО Е СООТНОШЕНИ Е КАРМАН А И ЕГО ОБОБЩЕНИ Я 55 9 Са м Карма н получи л уравнени е (30.6 ) путё м применени я закон а количест в движения 1 ) . Выведе м эти м методо м уравнени е (30.6) . Пуст ь крива я KK , уравнени е которо й ест ь .V = S (х , t), (30.8 ) ограничивае т област ь пограничног о сло я о т област и внешнег о потен циальног о течени я (рис . 176) . Рассмотри м объё м жидкости , вырезае мы й из пограничног о сло я ординатам и AB и A1B1 (ка к всегда , тол щин у жидког о сло я в направлении , перпендикулярно м плоскост и чертежа , принимае м равно й единице) . Пуст ь AA1 = dx. Количеств о движени я вырезанног о сло я (в направлени и ос и Ох) , очевидно , равн о • У K = j pvx dy d x . (30.9 ) П о закон у количеств а движения , измене ние количеств а движени я какой-либ о си стем ы точе к равняетс я импульс у все х внешни х сил , действовавши х на точк и системы . Изменени е за врем я dt количеств а * в J V, 8 А dx 4 ^ Рис. 176. движени я систем ы частиц , заполнявши х в начал е этог о промежутк а времен и объё м ABB1A1, складываетс я из дву х частей . Прежд е всего , в случа е нестационарног о течения , происходи т изменени е скорост и в каждо й точк е пространства ; в сил у этог о обстоятельств а м ы полу чаем за врем я dt приращени е количеств а движени я рассматриваемог о объём а жидкост и на величин у d,K = dx dvx dt dt dy. Ho , кром е того , нужн о имет ь в виду , чт о за врем я dt некоторы е частицы , составляющи е на ш объё м в начал е этог о промежутк а вре мени , уйду т из предело в област и ABB1A1, количеств о движени я эти х части ц нужн о причислит ь к d x K . Наоборот , количеств о дви жени я те х частиц , которы е вошл и внутр ь област и ABB1A1 за врем я dt, над о вычест ь из d1 К или , чт о т о ж е самое , счита я количеств а вхо дяще й в област ь жидкост и отрицательными , нужн о за d2K принят ь количеств о движения , выносимо е чере з конту р ABB1A1. Чере з AA1 протекани я жидкост и не т совсем , чере з A1B1 выноситс я / PVr >х dy dt x+dx ') Karman , Uebe r Iaminare und turbulent e Reibung, Zeit. fur ang. Math , "iid Mech., т. I, 1921, стр. 233-252. 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II чере з АВ \ Cj - / PVjr • vX dy dt. о Итог о чере з AB и AxBx выноситс я количеств о движени я жидкост и о L f PV2 dy dt dx. о Ясно , далее , чт о чере з ^ 1 B 1 и AB вытекае т количеств о жидкост и L J p V x dy dt dx\ о следовательно , тако е ж е количеств о жидкост и должн о втекат ь чере з конту р BBv Н о на контур е BBx м ы имее м равенств о Vx==U, иб о на границ е пограничног о сло я KK скорост ь Vx переходи т в скорост ь U внешнег о потенциальног о потока . Итак , чере з BBx выноситс я коли честв о движени я и, значит , ~ ~ и ж / Pvxdydtdx о d2K = L f pvxdydtdx-U L j* pvxdydtdx. о о Итак , полно е изменени е количеств а движени я рассматриваемо й систем ы точе к равно : / О О f dK= dxK+d2K=dx dt\ J P ^ f d y + L r J рг,2 d y U A f pVx d y J . I o б 0 J Подсчитае м тепер ь импуль с внешни х сил . Прежд е всего , на отрезк е AA1 действуе т сил а трения , величин а которой , отнесённа я к единиц е площади , равн а ( 3 0 Л 0 ) причё м зна к мину с берётс я потому , чт о т0 ест ь напряжени е на стенке , а на с интересуе т сейча с обратна я п о направлени ю сил а воздействи я на частиц ы жидкости . Умножа я предыдуще е выражени е на величин у § 30] ИНТЕГРАЛЬНО Е СООТНОШЕНИ Е КАРМАН А И ЕГ О ОБОБЩЕНИ Я 56 1 площад и 1 • dx и на промежуто к времен и dt, получи м выражени е импульс а сил ы трени я - i0dxdt = - j* ( ^ f ) dx dt. Мы имеем , далее , сил ы давления , приложенны е к AB, BB1 и AlBi (соответствующим и силам и вязкост и можн о пренебречь) . Проекци и эти х сил на ос ь Ox равн ы соответственн о {РЬ)Х, pds . ^ = pdb, -(РЬ)х_..dx = ( p b ) x a (pb), (30.li ) где ds = BBx и dbjds ест ь сину с угла , которы й BB1 составляе т с ось ю Ох. Сумм а эти х проекци й равн а ( p i ) x + p d b (pi)x d (pi) = b d P = b ^ d x , импуль с ж е эти х си л буде т раве н - 8 ~ dx dt. дх Приравнива я dK полном у импульс у все х си л - x^dxdt - 8 dx dt, приходи м к требуемом у равенств у о 8 о / + K d y V ^ f pv x d y = - 4 b ^ . (30.12 ) 0 0 0 Есл и тепер ь воспользоватьс я формулам и (30.10 ) и (30.3) , т о по лучим соотношени е 1 f PVx dy + £ f pvl d y U 1 / pvx d y p U ^ = 0 0 0 - " • < ЗОЛЗ ) т . е. мы внов ь докаже м формул у (30.6) . Придади м полученном у интегральном у соотношени ю ещ ё ину ю форму , а именн о такую , в котору ю входя т интеграл ы п о у , взяты е п о всем у бесконечном у интервал у о т 0 д о со . В это м случае , чтоб ы обеспечит ь сходимост ь интегралов , над о рассматриват ь вмест о Vx е г о отклонени е о т предельног о значени я U , а именн о пуст ь буде т U - vx = q, (30.14 ) 3 6 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II тогд а будем , очевидно , иметь : J V2x dy== J {U2-2qU+q2)dy =U2I-2U J qdy + f q 2 d y , 0 0 0 0 'i о 6 J Iil. dy = j (U- q)dy = U b j q dy, 0 0 0 поэтом у равенств о (30.13 ) принимает , посл е просты х вычислений , форму : О 0 0 0 P дх \ ду )у=0 1 Н о дл я потенциальног о течени я м ы имее м соотношени е тг + ° £ = (30л5> являющеес я следствие м первог о и з уравнени й гидромеханик и идеаль но й жидкости . Поэтом у в предыдуще м уравнени и члены , содержащи е множите ле м 8, взаимн о сокращаются . В оставшихс я члена х м ы може м поло жит ь 8 = оо , тогд а получи м точно е равенство : LAJ LAJ LAJ UU д_ 2 dt f q d y + U ± f q d y + 2 ^ f q d y - ^ f q 0 0 0 0 d y = ' ( W I r f • (30Л6 ) В стационарно м случа е пропадае т первы й чле н лево й част и равен ств а (30.16) , и уравнени е эт о принимае т вид : LAJ LV -I и 4 f q d y + 2 U ' f q d y ~ f q2dy = ^ . (30.17 ) ах Введё м внов ь толщин у вытеснени я п о формул е (30.1) , а такж е неко тору ю длин у 8**, котору ю называю т "толщино й потер и импульса" : U2Vf = J Vx (U vxu/y. §30]ИНТЕГРАЛЬНО Е СООТНОШЕНИ Е КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИ Я 56 3 Toi да , та к ка к СО СО OO / q d y = f (U-Vx)Cly = U f ( l ^ ) d y = U b * O O о и ^j O OO OO OO / q2dy = f ( U v x ) q d y = U f q dy U2 f ^ ( l ~ ^ ) d y = о о o o - U4* - U4**, м ы найдём , посл е просты х вычислений : ^ + £ ( 2 8 + 8 ) = ^ . (30.18 ) Эт а форм а соотношени я Карман а был а предложен а Прандтлем . М ы воспользуемс я е ю в приближённо й теори и пограничног о слоя . Л . С . Лейбензо н указал , чт о можн о получит ь интегрально е соот ношение , аналогично е соотношени ю Кармана , исход я из закон а энер гии >). Приведё м выво д интегральног о соотношени я Лейбензон а дл я случа я установившегос я движения . Вырезая , ка к выше , из погранич ног о сло я объё м жидкости , ограниченны й ординатам и AB и A1B1 (рис . 176) , дл я живо й сил ы этог о сло я буде м имет ь выражение : T = j* ~ d y d x , (30.19 ) о иб о составляюща я Vy очен ь мал а п о сравнени ю с Vx. Изменени е за врем я dt живо й сил ы частиц , составляющи х вырезанны й объём , слагаетс я и з живо й сил ы / P А •vxdydt) UM)J /' I x+dx выносимо й чере з AlBv живо й сил ы "2 - j" рЦ • Vx dy dt, ') Л е й б е н з о н Л. С., Энергетическа я форма интегрального условия и теории пограничного слоя, Труды ЦАГИ , вып. 240, 1935. 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II выносимо й чере з AB , и живо й сил ы - f PVx d y d t d x , о выносимо й чере з BB1. Поэтом у полно е изменени е живо й сил ы рас сматриваемо й систем ы точе к равно : I d г V6x U2 d р 1 d T = d x d t { j р-~ d y j -J^ J I o о J Подсчитае м тепер ь работ у внешни х си л на контур е AAxBlB. Работ а си л вязкост и на отрезк е AA1 равн а нулю , та к ка к скорост ь жидкост и на AA1 обращаетс я в нуль ; на прочи х частя х контур а работо й си л вязкост и можн о пренебречь . Работ а си л давлени я на контур е AA1B1B выражаетс я интеграло м - J p v n ds d t , AAlBiB гд е п ест ь внешня я нормал ь к контуру . Н о п о формул е Гаусс а J pvn d s = j j di v ( p v ) d x d y , с s гд е 5 ест ь площадь , ограниченна я контуро м С; дале е di v (pv) = р di v v -j gra d p • v, и в наше м случа е di v v = 0 , а р зависи т тольк о о т х, та к чт о grad/ ? V = ^ v x . Поэтом у искома я работ а си л давлени я равн а о d A = - I" p v n d s d t = - d x ^ j" v x d y d t . AA1B1B о Ка к м ы знаем , работ а приложенны х к частица м вязко й жидкост и сил расходуетс я не тольк о на увеличени е кинетическо й энерги и эти х частиц , н о часть ю диссипируется . Функци я диссипаци и E (см. § 7) в наше м случа е упрощаетс я на основани и (7.7) , принима я следую щи й вид : ' Ovx \ 2 §30]ИНТЕГРАЛЬНО Е СООТНОШЕНИ Е КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИ Я 56 5 ибо остальны е слагаемые, , входящи е в Е , мал ы п о сравнени ю с напи санным . З а врем я dt в рассматриваемо м объём е жидкост и рассеи ваетс я количеств о энергии , равно е ('оставля я равенств о dB = d t d x f V ( ^ f ) ' d y . 5 dT = dA-dB, приходи м к интегральном у соотношени ю Лейбензона : O G ' , S d Г !jVx U2 d Г dp С Г ( dv, \ 2 Ж J T d V T U j r v * d y = d 7 j ^ d y V J ^ J dy. О О O O (30.20 ) Эт о соотношени е може т быт ь выведен о такж е непосредственн о из основны х уравнени й Прандтл я (29.9) . В . В . Голубе в указал , чт о из эти х уравнени й можн о получит ь даж е ещ ё боле е общу ю форм у интегральног о соотношения . В само м деле , умножа я об е част и уравнени я dvx , dvx 1 dp d3vx V x l b r ~ T ~ V y dx на vkx и интегриру я посл е этог о п о у в предела х от 0 д о о, получим : /Vfe*+ . / v ; i S f * - № / " . < > + ' / 1 "у 0 0 0 0 Просты е преобразовани я дают : 1 Г " dvx Г ^vh+1 J VyVx ~ ~k + \ J = о О .... L_ f v > + i ^ L r f v _ - k + 1 k +1 J V ду а> - О а u k + l , "ч I 1 с ь 4.1 dvx , = J T T V ^ X . О) + J r r J v ^ j f d y ; о 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II вследстви е (30.4 ) и того , чт о можн о принят ь v x ( x , о ) = 6 / ( * ) , I ^ 1 3/4 ^ + / v и Н о ясно , чт о о цк + 1 к + -.1 [L db U f v d v , А ± 2 f v k + i d v ^ d v dx dx J u X и у . ^ * + 1 J vX дх а у о 6 dv v d г и к f 2 I 1 T Z ь / - <ъ Г • d y dx J Т+2аУ k+2 dx Далее , интегрировани е п о частя м даёт , вследстви е тог о чт о ((r)лг)у=о = 0 , = 0 , следующе е соотношение : \ ду /у=5 Поэтом у окончательн о пр и любо м положительно м k получаем : о . л с d dx / vx•*+2 иUкR++> \ аd Г F+T d^ ~~ Т+Т J V x d y о о о S = - 7 3/4 / ( 3 0 - 2 1 ) о о Пр и k = 1 получаем , в частности , интегрально е соотношени е Лей бензона . § 31 . Уравнени я теори и пограничног о сло я дл я сжимаемо й жидкости . Рассуждени я Прандтл я м ы може м легк о обобщит ь на случа й сжимаемо й жидкости . Ка к и раньше , рассмотри м дл я простот ы случа й плоско-параллельног о течени я и предположи м отсутстви е внешни х сил . Уравнени я движени я (4.8 ) приму т вид : 1 d v r dvr dp ух •Ч dt J d v y Vх дх dv., V + v V d f ) dvy дх д£ху ду 1 дРуу (31.1 ) (31.2 ) Р U R х dx + v дх ду ' 31] УРАВНЕНИ Я ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я ДЛ Я СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 56 7 приче м по (3.4 ) dvjc dv, У dvx dvy "ух - Pxy r \ dy '' дх dvv dvx (31.3 ) Уравнени е неразрывност и даст : d p d f v x dpv. dt ~ дх ~ dy = 0 . (31.4 ) Введё м внов ь в рассмотрени е 8 и I ка к в § 28 . Есл и в уравнени и (31.4 ) вс е члены-одног о порядк а и есл и V ест ь характерна я ско рост ь рассматриваемог о течени я (Vx), т о снов а мы должн ы считать , что внутр и пограничног о сло я Vy имее т порядо к VS// . Н о тогд а четыр е член а право й част и (31.1) , содержащи е производны е о т ско росте й п о координата м дх ^г(^) . "^3/4-) ' имею т соответственн о порядо к (к и [д. имею т оди н и то т ж е порядок) : V 1 VS V VS f x T 2 " ' f x T T T ' f x ^ ' ^ " S P ' и мы должн ы оставит ь из ни х лиш ь оди н - трети й - и записат ь вмест о первог о уравнения : n(dv* L7, dvX I_" dvx\ dp , д / dvx\ П1 г Та к ж е ка к и в несжимаемо й жидкости , вс е член ы лево й част и (31.5 ) имею т оди н и то т ж е порядо к р V 2 / / и опять , п о Прандтлю , мы при мем, чт о р V 2 / / и p.V/82 имею т оди н и то т ж е порядок . То т ж е по рядо к имее т чле н др/дх. Обратимс я тепер ь к уравнени ю (31.2) . Порядо к членов , содержа щи х коэффициен т вязкост и и стоящи х здес ь справа , т. е . члено в д ( ^vx \ д j dvy \ д Г dvx ] д ( dvy \ S Z V W ) W 2 ^ ' W I~5у~1 буде т V VS V V V W V-Ib соответственно . Максимальна я и з ни х ;xV//8, а это , п о принятом у Уже нам и допущени ю Прандтля , вс ё равно , чт о pV 2 8// 2 . Тако в ж е 56 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И ггл . и порядо к членов , стоящи х слева . Итак , dpjdy имее т порядо к pV2b/l2, а др/дх- порядо к pV2/l. Отсюд а заключаем , ка к и в случа е не сжимаемо й жидкости , чт о второ е уравнени е движени я заменяетс я соотношение м Уравнени е неразрывност и остаётс я бе з изменения : 0 . (31.7 ) Посмотри м теперь , ка к видоизменитс я в погранично м сло е уравнени е приток а тепл а (10.6) . В случа е плоско-параллельног о движени я и пр и S = O уравнени е (10.6 ) перепишетс я в виде : (дТ . дТ . дТ\ . ( d p . dp . др\ д ( дТ\ д ( дТ\ ( (dvx dv"\2 =id * ж)+iH* ^)+- WT+^ ) + + Ч Ш + Ш + ^ + т (""•" И з дву х членов , содержащи х коэффициен т теплопроводности , мы должн ы в погранично м сло е сохранит ь один : д ( , дТ ду \ ду Очевидно , далее , чт о из все х членов , содержащи х коэффициент ы вязкости , останетс я лиш ь Принимая , наконец , в о внимани е (31.6) , м ы получи м уравнени е при ток а тепл а в теори и пограничног о сло я в виде : \ dt + V x dx ^ vy dy ) \ dt ^ v* dx J *-&(*%)++(%-)'• (3L 9 > Уравнени ю этом у м ы може м дат ь ещ ё другу ю форму . Встави м др/дх из (31.5) . Производ я совершенн о элементарны е преобразования , по § до] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО И ВДОЛ Ь ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 56 9 лучим окончательно : ? (4 ( Е с ' т + 4 ) М Е с т + 4 ) + ' , 4 r ( E c ' T + ¢ ) } О"-" " г д е E = -L- механически й эквивален т тепла . В заключени е этог о параграф а получи м ещ ё интегрально е соот ношени е Карман а дл я сжимаемо й жидкости . Дл я этог о запише м сперв а (31.5) , привлека я уравнени е неразрывност и в вид е d?vx dov2x д?ухуу _ др д / dvx \ dt ~> дх ду дх "т" ду Vfx ду ) ' и проинтегрируе м п о у о т 0 д о 8: о о Н о из уравнени я неразрывност и следует , чт о f % а У + 1 ^ r + (!",),* = О- (31.12 ) о о Обозначая , ка к и прежде , ( V x ) y s s i = U , вставля я (Pf j l ) i из (31.12 ) в (31.11) , вынос я дифференцировани е из-по д знако в интеграло в и производ я сокращения , получим : - Й Г, 5 ЪТ / Pv* dy + ~ / ^2 dy U A j рvxdy U A f р dy = 0 0 0 0 = ~ Ь А . ( V ^ • (31.13 ) дх \ ду Jу=о Эт о и ест ь интегрально е соотношени е Карман а дл я сжимаемо й жидкости . Пр и c/ = const. , p. = const , он о автоматическ и перейде т в (30.13) . § 32 . Пограничный слой в несжимаемо й жидкост и вдоль плоско й пластинки . Переходи м тепер ь к исследовани ю конкретны х случае в движени й в погранично м слое . Пуст ь плоска я пластинка , бесконечн о длинна я в направлении , пер пендикулярно м к плоскост и чертеж а (рис . 173) , движетс я с постоянно й 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II скорость ю U в направлени и отрицательно й ос и Ох. На м удобне е буде т обратит ь движени е и рассматриват ь обтекани е пластинки , расположенно й вдол ь ос и Ох , равномерны м потоком , имеющи м постоянну ю скорост ь (J . Очевидно , в основно м поток е м ы имее м отсутстви е градиент а давлени я ах и поэтому , предполагая , чт о м ы имее м дел о с несжимаемо й жидкость ю и с о стационарны м ламинарны м пограничны м слоем , може м написат ь основны е уравнени я в виде : Svx dvx d2vx dvr dv,, = l f + ^ = 0 - ( 3 2 1 ) Ввод я функци ю ток а ф (х , у) , буде м иметь : и перво е уравнени е (32.1 ) даё т тогд а tt y д2^ _ _ d 2 ^ _ _ ^ ду дх ду дх ду2 ду3 (32.3 ) Н о ясн о теперь , чт о ф, кром е х и у , може т зависет ь тольк о о т U H v . Следу я Блазиусу') , м ы введё м вмест о ф безразмерну ю величин у С п о формул е ф = V ^ U x С, (32.4 ) а такж е безразмерну ю величин у Предположи м теперь , чт о С зависи т тольк о о т Ь С = / " ) . Просты е вычислени я показывают , чт о есл и мы условимс я штрихам и обозначат ь производны е п о т о = V v U x U / ^ = V V , v y (32.6 ) х ^ ' ) B l a s i u s H., Orenzschichte n in Fliissigkeiten mit kleiner Reibung, Zeit. fu r Math , und Phys. , 56 (1908), стр. 1-37. §до]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО И ВДОЛ Ь ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 57 1 Подставля я эт и значени я в уравнени е (32.3) , посл е сравнительн о просты х вычислени й найдё м обыкновенно е дифференциально е урав нени е дл я определени я С: 2:'"-КС " = 0 . (32.7 ) Граничны е услови я Vjc = Vy = O пр и у = 0 даю т нам вследстви е соотношени й (32.6) , чт о C = O, C = O пр и & = 0 , (32.8 ) гранично е ж е услови е Vx=U пр и у = с о показывает , чт о C = I пр и S = CO. (32.9 ) Итак , над о интегрироват ь уравнени е (32.7 ) третьег о порядк а пр и трё х граничны х условия х (32.8 ) и (32.9) . Решени е это й задач и м ы уж е привел и выш е (см . § 20) . Эти м решение м сейча с и восполь зуемся . Напомни м тепер ь ещ ё ра з наш и обозначения . П о первом у из уравнени й (32.6) : С (£) = -£. , (32.10 ) по уравнени ю ж е (32.5 ) ^ У } ^ (32.11 ) Заметим , чт о в рассматриваемо й задач е мы не имеем в наше м распоряжени и характерно й длины ; рассматрива я пограничны й сло й в мест е пластины , соответствующе м координат е х, м ы може м при нять числ о Рейнольдс а равны м н тогд а R = , (32.12 ) V s i / H . Таки м образо м % пропорциональн о координат е у . Приведё м тепер ь таблиц у (см . таблиц у IV), составленну ю Пракд тле м на основ е вычислени й Тёпфера , и дади м (рис . 177) , распреде лени е скорост и в погранично м слое . Та к ка к в основ е теори и по граничног о сло я лежи т предположени е о том , чт о числ о Рейнольдс а R очен ь велико , т о из формул ы (32.12 ) явствует , чт о м ы не може м применят ь полученны е результат ы к самом у кра ю пластинки , гд е х имее т малы е значения . Прежд е чем идт и дальше , сопостави м решение , полученно е здесь , с решение м в точно й постановк е ( § 20) . В качеств е независимо й 57 2 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И ггл. и Т а б л и ц а IV С (;) ,9878 ,9916 ,9943 ,9962 ,9975 ,9984 6,0 0,9990 переменно й в § 2 0 фигурировал а величин а Ш UJ гд е X = ^ f x , Y = J f y (см . (20.5 ) и (20.19)) . Есл и Y X ( Х > 0 , л [ Х ( 1 + & + ) Х V Г TT Y > 0) , ТО \ = Х J - ± £ L ^ ^ J = = у л/ JL . г 2 2 / X ^ " I X Таки м образом , есл и тольк о аргумент , введённы й в § 20 , буде т совпадат ь с независимы м переменны м теори и пограничног о слоя . iК/ ром е того , та к ка к X1 =-^ 1 л\ Г j~j лу Г V ЦX^ - > т0 Д л я Y <^Х имее м ~ Y X = Y x Таки м образом , дл я Y § до] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО И ВДОЛ Ь ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 57 3 имеем по (20.9 ) ^есл и ограничитьс я первы м членом ) ^ = V х f • или по (20.19 ) i -' V х ^ ( у ) • и м ы придё м к формул е (32.4) . vv 1 Г47 Отметим , чт о п о Блазиус у Iim - = H m ^ J / - ( 3/4 ' - С ) , или , у со и ^ u 1 2 н а основани и (20.41) , Iim ~ = - J/^TT" " ^ у OO U 2 V Ux ' ~ V x УТ ' Wv в то врем я ка к в точно й постановк е Iini --- > 0 . Различи е в рас У->с о ^ пределени и значени й Vy видн о из сравнени я рис . 16 5 и 177 . Чтоб ы вычислит ь сопротивление , испытываемо е пластиной , най дём сначал а л ^y /V= OW но вследстви е предыдущи х форму л поэтом у 1 O / = (32.13 ) Есл и пластинк а имее т ширин у b и длин у / , т о суммарно е сопро тивление , испытываемо е ка к верхней , та к и нижне й сторонам и пла стинки , буде т равно : i W = 2b V W ^ Г = V W M , у х т. е. о W= l,328l> ViW^l (32.14 ) Ввод я коэффициен т сопротивлени я п о формул е W = C w F I p t / 2 , (32.15 ) гд е F = 2Ы, получим : с . = 1 , 3 2 8 / ^ = ^ . (32.16 ) где R = /t// v ест ь числ о Рейнольдса . Полученно е значени е коэффи циент а сопротивлени я хорош о согласуетс я с коэффициентами , най денным и и з эксперименто в на д гладким и пластинкам и дл я чисе л р ейнольдса , не превосходящи х 3 • IO5 . 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Определи м ещ ё толщин у пограничног о слоя . Вычисли м величин у §*, определённу ю формуло й (30.1) : со Ь* = 7/ f о П о формула м (32.21 ) и (32.22 ) СО ^ = z V T T / о произвед я вычисления , получим : ' = 1 , 7 2 / " 3/4 . (32.17 ) Толщин у пограничног о сло я можн о принят ь равной , например , 38*, ка к рекомендуе т Прандтль ; тогд а буде м иметь : 8 = 5,2 . (32.18 ) Таком у 8 соответствуе т i = 5 , 2 , т . е . по вышеприведённо й табличк е отклонени е скорост и о т скорост и внешнег о поток а на '/г/б Примени м тепер ь к рассматриваемо й задач е мето д использовани я интегральног о соотношени я Кармана . Та к ка к м ы имее м дел о с уста новившимс я движением , в которо м дх т о основно е уравнени е теори и Карман а (30.7 ) напишетс я так : d_ dx f v l d " L / ^ f v ^ d y - ( 3 2 Л 9 ) Есл и б ы нам был о известно , чт о распределени е скорост и внутр и пограничног о сло я определяетс я формуло й гд е V j t = U f ( 4 ) = U f (Tj), т о м ы имел и б ы s f vl dy - U J v , Лу = U4 j [/I (•,) / (,)] dr, = - iW8. § до] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО И ВДОЛ Ь ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 57 5 гд е дл я краткост и введен о обозначени е 1 Далее , T = / ( / - / V l - (32.20 ) о поэтом у уравнени е (32.19 ) принимае т вид : do ^ W f (0) ' dx' о (3 2 ' 21 ) откуд а § db _ i f (0) dx -ft/ ' Интегриру я эт о уравнени е и считая , чт о S = O пр и х = 0 , по лучим : Та к ка к вследстви е форму л (32.32 ) и (32.33) : _ Ii-Uf (Q) _ , / " M f m u Y l o ^ U y j y s 0 - a V 2х ' т о дл я сопротивления , испытываемог о с обеи х сторо н пластинко й ширин ы b и длин ы I, м ы получи м формул у I W = 2b f W/ ' (0) ^ 3 T d x = 2b Y2цр/' (0 ) U3^l; (32.23 ) о в ино й форм е эт о соотношени е принимае т вид : , г а = / ж ж . ( 3 2 . 2 4 ) Наконец , дл я определени я величин ы 8* мы имеем , согласн о формул е (30.1) : I §*=8 J1I -f (Tftdrl. (32.25 ) о Основна я иде я метод а Карман а состои т в том , чт о вмест о тог о чтоб ы отыскиват ь точны й ви д функци и f (г\), можн о задат ь ви д это й Функции . Есл и м ы правильн о схвати м общи й характе р распределе ния скоросте й в погранично м слое , т о получи м хороше е приближени е К а к дл я зависимост и 8 о т х , та к и дл я численно й величин ы коэф фициент а сопротивления . 57 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И ГГЛ TI Отсюд а видн ы и положительны е и отрицательны е сторон ы метод а Кармана . Это т мето д хоро ш тем , чт о о н требуе т горазд о мень ши х вычислени й п о сравнени ю с точным и методам и интегрирова ни я дифференциальны х уравнени й теори и пограничног о слоя . Пло ха я ж е сторон а метод а Карман а состои т в том , чт о о н приме ним , в сущност и говоря , тольк о к те м случаям , когд а м ы имее м плавно е распределени е скорост и в погранично м слое , та к ка к тольк о в эти х случая х м ы може м ожидать , чт о задаваема я с до вольн о больши м произволо м функци я /(г; ) отрази т общи й характе р течени я в погранично м слое . Поэтому , в сущност и говоря , м ы должн ы довольн о мног о знат ь о характер е течени я в погранично м слое , чтоб ы имет ь возможност ь применят ь мето д Кармана . В наше й задач е м ы имее м дел о с очен ь плавны м распределение м скоростей , и потом у м ы должн ы ожидать , чт о мето д Карман а дас т хороши е результаты . В само м деле , примем , например , чт о /(T i ) = T]; (32.26 ) эт о обеспечивае т на м пр и у = Q vx = Q, а пр и у = 8 Vx = U, ка к и должн о быть . М ы буде м тогд а иметь : I •i = j \ ( l -*!)//* ) = ^ i / ' ( O ) = I 1 о поэтом у формул а (32.33 ) даёт : 8 = 2 -JJ - 3,46 4 -JJ . (32.27 ) а п о формула м (32.34 ) и (32.35 ) W= 1,1551? V v W s , с = L I l . (32.28 ) K R Наконе ц дл я о* имее м формулу : I 8* = 8 f ( 1 - у;) = I S = 1,73 2 (32.29 ) о почт и совпадающу ю (конечно , случайно ) с формуло й (32.28) . Возьмё м тепер ь распределени е скоросте й п о парабол е третье й степен и / (TJ ) = А + Bri F CTJ 2 -F DTJ 3 1 причё м выбере м следующи е граничны е условия : vx - 0" f / = 0 пр и у = Q vx = U, L f = O пр и у = 8, (32.30 ) последне е и з которы х выражает , чт о на внешне й границ е погра ничног о сло я н е тольк о vx, н о и dvxjdx плавн о переходя т в соот § до] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО И ВДОЛ Ь ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 577 венл'вгюшд е значени я внешнег о потенциальног о течения . Второ е из взяты х нам и пограничны х услови й сраз у вытекае т из первог о урав нени я (32.1) , есл и заметить , чт о пр и у = 0 ка к vx, та к и Vy должн ы обращатьс я в нуль . Просто е вычислени е показывает , чт о над о взят ь 3 ту V - -о T (32.31 ) н дале е 1 T= f / О Л dr> = 39 28 0 ' / 4 0 ) = 1, / [ 1 / ( Y 1 ) M y = I следовательно , , / " 280v x 4 , 6 4 1 ° = У 1133/7, 1,293 = I Z r I E У 70к 8 V r • (32.32 ) Приме м ещё , чтоб ы показат ь приме р применени я уравнения(30.16) , следующи й зако н распределени я скорости : тогд а vx=U t h | , U V X = U ( 1 t h f ) , U J Ч dy - J Ч 2 dy = U4 J ( 1 - t h у;) t h ^ d r l . (32.33 ) Введё м нову ю переменну ю и заметим , чт о : = t h т) Ch 2 T 1 - Sll2 г; поэтом у ch 2 г. drj •• dl j = ( 1 - С ) ^ , Ch 2 г. iT 1 j ( 1 - t h T i )t h r,dr,= j ( l - c ) : r, J = f = г ; in ( i Ю Й 1 = i ~ i n 2 . 3 7 Теоретическа я гидромеханика , ч, {1 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Дале е dvx _ U 1 ^ ~ ch"оf ' поэтом у уравнени е (30.16) даё т на м ГП/ 1 . г, rfS U-U р У 0 I n 2 ) = ^ . откуд а " d o [Л 0 - In2)" и, следовательно , посл е интегрировани я а = } f 2'553 / I r • (32-34> Вычисляе м тепер ь сопротивлени е _ _ fj-f / _ , / " ^pi/3 (I - In 2 ) и следовательно , Г = 26 ]/"2(l - I n 2 ) ^ 3 / ; 3/4 1 , 56 7 6VuplU3, C w ^ Ц Е г . (32.35) T R Наконец , со 1 a * = " / ( I I h r i ) ^ = S / ( 1 - С ) J ^ r = О О 1 = S j = Sl n 2 = 1,77 ^ r - (32.36) о М ы видим , чт о величин а о* в о все х случая х получаетс я очен ь близко й к той , котору ю даё т точно е решение ; ошибк а в определе нии cw доходи т д о 20% , хот я в частно м случае , когд а з а f (rf ) выби раетс я полино м третье й степени , эт а ошибк а н е превышае т 4% . Ещ е ра з подчеркнём , чт о пр и применени и метод а интегральны х соотношени й м ы имее м очен ь большо й произво л в выбор е распре делени я скорости . Кром е того , остаётс я такж е произво л в выбор е интегральног о соотношения , которы м м ы може м воспользоваться . § 33 . Пограничный слой в диффузоре . Ламинарная струя . В качеств е второг о пример а применени я теори и пограничног о сло я в несжимаемо й жидкост и рассмотри м течени е в плоско м диффузоре 1 ) . ' ) P o h l h a u s e n К., Zu r naherungweise n Integratio n der Differentialglei chun g der laminare n Grenzshicht , Zeitschr . fur angew . Math , und Mech., 1 (1921), стр. 252-268. ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В ДИФФУЗОРЕ . ЛАМИНАРНА Я СТРУ Я 57 9 Пуст ь мы имее м плоско е течени е жидкост и межд у двум я плоским и стенкам и OAB и OCD, наклонённым и дру г к друг у по д угло м а (рис . 160 , стр . 461) . М ы буде м старатьс я придерживатьс я те х ж е обозначений , чт о и в § 17, в которо м вопро с о течени и в диф фузор е бы л рассмотре н вполн е строго . В соответстви и с эти м обо значи м чере з Q обильност ь источника , считаему ю положительной , есл и мы имее м дел о с расходящимс я течение м в диффузоре , и отри цательной-дл я случа я сходящегос я течения . Мы буде м рассматриват ь пограничны й слой , образующийс я вдоль , сторон ы OAB угла , и буде м отсчитыват ь координат у х вдол ь это й сторон ы о т точк и О. Тогд а дл я скорост и течени я идеально й жид кост и м ы буде м имет ь выражени е с = (ЗЗЛ ) М ы може м тепер ь из уравнени я Бернулл и определит ь градиен т давлени я 1 dp р dx U U ' Введ я функци ю ток а у) , из основног о уравнени я теори и погра ничног о слоя , получим : д ф д 2 ф Эф_ д2^ _ _ Q 2 д 3 ф - - - ) - -• 4 (33.2 ) Положи м ду дх ду дх ду1 ду3 (33.3 ) просты е вычислени я показываю т тогда , чт о д 2 ф дхду _ д ф 1 - ду = дх --9 S ду2 X2 (33.4 ) д 3 ф ду3 '' Поэтом у уравнени е (33.2 ) сильн о упрощается : - (С) 2 = - "^ r + Введё м дл я простот ы обозначение : Q "(9. (33.5 ) тогд а буде м имет ь уравнени е • и " = 1 (33.6 ) о7 * 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I и граничны е услови я м ( 0 ) = 0 , и (со ) = 1, (33.7 ) вытекающи е из (33.4) , вследстви е того , чт о пр и у = 0 (т . е . ? = 0 ) Vx должн о обращатьс я в нуль , а пр и у = с о (т . е . ^ = со ) Vx должн о обращатьс я в U = Qjах. Умножа я об е част и уравнени я (33.6 ) на и' и интегрируя , получим : J L и' 2 ^ C + и - J 1 (33.8 ) гд е С ест ь произвольна я постоянная . Пр и £-> с о величин а и по усло ви ю (33.7 ) стремитс я к единице , но тогд а из предыдущег о уравнени я ясно , чт о и' тож е стремитс я к определённом у пределу , и ясно , чт о эти м предело м може т быт ь тольк о нуль . Итак , C-j 1 5= 0 , откуд а с - з Н о ! + и - J ( и _ 1)2(М_|_2) , 3 ' 3 3 и значит , уравнени е (32.8 ) принимае т вид : тщ " и'2 = - [it - I) 2 (и -j 2) . (33.9 ) Та к ка к права я част ь всегд а отрицательн а в интервал е 0 < " < 1 , т о Q непременно должно быть отрицательно. Таки м образом , пограничны й сло й рассматриваемог о вид а може т образоватьс я тольк о дл я случа я сходящегос я течени я в диффузоре ; дл я случа я расходящегос я течени я таког о правильног о пограничног о сло я не получается . Эт и результат ы находятс я в полно м согласи и с тем , чт о м ы нашл и в § 16 . Дл я случа я сходящегос я течени я м ы може м продолжит ь вычисле ния дальше . Введём , ка к в § 17, числ о Рейнольдс а R = L . Замети м теперь , что вследстви е граничны х услови й (33.7 ) и должн о возрастат ь вмест е с поэтому , разреша я уравнени е (33.9 ) относи тельн о и', найдем : du ~d T = V r B o ° ) V 2 + ". du " V ^ J о (1i r- z и) У2 + и ' (33.10 ) §зз)ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В ДИФФУЗОРЕ . ЛАМИНАРНА Я СТРУ Я 58 1 Чтоб ы взят ь интеграл , соверши м подстановку : V 2 + u = q V ъ[ и = 3<72 -2, du = Qqdq; 1 - и = 3 (1 - q2). тогд а и Положи м дале е Г dU ^ Г 2 dq J (1 _ а ) V2+ H J VT(1 д 2 ) ' У аз и заметим , чт о есл и q венств о (33.10 ) даё т тепер ь , т о = In("|/" 3 -+-!