Exploration Seismology
Volume 2
Data-processing and interpretation
R. E. Sheriff
Professor of Geophysics, University of Houston
L. P. Geldart
Coordinator, Canadian International Development Agency Program for Brazil
Cambridge University Press Cambridge London New York New Rochelle Melbourne Sydney
Р. Шерифф, Л. Гелдарт
Сейсморазведка
В двух томах Том 2 Обработка и интерпретация данных
Перевод с английского канд. геол.-мин. наук Е. А. Ефимовой и М. А. Стор под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. А. В. Калинина
\Ш7
Москва «Мир» 1987
ББК 26.325 Ш 49
УДК 550.834
Шерифф Р., Гелдарт JI.
Ш 49 Сейсморазведка: В 2-х т. Т. 2. Пер. с англ.— M.: Мир, 1987, 400 е., ил.
Книга известных геофизиков Р. Шериффа (США) и Л. Гелдарта (Канада) посвящена основам современной разведочной сейсмики.
Во втором томе изложены обработка сейсмических данных и их интерпре» тация: анализ скоростей сейсмических волн, цифровая обработка, геологическое истолкование данных по отраженным волнам К каждой главе даны задачи для самостоятельного решения. Книгу отличает четкость изложения, умелое использование практического материала и обилие иллюстраций.
Для студентов, преподавателей и специалистов по разведочной геофизике, инженерной геологии, нефтяников. Может служить учебным пособием
... 1 9 0 3 0 2 0 0 0 - 0 4 7 , , ,
Ш
041 ( 0 1 ) - 8 7
1 1 1 - 87>
1
_RK
ББК
„ _ 26-3W
Редакция литературы по геологии и геофизике
© Cambridge University Press 1983 Reprinted 1985 This book was originally published in the English language by Cambridge U n i v e r s i t y P r e s s of C a m b r i d g e , E n g land
© перевод на русский язык, «Мир», 1987
Предисловие ко второму тому
Этот том посвящен главным образом цифровой обработке сейсмических данных и их интерпретации — двум областям, в которых в последние годы достигнуты наиболее крупные успехи прикладной сейсмологии. Мы пытались дать единый математический подход, опираясь на обозначения и терминологию, введенные в первом томе. Книга предназначена как для студентов, так и для специалистов-сейсморазведчиков, и мы стремились сделать изложение материала понятным и для тех, кто любит математику, и для тех, кто не питает к ней особой склонности. Значительное улучшение качества сейсмических данных стало возможным в основном благодаря применению современных способов цифровой обработки. Для извлечения геологически значимой информации, зарегистрированной на фоне множества помех, широко используется теория информации. Цифровые вычислительные машины стали важнейшим инструментом анализа.
В гл. 8 рассмотрены процедуры, направленные на улучшение качества данных, а также вопросы, связанные с выполнением обработки. Более полное описание применяемого в книге математического аппарата приведено в гл. 10. В гл. 8 рассматриваются в основном цифровые дискретные данные, тогда как в гл. 10 — как дискретные, так и непрерывные формы данных.
Конечным продуктом сейсмической разведки являются сведения о геологическом строении исследуемой площади. В гл. 7 приводится анализ скоростей сейсмических волн — одного из важнейших параметров, связывающих распространение сейсмических волн с геологией. Гл. 9 посвящена геологическому истолкованию сейсмических данных. Она включает краткий обзор принципов структурных построений; при этом имеется в виду, что основной целью большинства сейсморазведочных работ является получение карт. Кроме того, в этой главе описаны также методы интерпретации, определение аномалий скорости, стратиграфическая интерпретация и индикаторы углеводородов.
6 Предисловие ко второму тому
Как и в первом томе, там, где дается определение новых терминов, они выделены курсивом; при этом основой для определений служит Энциклопедический словарь Шериффа [140]. Каждая глава начинается с краткого общего обзора, помогающего читателю понять назначение отдельных разделов; в конце каждой главы помещены задачи, в которых освещаются некоторые вопросы, не рассмотренные в тексте, а также приводятся некоторые доказательства. Отметим, что ссылки на главы от 1-й до 6-й относятся к первому тому.
Мы приносим благодарность за помощь в подготовке этой книги многим; особенно признательны мы М. Шерифф, Л. Деизму, X. Л. Тейлору, Т. Л. Томпсону и У. X. Риду.
Математические обозначения и символы во втором томе
а) Общие правила и определения
1) Основные функции
g(t) gt g(t) *h (0 G (у)
Фёк(т)
G(©)
Функция непрерывной переменной t Функция дискретной переменной t = пД, п = 0, ± 1 , ± 2 , . . . Свертка функции g(t) с функцией h(t) Преобразование g(t) в функцию частоты v; аргументы v или со соответствуют преобразованию Фурье, 5—преобразованию Лапласа, z — г-преобразованию Корреляция g(t) с h(t) как функция временного сдвига т; функция взаимной корреляции, если g ф h, <t>gg(т) — автокорреляционная функция
Функции, содержащие кепстральное преобразование: log G ( ( o ) = G ((d)++ £(£)
2) Функции специфического вида
Ьоха [/] comb[/] sgn [/] sine[/] step [/]
6*
Прямоугольный импульс единичной высоты
и ширины а, симметричный относительно / = O Последовательность равноотстоящих единичных импульсов Знаковая функция от равная —1 при t < 0, + 1 при t > 0 (l//)sin t Функция единичного скачка (единичная ступенчатая функция), step (/) = 0 при t < 0, + 1 при / > 0 Дельта-импульс (при / = 0), единичный импульс
3) Математические обозначения
«
Приблизительно равно
Обозначение соответствующих (равнозначных)
функций в разных областях, аргументы v, со,
s, z указывают тип преобразования; так,
IO Математические обозначения и символы во втором томе
у [а, 6, Cy d]
А A-B, A X B V
V2 \ф V •А VXA det(a) <Ж
бЛ
I w |, | W | Re{g(/)}> Im {g(t)} arg (со) G(Z)i G (z~l)
п
XI <п=о
CLi
iZ=OSi
YkaSky YkjSk exp(x)
S (О+)» S (0—) S P(ej) © Я 3 3
g ( t ) + + G ( V ) и g ( t ) ^ G ( u > ) обозначают преобразования Фурье, g ( t G ( s ) — преобразование Лапласа, gi 0(2)—г-преобразование; строчные буквы соответствуют временной области, прописные — частотной области
Обозначение временной последовательности,
состоящей из элементов а, 6, с, d\ стрелка
сверху отмечает значение, относящееся к
/ = О (Ь в данном случае); величины, не опре-
деленные иным способом, равны нулю
Векторная величина, абсолютное значение |А|
Скалярное и векторное произведения А и В
Набла, векторный оператор
\(д/дх)-\-
+
}(д/ду)+к(д/дг)
Оператор Лапласа д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2
Градиент ^ (grad^)
Дивергенция A (div А)
Ротор A (rot А)
Определитель с элементами ац
Матрица из элементов ац
Транспонированная матрица ^Л
Абсолютное значение или модуль до, W
Действительная и мнимая части функции g(t)
Аргумент о)
Комплексно-сопряженная функции G(z)
Произведение a0aia2a3 . . . ап
Сумма go + g\ +-g2 + ... + gn
Сумма gk по соответствующим значениям k ех
Значение g при подходе к нулю справа, слева Главное значение Вероятность события et Оператор разности Оператор дифференцирования Оператор интегрирования Оператор сдвига
б) Латинские буквы
а, Ь а*> Ьп> сп
Константы Коэффициенты рядов Фурье
IO Математические обозначения и символы во втором томе
Л (0
Амплитуда огибающей, амплитуда коэффици-
i4(v), B(v)
ентов отражения Амплитудный спектр
А, В
Константы
Ds
et
E /(/), ft
Глубина взрыва Ошибка в /-M выходном сигнале Импульсный отклик набора отражающих границ Сумма квадратичных ошибок, модуль Юнга Характеристика фильтра во временной области
fL(t), //
Фильтр низких частот
///(О» /f
Фильтр высоких частот
fu(t)
F F
Z7(V), F(O)),
Fu(s)
F (z)
Отклик фильтра на единичный скачок во временной области Константа, величина силы Сила Фильтр в частотной области Преобразование от отклика на единичный скачок
g g(t), gt
Ускорение силы тяжести Сейсмическая трасса во временной области,
входная трасса
gi(0
Квадратурная трасса
g (0
Кепстр G(o)) или G (z)
G(v), G (со), G(z) Сейсмическая трасса в частотной области
h(t), ht
Выходная трасса во временной области
/£(/), At
Требуемая выходная трасса
H(V)i H (о)),# (z) Выходная трасса в частотной области
Щу), * ) , Ж(г) Требуемая выходная трасса в частотной об-
ласти
i, j, к
Единичные векторы в направлениях х, у, z
it
Обратный фильтр во временной области
/(v)
Частотная характеристика обратного фильтра
i
V11T
k
Константа
К /, rtiy п
Лг» h L Lki Mk
щ, п
Эффективный модуль упругости Направляющие косинусы относительно осей Xt у, г Критерии оптимальности при фильтрации Задержка предсказания Задержка в положении k, обусловленная структурой; остаточная кинематическая рдправка Константы
IO Математические обозначения и символы во втором томе
п nt р <р г, 5 rt г, R R1 R1 Rk) Sk
R ( со)
R' s
ST S Sw д> t t0
Iii ^t Ы
T Vt у у
Целое число, число слоев
Импульсный отклик приповерхностной ^chn
Лучевой параметр
Давление
Координаты приемника, источника
Аддитивный шум
Радиус
Коэффициент отражения от /-й границы
Задержка за счет приемника, источника в по-
ложении k
Действительная
часть
преобразования
Фурье = косинус-преобразованию
Сопротивление
Параметр преобразования Лапласа = а + /со,
расстояние
Импульсный отклик источника
Мера сходства, плотность энтропии
Водонасыщенность
Площадь, поверхность
Время, время пробега
Время пробега при совмещенных приемнике
и источнике
Временной сдвиг между трассами i и /
Временной интервал
Нормальный кинематический сдвиг, кинемати-
ческая поправка
Период
Сигнал Вибросейса, излучаемый в землю
Скорость
Эффективная средняя скорость
у уогт Va У
w
щ
х X(w)
z Z (/)
Среднеквадратическая скорость (rms)
Скорость, принимаемая при суммировании Кажущаяся скорость Объем Весовые коэффициенты Эквивалентный импульс, импульсная характеристика водного слоя, нисходящая волна Удаление приемника от источника Мнимая часть преобразования Фурье = = —синус-преобразованию Глубина, параметр г-преобразования Акустическая жесткость для Р-волн
в) Греческие буквы
а
Скорость Р-волн
аЛ
Коэффициенты ряда Фурье
IO Математические обозначения и символы во втором томе
P Y V(v), Y (©) Y (/) Г 6(/), 6t /Л
8 в £ г| В к ка кы X
Xa Xn \х Y vt{t) V N
р or
т ф Фёь(т)
Og/z (со)
Zy t) ф*(л:, Zi С)
4 / ( ^ , со) 1Fхг(кХ9 кг, 0
со соз (0//
Скорость S-волн
Фаза Фазовый спектр Мгновенная фаза Мера простоты Дельта-импульс Интервал дискретизации, интервал независимой переменной Деформация Матрица ошибок Кепстральная частота Внешняя единичная нормаль Угол, аргумент комплексной величины 2л(волновое число) = 2л/Х 2л (кажущееся волновое число) 2л (волновое число Найквиста) Длина волны, постоянная Ламе, отношение длин, константа, весовой коэффициент Кажущаяся длина волны Длина волны Найквиста Модуль сдвига, отношение масс Частота = co/2jx = 1 / Т Мгновенная частота Частота Найквиста Угол наклона (падения) Плотность
Коэффициент Пуассона, коэффициент сходимости, среднеквадратическое отклонение Задержка, временной параметр Пористость, функция смещения для Р-волн
Корреляция g(t) с h(t) как функция временного сдвига т Взаимный энергетический спектр (преобразование от фёН(т)) Волновая функция двух переменных Волновая функция в движущейся системе координат Преобразование волновой функции
Преобразование волновой функции относительно Xy z Угловая частота = 2лv
Собственная частота Частота Найквиста
7
Скорости распространения
сейсмических волн
Общий обзор
Знание скорости распространения волн необходимо для определения глубины, наклона и горизонтального смещения относительно пункта взрыва отражающих и преломляющих площадок, для распознавания таких явлений, как возникновение головных волн и скачков скорости, для установления литологического состава горных пород и заполняющих их поры флюидов по измерениям скоростей.
Казалось бы, литологический состав пород наиболее явно влияет на скорость сейсмических волн, однако диапазоны значений скорости для различных типов пород настолько сильно перекрываются, что этот фактор сам по себе не может служить достаточной основой для разделения пород. По всей вероятности, наиболее важным самостоятельным фактором является пористость, а зависимость пористости от глубины залегания пород и от давления приводит к тому, что скорость оказывается чувствительной также и к этим факторам. Когда вода в качестве -ш^утрипорового флюида замещается газом или нефтью, скорость, как правило, понижается иногда в очень большой степени, и от скоплений углеводородов наблюдаются амплитудные аномалии.
Приповерхностный слой обычно заметно отличается от остального разреза как по скоростям, так и по другим параметрам. Это делает необходимым учет приповерхностной зоны малых скоростей (ЗМС); результаты определения глубин, положений и степени выдержанности более глубоких границ подвержены влиянию этой зоны, так как отраженные волны, подходя к поверхности, проходят через ЗМС. В арктических областях зона вечной мерзлоты искажает более глубокие отражения из-за присущей промерзшему слою повышенной скорости. Газогидраты, которые образуются в осадках непосредственно под океанским дном на глубоководных участках, также вызывают изменения скорости.
Измерения скорости in situ выполняются непосредственно с помощью обычного сейсмического каротажа, при котором из-
7.1. Факторы, влияющие на скорость 13
меряется время пробега волны от источника на поверхности до сейсмоприемника в глубокой скважине. Скорости на коротких базах измеряют с помощью сейсмоакустических зондов, но определенные по таким данным зависимости времени пробега от глубины подвержены ошибкам, возникающим из-за интегрирования времен и других факторов, поэтому эти данные следует калибровать по результатам обычного сейсмического каротажа.
Большую часть информации о скоростях получают по изменению времени прихода волн в зависимости от удаления приемника, т. е. по нормальному приращению времени, поскольку, как правило, возможности проведения сейсмического каротажа в глубоких скважинах очень ограниченны.
7.1. Факторы, влияющие на скорость
7.1.1. Введение
Скорость можно определить путем измерений: a) in situ (см.
§ 7.3) или б) на образцах в лаборатории. В работе Пресса
[116] описаны измерения обоих типов. Следует внимательно
следить за тем, чтобы результаты измерений на образцах не
искажались из-за отличия условий, при которых проводятся
измерения, от естественных условий залегания пород; во мно-
гих ранних определениях были получены ошибочные значения,
так как измерения выполнялись на растрескавшихся или под-
вергшихся иным изменениям образцах. Грегори в работе [63]
описывает лабораторные измерения и приводит ссылки не
только из общеизвестной геофизической литературы. Сообщения
об измерениях скоростей в литературе весьма многочисленны,
и в следующих разделах мы будем цитировать только те из них,
которые считаем достаточно представительными и которые по-
могают понять характер взаимосвязи различных факторов.
Перепишем уравнения (2.52) и (2.53):
а2=(д+2|х)/р,
P2 = |i/p (твердые среды),
а2 = Я/р,
P =«= 0 (жидкие среды);
где К — эффективный упругий параметр. Таким образом, зависимость V от упругих констант и плотности представляется весьма простой. В действительности ситуация гораздо сложнее, поскольку параметры / С и р взаимосвязаны и оба в большей или меньшей степени зависят от литологии, пористости, свойств поровых флюидов, давления, глубины, цементации, степени уплотнения и т. д.
14 7. Скорости распространения сейсмических волн
7.1.2. Влияние литологии
Литология, вероятно, является фактором, влияние которого на скорость наиболее очевидно (рис. 7.1). В некоторых породах значения скорости выходят за пределы, представленные на рисунке. Наиболее впечатляющая особенность этой диаграммы состоит в том, что скорости для пород различного литологического состава в значительной мере перекрываются; отсюда еле дует, что скорость не может служить хорошим критерием для
Скорость, кфут/с
О
5
И—I—I 1—I 1—I—г
10—I—I—I—I—1—|5 I—I—I—I—2[0 I 1 1 I2г5
• Нефть
QBoda
CD Ил
Гип,с и ангидрит
Изверженные породы
J I _J I I L-
0
1
Z
3
U
5
6
7
Скорость, км /с
Рис. 7.1. Скорости Р-волн в породах различных типов. Д л я глин, песчаников, известняков и доломитов указана также зависимость от пористости (приведены значения пористости в процентах). Данные основаны на таблицах и графиках из работ [55, 91, 116].
определения литологии. Высокая скорость в осадочных породах обычно соответствует карбонатным породам, а низкая, как правило, указывает на присутствие песков и глин, но промежуточные значения скоростей могут относиться к породам и того и другого типа.
Часто очень важно уметь отличать песчаники от глин, и основой для их разделения иногда служат измерения скоростей. На рис. 7.2 показана часть каротажной диаграммы, где пески отделяются от глин по методу собственных потенциалов (ПС). Хотя на диаграмме скорости заметна некоторая разница между прямыми, наилучшим образом аппроксимирующими значения скоростей в песках и в глинах, разброс отдельных значений превышает ее. Статистические прогнозные оценки обычно удовлетворительны тогда, когда они основаны на данных по площади,
7.1. Факторы, влияющие на скорость 15
но прогнозирование по отдельным образцам зачастую очень далеко от истины.
13,3 •О В 3,7
J 1
о z
£О2,91О _LL
CNJ
Линии
ffl
T
J J
M i l l I l J-наилучшей
пл.аппроксимации
.JU WLLJ L T l Пески
I L Illl
О
«О о
Глины
U Jо
Линия глин
ш и
C= -
IL
W J
Линия песков
Рис. 7.2. Участок диаграмм ПС и каротажа скорости по скважине на побережье Мексиканского залива США. По значениям кривой ПС разделяются пески и глины [144].
0,66 гт- 1
Скорость Р-волн сс,кфут/с
12
Ш
76
18
ZO ZZ
1 1 1 1 1 ПГ~Т 1 I I г
0,60
fi/a
050 Глины
OtLid
3,0
4,0
5,0
6,0
Скорость Р-волн ос, км/с
Рис.
7.3. Соотношение между скоростями 5- и Р-болн для пород различных типов [1121. Предполагается, что глины займут положение ниже области известняков, но для подтверждения этого не хватает данных. Пористость в целом уменьшается слева направо.
Данные о скоростях S-волн имеются реже, чем для Р-волн, но отношение скоростей волн этих двух типов, по-видимому, является показательным для определения литологии; этот факт иллюстрирует рис. 7.3,
16 7. Скорости распространения сейсмических волн
7.1.3. Влияние плотности
Плотность породы зависит непосредственно от плотности минеральных зерен, слагающих породу (на некоторое время отвлечемся от влияния пористости). В табл. 7.1а приведены данные, свидетельствующие о том, что плотности минералов, составляющих большинство осадочных пород, меняются в диапазоне порядка 20%. Согласно данным табл. 7.16, диапазон изменений плотности в пределах одного типа пород низок для изверженных пород (около 10%), имеет промежуточную величину для метаморфических пород и известняка (12—18%) и сравнительно
Таблица 7.1а. Плотность основных минералов, слагающих осадочные породы [122]
Кальцит Доломит Ангидрит Галит Кварц(а) Альбит Ортоклаз Каолинит Мусковит
CaCO3 CaMg(CO3)2 CaSO4 NaCl
SiO2 NaAlSi3O8 KAlSi3O8 Al2Si2O5(OH)4
KAl2(AlSi3O10) (OH)2
2,71 г/см3 2,87 2,96 2,16 2,68 2,62 2,55 2,60 2,83
Многие природные минералы изменяются по составу и, следовательно, по плотности. Каолинит и мусковит включены как представители глинистых минералов.
Таблица 7.16. Плотность наиболее распр >страненных пород [381.
Гранит Диорит Габбро Диабаз Гнейс Кристаллический сланец Песчаник Известняк Глина
2,51—2,81 г/см3 2,68—2,96 2,85—3,12 2,80—3,11 2,59-3,006 2,70—3,03 2.17-2,70 2,37—2,77 2,06—2,66
Среднее: 2,67 2,84 2,98 2,96 2,71 2,80 2,42 2,60 2,38
высок для кластических осадков (25—30 %). Вариации скорости в большой мере определяются вариациями плотности: высокие значения плотности, как правило, соответствуют высоким значениям скорости (рис. 7.4). Уравнение (7.1), которое демонстрирует обратную связь, слишком упрощено, так как К в числителе также зависит от плотности.
Данные Гарднера и др. [55] соответствуют зависимости
P = aVUAy
(7.2)
где р выражено в г/см3, V — в м/с при а = 0,31 и в фут/с при
7.1. Факторы, влияющие на скорость 17
Скороеть, кфут/с
Рис. 7.4. Соотношение между скоростью Р-волн и плотностью для пород различных типов (масштаб билогарифмический) [55, 99]. Точками изображена кривая, соответств)ющая уравнению (7.2), а штрихами нанесены изолинии акустической жесткости (IO6 к г - с - 1 - м _ 2 ) .
а = 0,23. График, рассчитанный по этому уравнению, приведен на рис. 7.4. Соль, ангидрит и уголь не подчиняются указанной зависимости (7.2).
7.1.4. Влияние пористости
Из табл. 7.1а следует, что минералы, слагающие большинство осадочных пород, обладают плотностью в диапазоне 2,7 ± 4 % , тогда как в табл. 7.16 указано, что значения плотности, например, для песчаников, лежат в интервале 2 , 4 + 10%- Такой разброс обусловлен в значительной степени влиянием пористости. Осадочные породы составляют два широких класса: кластические и хемогенные. Кластические породы сложены обломками минералов, других пород, раковин и т. д., состоящих главным образом из минералов, перечисленных в табл. 7.1а, и, следовательно, характеризуются наличием заметного объема пустого пространства. Хемогенные породы могли подвергаться перекристаллизации и действию просачивающихся растворов, что также часто ведет к образованию некоторого объема пустот. В обоих случаях пустоты, как правило, заполнены флюидами и объемная плотность породы определяется уравнением
P = M + d — Ф)Рт>
(7.3
где Ф — пористость, р/ — плотность флюида, р т — плотность минерального скелета породы,
18 7. Скорости распространения сейсмических волн
Кроме влияния на скорость через объемную плотность пористость оказывает также непосредственное воздействие на величину скорости, поскольку часть траектории волны проходит в низкоскоростном флюиде. Чтобы связать скорость V и пористость ф, часто используют эмпирическое уравнение среднего времени, полученное Уайли и др. [188] (рис. 7.5); в нем предполагается, что время пробега на единицу длины траектории в насыщенной флюидом пористой породе является средней
30
4Wx \
Х*Х
^20
\ *X
xX о *
-о
^ X
S
XVgSx
8 E
У
§-70 с;
° VVo
°Х W o V
о X
ПИиез.,всечсатниикя к
ххх
х
х х
°
х
Скорость ,кх ф. ут/с.
хxN\хх°хХ°Зг
* ^
x
х
х
\Хххххххх
Ю
12
IU *16>< х х Т *
-Tj
>. 1 ,' ' , i x ' , x * f t
О
3,0
3,5
U1O
5,0 6,0
Скорость, к м/с Рис. 7.5. Зависимость скорости от пористости Г187]. Горизонтальный мас-
штаб линеен относительно интервального времени (пропорциона-
лен 1/V). Пунктирная прямая соответствует уравнению среднего
времени (7 4) при Vm — 5,94 км/с и Vf = 1,62 км/с.
величиной из времен пробега на единицу длины траектории в материале скелета \/Vm и во флюиде 1 /Vf9 причем времена пробега берутся с весами, пропорциональными соответствующим объемам:
T = -W + 1 ^ -
(7-4)
Эта зависимость широко используется при интерпретации скважинных сейсмических наблюдений; ее форма подобна структуре выражения (7.3), только (7.4) имеет статистический и эмпирический характер. Величины Vf и Vm9 входящие в (7.4), часто выбирают так, чтобы они давали подходящие значения V в интересующем нас диапазоне, но за пределами этого диапазона совпадение может быть плохим, например для неконсолидированных, высокопористых осадочных пород.
Случайные упаковки хорошо сортированных частиц характеризуются пористостью в диапазоне 45—50 %, но под давлением
7.1. Факторы, влияющие на скорость 19
частицы деформируются на контактах, в результате чего плот-
ность увеличивается, а пористость уменьшается [142] (упругие
константы при этом также меняются — см. § 7.1.5). Очень не-
многие процессы, происходящие с породами, увеличивают их
пористость (рис. 7.6). Следовательно, в общем пористость
уменьшается с увеличением глубины залегания, степени сцементированности и возраста, с ухудшением отсортированное™ материала и т. п. Обычно пористость —
Средняя пористостьф
<0OtO5
0,10 0,20 0,30 0/#0 1—I—I I I
Ухудшение } сортированности }
наиболее важный фактор, влияющий на скорость в
< 6Цементация
осадочных породах.
•*Q-
2 >gg
7.1.5. Влияние глубины
сГ
а:
залегания и давления
Ng
В целом пористость умень- c^ 10
шается с увеличением глуби-
ны захоронения (или давле-
ния покрывающей толщи),
и поэтому скорость возрас-
тает с глубиной. Упругие константы также зависят от давления. Эти эффекты объясняются структурой осадочных пород, которые не являются однородными, как обычно предполагается в теории упругости.
Простейшая модель породы состоит из одинаковых
15
J—I I I I
Рис. 7.6. Влияние различных факторов на пористость обломочных порол Г1891. Пористость уменьшается с ростом глубины залегания (уплотнение), увеличением степени цементации и ухудшением отсортированности. При поднятии породы она практически не изменя-
шаров, уложенных в кубиче-
ется.
ские упаковки (рис. 7.7, а), причем каркас подвергается сжимающему давлению ^5. Если
радиус шаров Rf то сила Ft сдавливающая два соседних шара, — это полная сила, действующая на слой из д Х п сфер, г. е. ( 2 R n ) 2 ^ , деленная на число шаров п2 или F=\R20>. Эта
сила превращает точку контакта в круг радиуса г и заставляет
центры сблизиться на расстояние 5 (рис. 7.7, б, б), причем г и s
связаны с /?, F и упругими константами Ei о материала шаров уравнениями Герца [165, р. 372—377]:
г = {3(1 — a2) RF/4Eyi\
s =
{9{l-o2)F2/2RE2y\
(7.5)
20 7. Скорости распространения сейсмических волн
При прохождении Р-волн & изменяется на A ^ , что приводит к изменениям AF = 4R2 А&> и As = — 2/?е, где е — деформация в направлении силы F (рис. 7.7,г). Таким образом, в результате дифференцирования выражений (7.5), найдем эффективный упругий модуль К:
К = - А£Р/в =
= {3E2ZP/8 (1 - а2)2}"3.
Средняя плотность равна весу шара, деленному на объем куба, описанного вокруг него, т. е. р = (4/3л/?3р)/(2/?)3 = VeJip1
1TRv
Рис. 7.7. Действиг сжимающей силы на кубическую упаковку шаров fl831 а — кубическая упаковка, б — сила вызывает сближение центров шаров; в — сила превращает точечный контакт в круговой; г-~ действие изменяющейся силы.
где р — плотность материала, из которого сделаны шары. Таким образом, получаем скорость Р-волны Vcubic:
Vcubic - (К/р)ш = {81 £*<?>/( 1 - сг2)2 Tc3P3J1/6. (7.6)
Гассман [58] рассчитал скорость для гексагональной упаковки идентичных шаров (рис. 7.8,6), которая находится под давлением, создаваемым весом слоя вышележащих шаров мощностью г; для вертикального луча им получена скорость
Vhex = {128E2gz/( 1 - а2)2 я2р2} W
(7.7)
7.1. Факторы, влияющие на скорость 21
где g — ускорение силы тяжести. Поскольку величина & приблизительно пропорциональна г, (7.6) и (7.7) дают одинаковое изменение скорости с глубиной. Фауст [48] нашел эмпирическую формулу, которая устанавливает зависимость скорости от
%
f ш
#
I
^mЛ
Рис. 7.8. Плотная упаковка шаров, а — кубическая упаковка как на рис. 7.7,а — система не является гравита!жонно-устойчивой; б — гексагональная упаковка, гравитационно-устойчива; в — первый слой гексагональной системы, на котором отмечены два типа местоположений (А и В), соседние положения не могут быть заняты в одно и то же время, например две позиции, показанные штриховыми линиями; г — второй слой шаров; видно, что помещение шарика в положение А не позволяет другим шарикам занять некоторые из положений B1 д — гексагональная упаковка, где л е в а я часть составлена шарами в положениях Ay а правая часть — из шаров в положениях В\ при такой упаковке получается большая пористость, чем в случае размещения шаров только в положениях А, случайный первоначальный выбор положений А или В ведет к полностью случайной упаковке после нескольких слоев.
глубины залегания z и сопротивления пород R' и согласуется с (7.6) и (7.7):
Vp = 900 (г/?')1/6,
(7.8)
где скорость Vp выражена в м/с, г— р м, а /?'— в Ом. Однако получаемые в отдельных измерениях отклонения величин были
22 7. Скорости распространения сейсмических волн Скорость, км/с
берегов Венесуэлы, где осадочные породы находятся в сходных условиях, показаны в виде ступенчатого графика. Пунктирная кривая слева дает значения средней скорости в зависимости от глубины по венесуэльским данным. (Данные из работы Грегори [63].) 1 фут « 0,30 м
очень велики, что указывало на наличие других факторов, влияющих на скорость, которые не были приняты во внимание.
Разрез у побережья Мексиканского залива (шт. Луизиана США) состоит из сравнительно ненарушенных пластических пород, условия залегания которых примерно такие же, как
7.1. Факторы, влияющие на скорость 23
в описанных моделях. Грегори [63] приводит зависимость скорости от глубины для песков и глин с побережья залива при нормальном давлении (рис. 7.9). Данные лучше аппроксимируются степенной функцией с показателем 1/4, чем с показателем 1/6, как в формуле (7.8).
В реальных породах поровое пространство заполнено флюидом под давлением, которое, как правило, отличается от дав-
CKopocmblKMic
пс
1,5 3,0 ' 4 5
Рис. 7.10. Диаграммы ПС и каротажа скорости для скважины на американском побережье Мексиканского залива, вскрывшей зону аномально высокого давления. [144]. В разрезе представлены породы двух типов: пески и глины, которые различаются по кривой ПС. Глубины даны в километрах.
ления, создаваемого весом вышележащих пород. В таких условиях эффективное давление на зернистую основную среду равно разности между давлениями покрывающей толщи и флюидов. Когда пластовые флюиды находятся под аномальным давлением, дифференциальное давление становится соответствующим меньшей глубине, и скорость также стремится к значениям, характерным для меньшей глубины. Такое понижение скорости заметно на каротажной диаграмме на рис. 7.10, хотя часто изменение носит более постепенный характер, а не такой резкий, как показано на рисунке. Лабораторные измерения [55] также свидетельствуют о том, что скорость остается практически постоянной при изменении давления покрывающей толщи и давления флюидов, если дифференциальное давление остается постоянным. Аномально высокое пластовое давление представляет серьезную опасность при бурении скважин, и измерения скорости сейсмических волн помогают, в частности, прогнозировать такие зоны (см. § 7.2.4).
24 7. Скорости распространения сейсмических волн Скорость, км/с
Рис. 7.11. Кривые зависимости скорости от глубины по отдельным скважинам. а — данные по заливу Аляска ( / ) , скважине Кост-В2 у восточного побережья США (2), скважинам в округах Тайлер (3) и Дьюитт (4) на техасском побережье Мексиканского залива и Иллинойскому бассейну (5); б — данные по долине Сакраменто (5) (компания «Йоло», шт. Калифорния), бассейну Уинд-Ривер (7) (компания «Фремонт», шт. Вайоминг), бассейну Уиллисгон (5) (компания «Дивайд», шт. Нью-Джерси) и Яванскому морю (9); в — средняя скорость в зависимости от глубины по данным, приведенным на рис. а и б Плавная штриховая кривая слева на рис. а и в относится к южной Луизиане (нормальное давление).
Изменение скорости с глубиной, часто называемое скоростной функцией (§ 3.2.4), как правило, представляет собой довольно регулярное возрастание скорости по мере увеличения глубины. Зависимости скорости от глубины для некоторых регирнов приведены на рис. 7.И,
?.]. Факторы, влияющие на Скорость Скорость, км/с
bJ
26 7. Скорости распространения сейсмических волн
В некотором противоречии с представлениями о том, что уплотнение пород, сопровождающееся потерей пористости, является главной причиной увеличения скорости с глубиной, находятся данные по плотным изверженным породам, которые также характеризуются ростом скорости с глубиной [116], хотя в несколько меньшей степени. Гарднер и др. [55] выдвинули гипотезу, что в таких породах существуют «микротрещины», которые «задерживают» сейсмические волны, и что с увеличением давления эти микротрещины закрываются, поэтому такие породы испытывают меньшее уплотнение. Авторы подвергали породу ударному воздействию, чтобы вызвать образование большего числа микротрещин, после чего скорость уменьшалась, а зависимость скорости от давления усиливалась.
7.1.6. Влияние возраста, частоты и температуры
Прежняя форма закона Фауста [47] включала возраст породы как фактор, определяющий скорость распространения в ней сейсмических волн. Рис. 7.12 взят из статьи Фауста; приве-
76
3
4
5 678 9 Глубина, 10ОО фут (300 м)
10
11
12 13
Рис. 7.12» Зависимость скорости от возраста и глубины залегания пород [47]. 1 фут = 0,30 м.
7.1. Факторы, влияющие на скорость 27
денные точечные значения соответствуют средним из множества значений. Более древние породы обычно характеризуются более высокими скоростями, чем молодые, но большинство геофизиков сходятся на том, что возраст, вероятно, просто отражает суммарное влияние многих геологических процессов, т. е. более древние породы просто более длительное время подвергались влиянию различных факторов, уменьшающих пористость (цементации, тектонических напряжений и т. п.). Поскольку условия залегания пород значительно меняются во
Рис. 7.13. Зависимость скорости в насыщенных соленой водой песчаниках Береа от температуры и давления [167].
времени и в пространстве, временной фактор можно оценить лишь приблизительно. Некоторую роль, возможно, играет зависящая от времени деформация пород, но ее природа пока не ясна.
Экспериментальные данные в целом подтверждают гипотезу о том, что величина скорости не зависит от частоты в пределах диапазона от герц до мегагерц, и, следовательно, явных свидетельств существования дисперсии волн P и S не наблюдается.
Скорость, по-видимому, слегка меняется в зависимости от температуры (рис. 7.13), уменьшаясь на 5—6 %/100°С.
7.1.7. Влияние порового флюида Пористые породы почти всегда насыщены флюидами, обычно водой с растворенными в ней солями, а поровое пространство в пластах коллекторах для нефти и газа заполнено переменными количествами воды, нефти и газа. Замещение воды нефтью или газом меняет объемную плотность и упругие константы и, следовательно, также скорость Р-волн и коэффициент отражения. Этих изменений иногда достаточно, чтобы указать на присутствие газа или нефти. Вариации амплитуд отраженных волн, скорости, частот и других факторов в горизонталь-
28 7. Скорости распространения сейсмических волн
ном направлении нередко являются важными индикаторами скоплений нефти и газа (см. § 9.8). Низкие скорости в случае заполнения порового пространства газом по крайней мере частично объясняют пониженные значения ее, наблюдаемые в выветрелом верхнем слое —зоне малых скоростей (ЗМС) (§ 7.2.2), а также являются причиной того, что нижняя граница ЗМС так часто совпадает с уровнем грунтовых вод.
0,2
0,3
Пористость ф
Рис. 7.14. Связь отношения скоростей S- и Р-волн с пористостью для газои водонасыщенных пород (данные работы f62]).
Природа порового флюида не меняет заметным образом величины модуля сдвига, так что скорость S-волн меняется в слабой степени (главным образом из-за изменений плотности). В качестве метода распознавания типа флюида, заполняющего поровое пространство, предложен анализ отношения скоростей P- и S-волн а / Р (рис. 7.14).
Ha заре исследований удалось выявить несколько скоплений углеводородов по возрастанию амплитуд отраженных волн. Это привело к надеждам, что каждая амплитудная аномалия должна быть связана с промышленным месторождением газа или нефти. Но Доменико [42], применив формулу Гиртсмы [60], показал, что даже небольшое количество газа в поровом пространстве породы ведет к значительному уменьшению скорости (рис. 7.15, а) и существенному изменению отражающих свойств пласта (рис. 7.15,6). В формуле Гиртсмы кроме плотности и упругих модулей материала скелета учитывается сжимаемость флюидов. Доменико [43,44] частично подтвердил теоретические результаты лабораторными экспериментами.
7.2. Применение концепций, основанных на скоростях 29
Насыщение углеводородами
IO
0,5
О
Насыщение углеводородами
1,0 т—I—I—I—0.5|—I I I г О
0,5 Водоносы ш,ение
л
0,5
Водонасьщение
6
Рис. 7.15. Влияние газо- и нефтенасыщенности на скорость. Сплошные кривые соответствуют гаиу, пунктирные — нефги [42]. а — скорость Р-волн в зависимости от процента порового пространства, запол-
ненного водой (водонасыщенность), и содержание газа или нефти
в остальном поровом пространстве; графики соответствуют разным глубинам; б — коэффициент отражения волн от нефте- или газонасыщенных песков, перекрытых глиной.
7.2. Применение концепций, основанных на использовании скоростей
7.2.1. Введение
Понимание факторов, влияющих на скорость, помогает предвидеть характер ожидаемых на исследуемой площади изменений скорости и, следовательно, оценить искажения скорости, которых следует ожидать в сейсмических данных (см. § 9.5). Области с умеренно однородным геологическим строением, как, например, побережье Мексиканского залива США, характеризуются небольшими изменениями скоростной функции от одной площади к другой. Вследствие регионального наклона пластов на побережье Мексиканского залива в сторону моря, с удалением от берега на фиксированной глубине оказываются все более молодые участки разреза, но скоростная функция сильно не меняется; максимальные давления, которым подверглись породы, соответствуют реально существующим дав-
30 7. Скорости распространения сейсмических волн
лениям, которые зависят главным образом от глубины, а не от возраста. С другой стороны, области, подвергшиеся недавним структурным деформациям и поднятию (такие, как Калифорния), характеризуются быстрыми изменениями скоростной функции при переходе от одной площади к другой. Многие комплексы пород в Калифорнии ранее были погребены на больших глубинах и подвергались большим напряжениям, чем действующие в настоящее время. Результатом этого явились
0
0,5
i'0
I,о"
i \
% Современная 1¾ глубина
800м
Максимальная С\ глубина
залегания 1950 м
J L I' I
^ 7 , 5 2 2,5 3 U S
10
Скорость.км/с
Рис. 7.16. Определение максимальной глубины погружения породы по скорости сейсмических волн [78]. А и С — линии регрессии для глин и известняков соответственно, В — то же для соотношения глина/известняк = 2/3.
большие горизонтальные градиенты скорости, которые существенно влияют на интерпретацию сейсмических данных.
Эмпирические данные позволяют предположить, что максимальная глубина, на которую была погружена порода, является мерой необратимого воздействия на пористость и, следовательно, служит важным параметром в определении пористости. В целом можно сделать вывод, что в принципе пористость определяется существующей разностью давлений и максимальной глубиной залегания породы.
Необратимое изменение пористости (и, следовательно, скорости) с глубиной залегания породы позволяет определить максимальную глубину, на которой ранее находился данный
7.2. Применение концепций, основанных на скоростях 31
участок разреза. Если можно установить характер зависимости скорости от глубины для близкого по литологии разреза на площади, не подвергавшейся поднятию, то по наблюдаемой зависимости скорости от глубины определяется максимальная глубина погружения, и, следовательно, можно вычислить величину поднятия. На рис. 7.16 регрессионные прямые для глин и известняков (А и С) получены по измерениям на «чистых» глинах и известняках, которые, как считается, находятся на максимальной глубине их погружения. Прямая В, которая получена из первых двух путем интерполяции, представляет собой прогнозную прямую, основанную на относительных количествах глин и известняков, действительно присутствующих в породе, и в предположении, что породы находятся на максимальной глубине их залегания. Предполагается, что величина, на которую требуется сместить эту линию по глубине для совмещения ее с результатами реальных измерений, дает амплитуду имевшего места поднятия. Иногда эту методику можно использовать для выяснения вопроса о том, были ли породы на каком-то этапе погружены достаточно глубоко, чтобы достичь зоны высоких температур, необходимых для образования углеводородов (см. § 9.1.1).
7.2.2. Зона малых скоростей
Если скорость сейсмических волн меньше, чем в воде, это обычно указывает на то, что по крайней мере некоторая часть порового пространства заполнена газом (воздухом или метаном, образующимся при разложении растительных остатков) [181]. Столь низкие значения скорости наблюдаются, как правило, только вблизи земной поверхности в так называемой зоне малых скоростей (ЗМС). Этот слой, в большинстве случаев имеющий мощность 4—50 м, характеризуется скоростями сейсмических волн, которые не только малы по величине (обычно от 250 до 1000 м/с), но иногда и чрезвычайно изменчивы. Часто подошва ЗМС примерно совпадает с уровнем грунтовых вод, указывая на то, что слой пониженной скорости соответствует зоне аэрации над водонасыщенной зоной, но это наблюдается не всегда. В районах сезонных колебаний уровня грунтовых вод выщелачивание и переотложение минералов могут создавать эффект удвоенного слоя малых скоростей. Эффекты удваивания ЗМС иногда обусловлены уровнем подвешенных грунтовых вод или изменениями в подошве ледниковых наносов, которая располагается на глубине, отличной от уровня грунтовых вод. В областях пустынь, где отсутствует определенно выраженный уровень грунтовых вод, ЗМС может постепенно переходить в отложения, характеризующиеся нор-
32 7. Скорости распространения сейсмических волн
мальной скоростью. В субарктических областях болотистая тундра, покрытая мхом, характеризуется низкой скоростью летом и образует промерзший слой с высокой скоростью зимой (см. также § 7.2.3). На других площадях природа низкоскоростного слоя и связанные с ним проблемы существенно меняются в зависимости от сезона. Разумеется, термин «зона выветривания» (ЗМС) в геофизическом использовании отличается от геологического понятия «выветривания», которое означает разрушение пород под влиянием различных агентов.
Наличие ЗМС существенно в пяти аспектах: 1) в этой зоне наблюдается повышенное поглощение сейсмической энергии; 2) низкие значения скорости и резкие их изменения оказывают непропорционально большое влияние на времена пробега волн; 3) в условиях низких скоростей длины волн малы, и поэтому неоднородности гораздо меньших размеров создают заметное рассеяние и помехи других типов; 4) резкий скачок скорости в подошве ЗМС сильно изменяет направление сейсмических лучей, поэтому траектории прохождения волн через ЗМС почти вертикальны независимо от их направления под ЗМС и 5) чрезвычайно большой перепад акустических жесткостей в подошве ЗМС делает ее прекрасным отражателем, приводящим к образованию кратных отражений. Под влиянием первого аспекта записи от взрывов, произведенных в этом слое, часто бывают плохого качества, поэтому заряды обычно стараются помещать под ЗМС. Методы изучения ЗМС рассмотрены в § 5.3.6, а методы введения поправок за этот слой — в § 5.6.2.
В некоторых областях, где наблюдается значительное уплотнение пород с глубиной в пределах низкоскоростного слоя, скорость возрастает с глубиной г приблизительно по закону
V = azx/n,
(7.9)
где а и п — эмпирически полученные константы. Блондо и Шварц разработали так называемый метод Блондо для определения вертикального времени пробега до уровня приведения, когда скорость изменяется по закону (7.9) [45, 103]. Метод применим, когда годограф первых вступлений, построенный в двойном логарифмическом масштабе, прямолинеен. По наклону годографа определяется п. Вычислительная процедура обсуждается в задаче 7.11. Этот метод применялся главным образом в областях развития ледниковых отложений.
7.2.3. Зона вечной мерзлоты
Температура пород вблизи поверхности, как правило, близка к среднегодовой температуре для данной точки земного шара, в арктических и некоторых субарктических областях она при-
7.2. Применение концепций, основанных на скоростях 33
нимает значения ниже точки замерзания. В общем случае скорость сейсмических волн значительно увеличивается, когда поровый флюид в породе замерзает. В болотистых областях, где среда вблизи поверхности отличается существенной пористостью в незамерзшем состоянии и обогащена неразложившимися растительными остатками, скорость в результате замерзания может возрасти от 1,8 км/с или меньше до 3,0—3,8 км/с. Таймур [166] приводит данные, показывающие, что после замораживания скорость в песчаниках Береа изменяется от 3,9 до 5,2 км/с, в известняках Шперген — от 4,4 до 5,7 км/с, а в черных глинах —от 3,6 до 3,9 км/с. Степень изменения скорости приблизительно пропорциональна пористости.
Участок геологического разреза, который не оттаивает круглый год, называют зоной вечной мерзлоты. Обычно над ней имеется слой, который летом оттаивает, и область увеличения температуры с глубиной ограничена этой зоной. Мощность зоны вечной мерзлоты изменяется от десятков сантиметров до километра. Там, где она имеет очень большую мощность, скорость вблизи ее подошвы может постепенно уменьшаться с глубиной, пока не достигнет значений, характерных для пород данного типа. В случаях, когда слой вечной мерзлоты сравнительно тонок, уменьшение скорости у его подошвы бывает довольно резким.
Водоемы на поверхности земли обычно промерзают не глубже, чем на несколько метров, и вода защищает подстилающие их отложения от воздействия холода, поэтому вечная мерзлота, как правило, под водоемами отсутствует. Горизонтальные изменения скорости от нормальных значений под озерами и реками до аномально высоких, обусловленных вечной мерзлотой, на примыкающих сухих площадях могут происходить очень резко и создавать ложное впечатление крупных структур глубже по разрезу.
В то время как преломление в подошве ЗМС приводит к тому, что лучевые траектории в верхнем слое становятся почти вертикальными, преломление на границе вечной мерзлоты делает лучи в этой зоне более наклонными и увеличивает время, затраченное на ее прохождение. Этот эффект усиливается на трассах с большим удалением, для которых траектории распространения волн ближе к горизонтальным, и, следовательно, ряд допущений, использованных в моделях, на которых основан расчет статических поправок, анализ скоростей, суммирование по ОГТ и т. д., становится неприемлемым. В результате возможности корректировать эффекты промерзания пород, как правило, весьма ограниченны. Усложняет проблему то обстоятельство, что мы часто не можем точно определить мощность зоны вечной мерзлоты и градиент скорости.
ft
KQI
34 7. Скорости распространения сейсмических волн
С
мерзлотой
связано
еще
одно
0.0
O1I
явление, а именно морозобойные 0.2 0.3
трещины, которые возникают в ре- OM
зультате
растрескивания
льда
в 0.5 0.6
направлении от пункта взрыва 0.7
(рис.
7.17). Это
внезапное
высво-
0,8 0.9
бождение энергии проявляется резко на различных временах после
1,0
U 1,2
взрыва и может характеризоваться
1.3
IA
достаточно большой интенсивностью, т. е. создает такой же эффект,
1.5 1.6
:¾¾
как
хаотические
повторные
удары,
1.7 1.8
волны
от
которых
могут
маскиро-
1.9 2.0
вать отражения, связанные с пер- 2.1
воначальным взрывом. Возникнове-
2.2 2.3
ние морозобойных трещин менее 2А
2.5
вероятно, если уменьшить энергию 2.6
источника.
Поэтому
иногда
полез-
2.7 2.8
но брать заряды меньшей величи- 2,9
ны,
чем
требуется,
и
увеличивать
3,0 3.7
—,„ ним
•и • •J.'V^Un"i'^'S"m"^"!*'s....,,..^:^
количество суммирований, чтобы 3.2
скомпенсировать
это
уменьшение
3.3
ЗА
[117].
3.5
3.6
3.7
7.2.4. Выявление зон аномального
3.8 3.9
давления
VA1O
\2
«Нормальное» давление в пластах 4,3
пород существует тогда, когда дав-
*А
4.S
ление флюидов в поровом простран- \Б стве породы равно гидростатическо- 44..78
му,
соответствующему
глубине
за-
4.9 5.0
легания породы. Если плотность 5.1
флюида равна р/, давление флюи- 5.2
5.3
да равно &f = PfZi где г — глубина залегания породы. Буровики часто
пользуются понятием градиента
5555А...765
давления d&f/dz
= р/, который при
5.8 5.9
Pf — 1,04 г/см3 составляет около 6,0
10 кПа/м, или 0,45 фунт-дюйм-2•фут-1 (градиенты в диапазоне 0,48—0,43 фунт-дюйм-2-фут"1
Рис. 7.17. Сейсмические записи из арктического района, демонстрирующие вступления, свя-
обычно рассматриваются как «нор- занные с морозобойными тре-
мальные»). Давление, создаваемое щинами. [С разрешения фиртолщей покрывающих пород, при мы «Петрокаиада».]
Pm = 2,3 г/см3 составляет примерно
7.2. Применение концепций, основанных на скоростях 35
''
v:
— 4.3
... „
:¾¾¾
4.8
4.9
- 5,0
5,1
'
5.2
---/--5.3
-- г.;;. — 5Л
— -п-г 5,5
--U
V
4
-
.
>
—- 5
5, ,76
:.¾:- 5,9 6,0
m = 22,5 кПа/м, или 1,0 фунт*дюйм 2*фут Эффективное
давление, действующее на породу, как указывалось в § 7.1.5,
равно разности давлений A ^ = 0,55 фунт-дюйм-2 «фут-1.
— = 12,5 кПа/м, или
Случаи аномального, или повышенного, давления (иногда
встречаются также зоны пониженного давления) возникают в
результате закупоривания пластов по мере их захоронения, в
36 7. Скорости распространения сейсмических волн
результате чего пластовые флюиды лишаются возможности оттока из пласта и не дают породе уплотняться под возрастающим давлением толщи покрывающих пород [114]. Фактически только часть веса покрывающей толщи передается скелетом породы заполняющему поры флюиду. Поэтому порода «чувствует себя» под тем дифференциальным давлением, которое соответствует несколько меньшей глубине, и скорость в ней соответствует этой меньшей глубине.
Более глубокие зоны многих осадочных разрезов включают тонкозернистые отложения, проницаемость которых недостаточна, чтобы дать возможность поровым флюидам мигрировать в процессе уплотнения, и появление зон аномально высоких давлений в таких условиях — довольно обычное явление. Это в особенности относится к молодым третичным бассейнам, где осадконакопление происходило достаточно быстро, например на американском побережье Мексиканского залива, в дельтах рек Нигер и Маккензи и вдоль континентальных склонов во многих районах мира. Породы в пластах, находящихся под аномальным давлением, могут вести себя как вязкие жидкости, не обладающие сдвиговой прочностью, и поэтому могут вовлекаться в диапировое течение (см. рис. 9.19). в результате чего возникают ослабленные зоны срыва с образованием разломов [64].
В тех случаях, когда отражающие границы лежат внутри или ниже зоны аномальных давлений в разрезе, из анализа скоростей (§ 8.2.3) можно рассчитать интервальные скорости и не только выявить зоны повышенного давления, но и определить величину давления [119]. При,проведении анализа скоростей обычно принимают в расчет только те данные о скоростях, которые соответствуют монотонному увеличению скорости, обеспечивающей оптимальное суммирование (Уогт) с глубиной; при этом исключаются инверсии скорости, которые могут служить признаком присутствия в разрезе зон аномального давления. Вследствие того что для суммирования данных, относящихся к зонам аномального давления, используют, как правило, слишком высокую скорость, качество отражений в пределах таких зон обычно оказывается очень плохим, и в некоторых случаях это ухудшение можно использовать как индикатор таких зон. В то же время многократные отражения обычно также являются признаком заниженной скорости при суммировании и, следовательно, могут затруднять выделение зон аномального давления. ^ Уметь предсказывать зоны аномального давления чрезвычайно важно при составлении планов буровых работ для снижения опасности выбросов флюидов и возникновения других проблем. Важно это и с точки зрения прогноза газовых запасов, поскольку газовые залежи, располагающиеся в пределах зон аномально высокого давления, мо-
7.2. Применение концепций, основанных на скоростях 37
гут содержать гораздо большее по сравнению с нормальными условиями количество газа при том же объеме коллектора.
При поисках зон аномального давления анализ скоростей (§ 8.2.3) обычно делается с меньшим шагом сканирования, чем в тех случаях, когда целью анализа служит прежде всего определение эффективной скорости. Ауд [6] указывает, что шаг сканирования по скорости следует выбирать около 15 м/с, а приращение по времени 10 мс; он отмечает, что данные должны быть получены по крайней мере с 12-кратным перекрытием при удалениях, достаточных для получения нормального кинематического сдвига величиной не менее 100 мс. Ауд нередко выделяет оси синфазности, отстоящие друг от друга на расстояние всего лишь 100 мс. Применение методики осреднения данных по ряду смежных средних точек в общем ведет к снижению уровня экспериментального шума, но в то же время затрудняет возможности выявления природы аномальных значений скорости. Вследствие неопределенности в значениях, полученных по любому отдельному сечению анализа скоростей, взвешенное осреднение результатов по нескольким смежным сечениям улучшает надежность результатов.
7.2.5. Эффект газогидратов На сейсмических разрезах, полученных в глубоководных районах, иногда на небольшой глубине под поверхностью дна про-
Рис. 7.18. Сейсмический профиль на Внешнем хребте Блейк у юго-восточного побережья США, на котором видно отражение от подошвы зоны газогидратов [148].
слеживаются отражения, секущие плоскости напластования (рис. 7.18). Эти отражения часто относят за счет газогидратов, в которых молекулы газов связаны в кристаллические решетки вместе с молекулами воды с образованием структур, подобных
38 7. Скорости распространения сейсмических волн
льду. Газогидраты устойчивы в тех условиях температур и давлений, которые характерны для зоны, расположенной непосредственно под поверхностью дна в глубоководных районах. Образование газогидратов возможно, когда концентрация
Рис. 7.19. Предел устойчивости метаногидрата в воде, содержащей 3,5 % NaCl [174]. Расстояние по горизонтали от вертикальной пунктирной прямой (соответствующей температуре в 3°С у поверхности морского дна) до кривой предельной устойчивости приблизительно пропорционально мощности зоны газогидратов. Временная мощность 0,6 с при скорости 2,0 км/с на рис. 7.18 согласуется с измеренными температурными градиентами порядка 0,03 °С/м.
газа превышает величину, необходимую для насыщения поровой воды. Скорость в метаногидратных осадках составляет примерно 2,0—2,2 км/с [174]. Отражение от основания зоны газогидратов, как правило, грубо повторяет рельеф морского дна в районах, где падение пластов направлено в сторону суши, и глубина этого отражения под поверхностью дна приблизительно соответствует пределу устойчивости метаногидрата (рис. 7.19). Поэтому при интерпретации считается, что оно маркирует границу между гидратом и газом, скопившимся в ловушке, образованной вышележащим гидратом. Газ, уловленный таким способом, может когда-нибудь стать энергетическим ресурсом.
7.3. Измерение скоростей 7.3.1. Стандартные скважинные наблюдения Большинство прямых методов определения скорости требует наличия глубокой скважины. Используются два типа скважинных наблюдений: стандартный сейсмический каротаж и акусти-
7.8. Измерение скоростей 39
ческий каротаж (или непрерывные определения скорости), ко-
торый будет рассмотрен в следующем разделе.
При сейсмическом каротаже в скважину на кабеле опу-
скают сейсмоприемник (геофон) или гидрофон и регистрируют
время, необходимое для прохождения сейсмических волн от
пункта взрыва вблизи устья скважины до сейсмоприемника
(рис. 7.20). В качестве источников сейсмической энер-
H
х
H
гии используются также
пневмопушки в шурфах с глинистым раствором или
Sy S 3 / S 4 S e
в воде при каротаже мор-
ских скважин. Чтобы избе-
жать воздействия высоких
температур и давлений, ха-
рактерных для глубоких
нефтяных скважин, приме-
няют приемники специаль-
ных конструкций.
Для обеспечения хороше-
го контакта приемники при-
жимают к стенкам скважи-
ны механическими устрой-
ствами. Кабель выполняет
тройное назначение: к нему
крепится приемник, он слу-
жит для измерения глуби-
ны опускания приемника и содержит электрические про-
о
вода, по которым выходной
сигнал приемника передает-
ся на поверхность, где про- Рис. 7.20. Каротаж скважины с целью описходит регистрация. Взры- ределения скоростей.
вы производят в одной или
более точках вблизи устья скважины. Приемник перемещают
между взрывами вдоль ствола скважины. Таким образом, ре-
зультаты измерений представляют собой набор времен пробега
волн от поверхности до ряда глубин. Глубины погружения
сейсмоприемника выбирают так, Чтобы лучше изучить наибо-
лее важные геологические границы, такие, как кровли форма-
ций, поверхности несогласия, а также получить данные в про-
межуточных положениях. Интервал между последовательными
измерениями должен быть достаточно малым для обеспечения
необходимой точности наблюдений (часто 200 м).
Результаты стандартного сейсмокаротажа приведены на
рис. 7.21. Вертикальное время пробега / до глубины z получа-
40 7. Скорости распространения сейсмических волн
ется умножением наблюдаемого времени на коэффициент г/ д/z2 + X2t учитывающий наклон реальной траектории. Средняя скорость между поверхностью и глубиной z определяется отношением г Д На рис. 7.21 приведены график средней скорости V и вертикальный годограф t> построенные в функции г. Вычитая глубины и времена для двух пунктов взрыва, найдем
Время пробега,с 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1.2 1А
Скорость V и интервальная скорость Vi , км/с Рис. 7.21. Результаты сейсмического каротажа.
интервальную скорость Vit т. е. среднюю скорость на интервале
Zm — Zny С ПОМОЩЬЮ ф о р м у л ы
Vi = z.m~z.nIn ,
(7.10)
Каротаж скважин позволяет определить среднюю скорость с хорошей точностью. Однако его проведение обходится весьма дорого, поскольку стоимость включает не только время от половины до целого рабочего дня сейсмической партии, но и оплату простоя скважины (что часто намного превышает стоимость сейсмических работ). Потенциальная опасность разрушения скважины —еще один фактор, отбивающий охоту проводить сейсмокаротаж; во время проведения сейсмических наблюдений скважина должна стоять без бурового инструмента в ее полости, и, следовательно, возможны обрущения, выбросы газа и другие серьезные повреждения ее ствола. Другим небла-
7.8. Измерение скоростей 41
гоприятным фактором при разведке новых площадей является то, что сейсмические работы часто заканчиваются прежде, чем будет пробурена первая скважина.
7.3.2. Акустический каротаж для определения скоростей Непрерывные измерения скорости выполняются с помощью одного или двух импульсных генераторов и двух или четырех приемников, которые помещают в один контейнер, называемый
3200
330О
Нижний изличатель/
3400
V//////////SS'
а
Рис. 7.22. Акустический каротаж. (С разрешения «Шлюмберже».) а — компенсированный скважинный зонд; б — диаграмма акустического каротажа (справа) и интегральная кривая с отметками через 1 мс (слева). 1 фут = 0,30 м.
зондом, и опускают в скважину. На рис. 7.22, а показан компенсированный скважинный зонд акустического каротажа, разработанный фирмой «Шлюмберже». Он содержит два источника сейсмических импульсов Si и S2 и четыре приемника Rx-R4y «разнос» которых, т. е. расстояние от R\ до R3 и от R2 до /?4, составляет 61 см. Длина компенсированного скважинного зонда равна 1,22 м, для «длинных» зондов — 2,44 м. При работе с длинными зондами более вероятно, что измеренная скорость будет соответствовать скорости в неизмененных породах геологической формации. Для нахождения скорости
42 7. Скорости распространения сейсмических волн
измеряют разности времен пробега импульса, распространяющегося от Si до R2 и /?4, и подобным же образом — от S2 до /?3 и Ru после чего вычисляется среднее из этих разностей. Зонд перемещается по скважине, заполненной буровым раствором, который характеризуется скоростью сейсмических волн порядка 1500 м/с; однако в первых вступлениях регистрируются Р-волны, которые прошли по породе, окружающей скважину. Ошибки, возникающие из-за вариаций диаметра скважины и толщины глинистой корки вблизи излучателей, в значительной мере устраняются благодаря измерению разности времен пробега до двух приемников; ошибки, обусловленные подобными вариациями вблизи приемников, снижаются осреднением результатов для двух пар приемников. Диаграмма акустического каротажа (рис. 7.22,6) дается в виде функции от глубины интервального времени, деленного на разнос приемников (выраженного в мкс/фт); эта величина является обратной по отношению к скорости Р-волн в породе.
Разность времен пробега до приемников акустического зонда измеряется устройством, которое автоматически регистрирует время прихода сигнала к каждому из двух приемников и вычисляет разность этих времен. Поскольку сигнал подходит к приемнику не в виде короткого импульса, а как волновой цуг, приемник реагирует на первый максимум (или минимум), который превышает некоторое пороговое значение. Иногда случается, что чувствительные элементы двух приемников реагируют не на один и тот же максимум (или минимум), и тогда будет зафиксировано ошибочное приращение времени. Это явление, называемое перескок на период, обычно удается выявить и учесть, так как ошибка точно равна известному временному интервалу между последовательными периодами в импульсе [83].
Точность значений скорости, полученных по данным акустического каротажа, часто довольно низка, о чем свидетельствуют частые расхождения между диаграммами обычного и длиннозондового каротажа. Это обстоятельство следует осознать геофизикам, которые, обнаружив такие расхождения, склонны доверять данным акустического каротажа и сомневаться в сейсмических данных. Точность данных акустического каротажа часто снижается из-за переменного радиуса зоны проникновения волн, наличия каверн в стенках скважины, различных изменений во времени после бурения скважины и из-за других факторов. В зависимости от цели, для которой предназначены данные акустического каротажа, могут оказаться необходимыми их редактирование и коррекция. В процессе редактирования детально сравниваются различные каротажные диаграммы, чтобы выявить неправдоподобные значения и заменить их
7.8. Измерение скоростей 43
теми, которые можно считать более вероятными. Редактирование очень важно, если по скважинным данным нужно построить надежные синтетические сейсмограммы (см. § 9.4.4).
Диаграмму акустического каротажа автоматически интегрируют для получения полного времени пробега, которое затем представляют в функции глубины пугем нанесения отметок через интервал в 1 мс (см. рис. 7.22,6). Малые систематические ошибки, как правило, имеют тенденцию накапливаться при интегрировании данных. Эффект накапливания ошибки можно ослабить, если произвести контрольные взрывы в кровле и подошве интервала, для которого получена диаграмма акустического каротажа, и распределить разницу во временах пробега по линейному закону в пределах этого интервала. Чтобы облегчить проведение контрольных измерений, зонд, как правило, снабжают скважинным приемником такого типа, который используется при сейсмокаротаже.
Во многих геологических формациях мгновенные значения скорости, как видно, например, на рис. 7.22,6, испытывают быстрые флуктуации. Хотя при детальном рассмотрении распределение скорости — существенно нерегулярная функция, длины волн, применяемых в сейсморазведке, так велики (обычно более 30 м), что быстрые флуктуации не мешают определению траектории сейсмических волн.
Диаграммы акустического каротажа используют для определений плотности, поскольку плотность, по-видимому, является основным фактором, влияющим на сейсмическую скорость. Хотя акустические диаграммы представляют большую ценность для геофизика-интерпретатора, их, как правило, получают без его контроля, и поэтому часто они не дают всей необходимой для геофизика информации. Например, для определений пористости контрольные взрывы не требуются, и по этой причине, следовательно, их производят далеко не всегда. Каротаж обычно не выполняют на всей глубине скважины, и данные акустического каротажа редко охватывают верхнюю часть скважины. В результате информация акустического каротажа обычно бывает неполная; чтобы использовать такие диаграммы для контроля скоростей, нужно вводить некоторые допущения для тех интервалов разреза, где данные отсутствуют. Это, в частности, отйосится к случаю, когда по данным акустического каротажа рассчитываются синтетические сейсмограммы, с которыми мы будем иметь дело в § 9.4.4.
Иногда применяются некоторые модификации акустического каротажа, но они не находят заметного использования в сейсморазведке. Если регистрируется все волновое поле, то в дополнение к первым вступлениям распространяющихся в горных породах Р-волн мы получаем запись S-волн в породах, Р-волн
44 7. Скорости распространения сейсмических волн
в глинистом растворе и трубных волн (см. § 2.2.Юг). Волны различных типов обычно в достаточной мере различаются по временам прихода, поэтому их амплитуды можно измерить, выбирая соответствующие временные окна. Амплитуды S-волн иногда представляют на специальных каротажных диаграммах для выявления трещиноватых зон, так как большие амплитуды указывают на отсутствие трещин. Амплитуды Р-волн, когда зонд находится внутри обсаженного интервала, выводят на диаграммах контроля за цементацией; амплитуды высоки, когда обсадная колонна свободно подвешена (поскольку энергия распространяется в основном по стальным трубам), и становятся низкими, когда обсадные трубы хорошо скреплены с породами цементом. Полное волновое поле иногда представляют в виде «трехмерной каротажной диаграммы», которая используется также для определения качества сцепления обсадной колонны с породой.
7.3.3. Измерения, основанные на приращении времени пробега с ростом удаления
а) Метод X2—T2. Время пробега отраженной энергии зависит не только от глубины отражения и скорости в породах выше отражающей границы, но и от удаления приемника от источника. В ряде методов (включая методы анализа скоростей, которые будут описаны в § 8.2.3) эта зависимость от удаления используется как способ измерения скорости. Основу методов измерения скорости по наблюдениям на поверхности составляют два классических метода: X2 — T2 и T — ДT9 хотя сами они уже вышли из употребления.
Метод X2 — T2 основан на формуле (3.21). Запишем
t2 = X2IVott+tl
(7.11)
Если нанести на график значения t2 в функции X2f то получим прямую, наклон которой равен 1 /Vovi и которая отсекает на оси t2 отрезок /о; с помощью этого отрезка можно определить
соответствующую глубину. Величина Von — это скорость, при-
нятая при суммировании по ОГТ (§ 8.2.5), и поэтому ее назы-
вают скоростью ОГТ (или скоростью суммирования). Когда
среда горизонтально-слоистая и отражающие границы горизон-
тальны, ^скорость Когт совпадает со среднеквадратической ско-
ростью V в (3.22):
Vhrr « V2= | j V 2 i M i j t u b
(7.12)
где Vi — скорость в слое, двойное время пробега через который равно Ati. При различных условиях
7.8. Измерение скоростей 45
Von = V для постоянной скорости и горизонтальной гра-
ницы;
V o r r = V/cos I для постоянной скорости и угла наклона
отражающей границы
1/огт = V для горизонтально-слоистой среды;
^огт = F/cos I для сред с плоскопараллельными наклонны-
ми границами.
в
В общем случае простого соотношения между VorT и V
записать не удается. Скорость VorT используется для расчета
кинематических поправок до проведения суммирования даже
в тех случаях, когда ее связь с истинным распределением ско-
рости очень сложна или вовсе не известна. Иногда для опреде-
ления глубины используется эффективная средняя скорость V
(§3.2.2):
V= Z
i=I
VtA/tJ;=ti
(7.13)
это уравнение также предполагает горизонтально-слоистую среду с постоянной пластовой скоростью (и вертикальную лучевую траекторию).
Уотерс [180] приводит сейсмические данные, нанесенные на график в масштабах, линейных относительно х2 и а не х и t9 что помогает определению VorT-
Когда на стандартном сейсмическом профиле диапазон удалений х недостаточно велик для того, чтобы можно было найти V с требуемой точностью, применяют специальные профили с большими удалениями. Дике [40] описал систему профилей, которая относится к одному и тому же участку отражающего пласта и позволяет устранить влияние наклона при расчетах, а также дает привязку по временам. Последнее помогает контролировать, не произошло ли при прослеживании оСей синфазности отраженных волн перехода на другой экстремум, например перескока на один период. Если при наблюдениях по методу ОГТ используются большие удаления, специальные работы для определения скоростей выполняются реже, хотя все-таки иногда это делается, особенно при изучении глубоких отражающих границ. При работах по методу X2— T2 можно получить точность определения скоростей порядка нескольких процентов, если 1) записи характеризуются хорошим качеством и на них имеется не очень большое количество отражений, 2) введены точные статические поправки, 3) полевые работы и интерпретация проведены на высоком уровне, 4) распределение скорости в среде подчиняется простой зависимости (т. е. отсутствуют горизонтальные изменения скорости и сложные структуры).
46 7. Скорости распространения сейсмических волн
Когда скорости Von уже определены для двух последовательных отражающих границ с помощью формулы (7.12), по формуле Дикса можно найти интервальную скорость VN- Записав VL для скорости в толще пород до п-й границы и VU для скорости до предшествующей границы, расположенной над ней, получим по формуле (7.12)
/1—1
Z V2 M1 = E Vil Ali + V2 Ala = Vl Z Atl,
Z
V21AU=V2uZM1.
Вычитая второе уравнение из первого и поделив обе части на Д/п, получим формулу Дикса
V2n = (v2L Z Mt-V2uZ M^)/Atn.
(7.14)
Заметим, что при выводе формулы Дикса считалось, что траектории до (п—1-й) и п-й границ в основном идентичны и различаются только дополнительным участком пути между двумя отражающими границами. Если две отражающие границы не параллельны или удаление велико, это условие не выполняется и формула Дикса может дать неверные результаты.
б) Метод T — Д7\ Метод T-M которую можно записать в виде
основан на формуле (3.7),
(7'15)
Для симметричных расстановок Дtn можно рассчитать из времен прихода отраженной волны в пункт взрыва (t0) и к внешним группам сейсмоприемников (/i и tk). Угловой кинематический сдвиг устраняется осреднением значений приращения времени на противоположных от пункта взрыва концах расстановки:
Mn = V2 {(/i - to) + (tk - 'о» - V2 (и + tk) - t0. (7.16)
Значения Дtn, определенные по этой формуле, содержат большие ошибки главным образом из-за неточности статических поправок. Для получения хороших результатов необходимо осреднить большое количество данных измерений — в этом случае есть надежда, что изменения в зоне малых скоростей и другие неопределенности будут в достаточной мере снижены [154].
7.4. Интерпретация данных о скоростях 47
в) Наилучшие приближения. Определение скорости по большей части производится в процессе обработки данных, рассмотренной в § 8.2.3. Соответствующие методы основаны или 1) на нахождении гиперболы, наилучшим образом аппроксимирующей оси синфазности, которые считаются однократными отражениями в пределах некоторого пространственного и временного окна, или 2) на определении скорости ОГТ, при которой получается «лучший» суммированный разрез. Результаты таких определений обычно достаточно точны для проведения суммирования, но эта точность не всегда бывает настолько высока, чтобы можно было делать, как иногда пытаются, выводы о литологии.
7.3.4. Другие источники информации о скоростях
Можно использовать, по крайней мере в принципе, некоторые другие источники информации о скоростях. Кривизна осей синфазности дифрагированных волн (см. рис. 4.3) зависит от скорости, и в отдельных случаях ее можно использовать для определения последней, если известна ориентация дифрагирующего объекта (или она предполагается известной). Автоматические методы проведения миграции (к которым относятся дифракционные преобразования), также предполагают знание скорости, и максимально достижимая когерентность мигрированного разреза принципиально дает информацию о скоростях. Амплитуда отраженной волны содержит сведения об изменениях акустической жесткости, которая используется при построении псевдосейсмических диаграмм (§ 9.4.5). Характер изменения амплитуды отраженной волны при изменении угла падения волны тоже зависит от скорости. Но точность определения скорости этими разнообразными методами обычно довольно низка.
Наряду с этим информацию о скоростях можно извлечь из таких измерений, которые не зависят от траектории распространения отраженных волн, например можно рассчитать граничные скорости по головным волнам.
7.4. Интерпретация данных о скоростях
Располагая данными метода ОГТ, которые характеризуются высокой степенью избыточности (т. е. отражения от каждой глубинной точки получаются много раз) и программами анализа скоростей (§ 8.2.3а), по формуле (7.14) можно рассчитать интервальные скорости для пластов между параллельными отражающими границами во многих точках на разрезе — практически почти на непрерывной базе. После устранения неопределенностей, связанных с измерением скоростей, можно провести
48 7. Скорости распространения сейсмических волн
стратиграфическую интерпретацию систематических вариаций этого параметра [73]. Скорости, характерные для карбонатных пород и эвапоритов, существенно выше, чем для обломочных пород (особенно в третичных бассейнах), а потому эти два типа пород часто можно различать по скоростям.
Анализ данных о скоростях представляет важную интерпретационную задачу. Как и в других задачах интерпретации, некоторые решения можно отбросить сразу, если они соответствуют невозможным или крайне невероятным ситуациям. Из опыта мы знаем, что скорость не может меняться совершенно произвольным образом. Значит, не следует ожидать, что скорость будет меняться от точки к точке иначе, чем медленным систематическим образом, если только в разрезе не присутствуют значительные структурные или другие аномалии, которые служили бы причиной столь быстрого изменения. Поэтому два анализа скорости должны давать разные результаты на участках разреза, разделенных разломом, в то время как на участках, которые предполагаются непрерывными, они должны иметь близкие значения. Подобно этому можно смело интерпретировать увеличение скорости как рифовую постройку в кластическом разрезе, если это увеличение сопровождается изменениями характера отражений и такими структурными признаками, как наличие дифрагированных волн, или если оно проявляется над более глубокой структурой, которая могла обусловить сравнительно высокое гипсометрическое положение этой области в период осадконакопления, в результате чего вероятность образования рифа была здесь больше, чем где-либо в другом месте.