/"2 ) = 1,146 . Pa R K - l n ("j/*3 -f У 2 ) . V 2 а Возвращаяс ь к переменно й и, найдём : и = 3 t h 2 [ l n ( / 3 + V 2 ) + ? / " | г ] 2 , и наконе ц п о формула м (39.4) , (39.5 ) и (39.3 ) ^ = I ] 2 } . (33.11 ) Преобразуе м нескольк о эт у формулу ; м ы имеем : t h 2 z = l - = 1 4 chs? (ег + е~У поэтом у предыдуща я формул а може т быт ь записан а и так : = _Q _ Г j 12 \ * ~ х * \ Г i V T I ( У з + у 2 ) е х Г ^ + С К З V T ) е x V 2 a J J (33.12 ) Эт а формул а являетс я совершенн о тождественно й с формуло й (17.44 ) § 17 ; в само м деле , дл я пограничног о сло я у/ х ест ь мала я величина , котора я с точность ю д о бесконечн о малы х высшег о порядк а определяе т угол , составляемы й OAB с радиусом , проведённы м и з точк и О в рассматриваему ю точк у пограничног о слоя . Н о в § 1 7 это т уго л выражалс я ка к ра з величино й а/ 2 - б. Заменя я в формул е (17.44 ) а/ 2 - 0 н а у/х , м ы опят ь получае м формул у (33.12) . Примени м тепер ь к рассматриваемо й задач е спосо б Мизеса , изло женны й в § 29 . В это м способ е з а независимы е переменны е берутс я и 6 , а з а функци ю берётс я Z = U 2 V 2 x . (33.13 ) 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Уравнени е (29.15 ) дл я определени я функци и z в наше м случа е принимае т вид : dz _ / Q2 d2z причём , чтоб ы Vx получилос ь положительным , м ы принимае м OAB з а отрицательную ось Ох, та к чт о в рассматриваемо й нам и област и х всюд у отрицательно . Граничны е услови я буду т имет ь вид : Z = S r "Р " ¢ = 0 , Z = 0 " ф = сю. Буде м искат ь решени е уравнени я (33.14) , имеюще е вид : тогд а функци я w должн а удовлетворят ь уравнени ю (м ы опят ь вводи м числ о Рейнольдс а R = - Q/v): 2 ю v2 R от" (33.16 ) V T = w а и граничны м условия м W ( O ) = I ; w (оо ) = 0 . (33.17 ) Умножа я уравнени е (33.16 ) на от', интегриру я и принима я в о внимани е граничны е условия , получим : w V 2 R , 2 Г Iw dw 2а J Y l W 0 ' Полага я ] / l -w = q, посл е просты х вычислени й получим : Lj V2R 2 л = / { \ q 2 ) d q = L q + ^ = l ( l q f ( 2 + q ) . \ Пр и возрастани и ф о т 0 д о о о изменени е q происходи т о т нул я д о единицы , поэтом у и з предыдущег о уравнени я находим : С ^dq ч V 3 R J 0 _ q ) Y 2 + i ' Сделае м теперь , ка к выше , подстановк у 2 -J-^ r = 3 th 2 щ, §зз)ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В ДИФФУЗОРЕ . ЛАМИНАРНА Я СТРУЯ 58 3 тогд а просты е вычислени я покажут , чт о V I l Z r L = A r f (3th 2 n - 2 )dv = V у 3 R У з . 1 In ( К 3 + > 2 ) V / ( 1 = I n ( К з + 1 / 2 ) + / б ) . in (V"3+V¥ ) П о формул е (33.13 ) мы определи м vx: V x = у 7 7 Г = 7 = А / Г ^ Г = L ? = А о t h * " _ 2 ) . ( з з . 18 ) Чтоб ы выяснит ь геометрическо е значени е введённог о нам и пара метр а v, найдё м у из уравнени я (29.18) : I у L I (3 th2w- 2) Ctv I f I L (3 th 2 w - 2) InO 3-)12 ) а Х Итак , в наше м движени и = Z X y r [ " i n ( / 3 + / 2 ) ] . где Ф = ~ 3 t h (r) I n ( / 3 + / 2 ) + 1 Л 5 } . (33.19 ) V = 1 " ( / 3 + / 2 ) ( 3 3 . 2 0 ) Дл я определени я H r имее м формул у (33.18) , дающую : = L r [ 3 th 2 [i n ( / 3 + / 2 ) J L J T ] _ 2 } (33.21 ) ч совершенн о тождественну ю с (33.11) , есл и учест ь перемен у обо значени й (х заменен о у на с на - х , a Vx на - v x ) . В задач е о диффузор е дл я скорост и течени я на внешне й границ е пограничног о сло я мы имел и выражени е Боле е общи й случай , когд а U = - . X U=kxm, (33.22 ) 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II допускае т совершенн о аналогичну ю трактовк у вопрос а *). А именно , вмест о (33.2 ) мы буде м иметь : д\, дЧ дф дЧ, пгк,х2ш-1 , .. ду дх ду дх ду2 '"'"' л "t^ V ду3 Полага я т-1 т +1 S = у х " ; ф = * ~ 2 С ( 0 . (33.23 ) м ы получи м дл я определени я C(S) обыкновенно е дифференциально е уравнени е тоС2 - CC" - vC " - mk = 0 (33.24 ) пр и граничны х условия х C(O) = C(O) = O; С(со) = у%. Н е останавливаяс ь на дальнейше м рассмотрени и получающегос я течения , замети м только , чт о дв а частны х случая , в которы х урав нени е (33.24 ) сильн о упрощается , а именно , случа и т = O (плоска я пластинка ) и т = - 1 (диффузор) , нам и уж е изучены . Рассмотри м тепер ь задач у о плоско м установившемс я движени и вязко й жидкост и в вид е струи , исходяще й из узког о отверстия 2 ) . Пуст ь в покоящейс я жидкости , расположенно й справ а от ос и Oy , распространяетс я стру я жидкости , исходяща я из узког о отверстия , находящегос я в начал е координат , и имеюща я ос ь Ox ось ю симметрии . Та к ка к поперечны е размер ы стру и весьм а мал ы по сравнени ю с продольными , т о м ы може м применит ь уравнени я теори и погра ничног о слоя . Конечно , ка к и в случа е пластинки , полученны е результат ы буду т пригодны , тольк о начина я с некоторог о удалени я от начал а координат . В вид у тог о чт о в покоящейс я жидкост и м ы имее м постоянно е давлени е и, следовательно , отсутстви е градиент а давления , т о дл я функци и ток а <1>(х, у ) м ы получае м т о ж е уравнени е д ф д'^ # ^ ^ , , (? 3/4 5 ду дх ду дх ду2 дуъ ' ка к и в случа е обтекани я пластинк и равномерны м потоком . Однак о граничны е услови я буду т тепер ь другими . А именно , на ос и Ox мы имее м условия : ^= L = O1 Vy = O пр и у = 0 , (33.26 ) ') F a l k n e r V. М. и Ska n S y l v i a W., Some approximat e solutions of the boundar y layer equations, Aeronautica l Research Committee , Reports and Memoranda , № 1314, 1930. 2I S c h l i c h t i n g H., Laminar e Strahlausbreitung , Zeitschr . fiir angew. Math ' und Mech., 13 (1933), стр. 260-263 и B l k c l e y W. 0. , The plan e jet, Phil . Mag. , 23 (1937), № 156, стр. 727-731. § зз) ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В ДИФФУЗОРЕ . ЛАМИНАРНА Я СТРУ Я 58 5 вытекающи е из симметри и движени я относительн о ос и Ох . Услови е па бесконечност и в данно м случа е принимае т вид : vx->0 пр и у->00 , (33.27 ) та к ка к основно й пото к отсутствуе т и, следовательно , U = O . Докаже м теперь , чт о количеств о движени я жидкости , проходяще е чере з кажду ю пряму ю х = хп, буде т постоянно й величиной , не зави сяще й о т х0. В само м деле , чере з элемен т dy прямо й х = х0 прохо ди т масс а жидкост и р Vx dy, несуща я количеств о движени я pvxvdy, проекци я которог о на ос ь Ox равн а pv1 dy. Вследстви е симметрии , нам достаточн о найт и проекци ю количеств а движени я жидкост и на ось Ох\ эт а проекци я имее т величин у M J pv2 dy = 2 J pv\ dy. (33.28 ) Н о из уравнени я (30.16) , в которо м над о положит ь U = О, § - - v X ' следует , чт о d f V2 dy = ' ибо первы й чле н в лево й част и уравнени я (30.16 ) пропадае т вслед стви е стационарност и движения . Итак , J V2 dy = const. , (33.29 ) т . е . количеств о движени я жидкост и M имее т действительн о постоян ное значение . Чтоб ы решит ь уравнени е (33.25) , положим , обобща я прие м Бла зиуса , упомянуты й в § 32 , \ = х"у; ф = X l 3 C (5) . Обознача я штрихам и производны е п о легк о найдём , чт о д<1 х ч Ov x _ с>гф _ ду ^ дTу2 = дЧ д3х3/4 "д.у'= ^ P - W 4 "С ' + [ЗСО, (33.30 ) 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Поэтом у уравнени е (33.25 ) принимае т вид : x2*+2?-i f(a-f-6)C / 2 - рCC"] = vx 3 ' f PC'". (33.31 ) М ы получи м обыкновенно е дифференциально е уравнени е дл я опре делени я С, есл и примем , чт о откуд а 2 a + 2fi - 1 = З а --j р, Р = а + 1 . С друго й стороны , услови е СО 2 J pv2 dy = M о приводи т к равенств у с о 2рх*+2? J С 2 d i = M, (33.32 ) о и та к ка к M не зависи т от х , т о необходим о положит ь a + 2 ^ = 0 . Реша я дв а полученны х уравнени я дл я а и р, находи м 2 Q 1 Итак , есл и м ы примем , чт о S = yx2 < 4 (33.33 ) т о дл я определени я C(S) м ы буде м имет ь вытекающе е и з (33.31 ) уравнени е С'2 + C C " + SvCw = O. (33.34 ) И з (33.26) , (33.27 ) и (33.30 ) вытекаю т граничны е условия , которы м должн а удовлетворят ь функци я C(S): C = O , С" = 0 пр и S = O, ) г , п ' ( 3 3 " 3 5 ) Уравнени е (33.34 ) очен ь легк о интегрируетс я C C + Sv C = C 1 . И з услови й (33.35 ) следует , чт о над о принят ь C 1 = O, та к чт о CC + 3-/С" = 0 . §зз)ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В ДИФФУЗОРЕ . ЛАМИНАРНА Я СТРУ Я 58 7 Э ю уравнени е опять-так и сраз у интегрируетс я L + 3 v y = C 2 . Та к ка к V ->0 пр и >со , т о значени е C 2 неотрицательно , положи м поэтом у Ь 2 Г - _ - 2 ' Итак , . о 2d v C = 6 2 - С2, ил и = ; интегриру я эт о уравнение , находим : b + r Ъ% . г Та к ка к C = O пр и 5 = 0 , т о C 3 = O. Поэтом у b - £ ' • ЬЕ - 6 V e3 v + l Дл я сокращени я письм а положим : b = 6va , тогд а находи м окончательны й результа т С ф = 6v a t h а\ . (33.36 ) Величин а а легк о выражаетс я чере з M путё м использовани я фор мул ы (33.32) : M = 2? J C2 н о C' = L _ L = 6 va 2 - -L С2; С = C(O) = O; C(co ) = 6va , поэтом у Итак , 6-/2 М = 2р J ( 6 v a 2 L C 2 ^ C = 48pv 2 a 3 . (33.37 ) о 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. I I Пользуяс ь выражениям и (33.36 ) и (33.33 ) дл я С (6), получаем : ф(х , у ) = бам*'/ t h (аух-'К). (33.39 ) Дл я проекци й скорост и легк о находи м выражени я 6 ча*х-'<' 2 Ch 2 Ozyx2 ' 3 ) ' Vy - 2v a 2аух Ch 2 Uyx 2 ' 3 ) • X2 Mh(^yx2 A ) (33.40 ) Рис . 17 8 даё т построенны е на основ е эти х выражени й лини и ток а и зависимост ь составляюще й скорост и Vx о т у в трё х сечения х струи . И з не ё ясн о видно , ка к стру я постепенн о захватывае т вс ё больше е и больше е количеств о жидкости . Легк о проверит ь эг о и аналитически . Количеств о жидкости , протекающе й чере з прямую , параллельну ю ос и Oy и от стоящу ю о т не ё на расстоя нии х , очевидно , равн о Q = P f V x d y = 2P f dy = -СО О СО = 2рх ,/ з J С d.\ = 2ох'/зч (со) ; н о С (оо ) = 6 va , Рис. 178. и, следовательно , Q=12pvax'A . (33.41 ) Это т процес с связа н с подтекание м жидкост и к ос и Ох , и дей ствительно , легк о видеть , чт о Iim Vy = - 2 vax2 ^ ; Iim vy = 2vax~ 2 '' 3 ; у > + OO У " СО эт о подтекани е наиболе е интенсивн о в непосредственно й близост и о т ос и Oy и убывае т п о мер е возрастани я х . § 34 . Приближённы е метод ы теори и пограничног о слоя . Отрыв слоя . Мето д Кочин а - Лойцянского . М ы уж е упоминал и выше , пр и обще м описани и теори и пограничног о слоя , чт о следствие м это й теори и являетс я возможност ь срыв а вихре й с поверхност и обтекае мог о тела . Это т фак т имее т кардинальну ю важность : в само м деле , в предыдущи х главах , пр и изучени и движени й идеально й жидкости , рассматривалис ь таки е теории , в которы х необходимы м элементо м являетс я наличи е вихре й или , вообще , циркуляций , отличны х о т нуля , ,34]ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 58 9 как , например , теори я вихревы х цепоче к Карман а ил и теори я обте к a 1111 я контур а плоски м потенциальны м циркуляционны м потоко м несжимаемо й жидкости . В рамка х сами х эти х теори й наличи е таки х Щ 1 ркуляций , отличны х о т нуля , не може т быт ь обосновано , ибо , ка к м ы знаем , в рассматриваемы х условиях , т . е . когд а жидкост ь иде альн а и несжимаема , а сил ы консервативны , вихреобразовани е невозможно . Таки м образом , с рассматриваемо й точк и зрения , значени е теори и пограничног о сло я состои т в том , чт о он а объясняе т появлени е вих ре й в жидкост и и те м делае т боле е обоснованным и некоторы е схем ы движени й идеально й жидкости , врод е вышеупомянутых . Нетрудн о тепер ь установит ь услови я дл я отрыв а слоя . Обозначи м чере з X0 координат у точк и отрыва ; рассматрива я кривы е распреде ления скорост и (рис . 172 , стр . 543 ) в различны х точка х обтекаемог о контура , м ы видим , чт о отры в сло я происходи т в то й точк е M3, в которо й происходи т смен а прямог о течени я на возвратное . Н о на самом контур е Vx = 0 , вблиз и ж е контур а Vx > 0 дл я х < X0 и Vx < О дл я х > X0 (предполагаем , чт о основно е течени е происходи т в напра влени и возрастающи х значени й х) . Поэтом у (%i=0 > 0 для х< х ° и (^ l L <° для x>x° Ясно , чт о мест о отрыв а сло я должн о определятьс я формулой : ( д у х \ \ ду /Lу = 0 = 0. Установи м ещ ё одн о условие , которо е должн о выполнятьс я дл я того , чтоб ы отры в сло я бы л возможен . В само м деле , в то й точк е контур а M3, в которо й происходи т отрыв , в о всяко м случа е должн о быт ь ^ f > 0 , (34.1 ) ибо профил ь скоросте й обращё н в это й точк е свое й вогнутость ю в направлени и течения . В о внешне й част и пограничног о сло я зна к кривизн ы меняется , и следовательно , в какой-т о из точе к профил я скоросте й м ы должн ы имет ь точк у перегиба . Услови е (34.1) , отно сящеес я к точк е M3, имее т просто е динамическо е истолкование . В само м деле , в точка х контур а Vx = Vy = 0 , поэтом у основно е уравнени е теори и пограничног о сло я дл я случа я установившегос я Движени я (29.9 ) даё т нам , чт о в точк е M3 Итак , дл я возможност и отрыв а сло я необходимо , чтоб ы на неко торо м участк е контур а давлени е возрастало , а та к ка к в о внешне м 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II потенциально м поток е давлени е р и скорост ь U связан ы формуло й р + Щ ^ = const. , т о предыдуще е услови е равносильн о тому , чтоб ы на некоторо м участк е контур а происходил о замедлени е основног о движения . Отмети м ещ ё т о обстоятельство , чт о пр и заданно м распределени и давлени я мест о отрыв а сло я определяетс я однозначн о и, следовательно , не зависи т о т числ а Рейнольдса , есл и тольк о последне е не скажетс я на распределени и давлени я в окружающе м потоке . Напротив , угол , по д которы м лини я отрыв а сло я M3N (рис . 172 ) наклонен а к контур у АКБ, буде т те м меньше , чем больш е числ о Рейнольдса . В само м деле , мы знаем , чт о пр и увеличени и числ а Рейнольдс а R толщин а погра ничног о сло я изменяетс я обратн о пропорциональн о корн ю квадратном у из числ а Рейнольдса ; такж е буде т изменятьс я и уго л NM3B. В пре дел е пр и безгранично м увеличени и числ а Рейнольдс а толщин а погра ничног о сло я обратитс я в нуль , мест о отрыв а сло я останетс я бе з изменения , и сры в вихре й буде т происходит ь п о линии , касательно й к контуру . Дл я нахождени я течени я в погранично м сло е и дл я определени я точк и отрыв а имеетс я ря д приближённы х методов . М ы остановимс я тольк о на некоторы х из них . В способ е Блазиус а предполагается , чт о мы имее м дел о с обте кание м симметричног о контур а бесциркуляционны м установившимс я потоком , имеющи м на бесконечност и скорость , параллельну ю ос и симметрии . Пр и эти х условиях , обознача я чере з д; длин у дуг и кон тур а о т точк и разветвлени я потока , буде м иметь , чт о U ест ь нечёт на я функци я о т х, разложени е которо й в ря д Тейлор а ест ь U = а^х + аъхг + а5хь-\ . . . (34.2 ) Просто е вычислени е позволяе т тепер ь определит ь Ж = а \ х + А W 3 + Ввод я функци ю ток а Ч г (.г , у) , та к чт о ( № гЖ ' v*=-5i г'у ~ дх ' (34.3 ) напише м основно е уравнени е Прандтл я в следующе м виде : d2W <№ д1W ду дх ду дх ду2 АЗф = v ^ F + a ? ' v + 4 a i a 3 ^ 3 + ( 6 a I f l 5 + З а з ) ^ 5 + •• • ( 3 4 4 ) Ище м формальн о решени е этог о уравнени я в вид е W = X^1 (У) ^ 3 ( у ) _j _ J f S cp g (у ) H . . . , (34.5 ) , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 59 1 где 'Iv Фз' • • • сут ь функци и одног о тольк о у. Слов о "формально " мы прибавляе м потому , чт о на само м дел е неизвестн о даже , можн о л и разложит ь W в ря д вид а (34.5) . Подставля я разложени е (34.5 ) в уравнени е и сравнива я коэффи циенты пр и одинаковы х степеня х х , получае м ря д равенств , из кото ры х мы выпише м тольк о первы е три : Ф;2-фж - Щ ь - M s = v C + 4 a I f l 3 ' '• (34.6 ) WM Ы = v C З'К 2 + 33/41/2 ' + 6 ^ + 3 4 Граничны е услови я Vx = Vy = O пр и у = 0, vx = U пр и у = со даю т дл я ^ 1 , ф3 и ф5 следующи е граничны е значения : ^ ( 0 ) = +((0 ) = 0 . Ф; (оо ) = в 1 ; Ф 3 (0 ) = Ф;(0 ) = 0 , Ф^(СО ) = Й 3 ; ф 5 (O ) = ^ ( O ) = О, = Введё м тепер ь безразмерны е величины , полага я у = ^ y r L L t ^ = V a 1 V f i i r l ) , ф з = 4 й з | / " ^ / з ( т г 1 ) , (34.7 ) 34.8 ) 1I LS s"C I) " а1а5 A 5 (I ) тогд а уравнени я (34.6 ) приму т вид : f i f l f i = /'"+1' 4 /;/ а - З/Г/ з - Д / з = * Ч /Г 6/ ; As Б / Л / Л " = т + А Г 8 (/' з Ш , а граничны е услови я (34.7 ) обратятс я в Z 1 (O ) = / ; ( 0 ) = 0 ; /J(CO ) = I ; / 3 ( 0 ) = Z 3 ( O ) = 0 ; ] (34.9 ) 1 1 / ; ( с о ) = т ; gs (0 ) = ^ ( 0 ) = 0 ; ^ ( с о ) = ^ ; } (34.10 ) flS (0 ) = Ag(O) = Aj(oo ) = 0 . j Задава я f\(0), можн о численн о проинтегрироват ь перво е из урав нений (34.9) ; путё м про б можн о определит ь т о значени е /J ' (0), пр и которо м окажетс я выполненны м гранично е услови е / | ( о о ) = 1 , 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Совершенн о та к ж е можн о поступит ь с остальным и уравнениям и (34.9) . В результат е получаетс я следующа я таблиц а значени й / J (T1)1 f3(vj), Т а б л и ц а V 0 , 0 5 - 0 , 0 5 - 0 , 0 4 - 0 , 0 3 - 0 , 0 3 - 0 , 0 2 0,0 0 0,0 0 Совершенн о аналогичн о определяютс я следующи е член ы разло жени я (34.5) . То т ж е самы й мето д може т быт ь применё н и к боле е общем у случаю , когд а распределени е скорост и на внешне й границ е погра ничног о сло я даётс я вмест о (34.2 ) формуло й U = а^х а 2 х 2 а я х 3 + . . . (34.11 ) Конечно , в это м случа е вмест о (34.5 ) над о полагать : ЧГ = Xtyl (у) -( х2<\2 (у ) + X 3 ^ 3 (у ) -f . . . (34.12 ) Возвращаемс я к рассматриваемом у нами случаю . Распределени е скоросте й в погранично м сло е выражается , есл и мы ограничимс я тольк о трем я членам и в (34.5) , формуло й ^ = " V = (у ) + х % (У ) + х% (у) = = OlXfl О) + 4 a s x*f' 3 (71) + 6 a s x Y s W + 6 ^ х% (rj). (34.13 ) Услови е дл я отрыв а сло я (^t.= 0 ^ 1 4 ' приводи т к соотношени ю а2 U 1 X f l (° ) + 4 а 3 х у ; (0 ) + 6 а 5 х % (0 ) + 6 ^ х % (0 ) = 0 , , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 59 3 но / ; ( 0 ) = 1,23264 , /; ' (0 ) = 0,7246 , ^ ( 0 ) = 0,637 , A5" (0 ) = .TJ= 0,12 , следовательно , дл я определени я мест а отрыв а получаетс я биквадратно е уравнени е 2 1,2326 4 O1 + 2,898 4 а3х -+-• ^3,S2 2 а--+ 0,7 2 х 1 = 0 . (34.15 ) Примени м это т результа т к круговом у цилиндру . Хименц 1 ) нашё л экспериментальны м путё м распределени е давле ния вдол ь контур а цилиндр а диаметро м 9,7 5 см пр и обтекани и ег о водяны м потоком , имеющи м скорост ь 19, 2 см/сек. Исход я и з этог о распределени я давления , Химен ц получи л следующе е распределени е скорости : U = 7,15 1 х - 0,0449 7 J t 3 0, 0003 3 х 5 , (34.16 ) где U даётс я в см/сек, х ест ь длин а дуг и цилиндр а о т точк и раз ветвления , измеренна я в сантиметрах . Применя я уравнени е (34.15) , находи м дл я точк и отрыв а X0 = 6,9 7 см, чт о даё т в углово й мер е 0 = 82° , в согласи и с о значением , получающимс я из опыта . Друго й приближённы й метод , которы й мы изложим , основа н на применени и интегральног о соотношени я Карман а и ег о обобщени й и бы л уж е использова н в § 3 2 пр и рассмотрени и пограничног о сло я вдол ь плоско й пластинки . Сущност ь метод а в применени и к этом у последнем у случа ю заключалас ь в том , чт о распределени е скорост и внутр и пограничног о сло я задавалос ь формуло й и зате м из интегральног о соотношени я Карман а получалос ь уравнени е Для определени я функци и §(х) . Таки м образом , в это м пример е профил и скорост и в различны х точка х контур а предполагалис ь подобным и межд у собой , и менялс я тольк о масштаб . В обще м случа е тако е предположени е недостаточно , и необхо дим о рассматриват ь боле е общи й клас с профилей . И з основны х уравнени й теори и пограничног о сло я dv x дх dvy = 0 ду (34.17 ) ) H i e m e n z К., Die Qrenzschich t an einem in den gleichformige n Flus ^kkeitsstro m eingetauchte n gerade n Kreiszylinder, Dinglers Polvtechnische s Journal, 328, 1911. 3 4 1 трогичоска и i ндромеханика . ч . II 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II н из того , чт о на контур е vx = vy = 0, бе з труд а получим , чт о на контур е имею т мест о соотношения : O2Vx _ _ U dU . д у у ду2 ~~ ч dx ' ду ~ ' продифференцирова в ж е перво е и з уравнени й (34.17 ) п о у , найдем , чт о на контур е буде т такж е дуз Итак , должн ы выполнятьс я услови я ^ = 0 . ^ = ^ ; ^ = 0 пр и у = 0 . (34.18 ) Обознача я толщин у пограничног о сло я чере з о, услови я плавног о переход а скорост и пограничног о сло я в скорост ь внешнег о потен циальног о течени я можн о записат ь в вид е ряд а равенств : V * = U " ^ f = 0 ' J P i = 0 " Р и = ^ 3 4 1 9 ) Положи в примем , следу я Польгаузену , чт о Vx представляетс я полиномо м чет вёрто й степен и о т TJ: v x = U (Л 0 + Л ,TJ + A2-Tf + Л 3 т, з f A r f ) . Дл я определени я пят и коэффициенто в этог о полином а восполь зуемс я двум я первым и условиям и (34.18 ) и трем я первым и усло виям и (34.19) , тогд а получим : г. , 1 S2^' л W л . W AI0 0 = Ov ,. A^ 1 1 =^ 2, -+ Tд - - , , (tm)A 2 -= 2"v-•, "A3з -= л 2 ч Введё м обозначени е Л^44 -= 1 1' I ( X ) . 1 S 2 t / ' 6 S 2 C/ ' (л: ) V тогда , посл е просты х вычислений , найдём : - vx = U (I --qf(\-\-L=Iy^. (34.20 ) Остаётс я определит ь 8(x ) или , чт о т о же , Х(х), дл я чег о восполь зуемс я интегральны м соотношение м Карман а (30.7 ) G О О U dx / ^ + ^ ' J l d y ^ J ^ d y = ^ ) ^ . (34.21 ) о ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 59 5 Произвед я соответствующи е вычисления , получи м дл я определени я функци и следующе е дифференциально е уравнени е первог о порядка : ^ = 4^+17 ^ (34-23) Г Л е _ 0,8 [- - 47,4X2 + 1670,4?- 9072] . S W - Х2 -J-5.76X - 213,12 ' 0, 8 [4,8X2 + к"} J W - 213,12 - 5,76Х - X2 ' причё м X над о заменит ь на ZU'. Интегриру я полученно е уравнение , дл я чег о над о знат ь начально е значени е 8(0) , найдё м Ь(х) и, следовательно , \ ( х ) , посл е чег о може м определит ь вс е элемент ы движения . Затруднени е возникае т в то м случае , есл и в начально й точк е пограничног о сло я м ы имее м крити ческу ю точку , т . е . есл и t/(0 ) = 0 . Чтоб ы права я част ь в уравнени и (34.23 ) оставалас ь конечной , необходимо , чтоб ы X(O) был о корне м уравнени я g(X ) = O. Корням и последнег о уравнени я являютс я 7,052 ; 17,7 5 и 70 . Последни й корен ь не годится , есл и U'(0) > 0 и нужн о принят ь X(O) = 7,052 , 8 (0 ) = / " 3/4 = 2,6 5 j / " чтоб ы межд у критическо й точко й и точко й минимум а давления , в которо й U' = 0 , и следовательно , Х = 0 , не лежал а точк а X = 12, в которо й права я част ь (34.23 ) обращаетс я в бесконечность . Услови е дл я отрыв а поток а пр и у = 0 приводитс я к обращени ю в нул ь коэффициент а A1, чт о буде т пр и X = - 12 . Вычисли м ещ ё толщин у вытеснени я r = v f V = ш ) о (3 4 ' 24 ) Тольк о чт о изложенны й метод , применённы й к круговом у цилин дру , даё т дл я рассмотренног о Хименце м случа я почт и т о ж е положе ние точк и отрыва , како е получилос ь у Хименца . Однак о распределе НИ е скоросте й получаетс я мене е удовлетворительным , особенн о в област и з а точко й минимум а давления . 38 * 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Можн о думать , чт о тольк о чт о рассмотренны й мето д даё т боле е ил и мене е приемлемы е результат ы тольк о в област и ускоренног о движения , гд е давлени е падает . Дел о в том , чт о профил ь скоросте й долже н удовлетворят ь пр и у = 0 бесчисленном у множеств у условий , первым и и з которы х являютс я тр и услови я (34.18) . Принято е ж е распределени е скоросте й удовлетворяе т тольк о дву м первы м и з эти х условий . Получаетс я сравнительн о мало е разнообрази е профиле й ско ростей , чт о сильн о ограничивае т област ь применени я метода . Конечно , мето д можн о различным и способам и видоизменять . Можно , например , взят ь тр и услови я (34.18 ) и дв а первы х усло ви я (34.19) . Можно , определя я распределени е скоросте й полиномо м четвёрто й степени , взят ь дв а услови я (34.18 ) и дв а услови я (34.19) , тогд а наряд у с л появитс я ещ ё оди н парамет р и можн о использоват ь вмест е с интегральны м соотношение м Карман а (30.7 ) интегрально е соотно шени е Лейбензон а (30.18) . Можн о такж е использоват ь вмест о поли номо в други е функци и п т . д . В частности , м ы должн ы ожидат ь горазд о лучши х результатов , есл и возьмё м набо р профилей , получающихс я пр и решени и какой либ о частно й задач и и з теори и пограничног о слоя . В само м деле , в это м случа е автоматическ и удовлетворяютс я тр и услови я (34.18 ) и, кром е того , вс е услови я (34.19) . В это м состоит , п о существу , иде я метода , предложенног о Хауэрсом') . Сначал а решаетс я некотора я частна я задача , относящаяс я к том у случаю , когд а скорост ь внеш нег о поток а определяетс я линейно й функцие й U = b0 - bxx, ^ 0 > 0 , > 0 . Посл е введени я функци и ток а у) перво е и з уравнени й (34.17 ) приме т в рассматриваемо м случа е вид : дЧ? d*W (923/4' дЧ' . . . , N . "" Т>7 Ш> У ~ = V b ^ ( 3 4 " 2 5 > Положи м тепер ь и буде м искат ь функци ю ток а в вид е ряд а W(x, у) = V ^ x T f i l Tj) = та к чт о = 8 £/ , (TJ) + (85)2 Z 2 ( T j ) . . . ) , (34.27 ) t V = = ^ 0 { / " ' W ~ 8 ^ (У1 ) + Л (1 ) • • • ) ( 3 4 " 2 8 ) 1J H o w a r t h 1 O n th e solutio n of th e lamina r boundar y laye r equations , Proc . Roy . Soc . London , Ser . A., 164 (1938), № 919, стр . 547-579. , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 598 Подставля я эт о разложени е в уравнени е (34.25 ) и сравнива я коэф фициент ы пр и одинаковы х степеня х получае м ря д равенств , из которы х первы е тр и имею т вид : / o ' + V o = 0 ' г + /о/' ; 2 / ^ / : + 3 / ^ = 1 , г + /0/ 2 W J + 5/ 0 7 2 = 4 + 2 A' 2 ^ J v Граничны е услови я v Vy = O пр и у = 0 , vx=U = b0-b{x пр и у = с о приводя т к следующи м пограничны м условия м дл я функци и f k : / , ( O ) = O1 / ; ( 0 ) = 0 . ( а = О, 1 , 2 , . . . ) , / ; ( с о ) = 2 , / ; ( с о ) = 1 , / ; д с о ) = о ¢ = 2 . з , . . . > . Дл я функци и /0(17 ) получилос ь т о ж е само е уравнени е и т е ж е граничны е условия , чт о и дл я функци и C(2TJ) В § 32 ; следовательно , эти дв е функци и совпадают . Дл я остальны х функци й f v / 2 , . . . получилис ь линейны е неоднородны е уравнения , которы е могу т быт ь численн о проинтегрированы . Главна я трудност ь заключаетс я в оты скани и таки х значени й вторы х производны х эти х функци й пр и rj = 0, чтоб ы получилис ь требуемы е значени я первы х производны х пр и f j = c o . Этим и значениям и являютс я / J = 1,32824 . /! ' = 1,02054 . / * = 0,06926 , / з = 0,0560 , /4 ' = - 0,0372 , / 5 = 0,0272 , / ' = - 0,0212 , f j = 0,0174 , / в = - 0,0147 . Дл я определени я мест а отрыв а из услови я ^ f r = 0 пр и у = 0 получаетс я равенств о f l (0 ) 8 i f ; (0) + (83/4 2 /; 7 (0 ) . . . = о , однак о полученны е ряд ы не обеспечиваю т достаточно й точност и вблиз и мест а отрыва . В результат е дополнительны х вычислени й Хауэр с нашё л дл я мест а отрыв а значени е $ = 0,120 . Дава я q вс е значени я о т 0 д о 0,12 0 и определя я 1 (S. т,) ' U - 2 1 - ; 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II п о формул е (34.28) , м ы получае м набо р профиле й скоростей , зави сящи х о т одног о параметра . Дади м таблицу , определяющу ю один надцат ь таки х профилей . rDx Значени я величин ы -==• 100 Т а б л и ц а Vl \ а 1I \ 0 0,0125 0,0250 0,0375 0,0500 0,0625 0,0750 0,0875 0,1000 0,1125 0,1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 2 13 3 12 5 11 7 10 8 9 9 8 9 7 8 6 6 5 2 3 4 1 0 0, 4 26 5 25 1 23 7 22 2 20 5 18 8 16 8 14 6 12 0 8 5 3 8 0, 6 39 4 37 7 35 8 33 8 31 7 29 3 26 7 23 7 20 2 15 2 8 5 0, 8 51 7 49 8 47 7 45 5 43 0 40 3 37 2 33 7 29 4 23 4 14 9 1, 0 63 0 61 1 59 0 56 7 54 1 51 3 48 0 44 2 39 4 32 5 22 7 1, 2 72 9 71 1 69 2 67 0 64 5 61 7 58 5 54 6 49 8 42 6 31 8 1, 4 81 2 79 6 77 9 76 0 73 8 71 2 68 2 64 6 59 8 52 7 41 6 1, 6 87 6 86 4 85 0 83 4 81 5 79 4 76 9 73 6 69 2 62 5 51 7 1, 8 92 3 91 4 90 4 89 1 87 7 86 0 83 9 81 2 77 6 71 6 61 6 2, 0 95 6 94 9 94 2 93 4 92 3 91 0 89 4 87 2 84 4 79 4 70 8 2, 2 97 6 97 2 96 7 96 2 95 4 94 6 93 4 91 8 89 7 85 8 78 7 2, 4 98 8 98 5 98 3 97 9 97 5 96 9 96 1 95 1 93 6 90 8 85 3 2, 6 99 4 99 3 99 1 99 0 98 7 98 4 97 9 97 2 96 2 94 3 90 3 2, 8 99 8 99 7 99 6 99 5 99 4 99 2 98 9 98 5 97 8 96 7 94 0 3, 0 99 9 99 8 99 8 99 8 99 7 99 6 99 5 99 2 98 9 98 2 96 5 3, 2 99 9 99 9 99 9 99 9 99 9 99 9 99 8 99 7 99 4 99 1 98 1 3, 4 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 99 9 99 9 99 8 99 5 99 0 3, 6 100 0 100 0 99 9 99 8 99 5 3, 8 100 0 99 9 99 8 4, 0 100 0 99 9 4, 2 100 0 Дл я применени я полученног о набор а профиле й необходим о соста вит ь характеристик и эти х профилей . А именно , на м понадобятс я прежд е всег о величин ы ( Щ = L b o f ^ o y I v r J L = L M j L I у 0); \ ду JO 2 o j r V v ; 2 у УХ 4 у т / Т т> h выража я Ь0 и Ьх чере з скорост ь U и е ё производну ю U', получим : ^ = U ' ; t>0(l-l) = u, поэтом у величин а V ^ l ( 3/4 = - / " (". V = F (5) ( 3 4 2 9 ) У U ' и \ ду Jо 4 ( 1 3/4 / ; У т ' . } , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 59 9 зависи т тольк о о т Состави м зате м выражени е дл я толщин ы вытес нения о = о Y J r f ( 1 о таки м образом , величин а V 1 T V = V J J [ 2 = о (£) (34.30 ) о тож е зависи т тольк о о т Состави м такж е толщин у потер и им пульс а о : 0 ° ° ' / . N ' / V \ о = (34.31 ) эт о такж е буде т функци я одног о Sj. Вставля я выражени я ^ С ( Е ) , Г = | / " J j f X(S) (34.32 ) и в уравнени е Кармана , взято е в форм е Прандтл я (30.16) , и вспоми ная, что в наше м случа е u = b0(l-i), U' = -bv X = -JlI (33.34 ) получи м следующе е соотношени е (1 S) х' (X) Ч (£) G(I)=F (?). (34.35 ) Интегриру я эт о уравнени е пр и начально м услови и ^ (0) - 0 , выте кающе м из (34.31) , найдём : E = [0(5 ) + /45)1(1 -&)<*; . (34.36 ) о 60 0 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И ГГЛ TI Пр и малы х ? главно й часть ю подынтегрально й функци и буде т ка к следуе т из (34.29 ) и (34.30) : 1 , " . п , 0 , 3 3 2 0 6 J Y f ~ f o ( 0 ) = - j 7 r ' (34.37 ) поэтом у при малы х £ первы м члено м разложени я в ря д функци и X ( 3/4 б У Д е т х (? ) = а | / | , а = 0,664.. . (34.38 ) Нижеследующа я таблиц а даё т дл я ряд а значени й \ функци и Г °> /.