Желание извлечь стратиграфическую информацию из данных о скоростях иногда приводит к тому, что при интерпретации не учитываются в достаточной мере ограничения, заложенные в этих данных. Небольшие ошибки в определении нормального кинематического сдвига могут вызвать ощутимые ошибки в скоростях, принятых при суммировании (особенно для глубинных отражений), а эти последние в свою очередь приведут к большим ошибкам в расчете интервальных скоростей, если интервалы, для которых определяется скорость, малы. Если отражающие границы не параллельны, расчеты интервальных скоростей не имеют смысла [157]. Иногда различные факторы серьезно искажают результаты измерения скоростей, например интерференционные эффекты, всевозможных типов шумы, искажения, обусловленные приповерхностными аномалиями скорости или изменениями в ЗМС, и требуется большое внимание, чтобы эти эффекты не были случайно приняты за индикаторы реальных изменений скорости в породах-
Задачи 49
Задачи
7.1. Обычно считается, что скорость в песчаниках выше, чем в глинах. С помощью рис. 7.1, приняв, что песчаники и глины обладают пористостью, соответствующей предельной кривой на рис. 7.6, рассчитайте для этих пород разность скоростей в процентах для глубин 1, 2 и 4 км. Сравните ее со значениями, приведенными на рис. 7.2.
7.2. а) Допустим, что песчаник состоит только из зерен кварца, известняк — из зерен кальцита, а глина — из каолинита и мусковита в равных долях. Какие значения пористости соответствуют нижнему и верхнему пределам и средним значениям плотности, приведенным в табл. 7.16, для насыщенных соленой водой (р = 1,03 г/см3) песчаника, известняка и глины? б) Какие скорости можно ожидать при этих десяти значениях пористости согласно правилу Гарднера? Какие положения занимают эти значения на рис. 7.1?
7.3. Какую зависимость скорости от размера зерен вы могли бы предположить на основании рассуждений, приведенных в § 7.1.5?
7.4. Предположим, что скорость распространения продольных волн в кальците равна 6,86 км/с, а в кварце 5,85 км/с. Каких скоростей можно ожидать при пористости 10, 20 и 3 0 % : а) для известняка, сложенного исключительно кальцитом; б) для песчаника, состоящего только из кварца? Какие положения займут эти значения на рис. 7.1 и 7.5?
7.5. Какой физический фактор определяет положение прямой «предельной пористости» на рис. 7.6? Что можно сказать о значениях, лежащих вправо от этой прямой?
7.6. На рис. 7.9 изображены зависимости скорости от глубины для глин под нормальным давлением, а) Как с этой кривой соотносятся скорости, приведенные на рис. 7.10 выше и ниже кровли зоны повышенного давления? Какая глубина соответствовала бы при нормальном давлении тем значениям скоростей в глинах, которые наблюдаются в зоне повышенного давления для этих пород? б) Нанесите скорости для 100 %-ной водонасыщенности, приведенные на рис. 7.15, на график зависимости скорости от глубины рис. 7.9; как они сопоставляются? в) Почему кривые зависимости скорости от глубины для различных районов не совпадают с полученной кривой? Примените в своем ответе знания по геологии различных областей, г) Нанесите значения скоростей для глин и известняков, приведенные на рис. 7.16 для глубин 1 и 2 км, на тот же график; совпадают ли они с полученной кривой?
7.7. Какие значения скоростей в глинах совместимы с данными для нефтенасыщенных песков, приведенными на
50 7. Скорости распространения сейсмических волн
рис. 7.15? (Определите скорости для двух значений водонасыщенности по каждой из трех глубин, пренебрегая различиями в плотностях песков и глин.)
7.8. Пусть лучевые траектории в породах под ЗМС, характеризующихся скоростью распространения продольных волн 2400 м/с, образуют углы подхода к подошве ЗМС в 10, 20 и 30°. а) Насколько близки времена пробега через ЗМС в этом случае к временам пробега вдоль вертикального луча, если мощность ЗМС равна 10 м, а скорость в ЗМС — 500 м/с? Какова длина горизонтальной проекции лучевой траектории в ЗМС? б) Ответьте на вопрос, поставленный в п. а), для слоя вечной мерзлоты мощностью 100 м, характеризующегося скоростью 3600 м/с.
7.9. На ранней стадии развития сейсморазведки МПВ для оконтуривания соляных куполов строились сейсмические разрезы, из которых следовало, что угол подхода лучей к поверхности должен содержать большую горизонтальную компоненту. Однако дальнейшие измерения с трехкомпонентными приемниками показали, что горизонтальная составляющая очень мала. В результате возникли разногласия относительно того, возможны ли лучевые траектории такого вида, как их изображали ранее. Исходя из существующих представлений о реальном строении земных недр, объясните кажущееся противоречие.
7.10. а) Допустим, что происходит продолжительный процесс погружения области, не прерывающийся поднятиями. Глины находятся в условиях нормального давления, пока они не достигнут глубины захоронения 1400 м, на которой флюиды в них уже не могут двигаться, т. е. отток поровых флюидов прекращается. Если это происходит на глубине 2000 м, что можно сказать о значениях скорости и давления флюидов в породе? А если на глубине 3000 м? б) Допустим, что глина была погружена на глубину 3000 м, а затем поднята до глубины 2000 м, причем все это время она находилась под нормальным давлением; каких значений скорости и давления флюидов можно ожидать в таких породах? в) Допустим, что глины, описанные в п. а), были погружены до глубины 3000 м, а затем подняты до 2000 м, но движение флюидов при этом не возобновилось. Каких в этом случае следует ожидать скорости и давления флюидов? Что будет, если глины поднять до уровня 1000 м?
7.11. Расчет поправок за ЗМС по методу Блондо начинается с построения графика зависимости времен вступления от удаления приемника, т. е. зависимости t от х (рис. 7.23) в двойном логарифмическом масштабе. Наклон такого годографа дает значение B= 1 — 1/я, где 1/п —- показатель степени в формуле
Задачи 51
(7.9). Чтобы определить tv (вертикальное время до заданной глубины zm), найдем F- табличную функцию от В [103, р. 233]. Тогда X = Fzm, и по графику зависимости t от х можно получить ¢. Наконец, tv = x/F.
Подтвердите правильность описанной выше процедуры, получив следующие зависимости: a) z = zmsir\nif где i — угол па-
дения волны, измеренный относительно вертикали для глубины
Я/2
г; б) х = Fzmi где F = 2п ^ sinп idi — функция от п и, следова-
о
Л/2
тельно, также от В; в) t = (G/a)(x/F)By где G = 2n ^ sinrt~2/d/;
о
г) dx/dt = xjBt — горизонтальная составляющая кажущейся скорости в точке выхода луча; д) dx/dt — горизонтальная составляющая кажущейся скорости волнового фронта в любой точке
траектории, равная Vm-х!Bi;
гт
е) Z 0 = ^ dz/V = t/F.
о
7.12. На рис. 7.24 скважинные данные по определению скорости представлены в виде стандартной таблицы, а) Постройте вертикальный годограф, графики средней и интервальной скорости в зависимости от глубины, используя для приведения данных уровень моря, б) С какими ошибками будут получены значения средней и интервальной скорости, если: 1) ошибка измерения времен равна 1 мс; 2) ошибка измерения глубин равна 1 м? в) Определите V0 и а для скоростной функции, аппроксимирующей эти данные, считая, что функциональная зависимость имеет вид V =Vo + az, где У — интервальная скорость, а г — глубина.
7.13. Результаты анализа скоростей обычно представляют в виде графика зависимости скорости ОГТ от вертикального времени. Бауэр (частное сообщение) предложил экспресс-метод
превышение Росстоям*
Фиг*
Снважиип
fp
IXT VU
O9n
R
6 I
T
Г
Г
I I
T 1 09» a BB
tan 1 cos i T*
1ГШ5
ПЕГ* El
Sxoo ^
ПЯЛ в N
SlOO Х970
ox?
M
flffi о J907
л
Nfl
г Р ( о ЗЛ «IV
T
M fll} 0& О.УУО •V
mf
ott o.SftT 1
j a 0Г] of?
4» Q
ило
от
ft.Tn
1
JJ I о
£59 0.73»
C2<f
Л/704 •
J
иг ч S
IIlT 2 7 OOt QSk
f)SV 17 OU OSt IL 1С - 2 2 . о >7 M л
Z4ri r
}
ITbO J c I C ^ flSS 2Д
CГr LJ
12-иГ £ 2 1
h
MJT>| г *
I 0 <*7f i г
ICfO
GSL
-f E
V2& m
(AO 2 j _
o.VOl а
43-У Ц . e i l
Hl0 ^
d t
•KXC
gz.y
2zL Qiy QSf
SL
Лревы- Полная шение глубина
;о7ж XfiSbi
Местоположение Координаты
T9- Tgtf Ojd
i
ZZZI
Задачи 53
определения интервальной скорости при допущении, что скорость ОГТ равна средней скорости и напластование слоев горизонтально. Рис. 7.25 иллюстрирует предложенный метод. Строится прямоугольник с вершинами в точках максимумов, между которыми должна быть определена интервальная скорость. Тогда диагональ, которая не проходит через эти две точки максимумов, при продлении ее до оси скоростей отсекает на ней значение интервальной скорости, а) Докажите справедливость описанного метода или покажите его ограничения.
Интервольная скорость
Рис. 7.25. Экспресс-метод определения интервальных скоростей.
б) Приведенный метод полезен для оценки погрешности измерений; рассмотрите чувствительность расчета интервальных скоростей к 1) ошибке снятия значений скорости с графика; 2) ошибке определения времен по графику; 3) ошибке определения времен для очень близких осей синфазности; 4) ошибке за счет прослеживания каждой из осей с запаздыванием.
7.14. Определите скорость методом X2— T21 используя приведенные в таблице данные, имея при этом в виду, что времена
Рис. 7.24. Образец записи результатов сейсмического каротажа. Ввверху слева приведены данные о взрывной скважине (превышение, расстояние и направление относительно устья измерительной скважины). Под ними — данные измерений.
54 7. Скорости распространения сейсмических волн
tA относятся к горизонтальной отражающей границе, a te — к границе, наклоненной на IO0 в сторону пункта взрыва.
X, KM
*А> с
*В> с
X, KM
tA. с
с
0,0
0,855
0,1
0,856
0,2
0,858
0,3
0,864
0,4
0,868
0,5
0,874
0,6
0,882
0,7
0,С92
0,8
0,904
0,9
0,906
1,0
0,930
1,1
0,945
1,2
0,950
1,3
0,979
1,4
1,005
1,5
1,017
1,6
1,037
1,7
1,068
1,8
1,081
1,9
1,105
2,0
1,118
0,906
0,902
2,1
0,898
2,2
0,898
2,3
0.899
2,4
0,902
2,5
0,903
2,6
0,909
2,7
0,916
2,8
0,922
2,9
0,932
3,0
0,943
3,1
0,950
3,2
0,965
3,3
0,977
3,4
0,991
3,5
1,004
3,6
1,019
3,7
1,037
3,8
1,058
3,9
1,066
4,0
1,151 1,166 1.203 1,237 1,255 1,283 1,304 1,330 1,360 1,404 1,432 1,457 1,487 1,513 1,548 1,580 1,610 1,649 1,674 1,708
1,083 1,102 1,121 1,127 1,158 1,177 1,195 1,202 1,234 1,253 1,272 1,296 1,304 1,334 1,356 1,377 1,407 1,415 1,438 1,459
7.15. Анализ данных методом X2—T2 зультаты:
i
г. км
<Гс
дает следующие ре-
Г<ЭГТ' km^c
1
1,20
1,100
2,18
2
2,50
1,786
2,80
3
3,10
1,935
3,20
4
4,10
2,250
3,64
Рассчитайте интервальные скорости. 7.16. а) Допустим, что в разрезе имеются шесть горизон-
тальных слоев одинаковой мощности, равной 300 м; пластовые скорости постоянны (рис. 7.26, а) и последовательные их значения равны: 1,5; 1,8; 2,1; 2,4; 2,7 и 3,0 км/с. Проследите лучевые траектории для такой модели с целью определения точек выхода лучей и времен пробега вдоль них, если углы падения на подошву слоя со скоростью 3,0 км/с (в точке А) равны 0, 10, 20 и 30°. Рассчитайте скорость для суммирования по каждой паре значений (шесть расчетов) и сравните ее со средней и среднеквадратичной скоростями, б) Повторите вычисления для отражающей точки В, приняв, что слои наклонены под углом 20°, как это показано на рис. 7.26,6. в) Методом проб и ошибок сместите отражающую точку вверх по восстанию
Задачи 55
пласта, чтооы получить общие срединные точки, г) Повторите вычисления для точки отражения C9 изменив модель так, как показано на рис. 7.26, е. д) Сместите отражающую точку С, чтобы получить общие срединные точки.
7.17. Покажите, что значения нормального градиента давления в Земле, приведенные в § 7.2.4, а именно 10 кПа/м и 0,45 фунт • дюйм-2 • фут-1, соответствуют друг другу.
V1 = 1,5 км/с
V2 = 1,8 V3 = 2,1
V ^ 2,4
V5= 2,7 ^6= 3,0
А
а
6
6
Рис. 7.26. Модели, состоящие из пластов мощностью по 300 м (измеренной перпендикулярно напластованию), с постоянными пластовыми скоростями.
7.18. Что вы можете сказать о характере пород по скважинным данным, представленным на рис. 7.21, сравнивая их со скоростными кривыми рис. 7.11?
7.19. а) Дано, что расстояние между трассами на рис. 8.21 равно 50 м; определите глубину и наклон границ на временах, приблизительно равных 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,3 и 2,4 с.
б) Какие трудности возникают перед вами при прослеживании осей синфазности?
.в) С какой точностью вы можете считывать времена и какие погрешности это вносит в расчетные значения скорости, глубины и углов наклона границ?
7.20. а) По рис. 8.12,г определите Уогт для соседних пар времен и рассчитайте интервальные скорости; анализ сделан для ПВ 100. б) Что вы можете сказать о литологии пород по этим данным? в) Каких значений скорости можно ожидать вблизи ПВ 45, если разрез, который наблюдается в пределах синклинали, но отсутствует над антиклиналью, состоит из молодых, слабоконсолидированных кластических пород? г) Обратите внимание на уменьшение мощности разреза вниз по падению приблизительно от 0,75 до 1,25 с на левом конце профиля; предложите свое объяснение.
8
Цифровая обработка данных
Общий обзор
Одним из выдающихся достижений времен второй мировой войны был радиолокатор; он использовался для обнаружения самолетов и кораблей. Однако применение его затруднялось наличием шума, и требовались значительные теоретические усилия для выделения сигналов на фоне помех. В результате родилась новая область математики — теория информации. В начале 50-х годов в Массачусетском технологическом институте группа исследователей изучала вопрос о применении новой теории в сейсмической разведке [51]. Наряду с этим новым направлением исследовательских работ быстрый прогресс цифровой вычислительной техники впервые сделал возможным проведение массовых вычислений. С начала 60-х годов эти два фактора стали оказывать решающее влияние на дальнейшее развитие сейсмических исследований, и еще до конца десятилетия цифровая обработка (как ее стали называть) настолько сильно изменила уровень сейсмических исследований, что происшедшие изменения иногда называют «цифровой революцией». В настоящее время регистрация сейсмических данных в основном производится в цифровой форме и до проведения интерпретации большая часть их подвергается цифровой обработке.
Сначала теория информации была очень трудна для восприятия, так как она была сформулирована в сложных математических выражениях с использованием незнакомой терминологии. Однако по мере расширения области ее применения основные понятия стали выражать в более ясной и простой форме [3, 50, 89, 127]. В настоящее время по цифровой обработке издан ряд книг (см. § 1.4 и, в частности, [27, 80, 130J).
В гл. 10 приводятся весьма важные для цифровой обработки математические понятия, а в данной главе мы покажем, не обращаясь к математическим доказательствам, как эти понятия применяются. В этой главе рассматриваются функции в дискретном представлении, в то время как в гл. Ю наряду с дискретными рассматриваются и непрерывные функции. Некоторые уравнения даны почти в том же виде, что в гл. 10.
Общий обзор 57
Обычно мы представляем себе сейсмическую информацию как изменение во времени (измеренного от момента взрыва) амплитуд выходных сигналов различных сейсмоприемников. Когда мы придерживаемся этой точки зрения, то мы ведем рассмотрение во временной области, т. е. независимой переменной является время. Наряду с этим иногда бывает удобно рассматривать сейсмическую волну как результат наложения множества синусоидальных волн, различающихся по частоте, амплитуде и фазе. Соответствующие амплитуды и фазы считаются функциями частоты, и, значит, в этом случае анализ проводится в частотной области. Частотный подход можно проиллюстрировать с помощью электрических систем, которые различаются по своему воздействию на амплитуды и фазы синусоидальных сигналов различных частот. Например, графики характеристик фильтра обычно показывают отношения амплитуд или фазовые сдвиги, отложенные по оси ординат, в зависимости от частоты, отложенной по оси абсцисс.
Основу цифровой обработки составляют три вида математических операций: преобразование Фурье, свертка сигнала и корреляция. Преобразования Фурье (§ 8.1.1) трансформируют временную область в частотную и наоборот; эти и другие виды преобразований можно использовать для того, чтобы трансформировать сигналы в те или иные области. Существенной стороной преобразований является то, что в принципе информация не теряется в процессе преобразований, хотя при реальном применении происходит некоторое ее уменьшение в результате аппроксимации, усечения и т. д. Эти преобразования дают альтернативные способы рассмотрения, что временами бывает целесообразно.
Свертка сигнала (§ 8.1.2) представляет собой операцию замещения каждого элемента входного сигнала выходным сигналом с помощью весовой функции. Она является математическим эквивалентом фильтрации, происходящей, например, при прохождении сейсмической волны через недра Земли, электрического сигнала по цепи и т. д. Те ограничения при дискретизации и восстановлении сигнала, которые требуют, чтобы в спектре сигнала не содержалось компонент с частотами выше половины частоты дискретизации, объясняются с позиций операции свертки. Иногда нежелательные эффекты фильтрации могут быть устранены деконволюцией.
Корреляция (§ 8.1.3)—метод, определяющий меру сходства между двумя наборами (выборками) данных. Упрощенное применение метода сводится к определению временного сдвига, при котором достигается максимальное сходство. Корреляция также является способом извлечения коротких сигналов известной формы из длинного волнового пакета, что, например,
58 8. Цифровая обработка данных
используется при обработке записей Вибросейса. Если последовательность данных коррелируется сама с собой (автокорреляция), то определяется степень повторяемости данных.
Целью большинства видов цифровой обработки является усиление сигнала относительно помех (§ 8.2). Улучшения за счет частотного разделения достигаются при различных методах деконволюции: детерминированная обратная фильтрация, рекурсивная фильтрация, минимально-квадратичная фильтрация (на основе метода наименьших квадратов или фильтра Винера), обработка с целью определения формы сейсмического импульса и т. д. Предметом коррекции статических поправок является компенсация временной задержки, возникающей за счет зоны малых скоростей. При анализе скоростей в качестве «дискриминатора» используется нормальный кинематический сдвиг. Суммирование, фильтрация по кажущимся скоростям и другие методы также помогают улучшить отношение сигнал/помеха.
Другой целью обработки является изменение местоположения отдельных элементов записи с тем, чтобы скомпенсировать пространственные искажения, которые связаны с наложением отражений, приходящих по разным направлениям. Это составляет предмет миграции (§ 8.3). Обычно обработка производится двумерная, хотя фактически задача стоит трехмерная.
Заключительная часть этой главы (§ 8.5) посвящена описанию процедур, связанных с выполнением цифровой обработки на практике.
8.1. Основные операции
8.1.1. Преобразования Фурье
Анализ Фурье в нашем контексте представляет собой преобразование функции из временной области в частотную, а синтез Фурье — обратный процесс, т. е. преобразование из частотной области во временную. Но это различие является в какой-то степени искусственным, и анализ и синтез могут чередоваться, не создавая никаких различий в окончательном результате. Важно здесь то, что информация не теряется в процессе преобразований. Мы можем, таким образом, начать с рассмотрения сигнала во временной области, преобразовать его в частотную область, получив его спектральные характеристики, и затем вновь перейти к временной функции, которая тождественна первоначальной. Это позволяет нам проводить часть обработки во временной области и часть в частотной, используя тот факт, что некоторые процессы могут быть выполнены более эконо-
8.1. Основные операции 59
мично в одной области, чем в другой. В реальных преобразованиях мы теряем небольшое количество информации, когда отбрасываем члены разложения, вносим ошибки при округлении и т. п., но мы можем сделать эти потери сколь угодно малыми, если будем сохранять достаточное число членов разложения или достаточное количество десятичных разрядов.
Если мы имеем довольно «хорошо ведущую себя» периодическую функцию g(t) с периодом T (т. е. если g(t) повторяется всякий раз, когда t увеличивается на Г), то в таком случае эту функцию можно представить в виде ряда Фурье:
OO
g(0 = 72«о + пZ= I (ancos2nvnt
OO
+ bn$m2nvnt),
(8.1, 10.71)
8 (0 = V2C0 + Z I с„ COS (2nvnt - ya),
OO
(8.2, 10.80)
g ( 0 = Z аяехр(/2JtvnOt
(8-3, 10.83)
где
vn = ti/T = Mv0 = п(й0/2п = ©„/2л,
* T12
ал = (2/Г)\
g(t)cos2nvntdt,)
irn
> (8-4. 10.77, 10.78)
bn =
(2/T)\ g(l)
J -772
sin 2avntdt,
J
'
ST /2
_r,2 S (0 cos {2nvnt - Vn) dt, I (8 Д 10 8 I )
Yo = O, Yn=arctg(6^an) (n Ф 0), j
a±n = (\/T)[TJI-2Tl 2 g(()exp(=fj2nvnt)dL
(8.6, 10.84)
Индексы обозначают дискретные последовательности значений,
как в случае v*, ап и т. д., в то время как способ записи в виде
функции, например g(t), указывает на непрерывные переменные
величины. Номера уравнений относятся и к эквивалентам
в гл. 10.
Уравнение (8.1) выражает g(t) через функции косинуса
и синуса с амплитудами ап и Ьп, (8.2)—через функцию косинуса
с амплитудой сп, смещенную по фазе на уп, а (8.3) — в виде
комплексной показательной функции. Все три формы выраже-
ния эквивалентны, т. е.
Cn = O1 cos Yn + ьп sinY„ = K 2 + ^ ) " 2 , (8.7, 10.81)
а п = a n + c t _ „ , &„ = / (а„ —а_„), lUianTjbn).
(8.8) (8.9, 10.84)
60 8. Цифровая обработка данных
Отметим, что
с0/2 = а0/2 = а0 = среднее значение g(t).
(8.10)
Уравнения (8.1) и (8.2) показывают, что g(/) может быть представлено в виде суммы бесконечного числа гармонических колебаний с частотой vn, имеющих амплитуды ап, Ьп или Cn (в зависимости от уравнения) и фазы уп. Таким образом, эти уравнения дают разложение функции g(t) на гармонические колебания.
По мере возрастания периода T требуется больший интервал времени для того, чтобы функция g(t) повторилась; в пределе, когда T стремится к бесконечности, g(t) больше не повторяется. В этом случае мы получаем вместо (8.3) и (8.6)
*
(
0
~
Г
J -OO
O
(
v
)
exp
(
/
2
nv0r
f
v
f
(8.11, 10.87)
O(V)=C" g (/) ехр (— j2nvt) dt.
J-OO
(8.12, 10.86)
Функция G(v) является преобразованием Фурье функции g(t),
в то время как g(t) является обратным преобразованием Фурье
от G(v). Используя символ
для того, чтобы обозначать
эквивалентные выражения в различных областях, запишем
Я (0 ^ G(v).
Мы также называем g(t) и G(v) парой взаимно обратных трансформант.
Уравнения (8.11) и (8.12) можно записать несколькими способами. Обычно G(v) представляют в комплексном виде
G(v) = A (v) ехр [/у (v)],
(8.13, 10.91)
где Л(\?) и у (v) — действительные функции, а Л(\?) также и положительная величина. Мы называем Л (v) амплитудным спектром и v(v) — фазовым спектром g(t). Подстановка в (8.11) дает
g (/) = С°° A (v) ехр {/ [2Ttvi + у (v)]> dv.
J-OO
(8.14)
Для реальных сигналов g(t) — действительная величина, и, следовательно, из (8.14) и задачи 10.И,а мы получаем
g(t) = \°° Л (v) cos {2nvt + у (v)> dv. J -OO
(8.15)
Поскольку G(v) записано в комплексном виде, мы можем выделить ее действительную и мнимую части
G (у)—R (v) + jX (v);
(8.1b, ЮЛШ
8.1. Основные операции 61
когда g(t) вещественно, то
Я (v) = ^°° g (/) cos 2лvt dty
— X{v)= \ g{t) sin 2nvtdt.
J — OO
(8.17, 10.90)
Интегралы R(v) и —X(v) называются косинус- и синус-преоб-
разованиями соответственно. Когда g(t) вещественно, R(v)
и X(v) являются соответственно четной (симметричной, т. е.
R(v)= R(—v)) и нечетной (несимметричной, т. е. X(v) =
= —Х(—v)) функциями. Когда функция g(t) действительная
и четная, то ^ ( v ) = 0; когда
действительная и нечетная,
R(v) = 0 (см. задачи 10.16, б, в, г).
8.1.2. Свертка сигнала
а) Операция свертки. Свертка — операция во временной области, при которой каждый элемент входной функции замещается другим с помощью оператора свертки согласно величине входного сигнала и затем выходные сигналы суммируются. Предположим, что мы вводим в линейную систему (§ 10.5) дискретные данные с шагом квантования А, например цифровую сейсмическую трассу. Выходной сигнал системы может быть вычислен, если нам известна импульсная характеристика системы, т. е. отклик системы на входной сигнал, заданный единичным импульсом (последний имеет нулевое значение всюду, за исключением начала координат, где он равен бесконечности, — см. § 10.3.3 и (10.102)). Мы обозначим единичный импульс б * или б (t) в зависимости от того, имеем ли мы дело с дискретными данными или с непрерывными функциями. Импульсная характеристика системы равна нулю до t = 0 и затем будет иметь значения /0, /ь /2 на следующих друг за другом интервалах выборки. Изобразим этот процесс схематически таким образом:
V
система •ft=[fo>
f» /2...].
Большинство систем, с которыми мы имеем дело, линейны и инвариантны во времени (или примерно таковы). Линейная система — это такая система, в которой выходной сигнал прямо пропорционален входному сигналу, а инвариантная во времени — это система, в которой выходной сигнал не зависит от времени поступления входного импульса. Обозначая через бt-n единичный импульс, который возникает на времени t = п, а не на t = 0, мы можем проиллюстрировать линейную и инвариантную во времени систему следующим образом:
62 8. Цифровая обработка данных
линеиная kbt
система •kft = Ikf09 k f u k f 2 ...];
инвариантная во времени
система
•//-„ = [0, о, о,
о, f09 /„ и ...].
п нулей
В последних квадратных скобках справа первым выходным сигналом, отличающимся от нуля, является fo, и он появляется в момент t = пА (который мы запишем как t = п, поскольку ведем счет в единицах А).
Очевидно, любой входной сигнал, который состоит из ряда дискретных значений, можно представить рядом единичных импульсов, умноженных на соответствующие амплитудные коэффициенты. Мы можем затем использовать два упомянутых выше свойства линейных систем для того, чтобы найти выходной сигнал для каждого импульса, и путем суммирования их мы получим выходной сигнал для произвольного входного сигнала.
Проиллюстрируем свертку, рассматривая выходной сигнал фильтра, импульсная характеристика которого ft имеет вид
/о, /ь /2]== [ 1» —1, 1A]- Когда входной сигнал gt равен go, gь £2] = [1, V2, —Vs], то это значит, что мы подаем на вход ряд импульсов [6,, lI2^t-H — 72^/-2] (последние два индекса означают, что импульсы задержаны соответственно на один и два шага дискретизации) и« получаем выходные сигналы
6 , - * [ 1 , - I 1 V2];
726/-1-> [0, 72, - 7 2 , V J ;
- 7 2 6 / - 2 - Ч 0 , о, - V 2 , V2, - V 4 ] .
Суммируя, находим выходной сигнал
[6, + ' / Л - 1 - V i V J - 4 1 . - v 2 , - V 2 , 3/4, - V 4 ] .
Свертку сигнала иллюстрирует рис. 8.1. Эта операция эквивалентна замещению каждого члена одного ряда соответствующим образом измененной величиной другого ряда с последующим суммированием элементов, которые относятся к одним и тем же временам. Если мы назовем выходной сигнал ht и обозначим оператор, определяющий свертку, звездочкой, то можем выразить эту операцию как
ht = ft* St=
S fkSt-k — k
l/ogo. /off1 + /iffo. Zoff2 + /igi + hg0. • • -I- (8.18, 10.193)
8.1. Основные операции 63
(Мы используем знак суммы для того, чтобы обозначить суммирование по всем необходимым значениям индекса суммирования.) Отметим, что мы бы получили тот же самый результат, если бы имели сигнал ft на входе фильтра с импульсной характеристикой gt; другими словами, свертка является операцией коммутативной:
bt = ft*gt = g t * f t = Z fkgt-k = Z gkft-h-
к
k
(8Л9)
Хотя мы представили свертку как операцию над дискретными данными, эту же операцию можно использовать для
Входной сигнал
i 1
Фильтр
Выходной сигнал И
11
0
lt
-7
1
1_
i 4
T
TT
I iГ
Рис. 8.1. Фильтрация как пример свертки.
* »H, i
-{ -{ *
свертки дискретной последовательности с непрерывной функцией:
h(t) = f t * g ( t ) = Z f k g ( t - k ) .
(8.20)
Каждый член под знаком суммы представляет собой функцию g(t), смещенную во времени и взвешенную (смещенную вправо на k единиц и умноженную на fk). Особым случаем (8.20) является свертка непрерывной функции g(t) с единичным импульсом, расположенным в точке t = п:
6t-n*g
(t) = Z k
(t~k) = g(t-n)
Sfi 8. Цифровая обработка данных
(так как бk-n не равно нулю только при k = п, где
= 1).
Следовательно, свертка функции g(t) со смещенным во времени
единичным импульсом перемещает эту функцию на ту же вели-
чину и в том же направлении, что и у единичного импульса.
Можно также свернуть две непрерывные функции. В этом
случае суммирование заменяется интегрированием:
h(t) = f(t)*g(t)=r
f (т) g(t — r) d%. (8.21, 10.123, 10.174)
J — OO
Теорема свертки заключается в том, что преобразование Фурье от свертки двух функций равняется произведению преобразований Фурье этих функций. Мы можем сформулировать ее следующим образом:
/ ^ F ( V ) = I f (V) |ехр {/Yf(v)b
ft^ G(v) = |C(v) Iexp{/ve(v)}f
ft
F (v) G (v) = {| F (v) I exp [jyf (v)]> {| G (v) | exp [jyg (v)]},
ft* 8t — I F (v) 11G (v) I exp {/ [Y, (v) + (v)]},
(8.22)
где IZ7(V)I и | G ( v ) | — амплитудные спектры, a Yf (v) и yg (v) — фазовые спектры. Иными словами, если две последовательности свернуты во временной области, то в частотной области это соответствует перемножению их амплитудных спектров и сложению фазовых спектров. Таким образом, уравнение (8.22) дает нам удобный способ выполнения операций свертки: 1) преобразование функции, которая должна быть свернута, скажем gt) и оператора свертки (или оператора фильтра) ft в частотную область; 2) перемножение их амплитудных спектров для каждого значения частоты и сложение их фазовых спектров я 3) преобразование результата обратно во временную область.
Вследствие симметрии преобразования Фурье обратная зависимость также имеет силу, т. е. умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области:
ftSt ^F(v) * G(v).
(8.23, 10.124)
б) Дискретизация и эффект наложения частот. При аналогоцифровом преобразовании мы заменяем непрерывный сигнал последовательностью значений в заданных точках. По-видимому, мы теряем информацию, отбрасывая данные между моментами отсчета. Пара преобразований Фурье (8.22) и (8.23) помогает понять сущность дискретного представления и определить ситуации, в которых информация не теряется.
Используем гребенчатую функцию (comb), или функцию отсчетов; она состоит из бесконечного ряда эквидистантных еди-
8.1. Основные операции
65
ничных импульсов (рис. 8.2,6). Преобразованием функции comb является также comb:
comb (t) k{ comb (v),
(8.24, 10.133)
где k\ зависит от шага дискретизации (см. задачу 8.2,в). Если гребенчатая функция во временной области имеет ненулевые элементы каждые 4 мс, то преобразование имеет элементы каждые 1/0,004 = 250 Гц. Мы также будем использовать функцию прямоугольника импульса (boxcar) (рис. 8.2,г); эта функция
I УмнCоQжfеiaнbиr(еt) на
0,004 с
• Результат
-A7V
-125 Гц 0
125 Ги.
i-
Свертка с
comb (v)
Зеркальные
спектры+. I
_L
1
0J,004_~250Ги^\
Зеркальныь - спектры
Ж
Лтх""
Свертка с sine •
Умножение на boxcar +1
2 5 0 ГUt
Н4*—0,004 с •
Результат
I
-250 -250
-125 -125
0
125 Гц
Рn езул*ьтат
^ Область I наложения УЛзеркальных • >ч спектров
0
125 Гц
Рис. 8.2. Дискретизация и восстановление формы импульса.
равна единице между значениями =Lv0 и нулю во всех остальных точках. Преобразованием функции прямоугольного импульса box2Vo(v) является интерполяционная функция (sine):
box2Vo (v)
k2 sine (2nv0/) == k2
sin 2nv0t
2nv0 t
(8.25, 10.130)
где зависит от площади прямоугольного импульса.
...
Sfi 8. Цифровая обработка данных
На рис. 8.2, а показаны непрерывная функция y(t) и ее пре-
образование K(v):
— У ( I )
Y(V).
Амплитудный спектр |K(v)| симметричен относительно нулевой частоты для действительных функций, т. е. отрицательные частоты дают те же значения, что и положительные. (Отрицательные частоты являются результатом применения формулы Эйлера, когда мы представляем ряды Фурье, содержащие синусы и косинусы, в комплексной экспоненциальной форме.)
Дискретную функцию, сформированную из отдельных отсчетов (отсюда название «функция отсчетов») непрерывной функции y(t), можно найти путем умножения этой непрерывной функции на гребенчатую. Если мы берем отсчеты каждые 4 мс, то используем функцию comb с шагом 4 мс. Согласно (8.23) и (8.24),
comb (t) у (/) <-> comb (v) * Y (v).
Свертка эквивалентна замене каждого элемента данной последовательности (в этом примере каждого отсчета в comb(v)) другой функцией K(v). Это иллюстрируется рис. 8.2, е. Отметим, что частотный спектр дискретной функции отличается от спектра непрерывной функции этого примера периодичностью.
Мы можем восстановить спектр исходной функции путем умножения спектра дискретной функции на функцию прямоугольного импульса. Эквивалентной операцией во временной области (см. (8.22) и (8.25)) является свертка дискретных данных с интерполяционной функцией; как показано на рис. 8.2, (3, это восстанавливает исходную функцию довольно точно. Таким образом, интерполяционная функция обеспечивает точный «оператор» для проведения интерполяции между дискретными данными.
В описанном выше примере в процессе дискретизации и интерполяции информация не была потеряна. Однако если бы спектр непрерывной функции (показанный пунктирной линией на рис. 8.2, а) включал частотные компоненты выше 125 Гц (в этом примере), то умножение во временной области на функцию отсчетов привело бы к наложению частотных спектров, и мы уже не имели бы возможности восстановить первоначальный спектр из спектра дискретных данных, а следовательно, не могли бы восстановить исходную форму волны. Значит, будет ли восстановленный сигнал иметь первоначальную форму или нет, зависит от того, содержит ли сигнал компоненты с частотами выше, чем половина частоты дискретизации.
Ранее изложенные зависимости суммируются в теореме отсчетов (теореме Котельникова), которая гласит: при дискретизации с равномерным шагом информация не теряется в том
8.1. Основные операции 67
случае, если частота дискретизации более чем вдвое превышает верхнюю частоту спектра дискретизируемого сигнала (см. также § 10.6.1). Это эквивалентно тому, что должно иметься более чем два отсчета на период, соответствующий самой высокой частоте спектра. Теорема отсчетов определяет минимальное количество отсчетов, которое мы можем использовать. Поскольку это минимальное количество отсчетов позволяет полностью восстановить форму сигнала, мы можем сделать вывод, что получить выигрыш за счет дальнейшего уменьшения шага дискретизации невозможно. Таким образом, шаг квантования по времени в 2 и 4 мс обеспечивает правильную регистрацию при условии, что отсутствуют компоненты спектра с частотами выше 250 и 125 Гц соответственно. На практике ограничения составляют половину упомянутых частот благодаря применению фильтров подавления зеркальных частот (см. ниже).
Частоту, равную 1/2 от частоты дискретизации, называют частотой Найквиста v^, т. е.
vN = 1/2А.
(8.26)
Любая компонента, содержащаяся в сигнале и имеющая частоту больше частоты Найквиста на величину Av, будет неотличима от компоненты с частотой Vn — Av. На рис. 8.3 показано, что шаг дискретизации 4 мс (т. е. 250 отсчетов за 1 с) позволяет безошибочно регистрировать гармонический сигнал с частотой 75 Гц, но такие же сигналы с частотами 175 и 250 Гц окажутся превращенными в гармонические сигналы с частотами 75 и 0 Гц соответственно (последний случай аналогичен постоянному току). Компоненты с зеркальными частотами, которые попадают в интересующую нас полосу частот, окажутся полноправными сигналами. Во избежание этого до дискретизации используются специальные фильтры (см. рис. 5.3.3), устраняющие компоненты с частотами выше частоты Найквиста. Это должно быть сделано обязательно до дискретизации, потому что впоследствии зеркальные наложения будет невозможно распознать. Реальные фильтры для подавления зеркальных частот имеют ограниченную крутизну (часто 72 дБ/октава) и срезают частоты октавой ниже частоты Найквиста, чтобы предотвратить описанный эффект.
Эффект наложения — свойство, присущее всем дискретным системам независимо от того, проводится ли дискретизация во временной, пространственной или в любой другой (например, частотной) области. Подавляющая зеркальные частоты фильтрация должна быть сделана до того, как в процессе дискретизации данный шаг будет изменен на больший, как это часто делается при обработке, чтобы уменьшить объем обрабатываемых данных.
а*
Sfi8.Цифровая обработка данных
Использование сейсмоприемников для регистрации волн в различных точках поверхности приводит к пространственной дискретизации. На рис. 8.3 изображена гармоническая
Рис. 8.3. Дискретизация и образование зеркальных частот. Компоненты с с различными частотами при шаге дискретизации 4 мс (250 раз за секунду); а — синусоида с частотой 75 Гц; б — синусоидальный сигнал с частотой 175 Гц имеет те же дискретные значения, что и синусоидальный сигнал с частотой 75 Гц; в — синусоидальный сигнал с частотой 250 Гц дает постоянные значения отсчетов (0 Гц)-
времени, и дискретизация производится с фиксированным шагом At. Однако этот же рисунок мог бы в равной степени изображать волновое движение, наблюдаемое на расстановке сейсмоприемников в заданный момент времени, а дискретизация при этом проводится с фиксированным интервалом расстояния Ах. При временной дискретизации мы берем I/At отсчетов в единицу времени, тогда как при пространственной дискретизации берется 1/Ах отсчетов на единицу расстояния. При временной дискретизации мы имели частоту Найквиста v* из урав-
8.1. Основные операции 69
нения (8.26), которое определяло максимальное число волн на два единичных временных интервала, а эффект наложения имел место для компонент с частотами, превышающими Vn- При пространственной дискретизации мы имеем волновое число Найквиста хлг/2л:
Хдг/2я = l/XN = 1/2Длг,
(8.27)
которое определяет максимальное число длин волн на два шага дискретизации, а зеркальные частоты появляются в том случае, когда их число больше, т. е. когда K > n N (или
в) Фильтрующие свойства Земли. Мы можем рассматривать Землю как фильтр для сейсмической волны. Волну, образующуюся от взрыва, можно считать импульсом kbт. е. волновое возмущение в источнике как до, так и после взрыва равно нулю и отличается от нуля только на очень коротком интервале (по существу при / = = 0 ) , а в течение этого бесконечно малого интервала возмущение очень интенсивно. В идеальном случае сигнал, который мы регистрируем, должен быть просто равен величине kbt, свернутой с импульсной характеристикой геологического разреза (если предполагать, что земная среда — линейная система; см. § 10.5). Результат свертки должен был бы равняться нулю везде, исключая короткие интервалы записи, где вступают импульсы, соответствующие различным отражениям. Если бы это было так, то мы легко могли бы, исходя из зарегистрированной информации, получить полное решение задачи сейсморазведки Однако в действительности мы принимаем не только однократные отражения, но и многократные, дифрагированные, поверхностные, рассеянные волны от приповерхностных неоднородностей, отраженно-преломленные и т. д., и все они видоизменены фильтрующим действием среды, поглощением и другими процессами и всегда осложнены случайным шумом.
Волна, которую мы окончательно получаем на сейсмограмме, представляет собой результат последовательной свертки сигнала источника с импульсной характеристикой различных участков геологического разреза, через которые волна проходит. Ситуация приблизительно соответствует модели среды, разделенной на три зоны:
1) зону вблизи источника, где уровни упругих напряжений и поглощение самых высоких частот очень велики, — импульсный отклик этой зоны мы обозначим st\
2) последовательность отражений от слоев, импульсные характеристики (коэффициенты отражения) которых et являются теми полезными для нас сведениями, которые мы пытаемся извлечь с помощью наших сейсмических исследований;
Sfi 8. Цифровая обработка данных
3) верхнюю часть разреза, которая оказывает значительное фильтрующее действие, изменяя форму импульса, — импульсную характеристику этой зоны мы запишем как nt.
Пренебрегая дополнительными фильтрующими эффектами, представим тогда сейсмическую трассу gt в виде выражения
gt = k6t * st * et * nt.
(8.28)
Это соотношение описывает конволюционную (сверточную) модельт. е. сейсмическая трасса может быть представлена последовательностью операций свертки сигнала. Модель, основанная на представлении о свертке, является центральной для большинства операций цифровой обработки данных. Уравнение (8.28) также записывается как
gt = wt*et9
(8.29)
где Wt включает в себя k 8 t * s t * n t и, возможно, другие эффекты и называется эквивалентным импульсом. Конволюционная модель также часто включает аддитивный шум rt. Шум обычно (но не обязательно) предполагается случайным, в таком случае конволюционная модель сейсмической трассы имеет вид
ct = wt*et + vt.
(8.30)
Когда источником является Вибросейс, входной сигнал представляет собой длинныгй волновой пакет Vt9 и образующаяся сейсмическая трасса gt запишется как
g\ = vt * s't * et * nt
(8.31)
(где мы пишем s't, а не St9 так как фильтрующие процессы около источника Вибросейс могут отличаться от процессов, происходящих около взрывного источника, вследствие различной величины напряжений).
г) Реверберация в водном слое и деконволюция. Исследуем влияние многократных волн, образующихся в результате отражения от кровли и подошвы водного слоя [7]. Обозначим через мД время пробега волны от кровли до подошвы и обратно, где п— целое число. Предположим, что коэффициенты отражения от поверхности и основания водного слоя дают отношение амплитуд отраженной волны к падающей, равное —1 и + / ? соответственно (знак минус обозначает обращение полярности на поверхности раздела вода — воздух). Положим также, что амплитуда волны, возвращающейся прямо на гидрофон после отражения на некоторой границе (т. е. не испытывающей отражений внутри водного слоя), равна единице, а время пробега ее t. Волна, которая отразится от того же самого горизонта и претерпит дополнительные отражения внутри водного
8.1. Основные операции 71
слоя или до, или после прохождения вниз до отражающей границы, будет приходить в момент t п А с амплитудой —R. Поскольку существуют две различные траектории с одним и тем же временем пробега для рассматриваемой волны, одна из которых соответствует волне, отраженной внутри водной толщи до пересечения дна, а другая — волне, которая отражается после возвращения из глубины, в действительности мы имеем волну, пришедшую в момент t п А с амплитудой —2R. Двукратное отражение от дна испытывают три волны: одна из них дважды отражается от дна до выхода из слои воды, вторая — после попадания в него идущей снизу волны, третья отражается от дна один раз до выхода из водного слоя и второй раз, когда попадает в слой после отражения от глубокой границы; амплитуда каждой из волн пропорциональна R2, так что волна суммарной амплитуды 3R2 пришла в момент t + 2пА. Продолжая таким образом, мы видим, что гидрофон будет принимать сигналы с амплитудами 1, —2/?, 3R2, —4R3, 5R4 . . . , приходящие с интервалом пА. Поэтому мы можем записать следующую импульсную характеристику водного слоя для различных глубин воды Z = = 1/2пУА, где V — скорость распространения волн в воде:
(8.32)
и т. д. Таким образом, водный слой действует как фильтр. Если мы трансформируем импульсную характеристику вод-
ного слоя в частотную область, то получим большой максимум (размер его увеличивается с увеличением R) на частоте \/2пА и кратных частотах. Эти частоты усиливаются при данной глубине воды (т. е. для них интерференция приводит к усилению). Прохождение волнового пакета через водный слой приводит к тому же результату, что и умножение амплитудного спектра сигнала без учета водного слоя на импульсную характеристику водного слоя. Если коэффициент отражения большой (т. е. R велико) и частота 1/2пА (или одна из ее гармоник) лежит в пределах сейсмического диапазона частот, сейсмическая запись будет в значительной степени иметь синусоидальный характер почти без вариации амплитуд на протяжении периода регистрации (см. рис. 4.12). В этом случае из-за резких осцилляций трудно интерпретировать первичные отражения.
Фильтр It, обладающий свойством
ft * h =
(8.33)
называется обратным фильтром относительно ft. Если мы пропустим испытавший реверберацию выходной сигнал гидрофо-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
нов через обратный фильтр (при цифровой обработке), то устраним фильтрующее влияние водного слоя. Фильтр, обратный фильтру водного слоя, является простым фильтром (фильтр Бакуса), имеющим только три ненулевых члена:
/, = [1, 2R9 R2] = [1, 0, 2Rf О, R2] = [1, 0, 0, 2/?, О, О, R2]
(п= \)\ (/1 = 2) I (n = 3) J
(8.34)
и т. д. (см. задачу 8.3, а и § 10.6.5). Рис. 4.12,6 демонстрирует результаты применения такого фильтра к данным, показанным на рис. 4.12, а.
Процедура свертки с откликом обратного фильтра называется деконволюцией и является одной из наиболее важных операций при цифровой обработке сейсмических данных [100]. Мы проиллюстрировали применение деконволюции для устранения влияния водного слоя, но могли бы также осуществить деконволюцию и для других фильтров, влияние которых мы хотим устранить, если располагаем необходимыми данными о фильтрах и сигнале (см. § 8.2.1 и 10.8).
д) Многомерная свертка. В предыдущих разделах у нас была только одна независимая переменная — время. Мы предполагали, что каждая сейсмическая трасса обрабатывается по отдельности и что единственной имеющейся информацией является последовательность отсчетов этой трассы (реальная ситуация для многих процессов). Однако нет необходимости ограничиваться последовательностью временных отсчетов для одной лишь трассы, и некоторые процессы включают свертку по двум или даже более переменным. Операцию свертки (8.18) можно записать для двух переменных t и w следующим образом:
ht.9=ft.9*gt.9=Z,I,fk.mgt-kk.wm-m-
(8.35, 10.142)
Это уравнение выражает тот факт, что результат свертки представляет собой суперпозицию значений, соответствующих близ-, ким временам и пространственным точкам (если t и w указывают время и положение), после действия на них фильтра fttW. Как и при одномерной свертке, операция коммутативна. Ее можно выполнить и путем трансформации ftfW и gt>w в частотную область с использованием двумерного преобразования Фурье (см. § 10.3.2), перемножая двумерные амплитудные спектры и складывая фазовые спектры, а затем выполняя обратное преобразование с получением ht,w. Если t — время и w — расстояние, то область трансформации является областью частот — волновых чисел.
8.1. Основные операции 73
8.1.3. Корреляция
а) Взаимная корреляция. Ф У Н К Ц И Я взаимной корреляции — это мера сходства между двумя последовательностями данных. Чтобы получить значение этой функции, одну последовательность смещают, изменяя величину ее сдвига относительно другой, соответствующие значения этих двух последовательностей перемножают и их произведения суммируют. Если различие между двумя такими последовательностями незначительно, то произведения пар отсчетов обычно должны быть положительными, и, следовательно, значение функции взаимной корреляции будет большим. Там, где значения последовательности не близки друг к другу, некоторые произведения будут положительными, а некоторые — отрицательными, и, следовательно, сумма их будет мала. Если функция взаимной корреляции имеет большое отрицательное значение, то это значит, что две последовательности данных были бы сходны, если бы одну из них перевернуть (т. е. они сходны, только сдвинуты по фазе на 180°). Две последовательности данных могут различаться, если их выстроить одну под другой, и в то же время быть сходными, если одну из них сдвинуть относительно другой. Таким образом, взаимная корреляция характеризует функцию относительного сдвига между последовательностями. Мы будем называть сдвиг положительным, если он представляет собой передвижение второй функции влево относительно первой функции.
Выразим функции взаимной корреляции двух последовательностей Xt и ijt как
4
>
x
y
(
r
)
=
Zx к
k
y
k
+
X
9
(8.36, 10.194)
где т — смещение yt относительно Xt (заметим, что фху(т) представляет собой последовательность данных, а не непрерывную функцию, потому что х и у — члены последовательности). Проиллюстрируем взаимную корреляцию двух функций Xt — = [1, —1, 1A] и yt = [ 1, 1A, - 1 A l , показанных на рис. 8.4. На графике в представлены две функции в их нормальных положениях. На графике a yt сдвинуто на две единицы вправо, соответствующие координаты перемножены и просуммированы, как показано под графиком, в результате чего получается величина фху(—2Л). Графики б—д демонстрируют сдвиг yt на разные величины, а на рисунке е дан график фху(т). Функция взаимной корреляции имеет максимальное значение (подобие функций наибольшее), когда yt сдвинуто на одну единицу влево (т = + А ) . Очевидно, мы получим те же результаты, если сдвинем Xt на то же самое расстояние вправо. Другими словами,
ФхуМ = Ф у х ( - т)
(8.37, 10.135)
Sfi 8. Цифровая обработка данных
Следует отметить сходство между (8.36) и сверткой (8.18). Мы можем переписать (8.36) в виде
Фху (-*) = Фух(- T.) = 2 LJkXk-T= Z HkX ~(x-k) = y7 *Х_х = х_т* ух.
(8.38, 10.136)
Следовательно, для определения взаимной корреляции можно расположить данные первой последовательности в обратном порядке и выполнить свертку двух последовательностей.
о) Сдвиг на - 2
и
0
6) Сдвиг на
Uf f4
в) Сдвиг на 0
1
н
0
'-1
-)
'-I
I1
0
Гч
^Yzxyy(("2)=0+0+ J- =
=+ *
+7
н
Флу (-1) = 0-1+^ =
I+1
I и
^y(O)=I-I-I.
г) Сдвиг на -И
д) Сдвиг но+2
е) График фху(т)
(4
-1
и+Г
+1
-/
г
P L 1
+2 1
-2
Y - 4I
2
0.ry(+ 0==+0f+2+1= Фху(+2) = 0 + 0 - | =
РИС. 8.4. Вычисление взаимной корреляции двух функций.
Если функция взаимной корреляции получена для двух последовательностей данных во временной области, то результат б частотной области будет таким же, как и при умножении ком-
8.1. Основные операции 75
плексного спектра второй последовательности на сопряженный комплексный спектр первой последовательности данных. Поскольку образование комплексно-сопряженной величины требует только перемены знака фазы, то взаимная корреляция эквивалентна перемножению амплитудных спектров и вычитанию фазовых спектров. Математически это выражается как
X (v) V» x_t«->T(y)
- I X ( V ) Iexp (/Yx(V)), =inv)|exp{/Yi,(v)}, = I X (v) I exp { - jyx (v)},
Фху W — XW)Y(v) = \X(v)\\Y (v) | exp { - j [yx (v) - yy Ml}. (8.39, 10.125)
Отметим, что изменение знака фазового спектра эквивалентно обращению трассы во временной области. Анстей [2], в частности, приводит наглядное объяснение процедуры корреляции.
б) Автокорреляция Частный случай, когда последовательность данных коррелируется сама с собой, называется автокорреляцией. В этом случае (8.36) принимает вид
Фхх (т) = Z
(8.40)
Функция автокорреляции симметрична, так как временной сдвиг вправо дает тот же результат, что и временной сдвиг влево; из (8.37) имеем
фхх(т) = ф х х ( - г ) .
(8 41)
Функция автокорреляции имеет максимальное значение при нулевом временном сдвиге (т. е. последовательность наибольшим образом подобна самой себе до того, как она сдвигается во времени). Если она будет иметь большое значение при некотором временном сдвиге At ф 0, то это значит, что данная последовательность стремится к периодичности с периодом At. Следовательно, функцию автокорреляции можно рассматривать как меру повторяемости функции.
Описанные выше понятия можно выразить в интегральной форме, применимой к непрерывным функциям. Уравнения (8.36) и (8.40) теперь примут вид
Фху(*)=
Г x(t)y(i
J -OO
+ T)dt,
* « ( Т ) = Г x ( 0 x ( t + T)dt.
(8.42, 10.125) (8.43, 10.139)
Sfi 8. Цифровая обработка данных
в) Нормированные корреляционные функции. Значение функции автокорреляции при нулевом сдвиге называется энергией трассы
( O ) = Ek xl
(8.44, 10.140)
(Обоснованием такой терминологии служит то, что Xt обычно
является напряжением, силой тока или скоростью и, следова-
тельно, Xt пропорционально энергии.) Д л я функции автокорре-
ляции (8.39) дает
( T ) ^ l * (v) I2.
(8.45, 10.139)
Для непрерывных функций
Фхх(0)=Г
U(Z)I2A= Г I X(v)|2dv.
J-OO
J-OO
(8.46, 10.140)
Поскольку значение функции автокорреляции при нулевом сдвиге представляет собой энергию трассы, то \x(t)\2 есть энергия на единицу времени, или мощность трассы, a |X(v) |2— энергия на приращение частоты, обычно называемая плотностью энергии или спектральной плотностью энергии.
Мы часто нормируем функцию автокорреляции путем деления ее на энергию:
Фхх Wnorm = *XxXx™ •
(8.47)
Функция взаимной корреляции нормируется подобным же образом путем деления на среднее геометрическое энергий двух трасс:
ФTxхyи\W/nnoorrmm =
Фх—у (т) 1/2IT •
{Фхх (0) Фуу (0)}'/
V(8.4/8)
Значения нормированной функции корреляции лежат между ± 1 .
Значение + 1 указывает на абсолютное подобие, а значение
— 1 — на абсолютное подобие, если одна из трасс имеет обрат-
ную полярность.
г) Анализ записей в методе Вибросейс. Сигнал gt, который, регистрируют наши сейсмоприемники, когда мы используем источник Вибросейс (рис. 8.5, а ) , имеет малое сходство с et, импульсной характеристикой разреза. Чтобы получить выразительную запись, данные коррелируются с (опорным) свип-сигналом Вибросейса Vt. Записанный сигнал g t есть
St = vt * et>
где мы полагаем e't = s't*et*nt в (8.31). Используя (8.38), находим взаимную корреляцию свип-сигнала и зарегистрирован-
Рис. 8.5. Запись Вибросейса. [С разрешения «Юнайтед джеофизикал».] а — д о корреляции (некоррелированная запись очень длинная, поэтому показана только ее первая часть); б — после корреляции.
Sfi 8. Цифровая обработка данных
ного сигнала g't:
tvg (0 = gt*v_t = (vt *e't)*v_t =
= e't*(vt*v-t)
=
= e't*i>vv(0
(8.49)
(предпоследнее равенство возможно потому, что свертка ком-
мутативна). Следовательно, окончательный результат представ-
ляет собой результат свертки функции реакции среды с авто-
корреляционной функцией свип-сигнала Вибросейса. Функция
автокорреляции
весьма короткая и имеет значительные
амплитуды только в очень узком интервале временных сдвигов.
Поэтому перекрытие, образованное прохождением через разрез
длительного свип-сигнала, будет устранено почти полностью.
Это иллюстрирует рис. 8.5, где а и б — одна и та же запись
Вибросейса до и после выполнения взаимной корреляции.
д) Представление записи в виде знаковой последовательности. В обычной полевой записи Вибросейса (такой, например, как приведена на рис. 8.5) информация о любом отдельном отражении распределена по всему временному интервалу, занимаемому свип-сигналом. Полезный сигнал в любой момент времени мал по сравнению с шумом и может быть представлен в виде отдельного всплеска, наложенного на стационарный случайный шум. Вероятность того, что любой отдельный отсчет будет положительным или отрицательным, зависит от отношения сигнал/шум. Если мы запишем только знак каждого отсчета (полностью игнорируя его величину) и затем просуммируем много отсчетов, то фактически оценим временные вариации этой вероятности и, таким образом, величину смещения, обусловленного присутствием сигнала, относительно среднего значения.
Рис. 8.6 — синтетический пример, показывающий, что представление записи в виде знаковой последовательности дает те же результаты, что и стандартный Вибросейс. Трассы 1—10— записи Вибросейса с различными амплитудами и временами вступления, соответствующими сигналам от 10 отражающих, границ, 11 — сумма этих трасс, т. е. трасса, которая была бы записана в отсутствие шумов. Для получения трассы 12 к трассе 11 добавили случайный шум с амплитудой, в три раза большей, чем среднеквадратическая амплитуда трассы 11. На трассе 13 представлена запись знаковой последовательности, эквивалентная трассе 12 (колебания происходят лишь между двумя возможными положениями, а именно + и —). Трасса 14 является результатом корреляции трассы 12 с трассой свипсигнала и, следовательно, совпадает со стандартной корреля-
8.1. Основные onepauuu
3 2 3 4 5 f t T t Ч IQ }\ П 1Э 14 IS H
Рис. 8.6. Сравнение стандартных записей Вибросейса и записей в виде знаковой последовательности. [С разрешения «Джеофизикал системз».]
ционной трассой Вибросейса при единичном свип-сигнале. Трасса 15 дает результат корреляции трассы 13 со знаковой последовательностью, соответствующей свип-сигналу. На трассе 16 представлена сумма 20 трасс, полученная подобно трассе
Sfi 8. Цифровая обработка данных
12 с той лишь разницей, что каждая имеет разный случайный шум; таким образом, она соответствует полевой записи в методе Вибросейс, которая следует из вертикального накапливания 20 свип-сигналов. Трасса 17 является суммой 20 трасс, обработанных подобно трассе 13. Трасса 18 получена в результате корреляции трассы 16 с трассой свип-сигнала, а трасса 19 следует из корреляции трассы 17 со знаковой последовательностью, соответствующей свип-сигналу. Таким образом, трассы 18 и 19 представляют собой соответственно стандартную коррелограмму Вибросейса и корреляционную запись знаковой последовательности.
При такой форме представления отсчету соответствует только один разряд записи, так что объем данных значительно сокращается и интерпретация упрощается. Требования к инструментальной точности также значительно ослаблены. Например, нелинейность сейсмоприемника уже не так важна, потому что измеряется знак, а не величина выходного сигнала. Система Джеокор использует аналого-цифровой преобразователь в поле, причем к каждому преобразователю подсоединены 16 каналов сейсмоприемников. Преобразователь определяет знак выходного сигнала на каждом канале в момент взятия отсчета и записывает эту информацию как один бит из 16-разрядного слова, которое затем поступает на сейсмостанцию. Таким образом достигается сокращение каналов кабеля в 16 раз. В 1982 г. в полевых системах Джеокор использовались 1024 канала.
е) Многоканальная когерентность. Функция взаимной корреляции может служить мерой когерентности двух трасс. В качестве критерия когерентности для большого числа трасс можно использовать тот факт, что результирующая амплитуда суммарной записи нескольких каналов велика там, где сигналы отдельных каналов подобны (когерентны), так что складываются в фазе, и мала там, где они отличаются друг от друга (некогерентны). Следовательно, отношение энергии суммарной записи к сумме энергий отдельных компонент может служить мерой степени когерентности.
Если ga — амплитуда сигнала отдельного канала i на вре-
мени t, то амплитуда суммарной записи на времени t будет
Yj gti> а квадрат ее будет составлять энергию. Если мы назовем Et отношение выходной энергии к сумме энергий входных трасс, то можем записать
(8.50)
Вероятно, когерентные отражения следует рассматривать на некотором интервале; следовательно, лучшей количественной
8.1. Основные операции 81
оценкой, чем Ety будет мера сходства St [105], которая определяется отношением общей энергии суммарной трассы в пределах «окна» шириной At к сумме энергий слагаемых трасс в пределах того же временного «окна». Используя принятые выше обозначения, получаем
t+At
tt+м
S'-stf'-ovszw.).
(8-зд
Когда существует когерентность, мера сходства не только будет большой, но и чувствительной к амплитуде отражения. Таким образом, сильным отражениям будут соответствовать большие значения Sty слабым отражениям — небольшие значения Sty а некогерентные данные будут иметь очень низкие значения St.
Сходство и другие меры когерентности позволяют определить значения параметров, «оптимизирующих» суммарную запись. Величина меры сходства вычисляется для различных временных сдвигов между сигналами суммируемых каналов, и оптимальными временными сдвигами считаются те, которые максимизируют эту меру. Поэтому меру сходства можно использовать для нахождения статических и кинематических поправок.
8.1.4. Понятие фазы волны
Согласно (8.2), преобразование Фурье (фурье-синтез) волнового пакета состоит в сложении гармонических (косинусных) волн различных частот и фаз. Если одинаковые волны складываются с различными фазами, то образуются волны разной формы. Изменение формы волны изменяет положение максимума или минимума, и, следовательно, изменения в фазовых спектрах будут влиять на значения времен вступления волн. Одной из главных процедур интерпретации сейсмических данных является определение времен вступления волн, и поэтому важно сохранять необходимые фазовые соотношения в процессе цифровой обработки.
Из всех импульсов с одинаковым амплитудным спектром тот импульс, у которого энергия нарастает быстрее всех, называется импульсом с минимальной задержкой. Его фаза всегда меньше, чем фаза других волн с тем же амплитудным спектром, и поэтому его также называют минимально-фазовым. Простейший импульс (исключая б-импульс) состоит из последовательности, содержащей только два элемента (а, Ь). Амплитудный спектр этой последовательности идентичен амплитудному спектру последовательности (Ьу а ) , но не существует иных последовательностей, которые имели бы такой же спектр. Если а > Ь%
Sfi 8. Цифровая обработка данных
то энергия концентрируется прежде в импульсе последовательности (а, Ь), чем ( Ь , а ) , и, следовательно, импульс (а, Ь)—минимально-фазовый (или с минимальной задержкой). Большие по длительности импульсы можно выразить в виде последовательной свертки двухэлементных импульсов (см. § 10.6.6а); широкий импульс будет минимально-фазовым, если все составляющие его импульсы являются минимально-фазовыми. Минимально-фазовый импульс можно найти и другим путем, например определением корней в г-области (§ 10.6.6а). Большинство сейсмических источников генерируют волны, которые близки к минимально-фазовым, и импульсные характеристики многих естественных фильтрующих процессов минимально-фазовые.
Однако понятие «минимально-фазового» сигнала не обязательно означает, что его первый полупериод характеризуется наибольшей амплитудой. При интерференции сигнала с шумом трудно сказать, имеет ли отраженный импульс тот же знак, что и падающий, или противоположный, т. е. отрицателен или положителен коэффициент отражения. Также трудно оценить время вступления отраженной волны, а именно оно и необходимо для определения глубины отражающей границы.
Для облегчения интерпретации эквивалентный импульс можно превратить посредством обработки в нуль-фазовый (см. § 10.6.6г). Фазовый спектр нуль-фазового импульса тождественно равен нулю, т. е. y(v) = 0 для всех v. Такой импульс симметричен относительно основного максимума (или минимума), который имеет большую амплитуду, чем любые другие максимумы или минимумы (функция автокорреляции является нуль-фазовой). Д л я перехода к нуль-фазовому импульсу мы сдвигаем временную шкалу таким образом, что амплитудный максимум соответствует времени вступления волны. Такой импульс является преждевременным, потому что половина его длительности предшествует времени вступления.
Некоторые процессы фильтрации требуют, чтобы были сделаны предположения о фазе сигнала; обычно сигнал предполагается минимально-фазовым [147]. В результате дсконволюция, основанная на автокорреляции, должна проводиться при . заданной величине фазы, так как в процессе расчета автокорреляции фаза импульса теряется. Это можно видеть из (8.45), где функция автокорреляции $Xx(t) преобразуется в функцию |X(v)|2 с нулевой фазой для всех значений частоты. Таким образом, вся фазовая информация, имеющаяся в X(v), теряется при нахождении автокорреляции. Однако большинство сигналов и естественных процессов фильтрации описывается действительными причинно-обусловленными функциями (см. § 10.6.6а). Если функция действительная и причинно-обуслов-
8.2.Способы улучшения отношения сигнал/помеха 83
ленная, то для определения фазы можно использовать преобразование Гильберта (§ 10.3.11).
Не минимально-фазовые причинно-обусловленные импульсы можно преобразовать в минимально-фазовые, применяя экспоненциальное сглаживание, ослабляющее последующую часть импульса. Многие реальные волны содержат только несколько не минимально-фазовых корней и могут быть преобразованы в минимально-фазовые при помощи экспоненциального сглаживания с очень плавным спадом, возможно 0,995', где / — время в миллисекундах (см. задачу 8.17). Критерии для определения степени сглаживания рассмотрены в § 10.7.
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
8.2.1. Деконволюция и частотная фильтрация
а) Общие положения. В § 8.1.2г мы определили деконволюцию как свертку сигнала с импульсной характеристикой обратного фильтра. Уравнения (8.28) — (8.30) выразили сейсмическую трассу как свертку импульсной характеристики среды et с серией импульсных характеристик фильтров, объединенное выражение которых составляет эквивалентный импульс Wt. Основная цель деконволюции заключается в том, чтобы определить импульсную характеристику среды по сейсмической трассе, но часто ее задача более ограниченна: устранять влияние предшествующих фильтраций.
Если не имеется дополнительной информации или не поставлены дополнительные условия, то деконволюция, определяющая импульсную характеристику среды et> не дает единственного решения. Уравнение (8.30) содержит три неизвестные wti et, rtl но лишь одну известную величину ct. Наиболее обычное дополнительное условие состоит в том, что Wt — минимально-фазовый импульс, a et имеет равномерный (белый) спектр (по крайней мере в некоторой ограниченной полосе частот). Дополнительные условия включают максимальную длительность Wt или использование многоканальной процедуры.
Иногда операции деконволюции проводятся последовательно; деконволюция одного вида служит для устранения искажений одного типа, за ней следует другой вид деконволюции, устраняющий иной тип искажений. Ниже будут описаны некоторые виды деконволюции. В работе Вебстера [182] приведена основная библиография по деконволюции.
б) Обратная фильтрация детерминированных сигналов. Если природа искажающего влияния известна, обратный ему фильтр иногда можно найти в результате прямого детерминированного
Sfi 8. Цифровая обработка данных
подхода. В § 8.1.2а приведен пример реверберации в водном слое, и мы использовали модель водного слчоя для того, чтобы построить фильтр ft, учитывающий реверберации. Мы также определили обратный фильтр it посредством (8.33), но это уравнение нельзя использовать для нахождения последовательности it (кроме как методом проб и ошибок). Однако мы можем преобразовать (8.33) в z-область (см. § 10.6.3), выполнив деление
I(z)=l/F(z)=ZikZk k
(8.52)
(если при делении не возникают бесконечные значения), и затем обратным преобразованием получить it. Даже в тех случаях, когда известна природа фильтра, нам приходится находить часть решений путем проб и ошибок или другими способами; в любом случае мы еще должны определить значение R в (8.34).
Детерминированные или (полудетерминированные) решения часто используются для устранения фильтрующих влияний регистрирующих и обрабатывающих систем. Импульс источника иногда регистрируется (хотя не всегда с правильным учетом влияния волн-спутников) и используется при детерминированной коррекции формы импульса источника. При морских работах предполагается, что форма импульса источника неизменна; импульс источника может быть зарегистрирован в глубокой воде с помощью гидрофона, подвешенного ниже источника. Другая методика заключается в том, что с помощью гидрофона вблизи источника при каждом взрыве регистрируется форма импульса и на основе такой контрольной записи делается оценка изменений его формы (см. § 5.5.3е). Этот способ позволяет учесть вариации формы импульса от взрыва к взрыву до проведения суммирования. Еще в одном способе для определения формы импульса источника используется отражение от морского дна; при этом предполагается, что морское дно — плоская, резко отражающая граница.
в) Подавление волн-спутников и рекурсивная фильтрация.
В том случае, когда источник взрыва расположен ниже подо-*
швы зоны малых скоростей (рис. 8.7), волна-спутник отра-
жается от основания зоны малых скоростей (см. § 4.2.26), где
коэффициент отражения (при подходе волны снизу) составляет
—R (если не учитывать энергию волны-спутника, отраженную
от свободной поверхности). Импульс, сопровождаемый волной-
спутником, можно задать в виде импульса прямой волны, под-
вергнутой некоторому фильтрующему воздействию; его г-пре-
образование записывается как
t (2) = 1 — Rzn9
(8.53)
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 85
где Zn представляет собой задержку, связанную с двойным временем пробега от источника до отражающей границы, создающей волну-спутник. Обратным фильтром будет бесконечный ряд
F-1 (г) — 1/(1 — Rzn) = 1 +Rzn + (Rzn)2 + (Rzn)3 + . . . . (8.54)
Поскольку R < 1, ряд сходится и, таким образом, может использоваться как фильтр, подавляющий волны-спутники. Входной сигнал, включающий влияние волн-спутников, gt можно
1
-R
пропустить через обратный фильтр и получить на выходе сиг.
нал, свободный от волн-спутников ht'9 в форме г-преобразования будем иметь
H(Z) = G (z) F-1 (z) = G (z)i( 1 - Rzn),
H(z)(\-Rzn)
= G(z)y
H(Z) = G (Z) H- RzriH (z).
(8.55)
Последний член в правой части соответствует задержке H(z) на п единиц. Последнее уравнение можно записать во временном представлении как
ht = gt + Rht_n.
(8.56)
Таким образом, мы можем определить значение выходного сигнала, прибавляя к входному сигналу пропорциональную величину предыдущего выходного сигнала. Если задержка волныспутника равна интервалу дискретизации, то п = 1 и
h =
потому что не существует выходного сигнала раньше нулевого отсчета и
Ai = Я\ + RhQ9
h2 = g2 + Rhu
/г3 = g3 + Rh29 . <. .
Sfi 8. Цифровая обработка данных
Фильтрация, которая включает передачу части выходного сигнала обратно на вход, называется фильтрацией с обратной связью или рекурсивной фильтрацией (см. § 10.8.2). Она позволяет полностью подавить волны-спутники, не используя большого числа членов, и, следовательно, является экономичным способом расчетов. В более общем виде мы можем выразить фильтр F(z) как отношение полиномов:
H(Z)==G (z) F(Z) = G (z) {N (z)/D (z)}
и записать
G(z)N(z) = H(z)D(z).
Правая сторона является «рекурсивной» частью, где значения предыдущего выходного сигнала используются при получении значений последующих выходных сигналов.
г) Фильтрация по методу наименьших квадратов (винеровекая). Иногда нам нужно определить фильтр, который наилучшим образом преобразует входной сигнал в желаемый выходной. Фильтр, который наиболее точно выполняет эту задачу при минимальной среднеквадратической погрешности, называется фильтром Винера, иногда оптимальным [128]
Пусть последовательность gt представляет входной сигнал, ff — фильтр, который мы должны определить, a At — требуемый выходной сигнал. Реальный результат прохождения gt через фильтр есть gt*ft> и «ошибка», или разница между реальным и требуемым выходным сигналом, составит (£t — gt*ft). По методу наименьших квадратов (§ 10.1.5) мы суммируем квадраты ошибок, находим частные производные суммы относительно переменных (элементы ft) и все эти производные приравниваем к нулю. Это дает систему следующих уравнений, где gt и it известны:
или
/ - O i 1, 2, . . . п
(8.57)
t
Y i ^ t - S t * f t ) - ^ - ( S t * f t ) = 0»
t
' = 0, 1 . . . л;
такие уравнения получаются для каждого из / 1 + 1 элементов ft. Используя (8.19) для записи свертки в виде суммы, получаем
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 87
Единственными членами в свертке, включающими /<, являются те, которые содержат gt-i. Следовательно,
Z
Z gkft-k) gt-i = о,
Zt ^tgt-I = Zt Zk gkgt-ift-k-
Согласно (8.36) и (8.37), левая часть последнего соотношения
равна
Положим j = t — k и возьмем сумму по / вместо
тогда
(О = Z Z gt-jgt-ifj = Z // Z gt-iSt-i
с заменой порядка суммирования. Согласно (8.40), последний
член равен
— /) (см. задачу 8.12). Следовательно, мы при-
ходим к нормальным уравнениям
t j > g g ( i - i ) f j = <l>gt(i)>
1 = 1, 2, . . . гг (8.58, 10.27)
(см. также задачу 10.10). Нормальные уравнения для фильтрации непрерывных функций по методу наименьших квадратов имеют также интегральное представление
P OO
\ _ M t u ( i - l ) f { Q d t = 4>eA(т).
(8.59, 10.254)
Эти уравнения можно использовать для взаимного выравнивания трасс, т. е. для того, чтобы сделать трассы настолько похожими, насколько это возможно. Предположим, что мы имеем группу трасс, которые нужно просуммировать, как, например, составляющие суммарной записи общей глубинной точки. После введения кинематических поправок трассы могут еще отличаться друг от друга, так как волны прошли различные участки ЗМС. Нормальные уравнения позволяют найти такие фильтры, которые делают все трассы, насколько это возможно, подобными некоторой эталонной трассе, такой, как сумма трасс. Эта процедура улучшает когерентность от трассы к трассе до суммирования и, следовательно, улучшает качество результата суммирования.
д) Приведение спектра к спектру белого шума, предсказывающая деконволюция и определение формы импульса. Нормальные уравнения используются для выполнения деконволюции с помощью импульса, стремящегося к 6-функции. Предполагается, что импульсная характеристика среды et — случайная функция, т. е. знание неглубоких отражений не помогает в предсказании более глубоких. Следовательно, функция
Sfi 8. Цифровая обработка данных
автокорреляции et имеет пренебрежимо малые значения для всех сдвигов, исключая нулевой сдвиг, и мы можем записать
(8.60)
Входной сигнал сейсмоприемника gt рассматривается (см. (8.28) и (8.29)) как свертка et с различными фильтрами (наиболее важный из которых является результатом влияния ЗМС), общее влияние которых соответствует одному эквивалентному фильтру wt:
gt = et* wf
Нужный нам выходной сигнал At является импульсной реакцией разреза et (которая предполагается минимально-фазовой). Поэтому, используя (8.38), можно записать
= et * (e_t * wt) = = (et*e_t)*w_t = = kbt * w_t = = kw_t.
(8.61)
Существование выходного сигнала фильтра Wt обусловлено существованием входного сигнала для этого фильтра. Это эквивалентно тому, что gt — физически реализуемая величина. Следовательно, Wt = 0 для t < 0. Таким образом,
^ r f O = O при / < 0 .
(8.62)
Поэтому если мы интересуемся только положительными значениями то у нас есть значения, необходимые для того, чтобы решить (8.58) для деконволюции, в которой используется импульс, стремящийся к б-функции.
Возможность преобразования в частотную или другие области не только обеспечивает альтернативные вычислительные методы, но и дает возможность более тонко применять методы деконволюции. Концепция, рассматривающая отклик среды et как случайный, подразумевает равные возможности для амплитуд всех частот и напоминает нам о спектре белого света; поэтому такую деконволюцию мы называем выбеливающей, т. е. приводящей спектр сигнала к спектру белого шума. Это эквивалентно нахождению обратного фильтра, преобразованием Фурье которого является I(V)y где
/(V)= 1/G (v)
(8.63)
(см. рис. 8.8, a), a G(v) является преобразованием входного сигнала; отсюда произведение /(v)G(v) является константой
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
89
(которая принимается равной единице, поскольку мы интересуемся только относительными значениями /; такое игнорирование масштабных факторов свойственно многим методам обработки). Применяя обратный фильтр, мы должны знать фазу. Часто мы начинаем с <f>gg, полагая, что G(v)—минимально-фазовый сигнал, так что он может быть определен единственным образом из Ф ё ё (см. § Ю.б.бв И задачу 10.34). Затем обратно
P1
Частота
а
Pf
Частота
6
Рис. 8.8. Спектр сигнала до деконволюции и частотные характеристики обратного фильтра, использованные для получения равномерного спектра. а — без добавления белого шума (ширина полосы частот обычно определяется без знания точного спектра); б — с белым шумом, добавленным для построения обратного фильтра.
из G(v) получают /(v) (отметим, что / ( v ) — т а к ж е минимально-
фазовый сигнал, см. задачу 10.31, а).
Уравнение (8.63) применимо для любого значения частоты,
например /(vi) = 1/G(vi). Если значение G(Vi) невелико, то
/(vi) будет большим. Таким образом, выбеливающий фильтр
подчеркивает слабые частотные составляющие, приводя к улуч-
шению их до тех пор, пока они не достигнут уровня ослаблен-
ных сигналов. Выше некоторой частоты Vu преобладает шум, так
что выбеливание выполняется только в ограниченной полосе
частот. Если сигнал G(v) будет особенно слабым (как на
рис. 8.8, а) на узком участке полосы пропускания (иногда на-
зываемой режекторной в спектре сигнала), например около ча-
стоты vi, то обратный фильтр будет увеличивать шум на этой
частоте, иногда с «катастрофическими» результатами. Чтобы
предотвратить чрезмерное увеличение шума, при построении
фильтра добавляют белый шум Awy причем величина Aw мала по сравнению со средним значением G(v). Это почти не меняет
весовую функцию фильтра (рис. 8.8,6) для большинства ча-
стот, но делает ее меньше на частоте вырезания Vi (т. е.
\/{G(V) + Aw}^
IFG(V)1
за исключением того случая, когда
Sfi 8. Цифровая обработка данных
а
в
Рис. 8.9. Определение значений автокорреляционной функции, которые используют при деконволюции. а — автокорреляция трассы; начальная часть функции (I) содержит информацию о форме импульса, последующая (II) — информацию о повторяющихся импульсах (многократные волны); б — сглаживание <t>gg для использования ф ^ в (8.58), в — предсказание влияний многократных волн для построения фильтра предсказывающей деконволюции.
G(v) очень мало). Белый шум добавляется только для построе-% ння фильтра определенного назначения, и замечание на сейсми-* ческом разрезе «добавлен белый шум» указывает на то, что выбеливающая деконволюция создает меньший уровень шума.
Обратный фильтр Винера строится из значений функции автокорреляции (8.58). Основной максимум функции автокорреляции соответствует сдвигам, меньшим чем половина преобладающего периода, и содержит большую часть информации об осредненной форме импульса (рис. 8.9, а). С другой стороны, максимумы и минимумы для больших временных задержек ука-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 91
зывают на наличие регулярных повторений волн, например таких, которые обусловливаются многократными волнами. Если наш искомый импульс Ai по существу должен совпадать с начальной частью импульса, входящего в gt, однако затухать быстро, но плавно (так как резкое изменение вызывает эффект «звона» — см. § 10.3.5), мы можем взять для <j>g^ начальную
часть фёё, умноженную на подходящую сглаживающую функцию, которая срезает функцию gt после первого периода (рис. 8.9,6), давая нам возможность решить уравнение (8.58).
Предсказывающая деконволюция [111] устраняет влияние кратных волн, которое можно предсказать, исходя из сведений о времени вступления однократных волн от тех же границ. Операторы предсказывающей деконволюции часто начинают оказывать воздействие только после некоторого времени L (называемого задержкой предсказания), которое обычно соответствует двойному времени пробега до первой кратнообразующей границы. Мы используем начальную часть <f>gg на интервале L в качестве ф д в уравнении (8.58); таким образом, фильтр предсказывает многократные волны (рис. 8.9,в), т. е. мы имеем
t ^ i i - M ^ ^ i L + i)-
(8.64)
Затем мы вычитаем предсказанную трассу из наблюденной трассы, оценивая ошибку предсказания, которая представляет собой трассу, из которой устранены предсказанные многократные волны:
*t = gt - gt-L*ft-
(8.65)
Там, где первая граница, создающая кратные волны, залегает глубоко, например при морских наблюдениях на глубокой воде, оператор деконволюции можно положить равным нулю на некоторых участках его длины (что соответствует нулям в обратных фильтрах (8.34)). Такие вычисления более экономичны, и деконволюция в этом случае называется деконволюцией с пропусками интервалов [85].
Можно производить коррекцию формы сейсмического импульса от взрыва к взрыву. Один способ состоит в регистрации исходного импульса, как упоминалось в § 5.5.Зе. Другой — в суммировании автокорреляционных функций всех трасс от каждого взрыва и оценивании формы импульса по этой сумме автокорреляций; при этом предполагается, что импульс минимальнофазовый, а затем применяется фильтр Винера для того, чтобы привести этот импульс к желаемой постоянной форме. Такого типа процедура позволяет скорректировать вариации формы импульса, связанные с различными факторами, как, например,
Sfi 8. Цифровая обработка данных
в случае, если часть профиля регистрируется сейсмоприемниками, а часть — гидрофонами, или отдельные части регистрируются с разной аппаратурой, или имеются различные условия в верхней части разреза и т. д.
е) Другие виды деконволюции. Иногда используются и другие способы, такие, как гомоморфная (или кепстральная), фильтрация Калмана и др.
Гомоморфная деконволюция заключается в преобразовании из пространства, где функции свертываются (временная область), в область, где они складываются (кепстральная область; см. § 10.7). Преобразование функции gt временной области в функцию g(£) кепстральной области достигается в три этапа:
gt G (z)f In {G (г)} = G (Z)9
(8-66, 10.214)
Эквивалент (8.29) в кепстральной области имеет вид
=
+(8.67)
таким образом, импульс w(£) и импульсная характеристика ё(£) здесь складываются. Импульс обычно медленно изменяется, и его кепстр лежит в основном в области низких значений в то время как коэффициенты отражения располагаются на больших значениях Таким образом, низкочастотная и высокочастотная фильтрации в кепстральной области достигают большой степени разделения. Обратное преобразование высокочастотной части (коэффициентов отражения) во временную область завершает процедуру гомоморфной деконволюции.
Если функция G(z) минимально-фазовая, то кепстр минимально-фазовой функции является односторонним, т. е. g-(£) = 0 для £ < 0; этот факт иногда используется для разделения минимально- и максимально-фазовых элементов. Чтобы использовать односторонний характер функции в кепстральной области, иногда делают G(z) минимально-фазовой функцией, применяя экспоненциальное сглаживание (§ 8.1.4), т. е. используя функцию G'(г)= G(z)kff где & <: 1 [152]. Импульсную характеристику* E(z) находят затем путем фильтрации в кепстральной области высокочастотной части £(£), выполняя обратное преобразование для нахождения E' (г) и применяя обратное экспоненциальное взвешивание E{z)=* E' (z)kr*.
Отис и Смит [106] используют пространственное осреднение в кепстральной области как способ определения формы импульса источника. Они предполагают, что импульс источника стационарен, а реакция среды пространстзенно нестационарна, по-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 93
этому фазовый вклад реакции среды на различных участках при осреднении исчезает.
Энтропия — мера хаотичности, или отсутствия порядка, в системе. Однократные отражения не прогнозируются из предшествующих данных и поэтому не обладают свойством упорядоченности. Деконволюция по максимуму энтропии имеет целью выявить такие отражения, отделяя упорядоченные элементы (например, эквивалентные импульсы) от беспорядочных (например, сигнал). Деконволюция по способу максимума энтропии описывается в § 10.8.6г.
В большинстве из приведенных выше способов предполагается стационарность, т. е. что статистические характеристики формы волны не изменяются со временем. Однако мы знаем, что более высокочастотные импульсы будут ослабляться быстрее, чем низкочастотные, и что образование многократных отражений в тонких слоях и другие факторы приводят к удлинению нисходящего волнового пакета по мере его распространения. Если учесть изменение формы волны во времени, то деконволюция будет более эффективной. В фильтре Калмана [35] и адаптивных фильтрах других видов изменения во времени учитываются путем непрерывной корректировки статистических параметров, на которых основан фильтр. В наиболее обычной форме — переменной во времени деконволюции [29] — один оператор строится на основе автокорреляции начальной части записи, а другой — на основе автокорреляции последующей части; при этом каждое задаваемое окно составляет 1 с или больше для получения достаточной статистики. Затем первый и второй операторы применяются в любой заданный момент времени с весами, обратно пропорциональными разности времен между центрами выбранных окон и данным моментом времени, т. е. вес оператора, построенного по начальной части записи, плавно спадает, в то время как вес последующего оператора плавно нарастает. Иногда выбранные окна перекрываются, а иногда используются более чем два окна.
ж) Цифровая обработка с целью определения формы импульса. Под этим названием понимают ряд различных видов обработки, включающих определения, предположения о форме импульса и операции над эффективным импульсом. Цель некоторых из них состоит в том, чтобы сделать форму импульса повсюду одинаковой, других — преобразовать эффективную форму импульса в некоторую «более желательную» и третьих — разделить эффекты импульсной характеристики среды и формы исходного импульса.
Те процедуры обработки, которые предназначены для получения всюду одинаковой формы импульса, должны произво-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
диться до суммирования для того, чтобы все трассы, которые участвуют в суммировании, имели одинаковую эффективную форму импульса. Более вероятно, что низкочастотные составляющие будут просуммированы в фазе в отличие от высокочастотных, так что суммирование часто действует как фильтр, ослабляющий высокие частоты. Данный вид обработки импульса уменьшает это фильтрующее действие. При наблюдениях на
Рис. 8.10. Обработка с целью определения формы сейсмического импульса. [С разрешения «Сейском дельта».] а — участок сейсмического разреза после выполнения миграции; б — обработка расширяет частотный диапазон эквивалентного импульса и делает его нуль-фазовым.
море импульс источника иногда записывают при каждом взрыве и затем используют при детерминированной обработке импульса. Но чаще его определяют из функции автокорреляции путем суммирования автокорреляционных функций всех трасс, записанных от одного и того же источника. Предполагается, что единственным общим элементом является импульс источника, и поэтому сумма автокорреляционных функций представляет собой автокорреляционную функцию импульса источника. Пример такого вида цифровой обработки импульса показан на рис. 8.10.
Второй вид обработки импульса, преобразующий его форму в некоторую более желательную, используется для коррекции фильтрующих воздействий (особенно фазовых сдвигов), связанных с аппаратурой. Например, с ее помощью стремятся изменить запись, сделанную с гидрофонами, так, чтобы она имела вид, сходный с записями от сейсмоприемников, или создать наилучшее соответствие между профилями, отработанными с различной регистрирующей аппаратурой. В этом виде обработки иногда используются «табличные» импульсы, т. е. эффективные импульсы, связанные с определенным видом источника, изме-
8.2.
Способы улучшения отношения сигнал/помеха 94
ренные и занесенные в таблицу. Часто эффективный импульс определяется по донному отражению. Обычно мы хотим, чтобы выходной импульс в окончательном представлении был нульфазовым.
С помощью третьего вида обработки импульса пытаются устранить влияние формы импульса и определить импульсную характеристику среды, т. е. разделить Wt и et в (8.29), как, например, в описанном выше примере фильтрации в кепстральной области. Такой обработкой обычно является завершающая деконволюция, применяемая после того, как с помощью других процедур, насколько это возможно, был устранен шум. Большинство способов обработки импульса пока еще засекречено. Как правило, они улучшают высокочастотную характеристику сигнала и, следовательно, разрешающую способность. Они часто предшествуют преобразованию трассы (§ 9.4.5).
з) Частотная фильтрация. Отраженные сигналы часто превышают шум только в ограниченной полосе частот. Чтобы оптимизировать отношение сигнал/помеха, фильтр должен пропускать частоты в тех случаях, когда преобладает сигнал, и не пропускать в тех случаях, когда преобладает шум. Для определения оптимальной полосы частот часто используется набор фильтров, таких, как иллюстрирует рис. 8.11, где изображен участок разреза, отфильтрованного последовательностью узкополосных фильтров.
Частотный спектр сейсмических отражений обычно становится более низким с увеличением времени вступления волны, так как высокочастотные компоненты быстрее ослабляются поглощением, многократными волнами и другими естественными процессами фильтрации (см. § 2.3.2в и 4.2.26). Поэтому нам было бы желательно сдвигать полосу пропускания в направлении низких частот для последующих участков записи по мере возрастания времени регистрации, т. е. осуществлять переменную во времени (TV) фильтрацию. Выбор параметров для переменной во времени фильтрации часто основан на наборе фильтров типа того, который показан на рис. 8.11, а предельная глубина для когерентной энергии в любой полосе пропускания определяется как начальная зона, где шум начинает преобладать над сигналом.
Любые внезапные изменения, такие, как изменения полосы пропускания частот, создают нежелательные эффекты на сейсмическом разрезе, включая явление Гиббса (§ 10.3.5). Поэтому изменения обычно распределены по некоторой зоне перехода Например, фильтр А можно использовать вплоть до времени tAl а фмльтр В —ниже времени / в ( / л < / в ) ; зона перехода тогда находится между временами tA и tB. Изменения параметров
Sfi 8. Цифровая обработка данных
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 97
фильтра в зоне перехода можно производить по линейному за-
кону:; данные в этой зоне будут фильтроваться как с помощью
фильтра А, так и В, и сигнал на времени -f- At в пределах
этой зоны будет представлять собой сумму результатов приме-
нения этих двух фильтров. Иначе говоря, сигналы взвешены
в соответствии с положением внутри зоны, т. е. веса фильтров
равны Д t / ( t B — tA) и (tB — tA — At)/(tB—tA)
соответственно.
Возможно использование более двух фильтров и, следователь-
но, более одной зоны перехода.
Помимо фильтрации существуют и другие виды обработки,
например деконволюция, коррекция статических поправок и т.д.,
которые применяют в переменной во времени форме. В регио-
нах, где должно проводиться картирование, не следует в про-
цессе обработки изменять параметры фильтрации и других про-
цедур во избежании того, чтобы эффекты изменения парамет-
ров ошибочно не проинтерпретировать как структурные или
стратиграфические особенности.
и) Многоканальная деконволюция. В большинстве описанных выше рассуждений подразумевалось, что построение оператора деконволюции основано на информации, извлеченной из той же самой трассы, к которой он будет затем применен. Один из методов цифровой обработки импульса базируется на сумме нескольких автокорреляционных функций, которая затем применяется к каждой из компонент этой суммы. Иногда используются и другие многоканальные схемы.
В методе веерной фильтрации, предложенном Танером [156], информация с одной трассы служит основой для построения оператора, который будет применен к другой трассе. Для плоских отражающих границ угол падения у первой кратной волны тот же, что и у однократно-отраженной на половине удаления (см. рис. 4.15), у второй кратной — что у однократно-отраженной на третьей части удаления и т. д. Коэффициент отражения для отражения от дна изменяется настолько сильно из-за изменения угла падения, что применение предсказывающей деконволюции к той же трассе, которая использовалась при построении оператора, дает неудовлетворительные результаты. Taнер достиг лучшего ослабления многократных волн, так как строил свои операторы по трассам, где угол падения для однократных отражений был почти такой же, как для многократных волн, которые должны подавляться.
Рис. 8.11. Монтаж данных по набору фильтров. [С разрешения «Сейском дельта».]
Sfi 8. Цифровая обработка данных
8.2.2. Автоматическое определение статических поправок
а) Взаимосвязь коррекции статических и кинематических поправок. Коррекцию статических поправок, вероятно, легче проводить в том случае, когда оптимизирована коррекция кинематических поправок, но (как мы увидим) кинематические поправки будут определены точнее, когда коррекция статических поправок оптимальна. Поскольку одно из определений должно предшествовать другому, вычисления часто повторяются с уточненными входными данными. Предварительная поправка за разницу превышений или коррекция, основанная на вертикальном времени либо временах первых вступлений, и оценивание скорости обычно проводятся до первого определения статических поправок. За ним следует определение кинематических поправок с использованием найденных значений статических поправок. Результаты определений первых статических и кинематических поправок вносятся в исходные данные, а затем производится повторное определение статических поправок. Процедуры уточнения параметров можно повторять несколько раз до получения оптимального решения.
б) Модель, учитывающая особенности верхней части разреза. Автоматическое определение статических поправок основано на модели, учитывающей особенности верхней части разреза (см. (8.68)), связывающей временную задержку Ri с центром группы сейсмоприемников /, а задержку Sj — с источником /. Вся информация, воспринимаемая грушщйксейсмоприемников /, будет задержана на время Ri. Эта задержка может возникнуть в результате того, что группа сейсмоприемников расположена на большем превышении относительно уровня приведения, или потому, что под ней залегает более мощный или более низкоскоростной пласт (относительно некоторого среднего). Вся информация от источника / будет задержана на время S^ может быть, потому, что действительное выделение энергии произошло с некоторым запаздыванием по отношению к моменту взрыва, или источник располагался на (или в) среде с более низкой скоростью, чем другие источники, а также на большем превышении, или в более мелкой взрывной скважине и т. д. Следуя методу Танера и др. [161], мы отнесем индексы /, j к общему началу координат и выделим трассы, соответствующие выборке по общему параметру (ОП, ОПВ, ОУ) (как на поверхностной схеме суммирования — рис. 5.5,6); следовательно, удаление будет пропорционально (/ — /)• Если существует структура в направлении профиля, то задержка Lk, вероятно, связана с расположением срединной точки k (т. е. Lk — некоторый вид среднего из временных сдвигов, обусловленных тем, что структура имеет разную глубину под k). Для плоских от-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 99
ражающих границ k=(i + / ) / 2 , и если угол их наклона невелик, то для трасс с общей отражающей точкой k = Const. Если кинематическая поправка найдена лишь приближенно, то сохранится некоторая остаточная кинематическая поправка Mkt и эта остаточная поправка будет изменяться как квадрат величины удаления. Поскольку остаточная кинематическая поправка изменяется в зависимости от времени вступления волны, го задержка, связанная с Mky должна быть равна средней величине подобно Lk. В модели, учитывающей особенности верхней части разреза, полный временной сдвиг Uf для некоторой трассы будет получаться как
Ui = Ri + Si + Lk + Mk (/ - i f .
(8.68)
Хотя мы можем не знать величины временного сдвига по каждой трассе, функция взаимной корреляции позволяет определить (tij — tmn), временной сдвиг одной трассы относительно, другой, что дает возможность проводить оптимальное выравнивание двух трасс:
Uf — tmn = Ri
Rm + Sf — Sn + Li + f — Lm+n
+
+ Muj (/ - O2 - Mm+n (n - tnf. (8.69)
(Мы используем для L индекс i + j, а не k = (/ + / ) / 2 , для того чтобы индексы наверняка являлись целыми числами; конкретные величины индексов не важны, так как они служат только для упорядочения данных.) Сдвиг, который максимизирует функцию взаимной корреляции, создает оптимальное выравнивание двух трасс (пары), и величина функции взаимной корреляции указывает количественно, какое именно улучшение создает такой сдвиг. Данные ОГТ образуют многочисленные комбинации трасс, которые имеют некоторые общие неизвестные Rii Sjy Li+j или Mi+j. Поскольку мы можем найти функцию взаимной корреляции любых двух трасс, то мы имеем большее количество относительных сдвигов, чем неизвестных, т. е. имеем «переопределение» системы уравнений. Однако в наших измерениях заключена неопределенность, из-за которой стороны каждого из соотношений (8.68) отличаются на некоторую «ошибку». Решение для Ri9 Siy Li+iy Mi+j обычно находят методом наименьших квадратов, иногда способом итераций.
Суть метода наименьших квадратов состоит в том, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок
E= I e l = Z {tij-tmn-Ri
+ Rm- S7 + Sn-L|+/
+
+ Lm+n — Mi + ! (/ — if + Mm+n (n — mf}2 = минимум. (8.70
Нужно решить (870) для наилучшей последовательности R^
Sjy Li+j, Mi+j. Решение методом наименьших квадратов нахо-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
дится приравниванием к нулю производчои по искомым параметрам
JdR^t = иO'
dJSLf s s a 0
-dJLt^+-i = O1
dMi+j = 0.
*(8.71*)
Это приводит к большому числу уравнений, поскольку существует столько Ri1 сколько групп сейсмоприемников, столько Sf9 сколько источников, и т. д.
Нам не нужен полный временной сдвиг. Один путь решения заключается в том, чтобы потребовать Z ^ t = O и S 5/ = 0. Танер и др. [161] достигли этого, прибавив дополнительные уравнения и видоизменив (8.70). Они записали
+
I i
Z/ S21+
Z^?+/+ Z м?+/} =
i+i
i+i J
минимум,
Л>0,
(8.72)
где X— весовой коэффициент, выражающий относительное значение, которое придается последней части уравнения (см. [27]). Уравнение (8.72) имеет единственное решение при любом X. Для достижения заданной точности его часто решают итеративным способом.
На некоторые переменные в (8.79) часто налагают дополнит е л ь н ы е условия. Часть неоднозначности между L1+/ и Ri или Sj можно устранить, ограничивая L/+/ малыми значениями. Можно постулировать соотношение между Ri и S/, например принять, что величины статической поправки приемника и источника для одной и той же точки наблюдения должны быть сходны, особенно при использовании поверхностных источников.
Танер и др. [161] показали, что решения (8.72) содержат пять произвольных постоянных, которые характеризуют существенные неопределенности, часть которых обусловлена а) полным временным сдвигом по всему разрезу, т. е. все отражения слишком мелкие или слишком глубокие; б) общим наклоном разреза, который может образовать фиктивную структуру, и в) маскировкой реальной структуры, т.е. структура проявляется при коррекции статических поправок, и наоборот.
Взаимная корреляция может привести к неопределенности при сдвигах на один или более периодов, т. е. согласованность между двумя трассами может быть почти такой же, если трассы передвинуть на период. Обычно минимальный сдвиг трассы является предпочтительным сдвигом, но изредка он вызывает перескок на период.
Из общих представлений о функции взаимной корреляции вытекает тот факт, что наилучшее согласование трасс приводит
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 101
к наилучшему согласованию однократных отражений. Иногда другие виды энергии настолько сильны, что определяемая коррекция оптимизирует выравнивание осей не отраженных волн, а волн другого происхождения. Поскольку функция взаимной корреляции рассчитывается для некоторого окна, наилучшее решение должно достигаться в наиболее узком окне, так чтобы исключить очевидный шум. Однако, если окно сделать слишком узким, выравнивание будет проявляться, даже если не существует полезных отражений. Окно должно включать по возможности наибольшее количество однократных отражений и одновременно исключать всю оставшуюся энергию, не связанную с ними.
Уравнения (8.69), (8.70) и (8.72) плюс другие уравнения, которые выражают дополнительные условия, можно записать в матричной форме (§ 10.1.5) как
#^-^==8,
(8.73)
где BB — матрица коэффициентов и весовых факторов А,; ©£ — матрица неизвестных Riy Sji L/+/, М щ \ I f — матрица временных сдвигов t i \ t m n плюс другие значения для дополнительных условий; г — матрица ошибок. Решение имеет вид
ef =
(8.74, 10.44)
в) Максимизация мощности суммарной трассы. В другом подходе предполагается, что оптимальной коррекцией статических поправок является та, которая максимизирует мощность суммарной трассы. Соотношение для временного сдвига, подобное (8.69), обеспечивает отправную точку, причем параметры Rif Sj1 Lky Mk рассматриваются как независимые переменные хп. Соответствующие трассы суммируются, и определяется квадрат амплитуд (пропорциональный мощности Р). Для каждой переменной определяется величина, на которую изменяется мощность при изменениях каждой переменной, т. е. (дР/дхп)Axni и Axn выбирается таким образом, чтобы P увеличивалось. Этот метод «наискорейшего подъема» и другие подобные методы используются во многих методах цифровой обработки. В практической работе встречаются две задачи: 1) как найти искомый максимум, если существует несколько максимумов, и 2) как получить максимум с наименьшим количеством вычислений.
Чтобы решить первую задачу, предположим, что первая оценка находится на склоне искомого максимума (сейсмические данные полупериодические и соседние максимумы обычно соответствуют сдвигу на период). Иногда ищут и другие максимумы, чтобы определить, который из них наибольший. По другому способу первое решение находится после того, как отфильтровываются высокие частоты, так что максимумы становятся шире
в
г
Рис. 8.12. Улучшение данных благодаря автоматическому определению статических поправок. [С разрешения «Сейском дельта».] а — р а з р е з , в который введены статические поправки, определенные в поле; б — разрез со статическими поправками, найденными с помощью программы, учитывающей особенности верхней части разреза; в — анализ скоростей, использующий полевые статические поправ* ки; г — анализ скоростей после введения статических поправок, которые определялись по программе, учитывающей особенности верхней части разреза.
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 103
и число их уменьшается; затем уже в качестве исходной точки для решения задачи с неотфильтрованными данными берется это первое решение.
Идеальным решением второй задачи является достижение максимума в несколько шагов, не пропуская его. Размер шага часто связан с дР/дхп. Другой способ заключается в вычислении кривизны (или второй производной) с целью оценить, как далеко находится максимум. Чтобы свести к минимуму вычисления, задачи часто разделяют на части, ограничивая число переменных, которые рассматриваются одновременно.
Рис. 8.12 иллюстрирует улучшение качества данных, которое может достигаться в результате применения автоматической коррекции статических поправок. Часто наблюдается заметное улучшение.
8.2.3. Анализ скоростей
а) Традиционный анализ скоростей. При выводе формулы (3.7) описывалось изменение нормального кинематического сдвига в зависимости от скорости и времени вступления волны. Для нахождения скорости используется несколько способов определения изменений нормальных кинематических сдвигов при изменении времени регистрации [31, 57, 136, 158]. Большинство понимает под скоростью ОГТ (Когт) ту величину, которая обеспечивает оптимальное суммирование и описана в § 7.3.3а, и рассматривает нормальные кинематические сдвиги в соответствии с удалениями исследуемых трасс как функцию времен вступления волн, а затем оценивают когерентность (степень сходства) всех имеющихся трасс, участвующих в суммировании. Когерентность можно измерить несколькими способами, некоторые из них описаны в § 8.1.3е (см. формулы (8.50) и (8.51)). После этого принимается другая скорость для суммирования и вычисления повторяются, и так делается до тех пор, пока когерентность не будет определена как функция двух переменных: скорости Когт и времени вступления волны. (Иногда переменной служит нормальный кинематический сдвиг, а не Уогт.)
Фрагмент представления анализа скоростей показан на рис. 8.13. Это пример надежных результатов анализа, так как в нем был использован исходный материал хорошего качества (рис. 8.13, а ) . Максимумы спектров скорости соответствуют отражениям. Положения максимумов на рис. 8.13,6 определяют значения скорости (или нормальных кинематических сдвигов), которые следует принять для оптимизации суммирования (по-
It 500
10 500
<u 9500
•%в- 8500
£ 7500
Ь?
6500
5500
4500
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
105
тому Уогт иногда называют скоростью суммирования). Многократные волны так же, как и однократные, в свою очередь образуют максимумы, и в связи с этим результаты анализа нужно проинтерпретировать с целью определить наилучшие значения, которые будут использованы для суммирования данных. Во многих районах, где скорость увеличивается с глубиной более или менее монотонно, предполагается, что максимумы, связанные с наиболее высокими разумными значениями скоростей, принятых при суммировании, соответствуют однократным отражениям, а максимумы, связанные с более низкими скоростями, можно отнести за счет многократных отражений. В других районах эти соотношения не столь очевидны, и даже там, где скорости изменяются согласно определенному закону, могут встречаться сложности.
Приходится идти на компромисс между использованием небольшого количества данных, относящихся к конкретной короткой базе, — в этом случае результат анализа скоростей не будет устойчивым, и использованием большого количества данных, распределенных на больших базах, — тогда скорости будут определены лучше, но их величины будут представлять собой результат осреднения по значительным расстояниям. Компромисс часто состоит в использовании данных для 5—7 соседних срединных точек. Обычно скорости определяют на основе всей информации, заключенной в пределах временного окна (длительность которого часто 50—100 мс), что позволяет увеличить объем данных и, следовательно, найти скорости с более высокой точностью.
Анализ скоростей требует значительного объема вычислений, и, следовательно, его выполнение обходится довольно дорого. Поэтому сечения скоростного анализа, как правило, располагаются лишь через каждые 1—5 км вдоль профиля. Результаты его часто выводят на графики в том же временном масштабе, что и сейсмический разрез, благодаря чему времена и выбран-
Рис. 8.13. Анализ скоростей. [С разрешения «Петти-Рэй джеофизикал»/| а — выборка записей по общей глубинной точке, — данные, включенные в анализ; б — спектры скоростей, полученные по суммарным записям (максимумы указывают наиболее сильные отражения); в — амплитуда суммарной записи как функция скорости, принятой при суммировании ( V q f t ) на 100-мс интервалах /0 (точками отмечены скорости, дающие максимальную амплитуду). Скорости ОГТ увеличиваются с глубиной примерно от 5000 фут/с на времени 0,6 с до 7700 фут/с на 3,3 с. Волны в интервале времен 2,7 — 3,9 с, имеющие скорости порядка 6600 фут/с, несомненно являются многократными отражениями от резких границ, соответствующих однократным на временах 1,9—2,1 с. Вероятно, имеется несколько однократных отражений на временах ниже 3,3 с. 1 фут = 0,30 м,
Sfi 8. Цифровая обработка данных
ные скорости на них легко увязать с отражениями на сейсмическом разрезе путем наложения разреза.
Точность, с которой можно измерить времена вступления при анализе скоростей, составляет обычно ± 1 0 мс, а скорости — ± 5 0 . м/с, но реальная точность нередко меньше. В промежуточных точках и промежуточных интервалах значения скоростей
0,0 I Jf I jIf. T . f Л ? . Л . T I V , t I i T , V l l P i V 0,0
2000фугл/с
€.0
6.0
Рис. 8.14. Скорости У о г т вдоль сейсмического профиля. Значения интерполированы ЭВМ по осям синфазности, показанным черточками. [С разрешения «Сейском дельта».]
находят путем интерполяции. Иногда максимумы на диаграмме скоростного анализа4, которые слабо выражены вследствие выского уровня помех или несистематичности данных анализа (не всегда прослеживаются одни и те же отражения), могут привести к ошибочному выбору скорости суммирования, особенно в тех случаях, когда значения скоростей интерполируют дважды (часто скорости между максимумами интерполируют линейно, а затем на их основе производят интерполяцию скоростей для трасс, расположенных между сечениями Анализа). На рис. 8.14 представлены графики интерполированных значений, которые обеспечивают хороший контроль за изменением скоростей вдоль профиля.
б) Монтаж по набору скоростей. Монтаж данных по набору скоростей (рис. 8.15) обеспечивает еще один способ представ-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
107
ления результатов суммирования с перебором скоростей. Результаты обработки представляют для каждого значения скорости. при котором проведено суммирование. В центральных
Рис. 8.15. Монтаж данных по перебору скоростей. Разрезы д н е представляют собой выборки ОГТ для априорных значений ^orr- Д л я разреза е был применен мьютинг. Разрезы а — г иллюстрируют результаты сканирования скоростей в сторону уменьшения с шагом NTS^ОГТ' я = 4' 3, 2, 1; A V o r x часто равно 200—500 фут/с. Р а з р е зы ж — к демонстрируют результаты увеличения скорости на n A V o r T [С разрешения «Сейском дельта».]
двух разрезах (рис. 8.15, <?,£) используются приближенные скоростные функции (например, такие, которые получаются из анализа, представленного на рис. 8.13); набор разрезов влево от них получен в результате сканирования по скоростям в сторону меньших значений, а набор разрезов вправо от них — в сторону возрастания скоростей. Такой набор временных разрезов дает представление о том, в каком случае (при увеличении или при уменьшении скорости) будут усиливаться отдельные отражения^
Поскольку скорость, принятая при суммировании, не всегда есть однозначная функция (рис. 8.16), то для оптимального выделения различных отражений могут потребоваться различные скорости. Набор временных разрезов по скоростям часто рас-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
сматривается как способ контроля при интерпретации результатов скоростного анализа того типа, который показан на рис. 8.13.
Главная цель анализа скоростей состоит в том, чтобы установить величину нормального кинематического сдвига, которую следует ввести для того, чтобы максимизировать интенсивность суммарного отражения, соответствующего однократной волне. Такая операция не всегда оптимизирует отношение энергий однократной и многократной отраженных волн, и суммарные
записи в отдельных случаях могут оказаться лучшими по отношению к волнам, отождествленным с многократными. Однако это происходит не часто. Дополнительная цель анализа скоростей — изучение литологии.
Рис. 8.16. Иллюстрация различных 8.2.4. Сохранение информации
значений скорости для одного и того же времени
об амплитудах
вступления волны; отражения от точек B w C могут
Амплитуда отражения зависит
достичь пункта А в одно и от перепада акустической же-
то же время, но скорости распространения волн по этим двум траекториям могут различаться.
сткости на отражающей границе. Однако некоторые дополнительные факторы, перечисленные на рис. 8.17, часто
маскируют информацию о перепаде акустической жесткости.
Траектория сейсмического луча может быть рассчитана и скор-
ректирована с учетом кривизны и влияния сферического рас-
хождения. Усиление регистрирующей аппаратуры обычно изве-
стно. Направленность группы не будет сильно влиять на ампли-
туду отражений в случае небольших углов наклона, и вариации
коэффициентов отражения в зависимости от угла наклона не-
значительны, исключая большие удаления. Влияние кривизны
отражающей границы может быть скорректировано миграцией
(§ 8.3).
Тем не менее амплитуды отражений сохраняют остаточные
изменения, связанные главным образом с явлениями двух ви-
дов: 1) с потерями энергии в результате поглощения, рассеяния,
прохождения границ и многократных отражений в тонких слоях;
2) с изменениями мощности и условий согласования источника
с грунтом, чувствительности и условий согласования сейсмопри-
емников с грунтом, а также величины удаления. Те остаточные
изменения, которые связаны с первой группой явлений, трудны
для определения, но они незначительно изменяются вдоль про-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
109
филя и потому могут не оказывать существенного влияния на латеральные изменения. Высокая кратность данных ОГТ позволяет оценить величину остаточных изменений, связанных со второй группой явлений, способом, сходным с тем, который используется для определения временных задержек в программах
Шум, накладывающийся на сигналы
Чувс те и тель ность и условия установки сеисмоприемника
Идентичность приемного тракта
Мощность источника и условия возбуждения
Сферическое расхождение
Интерференция различных отражений
Диаграмма направленности
группы
Рассеяние
Потери на 'Многократные отражении в тонких слоях J'
Поглощение
прохождение
Кривизна и шероховатость ^ отражающей границы Изменение коэффициента отражения с углом падения волн
Рис. 8.17. Факторы, влияющие на амплитуду [141].
автоматической коррекции статических поправок (§ 8.2.2 и [159]).
Стандартный способ обработки устанавливает амплитуду в несколько этапов. После того как производится первая коррекция амплитуд непосредственно при регистрации, вводится зависящая от времени поправка за сферическое расхождение. Такая коррекция делает диапазон значений амплитуд меньшим и потому более удобным для обработки, но не учитывает влияния изменений скорости при сферическом расхождении. Эти виды коррекции производят «предварительную регулировку усиления» и входят в этап редактирования (см. рис. 8.36). Анализ амплитуд, учитывающий особенности верхней части разреза, и (или) коррекция их осуществляются затем в течение одного или более этапов обработки на стадии «основной обработки». После того как определены скорости, изменяют поправку за сферическое расхождение с учетом скоростной зависимости, так чтобы она зависела не от времени пробега, а от расстояния. Иногда дополнительно применяют произвольное экспоненциальное усиление для того, чтобы уменьшить диапазон изменений амплитуд и сделать его более удобным для пред-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
ставления результатов. Иногда описанную выше постепенную регулировку амплитуд просто заменяют произвольной функцией усиления.
8.2.5. Суммирование но методу общей глубинной точки а) Выборка трасс с общей глубинной точкой. Наиболее важным приемом цифровой обработки сейсмических данных с целью улучшения качества временных разрезов является суммирова-
Рис. 8.18. Лучевое построение, показывающее перемещение отражающих точек вверх по восстанию с возрастанием величины удаления [157].
ние по методу общей глубинной точки (ОГТ). Полевая методика и основные принципы, используемые для получения данных, уже были описаны ранее. Трассы, участвующие в суммировании, могут выбираться по определенному принципу: в случае выборки по общей глубинной точке (см. рис. 8.15) собирают такие трассы, которые имеют одинаковые срединные точки: трассы выборки по общему удалению характеризуются одинаковым расстоянием источник — приемник. Для наклонных границ точки отражения на трассах выборки по общей глубинной точке не будут одними и теми же (рис. 8.18), даже если срединные точки между пунктом взрыва и сейсмоприемником совпадают (см. также рис. 3.21). Суммирование по методу ОГТ для отражений от наклонных границ приводит к осреднению отражающих точек. Кроме того, из-за наклона границы многократные волны разделяются на две группы: одна с более высокими кажущимися скоростями, чем скорости, с которыми проводится суммирование при нулевом наклоне, а другая — с более низкими [90]; следовательно, процедура суммирования будет из-
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 11!
менять характер тех отражений, которые содержат заметную анергию многократных отражений в тонких слоях.
б) Мьютинг. Высокоамплитудные первые вступления, а также преломленные волны, следующие за первыми вступлениями, обычно настолько интенсивны, что их необходимо исключить из процедуры суммирования во избежание ухудшения качества информации, полученной от неглубоких отражений. Этой цеди служит операция, называемая «мьютинг» и производящая обнуление значений записи на заданном участке трассы. Рис. 8.15, е иллюстрирует результат обнуления участка временного разреза, показанного на рис. 8.15,5, в интервале времен, соответствующих временам первых вступлений и последующих интенсивных волновых пакетов. Таким образом, кратность суммирования увеличивается постепенно: самым неглубоким отражениям соответствует двукратная суммарная запись, более глубоким — четырехкратная и т. д. до тех пор, пока интервал обнуления не выйдет за пределы наиболее удаленных сейсмоприемников и не будет достигнута полная кратность суммирования. Чтобы избежать резкого изменения амплитуд, связанного с изменением кратности суммирования, амплитуду обычно делят на число трасс, которые участвуют в суммировании.
Записи трасс, полученные вблизи пункта взрыва, иногда характеризуются высоким уровнем помех, создаваемых взрывом (шум, вызванный осцилляциями и выбросом газа при взрыве, а также выбросами материала из скважины, воздушной или поверхностной волнами). К таким трассам можно применить мьютинг, начиная с определенного момента времени. Иногда можно также обнулить клинообразный участок данных, пересекающий выборку трасс (например, участки с преобладанием поверхностных волн), хотя чаще в таких случаях используют фильтрацию по кажущимся скоростям (§ 8.2.7).
в) Суммирование с весовыми коэффициентами. Операции, применяемые при цифровой обработке, чаще всего не так сложны, как предполагается математическим аппаратом, описанным на предыдущих страницах. Некоторые из этих процедур (такие, как операция мьютинг) просто исключают определенную часть записи. Почти всегда лучше отбросить ту часть записи, которая характеризуется высоким уровнем помех, чем включать ее в обработку, основываясь на теории, что влияние помехи будет потом осреднено. Очень сложные приемы обработки не используют, так как их можно заменить простым визуальным анализом записи и отбраковкой тех участков, на которых преобладают помехи.
Суммирование с весовыми коэффициентами —еще один способ повышения качества сейсмической информации путем ис-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
ключения помех. В районах с высоким уровнем помех, например в городах, на записях часто появляются всплески высокоамплитудного шума, в то время как на других участках записи относительно слабо искажены помехами. В этом случае величина амплитуды может служить признаком для выделения тех интервалов записи, которые следует исключить из рассмотрения. Так, можно потребовать исключения всех тех интервалов записи, где амплитуда превышает заданный порог, или следует использовать некоторый вид взвешенного суммирования. Такие участки разрастания шума часто располагаются случайным образом на повторных записях, поэтому синфазное суммирование трасс после введения весовой функции приводит к образованию записи, свободной от шума.
8.2.6. Суммирование по способу «Симплэн»
Хотя изредка применяют протяженные группы источников, в большинстве случаев источники по существу являются точечными, а порождаемые ими волны, следовательно, — сферическими или почти сферическими. Альтернативой суммированию сферических волн по методу ОГТ иногда выступает использование записей для построения разрезов, которые могли бы получаться в случае возбуждения плоских или цилиндрических волн. Такие разрезы называют разрезами «Симплэн» [155].
В процедуре формирования разреза «Симплэн» используются принципы взаимности (§ 3.3.3) и суперпозиции (§ 10.5.1). Сумма выходных сигналов сейсмоприемников для ряда точечных источников, расположенных вдоль профиля, имитирует выходной сигнал от линейного источника, т. е. цилиндрическую волну. На рис. 8.19 приведены записи, полученные с симметричной расстановкой, и трасса «Симплэн», которая образуется в результате простого суммирования без учета кинематических поправок. Отметим, что наклонные отражающие границы дают на трассе «Симплэн» полный амплитудный отклик, даже когда фронт волны не параллелен им. Только те трассы выборки, которые лежат внутри первой зоны Френеля, действительно участвуют в образовании трасс «Симплэн», так что отражения от наклонных границ не испытывают ослабления в том случае, если угол наклона границы не будет настолько большим, что первая зона Френеля выходит за пределы трасс, включенных в суммирование. По мере того как время вступления волны увеличивается, первая зона Френеля включает все большее количество трасс, и скорость затухания амплитуд на трассе «Симплэн» меньше, чем на трассах выборки ОГТ. (это следует из того, что в трассу «Симплэн» входит цилиндрическое расхождение, а не сферическое). Для формирования трасс «Симплэн» в
Рис. 8.19. Синтетическая выборка трасс по общему пункту взрыва и трасса «Симплэн». [С разрешения «Сейском дельта».] а — в ы б о р к а , показывающая отражения, симметричные относительно трассы х =» г= —2n sin где I — угол наклона, h — расстояние до отражающей границы, как на рис. 3.2; б — трасса «Симплэн», образующаяся в результате суммирования всех трасс; в формировании импульсов участвует по существу только первая зона Френеля,
Sfi 8. Цифровая обработка данных
равной степени могут использоваться как трассы выборки по ОП, так и по ОПВ. Используемые стандартные расстояния между центрами групп и диапазон удалений обеспечивают достаточные условия для избежания нежелательных краевых эффектов.
Трассы симметричной расстановки и «Симплэн» можно сформировать из записей фланговой расстановки. Отметим, что на
Координаты приемников
сэ
ат: -
S Одщив £ источники
1
^
? 5W
Трассы, которые должны быть сформированы
Взаимные положения источника и приемника
Линия общих приемников
Рис. 8.20. Взаимная связь между трассами на поверхностной схеме суммирования. Трассы по одну сторону от линии нулевого удаления идентичны трассам, расположенным симметрично на противоположной стороне от этой линии.
поверхностной диаграмме (рис. 8.20) трасса
Sk) и трасса
(fk, $k+i) идентичны вследствие принципа взаимности. Таким образом, для того чтобы сформировать запись симметричной расстановки для удвоенного числа каналов, можно использовать записи фланговой расстановки, при этом выбирая соответствен-
но трассы ОПВ и ОП для двух половин симметричной расста-
новки. На рис. 8.21 показано 96 трасс записи симметричной
расстановки, полученных из 48 трасс фланговой записи. Сумма
этих 96 трасс образует одну трассу «Симплэн». Разрезы «Симплэн» содержат все однократные, многократ-
ные и дифрагированные волны без смещения амплитуд и искажения формы импульса, в то время как суммирование ОГТ с правильной коррекцией кинематических поправок подчеркивает однократные отражения на фоне многократных и дифрагиро-
ванных. Обычно до проведения деконволюции разрезы «Сим-
плэн» характеризуются меньшим отношением сигнал/шум, чем
разрезы ОГТ, так как многократные волны на них не ослаблены суммированием. Мы называем разрез «Симплэн» «физически
Рис. 8.21. Запись симметричном расстановки с 96 трассами, сформированными из 48 трасс фланговой записи. [С разрешения «Сейском дельта» ]
Sfi 8. Цифровая обработка данных
реализуемым», так как его можно было бы реально получить (но при очень больших затратах) с помощью довольно длинной группы источников, способной образовать цилиндрическую волну и сформировать трассу «Симплэн». С другой стороны, существующие системы расположения источников и приемников не позволяют сформировать трассу ОГТ без обращения к стадии нелинейной обработки, связанной с введением кинематических поправок. Предсказывающая деконволюция (и большинство процедур обработки) подразумевает физическую реализуемость процесса и потому с большим успехом выполняется на разрезах «Симплэн», чем ОГТ, т. е. амплитуды и форма однократных волн и связанных с ними многократных более точно согласуются с предположениями предсказывающей деконволюции.
Сдвигая трассы на величину, пропорциональную их положению, мы можем по существу «излучать» волну в произвольном направлении (направленное излучение); фронт волны от линейного источника в этом случае имеет коническую форму. Кажущийся наклон границы изменяется при направленном излучении фронта волны, но трассы «Симплэн» можно сдвигать по времени для компенсации этого эффекта. Положение отражений после такой компенсации не зависит от того, в каком направлении фронт волны был излучен, хотя величина амплитуды зависит. Если построить несколько разрезов «Симплэн» путем излучения в различных направлениях, произвести миграцию каждого из них и затем суммирование, то в результате получим улучшенное отношение сигнал/помеха без осреднения точек отражения.
8.2.7. Фильтрация по кажущимся скоростям (двумерная)
Этот метод, называемый еще веерной фильтрацией или фильтрацией по приращениям [46, 170], по причинам, которые вскоре станут ясны, зависит от кажущейся скорости сигнала (определяемой по формуле (3.13)), с которой он подходит к группе сейсмоприемников. Используя формулы (2.48) и (3.13), мы можем определить кажущееся волновое число ха, которое связано с кажущейся скоростью Va уравнением
Va = to/*a = 2jtv/xa.
(8.75)
При фиксированном значении Va график зависимости частоты от волнового числа представляет собой прямую линию. Для сейсмической расстановки вдоль оси х величина ха принимает положительные или отрицательные значения в зависимости от того, в положительном или отрицательном направлении распространяется волна, характеризуемая скоростью Va\ для сигнала, движущегося вертикально, Va = оо и график (v, ка) совпадает
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха 117
с осью v. Для большинства отраженных сигналов значение Va > Vmi некоторого минимального значения кажущейся скорости, и, следовательно, отраженные сигналы лежат внутри относительно узкого лепестка веера, включающего ось v (рис. 8.22,67). Когерентная помеха характеризуется в общем более низкой скоростью Va, чем сигналы, и поэтому лежит вне диапазона сигналов на графике (v, ха).
Двумерные преобразования (§ 10.3.2) позволяют определить характеристику фильтра кажущихся скоростей
(8.76)
который будет пропускать сигнал, но подавлять шум (как показано на рис. 8.22, а). Такой фильтр, который пропускает узкую полосу в области (v, ха), называется «веерным» фильтром. Конечно, ни спектры сигнала и шума, ни характеристика фильтра не должны быть симметричны относительно оси v. Например, едва ли существуют когерентные волны, наклоненные влево на рис. 5.14, и также на рис. 5.15 распространение волн влево от оси v было бы лишено смысла. Фильтры по кажущимся скоростям, как правило, строят для подавления когерентных помех в заданном диапазоне скоростей, а не для пропускания сигналов. Такой фильтр называется «скоростным» фильтром, подавляющим некоторый диапазон кажущихся скоростей.
Точно так же, как при частоте дискретизации выше частоты Найквиста могут образоваться зеркальные частоты, если до дискретизации не применять фильтр подавления зеркальных частот, при значениях волнового числа, превосходящих волновое число Найквиста, нужна пространственная выборка данных (см. (8.27)). Единственный путь предотвратить эффект наложения зеркальных частот заключается в том, чтобы отфильтровать данные до дискретизации (что невозможно в случае пространственных выборок) или сместить значение частоты Найквиста путем выбора меньшего шага дискретизации. На рис. 8.22,6 показано, каким образом может формироваться шум в области сигнала в результате наложения зеркальных частот.
Фильтр в пространственно-временной области (х, t), эквивалентный фильтру, заданному (8.76), получается применением двумерного обратного преобразования Фурье (см. (10.95)):
/ (х9 0 =
(1/2jx) \ -кN
\
F (v, ка) е х р [/ (ках + 2 л v/)] d%a dv
+ Хдг +v.v
= (1/2я) \
\ cos (xax + 2nvt) dYsa dv,
~ viV
=
(8.77)
Sfi 8. Цифровая обработка данных
а
6
Рис. 8.22. Область частота — волновое число, а — веерный фильтр пропускает сигнал в полосе Ka = ±2nv/Vmy но исключает когерентную помеху; б — когерентная помеха проникает в полосу частот сигнала в результате возникновения зеркальных наложений.
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха
119
поскольку функция f(x, 0 должна быть действительной. Свертка f(xt t) с входной функцией (сигнал + помеха) g(x,t) дает выходной сигнал h{x, t):
h(x, t) = g{x, t)*f(x, O=
g(v> r ) f ( x - o , t-x)dodx.
J —oo J —oo
(8.78, 10.142)
Это уравнение можно также записать в цифровой форме
К л = E Z gm, nfx-m, t-n> m п
(8-79)
где шаг пространственной выборки соответствует расстоянию между трассами в направлении х, а шаг выборки по времени — в направлении t.
(*
о
Рис. 8.23. Пример фильтрации по кажущимся скоростям. [С разрешения «Сейском дельта».] а —два сейсмических разреза, показывающие распространение энергии в горизонтальном направлении; б — те же самые разрезы после применения фильтрации по кажущимся скоростям: отражения выделяются более четко и могут прослеживаться с большими удалениями, давая возможность определить V o r r .
Sfi 8. Цифровая обработка данных
Вместо преобразования двумерного фильтра во временную область и вычисления g(xy t)*f(x,t)y как мы делали в (8.35), мы можем трансформировать g(xy t) в область (v, иа), умножить G ( V y K a ) на F(VyKa) и, использовав двумерную теорему свертки (10.143), получить h(xyt).
Использование двумерной фильтрации для ослабления сильных поверхностных волн на выборке трасс по общему пункту взрыва иллюстрируется на рис. 8.23. Двумерная фильтрация уменьшает величину необходимого мьютинга, благодаря чему большая часть данных отраженных волн может использоваться при анализе скоростей и при суммировании, обеспечивая лучщее определение скорости для суммирования и лучшее ослабление многократных волн при суммировании.
8.2.8. Поляризационная фильтрация
В том случае, если мы располагаем данными, зарегистрированными с помощью трехкомпонентных сейсмоприемников, для вы-
а
6
Рис. 8.24. Использование поляризационной фильтрации для разделения головных волн P h S , распространяющихся в угольном пласте [101]. а — записи компонент, перпендикулярных и параллельных штольне, в которой были сделаны измерения; б — после поляризационной фильтрации и поворота вектора смещения подчеркиваются компоненты, перпендикулярные и параллельные направлению на источник.
деления отдельных колебаний можно использовать фазовые соотношения между компонентами. В методе поляризационной фильтрации производятся фазовые смещения, регулировка амплитуд компонент смещения и затем их комбинирование (суммирование). Поскольку существует систематическая зависимость между различными видами колебаний, и направлениями распространения волн, поляризационную фильтрацию можно
8.8. Процедуры миграционного преобразования
121
использовать для выделения и огбраковки отдельных видов волн, например поверхностной волны. Однако по данным на 1982 г. многокомпонентные сейсмоприемники не нашли еще широкого применения. Избирательность поляризационной фильтрации в случае изучения угольного пласта (§ 5.3.9) иллюстрирует рис. 8.24.
8.3. Процедуры миграционного преобразования
8.3.1. Введение
Сейсмическая запись на временных разрезах до проведения миграционного преобразования ориентирована относительно точки наблюдения. Миграционное преобразование (см. § 5.6.3) — это процедура перемещения элементов отраженных волн в истинные положения, соответствующие точкам отражения на границе или точкам дифракции. Уже на ранней стадии сейсмических исследований была признана необходимость производить миграцию с целью выявления структур, и самые первые результаты, полученные методом отраженных волн, были подвергнуты миграционному преобразованию в 1921 г. (рис. 1.3,6).
Метод миграционного преобразования основан на предпосылке, согласно которой все элементы наблюдаемого поля являются либо однократно-отраженными, либо дифрагированными волнами. Миграция помех, включая энергию, которая не распространяется по простым траекториям однократно-отраженных волн, приводит к бессмысленным результатам. Для проведения миграции необходимо иметь сведения о распределении скоростей, так как изменения скорости влияют на кривизну лучевых траекторий и, следовательно, на результаты миграции. Хотя миграцию можно распространить на три измерения, обычно предполагается, что угол наклона в плоскости, перпендикулярной линии профиля, равен нулю, что приводит к двумерной миграции. Это допущение иногда приводит к неполной миграции, но в процессе интерпретации все же легче иметь дело с недомигрированным разрезом, чем с немигрированным вовсе. Кроме того, информация об угле наклона вдоль простирания часто отсутствует, двумерная миграция значительно экономичнее, и результаты ее часто в достаточной мере отвечают требованиям интерпретации.
Простейший подход к осуществлению миграционного преобразования состоит в определении угла выхода волны и прослеживании траектории луча в обратном направлении к точке отражения на половинном времени пробега или в нахождении общей касательной к волновым фронтам на времени, равном
Sfi 8. Цифровая обработка данных
половине времени пробега. Эти методы широко использовались при выполнении миграции данных вручную. Методы машинной миграции в общем сводятся к решению волнового уравнения. При этом мы используем половину времени пробега, исходя из того, что каждая отражающая граница состоит как бы из элементарных точечных источников, как постулируется принципом Гюйгенса, и волновое поле возникает в момент t = 0 (модель «взрывающейся границы»). Если функцию ф(л:, г, с) рассматривать как вертикальный разрез, показывающий положение фронта волны в точке (х, г) в момент / = с, то немигрированный сейсмический разрез соответствует (л:, 0, /), тогда как мигрированный сейсмический разрез будет соответствовать г|э(л:, г, 0). Существуют различные пути решения волнового уравнения для получения г|)(х, г, 0), в том числе: а) интегральные методы, основанные на уравнении Кирхгофа (§ 8.3.2), где интегрирование ведется по таким элементам в немигрированном пространстве, которые вносят вклад в один элемент мигрированного пространства; б) методы, основанные на решении в пространстве частота — волновое число (§ 8.3.3), и в) решения скалярного волнового уравнения методом конечных разностей (§ 8.3.4), в которых выполняется обратное прослеживание сейсмических волн типа продолжения поля в нижнее полупространство.
Методы, описанные в следующих разделах, позволяют выполнить полную миграцию волнового поля. Они требуют большого объема вычислений, и поэтому для их применения необходимо иметь ЭВМ.
8.3.2. Миграция методом дифракционного суммирования
Миграционное преобразование способом дифракционного суммирования основано на идее Хагедорна [65]. Мы полагаем скорость V постоянной и преобразуем времена вступления в соответствующие расстояния, умножая их на V/2. На рис. 8.25, а показан ряд источников, совмещенных с приемниками, S0,"Si и т. д. Отражающая граница с углом наклона £ проходит через точку P на глубине г0, где отрезок S0P перпендикулярен к отражающей границе. Если мы опишем дуги из центров S0, Si и т. д. радиусами, равными расстояниям до отражающей границы, то определим прямую линию MN, определяющую положение отражающей границы на немигрированном глубинном разрезе. Если предположить, что Р — точка дифракции, то время вступления дифрагированной волны будет соответствовать расстояниям PSoi PS\ и т. д. Хагедорн назвал немигрированную дифракционную кривую (годограф дифрагированных волн) PMR кривой максимальной кривизны, так как другого отражения с глубины
8.3. Процедуры миграционного преобразования
123
О
So Sf
S3 S^
Участок фронта, проходящий через
Совмещенные источник - приемник
Отражающая площадка ~
Рис. 8.25. Пересечение волновых фронтов и годографов дифрагированных волн в немигрированном и мигрированном положениях, а — немигрированное отражение MN мигрирует в положение отражающей границы PQ; б — связь между волновым фронтом и дифракционной кривой [65].
го, которое имело бы большую кривизну, не существует (см. рис. 4.18, а). Дифракционная кривая является гиперболой с вершиной в точке Pt а немигрированное положение отражающей границы соответствует касательной к ней в точке M (см. задачу 8.19).
Для выполнения миграционного преобразования нужно построить дифракционные кривые для каждой глубины и перемещать их вдоль немнгрированного разреза (располагая вершину в сторону нулевой глубины) до тех пор, пока отражающая площадка не составит касательную к. одной из кривых. На соот-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
ветствующем мигрированием разрезе отражающая граница будет располагаться в вершине дифракционной кривой; она будет касательной к волновому фронту, проходящему через точку касания отражающей площадки дифракционной кривой (рис. 8.25,6). Принцип построения не меняется, если скорость непостоянная и если разрезы, фронты волн и дифракционные кривые строить в масштабе времен, а не глубин.
При выполнении миграции способом дифракционного суммирования вычисляют дифракционные кривые для каждой точки мигрированного разреза. Амплитуды в каждой точке на немигрированном разрезе, расположенной на дифракционной кривой, пересекающей трассы, суммируют, получая значение амплитуды в точке на мигрированием разрезе. Если энергия приходит из точки, соответствующей вершине дифракционной кривой, тогда суммирование вдоль этой кривой даст значение, соответствующее приходу энергии из этой точки. Если существует только шум, то вероятность положительных и отрицательных значений амплитуд должна быть одинаковой вдоль дифракционной кривой, а сумма, следовательно, очень малой. Пример миграции показан на рис. 8.26.
При дифракционном суммировании каждый элемент немигрированного отражения по существу рассматривается как участок, порождающий дифракцию, т. е. отражающая граница рассматривается как последовательность близко расположенных дифрагирующих точек. Связь между точками, показанная на рис. 8.25,6, позволяет предполагать, что информация в каждой точке могла быть распределена вдоль фронта волны, проходящего через эту точку,, и, когда колебания для всех точек будут накладываться друг на друга, они усилятся там, где существуют отражающие границы. В противном случае положительные и отрицательные значения будут равновероятны, поэтому сумма будет малой величиной. Миграция методом суммирования вдоль волнового фронта дает результаты, идентичные методу дифракционного суммирования; единственное отличие заключается в том, что операции выполняются в другой последовательности. Миграция методом «общих касательных» [144] по существу представляет собой суммирование вдоль волнового фронта.
Более изящная формулировка метода дифракционного суммирования основана на интеграле Кирхгофа (см. 2.34) или (2.35); [135]). Этот подход представляет собой интегральный метод решения волнового уравнения в отличие от решения способом конечных разностей (обычно именуемого .«миграцией методом решения волнового уравнения») или решения волнового уравнения с помощью преобразования Фурье (обычно называемого «миграцией в частотной области»).
т
в
19
25
31
31
43
Рис. §.26. Миграция методом
дифракционного суммирования.
[С разрешения фирм AGIP и
«Вестерн джеофизикал».] а —
до миграции, б — после мигра-
ции. Многочисленные оси син-
фазности волн, отраженных от
складчатого фундамента, пере-
мещают с целью получить от-
носительно непрерывную отра-
жающую границу фундамента.
Более глубокие отражения, ве-
роятно, соответствующие мно-
гократным волнам, дифрагиро-
ванным от точек вне плоскости
профиля и другим типам волн,
не подчеркиваются в результа-
те миграции.
" I
Г
I
Sfi 8. Цифровая обработка данных
8.3.3. Миграция в пространстве частота — волновое число
Этот метод основан на преобразовании двумерного волнового уравнения (2.23), где ось л: направлена вдоль профиля, а ось z — вертикально вниз. Таким образом,
Используем (10.94) для того, чтобы выполнить трехмерное преобразование функции г|)(л:, г, /), и найдем
г|э(.X9 Zt /)<-> xPfajc,
со) =
SOO
п OO
Л OO
\ \ of (х9 Zi / ) е х р { — j ( n x x + Kj! + <b1)}dxdzdt.
OO J OO J OO
Уравнение (10.119) дает
-J^ ^ijyix)2 W (%х, х„ (0),
- 0 - ^ ( / ^ ) 2 ^ К - Иг. Ю).
Подставляя в (8.80), получим © 2 - V 2 ( и 2 + 0 = 0.
(8.81)
Возвращаясь к (8.80), выполним двумерное преобразование г|)(л;, г, t) относительно х и г и получим
SOO
Л OO
\
-ф (X9 Z9 О
OO J OO
ехр {— j (кхх + Kzz)) dx dz.
(8.82)
Если мы ограничим решение гармоническими волнами, то смо-
жем записать yVxz (**. HzO = xVxz К .
0) е-А*
(8.83)
(для проверки этого отношения подставьте / = 0); первый мно-
житель справа является решением нашей задачи.
Чтобы найти Wxz(Kx9KziO)9 начнем с расчета преобразования зарегистрированных данных относительно х к t:
¥*<(**. a ^ = s C e e S l 0 ^ * ' О ехр { — + cot)}dxdt; беря обратное преобразование, получим
(8.84)
Ф (Xi 0, /) = (1/2jx)2 jГ-OO ГJ—OOЧ ^ (кХ9 о) ехр { / + ш/)} Ло. (8.85)
8.3. Процедуры миграционного преобразования
127
Из (8.82) и (8.83) имеем
1|>(*> г, О = (1/2*)2 Г J-OO
следовательно,
Г V¥X2(kx, J-OO
X X ехр {/ (х** + х2;г)}
г|>(х9 0, t) =
(1/2я)2 PJ
Pv
OO J-OO
0) ехр {/ (Xjc, * + со/)}GfxjcAfx2. (8.86)
Сравнивая • (8.85) с (8.86), мы видим, что Чгх^(кх,(й)(1(й — = xPxziKx' Kz> fydyt?, или
( х „ X2, 0) =
(XjcCD)^ = FVjc, , (Xjc, CD) {1 + ( х , / х Л - 1 / 2 ,
так как из (8.81) следует, что со равно V (и* + xl)1/2. Поскольку Y** (и*,©) известно из (8.84), то можно вычислить Ч ^ х * , х2, 0), а затем, сделав обратное преобразование, получить решение г|)(х, г, 0). Чан и Джесивиц [24] рассмотрели вопросы миграции в частотной области исходя из геометрических соображений.
Решение уравнения миграции зависит от скорости, но в описанном выше выводе принята постоянная скорость. Однако скорость обычно является функцией от 2. Чтобы получить разрез с практически постоянной скоростью, мы растягиваем временной масштаб, если даже скорость как функция времени различается для отражений, соответствующих различной величине угла наклона отражающей границы. Там, где изменение скорости с глубиной подчинено сложным законам, миграцию можно провести путем преобразования только относительно t и затем выполнить пересчет поля вниз в пространственно-частотной области (ху со). Можно также осуществить преобразование в область (х*, /).
8.3.4. Способ конечных разностей при решении волнового уравнения в задаче миграции
Основная идея миграции во временной области сводится к продолжению волнового поля вниз. Этот способ широко применяется при интерпретации гравиметрических и магнитных данных. Операция продолжения поля вниз использует свойство непрерывности поля, одно из следствий которого состоит в том, что при условии, если поле удовлетворяет уравнению Лапласа V2</> = 0, можно определить волновое поле на любом произвольном уровне,^ если известно его значение хотя бы на одной из поверхностей. Проявления особенностей строения среды расплываются по мере того, как расстояние от них увеличивается, и наоборот, стягиваются к местоположению этих, особенностей по мере приближения к ним. Если положить V = jVt и ограни-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
читься гармоническими волнами, то можно записать скалярное волновое уравнение (8.80) следующим образом:
дх2 + dz2
V2 dt2 — и — дх2 "Г dz2 ~г dt,2 =
Zt O = O.
Тем самым мы выражаем волновое уравнение в форме уравнения Лапласа. Нам известно волновое поле на земной поверхности Z = 0. Следовательно, наша задача сводится к тому, чтобы продолжить это поле в нижнее полупространство с целью определить, какую информацию зарегистрировали бы сейсмоприемники, если погрузить их на произвольную глубину. Мы будем пересчитывать поле в нижнее полупространство несколькими этапами, по существу постепенно опуская сейсмоприемники вниз по разрезу. На каждой глубине нам нужно получить четкую картину отражающих границ, лежащих непосредственно под приемниками. Таким образом, мы сохраняем эту часть продолженного вниз разреза на каждом этапе и объединяем верхние части их, получая в результате полный мигрированный разрез.
Пусть t будет временем прохождения волны в одном направлении (половина времени вступления волны для совмещенных источника — приемника). Плоская волна, подходящая к поверхности под углом, задается выражением
цг (Х> г, t) = A ехр {/со [/ - (x/V) sin 0 - (z/V) cos 0]}. (8.87)
Если мы ограничимся небольшими углами 0, то можем принять аппроксимацию s i n 0 « 0 и cos 0 ^ 1 — 0 2 / 2 . Тогда уравнение (8.87) примет вид
ф (jc, zt t) = A ехр {/(о (/ - xB/V - z/V + zd2/21/)}. (8.88)
Теперь определим новую временную шкалу как t* = t — z/V. Это изменение означает, что наша координатная система движется вместе с фронтом восходящей волны (см. задачу 8.20). Отсюда имеем
о|)*(х, г, /*) = Л е х р { / с о ( Г + zQ2,2V)}
(8.89)
и
дф __ dty* дГ дг|У
д2ф _ _ д2г|з*
dt
дГ dt
dt* ' dt2
dt*2 '
аф _ дф*
а2^ d2^*
дх
дх '
dx2 ~~
дф
dz ~
а2Ф дг2
дф* , дф* dt*_ _
dz + dt* dz
а у>* 2 д2$* дг2 ~~ V IteJr
дф* __ J l дЦ*
dz
V dt* '
. L V2 dt** '
8.3. Процедуры миграционного преобразования 129
Подстановка этих выражений дает новое волновое уравнение
д*г>д*г
в волновое уравнение 2 а ' У ___ft
(8.80) /Oq^
Для волн, которые распространяются почти вертикально вверх, изменение if>* относительно z незначительно в нашей движущейся координатной системе, поэтому мы опускаем член д2т$*/дг2. Это называется «15°-ной аппроксимацией», а пренебрежение данным слагаемым означает, что мы не в состоянии качественно провести миграцию на разрезах с крутыми углами наклона. Таким образом, получаем
&Г 2 аV _ п
Zftqn
(«45°-ная аппроксимация» дает уравнение [27, р. 196—202]
dx2dt*
2 дх2 Bz
V дхдГ2 ~~ ^
Если рассматривать if>* как трехмерную выборку (рис. 8.27, а )
дискретных отсчетов с интервалами Ал:, Дz и Д т о плоскость
2 = 0 будет соответствовать немигрированному временному раз-
резу (который является нашей исходной позицией), а диаго-
нальная плоскость t = t* — z/V—мигрированному
временному
разрезу (проекция этой диагональной плоскости на плоскость
/* = О будет также давать мигрированный глубинный разрез).
Аппроксимируем производные конечными разностями
Д2Ф* _ дх2
Ф* (х. ZJ **) — 2Ф* (х — AV, Г, Г) + Ф* (Л: Аде2
Г, Г) '
^ J r « {V (Xt Zt С) - V (xt z - Az, П - о|>* (JC1 г, f - АГ) +
+ V (X1 Z — Az, С — A/')}/Az А/*.
Уравнение (8.91) теперь имеет вид
гр \х, г, I ) — 2д22 _ у Дг I
Дг
-г
ф* (л:, г, - АГ) __ Уф* (л: - А*, г, Г) _
+
А г АГ
Zix2
г-Аг, Г-АГ)
AzAr
"I
Уф*
( х -2Д2 *A2 xt
г,
Г)) J'
,о I0
-0y0^ч
Оно связывает между собой шесть элементов выборки данных, как показано на рис. 8.27,6:
Vix9
f ) = a{Vix, z — Az, 0 + O 2 V i x t Z9
АГ) +
+
— Az, Г - Л П + К { М > * ( * - - А х , г, 0 +
+ asi|)*(jc —2Ах, г, Г)}-
г O.
Sfi 8. Цифровая обработка данных
Эту зависимость можно использовать для того, чтобы распространить трехмерную выборку значений в направлениях +X1 +Z1 +/*. И наша задача прежде всего состоит в том, чтобы получить такую выборку исходных данных, которую мы можем
Рис. 8.27. Взаимосвязь элементов в пространстве (х, г, /*). а — сейсмические
трассы на поверхности земли Z = O соответствуют немигрирован-
ному разрезу; разрезы на последующих уровнях пересчета показы-
вают, что зарегистрировали бы сейсмоприемники, погруженные на
глубины г; б — расчет значений
z, t*) во временной области;
в — таблица значений l F x (z, t*).
продолжить. Для отрицательных г будем иметь г|)* = 0, так как этот случай соответствует полю в воздухе выше поверхности земли. Если наши данные определены начиная с х = 0, то нам нужны значения поля г|э* при х = —А* и х = —2Длг, которые неизвестны. Тогда мы задаем эти начальные условия наугад, но оказывается, что ошибка в них не сильно^ влияет на решение, поэтому может быть получено устойчивое решение.
8.3. Процедуры миграционного преобразования
131
Существуют различные подходы вышеописанного метода аппроксимации производных. Некоторые из них позволяют получить весьма устойчивые алгоритмы и допускают проведение вычислений по довольно грубой сетке, которая, естественно, делает расчеты гораздо более экономичными. В одном из них берется преобразование Фурье относительно х:
Z9 t * ) ^ W x ( x X 9 г , О .
так что (8.91) принимает вид
9 *
2
^ - - V - d F d k = 0' т
(8-93)
Мы полагаем, что имеем таблицу значений Wx для дискретных
значений г, t*9 как иллюстрирует рис. 8.27, в; рассчитаем часть
таблицы с центром между значениями A9 B9 C9 D. Приближенное значение Х¥*х в этой точке равно lA (Л + В + С + D). Мы
можем аппроксимировать d2W*x/dzdt* выражением
/ D-C _ В — А \ 1 _ Л — B — C + D
I Аг
Az ) At* ~~
АгАГ * '
т. е. разностью разностей. Теперь запишем (8.93) в форме
111 1|| 111 -111 I l e - I 8+11]
e I l l|| ||l l|| | | e + 1 8 - 1 Г 0 ,
где e = l/sVKxkzM*. Квадратную рамку, разделенную на четыре секции, накладывают на таблицу значении г*? умножают на соответствующий коэффициент ( е + 1 ) и сумму приравнивают к нулю. Если нам известны три из четырех значений, то можно вычислить четвертое. Для начала снова надо сделать некоторое допущение о начальных значениях.
Самая верхняя поверхность на рис. 8.27, а, соответствующая немигрированному временному разрезу, наблюдаемому на поверхности земли, обеспечивает основу для вычисления временного разреза, который должен был бы наблюдаться на глубине z = Аг и т. д. Фактически мы вычисляем выходной сигнал сейсмоприемников, погруженных на глубину z = zu как наложение отфильтрованных выходных сигналов сейсмоприемников на кровлю пласта z = z\ — Аг и предварительно вычисленные значения выходных сигналов на поверхности пласта z\. Фильтры в основном осуществляют сдвиг фаз для того, чтобы обеспечить учет разности времен прихода волн между сейсмоприемником, расположенным непосредственно над погребенным сейсмоприемником, и сейсмоприемниками в соседних точках.
П р и ПрОДОЛЖеНИИ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ ВНИЗ ОТ Z — Z\ д о z =
= zi + Az используют пластовую скорость между z\ и Z\ + AZ9 так что учет вертикальных вариаций скорости при миграции во временной области происходит легко и напрямую. Скорость V
Sfi 8. Цифровая обработка данных
можно задать и как функцию от х, но это делают редко. В общем случае учет латеральных скоростных вариаций сводится
6
Рис. 8.28. Миграция методом конечных разностей. [С разрешения «ПраклаСейсмос».] а — немигрированный разрез; б — мигрированный разрез.
к проведению миграции с различными скоростями и последую-
щему объединению двух разрезов, т. е. =
-f-(1 — 6)\f>2> где
k изменяется линейно в области перехода, — тот же самый
прием используется в «переменной во времени» фильтрации.