• 7.' и y j y ' . T а б л и ц а VII - V 1 ( d V U' и \ ду x \ Л a V = ^ " 7.' -QV 0,000 0 СО 0,000 0 0,00 0 СО 0,00 0 0 , 0 1 2 5 2,77 3 0,19 9 0,07 6 3,1 6 0,02 4 0 , 0 2 5 0 1,81 7 0,29 2 0,11 0 2,3 9 0,04 6 0,037 5 1,36 0 0,37 1 0,13 7 2,0 8 0,06 6 0 , 0 5 0 0 1,06 4 0,44 7 0,16 2 1,9 3 0,08 4 0 , 0 6 2 5 0 , 8 4 3 0,52 3 0,18 6 1,8 5 0,10 0 0 , 0 7 5 0 0 , 6 6 3 0,60 3 0,20 9 1,8 2 0,11 5 0 , 0 8 7 5 0 , 5 0 3 0,69 1 0,23 1 1,8 1 0,12 8 0 , 1 0 0 0 0 , 3 4 5 0,79 4 0 , 2 5 4 1,8 3 0,13 9 0 , 1 1 2 5 0 , 1 8 4 0,93 1 0,27 6 1,8 8 0,14 7 0 , 1 2 0 0 0,00 0 1,11 0 0 , 2 9 0 1,9 2 0,15 1 М ы може м тепер ь применит ь полученны й набо р профиле й дл я определени я движени я в произвольно м погранично м сло е в то й обла ст и последнего , в которо й давлени е возрастает . Скорост ь внешнег о поток а U (х) предполагается , таки м образом , убывающе й функцие й о т х. Решени е основываетс я на предположении , чт о профил ь ско рости , соответствующи й некоторо й точк е контура , полность ю опре деляетс я значениям и U , U r и 8** в это й точк е и совпадае т с соот ветствующи м профиле м нашег о набора , т . е . с те м профилем , дл я которог о U, U' и 8** имею т заданны е значения . Это т последни й профил ь определяетс я следующи м образом . П о Ur и 8** находим : X = J Z r ^ 1 S * * , посл е чег о по вышеприведённо й таблиц е определяе м X. Параметр ы ^ 0 , Ьг и х определяютс я очевидным и формулами : ,34]ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 602 после чег о нетрудн о установит ь связ ь межд у у и TJ: 1 J r U r = T f у (34.39 ) п по таблиц е стр . 59 8 найт и Vx в функци и у . Наконец , по преды дуще й таблиц е найдё м толщин у вытеснени я 2* и поверхностно е трепн е па стенк е ( dv x \ 10 l l K W k Ка к видим , дл я определени я все х элементо в движени я достаточн о знат ь значени е соответствующе е каждо й точк е контура . Есл и мы буде м знат ь значени е ; в одно й точк е контура , т о во все х други х точка х контур а ег о можн о определить , использу я интегрально е соот ношени е Карман а в форм е (30.17) . Вспомина я опят ь соотношени я (34.32) , получае м из (30.17 ) дл я определени я функци и 'i(x) следующе е уравнение : 1 di , п U" 'IUU' , UU' U2 или -W У' dJ + 2 Y=Ur' х + Y=Ui '/ + V=Vr G " = UVzrU7 F. у . ' и у . • и ^ 7 . г / м Воспользовавшис ь (34.35) , може м такж е написать : ' о . § = (34.40 ) Та к ка к функци ю -/JyJ м ы знаем , а функци я U(x) предполагаетс я заданной , т о из этог о уравнени я мы сможе м найт и k в функци и х, если тольк о известн о начально е значени е S. То т набо р профилей , которы й мы получил и выше , относитс я тольк о к случа ю возрастани я Давления, поэтом у пограничны й сло й д о тог о места , откуд а мы начи наем применят ь тольк о чт о рассмотренны й метод , над о исследоват ь каким-лцб о други м способом , которы й и дас т нам профил ь скорост и в начально й точке ; определи в дл я этог о профил я о**, мы найдё м ^ (t), а тем самы м и Е, которо е и нужн о принят ь за начально е значение . В част ности , есл и .мы берё м за начальну ю точк у точк у минимум а давления , в которо й U' = 0 , т о обращаетс я в нуль , и следовательно , началь ным значение м ; буде т тож е 0 . Н о тогд а уравнени е (34.40 ) буде т иметь в начально й точк е особу ю точку . Чтоб ы найт и направлени е 60 2 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ж и д к о с т и [ГЛ, Ii интегрально й криво й в это й точке , достаточн о заметить , чт о п о правил у Лопитал я С = '(tm)/" ^j ) = и следовательно , ^dxl о vol2 о -V о о Точн о та к ж е из уравнени я (34.39 ) получим , чт о в это м случа е 1 / Un / d x \ ay 0,332у o2 l / У / о 2о о ^ 3 4 ' 4 3 ) у ч \ d; 0 0 Дальнейше е интегрировани е уравнени я (34.40 ) може т быт ь произве ден о либ о численны м путём , либ о методо м графическог о интегриро вания . Т о значени е координат ы х , пр и которо м достигаетс я значени е 5=0,120 , определяе т мест о отрыв а пограничног о слоя . Шубауер 1 ) измери л распределени е давлени я па эллиптическо м цилиндре , обтекаемо м в направлени и большо й оси , превосходяще й малу ю ос ь в 2,9 6 раза . Бер я за единиц у длин ы величин у мало й полу оси , о н нашёл , чт о миниму м давлени я находитс я иа расстояни и л"--=1,3 0 о т передне й критическо й точки , а сры в происходи т при X = 1,99 . Хауэрс , определи в графическ и U' и U" по экспериментальны м значения м U и примени в д о точк и минимум а давлени я мето д Поль гаузена , а посл е не ё сво й метод , получи л отры в в точк е х = 1,925 , в т о врем я ка к п о способ у Польгаузен а отрыв а не получаетс я вовсе . Выш е был о уж е отмечено , чт о профил и скоростей , употребляе мые в тольк о чт о рассмотренно м способе , лучш е соответствую т граничны м условиям , чем профил и способ а Польгаузена , и в это м состои т преимуществ о метод а Хауэрса . Н о зат о в последне м ме тод е мы не имее м дл я профиле й таки х просты х аналитически х выражений , ка к в способ е Польгаузена . Очевидно , что мето д Хауэрс а можн о сделат ь применимы м к о всем у пограничном у слою ; дл я этог о над о решит ь сначал а задач у о погранично м сло е дл я случая , когд а скорост ь внешнег о поток а U (х ) ест ь какая-либ о функция , сначал а возрастающа я о т нуля , а зате м убывающая . М ы уж е упоминали , чт о удач а Хауэрс а состои т в том , что он берё т набо р профилей , получающихс я пр и решени и частно й задач и ' ) S c h u b a u e r , NACA , Rep. № 527, 1935. , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 60 3 геори н пограничног о слоя , именн о - тог о случая , когд а скорост ь U с ст ь линейна я функци я о т х . Однако , к сожалению , решени е дл я таког о U получаетс я сам о в вид е рядов , и расче т оказывается , ка к мы видели , довольн о громоздким . Есл и б ы удалос ь подобрат ь тако е U , тл я которог о задач а о погранично м сло е допускал а б ы замкнуто е решени е (подобн о случа ю Блазиуса) , мы могл и б ы надеяться , при меняя иде ю Хауэрса , притт и к мене е громоздки м выкладкам . Случа й Блазиус а не подходит , иб о м ы здес ь н е имее м ни одног о параметр а типа bv которы м мы смогл и б ы распорядиться . Ка к мы уж е знаем , ещ ё оди н случа й точног о решени я в вид е одночлен а получаетс я по Фалькнер у (Falkner ) и Сильви и Ска н (Sylvi a Skan) 1 ) , есл и взят ь U = cxm. (34.44 ) Уравнени е дл я пограничног о сло я приме т здес ь вид : i i J S i t ^ ! i = ^ 2 ^ - 1 . v i ! i / 3 4 4 5 ч ду дх ду дх ду2 ~ ду3 ' ' ,д е 6 = ф(х , у ) - функци я тока . Полага я Ф = / ^ 1 (r) ^ Е = (34.46 ) мы получим : д-1 = = / Ф ' (? ) = сх Ф' (3/4. (34.47 ) ду V т + 1 Перейдё м о т переменны х х , у к переменны м х = х и тогд а д^ д2^ _ дЦ^ _ \ду ' \ ду ' J D (х, g) _ ду дх ду ду ду2 ~ D (х, у) ~ D (х, £) D (х, у) ~~ = { / Щ 1 1 ф* _ С~Х"Ф" ^ t I / Щ ^ Ф } X I ' т-\-\ 2 ' /и -f1 J X / " ( ? + ! ) ^ 7 = C 2^2 m 1 I _ 4 L + 1 фф " J . С друго й стороны , и мы получим , посл е приведени я подобны х члено в и сокращений , Уравнени е где ф ' " + ф ф " = |3(ф' 2 - 1), (34.48 ) 2 т ш -j- I (34.49 ) ') См. сноску ') нз стр. 584. 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . II Таки м образом , ка к и в случа е Блазиуса , задач а сводитс я к опреде лени ю одно й функци и из обыкновенног о дифференциальног о уравне ния . Случа й Блазиус а м ы внов ь получим , полага я т = 0 , т . е . B = O 1 ) . Краевы е услови я задачи : Vx = Vy = O пр и у = 0 , Vv = U пр и у = с о даду т сраз у же : Ф(0 ) = Ф' (0 ) = 0 , Ф ' ( 0 0 ) = 1 . (34.50 ) Решени е уравнени я (34.48 ) пр и краевы х условия х (34.50 ) буде т за висет ь о т S и о т параметр а Р; буде м ег о записыват ь так : Ф = Ф(Л, р). (34.51 ) Хартри 2 ) да л численно е решени е уравнени я (34.48 ) пр и различны х р и пр и краевы х условия х (34.50) . Кочи н и Лойцянский 3 ) использовал и функци ю Хартр и дл я по строени я приближённог о решени я задач и о погранично м сло е совер шенн о та к же , ка к Хауэр с использова л решение , отвечающе е U = Ь0 - Ьхх. Именно , замети в сперва , чт о у Хартр и U' = mcxm~l и чт о поэтом у , л Г \ т + \ ) с х т 1 , / " U r i = y y - т , - = y V W попробуе м искат ь приближённые решения , отвечающи е любо й функ ции U (х) в вид е v x ( x , у) = U ( х ) Ф-IyjZr р] , (34.52 ) гд е ФЕ (е; Р) ест ь производна я п о аргумент у £ о т функци и Ф( £ , Р) из (34.51) . Однак о буде м тепер ь считать , чт о р буде т не постоян ной величиной , а функцие й от х, причё м функци ю эт у подберё м так , чтоб ы пр и помощ и (34.52 ) можн о был о б ы удовлетворит ь интеграль ном у соотношени ю Карман а в форм е Прандтл я (30.16) . В соотно шени е Прандтл я входя т тр и величин ы S*, 8 й , t 0 ; Подсчитае м их . Прежд е всег о имее м ' -о -л) I IJ о о о Определённы й интеграл , входящи й справа , буде т зависет ь лиш ь о т второг о аргумента , входящег о в Ф; , т . е. о т р. Обозначи м ег о бук ' ) Блазиу с не вводит двойки под корень в подстановку для 'С и отсюда разница в множителе при Ф'" в (34.48) и при 'Q" в (32.7). 2) H a r t r e e D. R., Ргос. Cambridg e Phil. Soc., 33 (1937). 3 ) К о ч и н Н. Е. и Л о й ц я н с к и й Л. Г., Об одном приближённом методе расчёт а ламинарного пограничного слоя, ДА Н СССР , 35 (1942), № 9. , 34] ПРИБЛИЖЕННЫ Е МЕТОД Ы ТЕОРИ И ПОГРАНИЧНОГ О СЛО Я 60 5 во й Л ф ) . Ви д функци и Л (P ) будет , конечно , определятьс я полность ю из решени я Хартри . Ниж е м ы приводи м табличны е значени я это й функции . Итак , &* = ] / ~ | ^ Л ф ) , (34.53 ) гд е со о причё м Фс взят о и з решени я Хартри . Дале е О СО по 8 * : / r r { x ~ ¥ ) d y = S = V l r f Ф ( ( 1 Ф 9 л . U O о т . е , 8 " = | / " L в ф) , (34.54 ) гд е В Ф ) = / Ф Ц 1 Ф 0 Л . причё м 5 ф ) та к же , ка к и Л ф ) , находитс я и з решени я Хартр и и може т быт ь табулирован о (см . ниже) . Наконец , Уду )у=0' /г (34.55 ) гд е Фс:(0 , Р) ест ь втора я производна я о т функци и Хартр и п о 5, вы численна я пр и 5 = 0 ; эт о - функци я о т р и таблиц а дл я не ё приве ден а ниже . Тепер ь соотношени е Прандтл я приме т вид : d 'dx [ V W b (P)] + T r V + = V Р). Сократи в и а V п р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в первы й чле н и умножи в вс ё на V u ' , получим : i "K L в ф) g , y j BQ) + L ( 2 V J в + V P А ) = j j (0 ; р) . 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Умножи м об е част и нашег о равенств а на 2 У р В и обозначи м ^ 2 = / , (34.56 ) - 4 / - 2 §А В + 2ВФъ (0 ; р ) == F. (34.57 ) М ы получи м тогд а df U" , . U' и , та к ка к / и F завися т ( и прито м известны м образом ) лиш ь о т р , м ы получи м дифференциально е уравнени е дл я определени я р в функ ция х о т л:. В таблиц е VII I приведен ы значени я функци й Ф^(0 , Р), А, В, f и F. Дл я практически х расчёто в удобн о выразит ь F чере з / . Т а б л и ц а VIII P 3 3/4 (0) А(Щ B(P ) / F - 0 , 1 9 8 8 0,000 0 2,35 9 0,58 5 - 0 , 0 6 8 1 0,82 1 - 0 , 1 9 0,08 6 2,00 7 0,57 7 - 0 , 0 6 3 2 0,79 2 - 0 , 1 8 0 , 1 2 8 5 1,87 1 0,56 8 - 0 , 0 5 8 0 0,76 0 - 0 , 1 6 0 , 1 9 0 5 1,70 8 0,55 2 - 0 , 0 4 8 8 0,70 8 - 0 , 1 4 0 , 2 3 9 5 1,59 7 0,53 9 - 0 , 0 4 0 6 0,66 1 - 0 , 1 0 0,319 1 1,44 4 0,51 5 - 0 , 0 2 6 6 0,58 4 0,0 0 0,469 6 1,21 7 0,47 0 0,000 0 0,44 1 0,1 0 0,587 0 1,08 0 0,43 5 0 , 0 1 9 0 0,34 1 0,2 0 0,686 9 0,98 4 0,40 8 0 , 0 3 3 3 0,26 6 0,3 0 0,774 8 0,91 1 0,38 6 0,044 6 0,20 8 0,4 0 0,854 2 0,85 3 0,36 7 0 , 0 5 3 8 0,16 1 0,5 0 0,927 7 0,80 4 0,35 0 0,061 3 0,12 3 0,6 0 0,99 6 0,76 4 0,33 6 0,067 7 0,09 0 0,8 0 1,12 0 0,69 9 0,31 2 0,077 8 0,03 9 1,0 0 1,232 6 0,64 8 0,29 2 0,085 4 0,00 0 1,2 0 1,33 6 0,60 7 0,27 6 0,091 4 - 0 , 0 3 0 1,6 0 1,52 1 0,54 4 0,25 0 0,100 2 - 0 , 0 7 5 2,0 0 1,68 7 0,49 8 0,23 1 0,106 9 - 0 , 1 0 7 Зависимост ь F о т / оказываетс я близко й к линейной . М ы е ё пред стави м поэтом у в вид е F = a - bf + e ( f ) , та к чт о уравнени е (34.58 ) приме т вид : df U" . U' , , , J j = I j r f + V l a b f + Н Л 1 Уравнени е эт о буде м решат ь методо м последовательны х прибли жений . В перво м приближени и можн о отбросит ь е(/ ) и проинтегри роват ь наш е уравнени е относительн о / , ка к линейное . М ы получим : ,34]П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы Т Е О Р И И П О Г Р А Н И Ч Н О Г О СЛО Я 6 0 7 г д е с - произвольна я постоянна я интегрирования , определённа я и з условия , чт о / принимае т заданно е значени е пр и х = 0 . Так , напри мер , есл и пр и х = 0 пограничны й сло й тольк о начинае т развиваться , следуе т положит ь с = 0 . В качеств е второг о приближени я можн о принять : \ * 1 Выбере м I О j а = 0,45 , b = 5,35 ; тогда , ка к показывае т таблиц а IX , в нужно м на м интервал е значени й / буде т имет ь мест о неравенств о |е(/) | < 0,03а , Т а б л и ц а IX а эт о показывает , чт о в боль шинств е случае в практическ и до статочн о пользоватьс я формуло й (34.59) . Ка к тольк о найден о / в функ ции о т х, м ы сейча с же , п о пре дыдуще й таблиц е VIII , определи м р в функци и о т х и п о то й ж е таб лиц е Фц(0 ; Р), Л (P)1 В (P) и , зна чит , п о (34.55) , (34.54) , (34.53) - напряжени е трения , толщин у вы теснени я и толщин у потер и им пульса . В частности , може м найт и и точк у отрыв а - точку , в кото р о й т 0 = ф ц ( 0 , р ) = 0 , т . е . / = = - 0,0681 " (см . таблиц у VIII) . В качеств е пример а рассмотри м "уча й Хауэрса . Пуст ь U = U 0 ( I X ) , и потребуем , чтоб ы пограничны й сло й начиналс я пр и х = 0 (т . е . пр и х = / = 0) . Тогд а / о = ~ ( Т ^ 5 5 8 / ( 1 S)4 '8 3 Л = 0 , 0 8 4 1 [( 1 х ) ^ 1 ] . Дл я точк и отрыв а X i имеем : - 0,068 1 = - 0,084 1 [(1 - д д 5 ' 3 5 - 1], 60 8 ДВИЖЕНИЕ вязко й жидкост и (ГЛ. Tt откуд а получи м x 3/4 0,10 5 вмест о точног о значени я X 5 -=O , 120 . Второ е приближени е (/ ) дал о б ы X s = 0,106 , и эт о ж е значени е получилос ь б ы пр и интеграци и точног о уравнени я (34.58) . М ы видим , чт о практическ и достаточн о пользоватьс я просто й формуло й (34.59) . § 35 . Пограничны й сло й в сжимаемо й жидкости . Обтекани е пластинки . Мето д Дородницына . Обратимс я тепер ь к пограничном у сло ю в сжимаемо й жидкости . Ка к и в несжимаемо й жидкости , огра ничимс я рассмотрение м стационарног о случая . В качеств е отправны х уравнени й м ы имее м (см . § 31) : P f , dvx дх дх ду д?и у 0 , ду dp dx ду ' ( dvx\ (35.1 ) (35.2 ) р-о дх + ^у 4ду ( ^ + 4 ) = д ( * L \ + J t :Е д•лу \ k k д1у '/ dv l t " V ду (35.3 ) В эт и уравнени я входя т кром е величи н vx, Vy ещ е р и Т . Величин у р м ы должн ы считат ь известной . Именно , п о уравнени ю Бернулл и P = P о 1 - U (х ) (35.4 ) V+ 1 гд е U (х)- скорост ь на внешне й границ е пограничног о слоя , р0 - давлени е в то й точк е адиабатическог о потока , гд е скорост ь обра щаетс я в нуль , at-критическая скорост ь в адиабатическо м потоке . П о закон у Клапейрона , р , р и T связан ы соотношение м p = RpT . Таки м образом , U2 ' + 1 ^ -/.- 1 (35.5 ) гд е T0 и р0 - температур а и плотност ь "адиабатическ и заторможён ного " потока . Заметим , чт о я * -V r T T T ^ = V (35.6 ) § 35I П ОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И RO9 Наконец , [Jt следуе т считат ь известно й функцие й от T; в обычны х приложения х принимаю т зако н H = Ji0 (-£-)" , (35.7 ) гд е [Jt0 - постоянная , п = 0,5 , или п = 0,76 , или га = 1. Таки м образом , задач а сводитс я к определени ю vx, Vy и T из систем ы уравнени й (35.1) , (35.2) , (35.3) , причё м р задан о п о (35.4) , а р и [х определяютс я из (35.5) , (35.7 ) соответственно . Краевы е услови я дл я скоросте й остаютс я т е же , чт о и в несжимаемо й жидкости : Vx = Vy = O пр и у = 0, (35.8 ) Vx=U пр и у = оо. (35.9 ) Краевы е условия , содержащи е температуру , буду т различным и в разны х задачах ; так , например , есл и м ы решае м задач у в предпо ложении , чт о температур а стенк и Tw искусственн о поддерживаетс я постоянно й (вопрос ы теплоотдачи) , м ы должн ы прост о написать : пр и у = 0 T=Tw. (35.10 ) Кром е того , пр и у = о о T=T^ 0 , (35.11 ) где T a ест ь такж е заданна я величина . В задач е обтекани я самолёт а пли снаряд а естественн о считать , чт о поверхност ь у = O предоста влен а сам а себ е и что задан о лиш ь Tco, a Tw ест ь величин а неиз вестная , определяема я попутн о вмест е с решение м задачи . Здес ь можн о принять , чт о отсутствуе т теплоотдач а обтекаемо й поверхности , т . е . чт о пр и у = 0 = ( 3 5 Л 2 ) Эт о предположени е обычн о и делаетс я пр и решени и зада ч на обте кани е в вязко й сжимаемо й жидкости , хот я точне е был о б ы принят ь услови е "тепловог о баланса" , приравня в т о тепло , которо е поверх ност ь получает , к том у теплу , которо е он а отдаёт . Так , есл и k* ест ь теплопроводность , а Т* - температур а обтекаемог о предмет а и есл и принят ь ещ ё в расчёт , чт о обтекаема я поверхност ь може т из лучат ь ка к абсолютн о чёрно е тел о и чт о к ней подходи т пото к ра диаци и 5 со сторон ы жидкости , м ы должн ы написать : где _ + ^ L = S аТ \ (35.13 ) о = о,817 Ю -1 0 г/ка л см2 мин градА ест ь постоянна я Стефан а - Больцмана . Кром е того , | 7 \ , Ч Г ' > о .'Ii) Теоретическа я гидромеханика , ч. I l 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I Пренебрега я притоко м тепла , идущи м о т обтекаемо й поверхности , и считая , чт о S ^ a T 4 1 м ы внов ь придё м к услови ю (35.12) . Переход я к решени ю наше й систем ы дифференциальны х уравне ний , преобразуе м сперв а уравнени е (35.3) , ввод я вмест о неизвестно й температур ы T величин у 6 из соотношени я v ( 3 5 -. 114 ) Путё м элементарны х преобразовани й получим : гд е P - числ о Прандтля , определяемо е равенство м и н е зависяще е о т Т . Величин а 8 носи т названи е температур ы торможения ; он а равн а температур е там , гд е скорост ь жидкост и равн а нулю . Решени ю уравнени й (35.1) , (35.2) , (35.15 ) посвящен о большо е количеств о работ , из которы х наиболе е значительным и являютс я исследовани я Буземана , Карман а и Цян я и Дородницына . Наиболь шим и преимуществам и обладае т мето д Дородницына . Путё м остро умно й подстановк и Дородницы н приводи т систем у уравнени й к виду , сходном у с тем , чт о имее т мест о дл я жидкост и несжимаемой , и полу чае т широк о обозримы е результаты . Подстановк а Дородницын а заключаетс я в о введени и вмест о координат ы х величин ы ij: х о а вмест о координат ы у - величин ы TJ: (35.17 ) Та к ка к У У о о д д р (х) . д д-q J f р д (35.18 ) дх dz Pa + д-t] дх ' ду р0 д-i] ' т о уравнени е (35.1 ) принимае т тепер ь вид : M P O 1 0ч J ( 3 5 Л 9 ) I 35] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 61 1 С друго й стороны , п о уравнени ю Бернулл и 1 1 dv / 1 ^ 2 \ ~ \ , , d U ( . U2 dU р поэтому , дел я об е част и (35.19 ) на р - , м ы получим , вставля я р P о п о (35.5) : dl ^ l x P дх * T v y j дг, 1 35 20) U2 (Я " Й - < 7. - 1 Преобразуе м тепер ь уравнени е неразрывности . Ввод я функци ю ток а ф, получим : д Ь P ^ Ф 1 <ЭД> /О Г 01 \ Piyj= V = т е - v X = I f - (35.21 ) ду р о дт\ р о or, С друго й стороны , di <56 dr, дф р д-r, р дЬ та к чт о _ . L ^ H v I s L ^ l P0 dl T иУ = Vx р дх • Поэтому , есл и м ы обозначи м т о получи м ^ = L f L 1 V (35.23 ) * Po дг, У P0 di ' Тепер ь уравнени е неразры в^ност и ^ мо ж=н о записат ь в виде : (35.24 ) dl = дг, ' а ура вdнvxени е, ,г(3 5d.v2x 0 ) д аТс_т UU' , д v x f f T T v y-Qf - ~ r Ц2 + v Q ^ " и г (--2^) dU гд е U ' = -J j r , a V1 X Г jO dl • " ' о Ро 39* 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. I I М ы видим , чт о в переменны х 5 и "] уравнени я дл я Vx и V y буду т отличатьс я о т уравнени й (29.9) , имеющи х мест о дл я жидкост и не сжимаемой , лиш ь наличие м множител я TjT0 в (35.25) . Преобразуе м тепер ь уравнени е приток а тепл а (35.15) . Ввод я 5 и у; и заменя я Ecp п о (35.6) , получим : 1 р д ( р дЬ . дг, дЬ\ . . L ^ i Po di ] z 35.26 ) P р0 дг, Po ду J \ P / р 0 дг, \ р0 дг, a J х + 1 Дел я н а р р/р 0 и принима я в расчё т (35.22) , придё м к уравнени ю J L J L _ L 1 / д J L V* dt Ta vVdrl Tc ~ + V , f.± U T у 1 д ,2 ч т v.- 1 P дг, Есл и дг, \ р /дг, P = I , TJ Jt1 \а\ * + 1 (35.27 ) уравнени е (35.26 ) сильн о упрощаетс я и принимае т вид : до дЬ •>х ft +" V y dr, ~ v° dr, \ Т ) dr, J (35.28 ) М ы перейдё м к подробном у изучени ю этог о случая . Начнё м с конкретно й задач и обтекани я пластинки , расположен но й вдол ь ос и Ох. Здес ь U = Const. , та к чт о U' = О, и уравнени е (35.25 ) приме т вид : , дЛл } * dt + V Есл и обозначит ь dvx dr, ± = W, Po (35.29 ) (35.30 ) т о уравнени я (35.23 ) приму т вид : у d t ' (35.31 ) Ввод я (35.31 ) в (35.29) , получи м окончательно : дЧ~ <32Г dW_ d4~ _ д drj di d q di drf 10 dij j\ n -1 Tl ) dr ? J ; (35.32 ) I35]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 613 качеств е краевы х услови й мы должн ы написать : пр и Tj = O W = 0 , 0 ; Пр и Y i = O O U 1 ) . Наконец , вследстви е (35.14) , (35.31 ) получим : Г dW \ 2 T=O (35.33 ) (35.34 ) 2EEcepp \( дг, ) В качеств е первог о пример а реши м задач у о б обтекани и пластинк и бе з теплоотдачи , т . е . пр и краевы х условиях : пр и 7 ) = 0 - = 0 ; пр и Tj=C O T=TQOI или, на основани и (35.34 ) и услови я прилипания : пр и Yj= O пр и Y j = C O д б (fcl = 0 , U2 \ 2 Een (35.35 ) Замети м теперь , чт о уравнени е (35.28 ) имее т тривиально е решени е U1 i = const . Есл и выбрат ь эт у постоянну ю равно й T0 0 + 2 Ee т о мы удовлетвори м и краевы м лучи м теперь : условия м = O ^ . Использу я (35.34) , по U2 1 / (jW \ 2 (35.36 ) ^o o + IEen 2Eep \ Orl ) • В частности , на поверхност и пластинки , гд е dWjdYj = 0 , буде м имет ь температур у T c a + U2 2 Ecn (35.37 ) Замечательно , чт о мы , не реша я уравнени я (35.32) , може м пр и по мощ и (35.37 ) найт и температур у пластинк и п о температур е набегаю ще й жидкост и (T 0 0 ) и п о числ у Мах а набегающег о поток а (UIa c o ) . В само м деле , та к ка к U200 = Y-RTm = V.E (ср -• cv) Tca = срЕ (х- 1) Tcoi ') Любопытно отметить, что при п - \ T выпадает из уравнения (35.29) и последнее обращаетс я в точности в уравнени е (32.3), если заменить Ч' на 'у, i на х, у) на у. Так как краевы е условия будут и здесь и там одинаковы, то мы можем здесь прямо заимствоват ь готовое для несжимаемой жидкости решени е Блазиуса . Нужн о только, конечно, установить затем связь между плоскостью (х, у) и плоскостью (£, rt). 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТ И [ГЛ . I I м ы получи м из (35.37) : т 1 I V" "• " 1 VfIi * С (35.38 ) Есл и {У/ДсоС Ь температур а Tw буде т незначительн о превосходит ь Toa. Н о пр и скоростя х жидкости , превосходящи х скорост ь звук а или приближающихс я к таковой , пластинк а буде т нагреватьс я сильно . Так , пр и Ujacо = 0, 1 буде м имет ь 7 ^ = 1 , 0 0 2 7 ^ . та к что , есл и Tco = 273 , Tw= 273,005 ; есл и U j a x = X , Tw=WTja (пр и 7 ^ = 2 7 3 ° Tw= 327°,6) , есл и U I a j o = 10, Tw = 21 T 0 0 (пр и Tco= 273 ° 7,,, = 5733°) . Конечно , пр и таки х больши х температура х едв а ли можн о пренебреч ь излу чение м пластинк и и краевы е услови я надо , повидимому , взят ь в форм е (35.13) , а не в вид е (35.12) . К этом у вопрос у м ы ещ ё вернёмся , а сейча с обратимс я к анализ у уравнени я (35.32) . Заметим , чт о в это й задач е температур а на стенк е Tw буде т со впадат ь с температуро й T0 адиабатическ и заторможённог о потока . В само м деле , п о уравнени ю Бернулли : jPr=1 ^rhr ; (35-39) • г X - 1 сопоставля я с эти м равенство м (35.36 ) и (35.37) , получим , чт о T1 W - T о Отмети м ещё , чт о давлени е на стенк е будет , ка к и везде , ^ M 1 " I i R p p o ' плотност ь ж е на стенк е pw буде т Pw = Po I T X T T I =^Po Уравнени е (35.32) , есл и принят ь в расчё т (35.36 ) и (35.37) , може т быт ь записан о в виде : D \дт,' д / г . 1 / W y n " 1 ^ ) . Совершенн о аналогичн о тому , ка к м ы поступал и в случа е Блазиуса , введё м вмест о I r величин у С п о формул е I 1 = 2 K v T f t ; , (35.41 ) I 35] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 61 5 а такж е безразмерну ю величин у U v n ; (35.42 ) Предположим , чт о С зависи т тольк о о т -с: тогд а d W о л/-Tr= " 1 " 2 у v 0 s : U V 00. (35.43 ) и есл и ввест и ещ ё 5 = 5: D ( C ^ y r V 0 W C ) D ( I 1 T ) U О (5, т ) О (5, ч ) <Э2Ф" t/ 2 г/" 2 ; Встави м ещ ё в (35.39 ) dij 2 4v, р-С", перенесё м вс е член ы в одн у сторону , произведё м сокращени я и привлечё м (35.6) . Получи м окон чательн о 2СС " + di * + 1 а * / п 1 С" • о . (35.44 ) Уравнени е эт о п о вид у отличаетс я о т уравнени я Блазиус а (32.7 ) лиш ь наличие м пр и С" выражени я в скобке , возведённог о в степен ь п - 1 . Краевы е услови я дл я С т е же , чт о и в случа е Блазиуса . П о (35.41 ) и (35.43 ) пр и т = 0 C = O, C = O; пр и :0 0 С ' = 1 . В отличи е о т того , чт о имее т мест о в несжимаемо й жидкости , ско рост ь U на бесконечност и входи т в уравнени е дл я С, но , ка к м ы увиди м далее , вхождени е эт о буде т слабым . Однак о величин а U буде т весьм а существенны м образо м входит ь в представлени я 5 и Tj чере з х и у. Дл я решени я обыкновенног о дифференциальног о уравнени я (3 5 44 ) Дородницы н вводи т нову ю независиму ю переменну ю z и искому ю Функци ю Z из услови й Y - у . + 1 Z : JL С , а , 1 U2 г,2 п-1 (35.45 ) (35.46 ) W[ У 7-.+ 1 ' И Oi 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II Уравнени е (35.44 ) дас т нам п о (35.46) : Ia A11 " \ Г X I U T dZ dz dz dx та к чт о п о (35.45 ) получим , сокраща я на С": 1 Дифференциру я об е част и этог о равенств а п о г и замечая , чт о dz dz_ Жdz V * + 1 А . • I l / 1 = 1 A j 2 Z ( I Z i ) 1 ' " получи м окончательн о Граничны е услови я дл я функци и Z буду т dZ пр и z = 0 4 f = 0 , (35.49 ) dz пр и г = Z = = 0 - ( 3 5 5 0 ) Решени е уравнени я (35.48 ) пр и граничны х условия х (35.49 ) и (35.51 ) прощ е всег о получить , задава я сперв а произвольно е значе ние функци и Z пр и Z = O, назовё м ег о Z 0 , удовлетворя я услови ю (35.49 ) (задач а Коши ) и подбира я зате м Z 0 так , чтоб ы выполнялос ь услови е (35.50) . Посл е того , ка к Z (z) известно , легк о найт и вс е интересующи е на с величины . Именно , п о (35.46 ) имеем : П о (36.45 ) V = V r ^ w z (35'52> Та к как , далее , С" = = ^ ^ = C и пр и C = O z = 0 (иб о C(O ) = O), т о Z ^ f y r I ^ l J L ) ' 2 f . (35.53) V Г 7 . + 1 a J J (1 -z*)l~ nZ (Z) I35]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 617 Наконец , та к ка к С = = i f z ' т 0 з554 \У a J J (1 - ^2)1 ~п Z ( z ) ' Таки м образом , вс е нужны е на м величин ы параметрическ и находятс я чере з z. Чтоб ы построит ь профил и скоросте й и температур , нам остаётс я тольк о научитьс я переходит ь о т переменны х % и х к переменны м х и у . В наше м случа е обтекани я пластинки , когд а р (х ) = const, , формул а (35.17 ) даё т прям о где , по (35.4 ) К Po' Po \ * f 1 < / Далее , п о (35.18) , (35.36) , (35.39 ) имеем : у (35.55 ) Yj = Pa / , X1 I U2ZJdV' (35.56 ) О 1 та к чт о п ' • + 1 о2, y = J7 / J (1 -z*)dx, (35.57 ) р J * ' ' г и р о о и м ы може м написать : = / ^ " Г [ 0 T l z T dz. (35.58 ) 2 V^ v Г v 0 I р У * + 1 a j -J Z (z) > Найдё м ещ ё сопротивление , испытываемо е пластинкой . Напряже ние трени я на пластинк е т 0 будет : та к чт о п о (35.5 ) и (35.55 ) имеем : = ( 1 _ V L y ^ I / Ж у (0) . (35.59 ) \ 7. -j 1 OT^ / 2 ' V 0 X 58-1 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. II Дл я пластинк и ширин ы Ь и длин ы L суммарно е сопротивление , испытываемо е ка к верхней , та к и нижне й сторонами , будет : W = 2 b f 4 d x = b { , J \ ^ ± Щ у ^ t / Ж C(O ) / . о \ * + 1 a I i r ^o V x Введё м коэффициен т сопротивлени я Cw п о формул е W = CwF I p J / 2 , гд е F=2bL - площад ь обеи х поверхносте й пластинки . Та к ка к п о (35.5 ) а п о (35.38 ) = 1 4 ~ M 2 ( М = / ' со z \ "с о т о м ы получи м посл е просты х преобразовани й Наконец , введё м ещ ё числ о Рейнольдс а R 0 0 и з равенств а R R c o ~ ~ к г причё м буде м помнить , чт о п о (35.7 ) получи м окончательн о ^ = V-O Н а рис . 17 9 нанесен ы значени я C(O ) в функци и о т величин ы U2 единственног о параметра , о т которог о зависел о решени е V J * дл я С. Крива я начинаетс я о т значени й С" = 0,664 , чт о отвечае т числ у Блазиус а (2 С (0 ) = 1,328) . I35]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 61 9 Н а рис . 180 , заимствованно м и з работ ы Дородницына , п о верти кально й ос и отложен о = С , по горизонтально й ос и отложен о , причё м крива я 1 даё т профил ь скоросте й дл я не - 0,2 OJ OA 0,6 0,6 0,7 0,а 0.9 1,0 Рис. 179. сжимаемо й жидкост и (случа й Блазиуса , ср . рис . 177) , крива я 2 даё т профил ь скоросте й пр и M = 3,05 , когд а в качеств е абсцис с стоя т не Зависимост ь vxjU о т т остаётс я У х Y VQ ' У 1 VQ почт и неизменно й пр и изме нении числ а Маха , даж е в сравнительн о широки х пределах ; этог о и следовал о ожидать , ибо , ка к м ы уж е отмечали , ви д уравнени я (35.44 ) в переменны х т близо к к вид у уравнени я Блазиус а в переменны х V r ^ . * V x У Н а рис . 181 п о вер тикально й ос и отложен о v jc l U , п о горизонтально й 1,0 1,5 Рис. 180 -J 1~ Л / ' -У- • Кривы е даю т резк о различны е профил и скоросте й дл я Г x V Vao различных , з н а ч е н и й ч и с л а М а х а . Н а рис . У Г~ТГ 1 8 2 п о одно й ос и отложен о TTjTjT00l , п о друго й снов а -- 1л / / - ! эт о - кривы е распределени я температу р в жидкости . >'х . у Vo a 58-1 621 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il Дл я построени я их достаточн о был о воспользоватьс я формулой , полу чающейс я сраз у ж е из (35.36) : и уж е готовы м графико м скоростей . Та к решаетс я задач а обтекани я пластинки , когд а P = I и когд а теплоотдач а отсутствует . 0 4 a iz IB zo гь гз зг зб ьо 1 v Рис. 181. В качеств е второг о конкретног о пример а рассмотри м случа й обтекани я пластинки , когд а по-лрежнем у P = 1, но в качеств е крае вог о услови я на пластинк е мы имее м пр и у = 0 T = T w , гд е Tw-заданное число . М ы буде м внов ь имет ь уравнени е (35.32 ) и должн ы решат ь ег о пр и прежни х краевы х условия х (35.33) . H o 8 IZ IS ZO Zi ZS 32 ЗБ 40 Рис. 182. тепер ь отношени е TjT0 буде т выражатьс я иначе . Краевы е услови я дл я 0 буду т тепер ь имет ь вид : пр и 7) = 0 G = ^ t o . I U2 } пр и T1 = OO S = 4 2^, = TQ, J (35.60 ) I 35] ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 62 1 причё м 0 должн о удовлетворят ь по-прежнем у уравнени ю (35.28) . Легк о видеть , чт о эт о последне е уравнени е имее т следующи й инте грал : 9 = а 4 ^ j t , (35.61 ) гд е а и р - постоянные . В само м деле , подставля я (35.61 ) в (35.28) . м ы получим : dv. К di VyV dv. dr, dr, " 1 to* d-ц чт о посл е сокращени я на р совпадё т с (35.29) . Постоянны е а и р м ы подберё м так , чтоб ы удовлетворялис ь краевы е условия , и получим : Тепер ь вмест о (35.36 ) м ы буде м иметь : T = T w + ( T 0 T t • (3 5 62 ) та к чт о уравнени е (35.39 ) над о заменит ь на уравнение : D id W \ A Z r I s i I Z r I ^ L i _ / ^ f Y i n 1 W l Z? (5, Tj) - 0 ^ IL'T 1 0 ^ V T j U d r l 2Еср T0 \ ^t j j J д ц Ч ' Вводя , ка к и прежде , С и т п о (35.41 ) и (35.42) , м ы получи м дл я определени я С обыкновенно е дифференциально е уравнени е 2СС" J J 1 W \ (V . •/.-1 U2 n-l С" 1 = 0 . (35.63 ) То , dx х + 1 al Вводи м • 1 Г 1 = 1 . ! L i " V •*• + 1 a t (35.64 ) г = Шх) ^w I / J | r^W Tb \ T0 1 И 1 г ' 2 + 1 а* л1 (35.65 ) Получи м тепер ь вмест о уравнени я (35.48 ) уравнени е d2Z _ 2z dz2 (35.66 ) Краевы е услови я буду т имет ь прежни й вид : (35.49 ) и (35.50) . Вс е величины : С , С , С, t , у/Ух, легк о найдутс я параметрическ и чере з z. 622 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й жидкост и Например , дл я у/Ух получим : L l Z r ^ J L = к yic [ГЛ. I l ' -О Z (г) dz. Наконец , дл я Cw буде м иметь : причём , по-прежнем у UL 9 o и-1 2 M (35.67 ) (35.68 ) (35.69 ) гд е L - длин а пластинки . Заметим , чт о C(O ) зависи т тепер ь о т дву х параметров : о т числ а Мах а M = ~ и о т отношени я Tw/T0, гд е Tw - заданна я температур а пластинки , a T0 - заданна я температур а в адиабатическ и заторможённо м потоке . Второ е из эти х отношени й входи т в дифференциально е уравнени е дл я Z. Краевы е услови я содер 2 4 S В 10 IZ Ш W Рис. 183. U в функция х о т жа т лиш ь M Н а рис . 18 3 изображен ы распределени я скоросте й vxjU Tco дл я значени й = 4 и дл я разны х чисе л M V x V ^ т, Н а рис . 18 4 дан ы распределени я TjTco, которы е получаются , п о нижеприводимо й формуле , посл е тог о ка к скорост и стану т известны : 1 T Tw , / 7\) т т л T и Hjl Г U 1 М ; (35.70 ) Пото к тепл а чере з единиц у площад и пластинк и будет : дТ \ (* f и ы причё м Z0 находитс я п о (35.59) . = , (35.71 ) и I35]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 62 3 В качеств е третьег о пример а рассмотри м обтекани е пластинки , предоставленно й само й себе , н о излучающей . По-прежнем у буде м считать , чт о P = I . Здес ь температур а пластинки , та к же , ка к и в перво м примере , буде т неизвестн а и в качеств е краевог о услови я дл я температур ы м ы приме м (35.13) , в которо м ft* = О и 5 = с Tco, причё м буде м считат ь ег о удовлетворяющимс я в среднем , та к чт о L пр и у = 0 - j" k i y dx = о L = f = {т1-ТА)йх, (35.72 ) о гд е L - длин а пластинки . Температур у пластинк и м ы буде м считат ь постоянной , подлежаще й о п р е д е л е н и ю о б о з н а ч и м е ё чере з Tw. Решени е дл я температур ы торможени я ище м по-прежнем у в вид е (35.61 ) и записывае м ег о в вид е (35.62) , та к чт о буде т опят ь ^ = ^+(1-3/4^ + 3/4^)'- (35'73) Внов ь задач а сводитс я к уравнени ю (35.65) , и опят ь в нег о буде т входит ь неизвестно е заране е отношени е TwJT0, и решени е С буде т зави сет ь о т одног о данног о параметр а M и о т одног о неизвестного : TwIT0. Предположим , чт о на м удалос ь найт и эт о решени е в обще м виде , дл я любог о значени я T w IT 0 2 ) . Тогд а услови е (35.72 ) дас т на м транс цендентно е уравнени е дл я определени я TwIT0. В само м дел е вслед стви е (35.73 ) имеем : (*£),. .-'.W 1 --JfU^ U или , та к ка к числ о Прандтл я равн о единице , (* SU=^ 1 --WH Решени е задач и буде т приближённы м в то м смысле , чт о мы берё м в услови и (35.72) конечну ю длин у L, а пластинк а до сих по р считалас ь бесконечно й в направлени и ос и х. 2 ) Техническ и эт о удаётс я сделать , отыскива я решени е в вид е рядо в п о " окол о х = 0 и в вид е асимптотически х разложени й дл я больши х т. 62 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. I l гд е т 0 , ка к и прежде , ест ь напряжени е трени я н а пластинке ; н о п о (35.69 ) имеем : Ls н - I Г поэтом у (35.72 ) приме т посл е просты х преобразовани й вид : It-1 СрРоо ^ 7 V K o 1+11 2 С " (О ) = CT 3 a - 1 (35.74 ) в это м TWZ0 -18 )<*ts г 1 72 \ № M=IO М=8 M-B М=4 M--Z образом , и з (35.74 ) м ы може м найт и Tw/T0 в функция х о т без размерног о параметр а аТ 3 Rc 8 В 4 у. _ г - f- {- I--F= У " " и о т UIa i e . H a рис . 18 5 п о ос и абс цис с отложен а величин а 2 10 4 е 2 М , 11 OJi Ofi 0,4 0,5 О,В 0,7 Ofi 0,9 -+-Z-Hfm' Рис . 185 . п о ос и ордина т - значени я TJTtx дл я различны х M М ы получи м значени е TJT00, отвечающе е (35.38) , теоретическ и говоря , лиш ь дл я L • 0 . Пр и любо м конечно м L TJT0 буде т значительн о ниже . Пр и L->oо м ы получи м дл я все х M 1 . Д о си х по р м ы рассматривал и пример ы в предположении , чт о P = I . Есл и P T 4 =I , ТО приходитс я обратитьс я к уравнения м (35.25 ) и (35.26) . В качеств е пример а рассмотри м обтекани е пластинки , т . е . случай , когд а U'- 0 . По-прежнему , вводи м функци ю 1* так , чт о дЧ? dW V r д-ц ' dl Уравнени е движени я приме т вид : (54" (52W (5 Т ¢523/4' (5vj dl di] dl drf 0 dr\ U o i < v J ' (35.75 ) а уравнени е приток а энерги и запишетс я в следующе м виде : (5Т_а _ 0 <5т) (5; T0 (53/4' (5 О dl (5 T0 P ду \ т 0 ) <5гДг 0 I35]ПОГРАНИЧНЫ Й СЛО Й В СЖИМАЕМО Й ЖИДКОСТ И 62 5 причё м W i ( f ) Уравнени е (35.76 ) н е допускае т тривиальног о интеграла , поэтом у приходитс я искат ь решени е систем ы (35.75 ) - (35.77 ) в вид е гд е W = 2 V (^ 4 = фм. ' о Тогд а (35.75 ) приме т вид : 2СС' + -fI 2 У V0S п-1 (35.78 ) а (35.76 ) дас т посл е просты х преобразовани й d 2 Р С Ф Ч <• р> [("'-С^Г ' ^ c ''] = (3 5 ' 79 ) Таки м образо м задач а сводитс я к совместном у определени ю дву х функци й Ф и С о т -с и з систем ы обыкновенны х дифференциальны х уравнени й 5-г о порядк а (35.78) , (35.79) . В качеств е краевы х усло ви й м ы приме м прежд е всег о тр и услови я дл я С: C(O) = C(O ) = O1 С ' ( о о ) = 1 . П о определени ю 0 (35.77 ) м ы имее м далее : Ф (со ) = 1. Остаётс я поставит ь последнее , пятое , краево е условие . Оно , ка к и пр и P = 1 буде т имет ь различны й ви д в зависимост и о т того , каку ю задач у м ы изучаем . Еал и т о м ы должн ы написат ь Есл и 4q = о , ,ду Iy=O Ф ' (O) = O. ( T ) y = O = T 1 i гд е Tw - заданна я величина , т о Ф (O) = ^ 1 О H Т. д . 4 0 Теоретическа я гидромеханика , ч. J I 62 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il Дл я решени я систем ы (35.78) , (35.79 ) удобн о принять , ка к мы эт о уж е делал и раньш е пр и P = I , в качеств е независимог о пере менног о не т, а переменную : Z = ^ L v . V v 0 М ы не буде м останавливатьс я на это м обще м случа е подробнее . Чтоб ы выяснит ь влияни е числ а Прандтля , положи м дл я простот ы ге=1. Эт о значени е близк о к действительном у значени ю п дл я воз дух а (/1:3/4 0,8) . Тогд а Ф выпадае т и з (35.78 ) и последне е прост о перейдё т в уравнени е Блазиус а 2 К " К ' " = 0 , решени е которог о нам уж е известно , уравнени е ж е (35.79 ) дас т Ф " + 2 Р С Ф ' = ( 1 Р ) £ | 1 ( С ' ' ) . Задач а сводитс я к дву м квадратурам . М ы получим , принима я в расчёт , чт о Ф (оо ) = 1: Ф (х) = 1 +с f W f d t + СО T X + ( l P ) f / (С'0 Р / (35.80 ) со О гд е с - произвольна я постоянная , подлежаща я определени ю и з вто рог о краевог о услови я дл я Ф . Та к ка к Ф ' (0 ) = с [С" (0)] р , гд е С" (0 ) = 0,664 , то , есл и = 0 , имее м Ф ' (0 ) = 0 и с = 0 . \ Oy /у=0 М ы получи м тогд а температур у пластинк и Tw п о формуле : гд е ^ = Ф(0 ) = 1 ^ а , а = (1 P ) / (С")~ Р / ( ^ T p ^ C 2 d-zd-z. (35.81 ) о о Таки м образо м вмест о прежне й формул ы (35.38 ) м ы получи м теперь , ^ = 1 Ь ^ Й О a ) M 2 , I со 4 §36 ] СЖИМАЕМА Я ЖИДКОСТ Ь 627 та к ка к V L = 2 О 'Vl - Ц . (35.82 ) , *- I r 2г0 2 1 + Г ц ^ М 2 Есл и P = I 1 т о а = 0 и м ы вернёмс я к (35.38) . Дл я воздух а р ^ 0.7 5 (точно е значение : P = 14/19) . Принима я в (35.81 ) P = 0,75 , получи м путё м численног о интегрировани я а 0,132 1 ) . Таки м образо м температур ы н а пластинк е пр и P = 0,7 5 буду т нескольк о ниже , че м "температур ы торможения " в (35.38) , отвечаю щи е числ у P = I . § 36 . Сжимаемая жидкость . Пограничный слой для произ вольног о профиля . В случа е криволинейног о профил я м ы должн ы обратитьс я к уравнения м (35.25 ) и (35.28) . Есл и ограничитьс я слу чаем , когд а теплопередач а отсутствует , т . е . когд а ( I f ) y = O = 0 ' следовательно , Щ = о = 0 , (36.1 ) т о м ы може м внов ь взят ь в качеств е 6 тривиальны й интегра л б = C = const . Чтоб ы найт и значени е это й постоянно й С, обратимс я к услови ю на бесконечности . Тепер ь U = U (х), н о такж е и TLO буде т зависет ь о т х , следовательно , T00=T00(X). Эт и величин ы связан ы уравнение м Бернулл и [глав а I, (8.1)] , которое , есл и учест ь (8.5 ) и з глав ы I, м ы може м написат ь в виде : U2(X) TRT00 (х) -,.RTa - 2 1" х 1 = T = T ' ( 3 6 ' 2 > гд е T0 - постоянна я (температур а в то м месте , гд е скорост ь равн а нулю) , R - газова я постоянная . Н о п о определени ю G (35.14) , м ы имеем : или , та к ка к 0.,г , / " 2 S - W < £ \ 7 , ^ p Rv. Ec = P X ( ^ -'-KT \ y.R \ 2 + / . 1 / ' (36.3 ) ') Подсчё т был произведё н А. С . Мониным , который , использова в урав нение Блазиуса , преобразова л предварительн о (35.81) к виду : 1 2 Р J ( Г ) Р J ( O 2 p ^ dz. 40* 62 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [гл . I" эт а величин а должн а быт ь постоянно й и равно й С. Н а бесконечност и права я част ь (36.3) , вследстви е (36.2) , обратитс я в T0, поэтом у С = T 0 . Определи в 6 полностью , м ы може м найт и TjT0 в виде : 1 Vе T a 2-/.R T0 "х (36.4 ) Вмест о уравнени я (35.29 ) м ы буде м тепер ь имет ь (35.25) : " ^JiJL-V ^ £ = UU' '(JL)"' 1 Ы (36.5 ) v* dt ^ у Ori T0 1 U2 + у. + 1 al O дт] LV г 0 У д п J ' гд е TjT0 определяетс я п о (36.4) , a V y - по-прежнем у находитс я из (35.22 ) и удовлетворяе т уравнению : dv r d V v :0 . S f T ^ r " ( 3 6 > 6 ) Следу я Дородницыну , дади м приближённы й мето д решени я задачи , основанны й на иде е работ ы Кочин а и Лойцянског о (см . § 34) . Построи м сперв а интегрально е соотношение , аналогично е соотно шени ю Прандтл я (30.18) . Дл я этог о уравнени е (36.5 ) запишем , вслед стви е (36.6) , в вид е dvi d v x V y UU dr, v. - 1 U2 1 д-п T\n~ldv T J T 4 J (36.7 ) " * + 1 а2 и уравнени е (36.6 ) (умножи в ег о об е част и на U) приведё м к виду : dUvx dVvU dU dt + " 4 = 3/4 ^dl . (36.8 ) Вычте м и з уравнени я (36.8 ) уравнени е (36.7 ) и проинтегрируе м об е част и п о т) о т 0 д о оо . Получим : £ vx(U - v x ) d-ц dt о + V A U V x ) : со и •л - 1 U 2 1 . ' , + I а 2 dt] аг Ctvx drt (36.9 ) П о аналоги и с о введённым и в несжимаемо й жидкост и толщино й потер и импульс а и толщино й вытеснени я введё м величины : '"=ZtK 1 --^ W 1 (36.10 ) СЖИМАЕМА Я ЖИДКОСТ Ь 629 Привлека я (36.4) , мы може м написать : LL и T0 U2 V x U I f t 1 at х - 1 UJ_ = X - 1 о Х + Т " "v. 4 1 а 2 v.- 1 U2 1 U х +I 1 аг U 2 1 _ у - 1 L l х +1 1 а 2 X I U 1 х + 1 а 2 * Принима я V д п Jr 1 ^ c o ещ ё в о внимание , чт о >0, м ы получи м из (36.9) : U2 2(о U2 1 • UU'b**-. = 0 по (35.22 ) и \dri A1 =O 2/ 0 пли посл е делени я на U2: 210 Idv db** U' di ' U 2 + • ML Ii 0 и 2 1 • H 0 U2 ~~ U2 \dY ( 3 6 Л 1 ) 1 2L Эт о уравнени е являетс я обобщение м соотношени я Прандтл я (30.18) . Пр и U2j2г0 -> 0 и, заменя я t] на у , £ на х, м ы вернёмс я к несжимае мо й жидкост и и (36.11 ) перейдё т в точност и в (30.18) . Вмест е с Дородницыны м буде м искат ь приближённо е решение , предполагая , чт о безразмерна я скорост ь vJU (х) ест ь функци я о т TJ/8** и некоторог о параметр а (5, зависящег о о т Именно , положим , чт о B(V)Tl (36.12 ) V x = U ( X ) Ф ' ( Здес ь Ф ' означае т дифференцировани е по первом у аргументу , а в ка честв е функци и Ф о т дву х аргументо в м ы приме м внов ь ка к ра з ту функци ю Хартри , котору ю Кочи н и Лойцянски й использовал и пр и построени и приближённог о решени я дл я несжимаемо й жидкост и [см. стр . 604 , формул у (34.51 ) и др.] ; по д функцие й 5 ф ) по-преж нем у разумее м В ф ) = / ф { O R (36.13 ) 630 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il а 8** ест ь функция , входяща я в уравнени е (36.11) . Парамет р р и функци ю 6** подберё м так , чтоб ы выполнялос ь соотношени е (36.11 ) и чтобы , кром е тог о (н а обтекаемо м профил е -yj = 0 ) выполнен о был о дифференциально е уравнени е (36.7) . Последне е условие , вслед стви е (36.4) , дас т т . е . п о (36.12 ) U2 2г'о U' 2i0 Р), (36.15 ) гд е Ф'" означае т треть ю производну ю о т Ф п о первом у аргументу . Обозначим , ка к и в § 3 4 (34.56)') . - ВЩ"'{0, P) = /(р) . Таки м образо м 8**, р и S связан ы соотношение м (36.16 ) ^** 2 U' /(P) . (36.17 ) гд е /-известна я функци я о т р . Далее , OO OO = f U ^ d r i = f [ 1 Ф ' ( 5 , P)] л = ^ Л , (36.18 ) о ^ о гд е по д А разумеется , ка к и в § 34 , известна я функци я одног о р Л = J [ l -Ф'(Ё, р)]<Й . Наконец , UB ^ / Tj = O (36.19 ) Тепер ь уравнени е (36.11 ) запишетс я в виде : U2 db**• U' dz ' U 2 + 2/ 0 l _ i £ i В 1 1/ 2 2и 2г0 8 " = ^ Ф " ( 0 , р ) ' ) Та к как Ф удовлетворяе т уравнени ю (34.48) и та к ка к Ф (0, ¢) = = Ф'(0 , Э) = 0, т о Ф д а (0 , р) = - р и (36.16) совпадае т с (34.56). § 36] ежи,МАЕМА Я ЖИДКОСТ Ь JlilH посл е умножени я на 8**, п о (36.19) : 631 f l i ^ A Посл е просты х преобразовани й получим : d I = f 41 , . W + 2 UW 2/ 0 или, есл и вспомнит ь обозначени е (34.57)] : Al Ml + 2 UU' и' F ( / ) . (36.20 ) dt г/ ' ^ / + и( 1 i^ 2/',о ) Уравнени е (36.20 ) перейдё т в (34.58) , есл и I 0 • со. Используе м внов ь то т факт , чт о - bf (см . таблиц у на стр . 607) , гд е а = 0,45 , Ъ = 5,35 . М ы получи м тогд а AL dt ' U" WU' ьи' U' Z 2 i j a U' Отсюд а путё м просты х квадрату р (полага я попутн о Z(O ) = 0 ) получим : , dU I . f = a-dTV U2Y2 2/ 0 / - 2 t / ' 7(' ^ x 1 2 j t / л . 2/ 0 ) Наконец , та к ка к '-/^=/( 1 о о т о м ы може м избавитьс я о т £ и написать : l 3i2 •* 2х~ 1 Ь f / ч d t / / , ( / 2 X T " T Г / . и г \* ~ 1 2 , . ¢ 1 , .. . ^ ^ ) = ^ ( 1 3/4 ) Л 1 " w ) U d X • ( 3 6 ' 2 1 ) о Эт а формул а был а получен а Лойцянски м и Дородницыным 1 ) . Урав нени е эт о позволит , зна я U = U (дг), найт и дл я всяког о х значе ни е f (х). Та к ка к таблиц а на стр . 60 7 даё т на м (3 и В в функция х о т Z , т о м ы буде м знат ь тепер ь (3 и В в функция х о т х. Формул а (36.17 ) дас т на м 8**. Таки м образо м може т быт ь построе н вес ь ' ) Лойцянский Jl. Г. и Дородницы н А. А., К теории переход а ламинар ного слоя в турбулентный, ПММ, т. IX, вып. 4, 1945. 632 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ ГЛ . Il профил ь скоростей . Точк а отрыв а на профил е получитс я дл я тог о значени я х, пр и которо м f (х), вычисленно е п о (36.21) , дас т значе ни е / = - 0,0681 . § 37 . Основны е уравнени я теори и исчезающе й вязкости . Теори я пограничног о сло я показал а нам , чт о пр и движени и твёрдог о тел а в вязко й жидкост и пр и больши х числа х Рейнольдс а возможе н пр и известны х условия х отры в о т тел а вихрей . М ы уж е указывал и н а большо е значени е этог о обстоятельств а дл я обосновани я те х схе м движени я тел а в идеально й жидкости , в которы х существенно е зна чени е имее т наличи е вихре й ил и вихревы х слоё в (как , например , схем а вихревы х дороже к Кармана) . Однак о в о все х таки х схема х имеетс я известна я дол я произвола . Чтоб ы избавитьс я о т этог о про извола , следовал о бы , рассматрива я движени е какого-либ о тел а в жидкости , решит ь таку ю задачу : проинтегрироват ь точны е уравне ни я гидромеханик и вязко й жидкости , а зате м в полученны х интегра ла х перейт и к пределу , устреми в JA К нулю . Ничт о н е заставляе т на с ожидать , чт о пр и это м получитс я ка к ра з движени е тел а в идеаль но й жидкости , та к ка к м ы многократн о уж е указывал и на то , чт о различны й характе р движени й в вязко й и идеально й жидкостя х опре деляетс я н е тольк о и н е стольк о различие м вид а уравнений , скольк о различие м граничны х условий . Задач а в тако м вид е был а поставлен а Осееном , которы й в свои х исследования х сдела л и первы е шаг и к е ё разрешению , соверши в предельны й перехо д дл я упрощённо й систем ы уравнени й движени я вязко й жидкости . Н е име я возможности , з а недостатко м места , изложит ь ориги нальны е метод ы Осеен а ') , м ы дади м эвристически й выво д те х урав нений , к которы м о н приходит ; основны е иде и этог о вывод а при надлежа т Бюргерсу 2 ) . М ы буде м исходит ь и з уравнени й движени я вязко й жидкост и (5.4 ) в форм е Ламба , причё м сраз у ж е предположим , чт о внешни е сил ы отсутствуют , та к чт о эт и уравнени я принимаю т ви д гд е ^ - (c) X f o t (c) = - у gra d q-\ v Д(c); div (c) = 0 , (37.1 ) ? = /> + X (37.2 ) Предположи м теперь , чт о в вязко й безгранично й жидкост и дви жетс я с постоянно й п о величин е и направлени ю скорость ю U твёрдо е тело , ограниченно е поверхность ю Дл я определённост и примем , чт о ' ) O s e e n С. W., Hydrodynamik , Leipzig , 1927. См . такж е изложени е теори и Осеен а в книг е Н. V i l l a t , Lemons su r l'hydrodynamique , Paris , 1929. 2 ) B u r g e r s J. M., O n Oseen' s theor y fo r th e approximat e determinatio n of th e flo w of a flui d wit h ver y smal l frictio n alon g a body , Proced . of th e Kon . Akad , von Wetenschappe n Amsterdam , 31 (1928), № 4 и 5. § 37] ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я ТЕОРИ И ИСЧЕЗАЮЩЕ Й ВЯЗКОСТ И 63 3 S ест ь выпукла я поверхность . Свяже м с тело м систем у осе й л:, у , г, причё м ос ь Ox выбере м так , чтоб ы тел о двигалос ь ка к ра з в на правлени и положительно й ос и Ох . Введё м ещ ё на врем я систем у осе й х, у, г, неподвижны х в пространств е и совпадающи х в момен т времен и < = 0 с системо й осе й х, у, г. Ясно , чт о межд у координа там и дг, у , z и х, у, z имею т мест о зависимост и х=--x~Ut, у = у, z=lz. (37.3 ) Буде м по д V понимат ь векто р абсолютно й скорост и части ц жидкости , т . е . векто р скорост и части ц жидкост и относительн о систем ы осе й х, у , г. С друго й стороны , м ы буде м считат ь движени е ста ционарны м относительн о систем ы осе й х, у, z. Н о тогд а ясно , чт о векто р (c) ест ь функци я тольк о о т х, у, г, а та к ка к дл я всяко й функци и f { x , у, z) = f ( x - Ut, у, z) = f x ( x , у, z, t) , м ы имее м тождеств о Т ) равенств о (37.1 ) в систем е осе й л;, у, z принимае т вид : - - т" X rot (c) = gra d q + ч Д(c). (37.5 ) Наибольши е трудност и интегрировани я этог о уравнени я связан ы с присутствие м квадратичног о член а v X ro t v. М ы допустим , чт о можн о эти м члено м пренебречь . Тогд а м ы получае м систем у урав нений : ( ц Д(c) + pU ^ - gra d q = 0\ di v (c) = 0 , (37.6 ) причё м q имее т значени е (37.2) . Та к ка к на поверхност и тел а 5 абсолютна я скорост ь части ц жидкост и v должн а совпадат ь с о ско рость ю точе к само й поверхност и тела , т о м ы легк о може м написат ь граничны е услови я в следующе м виде : Vx = U, vy = 0, Vz = O н а S. (37.7 ) Систем а уравнени й (37,6 ) и послужил а предмето м исследовани й О с е е н а . Ка к м ы видели , эт а систем а получаетс я и з точны х урав нени й гидромеханик и вязко й жидкости , есл и в последни х пренебреч ь квадратичны м члено м (c) X r o t (r) , содержащи м вихр ь скорости , иным и словами , есл и пренебреч ь вихрями . Есл и б ы в результат е переход а к предел у р-э0 в интеграла х точны х уравнени й движени я вязко й жидкост и м ы получил и теори ю идеально й жидкости , а в частност и отсутстви е вихрей , т о пр и очен ь малы х значения х р. вихр и был и б ы очен ь малы , т . е . наш е допущени е о пренебрежимост и вихрям и был о б ы оправдано , и мы , исход я и з решени й уравнени й (37.6) , должн ы 634 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il был и бы в предел е пр и ;л-> 0 тож е получит ь теори ю идеально й жидкости . Ка к показа л Осеен , эт о не имее т места , а следовательно , теори я исчезающе й вязкост и должн а отличатьс я о т теори и идеально й жидкости . Установи м тепер ь некоторы е общи е свойств а движений , опреде ляемы х системо й уравнени й (37.6) . Бер я вихр ь о т обеи х часте й пер . вог о из уравнени й это й систем ы и ввод я обычно е обозначени е ro t (c) - й , мы получи м уравнени е <50 pt/^ + ^ ДЙ = 0, (37.8 ) заменяюще е дл я рассматриваемог о случа я обобщённо е уравнени е Гельмгольц а (8.2) . Чтоб ы истолковат ь эт о уравнение , вернёмс я к координата м х, у , z относительн о неподвижны х в пространств е осе й координат . Применя я тождеств о (37.4) , може м переписат ь предыдуще е уравне ние в вид е дй а ^ f --I X да . (37.9 ) Есл и в это м уравнени и положит ь JJ. = 0 , т о получитс я равенств о ^ = O dt ' из которог о следует , чт о в каждо й точк е пространств а вихр ь сохра няе т неизменно е значение . Полно е ж е уравнени е (37.9 ) выражает , ка к м ы знаем , процес с диффузи и вихрей . Н о равенств а (37.3 ) показы ваю т нам , что неизменно й точк е пространств а соответствуе т в си стем е осе й л:, у , z точка , перемещающаяс я в отрицательно м напра влени и ос и Ox с постоянно й скорость ю U. Следовательно , смыс л уравнени я (37.8 ) состои т в следующем : вихр и перемещаютс я в отрица тельно м направлени и ос и Ox с постоянно й скорость ю U, пр и это м нескольк о рассеиваясь . В пределе , пр и >0 , процес с диффузи и вихре й исчезне т и, следовательно , вихр и будут , сохраня я постоянно е значени е п о величин е и направлению , перемещатьс я вдол ь отрица тельно й ос и Ox с постоянно й скорость ю U. В частности , м ы буде м имет ь равенств о (37.10 ) Н о та к ка к м ы имее м дел о не с безгранично й жидкостью , а с жидкостью , в которо й движетс я твёрдо е тело , т о нужн о учест ь ещ ё т о вихреобразование , которо е происходи т на поверхност и этог о тела , и о которо м уж е был а реч ь выш е пр и изложени и теори и по граничног о слоя . §37]ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я ТЕОРИ И ИСЧЕЗАЮЩЕ Й ВЯЗКОСТ И 63 5 В о всяко м случае , и з эти х общи х рассуждени й совершенн о ясно , каку ю картин у распределени я вихре й м ы должн ы ожидат ь дл я тог о д в и ж е н и я , которо е получаетс я в результат е предельног о переход а >.0 и з движения , удовлетворяющег о уравнения м (37.6) . Остановимс я дл я определённост и на случа е плоског о движения . П о предположению , конту р С, двигающийс я параллельн о ос и Ох, ест ь выпуклы й конту р (рис . 186) . Проведё м крайни е прямы е /C 1 L 1 и K2L2, параллельны е ос и Ox и имеющи е с контуро м С всег о н о одно й обще й точке , соответственн о K1 и K2. Эт и точк и разобью т конту р С на дв е части : перед ню ю C1 и задню ю C 2 . Тогда , ка к показан о н а рисунке , полу прямы е K1L1 и K2L2 огранича т област ь D2, вс ю ж е остальну ю област ь течени я обозначи м че ре з D1. М ы утверждае м теперь , чт о в о все й област и D1 вихр ь Й дл я предельног о течени я обра титс я в нуль . В само м деле , и з предыдущег о рассуждени я совершенн о ясно , чт о т е вихри , кото ры е сходя т с поверхност и тела , могу т попаст ь тольк о в област ь D2. Поэтому , есл и принят ь ещё , чт о н а бесконечн о далёки х расстояния х пере д тело м жидкост ь покоится , т о вихр и в о все й област и D1 буду т отсутствовать , в област и ж е D2 эт и вихр и должн ы удовлетворят ь услови ю (37.10) . Совершенн о аналогичн о в случа е пространственног о течени я м ы должн ы окол о поверхност и тел а 5 описат ь цилиндр , образующи е которог о параллельн ы ос и Ох ; пуст ь это т цилинд р касаетс я поверх ност и 5 п о лини и L; последня я разобьё т поверхност ь 5 на дв е части : передню ю S 1 и задню ю S2 Част ь S2 поверхност и 5 вмест е с то й часть ю поверхност и цилиндра , котора я тянетс я в направлени и отрицательно й ос и Ох, являютс я границам и дл я вихрево й област и D2 предельног о течения , в о все й ж е остально й област и течения , котору ю м ы обозначи м чере з D1, вихр и буду т уж е отсутствовать . Возвратимс я тепер ь к плоском у течению . Вихр ь Q имее т в это м случа е всег о одн у составляющу ю п о ос и г , котору ю м ы обозначи м чере з С _ dv y ду х дх ду • П о услови ю (37.10 ) С н е зависи т о т х и являетс я функцие й тольк о ОТ у , прито м отлично й о т нул я тольк о в област и D 2 . Ка к м ы видели , равенств о (37.8 ) переходи т в предел е пр и р.-" 0 R равенств о (37.10) , имеюще е мест о ка к внутр и област и D1, та к и 63 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. Il внутр и област и D 2 . Точн о та к ж е перво е и з равенст в (37.6 ) обра титс я в предел е пр и s"0 в равенств о - g r a d ^ ^rr 0> которо е дас т на м соотношени я да М ы видим , чт о щ и - V y сут ь гармонически е сопряжённы е функ ции , та к чт о J L i v y = f (г), гд е z = X-ArIy. Ввод я обозначени е w ( z ) = f f ( z ) d z = ? ( х , у ) Н ф С * ' У) будем , очевидно , имет ь 1 KZ) дх 1 ду • т . е . в о все й област и течени я имее м формулы : 1 = ?и ш ^ g ( 3 7 1 2 ) причё м функци я ср ( х , у) ест ь решени е уравнени я Лаплас а Чт о касаетс я составляюще й vx, т о в част и D 1 област и течения , в которо й вихр и отсутствуют , м ы можем , очевидно , принять , чт о V x = % , (37.13 ) в област и ж е D 2 м ы имее м и з первог о уравнени я (37.11) : + т е - = Й + Рассмотри м теперь , каком у граничном у услови ю должн а удовле творят ь функци я ср н а передне й част и контур а C 1 . Дл я вывод а этог о услови я удобне е рассматриват ь относительно е движени е жидкост и относительн о тела , которо е получается , есл и на абсолютно е движе ни е наложит ь прямолинейно е равномерно е движени е вдол ь отрица тельно й ос и Ox с о скорость ю U, т. е . движени е с составляющим и скорости- U , 0 ; в результат е проекци и относительно й скорост и § 37] ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я ТЕОРИ И ИСЧЕЗАЮЩЕ Й ВЯЗКОСТ И 63 7 получатс я равным и vx- U, Vy. Замети м теперь , чт о пр и малы х значения х ц , т . е . пр и больши х числа х Рейнольдса , вдол ь C 1 обра зуетс я пограничны й слой , толщин а которог о пр и R > с о стремитс я к нулю . Внутр и этог о пограничног о сло я буде т происходит ь посте пенный перехо д касательно й к контур у составляюще й относительно й скорост и о т нул я д о те х значений , которы е эт а составляюща я имее т в потенциально м потоке ; чт о ж е касаетс я нормально й составляюще й относительно й скорости , т о он а пр и R > о о стремитс я к нулю . Можн о поэтом у ожидать , чт о пр и р.-> 0 м ы буде м имет ь на част и контур а C1 следующе е гранично е условие : Vn0 = O на C 1 , гд е Vn0 ест ь нормальна я составляюща я скорост и относительног о движения , т . е . VnO = ("vJC - £/ ) co s (л , х ) Hvy cos (п, у). Пользуяс ь формулам и (37.12 ) и (37.13) , найдём : vx co s (л , * ) + WyCOS (" , у ) = d ^ c co s (ft , х ) + ^ co s (ft , У) = | ~ и, следовательно , гранично е услови е н а C 1 м ы може м написат ь сле дующи м образом : 'tt-U co s (ft , х ) н а C 1 . В дальнейше м м ы буде м по д ft понимат ь направлени е внешне й нормал и к контур у С . Таки м образо м дл я част и контур а C 1 полу чилос ь т о ж е само е гранично е условие , которо е имее т мест о дл я идеально й жидкости . Н а первы й взгля д може т показатьс я непонятным , что , исход я и з услови я прилипани я v x = U , Vy = O на C 1 , (37.14 ) мы , посл е предельног о переход а р.->0 , получил и лиш ь одн о гра нично е услови е vx co s (ft , х) -j- vy co s (ft , у ) = U co s (ft , x) на Cv (37.15 ) Здес ь вс ё дел о заключаетс я в том , чт о интеграл ы систем ы урав нени й (37.6 ) пр и стремятс я к свои м предела м неравномерно . Но , ка к известно , пр и неравномерно й сходимост и предело м последо вательност и непрерывны х функци й може т оказатьс я разрывна я функ чия . Приведё м этом у просто й пример . Пуст ь имее м функци ю 63 8 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ, [J зависящу ю о т параметр а р.. Пр и всяко м положительно м р. эт а функ ци я ест ь непрерывна я функци я о т л;, причё м пр и л: = О м ы имее н равенств о /(H. 0 ) = 0 . (37.16 ) Устреми м тепер ь JA К нулю . Есл и х ф 0 , т о ясно , чт о пр и м ы буде м имет ь предельно е равенств о Iim / (р., х) = 1, х Ф 0. JJ.-9О С друго й стороны , из (37.16 ) ясно , чт о Iim /(ц , 0 ) = 0 . Ii -> 0 Поэтому , ввод я обозначени е Iim / (jА, х) = F (х), м ы буде м имет ь Z7 (O) = O, Z 7 (Ar)= I пр и х ф Ъ . Таки м образо м предельна я функци я F(х) имее т пр и х = 0 разрыв . Совершенн о таки е ж е обстоятельств а имею т мест о и в рассматри ваемо м нам и случае . Интеграл ы систем ы уравнени й (37.6 ) удовле творяю т на контур е C 1 условия м (37.14) . Н о когд а м ы соверши м предельны й перехо д ц->0 , т о в предел е получатс я таки е функции , которы е буду т в точка х контур а C 1 терпет ь разрыв . Дл я эти х пре дельны х функци й в точка х самог о контур а C 1 буду т выполнятьс я граничны е услови я (37.14) , н о в бесконечн о близки х к контур у C 1 точка х област и D 1 буде т уж е выполнятьс я гранично е услови е (37.15) , подобн о том у ка к дл я функци и F(х) пр и положительном , н о скол ь угодн о мало м л: м ы получае м значени е 1, а н е 0 . Рассмотри м тепер ь граничны е услови я на задне й част и контур а C 2 vx = U, Vy = O на C 2 . (37.17 ) Та к ка к в D 2 м ы имее м формулы : т о услови я (37.17 ) приводятся , во-первых , к услови ю дл я опреде лени я ср | = 0 на C 2 , а , во-вторых , к услови ю дл я определени я а (у) : § 37] ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я ТЕОРИ И ИСЧЕЗАЮЩЕ Й ВЯЗКОСТ И 63 9 S 6 ' > где означае т значени е функци и д 0 , g > 0 пр и V ^ T ? > со . (37.21 ) Функци я q определяетс я формулой : и следовательно , давлени е р определяетс я формулам и Н а линия х K1L1 и K2L2, отделяющи х област ь D1 о т област и D 2 , составляюща я скорост и Vx и давлени е р терпя т разрыв . Эт о обстоя тельств о сильн о уменьшае т значени е полученног о решения . Нужн о обратит ь внимани е такж е на то , чт о в основ у вывод а был о положен о Допущени е о пренебрежимост и вихрями , в т о врем я ка к в полученно м решени и вс я област ь D 2 оказалас ь заполненно й вихрями . Переход я к пространственны м течениям , м ы рассмотри м тольк о частны й случа й осесимметричног о течения , причё м буде м пользоватьс я Цилиндрическим и координатам и л;, г , б. Систем а уравнени й (37.6 ) Переходи т в предел е пр и р,->0 в систем у d'V pU - gra d q = 0 ; div (c) = 0 . 