Рис. 8.28 иллюстрирует пример мнграции временного разреза
путем решения волнового уравнения.
8.3. Процедуры миграционного преобразования
133
8.3.5. Другие соображения по проблеме миграции
а) Сравнение различных методов миграции. В предыдущих трех разделах мы рассмотрели три метода миграции упомянув, что иногда используются еще и другие методы). Практическое осуществление каждого метода связано с аппроксимациями и ограничениями, которые различным образом влияют на данные с разными характеристиками. Поэтому в каждом отдельном случае следует применять свой метод миграции, так как различные пути осуществления одного и того же метода могут привести к различным результатам. Выделяются следующие характерные особенности методов.
1) Миграция способом дифракционного суммирования: возможна при крутых углах падения отражающих границ, допускает взвешивание и мьютинг в соответствии с величиной угла наклона или когерентностью, апертура может изменяться явным образом, обычно не приспособлена для учета латеральных изменений скорости.
2) Миграция в области (v, к) : углы наклона ограничены лишь зеркальным наложением пространственных частот, трудно приспособить для учета латеральных изменений скорости, может применяться на специфических ограниченных площадях, часто является самым экономичным методом.
3) Миграция способом конечных разностей: возможна при углах наклона отражающих границ вплоть до 45° (или в одном из вариантов до 15°), дает меньший уровень миграционных помех, эффективна в районах с низким отношением сигнал/помеха, может учитывать латеральные изменения скоростей.
4) Миграция в области (v,х): по углам наклона ограничена только возникновением эффекта наложения зеркальных частот, часто это наиболее легкий метод глубинной миграции (§ 8.3.5в), поскольку скорость как функция глубины задается явным образом.
Следует понять один важный момент: миграция (почти любым способом), даже когда основные предположения сильно нарушаются, всегда приводит к результатам, более соответствующим истинной картине, чем та, которая имеется до миграции.
б) Разрешающая способность мигрированных разрезов. В § 4.3.2в было отмечено, что горизонтальная разрешающая способность сейсмических данных ограничена уровнем шумов и основными положениями метода миграции, а не размером зоны Френеля, как в случае немигрированных данных. Одно из основных допущений описанных выше методов миграции состоит в том, что разрезы рассматриваются только как отображения поля отраженных волн. Данные любого другого типа
Sfi 8. Цифровая обработка данных
8.3. Процедуры миграционного преобразования
135
I !к. •«. » >», «•> lIMf W г ъ •»""' • .1 :;«к j »|
•",1чY.","1иWч":. t'S->гЙ.,-„И.лИ•:•.•Ц.Л. • .J4'f*lfa• мчу Г * ""Ti1K«1f'KГ*11' 1 ^innsn,*' 1¾¾.'1:'!' ^'/,.,'iW*".1 ,V1.-.иV1I !»^i ,г. ,Iu1.1:,г-
—•^.'^гЧгI:•u,,PVtfVyyI1 fi,*,""'!„I1'"1; •<'' У'Ч,;,.:: «. \ . .L,-I1Ч '"I' .'\и
1>ИС. 8.29. Глубинная миграция [70]. а — немигриронанный временном разрез; б — результат миграции методом конечных разностей, вертикальный масштаб соответствует глубине; в — положение луча в слоистой среде, г — результат глубинной миграции, где масштаб глубин взят вдоль лучей.
Sfi 8. Цифровая обработка данных
(включая многократные волны) будут мигрироваться так, как будто они образованы энергией однократно-отраженных волн, и, следовательно, будут происходить перераспределение и наложение этих волн на мигрированное изображение отраженных границ. Шум на участках записи ограниченной протяженности, который легко распознается именно как шум на немигрированных разрезах, может размазываться на всю запись и понижать четкость изображения мигрированных отражающих границ. Например, шумовой выброс всего на одной трассе будет порождать полный фронт волны (иногда называемый «улыбкой») на мигрированном разрезе. Те записи, которые имеют составляющую угла наклона, перпендикулярную профилю, не будут мигрированы адекватно, что уменьшает разрешающую способность по горизонтали. Соображения, вызванные эффектом наложения зеркальных частот, ограничивают величину угла наклона при миграции. Разрешающую способность также снижает использование ограниченной апертуры миграции и аппроксимаций, применяемых в алгоритмах миграции. При хорошем качестве записи и надежных алгоритмах миграции иногда очень резко выявляются геологические особенности, например иногда можно выделить разломы с точностью шага между трассами. Однако суммарный эффект различных ограничивающих факторов еще больше снижает точность.
в) Глубинная миграция. Часто необходимо, чтобы миграционный разрез имел вертикальный масштаб, линейный по глубине, а не по времени. Чаще всего такие разрезы получают путем простого растягивания мигрированного временного разреза в соответствии с законом изменения скорости с глубиной (рис. 8.29,6). Однако там, где скорость существенно изменяется в горизонтальном направлении, сейсмический луч, изгибаясь, вносит дополнительные усложнения. Глубинная миграция [79, 88, 138] пытается учитывать такие ситуации.
Глубинная миграция иногда выполняется путем растягивания данных мигрирования по времени вдоль, траекторий сейсмических лучей в соответствии с некоторой скоростной моделью (рис. 8.29,в,г). Производят ее непосредственно в области (v,x). Очевидно, для проведения глубинной миграции требуется детально и точно знать распределение скоростей. К сожалению, такими сведениями часто не располагают в сложных в структурном отношении областях, где глубинная миграция наиболее необходима.
г) Миграция до суммирования. Большую часть сейсмической информации сейчас получают методом общей глубинной точки. Поскольку миграция — довольно дорогой процесс обработки, его обычно предваряют суммированием с целью уменьшить объем
8.3. Процедуры миграционного преобразования
137
информации, который будет подвержен миграции (уменьшение примерно пропорционально кратности суммирования). Однако суммирование наклонных осей синфазности приводит к осреднению отражающих точек (рис. 8.18), снижая качество данных и ослабляя дифрагированные волны, которые требуются для
х
а
Рис. 8.30. Иллюстрация трехмерной миграции. Данные, которые будут мигрированы в tо, находятся на гиперболоиде, которому соответствует скорость ОГТ Wi апертура будет включать круг с центром в tQ. В целях экономии машинного времени миграция часто проводится как двухэтапная операция, т. е. данные мигрируют вдоль профилей в направлении у, а затем эти промежуточные результаты мигрируют в направлении х. Цель этого состоит в том, чтобы взять треугольный элемент и мигрировать его в квадратный элемент при миграции в направлении у, а затем этот элемент передвигается в положение to при миграции в направлении х. Однако для миграции в направлении у лучше бы использовать скорость ОГ'Г V2, а не правильную скорость W Апертура миграции в направлении у такж е должна быть иной, т. е. она не будет симметричной относительно to, как было бы свойственно истинной трехмерной миграции, а — пространство (х, у, t) в изометрическом изображении; б — график скорости, используемой для суммирования, в зависимости от времени.
достижения полной миграции. Проведение миграции до суммирования почти всегда обеспечивает значительно лучшие результаты, но это обычно не делается из-за увеличения стоимости обработки.
В работах [77, 133, 134, 138] предполагаются разтичные схемы проведения миграции до суммирования, не требующие чрезмерных материальных затрат. Чаще всего формируют несколько суммарных разрезов, каждый из которых включает только очень ограниченный диапазон удалений, так что осреднение, образованное суммированием, незначительно влияет на каждый из них. Эти частичные суммарные разрезы затем по отдельности подвергают миграции и мигрированные результаты суммируют. Таким образом получаются полный суммарный разрез и полное ослабление шума без значительного осреднения отражающих точек и без особых материальных затрат.
E17V
Е17у
Рис. 8.31. Сопоставление результатов двух- и трехмерной миграции. [С разрешения «Вестерн д ж е о ф и з и к а л » . ] а и б — п р о ф и л и E 17 и N 1, преобразованные способом двумерной миграции; в и г — результаты применения трехмерной миграции. Данные получены на площади 6,4 X 3,2 км, а профили располагаются под прямым углом друг к другу.
8.3. Процедуры миграционного преобразования
139
NlV
8.3.6. Трехмерная миграция
По идее различные способы, используемые для двумерной миграции, могут быть распространены на случай трехмерной миграции. При двумерном дифракционном суммировании мы суммируем вдоль всех возможных дифракционных гипербол, в трехмерном случае мы суммируем по всем возможным гиперболоидам. При миграции в области (v, х) мы используем преобразование г|)(л:, г,
xF (х*, х2, со); в трехмерном случае имеем г|э(л:, у, г,
щ, kz, со). При конечноразностной миграции мы вычисляем новый разрез для каждого шага пересчета поля; в трехмерном варианте мы вычисляем данные в вершинах куба для каждого шага. Для выполнения трехмерной миграции требуется очень большой объем вычислений. Их можно реализовать на очень мощных ЭВМ, но при значительных материальных затратах.
Чаще всего трехмерную миграцию проводят в два этапа: вначале двумерную миграцию на профилях, проложенных в одном направлении, а затем двумерную миграцию уже мигрированных данных в перпендикулярном направлении. На рис. 8.30 показано, что ось дифрагированной волны от точки, лежащей в стороне
Sfi 8. Цифровая обработка данных
от сейсмического профиля, может быть мигрирована в вершину гиперболоида дифракции с помощью двухэтапной миграции. Такие схемы позволяют проводить миграцию данных в их правильные положения, если скорость постоянна, но они могут не сохранять амплитуды. Обычно диапазон данных, включаемых в миграцию («апертура миграции»), ограничен и при
Рис. 8.32. Миграция карты. Неми-
грированная
карта
(вверху) разбивается на
систему элементов, и из
каждого элемента вниз
проводится луч; направ-
ление луча определяется
значениями в углах со-
отвествующего элемен-
та. Поверхности равных
значений скорости (в се-
редине) подобным же
образом разбиваются на
элементы, и, когда луч
втречается с одним из
этих элементов, он от-
клоняется в соответ-
ствии с законом Снел-
лиуса. Координаты (х,
уу z) при соответствующих временах пробега
соединяются изолиния-
ми, образуя мигриро-
ванную карту.
двухэтапном подходе приводит к включению иного количества данных, чем было бы необходимо при сферической симметрии относительно точки дифракции. Иногда используется способ «расщепления»: трехмерный оператор аппроксимируют двумерными операторами, действующими во взаимно перпендикулярных направлениях, причем оба оператора применяют последовательно на каждом этапе пересчета поля в нижнее полупространство.
Если скорость непостоянна, то при миграции двухэтапным методом может быть использована ошибочная скорость (см. рис. 8.30). Форма гиперболоида дифракции определяется скоростью у вершины. Гипербола, образованная в боковом сечении гиперболоида, будет характеризоваться большим временем в вершине гиперболоида, следовательно, будет связана с большей скоростью (в обычном случае увеличения скорости с глубиной) и поэтому будет более пологой.
Рис. 8.33. Миграция карты. [С разрешения «Пракла-Сейсмос».] а — немигрированная карта, разделенная на квадратные элементы; б — м и г р и р о в а н и я карта, где показаны значения глубины для каждого элемента и изолинии этих значений.
Sfi 8. Цифровая обработка данных
Неточности, вызываемые трудностями выполнения трехмерной миграции, могут не превышать погрешности, связанные с аппроксимациями, используемыми в методах миграции, и с неточностью определения скоростей. Трехмерная миграция особенно необходима там, где район отличается сложным строением и где отмечаются скоростные неоднородности и латеральные градиенты скоростей. Сравнение результатов двух- и трехмерных миграций показано на рис. 8.31.
Миграция немигрированных карт изохрон [82] часто обеспечивает превосходный путь определения точных карт в изолиниях глубин. Обычно немигрированная поверхность на карте (последовательность выделенных осей синфазности отражений, отмеченная и оконтуренная), а также промежуточные поверхности равных значений скорости аппроксимируют сеткой небольших плоскостных элементов (рис. 8.32). Затем строят лучи, причем исходное направление на поверхности определяется положением элементов на немигрированной карте (которое дает угол подхода луча к поверхности); там, где лучи встречают промежуточные скоростные поверхности, они будут изгибаться в соответствии с законом Снеллиуса. В результате получают глубинную карту (рис. 8.33) с нерегулярной сеткой, поэтому ее перестраивают по другой сетке и проводят изолинии с помощью ЭВМ.
8.4. Другие приемы цифровой обработки
8.4.1. Автоматическое выделение отражений
Отражения можно выбирать и классифицировать автоматически, используя такие критерии когерентности, как мера сходства [13, 56, 109]. В любой точке на записи, где когерентность превышает определенное пороговое значение, можно выделить отражение; время вступления волны можно определить, изменяя положение задаваемого временного окна, для того чтобы максимизировать когерентность. Нормальный кинематический сдвиг и, следовательно, Von можно найти, изменяя нормальное приращение времени с тем, чтобы максимизировать когерентность. Аналогичным образом можно измерить угловой кинематический сдвиг. Качество отражений на записях можно устанавливать по какой-нибудь произвольной шкале. Размер участка внутри среды, в пределах которого когерентность сохраняется, можно включить в качестве одного из факторов при таких измерениях. По выделенным отражениям может быть автоматически проведена миграция и построен разрез в глубинном масштабе, как показано на рис. 8.34. Амплитуды и другие динамические параметры (§ 8.4.2) также можно измерить и обозначить или соеди-
8.4. Другие приемы цифровой обработки 143
нить изолиниями на разрезах или картах, что поможет при интерпретации.
Автоматическое выделение отражений можно распространить и на пересекающие сейсмические профили. Выделенные отражения можно автоматически отметить и на карте и провести изолинии. Таким образом, некоторую часть работы, обычно рассматриваемую цак «интерпретация», можно автоматизировать;
[108].
и результатом обработки могут стать глубинные карты, построенные по отражающим горизонтам. Однако в процессе обработки необходимо принять ряд решений. Так, следует точно определить критерии для выделения однократных и многократных отражений, для того чтобы решить, что делать в случае интерференции отражений или когда отражения прерываются и т. д. Программист должен заранее найти критерии для каждого из этих случаев. В противном случае, если он не предвидел необходимость иметь некоторые критерии или не определил их надлежащим образом, процесс обработки прервется. Ценность окончательного результата в значительной мере зависит от правильности принятых решений.
8.4.2. Комплексная трасса и специальный анализ параметров
Представим сейсмическую трассу в виде
£ (/) = Л (/)cos 2nvf,
(S.94j
Sfi 8. Цифровая обработка данных
где функция A(t) медленно изменяется относительно cos 2nvt\ A(t)— огибающая g(t). При A (t)= const преобразование Гильберта (§ 10.3.11) OTg-(Z) будет иметь вид
g± (t) = —А (0 sin 2яV/
(8.95)
(см. задачу 10.22а). Таким образом, мы можем сформировать комплексный сигнал h(t), где
h(t) = g (0 + jgL (/) = A (t) е-1'2™';
(8.96)
h(t) называется аналитической или комплексной трассой [14], g±(t)— квадратурной трассой g(t) (рис. 8.35). Если v не яв-
Рис. 8.35. Комплексная трасса, показанная в виде спирали переменной амплитуды в направлении оси времени. Проекция на действительную плоскость дает реальную сейсмическую трассу, а на мнимую плоскость — квадратурную трассу.
ляется константой, но изменяется медленно, то мы определим мгновенную частоту v,(/) как производную по времени от фазы следующим образом:
2 ^ W = ^ r r = 4г <2jlv/>-
(8-97)
A(t), у(0, v,-(t) и другие измеренные по сейсмическим данным величины называются динамическими параметрами.
Чтобы найти A(t)y y(t) и Vi(t), сформируем h(t) либо с помощью формулы (10.154), т. е.
OO
gL(t) = g(t)*( 1/я/) = (1/я) Z gt-n(*lnn-
/I = - O O
1)/п (8.98,10.154)
для дискретных функций (см. задачу 10.22в), либо с помощью (10.155). Во втором случае мы вычисляем преобразование
8.5. Процедуры цифровой обработки 145
Фурье от функции g(t), результат приравниваем к нулю д л я отрицательных частот, умножаем на два и затем обратным преобразованием получаем h(t). Поскольку A(t) вещественно и \ei2nvt\ = 1, мы видим, что
A(t) = \h(t) |,
•V (0 = 2яvt = arctg { g l (t)/g (/)},
Анализ комплексной трассы можно использовать при выполнении свертки, корреляции, определении меры сходства и других видах расчетов [162]; иногда это облегчает вычисления.
Динамические параметры иногда выявляют особенности разреза, которые не очевидны при иных методах анализа, особенно латеральные изменения вдоль напластования. Так, например, изменения параметров бывают связаны со стратиграфическими изменениями или углеводородными скоплениями (§ 9.7 и 9.8; см. [160]). Графики фаз позволяют выделить слабые когерентные отражения, а латеральное прерывание фазы облегчает выявление прекращения прослеживаемости отражений, например от разломов, при выклинивании пластов и т. д. Распределение мгновенных частот характеризует интерференционные явления, порождаемые близким расположением двух отражающих границ, и, таким образом, помогает провести корреляцию от профиля к профилю или через разломы.
8.5. Процедуры цифровой обработки
8.5.1. Стандартный граф обработки
а) Предварительный этап. Цифровая обработка сейсмических данных осуществляется в соответствии с заданной последовательностью выполнения процедур (рис. 8.36), которая изменяется в соответствии с особыми требованиями, предъявляемыми исходными данными.
За проведение обработки отвечает небольшая группа операторов. Они готовят конкретные инструкции, выбирают параметры обработки и контролируют качество результатов. Эта группа обязана знать цели обработки, для того чтобы принимать оптимальные решения. Обработка, оптимальная для одних задач, не оптимальна для других.
После того как получены полевые магнитные ленты, первый шаг при обработке на вычислительном центре состоит в том, чтобы проверить расположение данных на магнитной ленте. Эта
Sfi 8. Цифровая обработка данных
OdpadomKa
Проверка формата
Демультиплексирование Регулировка усиления
Корреляция для записей Виоросейса Выравнивание амплитуд волн Синфазное суммирование Переоцифровка
Другие виды редактирования
T
Спецификация геометрических данных Деконволюция **
Определение статических поправок Анализ амплитуд
Анализ скоростей
Мьютинг Суммирование Предсказывающая деконволюция Фильтрация
Повторение с упучшеннь1мu значениями
Ф .^vNs
Миграция OdpadomKa импульса
Анализ динамических параметров
QdgameHue сейсмических данных и т.д.
Входные данные
Твердые копии выходных данных
- Полевые магнитные ленты
• Считывиние
. Запрос задания
- Свип-сигнал
Вывод на график данных ' каждого файла
Сейсмотрассы,записанные • вблизи пункта взрыва
Графики автокорреля* и,ионной функции
- Запрос задания
Полевые магнитные ленты в библиотеку
- Геометрическая информация
- Параметры деконволюции
_ Входные статические поправки ^ Графики статических поправок
• Скорость
- Параметры мьютинга
Графики амплитуд
Графики скоростей Монтаж сейсмограмм ** при переборе скоростей Скорости вдоль профиля
» Разрез ОГТ - Параметры фильтров
• Набор фильтров
• Графики спектров
- Запрос задиния
• Графики функций автокорреляции
- Входные скорости
- Мигрировинныи разрез
• Разрез с высокой разрешенностью
• Коэффициенты отражения
- Эквивалентный импульс
^ Цветные разрезы
Ограничения на диапазон
-
скоростей
п
я
Диаграммы псевдо -
сейсмического
каротажа
Рис. 8.36. Типичная схема обработки данных.
8.5. Процедуры цифровой обработки 147
процедура включает считывание (вывод содержимого магнитной ленты на печать) нескольких первых записей (возможно, 10) и сравнение их с тем, что ожидали получить. Для данных Вибросейеа порядок проверки включает контроль длины свип-сигнала и его спектра.
б) Редактирование. Редактирование проводится после проверки формата. -Трассы перераспределяют и демультиплексируют; полевые трассы представляют собой временные последовательности, т. е. первый отсчет каждого канала записывается прежде второго отсчета любого канала, в то время как в большинстве процедур обработки требуется представление исходной информации в виде последовательности трасс, т. е. вся информация первого канала должна предшествовать информации второго канала.
Если импульс, который вводят в качестве исходной информации, был зарегистрирован для каждого взрыва, то можно применять детерминированную коррекцию формы импульса источника с целью определения эффективной формы импульса. Если источником является Вибросейс или любой иной, сохраняющий форму импульса неизменной в течение некоторого времени, то эквивалентом коррекции за форму импульса источника является корреляция сейсмической записи с формой импульса источника.
Полевые данные содержат очень широкий диапазон значений амплитуд, которые были зарегистрированы в закодированной форме. Поэтому записи декодируют и проводят первую предварительную коррекцию за сферическое расхождение, для того чтобы уменьшить диапазон значений входного сигнала, подвергаемого последующим процедурам обработки. С целью уменьшить объем информации, участвующей в дальнейшей обработке, трассы иногда синфазно суммируют или изменяют шаг дискретизации. До передискретизации данных, по-видимому, нужно провести фильтрацию, предотвращающую появление зеркальных частот.
Редактирование может включать поиск и изменение пустых или особенно зашумленных трасс. «Плохие» данные можно заменить с помощью интерполированных значений. Аномально большие амплитуды, скорее всего представляющие собой помехи, можно уменьшить до некоторого заданного уровня или до нуля.
Выходная информация после редактирования обычно включает следующее: 1) графики данных каждого файла, позволяющие видеть, какое редактирование данных еще необходимо и какие виды процедур требуются для ослабления шума; 2) сейсмотрассы, записанные при минимальном удалении каждой расста-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
новки, — чтобы составить общее представление о геологическом строении и использовать при решении вопроса о выборе участка для анализа скоростей; 3) графики функции автокорреляции для трасс, ближайших к пункту взрыва, — выявляют многократные волны и помогают при проведении деконволюции; 4) магнитную ленту с последовательной записью трасс, которая будет использоваться при дальнейшей обработке. Полевые магнитные ленты после этого возвращаются в библиотеку лент.
в) Определение параметров. Цель этой последовательности процедур заключается в определении параметров цифровой обработки, зависящих от такой информации, как, например, статические временные сдвиги, регулировка амплитуд, значения нормальных кинематических сдвигов или частотный состав. Информация о геометрии схемы наблюдений (параметры расстановок) является входной информацией, поэтому с помощью ЭВМ можно определить, какие именно трассы имеют общие сейсмоприемники или имеют другие общие параметры, и, следовательно, для определения нормального кинематического сдвига по каждой трассе известна величина удаления.
Если на сейсмотрассах, расположенных у пункта взрыва, наблюдается интенсивный волновой пакет регулярных помех, вызванный поверхностными волнами, преломленными волнами от неглубоких границ или другой горизонтально распространяющейся энергией, то можно применить фильтрацию по кажущимся скоростям для устранения таких помех. Можно применить статистическое сжатие сигнала. Анализ статистических параметров записи для сжатия импульса и расчета статических поправок и анализа скоростей должен основываться на информации, из которой исключены известные некачественные трассы и зоны отсутствия отраженных волн, например область первых вступлений. Ширина окна выбирается такой, чтобы обеспечить достаточную статистику, но окно должно исключать зоны, где отраженные волны не ожидаются, например ниже фундамента.
С помощью программы анализа статических поправок ищутся систематические изменения, которых можно было бы ожидать, например, если бы временные сдвиги были связаны с конкретными источниками и конкретными приемниками и т. д. До анализа статических поправок входными данными обычно являются предварительные статические поправки, определяемые в полевых партиях на основе информации о первых вступлениях и величине превышения сейсмостанций; таким образом, анализ статических поправок проводит коррекцию статических поправок. Результаты анализа выводятся на контрольный график.
Для определения систематических амплитудных изменений, которые могут быть связаны со слабым взрывом, плохим кон-
8.5. Процедуры цифровой обработки 149
тактом сейсмоприемников с грунтом и т. д., проводится анализ амплитуд, подобный анализу временных сдвигов при определении статических поправок. Результат выводится на контрольный график.
Анализы скоростей проводят с интервалом 1—2 км на участках, относительно спокойных в структурном отношении. Положение таких участков выбирают на основе анализа трасс, ближайших к пункту взрыва, на этапе редактирования данных. До анализа скоростей исходными данными являются априорные скорости, поэтому с помощью анализа скоростей осуществляют коррекцию кинематических поправок. Если трассы, ближайшие к пункту взрыва, дают информацию об угле наклона, то такая информация является исходной, поскольку скорость зависит от угла наклона. В отношении того, какой объем информации нужно включать в анализ, приходится идти на компромисс: больший объем дает лучшую статистику, но затем эти данные не используются на конкретных точках. Таким образом, компромисс сводится к определению более устойчивого среднего значения скорости и менее устойчивого, применяемого на особых участках.
В результате анализа скоростей можно получить следующие выходные данные: 1) график спектров скоростей, такой, как на рис. 8.13, показывающий регулярность отражений, получаемую при различных скоростях ОГТ; 2) монтаж результатов перебора скоростей типа приведенного на рис. 8.15, демонстрирующий суммарные записи в соответствии с вводимой информацией, поступающей на вход ЭВМ также в результате сканирования по скоростям (в сторону увеличения или уменьшения априорной скорости); такой монтаж позволяет оценить, какие именно скорости необходимы для оптимизации различных отражений, поскольку Уогт — не всегда однозначная функция, а кроме того, каким образом суммарная запись зависит от априорной скорости; 3) график типа кривых на рис. 8.14 дает представление о взаимосвязи полученных скоростей на различных участках вдоль профиля.
Исходные данные можно отфильтровать рядом узкополосных фильтров (рис. 8.11), используемых для определения параметров дальнейшей фильтрации. Можно также получить на выходе графики функции автокорреляции и разные виды спектров. Чтобы оценить эффективность параметров обработки, можно построить предварительные суммарные разрезы, которые помогут в диагностике дополнительных задач.
г) Основной этап обработки. Главный этап обработки начинается с магнитных лент, полученных на этапе редактирования. Последовательность операций почти такая же, что и на этапе
Sfi 8. Цифровая обработка данных
определения параметров обработки; различие состоит в значениях исходных данных для статических поправок, нормальных кинематических сдвигов и т. д. Коррекцию за сферическое расхождение проводят с учетом реальных скоростей, а не тех, которые использовались в качестве предварительных. Основной этап обработки или отдельные его части можно повторить, используя более точные значения каких-либо параметров, в частности статических и кинематических поправок.
В результате проведения основного этапа обработки получают один или несколько разрезов ОГТ, которые можно различать по используемым методам обработки или по выбранным параметрам обработки, способам изображения динамических параметров, таких, как амплитуда, полярность, а также по выбору фильтрации.
д) Миграция и другие виды обработки. Полученные результаты можно далее использовать в качестве исходных данных для других процедур обработки, таких, как миграция и анализ динамических параметров. Для миграции требуется информация о скоростях; выбор скорости может быть основан на анализе значений Уогт, когда углы наклона не слишком велики, но, как правило, оптимальные скорости для миграции отличаются от оптимальных скоростей для суммирования.
По суммарным или мигрированным записям можно в дальнейшем проанализировать амплитудный и частотный состав, полярность и т. д. и вывести результаты на построитель различными способами. Эти данные можно использовать и при итеративном моделировании или других видах обработки.
8.5.2. Интерактивная обработка
Как правило, в процессе обработки сейсмических данных приходится принимать целый ряд решений, причем критериев оптимальности того или иного вида обработки может и не иметься заранее. Оператору часто хочется рассмотреть несколько решений и по возможности быстрее. Время, необходимое для многих процессов обработки, настолько велико, что интерпретатору становится скучно ждать у терминала ответов на свое решение. Кроме того, издержки, связанные с тем, что память быстродействующих ЭВМ занята на время, потраченное интерпретатором на принятие решения, затрудняют применение интерактивной обработки. Но «интеллектуальные» терминалы с достаточной памятью и мощностью, способные работать с многими программами, устройства разделения времени для работы с большими компьютерами (так что платить приходится только за реальное время обработки), высокоточный графический дисплей, упро-
Задачи 151
щенные печатающие устройства для получения твердых копий и другие достижения вычислительной техники быстро изменяют ситуацию.
Одним из примеров наиболее полезного применения интеллектуальных терминалов является использование их для проверки входных параметров и инструкций по обработке до включения дорогостоящей ЭВМ для выполнения инструкции. Это делается для того, чтобы убедиться в их полноте и согласованности. Интеллектуальный терминал может подсказать незамеченные ранее решения и проверить согласованность параметров. Когда данные вводятся в терминал в необходимом виде, терминал может переслать их прямо в основную ЭВМ для действительной обработки.
Анализ скоростей — особенно тонкая процедура, при которой в ходе обработки необходимо принимать целый ряд решений. В прошлом решения принимались отдельно для каждого пункта анализа без какой-либо проверки надежности данных на участке анализа или относительно соседних пунктов. Умение выбрать график анализа на видеоэкране, просматривая соседние графики и располагая соответствующими интервальными скоростями, вычисленными и представленными графически, сулит значительное улучшение при цифровой обработке данных. Интерактивный режим работ также используется и при других видах обработки.
Еще одной областью успешного применения интерактивной обработки является взаимодействие интерпретатора с банком данных, из которого по мере необходимости можно вызвать информацию. Положение сейсмических профилей, прослеженные (выделенные) горизонты, разломы и другие особенности строения разреза, расположение скважин, информация о них и полученная благодаря им информация о географии района и т. д. могут храниться в банке данных для произвольного поиска. Интерпретатор знает, какая именно информация может быть вызвана, поскольку банк данных включает таблицы, информирующие о содержании банка. Определенные процессы применяются для того, чтобы комбинировать и переставлять данные, наносить их на разрезы или карты, проводить изолинии, вычислять изопахиты между последовательностями данных, преобразовывать времена пробега в глубины, вычерчивать графики и т. д.
Задачи
8.1. Получите (8.6) из (8.3). [Указание: умножьте обе части (8.3) на ехр(—j2nvnt) и проинтегрируйте от —Т/2 до + Т/2. Перед тем как подставлять пределы, используйте теорему Эй-
Sfi 8. Цифровая обработка данных
лера ехр ( ± jx) = cos л: ± j sin х, чтобы выразить комплексную показательную функцию через синусы и косинусы.]
8.2. а) Поскольку 6(/) равно нулю, исключая t = 0, где 6 ( t ) равняется + 1 ( с м - § Ю.З.З), мы можем применить (8.12) и найти, что
6(/)-+1; покажите, что
б (/ — /о) ехр (—j2nvt0).
б) Покажите, что 6 (t) *g(t) = g(t) и 6t*gt = gt. в) Запишите гребенчатую функцию как
OO
comb (/) = X 6(t — пА); AZ=-OO
преобразование этого выражения очевидно:
-Loo
comb (0 — S (v) = Yj e x P
M = -OO
/2imvA).
Покажите [107, р. 44], что это соответствует бесконечному ряду импульсов с амплитудой 2л/Д, разделенных расстоянием 2л/Д, т. е.
Z 6 (/ - М ) — ( ^ l ) E 6 (2nv - 2лт/А)
tl=* — oo
\
S JYi = — оо
или
comb (/) -<->со0 comb (со),
ю0 = 2л/А.
г) Покажите, что спектр, задаваемый прямоугольной функцией
с амплитудой ft, определенной на интервале от —Vo до v0, имеет
преобразование
h box2Vo (v) — A sine (2nv0t) = A s i ^ J 0 * »
где А — 2hvo — площадь спектра. 8.3. а) Подтвердите, что (8.34) описывает обратный фильтр
для устранения реверберации в водном слое, свертывая (8.34) с (8.32), т. е. подставляя выражения, полученные в (8.32) и (8.34), в (8.33). б) Спектр фильтра, эквивалентного влиянию водного слоя, показан на рис. 8.37 для п = 1; основные максимумы располагаются на частотах «пения»; начертите график амплитудного спектра обратного фильтра. [Указание: свертка во временной области, такая, как в (8.33), соответствует умножению в частотной области (см. (8.22)); частотный спектр единичного импульса равен + 1 , т. е. он равномерен.] в) Проверьте свой график частотной характеристики обратного фильтра, устраняющего реверберацию в водном слое, преобразуя
[1, 2R9 R2]^ 1+2/?exp(-^vA)
+ /?2exp(~y^vA)
ц вычисляя значения спектра при v = 0, Vi и 2vJt
Задачи 153
8.4. а) Проведите свертку импульсов [2, 5, —2, 1] с [6, — 1, —1]. б) Вычислите функцию взаимной корреляции [2, 5, —2, 1] с [6, —1, —1]; при каком сдвиге эти функции наиболее подобны? в) Проведите свертку [2, 5, —2, 1] с [—1, —1, 6]; сравните с ответом в п. (б) и объясните, г) Вычислите функцию автокорреляции для импульсов [ 6 , - 1 , - 1 ] и [3, —5, —2]; автокорреляционная функция отвечает не единственной функции
Частота
Рис. 8.37. Частотные характеристики фильтра, образуемого водным слоем, для коэффициента отражения от дна 0,5. Если z — глубина воды и
V — скорость в воде, то v^ = VjAz,
(см. § 10.6.6а); например, другими импульсами, имеющими ту же самую функцию автокорреляции, что и предшествующие, являются [—1, —1, 6] и [—2, —5, 3]; какие из четырех импульсов имеют минимальную задержку? д) Что является нормированной функцией автокорреляции [6, —1, —1]? Какова нормированная функция взаимной корреляции для п. (б)? Какие вы сделаете выводы, анализируя наибольшее значение нормированной функции взаимной корреляции?
8.5. а) Оператор ft = [—1, -f-1] называется «оператором производной»; объясните, почему? б) Какой оператор проводит интегрирование?
8.6. Даны четыре причинно-обусловленных импульса at = = [2, —1]; bt = [4, 1]; ct = [6, —7, 2]; dt = [4, 9, 2]. а) Какой из них является минимально-фазовым? б) Найдите свертки импульсов at*bt и at* Ct с помощью вычислений во временной области, в) Повторите п. (б), только используйте г-преобразования. г) Найти a t * b t * c t . д) Имеет ли минимально-фазовый импульс максимальное значение в / = 0? е) Может ли минимально-фазовый импульс иметь нулевое значение при / = 0?
Sfi 8. Цифровая обработка данных
8.7. Используя данные задачи 8.6, определите ф1Ь, фас, фса, фаа и фес путем вычислений во временной и в частотной областях.
8.8. Заполните значениями таблицу:
а, = [ 2 , 1 , - 2 , 1 ]
Ь,= -Iat с, - За,.. 2 dt = ±a.t е, = na3-t
Z1 = C - U ]
t= - 3 | f = - 2 f = - 1 t = 0 Г = + 1 J f = + 2 f = + 3 r = + 4 f = + 5
ф/fit) ф/ott)
8.9. Используя импульсы W1 (г) = (2 — z ) 2 ( 3 — г)2, W2(z) = = (4 — г2) (9 — г2), вычислите составные импульсы: W\ (z) +
+ W2(z); Wl(z) + zW2(z); zWx(z)+W2(z)
и г*1 W1 (z) + W2(z).
Начертите график комбинированных импульсов во временной
области. Результаты иллюстрируют влияние фазовых сдвигов
(отметим, что все составные импульсы имеют одинаковые частотные спектры, но различные фазы, так как умножение на zn
сдвигает фазу,— см. задачу 10.27).
8.10. Пункт взрыва расположен на 7 м глубже основания ЗМС. Дано, что VH = 2,0 км/с, Vw = 0,3 км/с, pw = 2,3 г/см3, pw = 1,8 г/см3, А = 4 мс и что отраженный сигнал есть [6, —7, —2,8, 5,6, —1,6]. Найдите исходный импульс, используя: а) об-
ратный фильтр (8.54); б) (8.56).
8.11. Имеются приблизительно минимально-фазовые им-
пульсы: [0, И, 14, 5, —10, - 1 2 , - 6 , 3, 5, 2, 0, —1, - 1 , 0]
(рис. 8.38, а ) , шаг дискретизации составляет 2 мс. Используйте
Vn = 2,0 км/с для скорости в песке и следующие коэффициенты отражения (они округлены для упрощения вычислений): гли-
на — песок = + 0 , 1 = песок—изветняк. а) Определите форму
Задачи 155
импульса, отраженного от песчаного пласта мощностью 0, 2, 4, 6, 8 и 10 м, окруженного глинами (мощность 6 м приближенно соответствует V 4 ) . б) Повторите расчет для случая песка, перекрытого глиной и лежащего на известняке, в) Определите форму импульса в случае двух песчаных пластов, каждый мощностью по 6 м, разделенных пластом глин мощностью 4,5 м, если эта пачка . пластов погружена в глины (положим Vr =
Рис. 8.38. Определение составного отражения, а — минимально-фазовый импульс; б — минимально-фазовый импульс, более низкочастотный; с — нуль-фазовый импульс, соответствующий импульсу а.
= 1,5 км/с). Это соответствует «резонансной» ситуации, г) Повторите п. (а) и (б) со следующим импульсом: [0, 6, И, 14, 14, 10, 5, —2, —10, —11, —12, —10, —6, 0, 3, 4, 5, 4, 3, 1, 0] (случай рис. 8.38,6, где минимально-фазовый импульс растянут так, что имеет преобладающую частоту вдвое меньшую, чем у первого импульса). Сравнение результатов с результатами п. (а) и (б) иллюстрирует влияние частотного состава на разрешающую способность, д) Повторите п. (а) и (б), используя нуль-фазовый импульс [1, 1, —1, —4, —6, —4, 10, 17, 10, —4, —6, —4, —1, 1, 1] (случай рис. 8.38,в, где импульс имеет тот же частотный спектр, что импульс на рис. 8.38, а ) .
8.12. Покажите, что
(см. вывод 8.58). 8.13. Методика и принципы свертки, наложения зеркальных
частот, ^-преобразования и др. могут иметь применение не
Sfi 8. Цифровая обработка данных
только во временной и частотной областях. Выразите характеристику источника и направленность группы рис. 5.13, а в виде функций х (горизонтальной координаты) и проведите их свертку, чтобы доказать эффективность группы, показанной на рис. 5.13, б.
8.14. Предполагая, что форма импульса пневмопушки представляет собой единичный импульс, найдите оператор обратного фильтра для зарегистрированного импульса [—12, —4,
Рис. 8.39. Записи фланговой расстановки для четырехслойной модели. Скорости соответственно равны 1490, 1895, 2215 и 2240 км/с. а — д о ввода кинематических поправок; б — после ввода поправок.
+ 3 , + ! ] • Какое количество точек должен включать фильтр, чтобы получилась точность 1 %?
8.15. В § 8.2.1 описано несколько методов деконволюции. Составьте список допущений, принятых различными методами, таких, как инвариантный во времени импульс, случайность распределения коэффициентов отражения или стохастичность шума, идентичность импульса, возбуждаемого источником, и импульса, зарегистрированного вблизи источника или определенного на основе регистрации отражения х>т морского дна с помощью группы, удаленной па несколько сотен метров, и т. д.
8.16. На рис. 8.14 максимумы на графиках, соответствующих 8—12 тыс. фут/с, могут вызывать определенный интерес. Если известно, что это тот же самый разрез, который показан на рис. 9.29, чему будут соответствовать эти максимумы?
8.17. Импульс [—0,9505, —0,0120, 0,9915] не минимальнофазовый. Как сделать его минимально-фазовым с тем же самым временем вступления, изменяя его форму как можно меньше? Укажите два способа.
8.18. На рис. 8.39 показаны три отражения до и после введения кинематических поправок. Объясните: а) увеличение дли-
Задачи 167
тельности импульсов вследствие введения кинематических поправок; б) почему отражения полностью не выравниваются после введения кинематических поправок?
8.19. Покажите, что: а) уравнение дифракционной кривой (кривая максимальной выпуклости; см. рис. 8.25) имеет вид
(О — начало отсчета, а г = OP); б) немигрированное отражение лежит на касательной к дифракционной кривой; в) координаты точки P и кривизна волнового фронта в P (а значит, и угол наклона границы) могут быть получены по зарегистрированным данным.
8.20. Покажите, что система координат (л:, г, t*) в уравнении (8.89) в действительности «движется вместе с поднимающимся волновым фронтом».
8.21. Стандартный фильтр подавления зеркальных частот, характеристика которого показана на рис. 5.33, дает подавление в 3 дБ на частоте, равной половине частоты Найквиста, а далее следует очень крутой срез, так что шум выше частоты Найквиста ослабляется в соответствии с полосой пропускания системы. а) Предполагая первоначально равномерный спектр,, фильтруя зеркальные частоты с помощью фильтра с частотой среза 125 Гц и крутизной 72 дБ/октава и производя впоследствии дискретизацию с шагом от 2 до 4 мс (без дополнительной фильтрации зеркальных частот), постройте график для спектра результирующего шума в функции частоты, б) Некоторые полагают, что стандартные фильтры подавления зеркальных частот действуют излишне сильно: возьмите фильтр с частотой среза 90 Гц и крутизной 72 дБ/октава, а шаг дискретизации 4 мс; постройте график для спектра шума в зависимости от частоты.
8.22. На профиле С — Ю шум, распространяющийся с юга, имеет скорость, ограниченную значениями Va ^ 6 км/с, тогда как шум, движущийся с севера, — значениями Va ^ 3 км/с. а) При Ax = 50 м перерисуйте рис. 8.22,6. б) Повторите п. (а) для Ax = 25 м. в) Вычислите f(xy t) (см. (8.76), (8.77)) для п. (а) и (б).
8.23. Дан импульс [10, —8, 0, 9, —11, 6, 0, —7, 12, —5, 0, 0]. Вычислите: а) квадратурную функцию g±(t)\ б) у(t) (добавьте множители п для того, чтобы получить монотонно возрастающую функцию); в) h(t)y A(t) и v(/) при п = 4. Примите A = = 4 мс.
8.24. Выведите формулу (8.92).
9
Геологическая интерпретация
данных метода отраженных волн
Общий обзор
В данной главе под словом интерпретация понимается геологическое истолкование данных. Это неизбежно влечет за собой применение геологической терминологии, и мы обратимся к терминам, использованным в работе [9]. В интерпретацию иногда также включают редактирование данных, выделение осей синфазности предполагаемых однократных волн и определение положений границ, с которыми они связаны. В действительности при получении и обработке данных и даже еще при планировании разведочных работ приходится принимать ряд решений, которые не полностью соответствуют дальнейшим геологическим выводам, и использовать их в ходе интерпретации.
По геологической интерпретации сейсмических данных имеется ряд книг; мы используем работы [5, 52, 98, 144].
Достоверность или недостоверность интерпретации определить удается крайне редко, поскольку реальная геология едва ли бывает известна в достаточной степени. Критерием надежной интерпретации является логичность, а не достоверность [4]. Надежная интерпретация должна быть увязана не только со всеми сейсмическими данными; она должна быть согласована со всеми имеющимися сведениями о регионе, включая гравиметрические и магнитные данные, информацию по скважинам и поверхностные геологические данные, а также с принятыми геологическими и физическими моделями.
Интерпретация может быть логичной, и тем не менее одновременно может существовать какой-то выбор вариантов интерпретации, особенно в тех случаях, когда данных очень мало. Интерпретатор должен проанализировать различные варианты, но желательна обычно только одна интерпретация, а именно та, которая выявляет наибольшие возможности для скопления углеводородов (если считать, что это — наша основная цель). Интерпретатор должен быть оптимистичным, т. е. он должен выявить достаточно хорошие возможности. Оптимистичная интерпретация обычно предпочтительнее «наиболее вероятной», так как первая вызовет дополнительные действия для проверки
Общий обзор 159
(и, возможно, некоторого изменения) интерпретации, в то время как неоптимистичная интерпретация может привести к отказу от площади. Умение справиться с работой сводится к терпеливой, оптимистичной интерпретации, которая может быть опровергнута последующими результатами, но не обнаружить возможность — «непростительный грех».
Следует отметить, что «успех» или «неудача», т. е. присутствие или отсутствие углеводородов в промышленном количестве, далеко не всегда является хорошей проверкой надежности интерпретации, поскольку многие факторы, принципиальные для промышленного месторождения, не могут быть выявлены по сейсмическим данным.
Сейсмические материалы обычно интерпретируются геофизиками и геологами. Идеальный интерпретатор сочетает в себе знания двух областей. Он хорошо разбирается в процессах, связанных с возбуждением и распространением сейсмических волн, с влиянием на получаемые данные регистрирующей аппаратуры и цифровой обработки, а также понимает физический смысл сейсмических данных. В то же время его геологический опыт помогает ему осознать массу информации, значительная часть которой противоречива, и прийти к наиболее правдоподобной геологической картине. К сожалению, не все интерпретаторы имеют необходимые знания и опыт одновременно и в геологии, и в геофизике, и поэтому часто наилучшая альтернатива — работа геофизика и геолога в тесном контакте.
Способность делать геологические выводы на основе совокупности многих незначительных фактов контролирует не только интуицию интерпретатора, но и глубокое понимание им физических принципов. Например, уменьшение временных интервалов между отражениями вниз по падению пласта может быть вызвано как нормальным увеличением скорости с глубиной, так и уменьшением мощности отложений, а течение соли или глины может вызвать иллюзию появления структур в более глубоких горизонтах.
Геометрическая фокусировка, вызванная криволинейной отражающей границей, может создать различные эффекты, в особенности если неточно проведена миграция, и энергия, которая распространялась от источника, расположенного с одной стороны профиля, может интерферировать с другими отражениями. При этом образуется волновая картина, которая может быть проинтерпретирована ошибочно, если не установлена ее истинная природа. Неправильная цифровая обработка также может быть причиной неверного истолкования данных [175].
Поскольку целью интерпретации обычно является выявление углеводородных скоплений, эту главу мы начнем с краткого изложения представлений о возникновении и миграции углево-
160 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
дородов, а также типов месторождений, содержащих скопления углеводородов.
Раздел, посвященный процедурам интерпретации, включает рассмотрение теоретических основ сейсмической интерпретации, вопросов, на которые будет получен ответ в процессе интерпретации, а кроме того, даются рекомендации, помогающие избежать ошибочных выводов. Одна из целей интерпретации — изучение геологической истории района. Скважинные данные должны быть увязаны с сейсмическими данными таким образом, чтобы интерпретация их была согласованной.
Основной целью интерпретации является построение структурной карты. Какие именно структуры могут присутствовать в районе и как их элементы связаны между собой, как правило, определяет тектоническая обстановка. Поэтому, прежде чем перейти к анализу разнообразных геологических данных, надо рассмотреть возможные типы структур. Среди рассматриваемых структур — разломы, складки и структуры течения, рифы, поверхности несогласия, русла и стратиграфические ловушки.
Основной инструмент интерпретации — моделирование. Прямое моделирование, т. е. построение синтетической сейсмограммы, которая дает представление о том, чего следует ожидать от геологической модели, помогает понять, какие сейсмические особенности должны быть выявлены в качестве признаков искомых геологических аномалий. Обратное моделирование—получение синтетической каротажной диаграммы (акустического каротажа) по данным сейсморазведки помогает геологическому истолкованию причин изменений формы сейсмического импульса около контрольной скважины, особенно если эти наблюдения ведутся вблизи зон стратиграфических изменений, зафиксированных данными скважинных исследований.
Латеральные изменения в скоростях могут вызвать иллюзию несуществующих структур. Нераспознанные эффекты трехмерности объекта также могут привести к неверной интерпретации.
Стратиграфическая интерпретация включает в себя выделение сейсмических комплексов, которые соответствуют различным осадочным подразделениям, выявление сейсмических фациальных характеристик, позволяющих делать выводы об условиях осадконакопления, и анализ изменений характера отражения с целью обнаружения как стратиграфических изменений, так и скоплений углеводородов. Изменения амплитуд отраженных волн, скоростей, частот или формы импульса иногда свидетельствуют о наличии скоплений углеводородов.
Сейсмические данные также оказываются полезными при изучении строения земной коры, поскольку помогают при картировании и выделении более глубоких структур, чем те, которые связаны с исследованием осадочного чехла.
9.1. Основные геологические представления 161
9.1. Основные геологические представления
9.1.1. Образование и миграция углеводородов
Окончательным результатом сейсмических работ является геологическая интерпретация сейсмических материалов. Однако, прежде чем рассматривать наиболее важный и принципиальный этап интерпретации, опишем кратко основные геологические представления, которые являются фундаментальными при разведке нефти.
Нефть образуется в результате разложения веществ растительного и животного происхождения на участках, которые испытывают медленное погружение. Эти участки обычно располагаются в море или вдоль его побережья, в прибрежных лагунах или болотах, иногда в озерах или внутри континентальных водоемов. Наряду с органическими веществами здесь отлагаются и осадки, и скорость осадконакопления должна быть достаточно большой, чтобы хотя бы часть органического вещества оказалась погребенной раньше, чем будет уничтожена в результате разложения.
Благоприятные условия для сохранения углеводородов создаются в глубоких участках морей или озер, где циркуляция вод ограничена и преобладают условия восстановления (а не окисления). Со временем, по мере того как площадь продолжает медленно опускаться (под тяжестью накопленных осадков или под воздействием региональных тектонических сил), органический материал захороняется глубже и, следовательно, подвергается воздействию высоких температур и давлений. В конце концов химические изменения приводят к образованию нефти — сложной, разнообразной по составу смеси углеводородов, включающей как жидкие, так и газообразные составляющие (часть газа находится в растворе из-за высокого давления). Температура в недрах Земли обычно увеличивается со скоростью 20— 55°С/км, а в некоторых местах (например, на Суматре) — даже 100°С/км. Нормальные условия для формирования жидкой нефти—-это температуры 65—150°С, которые обычно достигаются на глубине 1,5—3 км. На глубинах 3—6 км коллекторы преимущественно содержат газ, а не нефть, и на еще больших глубинах температура, вероятно, настолько высока, что вызывает разложение газа на составные части.
Осадочные породы являются пористыми, и пористость первичных осадков обычно составляет около 45%. Вес перекрывающих пород уплотняет осадки по мере их накопления, и пористость уменьшается (см. рис. 7.6). Часть воды, заполняющей поровое пространство пород (пластовая вода), обычно улетучивается в процессе уплотнения. Это происходит до тех пор,
162 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
пока давление воды не сравняется с гидростатическим давлением на глубине погребения пород. Если пластовая вода не может испариться, то она находится под аномально высоким давлением (§ 7.2.4).
Нефть собирается в поровом пространстве материнской породы или в породе, непосредственно примыкающей к материнской, перемешанная с оставшейся водой, погребенной с осадками. Порода называется проницаемой, если значительная часть пор сообщается между собой так, что флюиды могут проходить через породу. Проницаемость позволяет газу, нефти и воде частично разделяться вследствие различия их плотностей. Нефть и газ стремятся подняться вверх и в конце концов достигнут поверхности Земли и будут рассеиваться, если не встретят какого-либо барьера, который остановит направленную вверх миграцию. Такой барьер образует ловушку.
9.1.2. Типы ловушек
Ловушка характеризуется наличием пористого, проницаемого пласта (В на рис. 9.1,а), перекрытого непроницаемым пластом Л, который препятствует утечке флюидов. Нефть и природный газ могут накапливаться в коллекторе антиклинали до тех пор, пока антиклиналь не заполнится до точки максимального наполнения. Хотя рис. 9.1, а дает двумерное представление, похожая ситуация должна распространяться и на трехмерный случай, причем формируется структура типа перевернутой чаши. Точка максимального наполнения структурной ловушки нефтью — это наивысшая точка, из которой нефть или газ может мигрировать из антиклинали; изогипса, проведенная через эту точку, называется контуром замыкания, а вертикальное расстояние между точкой максимального наполнения структуры и наивысшей точкой антиклинали называется высотой складки. На рис. 9.1,6 контур замыкания соответствует изогипсе —2085 м, а высота складки составляет 30 м. Количество нефти, которое может сконцентрироваться в ловушке, зависит от высоты складки, площади, ограниченной контуром замыкания, мощности и пористости пластов-коллекторов.
Ловушка называется антиклинальной, когда в поперечном сечении она имеет вид антиклинали или купола (рис. 9.1,а). Ловушки могут образоваться также и в других структурах. На рис. 9.1, в показана ловушка, образованная сбросом, в котором проницаемые пласты, перекрытые непроницаемыми пластами, расположены против последних. Ловушка образуется в том случае, если существует замыкание в направлении, параллельном сбросу, например в результате складкообразования, как покачано изогипсами на рис. 9.1, г. На рис. 9.1,5 представлены воз-
9.1. Основные геологические представления 163
можные ловушки, которые могут возникать при надвигообразовании.
Рис. 9.1, е иллюстрирует стратиграфическую ловушку, в которой проницаемые пласты переходят в непроницаемые, что, вероятно, происходит в том случае, когда песок постепенно переходит в глину. Иногда проницаемые пласты постепенно утоняются и в конце концов выклиниваются, образуя ловушки выклинивания. (Стратиграфические ловушки различных типов показаны на рис. 9.38.) Замыкание должно также существовать под прямым углом к чертежу — в результате складко- или сбросообразования. Многие ловушки содержат в себе как стратиграфические, так и структурные признаки.
На рис. 9.1, ж показаны ловушки углового несогласия, которые могут образоваться при несогласном налегании проницаемых пластов или при срезе пластов эрозией на поверхности несогласия (см. также рис. 9.38). Если проницаемые пласты перекрываются непроницаемыми и существует замыкание в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, то углеводороды могут быть сконцентрированы в зоне несогласия.
На рис. 9.1,3 представлен риф, сложенный известняком, который рос вверх при медленном опускании основания. Рифы первоначально слагаются кораллами или другой морской фауной с известковыми раковинами, которые в изобилии растут при соответствующих температурных условиях и на определенной глубине моря. По мере того как риф опускается, вокруг него накапливаются осадки. В конце концов он перестает расти, возможно, вследствие изменения температуры воды или скорости опускания и может оказаться погребенным. Породы, слагающие риф, часто бывают высокопористыми и покрытыми непроницаемыми отложениями. Иногда риф образует свод в вышележащих осадках в результате дифференциального уплотнения пород: рифы в основном меньше уплотняются, чем окружающие их осадки. Они могут оказаться ловушкой для углеводородов, которые или образовались в самом рифе, или перетекли в него из других пластов.
Когда масса соли перетекает вверх под давлением, создаваемым весом вышележащих отложений, образуется соляной купол (рис. 9 . 1 , и ) . Он изгибает осадочные слои, создает сбросы и влияет на характер напластования. В результате над куполом, вокруг него или в пустотах каменной шляпы могут возникнуть ловушки — за счет обращенных наклонов, сбросов, угловых несогласий или стратиграфических изменений.
Основная цель при сейсмической разведке на углеводороды состоит в выявлении таких структур, какие показаны на рис. 9.1. Однако многие структуры, образующие превосходные ловушки, не содержат нефти и газа в промышленных количе-
164 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
ствах. Поэтому из сейсмических данных мы стараемся извлечь, насколько это возможно, информацию о геологической истории района и характере пород, что позволяет наметить перспективы поисков нефти в картируемых структурах.
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
9.2. Процедуры интерпретации
9.2.1. Основные геофизические допущения
При интерпретации сейсмических данных в общем допускается, что 1) регулярные оси синфазности, выделяемые на сейсмических записях или на обработанных сейсмических разрезах, представляют собой отражения, полученные в результате перепадов акустической жесткости внутри Земли; 2) эти перепады связаны с границами напластований, которые соответствуют геологическим структурам. Поэтому прослеживание времен вступления регулярных отражений имеет связь с геологическим строением, и, учтя влияние скорости и сейсмического сноса, мы получаем структурную геологическую карту. Мы также предполагаем, что 3) особенности сейсмической записи (форма импульса, амплитуда и т. д.) связаны с геологическими характеристиками, т. е. со стратиграфией и природой поровых флюидов; этот вопрос мы рассмотрим в § 9.7.
9.2.2. Сбор и общее рассмотрение первичных данных
а) Введение. Интерпретатор собирает вместе всю информацию, необходимую для интерпретации, включая геологическую, скважинную и т. д. Необходимые для работы сейсмические данные обычно включают сейсмические разрезы, схематическую карту, скорости и другие полевые материалы. Иногда интерпретация проводится одновременно с полевой и цифровой обработкой, так что интерпретатор в ходе работы получает дополнительные данные; у него появляется возможность на основе первоначальных своих выводов изменить процедуры полевой и цифровой обработки или провести дополнительные работы, чтобы подтвердить или опровергнуть положения, по которым не принято решение.
Почти всегда имеется несколько возможных вариантов ин-
Рис. 9.1. Осадочные структуры, образующие ловушки для углеводородов. Проницаемые пласты на поперечных разрезах отмечены точками. Углеводородные скопления закрашены черным цветом. Здесь л далее U — приподнятое крыло, D — опущенное крыло, а—вертикальный разрез через антиклиналь вдоль линии MN (на рис. б); б — к а р та по кровле проницаемого пласта из рис. а (пунктир проведен через точку максимального наполнения структуры); в — вертикальный разрез через ловушку, образованную сбросами; г — карта среднего проницаемого пласта из показанных на рис. в; д — возможные ловушки, связанные с надвигом; е — стратиграфические ловушки, образованные изменением литологии или выклиниванием; ж — ловушки, образованные угловым несогласием; з —ловушки в виде и в структуре облекания над рифом; и —возможные ловушки, связанные с соляным куполом.
166 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
терпрегации сейсмических данных. Эта «внутренняя неоднозначность» присуща почти любым исходным данным, хотя неоднозначности в сейсмической интерпретации меньше, чем в интерпретации большинства других геофизических и геологических сведений. Неоднозначность возникает из-за того, что информация неполна или неточна, и наилучший путь для достижения определенности — привлечение дополнительных сведений. Дополнительная информация бывает сейсмической, но ею может быть также информация о геологии поверхности, данные бурения, гравиметрические измерения и т. д. Региональную геологическую обстановку и представления о тектонических напряжениях, которым подвергался регион, тоже следует использовать для контроля сейсмической информации.
Например, на сейсмических отражениях иногда встречаются разрывы. Если мы объясняем их происхождение разломом, то в таком случае нужно определить, что еще с ним связано. Где он пересек менее глубокие слои или где он не захватил их? Где разлом пересек глубокие слои, или где смещение по нему сглажено течением подвижной соли либо глинистых осадков, или где он выполаживается при напластовании? Где разлом располагается на параллельных или пересекающихся профилях или где он отмирает по латерали? Какого типа этот разлом: сброс ли это, указывающий на растяжение, или взброс, означающий сжатие? Интерпретацию нельзя считать полной, пока не получены как можно более подробные ответы на эти и подобные им вопросы. Разломы, которые прекращают свое существование как в более, так и в менее глубоких горизонтах, трудно обосновать (хотя иногда и такая интерпретация бывает верной). Также трудны для объяснения разломы, которые не проявились на соседних профилях.
б) Рассмотрение разрезов. Одна из первоочередных задач интерпретатора состоит в том, чтобы проверить свои данные для выявления невязки (правильно ли увязаны разрезы?) или, быть может, неверной регистрации или цифровой обработки. Такая проверка, хотя и не окончательная, часто помогает обнаруживать явные ошибки. Сейсмические трассы, которые не подвергались миграции, в месте пересечения сейсмических профилей следует сличать на идентичность.
Если они не идентичны, то возможным объяснением этого является ошибка в привязке профилей или паспортизации одного либо обоих профилей, однако причиной могут служить и различия в регистрации или цифровой обработке данных. Для выявления существующих различий должны быть внимательно рассмотрены паспорта временных разрезов. Разные размеры расстановок, различные удаления или процедуры цифровой от-
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
работки могут образовать разный шумовой фон. На качество материалов могло повлиять отсутствие полной кратности на концах профилей или там, где взрывной интервал непостоянный (возможно, вследствие побочных трудностей). Если структуры вертикально вытянуты вверх на немигрированных разрезах, это особенно подозрительно, так как геологические структуры обычно такими не бывают, а ошибки в статических поправках как раз дают такие эффекты. Временами файлы оказываются перепутанными и данные собираются ошибочно. Различные элементы данных должны быть согласованы; если предполагается, что скорость изменяется, то согласуется ли это предположение со структурой и особенностями разрывов? Будут ли некоторые данные, показанные на временном разрезе (который является промежуточным этапом обработки), опускаться или изменяться на окончательных временных разрезах? Необъяснимые отличия или отклонения от того, что является геологически приемлемым, нужно всесторонне исследовать с тем, чтобы геологическая суть не оказалась отнесена к ошибкам в исходных данных.
На рис. 9.2 показаны фрагменты типичного временного разреза с блоком данных. Блок данных часто подразделен на части листинговой информации об идентификации профиля, сборе данных и цифровой обработке. Могут быть указаны ориентировка профиля и горизонтальный масштаб. Там, где горизонтальный масштаб не обозначен, его можно определить расчетом числа трасс на 1 см; расстояние между трассами составляет половину расстояния между центрами соседских групп сейсмоприемников (если нет горизонтального смещения между сейсмоприемниками). Участки, на которых проведен анализ скоростей, обычно отмечаются результатами анализа, сведенными в таблицу в виде пар значений время — скорость. Они должны быть проверены на согласованность вдоль профиля. Должно отмечаться влияние на качество отражений и положение отражающих границ изменения ориентировки профиля или резких изменений поверхности (таких, как разность высотных отметок). Нерегулярности прослеживания характерны для получения наземной информации из-за поверхностных условий или сопутствующих проблем. Следствием этого является нерегулярность картины первых вступлений, ухудшение качества отражений и кажущееся изменение положений отражающих границ. Кратность накапливания для каждой трассы иногда показана цифрами в нижней части разреза; это дает представление о нерегулярности прослеживания.
Вертикальный масштаб, указанный на временном разрезе, обычно линеен во времени. Иногда даются глубинные эквиваленты, но они предназначены только для приближенной ориентации; для более точного определения глубин нужно измерить
168 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Рис. 9.2. Левый и правый концы морского сейсмического профиля. Данные зарегистрированы с помощью 48-канальной приемной косы, обозна* ченные номерами источники расположены через каждые 220 фут (67 м), отдельные трассы разделены расстоянием 110 фут (33,5 м); по этой информации можно определить горизонтальный масштаб. Полное 48-кратное перекрытие ОГТ не достигается для 47 трасс на каждом конце профиля, чем можно объяснить некоторое ухудшение качества отражений на этих участках. Отсутствие полной кратности влияет на ослабление кратных волн, поэтому они становятся более очевидными в этих областях. Место выполнения анализа скоростей указано буквой «1Л» над разрезом, а выведенные в виде таблицы данные представляют собой значения скорости оптимального суммирования Von (отмеченные как RMS), интервальной и средней скоростей в случае, если скорости распространения волн по горизон-
>< fXikViiW Af^ 'b&SKtmIW^-«Jtu$&»zCabSt'№O<6C4CгDe^vшOвiuоliпe
iiggg ""wUTHWtST
>*»aii«m.t.r4*i»
,H*H*st
*
»i Vжiм. м
л.»«*«*ВД»4»4
*
mm °<m*«*»*» n**t*
*»Я » ,
> #st гш
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
времена прихода отраженных волн и найти по ним глубины, используя подходящие законы изменения скорости. На временном разрезе следует отмечать те участки, на которых вид обработки или параметры вывода изменялись в зависимости от времени прихода волн. Это нужно для того, чтобы изменения качества материала, связанные с изменением обработки, не интерпретировались как геологические изменения. Если изменения сделаны в середине целевого участка или если квартируемый горизонт изменяет свою глубину, пересекая зону, в которой изменены параметры обработки, требуется особое внимание для того, чтобы избежать возможных ошибок интерпретации.
в) Способы интерпретации. Интерпретация включает в себя построение модели перспективной площади, как это понимает интерпретатор. Некоторые интерпретаторы развешивают все свои материалы на стены, тем самым окружая себя информацией. Благодаря этому они могут просматривать один временной разрез за другим, наилучшим образом охватывая внешние взаимосвязи. Они развивают значительную часть своей интерпретации, сидя в кресле и размышляя о том,
тали рассчитываются согласно (7.12), (7.14) и (7.13). Черный треугольник над «S. Р. 27 указывает пересечение сейсмического профиля другим; использовалась переменная во времени фильтрация; WD — глубина воды; RMS — (среднеквадратическое) усиление — означает, что среднеквадратическая амплитуда каждой трассы была изменена на одну и ту ж е величину; LC и HC указывают частоты, д л я которых фильтры отсекания нижних и верхних частот создают ослабление на 3 дБ. S. Р. — пункт взрыва (ПВ). [С разрешения «Коноко».]
какие идеи правдоподобны, а не занимаются все время выделением отражений, перенесением данных на схематическую рабочую карту и проведением изолиний. Для интерпретации необходимо воображение, и нужно время, чтобы прийти к тем выводам, которые позволят сделать новые открытия.
169 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
В интерпретации сейсмических данных созданы два принципиально различных подхода: один сосредоточен на конкретных целях, другой состоит в постепенном получении полного истолкования данных. Часто только несколько границ привлекают внимание, поскольку уже известно, что только в этой части разреза находятся перспективные коллекторы. Такие площади обычно содержат скважины, в которых интересующие нас пласты отождествлены, а затем увязаны с сейсмическими разрезами либо посредством синтетических сейсмограмм, либо проще — с помощью значений скоростей, используемых для связывания глубин по скважинам с временами прихода отраженной волны на сейсмических временных разрезах. На сейсмических разрезах по всему региону прослеживают увязанные оси синфазности, которые дают представление о структурных взаимоотношениях; при этом отмечают разломы, смещающие отражения, и наблюдают за изменениями характера отражений, которые могут указывать на выклинивание песчаников, рост изолированного рифа и другие стратиграфические изменения или скопления углеводородов.
Строя полную интерпретацию всего разреза, интерпретатор начинает с наиболее очевидных особенностей записи: обычно с корреляции самых сильных отражений или отражений с наиболее отличительным характером — и прослеживает эти особенности до тех пор, пока они остаются надежными. Когда прослеживаемый признак портится или его характер изменяется и уже становится неясно, что именно происходит, его прослеживание прекращается, а не «проводится вперед» и не экстраполируется за пределы области его надежного прослеживания. Интерпретатор возвращается к нему впоследствии после того, как он отработал другие, более надежные отражения. Полная интерпретация создается путем прослеживания характерных особенностей записи в порядке их надежности, и только после этого внимание интерпретатора сосредоточивается на целевых отражениях. Этот подход обычно приводит к наилучшей интерпретации, но он требует значительно большего времени.
Интерпретацию временного разреза, показанного, например, на рис. 9.3, можно начать с картирования сильного отражения AAft выявляемого отчасти по зоне слабых отражений BBf. Отражающая граница AAi пересечена сбросом, и поэтому следующим шагом будет прослеживание этого сброса на пересекающих сейсмических профилях. Затем можно перейти к картированию горизонта, залегающего на меньшей глубине, скажем CCf1 но в данном случае будет трудно решить, имеем ли мы дело с одним и тем же отражающим горизонтом. После этого, может быть, стоило бы попытаться картировать основание зоны BB'. Это также связано с неопределенностями, и, чтобы раз-
9.2. Процедуры' интерпретации 17!
решить некоторые из них, необходимо вернуться назад и пересмотреть участки, проинтерпретированные раньше. Нефтяная залежь находится приблизительно в середине участка ВВ\ и для этого участка необходимо составить карту, но для того,
<' миля
Рис. 9.3. Участок профиля с площади на побережье Мексиканского залива в США. [С разрешения «Коноко».]
чтобы она была более надежной, ее делают с учетом уже ранее закартированных уверенных отражений. 9.2.3. Картирование отражающих горизонтов Горизонты, которые мы вычерчиваем на сейсмических временных разрезах, обеспечивают нас только двумерным представлением. Чтобы определить, существует ли замкнутая структура, площадь внутри замкнутого контура, положение наивысшей точки на структуре и т. д., нужно иметь трехмерную картину. Для получения трехмерной информации мы обычно отрабатываем профили э различных направлениях. В большинстве слу-
172 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
чаев методом отраженных волн проводят работы вдоль более или менее прямоугольной сетки профилей, часто с общими пунктами взрыва на пересечениях линий наблюдения, для того чтобы облегчить корреляцию на пересекающихся профилях.
Оси синфазности, выделяемые на одном разрезе, сопоставляют с осями на пересекающихся разрезах с тем, чтобы отождествить одни и те же горизонты; индентификация осуществляется на основе характерных особенностей и времен вступлений. Затем эти горизонты коррелируют вдоль профилей, параллельных первому, и в конечном счете вдоль всех профилей на площади в той степени, в которой позволяет качество данных.
Если горизонт можно провести по замкнутому контуру, то мы должны закончить корреляцию на том же времени вступления волны, с которого мы начали. Это замыкание контура обеспечивает проверку надежности. Когда контур не удается замкнуть с ошибкой в пределах допустимой (которая зависит главным образом от качества записи и от правильности введения поправки за ЗМС), необходимо тщательно выяснить причину появления невязки. Мигрированные временные разрезы следует увязывать путем нахождения тех же самых отражений на пересекающихся разрезах; такие точки пересечения профилей смещены от вертикали, проведенной через пункт взрыва, на величину сейсмического сноса на каждом профиле. Часто невязка возникает из-за ошибок в корреляции вдоль профиля или от профиля к профилю, возможно, из-за неточности коррекции, изменений в характере отражения или ошибок при корреляции через разлом. Неверная корреляция через разлом может привести (но может и не привести) к невязкам в том случае, когда углы падения различны с двух сторон разлома или величина вертикального смещения изменяется вдоль него. После того как причина невязок тщательно исследована и окончательная невязка уменьшена до допустимой величины, оставшаяся невязка распределяется по замкнутому контуру.
Когда горизонты уже выделены на временном разрезе, строят карты. Например, мы можем картировать неглубокий горизонт, промежуточный горизонт на той глубине, где мы надеемся встретить нефть (если он вообще существует), и глубокий горизонт. Мы строим схематическую карту, которая показывает расположение профилей (обычно с помощью маленьких кружков изображая пункты взрыва) плюс другие детали — нефтяные скважины, реки, береговые линии, дороги, границы суши и политические границы и т. д. Значения, соответствующие глубине горизонта ниже уровня приведения, отмечаются на карте обычно при каждом пункте взрыва (хотя, строго говоря, их следовало бы поставить в точках отражения на соответствующих горизонтах). Наносится и другая информация, ка-
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
сающаяся картируемого горизонта (глубины в скважинах, положение гравитационных аномалий, имеющаяся геологическая информация и т. д.). Сбросы, отождествленные на временных разрезах, изображаются на карте, и затем проводятся изолинии глубин.
После того как извлечена структурная информация, следующий этап заключается в разработке не менее важной проблемы — геологической истории региона. Основным здесь является определение возраста различных горизонтов, лучше всего если в соответствии со шкалой геологического времени, но хотя бы относительно друг друга. Часто сейсмические профили проходят достаточно близко к скважинам, что позволяет проводить корреляцию сейсмических горизонтов с геологическими горизонтами в скважинах. Значения скоростей преломленных волн (если они имеются) помогают идентифицировать горизонты. Иногда какое-либо отражение имеет характерные признаки, сохраняющиеся на протяжении больших площадей, что позволяет идентифицировать не только его, но и благодаря взаимосвязи с ним другие отражения.
Характерным примером устойчивых отражений, которые удается выявлять по сейсмическим записям, являются низкочастотные отражения, связанные с массивными породами фундамента, и интенсивное отражение от кровли известняка Элленбергер, встречающегося в Северном Техасе.
9.2.4. Восстановление истории геологического развития
На сейсмическом временном разрезе выделяют единичные комплексы. Границы между комплексами часто бывают лучшими отражающими границами. Нередко комплексы несогласно залегают друг относительно друга, что указывает на определенные процессы геологической истории: периоды тектонических движений, образовавшие поверхности несогласия, трансгрессии и т. д. Границы между такими комплексами, в общем, определяют перерыв на шкале геологического времени и часто разделяют осадки, отложившиеся в различных обстановках. Скорость и другие параметры сейсмических измерений, такие, как амплитуда, мгновенная частота и их вариации в направлении напластования, дают дополнительную информацию. Литология и стратиграфия обычно связаны с многими факторами, каждый из которых в отдельности проявляется слабо, но, взятые вместе, они позволяют выявить согласованную картину.
Карты изопахит, которые показывают мощность осадков между двумя горизонтами, используются для изучения палеоструктур. Было бы идеально, если бы в интервале между горизонтами был заключен только один комплекс пород, но часто
174 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
те горизонты, которые удается надежно закартировать, разделены более чем одним комплексом пород. Таким образом, построенная в результате карта изопахит может охватить более чем один период движений или более чем один этап осадконакопления. Интервал между горизонтами часто измеряется двойным временем пробега волн, а не мощностью в метрах или футах — подразумевается, что скоростные вариации оказывают второстепенное влияние по сравнению с изменениями мощности. Для построения карты изопахит накладывают друг на друга карты двух горизонтов и вычитают значения изолиний в тех местах, где линии одной карты пересекают линии другой карты. Разности записывают на бланковой карте и затем соединяют изолиниями. Если изолинии указывают на увеличение мощности в определенном направлении, то можно предположить, что в течение периода осадконакопления регион погружался в этом направлении или что в этом направлении находится источник сноса осадков. Одинаковая мощность смятых в складки компетентных слоев указывает на то, что складкообразование происходило после осадконакопления. Если же мощность увеличивается в направлении от свода антиклинали, то осадконакопление, вероятно, шло одновременно с ростом антиклинали. Рост структур в процессе осадконакопления обычно более благоприятен для концентрации нефти, поскольку более вероятно образование песчаных коллекторов на флангах структур даже со слабовыраженным рельефом.
Для получения палеоразрезов (палинспастических разрезов) можно сместить трассы во времени с целью выровнять некоторый характерный горизонт, который, как можно предположить, отлагался горизонтально. Задача заключается в том, чтобы показать взаимосвязи, которые существовали во время осадконакопления этого горизонта. На практике такое выравнивание часто производится умозрительно, а не реальными действиями с данными из-за высокой стоимости повторной обработки; но в районах хоть сколько-нибудь сложного строения фактическое выравнивание может быть целесообразным. Очевидно, до выравнивания необходимо выполнить миграцию и выравниваемый горизонт должен быть выбран обоснованно. Необходимо учитывать эффекты уплотнения и изменений скорости, происшедшие со времени отложения осадков данного горизонта, но обычно информации, требуемой для этого, не имеется.
Выявляя геологическую историю региона, важно получить ответы на следующие вопросы;
а) Была ли ловушка сформирована до, в течение или после образования нефти и газа?
б) Имеет ли ловушка достаточный наклон для того, чтобы сконцентрированная в пласте нефть могла мигрировать?
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
в) Произошло ли смещение блоков структуры при образовании разлома до или после внедрения нефти?
Хотя сейсмическая информация не дает ясного ответа на такие вопросы, с ее помощью часто можно получить некоторые важные сведения, которые в сочетании с другой информацией, скажем о поверхностной геологии и скважинными данными, позволяют интерпретатору сделать разумные предположения, повышая вероятность обнаружения нефти. Внимательное отношение к таким предположениям составляет «искусство» сейсмической интерпретации и часто определяет грань между «открывателем нефти» и просто обычным интерпретатором. 9.2.5. Включение в интерпретацию скважинных данных Скважины, пробуренные на площади, обеспечивают геологическую информацию, которая должна учитываться при интерпре-
(собственных потенциалов), а справа — кривая удельного сопротивления. Нанесены и пронумерованы несколько корреляционных линий. Некоторые интервалы меньше в одной скважине, чем в другой. Интерпретатор должен решить, стали ли интервалы меньше потому, что отсутствует участок разреза (в результате тектонических нарушений или эрозии), или из-за стратиграфических изменений (либо из-за ошибочной корреляции). Часть 3—4 разреза (60 м) потеряна скважиной С, 40 м участка 6—7 разреза пропущено скважиной В, а горизонт 5 маркирует поверхность несогласия, объясняя увеличение мощности участка 4—5 разреза скважины А. Очевидно, возможна и иная интерпретация, так что интерпретатор не должен рассматривать скважинную информацию как безгрешную.
176 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
а
6 Рис. 9.5. Построение, помогающее картировать разломы на основании сква-
жинных данных. Предположим, что, как определено, один и тот же сброс пересекает скважину В на глубине 3860 м, причем 40 м разреза огсутствует, скважину С на глубине 3460 м, и при этом отсутствует 60 м разреза, и не виден в скважине Л. В результате региональных исследований мы ожидаем разлом с углом падения около 45°. Наш картируемый горизонт находится на глубине 3605 м в скважине А, 3570 м в В и 3560 м в С. а — разрез через скважину В без учета наклона горизонта; картируемый горизонт встретит опущенное крыло сброса на расстоянии 3860 — 3570 = 290 м от скважины, а приподнятое крыло — на расстоянии 330 м от скважины. Аналогично этому приподнятое и опущенное крылья должны располагаться на расстояниях 100 и 160 м от скважины С. б — Обзорная карта, показывающая расположение скважин Ai B1 С и окружностей, которых сброс касается; сброс может простираться или в направде-
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации
17!
тации. Каротажные диаграммы (рис. 9.4) позволяют определить кровли пластов различных формаций, литологию, фации осадочных пород, расположение разломов (рис. 9.5) и поверхностей несогласия с указанием отсутствующих в разрезе комплексов и т. д. Каротажные диаграммы, изображенные в том же линейном масштабе, что и сейсмический временной разрез, помогают при корреляции (рис. 9.6). В то время как скважина обеспечивает возможность непосредственных измерений, материалы, имеющиеся в распоряжении у сейсмика, представляют собой результат интерпретации измерений. Если появляются расхождения между скважинной и сейсмической информацией, для того чтобы разрешить проблему, необходимо пересмотреть те и другие данные.
Данные скважин, причем даже тех, которые идут без отбора керна, обычно следует переносить на сейсмические разрезы. Даже там, где устье скважины расположено на линии сейсмического профиля, падение пласта может привести к прослеживанию иной части разреза, чем та, которая исследована скважиной. Перенос скважинной информации включает процесс интерпретации с тем, чтобы данные перемещались вверх или вниз по падению пласта на правильную величину (которая может изменяться с глубиной как по модулю, так и по направлению); при этом нужно учитывать разломы и другие структурные особенности, которые встречаются. Сейсмические разрезы обычно строятся во временном масштабе, тогда как данные по скважинам — в единицах глубины; поэтому нужно выбрать подходящие скорости для преобразования одних данных в другие.
Даже когда нет проблем установления местоположения, каротажная информация определяется породами, расположенными в пределах нескольких сантиметров от стенки скважины (которые могут изменяться в процессе бурения), тогда как сейсмическая информация включает большую зону Френеля.
Каротажные и сейсмические данные можно наносить относительно различных уровней приведения, и в сейсмические дан-
нии C B (след FFf) или ЮВ (след GGf). Если сброс простирается на ЮВ, то скважина А приходится на опущенное крыло и мы ожидаем в ней сброс на глубине (3605 + 200 = 3805 м); если сброс простирается на CB, то скважина А находится на приподнятом крыле и можно ожидать встретить сброс на глубине 3605 — 3 3 0 = 3 2 7 5 м. Рост вдоль плоскости сброса, угол падения и вариации угла наклона сброса приводят к неопределенности построения. В этом примере предполагается, что скважина А не пересечена сбросом на глубине 3805 м, но сброс прекращает свое существование, не достигая глубины 3275 м, так что его отсутствие в этой скважине еще не доказывает, что она находится не на приподнятом крыле. Поэтому след сброса FFf предпочтительнее, чем GG',
.Рис. 9.6. Связь каротажных диаграмм с сейсморазведочными данными. Скваные выведены в истинных амплитудах и подвержены миграции, качто и сейсмический разрез. Некоторые песчаные пласты, как видно видимому, дают отдельные отражения, если предположить, что касейсмическому разрезу. Пески, отмеченные точками, являются про-
вмеет мощность около XJ4 (условие, создающее резонанс) и обра-
Акустический каротаж, мкс /фут
2 50
||,|1:::,>,>^
т ,
••
' " " " н . л у : - " ! " »M»»'Ii».1),:»nm»in•»,v•..,.:•.иi"»»».,;.!
' IMijiiUI,Ц| |>11>| MiIIHhi '»»рщц„, '' 'ы1>И||И||ги..,|)..,жш
Мчи)- и...
"'{г
„"),!'>
^'(!)1^(4,!1^,.,'.',.:i,/i1i4i4)1./.^^1(;,;,::.i:,;1;,,1
1;
жина расположена около сейсмического профиля, сейсмические данротажньш диаграммы представлены в том же временном масштабе, на кривой ПС (отмеченные отклонениями влево [164, р. 784]), порота жные диаграммы находятся несколько выше по отношению к дуктивными в скважине. Песчаный пласт, отмеченный крестиком, зует интенсивное отражение. [С разрешения «Коноко».]
180 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
ные при регистрации и цифровой обработке можно вносить временные сдвиги. Кроме того, большинство отражений представляет собой результат интерференции нескольких отражений, а многократные волны от неглубоких границ или другие помехи также могут влиять на получаемые результаты. Из этого следует, что связь границ раздела с сейсмическими отражениями непростая и часто осуществляется неточно (см. также § 9.4.4).
9.2.6. Получение выводов по данным метода отраженных волн
При анализе карт и разрезов обычно удается выявить структурные ловушки, такие, как антиклинали и приразломные ловушки, и структурные признаки (т. е. возможности наличия ловушек, что требует дальнейшей работы для окончательного подтверждения существования ловушек). Ловушки, образующиеся при выклинивании и угловых несогласиях, распознаются труднее, и для их обнаружения необходимо сочетать сейсмические и несейсмические данные. Однако тщательное изучение карт, разрезов и записей плюс большой опыт и достаточное воображение иногда позволяют обнаружить вариации углов наклона и другие признаки, помогающие определить местоположение ловушек.
По окончании интерпретации обычно готовят отчет (см. приложение В) как в письменной, так и в устной форме. В некоторых случаях это наиболее трудная и важная задача интерпретатора. Он должен представить свои выводы таким образом, чтобы как можно яснее очертить ход своих действий. Важные аспекты не должны затуманиваться большим количеством деталей, и нельзя допускать их искажения из-за отбора непредставительных карт и разрезов. Важные выводы непременно следует подкреплять фактическими данными. Необходимо представить возможные альтернативные варианты интерпретации и дать оценку надежности результатов и выводов. В заключение интерпретатор должен рекомендовать план дальнейших работ.
9.2.7. Цвет как способ изображения
Способ изображения сильно влияет на удобство представления информации. Изображение, оптимальное для одних целей интерпретации, может не быть оптимальным для других.
Региональная интерпретация требует обобщенного представления и уменьшенных масштабов с тем, чтобы характерные особенности разрезов могли быть видны по отношению друг к другу по всему региону. Разведочное картирование требует крупномасштабных размеров, для того чтобы видеть детали, выделять сбросы и структуры. Поиск стратиграфических ловушек, связанных с поверхностью несогласия, требует изображения от-
9.2. П р о ц е д у р ы ' интерпретации 17!
ражений от этой поверхности в истинных амплитудах в достаточно крупном масштабе. Для получения признаков скоплений углеводородов нужно иметь изображения очень малых значений амплитуд (так, чтобы «яркое пятно» становилось очевидным), изображения с обратной полярностью и высвечивание таких параметров записи, как частота и скорость. Изображение скорости и других параметров может также помочь в определении литологии. Стратиграфические изменения становятся более очевидными, если использовать значительное вертикальное превышение масштаба, в то время как структурная интерпретация обычно облегчается, если горизонтальный и вертикальный масштабы одинаковы. Разнообразные интерпретации делают желательным применение множества способов изображения сейсмических данных. Шерифф и Фаррелл [146] привели разрез с различными параметрами изображений. Параметры изображений рассмотрены в работе [49].
В большинстве случаев интерпретация основана на мигрированных разрезах. Характерные особенности на них должны быть сверены с немигрированными разрезами с целью уберечься от возможных ошибок миграции и для увязки с пересекающимися сейсмическими профилями. Если интерес представляет значительный интервал глубин, разрезы целесообразно изображать таким образом, чтобы вертикальный масштаб был линейным по глубине, а не по времени, особенно при решении структурных задач. Скорости, используемые в преобразовании времен и глубины, должны быть проверены, особенно если они меняются по горизонтали. Если в результате цифровой обработки сейсмических данных на выходе получено несколько разрезов, например при использовании различной фильтрации и специальной цифровой отработки, они должны быть проанализированы на предмет различий, образовавшихся между ними. Для картирования разных горизонтов могут оказываться наилучшими разные виды изображения, но форма волн и временные задержки могут изменяться при изменении параметров обработки, и эти изменения нужно учитывать при построении карт.
Различные результаты, используемые при контроле обработки, должны быть исследованы, чтобы интерпретатор ясно представлял себе, что именно сделано при цифровой обработке и каким образом решения влияют на окончательный результат. Результаты анализа скоростей необходимо изучить особенно тщательно для согласования прослеживания и выбора путей определения литологии, зон повышенного давления и т. д. Там, где скоростные данные существуют только в табличной форме, необходимо изобразить их графически для того, чтобы можно было лучше уяснить себе изменения, особенно в тех случаях, когда скорости изменяются вдоль сейсмического профиля.
182 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Одна из трудностей при интерпретации заключается в том, что необходимо исследовать и сравнить слишком много данных. Наложение друг на друга изображений может помочь при анализе соотношений различных характеристик. Наложение цвета обеспечивает дополнительную переменную при изображении и поэтому используется для изображения амплитуды, скорости, частоты и других величин [8, 160, 162].
9.3. Признаки геологических структур
9.3.1. Понятия из структурной геологии а) Структурный стиль и плитотектоническая обстановка. Типы и ориентация существующих структурных форм, т. е. так называемый структурный стиль, определяются полями напряжений, действию которых подвержены многие регионы. Со временем поля напряжений могли изменяться, поэтому для различных
Рис. 9.7. Модель тектоники плит. Вещество поднимается и рифтовой зоне, где плиты расходятся; в зонах конвергенции (субдукции) одна плита погружается под другую и в конце концов достигает такой глубины, что плавится. Трансформные разломы T соединяют фрагменты в рифтовых и конвергентных зонах. Скольжение плит относительно друг друга может происходить вдоль трансформных разломов на ограниченных участках, например только между активными рифтами; при этом другие участки были некогда активными до формирования плит в рифтовой зоне [76].
участков разреза структурный стиль бывает различным, а более поздние структуры могут быть наложены на древние структуры другого стиля. Знание структурного стиля региона помогает при выборе варианта интерпретации, согласующегося со всем комплексом информации по данной территории, поскольку интерпретация, основанная только на сейсмических разрезах, содержит неоднозначность. Оно помогает наиболее экономичным образом планировать получение исходных данных.
Структурный стиль зависит от тектонической обстановки, особенно от положения объекта относительно границ плит и типа границ. Тип границ плит (рис. 9.7) связан с относительным движением плит. Сюда относятся: 1) зона раздвигания, где
9.8. Признаки геологических структур 183
плиты расходятся; 2) зона столкновения или субдукции, где они сходятся; 3) зона горизонтального скольжения, или трансформная граница, где они скользят друг относительно друга. Последняя содержит трансформные разломы — поперечные разломы, смещающие вкрест простирания зоны раздвигания или субдукции, либо соединяющие границы разного типа. Важными факторами, влияющими на структурный стиль вдали от границ плит, например в области «пассивных окраин» континентов, являются опускание и изостатическая компенсация.
ляющееся результатом локального воздымания, может привести к образованию трех систем нормальных сбросов, из которых формируются три грабена, б — при дальнейшем росте напряжений два из них (А, В) стремятся стать зонами раздвигания, а третий, неразвившийся (С), называется авлакогеном.
Движения плит создают главные напряжения, которые приводят к появлению структурных особенностей первого порядка, или первичных структур. Эти структуры создают напряжения второго порядка, которые в свою очередь приводят к возникновению структур второго порядка. Последние создают особенности третьего порядка и т. п.
б) Типы структурных стилей. Основные структурные стили перечислены в табл. 9.1 согласно классификации Хардинга и Лоуэлла [67]. Наибольшее различие стилей определяется тем, участвует ли фундамент в формировании структур или нет.
По-видимому, в начале спрединга океанического дна появляется зона локального воздымания, на которой образуются три грабена, радиально расходящиеся из точки тройного сочленения (рис. 9.8). Два из них обычно сливаются и формируют рифто-
Таблица 9.1. Структурные стили и плитотектонические обстановки [67]
Структурный стиль
Характеристика
Преобладающие напряжения
Плитотектоническая обстановка
Характерный профиль
Зоны ния
раздвига-
Весьма крутые сбросы с падением 60—70° во всех направлениях. Испытавшие вращение блоки, ограниченные разломами
Растяжение
& о H
SCd е*
>S» Р а з л о м ы е ж а -
тия и надвиги
фундамента
Крутые взбросы, образование чешуйчатых надвигов
Сжатие
К
CQ
О
Дивергентные границы: 1) в центрах спрединга, 2) неразвившиеся рифты. Внутриплитовые рифты. Трансформные границы с элементами дивергенции. Вторичные структуры на конвергентных границах: 1) внешний склон желоба, 2) дуговой массив, 3) устойчивый фланг форланда и преддуговой бассейн. 4) окраинные моря тыловых бассейнов
Конвергентные границы: 1) бассейны форланда (в большинстве случаев), 2) ядро орогенных поясов, 3) внутренние склоны желобов и внешние поднятия. Трансформные границы с элементами конвергенции
Система сдвигов
Первичное смещение по простиранию, вторичные структуры под углом 30° к главному направлению. Довольно узкая зона. Разломы в целом становятся круче с глубиной
Неровности фун- Пологие структуры: ку-
да мента
пола, своды, впадины
Системы надвигов
Надвиги, сходящиеся на глубине в единую поверхность срыва в некомпетентных породах
Конседиментационные сбросы и другие системы сбросов
Опущенное крыло расположено по направлению к бассейну или к центру поднятия. Угол падения часто уменьшается с глубиной (для конседиментационных разломов). Часто образуются одновременно с осадконакоплением
Пара сил
Трансформные границы. Конвергентные границы под углом к: 1) бассейнам ф о р л а н д а , 2) орогенным поясам, 3) дуговым массивам. Дивергентные границы со смещенными центрами спрединга
Изостатическая Внутренние области плит, компенсация. Пассивные границы. Тепловой поток Другие площади
Сжатие Растяжение
Конвергентные границы: 1) внутренние склоны желобов и внешние поднятия, 2) мобильные фланги форландов (орогенные пояса). Трансформные границы с элементами конвергенции
Пассивные границы. Вторичные к поднятиям (складкам, соляным куполам)
Структурный стиль
Характеристика
Преобладающие напряжения
Плитотектоническая обстановка
Продолжение табл. 9.1 Характерный профиль
Соляные структуры
S о
Подушки, купола, ные стены
соля- Пластические течения Растворение
Дивергентные границы (рифты обеспечивают условия для отложения соли)
cj Гл инистые ^ структуры
*=1
ас
•е-
Пластическое течение (часто обусловлено давлением в результате быстрого погребения)
Пассивные границы
Структуры обя лекания
S СО
Rсо
^ Вулканические СП тела (некки,
пробки)
Дифференциальное уплотнение
Погружающиеся иы. Над рифами
бассей-
Магматические интрузии
9.3. Признаки геологических структур 187
вую зону, которая впоследствии приводит к появлению нового океана. (Некоторые локальные поднятия, например над соляными куполами, имеют сходный характер сбросообразования.)
Во время спрединга океанического дна (рис. 9.9) образуются многочисленные более или менее параллельные сбросы, ориентированные перпендикулярно направлению растяжения, и эти
Красноцветы и вулканические
породы
Подъем магмы
а Крисноцветы Звапориты
Океаническая кора
Океаническая кора Океан^ Эвапориты^на красно-
цветах
Утоненная континентальная кора
в
Рис. 9.9. Структуры, связанные с рифтогенезом и спредингом. а — ранняя стадия рифтогенеза: образуются нормальные сбросы, блоки опущены к центру грабена; заполняющие осадки являются главным образом континентальными, б — переход от рифтогенеза к дрейфу; непрерывный спрединг, утонение земной коры и образование новой океанической коры приводят к изостатическому опусканию, ограниченной циркуляции и образованию эвапоритов. в—плиты все больше отодвигаются друг от друга, в результате чего образуется все больше океанической коры и происходит оседание — формируется океан.
сбросы оказываются древнее по мере удаления от центров спрединга. За исключением осевой зоны спрединга, сбросы неактивны, и их плоскости часто резко оканчиваются сверху поверхностью несогласия. Блоки, ограниченные сбросами, часто испытывают вращение, и тогда их воздымающийся край может стать местом развития рифа. На участках внутри плит спрединг мог происходить только в течение короткого времени. Структуры растяжения обнаруживаются также в виде структур второго порядка на конвергентных границах плит.
На конвергентных границах при сжатии образуются крутые взбросы и надвиги фундамента. Вторичные сжатия иногда возникают и в других ситуациях.
Tl 188 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Сложный ряд структур может возникать на конвергентных границах. При субдукции океанической плиты под континентальную (рис. 9.10) участки океанической плиты могут соскабливаться, как бульдозером; при этом образуется клин меланжа с надвигами. В таком случае вещественный состав меланжа будет включать отложения с континентальной плиты, океанической коры, а также глубоководные осадки, первоначально накапливающиеся вдали от зоны субдукции. Кроме того, надвиги и другие явления будут наблюдаться на фронтальных участках континентальной плиты, и эта зона может быть достаточно обширной.
Глцдоководный желоб
Меланжевый клин
Внешний бассейн
Вулканическая Тыловой Континентальный
дуга
бассеин
крат он
Рис. 9.10. Тектонические образования, связанные с субдукцией океанической плиты под континентальную.
По мере погружения океаническая кора может изменяться по составу до эклогита. При этом она нагревается и подвергается большему давлению, и эклогит, возможно, становится более плотным, чем мантия континентальной плиты, тем самым содействуя процессу субдукции. Вещество, переносимое вниз субдуцирующей плитой, может плавиться и образовать вулканическую дугу, которая будет располагаться параллельно краю этой плиты на заметном расстоянии от желоба. Могут также развиться тыловой бассейн и другие структуры. Иногда участки океанической дуги и континентальных блоков, перемещаясь на субдуцирующей плите, могут припаяться к континентальной плите, а край ноны субдукции резко переместится на новое место. Таким образом, в этом процессе возможны многочисленные осложнения.
Серии сдвигов чаще всего связаны с трансформными границами (рис. 9.7). Хотя преобладающее перемещение происходит по простиранию, часто наиболее очевидны небольшие вертикальные компоненты смещения. Все эти явления обычно приурочены к относительно узкой линейной зоне вдоль основного горизонтального направления смещения. Некоторые ассоции-
9.3. Признаки геологических структур 189
рующиеся с этой зоной вторичные структуры иллюстрирует рис. 9.11. Эти структуры довольно прямолинейны и распола-
а
6
Рис. 9.11. Расположение структур второго порядка по отношению к сдвигу. Структуры второго порядка образуют по отношению к плоскости первичного разлома углы, примерно равные 30 или 60°. Структуры второго порядка в свою очередь могут приводить к образованию структур третьего порядка и т. д. а — общая схема (объяснение символов см. в приложении Г); б — изометрическое представление некоторых структур, отмеченных на схеме.
гаются кулисообразно. След разломов обычно прямолинеен, и
разломы имеют тенденцию становиться круче с глубиной. Глав-
ные напряжения, вероятно, накап-
ливаются в структурах растяжения
и сжатия, перпендикулярных основ-
ному сдвигу; если плоскость основ-
ного сдвига имеет неровности или
изгибы, они также создают струк-
туры растяжения и сжатия. Там,
где сжатие связано со сдвиговым
смещением, могут встречаться
структуры типа «цветка» (расходящиеся кверху зоны разломов, рис. 9.12).
Изгибы фундамента редки, пологи, иногда связаны со сбро-
Рис. 9.12. Образование взбросовой структуры типа «цветка» в результате горизонтального движения, которое включает компоненту сжатия [92].
сами. Они могут иметь размеры бассейна (например, бассейн
Уиллистон), региональных сводов и локальных куполов. Из-
Tl 190 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
гибы сохраняются в течение длительного времени и поэтому на них локализуются поверхности среза, несогласия и разных видов стратиграфические ловушки.
Надвиги обычно имеют вид ряда субпараллельных выступов на покрывающей плите в зонах субдукции. Зоны надвигов могут быть очень широкими и иметь различную форму (рис. 9.13).
^ / v ^г
^ f X^f S s
\nii\Группа Чикамагуа |;>':>] Формация Ром EJrpynna Шасуога
Рис. 9.13. Пологий надвиг, а — сейсмический профиль длиной 32 км в провинции Валли-Ридж Восточного Теннесси [69]; б — интерпретация рис. а [69]; в — надвиги в канадских Скалистых горах, образовавшие структуру Тернер-Валли [54]; г—складчатость срыва массива Юра [20].
В некомпетентных породах надвиги параллельны напластова-
нию, а в компетентных — пересекают пласты. Места пересече-
ния надвигами компетентных пачек пород нередко перекрыты
антиклиналями (рис. 9.14). Зоны аномально высокого давления
(§ 7.2.4), вероятно, приводят к возникновению зон срыва, по
которым происходит скольжение, и пологие надвиги как бы
«вплывают» на свое место [64].
Если значительная часть разреза сложена массивными кар-
бонатами, то надвинутые пластины в нем повторяются
(рис. 9.13, а—там,
где преобладают пластичные пласты,
9.3.Признаки геологических структур 191
широко распространены складки с висячими крыльями (рис. 9 . 1 3 , Г ) . УГЛЫ наклона часто уменьшаются с глубиной. Сокращение размеров, связанное с надвиго- и складкообразованием, может распределяться среди структур в направлении их простирания с помощью перпендикулярных поперечных сдвигов (рис. 9.15, а) или зон переноса, в которых параллельные структуры увеличиваются или уменьшаются по амплитуде (рис. 9.15,6).
.х'
Антиклиналь г.Пойн А н т и к л и н а л ь Поузлл-Валли
Антиклиналь Блу-Ридж
РИС. 9.14. Схема складчатости срыва в южных Аппалачах [69]. а — исходный пологий надвиг; б — после дальнейших движений развиваются антиклинали над рамповыми частями зоны срыва.
Рис. 9.15. Перенос вертикального перемещения от одного надвига к другому [36]. а — поперечные сдвиги разделяют надвиг на отдельные надвиги или складки; б — рост и затухание надвигов по горизонтали.
При образовании складок длина и объем пластов в целом должны оставаться постоянными. Однако часто оба параметра не могут сохраняться одновременно, особенно при интенсивной складчатости, и тогда в некоторых пластах происходят процессы течения или образуются разрывы (рис. 9.16). Складкообразование не может развиваться на больших глубинах и должно уступить место механизмам течения и образования разрывов.
Сбросы, не связанные с фундаментом, встречаются по соседству с погружающимися бассейнами, особенно на пассивных окраинах континентов. Обычно опускание в них направлено к бассейну и, как правило, сброс растет одновременно с осадконакоплением при погружении бассейнов, о чем свидетельствует
Tl 192 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
увеличение мощности в сторону сбросов на опущенном крыле (рис. 9.17). Наклон плоскостей сброса обычно уменьшается с глубиной. Поверхности сброса, не связанные с нарушениями фундамента, обращены вогнутостью вверх. Вращение лежачего блока при конседиментационном сбросообразовании приводит
Рис. 9.16. Механизмы сохранения длины и объема пласта при интерпретации складкообразования, а — концентрическое складкообразование с течением или сильным деформированием [61]; б — «подобное» складкообразование со сдвигом по плоскостям напластования и изменениями мощностей; в — сочетание складкообразования с разрывами в компетентных породах; другие породы должны подвергаться течению или иным изменениям [72].
к «опрокидыванию» сброса, и последующее обратное волочение может привести к формированию ловушек углеводородов.
Конседиментационные сбросы изогнуты не только в поперечном сечении, но и в плане (рис. 9.17), они обычно вогнуты по направлению к бассейну. Конседиментационные сбросы часто затухают кверху. Величина вертикального смещения по этим разломам нередко увеличивается с глубиной. Иногда они вытягиваются в направлении напластования, причем смещения, параллельные напластованию, иногда образуют подошвенные структуры (рис. 9.18).
9.3. Признаки геологических структур 193
Рис. 9.17. Конседимеитационный сброс (часть опущенного блока снята). Слабо консолидированные осадки скользят по направлению к бассейну вдоль вогнутой вверх (ковшеобразной) поверхности разлома. Одновременные вращение опущенного блока и осадконакопление приводят к увеличению мощности в зоне разлома и обратному волочению слоев с образованием антиклинали, ось которой параллельна плоскости сброса. Сброс имеет аркообразную форму в плане с постепенно уменьшающейся от центра разлома амплитудой вертикального смещения. Такой разлом показан на рис. 9.24
Рис. 9.18. Сейсмический разрез, иллюстрирующий «подошвенные» структуры. [С разрешения «Экссон».] а — сейсмические данные ОГТ; отметки вверху отстоят друг от друга на расстояние 2 км, вертикальнее превышение масштаба составляет примерно И Х , уклон океанического дна меньше Г. б — интерпретация плоскостей скольжения; пунктиром нанесено многократное отражение от дна.
<•* о eoi
Рис. 9.19. Сейсмический разрез, иллюстрирующий течение глины. [С разрешения «Экссон».] а — сейсмические данные ОГТ; вертикальное превышение масштаба составляет от 5х до 8xt уменьшаясь с глубиной; б — интерпретация; линии соответствуют расположению отражающих границ; попытки коррелировать одни и те же отражения через разломы не делалось, исключая отражения, помеченные буквой «//» (угловое несогласие). Нижние концы разломов упираются в глины под аномальным давлением, которые перетекли влево и вверх в глинистый диапир Д.
9.3. Признаки геологических структур 196
Сбросы являются производными элементами других структурных стилей, например встречаются в сводовой части складок и над диапирами. Часто они связаны с течением глин и солей, особенно глин, находящихся под избыточным давлением. Поскольку горные породы при растяжении особенно ослаблены, то сбросы являются наиболее широко распространенными структурами.
Соляные и глинистые структуры бывают разнообразных типов, включая структуры течения и удаления солей, а иногда
Рис. 9.20. Соляные структуры растут в направлении бассейна, по мере того как мощность материнской соли увеличивается [173].
обрушения, которые возникают в результате растворения и удаления солей. На рис. 9.19 система конседиментационных сбросов образовалась непосредственно под кромкой шельфа, где> по-видимому, глины, находившиеся под аномально высоким давлением, подобно жидкости перетекали влево и вверх, образуя глинистые диапиры. Соль и глина часто создают поверхности срыва при образовании разломов [надвигов] и складок, сорванных со своих оснований. Структуры «плавучих солей» широко распространены вдоль пассивных континентальных окраин. Если двигаться в направлении бассейна, то встречаются последовательно структуры, образующиеся в результате удаления солей, подушки, протыкающие и непротыкающие купола, и, наконец, соляные «стенки» (рис. 9.20 и 9.21). По мере осадконакопления и погружения бассейна в сторону моря соль часто перемещается на значительные расстояния в глубь бассейна.
Седиментационные и структурные образования часто взаимосвязаны. Рифы могут расти над кромкой шельфа или на приподнятом крае повернутых блоков, ограниченных сбросами. Дифференциальное уплотнение может создавать структуры об-
•7*
^'/--ГоГ^^
Дельта,] « - с о л я н о й свод „ли подуш-
3
*
ришпул некоторую часть толщи осадков; в — соляной купол, который проткнул всю
толщу осадков и достиг морского дна.
9.3. Признаки геологических структур 197
лекания над рифами и краями шельфа. Продвижение береговой линии в сторону моря за пределы кромки шельфа может привести к образованию конседиментационных сбросов. Вес осадков, накопленных системой речных дельт, приводит к опусканию вследствие изостатической компенсации, влияющей на систему сбросов и вызывающей перемещение солей и глин.
9.3.2. Разломы
а) Введение. В идеале оси синфазности отражений резко прерываются, когда точка отражения достигает плоскости разлома, и затем они возобновляются в смещенном положении на другой его стороне. Кроме того, отражения должны быть достаточно выразительны, чтобы две части одного и того же отражения можно было узнать на противоположных сторонах разлома и определить смещение по разлому. На практике дифракция продлевает оси синфазности, так что местоположение плоскостей разломов неясно, хотя иногда можно наблюдать резкие прекращения записи. Во многих случаях мы можем провести только предварительную корреляцию через разлом, хотя иногда одно и то же отражение можно с уверенностью идентифицировать по обе стороны разлома. Кэмпбелл [21] рассмотрел критерии для выделения разломов на сейсмических разрезах.
б) Пример разлома. Два временных разреза на рис. 9.22 соединяются на своих северном и западном концах под прямым углом. На разрезе С—Ю (рис. 9.22, а) пакет отражений, представленный четырьмя фазами и обозначенный 2, легко прокоррелировать через сброс. Эти оси синфазности опущены на южном крыле несколько меньше чем на 2 периода (примерно 65 мс) при времени вступления 1,6 с; при скорости 2300 м/с это составляет вертикальное смещение по сбросу примерно на 75 м. Необычно сильное отражение на времени примерно 2,3 с (х) имеет вертикальное смещение в 3 периода (около 120 мс, преобладающая частота становится немного ниже); при скорости 3000 м/с это дает смещение по вертикали 180 м, так что амплитуда сброса резко возрастет с глубиной.
Хотя факты наводят на мысль, что этот сброс является простым изломом в приповерхностном участке, на больших глубинах он может представлять собой зону разломов, содержащую второстепенные сбросы (показанные на рисунке штрихами). Если на больших глубинах корректна корреляция через разлом (ы), то отражение от опущенного крыла £2 на времени 3,5 с находится в окрестности 2,9 с на приподнятой стороне; принимая на этой глубине скорость 3500 м/с, мы получаем вертикальное смещение 1050 м.
— t s w M —И
рис. 9.22. Пересекающиеся немигрированные разрезы, содержащие сбросы. [С разрешения GSI.] а — разрез в направлении С — Ю ; б—разрез в направлении В — 3.
9.3. Признаки геологических структур 199
Корреляция через разлом для неглубоких отражений на рис. 9.22, а основана на характере отражений; для более глубоких отражений она основана на интервалах между сильными отражениями, систематическом росте вертикального смещения с глубиной и временной невязке по замкнутому контуру. Иногда смещение поверхности несогласия и других распознаваемых особенностей будет давать величину вертикального смещения. Однако часто по сейсмическим данным смещение определить с уверенностью невозможно.
Если данные рис. 9.22 трансформировать в глубинный разрез, то мы получим рис. 9.23.
Углы наклона плоскости сброса составляют на рис. 9.23 примерно 55 и 48°. Заметим, что сброс, почти прямой на глубинном разрезе, вогнут вверх на временном разрезе из-за увеличения скорости с глубиной. Если поверхность сброса была бы действительно выгнута вниз, то кривизна была бы больше подчеркнута на сейсмическом временном разрезе. Там, где разлом был наиболее активен (отмечается наиболее быстрым ростом амплитуды сброса), поверхность сброса искривляется в наибольшей степени.
Сброс не полностью прекратил свое существование на северном конце профиля, и, следовательно, след его должен проявиться на пересекающем профиле (рис. 9.22,6). Поскольку выделенный на временном разрезе В—3 сброс сместил отражение на времени 1,6 с только на 30 м, это указывает на то, что сброс быстро затухает по направлению к востоку. Плоскость сброса имеет почти такой же угол падения на разрезе В — 3, как на разрезе Ю — С, так что простирание плоскости сброса
гшттшт Ш Ш ?f H f U f I l V <1
5 Я З Ш Ш Я H i ' i i f f i i H t W l M I ' WM' !Tf-Pli U W Vf
и
.
5 ViJ1 V
-VYnI" V s
I14fl
9.3. Признаки геологических структур 201
на пересечении двух профилей имеет направление CB — ЮЗ, и плоскость сброса наклонена на юго-восток. Истинный угол наклона плоскости сброса составляет примерно 62° (кажущийся угол наклона на разрезах всегда меньше, чем истинный, если только профиль не перпендикулярен к линии простирания разлома). Признаков сброса ниже времени 2 с на разрезе В — 3 не видно, так что сброс, по-видимому, затухает на глубине в восточном направлении. В слабо консолидированных осадках такое быстрое затухание сбросов обычно. В данном случае мы имеем дело с радиальными сбросами от глубинного соленосного диапира, расположенного непосредственно на югозапад от рассмотренных профилей. Такие радиальные сбросы быстро затухают с удалением от поднятия.
в) Признаки разломов. На предыдущем примере можно было видеть некоторые наиболее известные признаки сбросов. Вдоль следа разлома на рис. 9.22, а между временами 1,9 и 2,5 с отмечено несколько дифрагированных волн. Если мы имеем дело с разрезами после миграции, то эти волны должны были быть устранены (но не полностью, так как разлом не перпендикулярен к линиям профиля). Другими важными признаками сброса являются прерывание осей синфазности, смещение отражений (и зон отсутствия отражений) через разлом.
Часто наблюдаются разные углы наклона осей синфазности по обе стороны сброса. Некоторые изменения углов наклона существуют на самом деле в связи с незначительным вращением разреза, когда пласты, перемещающиеся вдоль слегка искривленной поверхности разлома, претерпевают изгибание на крыле разлома и в результате других реальных явлений. С другой стороны, наблюдается некоторое искривление осей (особенно на приподнятом блоке), происходящее в результате изменения кривизны траектории сейсмического луча (рефракции) при прохождении через плоскость разлома, поскольку на разломе наблюдаются локальные изменения скорости. В то время как на приподнятом крыле осадки, вероятно, имеют наибольшую на данном уровне скорость, полярность и амплитуда сигнала резко изменяются вниз вдоль плоскости разлома, поскольку против одних пачек пород оказываются другие пачки; таким образом, характер искривления поверхности разлома различен для разных участков. В действительности искривление может быть настолько большим и изменяться так быстро, что вызовет заметное ухудшение качества данных ниже поверхности разлома,
Рис. 9.24. Сетка из четырех сейсмических профилей, иллюстрирующих конседиментационный сброс. Разрезы подверглись миграции. [С разрешения «Коноко».]
Tl 202 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
иногда настолько сильное, что отражения там будут почти совершенно отсутствовать (зона тени).
Иногда поверхность разлома сама образует отражение, но, как правило, из-за резких перепадов скорости вдоль плоскости разлома граница, соответствующая этому отражению, очень неустойчивая. Кроме того, разлом образует зону, которая состоит из множества раздробленных поверхностей. В результате использования таких расстановок и скоростей суммирования, которые не оптимизируют эти отражения, большая часть отражений от плоскости разлома не выявляется при регистрации и обработке сигналов. В дополнение к этому отражения от плоско-
Рис. 9.25. Типы разломов зависят от направлен^ максимальных и минимальных напряжений: а — сбросы; б — надИиги; в — сдвиги.
сти разлома на немигрированных разрезах смещены на значительное расстояние от него, и время пробега волн до этих границ настолько велико (из-за наклона луча), что отражения не регистрируются и не обрабатываются. Многие из перечисленных выше признаков разломов можно выделить на рис. 9.24, где приведен конседиментационный сброс того типа, как на рис. 9.17. Разломы других типов также имеются на рис. 9.24.
г) Характеристика разломов. Несбалансированные напряжения, превышающие прочность пород, приводят к возникновению разломов. Тип разлома зависит главным образом от того, какое напряжение преобладает: вертикальное или горизонтальное (рис. 9.25). Сбросы образуются при максимальном вертикальном и минимальном горизонтальном напряжениях сжатия (рис. 9.25, а) и часто имеют углы наклона порядка 50—60°. Когда максимальное сжимающее напряжение направлено по горизонтали, образуется надвиг (рис. 9.25,6), часто с плоскостью сместителя, наклоненной под углом 30—40°. Если и максимальное и минимальное напряжения горизонтальны, образуется (рис. 9.25, в) сдвиг, плоскость которого составляет примерно 30° с направлением максимального напряжения.
Поскольку скорость, как правило, увеличивается с глубиной, по ^epe увеличения глубины одному и тому же вертикальному
9.3. Признаки геологических структур 203
расстоянию соответствуют меньшие временные интервалы, вследствие чего разломы, образовавшиеся после осадконакопления, с постоянными элементами залегания и вертикальным смещением на временном разрезе имеют вогнутость вверх. К тому же постоянное вертикальное смещение при увеличении глубины и скорости представлено меньшими длинами волн, и поэтому разлом с постоянным вертикальным смещением на временном разрезе как бы затухает с глубиной. Уплотнение после разломообразования с увеличением глубины залегания также образует искривленную поверхность, обращенную вогнутостью вверх. Таким образом, след разлома на сейсмическом разрезе редко бывает прямым.
Расположение разломов часто определяется нижезалегающими структурами. Подстилающее поднятие создает растяжение в перекрывающих осадках, образуя над ним структуры облекания.
Грабенообразование ведет к снятию напряжения, но если поднятие трехмерное, а не двумерное, то необходимы также радиальные сбросы (рис. 9.8). Сбросы всегда сопутствуют растяжению над шарнирной линией или на краю шельфа, где сторона края шельфа, обращенная к бассейну, опускается быстрее (рис. 9.19). Расположение разлома может быть ключом к пониманию нижележащих структур, и наоборот, нижележащие структуры могут помочь в уточнении неясных признаков разломов для создания вероятной картины.
9.3.3. Складки и структуры течения
Горные породы под действием напряжений могут образовать разломы, складки или структуры течения в зависимости от величины и длительности действия напряжения, прочности пород, свойств соседних пород и т. д. Образование антиклинальных складок и куполов создает ловушки, в которых концентрируются нефть и газ.
На рис. 9.26 показан подвергнутый миграции сейсмический разрез, проходящий через антиклиналь. Некоторые пласты (такие, как Л), которые сложены более компетентными породами (например, известняками или консолидированными песчаниками), в процессе складкообразования в основном сохраняют свою мощность. Другие (такие, как В), содержащие менее компетентные породы (часто глины и эвапориты), проявляют тенденцию течь и скользить вдоль плоскостей напластования, что приводит к заметным вариациям мощности в пределах коротких
Рис. 9.26. Мигрированный сейсмический разрез, содержащий антиклинальную структуру в Центральной долине Калифорнии. [С разрешения «Гетти ойл энд джеоком».]
9.3. Признаки геологических структур 205
интервалов. Геометрия ставит предел возможному размаху складкообразования, и часто возникновение складок сопровождается образованием разрывов (рис. 9.16,в). На рис. 9.26 в зоне С заметна взаимосвязь складок с разломом.
В связи с тем что вспучивание пластов создает растяжение, осадки разрываются вдоль сбросов и образуют в кровле структуры типа грабенов. На некоторой глубине складкообразование прекращается за счет процессов сбросообразования и течения. Как правило, сейсмические отражения в области над антиклиналями становятся слабее и увеличивается вероятность разрывов и течений, вследствие чего качество данных обычно ухудшается. Последнее очевидно на рис. 9.27.
В результате течения соли образуются антиклинали и купола. Во многих частях земного шара мощные соляные отложения были довольно быстро погребены под относительно неконсолидированными осадками. Осадки уплотняются с глубиной, т. е. их плотность возрастает, в то время как плотность соли остается примерно постоянной. Таким образом, ниже некоторой критической глубины соль будет менее плотной, чем вышележащие осадки. Она будет вести себя подобно вязкой жидкости под достаточно большим давлением; благодаря плавучести соляной поток, двигаясь вверх, образует соляной купол, выгибая вышележащие осадки и иногда протыкая их (рис. 9.21). Однако протыкание не обязательно влечет за собой воздымание, так как к такому же результату приводит опускание осадков, окружающих соляной шток. Часто скорости в «приподнятых» породах почти те же, что и в соседствующих с ними по латерали «неподнятых» породах. Из этого следует, что они не были погребены когда-либо глубже; если бы они были погребены, то неизбежно стали бы менее пористыми и имели более высокие скорости.
Грабены и радиальные сбросы (вертикальные смещения по которым уменьшаются с расстоянием от купола) часто образуются в результате изгибания вышележащих осадков (рис. 9.8), снимая напряжение, которое сопровождает процесс изгибания. Соляные купола, как правило, образуются вдоль зоны ослабления осадков, например вдоль большого регионального сброса. Склоны соляного купола можно рассматривать как сбросы.
На рис. 9.28 показан сейсмический разрез через соляной купол. Наличие неглубоких соляных куполов столь очевидно, что их едва ли можно с чем-нибудь спутать. Из-за большого перепада акустической жесткости кровля соляного купола (или покрышка на кровле купола) может быть резкой отражающей границей. Примыкающие к соляным куполам осадки имеют крутые углы наклона в результате перемещения их с солью по
Г-4
О CN о 'WiAinHo
9.3. Признаки геологических структур 207
мере перетекания ее вверх. Часто осадки резко выклиниваются в направлении купола. Сама толща соли не дает первичных отражений, хотя многократные волны затушевывают это свойство, особенно если используется АРУ.
Точное определение флангов соляного купола очень важно с точки зрения экономики и в то же время трудно для сейсморазведки. Нефть часто находится в узкой полосе, примыкающей к флангам купола, но, поскольку фланг обычно почти вертикален, он редко порождает распознаваемое отражение. К счастью, рост диапира чаще всего лишь незначительно влияет на распределение скоростей (за исключением скорости в соли и покрышке), поэтому положение круто падающих пластов, примыкающих к флангам, удается установить при миграции довольно точно и фланги купола очерчиваются окончаниями этих отражений. Тем не менее очерчивание флангов соляных куполов остается большим искусством и определяется опытом.
Соль поступала в купола непосредственно из окружающих районов. Удаление соли из-под осадков, окружающих купол, приводило к оседанию осадков с образованием кольцевой синклинали. Сейсмические записи над такими синклиналями бывают очень хорошего качества и помогают при картировании соседнего купола, так как указывают объем вовлеченной в него соли в процессе ее перемещения (увеличение мощности осадков) и т. д. Такие синклинали помогают также предопределить контуры замыкания на соседних площадях, где осадки продолжают поддерживаться остаточной солью.
На рис. 9.21 представлена часть разреза, полученного в Северном море (горизонтальный масштаб сжат для удобства представления данного участка, что привело к значительному увеличению масштаба по вертикали). На профиле наблюдаются глубоко залегающие соляные вздутия, которые не протыкают вышележащие отложения (рис. 9.21, а); соль, протыкающая часть осадочного разреза (рис. 9.21,6), и соль, заполняющая весь путь до морского дна (рис. 9.21, в). Отражение от основания соли обычно непрерывное и ненарушенное, но искривления осей вследствие переменной мощностью соли над ним иногда препятствуют прослеживанию этого отражения. Поскольку скорость в соли здесь больше, чем в соседних осадках, отражение от основания соли протягивается вверх там, где соль имеет большую мощность. На других площадях, где скорость в соли меньше, чем в окружающих породах, по-видимому, плоская отражающая граница основания соли может исчезать там, где вышележащая толща соли имеет большую мощность.
Рис. 9.27. Разрез из бассейна Ардмор, шт. Оклахома (однократное прослеживание). [С разрешения GTS.]
9.3. Признаки геологических структур 209
На рис. 9.29 можно видеть соляное поднятие на краю шельфа. Движение соли происходило в основном до образования поверхности несогласия U2, хотя правая сторона продолжала опускаться в некоторой степени даже после образования Uu создав моноклиналь в вышележащих осадках. Отметим, что грабенообразование наилучшим образом видно на времени примерно 2,0 с.
Иногда и другие вещества, кроме соли, образуют структуры течения. Слабо консолидированные глины могут течь, в результате чего формируются структуры, которые на разрезах MOB сильно напоминают соляные купола. Иногда глины перетекают вместе с солью, образуя соляные купола с покровом глин. В осадочный разрез иногда втекает и магма, образуя структурные поднятия, включая купола протыкания.
9.3.4. Рифы
Термин «риф», используемый геологами-нефтяниками, охватывает широкое разнообразие типов, включая как протяженные барьерные рифы, прослеживающиеся на больших площадях, так и небольшие одиночные столбообразные формы. Это карбонатные структуры, построенные непосредственно живыми организмами, образования, состоящие из известняков и других карбонатных пород, а также банки, сложенные чередующимися слоями карбонатных (а иногда и некарбонатных) отложений. Размеры рифов колеблются от нескольких десятков метров до нескольких километров; большие рифы имеют десятки километров в длину, несколько километров в ширину и 200—400 м и более по вертикали. Рифы окраины шельфа и барьерные (рис. 9.30) образуются на границе различных обстановок, в то время как для возникновения изолированных и столбчатых рифов нужны одинаковые условия окружающей среды.
Опишем модель рифа, по которой можно будет разработать основные критерии, позволяющие распознавать рифы на сейсмической записи. При этом мы отдаем себе отчет в том, что всякое отклонение от модели может внести существенные изменения в эти критерии. Принятая нами модель рифа находится
Рис. 9.28. Немигрированный разрез через соляной купол, залегающий на промежуточной глубине. Над куполом отмечается спускающаяся к нему система сбросов (грабен). Уменьшение мощности пластов по мере приближения к куполу и положение кольцевой синклинали по глубине можно использовать для выяснения истории роста купола. Приподнятая область и разнонаправленные углы падения в правой стороне разреза, вероятно, указывают на существование другого купола в стороне от сейсмического профиля. [С разрешения «Вестерн джеофизикал».]
9.3. Признаки геологических структур 211
в тектонически спокойном районе, характеризующемся горизонтальным напластованием, более или менее однообразным на большой площади. Однородность разреза позволяет замечать слабые изменения, порожденные рифом, которые могли бы остаться незамеченными в районах более активной тектоники. Рифы являются результатом жизнедеятельности морских организмов, обитающих в зоне волновой активности, где температура воды способствует их интенсивному росту. Обычно риф располагается в наиболее приподнятых участках дна, что обеспечивает подходящую глубину. Такими приподнятыми уча-
Столбчатый г- , -
Риф окраины шельфа Л
\
Барьерный
Рис. 9.30. Типы рифов [i7].
стками могут быть структуры нижележащих горизонтов или фундамента, например горсты, но чаще всего они представляют собой поднятия, обусловленные развитием более ранних рифовых массивов; рифы стремятся расти вертикально вверх, иногда достигая мощностей 400 м и более, благодаря чему усиливается их проявление на сейсмических разрезах. В период морской трансгрессии, для того чтобы риф рос вертикально вверх, в процессе наращивания тела рифа основание его должно опускаться, тем самым сохраняя вершину в волновой зоне. Риф может образовать барьер между областью лагуны (зарифовой) и океаническим бассейном (tipедрифовой); поэтому на противоположных сторонах рифа осадки (и, следовательно, волновая кар-
Рис. 9.29. Мигрированный разрез через довольно глубоко залегающий соляной купол. Отмечаются признаки поверхностей несогласия Uu U2. Скорости, обеспечивающие оптимальное суммирование, для этого профиля выведены на рис. 8.14. [С разрешения «Сейском дельта».]
Tl 212 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
тина) могут быть различными. Окружающий риф бассейн бывает некомпенсированным (т. е. скорость прогибания его больше, чем скорость осадконакопления), иногда только одна сторона рифа (чаще обращенная к океану) может быть некомпенсированной. С другой стороны, если риф не является барьером для перемещения осадков, то в этом случае он будет окружен однотипными породами. Эрозия рифа приводит к образованию детрита, который отлагается в примыкающих к рифу участках, образуя передовые слои с углом наклона, иногда достигающим 20°, но обычно порядка 1—2°.
Первичный риф может обладать значительной пористостью, что делает его хорошим потенциальным коллектором углеводородов, но некоторые организмы, например губки, могут проникать внутрь тела рифа и замещать большую часть его пород, изменяя тем самым пористость. Обычно собственно биогермную часть рифа (вещество, образуемое рифостроящими организмами) невозможно отличить от других его участков без изучения образцов пород, и «рифом» называют весь комплекс рифогенных отложений, только 15 % которого может быть биогермом. Среда обитания рифогенных организмов может измениться так, что они уже не смогут жить и строить риф. Это бывает связано с изменением температуры воды, увеличением скорости опускания и т. д., что вызывает отставание в росте органической постройки (явление, названное затоплением рифа). Впоследствии риф может быть погребен под глубоководными глинами, которые будут служить непроницаемой покрышкой как для пористого рифа, так и для значительного количества углеводородов, в результате чего риф становится коллектором для нефти. В дальнейшем осадки могут продолжать накапливаться и своим весом уплотнять осадки, вмещающие риф, в большей степени, чем само более жесткое тело рифа; таким образом, вышележащие осадки, отлагающиеся горизонтально, могут образовать структуру облекания рифа. Внутренняя часть рифа может быть более пористой и менее жесткой, чем края, поэтому над самым рифом будет существовать некоторое различие уплотнений.
Основываясь на описанной выше модели, выведем критерии для выявления рифа, которые иллюстрируются рис. 9.31. Очертания рифа можно выявить с помощью отраженных волн (рис. 9.31, а ) , но, вероятно, во внутренней его части отражения будут отсутствовать (рис. 9.31,6). Мы можем видеть дифракцию от вершины и флангов рифа (рис. 9.31,в). Резкое прерывание отражений от вмещающих осадков может указывать местоположение рифа (рис. 9.31,г). Если риф служил барьером при осадконакоплении, то вся волновая картина может различаться по обе стороны рифа, отражая тем самым различные
9.3. Признаки геологических структур 213
и
к
Рис. 9.3/. Критерии выделения рифа [17]. а — риф, оконтуренный отражениями; б — отсутствие отражений; в — дифракция от краев рифа; г — резкое прекращение отражений; д — различия в волновой картине на противоположных сторонах рифа; е — дифференциальное уплотнение над рифом; ж — скоростная аномалия под рифом при V риф > Уокр и з — при Уриф < VOKP', и — риф, расположенный на флексуре и к — на структурном поднятии.
обстановки осадконакопления (рис. 9.31,(9). Из-за различия в уплотнении отражения от перекрывающих риф осадков могут выражаться в виде незначительного поднятия (с амплитудой в несколько миллисекунд), причем при удалении от рифа вверх этот эффект уменьшается (рис. 9.31, е). Различия скоростей в рифе и вмещающих отложениях могут приводить к изменению времен пробега до горизонтально залегающих границ ниже рифа [39], и эти скоростные различия могут явиться причиной образования псевдоструктур на отражающих горизонтах под рифом.
Обычно скорость в рифовых известняках больше, чем во
вмещающих глинах; поэтому риф можно обнаружить по умень-
Tl 4 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
тению временного интервала между отражениями над и под рифом, а также по псевдоподнятию под рифом (рис. 9.31,ж)\ амплитуда таких аномалий невелика — обычно менее 20 мс. Однако иногда рифы могут быть окружены эвапоритами или другими породами, скорости в которых выше, чем в пористом рифовом известняке; в этом случае аномалии становятся обратными (рис. 9.31, з). Предопределяющие развитие рифа флексуры или поднятия также можно выявить (рис. 9.31, и, к).
й
Рис. 9.32. Разрез, пересекающий атолл Хорсшу в Западном Техасе. Буквой R обозначена часть разреза, содержащая риф (немного левее центра). Справа располагается зарифовое пространство горизонтально залегающих интенсивных непрерывных отражений (Ar), слева — предрифовое, характеризующееся совершенно иной волновой картиной (Л). [С разрешения «Коноко».]
Признаки существования рифа часто бывают настолько тонкими, что сейсмическое картирование рифов возможно только на площадях с хорошей сейсмической записью. Важно иметь геологическую информацию о характере осадков и условиях •осадконакопления, чтобы заранее знать, в какой части разреза наиболее вероятно нахождение рифа. В той части сейсмического разреза, где ожидаются рифы, тонкие особенности записи можно интерпретировать как проявления рифа, тогда как сходные признаки в другом месте разреза не принимаются во внимание.
Временами вызывает затруднение сходство характерных особенностей сейсмической записи для рифа и соли. Лагунное
9.3. Признаки геологических структур 215
пространство за рифами часто благоприятствует образованию эвапоритовых отложений, так что соль будет присутствовать в той же самой части стратиграфической колонки. Мощность соли может быть недостаточной для того, чтобы сформировать сейсмическую запись, свойственную диапирам, но частичное растворение соли с последующим обрушением вышележащих
Рис. 9.33. Два изолированных рифа в бассейне Этоша в Юго-Западной Африке. С—карбонатный участок разреза, В — основание рифов. Зоны рифов приблизительно отмечены стрелками под разрезом. Риф слева имеет мощность около 85 мс (210 м), риф с п р а в а — 1 2 0 мсг (300 м). [С разрешения «Этоша петролеум».]
осадков в образовавшуюся полость может создать волновую картину, во многом сходную с той, которую дают рифы.
На рис. 9.32 приведен сейсмический разрез через барьерный риф. В поперечном сечении рифа отмечается изменение волновой картины, дифференциальное уплотнение и поднятие, обусловленное различием скоростей, а также изменение элементов залегания отражающего горизонта под рифом, на котором выделяется слабая флексура. На рис. 9.33 показан профиль, пересекающий изолированные рифы. Местоположение изолированных рифов часто трудно определить, поскольку они обычно меньше по мощности, чем барьерные.
Tl 216 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
'9.3.5. Поверхности несогласия и русла рек
Поверхности несогласия соответствуют отсутствующим комплексам пород, т. е. периоду времени, в течение которого породы «были размыты или по крайней мере не отлагались. Во время перерыва, вероятно, изменялись условия осадконакопления, поэтому природа осадков, залегающих над поверхностью несогласия, часто отличается от природы нижележащих осадков, и на поверхности несогласия имеются перепады акустической жесткости. Вследствие этого поверхности несогласия обычно являются хорошими отражателями. Они часто приводят к образованию некоторого угла между плоскостями напластования ниже и выше по разрезу, что способствует их выделению с помощью отраженных волн. На основании этого поверхности несогласия являются наиболее легко обнаружимыми и наиболее четкими отражающими границами для картирования. С другой стороны, породы, разделяемые поверхностью несогласия, нередко изменяются от одного места к другому, так что перепад акустической жесткости на границе раздела меняется и, следовательно, отражение от поверхности несогласия изменяется по «амплитуде (рис. 9.34), а иногда изменяется и его полярность (рис. 9.35). Могут существовать регионы, в которых слои выше и ниже поверхности несогласия параллельны ей, так что отсутствует угол, который позволяет отличить отражения поверхности несогласия от других отражений. В таких регионах поверхность несогласия приходится картировать путем корреляции ее вдоль напластования с теми участками, где ее удается выявить с помощью угла между слоями на сейсмическом разрезе или же по скважинным или другим данным.
На рис. 8.26 и 9.29 отчетливо выделяются поверхности несогласия, главным образом благодаря углам между пластами и весьма сильным отражениям от самих поверхностей несогласия.
С поверхностями несогласия связаны различные типы углеводородных ловушек, такие, как 1) выклинивание и срез пластов-коллекторов поверхностью несогласия, где поверхность несогласия образует изолирующий слой, и 2) стратиграфические изменения в осадках, сформированных выше поверхности несогласия (см. также рис. 9.38). В большинстве своем стратиграфические ловушки связаны с поверхностями несогласия. Потоки, текущие через поверхность несогласия, могли размыть в ней долины, и осадки, принесенные ^потоком, способны образовать коллектор или изолирующий слой.
В центральных районах США и других местах ряд нефтяных и газовых месторождений связан с древними руслами рек. Рельеф, связанный с большими речными долинами, может быть достаточным для появления структурных признаков, но чаще
Рис. 9.34. Мигрированный разрез, полученный в море у побережья шт. Орегон и иллюстрирующии складки и сбросы ниже поверхности несогласия. [С разрешения «Вестерн джеофизикал».]
Tl 218 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Рис. 9.35. Участок мигрированного разреза, иллюстрирующий изменение полярности отражения от поверхности несогласия UUr вследствие изменения скорости в осадках погребенного среза. [С разрешения «Сейском дельта».]
Рис. 9.36. Карта горизонтального среза, иллюстрирующая различную отражательную способность вдоль одной и той же отражающей границы. Трехмерное множество данных срезано вдоль одного отражения почти так же, как на карте временного среза (рис. 5.35 и 5.36), где произведен срез вдоль постоянного времени' вступления. Картина отображает русло меаидрировавшего потока [16].
9.3. Признаки геологических структур 219
всего сейсмические эффекты будут незначительными. На
рис. 9.36 представлен неглубокий сейсмический временной срез;
(см. рис. 5.35 и 5.36), который отображает картину меандри-
рующего потока. Можно сделать вывод, что в сейсмических,
данных содержатся даже слабые признаки структур, и задача
состоит только в том, сможем ли мы найти экономически допу-
стимые пути извлечения этой информации. Пример поиска
скоплений углеводородов, связанных с руслами рек, рассматри-
вается в § 9.7.4.
т——
0,9
Рис. 9.37. Сейсмоакустический разрез, иллюстрирующий русловые углубления и отложения. Современное русло можно видеть на отражении от морского дна вместе с естественной насыпью слева, оба образовались при глубине воды примерно 750 м. Отмечены также другие* более древние русла и насыпи.
Сейсмическое профилирование MOB при глубокой воде часто позволяет обнаружить углубления, образованные руслами,, и русловые отложения (рис. 9.37). Это свидетельствует о том, что русла имеются не только на суше, но и в глубоководной морской обстановке. Турбидитные течения местами прорезали глубокие каналы и возвели обширные намывные системы в глубоководных условиях. (Турбидитное течение — это плотностное течение в воде, обусловленное присутствием разных количеств твердых веществ во взвешенном состоянии; играет важную роль в подводной эрозии и осадконакоплении.)
Некоторые каналы образуются в результате понижения уровня моря, другие — в результате процессов морской эрозии. Браун и Фишер [15] предложили идею «разрушения шельфа»,, связывающую русловую эрозию на шельфах с образованием новых материалов для осадконакопления; эта идея помогла открыть месторождения в конусах выноса на склонах Бразильского побережья.
9.3.6. Стратиграфические ловушки
Риттенхауз [121] дал схему классификации стратиграфических ловушек (табл. 9.2). Основным принципом классификации явилось положение ловушек по отношению к поверхности несогласия. Некоторые из них приведены на рис, 9.38.
Tl 220 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
. • •••.!чЧчУЛ МЛГ.Г-./да^ в
/Шг ЖК /v'y / / г
4^e
9ис. 9.38. Некоторые типы стратиграфических ловушек. Породы-коллекторы отмечены штриховкой, непроницаемые породы незакрашеы Г121]. а — накопление песков на флангах растущей структуры является результатом развеивания и латерального переноса песка; б — песчаное тело формируется по краю шельфа в результате понижения уровня моря; в — накопление песка над растущей структурой вследствие развеивания; г — пласты-коллекторы «обнажаются» на поверхности несогласия; д — образование ловушки против непроницаемых осадков в заполнении долины; е — осадки-коллекторы в заполнении долины или каньона; ж — ловушка против холма или другой формы рельефа на поверхности несогласия; з — скопления против озера и береговой скалы; и — песок-коллектор, залегающий с подошвенным несогласием; /с —скопления в погребенном срезе по бокам заполнения долины.
9.3. Признаки геологических структур 221
Таблица 9.2. Классификация стратиграфических ловушек [121]
I. Не примыкающие к поверхности несогласия A. Ловушки, связанные с фациальными изменениями, коллекторы перенесены течением 1) Эоловые (дюны или покровы) 2) Аллювиальные конусы выноса 3) Аллювиальные долины (разветвленная река, русловые отложения, коса) 4) Дельтовые (устья рукавов, песчаные косы, покровы, русловые отложения) 5) Не дельтовые прибрежные (песчаный пляж, береговой бар, намывная коса, приливно-отливная дельта или отмель) 6) Мелководные морские (приливной бар, песчаный пояс, намыв, край шельфа, мелководные турбидиты или наносы) 7) Глубоководные морские (подводный конус выноса, глубоководные турбидиты или наносы) Б. Коллектор, не подвергавшийся переносу течением 1) Сила тяжести (оползание) 2) Биогенные карбонаты (рифы окраины шельфа, изолированный риф, водорослевые постройки или покров) B. Диагенетические ловушки 1) Изменения от неколлектора до коллектора а) замещение и выщелачивание (доломитизация) б) выщелоченные в) брекчированные г) трещиноватые 2) Изменения от коллектора до неколлектора а) уплотнение (физическое или химическое) б) цементация
II. Примыкающие к поверхности несогласия А. Ловушки под поверхностью несогласия 1) И з о л и р о в а н ы выше поверхности несогласия а) погребенный срез на поверхности несогласия б) топография (склон или плечо долины, консеквентный склон, уступ, долина, поперечный срез) 2) Изолированы ниже поверхности несогласия а) минеральный цемент б) смоляная закупорка в) продукты выветривания Б. Ловушки над поверхностью несогласия 1) Р а с п о л о ж е н и е коллектора контролируется рельефом поверхности несогласия а) с двух сторон (долина, каньон, заполнение) б) с одной стороны (озерный или прибрежный утес, борт долины, фланг возвышенности или структуры) 2) Связаны с трансгрессией моря
Большая часть неразведанных углеводородных скоплений, вероятно, заключена в стратиграфических ловушках. В работе [41, 93, 94] рассмотрены сейсмические проявления стратиграфических ловушек, взятые из опубликованных описаний фактических примеров. Картина, которая там обрисована, не вдохновляла: большинство стратиграфических скоплений, упомянутых в литературе, были найдены в процессе поиска чего-то другого,
Tl 222 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
т. е. чисто случайно. Нам известны случаи запланированных поисков стратиграфических ловушек, которые оказались успешными, но их описания не были опубликованы. Мы полагаем, что современная методика в сочетании со скважинными данными и геологическими представлениями вполне приемлема для проведения поисков и усовершенствование методики, которое, вероятно, будет сделано в будущем, расширит в значительной степени возможности для успешных поисков.
Шерифф [145] приводит следующую цитату: «Как бы то ни было, изучение стратиграфических случаев позволяет сделать один важный вывод. Хотя открытие стратиграфических скоплений не было связано с обширными исследованиями, гениальность заключалась в том, чтобы быть начеку в момент, когда встречается сюрприз. Часто сюрпризы обнаруживаются на каротажных кривых: некоторые участки отличаются от того, чего мы ожидали, так что рядом могла находиться стратиграфическая ловушка. Но где? Это как раз тот случай, когда в силу входит анализ характерных особенностей отражений. Он может помочь локализовать скопление, на мысль о котором наводила скважинная кривая. С его помощью можно будет обнаружить стратиграфические ловушки непосредственно, а не полагаясь на удачу и статистику».
9.3.7. Связь с другими геофизическими данными
Интерпретатор должен использовать в своей работе всю имеющуюся у него информацию. Если в его распоряжении есть другие геофизические данные, особенно гравиметрические и иногда магнитные, то их следует проанализировать с тем, чтобы установить согласование гравитационных и магнитных полей с картируемыми структурами. Природа диапира не всегда ясна из анализа одних только сейсмических записей, и привлечение другой информации поможет уменьшить неопределенность. На основе сейсмической структурной интерпретации можно построить гравитационную модель, если приписать различным частям разреза определенные значения плотности; затем гравитационное поле, вычисленное на основе этой модели, сопоставляется с измеренным гравитационным полем. Сравнение поможет обнаружить области разногласия, требующие пересмотра сейсмической интерпретации. Глубина ^ залегания фундамента, которую не удается определить по сейсмическим данным, может устанавливаться по магнитным данным. Скорости распространения преломленных волн могут помочь в определении характера некоторых отражающих границ. Там, где качество сейсмических данных плохое, например в районах распространения на поверхно-
9.4. Моделирование
223
сти карста или вулканического материала, для уменьшения неоднозначности интерпретации можно использовать данные магнитотеллурического зондирования.
9.4. Моделирование
9.4.1. Введение
При интерпретации сейсмических данных постоянно требуется иметь схематическую модель той части недр Земли, в которой производятся сейсмические измерения. Модель является упрощенным представлением реального разреза Земли, в которое включены только те элементы, которые, как считается, оказывают наиболее значительное воздействие на измерения. Например, отождествление скорости при суммировании (Когт) со средней квадратической скоростью основано на модели, в которой скорость не изменяется в горизонтальном направлении, а коррекция статических поправок основана на модели, в которой направление распространения волн в зоне малых скоростей вертикально независимо от направления лучей ниже ЗМС. Моделью могут служить реальная физическая модель, математические выражения или просто несформулированное мысленное представление.
Выделяются два типа моделирования: прямое и обратное. Прямое моделирование состоит в расчете поля, создаваемого моделью, а обратное моделирование — в вычислении возможной модели на основе наблюдаемых полей. Обратное моделирование в некотором смысле включает весь процесс интерпретации и неизменно связано с неопределенностью и неоднозначностью. Слово «моделирование» без предшествующего прилагательного подразумевает прямое моделирование.
При прямом моделировании на основе принятой модели рассчитываются ожидаемые значения параметров, которые затем сравниваются с результатами реальных измерений. Различия («ошибки») относят за счет или неточности модели, или неучтенных факторов. Моделирование — процесс итеративный: модель изменяют, чтобы уменьшить ошибку, получают новую ошибку и т. д. до тех пор, пока ошибку удается уменьшить до приемлемой величины. Однако достаточное согласие еще не означает, что данная модель соответствует реальной Земле; другая модель тоже могла бы обеспечить достаточное согласие.
9.4.2. Физическое моделирование
Многие геологические явления слишком сложны для теоретического рассмотрения. Поэтому к моделированию иногда относят эксперименты на миниатюрных физических моделях (рис. 9.39).
Tl 224 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Однако, для того чтобы результаты таких экспериментов можно было использовать, необходимо, чтобы модель по геометрическим, кинематическим и динамическим параметрам была подобна моделируемым системам [74]. Геометрическое подобие достигается сохранением в модели тех же углов, что и в исследуемой системе, и пропорциональных линейных размеров. Если
Рис. 9.39. Бак для сейсмического моделирования в Хьюстонском университете. Сейсмические модели имитируют трехмерные слоистые структуры и делаются из смолы или других материалов, образующих слои с с горизонтальными размерами 30—60 см и вертикальными 5—10 см. Они погружены в заполненный водой бак. Чтобы получить сейсмические данные, источники и приемники передвигаются над моделями; их движение контролируется ЭВМ, с помощью которой имитируются различные полевые регистрирующие расстановки. (Фотография сейсмоакустической лаборатории Хьюстонского университета.)
^ — отношение длин, то отношение площадей и объемов пропорционально fK2 и ^3 соответственно. Кинематическое подобие касается отношения времен т, требуемого для получения подобных изменений в местоположении или форме. Отношения скоростей и ускорений будут равны Х/т и X/т2 соответственно, а отношения угловых скоростей и угловых ускорений будут 1/т и 1/т2. Динамическое подобие касается отношения масс ц; оно фиксирует отношение плотностей |ыД3. Силы, действующие на соответствующие элементы масс, должны быть такие, чтобы движения и изменения формы были геометрически и кинематически
9.4. Моделирование
225
подобными; отношение сил равно \iX/x2. Безразмерные величины (типа коэффициента Пуассона) должны иметь одно и то же численное значение. Таким образом, существуют только три независимых значения: X, т, р,.
Например, мы хотим представить 1 км в Земле как 10 см в модели, следовательно, отношение модельного расстояния к реальному составит ^ = 1 0 - 4 . Значения скоростей сейсмических волн обусловлены имеющимися в наличии материалами, и отношение модельной и реальной скоростей может колебаться только на незначительную величину, т. е. Х/т « 1. Поскольку X уже выбрано, это ограничивает значения т. Если модельный материал имеет ту же самую скорость, что и Земля, то т = Ю-"4, и мы должны использовать частоты, в IO4 раз большие, чем применяются при натурных измерениях (так как отношение частот зависит от 1/т). Плотности модельных материалов примерно те же самые, что и вещество Земли; поскольку отношение плотностей I i A 3 = I , это определяет отношение масс р « IO12. Если мы хотим моделировать несколько явлений одновременно, скажем различные моды распространения волн, затухание и т. д., мы должны быть уверены в том, что участвующие в эксперименте параметры составляют с параметрами нашей модели отношения Xt т и р. Примеры физического моделирования приведены на рис. 4.8 и 4.28.
9.4.3. Моделирование на ЭВМ
Чаще всего моделирование производится на ЭВМ, и несколько примеров было приведено в т. 1. При математическом моделировании на ЭВМ используется множество алгоритмов, начиная с простой свертки сейсмического импульса с последовательностью коэффициентов отражения, до построения сейсмических лучей в модели, где лучи отклоняются по закону Снеллиуса, и волновых методов, основанных на соотношениях типа уравнения Кирхгофа (2.34), или методов волнового уравнения, применяемых при проведении миграции (§ 8.3.3 или § 8.3.4) и включающих дифракцию [59]. Синтетические сейсмограммы (§ 9.4.4) помогают понять, каким именно образом стратиграфические изменения могут влиять на сейсмическую запись, а моделирование сейсмического луча (§ 9.4.6) —определить отклонения, которые образуются в случае сложных распределений скорости. Если алгоритмы и модели надежные, сходство с реальными сейсмограммами хорошее. Моделирование является неоценимым инструментом обучения [71], но в нем постоянно используются допущения и приближения, которые нельзя забывать, когда делаются выводы.
Я Зак.631
Tl 226 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
9.4.4. Синтетические сейсмограммы
а) Одномерные синтетические сейсмограммы. Сейсмическая трасса, выраженная сверткой сигнала (уравнение (8.29)), представляет собой просто сейсмический импульс, свернутый с функцией отражательной способности земных недр, и мы можем определить коэффициенты отражения Земли, если располагаем геофизической моделью строения разреза и распределениями скорости и плотности. Таким образом, мы можем, используя (8.29), построить синтетическую сейсмограмму, которая будет основана на измеренных по каротажным диаграммам значениях скоростей и плотностей и имеющихся сведениях о форме сейсмического импульса. Оценку его осреднек/ной формы могут дать методы обработки сейсмического импульса. Мы принимаем, что этот импульс падает на первую границу, где его энергия разделяется на энергию волн проходящей и отраженной. Затем прослеживается распространение каждой из этих волн до другой границы, где образуются дополнительные волны, и т. д. Результирующая сейсмическая запись представляет собой просто суперпозицию этих волн, которые в конечном счете возвращаются обратно на землю на приемную станцию. Поскольку ход лучей определяется законом Снеллиуса, а соотношение между энергиями дают уравнения Цёппритца, то задача полностью определена и решение может быть получено непосредственно. Однако реальное решение является трудной задачей из-за огромного числа волн, образующихся в реальной Земле. Поэтому применяются различные упрощения.
Чаще всего упрощение заключается в создании одномерной синтетической сейсмограммы, где принимается только вертикальное распространение волн, а наклоном границ пренебрегают. Коэффициенты отражения и прохождения рассчитываются, таким образом, для случая нормального падения волн. Дифракция и другие явления обычно не принимаются во внимание, хотя многократные волны могут быть учтены. Каротажные диаграммы дают сведения о последовательности залегания отражающих границ. Часто имеются только данные акустического каротажа, поэтому вариациями плотности или пренебрегают, или предполагают, что они связаны некоторой функциональной зависимостью со скоростью, например (7.2). Незначительные скоростные вариации объединяются вместе на больших интервалах, с тем чтобы уменьшить число границ, которое рассматривается, и выборка их обычно основывается на постоянном интервале времен пробега (а не постоянном интервале глубин, как в случае каротажных диаграмм). Факторы, изменяющие амплитуду, помимо коэффициента отражения, часто игнори-
руются.
9.4. Моделирование 227
Эффекты многократных волн иногда объединяют как следующие друг за другом изменения формы распространяющегося импульса [179], хотя нередко их также не учитывают. Рассмотрим две соседние границы, такие, что интервал времени Л между ними равен времени пробега волны между ними в одну сторону. Тогда коэффициенты отражения для нисходящих волн будут Ri и Rw. Если w(t)i—нисходящая волна, подходящая к границе /?,, то восходящая волна, отраженная от Riy будет u(t)i = RiW (t)i. Если пренебречь очень незначительными потерями на прохождение через Ri, то нисходящая волна на Rw будет w(t-\-A)i плюс многократно-отраженные волны, образованные между Ri и Ri+u т. е.
w (t)i+1 = w (/ + А), - RlRuiW (/ + ЗА), +
+ (RiRui)Zwit+ 5А),- ...;
второй член в правой части представляет собой двухкратную волну, следующий — трехкратную и т. д. Таким образом, мы можем включить воздействие многократных волн, видоизменяя нисходящую волну на каждом этапе. Мы также должны видоизменить восходящую волну, учитывая многократные волны, которые она порождает, и ее вклад в нисходящий волновой пакет w(t) в результате отражений, направленных вниз от границы.