640 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il Та к ка к м ы считае м движени е осесимметричным , т о De = O1 а vx, v и q могу т зависет ь тольк о о т х и г, поэтом у предыдущи е уравне ния принимаю т вид : M d ^ d A = о , OX OX д_д_ = 0 , (37.23 ) d v r дг 1 д (rvr) дх дг = 0 . Кром е того , м ы должн ы записат ь ещ ё услови е отсутстви я вихре й в област и D 1 : dvy dvr дг дх = 0 . Поэтом у средне е из уравнени й (37.23 ) даё т нам , чт о д А - й п ^ R л дг - p U дг в u ^ Соединя я эт о равенств о с первы м из равенст в (37.23 ) и замечая , чт о q определяетс я тольк о с точность ю д о постоянной , легк о выве дем , чт о q = pUVx в D 1 . (37.24 ) Н о второ е из уравнени й систем ы (37.23 ) показывает , чт о в о все й област и течени я существуе т функци я ср(д\ г) , такая , чт о q = p U дх^ ,' V r = дг I . (37.25 ) Н а основани и первог о из уравнени й систем ы (37.23 ) во все й област и течени я dvx _ д2^ дх дх2' (37.26 ) а тогд а последне е из уравнени й систем ы (37.23 ) даё т нам , чт о дх2 г дг (Г дг) т . е . чт о ср удовлетворяе т уравнени ю Лаплас а Дер = 0 . В област и D 1 , вследстви е равенст в (37.24 ) и (37.25) , м ы имеем : vX = Tx В В област и ж е D 2 на основани и равенств а (37.24 ) получим : §38] РЕАКЦИ Я ПОТОК А НА ТЕЛ О 641 Установи м тепер ь граничны е условия . Н а передне й част и тел а S1 мы, аналогичн о услови ю (37.20 ) плоско й задачи , получи м условие : = U co s (л , х) на S1. Н а задне й ж е част и S 2 поверхност и тел а м ы потребуе м выполнени я услови й прилипания ; в результат е получим , во-первых , услови е дл я определени я функци и tp: = 0 на S 2 , и, во-вторых , формул у дл я определени я функци и а (г) : гд е M2 ест ь точк а поверхност и S2, имеюща я заданну ю координат у г. В окончательно м итог е дл я случа я осесимметричног о течени я м ы приходи м к следующи м формулам : Vх = д<з - дх' " - ' дг в D 1 , д<р •U, = % S D . C = ,U V x = T x ~ д х ) м г 3 1 (37.27 ) д х 2 L l ^ / , = O U d S ± П * Г ( * £ \ Г+(r))" в D9 Здес ь ср(х , г ) ест ь решени е уравнени я Лапласа : (37.28 ) Удовлетворяюще е следующи м граничны м условиям : ~ = U co s (я , х) на на (37.29 ) ; г > о , р дх дг • 0 пр и Y x 2 + г 2 оо . Осее н получи л в результат е предельног о переход а [х-> 0 уравне ния дл я боле е общег о случая , че м тот , которы й рассмотре н нами . Дл я частног о случа я прямолинейног о равномерног о движени я тел а е г о уравнени я совпадаю т с полученным и тольк о чт о наши м нестро гим методо м уравнениями . § 38 . Реакци я поток а н а тело . Вычисли м тепер ь сил ы воз Действи я поток а на тел о дл я рассматриваемы х течений , причё м ограничимс я тольк о случае м плоско й задачи . Есл и К и Y сут ь 4 1 Теоретическа я гидромеханика , ч. I I 642 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ ГЛ . I l проекци и на ос и координа т сил ы воздействи я поток а на конту р с , т о очевидно : X =- J p co s (я , x)ds, Y =- J р co s (я , у ) ds. с с Н а основани и форму л dx = - ds co s (ti, у) , dy = ds co s (п, х), може м написат ь X = - J р dy, Y= J р dx, X - iY = - i J pdz. (38.1) C C С Применя я к точка м контур а С формул ы (37.22 ) и замечая , чт о н а C2 имее м dcp/dy = 0 , получим : P = PU на C 2 . Введ я в рассмотрени е функци ю (38.2 ) буде м иметь : P = P1 на C1, P = P1 и следовательно : \ 2 _ X dz + с с + т Л" 2 -(£•)'] (3 8 " 3 ) C2 Положи м тепер ь с РЕАКЦИ Я ПОТОК А НА ТЕЛ О 643 тогд а с с гд е (r) = ср а ф ест ь функция , гармоническ и сопряжённа я с ср. Н о dwjdz ест ь однозначна я аналитическа я функци я о т z вн е кон тур а С, обращающаяс я в нул ь на бесконечности ; следовательно , вблиз и бесконечн о далёко й точк и мы имее м разложени е Поэтом у £ £ ' £ 2 + 2 + < 3 8 5 > с та к ка к вмест о С за конту р интегрировани я можн о взят ь окружност ь скол ь угодн о большог о радиуса , на которо й подынтегральна я функ ция имее т порядо к \/\г\ 2 . Итак , Дале е А+ 18 = О, A = I B . (38.6 ) с - 2 /* i*L\-!!2-ds J \дх ду J дп с что вследстви е граничны х услови й даёт : C1 C2 /(£-<£)"<"+"/(&)•<* • C1 ' С Н о формул ы (38.3) , (38.4 ) и (38.6 ) показывают , чт о f [* idy). С C 3 41* 64 4 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. Il Подставля я сюд а значени е В и отделя я вещественну ю и мниму ю части , легк о найдё м посл е просты х вычислений : x = -"Pr- (3 8 "7 > C2 " •f / (3/4 •"+ £ •*>)•-1 / Cu2 (&)']"= С CL =P u r I /["•-(£)> • C2 гд е Г = - 2%\та х ест ь циркуляци я дл я течени я с потенциало м w = qг -{- /ф. Заметим , чт о значени е X всегд а получитс я отрицатель ным , та к ка к пр и положительно м обход е контур а С значени я d y на C2 отрицательны . § 39 . Обтекани е цилиндра . Ка к первы й приме р применени я предыдущи х уравнени й разберё м задач у о б обтекани и цилиндр а радиус а а. На м нужн о прежд е всег о определит ь гармоническу ю функци ю ср по условия м = U co s (п, х) на C 1 , -|| = 0 на C2, ----> 0 пр и у г х 2 + у 2 ->со . Функци я Cf = U x удовлетворяе т первы м дву м условиям , но не удовле творяе т условия м на бесконечности . Положи м ср = L r X + Cp1; (39.1 ) обозначи м чере з функцию , гармоническ и сопряжённу ю с <рх, и введё м ещ ё комплексну ю функци ю ^ i = T i + заметим , чт о W1 очен ь удобн о рассматриват ь ка к комплексны й потен циа л некоторог о вспомогательног о течения . Дл я функци и Cp1 м ы буде м имет ь таки е граничны е условия : ^ L = O на C 1 , ^ T l = O на C 2 , дп 1 ду 1 л , (39.2 ) при V * + ? Положим , наконец , , d w L = = d l L _ . д ь = c _ i m l i s dz ду ду Ясно , чт о ю ( z ) ест ь аналитическа я функци я о т z; легк о выяснит ь механическо е значени е вещественно й и мнимо й часте й это й функции . А именно , обозначи м чере з V абсолютну ю величин у скорост и вспомо ОБТЕКАНИ Е ЦИЛИНДР А 645 г ательног о течения , а чере з & угол , составляемы й это й скорость ю с ось ю Ох . Тогд а м ы буде м иметь : У ii L = F co s ^P = V si n Sx ду н следовательно , (39.3 ) dw i Hz ; V (co s & - i si n &) = откуд а видно , чт о u> = d -f-l n V . (39.4 ) Рис. 187. Н о вследстви е граничны х услови й (39.2 ) вектор ы скорост и в о вспомо гательно м течени и имею т направления , указанны е н а рис . 187 . Таки м образо м м ы имее м следующи е граничны е услови я дл я функци и 8-: дл я - IU < 0 < - дл я < 0 , H1 = | + е дл я 0 < 6 •к. дл я < 1С. (39.5 ) Пр и 6 = 0 функци я терпи т конечны й разрыв . Примени м тепер ь формул у Шварца , определяющу ю аналитическу ю функци ю f (z) = и-\ iv, котора я регулярн а вн е единичног о круг а и вещественна я част ь которо й принимае т н а контур е окружност и радиус а а заданны е непрерывны е значени я M 1 (S) : -TC = + [ U 1 ( O ) M " [ Щ ^ + к (39.6 ) ^TC ./ я J ae - г - Я - Tl в это й формул е а ест ь произвольна я вещественна я постоянная . Формул а Шварц а годитс я и дл я интересующег о на с случая , когд а Функци я M 1 (Q ) B нескольки х точка х терпи т конечны й разрыв : а именн о в это м случа е гранично е значени е вещественно й част и функци и f (Z) буде т равн о M1 (S) в о всяко й точк е контур а единичног о круга , в кото Ро й U1(B) непрерывна . 64 6 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ Г л Итак , ш = Ь + / I n F = ± f S 1 (9 ) й Ь + / а ' ( 3 9 7 ) -T C Подставля я в эт у формул у 0 - сю, найдем : к U) (оо ) = L j Q1 (6 ) db 4 /а . - TC Н о п о формула м (39.5) : TC ~ j h (6) М = - еа. ^ ^ d z /Z = CO С друго й стороны , вследстви е граничног о услови я на бесконеч ност и (39.2 ) должн о быт ь (£•).._-* еначи т м ы должн ы принят ь a = In U. Тепер ь формул ы (39.7 ) и (39.5 ) позволяю т написать : 2tz J aeib - z ^ J {2 n Z ae'O-z ^ - к T~CJ J HO тс 271, / J aen-z 1 о v ' / a e . z d6 = - 2ic, есл и \z\ > a, •J ae'9-z = f \ I H ^ L I d f l = JTCaTe'OC-z -I . ae* - z \ = Г e + l\n(aen-z)]° = " A m ^ = 4 , (39.8 ) L 1 J 4 z + ai TC 2~ p aet44-zJ ? ,. 7, 1 , о2 z - di z - a i 391 ОБТЕКАНИ Е ЦИЛИНДР А 64 7 поэтому получае м следующе е окончательно е выражени е дл я функ ции ф { г ) = Ъ + I W i V = % - + ' ^ + ^ ' " ^ i / 6 ^ " " . да.") Tt 2 причём берётс я т о значени е логарифма , которо е пр и Z = о о обра щается в 0 . Исследуе м прежд е всег о характе р течени я на бесконечности . М ы имеем пр и \z\ > 1 разложение : ae*+z OO . 2ае" у в" ",. НО TL TC * ¥ О Л Ocosnf l . Sinn O 1 2 J be(tm) M = 2 1 f в sin по dd = 2i [ _ + i i ^ l ] о= , о поэтом у ЛЯ те ПТ. si n 2 ~ c o s ~2 ~ : 2 / - ,, tl СО 2 дале е Ii=I +£)-"..(> -D-ZH 1 n = l значит пр и [2:( > 1 ОТ С Ю д; а OO я-= 1 + . . . (39.10 ) , , ( < я - 2 a ) 648 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. Il и окончательно , обознача я чере з w = f j к о м п л е к с н ы й потенциа л абсолютног о движени я в област и D1, буде м иметь : dw dwI U = U ^ т-г -у +' . . . I z dz > , Z ' ••• ( 3 9 -11 ) Эт а формул а показывает , чт о далек о пере д тело м течени е имеет тако й ж е характер , ка к есл и б ы он о происходил о о т источник а находящегос я в начал е координа т и имеющег о мощност ь Q = IaU (ъ - 2 ) = 2,283а1 \ (39 .12 ) Тепер ь найдё м распределени е скорост и вдол ь цилиндра . Дл я этог о на м нужн о найт и мниму ю част ь функци и ш(г) пр и z = aem\ М ы имеем : 9-п 0 0_8" ael'] + ае + е ае1"-ае1*> i • = - I Ctg И - 0 . Чтоб ы имет ь дел о тольк о с о сходящимис я интегралами , сделае м еле дующе е преобразование : /г. b a e * ± z _ d b . 6 f ^ ± ± d b Г ( 6 9 ) ^ + db : аел - г 00 J аел-г + J y 0/ 0 - причё м м ы воспользовалис ь двум я последним и формулам и (39.8 ) Положи м тепер ь в формул е (39.9 ) z = aeib° и отдели м мнимы е част и замечая , чт о пр и z = а е м ы имее м ае ы I = 2 а sin и что , следовательно , . Z2-j а2 п . (z - at) (z + at) , R e In ' = R e In 1 ,••. = In ( z a ) 2 ( z a ) 2 i h i + t ) i 2 R e In • at z -) al i 391 ОБТЕКАНИ Е ЦИЛИНДР А 649 мы легк о получи м следующе е выражени е логарифм а абсолютно й вели чины скорост и вспомогательног о течени я пр и z = ael\ In V1 = I n t Z H n sin + T ( 0 O T ) l n I s i n ( т т ) | + i f ( 0 6 o ) c t g ^ ^ ^e . (39.13 ) Есл и ввест и нечётну ю ф у н к ц и ю 9 / ( 0 ) = ? ^ azigada, (39.14 ) т о буде м иметь : H 1 1 й . в 60 4 2 act a da• ~ / ( O Q 0 ) C t g d% 4 / ^ J t 6а ' 4 ~ 2 % UQ T T Jt Во 2 + 2 = 2-J a ct g a da J a ct g " Л = / £ ) + / f . Поэтом у получае м следующу ю формулу : Ue X X sin . / S o " \ я ~ 2 I . /0 О ( \ s i n I F Т ) | 5 1 П ( т + т ) . (39.15 ) На с интересую т значени я Q0 в промежутк е ( - те, те); из преды дуще й формул ы следует , чт о дл я вычислени я V1 необходим о знат ь значени я функци и /(6 ) в интервал е (0 , Зте/4); эт и значени я дан ы в таблиц е IX (см . стр . 607) . Отмети м попутно , чт о /(те/2 ) = I n 2 . Посл е этог о м ы може м вычислит ь значени я V1; в частности , пр и 9 O = те/2 м ы имее м V1 = U V2. Принимая , далее , в расчё т формул ы (39.1) , (39.3 ) и (39,5) , м ы найдём следующи е выражени я дл я значени й dyjdx и 1,000 0,922 0,696 0,349 0,076 -0,528 -0,946 -1,270 -1,443 -1,40 5 -1,000 6° V1 P -1,828 -1,548 -1,434 -1,366 -1,32 0 -1,288 -1,266 -1,251 -1,240 -1,23 5 -1,23 3 и и 0 0,000 90 1,414 9 0,280 99 1,274 18 0,552 108 1,217 27 0,807 117 1,183 36 1,038 126 1,160 4 5 1,236 135 1,144 54 1,395 144 1,133 6 3 1,507 153 1,125 72 1,563 162 1,120 81 1,551 171 1,117 9 0 1,414 180 1,116 Наконец , применя я формул у (38.7) , м ы може м вычислит ь сопро тивление , испытываемо е цилиндро м пр и ег о движении , в вид е тс X = ра J V21 cos 8 do, (39.21 ) TC T Ч т о посл е численног о интегрировани я даё т на м сопротивлени е W = l,31pt/ 2 e . (39.22 ) 652 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il Эт о значени е слишко м велик о п о сравнени ю с экспериментальным и данным и и объясняетс я тем , чт о в т о время , ка к распределени е давлени я на передне й част и цилиндр а довольн о хорош о соответ ствуе т опытны м данным , давлени е на задне й част и цилиндра , вычислен но е п о формул е (39.17) , оказываетс я чересчу р низким . Производ я вычислени е давлени я п о исправленно й формул е (39.20) , м ы должн ы в о все х точка х задне й част и цилиндр а увеличит ь давлени е на 0,414р U 2 . В результат е получаетс я уменьшени е сопротивлени я на 0,414р £/ 2 • 2а = 0,83р(У 2 а и, следовательно , в это м случа е мы буде м имет ь W = 0,48pU2a, (39 .23 ) чт о горазд о лучш е соответствуе т опытны м данным . § 40 . Обтекани е плоско й пластинки . В качеств е второг о при мер а применени я уравнени й теори и исчезающе й вязкост и рассмотри м наклонённа я к ос и Ox по д угло м а , движетс я параллельн о ос и Ox с о скорость ю U (рис . 188) . Отобрази м внешност ь контур а K1K2 на внешност ь единичног о круг а в плоскост и Z так , чтоб ы точк а K1 перешл а в точк у I, а точк а Z = с о перешл а в точк у Z = со . Дл я этог о над о взят ь пр и это м точк а K2 переходи т в точк у Z = - г (рис . 189) . Построи м тепер ь вспомогательно е течени е = п о условия м (39.2) . Полага я по-прежнем у L p = 0>(*) = & H l n V (40.2 ) 5 40] ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 653 и рассматрива я ш ка к функци ю о т Z , легк о найдё м значени я & в точка х окружност и единичног о радиуса . В само м деле , вектор ы скорост и вспомогательног о течени я имеют , очевидно , направления , указанны е на рис . 188 . Пр и это м точк а разветвлени я поток а С на м пок а неизвестна . Итак , граничны е услови я дл я функци и 0 таковы : O1 = я дл я - 1 Т < 6 < - у и -JC ^ 0 > O1 = а дл я f < 9 C J , O1 = -}а дл я - H C Q C f . (40.3 ) гд е f -аргумен т точк и С', соответствующе й в плоскост и Z точк е С. Применени е формул ы (39.7 ) сраз у определяе т нам функци ю ш: г " 1 e (О ( z ) = - ^ / я-T- d6- T / я--! dv - 2 л J Z 2% J Z - Tl 2 2 2I%n Jf a eeiI^Ib - Z Tt где ^ - вещественна я произвольна я постоянная . Н о rf8+/r8, J e^ - Z s J \ ~ elb-Z ) S 4 ' = [ _ 0 + j . 1 п ( е < 0 Z ) ] ^ = + L i Je= S г причё м берётс я т о значени е логарифма , которо е пр и Z = с о при водитс я к нулю . Поэтом у посл е просты х вычислени й получим : . . Зя -f2 а + 2f , , , Z - ег7 , /а . 2 - i . .Q " ( g ) = 4 + z + T + ' P Подставля я сюд а £ = oo , Z = со , получи м . ( с о ) = 3 д + 2 ; + 2 ? + й , ( . 3/4 . ) , Зж+2а+2 г " " та к ка к вследстви е граничног о услови я на бесконечност и (39.2 ) Должн о быт ь ( 4 3/4 . . " " 654 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ. I l а с друго й сторон ы f должн а лежат ь в интервал е (-тг/2 , я/2) , т о необходим о взят ь л :1П Ut T- а . Итак , м ы получае м следующе е окончательно е выражени е дл я функ ци и ш (г) : ш (z) = K-H In U +tin z J / ' " ^ T l n z + / ' (40'4) Дл я комплексно й скорост и вспомогательног о течени я м ы находим : (40.5 ) Введё м ещ ё одн у переменну ю С, положи в ' _ . Z-i , " ~ 1 Z + I ' пр и это м внешност ь единичног о круг а в плоскост и Z переходи т в верхню ю полуплоскост ь С, точк а О ' в 1, точк а K i - в О , точк а О ' в - 1 . Межд у z и С существую т просты е соотношени я z = Ie1' I K 2 У Ie'" + г (40.6 ) Окончательн о дл я комплексно й скорост и абсолютног о движени я в област и D1 м ы найдё м посл е просты х вычислени й следующе е выражение : da ~dz~ U+- dw dz •U 1 ^C x c o s - Cl t ' s i n j ) a a I a / Ie1"-г\гИ . a !Ie'" - z \2x~T = £ / 1 COS - : Sin - 2 V Ie1" + Z 2 \ Iei" + г (40.7 ) Чтоб ы выяснит ь характе р течени я на бесконечности , лучш е ис ходит ь и з формул ы (40,5) ; замечая , чт о •21_ Z _ 2 Z 2Г + . . . ) " = ! 3/4 + . . . , легк о найдём , чт о 5 = ^ ( 1 ' " " 3/4 + • • • и вследстви е формул ы преобразовани я (40.1 ) dw ia . 2"е'° \ , A-iB 4 z 2 Г Г 1 Tt j * + . . . . (40.8 ) ОБТЕКАНИ Е ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 655 где А = Ц-(\ - c o s a + ~ cosa) , В = ( l - sin a . (40.9 ) Полученна я формул а показывает , чт о далек о пере д тело м тече ние имее т тако й характер , ка к есл и бы он о происходил о о т сово купност и источник а и вихря , находящихс я в начал е координат , причё м мощност ь источник а равн а Q = 2 ~ А = IU - я co s a + 2 a co s a] , (40.10 ) а интенсивност ь вихр я равн а Г = 2т:В = IU (it - 2a ) sin а . (40.11 ) Пр и малы х значения х а циркуляци я получаетс я равно й rdUa. , в т о врем я ка к п о теори и Жуковског о циркуляци я должн а равнятьс я 2rdUa. Значени е циркуляции , имеюще е мест о в действительности , лежи т межд у этим и двум я значениями . Течени е в област и D 1 определяетс я формуло й (40.7) . Чтоб ы опре делит ь течени е област и D 2 , необходим о вычислит ь значени я функ ции (40.7 ) в точка х задне й сторон ы пластинки . Дл я эти х точе к С лежи т в промежутк е (-со , 0) , а z имее т значени е л: -f yi = у ct g a -j J r i y - -I--e t a ; поэтом у из формул ы (40.6 ) следует , чт о Мы имее м далее : J. _ / / sin a - у 4 V I' ssiinn aa --jу a JL a а-тс *1 - co s OX а ( ^ i n a у y l _ s . n а / / s i n a у N г". " г 1 \ / Sin а 4 у / 2 \ / sin а -fу / J д<р = 0 на C 2 ; (40.12 ) 'дУ применя я посл е этог о формул ы (37.18) , найдё м течени е в област и D 2 . Вычислим , наконец , сопротивление , испытываемо е пластинкой , дл я чег о примени м формулу : C2 / Sln d Подстави м сюд а предыдуще е выражени е дл я ду/дх и воспользуемс я подстановко й у = lr\ sin a ; 656 ДВИЖЕНИ Е ВЯЗКО Й ЖИДКОСТ И [ГЛ . Il тогд а получи м 1 а 1 рU2 I sin а Г X 2 J cos-1 Н о есл и положит ь -f sitl: dlJ. т о буде м имет ь 1 + 4 1 " о & dt О + O 2 2я ? sin я^ ( 1 < P < 1) . Тепер ь бе з труд а посл е ряд а тригонометрически х преобразовани й получим : P UH X-. [те - (т: - 2а) , L 7 co s a J (40.13) Аналогичны м образом , пользуяс ь второ й из форму л (38.7 ) и зна чение м Г из формул ы (40.11), м ы могл и б ы вычислит ь У. Но в дан ном случа е достаточн о заметить , чт о вс е элементарны е сил ы давле ния направлен ы п о нормал и к пластинке . Поэтом у результирующа я сил а должн а быт ь перпендикулярн а к пластинке . А отсюд а сраз у следует , чт о К == ctg a = ! ^ i [я ctg а ( я - 2а) i ^ ] . (40.14) Пр и угл е а ==т:/ 2 составляюща я Y обращаетс я в нуль , ка к и должн о быть , дл я X ж е получаетс я выражени е ^U 2 I ( " + 2 ) _ - 2,57рЕ/ г / , X (40.15) в т о врем я ка к опыт ы даю т коэффициен т 1,56 . Ка к видим , сопро тивлени е получаетс я чрезмерн о большим . Причино й этог о являетс я т о ж е обстоятельство , которо е имел о мест о и в случа е обтекани я цилиндра : в т о врем я ка к распределени е давлени я на передне й сто рон е пластинк и хорош о соответствуе т действительному , на задне й сторон е пластинк и получаютс я чересчу р низки е давления . Можн о получит ь лучши е результаты , видоизменя я нескольк о основны е предпосылк и теории , ка к эт о сдела л в ряд е рабо т Цейло н (Zeilon) 1 ) . ' ) См., например, O s e e n С. W., Hydrodynamlk 1 приложение, содержаще е две работы Цейлона. § 401 ОБТЕКАНИ Е ПЛОСКО Й ПЛАСТИНК И 65 7 Рассмотрим , например , стационарно е плоско е движени е и до пустим , чт о векто р полно й скорост и v може т быт ь разложе н на дв е част и v = v0-\-v', (40.16 ) гд е V0 ест ь векто р скорост и основног о движения , а - векто р дополнительно й скорости . Дл я определённост и примем , чт о 1D0 ест ь безвихрево й потенциальны й векто р vOX - д у ' VOy - д х ' Щ- дх2 -1 ду2 - Приме м теперь , чт о в выражени и w Xrotw 1 входяще м в основ ны е уравнени я (37.1) , м ы може м пренебреч ь квадратичны м члено м и ' X r Ot i y ' . т а к ч т ° эт и уравнени я можн о записат ь так : гд е P W o y S = ^ +VAw j c ; Rtf a r Q = - g ^ + v Awy l (40.17 ) g _ dVy dVx дх ду И з предыдущи х уравнени й посл е перекрёстног о дифференциро вани я легк о найдём , чт о P "а г " 5 7 + ^ = VAQ ; в предел е пр и [х-> 0 получае м уравнени е da , до, п йф дй dQ _ . . . 10. " о х 1 7 + " о у ^ г = 0 и (tm) - = 0 . (40.18 ) Эт о последне е уравнени е показывает , чт о 2 = /(<|0 , т . е . чт о вихр ь имее т постоянно е значени е н а линия х ток а основног о движения . Принима я <|> = - U у , м ы получае м прежни й результат , чт о з а тело м вихр и перемещаютс я п о прямым , параллельны м ос и Ох . Выбира я ину ю функци ю <|>, м ы получае м други е траектори и дл я вих ре й и, следовательно , друго е решени е задачи . Ещ ё одн о видоизменени е теори и касаетс я граничны х условий . В основно й теори и исчезающе й вязкост и м ы имее м резко е разграни чени е передне й стороны , на которо й происходи т обтекани е потоко м тела , о т задней , на которо й происходи т прилипани е жидкост и к телу . Можн о ввест и некоторы е переходны е участки , на которы х оди н режи м обтекани я буде т сменятьс я другим . Ясно , чт о путё м надлежащег о подбор а эти х участко в можн о значительн о улучшит ь совпадени е получающихс я теоретически х результато в с эксперимен тальным и данными , особенно , есл и использоват ь такж е и произво л в выбор е функци и ток а основног о течени я 11 уравнени е иераз г а г т=\ / Z (х~) *) Вследстви е известног о соотношения , Z 1 (л) = Z0(X) 1 •-• • -. § 2] УСТОЙЧИВОСТ Ь ДВИЖЕНИ Я МЕЖД У ДВУМ Я ЦИЛИНДРАМ И 66 3 рывност и можн о буде т заменит ь на основани и (2.4 ) следующи м соотношением : со 2 + + + + = 0 , (2.6 ) m = l Эти м уравнение м м ы и воспользуемс я дл я определени я dm чере з посредств о av а2, . . . и чере з с 5 , с 6 , C1. Чтоб ы возможн о был о эт о сделать , надо , однако , предварительн о переразложит ь .Z 0 (AV ) и W 0 (AV ) в ряд ы Фурье-Бесселя , н о уж е не п о Zx(kmr), а п о функ ция м Z0(kmr) ( А ф A m ) . М ы може м написат ь гд е со C5 + C6J0 W r ) + cInO (&'/•) = 4 + S amZ0 т = \ = -JQ f гZ0 (kmr) [CbJ0 (AV) + C1N0 (AV) ] dr, U Г2 Hm = J z\(kmr) г dr, Г, с'. - постоянная , содержаща я в качеств е слагаемог о с 5 . Дл я опреде лени я ат замечаем , чт о интеграл ы тип а J rJ0(kmr) J0 (A' г ) dг легк о г, вычисляются . Действительно , п о обще й формуле : гг f rJn(ksr)Jn (ktr)dr = следовательно : k l k 2 t IktJn (ksr) j'n (ktr) - ksJn (ktr) Jn (ksr)\ ] 2; a m = 7п 7 ( 7 т I h^ ^ r [(k'Z0 (km r) J0 (I)Jr) - kmJ0 ((k'r) Z0 (kmr)\ Y 4 Ir1 + 7H7mc 7 f , Г ,2 [A'Z o (km Г) N0 (AV ) - kmz'0 (kmr) N0 (AV) ] Г . + 1 ' J r , H o z'0(kmr) = - Z\{kmr) и потом у Z 0 (k m r\ ) = Z0(kmr2) = 0 . Ввод я ещ ё вмест о произвольны х постоянны х C6 и C7 произвольны е постоян ны е C 6 и C1'. с'а= й! Г2 {сб-/о (AV2) + C7N0 ((Kr2)}, C1 = - (кг 1 \cj'0 ((X1T1) -j C1N0 (AV )J , 664 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill получим : ат = Th Тг Т (АтГ2) 4 C1Zq (Amr 1 )] . Уравнени е (2.6 ) позволяе т тепер ь заключить , чт о с : = о и позволяе т найт и вс е dm чере з посредств о св, C7 и а.п пр и помощ и соотношени й j ^o (kmr2) , Z0 (kmri) , km _ ""te+O 6 "ЛЬ+**)1 1 т' } На м остаётс я тепер ь воспользоватьс я (2.5 ) и вставит ь туд а эт и dm. В (2.5) , однако , имеютс я член ы вид а const . -~2-Z x (k m r) . Эт и член ы на м надлежи т сперв а разложит ь в ряд ы п о функция м Z 1 ( k m r ) . Тольк о когд а эт о буде т сделано , возможн о будет , встави в dm в (2.5) , произвест и сравнени е коэффициенто в пр и Zx(kmr) с одина ковы м т. Имеем : гд е коэффициент ы со = (2.8) 2 S=I г, г, т? = w ; f r ( A + ^ ) z i M zI ( V ) dr, Hs = f г Zl (ksr) dr Г, г, могу т быт ь вычислены , есл и известн ы k s . М ы може м тепер ь вста вит ь (2.7 ) и (2.8 ) в (2.5 ) и приравнят ь коэффициент ы пр и одина ковы х Z 1 ( k m r ) . Получи м посл е просты х преобразований : [Z0 ( Kr 2 ) C6 + Z 0 (kmri) с'7\ 4 ~ (kl + 1 ' ' ) 4 ^ 2 ) ат 4 - 4yJ ( V m Y m 1 + - - - 2 ~ ^ r H £ 7 0 2 + . . . 1 = 0 . (2.9 ) Придава я т разны е значения , получи м систем у бесконечн о боль шог о числ а однородны х линейны х алгебраически х уравнени й дл я определени я с'6, c' r a v а 2 , . . . Прибави м ещ е сюд а неиспользованны е услови я обращени я H3 пр и г = г 1 и г = г 2 в нуль . Дл я этог о заме тим , чт о п о уравнени ю неразрывности , обращени е н 3 в нул ь экви валентн о равенству : -^!+ ^ = 0 , т . е . (см . выше ) со S k m a m z 0 ( k m r ) = 0. т = 1 § 2] УСТОЙЧИВОСТ Ь ДВИЖЕНИ Я МЕЖД У ДВУМ Я ЦИЛИНДРАМ И 6 6 5 Итак , имее м ещ ё дв а условия : ftizo(Vi)aI + A 2 Z 0 (A 2 Z-J) а 2 4 . . . = 0 , I A1Z0(A1^2)U1 + k2Z0(k2r2) а2-\- .. . =0. J Бесконечна я систем а (2.9 ) и (2.10 ) и должн а служит ь дл я опреде лени я Cg, c'v ау а2, . . . Приравнива я е ё определител ь нулю , м ы получи м то , чт о м ы ставил и себ е цель ю получит ь - веково е уравне ние , связывающе е пр и данны х M1, со2, г х и г 2 величин ы р и X (верне е X и Г = / X 2 + P/v) . Тейло р да л детальны й анали з этог о вековог о уравнения , причём , ввид у чрезвычайны х вычислительны х трудностей , ограничилс я слу rI + Г2 ^ чаем , когд а г 2 - г х мал о п о сравнени ю с ^ • Отсыла я з а дета лям и к цитированны м выш е работа м Тейлора , в которы х имеютс я такж е и результат ы экспериментально й проверки , укаже м на глав нейши е выводы . Анали з показывает , чт о есл и цилиндр ы вращаютс я в одн у и т у ж е сторону , т о пр и W1/*2 < to 2 г \ всегд а буде т иметьс я устойчивость . Элементарны й критери й это т неприменим , есл и вра щени е происходи т в противоположны х направлениях . Н а рис . 19 0 -250 -WO -150 -100 -SO О 50 WO 150 200 Рис. 190. дан а кривая , представляюща я п о Тейлор у границ у устойчивости . П о горизонтально й ос и отложен ы здес ь значени я co2/v, п о вертикаль но й ojj/v, причё м взят о /-J = 3,5 5 см, г 2 = 4,03 5 сл , та к чт о (Гз/г,) 2 = 1,29 2 (ниж е прямо й a ) , ^ = 1,29 2 - всегд а имее т мест о устойчивость) . Интересн о отметить , чт о в случае , когд а вращени е происходи т в разны х направления х (со2 < 0) , значени е W1, начина я о т которог о буде т имет ь мест о неустойчивость , должн о быт ь больше , че м то , посл е которог о буде т неустойчивост ь пр и со2 = 0 . Н а рис . 19 1 приведен о сравнени е данны х теори и и эксперимент а 666 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Есл и об а цилиндр а вращаютс я одинаковы м образом , потер я устойчивост и проявитс я в возникновени и рядо в вихре й в плоскост и меридиана , имеющи х чередующиес я противоположны е вращени я и занимающи х вс ё пространств о межд у цилиндрам и (рис . 191) . Экспери ментальн о можн о обнаружит ь возникновени е эти х вихрей , помеща я вдол ь внутреннег о цилиндр а тонки й сло й окрашенно й жидкости ; краск а эта , когд а возникаю т вихри , располагаетс я п о кольцам , окружающи м вихревы е област и (рис . 191) . Есл и цилиндр ы вращаютс я в противоположны е стороны , обра зуютс я дв а ряд а вихрей ; и з ни х оди н соприкасаетс я с внешним , а друго й с внутренни м цилиндро м (рис . 192) . Пр и это м краск а распределяетс я ка к показан о на рисунке . Ка к качественно , та к и количественн о теори я Тейлор а даё т пора зительно е совпадени е с опытом . Сайнд ж (Synge) 1 ) в 193 8 г . привё л задач у Тейлор а к уравнения м значительн о боле е простог о вид а и показал , чт о критери й устойчи вост и W 1 ^ < со2г\ (пр и W1 и ш2 одинаковог о знака ) буде т справедли в н е только , когд а г 2 - г х мал о п о сравнени ю с г ' Г г , н о и в обще м случае . § 3 . Устойчивост ь течени я межд у пластинкам и и устойчи вост ь в погранично м слое . Перейдё м тепер ь к исследовани ю устойчивост и други х движений . М ы остановимс я на движения х ' ) S y n g e J., O n th e Stabilit y of a Viscou s Liqui d betwee n rotatin g coa xia l Cylinders , Proc . Roy. Soc . (A) , London , 167 (1938), № 929, ст р 250-256. §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 667 межд у двум я неподвижным и параллельным и стенками 1 ) и на движения х в погранично м слое . Буде м рассматриват ь эт и задач и параллельно ; перву ю и з эти х зада ч буде м называт ь сокращённ о случа й I, вто рую-случа й II. В о все х случая х м ы буде м считат ь ка к движение , та к и возмущени е плоскими 2 ) . Функци я ток а ф плоског о движени я вязко й несжимаемо й жидкост и удовлетворяет , ка к м ы знаем , уравнени ю (см . гл . II, § 8) ; д . , дф д Дф . дф д Дф 4 . , _ ." , ч гд е V - кинематически й коэффициен т вязкости . Наш е движени е мы , ка к и в случае , рассмотренно м Тейлором , считае м разбиты м н а два : основное , стационарно е с функцие й ток а ЧГ и бесконечно е мало е возмущени е с функцие й ток а ф ' ф(х , у , t) = W(x, у ) + ф'(* . У. t). (3.2 ) Таки м образо м скорост и Vx и Vy представятс я в виде : v x = ^ + v x , v y = -~ -^+ V r гд е vx ~~ ду ' Vy ~ дх Функци я ЧГ должн а сам а удовлетворят ь уравнени ю дЧ? д№ . дЪ" u " f = - т ( / l v 2 a 2 f " + a i f ) • (3'4) Величин у а всегд а буде м считат ь действительно й (рассматривае м волн ы длин ы 2ir / а вдол ь ос и х)\ величин а b може т быт ь комп лексной : , , , , b = bT -f lb,. Есл и буде т bi < 0 , ф' буде т затухат ь в о времени , и движени е буде т устойчиво ; пр и bt > 0 движени е неустойчиво ; bt = 0 даё т нейтраль ный случай . Наш е уравнени е (3.4 ) - четвёртог о порядк а и м ы должн ы решат ь ег о пр и четырё х краевы х условиях . В случа е I, когд а движени е происходи т межд у плоскостям и у = 0 , у = 2й , на м над о поставит ь услови я прилипани я к стенкам , т . е . (v'x = v'y = 0y, / ( 0 ) = / ' ( 0 ) = / ( 2 А ) = / ' ( 2 А ) = 0 . ( 3 . 