Геологическая модель обычно составляется на основе акустического каротажа. Однако акустический каротаж не всегда дает правильные пластовые скорости из-за недостаточного проникновения в пласт, воздействия скважинных каверн, выделения более поздних циклов (перескок на период), неверного измерения глубин из-за натяжения кабеля и т. д. Достичь хорошего соответствия между синтетическими и реальными сейсмическими данными обычно удается с помощью редактирования данных (§ 7.3.2).
Одномерные синтетические сейсмограммы, построенные на основе единичных каротажных диаграмм, помогают отождествить отражения с конкретными границами раздела и отличить однократные отражения от многократных. Сейсмические разрезы часто содержат временные и фазовые сдвиги (включая перемену полярности) неизвестной величины (которая иногда зависит от времени), поэтому соответствие синтетической сейсмограммы реальным данным добавляет уверенности при интерпретации. Рис. 9.40 иллюстрирует процедуру получения синтетической сейсмограммы, а рис. 9.41—соответствие с реальными сейсмическими данными.
Там, где согласие между синтетическими и реальными данными хорошее, модель можно видоизменить в соответствии со стратиграфическими изменениями, которые могут встречаться;
А*
Tl 228 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
следовательно, удается установить, каково влияние таких изменений на сейсмические данные. Например, мы можем предположить, что при фациальных изменениях единичный комплекс песчаника образует стратиграфическую ловушку, что заполнение русла отличается от состава отложений соседних неразмытых пластов, что пласт, срезанный поверхностью несогласия, изме-
—j
[Модель
Определение формы импульса
Сейсмические данные
^ 'А / — w i r n m r a r ?
(// у ^ — г т 1 " : 1 " T i
"
SS13
\Pr
- Модепирование трассы}^
Модельная трасса
а Сравнение k
Высокоразрешающая
A^ о(бработка <
С 5 V r
Реальная трасса
Трасса ошибок
Рис. 9.40. Процедура формирования синтетической сейсмограммы. Модель коэффициентов отражения строится исходя из геологической информации (обычно скважинных данных) и свертывается с сейсмическим импульсом который часто находят из реальных сейсмических данных. Смоделированная трасса затем сравнивается с реальной трассой и определяются различия между ними (ошибки). С помощью трассы ошибок изменяют модель или иногда сейсмический импульс до тех пор, пока степень приближения станет адекватной [153].
няется или что небольшой риф растет. Синтетические сейсмограммы позволяют интерпретатору лучше ориентироваться в том, что именно нужно искать для того, чтобы обнаружить гипотетические фациальные изменения, русла, погребенный срез или риф. Такое использование синтетических сейсмограмм является одним из главных методов стратиграфической интерпретации сейсмических данных (§ 9.7).
Модель для построения одномерной синтетической сейсмограммы может быть двух- или трехмерной. Она может воссоздавать изменения, которые ожидаются вдоль профиля, соединяющего две или более скважин, где изменения между скважинами объясняются с помощью фациальных изменений, наличия
9.4. Моделирование
229
ЖIK* f
м
W ii>>>>U
ЙШ
ш 1 i та! mo;
i-
)
L
I > > Ilrt ^'kkiUkfckbt^tl кж TMfrrrrfltFiT
WlHHWMi
щтттмфЩтттт
Рис. 9.41. Сравнение синтетической сейсмограммы (правая половина) с реальными сейсмическими данными (левая половина). Форма сейсмического импульса определялась из каждой сейсмической трассы и затем производилась свертка с коэффициентами отражения, определенными из диаграммы акустического каротажа; предполагалось, что плотность подчиняется закону Гарднера (7.2). [С разрешения «Сейском дельта».]
несогласий или разломов. Если принимается во внимание только вертикальное распространение лучей, то синтетические сейсмограммы, рассчитанные по таким моделям, все же являются одномерными.
Tl 230 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
б) Двух- и трехмерные синтетические сейсмограммы. Двухмерная синтетическая сейсмограмма, не ограничиваемая вертикальным распространением, необходима для моделирования наклонных отражающих границ, процессов дифракции и зависимости времен вступления волны от расстояния между пунктами взрыва и приема. Иногда моделируются лишь времена вступления волн, как в случае лучевых методов, описанных в § 9.4.6. Иногда пытаются моделировать истинную форму сигнала с правильными соотношениями амплитуд. В последнем случае обычно используют упрощения (такие, как скалярная форма волнового уравнения с учетом только Р-волн). Трори [171, 172] аппроксимировал отражающие границы серией полубесконечных плоских полос и основывался на уравнении Кирхгофа (2.34). В других способах применяется волновое уравнение типа того, которое используется в процедуре миграции (§ 8.3.3 и 8.3.4). Широко распространен метод взрывающейся границы, где предполагается, что на каждой отражающей границе располагаются источники взрыва, срабатывающие в момент времени / = 0. При этом плотность распределения источников пропорциональна коэффициенту отражения границы, а сейсмические волны излучаются вверх со скоростью, равной половине реальной скорости (чтобы получилось двойное время пробега). Запись, полученная на поверхности, напоминает разрез ОГТ (во многих отношениях, но не во всех). Волны можно прослеживать методами волнового уравнения. В более детально разработанных методах учитываются образование обменных волн, изменение коэффициента отражения с изменением угла падения лучей, поверхностные и головные волны и т. д., но в целом эти методы отнимают много времени и средств.
9.4.5. Обращение сейсмических данных в псевдосейсмический каротаж
Запишем уравнение для коэффициента отражения при нормальном падении (2.129) в виде
Rt = z * \ + = T - M l n Я)) =^kdAh
(9.1)
где Zu Zi+\ — акустические жесткости по разные стороны от границы раздела, а Д{In (Z)}— изменение логарифма акустической жесткости. Последний член в (9.1) показывает, что изменение амплитуды отражения (IAi пропорционально коэффициенту отражения Rh коэффициент пропорциональности k называется масштабным множителем: Это предполагает, что помеха или эквивалентная форма импульса не влияет на амплитуду сейсмиче-
9.4. Моделирование
231
ской трассы. Поэтому перед преобразованием трассы обычно проводят обработку, устраняющую, насколько это возможно, помехи, и обработку сейсмического импульса с целью устранить влияние формы импульса. Очевидно, полностью эти явления устранить невозможно, и потому оставшийся шум и влияние импульса обычно ограничивают возможности такого преобразования сейсмических данных.
Уравнение (9.1) можно решить и определить акустическую жесткость ниже границы раздела при известной акустической жесткости выше этой границы:
Zui=-J^f-Zl.
(9.2)
Если плотность и скорость pi и V\ для самого близкого к поверхности пласта известны, то известно Zi = pil/i, Z2 можно найти по амплитуде первого отражения Au Z3 — по Z2 и A2 и т. д. Получение вычисленных рекурсивно значений акустической жесткости как функции времени вступления волны или глубины называется псевдосейсмическим или синтетическим акустическим каротажом.
Наиболее общий путь решения для Z представляется в виде временной функции Z(t):
^A{lnZ(/)}=S^d[ln{Z(0}] = = In {Z (/)} - In {Z (0)} = ^ kdA (/); (9.3)
Z (I)-Z (0) exp ^dA (/)} .
«Постоянную» интегрирования Z(O) часто называют «низкочастотной компонентой». Сейсмическая трасса A(t) не содержит низкочастотных компонент, которые необходимы для определения Z(Z). Чтобы частично скомпенсировать отсутствующие компоненты, Z(O) можно сделать не константой, а величиной, зависящей от времени. Высокочастотные компоненты также отсутствуют в сейсмической трассе, и это ограничивает ее детальность и разрешенность.
Псевдосейсмическую каротажную диаграмму часто представляют в виде серии кривых скорость — время, т. е. в виде кривых синтетического акустического каротажа. Для этого требуется либо знать распределение плотности, либо принять предположение о соотношении между скоростью и плотностью. Чаще всего предполагается или что плотность постоянная (в таком случае ею пренебрегают) или что справедлив закон Гарднера
Интервальное время, мс/фу/п
140
90
40
Рис. 9.42. Синтетические диаграммы акустического каротажа; каждая сформирована из разных сейсмических трасс. По вертикали отложена глубина, по горизонтали — интервальное время пробега акустической волны (величина, обратная скорости). Масштабная линейка для каждой трассы передвигается в соответствии с расположением трасс; масштаб для трассы, выделенной Жирной линией, указан вверху. В правой части для сравнения показаны вместе жирными линиями одна синтетическая диаграмма (левая) и реальная акустическая каротажная диаграмма (правая). [С разрешения «Текника».]
9.3. Признаки геологических структур 233
(7.2). В последнем случае имеем
Z = 9(V)V = aV5'\
V(I) = V (0) ехр {(46/5) J dA (/)},
(9'4)
что совпадает с (9.3), только новая константа 4k/5 заменяет k. Ни 1/(0), ни масштабный множитель k не могут быть опре-
делены из сейсмической трассы. Если бы имелась в наличии настоящая акустическая каротажная диаграмма, то ее можно было бы использовать для определения этих «констант». Для определения K(O) можно использовать 1/огт. Процедура должна включать: а) вычисление 1/(/) из амплитудной информации с помощью (9.4); б) расчет среднеквадратической скорости V из 1/(0 исходя из (7.12); в) вычисление Von из нормальных приращений времени посредством процедуры, описанной в § 8.2.3 (по существу модификации формулы (7.11)); г) сравнение результатов пп. (б) и (в); д) повторение всей процедуры с различными значениями 1/(0) и k до тех пор, пока значения V и Von не станут достаточно близкими. Значение масштабного множителя обычно предполагается таким, чтобы V(t) имело разумные значения.
Принципиальным ограничением псевдосейсмического каротажа является допущение о линейной связи между коэффициентом отражения и амплитудой, которая предполагает отсутствие помех на сейсмической записи (фиксирующей только однократные отражения), плюс регистрация и обработка с сохранением истинных амплитуд. Для успешного формирования псевдосейсмической каротажной диаграммы требуются совершенные записи отражений. Дополнительные ограничения, связанные с определением Vr(O) и ky минимизируются в том случае, когда проводят интерполяцию информации о скоростях между скважинами или экстраполяцию ее в непосредственной близости от скважины. Псевдосейсмический каротаж служит мощным инструментом для обнаружения стратиграфических изменений, изменений пористости и скоплений углеводородов [91]. На рис. 9.42 приведены трассы синтетического акустического каротажа и для сравнения — реальная диаграмма акустического каротажа.
9.4.6. Лучевые построения
Там, где скорость изменяется не самым простым образом, построение траекторий лучей, пронизывающих модель и подчиняющихся при каждом изменении скорости закону Снеллиуса, является одним из способов, помогающих понять, каким обра-
Tl 234 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
зом сейсмический разрез соотносится с участком Земли, где существуют скоростные неоднородности. Горизонтальные изменения скорости могут сильно исказить вид структуры на разрезе (§ 9.5) и затрудняют правильное оценивание структурных признаков. Лучевые построения, в частности, помогают увидеть, каким образом величина скорости при суммировании изменяется из-за скоростных неоднородностей [97].
Танер и др. [157] выполнили построение лучевых траекторий для нескольких моделей, одна из которых показана на рис. 9.43. Построение луча, направленного вниз, возможно лишь методом
Рис. 9.43. Модельное построение сейсмического луча в случае отражений от кровли соляного пласта в Северном море [157].
проб и ошибок, поскольку мы не знаем начального направления. Если источник и приемник совпадают, как предполагается в разрезах ОГТ, луч, направленный к отражающей границе, должен совпадать с лучом, направленным от нее, и, таким образом, падать на отражающую границу под прямым углом. Это облегчает построение лучей, направленных вверх. Если вычисления проведены для бесконечно близких точек на отражающих границах, то плотность распределения лучей на поверхности укажет также амплитудные изменения (без учета дифракции). Отметим влияние погребенного фокуса на участках В. При миграции по глубине также используется построение лучей (см. рис. 8.29, в).
Танер и др. строили лучи для произвольного угла падения на границу, чтобы получить выборки, подобные той, на которой производится анализ скоростей (рис. 9.44). Построение лучей для этого случая обычно производится итеративно с помощью проб и ошибок, так как не всегда можно предсказать, по какому именно закону вместе со средней точкой сдвигается вверх по восстанию точка отражения при изменении расстояния источник— приемник.
Скорость при суммировании для рис. 9.44, как указано в § 7.3.3, не связана простым соотношением со среднеквадратической скоростью, и график зависимости времени вступления
1,5 км/с 2tk км/с
~ J-ITLL I I 1„ 1 1 ' 1 '
M I
?,оГ
6
П
I
OCQQJL
-
2,0-
J1O-
К
У
1.5 км/с
7.8 т
2,4 2,07
2,0 2,07
3.0 2,ЗР
VОГТ 175 2,27 2.04
в
Рис. 9.44. Использование лучевого построения для анализа скоростей [157]. а —глубинная модель с сейсмическими лучами от наиболее глубокой отражающей границы; б — временная модель для п а; для менее глубокой отражающей границы K o r i составляет 2,46 км/с в точке Ay 1,69 км/с в в и 2,76 к м / с _ в С; в — модель, о п р е д е л я ю -
Tl 236 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
волны от расстояния не является гиперболой. Поэтому значения скорости Vorrt полученные при наилучшем совпадении с аппроксимирующей гиперболой, зависят от соотношения расстояний источник — приемник, используемых при расчетах.
9.5. Латеральные вариации скорости
9.5.1. Постепенные латеральные изменения
Часто изменения скорости в горизонтальном направлении происходят постепенно, так что их влияние можно считать поправкой второго порядка. Эта ситуация типична, в частности, для третичных бассейнов, заполненных главным образом обломочным материалом, не испытавшим поднятия. Горизонтальные изменения часто связаны с постепенным изменением литологии, например по мере увеличения расстояния от источника осадков. Иногда вертикальная скоростная функция несколько изменяется от места к месту, и горизонтальный градиент не учитывается при построении данных. Обычное видоизменение этой методики сводится к тому, что отражающие границы картируются, используя единую функцию для всей площади, а затем в картируемые значения локально вносят поправки, зависящие от глубины.
Латеральные изменения возникают также в результате изменений мощности водного слоя над осадочной толщей. Изменение скорости с глубиной начинается в основном с морского дна, а внутри водного слоя оно обычно незначительно. Мощность покрывающей водной толщи не оказывает особого влияния на скорость в осадках; обычно фактором, определяющим скорость, является разность между давлением покрывающей толщи пород и пластовым давлением (см. § 7.1.5), а поскольку наличие водного слоя увеличивает оба давления на одну и ту же величину, он не изменяет дифференциальное давление или скорость. Конечно, величина средней скорости в толще до отражающей границы изменяется из-за включения дополнительного участка траектории волны со скоростью распространения, характерной для воды. На рис. 9.45 представлен сейсмический профиль, который проходит от мелководья до глубокой воды; кажущийся наклон слоев является в основном эффектом скорости, а не истинного наклона (ср. рис. 9.44, а, б). Этот угол наклона можно скорректировать при вычислении глубин путем изменения скоростной функции при изменении глубины воды.
Латеральные изменения скорости влияют также на определяемое горизонтальное положение структур (см. рис. 8.29). Это иллюстрируется на рис. 9.46 для точки дифракции и про-
9.5. Латеральные вариации скорости 237
Рис. 9.45. Морской сейсмический профиль, пройденный перпендикулярно континентальному склону. Вариации глубины воды создают ложный наклон горизонта [144].
P А
ш Ф ф
T
Рис. 9.46. Искажения годографа дифрагированной волны при V2 > 1Л- Первое вступление дифрагированной волны отмечается в точке At а не над точкой дифракции P [88].
6
Рис. 9.47- Скоростные эффекты, связанные с рельефом дна каньона. [С разрешения «Сейском дельта».! а — Д° коррекции за скорость; б — после эмпирической коррекции за скорость.
Tl 240 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
стой двухслойной модели (см. также задачу 9.10). Максимум годографа дифрагированной волны определяет положение точки дифракции, но латеральные изменения скорости сдвигают этот максимум. При расчете более сложных моделей, например из двух наклонных пластов с разными простираниями, появятся искажения, которые, вероятно, будет очень трудно понять на основе сейсмических данных. Такие ситуации могут легко возникать там, где разрез и океаническое дно наклонены в разные стороны.
Учет постепенных скоростных изменений зависит от того, возможно ли определить изменения скорости с достаточной надежностью. Часто скорости приходится определять из самих сейсмических данных (см. § 8.2.3), но анализ скоростей (хотя он и может дать результаты, пригодные для использования при суммировании) часто создает значительную неопределенность, которая не позволяет применить эти результаты для такой коррекции без сглаживания. Особенно полезны изображения такого типа, как на рис. 8.14. Скорость обычно систематически изменяется с изменением строения разреза, хотя и в ослабленной форме, т. е. скоростной рельеф обычно не так сильно выражен, как структурный. Данные следовало бы сглаживать, принимая во внимание геологию.
9.5.2. Резкие латеральные изменения
В тех местах, где имеются резкие латеральные изменения скорости, коррекция будет непростой. Рассмотрим влияние рельефа морского дна (рис. 9.47). Скорость в осадках непосредственно ниже каньона, вероятно, заметно отличается от скорости в осадках, эквивалентных им по латерали, из-за отличий в покрывающей толще, но на больших глубинах влияние каньона, видимо, исчезает. Кроме того, осадки под дном каньона могут находиться в гидростатическом равновесии со своими латеральными эквивалентами (таким образом, существующее гидростатическое давление соответствует давлению неразмытой толщи), в то время как давление вышележащих пород под дном каньона меньше из-за размыва, так что осадки по сторонам от каньона находятся под избыточным давлением. Метод «коррекции», устраняющий скоростное влияние, не очевиден, и обычно прим т.яется эмпирический метод, который является результативным. Применение последнего не слишком сложно на площадях эрозионного рельефа (типа рис. 9.47), но там, где существуют и структурные усложнения, которые, возможно, и обусловливают рельеф морского дна, объективные критерии могут отсутствовать.
Рис. 9.48. Д в а поднятия в Средиземном море. Левое поднятие представляет собой соляную подушку, где соль располага-
пептгск/я^гепвгтлчи н
тГ-Те-Ч/р вTаTлI
е
TLврTIеVм
ен о
r\f\\rr>
тГТЛ/5ПдПоОП5Л,3
Р^сЛ, ПаПРТпНрЛаНво
еЯИпПМо дЯн
яГтШиРеИ—Г(с"!олГя»нЯойЧ
ПдРТи1а1PпHи рИ.
Я К
аCжlOуCщl
е1е
с
я
поднятие
ниже
соли,
Tl 242 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Течение соли с образованием линз и куполов может образовать скоростные аномалии в нижележащем разрезе. Скорость в соли (ОКОЛО 4,5 км/с) может быть или выше, или ниже, чем с осадках, соседних с ней по латерали, и поэтому скоростная аномалия, образующаяся из-за соляной линзы, может быть выгнута вверх или прогнута вниз. Выгибание осей синфазности
Рис. 9.49. Надвигообразование в Скалистых горах. Высокоскоростные породы в покрове пологого надвига в левой части разреза, составляющей его 40 %, являются причиной того, что отражения С и D приходят раньше, чем обычно. Отражения С и Df вероятно, непрерывны и не нарушены по всему разрезу. [С разрешения «Амоко».]
вверх встречается наиболее часто, так как обычно вмещаю-
щими породами служат низкоскоростные кластические породы,
но богатые известняком осадки, ангидриты и другие высоко-
скоростные породы могут приводить к прогибанию осей син-
фазности, и на некоторых площадях (таких, как Миссисипи)
могут встречаться оба проявления. На рис. 9.48 показаны соля-
ная подушка и связанное с ней выгибание осей синфазности
вверх. Подобные скоростные эффекты могут проявляться и в
результате других ситуаций, например в случае рифа (см.
рис. 9.31
где выгибание или прогибание осей синфазности
могут наблюдаться в зависимости от того, в каком соотношении
находится скорость в рифе (часто зависящая от его пористости)
со скоростью в эквивалентных по латерали осадках.
0.6. Трехмерная интерпретация 243
- Скоростные неоднородности могут быть весьма ощутимыми в районах развития тектонических сжатий или надвигов. Рис. 9.49 иллюстрирует скоростные эффекты, возникающие в результате пологого надвигания высокоскоростных осадков в надвиговом поясе Скалистых гор. Сложности вызываются не только выгибанием слоев вверх из-за скоростных аномалий, но и фиктивными признаками разломов, фантомной дифракцией и т. д. Обычное решение в таких крайне сложных случаях заключается в построении лучей для модели разреза с целью достичь приемлемого согласия с тем, что наблюдается (см. § 9.4.6). Но этот подход отмечен неопределенностью моделирования главным образом из-за отсутствия информации о том, как именно строить модель и определять соответствующие скорости; такая информация обычно отсутствует там, где она больше всего нужна.
9.6. Трехмерная интерпретация
Точки отражения лежат выше по восстанию относительно точек, где отражение наблюдается. Миграция перемещает отражающие площадки вдоль профиля наблюдений (хотя и не всегда корректно). Поэтому большинство проблем при трехмерном картировании связано с тем, что составляющая наклона, перпендикулярная к профилю, часто неизвестна или не учитывается так, как это необходимо. Линия точек отражения смещена в направлении восстания относительно сейсмического профиля, и это следует учитывать при картировании данных, ориентированных вдоль сейсмических профилей [144, ch. 21]. Иными словами, данные следует относить на карте к точке отражения на отражающей границе, а не к пункту взрыва на поверхности. Там, где имеются данные по сетке нескольких профилей, при картировании сначала следует определять отражения в местах пересечения профилей. После этого можно с достаточной точностью найти промежуточные точки отражения между точками, где проведены фактические определения. В другом способе картируют немигрированные данные, а затем мигрируют карты для получения корректной структурной карты (см. рис. 8.33).
Методика получения данных специально для трехмерного (3D) анализа описана в § 5.3.7, изображение трехмерных данных — в § 5.4.7, цифровая обработка — в § 8.3.6. Как известно, работа с трехмерной методикой представляет собой одну из быстро развивающихся областей геофизики. При этом большинство работ посвящено детализации залежей после открытия нефти для оптимизации разработки и эксплуатации месторождения [37, 53]. Трехмерные методы доказали свою высокую
Tl 244 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
эффективность в этом отношении несмотря на высокую стой* мость (до 2 млн. долл.) и длительный период времени интерпретации трехмерных данных (часто больше года). Основную проблему при цифровой обработке и интерпретации данных трехмерных наблюдений составляет огромное количество анализируемой информации. Однако, по-видимому, нужно согласиться с тем, что трехмерные данные позволяют получать более ясную и точную картину геологических деталей и что затраты более чем окупаются, так как можно уже не бурить ненужные^ разведочные скважины и увеличиваются извлекаемые запасы благодаря открытию изолированных нефтяных бассейнов, которые в противном случае могли бы быть пропущены.
Набор карт временных срезов и разрезов, включая такие, которые составляются с помощью срезов трехмерных данных в произвольных направлениях, позволяют рассматривать информацию с различных точек зрения: новый угол зрения часто выявляет особенности, в другом случае незамеченные (см., например, рис. 9.36).
9.7. Стратиграфическая интерпретация
9.7.1. Введение
Извлечение из сейсмических данных неструктурной информации называется сейсмической стратиграфией или сейсмофациальHbLM анализом. Понятие фации относится к сумме общих особенностей, характеризующих обстановку, в которой отлагались осадки. Фации включают, среди прочих особенностей, осадочные структуры, форму напластования, исходные элементы залегания и форму, мощность, вариации мощности и степень непрерывности осадочных комплексов. Здесь нас будет интересовать получение стратиграфических сведений, а не поиски стратиграфических ловушек (описанные в § 9.3.6), хотя конечной целью, естественно, является выявление стратиграфических ловушек. Имеются три книги по сейсмической стратиграфии [15, 110 145].
На сейсмических записях иногда можно видеть такие конфигурации отражений, которые обусловлены осадконакоплением. Это, например, боковое наращивание и выклинивание (рис. 9.50). Но многие стратиграфические особенности слишком малы, чтобы быть выделенными [143], или происходят слишком постепенно, чтобы их заметить. Картина осадконакопленич связана с энергетической обстановкой при осадконакоплении (которая определяет степень отделения мелких частиц от круп-
9.7. Стратиграфическая интерпретация 245
ных), литологией, пористостью и другими физическими параметрами, которые важны для углеводородных коллекторов.
Сейсмическую стратиграфию часто делят на несколько частей:
1) Анализ сейсмических комплексов, выделение осадочновременных единичных комплексов, основанное на выявлении поверхностей несогласия или изменений в сейсмической волновой картине.
Рис. 9.50. Разрез, иллюстрирующий боковое наращивание осадков (AAf) с выклиниванием песков в кровле единичного комплекса. [С разрешения «Шеврон».]
2) Сейсмофациальный анализ, определение обстановки осадконакопления на основе характерных особенностей сейсмических отражений.
3) Анализ характеристик отражений, исследование латеральных изменений отдельных отражений или серии отражений с целью обнаружить, где встречаются стратиграфические изменения, и определить их природу; основным инструментом для этого является моделирование: получение как синтетических сейсмограмм, так и псевдоакустических каротажных диаграмм (см. §9.4).
4) Обнаружение индикаторов углеводородов, которые будут описаны в § 9.8.
Tl 246 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
9.7.2. Анализ сейсмических комплексов
Под анализом сейсмического комплекса подразумевается определение границ хроностратиграфического единичного комплекса по сейсмическим материалам. Хроностратиграфический единичный комплекс представляет собой трехмерную группу фаций, накопленных одновременно как части одной и той же системы,
КЧчЧЧЧЧчл^^ЧЧЧЧ^
7 Эрозионный срез
1. кровельное прилегание J Согласие
1 Налегание I
г. Прилегание
Подошвенное
I
несогласие
6
Согласие
Кровельное (Несогласие
Pepn
приУл\ега\н\ие
Прилегание
Налегание Внутреннее сближение отражений
в
(Несогласие в подошве)
Рис. 9.51. Отражения на границах сейсмических комплексов [102]. а — соотношения в кровле единичного комплекса; б — в основании единичного комплекса; в — соотношения внутри толщи идеализированного единичного комплекса.
генетически объединенной процессами и обстановками осадконакопления. Ключом к определению единичного комплекса являются поверхности несогласия, образующие кровлю и подошву комплекса. Поэтому методика картирования единичного комплекса заключается в обнаружении углов, отмечающих эти поверхности несогласия (рис. 9.51), и продолжении прослеживания поверхностей несогласия через районы, где они не маркируются такими углами.
9.7. Стратиграфическая интерпретация 247
Вейл и др. [177] используют диаграммы типа приведенной на рис. 9.52 для связи сейсмических комплексов с изменениями относительного уровня моря. Относительный подъем уровня моря может создаваться или абсолютным подъемом уровня моря, или оседанием суши. Первостепенным признаком относительного повышения уровня моря на сейсмических записях является прибрежное налегание, последовательное прерывание отражений в направлении суши. Относительный подъем уровня моря обычно связан с трансгрессией над поверхностью несогласия, но он может быть связан и с регрессией, если приток осадков происходит достаточно быстро. Постепенное понижение уровня моря приводит к возникновению регрессивного прилегания отражений к перекрывающей эрозионной поверхности несогласия, тогда как резкое опускание уровня моря создает заметный сдвиг в направлении моря пластов, образующих подошвенное налегание.
Вейл и др. интерпретируют волновую картину, реально наблюдаемую на сейсмических данных, как последовательность сравнительно длительных периодов относительного подъема уровня моря, прерываемых короткими периодами его быстрого опускания (рис. 9.52,5). Они предполагали, что изменение уровня моря происходило одновременно повсюду, и составили карту эвстатического уровня моря для всего земного шара.
Коррелируя локальные карты относительного изменения уровня моря с главной картой эвстатического уровня, можно иногда датировать возраст отражения с довольно высокой точностью.
Процедуру анализа сейсмического комплекса продолжают картированием комплекса по всей сетке профилей, строя структурные карты и карты изопахит (мощностей) каждого единичного комплекса, подразделяя эти карты согласно сейсмофациальным признакам, связывая их с соседними единичными комплексами и, наконец, определяя их стратиграфический смысл. Эту процедуру иллюстрирует пример, приведенный на рис. 9.53.
При анализе сейсмических комплексов подразумевается, что положение сейсмических отражений соответствует положению осадочно-временных линий, а не фациальных границ. Временная линия указывает на то, что соответствующая ей поверхность когда-то была поверхностью твердой Земли. Крупные ураганы, наводнения и другие коротковременные события перераспределяют осадки в пределах очень коротких периодов времени вдоль таких временных линий, тогда как длительные периоды между такими событиями не оставляют следов, поскольку новые привнесенные осадки перераспределяются следующим крупным событием. Поверхности пластов, таким образом, в общем должны
НаМЫв
Qhu^
Затопление берега
конечный уж.
—
—
, Начальный уж.
— г Ои тт носит. nпoоtдъем
Lуuрp.. моря
Ь HQjj
есть осадкона копленил
Привнос
терригенного материала
Эрозионный срез
. .UI
^ ^ UninULUIII.
Конечныйаиж.
и Г
понижение
up. моря
П°верхность осаЭ/сонакопления
Поверхность несогласия
Q Неморские прилежные о г а Э к и ^ : Ш Литоральные отложения Ш Морские осадки
9.7. Стратиграфическая интерпретация 249
следовать временным линиям. Мощность единичных пластов обычно очень мала, гораздо меньше, чем сейсмическая разрешающая способность, и они дают очень слабые особенности на записях отраженных волн, но обусловленные ими волны способны, интерферировать одинаковым образом на протяжении обширной области, потому что поверхности пластов обычно параллельны на больших площадях и изменяются по латерали очень медленно. Интерференция создает регулярные оси синфазности отраженных волн. Тот факт, что сейсмические отражения параллельны временным линиям, хорошо устанавливается посредством многих наблюдений, но это в некоторой степени противоречит интуитивным соображениям, заставляющим предполагать, что отражения должны быть обусловлены изменениями в характере отложений, например переходом от песка к глине вдоль линий фациального замещения. Фациальные границы часто проводят по точкам, разнесенным на довольно большие расстояния (например, по скважинам), так что детальная информация о том, как именно проводить фациальные границы, отсутствует. Основные участки верно проведенных фациальных границ параллельны временным линиям (рис. 9.54).
9.7.3. Сейсмофациальный анализ
Сейсмические фации заключают в себе характерные особенности записи, которые позволяют одну группу отражений визуально отличить от соседних отражений; из анализа сейсмических фаций можно делать выводы относительно обстановки осадконакопления. Весьма подробный анализ и схему классификации дали Сангр^ и Уидмайер [132], но Роксендик [131] тоже опубликовал свою классификацию. Митчем и др. [102] и Сангри и Уидмайер [132] классифицируют сейсмические фации в соответствии с прерыванием отражений на границах сейсмических комплексов (рис. 9.51), с конфигурацией их внутри
Рис. 9.52. Структуры, связанные с изменениями относительного уровня моря (у. м.) [177]. а — относительный подъем уровня моря создает трансгрессию моря, если приток терригенного материала мал; б — регрессия моря, если приток терригенных материалов превосходит влияние подъема уровня; в — боковое наращивание, связанное с фиксированным положением уровня моря; г — постепенное понижение уровня моря образует направленное вниз смещение в структуре, но верхние части структур обычно размываются; д — резкое понижение уровня моря образует основное смещение в направлении моря в местах берегового подошвенного налегания; форма залегания указывает на постепенный подъем, затем резкое понижение (между комплексами 5 и 6), за которым следует Другое постепенное повышение.
9.7. Стратиграфическая интерпретация 251
комплексов (рис. 9.55) и внешними формами комплексов (рис. 9.56).
Параллельные отражения позволяют предположить равномерное осадконакопление на неподвижной или равномерно опускающейся поверхности, тогда как расходящиеся отражения указывают на различия в скорости осадконакопления в разных
6 Рис. 9.54. Характер фациальных границ [1781. а — фациальная граница, как
она могла бы быть проведена на основании данных по двум скважинам, расположенным на расстоянии 17 км друг от друга (каротажные диаграммы — кривые ПС, которые выделяют песок из окружающих глин); б — иное проведение фациальных границ на основе множества промежутофных контрольных точек; основные участки параллельны пластовым или временным линиям. Сейсмическая граница соответствует отражениям, параллельным временным линиям, налегающим на поверхность несогласия.
районах и возможно, кроме того, постепенное увеличение наклона поверхности осадконакопления. Хаотические отражения свидетельствуют либо об относительно высокоэнергетической обстановке осадконакопления, непостоянстве условий осадконакопления, либо о нарушении после осадконакопления, напри-
Рис. 9.53. Стратиграфическая интерпретация сейсмических данных в Восточном Техасе [118]. а —участок сейсмического разреза; поверхности несогласия, ограничивающие сейсмический комплекс, картируются наблюдаемыми отражениями; участки синтетических сейсмограмм, построенных по каротажным данным из показанных скважин, наложены на разрез; б — картирование характеристик отражений внутри сейсмического комплекса; Тор — прилегание по кровле комплекса, С — согласие в кровле единичного комплекса, on—налегание в подошве единичного комплекса, dwn — прилегание в подошве единичного комплекса, thin — единичный комплекс недостаточно мощный, вследствие чего внутренних особенностей не видно; Ob — косослоистая структура, образуемая отражениями в теле единичного комплекса; P — параллельные отражения внутри единичного комплекса; черными стрелками указано направление налегания, светлыми — направление подошвенного прилегания; в — интерпретация фаций.
252 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
Рис. 9.55. Типы сейсмических фаций [1321.
Покроено-облекающая (низкоэнергетическая обстановка)
Холмообразная ,заполнения с налеганием (высокоэнергети-
ческая обстановка)
Заполнения с налеганием /обычно низкоэнергетическая)
Хаотического заполнения (высокоэнергетическая)
_ Веерного комплекса (высокоэнергетическая)
Рис. 9.56. Типы сейсмических фаций дна бассейна [132].
9.7. Стратиграфическая интерпретация 253
мер процессами оползания, скольжения или мутьевым потоком. Интервал отсутствия отражений наводит на мысль о неизменной литологии, как, например, относительно однородных морских глинах, соли или массивных карбонатах; однако отличить эти участки от участков с исключительно сильными помехами, которые маскируют волновую картину отражений, очень сложно.
К подошвенному налеганию (рис. 9.51) относится прерывание отражений, указывающее на первоначально горизонтально залегавшие пласты или пласты, наклоненные в направлении от участка прекращения отражений, тогда как подошвенное прилегание (иногда называемое регрессивным прилеганием) характеризует прерывание отражений, соответствующих пластам, которые наклонены в сторону участка прекращения отражений. Этим термином иногда придается генетический смысл: налегание представляет собой приконтинентальную часть осадочного комплекса, а подошвенное прилегание является результатом недостаточного поступления осадков и, таким образом, соответствует обращенной к морю части осадочного комплекса. Это иногда создает противоречия, как, например, на участке О рис. 9.51,6, на котором наблюдается с точки зрения геометрии подошвенное налегание, а генетически подошвенное прилегание.
Косослоистые волновые картины бокового наращивания (рис. 9.55) характеризуются угловым кровельным прилеганием (также иногда называемым регрессивным прилеганием) и изменчивым характером отражений. Кровли косослоистых комплексов определяют периоды, в течение которых уровень моря не изменялся заметным образом (т. е. был стабилен) и накопление осадков происходило вблизи основания зоны волнового воздействия в соответствующей высокоэнергетической обстановке. Поэтому в кровле косослоистых комплексов часто содержатся относительно чистые пески. С другой стороны, сигмовидные структуры бокового наращивания характеризуются пологими осями синфазности S-образной формы довольно однообразного характера, а верхние части группы отражений залегают согласно с кровлей единичного комплекса. Они указывают на относительный подъем уровня моря и обычно состоят из тонкозернистых осадков, иногда известковистых.
Трехмерная форма единичных комплексов обеспечивает главную основу для классификации обстановок осадконакопления в бассейне (рис. 9.56). Пласты, которые облекают уже существовавший до этого рельеф, обычно представлены тонкозернистыми пелагическими осадками, отложившимися в низкоэнергетической обстановке. Комплексы с холмистой кровлей или хаотическими отражениями в общем сложены турбидитными отложениями переменной или высокоэнергетической обстановки.
Таблица 9.3. Классификация сейсмических фаций [32]
Региональная обстановка
Критерии выделения
Подразделения
Интерпретация
Другие характеристики
Шельф
Характер отражений, форма единичного комплекса: обширный покров или пологий клин. Отражения в общем параллельные или расходящиеся
Непрерывные, высокоамплитудные отражения (в основном морские фации)
Шельфовые отложения— чередование неритовых глин и известняков, переслаивающихся с высоко или низкоэнергетическими отложениями, и мелководные морские кластические отложения, перенесенные в основном действием волн
Могут прорезаться подводными каньонами. Выделяются на основе расположения по отношению к другим фациям
Изменчивый характер непрерывности, низкоамплитудные, иногда высокоамплитудные отражения
Флювиальные или прибрежные обломочные осадки, связанные с процессами переноса волнами и потоком (дельтовая платформа), низкоэнергетическим турбидитным течением или действием волн
Выделяются на основе расположения по отношению к другим фациям. Преимущественно глинистые, если при удалении от суши единичный комплекс располагается выше других комплексов.
Преимущественно пески, если при удалении от суши единичный комплекс располагается ниже
Слабая степень непрерывности, отражения переменной амплитуды
Неморские
обломочные,
флювиальные или окраин-
ные морские
Встречаются высокоамплитудные и в высокой степени непрерывные отражения от угольных пластов
Холмообразная форма
Переменные степень Дельтовый комплекс непрерывности и амплитуда
Внутренние отражения от слабосигмовидцых до расходящихся. Иногда высокоамплитудные
Отсутствие локально- Риф го отражения
См. рис. 9.31
Окраина шельфа и латерально наращиваемый склон
Картина внутренних отражений
Косослоистые, веерообразные или перекрывающиеся конусы
Достаточный привнос осадков. Окраина шельфа — дельтовая обстановка. Высокоэнергетические отложения на участках вверх по восстанию.
Иногда обусловлены сильными течениями в глубоководных условиях
Умеренные непрерывность и амплитуда, отражения изменчивы.
Передовые слои (клиноформы) падают под углом 10° (в среднем 4—5°), более крутые углы составляют известковые породы. Часто веерообразной формы (включая сложные конусы)
Сигмовидные, вытяну- Недостаточное поступление Четкая непрерывность, ам-
тые, линзовидные или осадков.
плитуды от высоких до уме-
конусообразные
Низкоэнергетическая обета- ренных, однообразные по
новка осадконакопления
виду отражения
Склон и дно Общая форма еди- Обле- Покровно-
бассейна
ничного комплекса кающая облекаю-
шая
Глубоководные морские гемипелагические; главным образом глины.
Низкоэнергетическая обета-
Четкая непрерывность, низкие амплитуды. Облекание ранее существо-
вавшего рельефа
Продолжение табл. 9.3
Региональная обстановка
Критерии выделения
Подразделения
Интерпретация
Другие характеристики
Склон и дно Общая форма еди- Холмооб- Контуриты
бассейна
ничного 7 комплекса разные
Веерообразные формы
Глубоководные.
Изменчивые степень непре-
Низкоэнергетическая обста- рывности и амплитуда
новка
Переменная энергетическая обстановка: оползание и турбидитные потоки
Прерывистые отражения, переменная амплитуда. У устья подводных каньонов.
Состав отложений определяется размываемыми выше породами
Заполне- Заполнение ние подножья склона
Низкоэнергетическая обстановка, глубоководные морские глины и илы
Изменчивый характер непрерывности и амплитуд. От веерообразной формы до вытянутой вдоль склона
Заполнение с налега- Низкоскоростные турбидит- Четкая непрерывность, пере-
нием
ные течения
менная амплитуда
Холмообразное заполнение с налеганием или хаотическое заполнение
Высоко- или переменноэнергетические турбидиты
Холмистый рельеф на фоне общего понижения рельефа Прерывистые, переменной амплитуды
Заполнение каньона
Разнообразное переслаивание пластов. От грубозернистых турбидитов до гемипелагических отложений
Изменчивые степень непрерывности и амплитуда
9.7. Стратиграфическая интерпретация 257
В табл. 9.3 представлена классификация сейсмических фаций.
Четко-непрерывные отражения характеризуют непрерывные пласты (такие, как морские глины с прослоями илов или известковистых глин), сформированные в относительно спокойной и однообразной обстановке, существовавшей на обширной тер-
ABC
ы-ьи.».'. и . » и
.!
• ли..—м
• >>»>>>»»»»тФ
*
»
*
*^л
^
^ »
ь
•»
W-v>v
*»^•- i»
»
5
• >*
.
*
щ*' ^
^
• .»•>• ^: ;w . ' f%r .*^>
»»» >-r>
jig*."» ^ 41! U J J J w J l ' t базбпьный
A Ba C
?ис. 9.57. Признаки руслового песка [30]. а — участок сейсмического профиля, проходящего через русло, содержит отражение, соответствующее слою руслового песка мощностью более 6 м; скважина в точке А не достигла русла; б — модели каротажных диаграмм для песчаного пласта различной мощности и синтетические трассы для пунктов Л, Б, С; каротажные диаграммы В и С являются модификациями каротажной диаграммы Л; первая в каждой паре трасс является синтетической трассой, вторая — реальной сейсмической трассой.
ритории. Флювиальные осадки с прослоями глин и углей иногда образуют интенсивные отражения.
Ключом к идентификации отражений иногда являются латеральные эквиваленты единичных комплексов. Таким образом, фации, характеризующиеся низкоамплитудными отражениями и соответствующие продельтовым глинам, могут постепенно пе* реходить в направлении суши в фации с четкой непрерывной
258 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
прослеживаемостью и высокими амплитудами, образованные переслаиванием илов и (или) песков. В то же время низкоамплитудные песчаные фации могут постепенно переходить в направлении суши в неморские фации переменных амплитуд с низкой степенью непрерывности. В направлении бассейна продельтовые глины могут постепенно переходить в фации бокового наращивания склона, а пески — в морские фации с четко непрерывной прослеживаемостью и высокими амплитудами.
9.7.4. Анализ характера отражений
Анализ характера отражений включает изучение изменений от трассы к трассе формы волны одного или более отражений с целью обнаружения и определения природы изменений стратиграфии или флюидов, заполняющих поровое пространство. Чтобы легче было увидеть искомые изменения, используют специальные способы изображения данных, например увеличенное изображение изучаемой части разреза, изображение таких параметров записи [160, 162], как амплитуда, мгновенная частота и т. д. (§ 8.4.2), или визуализация псевдосейсмических каротажных диаграмм (§ 9.4.5), часто с применением цвета.
Для исследования природы стратиграфических изменений, на которые указывает изменение формы волны, часто используют синтетические сейсмограммы (§ 9.4.4). Различные стратиграфические изменения, которые рассматриваются как возможные, моделируются [68, 104] и сопоставляются с наблюдаемой формой волны. Клемент [30] описывает применение анализа характера отражений при картировании в Оклахоме песчаного пласта, связанного с руслами на поверхности несогласия Отчетливое отражение наблюдается там (рис. 9.57), где мощность песков более шести метров; в этой ситуации песчаники обычно пористые Несколько удачных скважин было пробурено на основе прогноза по характеру отражений, но одна скважина встретила пачку переслаивающихся плотных затвердевших песчаников и глин, давшую отражения, весьма сходные по характеру Таким образом, это исследование иллюстрирует как успешное применение этой методики, так и неоднозначность выводов, основанных на характере отражения.
Хан [75] описывает картирование амплитуд отраженных волн в районе нефтяного месторождения. Благодаря использованию истинных амплитуд отражения, которое не связано с локальными особенностями, играющими роль нормирующего множителя, неопределенности, вызванные негеологическими факторами, влияют меньше, и корреляция с залежью и с продуктивностью скважины повышается (рис. 9.58), .
9.7. Стратиграфическая интерпретация 259
Моро и Уиджхи [96] с успехом использовали псевдосейсмокаротаж для прогноза зон высокой пористости в пермских кар-
Профиль б
Профиль 5
Пробило о
Профиль 4
РИС. 9.58. Отношение амплитуд двух волн над нефтяным месторождением. Граница месторождения показана пунктиром. Коэффициент продуктивности равен 160 в скважине Ay 480 в By 95 в С, 32 в Dy 250 в Ey 300 в Fy 40 в Hy 260 в /; скважина G оказалась сухой [75
бонатах в Нидерландах. Линдсет [91] описал картирование пористости в девонских карбонатах в пров. Альберта (Канада) и другие способы анализа характера отражений с использованием псевдосейсмических каротажных диаграмм.
Q*
260 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
9.8. Индикаторы углеводородов
Скорость и плотность в осадочных породах зависят от пористости и от свойств заполняющих поровое пространство флюидов (см. § 1.4 и § 7.1.7). Соотношение между плотностью и пористостью определяется (7.3) и носит ясный характер. Зависимость же скорости от пористости пород, где в поровом пространстве присутствует смесь флюидов, не столь проста. Изменение скорости, обусловленное изменением характера поровых флюидов (см. рис. 7.15), часто создает амплитудные аномалии, ассоциируемые с залежами углеводородов. Широкое применение автоматической регулировки усиления маскировало эти амплитудные эффекты примерно вплоть до 1970 г., когда была общепризнана эффективность использования амплитуд для поиска углеводородных скоплений. Поскольку аномалия чаще всего представляет собой локально увеличенную амплитуду (как на рис. 9.59), она получила название «яркое пятно». Вскоре были найдены другие типы аномалий, связанных с углеводородными скоплениями при определенных условиях. Однако между индикаторами углеводородов и углеводородными скоплениями нет простой и универсальной зависимости, и многие «яркие пятна» вызываются изменениями другого типа, а не промышленными скоплениями углеводородов.
Влияние поровых флюидов на скорость зависит от структуры породы и в целом больше и проще для относительно неконсолидированных кластических пород. Поэтому их влияние сильнее сказывается на более молодых породах, чем на более древних, и методика «яркого пятна» особенно хорошо применима к третичным кластическим бассейнам, которые располагаются главным образом в прибрежной полосе по периферии континентов. Но последнее не играет особой роли, разве что морские данные часто бывают лучшего качества, чем континентальные, и, следовательно, аномалии легче увидеть. Как показано на рис. 7.15, влияние на скорость обычно больше (и сложнее) у газообразных, чем у жидких углеводородов.
Замещение соленой воды углеводородами в качестве поровых флюидов почти всегда ведет к понижению скорости, но влияние на отражения зависит также от свойств горных пород, покрывающих и подстилающих породу-коллектор. Если скорость в перекрывающих отложениях выше, чем в заполненном рассолом коллекторе, то понижение скорости у породы-коллектора при заполнении ее углеводородами увеличивает перепад акустической жесткости и, следовательно, увеличивает амплитуду отражений от ее кровли. Это явление характерно для многих третичных кластических бассейнов и является причиной возникновения названия «яркое пятно». С другой стороны, когда пере-
9.8. Индикаторы углеводородов
261
крывающие отложения характеризуются значительно меньшей скоростью чем порода-коллектор, то влияние углеводородов уменьшит контраст и создаст «тусклое» пятно. Такое явление иногда наблюдается там, где карбонатный коллектор перекрыт глинами. Если перекрывающие отложения имеют чуть меньшую скорость, чем скорость породы-коллектора, понижение скорости в отложениях коллектора вследствие заполнения их углеводородами может перевернуть полярность сигнала, образуя «обратную полярность» отражения над залежью.
Там, где хорошо определяется межфлюидный контакт, в особенности газонефтяной или газоводяной, перепад акустической жесткости может быть достаточно большим для того, чтобы создать сильные отражения, которые могут четко выделяться на сейсмических записях благодаря их горизонтальному положению в отличие от других отражений, расположенных наклонно. Там, где оно видно, это «плоское пятно» обычно является наиболее безусловным и информативным индикатором углеводородов. Однако мощность пласта-коллектора, как правило, мала по сравнению с предельной разрешающей способностью метода ОГТ, и поэтому отражения от кровли коллектора, межфлюидного контакта и подошвы коллектора обычно интерферируют друг с другом, образуя сложные отражения с различными изменениями фаз и амплитуд в результате разнообразной интерференции составляющих волн. Таким образом, «фазовые осцилляции» тоже можно рассматривать как признак углеводородов.
Понижение скорости в углеводородных скоплениях должно также влиять на отражения от более глубоких горизонтов из-за увеличения времен вступления волн. Образуется «прогиб» в осях синфазности, наблюдаемых «через» залежь, но величина «прогиба» обычно мала, поскольку большинство залежей не обладает большой мощностью.
Уменьшение скорости может, кроме того, отклонять лучи, проходящие через залежь (как показано на рис. 4.20, а ) , что приводит к искривлению осей синфазности от более глубоких горизонтов. Иногда влияние сказывается просто в ухудшении качества отражений под резервуаром — «зона тени». Большие амплитуды, связанные с «ярким пятном», часто приводят к понижению амплитуд всех трасс из-за применения таких процедур цифровой обработки, которые делают среднюю энергию всех трасс одинаковой (нормирование амплитуд) для того, чтобы устранить амплитудные эффекты верхней части разреза и регистрирующей системы. Следствие состоит в том, что и выше «яркого пятна», и ниже его может существовать более низкоамплитудная «зона тени».
Волны с большими амплитудами, связанными с «ярким пятном», также влияют на многократные волны от отражающих
9.8 Индикаторы углеводородов
263
границ залежи. Иногда с целью подчеркнуть многократные волны разрезы строят специальным образом — путем использования более низких скоростей Voп, в результате чего ослабляются однократные отражения. Увеличение амплитуд многократных волн, наблюдаемое на таких разрезах, также, вероятно, можно использовать как индикатор углеводородов.
Понижение мгновенной частоты (§ 8.4.2) часто наблюдается сразу же под углеводородным скоплением. По-видимому, такие «низкочастотные призраки» приурочены к паре периодов волны, отражающейся в породах ниже залежи, но не в ней самой. Адекватного объяснения пока не найдено [162]. Предполагается либо устранение высоких частот в результате поглощения или других механизмов, либо неправильное проведение суммирования из-за ошибочно взятой скорости, либо искривление лучей. Но с помощью этих гипотез не удается объяснить величины изменений, которые наблюдаются.
Часто, для того чтобы усилить углеводородные признаки и помочь в их обнаружении и анализе, используют специальные способы изображения. Наиболее широко распространены низкоамплитудные изображения, при получении которых применяются специальные способы для сохранения амплитудных соотношений; оси синфазности отраженных волн ослаблены на таких изображениях, так что возросшие амплитуды, связанные с «яркими пятнами», становятся более отчетливыми (см. рис. 9.6, представляющий собой низкоамплитудное изображение части рис. 9.24).
Разрезы часто изображают способом переменной площади как с нормальной, так и с обратной полярностью, поскольку влияние углеводородного индикатора более ясно проявляется то в одном, то в другом случае. Можно получать изображения результатов измерений амлитуды, низкочастотной огибающей, амплитудных отношений, фазы, частоты, скорости и т. д. с тем, чтобы сделать более явными латеральные изменения вдоль отражающих границ. Для проведения таких измерений используется анализ комплексных трасс; результаты его нередко изображают путем наложения цвета на сейсмические разрезы для облегчения корреляции со структурными признаками.
Углеводородные индикаторы используют для прогноза мощности пласта-коллектора и объема залежи. Результаты измерений амплитуд и преобладающего периода, основанных на модельном изучении выклинивания (таком, как на рис. 4.22, б, е),
Рис. 9.59. Амплитудная аномалия, вызванная скоплением газа. Газовая залежь находится непосредственно ниже 0,6 с, фундамент — на времени 1,1 с. Скопление большое, несмотря на его небольшую глубину. [С разрешения «Шеврон».]
264 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
6 Рис. 9.60. Отклик тонкого слоя, а — длительность полупериода почти не зави-
сит от мощности слоя, если последняя меньше чем Х/4, но почти линейно возрастает с ростом мощности, если она выше Я/4 [137]; б — максимальный размах импульса линейно растет при мощности меньшей Я/8, ироходит через максимум или минимум при Х/4 и почти не зависит от мощности, если она превышает \/2. Измерение амплитуд требует калибровки, которая часто невозможна [145]. показаны на рис. 9.60. Измерения преобладающего периода (его длительности) можно использовать для определения мощности в том случае, когда она превышает четверть длины волны, а измерения максимального размаха импульса — когда она меньше четверти длины волны. Однако, для того чтобы можно было использовать измерения амплитуд, требуется калибровка
9.9. Исследования земной коры 265
амплитуд (т. е. нужно знать, какой должна быть амплитуда, если бы коллектор был очень мощным.), которая часто невыполнима. Количественный анализ требует особенно тщательной цифровой обработки, данных хорошего качества и введения предположений о природе комплекса отложений, которые, вероятно, не всегда верны. В количественный анализ почти всегда включается моделирование.
9.9. Исследования земной коры
Методики полевых наблюдений и цифровой обработки, используемые в нефтяной сейсморазведке, — записи по методу общей глубинной точки (ОГТ), вертикальное суммирование, коррекция статических поправок, деконволюция, анализ скоростей, использование длинных кос и точная навигация на море, мощные источники Вибросейс и длинные свип-сигналы на суше и т. д. — начинают применять при исследованиях земной коры.
Морские сейсмические профили позволяют выявить детали строения земной коры, например разломы в зоне субдукции (рис. 9.61) и, возможно, основание коровой части океанической плиты. В США по программе COCORP отработана уже серия профилей отраженными волнами с целью изучения строения континентальной земной коры; аналогичные исследования начинают проводить и в других странах. Предварительные результаты оказались вдохновляющими. В строении земной коры обнаружено много сложностей, включая области слоистых отражений, которые указывают на осадочное, а не магматическое происхождение, хотя породы несомненно метаморфизованы. Профиль через Южные Аппалачи [32, 33] показывает, что встречающиеся на поверхности кристаллические и другие породы надвинуты с востока и переместились на большое расстояние и что участки пологих надвигов могут подстилаться осадочными породами. Идеи «маломощной приповерхностной тектоники» начинают изменять наши представления о том, как именно были образованы континенты.
Задачи
9.1. На рис. 9.24 показаны четыре профиля, образующие сетку, л) Нужно закартировать три горизонта, выделенные на временах 1,355; 1,830 и 2,660 с на пересечении профилей В и С. Анализ скоростей на этом участке дает следующие пары значений время — скорость (Уогт): 0,100 с — 1520 м/с; 0,600— 1830; 0,800— 1900; 1,200—2050; 1,400—2100; 1,600—2140; 2,000- 2280; 2,700 — 2440; 3,000 — 2470. б) Закартировать искривлен-
Задачи 267
ную поверхность разлома, в) Оценить и закартировать вертикальное смещение по разлому.
9.2. Профиль на рис. 9.6 представляет собой часть профиля В с рис. 9.24 (в точке О на рис. 9.24 расположена скважина). Информация об относительных амплитудах сохранена и нанесена таким образом, что наибольшие амплитуды не уменьшены. Какие можно сделать выводы из рис. 9.6, менее очевидные на рис. 9.24?
9.3. а) Скважина В располагается на 500 м восточнее скважины Af а скважина С — на 600 м севернее А. Разлом пересекает скважины At By С на глубинах 800, 1000 и 600 м соответственно. Предполагая, что все скважины вертикальные, а поверхность разлома плоская, найдите след и простирание разлома на поверхности (см. вывод формулы (3.17)). б) На какой глубине нужно искать разлом в скважине Dy расположенной в 500 м в направлении 30° СЗ от скважины С? в) Другой разлом пересекает скважины A w C соответственно на глубинах 1300 и 1000 м, и известно, что он простирается в направлении 20° СЗ. Где он пересекает скважину В?
9.4. Дайте интерпретацию разрезов, приведенных на рис. 8.26,6; 8.28,6; 8.29, г; 9.27 и 9.34. Примите, что все данные вне этой плоскости не играют роли. Чтобы определить поверхности несогласия и (или) границы сейсмических комплексов, нужно выбрать оси синфазности, которые заключают углы между однократными отражениями. Сделайте вывод об истории геологического развития.
9.5. Попытайтесь согласовать разрез, показанный на рис. 8.12,6, со структурными стилями из табл. 9.1. С каким стилем его можно совместить? [Заметим, что в разрезе рис. 8.12,6 миграция не проведена, но можно предположить, что он приблизительно перпендикулярен простиранию.] Помогают ли данные о скоростях из задачи 7.20?
9.6. На рис. 9.29 показано соляное поднятие на краю шельфа. а) Из чего следует, что эта структура не вызвана ростом рифа? б ) Может ли она быть создана течением глин? в) Определяется ли рельеф над поверхностью несогласия U\ послеэрозионным движением соли, возобновлением тектонической активности «а краю шельфа (опускание по разломам на краю шельфа) или
Рис. 9.61. Разрез ОГТ через Японский желоб. Интенсивное отражение А ин-
терпретируется как граница, вдоль которой Тихоокеанская плита
скользит под Японскую плиту ( с у б д у к ц и я ) . Прерывистое о т р а ж е -
ние BB' интерпретируется как р а з д е л Мохоровичича. Интервальная скорость между отражениями A w B , вычисленная по ^ о г т , с0"
ставляет 6,0—6,4 км/с. Таким образом, временной интервал 2 с меж д у ними соответствует мощности океанической коры 6 км [951.
268 9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных волн
дифференциальным уплотнением под действием веса послеэрозионного участка разреза?
9.7. Если природа структуры течения (такой, как показано на рис. 9.28 и 9.29) не ясна, то как можно использовать данные гравиразведки, магниторазведки или методы преломленных волн для того, чтобы отличить друг от друга соль, глину или изверженные породы? Отличить их от рифа?
9.8. На рис. 8.33,6 закартированы две отдельные замкнутые структуры на погружающейся в северо-восточном направлении антиклинали, а) Полагая, что единственно доступный контроль обеспечивается профилями, которые показаны штрихованными линиями на рис. 8.33, а (и относится к другому горизонту), какую дополнительную программу можно рекомендовать для проверки слабых мест интерпретации, прежде чем рекомендовать бурение скважины с целью проверить наличие углеводородной залежи? б) Можете ли вы найти разлом, для которого указанное направление вертикального перемещения явно неверно?
9.9. Как признаки увеличения или уменьшения мощности отложений вокруг соляного купола или в складчатой структуре будут искажаться на немигрированном временном разрезе? На мигрированном временном разрезе?
9.10. На рис. 9.46 K1 = 2,00 км/с, K2 = 4,00 км/с, угол наклона горизонта 10° и вертикальная глубина до точки дифракции P составляет 1000 м, граница раздела между Ki и IZ2 лежит над P на расстоянии 350 м по вертикали. Сравните годограф дифрагированных волн с тем, который должен был бы наблюдаться при V\ = K2 = 3,00 км/с [Указание: чтобы приблизительно определить годограф дифрагированных волн, нужно построить ряд лучевых траекторий.]
9.11. а) Используя минимально-фазовый импульс из задачи 8.11, определите форму импульса для песчаного пласта^ окруженного глинами, когда двойное время пробега волны через песчаный пласт составляет 12 мс. Если верхняя часть содержит газ, двойное время пробега через газоносный песок составляет последовательно 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12 мс. Начертите рядом трассы, сдвинутые на 2 мс, как должно быть, когда газоводяной контакт горизонтален. Это иллюстрирует ситуацию «яркого пятна», «плоского пятна». Примите коэффициенты отражения границ глина — газоносный песок — 0,1, газоносный — водоносный песок +0,15, водоносный песок—глина —0,05. б) Повторите расчет, используя нуль-фазовый импульс из задачи 8. IL
9.12. Попытайтесь провести стратиграфическую интерпретацию рис. 9.50. Горизонт CCf разделяет неморские и морские осадки. Создает ли приповерхностное русло ложные глубинные эффекты?
10
Математический аппарат
Общий обзор
Эта глава служит скорее приложением к книге, чем частью ее основного текста. Те, кто уже знаком с математическим аппаратом, используемым при обработке и интерпретации сейсмических данных, а также те, кто предпочитает принимать математику на веру, могут ее опустить. Более подробное освещение рассматриваемых здесь вопросов можно найти в книгах [10, 22, 27, 80, 84, 113, 124—126, 129, 130, 150, 186].
Мы начнем с краткого обзора по определителям, векторному анализу, матричному анализу, комплексным числам, методам наименьших квадратов, конечных разностей и элементарных дробей (§ 10.1). Большая часть этой главы посвящена математическому аппарату цифровой обработки, в частности рассматриваются преобразования Фурье (§ 10.2, 10.3), преобразования Лапласа (§ 10.4) и г-преобразование (§ 10.6) и почти все необходимое о линейных системах (§ 10.5). В § 10.7 обсуждаются кепстры, а § 10.8 посвящен фильтрации. В отличие от гл. 8, где рассматриваются в основном только дискретные данные, в этой главе много внимания уделено непрерывным функциям, хотя детализируются и некоторые вопросы дискретизации данных, особенно в § 10.6.
10.1. Обзор основных понятий
10.1.1. Определители Определитель det(a) представляет собой квадратную таблицу из (п X я) членов aih называемых элементами, а I и / обозначают номер строки и столбца соответственно:
Яц «12 . .. - Д.* det (а) = а2\ #22 • «. . а2п
ап2
•270 10. Математический аппарат
Минором Mij элемента ац называется определитель порядка (п — 1), полученный вычеркиванием й строки и /-го столбца из det(a). Произведение (—1 )*+*Мц называется алгебраическим
дополнением элемента ац. Значение определителя находится
как
d e t ( a ) = £ (-l)i+'ai!Mtf= I
Z ( - 1 ^aijMiji •
(10.2)
где суммирование проводится по одной строке (разложение по строке-, следовательно, i = const) или по столбцу (разложение по столбцу, / = Const); при этом результат одинаков в обоих случаях (см. правило (5) ниже). Для примера разложим по первой строке определитель
det (а)
12 3 4 56 8 9 0
5 9
6 О
+
4 6 + (-1)1+22 8 0
1+3 -
(-1)
= 1 (5 • 0 — 6 • 9) — 2 (4 - 0 — 6 • 8) +
+ 3 (4 • 9 - 5 - 8) = 30.
Таким образом, определитель представляет собой одно число. Из соотношений (10.1) и (10.2) можно получить следующие
правила (доказательства см. в [186, р. 403—410]): 1) если все элементы одной строки равны нулю или если элементы одной строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю; 2) если умножить все элементы некоторой строки на константу, то определитель умножится на ту же константу; 3) перестановка любых двух строк изменяет знак определителя; 4) замена строк на столбцы не изменяет значения определителя; 5) в равенстве (10.2) получается одна и та же величина независимо от выбранной строки; 6) если любую строку определителя умножить на константу и прибавить к другой строке, то значение определителя не изменится; 7) в любом из записанных выше правил «строку» можно заменить «столбцом».
10.1. Обзор основных понятий 271
Определители можно использовать для решения системы л и нейных уравнений:
+ «12*2 + • • • + а\пХп = Ь{, U21X1 + U22X2 + ... + а2пхп = b2i
an\Xi + CLn2*2 + ... + ClnnXn = bn.
Правило Крамера устанавливает, что
xr = {det (ur)} {det (а)},
(10.3)
где
U{\U\2 . ,• • а\п
det (а) = U2\U22 . .• • а2п
UniUn2 .
^nn
a det(ar) представляет собой det (а), в котором г-й столбец за-
менен на b\y b2,
Ьп [113, р. 101].
10.1.2. Векторный анализ
и) Основные определения. Скилярния величина, такая, как, на-
пример, температура, определяется только своим числовым зна-
чением, тогда как векторния величина имеет модуль и направ-
ление. Векторы (выделяются жирным шрифтом) могут склады-
ваться, как показано на рис. 10.1, и. Вычитание эквивалентно
обращению одного из векторов с последующим сложением.
Умножение вектора на скаляр изменяет его модуль, но не изме-
няет его направления (в случае умножения на отрицательное
число направление изменяется на обратное).
Вектор можно разложить на компоненты по координатным
осям (рис. 10.1,6) и представить как векторную сумму этих
компонент;
А = ах\ + иу) + агк,
(10.4)
где i, j, к — единичные векторы вдоль осей х, у, г. (Векторы можно выражать и в другой координатной системе, например в цилиндрической или сферической.)
Векторы можно складывать, суммируя соответствующие компоненты. Так, если
K = UxXjT Oy] + игк и т. д., TO
А + 2В - ЗС = (ах + 2Ьх - 3сх) \ + (иу + 2Ьу - 3су) j +•
+ (¾ + 2bг - Зсг] к.
•272 10. Математический аппарат
Рис. 10.1. Операции с векторами, а —сложение и вычитание; б —разложение на компоненты; в — векторное произведение; г — скалярная функция положения точки; д — криволинейные координаты.
Модуль вектора записывается как | А | и вычисляется по формуле
| А | = (а2* + 4 + а!)1/2.
(10.5)
Если вектор А имеет направляющие косинусы (/, /л, я ) , то
А = | A|(/i + mj + nk).
(10.6)
б) Произведения векторов. Скалярное произведение двух
векторов А и В записывается в виде A-B и представляет собой
скаляр:
А • В = IA11 В I cos 9,
(10.7)
где 0 —наименьший угол между векторами (рис. 10.1,в). Таким образом, скалярное произведение равно модулю одного вектора, умноженному на проекцию второго вектора на направление первого. Если А — это сила, действующая на материальную точку, которая испытывает перемещение В, то A-B равно
10.1. Обзор основных понятий 273
работе, произведенной над материальной точкой. Очевидно, A B = BA,
Наряду с этим
= 0
при А 1 В,
= I А | | В | при А Il В.
i • i = j - j = k - k = 1,
i . j = j - к = к • i = 0.
Следовательно, A-B = B-A = axbx + CLyby + агЬг
и A2 = А • А = al + а"у +
Векторное произведение А и В обозначается A X B ставляет собой вектор, определяемый равенством
А X В = ( I A 11 В I sin 0) т],
(10.8)
и пред(10.9)
где т] — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, содержащей А и В, в направлении поступательного движения правостороннего винта, поворачивающегося от А к В на угол 0 (рис. 10.1,б). Поскольку направление ц зависит от порядка перемножения, то
AXB = -BXA,
= 0
при А И В,
= I А | | В | ч при А ± В.
Модуль вектора A X B равен площади параллелограмма, определяемого векторами А и В. Момент относительно оси вращения получается при помощи векторного произведения (см. задачу 10.1). Применение формул (10.9) к единичным векторам i, j, к приводит к соотношениям
i X j = k,
J X k = I f к X i = j;
i X i = j X j = k X k = 0.
Векторное произведение A X B можно выразить через определитель (задача 10.2)
AXB
i = ах
bx
jk
аи az by ь2
(10.10)
Произведения более чем двух векторов можно представить различными способами (задача 10.3).
в) Векторные операторы. Пусть <ф(л:, у, z) —скалярная функция координат точки (например, температура). Если в точ-
•274 10. Математический аппарат
ке P(x,y,z) на рис. 10.1,г ее величина равна \f, то в некоторой близкой к ней точке Q она будет равна ф + d\где
= V-ф • dr. Таким образом,
(10.11)
где п—единичный вектор вдоль направления dr. Вектор Vi|>
(«набла t|)») называется градиентом if (grad гр); он направлен
в сторону максимальной скорости роста функции и его мо-
дуль равен этой максимальной скорости (см. задачу 10.4,6).
Скорость роста в произвольном направлении р, где р — еди-
ничный вектор, равна произведению
(см. задачу 10.4, в).
Векторный оператор набла V = \(д/дх) + )(д/ду)+
к(д/дг)
часто применяется так, как будто он является вектором. По-
этому мы можем рассматривать скалярное произведение V и
вектора А, называемое дивергенцией А или divA:
дах
дац
даг
div А = V • А = - ^ r H—-ZTT H—dзzг- •
(10.12)
Используя формулу (10.10), можно рассмотреть векторное произведение T и А, называемое ротором (rot):
i jк
rot A = V X A =
д дх
д ду
д
dz
Clx ау аг
(10.13)
Оператор V можно применить более одного раза. Например,
div grad г|) = V . Vxp = У2,Ф =
д2 дх2
. д2 ду2
, д2
dz2
(10.14)
=лапласиан ф.
Таким же образом мы можем образовать и другие произведе-
ния, например
V - V X A, V X V X A, V(V-A) и т. д.
(см. задачу 10.5).
г) Ортогональные криволинейные координаты. Несмотря на то, что декартовы координаты обычно наиболее удобны, иногда применение цилиндрических, сферических или других ортогональных криволинейных координат приводит к более простым
10.1. Обзор основных понятий 275
результатам. Обозначим координаты и\% U2, w3; при этом поверхности и\ = ci, U2 = C2j иъ — Съ ( C i = const) являются ортогональными. Когда координаты w, испытывают приращение duit элемент длины дуги ds получается с помощью равенства
ds2 = (A1 afw,)2 + (A2 du2)2 + (A3 cfw3)2,
где Hl=Hl(UxyU2^Uz)—переменный скалярный множитель. Чтобы выразить Vгр в криволинейных координатах, заметим,
что д\р/дх соответствует dty/(hidu\)\ следовательно,
где и,- — единичные векторы вдоль криволинейных осей координат. Чтобы получить V-A, воспользуемся теоремой Гаусса [113, р. 909], которая устанавливает, что
SSJ*.AflT = J S A . ^ .
г
&
где поверхность Sp охватывает объем T и внешняя нормаль считается положительной. Применяя эту теорему к элементу объема dT (рис. 10.1,d), получаем
V • A dT = поверхностный интеграл по 6 граням = = — A1 (A2 Gfw2A3 cfw3) + А, (A2 Afw2A3 cfw3) +
+
HiA2A3) CfwlI du2 duz +
+ аналогичные выражения для других пар граней.
Таким образом,
V • A (A1Gfw1A2Gfw2A3Cfw3) =
^ ЫтГ{АIho-h^ + "SST^aMi) + - J ^ (-^3A1A2)! CfwlCfw2Cfw3,
=
00.16)
где
f, /, k Лапла
смиеанняюVт2\сpя
циклически. равен div grad
т. е'.
10.1.3. Матричный анализ
а) Определения. Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел ац, расположенных в г строках и 5 столбцах; матрица как целое обозначается здесь прописным жирным
•276 10. Математический аппарат
шрифтом:
а, I а,2 «13
й/t:
а21 а22 «23
«31 «32 «зз
(10.18)
Порядок матрицы — это число, равное произведению (г X s ) * Если г =I9 мы получаем матрицу-строку, если 5 = 1—матрицу-столбец]\ эти матрицы также называются соответственно вектором-строкой и вектором-столбцом. У нулевой матрицы О все элементы равны нулю. В матрице, транспонированной по отношению к данной, переставлены местами строки и столбцы; таким образом,
«И «21 «31
e/t
«12 «22 «32
«13 «23 «33
(10.19)
Матрица порядка (г X г) называется квадратной матрицей. Главная диагональ квадратной матрицы состоит из элементов типа ann- Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т. е. ац = 0, если 1 Ф /, и по крайней мере один из элементов а и ф 0. Единичная матрица 9 есть диагональная матрица, у которой an = 1 при всех i. Матрица, у которой под (над)
главной диагональю стоят нули, называется наддиагональной (поддиагональной) треугольной матрицей. Симметрическая матрица равна транспонированной по отношению к ней матрице, т. е. оЛ = оД?> а кососимметрическая матрица равна транспони-
рованной к ней матрице, взятой со знаком минус: бЛ = Симметрическая матрица, у которой все элементы любой диагонали, параллельной главной диагонали, одинаковы, называется матрицей Теплица.
Алгебраическое дополнение элемента ars квадратной матрицы есть определитель, образованный путем удаления г-й строки и s-ro столбца, умноженный на ( — l ) r + s . Присоединенной мат-
рицей к квадратной матрице, adj y i ) , называется матрица, транспонированная по отношению к матрице у которой все элементы заменены на их алгебраические дополнения. Определитель квадратной матрицы det(e£) есть число, определенное
равенством det (д/) = Z CiikAik = £ CtikAik1 где Aik — алгебраи-
i
k
ческое дополнение aik. Обратную матрицу к квадратной мат-
рице можно найти, разделив присоединенную матрицу на опре-
10.1. Обзор основных понятий 277
делитель исходной матрицы [если det (<d) ф 0], т. е
с*"1 — [1/det (<d)\ adi И ) ,
W= S
(10.20>
(см. задачу 10.8, б ) .
б) Матричные операции. Производимые над матрицей опе-
рации изменяют величины ее элементов. Можно складывать со-
ответствующие элементы, т. е. если cS = o/t +
то Crs = ars +
+ brs\ при этом матрицы должны быть одного порядка, чтобы?
их можно было складывать. Матрицы можно умножать на ска-
ляры, т. е. если S> = k<2^t то drs = kars. При умножении матриц i-я строка первой матрицы перемножается поэлементно на
/-й столбец второй матрицы и сумма этих произведений дает
ij-я элемент матрицы произведения, т. е. если & =
то еИ—
= Л aikbkj- Чтобы матрицы можно было перемножать, первая k
матрица должна иметь число столбцов, равное числу строк вто-
рой матрицы. Если <$ = <>&3}, порядок <Л равен ( т Х « ) и по-
рядок 3& равен ( п Х р ) , ТО порядок S равен ( т Х р ) . Когда
перемножают более двух матриц, произведения можно брать попарно следующим образом: e£SB<6 = (o/t3$) cG = e/t ( f f i t y . Матри-
ца, транспонированная к произведению матриц, равна произ-
ведению транспонированных матриц сомножителей, взятых в
обратном порядке, т. е.
= 9&ТоЛт (см. задачу 10.9,6).
Иногда удобно разбивать матрицу, т. е. представлять ее как
матрицу, элементы которой есть подматрицы исходной матрицы.
Например,
2 00 35
1 - 1 4 —2 1 о/Ь = 3 2 1 - 5 4
Ф 1 I St У I
0 0 1 10
2 00 1 -1 4 » 3 21 St = I|0 0 1 II,
3 5 Q = -2 1
-5 4 у = 111 0||.
Чтобы сложить матрицу
с аналогичной (4 X 5)-матрицей
SSy 3S должна быть разбита таким же образом, т. е.
•278 10. Математический аппарат
где ЪГ имеет порядок ( 3 X 3 ) , cU — (3 X 2) и т. д. Тогда
+ сА + Я = \ &+Г
Q + ¾/ Ii У +'
Когда необходимо перемножить матрицы, разбитые на подматрицы, подматрицы должны соответствовать друг другу. Так, -если
где оА — порядка ( щ Х 4 следующим образом:
I « rfHlff
3i — (п X Р)> то можно
<2) I S5r If
1 0 ^ Il ЛИ'
разбить
erf и
где « - п о р я д к а (а X ft), - (# X с), # - (d X 6), ^ - (d X с). « - ( 6 Х Л , X - ( b X k ) , с? (с X /)» X - ( C X k ) t a + d = m, b + с == д, j + k = p\ тогда
crf^ =
+ FJC
Матрицы можно применять для решения систем уравнений. Пусть система линейных уравнений записана в виде
#11*1 + # 12*2 ~Ь #13*3 4" • • • cI
#21*1
#22*2
#23*3 + • • • === ^2
# 3 1 * 1 Н" # 3 2 * 2 ~Г # 3 3 * 3 ~Ь • • • — с 3
(10.21)
и пусть *А состоит из элементов ars, 33 будет матрицей-столбдом с элементами xix = Xit <6 — матрицей-столбцом с элементами Ci. Тогда можно написать
GASe = cS
и найти S?:
=
так как еА~хеА = 9 .
(10.22'
•При таком решении требуется, чтобы erf была квадратной матрицей и чтобы уравнения были независимы, т. е. det (erf) ф 0 !113, р. 9 8 - 1 0 2 ] .
С помощью операции еА$ = Щ можно представить свертку at*bt = Cty если ©rf — матрица указанного ниже вида, а i ? и <8 — матрицы-столбцы. Для простоты примем, что оба сигнала at и bt имеют п + 1 отсчет; чтобы добиться этого, к ним
10.1. Обзор основных понятий 279
добавляют нули. Тогда
а, 0 0 . . 0
а, а0 0 . . 0
•
. 0
аа
• Clj
. 0
«я
•
•
а.
Со
Cn
Cfi + I
(Ю.23>
0 0
• On
ь2 п
где
C1 =
2 k
ai-Фк
=
Z k
akbi_k.
Таким образом, формула
(10.23)
дает тот же результат, что и (8.18). Заметим, что матрица S i
имеет порядок р X (п + 1), где р = 2п + 1. Взаимную корреляцию можно записать как &т3) — фец, т. е.
^o «I • • еп 0 0 е0 е, . . еп
0
do О
О
dx d0
. Cf1
О
О
.О .
О <?о • . 0 е0
л— I
dn • О dn
. d0 О . • d0
О е0
О
ФеАО) ФеА~ D ••• Ф е А - п ) ФеА+ D ФеАО)
• dn dn_ i . . d0 О
ФеА+") • • • О Фе*( + П)
ФеА 0) ФеА^
ФеА-П1
О
О
Феч(+П)
ФеМ (0) (10.24)
Это выражение дает те же значения, что и (8.36). Матрица взаимной корреляции является матрицей Теплица. Другая схема
•280 10. Математический аппарат
для вычисления взаимной корреляции Bt и dt описывается в ы -
ражением
еп en-i
е0
0 .. 0
.е.п. .• .. 0
. е,
•
еп
Феа(-п)
di\
.. .
ФеЛ- 1)
= ФеАО)
(10.25)
0
eO • •
• • •
.
dr.
. 0 0
• е0
Феа(+1) Феа(+п)
Функция автокорреляции определяется выражением
<f>dd = 2)T2).
(10.26)
Матрица автокорреляции также есть матрица Теплица. Нормальные уравнения фильтра Винера (8.58) можно пред-
ставить в матричной форме как
фе, е где
(10.27)
Фее(0) Фее(— 1) . . . Фее(~")
Фее = Фее( П
Фее (0)
•••
Фее W Фее(п-1) ...
Фее W I
(10.28)
fo
п
им
.
•
•
(10.29)
L
Фе№
•Фильтр JF определяется выражением
Гг88'
(10.30)
Иногда в решение матричного уравнения входит обращение матрицы, которая не является квадратной, как в уравнении <ЖЗЗ = <в, где <d имеет порядок {тХп), 33 — (п X р) и « — (тХр)- Чтобы получить 33, умножим <8 на / и результат умножим на {<&Т<d)~~x (заметим, что <>/tT<>/t — всегда квадратная матрица), в итоге получим 33:
33 = (<d <d)~'e&T<e.
(10.31)
10.1. Обзор основных понятий 281
10.1.4. Комплексные числа
Квадратные корни из отрицательных чисел — это мнимые числау
а числа, которые частично действительны, а частично мнимы,
называются комплексными числами. Если обозначить/ = ^ — Х* т. е. J2 = - I (некоторые авторы используют i вместо / ) , та
можно, например, записать мни-
мое число д/—9 = д/9 д/— 1 = 3/. Комплексное число z=a+jb
можно изобразить точкой на ком-
O a S 3
плексной плоскости, в которой
ось мнимых чисел перпендикулярна действительной оси, как
ь
на рис. 10.2. Мы также можем
представить комплексные числа в тригонометрической форме
z = a -f jb = г (cos 9 + + j sin 0) = relQ (10.32)
(см. задачу 10.11, а), где г = = (а2 + б2)1/2 = модуль z = \z\ и
у
Xе
о Y0
,Действительная
ia
ось
G = arctg(&/a) = arg(2). Комп-
лексное число Z9 сопряженное с
г, определяется следующим образом:
-ь
-XZ=Q-Jb
Z = a — jb = г (cos В — / sin 9) =
Рис. 10.2. Геометрическое представление комплексных; чисел.
(см. рис. 10.2).
Сумма (или разность) комплексных чисел получается сло-
жением (или вычитанием) действительных и мнимых частей.
Если Zi= a + jb, Z2 = с + jd, то (Z1 ±z2) = (a±c) + j(b± d).
Комплексное число равно нулю только тогда, когда его и дей-
ствительная и мнимая части равны нулю. Следовательно, два
комплексных числа равны только тогда, когда их мнимые и
действительные части равны. Умножение и деление подчиняются;
обычным алгебраическим правилам. Например (см. также за-
дачу Z1\Z02.1=1,6(а),+ jb) (с + jd) = (ас - bd) + j (ad + be) =
=- r{r2 {cos (0, + e2) + j Sin (8, + e2)} = = rxr2e /(0+e2).;
I (10.33> I J
/
(fl + jb) _ (a 4- ib) (с — id) (ac + bd) + / (be — ad) j
e ) ~ . j zVz*
— (c + jd) ic 4- id) (с - jd) ~~ = (rjr2) {cos (O1 - 2 + / sin (G1 -
62)}
=
c2 + d2 (Г|/га)
e!
te,
e2) ~~
}
(10.34)
•282 10. Математический аппарат
Корень п-й степени из г, равный го, можно найти, записав
г = ге/6 = Zn,= (r0emT = {r0 (cos B0 + J sin %)}п =
= го (cos п% + j sin м80)
по теореме Муавра (см. задачу 10.11, а). Следовательно,
гш = Z0 = r0 (cos B0 -Г / Sin 90), r0 = rlm, е0 = ( 6 + 2 я k ) / n ,
* = 0, I, 2, 3, . . . , Л — 1.
(10.35)
На рис. 10.3 показаны значения корней для случая, когда г = = г = ге'2л = действительное число, п = 5 и 6
40.1.5. Метод наименьших квадратов
Допустим, что мы хотим получить «наилучшую» аппроксимирующую кривую порядка т ,
Iii = а() + CLxXi + а2х] + .. . -f amxT,
(10.3G)
соответствующую набору из п пар измеренных величин (xityi). Если п = m + 1, то кривая будет проходить через все п точек
(Xuyi). Если n > m - f 1, то кривая не будет проходить через все п точек и мы будем искать «наилучшую» аппроксимирую-
щую кривую, такую, чтобы сумма квадратов «ошибок», т. е.
отклонений точек (лг, yt) от кривой, была минимальна, где ошибки et — это разности между измеренными значениями yt и значениями, полученными по кривой. Таким образом,
ei ==yi — (a] + a,Xi + . . . + amx?),
/ = 1. 2, 3
я,
и мы хотим минимизировать E1 где
п
E=Zei=Z !-I
{У1 - («о + O1X1 + . . . +
<
amxT)Y-
10.1. Обзор основных понятий 283
Поскольку E зависит только от параметров а*, минимум определяется уравнениями
^ = 2 ^ (yt — а0 — ах1хЛх1 — ... —' аCтLхm?X)i (— *?) = О,
Oq Z ^ + а, X ^ f + 1 + . . . + ^ m Z х1+ т = Z Arff//,
it
i
i
k = 0, 1, 2,
т.
(10.37)
Таких нормальных уравнений всего имеется т + 1 , поэтому
можно найти т + 1 неизвестных ak.
Иногда желательно найти решение по методу наименьших
квадратов при некотором заданном условии (ограничении) от-
носительно неизвестных параметров. Например, можно потре-
бовать, чтобы а\ = а4 и (или) а\ + а2 + Дз = 0. Мы можем
записать каждое ограничение в виде C(ai, a2,
а т ) = 0.
Поскольку величины at выбраны так, что OEfdai — О
(и d C / d a i = 0), то можно записать условие наименьших квадра-
тов с ограничениями в виде
-^-(Е + ХС) = 0,
1 = 0, 1,
/п,
(10.38)
где X имеет тот же смысл, что и в методе неопределенных мно-
жителей Лагранжа [ИЗ, р. 968]. Эти ( т + 1 ) уравнений плюс-
уравнение С(аи а2у
ат) = 0 являются достаточными, что-
бы получить X и ( т + 1 ) значений at. Обобщение на случай
нескольких ограничений приводит к решению системы
^(£+1^)=0.
Равенство (10.37) можно записать в матричной форме сле-
дующим образом:
щ' =
(10.39)
где
Z Z i X0i
х\ i
.. • Zi Xf
Z Z .. Z se* = i х\ i X21
..
xT+1 i
Zi X?
Z X„iт+1
i
•г =
. Zi Л2iт Z Vi
i
Z
xIUi
l Xtyi
•284 10. Математический аппарат
Так как матрица SB* квадратная, то = (W)-uW.
(10.40)
Если бы мы решали задачу приближения по методу наи-
меньших квадратов в матричной форме с самого начала, то
могли бы получить более общий результат, который к тому же
хорошо подходит для вычислений на ЭВМ. Запишем (10.36)
в виде
Sfet = W9
где
aI
У1
Xn Xi2 . ,» • xIm
, = х2\ X22 . .' • х2т
=а2
оЛ
•
У2
хп\ хп2 • • • хпт
0>т
Уп
причем Xij1 Hi известны, а, неизвестно и п > га. (В общем случае Xij могут быть любыми (га X я) известными величинами, включая степени х/, как в (10.36).)
Поскольку у нас имеется больше уравнений, чем неизвест-
ных, уравнения не могут выполняться точно; обозначая S матрицу-столбец ошибок £ / , / = 1,2, . . . , п, получаем
Данное равенство можно упростить, записав [27, р. 107]
— У\
W « x •• •
xIm
•
1
е\
а,
•
=
— Уп хп\ • • • хпт «т
еп
Это выражение можно разбить на подматрицы:
где первый столбец 3d равен —«ЗЛ а остальная часть равна SS. Разбиение возможно, если считать первый столбец нулевым столбцом, т. е. bio = —yi и bif = Xijу j > 0.
Частные ошибки получаются из равенства
—Уг Xil ^ = Ila1 ... ап
I -Vt
1 а, Xil . Xin
Xin
Тогда
Ia1 . . . а
10.1. Обзор основных понятий
У i
|1
XiX
Ifll
I yi Xi\ ••• Xim\
И ^=Zel
-Vi «л
= Ilai . . . a !IE
' Ui xH • • • Xin
XimW
= 1<е*Г1
где
у i
Xii
Vi Xn ... xim\ = %T3S.
(10.41)
Xim Полагая производные E по Cii равными нулю, получаем
дЕ dai
O==IIO . . . О 1 о . . .
+ |ljetfr
= 210 . . . О I 0 . . . 0 | « | - i - | ,
поскольку матрица Л ^ a r Я можно записать как
симметрr ична. Этот ^резJультат
Irtl . . . r < m | | - - _ e 0 t / = 4 , 2 , 3 , . . . , т.
•286 10. Математический аппарат
Если мы объединим m уравнений, то получим
I! 1
т—г
-O9
если не учитывать то, что нам не хватает 0-й строки матрицы Щ. Определим величину v равенством
Ikooroi ... r0m|| - - - =0-
(10.42>
Теперь имеем
1 Il
Il
т. е.
V
0
Il 1 Il I — Я/7
= ятя\-— Il <d Il
=
SST
и\ - w \ aIs \I
0
1 л ж Ii
se ят se
(10.43) 1 Ii
а/т а/ -q/T %
-Жт
+ SBt 96 Л
0
Таким образом, получаем
и
= —9ВтО/ -4- SBtSBe/t.
следовательно,
(10.44)
Иногда желательно придать дополнительный вес одному или более наборам наблюдений (*/t, xiu jct2, ..., xim). Мы можем сделать это, умножая ошибку е* и i-ю строку матрицы Si
10.1. Обзор основных понятий 287
на весовой множитель ^ w i . Тогда
— У1
^ = z ^=IiirfiZwI
Xix
I
• Il -Vi Xli ... *im| ¢/1
Xim
1 I <лт h z I
<10-45)
где матрица <§t взвешена по отношению к St = S^SSi т. е. равна произведению SS7 и Si, когда i-я строка SS и /-й столбец SS1 умножены на л/Wi. Равенство (10.44) все еще остает-
ся в силе, только i-я строка матриц 36 и <2/ и /-столбец матрицы ffi1 умножены на ^jwi.
Ограничения можно рассматривать как дополнительные уравнения относительно неизвестных aiy которые должны удовлетворяться точно, т. е. они имеют бесконечные веса по сравнению с весами ошибок. Мы можем записать k линейных уравнении для введенных ограничений (k < т ) в виде
0
1
0
= O,
(10.46)
где
^lO cIl
cIm
С20
С2\
с2 m
. ckC ck\ • • • ckm
Следуя Клербоуту [27, р. 112—113], мы можем присвоить вес ^Jw каждому уравнению для введенных ограничений, подставить взвешенные левые части (10.46) в уравнения для ошибок, получить результат, а затем устремить w к бесконечности.
Без ограничений мы уже получили результат (см. формулы (10.41) и (10.43))
yt
V
0
« Ш - 1i-1
1 — У1 Xtx
Xil
4m Il
xIm
•288 10. Математический аппарат
при наличии ограничений это выражение перейдет в следующее:
I -Vi
Хц
Vi Xn
+
1
т. е.
Xin
Ci О
CiI
+ EW
! Ci0 Cil
t=l
Cin
1
У*
0
cin
\I I 1 I
II
I
I Jl
0
(10.47)
[SSTSi + w<eT<e) --II Qfft I
= r\
Запишем w = 1/e,
= G^o "Ь e^rfi ~Г в "h • • • 1
где crfo— матрица, которая дает требуемое решение,erfi — матрица такого же вида с отличными неизвестными элементами и т. д. После подстановки получаем
(SSrSS + -J- « г « ) (crfo +
+ . . . ) = Г\
Приравнивание степеней е дает уравнешния
е"1 :
= 0
8°: SSrSSrdl + <в
} = Г\
Поскольку, согласно (10.46),
(10.48)
первое уравнение выполняется автоматически и, следовательно,
не дает новой информации. Во второе уравнение подставим
=
где S E - м а т р и ц а порядка (£ X 1), элементы кото-
рой являются эквивалентами неопределенных множителей Jla-
10.1. Обзор основных понятий 289
гранжа. Тогда
Sl7SMo +VX = Г
(10.49)
Выражения (10.46) и (10.49), из которых можно найти m неизвестных at и k неизвестных Xiy можно объединить и представить в виде
ятя Jvr <Ж0 I г
<€ I о SS
о
или
г
+ о
о
(10.50)
10.1.6. Конечные разности
Вычисления в конечных разностях имеют широкое применение во многих практических ситуациях, например: операции с данными, представленными в цифровом виде, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных уравнений. Рассмотрим основные соотношения, считая, что функция f(x) задана с постоянным шагом Д, т. е. мы вводим дискретную функцию f(x + nA)y п= 0, ± 1 , ± 2 , . . . . Будем использовать обозначение f„ = = f(Xo + nk) (заметим, что/о = f(xo)).
Определим следующие операторы:
3 { М = /(*0 + Л) = /.
т. е.
11.51)
®{fn} = fn+l-fn> df(x) dx x-xo+яA л Xa-Лt Л
3 if о) = j\Xo f (x) dx.
(10.52) (10.53)
(10.54)
Это операторы сдвига, разности, дифференцирования и интегрирования соответственно. Первые и вторые разности определяются выражениями
®{fn} = f n + l - f n , & iin) = ® {» {/„}} = D {/Л+1> _ f> {f„>. IA г 6 3 1
•290 10. Математический аппарат
Последовательно применяя записанные выше равенства, находим, что
Ф Г {fn} = fn+r — rfn+r-1 H ^2( ~ / л + г - 2 + • • •
• •• + ( - D " 1 r(7r^i)i 3'2 Ь+' +
(I0-55)
Кроме того, Ф {/„} = / я + 1 — fn = 3 {fn} — fn; следовательно,
Ф= (3-1).
(10.56)
(Иногда разности относят к точке {л: + (я + 1A)Д}> а не к (лг-Ь^Д), и тогда Ф{/п+у2} называют центральной разностью.)
Часто используют комбинации операторов, например
Операторы подчиняются основным законам алгебры: ассоциативному, дистрибутивному и коммутативному.
Можно применить к Sifo) разложение в ряд Тейлора, и тогда получится соотношение
3 {/о} = / Uo + Д) = / (*о) + АГ Uo) + (Д2/20 Г (*о) + . . . =
= {1 + (ДЯ) + (1/2!) W + . . . } / (JC0) = {/0}.
(10.57)
Чтобы получить выражение для интерполяции между f(xо) и f(xо + А), используем формулу (10.56) и запишем
Зг = (1 + Ф)' = 1 + г Ф + г ( г ~ { ) Ф2 + . . . .
(10.58)
Хотя г в этом выражении обычно является целым и положительным, равенство все еще остается в силе, когда 0 < г < -f 1 [186], что дает нам возможность интерполировать между fo и /ь в данном случае получается формула Грегори — Ньютона для интерполирования вперед (формула Грегори — Ньютона для интерполирования назад используется около правого конца интервала, на котором затабулирована некоторая величина - с м . . [186]).
Выражение для производной 31{/о} можно найти следующим образом:
/(*0 + г А ) - З Ч М = 0 + ® ) 7 о ,
f (X0 + гА) = {1 + гФ + i ^ f i L Ф2 + . . . }f0.
10.1.
Обзор основных понятий 291
Дифференцируя по г (т. е. обращаясь с г как с непрерывной переменной), получаем
Устремим г к нулю и получим
(10.69)
81 ( W = I
:о —
Iim r->0
d
/
(
*
D А
d+ r
fA)
=
=
- V2®2 + '/з®3 - 'Л®4 + . . .) /о.
(10.60)
Повторяя описанную процедуру, находим, что
Интеграл § { Ы можно найти следующим образом:
S*o+ А
Г (х) dx — f(x0 + A) — f (X0) = © {/о},
JCo
так что
3« = Ф.
(10.62)
Из (10.56) и (10.57) имеем
3 = 1 +Ф==ехр{Д31}, или
SR = -L In (1 + © ) = ( ® - У 2 ® 2 + У з ® 3 - . . . ) •
Таким образом,
3 =
= Д (1 - V 2 ® + Уз®2 - У4®3 + • • О"1.
Поэтому
з ( М = А (1 + у2® - У12®2 + У24®3 - . . . ) /о.
(10.63)
Если мы перемножим друг с другом операторы в (10.60) и (10.63), то обнаружим, что в соответствии с (10.62) произведение равно ©.
Дифференциальные уравнения часто приходится решать при помощи численных методов, как правило, из-за того, что уравнение слишком сложно, чтобы его можно было решить аналитически, или если данные представлены в цифровой форме. Основная задача состоит в определении функции у (x)f где dy/dx = у' = f(Xy у), у = у0 при л: = лг0, когда f(x, у) задана либо аналитически, либо таблицей значений /(*, у) с равным шагом Д по х (если имеются значения с не-
•292 10. Математический аппарат
равным шагом, обычно необходимо применить интерполяцию, чтобы получить значения в равноотстоящих точках).
Используем разложение в ряд Тейлора (см. (10.57)) и получим
У\ = У (*о + А) « У (X0) + A - ¾ - ~ у0 + А/ (х09 уо),
У2 = У (*о + 2А) « ух + А/ (х0 + А, у{)9
Уп+i ™Уп + А/ (х0 + пА, уп).
(10.64)
Этот метод, называемый методом Эйлера — Kotuut состоит в вычислении последовательных значений производной f(x0+rk9 уг) и использовании ряда Тейлора для определения приближенного значения г/г+ь Точность данного метода низка, если значение А не очень мало, но когда А мало, время счета может оказаться чрезмерно большим. Чтобы увеличить точность и уменьшить время вычислений, было разработано много методов, в большинстве которых используются члены высоких порядков в ряде Тейлора. Опишем кратко два из них.
Метод Милна исходит из (10.59) при
г = I 9 2, 3, 4.
Подставляя у вместо / и уг = —dx~
, получаем
у'1=±(Ъ
+ V2©2 - Ve®3 + V.2©4) Уо,
4 = ± ( 2 ) + 3/2S)2 + 1/3фЗ _ I/I2S)<) y0t
4 = T + 5/2®2 + 1 '/б®3 + 'Д®4) i/o,
f4 = T + 7 ^ + '3/зф3 + 25/i2®4) УО-
С помощью (10.55) эти уравнения преобразуются в следующие:
4 = (—Зг/0 - Юг/, + IBiZ2 - 6г/3 + г/4)/12Д,
4 = ( Уо-
+8^-^)/12^
Уз = ( ~ f o + 6^. - 18^2 + IOy3 + Зу4)/12Д,
(10.65)
4 = ( 3 У о - 1 H + 3 6 У 2 - 4 8 у э + 25г/4)/12Д.
Удвоенная сумма первого и третьего уравнений минус второе равна
10.1. Обзор основных понятий 293
Поскольку точка (л:0, уо) может быть любой из рассматриваемой последовательности, данное соотношение применимо к любым четырем последовательным точкам, т. е.
Уп+Х = </„_3 + (4А/3) (2у'п_2 - у'а_х + 2у'п).
(10.66)
Если нам известно уг для четырех последовательных значений г = пу п— 1, п — 2, п — 3, то мы можем найти уг для этих значений и, следовательно, получить уп+\ из (10.66). Для начала нам необходимы значения уо, г/ь У2, Уъ\ тогда производные
У'и Уъ Уз находятся подстановкой в дифференциальное урав-
нение, после чего вычисляется у4. Поскольку у0 известно, мы используем ряд Тейлора для определения у 1, у2, уъ\ чтобы сделать это, нам необходимо знать у\ у", у"' и т. д. в точке Jt = Jt0. Мы имеем
y' = f(x,y),
У" = %+ -Jjf У' и т. д.
Производные можно оценить в окрестности (лг0, уо), и поэтому Уи #2, Уъ мы находим с любой заданной точностью, после чего из дифференциального уравнения получаем у{1 у2, у^ а из (10.66) у4.
Как и большинство методов, метод Милна подвержен влиянию ошибок, которые иногда накапливаются. Проверка обеспечивается уравнением, полученным сложением второго и четвертого уравнений (10.65) с учетверенным третьим, и результат в общем случае будет иметь вид
yn+i = Уа.х + ^ A
+ К + У'п+1).
(10.67)
Когда уп+\ найдено из (10.66), то можно определить уп+и а затем подставить его в (10.67) для проверки величины уп+\.
До этого момента мы использовали оценки производных в точках Xo + гА, где г — целое число. В общем случае будет достигнута более высокая точность, если брать производные, вычисленные в промежуточных точках, таких, как х + + ( ' + 1A)^- Эта идея лежит в основе метода Pynee-KyTTa1 в котором используется уравнение
Уп+i = Уп + V6A (ко + 2kx + 2k2 + ft3), где
ко = f(xn, уп),
к\ = f(xn + V 2 A , Уп+1/2к0А),
к2 = f (ха + V2A, уп + V2Aj1A),
^3 = ZUn + А , Уп + k2А)
(10.68)
•294 10. Математический аппарат
(вывод этих уравнений см. в [186, р. 111—115] или в [86, ch. 7]).
Дифференциальные уравнения более высоких порядков можно решать сведением их к системам уравнений первого порядка. Так, уравнение
y" = f(x> У)9 У = Уо и t/ = y'Q при X = X0
эквивалентно
у' = Z (х, у),
У = Уо при X = X0,
z' = f (х9 у),
г = У'0 при * = х0.
Найдем z(x, у) из второго уравнения, а затем решим первое,
чтобы получить у = у(х).
10.1.7. Элементарные дроби
Часто удобно выражать функцию вида N(x)/D(x) ментарные дроби, т. е.
через эле-
N (х) D (х)
A1
.
A2
х — A1 +1 хT=—TTа2 +
I
Am
' • • " Г у _ am
j
Bn
I Bfi—i
^"Т~ (Iy* -—Ь гh.)\nп ^"I~ ((Yх —- Ьh.^\n-1- 1
I
^" Г
I
Bi
^ (X^bl)'
где а*— простые корни D(X)i а Ьх — кратный корень порядка п. Очевидно, что N(x), D(x) являются полиномами относительно х, и мы считаем порядок N(x) меньшим порядка D(x) (если это не так, то можно провести деление многочленов и получить в остатке дробь указанного вида). Чтобы найти значения Ai1 Bi, запишем
N(x) =
N(X)
=
D (х)
k(x — ах) (х — а2) ... (х — ат) (а — Ьх)п
А\ х — U1
I '
I '• '' ' ~•Г
Am хv —_ ат
j
1 I
Bn (/Xv — bиxЛ)пn
j
I
В\
^"г
• •
•••
•П~г
'
(х
_
^
,
где ft— коэффициент при наибольшей степени в D ( x ) . Чтобы найти Ль умножим обе части написанного выше вы-
ражения на (х — a i ) , а затем положим x = ai. Множитель (х — a i ) сократится в левой части и в первом члене правой части и появится во всех остальных членах правой части. Поэтому находим
<10-69>
где звездочка означает, что множитель (х — а{) удален из полинома D(x). Мы можем получить все коэффициенты Ai тем же способом. Чтобы получить Bni умножим обе части на
10.2. Ряды Фурье и интеграл Фурье 295
(х — Ь\)п и затем положим х = Ь\\ таким образом,
DRn — D** (*) 1\Xsabi •
где удвоенная звездочка означает, что удален множитель {х — Ь\)п. Чтобы получить Вп-и продифференцируем это выражение один раз перед тем, как положить х = Ь\:
R
_
d
dx
\Г DN*(*x{)x)
UJ l j e e 6 l -
В общем случае
е-{-#Sr}L-
В качестве примера описанной выше процедуры найдем об-
ратное преобразование Лапласа (см. § 10.4) от дробного вы-
ражения
S2 — 2
_
s2~ 2
s (s2 - 5s + 6) (s - I)2 — s (s - 2) (s - 3) (5 - I)2 •
Можно записать
S2 - 2
_AI
s (s - 2) (S - 3) (s - I)2
s
, A2
, A3
,
B2
B1
Сs —_ О2 ' sС—_ 3Ч "Г(s/с— I1)422 I S — 1
И
Л1 ~
S2 - 2
I
(s — 2) (s — 3) (s — I)2 U=O
1 3'
А -
2"~
^Л3 =
В2 =
1 = -1
S (S — 3) (S — I)2 U - 2
1 =±
s ( s - 2) (s — I ) 2 |s-3 12 '
s2 — 2
I
1
=
S (s - 2) (s - 3) L - I
"2 1
=
{ s (s - 2) (5 - 3) } L-I =
s(s — 2)(s — 3)2s - (s2 - 2){(s — 2)(s — 3)+s(s — 3)+s(s — 2)} I _ _ 3
—
{s (s - 2) (s - 3)}2
U-I 4•
10.2. Ряды Фурье и интеграл Фурье
10.2.1. Ряды Фурье
Пусть g(t) — периодическая функция с периодом Tf т. е.
g(t±nT)=g(t),
п = 0, 1, 2
При условии что функция g(t) ведет себя достаточно хорошо, т. е. подчиняется условиям Дирихле: 1) имеет по крайней мере
•296 10. Математический аппарат
конечное число максимумов, минимумов и разрывов на интервале T и 2) интеграл
С+Tl 2
J—Г/2 ограничен, ее можно разложить в ряд Фурье
сю
g (0 = 72^0 + MZ= 1(ап COS AZCO0/ + 6Я Sin AZCO0/),
(10.71)
где = (O0 2 j x v o = = 2л/Т. Мы написали ! / 2 а о вместо а о , с тем что-
бы все значения ап получались по одной и той же формуле (10.77). Чтобы получить коэффициенты ап и bn, используем тот факт, что для любой величины d и для любых тип
d+2n
4
sin mO sin AzGrfO =
d d+2n
o, •
cos m9 cos az8 dQ =
d+2n
o,
>
sin mO cos a?8 dQ =o, d
d+2n Sin2AzO dO = я ,
d
d+2n Cos2AzOdO = ^ .
d
гпфп
(10.72) (10.73) (10.74) (10.75) (10.76)
Если мы умножим обе части равенства (10.71) на cos /г<о0*
и проинтегрируем их на интервале, равном периоду Ti то по-
лучим
С T/2
ап = (2/Т) \ g (/) cos Azco0/ dt.
(10.77)
J -Г/2
Аналогичным образом если мы умножим обе части (10.71) на sin псо0/ и проинтегрируем по периоду Ty то получим
S Г/2 — Г/?g (/)sin Azco0Zd/.
(10.78)
В частности, для п = 0
г Г/2 Veflo = ( I ^ ) J £ ( / ) d / = среднее значение g(t)\
Г/2
(10.79)
отсюда ао = 0> когда g ( / ) — нечетная функция.
10.2. Ряды Фурье и интеграл Фурье 297
Ряды по синусам и по косинусам можно объединить в один ряд, введя фазовые углы уп:
OO
8 W=
V2C0 +
E
л=
1
Cn
COS
(гссо0/
-
Yn),
(10.80)
где
¢ = ¾ + ¾ '0 = ¾ Y0 = O; Y« = arctg (b Jan), п> 0.
(Ю.81)
Равенство (10.80) показывает, что g(t) можно представить в
виде бесконечного ряда гармоник основной частоты соо- Кон-
станты Cn и уп дают амплитуды и фазовые углы гармоник и
называются амплитудным спектром и фазовым спектром функ-
ций g { t ) . (Для обозначения как амплитудного, так и объеди-
ненного амплитудно-фазового спектров употребляется термин
частотный спектр.) При очень больших п амплитуды должны
уменьшаться, т. е. Iim Cn = 0, так как в противном случае ин-
П->оо
теграл
г T12
\
\g«)\dt
J-Г/2
не был бы ограниченным. Равенство (10.71) можно записать
как
P Г/2
~ л Г/2
g (0 =
О/Г) J\ -Г/2 g (У) dy +
(2IT)MZ=I
\
J-
Т
/
2
§
(у)
COS
{жо0
(/
-
у)} dy,
(10.82)
где переменная t из (10.77) — (10.81) заменена новой (немой) переменной у.
В практической работе часто встречаются случаи, когда функция g(t) задана только в равноотстоящих на величину А точках, например g(t) = g(nh)y п = 0, 1, . . . , т . Тогда равенства (10.71) и (10.77) — (10.81) все еще верны, за исключением того, что суммы в (10.71) и (10.80) конечны и интегралы заменены суммами. За дальнейшими деталями читатель может обратиться к работе [186]. Интересное свойство ряда Фурье состоит в том, что конечный ряд, полученный отбрасыванием в (10.71) всех членов с номерами, большими некоторого /г, является наилучшим приближением для g ( / ) в смысле минимума среднеквадратичного отклонения (см. задачу 10.14, а).
Два бесконечных ряда в формуле (10.71) можно объединить, используя формулу Эйлера (см. задачу 10.11, а); тогдз
•298 10. Математический аппарат
получится ряд в экспоненциальной форме
OO
g(t)= E
апе'пш;
Пша OO
Cto = У2Я0,
ИЛИ
а± п = Ч2 (ап T jbn) с Г/2
а±п = (1/Г)\ g(t)e*i™»tdt,
J-Г/2
а — О, 1, 2, . . о о .
(10.83) (10.84)
Иногда нужно разложить функцию g(t) в ряд Фурье на интервале ( — Т / 2 , +Т/2) независимо от ее значений вне этого интервала (например, см. § 10.3.10 и 10.6.1); тогда в ряде Фурье повторяется одна и та же часть g(t) каждый раз, когда / увеличивается или уменьшается на Т.
10.2.2. Интеграл Фурье
Когда g(t)—периодическая
функция, коэффициенты ряда
Фурье составляют дискретный частотный спектр, компоненты
которого определены с шагом со0. По мере увеличения T функция g ( / ) повторяется на все больших интервалах, в то время
как частотные компоненты располагаются все с меньшими про-
межутками. Когда T становится бесконечно большим, частот-
ный спектр делается непрерывным и сумма в (10.83) переходит
в интеграл Фурье.
Продемонстрируем качественно переход от ряда Фурье к
интегралу Фурье при T-+- оо; строгий вывод можно найти в ра-
боте [25]. Подставив (10.84) в (10.83), получим
g(t)= S (Г12 п оо (.J - г / 2
g(О•'лЬ^'О/Г). )
По мере того как T приближается к бесконечности, 1 / Г становится бесконечно малым, следовательно,
IIT-Xiv0 = Cla^n.
Разница между соседними гармониками Aico0 и (/г + 1)со0 становится бесконечно малой, т. е. жо0 обращается в непрерывную переменную со. Таким образом, дискретный спектр шо0 в пределе переходит в непрерывный спектр. (Нижний индекс у v
и со можно опустить, так как при переходе к пределу он не
будет иметь значения.) Одновременно сумма в (10.83) перей-
10.3. Преобразования Фурье 299
дет в интеграл: g(t)=
Jp g^e-^dt^e^d^n.
(10.85)
Сначала вычисляется интеграл относительно t, в результате чего получается функция от со; затем при втором интегрировании со исчезает и мы снова имеем функцию от t. Множитель 1/2я можно объединить с Ло, чтобы получить dv, но тогда в экспоненциальном члене со следует заменить на 2nv.
10.3. Преобразования Фурье
10.3.1. Введение Soo g (0 е- № dt = -OO
= преобразование Фурье от g(t),
(10.86)
тогда
g (t) = - =
(о1б/р2аят) н\Jое- O
O
G (со) е^ dco преобразование
=
Фурье от G(со).
(10.87)
(Некоторые авторы распределяют множитель 1/2я по-другому, например вводят (1/2я),/2 как перед прямым преобразованием Фурье, так и перед обратным.) Связь между g(t) и G(со) обычно обозначается как
g(t)+->G( со).
(10.88)
S Достаточное условие для существования преобразования + O O\g(t)\ dt был
ограничен. Однако это условие не является необходимым и можно сформулировать другое, несколько более сложное условие (см. [107, р. 9 ] ) .
Интеграл Фурье можно записать несколькими способами. Считая, что функция g(t) действительная (что обычно имеет место) и в (10.85) интегрирование ведется по всем переменным, кроме t, можно записать
g (0 = (1/2Я) ^ o o е>л* J p o o g (у) е-1»У dy) dco =
= (1/2я) \ g (у) ехр {/со (t — у)} dy Ло =
J -OO J -OO
SOO
р OO
OO\ ^ —OёO(у) {cos со (/ — у) + / Sin со (/ — у)} dy dco =»
(1/2я) S \_oag(y)cosa>(t-
у) dy dcо,
•300 10. Математический аппарат
так как g(t) —действительная функция; далее,
SOO
л OO
—00 \J —00§ (У) {cos со/ cos щ + sin со/ sin щ} dy rfco,
(10.89)
Soo
р 00
R (©) cos м/ da> - (1/2я) \ X (ю) sin Ш da>,
— 00
J —00
где
Soo
-OOg (у) cos coy dy = косинус-преобразование g(t)9
S+00 g (у) sin щ dy = синус-преобразо— OO ва/ше g (/).
(10.90)
Если экспоненциальный член в (10.86) мы выразим через cos со/ и sin со/ и сравним с полученными выше выражениями, то найдем, что
G (со) = R (со) + JX (со) = А (со) exp {/у (со)},
где А (со) = [R2 (со) + X2 (со)]1/2 = амплитудный спектр g (/), |
у (со) = a r c t g [X (со)//? (со)] = фазовый спектр g (/).
J
Независимые переменные в (10.86) и (10.87) обычно представляют собой время и частоту, но могут иметь и иной смысл. Мы можем, например, вычислять преобразование Фурье относительно л: с тем, чтобы со имело размерность (длина)-1, а не (время)-1; в этом случае со называется пространственной частотой или волновым числом, которое часто обозначается х.
10.3.2. Многомерные преобразования и ряды Фурье
Ряд Фурье в (10.71) был определен для g(t) —функции только одной переменной. Разложить функцию g(x, t) в ряд Фурье можно, если принять, что она также периодическая по х с «периодом», равным хо = 2 л Д (эквивалент соо = 2я/Г). Тогда
OO OO
g (X9 /) = mZ=0 nZ=*Q(йтп COS ткдх cos Azco0/ +
+ bmn cos тщх sin Aico0/ + + Cmn sin 1ПЩХ cos AlCO0/ + + dmn sin тк0х sin Aica0/),
(10.92)
ЮЛ Преобразования Фурье 301
где коэффициенты определяются соотношениями, аналогичны-
S ми (10.77) и (10.78), например Л/2 р T/2
\ g (*у 0 cos HtTi0X sin шо0/ dx dt.
—Л/2 J - Г / 2
(10.93)
Аналогично этому формулы (10.86) и (10.87), определяющие преобразования Фурье, принимают вид
G ( x , (о)=\°°
Г g ( x , t ) e x p ( - j ( K X + <dt)dxdt,
J OO J - O O
(10.94)
g(x, t) = [1/(2я)2] Г Г Q(K,a>)exp(j(KX + a>t))d>id&. (10.95)
J J - O O
-OO
Обобщение на произвольное число измерений г очевидно (множитель 1/(2я)2 преобразуется в l/(2jx)r). Более подробно см. [46, 170].
10.3.3. Функции специфического вида
Во многих случаях мы будем использовать некоторые специфические функции, наиболее часто step(/)—функцию единичного скачка, определенную равенством
Ясно, что step (/) имеет разрыв при / = 0. Умножение функции
g(t) на step ( 0 «обнуляет» функцию для отрицательных зна-
чений t и оставляет ее неизменной для положительных зна-
чений t. Функцию единичного скачка, сдвинутую на t0 единиц вправо, можно записать как step — ^0); умножение на step (/ — /о) обращает в нуль функцию для всех значений
t < to. Кроме того, k • step ( t ) есть скачок величиной k.
Чтобы получить преобразование от step (/), определим сна-
чала функцию
sgn(/) = ~ l , / < 0;
= + 1, t> о1.}
(10.97)
Самый простой способ доказательства соотношения
sgn (t) 2//© состоит в вычислении обратного преобразования
(10.98)
A - ^ - L Г 1 - е Ы d c o = = 4 _ r f COSCO/ + /Sin CDt \ d
/о
2Я J^00 /G)
/"J-co V
to
)
Г = — Я J0
sin сot -d<o, CD
•302 10. Математический аппарат
так как (cos соt) /со — функция нечетная и части, соответствующие отрицательным и положительным со, сократятся, тогда как (sin со*) /со — функция четная. Определенный интеграл равен 0, тс/2 или —л/2, когда t = Of t > 0 или t < 0 соответственно [66, интеграл 621]; следовательно, правая часть есть функция sgn(/). Таким образом,
step (0 = {1 + sgn (0}/2 JtS (со) + 1//со
(10.99)
(здесь используется пара преобразований 1 2я6(со); см. (10.102) и (10.106)).
Функцию единичного скачка удобно использовать при рассмотрении разрывных функций, таких, как g(t) на рис. 10.4,
которая в точке разрыва t = a равна g ( a + ) и g(a-), когда мы приближаемся к ней соответственно справа и слева. Обозначим gc(t) непрерывную функцию, составленную из g(t) слева от t = а и пунктирной кривой справа от t = a, которая просто есть функция g(t)f смещенная параллельно вертикальной оси на величину скачка. Тогда g(t) = gc(t) + {g(a+) — — g(a—)} step(f — а). Производная функции g(t) совпадает с производной функции gc{t) везде, кроме точки t = а, где она равна дельта-импульсу (см. (10.102) и (10.107)) с амплитудой
Прямоугольный импульс зом:
boxfl (/) = 0,
= .1,
= 0,
hoxa{t) определяется таким обра-
/<-Vta;
-V2a</<V2a;
t>4%a.
(10.100)
10.3. Преобразования Фурье 303
Следовательно, прямоугольный импульс имеет ширину а и высоту 1, площадь его равна а. Прямоугольный импульс можно представить как разность двух единичных скачков (см. задачу 10.17, а). Преобразование Фурье от прямоугольного импульса имеет вид
boxfl(0
с Л/2
р+/©fl/2 _ р—/©а/2
\ е-1°* dt = -
г-2
=
J -а/2
/®
= 2 s i n ^ a / 2 ) = a sine (соа/2), (10.101)
где sine 0 = (sin 6)/0. Преобразование функции boxa(0 представлено на рис. 10.6, а.
Дельта-импульс, или дельта-функция Дирака, 6(<) определяется соотношением
Г б(0г(0Л-*(0).
J -OO
(10.102)
т. е. 6(/) является оператором, который придает аргументу
функции нулевое значение.
{Дельта-импульс S (t) представляет собой пример обобщен-
ной функции. Доступное описание обобщенных функций имеет-
ся в [107, прил. I]. Обобщенная функция a(t) есть оператор,
действие которого заключается в том, что g(t) заменяется не-
которой функцией от g(t), равной
т- е-
Г *(t)g(t)dt
J -OO
= <i>{g(t)}.
Знак интеграла здесь не имеет своего обычного смысла; он используется только из-за некоторых аналогий между приведенным выше определением и настоящими интегралами. Производная обобщенной функции определяется соотношением
S^-S-IW*-
другими словами, da/dt есть обобщенная функция, которая, если не считать знака «минус», приписывает dg/dt значение того же самого функционала, которым a(t) действует на g(t). Таким образом,
п.*»»*—
Чтобы получить физическое объяснение дельта-импульса (а не строгий математический анализ), будем исходить из единичного прямоугольного импульса boxa(t)/a и устремим а к нулю, сохраняя площадь импульса равной единице, так чтр erg
•304 10. Математический аппарат
Рис. 10.5. Примеры функций и их преобразований Фурье, а — Ьоха (/);
б — sine (at/2)\ в - 6 ( / ) ; г - 6 (t - /0); д - e"kt step (/);
в - 1 * * а с - е'к [ t ~ u ) step (t - t0); з -
step (t).
(Отметим что а и k —- положительные константы.)
амплитуда будет стремиться к бесконечности, по мере того как длительность стремится к нулю:
Iim { b o x f l ( / ) / a j = = 6 M .
10.3. Преобразования Фурье 305
В пределе S(Z) представляет собой импульс с бесконечной амплитудой, но нулевой длительностью, причем «интенсивность» импульса равна единице. Далее, S ( Z - Z 0 ) есть дельта-импульс, возникающий в момент Z = Z0. Если умножить g(t) на S(Z--Z0), то результат будет равен значению g(t) в момент возникновения импульса, т. е. g(t0). Папулис [107, р. 280] показал, что
S(Z)=
Iim J СО-> oo
!
£7®11
L
.
(10.103)
Из этого результата можно получить другое выражение для
6(0:
Soo
р а
р а
cos(otd(o— Iim \ cos Ы day = 2 Iim \ coscotday =
—oo
а -> oo J—а
а-> oo Jo
=
2
Iim а->оо
-IiIL1 ^L
I0 —IO
2л Iim а-> oo
-IHnLt fL
=
2я6 (/).
(10.104)
Фурье-преобразование S(Z) равно
6 (Z) Г S (Z) e-w dt = ег*»* = + 1 . J -OO
(10.105)
Таким образом, дельта-импульс имеет равномерный спектр, т. е. в нем представлены все частоты и они имеют одинаковую амплитуду и нулевую фазу (см. рис. 10.5,в). Наоборот, преобразование константы во временной области представляет собой импульсную функцию в частотной области:
e~~i(S>t dt =
cos Ш dt — Д °° sin co/rf/=2jt6(co), (10.106)
J — oo
J — OO
J — OO
если воспользоваться формулой (10.104) и иметь в виду, что интеграл от синуса исчезает, поскольку синус — нечетная функция.
Рассмотрим теперь связь между функциями step (Z) и S(Z). Производная от step (Z) везде равна нулю, кроме начала координат, где ее можно рассматривать как обобщенную функцию:
S>P«>1*<-
—Sr-S-*"—«wte—«да.
поскольку g ( + o o ) = 0. Таким образом,
(step (O) = 6 ( ф
(10.107)
•306 10. Математический аппарат
Гребеннатая функция представляет собой ряд равноотстоящих б-импульсов, причем ряд обычно считается бесконечным:
+ OO
comb (0 = S в (/ — лА),
(10.108)
где п — целое число, а А — фиксированный временной интервал. Умножая g(t) и comb(Z), мы превращаем непрерывную функцию в функцию отсчетов, взятых с шагом Д. Преобразование Фурье от гребенчатой функции приведено в следующем разделе.
Пилообразный импульс — это функция вида
ramp(/) = /, 0 < / < 6 ,
= 0 при других значениях гЬ ramp (/)*-> \ / ехр (— /©/) dt = (1 /ю2) {ехр (— /юб) (1 + /сой) — 1}.
(10.109)
Преобразование Фурье экспоненциально затухающего импульса е х р ( — k t ) при / ^ O и положительном k равно
S o o ехр (— kt) step (/) ехр (— /©/) dt
— оо
Г ехр { - (k + /со) /} dt = l/(k + /со) (10.110) Jo
(см. рис. 10.5,(3).
Преобразование симметричного экспоненциально
затухаю-
щего импульса е х р ( — k \ t | ) при положительном k равно
ехр (— k I /1) г\° ехр [kt) ехр (— /со/) dt + J -OO
+ Г ехр ( - kt) ехр ( - /со/) dt
Jo
(см. рис. 10.5, е).
2k/(k2 + со2) (10.111)
10.3.4. Теоремы о преобразованиях Фурье
Существует много теорем о свойствах преобразований Фурье; наиболее важные из них перечислены ниже:
g(t)~G(e>),
kg (I) kG (©);
(10.112)
bigi (t) + k2g2 (1) — ^1G1 (to) + k2G2 (to). (10.113)
(
g ( t - a ) ~ ехр (-/(oa)G (со), (10.114)
Теоремы о сдвиге: j е х р ( _ ^ g ( 0 „ Q ( a + д)>
л 15)
10.3. Преобразования Фурье 307
Теоремы об изменении масштаба:
(
g(at)^(l/\a\)G(a>/a),
I
(l/\a\)g(t/a)^G(cm).
Теорема симметрии:
G(t)^2ng(-
(о).
Теоремы о дифференцировании:
dng (t) dtn
(-jt)ng(t)
(j(o)n G ((о)9 dnG (©) da>n
Теоремы об интегрировании:
(10.116) (10.117) (10.118)
(10.119)
(10.120)
g(t)dt++(IIja)G(CO),
J -OO
(10.121)
X - m e ( t ) ~ JГ-OO G(to)dco. Теоремы о свертке:
(10.122)
Soo
-G1(O)G2(O)f
SrI М й ( ' - т ) dx-
-OO
2 « g , ( O f t ( 0 ^ G 1 (со)* G2(СО).
(10.123) (10.124)
Теорема о взаимной корреляции:
J OO
G1 ((о) G2(G)), (10.125)
где черта обозначает комплексное сопряжение. Теоремы о сверт-
ке и о взаимной корреляции рассмотрены соответственно в
§ 10.3.6 и 10.3.7. Чтобы доказать формулу (10.114), запишем
g (t — а) \ g (t — а) ехр (— /©/) dt =
J -OO
Soo 8 OO (у) ехр {— j(0 (у + a)} dy, (у = / — а), Soo - O O 8 (у) ехр (— jcoy) dy = ехр (— }шг) G (со).
Доказательство формулы (10.115) проводится аналогично. В качестве примеров применения соотношений (10-114) и (10.115) рассмотрим их воздействие на функции, описанные формулами (10.99), (10.101), (10.109), и получим:
•308 10. Математический аппарат
а) сдвинутый единичный скачок step (/ - t0) * - > е х р ( - Mo) {яй (о) + 1//©};
б) усеченный экспоненциальный импульс:
(10.126)
ехр (— \Ы) Ьоха (() a sine { у а (© + fe)}; (10.127)
в) сдвинутый во времени пилообразный импульс:
g{t — Q где
(1/ш2) ехр (— /со/0) {ехр(— /ю&)(1 + /юб) — 1}>
(10.128)
= 0 при других значениях t.
Из равенства (10.114) видно, что в результате временного сдвига амплитуда преобразования Л (о) остается неизменной, а к фазе y(co) добавляется линейный сдвиг. Это видно на рис. 10.5 из сопоставления в с г или д с ж.
Доказательство (10.116) просто, если считать сначала а положительным, а затем учесть необходимые изменения для отрицательного а. Например, если
g(/) = ± 2/,
0</<6,
= 0 при других значениях
то из (10.109) g (0^0(®) = 1 0 ( ± 1 ® ) -
= (1/2 со*) {ехр ( ± у / ® б ) ( 1 ± 4 / ® & ) - 1 } .
Важное следствие (10.116) получается, если положить а — = — 1 , что приводит к соотношению
g ( - O ^ G (-со).
(10.129)
Равенство (10.116) можно использовать, чтобы проиллюстрировать важную связь между временной функцией и ее преобразованием, а именно: чем короче временная функция, тем шире ее спектр, и наоборот. Таким образом, чем больше k на рис. 10.5,(3 — з, тем ближе временная функция соответствует короткому выбросу, но в то же время ее амплитудный спектр Л (со) становится шире. В предельном случае функции б (t) временная функция целиком сконцентрирована в одном моменте времени, а ее спектр распределен от —оо до + оо.
Равенство (10.118) можно доказать заменой / на — / в (10.87), которая приводит к выражению
Zng ( - 0 = Г G (<о) rf<o, j -OO
10.3. Преобразования Фурье 309
и перестановкой символов t и <о (так как это не повлияет на уравнение); таким образом,
2 j t g ( - c o ) = C ° ° Q(t)e~f<*f dt. J -OO
В качестве примера из соотношения (10.110) имеем e~kt step (/) l/(k + /со),
и, следовательно, V (к + /О
step (— о )
(отметим, что step (—со) равно + 1 или 0 в соответствии с тем, отрицательна или положительна величина со). Кроме того, по формуле (10.101)
откуда
Ьоха (/) a sine соя ) , asinc ( - J a O ^ 2 я Ь о х а ( — с о ) = 2л;Ьоха(со),
(10.130)
поскольку Ьоха(со)—четная функция (см. рис. 10.5,6). Теоремы о дифференцировании имеют фундаментальное зна-
чение. Доказательство прямо следует из формулы (10.87), если продифференцировать ее по t и со. Таким образом,
ЧГ "- i t S l 0 (ю) 1 ( е / Ш < ) - - 5 Г S l { / < в 0
следовательно,
/COG(CD).
еШа*>
Дифференцируя п раз, получаем (10.119):
Наиболее важное применение соотношения (10.119) состоит в решении дифференциальных уравнений, когда эта теорема дает нам возможность заменить производные на функции от со. Она также позволяет нам получить новые пары преобразований дифференцированием уже известных пар. Вот интересное применение этой теоремы:
6 (0 = TF s t e P (0
№ (CO) + 1//(0} = 1
(где использованы (10.107) и (10.99) и тот факт, что со6(со)=0).
•310 10. Математический аппарат
Соотношение (10.121) легко доказать, используя (10.119). Имеем
ft W - CJ OOg(t)dt=\f J-OO g (х) dx G1 (со),
dgx (t)ldt = g(t/(OG1
((o) = G ((0);
здесь мы воспользовались правилом Лейбница, чтобы продифференцировать интеграл в правой части. (Правило Лейбница устанавливает, что если дана функция
то производная от F(t) по t равна
dF CbW дф . . . . . . м db
V da
^f =
+ Ф {tt
~~ Ф { U а )
[81, р. 220].) Поэтому
(10.131)
J g ( t ) d t ^ (!//со) G(co).
Равенство (10.122) можно доказать таким же способом, исходя из (10.120). Соотношения (10.123) и (10.125) будут рассмотрены позже.
-TL
-]я
W0
-COn
COn
-Cd0
0
I
Рис. 10.6. Преобразования Фурье от costо0/ (а) и sin соо^ (¢).
Используя (10.105), (10.114), (10.115) и (10.118), можно записать следующие пары преобразований:
6 ( 0 - > + 1;
6(/±/0)^ехр(±/(о/0); (1/2) {б (/ + t0) + б (t - /0)} cos со/0; (1/2/) {б (t + /0) - 6 (t - /о)} sin Grf0;
1 2яб (ю);
(10.132)
exp ( ± /(O0O 2jt6 ((О =F (O0);
cos (D0Z Jt {б (0 + (O0) + б (G) — (D0));
sin O0* jn {б ((0 + (D0) — б ((D — (D0)).
Преобразования от sin <о0* и cos<o0f показаны на рис. 10.6.
10.3. Преобразования Фурье 311
Чтобы вычислить преобразование от гребенчатой функции,
получим ее разложение в ряд Фурье, используя (10.82), а затем
найдем преобразование полученного ряда; заменяя g{y) в
(10.82) на 6 (у) и полагая T = Д, имеем
OO
OO
comb (0 = Z 6 (' — пА) = 1/Д + (2/Д) £ cos шо0/,
ГС — - O O
Mea 1
= (Oq 2я/Д.
Используя (10.132), получим
OO
OO
т. е.
£ б (/— А*Д) я«-оо
comb (/)
(O0 2 б ((О — /л(00), т==—оо
(о0 comb (со).
(10.133)
10.3.5. Явление Гиббса
В точке разрыва на рис. 10.4 интеграл (и ряд) Фурье имеет
среднее значение 1 A I g - U — О д н а к о g(a±s),
где
е — бесконечно малая величина, приближается к среднему зна-
чению не непрерывно, когда е стремится к нулю. Для простоты
примем a = O и запишем
8 (0 = Sc W + \g (0 + ) - g (0 - ) } step (t). Из соотношения (10.87) следует
g (/) = Iim (1/2я) [ G ((о) ехр (/©/) rfco =
= Iim (1/2я) \ И g (у) ехр (— }щ) dy\ ехр (/со/) dtо.
\->оо
J —Я, V J -OO
Изменяя порядок интегрирования (см. § 10.3.6), получим
g (0 = AI,-i»moo (1/2я) [J-OO g (у) {Wр- A , ехр (/со (/ — ^)) dtо}' di/ =
= Hm (1 J-OO
/Vf £// I-A =
*.-»оо J - O O 6 У
n(t-y)
У
= Iim [gAy) + {g (0+)-g (0-)} step (у)]
=
А.->оо J - O O
jlVi
Г+°° , ч .. sin X(t — и) ,
+ to <0 + ) - « ( 0 - » Iim - ¾ ¾ ! = \ gc{t)b(l-y)dy+(\/n){g{y)+)-g{Q-)}
Iim С ' s i n e x d x ,
•312 10. Математический аппарат
где использована формула (10.103) и положено X(t — у) = X9 так что dy = —dx/% (мы не переходим к пределу в правом интеграле, так как хотим изучить поведение этого члена, по мере того как X стремится к бесконечности). Правый член можно записать как
g' (t) = (1/я) {g (0 + ) - g (0 - ) } {(° sine xdx+ Iim sine л: dx\.
W-OO
Л->оо J o
У
So
_^sincxdx
— n/2 (см. вывод формулы (10.99)),
окончательно получаем
g' (О =
{g (0 +) -
g (0 - ) } {^l / 2 +
(1/я)
KI-+imOQ
\
М
Jo
sine
JC
dx)j.
График второго сомножителя показан на рис. 10.7. Когда
ближается к разрыву с обеих сторон. В точке разрыва / = 0 функция g(t) принимает значение
g (0) = (0) + V2 {g (0 +) - g (0 -)}.
Однако при бесконечно малом смещении от нее в любую сторону мы получим отклонение от истинного значения функции примерно на 18 % (9 % сверху и 9 % снизу).
Явление Гиббса важно всегда, когда присутствуют разрывы, например в случае применения фильтров и окон. Если мы умножим сигнал на прямоугольный импульс во временной области, то разрывы на краях прямоугольного импульса создадут «звон». Задача «выбора формы окон» или придания им особой формы
10.3. Преобразования Фурье 313
состоит в том, чтобы устранить разрывы функции (и разрывы производных) с целью максимально ослабить звон. См. также § 10.8.5.
10.3.6. Теорема о свертке (см. также § 8.1.2а)
Свертка двух функций g i ( / ) и g2{t) обычно обозначается (10.123) и определяется следующим образом:
Soo - O O g 1 (х) g2 (i — т) dx.
Мы видим, что g2(r—t) представляет собой функцию ^ ( т ) ,
смещенную на t единиц вправо, в то время как
т+ 0 —
это функция g2(t — t), зеркально отображенная относительно
б
Рис.
10.8. Свертка во временной области, а — иллюстрация зеркального отоб-
ражения сдвига функции £г(т); б — геометрическая иллюстрация
равенства g i ( 0 * # 2 ( 0 = g2(t)*gi(t)\
перекрытие одинаково незави-
симо от того, какая из функций отображается относительно верти-
кальной оси и сдвигается.
вертикальной оси. Таким образом, операция свертки состоит из отображения одной из кривых относительно вертикальной оси, ее сдвига на t единиц, перемножения соответствующих координат двух кривых и суммирования от —оо до + оо (рис. 10.8,а). Результат свертки зависит только от временного сдвига t и не зависит от того, какая из кривых смещается и отображается, т. е.
gi(t)*g2(t) = g2(t)*gx(t);
(10.134)
это показано на рис. 10.8,6.
•314 10. Математический аппарат
Теорему о свертке (10.123) можно доказать следующим образом:
g\ (t) * g2 (t) \ ^ { J g\ (т) ё2 0 - т) drj ехр (— /со/) dt.
Допустим, что можно получить преобразование Фурье от функций g i ( / ) и g2(t), т. е.
ГJ - O O I f f i W I ^ C 0 0 . i=U 2.
Будем считать, что это соотношение означает, что интеграл S I j * ' W Р Л т а к ж е ограничен. В этом случае можно поменять порядок интегрирования [107, р. 27], что дает
g\ W * g 2 (0
^ooSt W { ^ oo ё2 V — т) ехр (— /©/) dt\dx9
Loo
S -OO ^ 2 ^
6ХР ^
+
dy\
dX
(где y = t — %),
g\ (0 * № (0
р OO
\
J-OO
P ОС
(*) ехр (— /ют) fifT \ g2 (у) ехр (— /сог/) dy, J-OO
— G1 (CO)G2 (to).
Обратное соотношение (10.124) можно доказать следующим образом:
Gj (©) * G2 (со) •*-> (1/2я) ^
G1 (у) G2 (со — г/) d i / j ехр (/to/) dco =
= ( 1 / 2 я ) р G , ( ^ ) { p G2 (je) ехр [ / ( * + y)(\dx}dy,
х = а>-у,
= (1/2я) JP—OOG1 (#) ехр (Iyt) dy J(-OO G2 (*) ехр (jxl) dx = = (1/2я) {2я§, (/)} {2я& (/)} — 2Я£, (0 ga(0.
10.3.7. Теорема о взаимной корреляции (см. также § 8.1.3а)
Функция взаимной корреляции <j>i2(t), определенная равенством (10.125)
ФмО— ГJ - O O e i W f t ( / + T)rfT,
10.3. Преобразования Фурье 315
тесно связана со сверткой. Очевидно, ^i2(Z) представляет собой результат смещения g2(x) на t единиц влево и суммирования произведений ординат. Ясно, что
Фп( 0 = < Ы - 0 .
(10-135)
Функцию взаимной корреляции можно рассматривать как свертку двух функций, одна из которых обращена во времени:
^i2 (t) = gi (0*g2 ( - 0 .
g\ ( 0 * &2(0 = взаимная корреляция ^1(Z) с g2(—t) = = взаимная корреляция g2(t) с gi(— /). (10.136)
Эти равенства можно проверить, строя кривые gi(/), g2(О» —0» (—t) и получая геометрически указанные выше соотношения. Их также можно проверить, сделав замены в интегралах, например,
gi (t) * S 2 ( - 0 = Г 8х (т) g2 (t + т) dT = ф12 (I) J-OO
(отметим, что при нулевом сдвиге аргумент функций в интеграле равен т, а не t, следовательно, замена g2(t) на g2(—t) в левой части равенства изменяет знак т у g2(r)).
Теорема о взаимной корреляции (10.125) устанавливает, что
Ф\2 (0
С Г Й G2 ( о ) = Ф 1 2 (Q)),
где Gi (о) является комплексно-сопряженной величиной по отношению к Gi(оо). Простое доказательство этого утверждения мы получим, если обратим внимание на первое соотношение в (10.136) и изменим знак т у g2(t — т) в формуле (10.123). Это изменит в приведенном выше выводе теоремы о взаимной корреляции первый экспоненциальный множитель на ехр (/со/), и сразу же получится (10.125). Обозначая как Ф\2(ы) преобразование от ф\2 (t), имеем
Ф 1 2 ( 0 ) = Gi (со) G2 (со), Ф21 (со) = Gi (со) G2 (со).
(10.137)
Преобразование Ф*2(о)) называется взаимным энергетическим спектром по причинам, которые станут понятнее в следующем разделе. При / = O соотношения (10.125), (10.135) и (10.137) принимают вид
SOO вх (T) g2 (т) dx = (1/2л) \ GjajG2 (©) da =
°°
J-OO
= (1^)5^6,(0))02(0)^. Это равенство называется теоремой Парсеваля.
(1 138)
•316 10. Математический аппарат
10.3.8. Автокорреляция Когда g2(0 = &i(0» Функция взаимной корреляции переходит в функцию автокорреляции g\(t)> т- е.
Фп (t) = Г Si (т) (/ + т) dx J — оо
I G1 (со) I2.
(10.139)
Ясно, что </>n(t) = <l>\\(—t), следовательно, функция фи четная. При / = 0 теорема Парсеваля (10.138) переходит в соотно-
шения
*п«»-Г I • —OO
W N* =
0/2«)
Г J
-
O
O
IG1((O)PdG).
(10.140)
В большинстве случаев g{(t) представляет собой напряжение, ток, скорость, смещение и т. д., так что | g i ( 0 l 2 пропорционально энергии; принимая эту точку зрения и выбирая должным образом единицы измерения, мы можем сказать, что функция 1 (O) равна суммарной энергии g\(t). Поэтому величина (1/2хс) I Gi (со) I2 представляет собой энергию сигнала в диапазоне частот от (о до о + Жо; она называется спектральной плотностью энергии. Отметим, что интегрирование производится от —оо до +оо; если вспомнить, что мы заменили синусы и косинусы экспоненциальными множителями ехр (±/соО» т о ясно, что нам нужно разделить члены с ±(о, чтобы получить данный результат, т. е.
спектральная плотность энергии на частоте со = | G1 (— ©) |2 + + IGi(+со) I2.
Когда функция g\(t) действительная, Gi(—со) = Gi(со) (см. задачу 10.16,6), так что 21 Gi (-+-со) | 2 дает суммарную энергетическую плотность на частоте о) (если нас интересуют только относительные значения энергии, как это обычно и бывает, то можно не удваивать квадрат модуля).
Функция автокорреляции принимает наибольшее значение при нулевом сдвиге, т. е.
*п(0) > * ц ( 0 .
t ф 0.
(10.141)
(см. задачу 10.21, а).
10.3.9. Многомерная свертка
Равенство (10.123) можно обобщить на многомерный случай. В двумерном случае мы определим свертку выражением
M *&(*>')= \ Г 8\{p>*)g%(x — o>t-%)dod%. (10.142) J—oe J-ее
10.3. Преобразования Фурье 317
Можно получить двумерную теорему о свертке следующим образом. Применяя (10.94), имеем
S O O P OO CfOO р OO
х \ j \ \ gi (о, т)
-OO J -OO V J — OO J-OO
X g s (* — <*> ' — т)Лг*/т}ехр{— j (кх + (ot)} dxdt.
Изменяя порядок интегрирования, получаем
S O O P OO
\
-OO J-OO
ГрОО р OO
\ gi(x — o,t — x)x
\ J _ OO J-OO
X ехр [— j (кх + со/)] dx d/J do dx,
\ (
(or, т) exp {— j (kg + сот)} X
J-OO J-OO
х
{Г
j -OO
Г
J-
O
O
g2(x-o,
t-T)X
X e x p [ - j(*(x-o) + со (/ - г))]d(x - a) X
{ \ \ ^ ' ^ ^ ° \ ^ X^(/~x)Jda gl 0dtx9 exp xa+m d dx 4
X G2 (Ki ©), ^G1 (к, (o) G2 (к, (O)i
(10.143)
что является эквивалентом (10.123).
10.3.10. Случайные функции
Периодические и апериодические функции, которые рассматри-
вались до сих пор, имели одно общее свойство: если процесс,
который порождает одну из рассматриваемых функций, точно
повторяется, то порождается такая же функция. Однако во мно-
гих случаях повторение процесса дает каждый раз другой ре-
зультат. Например, при измерении микросейсм получается функ-
ция g(t), которая никогда не повторяется независимо от того,
как часто мы повторяем измерения. Функции такого типа, кото-
рые нельзя предсказать точно независимо от того, как часто
повторяются измерения, называются случайными
функциями.
•318 10. Математический аппарат
Поскольку случайные функции нельзя предсказать, для опи-
сания их свойств мы воспользуемся теорией вероятности. Мно-
жество функций, полученное при повторении эксперимента бес-
конечное число раз, называется ансамблем. Если мы приходим
к одному и тому же значению некоторой характеристики ан-
самбля (например, усредненного спектра мощности на частоте
о ) , усредняем ли мы значения для каждой трассы в определен-
ный момент времени или усредняем все значения для одной
трассы, то тогда говорят, что ансамбль является эргодическим,
и можно определять его статистические свойства, используя
значения одной функции на достаточно длинном интервале, не
прибегая к измерению многих функций.
Стационарный временной ряд — это ряд, статистические свой-
ства которого не зависят от положения начального момента
Z = O. Можно показать, что эргодические ансамбли должны
быть также стационарными [89, р. 208—209; 11, р. 11—12].
Предполагается, что случайные временные ряды, с которыми
мы имеем дело, являются эргодическими и стационарными.
Автокорреляция случайной функции определяется равен-
ством т
фп (о =
Hm (1/27-) \
Г>оо
J-T
+
(10.144)
Отметим, что это определение отличается по форме от определения (10.139) множителем 1/2Ti а также предельным переходом. Поскольку случайная функция не стремится к нулю по мере того, как Z стремится к ±оо, интеграл преобразования Фурье (10.86) расходится и функции G (о) не существует. Таким образом, для случайных функций нет эквивалента (10.139), Когда Z = 0,
Гг
^ n (0) = Iim (1/2Г) \
(т) dx — среднеквадратичное
т+oo
J -т
значение g\{t).
Часть одного измерения случайной функции gi{t), попадаю-
щую в интервал ( - T i + Г ) » будем обозначать g\(t). Если раз-
ложить g[ (Z) в ряд Фурье с периодом 2Ti то такой ряд будет
давать точные значения gi(t) лишь на интервале (-T9 +Т),
так как в нем повторяются значения g[ (Z) на каждом интер-
вале длиной 27\ В пределе, когда
oo, g[ (Z) переходит в
gi(Z). Мы обозначили ^ u (Z) автокорреляционную функцию g\ (Z):
Pll W — J^1 g[ M S{ (Z + т) dx.
10.3. Преобразования Фурье 319
Можно разложить фи (t) в ряд Фурье
OO
Фи W = Y j «« e x P (ZmoоО =
П-—оо
°°
(
т
1
= Y j е х Р ( / Л ® < / ) { ^ 5 _ г * п Wexp(-//MD0/)
ГС=-оо
^
применяя (10.84), где со0 = я / 7 \ Если разделить </>п(0 на 2Г и устремить Г - > о о , то </>п (/) будет стремиться к ^ n (О по определению (10.144). Таким образом,
оо
г
(о = l i m E exP(/л®оО ( 1 / 2 ^ \
( ^ e x P ( - /*®оОdt -
/Jaa-OO
— i
= (1/2я) P exp(/©/)da> <М/)ехр(—/©/)Л =
J —OO
J-OO
SOO — ооФц(ю) ехр (/со/) Ло, где
ф п ( ( о ) = Г <£„ (/)ехр(— ja>t)dt.
J —оо
(10.145)
Следовательно, хотя у случайной функции нет преобразования Фурье, ее автокорреляционная функция имеет преобразование Фурье: ¢11(0^-^^11(0)). К тому же
</>.. (O) = Iim (1/2Г) Г g] (t) dt = (1/2я) Г Ф п (со) rfco. (10.146)
11
Г->OO
J-Г
J-OO
Из-за множителя 1/2T функция Фц((о) соответствует спектру мощности, а не энергетическому спектру, как в случае непериодических функций. Соотношения (10.145) и (10.146) выражают теорему Винера об автокорреляции, утверждающую, что преобразование Фурье от функции автокорреляции случайной функции существует и дает спектр мощности Автокорреляционная функция и спектр мощности являются действительными четными функциями, и </>n(t) принимает наибольшее значение в начале координат (см. задачу 10.21,6).
Взаимная корреляция случайных функций определяется аналогично (10.144). Пусть gx(t) и g 2 ( 0 — с л у ч а й н ы е функции из разных ансамблей, например шумы на входе и выходе усили-
3 2 0 10. Математический аппарат
теля; тогда
т
^12M=
Hm 4 T->oo
Д gx{x)gAt J —Г
+ r)d%.
(10.147)
Равенство (10.135) выполняется как для случайных, так и для неслучайных апериодических функций.
10.3.11. Преобразования Гильберта
Преобразование Гильберта представляет собой особую форму преобразования Фурье. Пусть g(t)— любая действительная
функция и
Тогда g(/) всегда можно разбить на четную и нечетную части ge{t) и g o ( 0 (рис. 10.9), где
ge(t) = V2 {g (0 + g(- 0 Ь 1 «Го(0 — VateW — в (— Л}. )
(10.148)
Поскольку функция ge(t) четная,
g(t) cos (Otdi = Jo
= R (со) (10.149)
(см. 10.90). Аналогичным образом
g o ( t ) ~ j X ( ( * ) . (10.160)
Рис. 10.9. Соотношение между действи-
тельной причинно-обусловленной функци-
ей
и ее четной и нечетной частями
ge(t) и go(t).
Если к тому же g(t) — причинно-обусловленная функция (см. § 10.6.6а), то
ge(t)=go(t) при * > 0 И ge(t)——go(t) При t < 0, Т. е.
go (0 = ge(t) Sgn (0, ^ ( 0 = go(0sgn(0
(см. (10.97)). Вспоминая, что Sgn (/) 2//со (10.98), и используя (10.124), получаем
Д (со) = (1/2я)/?(©)* (2//0)).
10.3. Преобразования Фурье 321
Таким образом,
X (со) = - J L 33 Г {R (y)/(G> -y))dy = - R (со) * (1/шо), (10.151)
31
J-OO
где S указывает на то, что взято главное значение по Коши при со = у (см. [107, р. 9—10]). Аналогично
R (со) = J r 33 Г {X (у)/(со - у)} dy = X (со) * (1/жо). (10.152)
J-OO
Равенства (10.151) и (10.152) определяют преобразование Гильберта. Если задано R(со), можно вычислить X(со), и наоборот.
Полагая G (со) = А (со) е х р { j y (со)} и беря логарифмы, получаем
In {G (со)} = In {А (со)} + /у (со);
в данном случае R ( с о ) = In {А (со)}, а X (со) = у (со). Поскольку
А (со) представляет собой амплитуду на частоте со, Л (со) равно
квадратному корню из преобразования Фурье от функции авто-
корреляции (см. (10.139)); зная Л (со), с помощью (10.151) можно вычислить v(0))- Таким образом, преобразование Гиль-
берта позволяет вычислять фазу по функции автокорреляции:
1 г00 Y (со) = - S \ ^ [In {А (у)}1(со - у)] dy.
(10.153)
Если задана действительная часть преобразования Фурье действительной причинно-обусловленной временной функции, то по преобразованию Гильберта можно найти соответствующую временную функцию. Аналогичная задача состоит в следующем: по заданной действительной части комплексной временной функции, преобразование мнимой части которой отличается по фазе на ± 9 0 ° от преобразования действительной части, определить эту комплексную временную функцию. Пусть f(t)—комплексная функция, где
f{t) = х (t) + jy (/), F (со) = X (со) + JY (со) = X (со) {1 + JQ (со)};
Q (©) является фильтром, который изменяет фазу на +90°, но не оказывает действия на амплитудный спектр. Q (со) называют квадратурным фильтром, a y(t) — квадратурной (мнимой) трассой.
Поскольку е х р ( + / я / 2 ) = ± / , можно выбрать Q(co) равным ± j или =t/sgn(co). При первых двух вариантах из (10.105) получаем соответствующую функцию ¢ ( 0 = ± / 8 ( 0 » и э т о т результат не представляет интереса. Поэтому выбираем Q (со) = = —/Sgn(со). Тогда
y(t)+-+X (ю) Q (со) = - jX (©) sgn (со) jX (со) sgn (— ©).