5 ) В случа е II, когд а изучаетс я устойчивост ь пограничног о слоя , буде м брат ь кром е услови я прилипани я к стенк е /(0 ) = /' (O ) = O (3.6 ) ещ ё услови е обращени я решени я вн е пограничног о сло я в решени е дл я идеально й жидкости . В идеально й жидкост и v = 0 и V " = Q и (3.4 ) переходи т в уравнени е еау м ы должн ы отбросит ь ка к неограниченно е на бесконечности : значит , должн о быт ь / = Const . е~ау. Итак , есл и границе й пограничног о сло я буде т у = A , м ы должн ы потребоват ь выполнени я услови я / ' ( A ) + fl/(A) = O. (3.7 ) Кром е того , м ы должн ы потребоват ь ограниченност и / на бесконеч ности . Дл я удобств а решени я задач и введё м безразмерны е величин ы х, у, t , U пр и помощ и равенст в X = fix, y = hy, t = ~ l , U = UmU. (3.8 ) Um §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 6 6 9 Здес ь h - характерна я длин а - половин а расстояни я межд у пла стинкам и в случа е I и толщин а пограничног о сло я в случа е II; U m - характерна я скорост ь основног о движения , з а котору ю м ы приме м максимальну ю скорост ь в случа е I и скорост ь на границ е пограничног о сло я в случа е II. Обозначи м a h = "' = - = M Тогд а <]/ м ы може м взят ь в вид е ф'==/( £)*'' " (*-<*), (3.10 ) и уравнени е (3.4 ) приме т вид : (4 [ 7 о {"L-""Л ^ f e _ _ ' _ + " Л . '\dy* / ^y 2 a R \ dy* dy 2 ) (3.11 ) Краевым и условиям и задач и будут : в случа е I в случа е II /(0 ) = / 4 0 ) = /(2 ) = / 4 2 ) = 0 , (3.12 ) /(0 ) = /' (0 ) = 0 , /'(1 ) + а/(1 ) = 0 , / ( с о ) < со . (3.13 ) Хо д решени я наше й задач и о б устойчивост и можн о представит ь дале е следующи м образом . Уравнени е (3.11 ) содержи т кром е заданно й функци и U (у ) ещ ё тр и параметр а с, a , R ; дв а из них : а и R характеризую т длин у волн ы возмущени я и числ о Рейнольдс а основног о поток а соответ ственн о и сут ь величин ы действительные ; трети й - с - може т быть , вообщ е говоря , комплексно й величиной . Четыр е линейн о независи мы е решени я уравнени я (3.11 ) в случа е I должн ы быт ь связан ы однородным и соотношениям и (3.12) ; тр и конечны х на бесконечност и линейн о независимы х решени я тог о ж е уравнени я в случа е II связан ы трем я однородным и условиям и (3.13) . Веково е уравнение , получаю щеес я в то м и друго м случае , буде т связыват ь тр и параметр а a , R и с соотношение м вид а F (с, a, R ) = 0. Реша я эт о уравнени е относительн о с, м ы получи м ! ) с = с (a, R). ' ) Возможност ь решени я относительно с векового уравнени я получается пак следствие того факта, что функция F будет целой функцией от своих rpcix переменных. В самом деле, будем в уравнении (3.11) считать у комплексно ^ величиной, так ж е как и вс е три параметр а a, R, с. Примем для U (у), которая определена лишь для действительных значений у, для лругих значений - аналитическо е продолжение. Тогда уравнени е (3.11), для 6 7 0 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Отдели в действительну ю и мниму ю част ь c(==cr-\-icj), получи м дале е c r = c r (a , R ) и с г = с г (а , R) . Крива я C1 (a , R ) = 0 (3.14 ) буде т отделят ь област ь устойчивост и о т област и неустойчивости . Задач а определени я характеристически х чисел , связанна я с реше ние м уравнени я (3.11) , был а предмето м исследовани я ряд а авторов . Одним и и з первы х был и Opp 1 ) и Зоммерфельд 2 ) , которы е исследовал и устойчивост ь движени я межд у двум я пластинкам и и н е нашл и потер и устойчивости . К том у ж е вывод у приходил и и таки е автор ы как : Мизес , Хоп ф (Hopf) , Гольдштей н (Goldstein) , Пекери с (Pekeris ) и многи е другие . Есл и н е считат ь теори и Гейзенберга 3 ) , котора я считалас ь неполно й и неточно й и н е был а поэтом у общепризнана , вс е теорети чески е работ ы д о сравнительн о недавнег о времен и давал и отсутстви е возможност и потер и устойчивост и движени я межд у двум я пластин ками . Перво е строго е доказательств о того , чт о движени е межд у парал лельным и пластинкам и може т оказатьс я неустойчивы м пр и некоторы х значения х R , был о дан о в работ е Лин я 4 ) . В это й ж е работ е даётс я попутн о анали з ошибок , ил и неточностей , из-з а которы х н и оди н и з предыдущи х авторо в н е мо г добитьс я верног о результата . Прандтль 5 ) в 192 1 г . и Титьенс 6 ) в 192 5 г . впервы е рассмотрел и вопро с о б устойчивост и пограничног о слоя ; пр и это м он и предполо жили , чт о профил ь скорост и основног о поток а може т быт ь соста вле н и з нескольких , различны м образо м наклонённы х прямолинейны х кусков 7 ) . Автор ы эт и пришл и к парадоксальном у выводу : пограничны й сло й везд е неустойчив . Поздне е Толлмиен 8 ) показал , чт о выво д получилс я благодар я предположению , чт о кривизн а профил я скоросте й основног о поток а всюд у равн а нулю . Принимая , чт о кривизн а профил я скоросте й хот я б ы в отдельны х частя х этог о профил я отличн а о т нуля , которог о вс е точк и в любо й конечно й област и регулярн ы и коэффициент ы которог о сут ь целы е функци и о т параметро в а, с и aR , будет , п о известно й теорем е теори и дифференциальны х уравнений , имет ь систем у четырё х неза висимы х решений , являющихс я аналитическим и функциям и у и парамет ро в с, a, aR и целыN и функциям и эти х параметров . ' ) Orr , Proc . Roy. Irish Acad. , 27, 1906, 1907. 2 ) S o m m e r f e l d, Proc . 4th . Int. Congres s Malh. , Rome , 1908. 3 ) H e i se n b e r g , Ann . d. Physik . 74 (1924). 4 ) Li n C., O n th e Stabilit y of Tw o - Dimensiona l Paralle l Flows . Quart erl y Appl . Mathematics , т III, № 2, № 3, № 4, 1945, 1946. 5 ) P г a n d t 1 L., Bemerkunge n ube r di e Entstehun g de r Turbulenz , ZaMM , 1921. 6 ) T i e t j e n s 0. , Beitra g zur Entstehun g de r Turbulenz , ZaMM , 1925. 7 ) Предположени е эт о был о связан о с желание м описат ь тот факт , что в местах , находящихс я окол о " очк и отры в i> ламинарног о слоя , профил ь сксросте й имее т на некоторо м расстояни и от стенк и точк у перегиба . 3 ) T o l l m i e n , Uebe r di e Entstehun g de r Turbulenz , Gdttinge n Nachrich ten , 1929, стр . 24. § 3j УСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 67 1 Толлмие н получил , чт о кол ь скор о числ а Рейнольдс а н е превосходя т некоторо й величины , изучаемо е движени е устойчиво . Толлмие н рассмотре л конкретн о лиш ь профил я U, состоящи е и з куско в прямы х и парабол . В боле е поздне й работе 1 ) Толлмие н вернулс я к случа ю произвольног о профил я в погранично м слое . Розенбрук 2 ) примени л мето д Толлмиен а к исследовани ю движени я в диффузоре , аппроксимиру я профил ь скоросте й в вид е полином а шесто й степени . В упомянуто й работ е Лин я даётс я такж е и решени е зада ч о б устой чивост и в погранично м сло е дл я произвольног о распределени я скоро сте й U . М ы расскаже м в общи х черта х о работ е Линя , отправляяс ь о т изложенно й выш е постановк и задачи , параллельн о провод я рас суждени я дл я случа я I и случа я II . Пут ь построени я решения , принятог о Линем , заключаетс я в сле дующем . Уравнени е (3.11 ) содержи т тр и параметра : а , с, 1/aR . Парамет р 1/a R можн о считат ь малым , иб о устойчивост ь теряетс я пр и больши х числа х Рейнольдса . Поэтом у дл я целе й подсчёто в удобн о искат ь четыр е независимы х решени я нашег о уравнени я четвёртог о порядк а в вид е рядо в п о малом у параметр у 1/aR . Однак о пр и построе ни и эти х рядо в встретитс я принципиально е затруднение . Дел о в том , чт о парамет р 1/a R входи т в наш е уравнени е пр и старше й производной . Есл и прост о отбросит ь чле н с 1/a R в (3.11) , т о м ы придё м к урав нени ю второг о порядка , имеющем у особенност ь в то й точке , гд е Пуст ь эт о буде т точк а U = C. (3.15 ) У = Ус Дл я точног о уравнени я четвёртог о порядк а у = ус н е буде т особо й точкой . Пр и построени и наши х асимптотически х рядо в над о тща тельн о проследит ь з а проявление м это й особенности , вводимо й лиш ь математически м методо м интегрирования . Эт о можн о буде т сделать , есл и м ы получи м возможност ь сравнени я наши х асимптотически х разложени й п о 1/aR , удобны х дл я практически х расчётов , с точным и решениям и уравнени я четвертог о порядк а (3.11) . Начнё м с построени я решени я (3.11 ) в виде : / Су) = /< 0 ) OO + / ( 1 ) OO ^ f + / (2 ) OO ( д а + • • • ( З Л 6 ) Подставля я эт о в (3.11 ) и сравнива я член ы пр и одинаковы х степеня х 1/aR , получи м следующу ю систем у дифференциальны х ' ) T o l I m I e n W., Ein allgemeine s Kriteriu m de r InstabiIita t Iaminare r QeschwindigkeitsverteIlunge n Qottinge n Nachrichten , 1935. г ) R o s e n b r o o k , InstabiIita t de r Orenzsehich t im schwac h divergente n KanaI, Z S ang . Math . u. Mech. , 17 (1937), вып . 1, стр . 8-24. 6 7 2 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill уравнений : (U - с) (/<°)" - а2/<°>) - (7'7(0) = 0, (3.17) ф _ с) (f(k)" _ а2yr(ft)) _ JjHfW _ = - / [ / < * 1 ^ 2^/(*1 ) " -!-а 4 /**1 )] . (3.18 ) Уравнени е (3.17 ) эт о прост о уравнение , отвечающе е колебания м в идеально й жидкости . Ег о можн о решит ь пр и помощ и рядо в п о степеня м а 2 . Пр и это м м ы получи м дв а независимы х решения : где / Г OO=Cf f f ( y ) :(U К СУ) = 1 . • О I V y ) + = 3/4 (у ) + " Ч (у ) + -с)1МУ ) + а 2 Аз(У)+в 4 А 5 OO + (3.19 ) У ¢2/1 + 2 OO = f (U-C)2 о J (U~cf H2n (У) dy dy, Ai (У) 7 _ Г J y J (U- с)2 (3.20 ) у у '2/г+ 3 (У ) = f(U •с 2 ) 4 + i ( y ) r f y cfy . OJ v (U-C)2 LOJ Определи в дв а независимы х решени я дл я /<°>, получи м дальш е любо е / W пр и помощ и квадратур . Пр и конкретны х расчёта х достаточн о бывае т ограничитьс я функ циям и / ( 0 ) . Уравнени е (3.11 ) можн о рассматриват ь в комплексно й плоскост и у (см . сноск у на стр . 669 ) и считать , чт о aR , a - комплексны е числа , а U (у ) - аналитическо е продолжени е функци и U, определённо й лиш ь дл я действительны х у . Тогд а / буде т цело й функцие й о т a R и a R = о о буде т особо й точко й (есл и / зависи т о т aR) . Поэтом у ряд ы (3.16 ) сут ь асимптотически е ряд ы (ил и полиномы ) п о 1/aR . Далее , решени я (3.17 ) буду т целым и функциям и о т а 2 и ряд ы (3.19 ) равномерн о сходятс я дл я любо й конечно й област и комплексно й плоскост и а 2 , дл я закре плённог о у , з а исключение м тог о случая , когд а у = ус. В точк е у = ус уравнени е (3.17 ) имее т логарифмическу ю особенность , и эт о затруд няе т выбо р пут и интегрировани я о т 0 д о у в (3.20 ) (пр и интегри ровани и приходитс я переходит ь чере з точку , гд е U = с) . Выбо р это т §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 673 получаетс я путё м сравнения , с асимптотическим и представлениям и дл я больши х a R точны х решени й полног о уравнени я (3.11) . К этом у м ы вернёмс я ниже , а сейча с построи м другу ю пар у решени й уравнени я четвёртог о порядк а (3.11 ) непосредственн о дл я больши х 1/aR . Н а это т ра з буде м искат ь / в вид е f = e$sd>. (3.21 ) Тогд а дл я g мы получи м следующе е нелинейно е уравнение : (U-C)(g2 + g ' a 2 ) U " = = TR ^ 4 + 6 g 2 g ' + Z g ' 2 + A g g " + g " ' 2 ^ i g 2 + g , ) + a4} • (3-22) Представи м g в вид е следующег о ряда : ^ (У ) = V ^ ^ 0 ( У ) + ^ I ( У ) + 1 7 = ^ 2 ( ^ ) + 4 ^ 3 ( У ) + • • • (3-23 ) у a R a R Мы получи м тогд а уравнения : (U-C)g\ = -igb, Ф - с) {g'Q + 2 ^ ) = - / ( 4 ^ , + 6 ^ ) ; ( U с) + g\ + 2 g Q g 2 о?) U" = 1 + б g i g \ + 6 ^ ; + 1 2 g 0 g l g ' 0 + з ^ 2 + 4 ^ 2 3/4 ) . (3.24 ) Последовательно , бе з интеграции , м ы може м определит ь отсюд а вс е наш и функции . Выпише м первы е две : g0=± Yi(U-c), = (3.25 ) i s o Дв а разны х знак а пере д корне м отвечаю т дву м независимы м ре шениям . Дл я (3.17 ) точк а у = ус был а логарифмической ; тепер ь эт о - алгебраическа я точк а ветвления . М ы може м положит ь дл я кон кретност и аг g l = ^ и считат ь дл я U>carg(U- с) > с; буде т ли зате м аг g( U - ¢ ) = -)-7 : или arg(U - с) = - л дл я отрицательны х U - с, мы сможе м сказат ь лиш ь посл е рассмотрени я полног о ре шени я (3.11) , о которо м мы уж е упоминал и выше . Использу я функци и g, м ы можем , таки м образом , написат ь и втору ю пар у независимы х решени й уравнени я (3.11) ; назовё м эт и решени я / 3 и / 4 . Есл и ограничитьс я лиш ь первым и двум я членам и в разложе 4 3 Теоретическа я гидромеханика , ч. II 6 7 4 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill ни и (3.23) , можн о написать : £ /Vi*R (U-C) dy у 5 + J Y UR(U-C)dy Z4 = (и - с)'1 е yC (3.26 ) Ка к ж е построит ь тепер ь т о полно е решени е (3.11) , о которо м м ы уж е нескольк о ра з упоминал и и которо е м ы дотжн ы знать , чтоб ы найт и поведени е функци й / окол о точк и у = у с и решит ь вопро с о путя х интегрировани я в (3.20 ) и (3.26) ? Чтоб ы установит ь поведени е (3.11 ) окол о точк ч у = у с , введё м сперв а ново е независимо е переменно е т) и з соотношени я I у - = гд е s = (aR)~ 3 . (3.27 ) Есл и обозначит ь f ( y ) = X(-n), т о уравнени е (3.11 ) перейдё т в следующее : aRe 2 0 ^ 2 ^ 6 3/4 ' ' + ^ 4 * ) . (3.28 ) причё м функци и U - с и U", участвующи е в качеств е коэффициентов , буду т представлятьс я рядами : и - с= UcBri -f и ("Ч) 1 , (3.29 ) V TUi" +I 7U7 "s.ri 4I 7U7' V ( lf) 2 (3.30 ) c c c где t 7 и т . п . У=УГ Тепер ь можн о искат ь решени е в вид е ряда , расположенног о п о степеня м е : / (У) - X (7 J) Х(0 ) W + £ Х (1 ) (1 ) + e2 X(2 ) (l ) + • • • ( 3 3 1 ) Уравнени я дл я у}°1, . . . будут : ¥ 0 ) ' v + W o r = O. 9C( ")I V + Ur rIXw" ~ Ln-\(7J) я > 1 . (3.32 ) (3.33 ) § 3] УСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 675 гд е L n V (y) -линейна я комбинаци я из . . . , х (л_1 ) , У и и х про изводных ; в частности , L 0 = L Z ^ x ( O ) I 7 j 2 x ( O ) " ) . Уравнени е (3.32 ) имее т следующи е четыр е независимы х решения : XlP = 1 , = f Clfl J VriHiI (Zcw)T ) Clri, СО СО 3 TL Г = Jdrl J V v H f (Zao7J)Tj dTi, (3.34 ) (3.35 ) гд е Vm (3.36 ) а Нк\ и H г -функци и Бессел я порядк а ! /з -3 3* Следующе е приближени е м ы получи м в вид е T1 Ti х<*> = I Jdrl J drJ { f yf" Ln_x(ri) d-n -/№" f Х(0Г L1^1 (7,) drJ}. Сходимост ь рядо в (3.31 ) буде т обеспечен а кол ь скор о буду т сходитьс я ряд ы (3.29) , (3.30) . Замети м теперь , чт о аргумен т функци й Бессел я може т быт ь записан , есл и вернутьс я к старом у независимом у переменному , п о (3.27 ) и (3.36) , в вид е 3 " 3 ' ( f a O 7 I ) 2 (/)2 I^aRUc (у - ycf та к чт о пр и больши х значения х a R аргумен т это т буде т п о модул ю велик . Поэтому , жела я обследоват ь поведени е функци и Х пр и боль ши х aR , м ы може м использоват ь асимптотически е разложени я функ ци й Бесселя . Производ я несложны е выкладки , Лин ь показывает , чт о первы е член ы эти х разложени й дл я ул, ^ 2 Хз' Xi к а к Р а з совпадаю т с тем и функциям и / 1 ; / 2 , / 3 , / 4 соответственно , которы е дан ы был и в ра венства х (3.19) , (3.26) , и попутн о получае т возможност ь уточнит ь пут ь интегрировани я в квадратурах , участвующи х в эти х формулах . Отсыла я з а подробностям и к цитированно й стать е Линя , укаже м лишь , чт о пут ь интегрировани я должен , п о Линю , удовлетворят ь условию : (3.37 ) 44* 676 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Обратимс я тепер ь к собственн о краево й задаче . Случа й I движе ни я межд у двум я параллельным и пластинкам и удобн о подразделит ь н а дв а подслучая . Дел о в том , чт о возмущени е всегд а можн о раз бить , вследстви е линейности , н а дв е независимы е част и - симме тричну ю п о отношени ю к лини и у - 1 (середин а расстояни я межд у пластинками ) и антисимметричную . В случа е I удобне е записат ь краевы е услови я н е дл я у = 0 и у = 2 , а дл я у = 0 и у = 1. Пр и это м в случае , назовё м ег о Г , когд а / ( у ) симметрично , м ы должн ы написать : / ( 0 ) = / ' ( 0 ) s / ' ( i ) = Z w ( I ) = O. В случа е 1", когд а f антисимметрично , - м ы должн ы записать : Z(O ) = Z ' (O) = Z(I ) = / " ( 1 ) = 0 . Наконец , дл я случа я II движени я в погранично м сло е мы , ка к и выше , напишем : Z(O ) = Z ' ( 0 ) = 0 , / ' ( У ) + "/(У ) = о дл я у > 1 ; Z ( ° ° ) < ° ° В качеств е четырё х линейн о независимы х решени й м ы приме м наш и функци и Z n fi< /з< f \ определённы е выше . Тогд а веково е уравнени е дл я случа я I ' буде т имет ь вид : 0 ) о ) 0 . (3.38 ) о ) о ) Дл я случа я I " м ы должн ы буде м написать : /Г(1 ) т /з(1 ) / к о 0 . (3.39 ) Наконец , в случа е II м ы должн ы отбросит ь f 4 ка к решение , н е ограниченно е н а бесконечност и и написать : A(O ) Z 2 (O ) Z 3 (O ) /;(0) /i(o) z;(о) / ; o ) + " / i ( i ) / и 1 ) + * / 2 о ) 0 (3.40 ) §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМИ 677 Соотношени я (3.38) , (3.39) , (3.40 ) значительн о упрощаютс я дл я больши х значени й a.R . Использу я выражени я (3.26 ) дл я " Z 4 . м може м записать : f^ = A(y)e~v и / 4 = • B(y)e v , гд е А и В - вели чин ы порядк а единицы , а у V = J / a R (и с) dy. В определител е (3.38 ) удобн о поделит ь вс е член ы третьег о столбц а н а / з (0) . а 8 ^ e член ы четвёртог о столбц а на / 4 (0) . М ы може м за писат ь затем : f s (0) / з (0) V- А' (0) . Л(0 ) ' /3d) /з(0 ) : A'(I) Л(0 ) V ZaR ( 1 - с ) •4(1 ) 1 А (0 ) J ' / з3 ' О ) /з(О ) { [ Z a R ( I C ) J 2 A i g + 0 ( a R ) l e ' \ (3.41 ) А (° ) Л(0 ) /1(1) - - В'(0) ] / - " R e 1 w • S(O ) ' в ' ( ] ) 1 с Р Л(0 ) -•{ У ж а с S) ( OШ) S(O ) Г ' / I ' d ) Л ( 0 ) {^1 -'c >i4 I w 0(aR ) \ е гд е P= f ViaR Ш - с) dy. Пренебрега я тепер ь в определител е (3.38 ) членам и порядк а е~р или 1/a R п о сравнени ю с единицей , приведё м уравнени е (3.38 ) к виду : гд е Fi (а , с) _ /3 (0 ) Fл (<". с) / 3 (0 ) Z 1 (O ) / 2 ( 0 ) 1/1(.0 ) / J ( O ) (3.42 ) F 2 (а , с) : / ; о ) / И 1 ) Z7 4 (Я , С) = I (3.43 ) причё м F2 и Fa не завися т о т R , иб о м ы принимае м за Z i 11 Za >'х представлени я с помощь ю (3.19) , (3.20 ) (Z 1 ^ и Z2 0 ') 4 4 !сорешческа я гидромеханика , ч . I I 678 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Аналогичны м образом , преобразу я определител ь (3.39 ) ^ для чег о ../з(1 ) Z 4 ( I ) / з ( 1 ) / ' ( 1 ) \ над о буде т сперв а записат ь ещ е , ^ j , мы придё м к равенству : гд е Fi (а, с) /з (0) ' - - (3.44 ) F Л * , с ) / з ( ° ) Zi(O ) Z 2 (O) I F,(a, с) = a F4 имее т прежне е значение . Zi(I ) Z 2 (I)! ' (3.45 ) Наконец , обращаяс ь к случа ю II, м ы должн ы преобразоват ь (3.40) . М ы получи м посл е просты х выкладок : Fn 4 a F, / з (0 ) (3.46 ) F ,4 4-г а/ 7 . / з ( 0 ) гд е F1, F2, F4 имею т значения , приведённы е выше , F 3 (а , с ) = /;(0 ) Zs(O ) Zi(I ) Z 2 (I ) (3.47 ) Правы е част и равенст в (3.42) , (3.44) , (3.46 ) одинаков ы и завися т от a , R и с. Левы е част и - вс е различны , н о завися т лиш ь о т а и с, н о не о т R (п о самом у смысл у построени я функци й f v /2, участвующи х в Fv F2. F3, F4). Преобразуе м сперв а левы е част и наши х равенств . Вследстви е (3.19) , (3.20) : /.(O ) = C , Z 2 (O ) = O, 1 / ; (0 ) = ^ . Z ; (° ) = - T ' J (3.48 ) где . U0 dU dy !у = 0 . Поэтом у м ы може м написать : 1 (а, с) = -Cf2(I)-, F2(а, с) = -Cf2(I). F3 (а, с) = ZZoZ 2 (I ) + 1 Zi(I) ; (3.49 ) Z 7 4 (я , C j = U o f 2 ( I ) A ( I ) § 3] УСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 67 9 Величин ы Z 1 (I) , / 2 (1) > /J (1) . Z 2 (I ) должн ы быт ь вычислен ы с по мощь ю интеграло в (3.20) . Именно : Z 1 (I ) = ( I C ) ( l + a 2 f t 2 ( l ) + a4ft 4 (l) + ...} , Z 2 (I ) = U ¢ ) 1 ^ ( 1 ) + ^ 3 ( 1 ) + ...} , Г 1 _ 1 _ 1 / К 1 ) = T a 2 J ( t / c ) 2 r f y + a 4 J ( t 7 C ) 2 A 2 ( y ) r f y + . . . U I o о _ J Zi(I ) = T = T i 1 + аг2' J ( U C ) H l ^ d y + . . . о Дальнейши е преобразовани я удобн о делат ь дл я те х ил и ины х кон кретны х видо в U (у) , а не в обще м виде . Права я част ь може т быт ь преобразован а к удобно й форм е дл я все х случае в сразу . М ы могл и б ы груб о представить , п о (3.41) , выражени е Z 3 (O)Jf z (O ) дл я больши х a R в вид е /з(0 ) _ е 4 /а (0) У~аШ ' Однак о величин а с оказываетс я иногд а малой , и тогд а даж е пр и больши х aR , пользоватьс я это й формуло й нельзя . Следуе т обратитьс я непосредственн о к точны м решения м (3.35) . М ы получи м теперь : е 1I ( JL \ I (Ia0Tl)2 Jdrl 4 ' или , есл и ввест и вмест о к; аргумен т С п о формул е С = Ot0TJ, буде м иметь : J Л Jt2HW (/С) 1 / з (0 ) +'со +со T + со 3 = F (г) = Fr(Z) +IF1(Z), (3.50'* 44* 68 0 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill гд е z = = R . (3.51 ) В приводимо й здес ь таблиц е Xl l дан ы значени я Z7r и Z7i в функ ция х о т z п о Лито . Т а б л и ц а XiI г рг tI * F F.i 1,0 0,89161 -0,35025 3,0 0,46456 0,17391 1,2 0,78969 -0,27310 3,2 0,41947 0,22520 1,4 0,71970 -0,21213 3,4 0,36110 0,27193 1,6 0,66931 -0,16009 3,6 0,28802 0,30705 1,8 0,63143 -0,11274 3,8 0,20352 0,32130 2,0 0,60144 -0,06741 4,0 0,11800 0,30721 2,2 0,57599 -0,02226 4,2 0,04698 0,26559 2,4 0,55230 -0,02.395 4,4 0,00240 0,20811 2,6 0,52773 -0,07203 4,6 0,02160 0,14475 2,8 0,49952 0,12220 4,8 0,01477 0,09875 Итак , м ы приходи м к решени ю уравнени й тип а E (с, a.) = Fr-^iFi, (3.52 ) причё м дл я случа я I' : Er,f(с. а )л = С , (3.53 ) дл я случа я I" : E£ ( с,, аa ) - - M 1 ) , ( 3 . 5 4 ) дл я случа я II : ^0/2(1 ) + с1 / 1 ( 1 ) С E (с, я ) = - - . (3.55 ) ' U0 |/2 0) + aZ2 (1)1 + у \ f [ (1) + "/, (1)] Уравнени е тип а (3.55 ) был о получен о ещ ё Толлмиено м в упомя нуто й выш е работ е о б устойчивост и пограничног о слоя . Есл и пред ставит ь леву ю част ь этог о уравнени я в вид е ') : E (с, -J.) = Er (с, а ) + /£ г (с , а ) (пр и это м м ы берё м C1 = 0 , т . е . занимаемс я лиш ь нейтрально й линией) , т о задач а определени я нейтрально й лини и сводитс я к исклю ! ) Лева я част ь буде т комплексно й благодар я интегрированиям , имею щимс я в формула х (3.20). §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 681 чени ю с и з дву х уравнени й Er (с, а) = Fr(Z), E1 (с, a) = Fi(Z). В плоскост и (a , R ) м ы получи м тогд а линию , отделяющу ю об ласт ь устойчивост и о т област и неустойчивости . Чтоб ы исключит ь с, Толлмие и изображае т в некоторо й плоскост и кри вую , абсцисс ы и орди нат ы которо й сут ь Fr (z) и F1 (z) соответственн о (z рассматриваетс я пр и этом , ка к действительны й параметр) ; зате м в то й ж е плоскост и изображаетс я семейств о кривых , полу чающихс я пр и разны х с, есл и Ег(с, а) и Et(c, а ) изо бражат ь ка к абсцисс ы и ординат ы (переменны й па рамет р на каждо й криво й а) . Точк и пересечени я эти х кривы х даду т "совместные " значени я z и а , а та к ка к с пр и это м известно , т о п о (3.51 ) може т быт ь найден о R . Толлмие н рассматривае т профил ь U (у) , состоящи й из' ) прямо й U = 1,68т ; OTT j = O д о т; = 0,175 , парабол ы U = 1 -(1,01 5 - т;)2 о т Tj = O, 17 5 дот ; = 1 , 0 1 5 , прямо й U = 1 Н а рис . 19 3 изображен ы Та м ж е дан а крива я F (г)2) (п о Толлмиену) . Н а рис . 19 4 изображен а линия , отделяюща я област ь не устойчивост и (внутри ) о т об ласт и устойчивости ; здес ь п о ос и абсцис с отложен ы U m Wjv , а п о ос и ордина т аЪ*, приче м &* = 0,3418 , гд е 8 - толщин а пограничног о слоя , введённог о пр и г) > 1,01 5 Tj = у/8 , кривы е E (с, а) дл я этог о случая . ' ) Это т профил ь подправляетс я окол о стенки , а такж е пр и рассмотрени и критическог о мест а т; = при это м принимаютс я в расчё т формул ы Бла з и у с а . 2 ) Данны е рисунк а и таблиц ы дл я T нескольк о расходятся . Таблиц ы ^ точнее . 68 2 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill выше . Крива я зависимост и межд у а и R показывает , чт о пр и R < 42 0 возмущени е буде т затухать . Лин ь вмест о громоздког о графическог о способ а решени я разви вае т метод , годящийс я дл я любог о профил я скоросте й и основанны й на представлени и левы х часте й (3.52 ) пр и помощ и рядо в (3.19) , (3.20) . Попутн о Лин ю удаётс я дат ь ря д общи х теорем , касающихс я поведени я нейтрально й Ifi (г >,о as \ иг криво й пр и очен ь боль ши х значения х R . Так , например , Лин ь показы вает , чт о нейтральна я кри ва я Ci (a , R ) = 0 имее т дв е асимптот ы пр и R -"• со , причё м эт и дв е асимптот ы сливаютс я в одн у ( а = 0) , когд а основно й профил ь 0 W го 30 W 50 60 70 80 90 100 ноJyjfyf i скоросте й н е имее т точк и перегиба , н о эт и дв е Рис . 195. асимптот ы различн ы (одн а и з ни х отвечае т а = 0 , друга я - a = a s =fcQ) , когд а профил ь основног о поток а имее т точк у перегиба . Лин ь даё т такж е приближённы е правил а подсчёт а минимальны х вначени й критическог о числ а R . Отсыла я з а подробностям и к стать е Линя , дади м бе з вывод а эт и последни е правила . Прежд е всег о над о найт и значени е ус и з уравнени я ^ ' ( O ) J ; о и у ) Ус U (ус) U (ус) U" (ус) I U' (уз) 3 :0,5 8 (он о решаетс я лени ю ус и с : графически) . Над о зате м вспомнить , чт о п о опреде с = U (ус) и найт и п о ус соответствующи е значени я с . Минимально е критиче ско е числ о R m i n найдётс я п о Лин ю в виде : дл я случа я I RraIn ; дл я случа я II и 30£Л (0) I / гЗ T (P) J U (у) dy Rmi n ' 25 £Л (0) Н а рис . 195 , заимствованно м и з стать и Линя , дан а крива я ней трально й устойчивост и дл я случа я движени я межд у двум я неподвиж §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 683 ным и плоскостями . Здес ь U = c Iy у 2 . R nil n ^ 5314 . Дв е ветв и это й криво й пр и больши х R даютс я уравнениям и А. _Н L 1 R 3 = 8 , 4 4 (а 2 ) " и R 3 = 5,9 6 (о.2 )~ 6 . Н а рис . 196 , такж е взято м у Линя , м ы даё м криву ю нейтраль но й устойчивост и дл я случа я Блазиус а (обтекани е пластинки) . Лин ь выбирае т профил ь I J в виде : U = 2у - Зу4, а толщин у пограничног о сло я определяе т п о формул е ! ) Здес ь Лин ь получае т R m i n = 42 0 и асимптотически е ветв и криво й в виде : R = 2, 2 • I O V 1 0 , R = 0,0622а 4 . Путё м очен ь тонки х измерени й удалос ь получит ь количествен но е сравнени е теори и с экспериментом . Пр и помощ и специальны х , 0> 7 OLi 0,6 0,5 О Л 0,3 0,2 0,1 о soo 1600 2т 3200 R Рис . 196. термопа р Шубауэ р и Скрэмстэ д 2 ) измерил и пульсаци и скоросте й в са мо м погранично м слое . Н а рис . 19 6 наряд у с теоретическо й криво й ! ) Ср . стр . 574, гд е принят о 5 = 5,2| / 2 ) S c h u b a u e r an d S k r a m s t ad , Lamina r Boundar y Laye r Ostilla ions an d Stabilit y of Lamina r Flow , J. Aeronautica l Sc., 14, 1947, № 2. 684 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i . Il l Лин я нанесен ы (точками ) некоторы е значени я R и а дл я "нейтраль ных " точек , полученны е экспериментально . Совпадени е следуе т при знат ь хорошим . Потер ю устойчивост и пограничног о сло я в неоднородно й (хот я несжимаемой ) жидкост и исследова л Шлихтннг . Написа в уравнени е движени я в вид е P -d^t= - Vp Hи. A(r) -H PF, уравнени е неразрывност и и услови е несжимаемост и в вид е di v (c) = 0 , 4 f = -3/4 1 " (c) ' ^7P - 0 . dt dt 1 Шлихтин г обращаетс я к плоско й задач е и предполагает , чт о н а основно е движени е V j c = U o i n = P==P^iy), р = р 0 (у) . ( F x = 0 . Fу = - g) накладываютс я малы е колебани я тип а vXl(y)ei(ax~bt), vyi ( у ) el ^ax ~bt\ .. . Pi (У) e i ( a x ~ b t \ В качеств е р 0 (у ) Шлихтин г берё т зате м функци ю P 0 (у ) = р 0 1 е -Т У , гд е 0 < 7 = const , и принимае т v = у = const . Есл и ввест и затем , ка к эт о м ы уж е сделал и пр и рассмотрени и пограничног о сло я в несжимаемо й жидкости , безразмерны е величин ы U = Ls-, S (r) T = I , с = * . R = LsL. Um 1 L 1 S а •" а такж е K = ^ L , L = b-[: т о дл я определени я функци и / (множител ь пр и e,(-ax"bt) в уравнени и функци и ток а <Ь'= f e ' ( a x ' b t ) накладываемы х колебаний ) получитс я следующе е уравнение , являющеес я непосредственны м обобщение м уравнени я (3.11) : (U - cf (/" -a2/) -(U-C) U"f H K f L (U с) {(U-c) f U ' / ] = = - [/!V ~ 2а 2 / " H а Ч - L (/" ' - а 2 /')] . Шлихтнн г даё т приближённы й анали з этог о уравнения , отыскива я решени е ег о в вид е f = fo + K f { K ) + L f l ) + ••• и ограничиваяс ь первым и степеням и К и L (К и L значительн о меньш е единицы) ; здес ь / представляе т решени е Толлмиена . Анали з устой чивост и проводитс я совершенн о аналогичн о тому , ка к эт о делаетс я §3jУСТОЙЧИВОСТ Ь ТЕЧЕНИ Я МЕЖД У ПЛАСТИНКАМ И 685 в случа е несжимаемо й жидкост и (отыскани е решени я пр и исследовани е особенност и U = C и т . д.) ; однак о тепер ь над о оты скат ь целы х дв а семейств а кривых , отделяющи х област и устойчи вост и и неустойчивост и (дающи х связ ь межд у а и R ) в зависимост и от значений , которы е м ы дади м дву м параметра м К и L, Заметим , чт о в т о врем я ка к кривые , изображённы е на рис . 196 , уходя т на бесконечность , здес ь могу т оказатьс я случаи , когд а област ь неустой чивост и буде т ограничен а замкнутой , находящейс я на конечно м рас стояни и кривой . З а подробностям и отсылае м к цитированно й работ е Шлихтинга . В качеств е пример а на определени е неустойчивост и сжинаемо й жидкост и покаже м ка к получаетс я потер я устойчивост и в находя щейс я в равновеси и атмосфере . Пуст ь воздух , рассматриваемы й ка к идеальна я жидкость , находитс я в равновеси и по д действие м сил ы тяжест и и пр и наличи и линейног о падени я температур ы с высото й T=T0--[Z (T0=Const., О < у = const. ) (начал о координа т - на поверхност и земли , ос ь z смотри т верти кальн о вверх) . Пуст ь в это й сред е поднимаетс я частичк а воздух а (адиабатически ) и прито м так , чт о давлени е е ё (р) в кажды й момен т подняти я равн о давлени ю р окружающе й среды . Последне е зависи т о т закон а падени я температур ы с высотой , ибо , вследстви е равно весия , мы имее м *£_ = _ "0 _ _ IP. та к чт о dz S' RT ' •S где А = const . P = A (7-0 j z ) 1т о Обозначи м температур у наше й частиц ы чере з Т . Тогда , на осно вани и адиабатичност и е ё движения , х1 T=T0U' \Р о . гд е T0 и р0 - исходны е температур а и давлени е частицы ; таки м образом , ка к тольк о частиц а достигне т высот ы z, он а получи т тем ператур у х1 T=T0 P \ х V Pa ) Изменени е температур ы пр и подъём е буде т поэтом у таково , чт о ,, -Г У.- 1 , , V-- I e dz v. - I / d\u Г = d In P = = -у. г V. к 1 v. R-1 T 68 6 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill т-. 1 S Величин а - называетс я в метеорологи и адиабатически м гра диенто м и обозначаетс я букво й J a : V = 1 g * R • Таки м образо м м ы получим : _ J a T0 \ Ta ) Установи в это , предположи м теперь , чт о частиц а имел а в исход но м положени и т у ж е температур у T 1 0 =T 0 , чт о и соседние , н о по лучил а вертикальны й сдвиг . Частиц а начнё т двигаться , причё м е ё уравнени я движени я буду т имет ь ви д (лагранжев ы координаты) : d2z " 1 dp dt2 : р dz иНо , п о предположению, -d p= ^ар= - gp; поэтом у d2z . р р - р T- T , .о I S - £, S ~ ' dt2 р р T или , вследстви е установленног о дл я T выражени я (T0=T0) S ^ l l f f ' 1 Предположи м сперва , чт о у < ~[а. Пуст ь тогд а масс а получае т сдви г вверх ; пр и это м он а попадае т в област ь таки х значени й z, дл я которы х T(z) < T0, и та к ка к буде т ^ / " f - 1 > 0 , т о d2zjdt2 < О, и масс а буде т стремитьс я опуститься . Есл и ж е масс а получи т сдви г вни з (Т > T0), т о d2z/dt2^>0, и масс а буде т стремитьс я подняться . Возду х буде т находитьс я в устойчиво м равновесии . Напротив , есл и буде т у > J a ("сверхадиабатически й градиент") , т о пр и подъём е ( Т < T0) буде т d2z/dt2 > 0 , пр и опускани и ( Г > T0)d2zjdt2 < 0 , т . е . частиц а буде т продолжат ь двигатьс я ввер х ил и вниз . Равновеси е неустойчив о и може т начат ь развиватьс я турбулентность') . Б. РАЗВИТА Я ТУРБУЛЕНТНОСТ Ь § 4 . Сглаживание . Тр и основны х признак а характеризую т та к называемо е турбулентно е движение : во-первых , больша я пестрот а и быстра я изменяемост ь пол я скоростей , во-вторых , неупорядоченност ь ' ) Боле е точны е исследовани я можн о иайт и в книге : К о ч и н Н . Е. и И з в е к о в Б. И., Динамическа я метеорология , ч. 1, 1935. СГЛАЖИВАНИ Е 68 7 в смен е скоросте й и , в-третьих , сопровождающе е эт у смен у пере мешивани е жидки х частичек . Структур а развитог о турбулентног о поток а весьм а сложна , и траектори и ег о жидки х частиче к чрезвычайн о запутаны ; есл и движе ни е части ц турбулентног о поток а и удовлетворяе т уравнени ю Навь е Стокс а ил и Эйлера , т о дл я описани я эти х движени й потребовалис ь бы , очевидно , интеграл ы уравнений , настольк о сложные , чт о отыска ни е и х был о б ы п о безнадёжност и равносильн о отыскани ю траекто ри й каждо й отдельно й молекулы , движущейс я сред и други х молекул') . Сказанно е здес ь заставляет , н а первы х порах , отказатьс я о т воз можност и получит ь точну ю математическу ю картин у того , чт о про исходи т в кажды й момен т времен и и в каждо й точк е пространств а в турбулентно м движении . Вмест о этог о приходитс я обратитьс я к суммарн о статистическом у описани ю явления . Нужн о построит ь сглаженну ю картин у того , чт о происходи т в турбулентно м про цессе, - построит ь уравнени я дл я сглаженного , осреднённог о пол я скоростей , дл я средни х давлений , дл я средни х траекторий . Чтоб ы "сгладить " какую-либ о функци ю f (х) одног о аргумента 2 ) , выбираю т обычн о сглаживающу ю функци ю со (¢), котора я удовлет ворял а б ы услови ю + со J СО ( 0 dl = 1 . -OO Сглаженна я функци я / (х ) получаетс я зате м п о формул е + " Rx) = / / (5) ш ( * - !•) Я . 1) Здес ь може т возникнут ь сомнение : можн о ли вообщ е представлят ь скорост ь в турбулентно м движени и ка к некотору ю непрерывну ю функци ю координа т и времени ? "Обладае т ли вете р скоростью? " задаё т вопро с оди н и з создателе й тео ои и турбулентност и Р и ч а р д с о н (Richardson) . Можн о ли представлят ь ско рост ь частиц ы турбулентног о движени я ка к преде л отношени я элемент а Ь.х траектори и частиц ы к элемент у времен и Ш Може т быть , стилизоват ь тра ектори ю в турбулентно м движени и м ы должн ы будем , бер я в качеств е закон а движени я непрерывну ю функцию , ни в одно й точк е не имеющу ю производно й по времени , врод е известно й функци и Вейерштрасса : * = k t + S (г)" c o s ( Ъ "' Л ) • пI 2 ) Н е представляе т никаког о труд а обобщит ь операци ю сглаживани я на случа й функци й любог о числ а аргументов . 688 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill или , чт о т о же , (4.1 ) Обычн о в качеств е ш(?) беру т чётную , неотрицательну ю функцию , не возрастающу ю с росто м модул я аргумента . Заметим , чт о операци я сглаживани я линейн а п о отношени ю к сглаживаемы м функциям , та к чт о результа т сглаживани я сумм ы дву х функци й Z 1 (X ) и f2(x) ра вен сумм е результато в сглаживани я эти х функций : -t-oo T T w + / T w = / i f i ( * - о • + / 2 (*-У ) <° ( 0 di = = J А ( х - j * / 2 ( * -?)">(" ) Л = / , ( * ) + / а (*) • Пр и повторно м сглаживани и некоторо й функци и / пр и помощ и какой-либ о друго й сглаживающе й функци и W1(S) получим , очевидно . -ЬСО ^ GO ~fW = / / /( * - " - - СО OO to , ( и ) d x = / / ( * - 1 ) / tO (7] - ^to 1 (OrfUV) , чт о равносильн о одном у сглаживани ю с о сглаживающе й функцие й и>2 (т;) : to . (T i ) = J t o (T j - ^ W 1 ( 3/4 (4.2 ) Пр и это м D 2 ( T i ) = ^ t o ( T j ) И =^CO 1 (V i ) . Одни м из наиболе е распространённы х видо в сглаживани я являетс я "осреднение " в некоторо м интервал е L Здес ь в качеств е 0)(3/4 при нимается : 1 и (; ) = - пр и to (?) = О " m>f (4.3 ) СГЛАЖИВАНИ Е 689 Пр и это м + 4 x + i Z~(x ) = | У / ( X S ) ^ = I f / ( O d 5 (4.4 ) (средне е значени е функци и / в интервал е I) 1 ) . Прежд е че м обратитьс я к уравнения м гидромеханики , обозначи м разност ь / - /(/-какой-либ о гидродинамически й элемент ) чере з / ' , та к чт о / = / + /' , и предположим , чт о сглаживаемы е функци и и сглаживани е таковы , чт о выполняютс я равенства : \\ Ж -К К -IL К- К Ж -LL ' dt dt ' дх ~~ дх ' ду ду ' дг ~ dz ' 2 ) / ^ + / 2 = / 1 + /2 . 3 ) / , = / " /1/ 2 = 0 , / , Z 2 = Z 1 Z 2 . Услови я 1 и 2 можн о считат ь выполняющимис я вполн е точно . Услови я 3 будут , вообщ е говоря , имет ь мест о лиш ь приближённо . Чтоб ы установит ь характе р эти х последни х условий , заметим , чт о п о самом у смысл у описани я турбулентны х процессо в функци я / должн а быт ь представлен а в вид е Z ( х ) = F ( х ) H T ( j f ) . ' ) Повторно е "осреднение " приводи т п о (4.2), как нетрудн о убедиться , к сглаживани ю с функцие й о>2: 1 (£) = (/ - Ц I), когд а I E I < " 2 (?) г= 0, когд а 15 [ > Ка к правило , повторно е осреднени е не буде т просты м осреднением . Нетрудн о убедиться , что , повторя я просто е осреднение , в интервал е I п раз , получи м составну ю операци ю сглаживания , функци я а>п (с) которо й буде т асимптоти чески подходит ь к закон у / /'ч 1 I / 6 " "Р м ( ? ) ~ т У ^ r e • Тип сглаживающе й функци и 1 a c ^ W ^ e ( а ) встретитс я нам в теори и перемешивания . Сглаживани е с этой функцие й называю т иногд а сглаживание м по Гаусс у [ш имее т ви д гауссово й криво й чиибок] . 690 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill гд е F (х)- слаб о меняющаяс я функци я своег о аргумента , а т . е . / г имее т характе р tp, а имее т характе р F , н о § 51 ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я РЕЙНОЛЬДС А 69; функци я вид а F. tp буде т в интервал е очен ь част о переходит ь чере з нул ь и /^tp да 0 . Аналогичны м образо м установим , чт о Z i Z i /2 1 ) В заключени е этог о раздел а заметим , чт о есл и по д / разумеетс я случайна я функци я в то м смысле , ка к эт о понимаетс я в теори и вероятностей , и есл и по д знако м / разумеетс я математическо е ожи дание , т о наш и "постулаты " выполнятс я совершенн о строг о сам и собой . § 5 . Основны е уравнени я Рейнольдса . Обращаяс ь к уравнения м гидродинамики , рассмотри м сперв а случа й несжимаемо й жидкост и (p = const.) . Напише м уравнени е неразрывност и и уравнени я Навь е - Стокс а и произведё м сглаживани е на д правым и и левым и частям и эти х уравнений , пользуяс ь всегд а одно й и то й ж е сглаживающе й функ цие й (например , произведё м осреднени е в одно м и то м ж е интер вале) 2 ) , удовлетворяюще е перечисленны м выш е условиям . Уравнени е неразрывност и дас т вследстви е услови й 2 и 1: дх иу ил. О ' ) Вмест о трё х постулато в 3 мы може м формальн о принят ь оди н по стулат : fj% = Zi Z 2 . понима я здес ь по д Z и / 2 любы е величины , например , постоянные . Действи тельно , пр и / 2 = 1 получим , вследстви е этог о равенства , Zi = Z ; далее , /,/ 2 = Z=Y1 J2 = Y 1 J 2 . Наконец , услови е Z 1 Z 2 = 0 следуе т и з того , чт о Д / 2 = = 71(/ 2 - Tl ) =71/ 2 - 7 \ 7 i = f J S - 7 Jx , та к что . по нашем у постулат у и п о услови ю Z1Z2 = Z1Z2буде т Z 1 Z 2 = O. Вопро с о возможност и точного , а не приближённог о выполнени я услови й 3 пр и разны х форма х сглаживания , так ж е ка к и вопро с о независимост и наши х постулатов , разобра н в стать е И з а к с о н а А. "К определени ю турбулентности " Ж . Р. Ф. - X. О. , 61 (1929),3 . 2 ) М ы говорил и о сглаживани и функци и f ( x ) одног о аргумента . Есл и ест ь функци я f ( x , у , z, t), можн о определит ь соответствующу ю сглаживаю щу ю функци ю ш (5, т], С, т), та к чт о - СО Р е й и о л ь д с осредняе т уравнени я гидродинамик и по одном у лишь , аргументу - п о времени . 692 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Уравнени я Навь е - Стокс а дадут : др_ Dp 0 ду* ,./"/ , ddvvx x ,, ddvvx , ,, dTfv,x \ . дх ' •* ^ dt 0zXX I I 1 dA- ! d y ^ dz ' dp dvv I dvy dv d f , \ ' ^ ) + d x - d J y , d j z + dx + d y 1 dz ' dt f " d u , / d f , , d f , , d f г \ 1 ,i -- -- U --- * dx 1 У dy 1 •г OZ d d , /I ddfv'vx d f y d f . = T, ~ V^ . -j,г. -w V vV +--г" г" v лW 17,П Г d.v Oy 1 i' d-г -1 \ d * О ,2 , и , , о , , = -=:- 1U I r VV-T -T V V , dx -1' 1 d y 1 V дг г иб о вследстви е линейност и уравнени я неразрывност и буде т dovx', ' ddvy[, 1 ddv-,г ^ §51ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я РЕЙНОЛЬДС А 69; М ы можем , таки м образом , переписат ь уравнени я Навь е - Стокс а в вид е др_ dv, dv. dv. dv, дх dt Vх dx d v.У dy Vг dz -) + d + w - p < f ) + ^ T ('" у - + i ~ р(r)Х ) dp j dvy - dvy - dvy _ cto., \ ^ r = P Z 7 y P ( й Г + ^ й З Т + ^ ^ г + ^ д г ) + , б , - T4 , б / ""72 ч . б . - • ( V - + 1 7 _ p ^v ) + U ( V (5 .1 ) dz М ы видим , чт о уравнени я дл я средни х скоросте й и дл я среднег о давлени я имею т то т ж е вид , чт о и уравнени я Навь е - Стокса , с то й лиш ь разницей , чт о к компонента м тензор а напряжени й прибавлен ы величин ы V /2 v v соответственно . Шест ь величи н •P x' -P X V Pxx = -?v'x' P ху = r pvI'vу' P =- XZ 1 pv'v': г г' 2 (5.2 ) P pv v : • р" ; У ' •Р(r) , нося т названи е добавочны х напряжений . Та к ка к ххх, . . . сут ь линей ны е функци и о т производны х vx, vy, V2 п о координатам , т о ххх, . . . та к ж е выразятс я чере з средни е скорости , ка к -zx x , . . . выражаютс я чере з точны е скорости , и м ы получае м следующи й замечательны й результат : есл и ввест и в уравнени я гидромеханик и вмест о истинны х скоросте й и х средни е значения , т о одновременн о с эти м надлежи т ввест и новы е поверхностны е силы , изображающиес я в вид е тензор а с компонентам и Pxx, Pxy Pzz. Добавочны е напряжени я пред ставляю т ка к б ы суммарны й эффек т все х беспорядочны х отклонени й скоросте й о т и х среднег о значения . Смыс л величи н Pxx, . . . , Pzz стане т особенн о выпуклым , есл и вспомним , ка к в кинетическо й теори и газо в получаютс я уравнени я Навь е - Стокса . М ы знаем , чт о ря д свойст в газа , такие , ка к вязкость , диффузия , теплопроводность , обяза н свои м происхождение м суммар ном у эффект у молекулярны х движений , каковы е в деталя х м ы описат ь не можем . Боле е того , в кинетическо й теори и газо в показываетс я чт о компонент ы тензор а напряжени й в уравнения х Навь е - Стокс а 694 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill получаютс я из величи н сх - сх, су - су, сг - Cz(сх, с , Cz - скорост и движени я молекул , сх, су, сг-средние значени я скоросте й -скорост и всег о потока ) совершенн о та к же , ка к наш и Pxx, Pxy Pzz по лучалис ь и з v'x, v'y, v'z. И та м и здес ь мы суммарн о описывае м эффек т беспорядочны х движений . Отметим , чт о пр и формально м введени и величи н P r x , . . . вяз кост ь р. никако й рол и не играет : уравнени я дл я средни х элементо в турбулентног о движени я идеально й жидкост и отличаютс я о т построен ны х нам и уравнени й дл я вязко й жидкост и отсутствие м члено в *zKX, член ы же , дающи е добавочны е напряжения , имею т в обои х случая х одинаковы й вид . Кинетическа я энерги я турбулентног о движени я буде т дл я единиц ы объёма : = 1-(*'* + 3/4 + "£) + P (VxVx + VyVy + V1Vt) + [y'l + Vy + V z ) . Рассмотри м некоторы й конечны й объё м (т) наше й жидкост и и найдё м скорост ь изменени я средне й кинетическо й энерги и этог о объёма , т . е . величин у dt J ^{vl+vl + v^d^. (т ) Дл я простот ы рассуждени й предположи м сперва , чт о объё м на ш ограниче н твёрдым и стенкам и и чт о внешни е сил ы отсутствую т (F=O) . Умножа я уравнени я Навье-Стокс а на vx, vy, V2 соответственн о и складыва я их , получим : ( д д д д \ vl + vli-vj P ду д Бер я интегра л о т обеи х часте й п о всем у нашем у закреплённом у объёму , внос я vx, . . . по д знак и производных , применя я формул у Грин а и замечая , чт о н а стенка х всюд у v = 0, м ы получим , посл е §51ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИ Я РЕЙНОЛЬДС А 69; просты х преобразований : д / • ..2 , . . 2 , . . 2 Ж J р i - ^ = W dv х dvx dvx dvy - / [ • хх~дх + "5 7 + ** SdFz + V + - dvyL г dvy dv, T -L yy dy ' y* dz ' • 4 , ^ 4 _ t " X ~ dy ^ " Й2 Введё м обозначения : rj'fr3±4±Adr, n ' 2 I ' S I ' s (5.4 ) (T) тогд а дл я скорост и изменени я средне й кинетическо й энерги и T нашег о объём а получим , очевидно : дТ _дТ0 dt dt dT' dt (т) ,т) (5.5 ) гд е т" С друго й стороны , нетрудн о найт и друго е выражени е дл я dT0jdt = dTJdt. В само м деле , умножа я (5.1 ) на vx, vy, V2 соответственно , и складывая , получим : (1+ 3/4дх ~+ 3/4Vdy +1 3/4v*d)z) 1/2+^+3/4 = - dp . , - d , •К*)+Интегриру я п о объём у (т ) об е част и этог о равенств а и применя я формул у Грина , получим , на основани и того , чт о на стенка х Vv -.Vy = Vz = 0: £/£(3/4+3/4 + 3/4* =dTo К * ) S F + • • • ] * • < 5 6 > 697 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Сравнива я (5.6 ) с (5.5) , получае м дл я скорост и изменени я с о вре мене м средне й кинетическо й энерги и T турбулентны х пульсаци й выражени е дГ • 2 d v X dt vx дх f M X* Ox dx. (5.7 ) Наконец , встави м в (5.6 ) и (5.7 ) выражени я т г г , водны е о т скоросте й п о координата м чере з произ - _ dvx - (dvx . dvy ^xx =2P S J х х у - t1 \<9у дх dv'x , -Z1 = 2* XX г дх ху \ ду ^r дх J получи м окончательно : дТ\ dt • = - f ф 0 FX + vxmx) + ^ (Tjrj l vymx) f I д / . - vzm-x) dm г ж % = P p у + T r < V - + ^ - + -Tdz ^yz dm,. z"-yJ д£ ' Тг = P^+ Tx - vXm^ + Ту ^zy - Vym^ + - V2Inz) dm, dt ' Произведё м тепер ь на д правым и и левым и частям и все х четы рё х уравнени й сглаживани е с одно й и то й ж е сглаживающе й функ цие й (например , осреднени е в одно м и то м ж е интервале) , удовле творяюще е трё м перечисленны м выш е условиям . Уравнени е неразрыв ност и даст , на основани и услови й 1 и 2 : д р , д т х I , J J _ 0 dt^~ дх ~г ду ^ дг ~ Выпише м перво е из уравнени й движения : = J x +тх J x J J ) + T y J y ~ J J ^ + < ,,'W - ^ J j c f x = F x ) . 4 5 Теоретическа я гидромеханика , ч . I I 69 8 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Il l Обрати м внимани е на выражени я тип а vxmx. Имеем : = K + О + О = V x m x + v x m' x + ^ x + (r) Х пли , вследстви е свойст в 3 : Есл и пульсациям и плотност и можн о пренебреч ь (р ' = 0) р = р (это , по-видимому , имее т мест о в атмосферны х движениях) , т о дл я добавочны х напряжени й м ы получи м т е ж е выражения , чт о и в слу ча е несжимаемо й жидкости ; Е само м деле , здес ь mX = Pvx = PvX = P vx =^ Р'ил it V'xm'x = V'x (mX - < ) = V'xP{Vx v X ) = Р<2 Построи в уравнени я дл я средни х величин , м ы сталкиваемс я с ди леммой , либ о поставит ь шест ь новы х величи н - добавочны е напря жени я - в зависимост ь о т стары х величи и vх, v , vz, р, р, либо , счита я эт и шест ь величи н з а независимы е новы е функци и (новы й симметрически й тензор) , построит ь какие-т о новы е уравнения , иб о тепер ь осреднённы х уравнени й движени я и неразрывности , очевидно , буде т недостаточно . § 6 . Характеристик и турбулентности . Богатейши й эмпириче ски й материа л последни х ле т явилс я осново й развити я полуэмпири ческих , полутеоретически х методо в нахождени я добавочны х напряже ни й чере з средни е значени я скоростей . С некоторым и изысканиями , сюд а относящимися, м ы познакомимс я в следующе м параграфе . Чт о касаетс я присоединени я новы х уравнени й к систем е осреднённы х уравнени й гидродинамики , т о здес ь наиболе е совершенна я постановк а вопрос а принадлежал а Келлер у и Фридман у ') . Иде я заключалас ь в присоединени и к величина м vx, vy, vz, р, р (дл я общег о случа я сжимаемо й жидкости ) в качеств е искомы х функци й 1 5 дальнейши х "характеристик " турбулентности , вводимы х по д название м " момен тов связи" и являющихс я обобщение м рейнольдсовски х добавочны х напряжений . Момент ы связ и строятс я посл е того , ка к введен ы " кор реляционные моменты". По д последним и понимаю т выражени я вид а R ( f v /2 ) = / 1 / 2 / 1 / 2 (поскольк у равенств о / J 2 = J j 2 выпол няетс я лиш ь приближённо , R(ZJ2) лиш ь приближённ о буде т равн о /1/2) ' г Д е / i и / 2 - какие-либ о гидродинамически е элементы ; зада в тепер ь произвольны е приращени я ± + т;, ± С координа т х, у, z, ') См. работ у К е л л е р Л., Uebe r di e Aufstellun g eine s System s vo n Cha rakterlsUke n der a'mospliarische n Tuibulenz , Изв . гл . Физ . Обсерватории , 1925. §6 ] ХАРАКТЕРИСТИК И ТУРБУЛЕНТНОСТ И 699 определи м момен т связ и ( J v / 2 ) дл я дву х каких-либ о функци й Z 1 и / 2 в вид е ( /i Z 2 ) = Я I/ i ( * - У - 1Jz - Ь О . + У + 1?" + С. 01 Таки м образом , момент ы связ и сут ь функци и времени , координа т и трё х добавочны х переменны х 1 ) . Легк о видеть , чт о придётс я рас смотрет ь пятнадцат ь моменто в связ и дл я случа я сжимаемо й жидкости , ил и десят ь дл я несжимаемо й жидкости . В работ е Кармана , а зате м в работ е Карман а и Хауэрс а 2 ) и одновременн о в работа х Миллионщиков а и Лойцянског о 3 ) решени е получаемо й таки м образо м систем ы уравнени й доведен о д о конц а в одно м весьм а частно м случа е турбулентног о движени я - в случа е та к называемо й однородно й и изотропно й турбулентности . Послед не е поняти е был о расширен о Колмогоровым , которы й ввё л в рас смотрени е "локальн о однородную " и "локальн о изотропную " турбу лентность . Изложени е первы х результатов , касающихс я эти х частны х видо в турбулентност и та к же , ка к и соответствующег о аппарат а исследовани я турбулентности , можн о найт и в монографи и Обу хов а А . М . "Приложени е методо в статистическог о описани я непре рывны х процессо в и поле й к теори и атмосферно й турбулентности" , Диссертация , Москва , 194 7 г . Ричардсо н и Тейлор 4 ) пришл и совсе м и з други х соображени й к рассмотрени ю моменто в связ и дл я различны х гидродинамически х элементов . М ы ещ ё вернёмс я к эти м работам , а сейча с остановимс я на вопрос е о сопровождающе м турбулентност ь перемешивании . Рейнольд е ввё л в качеств е "характеристик " турбулентност и шест ь компоненто в тензор а добавочны х напряжений ; Ричардсон , Шмид т и Тейло р вводя т в рассмотрени е лагранжев ы переменные . Эт о даё т возможност ь следит ь з а конечны м перемещение м индиви ' ) Пр и построени и дополнительны х уравнени й приходитс я воспользо ватьс я ново й гипотезой , касающейс я осреднений , применительн о :< необходи мост и осреднят ь произведени я уж е не двух , а трё х функций . Эт а нова я гипо тез а сводитс я к приближённом у соотношени ю /1/2/ 3 = 0, где, ка к и прежде , / 1 = / 1 - / 1 и т. д. Посл е того , как систем а уравнени й построена , надлежи т ещ ё проверит ь независимост ь отдельны х уравнени й системы . 2 ) K a r m a n an d H о w а г t h. O n th e statistica l Theor y of Isotropi c Turbu lenc e Proc . Roy. Soc. 164, (1938) № 917, стр . 192-215. 3 ) М и л л и о н щ и к о в M. Д., Вырождени е однородно й изотропно й тур булентност и в вязко й несжимаемо й жидкости . ДА Н СССР , 26 (1939) , № 5, стр . 236-240; Л . Г. Л о й ц я н с к и й. Некоторы е основны е закономерност и изотропног о турбулентног о потока , Труд ы ЦАГИ , № 440, 1939. См . такж е С е д о в Л. И., Метод ы подоби я и размерносте й в механике , Гостехиздат , 1957. 4 ) R i c h a r d s o n , Atmospheri c diffusio n on a distanc e neighbou r graph. , Proc . Roy. Soc . Londo n (A), 110 (1926), стр . 729-757. T a y l o r O., Diffusio n b y continuou s mouvements , Proc . Lond . Math . Soc. (2), 20, 1921. 45* 700 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill дуальны х частиче к и, таки м образом , позволяе т ближ е подойт и к изображени ю процесс а "перемешивания " (Austausch , Conductivity) . Выведе м уравнени е перемешивани я какой-либ о субстанции , располо женно й в среде , находящейс я в турбулентно м движении . Вмест е с Тейлоро м и Шмидто м ограничимс я рассмотрение м перемешивани я тольк о в одно м направлени и (назовё м ег о z) . Относительн о субстан ции , подверженно й перемешиванию , предположим , чт о она : 1) не уничтожима , т . е . сохраняетс я в некоторо м элементарно м объём е жидкости , пок а то т движется , н е смешиваяс ь с другими ; 2 ) сохра няетс я пр и смешени и дву х масс . Обозначи м количеств о субстанци и в единиц е масс ы жидкост и чере з s . По д само й субстанцие й може м разумет ь либ о какую-нибуд ь примес ь к жидкост и (пыль , например) , либ о какую-нибуд ь физическу ю характеристик у само й жидкост и (на пример , е ё количеств о движени я в направлении , перпендикулярно м к ос и z , запа с е ё теплово й энергии) . Предположи м ещё , чт о субстан ци я распределен а приблизительн о равномерн о в направлени и оси , перпендикулярно й к ос и z (например , л; и у) , н о равномерност ь эт а имее т статистически й характер : именно , выбра в достаточн о большу ю площадь , перпендикулярну ю к ос и z , и осредни в s п о это й площади , получи м уж е величину , не зависящу ю о т положени я центр а выбран но й площад и (не зависящу ю о т х и у) : s (лг, у , z, t) = s (z, t). Введё м зате м плотност ь субстанци и о = ps (р - плотност ь жидко сти) - количеств о субстанци и в единиц е объёма . Естественн о тепер ь принять , чт о средни й пото к субстанци и чере з плоскост ь z = const , буде т пропорционале н проекци и градиент а о на ос ь z\ пуст ь эт о буде т гд е k - некоторы й положительны й коэффициен т пропорциональност и (есл и б ы был о k < 0 , т о мы имел и б ы дел о н е с рассеиванием , а с концентрацие й субстанции) . Сравнива я пото к субстанци и на уров ня х 2 и z-\-dz, находи м прирос т субстанци и з а единиц у времени : (6.1) М ы видим , таки м образом , чт о плотност ь субстанци и удовлетво ряет , независим о о т механизм а турбулентног о перемешивания , диф ' ) На основании второг о постулат а а не теряетс я и не появляетс я и элемент е dz сам о по себе. ХАРАКТЕРИСТИК И ТУРБУЛЕНТНОСТ И 701 ференцнальном у уравнени ю (6.1) . Трудност ь заключаетс я в опреде лени и коэффициент а k '). Жела я определит ь к , замети м прежд е всего , чт о есл и субстанци я переноситс я жидкость ю пассивн о и свои м присутствие м на движени е существенн о н е влияет , т о величин у k естественн о считат ь н е зави сяще й ни о т род а субстанции , н и о т е ё мгновенног о распределения ; к определяетс я исключительн о состояние м неупорядоченног о турбу лентног о движени я жидкости . Пр и данно м движени и рассеяни е любо й субстанци и описываетс я одни м и те м ж е уравнение м (6.1) . Предположим , чт о k н е меняетс я н и в пространстве , н и в о вре мен и (эт о - статистическа я характеристик а некоторог о состояни я дви жения) . Рассмотри м такж е ещ ё случай , когд а р = const . Тогд а (6.1 ) обращаетс я в просто е уравнени е теплопроводности , и м ы може м написат ь решени е ег о в виде : OO _ 1 с (г-го)2 с (г, O = ======- / е "<'"'•> o(2 ,L)dz , (6.2) ' 2 У T.k (t -1 ) J voo' о со гд е о (z, t0) представляе т средне е распределени е плотност и субстан ци и на уровн е z в момен т времен и t = t0. М ы видим , чт о турбулент ност ь действуе т н а начально е распределени е о (z0, t0) п о высот е Z0 ка к сглаживани е с о сглаживающе й функцие й ш (?) = • й "C-W . 2V*k(t-t0) М ы уж е говорил и выш е о сглаживающе й функци и таког о тип а (формул а (а) , § 4) . Возьмё м тепер ь некоторы й уровен ь Z0 и посмотрим , кака я судьб а постигне т в момен т t частиц ы жидкости , лежавши е в момен т t0 на уровн е Z0. Обознача я чере з (,(х, у, t ) значени е z дл я разны х точе к нашег о уровн я в момен т t , мы , очевидно , должн ы иметь , н а осно вани и самог о определени я турбулентности , С(х , у, t) - Z0 = 0 . Рассчитаем , однако , величин у a z 0 ? = I у d z 0 ? d f (б.з) ' ) Уравнени е (6.1) п о своем у обосновани ю тесн о примыкае т к аналогич ном у уравнению , построенном у Фикко м ( F i с k, Ann . Phys . Chem. , 1885, т. 49) для молекулярно й диффузии ; поэтом у в английско й литератур е по тур булентност и оно называетс я уравнение м Фикка . Выво д его , та к ж е как спо со б нахождени я (см. ниже) , мы заимствуе м и з глав ы Келлер а по атмосфер ной турбулентност и в книг е "Динамическа я метеорология " по д редакцие й Извеков а и Кочина , ч. II, 1936. 7 0 2 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill гд е интегра л взя т п о элемент у df площад и / , достаточн о большо й и расположенно й в плоскост и (х, у) . Величин у эт у можн о выразит ь чере з k. Чтоб ы эт о сделать , за мети м сперва , что , рассматрива я частицы , лежащи е в момен т t0 на уровн е Z0 или , точнее , в сло е от Z0 д о z0-\-dz0, ка к примесь , и предполагая , чт о они к момент у времен и t разбросаютс я п о раз личны м уровня м z от - с о д о со , можн о применит ь интегра л (6.2 ) (верне е оди н элемен т этог о интеграла , иб о а (Z0 , t0) сосредоточен о у на с на элемент е dz0) к определени ю тог о количеств а наши х ча стиц , которо е попадае т в момен т t на уровен ь z\ на единиц у пло щад и их буде т J (Z-Z0 )' а на единиц у масс ы пг = - (очевидно , следуе т положит ь о (z0, f 0 ) = p0). Po Н о теперь , вмест о того , чтоб ы вычислят ь интегра л (2.18 ) интегри рование м величин ы (С- Z 0 ) 2 по площади , м ы може м разбит ь вычи слени е (6.3) , бер я сперв а дл я каждог о z я г (С - Z0)2, умноженно е на соответствующу ю площадь , а затем , интегриру я эт о п о г от--с о до-|-о о (частиц ы распределятся , п о предположению , в о всё м про межутк е от - с о д о -j со) . Н о тогд а получим : , T (Z-ZyV (C-Z 0 ) 2 = - T T / е " [Z-Z0)2 dz. к 0J 2 V*.k(t-t0) J 0 - OD Интегра л в право й част и вычисляетс я и даё т 2 k( t - 1 0 ) . Отсюд а (C-z" ) " . ( 6 4 ) 2 (t-t,) КК>Л) Таки м образом , нам и найде н гидродинамически й смыс л величин ы k . Име я в вид у это т смысл , величин у k называю т мерой рассеяния. Одновременн о с k част о вводя т ещ ё величин у А = pk, гд е по д р разумеетс я средня я плотность ; величин а эт а носи т названи е меры обмена. Размерност ь А совпадае т с размерность ю коэффициент а вязкост и р., размерност ь ж е k буде т L2IT, чт о совпадае т с размерность ю кинема тическог о коэффициент а вязкост и v. Покаже м ещё , ка к можн о инач е выразит ь величин у к . Пуст ь по-прежнем у перемешивани е происходи т лиш ь в направлени и z , сосре доточи м внимани е на одно й какой-либ о частиц е и буде м обозначат ь значени я е ё скорост и в момент ы времен и t чере з vz(t). Следу я Тей лор у (loc . cit.) , привлечё м к рассмотрени ю коэффициен т корреляци и (ил и момен т связи ) межд у значениям и vz(t) и Vz (^ + х), гд е т рас ХАРАКТЕРИСТИК И ТУРБУЛЕНТНОСТ И 703 сматриваетс я ка к произвольны й постоянны й параметр , и вырази м k чере з это т коэффициент . Строги й выво д бы л да н Л . Келлеро м ') . М ы укаже м лиш ь пут ь получени я строгог о вывода , отсыла я з а подроб ностям и к стать е Келлера . Вмест е с Келлеро м подчини м Vz следующи м четырё м требованиям . Предположим : 1) чт о существуе т преде л дл я среднег о значени я vz(t) пр и увеличени и интервал а осреднени я д о бесконечности , и это т пре де л раве н нул ю (м ы считаем , чт о у на с не т среднег о переноса , а ест ь лиш ь турбулентно е движение , та к чт о Vz = 0)\ 2 ) чт о существуе т пре де л пр и увеличени и д о бесконечност и интервал а осреднения , дл я сред нег о значени я vz(t)2 и, боле е обще , дл я среднег о значени я выражени я vz (t) vz (t-\ х); эт и предел ы буде м обозначат ь v 'г (t)2 и vz (t) v'z [t -f т ) Ь г соответственн о (н а основани и свойств а 1 можн о положит ь Vz = Vz)', 3 ) чт о п о мер е того , ка к м ы буде м увеличиват ь интерва л изменени й t д о с о величин а P [у. • (7.1) Введё м зате м средне е значени е абсолютны х величи н \1' \ и назовё м ег о I. Предположи м вмест е с Карманом , чт о внутренни й механиз м тур булентност и в о все х места х жидкост и имее т оди н и то т ж е характе р и може т отличатьс я тольк о масштабам и длин ы и времени . Инач е говоря , мы предположим , и эт о - основна я гипотез а Кармана , чт о турбулентны е движени я в различны х частя х жидкост и межд у собо й подобны . Есл и на м был о б ы известно , о т каки х гидродинамически х элементо в зависи т величин а I, мы могл и б ы теперь , пользуяс ь сооб ражениями , изложенным и в глав е второй , пытатьс я найт и ви д зави симост и I о т эти х элементов . Предположи м же , и в это м заключаетс я втора я гипотез а Кармана , чт о в выражени е дл я I не входя т треть и производны е о т Vx п о у, та к чт о I може т зависет ь о т р, d v j d y , d2vx/dyi (м ы исключае м возможност ь зависимост и о т vк, ибо , прибавля я к v к всюд у постоянно е число , мы , очевидно , не измени м картин ы явле ния) . Итак , пуст ь где I = Z (р, vx, vx), 2 dy2 ' Введё м новы е единиц ы длины , времен и и масс ы соответственн о в L, Т, M ра з ббльши е стары х единиц . Тогда , обознача я численны е зна чени я все х рассматриваемы х величи н в ново й систем е едини ц чере з h> Ри vxi< • • • соответственно , буде м иметь : , M dvx 1 dvxx d2vx 1 d2vx, 1' p -£3pi. "df - T~dyT' Iiy2 TX " Поэтом у наш а предполагаема я зависимост ь приме т вид : ' ) Выражени е - ^v'V имеет размерност ь (ли аналогично этому коэффициенту. Ср. такж е с меро й обмена, введённой в предыдуще м параграфе . 708 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill С друго й стороны , должн о быт ь в ново й систем е единиц : ! - 7 L dv^ d2v^ \ ! Г ' ~ Ж у та к чт о (м ы отброси м значо к "1" ) 2 (рр< T v f Zr v *) = Lz v^ v ^ г. M l (tm) dvx , ~ - В это м тождеств е положи м ^ = , 1 = - ^ , L T = V / , тогд а полу чим равенств о 2 ( p . v x , v x ) = -jj Z (1 , 1 , = const . Таки м образом , гд е & ест ь постоянная , какову ю надлежи т определит ь из эмпириче ски х данных . Зна я выражени е дл я I, бе з всяког о труд а найдё м выражени е дл я Pxy. Считаем , чт о последне е може т быт ь функцие й о т /, р, vx, vx: Pxy = F (р, /, $х. vx). Тогд а введё м (Pxyh- м и х Г L 1 ' P i м9' U y j l y U y J та к чт о A t LT3 Z r f ^ X _ Т 1 d4i x \rfy 2 I 1 dy 2 ' (Рху)\ ~ F {ji Pl-^l' yvx\' TfvXlj' С друго й стороны , 0°*у) 1 = ^ ( р 1 . ^l Wjrl . и, следовательн о (отбрасывае м значки) : " / М , , 1 1 \ Af с, , ч F ^ p , Li, у vx, ZfVxJ= J ^ F (р, I, vx, vx). Наконец , полага я M 1 , I 7 , м ы придё м к соотношени ю F(р, I, vx, vx) = P12VIF( 1, 1, 1, / ^ Y § 8} ПРИМЕР Ы 70 9 Н о вследстви е (7.2 ) I 4 ^ = const. , и мы приходи м к важно й формул е P ' ху Формул а (7.3 ) был а установлен а впервы е Прандтлем , который , исход я из выражени я (3.1) , нашё л I1 v4J 1I = P dy . Пользуяс ь (7.2) , може м переписат ь (7.3 ) в виде : P x y = V P 4 " . (7.4 ) vX § 8 . Примеры . Формул у (7.4 ) примени м к изучени ю турбулентног о движени я межд у двум я гладким и параллельным и стенкам и ( у = 0, у = 2 d) . Напише м тепер ь уравнени я (5.1 ) дл я осредненног о движе ния, считая , чт о средни е напряжения , та к ж е ка к и vx, завися т лиш ь о т у и чт о сил а отсутствует , a vy = 0. Получим , очевидно : др~_ дРху дх~ ду ' откуд а заключаем , чт о в наше м движени и Pxy ест ь линейна я функ ция о т у . Вмест е с Кармано м положим , чт о пр и 0 P x y = х о ( 1 - " j ) . считая , чт о Pxy обращаетс я в нул ь на середин е расстояни я 2d межд у стенками , а пр и d < у 2d гд е т 0 -добавочно е напряжени е окол о само й стенк и (точне е на гра ниц е ламинарног о пограничног о слоя , имеющегос я внутр и нашег о турбулентног о слоя) . Н о тогд а (7.4 ) дас т нам дифференциально е уравнени е второг о порядка , из коег о можн о найт и V x (у) : ' ) Мы положили Zr (I) 1, 1, k ) = 1; это можно сделать, выбирая I долж ным образом. 7 1 0 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill ИЛ И откуд а ' / 1 4 V x Z d k y r 1 J -j-const . Полага я const . = 2kd | / (пр и у = 0 , V i Л 1 : оо) , получим : 2dk Vr (выбирае м зна к минус , чтоб ы Vx убывал о с возрастание м у) , инте 25 гриру я ещ ё раз , придём , в предположении , чт о vx (fiO = vx max> к формул е Кармана : го I I Ib <§ С W In 1 4 ./ i (8.1) ЛтахЧс Чу % 0,5 W Рис. 197. Формул а (8.1 ) Карман а даёт , ка к м ы уж е отмечали , хороше е совпадени е с данным и экспе римента . Н а рис . 19 7 изображен а крива я (8.1) . Границ а межд у областью , гд е эт а формул а применима , и погранично й областью , гд е даё т себ я знат ь вязкост ь ("ламинарны й подслой") , определяетс я значение м у = y v пр и которо м vx = Vxl = ~ ух (внутр и ламинарног о сло я ско рост ь считае м меняющейс я п о линейном у за кону , причё м та м X0 = Pdv x Idy) . Есл и б ы м ы знал и величин у т0 , то , вставля я значени е V x = V x l в леву ю част ь (8.1 ) и значени е у = ух в праву ю часть , м ы нашл и бы , пр и данно м vxmax, yv т . е . толщин у ламинарног о пограничног о слоя , погружённог о в на ш турбулентны й слой , пр и это м (8.1) , поскольк у реч ь идё т о точках , лежащи х очен ь близк о о т стенк и (уя^О) , можн о заменит ь приближённы м равенство м • o f r o (8.2 ) Ssl ПРИМЕРЫ 711 Наш а формул а связывае т тр и величин ы Vxmax, х0 и у, . Прандтль 1 ) предлагае т дале е принять , чт о та к ка к сло и жидкости , в которы х проявляетс я трение , должн ы быт ь одинаковы , т о Vx, должн о быт ь кратны м "j/^"- , т . е . Vх! • ' V r J ' (8-2 0 гд е р ест ь уж е некотора я постоянная , какову ю над о найт и ра з на всегд а и з эксперимента . Н о тогд а (3.6 ) даст : = {Р+К1"!;--1)}' <8-3> причё м здес ь у , = - Vxl = л / ~ B v . tO ' xO Введё м тепер ь вмест о Vxmax и т0 "коэффициен т сопротивления " \ т , отнесённы й к максимально й скорост и vxmilL, 4т" w 2 P^rma x числ о Рейнольдс а R m , отвечающе е vх max1 f у тя у d М ы получи м тогда , вмест о (8.2) , посл е просты х преобразований : Ak2 ( l n R m J / ^ + c) 2 ' гд е С = Щ - 1 - In р. Сравнени е это й формул ы с опытам и Никурадзе , Шиллер а и др . дал о очен ь хороши е результат ы дл я значени й R m , доходящи х д о 1, 8 -IO 6 . Пр и это м оказалось , чт о k = 0,4 4 (п о Карман у 0,36) , C = 2,83 . Н а рис . 19 8 по горизонтально й ос и отложен ы значени я Igy r X m R m , а п о вертикально й ос и - значени я Точкам и изо бражен ы данны е эксперимента . Жела я учест ь шероховатост ь стенки , обрати м сперв а внимани е на величин у I и з формул ы (7.3) . Пользуяс ь формуло й (7.3 ) и выра жа я Vx п о закон у Кармана , мы получим : ' = 4 / ^ ( 1 ! ) ] ' ) См., например, П р а н д т л ь и Титьенс , Гидрои аэродинамика, т. II, 1935, стр. 93. 712 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill н, следовательно , пр и больши х d и малы х у : l^aky. Та к буде т обстоят ь дел о пр и отсутстви и шероховатости . Шерохо ватост ь действуе т в то м смысле , чт о I оказываетс я отличны м о т нул я на поверхност и у = 0 (та к ж е ка к и средня я скорость) . Чтоб ы эт о описать , помести м начал о координа т не на поверхност и стенки , а по д стенко й на уровн е у = - е( е - размер ы шерохова о j/o S о / v j ^ Л St> / о >- log(Rm iтт) 2 3 4 5 6 Рис. 198. тости) , и дл я новы х вертикальны х координа т у , напише м I ^ k y l (y 1 = y-j~e) . Очевидно , буде т по-прежнему : v x (V1 ) = ] / ~ j ~ In V1 + const. , и м ы напише м вмест е с Прандтле м ^O O = / J J l n J j ( 8 4 ) здес ь у 0 , ка к эт о установлен о из наблюдени й на д некоторым и шерохо ватым и поверхностями , буде т г ^ 0 30 ' Формул у эт у м ы примени м к построени ю турбулентног о погранич ног о слоя , получающегос я пр и движени и вдол ь пластинк и (здес ь пер ва я пластинк а остаётс я пр и у = 0 , а втора я отодвигаетс я очен ь далеко) . На д пластинко й образуетс я турбулентны й сло й неизвестно й ПРИМЕР Ы 71J на м высот ы о (н е смешиват ь с ламинарны м пограничны м слоем) . На д эти м пограничны м слое м пуст ь скорост ь имее т постоянно е зна чени е K(S) . Тогд а п о (8.4 ) можн о написат ь у само й пластинк и = l ^ I n Уfо I n У о (8.5 ) причё м значени е т 0 добавочног о напряжени я у само й пластинк и буде т V2I , = P * ' ^ . (8-6 ) In2 Уо Обратимс я к общи м уравнения м (5.1 ) дл я осреднённог о движени я н, пренебрега я влияние м вязкости , напише м перво е и з уравнени й дл я нашег о случа я плоско й задач и с о стационарны м средни м потоком : / dvx . dvx\ дРху Р Г ' з г + * W ) = - д у у Проинтегрируе м об е част и нашег о уравнени я п о у о т у 0 д о гра ниц ы 3 турбулентног о слоя . Вследстви е уравнени я неразрывност и du uvX , dv.У, п имеем : Г° dv дх ду - , ,3/4 Г' - J Ъ ! , f l y = "у** Iyo J ^ -ЖГ Уо аУ = приче м *Vy Cj + / Vx Ж d y ^ vX(й) vy(S) + f Vx Ж dy'' Уо У о V y ( I ) = J d ^ d y . (8.7 ) У) Таки м образом , получае м (P x y (S ) = O, та к ка к Pxy н а границ е тур булентног о сло я равн о нулю) : 2 I V x % d y v x ( b ) f % d y = ~ \ ( P x y ) y , = ^ . (8.8) Уо Уо Чтоб ы выполнит ь интегрирование , заметим , чт о м ы ище м скорост и Vx в вид е (8.5) , причё м Vx може т зависет ь о т х чере з посредств о 8 ' ) Добавочно е напряжени е Pxx включаетс я обычн о в давлени е р; гра диен т выражени я - р -I r Pxx вдол ь ос и х считается , как всегд а в подобны х задачах , отсутствующим . 4 6 Теоретическа я гидромеханика , ч. П 714 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill (нарастани е пограничног о сло я вдол ь пластинки) . М ы помести м начал о координа т у самог о кра я пластинк и (8 = 0 ) и ос ь х напра ви м вдол ь пластинки . Ка к м ы сказал и уже , вн е пограничног о сло я всюд у существуе т пото к с постоянно й скорость ю V, параллельно й ос и х , та к чт о Ir r (S ) = V = Const . Тогд а I n L т. - V Уо In Уо Уравнени е (8.8 ) дас т на м возможност ь найт и 5(х) . Замечая , чт о 6 8 5 Vx [V - vx] dy •• Уо Уз d dx : in 1 J I n L Vo У о Уо Itl Уо In У о Uy - Уо^ 2 + 1 dx У о У о I In - >У о У о и заменя я т 0 п о (8.6) , получим , производ я дифференцировани е ( k принят о равны м 0,4) : 0,161п У о У о У о Уо \ У о 8 ) • Уо + 4 М) Чтоб ы найт и S = S(Jf) 1 остаётс я проинтегрироват ь эт о уравнение Ввод я в качеств е вспомогательног о переменног о In - , получим : > Уо i s Уо 40. 30 G O K ' ) + оо го 10 о 100 гоо 300 400 SOO + 4 У /1=1 п-п!\ (\ in-U" = :0,16 Уо Рис. 199. Крива я о = 3(х ) изобра жен а н а рис . 199 . В качеств е второг о пример а на применени е соотношени я (7.3 ) рассмотри м задач у о смешени и широког о однородног о поток а воз ПРИМЕР Ы 715 духа , бегущег о с о скорость ю Zrr = C = Const. , Vy = 0 , с окружающи м ег о спокойны м воздухом . Та к ка к здес ь реч ь идё т о свободно й тур булентност и и стенк и отсутствуют , т о на м нельз я буде т ориентиро ватьс я н а Pxy ка к н а известну ю величину . Напротив , величин а I, о которо й м ы уж е имел и случа й говорить , може т считатьс я здес ь • У - - J. |C " _ _ Рис. 200. пропорционально й ширин е то й зоны , в которо й существуе т турбу лентност ь ') . Зон у эт у приме м ограниченно й лучами , исходящим и и з начал а координа т (рис . 200) , в соответстви и с че м и буде м считать : I = сх, W = vxF [^y • vxF (8.9 ) (8.10) гд е W -функци я тока , а с - постоянная , подлежаща я определе нию . Тепер ь осреднённо е уравнени е турбулентног о движени я (рассма триваетс я идеальна я несжимаема я жидкость ) принимает , вследстви е (7.3 ) и (8.9) , вид : dvx - dv, '"У T j дР X у ду д dv v у (8.11) а п о (8.10) , та к ка к (^F ' означае т д-Ь ду • vF' У дх \ х J посл е просты х преобразовани й FF"+ 2c'2F"F"' = 0. ' ) T o l l m i e n W. , Berechnun g turbulente r Ausbreilungsvorgange . Zeilschr . f. angew . Math , un d Mech. , 6 (1926), стр . 468. 46 * 716 ЭЛЕМЕНТ Ы ТЕОРИ И ТУРБУЛЕНТНОСТ И [i.i. Ill Уравнени е эт о може т быт ь удовлетворено , либ о есл и F" = О (/Ivr = COnst., V = О ил и V x = Q, V = const.) , либ о есл и F-j Ic1F"' = 0; тогд а -.Ae 3. у 2с' 2 ]/ 2 C2 К З C1 COS 2 fYc 2 f Н а "верхнем " кра е турбулентног о луч а у = ахх (8.12) м ы должн ы положит ь Vx* = V, т . е . должн ы считат ь dv r ду :0 , V y = О , F'= 1, F" = 0 , F = ax пр и ^ = C 1 . Н а "нижнем " кра е м ы должн ы положит ь у = - а2х V x = O dv t ду О, т . е . принять , чт о F'= F" = О пр и г\ = - а2. Эт и пят ь услови й позволяю т н е тольк о определит ь тр и произволь ны е постоянны е C1, с2, C3, участвующи е в решени и уравнени я (8.12) , W / S 1 0,9 / H О,в 0,7 О,В 0,5 OA 0,3 о,г ~0,1 1 - I I I о -Z '1,5 -1,0 -0,5 О 0,5 1,р Рис. 201, н о такж е и найт и неизвестны е величин ы ах и а2. Величин у с следуе т определит ь из экспериментальны х данных . Н а рис . 20 1 ПРИМЕР Ы 71J изображен а функци я vx, причё м п о ос и ордина т отложен ы vxjv, п о ос и абсцис с - значени я 71 Рис . 202 , гд е нанесен ы У 2с2 Рис. 202. результаты , экспериментальны е и теоретические , показывает , на скольк о велик о совпадени е теори и с данным и опытов . ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВ Е I Б е р с Л. , Математически е вопрос ы дозвуково й и околозвуково й газово й ди намики , перев . с англ. , ИЛ , Москва , 1961. Г у д е р ле й K-, Теори я околозвуковы х течений , пер. с нем., ИЛ , Москва , 1960. Д о н о в А., Второ е приближени е дл я уравнени й одноразмерно й акустики , Изв . Акад . нау к СССР , 1938. Д о н о в А., Плоско е крыл о с острым и кромкам и в сверхзвуково м потоке , Изв . Акад . нау к СССР , 1939, сери я матем. , стр . 603-626. З а у э р Р., Введени е в газову ю динамику , пер. с нем., Гостехиздат , 1947. К н б е л ь И . А,, К вопрос у о сопротивлени и при скоростях , близки х к скорост и звука , Труд ы конференци и по изучени ю стратосферы , Акад . нау к СССР , 1934. К о ч и н Н. E,, Su r la lheori e de s onde s de cho c dan s u n fluide . Rendie . del Circol o Mat . di Palermo , т. 50, 1926 (см. такж е К о ч и н Н. E., Собрани е трудов) . К р а с и л ы ц и к о в а Е. А., Влияни е вихрево й пелен ы при установившемс я движени и крыла , ДА Н СССР , 58 (1947) , № 6. К р а с и л ы ц и к о в а Е. А., Влияни е концевы х кромо к при движени и крыл а с вибрациям и со сверхзвуково й скоростью , ДА Н СССР , 58 (1947) , № 5 К р а с и л ы ц и к о в а Е. А., Влияни е концевы х кромо к при движени и крыл а со сверхзвуково й скоростью , ДА Н СССР , 58 (1947) , № 4. К р а с и л ы ц и к о в а Е. А., Возмущенно е движени е воздух а при вибрация х крыла , движущегос я со сверхзвуково й скоростью , ДА Н СССР , 16 (19471, № 6. К у р а н т Р . и Ф р и д р и х е K-, Сверхзвуковы е течени я н ударны е волны , перев . с англ. , ИЛ , Москва , 1950. Л а н д а у Л . Д . и Л и ф ш и ц Е . M., Механик а сплошны х сред , 1953. Л о й ц я н с к и й Л . Г., Механик а жидкост и к газа , Гостехиздат , Москва , 1957. О в с я н н и к о в Л . В., О б одно м газово м течении с прямо й линие й перехода , ПММ , т. Xl l 1, вып . 5, 1949. Р ы ж о в О. С., О газовы х течения х в сопла х Лаваля , ПММ , т. XXII , вып. 3, 1958. С е д о в Л . И., Метод ы подоби я и размерност и в механике , Гостехиздат , Москва , 1957. С т а н ю к о в и ч КП., Теори я неустановившихс я движени й газа , Гостехиздат , 1948. Ф а л ь к о в и ч С. В., Околозвуковы е плоски е течени я газ а с особым и точ кам и на звуково й линии , ПММ , т. XXV, вып. 2, 1961. Ф е р р и А., Аэродинамик а сверхзвуковы х течений, пер. с англ. , Гостехиздат , Москва , 1952, ЛИТЕРАТУР А 719 Ф р а н к л ь Ф. И., Вихрево е движени е и обтекани е тел в плоскоиараллельно м течени и сверхзвуково й скорости . "Реактивно е движение" . 1935, стр . 82-92. Ф р а н к л ь Ф. И., Исследовани я в област и околозвуковы х течений . Инже нерны й журнал , вып . 1, 1961. Ф р а н к л ь Ф. И., Сверхзвуковы е течени я осево й симметрии , Извести я Apтилл . академии , Ленинград , № 1, 1934. Ф р а н к л ь Ф. И., К а р п о в и ч Е. А., Газодинамик а тонки х тел , Гостехиз дат , Москва , 1948. X е й з У. Д . и П р о б с т и и Р . Ф., Теори я гиперзвуковы х течений , пер. с англ. , ИЛ , Москва , 1962. Х и л ь т о н У., Аэродинамик а больши х скоростей , ИЛ , Москва , 1955. X о у а р т Л. , Современно е состояни е аэродинамик и больши х скоростей , пер. с англ. , ИЛ , Москва , 1955. Х р и с т и а н о в и ч С. А., Обтекани е те л газо м при больши х дозвуковы х скоростях , Труд ы ЦАГИ , вып. 481, 1940. Ч а п л ы г и н С. А., О газовы х струях . Собрани е сочинений , т. II , Гостехнз дат , Москва , 1948. Ч е р н ы й Г. Г., Течени я газ ? с большо й сверхзвуково й скоростью , Гостех издат , Москва , 1959. B u s e m a n n A., Aerodynamische r Auftrie b bei Ueberschallgeschwindigkeit . Luftfahrtforschung , 12 (1935) , стр . 210-220. B u s e m a n n A., Drijck e auf kegelformig e Spitze n bei Bewegun g mit Ueber schallgeschwindigkeit , Z. angew . Math . Mech., 9 (1929) . B u s e m a n n A., W a l c h n e r 0. , Profileigenschafte n bei Ueberschallgeschwin digkeit , Forsch.-Arb . Ing.-Wes. , № 4, 1933. C r o c c o L., Singolarita , dell a corrent e gassos a iperacustic a nell'intern o di un a pror a a diedro . L'aerotechnica , 17 (1937) , № 6, стр . 518-534. G o l d s t e i n H. , N e u m a n n J., Blas t Wav e Calculations , Commun . Pur e an d Appl . Math. , 3 (1955) . M e y e r Th., Uebe r zweidimensional e Bewegungsvorgang e in eine m Ga s da s mi t Ueberschallgeschwindigkei t stromt . Forsch.-Arb . Ing.-Wes. , № 62, 1908. S e a r s W. (редактор) . Genera l theor y of hig h spee d aerodynamics , т. 6, 1955. T a y l o r G., Th e formatio n of a blas t wav e b y a ver y intensiv e explosion , Proc . Roy . Soc., 1950. T a y l o r , Maccool , Air pressur e on a con e movin g at hig h speeds . Proc . Roy . Soc. , (A) , London , 139 (1933) , стр . 278-297 . W a r d G., Linearize d theor y of stead y high-spee d flow , 1955. К ГЛАВ Е II Гидродинамическа я теори я смазки , сборни к стате й под ред . Л . С. Лейбензона , ГТТИ , Москва , 1934. Г о л у б е в В. В., Теори я крыл а аэроплан а конечног о размаха , гл. 2. Труд ы ЦАГИ , вып. 108, 1931. Г о л ь д ш т е й н С., Современно е состояни е гидродинамики , вязко й жидкости , пер. с англ. , ИЛ , Москва , 1948. Д ю р э н д В. Ф., Аэродинамика , т. III , перев . с англ., Оборонгиз , Москва , 1939; стать я Л . Прандтл я "Механик а вязки х жидкостей" . Л а м б Г., Гидродинамика , пер. с англ. , Гостехиздат , Москва , 1947. Л а н д а у Л . Д . и Л ' н ф ш и ц Е. M., Механик а сплошны х сред , Гостехиздат , Москва , 1953. 720 ЛИТЕРАТУР А Л о й ц я н с к и й Л . Г., Механик а жидкост и и газа , изд . 2, Физматгиз , Москва , 1957 и 1959. Л о й ц я н с к и й Л . Г., Ламинарны й пограничны й слой , Физматгиз , Москв а 1962. П р а н д т л ь Л. , Гидроаэромеханика , перев . с нем., ИЛ , Москва , 1949. Ш л и х т н и г Г., Теори я пограничног о слоя , пер с нем., ИЛ , Москва , 1960. B r i l l o s s i n M., Zecon s su r la viscosit e de s liquide s et de s gaz , Paris , 1907. G o r t l e r Н. (издатель) , Grenzschichtforschung-Springer , 1958. H o p f Z., Zah e Flussigkeiten , Handbuc h de r Physik , 7 (1927) , стр. 91 - 172. O s e e n С. W., Neuer e Methode n urid Ergebniss e in de r Hydrodynamik , Leipzig , 1927. T o l l m i e n W., Grenzschichttheorie , Handbuc h de r Experimentalphysik , т. 4, ч. 1, стр. 239-289. V i l l a t H., Lemons su r l'hydrodynamik , Leipzig , 1927. К ГЛАВ Е III Б э ч е л о р Дж. , Теори я однородно й турбулентности , перев . с англ. , ИЛ , Москва , 1955. Г о л ь д ш т е й н С., Современно е состояни е гидродинамик и вязко й жидкости , пер . с англ. , ИЛ , Москва , 1948. К о л м о г о р о в A. H., Локальна я структур а турбулентност и в несжимаемо й вязко й жидкости , ДА Н СССР , 1941. К о л м о г о р о в A. H. , Рассеяни е энерги и при локальн о пзотропно й турбу лентности , ДА Н СССР , 1941. Л а н д а у Л . Д . и Л и ф ш и ц Е. M., Механик а сплошны х сред . Гостехиздат , 1953. Л и н ь Ц з я ц з ю , Теори я гидродинамическо й устойчивости , пер. с англ. , ИЛ , Москва , 1958. Л о й ц я н с к и й Л . Г., Механик а жидкост и и газа , Гостехиздат , Москва , 1957. Л о й ц я н с к и й Л . Г., Перено с тепл а в турбулентно м движении , ПММ , т. XXIV , вып . 4, 1960. П р а н д т л ь Л. , Гидро-аэромеханнка , пер . с нем., ИЛ , Москва , 1951. С е д о в Л . И. , Метод ы подоби я и размерност и в механике , Гостехиздат , Москва , 1957. T а у н с е н д А., Структур а турбулентног о поток а с поперечны м сдвигом , перев . с англ. , ИЛ , Москва , 1959. L e t t a u , Atmospharisch e Turbulenz , 1939. R i c h a r d s o n , Weathe r predictio n b y numerica l process , 1922. Ш л н x т и н г Г., Возникновени е турбулентности , пер . с нем., ИЛ , Москва , 1962. ИМЕННО Й УКАЗАТЕЛ Ь Адама р (Hadamar d J. ) 339 Аккере т (Ackere t J. ) 8 9 Астро в В. 174, 177 Бабенк о КИ . 273 Бекке р (Becke r R. ) 482 Белоцерковски й О. М. 191, 204, 320, 322 Бер с (Ber s L.) 717 Блазиу с (Blasiu s Н.) 488, 570, 604 Бриджмэ н (Bridgma n P . W.) 411 Бриллуе н (Brilloui n М. ) 434, 719 Бузема н (Buseman n А.) 65, 89, 233, 301, 302, 610, 718 Бэчело р (Batchelo r J.) , 720 Бюргер е (Burger s J, М. ) 632 Валланде р С. В. 78, 206, 231, 320 Вальхне р (Walchner ) 89, 718 Ватсо н (Watso n J . N.) 472 Венд т (Wend t Н.) 232 Вилл а (Villa t Н.) 632, 720 Власов а 3 . П . 357 Гаге н (Hage n G. ) 427, 431, 658 Гамел ь (Hame l G.) 460, 478 Гёртле р (Gertle r Н.) 720 Голубе в В. В. 565, 719 Гольдштей н (Goldstei n S.) 670, 719, 720 Гоулдстай н (Goldstin e Н.) 719 Глауэр т (Glauer t Н. ) 265 Гудерле й (Guderle y К. ) 717 Гуреви ч М. И. 303, 309, 314 Дибб л (Dibbl e С. G. ) 163 Доно в А. 89, 717 Дородницы н А. А. 191, 242, 320, 610, 615, 619, 628, 631 Дюрен д (Durand ) 719 Жерме н (Jermai n Р. ) 231, 320 Жуковски й Н . Е . 541 Журавски й Н . Е. 31 3 Зауэ р (Saue r R.) 717 Зоммерфель д (Sommerfek l А.) 536,67 0 Изаксо н А. А. 691 Извеко в Б. И, 686 Казаков а Р . К . 357 Карма н (Karma n Ih. ) 145, 559, 610, 699 Карпови ч Е . А. 718 Келды ш М . В. 106 Келле р Л . В. 698, 701, 703, 706 Кельви н (Kelvin ) 658 Кибел ь И. А. 717, 718 Колмогоро в А. Н. 699, 720 Кондрашев а И. Л . 357 Кочи н Н. Е . 345, 378, 485, 604, 628, 686, 717 Краснлыциков а Е. А. 273, 717 Краф т (Kraft ) 163 Крокк о (Crocc o L.) 104, 718 Кузьми н Р . О. 53 0 Куран т Р . 717 722 ИМЕННО Й УКАЗАТЕЛ Ь Лайтхил л (Lighthil l М. J. ) 21, 213, 219 Лам б (Lam b Н. ) 518, 719 Ланда у Л . Д . 87, 368, 385, 717, 719. 720 Леви н В. 174, 177 Лейбензо н Л . С. 563 Летта у (Lettau ) 720 Лин ь (Li n С. С.) 671, 675, 680, 682, 720 Лифши ц Е. М. 368, 385, 717, 719,72 0 Лойцянски й Л . Г. 604, 628, 631, 699, 717, 719, 720 Мейе р (Meye r Т.) 175, 719 Мизе с (Mise s R.) 302, 549, 553, 670 Миллике н (Millika n R . А.) 510 Миллионщико в М. Д . 699 Мони н А. С. 397, 627 Навь е (Navie r С. L.) 387, 388 Нейма н (Neuman n J. ) 719 Некрасо в А. И. 106 Никольски й А. А. 165, 231, 237, 315, 318, 320 Никурадз е И. 711 Обухо в А. М . 699, 705 Овсяннико в Л . В. 717 Op p (Or r W. М . F.) 670 Освати ч (Oswatitsc h К. ) 206 Осее н (Osee n С. W.) 372, 478, 516,528 , 543, 632, 633, 634, 641, 656, 720 Охоцимски й Д . Е. 357 Павло в Е. 174, 177 Пекери с (Pekeris ) 670 Петро в Н . П. 534 Пёшл ь (Posch l Th.) 437 Польгаузе н (Pohlhause n K-) 578,59 4 Прандтл ь (Prandt l L.) 262, 263, 265, 372, 543, 565, 571, 670, 706, 709, 711, 719, 720 Пробсти н (Probstie n R. F ) 718 Пуазейл ь (Poiseuille ) 431 Пуассо н (Poisso n S. D.) 387, 388 Рейнольд е (Reynold s О.) 410, 427, 432, 658, 691, 699 Реле й (Reyleigh ) 104 Рингле б (Ringle b F.) 163 Ричардсо н (Richardso n Е . G.) 687, 699, 705, 720 Розенблат т (Rosenblat t А ) 479 Розенбру к (Rosenbroo k G.) 671 Рыжо в О. С. 718 Рябинко в Г. М . 206 Седо в Л . И . 351, 354, 411, 718, 720 Сен-Вена н (Saint-Venan t В.) 388 Син г (Synge ) 666 Сир е (Sear s W. ) 719 Ска н Сильви а (Sylvi a Ska n W.) 584, 60 3 Сквай р (Squir e J . L.) 667 Скрэмстэ д (Skramstad ) 683 Слезки н Н. А. 145 Смирно в В. И. 302, 454, 456, 530 Соболе в С. П. 302 Станюкови ч К. П. 718 Сток е (Stoke s G. G.) 388, 521, 504 Тагано в Г. И . 165 Татаренчи к В. В. 158 Таунсен д (Townsan d А.) 720 Тейло р (Taylo r G.) 351, 659, 665, 699, 705, 719 Тёпфе р (Topfer ) 571 Титьен с (Tietjen s О.) 670, 711 Толми н (Tollmie n W. ) 158, 670, 671, 680, 681, 715, 720 Уиттеке р 472 Уор д (War d G. N.) 273, 719 Фалькови ч С. В. 180, 184, 269, 718 Феррар и (Ferrar i С. ) 258 Ферр и (Ferr i А.) 718 Фик к (Fick ) 701 Фокне р (Falkne r V. М.) 584, 603 Фран к (Fran k Р. ) 302 ИМЕННО Й УКАЗАТЕЛ Ь 723 Франкл ь Ф. И. 86, 106, 179, 181, 184, 185, 187, 190, 241, 718 Фридма н А. А. 698 Хантш е (Hantsch e W. ) 323 Хартр и (Hartre e D . R. ) 604 Хауэр с (Howart h L.) 596, 699, 718 Хильто н (Hilto n W.) 718 Химен ц (Hiemen z К. ) 593, 59 5 Хоп ф (Hop f L. ) 670, 720 Христианови ч С. А. 69, 106, 130, 134, 138, 141, 146, 165, 177, 718 Хэй з (Haye s W. D.) 208, 213, 718 Цейло н (Zeilon ) 656 Цян ь Сюэ-сен ь 145, 258, 656 Чаплыги н С. А 106, 114, 116, 120, 128, 145, 302, 541, 718 Черны й Г. Г. 208, 718 Чушки н П . И. 245, 325 Шилле р (Schille r L. ) 711 Шлихтин г (Schlichtin g Н. ) 269, 584, 684, 719, 720 Шмид т (Schmidt ) 699 Шубауе р (Schubauer ) 602, 683 !Ценнико в В. В. 221 Элер с (Ehlers ) 6 8 Юрье в И . М . 138, 14! ПРЕДМЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛ Ь Взры в 17 - без противодавлени я 350 - односторонни й 345 - плоски й 350 - с противодавление м 357 - сферически й 354 - цилиндрически й 354 Волн а 10, 18 - баллистическа я 18 - ударна я 191 Вязкост ь 369 Га з идеальны й 17 - идеально-диссоциирующийс я 21, 21 3 - совершенны й 17 Гиперповерхност ь характеристиче ска я 27 Гипотез а Карман а 707 Гипоциссоид а 39, 222 Градиен т адиабатически й 686 - сверхадиабатически й 686 Движени е см. Течени е - атмосфер ы 459 - безвихрево е осесимметрическо е при сверхзвуково й скорост и 22 5 плоско е со сверхзвуково й ско рость ю 50, 147 • сжимаемо й жидкост и 114 - вихрево е плоско е со сверхзвуко вой скорость ю 44 - в погранично м сло е 667 - внутр и труб ы 22 8 угла , меньшег о чем л 77 - вязко й жидкост и 369 в цилиндрическо й труб е 436 - газ а вн е выпукло й поверхност и 6 9 внутр и труб ы 74 - - вокру г искривленног о конту р а 69 Движени е атмосфер ы с дозвуково й скорость ю 130 - гиперзвуково е 100, 211 - жидкост и пере д тело м 525 - - позад и тел а 525 при исчезающе й вязкост и 632 - ламинарно е 658 - межд у двум я коаксиальным и цилиндрам и 660 - неустановившеес я 325 одномерно е 325 - одномерно е вязко й сжимаемо й жидкост и 481 - окол о вогнуто й поверхност и 77 - пластннк и внутр и эллиптическог о цилиндр а 43 5 - поршн я в неограниченно й сред е 338 в неограниченно м цилиндр е 335 - с дозвуково й скорость ю 114 - с осево й симметрие й неустано вившеес я 221 - с очен ь большо й сверхзвуково й скорость ю 206 - снаряд а по д угло м к оси симме три и 257 - стреловидног о крыл а 309 - сфер ы в вязко й жидкост и 516 •- турбулентно е 373, 658 межд у двум я гладким и параллельным и стенкам и 709 - установившеес я плоско е 32 пространственно е 245 - цилиндр а 528 - - внутр и другог о неподвижног о цилиндр а 43 5 Динамик а газова я 9 Диссипаци я энерги и 401 Диссоциаци я 21 3 Диффузи я вихревог о сло я 44 3 - вихр я 405, 45 0 ПРЕДМЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛ Ь 725 Жидкост ь вязка я 370 - идеальна я 372 - маловязка я 372 - сжимаема я 627 - сильновязка я 372 Задач а Кош и 24 - плоская , численны е метод ы решени я 190 - пространственна я 24 5 - Триком и 187 Зако н Гагена-Пуазейл я 431 - Кулон а 534 - подоби я 406 Рейнольдс а 410 Фруд а 409 - Реле я 106 Изотропност ь вязко й жидкост и 379 Истечени е газ а из бесконечн о широ ког о сосуд а 125 отверсти я 7 3 ,сопровождаемо е переходо м чере з скорост ь звук а 174 Источни к 463 - в диффузор е 465 Коэффициен т внутреннег о трени я 370, 384 - вязкост и 370, 384 - - кинематически й 384 - - турбулентны й 447 корреляци и 702 - Лам э 390, 39 5 - температуропроводност и 420 Крива я "яблоковидная " 232 Крыл о в плоскопараллельно м сверх звуково м поток е 87 - конечног о размах а в сверхзвуко во м поток е 262 Линеаризаци я уравнени й 247 Лини я переходна я 169 - предельна я 157 Мер а обмен а 702 - рассеяни я 702, 705 Мето д Дородницын а 191, 610 - источнико в 439 - Карман а 57 5 - Ламб а 518 - Польгаузен а 602 - Прандтл я 266 - Франкл я 225 - Хауэрс а 602 - Христианович а 130, 144. 146 Момент ы корреляционны е 698 - связ и 698 Напряжени я добавочны е 693, 706 - - рейнольдсовски е 698 - касательны е 377 •- нормальны е 377 Насадо к Борд а 177 Неустойчивост ь 658 Обильност ь источник а 46 3 Обтекани е излучающе й пластинк и 62 3 - коническог о остри я 229 - криволинейног о контур а 549 - круглог о конус а осесимметрнче ско е 229 - - цилиндр а со сверхзвуково й скорость ю 191 - крыл а бесконечног о размах а 251 конечног о размах а 250 - осесимметрично е с отошедше й ударно й волно й 320 - осесимметричны х те л 229 - пластинк и без теплоотдач и 613 - - со сверхзвуково й скорость ю 87 - плоско й пластинк и 652 - полубесконечно й пластинк и несжимаемо й жидкость ю 485 - профил я с остро й передне й кром кой 8 6 - сверхзвуково е конус а 306 - -• крыл а "малог о удлинения " 285 - снаряд а 254 - тонког о крыл а с острым и кром кам и сверхзвуково е 273 тел а со сверхзвуково й ско рость ю 208 тупог о профил я со сверхзвуко вой скорость ю 104 угла , большег о чем л 71 - цилиндр а 524, 644 Отры в вихре й 544 - сло я 589 "Отскакивание " поверхност и раз рыв а 104 Парадок с Стокс а 511 - Эйлера-Даламбер а 87 Пелен а вихрева я 274 Перехо д чере з скорост ь звук а 156 Поверхност ь разрыв а 10, 12 в плоско й задач е 35 , ее размазывани е 484 - - сильна я 18 - - слаба я 18 726 ПРЕДМЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛ Ь 726 Поверхност ь разрыв а стационарна я 17 Подсло й ламинарны й 71 0 Постоянна я Маскерон и 530 - Стефана-Больцман а 609 Потенциа л источник а 26 3 - скорост и 263 - ускорени я 263 Пото к фиктивны й 134, 135 Процес с диффузи и 37 0 - перемешивани я 700 - теплопроводност и 371 Пут ь перемешивани я 706 Разрушени е течени я 167 Разры в 18 - сильны й 77, 341 в одномерно й нестационарно й задач е 329 - слабы й 21 Реакци я поток а на тел о 641 Решени е Гамел я 475, 478 Ряд ы Чаплыгин а 184 Семейств о гииоциссои д 23 3 Сжати е стру и 130 Скачо к уплотнени я 10, 18 Скорост и удлинени й главны е 376 Скорост ь звук а 24 - критическа я 41 - максимальна я в сжимаемо й жид кост и 157 - перемещени я поверхност и разры в а 19 - распространени я поверхност и раз рыв а 13 - - - сильног о разрыв а 29 - слабог о разрыв а 24 - - характеристик и 27 Сло й вихрево й цилиндрически й 459 - пограничны й 544 в диффузор е 578 в несжимаемо й жидкост и вдол ь плоско й пластинк и 569 • в сжимаемо й жидкост и 608 н а произвольно м профил е 627 Смешени е поток а воздух а с окру жающи м его спокойны м воздухо м 714 Соотношени е Карман а интегрально е 558, 561, 563 - Лейбензон а 565, 566 - Прандтля , его обобщени е 629 Сопл о Лавал я 75, 158, 229 - - безударно е 174, 179 Сонл о Лаваля , его построени е 75 Сопротивлени е волново е 87 Сто к 463 - в диффузор е 46 5 Стру я ламинарна я 584 Температур а торможени я 610 Тензо р добавочны х напряжени й 69 9 - единичны й 382 - напряжени й 378 - рассеивани я 706 - скоросте й деформаци и 374 , его главны е значени я 376 , оси 376 Теорем а Прандтля-Глауэрт а 106, 262 - Цемплен а 31 Теори я Гейзенберг а 670 - исчезающе й вязкост и 543 - пограничног о сло я 372, 54 3 , приближенны е метод ы 588 - смазки , гидродинамическа я 534 - стру й Кирхгофа-Жуковског о 114 - турбулентност и 658 - Чаплыгин а 106 Теплосодержани е 34 Течени е см. Движени е - в диффузор е 460, 474, 475 - в плоско м диффузор е 578 - вязко й жидкост и вдол ь пластин ки 545 - газа , прегражденно е плоским и стенкам и 117 - жидкост и внутр и цилиндрическо й труб ы 406 - -, вызываемо е вращение м сфер ы 502, 504 межд у двум я цилиндрам и 43 3 • концентрическим и цилиндрам и 447 - коническо е 229 сверхзвуково е 301 - ламинарно е 410, 431 - - в цилиндрическо й труб е 427 - морское , его возникновени е ио д действие м ветр а 445 - нестационарно е одномерно е 437 - плоско е межд у двум я параллель ными пластинкам и 499 - при больши х числа х Рейнольдс а 542 малы х числа х Рейнольдс а 499 - Пуазейл я 431 - расширени я 166 - сжати я 167, 236 ПРЕДМЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛ Ь 727 Течени е сжимаемо й жидкост и межд у двум я параллельным и плоским и стенкам и 421 - смешанно е 168 - стационарно е одномерно е 432 - струйно е 117 - турбулентно е 410, 43 1 , внешня я задач а 659 , внутрення я задач а 659 - чере з насадо к Борд а 177 Толщин а вытеснени я 556 - пограничног о сло я 556 - потер и импульс а 562 Турбулентност ь 658 - изотропна я 699 - "локальн о однородная " 699 - "локальн о изотропная " 699 - однородна я 699 - развита я 686 Угол Мах а 49 Уда р сжати я 18 - стру и в пластинк у 120 Уравнени е Бернулл и 34, 41, 42 - Блазиус а 488 - веково е 665 - Дарб у 149 - дл я функци и ток а 40 5 - Мизес а 555 - неразрывност и 19, 32 - приток а тепл а дл я вязко й сжи маемо й жидкост и 416, 418 - теори и теплопроводност и 438 - Фикк а 701 Уравнени я газово й динамик и 18 - Гельмгольц а обобщенны е 404, 634 - движени я вязко й жидкост и 387, 388 Уравнени я Прандтл я 545 - Стокса , обобщенны е 517 - Рейнольдс а 691 Услови е адиабатичност и 3 3 Услови я граничны е дл я движени я несжимаемо й жидкост и 398 Услови я динамическо й совместност и 17 - кинематическо й совместност и 21 - начальны е дл я движени я несжи маемо й жидкост и 397 - совместност и 2 3 - тождественност и 21 Устойчивост ь пограничног о сло я 671 - течени я межд у пластинкам и 666 Формул а Аккерет а 263, 307 - Ламб а 534 - Стокс а 508 - Шварц а 645 Формул ы приближенны е Аккерет а 89 Буземан а 89 Вальхнер а 89 • Донов а 89 Функци я Крамп а 443 - теплова я единиц ы масс ы 34 - Хартр и 604 Характеристик и 27, 329 - безвихрево ю движени я 56 - вихревог о движени я со сверхзву ково й скорость ю 47 - второг о семейств а 47, 51 - одномерног о движени я 329 - первог о семейств а 47, 51 - систем ы уравнени й газово й дина мик и 24 - турбулентност и 699 в форм е Ламб а 389 - - пр и больши х числа х Рейнольдс а 542 - - при малы х числа х Рей нольдс а 498 несжимаемо й жидкост и в переменны х Лагранж а 397 в сферически х коор дината х 396 - - - - - в цилиндрически х координата х 395 - Ламб а 32 - Н а вье - Стокс а 387, 693 - пограничног о сло я дл я сжимае мой жидкост и 566 Циркуляци я 264, 268 -• дл я сжимаемо й жидкост и 137, 139 Циссоид а Диоклес а 39 Числ о Мах а 42, 415 - Прандтл я 420, 610 - Рейнольдс а 409, 658 - - критическо е 658 - Фруд а 409 Эллип с Буземан а 66 Энтальпи я 34 Энтропи я 33, 220 Эпициклоид а 52 Эффек т концево й 274 Кочан Николаи Ееграфопич, Кабель Илья Афанасьевич, Розе Николай Владимирович. Теоретическа я гидромеханика , ч. 11, M. , Физматгиз , 1963 г. , 728 стр . с илл . Редакто р Н. И. Розальская Техн . редакто р Е. А. Ермакова Корректо р Т. С. Плетнева Сдан о в набо р I2/X 1962 г . Подписан о к пе чат и 26/111 1963 г . Бумаг а 60 x 90/16. Физ . печ . л . 45,5. Условн . печ . л . 45,5. Уч.-изд . л. 42,89. Тира ж 12 ООО экз . Т-04906. Цен а книг и 1 р. 39 к . Зака з 787. Государственно е издательств о физико-математическо й литературы . Москва , В-71, Ленински й проспект , 15. Типографи я № 2 им . Евг . Соколово й УЦ Б и П П Ленсовнархоза . Ленинград , Измайловски й пр. , 29