•322 10. Математический аппарат
Используя соотношения (10.98), (10.118) и (10.123), имеем
у (/) = * ( / ) * ( 1/я/),
(10.154)
т. е. x(t) и — y ( t ) образуют пару преобразований Гильберта (см. (10.151)).
Хотя /(/) можно найти с помощью формулы (10.154), легче вычислить функцию F(Co) и преобразовать ее в f(t). Таким образом,
F (со) = X (со) + /У (со) = X (со) {1 + /Q (со)} = X (со) {1 + sgn (со)} =
так как
F ( C 0 ) = O,
со < 0,
= 2Х (со) step (со),
= 2Х (со),
со > 0.
(10.155)
Соотношения (10.154) и (10.155) применяются для представления трасс в комплексной форме (§ 8.4.2).
10.4. Преобразования Лапласа
10.4.1. Введение
Преобразование Лапласа тесно связано с преобразованием Фурье. Если не применять обобщенных функций, то многие функции, как, например, sin at и cos а/, не имеют преобразований Фурье, так как интеграл, определяющий преобразование, расходится. Однако если умножить функцию на е х р ( — а | / | ) , где величина а действительна, положительна и достаточно велика, чтобы Iim {ехр ( — < j | / | ) g ( / ) } = 0, то функция
t->±oo
{[ехр(—a I / |)g(0]} будет иметь преобразование Фурье, которое называется преобразованием Лапласа от g(t). Если g(t) = 0 при / < 0, то получается одностороннее преобразование Лапласа:
g(lСе-а'д(1)е-'шШ=С
JO
g(t)e-s'dt = G(s),
jU
(10.156)
где S = а + /со, причем действительная часть 5 достаточно велика, чтобы Iim {ехр (—st)g{t)} = 0. (Обозначение преобразова-
/ - » OO
ния Лапласа G(s) отличается от преобразования Фурье G (со) переменной s, стоящей на месте со.)
Обратным преобразованием Лапласа будет
e~atg (0 = (1Z2n) ГjO G (s) dco
10.4. Преобразования Лапласа 323
ИЛИ
Soo
р о-Н /ш
G (s) ехр {(а + Jo) t}diо = (1/2яу) \
G (s()1e0s.t15d7s),
где путь интегрирования представляет собой прямую, проходящую правее начала координат параллельно мнимой оси так, что интеграл сходится. Вычисление прямого преобразования Лапласа обычно относительно просто по сравнению с преобразованием Фурье, а вычисление обратного преобразования, как правило, сложно.
Преобразование Фурье более удобно, когда мы хотим исследовать свойства, которые зависят от частоты и (или) от фазы. Оно широко используется в некоторых разделах теории вероятности и при решении линейных дифференциальных уравнений с граничными условиями, которые можно представить в виде ряда Фурье или Фурье — Бесселя. Преобразованием Лапласа удобно пользоваться, когда исследуются аналитические свойства преобразования (как в анализе электрических цёпёй) и при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, когда начальные условия заданы.
Преобразование Лапласа от некоторых обычных функций можно легко вывести. Так,
step (/)«-> [ step (/) e~st dt — -—- = 1 /s,
Jo
1O
(10.158)
6 (t)e~stdt — Jo
=+1,
U=O
(10.159)
V° te~st dt —
( - 5 / - 1) °° = 1 / 5 2 ,
Jo
s
0
Soo
— (k + s) t ioo
o e - * ' g - " r f / = l { k + s) Io = + 1 Hs + k)
(10.160) (10.161)
(заметим, при t = +
что Re[s] > Re[6]; следовательно, oo),
cos at •*-*• s/(s2 + a2), 1
sin ai a/(s2 + a2), }
exp{—(&-|-s)/}=0
<10Л62>
ch at •*-»• s/(s2 — a2), 1
sh at a/(s2 — a2). }
(10'163)
Последние четыре результата можно получить прямым интегрированием либо подставляя k — ±\a или А> = + а в формулу (10.161) и объединяя экспоненциальные члены с получением
и*
•324 10. Математический аппарат
cos at и т. д. Для сопоставления преобразований Фурье и Лапласа сравните равенства (10.158), (10 159) и (10.161) с (10.99), (10.105) и (10.110).
10.4.2. Теоремы о преобразованиях Лапласа
БОЛЬШИНСТВО теорем о преобразованиях Фурье имеют аналоги для преобразований Лапласа. Наиболее полезные теоремы перечислены ниже. Отметим, что во всех случаях а > 0.
g(Q+-G(S)9 kg (t) kG ($),
kig> (0 + k2g2 (t) ^ ZtlGl (s) + k2G2 (s).
( g(t-— a) step (/ — a) ^ e~asG (5),
Теоремы о сдвиге: | ^_atg(t)~G(s
+ a).
Теоремы об изме- ( g(a/)«-Ml/a)G(sa),
нении масштаба: \ (l/a)g(t/a)
G (as).
(10.164) (10.165) (10.166) (10.167) (10.168) (10.169)
Теоремы о дифференцировании:
-¾^- ^ SnG (s) - s*-*g (0 +) -
(0 + 1) ... — g*~* (0 +),
Теоремы об интегрировании:
Теорема о свертке:
I.
dsn
f ft \ g (t)dt^ Jo
(l/s) G (s);
(l/t)g(t)^\*~G(s)ds. J S
(10.170) (10.171)
(10.172)
(10.173)
gi (0 * ft W = ГJo ft M ft (t - т) dx G1 (s) G2 (s). (10.174)
В (10.170) символы g ( 0 + ) и gr(Q+) приняты для значений функции g(t) и ее г-й производной в точке / ===== 0, когда t стремится к нулю со стороны положительных значений.
Доказательства большинства из перечисленных выше теорем просты. Например, для соотношения (10.166) имеем
g(t —<*) step (/ - a) e~st dt = J J g (t — a) e~st dt =
ГJ j 8 (у) u r ^ йУ = ^ a 5 ГJu « (y)e"ysdy = e~asG (S)9 y = t - a .
В случае (10.170) получаем
10.4. Преобразования Лапласа 325
ЧГ ^
I f exP ( - d t ^ S (0г"5' [ - i ~ s ) \ ~ g (0 Л =
= - g ( 0 + ) + sG(s).
Обобщенная формула получается путем последовательного применения этого результата. В случае (10.171) запишем G(s) =
=
g(t)e~sf dt, а затем продифференцируем по 5 и получим
- S - - $ ! > ( 0 - t e~st dt - Г ( - 0 * (/) dt'
следовательно, —/g (t) dG (s) /ds. Последовательное дифференцирование приводит к формуле (10.171).
Чтобы доказать (10.172), запишем ^ g (t) dt Gi (s), затем
продифференцируем и получим g(t)
sGi(s) = G (s),
Gi(s) = {l/s)G{s).
Чтобы доказать обратное, запишем
SOO
P CXD Г P OO
\
лОО
( Г °°
откуда
)
^ G(S)CfS = Jj
g(l)e~s'dtj ds = J
e~stds\dt,
где проведена смена порядка интегрирования. Тогда
PG(S)Cf5 Js
=
g(t)
jO
Г dt = Г (1/0 ^ (0 е - ' Л ;
1 Is
Jo
Soo G(s)ds.
Когда используются преобразования Лапласа, свертка двух функций g\(t) и g2(t) обычно определяется выражением
gl (0 *g2(t)=[* Jo g{ (т) g2 (t - т) dr.
(10.174)
Кажется, что это определение отличается пределами интегриро-
вания от формулы (10.123). Однако различие только кажущееся
и происходит из-за того, что gi(t) — 0 при / < 0. Как показано
на рис. 10.8,a, gi(т) = 0 при т < 0, в то время как g2(t — т) = О
при т > t. Таким образом, изменение пределов на ± о о не из-
меняет значения интеграла.
Теорему о свертке (10.174) можно доказать следующим об-
разом:
^
в! (О* ft W*-* S0
^ S 0 ( S 0 ё\ (T) g2 (/ — т ) S t e p ( Z - T ) d%] e-stdU
•326 10. Математический аппарат
где изменение верхнего предела и введение функции step(/ —тУ не изменило значения интеграла, так как step (/ — т) равно единице при т <С t и нулю при т > Изменение порядка интегрирования дает
g\ (0 * g2 (t) ++ Jjtfi (т) g2 (it - т) step (t - т) е~« dt} dx, .
применив (10.166), получим
gi
(0
* g2
(t) ++
Г Jo
Sfi (т) e~%sG2
(s)
dT,
^G1(S)C2(S).
10.5. Линейные системы
10.5.1. Введение
Мы используем термин система для обозначения группы объектов, связанных друг с другом таким образом, что, когда в одной точке действует входной сигнал, в другой точке возникает выходной сигнал. Мы можем знать мало или совсем ничего не знать о детальном устройстве системы.
В линейной системе выходной сигнал h(t) пропорционален входному сигналу g(t), т. е. если g(t)-+h(t), то kg(t)-+- kh(t)9 где k = const, а стрелка изображает действие системы (в [23] дано хорошее описание линейных систем). Если считать, что g(t) является суммой двух сигналов, то выполняется принцип суперпозиции, а именно
kxgx (t) + k2g2(t)->kxhx (t) + k2h2(t).
(10.175)
Система называется стационарной, если один и тот же входной сигнал создает один и тот же выходной сигнал независимо от времени, когда входной сигнал был подан, т. е.
kg(t-t0)->kh(t
— tQ)
(10.176)
при всех значениях to. Многие системы можно описать, по крайней мере в принципе,
с помощью дифференциальных уравнений, связывающих входной и выходной сигналы. Соответствующие дифференциальные уравнения для линейных систем линейны, а их коэффициенты постоянны, когда система стационарна. Рассмотрим свойства дифференциальных уравнений, описывающих линейные стационарные системы. Наш анализ не будет зависеть от порядка уравнений, а поскольку многие системы описываются уравне*
10.5. Линейные системы 327
ниями второго порядка, мы рассмотрим уравнение * * W + a, ^ a . + Сф (0 = g (0.
(10.177)
Используя теорему (10.170), имеем ^ S 2 H ( s ) _ s h (о + ) . А ' (о + ) ,
~fp~- H (s) — h (0 +),
где А ( 0 + ) и Л ' ( 0 + ) — значения h(t) и dh(t)/dt при f = 0. Подставляя в уравнение (10.177), получаем
(52 + fljS + аг) н {s) _ {{s + й[) h(0+) + h' (0 +)}.
Решая относительно H(s), имеем
о W + (, + ,,) М О + ) + у (О+)-.
v '
(s2 + ats + а2)
(10Л78)
Числитель в (10.178) называется полным преобразованием возбуждения; оно зависит от характера возбуждения (входного сигнала) g(t) и от начального состояния системы. Когда выходной сигнал и его первая производная в начальный момент равны нулю, т. е. / i ( 0 + ) = 0 = / г ' ( 0 + ) , то говорят, что система в начальный момент находилась в покое, и полное преобразование возбуждения сводится к преобразованию G(s) входного сигнала. Далее для удобства мы будем считать, что система в начальный момент находилась в покое.
Величина \/(s2 + a\S + а2) называется передаточной функцией F(s). Она определяется только свойствами системы. Таким образом, преобразование Лапласа выходного сигнала, отвечающего некоторому входному сигналу g(t), равно
H (s) = F (s) G (s).
(10.179)
Применим к этому уравнению теорему о свертке и получим
h (/) = / (0 * g (i) = g (х) f { t - т) dt, Jo
(10.180)
где F ( s ) ^ f ( t ) .
Если на вход линейной системы подать дельта-импульс
6 ( 0 , то, согласно (10.159), 6 ( 0 G (s) = + 1, поэтому H(s)=*
= F(s) и h(t) = f(t). Отклик f(t) на дельта-импульс есть им-
пульсная характеристика системы (часто называемая функцией
отклика на дельта-импульс); она равна обратному преобразова-
нию Лапласа от передаточной функции. В принципе можно
предсказать поведение линейной системы при произвольном
входном сигнале, подавая на вход дельта-импульс и измеряя
импульсную характеристику, а затем из (10.180) получить h (t).
•328 10. Математический аппарат
Пусть на вход линейной системы подана функция единичного скачка. Тогда из (10.158) и (10.179) имеем
H(S) = Fu(S) =
(IlS)F(S)9
где Fu(s) fu(t) — функция отклика на единичный скачок (так-
же называемая переходной реакцией). Можно найти связь
между fu(t) и f(t) следующим образом. Из записанного выше
получаем
F(S) = SFu(S)9
(10.181)
Но из (10.170)
L SFu (S) - (0 + ) = F (S) - L (о +);
следовательно,
f w = 4 t tf«+f" +)6 w-
<10-182>
Поскольку fu(t) = 0, t < 0, функция отклика на единичный скачок имеет в начале координат разрыв величиной fu(0+)- Таким образом, импульсная характеристика f(t) равна производной от функции отклика на единичный скачок fu(t) плюс импульс величиной fu(0+) в начале координат.
10.5.2. Интеграл суперпозиции
В § 8.1.2а мы показали, что, когда на вход линейной системы подан сигнал в цифровой форме, выходной сигнал представляет собой суперпозицию взвешенных импульсных характеристик. В пределе, когда интервал дискретизации стремится к нулю, сумма переходит в интеграл свертки. Аналогичное утверждение справедливо, когда вместо f(t) используется fu(t). Чтобы показать это, запишем (учитывая (10.170))
Ш *g
(t)*-+Fu(S)G(S),
4t ^и (0 * S (')} — sFu (s) G (s) - fu (t) * g (/)
Поскольку fu(t)*g(t)\t-o= имеем
\°0fu(t)g(0-r)di;
= 0, из (10.181)
4t if и (0 * 8 (0} — sFu (s) G(s) = F (s) G(s) = H (s),
где H(s) представляет собой преобразование выходного сигнала, отвечающего входному сигналу g(t). Беря обратное преобра-
10.5. Линейные системы 329
зование, получаем
h (0 = -Jf if и W * 8 (0} = -St { S 'ofu W g (/ - Т) dx\ =
Применяя правило Лейбница (10.131) . для дифференцирования интегралов, получаем
h (/) = J\'o fu (т) g' (/ - т) dx + /„ (0 в (0 +) -
= / ц ( / ) * / (0 + Iu (0г(0 + ) = S'g(T)ru{t
- r)dx + g(t)fa(0
+) =
= F»«W(0 + s(0/«(°+>. (10-183)
где штрих обозначает дифференцирование по t. Эти интегралы называются интегралами Дюамеля.
!
Ъ'{тАйт
д'(т2)дт
^1(T1) AT
дт
AT
0
т,
Ь
T3
Рис. 10.10. Иллюстрация интеграла суперпозиции
Первый интеграл в (10.183) часто называют интегралом суперпозиции. Название возникло из следующего представления функции. Пусть g(t) аппроксимируется набором ступенчатых функций, как на рис. 10.10, т. е
g(t) = g (0 + ) step (0 + g' (T1) ДТ step (/ - T1) + + ^rr (т2) Дг step (/ — т2) +
Если воспользоваться принципом суперпозиции, то выходной сигнал можно рассматривать как сумму выходных сигналов,
•330 10. Математический аппарат
отвечающих каждой ступенчатой функции; следовательно,
h (О = g (0 + ) fu (0 step (/) + g ' (T1) fu (t - T1) At step (t - T1) + + g* (T2) fu (t - т2) At step (* — т2) + . . . .
В пределе, когда Дт->0, получаем
A W = * (0 + ) МО + 5' ^ W fu (< - T j r f T = Jo
= f ЛО г (0 + ) + JГoM t ) g ' ( / - т ) Л . т. е. как раз первое уравнение в (10.183).
10.5.3. Последовательные и параллельные линейные системы
Предположим, что две линейные системы, имеющие передаточные функции F\ (s) и F2(S)t соединены последовательно, так что выход первой системы является входом второй; тогда
Hl(S) = Fi (s)G(s);
M 0 = M0*g(0; H2 (s) = F2 (s) H1 (s) = F2 (s) F1 (s) G (s); A2 (0 = /2 (0 * {f 1 (0 * Sr (0} = {/2 (0 * /1 (0} * г (0. (10.184) Таким образом, две последовательные системы эквивалентны одной системе, передаточная функция которой равна произведению передаточных функций каждой из систем. Очевидно, этот результат справедлив для любого числа систем в данной последовательности. Когда входной сигнал g(t) подается на две системы, соединенные параллельно, выходные сигналы будут накладываться, так что
H (s) = H1 (s) + H2 (s) = G (s) F1 (s) + G (s) F2 (s) = = G (s) (F1 (s) + F2 (s)}. (10.185)
Таким образом, эквивалентная передаточная функция для систем, соединенных параллельно, равна сумме передаточных функций каждой из систем.
10.5.4. Связь входа и выхода для случайных функций
Можно доказать несколько важных соотношений между случайным входным сигналом, поданным на линейную систему, и получаемым в результате выходным сигналом. Исходя из (10.144), запишем выражение для автокорреляционной функции
10.5. Линейные системы 331
выходного сигнала:
т
<j>hh(/)= Iim (1/2Г)( h(r)h(t + T)dx =
Т-+00
J-Г
= Iim (1/27') [Т { Г f(x)g(T-
Г-> OO
J - Г vJ—oo
x)dx\x
)
x{\°°_J(y)gU +
r-y)dy}dx.
Меняя порядок интегрирования, получаем
* « , ( / ) = ГJ-OO И*) ГJ—OO/ ( У ) { н шOO(1-'2Г)J\Г—7"g ( x - * ) г ( / +
+
+ т — лг) d (т — л:) j dy dx,
где в последнем интеграле можно было заменить di на d(z — х), так как при этом интегрировании х постоянно. Таким образом,
^(O=
Г
J-OO
Г
J -
O
O
f{x)f{y)<}>gg(l
+
x-y)dxdy,
где использовано соотношение (10.144). Это равенство можно преобразовать в частотную область, применяя теорему Винера об автокорреляции (10.145). Тогда
Флл(®)=Г
J —OO
J -OO
e-^dtX
Х { S-OO S -oo f {Х) Т { у )
« +х-У)d
Пусть р = t + х — у и, следовательно,
= е-ы (*!-*+ у)9
d\l = dt,
X ^yj -
поскольку х и у постоянны в первом интеграле. Тогда
Ф*л(®)=Г
^ggM е-,ши d^C
f(x)e«»xdxC
f (у) е~Mdy =
J-OO
J-OO
J-OO
= фее (to) F (Ш) F (со) = I F (со) I2 ф 8 й (со). (10.186)
Поскольку IF(G)) I2 = Off (ш)— энергетический спектр / ( / ) ,
т. е.
ФАЛ (<Л) =
(со) 0>gg (о),
М ) = фИ(1)*фей(().
(10.187)
•332 10. Математический аппарат
Взаимная корреляция g(t) и h(t) будет равна
ф*ё Н ( ( ) = 7Ii-m> оо(1/2Г)ГJ-Гg(T)A(/ + x)rfT= IГim->оо(1/2Г)ГJ-Гg(T)X
X { Г f(x)g(t + T-x)dx]dT=C
v J —OO
^
f(x) { Iim (1/2Г) X
J —OO
VT1-X30
Х Trfir (Т) ^ (/ + Т ~ } dT djC = S-oo' (JC)
таким образом,
Ф ^ (со) = F (со) <Dffg (со).
(/ _ X)dX==S
=/('Wge(Z);
(10.188)
10.6. Цифровые системы и ^-преобразования
10.6.1. Теорема отсчетов
При дискретизации непрерывной функции g(t) с постоянным шагом Д мы получаем последовательность значений g(nA). Дискретную функцию, которую мы обозначим gt, можно рассматривать как произведение g(t) и гребенчатой функции (10.108) с периодом Д:
OO
S t = ГСE= -OOг ( п Д ) 4 ( / - л А ) .
(10.189)
(Хотя гребенчатая функция определена от —оо до +оо, сумми-
ровать нужно только на интервале, где g(t)¥=0.)
При проведении дискретизации отбрасываются значения g(t)
между точками отсчета, и, следовательно, происходит явная по-
теря информации. Однако теорема отсчетов устанавливает, что
g(t) можно восстановить точно по величинам отсчетов, при усло-
вии что g(t) не имеет частот выше частоты Найквиста vn =
= (частота дискретизации)/2 = 1/2Д. Таким образом, преобра-
зование Фурье G (со) от функции
должно равняться нулю
при |со|>сол/, сол/ = 2nvN = я/А, так что
¢(/) = (1/2я)\
G (оо)ef(atdoo = (1/2я) \
G (оо)ешrfoo. (10.190)
J -OO
J—
Если мы разложим G (со) в ряд Фурье на интервале от до солг» то этот ряд будет повторять G (со) на каждом интервале длиной 20)*, хотя G(со) равно нулю вне интервала (—со*, со*). Основной период ряда равен l/2co^, следовательно, со0 = 2 л / Т = = я/со* = A. Поэтому применяя (10.83) и (10.84), где / заме-
10.6. Цифровые системы и г-преобразования 333
нено на со, получаем
OO
G (со) = Ya аг ехр (/ГСоД),
г-—OO
Svn -toyv G (со) ехр (— /гсо\)
Сравнение с (10.190) показывает, что если мы возьмем / = гА, то
а_г = (зт/coyv) g (гА);
следовательно,
OO
G(co)= X (^/¾) g (/А) ехр {—/гя (со/сод,)}.
г= — OO
Из этого равенства получаются правильные значения G(со) в интервале от —сon ДО +СОЛ/, но ненулевые значения вне этого интервала, как должно было бы быть, чтобы функция g(t) была представлена точно. Чтобы исправить это, можно умножить G (со) на функцию прямоугольного импульса Ьоха(со) в интервале от —coyv до +coyv, т. е. значение G (со) в точности равно
OO
G (со) =
Ьоха
(<в) Z (п/щ) Г =—оо
g(r\)
ехр { - /rn(a'av)>.
(10.191)
Из равенства (10.130) получаем COyv sine соNt я Ъох2ым (со).
Применяя соотношение (10.114), находим, что Coyv sine ((Oyv (/ —• k)} я Ьох2й>дг (со) ехр (— jkiо).
Используя этот результат, можно записать обратное преобразование от (10.191) в виде
OO
Z ffW= Г"—оо g(rA)sinc(a„l-rn).
(10.192)
Этот результат показывает, что функция sinc(co/v/ — гя) = = sinя(*/А — г ) / я ( / / А — Г) обеспечивает точную интерполяцию, позволяющую восстанавливать заданную функцию #(/) для всех значений а не только в моменты времени гА, когда берутся отсчеты.
Когда G(Co)=T^=O при |co|>co/v, приведенное выше доказательство неприменимо, и мы не можем восстанавливать g(t) по дискретным отсчетам (см. рассуждения в § 8.1.26).
•334 10. Математический аппарат
10.6.2. Свертка и корреляция дискретных функций
В подынтегральные выражения формул (10.123), (10.125), и (10.139) входят непрерывные функции. Когда функции являются дискретными, интегралы становятся суммами. Чтобы показать это, начнем с непрерывных функций f(t) и g ( / ) , Для которых f(t)*g(t) определяется по формуле
f(t)*g(t)=\°° f(r)g(t-r)dT. J OO
Заменяя f(x) дискретной функцией
OO
fT=
z
f(M)6(T-M)
k — -OO
(см. (10.189)), имеем
{Z ft * g (0 = ^oo
f (**)6 - ЛА)J g (I - т) dx =
= £k {$1.
(М) 8{t
~
Т)} 6(т ~ Щ d x \ •
Применяя соотношение (10.102) к каждому интегралу, получаем значение f(kA)g(t — kA) для каждого члена в сумме. Если теперь дискретизировать функцию g(t), то t станет кратным Д. Отсюда g(t — kA) = gt-k, так что имеем (отметим, что di-+ Д)
ft*gt = bZfkkgt-k-
(Ю.193)
Тем же способом находим, что
^fg(T) = A J fkgk+x.
(10.194)
Обычно в этих уравнениях мы полагаем Д = 1 (например, в ( 8 . 1 8 ) - ( 8 . 2 0 ) , (8.35), (8.36), (8.38) и (8.40)), но в некоторых случаях необходимы специальные приемы (как в задаче 10.22, в).
10.6.3. г-преобразования
г-преобразования представляют собой особую форму преобразований, полезную при вычислениях, где используются функции в цифровом (дискретном) виде. Возьмем преобразование Фурье от обеих частей равенства (10.189), используя соотношение
10.6. Цифровые системы и г-преобразования 335
(10.132). Получим
OO gt G (со) = X 8 ("А) ехр (— ]пяА).
Al = -OO
Если принять г = ехр(— /соД), то мы приходим к выражению
G(Co)= S g(rtA)2n = G(z),
П=> —OO
(10.195)
где G (г) есть z-преобразование gti т. е. gt^^G(z). Так, если gЛ1, 2, —5, 4, —6], G (г) = 1 + 2г — 5г2 + 4г3 — 6г4. Отрицательные степени г соответствуют значениям в прошлом; таким обра-
*
зом, если gt = [2, 6— 1, 0, 5] (верхняя стрелка обозначает момент 7 = 0), то G(z) = 2г~2 + 6г-1 — 1 + 5г2. Очевидно, что умножение на г эквивалентно задержке временной функции на один интервал дискретизации, а деление на г— смещению ее вперед на один интервал. {Чтобы получить G (г) в зависимости от г = £~5А, мы могли бы взять преобразование Лапласа. Форма г-преобразования Фурье более удобна для изучения частотных характеристик, а форма г-преобразования Лапласа —для проверки устойчивости, например когда изучаются фильтры. Разница состоит в том, что 5 принимает значения, принадлежащие той части комплексной плоскости, которая лежит правее вертикальной прямой, проходящей через а, т. е. R e [ s ] ^ o (§ 10.4.1), в то время как конец вектора z лежит на единичном круге с центром в начале координат.}
(При анализе сигналов г часто определяется как г = = ехр(/соА), в результате чего появляется полином, в котором показатели степеней г будут обратны по знаку по сравнению с теми, что получены выше. При обработке сейсмических данных наиболее часто принимают обозначение, которое использовано нами выше в тексте.}
Ясно, что г (а следовательно, и G(г)) представляет собой периодическую функцию частоты со с периодом 2л/Д. Когда со увеличивается от с до с + 2л/А, где с — любое действительное число, конец вектора г описывает по часовой стрелке полную единичную окружность ( | г | = 1) с центром в начале координат; это следует из соотношения
г = ехр (— /соД) = cos соД — / sin соА
(отметим, что, когда со увеличивается, начиная с нуля, —sincoA возрастает в отрицательном направлении). [Если бы мы выбрали г = ехр (/соД), то вектор г при росте со поворачивался бы против часовой стрелки.]
•336 10. Математический аппарат
Вычислим пусть
несколько простых г-преобразований.
OO
g(t) = t Step (t) = Z (ЛА) S (t ~ ЛА), п=0
Например,
OO
OO
OO
* step (/) ^
Z (яА) г" = Л £ я г " = zA £ пгп-1
/1=0
П = I
/7 — I
= 2Д/(1 -
г)2.
(10.196)
Далее, пусть
оо
g ( / ) = e*t s t e p ( / ) = £ ^ A 6 (/ — п = 0
step (0
OO
2 еЛяА2ч =
Л=O
OO
Z (е*Л2)л =
П=0
1 + ekAz + (ekAz)2 = 1/(1 -ekAz).
+...== (10.197)
Если положить k = 0, то получится
step (t) 1/(1 - г ) .
(10.198)
Полагая k = + /0, имеем
ехр (/0/) step (i) ^ -г 1
= -j
gi . . QA (10.199)
г w ' r v 7 1—2 exp (убД) 1 — г cos 8Д — iz sin 8Л
7
ИЛИ
/ П/ , . • ЛЛ , /.v (cos в/ + / Sin 90 step (0 ~
(1 (1
-—г2cocsos86АД)2)+-f-/(z(гsinsin6Л6Д)*)
'
Приравнивая действительную и мнимую части, получаем
cos 0/ step (/)
1 — z cos 0Д 1 - 2z COS 0Д + г2 •
Sin W Step (0 «-•» 1 _ 2г cos 6Д + г2 '
^0.200)
Как пример использования г-преобразований при определении частотных и фазовых характеристик функций, заданных в цифровом виде, получим спектры функции gt = [...О, О,
i
—2, О, 1, 3 —2, 5, О, О . . . ] . г-преобразование равно G (г) = = - 2 z - 2 + l + 3 z — 2 г 2 + 5 г 3 = —2ехр(2/юД) + 1 + 3 ехр (—/соА) — — 2 ехр (—2/озД) + 5 ехр (— З/ооД). Подставляя значения частот со,
получаем значения G(z)t которые в общем случае являются комплексными и из которых можно получить амплитудные и
фазовые спектры как функции частоты со. В следующей таблице
приведены типичные значения G{о>) для нескольких значений ш.
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
337
и>Д
0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315°
G{z)
5 1 — 2 V 2 — /4 л/2
5 + 2/ 1 + л/2 ~ /4д/2
-11 1 + л/2 + /4 V 2
5-2/ 1 — л/2 + /4У2
Амплитуда
5,00 5,67 5,39 6,15 11,00 6,15 5,39 5,67
Фаза
0,0° 85,8° 203,6° 293,0° 360,0° 67,0° 156,4е 274,2°
10.6.4. Вычисление ^-преобразований. Быстрое преобразование Фурье
Чтобы получить требуемую точность, обычно необходимо вычислять г-преобразования для гораздо большего числа значений аргумента соД, чем мы это сделали в прошлом разделе. Рассмотрим функцию
gt=go> g\> g2> • > gn-h
G(z) = gQ + glz + g2z2 + ... +
gn-i2n-1.
Удобно взять n = 2Л, где k — целое число (этого всегда можно
добиться, прибавляя нули к gt), и вычислять преобразование для приращений соА, равных 2л/я, т. е. принять о)А = г(2л/п),
г = 0, 1, 2, . . . п — 1 (отметим, что G (г) повторяется при г ^ п). Если положить <7 = е х р ( — j 2 n / n ) , то г = е х р { — j r ( 2 n / n ) } = qr.
Различные значения G(г), Gr, можно записать в матричной форме
G0
11
1
. . . <7(я-и go
G1
Iq
q2
...
g]
G2 = 1 q> <f ...q**-*
g2 .
(10«0n
При таком методе требуется произвести п2 умножений и п2 сложений. Поскольку сейсмическая трасса часто содержит несколько тысяч значений, необходимы миллионы вычислений. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой простой алгоритм для вычисления величины G(г), требующий только п Iog2 п вычислений. При n = 2i0 = 1024 различие между количеством вычислений при первом и втором способах равно разнице между 2-IO6 и IO4.
•338 10. Математический аппарат
Быстрое преобразование Фурье [34] строится на процессе удвоения, с помощью которого последовательность составляется из более коротких последовательностей (или разлагается на более короткие последовательности). Возьмем временной ряд
Cf = Cо, Сj, C2J
С2п_],
C(Z) = C0 + C1Z + C2Z2 . . .
+C2n_xz2n~\
и разобьем его на два ряда. Для этого переобозначим коэффициенты:
Cf = X0t у0у Х]9 IJx . . . , хп_\, Уп-Х•
Тогда будем иметь
Xf = Xо» X\i
Хп_\,
X(Z) = X,+ X1Z+
...+Xn^iZn-K
У1 = Уо> У\> • • •> Уп-и Y (Z) = у0 +y{z+ ... +уп_ ,г""1,
где значения Xi1 yi взяты с шагом 2Д, а не Д, как значения ct. Мы вычисляем С (z) для z = qr, = ехр (—/2л:/2дг), г = 0, 1,
2,
(2п— 1), тогда как величины X (z), Y (z) вычисляются
для значений (<q')r, q' = ехр (—j2n, п) = q2, г = 0, 1, 2, . . . , (я — 1).
Обозначая Xr значение X (z) при z = q2r, имеем
I f = Ei =^0 2 r i
г = 0, 1, . . . , ( л - 1).
(10.202)
У, = iE-0 У ^ r i
Но 2п-|
C f = Z ¢ / ' , г = О, 1, . . . . ( 2 г а - 1).
I-O
При г = 0, 1, . . . , ( " — 1)
Cr = +
(q*r0(<+/о
Xtfr + + УXQ1'
+
+
.
..+*„ + •••
_ +
i<У72п-<i"q-I2>()n~+l>)
=
п-1
п-1
= E
+ Qr E
=
= Xr +qrYr.
(10.203)
Когда г = пу (п+ 1),
(2/1 — 1), м ы должны проделать
некоторые операции с экспонентами, чтобы выразить Cr через
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
339
Xr9 Yr. Таким образом, 2 п-1
Cr= Z Wi* Г =
/-O
(л + 1), . . . . (2л— 1).
_
I
ri (n+m) I ni mi , i\i ml
Запишем r = n + m, так что q = q
=q q = (—!)</,
m = 0, 1, n.-.i., (n — 1), п«о-сIкольку qnt = (e~in)\ Следовательно,
Cr
=
Z
/=0
Xfl2mi
— <7WZ УIQtlmi*
/-O
M =
0,
1,...,(/1-1).
Cr = Am qmY m = Xr-n — qr~nY r_n,
r = n, (n + I),
( 2 / 1 - 1).
(10.204)
Для вычисления Cr с использованием матрицы типа (10.201) требуется 2(2лг)2 = 8п2 арифметических действий. Чтобы найти Xr из (10.202), требуется 2п2 операций, следовательно, чтобы получить Cr из (10.203) и (10.204), требуется немногим более чем 4Аг2 операций, что означает 50 % экономии Поскольку <г
кратно 2, удвоение можно продолжить до тех пор, пока каждая
подпоследовательность не будет состоять из одного элемента Cty что дает огромную экономию в вычислениях, когда п велико.
10.6.5. Применение г-преобразований к цифровым системам
К цифровым системам мы относим линейные системы, в которых входной и выходной сигналы являются дискретными функциями. Если система аналоговая, то каждый элемент входного сигнала в цифровой форме gt вызывает непрерывный выходной сигнал h(t — яД). В этом случае следует брать отсчеты выходного сигнала синхронно с входными, чтобы получить ht. Тогда
/T(Q)) = / / (z)!G (г) = многочлен относительно z = F (z).
Таким образом, H(Z) = F (z) G (z) +-+Hi = ft* gt.
(10.205)
г-преобразования полезны при цифровой обработке благодаря тому, что их можно достаточно просто записать и оперировать с ними, как с обычными полиномами: например, в § 8.1.2а мы вычислили свертку сигнала / / = ( 1 , - 1 , 7 2 ) с gt = = ( U 1 A ^ - 1 A ) - Их г-преобразования равны F(z) = l—z+]/2г2 и G(z)= 1 + 1Az — 1Az2; тогда
ft* St — F & G (*) = (1 - * + V2Z2) (1 + '/г* - V2z2) = = (1 - V 2 Z - V2Z2 + 3Z4Z3 - V 4 Z 4 ) ,
поэтому ft*gt = (h - 1 A , - 1 A . 3A, - 1 A ) .
•340 10. Математический аппарат
Рассмотрим еще один пример. В § 8.1 2г из формулы (8.32)
при п = 1 получается фильтр для подавления реверберации в
водном слое так что
/ , = ( 1, - 2 R 9 SR2t — 4/?3, 5/?\ . . . ) ,
ft ^ 1 - 2Rz + SR2Z2 - 4 + 5Л V + . . . ,
и обратный фильтр it таков, что ft «it = 6 / 1 (см. (8.33)). Преобразование /(г) можно найти с помощью деления, так как деление на полиномы является корректной операцией;
Поэтому
I (z) =I1F(Z)=I
+ 2 Rz + R2Z2.
/(Z)-M 1, 2R9 R2),
что совпадает с (8.34). Рассмотрим третий пример. В § 8.1.3а мы вычислили взаим-
ную корреляцию сигнала xt = (1, — 1, 1 /2) с yf = ( 1 , 1A. — 1 A ) . Из (8.38) имеем ф х у ( т ) = х~х *ух. Следовательно,
X^ ^ 1I2Z^2-Z-1+
1,
— 1+1/22 -7222,
< М Т ) ^ | / 2 г ~ 2 - V 1 + V, + г -
V2Z2
(см. рис. 8.4,в).
10.6.6. Фазовый анализ
а) Минимально-фазовые импульсы. Мы определяем причиннообусловленную функцию как действительную функцию, которая равна нулю при отрицательных временах, т. е. / ( / ) = = 0 при t <С 0. Физически реализуемая функция — это причинно-обусловленная функция, имеющая конечную энергию, т. е. для
которой интеграл
ограничен. Минимально-запаз-
дывающая функция —это физически реализуемая функция, у преобразования которой имеется обратная величина, т. е. если f(t)++ F(z), то 1 /F(z) конечно. В этом случае говорят, что F (z) является минимально-фазовой функцией. Обоснование названий «минимально-запаздывающая» и «минимально-фазовая» будет ясно из дальнейшего. (Литература переполнена различными определениями «минимальной фазы», наиболее распространенные из которых будут получены из приведенного выше.)
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
341
Рассмотрим простой импульс Wt = (а, —6), имеющий преобразование W(г) = (а — bz). Тогда
Если \ b / a \ < 1, то мы можем разложить это выражение в ряд (заметим, что | г | = 1) и получить
I r W ^ i l 1 + I 2 + ( 4 2 ) 2 + • • • } = сходящийся ряд.
Если \ b / a \ > 1, то ряд получается расходящимся. Таким образом, у минимально-фазового импульса | а | > | 6 | . При этом импульс (Ь,а) является максимально-фазовым. Когда а = ± 6 , преобразование равно а ( 1 ± г ) , и его обратная величина будет обращаться в бесконечность при соД, равном пп или (2п + 1)л; следовательно, этот импульс не является минимально-фазовым. Когда функция (а — bz) минимально-фазовая, то таковой является и функция \/(a — bz) (см. задачу 10.31, а).
Рассмотрим волновой импульс W(z) = (с — г) = с( 1 — z/c), где с — действительная величина. Тогда
W (г) = с { I — ( l / c ) c o s © \ + j ( l / c ) sin соД},
и фаза равна у = arctg{sin соА/ (с — cos соД)}. Если импульс W(z) — минимально-фазовый, то | с | > 1 и знаменатель никогда не обращается в нуль. Следовательно, | v | < л / 2 и кривая зависимости \ m { W ( z ) } от Ие{И7(г)} не обходит вокруг начала координат (рис. 10.11,а). К тому же у является периодической функцией частоты, и ее значение повторяется каждый раз, когда соД возрастает на 2я (рис. 10.11, в). Если | с | < 1, то знаменатель обращается в нуль дважды при увеличении соД на 2я. Следовательно, у принимает все значения от 0 до 2л, т. е. кривая зависимости 1 т { № ( г ) } от Re{W(e)} обходит вокруг начала координат (рис. 10.11,6). Каждый раз, когда о>Д увеличивается на 2л, у также увеличивается на 2л (рис. 10.11,в). Фаза максимально-фазового импульса неограниченно растет, в то время как у минимально-фазового импульса она всегда заключена между — л / 2 и я / 2 и, значит, всегда меньше, чем фаза максимально-фазового импульса.
Если импульсы ( d i — b i Z ) , / = 1 , 2, . . . , п все являются минимально-фазовыми, то сумма Y j (ai — b{z) может быть или не
i
быть минимально-фазовой функцией, так как | Z Я/ н е обяза-
тельно превышает | Z bt |. С другой стороны, произведение
П to — h z ) всегда является минимально-фазовой функцией, i
•342 10. Математический аппарат
так как каждый член (а следовательно, и произведение) представляет собой периодическую функцию частоты. Из этого следует, что кривая зависимости 1ш{И7(г)} от 1?е{и?(г)} не может обходить вокруг начала координат (если бы она обходила вокруг начала координат, то фаза увеличивалась бы неограни-
Рис. 10.11. Изменения фазы у: а — минимально-фазового импульса и б — мак с и м а л ь н о - ф а з о в о г о импульса при увеличении со от 0 д о 2 л ; в — графики у в зависимости от о)Л д л я случаев а и б.
ченно). Если все множители (а,- — btz) в произведении — максимально-фазовые импульсы, то и произведение является максимально-фазовым импульсом. Если некоторые члены минимально-фазовые, а некоторые максимально-фазовые, то произведение представляет собой смешанно-фазовый импульс.
Рассмотрим функцию 1
— Ь<г)/П(Я/ — bjz)9 где /
все
множители являются минимально-фазовыми импульсами. Фаза
этой функции равна сумме фаз числителя минус сумма фаз
знаменателя; поскольку все фазы представляют собой перио-
дические функции, фаза рассматриваемой функции также яв-
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
343
ляется периодической функцией; следовательно, функция ми-
нимально-фазовая.
Раз импульс (а,- — biz) минимально-фазовый, значит, если
\ a i \ > \ b i \ , то корень уравнения а* — 6/2 = 0, а именно ai/bi
лежит вне единичной окружности. Аналогичным образом корни
максимально-фазовой функции лежат внутри единичной окружности. Когда функция T L ( a i ~ ^iZ)/JJl (af — b j z ) минимально-
/
/
фазовая, все корни числителя и знаменателя лежат вне еди-
ничной окружности. Корни знаменателя называются полюсами,
и поэтому можно сказать, что все корни и полюса минимально-
фазовой функции лежат вне единичной окружности. (Когда z определено как е+/*0*, эти правила заменяются на противопо-
ложные.)
Корни Z = O1 ± 1 удовлетворяют указанному выше правилу. Если W(z) умножить на 2 ± т , где m — целое число, то импульс
сместится без изменения формы; множители и корни в этом случае равны можителям и корням W(z) плюс множитель z±m и корень 2 = 0. Однако теперь кривая Z-mW(z) обходит начало координат, как на рис. 10.11,6; следовательно, z±mW(z) не яв-
ляется минимально-фазовой функцией. При определении фазы
изолированного импульса принято считать, что t = 0 для пер-
вого ненулевого отсчета, поэтому корни 2 = 0 не возникают.
Поскольку разложение 1/(1 Hz 2) представляет собой рас-
ходящийся ряд, разложение функции ( 1 + 2 ) №(2) также яв-
ляется расходящимся рядом, и поэтому произведение этих
функций не будет минимально-фазовой функцией. Когда корень
лишь немного больше единицы, часто возникают трудности, так
как ряд разложения сходится медленно.
В терминах «минимально-фазовый» и «максимально-фазо-
вый» подразумевается сравнение, и на самом деле они отно-
сятся к набору импульсов, имеющих заданный частотный
спектр. Все четыре импульса (a — bz), (b — az), (a — bz)f (Б — az) имеют один и тот же частотный спектр, что легко про-
веряется умножением на комплексно-сопряженные величины;
два из этих четырех импульсов минимально-фазовые, два мак-
симально-фазовые. (Другие импульсы с тем же спектром можно
получить умножением на любую комплексную константу с, где
\с\ = так что существует бесконечное число импульсов с од-
ним и тем же спектром.) В наиболее частом случае, когда а
и b — действительные величины, от указанных четырех импуль-
сов остаются только два различных.
б) Энергетические соотношения. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды в любой момент времени, тогда как суммарная энергия пропорциональна сумме квадра-
•344 10. Математический аппарат
тов амплитуд от / = O до заданного момента времени. Суммарная энергия импульса (а, Ь) равна а2, а2 + Ь2 в моменты / = O и t = Д соответственно. В случае импульса (Ьу а) она равна б2, Ь2 + а2. Если импульс (а, Ь) является минимальнофазовым, то его суммарная энергия нарастает быстрее, чем в случае максимально-фазового импульса (Ьуа). Поскольку два данных импульса имеют одинаковый частотный спектр, единственная разница между ними состоит в скорости нарастания суммарной энергии. Этот результат можно распространить на более сложные импульсы. Например, Робинсон [123] показал, что у минимально-фазового импульса суммарная энергия в момент t больше или равна суммарной энергии в момент t любого другого импульса с тем же спектром. Клербоут [26] показал, что «центр тяжести» минимально-фазового импульса располагается ближе к точке / = 0, чем любого другого импульса с тем же самым спектром. Из этих принципов становится понятным происхождение термина «минимально-запаздывающий».
в) Определение минимально-фазового импульса, соответствующего заданному спектру. Спектр (а — bz) импульса (а,—6), где величины а и b в общем случае комплексные, имеет модуль, квадрат которого равен (а — bz) (а — bz) = = — abz + (а2 + b2) — abz (отметим, что z = z~l). Таким образом, данный импульс имеет в ^-представлении корень а/Ь, тогда как у модуля его спектра есть и этот корень, и корень Б/а (когда а и b вещественны, эти два корня являются обратными величинами). Когда спектр имеет порядок 2п, у него должно быть п пар корней вида fe, l / z t ) . Половина корней будет лежать вне единичной окружности, а половина внутри. Минимально-фазовый импульс получается перемножением п множителей вида ( Z i - Z ) i соответствующих значениям Ziy лежащим вне единичной окружности.
В описанном выше методе получения минимально-фазового
импульса требуется найти разложение спектра на множители,
а эта процедура занимает много времени, когда п велико. По-
этому применяются другие методы [27, гл. 3]. В одном из них
для сокращения вычислений используются особые свойства
матрицы Теплица. Пусть /?(г)—заданный спектр автокорре-
ляционной функции, W(z)—минимально-фазовый
спектр, ко-
торый нужно найти; спектр W(z) должен иметь обратный, ко-
торый мы обозначим V(z). Тогда
R(Z)=W (z) W (z)f откуда R (z) V (z) =W (S).
Поскольку W(z)—спектр минимально-фазового импульса, то
можно записать V(z) = b0 + biz + b2z2+ ....
10.6. Цифровые системы и г-преобразования 345
Кроме того, если
W (z) = а0 + axz + Ci2Z2 + ... + anzn, то
W (2) = a0 + ax2 + a222 + ... + ап2п и
R (z) = (r_nz~n + •.. + A--IZ-1 + г0 + гхг + ... + rnzn).
Тогда
(r_nZ~n + . . . + r_{Z~l + Го + Г,2 + . . . + rnZn) X X (bo + ь х г + b2z2 +...) = (¾ + ахг~1 + a2z~2 + ... + anz'n).
Приравнивая коэффициенты при положительных степенях г, получаем
Z0: гА + г__ф{ + ... + r_nbn = аОУ г1: гф0 + гф, + . . . + г-п+фп = О, г2: r2b0 + г,b] + ... + r-n+2bn = О,
гпЬо + гп-\Ь{ + . . . + гфп 0.
(Мы предполагаем, что (п+1) значений bi достаточно, чтобы представить W(z)= 1 /V(z) с требуемой точностью; если это не так, то можно получить больше членов, приравнивая коэффициенты при zm к нулю, когда m > п.) Заметим, что а0 = 1/&о, следовательно, у нас имеется ( п + 1 ) уравнений, из которых надо найти ( п + 1 ) неизвестных bt. Можно записать решение через матрицу Теплица St как Slffi = UiP:
Г0 П
Гп 1
W
0
Г\ Г0
Ь\
Го К
0
(10.206)
где rn = r_n, bi = bilbo, w = a0/b0 = 1/| b012. Выражая из этих уравнений ( п + 1 ) неизвестных bi через известные riy мы найдем V(z), а затем W(г), обращая V(z).
Для непосредственного решения (10.206) потребуются машинное время, пропорциональное м3, и память, пропорциональная п2. Рекурсивный алгоритм Левинсона, который мы сейчас опишем, позволяет уменьшить эти величины в п раз. Метод основан на составлении новых уравнений путем выделения матрицы порядка ( k X k ) из верхнего левого угла матрицы &t
•346 10. Математический аппарат
и верхних ft рядов матриц 3S и W y например
rO г! ••• Ofe-I Г, T0 . . . .
1 I W*
ь\
0
=
Г к-1
'о
*
bk-1|
0
(10.207)
где звездочка указывает, что Ь* и w* отличаются от соответствующих величин в (10.206), так как они удовлетворяют другой системе уравнений. Рекурсивный алгоритм Левинсона дает возможность получить решение для случая ( £ + 1 ) , когда известно решение в ft-м случае. Таким образом, мы можем начать с ft = 1, т. е. с г0 X 1 = w, потом применить этот алгоритм с целью получить решение для ft = 2, т. е. для
ко г, Irl Г0
1 1 W* 0
а затем продолжить процесс, пока мы не дойдем до ft = /? + 1; на последнем шаге получается решение системы (10.206), а промежуточные решения отбрасываются.
Будем исходить из системы (10.207), в которой все значения
ь: и w известны, так как мы решили это матричное уравнение и хотим теперь найти решение для случая ( f t + 1 ) через эти известные значения. Запишем следующее уравнение, которое определяет величину е:
Го г, Г\ Г0
1
W*
ь\
0
Гк •
Го bk-1
0
0
е
(10.208)
Очевидно,
е = Г/г + Г/г-^1 + . . . + Г\Ьк-\ = X fibk-i>
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
347
следовательно, е — известная величина. Теперь «обратим» мат-
рицы $ к W и получим
0
е I
'о П • • Гк
. Т\ гь
*
bk-1
0
ф в
(10.209)
. . гк
• г0
ь\ 1
0 w* I
(раскрывая произведения матриц, можно проверить, что по-
следние два матричных уравнения одинаковы). Умножим урав-
нение (10.209) на константу Ck и вычтем результат из (10.206). Тогда
0
W*
е
*
ъ\
bk-1
0
0
Го
-Ck •
=
— ck •
(10.210)
ГО Ь\-1
ь\
0
0
1
е
w"
Мы хотим свести это уравнение к уравнению для случая
(k + 1), а именно
1
w'm
Го г, Г\ Г0
bi
0
(10.211)
rk -
bk
0
Сравнивая уравнения (10.210) и (10.211), мы видим, что, для
того чтобы получить значение 0 для нижнего элемента матри-
цы W9 необходимо положить е — ckw* = 0, т. е. Ck = e/w*. К тому же w** должно равняться (w*— cke) = w*{ 1 — ( e / w * ) 2 } .
Наконец, в левой части мы имеем bГ = b\ — ckbl-i (отметим,
что
Ьк=—Ск>
так **
как **
bl = 0,' ftj yj= 1)/. В конечном счете
все величины bt и w в (10.211) можно определить через из-
вестное решение уравнения (10.207).
г) Нуль-фазовые и линейно-фазовые импульсы. Заметим, что (zn "f- z~n)= 2 cos шоД, где п — целое число; поскольку мнимая часть равна нулю, данная функция имеет нулевую фазу.
•348 10. Математический аппарат
Нуль-фазовые импульсы можно получить, перемножая спектры пары элементарных импульсов, таких, как (1 — az)(az~l— 1) = = az~x— (1 + a2) -f аг = Wz (г). Раз фаза равна нулю, Wz (г) = = Wz(Z) и, следовательно, спектр нуль-фазового импульса равен
W2z (z) = {az-[ — (1 + а2) — azf = a2z~2 — 2а (1 + a1) 2 - 1 +
+ (а4 + 4а2 + 1) - 2а (1 + a2) z + a2z2.
Если | а | < 1, то минимально-фазовым импульсом с тем же амплитудным спектром является импульс (1 — а г ) 2 = = 1 — 2 a z + a 2 z 2 . Поэтому если минимально-фазовый импульс можно записать как Д ( 1 — а^)гпу где m кратно 2, то эквива-
i
лентный нуль-фазовый импульс можно найти, заменяя каждую пару множителей (1 — atzy на (1 — aiz) (atz — 1).
Нуль-фазовый импульс симметричен относительно начала координат, следовательно, он не является ни причинно-обусловленным, ни физически реализуемым. Его максимальная амплитуда приходится на момент t = 0 . Корни нуль-фазового импульса образуют пары (aly 1/а,), причем один из элементов каждой пары лежит вне единичной окружности, а другой внутри нее.
Если умножить нуль-фазовый импульс на Zny т. е. задержать его на п• интервалов дискретизации, то получим
Wl (z) = zNWz(z).
Поскольку zn = ехр( —/оо), где с = Const, импульс WL имеет линейную фазу, т. е. yL = C(o. Кроме того, WL(z) представляет собой просто импульс Wz(z)y смещенный на п единиц по времени, следовательно, он имеет те же самые корни (плюс корень г = 0) и симметричен относительно t = пА. Линейно-фазовые импульсы физически реализуемы, если они начинаются после момента t = 0. Нуль-фазовые импульсы можно получить из линейно-фазовых при помощи временного сдвига. Линейнофазовые импульсы часто называют «нуль-фазовыми».
10.6.7. Интегральные соотношения для обратных z-преобразований
Когда gt представляет собой временной ряд, прямое и обратное 2-преобразования можно выписать сразу; однако бывают случаи, когда более удобен эквивалент формулы (10.87). При возрастании о) от 0 до 2л/Д (или от —л/Д до + л / Д ) z описывает один раз единичную окружность по часовой стрелке (см.
J0.7 Кепстральный анализ 349
§ 10.6.3). Поэтому мы имеем
, Г 2л/Д 2JT J0 G ( ( 0 ) е х р
I р d ( * = STcJ G (^)
{ехр(ушЛ)rfe, (—уД)>=
=
(10.212)
где интегрирование производится против часовой стрелки.
10.7. Кепстральный анализ
Преобразование из временной области в частотную позволяет производить операцию, эквивалентную свертке, с помощью простого умножения. Преобразование из частотной области в кепстральную дает возможность выполнять такие операции посредством еще более простого действия — сложения. Кроме того, в некоторых случаях частоты, которые накладываются друг на друга в частотной области, достаточно разделены в кепстральной области, так что фильтрация производится более эффективно [176].
Обратное преобразование от логарифма частотного спектра дает кепстр
6 (E) = (1,2л) Г In {G (со)} ехр (/со£) rfco. (10.213) J OO
Преобразование из временной области обычно проводится в три этапа:
g 0) — G (со) = I G ((D) I ехр {/у (й)},
G ((D) = In {G ( И ) } = In I G ( И ) 1 + / Y ((D), G((D)^M) =
(10.214)
= (1/2я) \ " {In I G ((D) I + /у (а)} ехр (/©£) rf®. J OO
Таким образом, существенная особенность кепстрального анализа состоит в том, что перед выполнением обратного преобразования берется логарифм. Для возвращения во временную область три приведенных выше шага следует обратить:
£ (0 G (ю) = \ g (у ехр ( - </£,
J ——OO
G((D) = exp{G((D)},
(10.215)
G И ^ g (/) = (1,2л) [ °° G (и) ехр (/'©/) dv>.
J —OO
•350 10. Математический аппарат
Используются и другие определения кепстра, приведенные, например, в [10, 176], но при анализе сейсмических данных наиболее распространено данное выше определение.
В случае дискретной функции gt при использовании г-преобразования описанные выше шаги будут иметь вид
G (z) I=LgiZ1, G(Z) = I n ( E ^ i ) 1
= (1/2я/'Л) (z)2-K+1> dz,
(10.216)
где использовано (10.212). Для возвращения во временную область имеем
5 (Z)
= In (G(Z))f
G(z) = exp{G(z)}=exp(Z
(10.217)
Переменная £ называется кепстральной частотой *>. Кепстр можно охарактеризовать кепстральной амплитудой а(£) и фазой
& (О = d (Q ехр {/?(£)}•
(Ю.218)
В кепстральной области процесс, эквивалентный фильтрации во временной или в частотной области, называется кепстральной фильтрацией.
Важным шагом при переходе в кепстральную область является определение фазы у (со), обычно с помощью соотношения (10.91). Поскольку tg(0 + Tih) = tg0, каждое вычисленное значение 7(*0) имеет точность пп. Эту неопределенность необходимо устранить до преобразования в кепстральную область; соответствующая операция называется «сшиванием» фазы, В одном из методов используют тот факт, что y(w) является непрерывной функцией, и прибавляют я к 7(*0) методом проб и ошибок. При этом в конце концов выбирают те значения, при которых тангенс угла наклона кривой у (о) меняется по возможности наиболее плавно. В другом методе берут производную от выражения для у (аз) в форме (10.91), причем в этом
* В оригинале термины для кепстральной области получаются перестановкой первых букв в соответствующих названиях, относящихся к обычному спектру. Так, spectrum cepstrum, frequency quefrency, amplitude -»-
l s m p i t u d e , phase saphe, filtering liftering. — Прим. nepte.
10.8. Фильтрация 35!
случае не возникает неопределенностей:
dy (со)
d . . i v . 4/D/ а1
-25Г = Ж [arCtg
((0)/Л ((0)}] =
У? (со) dX (co)/rfco - X (со) dR (co)/rfco
\R (CO)P + (X(CD)H
•
(10.219)
Стоффа и др. [152], рассматривая деконволюцию морского реверберационного шума, начинают со взвешивания наблюденного временного ряда giy чтобы получить другой ряд gty z-npeобразование которого равно
G(z)=
Z i
Rfi1Zi9
где а — постоянная, которая немного меньше, чем величина, необходимая для превращения сигнала gt в минимально-фазовый (см. также § 8.1.4). Тогда можно сказать, что медленно меняющиеся компоненты связаны с источником и реверберацией, а быстро меняющиеся — с отраженным сигналом. Нелинейная операция взятия логарифма приводит к тому, что G(г) оказывается закодирован с недостаточно малым шагом дискретизации, но взвешивание уменьшает эффект наложения частот. (Стоффа предлагает начать с а = 0,94, например при A = = 0,004 с, а затем, увеличивая а до тех пор, пока эффект наложения не начнет создавать трудности, установить наибольшее значение а, которое можно использовать.)
10.8. Фильтрация
10.8.1. Введение
Фильтры — это устройства, которые пропускают или не пропускают информацию в зависимости от значения некоторого поддающегося измерению параметра. Обычно таким параметром является частота, и фильтр изменяет амплитудный и (или) фазовый спектры проходящего через него сигнала. Аналоговая фильтрация была кратко рассмотрена в § 5.4.5, а цифровая — в § 8.2.1. В последующем анализе упор будет сделан на цифровую фильтрацию, хотя часть положений можно применить и к аналоговой фильтрации. Вопросам фильтрации посвящена обширная литература; много ссылок приведено в работах [10, 12, 50, 84, 89]. Последующее рассмотрение в значительной степени основано на работе Кульханека [84].
Большинство фильтров, с которыми приходится иметь дело, для упрощения вычислений считаются линейными, поэтому и здесь предполагается линейность фильтров. Цифровые фильтры более гибки, чем аналоговые, частично потому, что в случае цифровых фильтров мы не ограничены физически реализуемыми
•352 10. Математический аппарат
элементами, такими, как емкости, индуктивности и сопротивления, а частично из-за того, что в этом случае нам так же хорошо известны будущие значения сигнала, как настоящие и прошлые, с которыми только и могут работать аналоговые фильтры.
Выходной сигнал физической системы не может предшествовать входному; поэтому для аналоговых фильтров, когда g(t) и h(t) —соответственно входной и выходной сигналы, если g ( 0 = 0 при / < 0, то и h(0 = 0 П Р И t < 0. Это не обязательно выполняется в случае цифровых фильтров.
Фильтр называется устойчивым, если выходной сигнал ограничен при любом ограниченном входном сигнале. Во временной области выходной сигнал линейной системы получается из соотношения (10.180). Фильтр f(t) будет устойчив, если
С |/(*)|Л<+оо.
J-OO
(10.220)
Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы функция /(/) была везде конечна и стремилась к нулю при / - > - ± о о [168] *>.
Можно записать выражение (10.179) в виде
F (s) = H(s)/G (s).
Правую часть почти всегда можно представить как отношение двух многочленов относительно Sy обладающих тем свойством, что порядок числителя меньше порядка знаменателя (если это не так, то в результате деления многочленов получится член Sny где п — положительное число, а это обычно создает неустойчивость). Применяя разложение на элементарные дроби, получим
F(S)=ZAi/I=(IS-Si)9
где Si — один из п корней уравнения G(s) = 0. Обратное пре-
образование приводит к выражению
п
п
/
(
O
=
Z t-1
Ai
ехр
{Sit} =Id/A«=i1
ехр {(а( + Jbi) /},
так как обычно Si — комплексная величина. Чтобы функция f(t) оставалась ограниченной, когда t стремится к бесконечности, все значения а* должны быть отрицательными; таким образом, корни Si, которые обычно называют полюсами функции H(s)9 должны лежать в левой половине комплексной плоскости.
*> f ( t ) д о л ж н а убывать при t-+ оо быстрее, чем 1 / / . — П р и м . ред.
10 8 Фильтрация 353
Приведенное выше рассмотрение применимо также к цифровым фильтрам, но в этом случае условие (10.220) переходит в
£ | М < оо.
(Ю.221)
10.8.2. Синтез и анализ фильтров
Получить необходимый фильтр можно либо из условия, что за-
данный входной сигнал должен создавать требуемый выходной
(синтез фильтров), либо исследуя воздействие заданного фильт-
ра на различные входные сигналы (анализ фильтров). В каче-
стве примера синтеза мы рассчитаем фильтр для преобразова-
ния дискретного входного сигнала gt в требуемый выходной
сигнал Atl где
m—1
п—\
S t = kZ=0 g j 0 - ЛЛ). ^ = kE=0 (/ - ЛЛ).
Для простоты примем, что m = п; для этого к gt или At добавляются нули. Из (10.179) получаем
F (г)== Ж (Z)11G (г).
(10.222)
Поскольку Зё(г) и G(z) представляют собой многочлены относительно г, в результате деления получается многочлен, который может иметь бесконечный порядок. На практике многочлены бесконечного порядка приходится усекать, оставляя разумное число членов. Если нам известна функция F(z)y можно получить ft\ тогда выходной сигнал yty отвечающий произвольному входному сигналу Xty можно найти при помощи свертки:
Vt = ft* Xf
Можно также получить yt% используя соотношение Тогда
Y(Z) = F (z) X (z) = {Ж (z)IG (z)} X (Z)i или
Y (z) G (z) = X (z) Ж (г);
(10.222).
следовательно,
Ut *gt = xt* At.
С помощью выражения (10.193) получаем
г
г
Z Уг-кёк = Z
6-0
= г Qi 1,...,/1-1,
•354 10. Математический аппарат
что представляет собой систему из п уравнений с п неизвест-
ными yk. Полагая г = О, I,
находим решение
Уо = X0A0Zg0t У\ = (-Mo + X0AlVg0
— У(£\/Ё0,
таким образом,
УГ = ( Z0
- ( i Уг-kgklgo).
(10.223)
Поскольку система линейна, можно без потери общности считать, что go = + 1 . Отметим также, что начальное значение индекса k во второй сумме указывает на то, что сигнал gt имеет задержку, равную одному интервалу дискретизации (см. § 10.6.3, а также задачу 10.37). Поэтому можно записать
уt = xt* At- (yt * gt)',
(10.224)
где штрих означает, что сигнал gt задержан на один отсчет. В уравнениях (10.223) и (10.224) решение выражено через
настоящие (Xr), прошлые (от X0 до хг-\) значения входного сигнала и прошлые значения выходного сигнала (от у0 до уг-\). Фильтры такого типа называются прогностическими, рекурсивными или фильтрами с обратной связью. Подобные уравнения можно решать итеративно, при этом прежде всего вычисляется у0у затем уи У2 и т. д.; такой способ вычислений удобен при использовании цифровых вычислительных машин.
В качестве примера анализа фильтров рассмотрим конкретный случай соотношения (10.223), когда
уГ = ахг — Ьуг_]У
г = 0, 1,2, . . . , п - 1 (10.225)
(соответствующий сигналу £ / = ( 1 , Ь> 0, 0, . . . J , At =
= [а, 0, 0, . . . ) ) , где а и b — действительные величины, и вы-
ясним свойства этого фильтра. Беря г-преобразования от по-
следовательностей, которые получаются, когда г принимает
значения 0, 1, 2
п - 1 в формуле (10.225), имеем
Y (z) = аХ (z)-bzY (z),
где множитель г учитывает задержку сигнала gt на один отсчет. Разрешая это уравнение относительно Y(z), получаем
Y(z) = aX(z)/(l+bz)9 F(Z) = Y (z)!X (z) = а/( 1 + bz).
(10.226)
10.8. Фильтрация 355
При условии что \bz\<C 1, мы можем разложить в ряд правую
часть:
OO
F(z) = a( 1 +ЬгГ[ = а Z ( - 6 z ) r >
(10.227)
r =O
следовательно,
ft = (a, —aby ab2, —ab3t ...).
Из соотношения (10.221) следует, что, для того чтобы фильтр был устойчивым, необходимо иметь | 6 | < 1. Ряд в выражении (10.227) может сходиться очень медленно, и, возможно, рекурсивное решение лучше, чем определение функции ft приведенным выше способом с последующим вычислением свертки ft * Xt.
Рекурсивный фильтр второго порядка можно определить соотношением
Тогда
= У г a*r — by г-1 — сУг-2Y (z) = аХ (z) - bzY (z) - cz2Y (z),
(10.228)
F(Z)-
Y (z) X (z)
а 1 +bz + cz2
=
(a/cziz2)
(I-ZlZl)(I-ZlZ2) •
а C(Z-Zi)(Z-Z2)
(10.229)
где zu z2 — корни знаменателя. Сопоставление с (10.227) показывает, что рекурсивный
фильтр второго порядка эквивалентен двум последовательным фильтрам первого порядка, передаточные функции которых равны
(i^/O-iy
Сравнение с (10.221) показывает, что фильтр будет устойчивым при условии, если | г / 2 , - | < 1 , т. е. \b ±(Ь2 — 4с)1/2 > 2\с\. В общем случае рекурсивные фильтры любого порядка можно заменить последовательностью фильтров первого порядка.
Выражения (10.228) и (10.229) можно обобщить следующим образом:
Уг~хг
/ \Уг-\ — . . . — /г//о<
r = 0, 1, 2,
п - 1,
где мы положили а = I = f0 (это всегда можно сделать, вводя скалярный множитель). Тогда
Xf = IZr +f ^ l + ... + fryQ,
ю*
•356 10. Математический аппарат
и, переходя к г-нреобразованиям, имеем
X(z) = Y (z)(l+fxz + ...
или
Y(Z) = X(Z)K l + / i * + . . . +fn-iZn-{).
Таким образом, общий вид рекурсивного фильтра таков:
(10.230) порядка п
F(z)=\ j ( t j r z r ) .
(10.231)
10.8.3. Частотная фильтрация
Частотные фильтры подразделяются на фильтры (пропускания) низких частот (ФНЧ), фильтры (пропускания) высоких частот (ФВЧ) и полосовые (ПФ) в соответствии с тем, что они подавляют частоты либо выше, либо ниже некоторой фиксированной частоты, либо вне заданной полосы частот. «Идеальными» фильтрами таких типов являются следующие:
ФНЧ Fl(©) = + 1 , I © I < I (O01, J = 0, I © I > I юе
(10.232)
Ф В Ч Fli (й) = 0,
I со I < I (O01, •)
= + 1 . 1®1>1®о1. J
(10.233)
ПФ FB ((0) = + 1, ! ( O l K I ( O K I a ) 2 I , = 0, I (0, I > I (0 I и I © I > I (O2
(10.234)
Эти фильтры имеют разрывы при частотах о»о, (0i, ю2. Очевидно,
что ПФ эквивалентен ФНЧ с |со01 = |а>21 и ФВЧ с |(i)0| = |(0i|,
•соединенным последовательно.
Фильтр низких частот можно получить из соотношения
(10.130): FL ((о) = Ьох2Шо(ю) — (юд/я) sine (со0/) = fL (().
(10.235)
Д л я функции, заданной в цифровой форме, при условии, что
|(о0| < fflw = я/А, выражение (10.235) принимает вид
оо
fL = (Xln) £ COjSincfnco0A).
(10.236)
M=-OO
Поскольку фильтр FL((si) не изменяет амплитуду и фазу сигнала в пределах полосы пропускания, он является неискажающим
• Фильтр высоких частот для непрерывных функций с частотой среза CO0 определяется выражением
S- u > 0 em -OO
P OO
ч OO
d® 4- (1/2я) \ <?'<•« d® = ( 1/л) \ cos со/d©,
J 4-(1),
Jc0t
(10.237)
10.8 Фильтоаиия 357
так как ехр (/со/) = cos о>/ + / sin (о/ и функция sin ш нечетная. Тогда вследствие того, что Iim sin со/ = 0 (см. [107], р. 278),
Гн (0 =
(1MO sin со/ = I Ч-со0
— (со0/л) sine ((Dj/).
(10.238)
Таким образом, fH(t) = —fL(t), и ту же частоту среза соо.
если оба фильтра имеют одну
Импульсная характеристика цифрового фильтра должна
равняться нулю при частотах выше частоты Найквиста, чтобы
не образовались зеркальные частоты. При изменении предела
± о о на zhcon в (10.238) получается
I h (/) = (1 'J1/) (sin COyv/ — sin CO0/).
(10.239)
Переходя к дискретным функциям, поскольку содгмД = мл, получаем
OO
Zf = ( I n ) Z ((Oyv sine (AXCOvM-COjSinC(MCO0A))
Al=-OO
и
Zf = - K / " ) £ Sinc(CO0MA), П Ф О , )
= ( 1/я) (co v-CO0),
M = 0. j
Как и для функции fH (/), f t = - f t (кроме момента / = 0 ) , когда оба фильтра имеют одинаковую частоту среза со0. Таким образом, расчет полосового фильтра и фильтра высоких частот
во многом совпадает с расчетом фильтров низких частот.
Чтобы определить функцию ft идеального фильтра, требуется бесконечный ряд, что невозможно реализовать. Когда для определения /^ используются конечные ряды, возникают пульсации как вне, так и в пределах полосы пропускания, н этот эффект особенно заметен около частоты среза (явление Гиббса, см. § 10.3.5) Эти эффекты возникают из-за разрыва функции и могут быть частично преодолены умножением ff на сглаживающую функцию окна (см. § 10.8.5).
Можно вычислить функцию взаимной корреляции сигнала при наличии шума с сигналом типа сигнала Вибросейса
gv(t) = sin {со) + (со, - со,) l/L} /, = 0, / < О и t > Ly
0< /< L
где CO0, coi — положительные константы (ср. с (5.3));
Gv (со) ^ const,
(о, < © < со,,
^O,
СО < CO0, СО > (O1.
•358 10. Математический аппарат
Такая операция, называемая фильтрацией с помощью свипсигнала, в общих чертах эквивалентна действию полосового фильтра (рис. 10.12).
Если сигнал g(t) подан на вход фильтра, импульсная характеристика которого / м ( 0 определена равенством fM(t) = = g( — t), то ясно, что FM (СО) =-- G (со), и выходной сигнал такого фильтра определяется выражением
H (СО) = FM (СО) G ((D) = I G (СО) I2;
отсюда h(t)—функция автокорреляции g(t). Фильтры такого типа называются согласованными. Когда входной сигнал со-
/ I I I V-f I t l l
0
0,5
1,0 1,5 2,0 0 ZO 40 60 80 100
Время ,с
Частота, Гц
а
6
Рис. 10.12. Фильтрация с помощью сигнала Вибросейса. а —импульсная характеристика (сигнал с растущей частотой); б — амплитудный спектр. Частота нарастает линейно от 10 до 30 Гц за 2 с.
стоит из функции g(t) плюс случайный шум, выходной сигнал определяется в основном функцией автокорреляции g(t), так как взаимная корреляция g(t) и шума будет близка к нулю во все моменты времени.
10.8.4. Фильтры Баттеруорта
Фильтр Баттеруорта представляет собой распространенный вид
фильтров низких частот; его можно определить равенством
\F (CD) I2 = 1 / ( 1 + ( ( D / ( D 0 P ) ,
(10.241)
где wo—частота «среза», а величина п определяет, насколько
резко спадает импульсная характеристика фильтра. Кривые функции IZ7(CD)I для различных значений п показаны на
рис. 10.13.
Чтобы исследовать устойчивость фильтра, найдем преобра-
зование Лапласа \ F (s)\2= 1 / { 1 + ( - 1 ) » 5 2 п } э
(10.242)
где s = o + / ( о / о о ) . У этой функции нет нулей, но она имеет 2п полюсов, которые равны корням (см. рис. 10.3) уравнений
S2ri = - I , п четное,
= + 1, п нечетное.
10.8. Фильтрация
359
Эти корни имеют вид (+a + jb), где величины а и Ь действительные и положительные. Таким образом, эти корни симметричны относительно действительной и мнимой осей. Когда п нечетно, два корня равны ± 1 . Поскольку [ F ( S ) I 2 - F ( S ) F ( S ) i если корни — aztjb (и —1, когда п нечетно) соответствуют F(S)i а корни +aztjb (и + 1 ) — е г о сопряженному значению
Рис. 10.13. Амплитудная характеристика фильтра Баттеруорта.
F(s)y то фильтр F(s) устойчив. Д л я цифрового фильтра п-го порядка
Fn (s) =\/{(s+\)(s
+ al+ jb{) (s + a { - jb{) X
X(s + a2 + jb2) (s + a2 — jb2) ...}
{когда ti четное, множитель (s + 1) опускается). Чтобы получить цифровой фильтр, выражение для Fn(s)
можно представить в виде элементарных дробей (§ 10.1.7), преобразовать во временную область, а затем в г-пространство. Таким образом, при п = 2 корни уравнения S4 = - I равны ( ± 1 ± /)/(2)172; следовательно,
^ 2 {S) = {5 + ( l + y ) / V 2 } { s + 7 l - / ) / V 2 } = V f [{* + 11+ Л/VfJ ~ {s + (1 - у)/V2 } ]'
•360 10. Математический аппарат
Используя соотношение (10.161), имеем
f U) = (у/ V 2) {ехр I - (1 + / ) / / V 2 J — ехр[ — (1 — /) / / У 2 ] } step ( / ) = = { V 2 ехр ( - / / V 2 ) sin (//л/2)} step (/).
Применяя (10.200) и результаты задачи 10.26, получаем
F (z) = / 2 I
г ехр ( - Д/л/2) sin (Д V J )
j
* I l - 22 ехр ( - Л / V J J cos (Л/л/2) + ^ ехр ( - M ^2 ) / '
В соотношении (10.241) не содержится информации о фазовой характеристике фильтра. Можно создать фильтры Баттеруорта с различными фазовыми характеристиками, например
при п = 1/2
^n M
ехр (— /со/р) ф
{1 + (со/соо)2*}1'2 ;
/7IZ2(CO)
1
= 1 + j (со/соо)
1 — j (О)/(Oq)
1 + (со/соо)2 •
Первый фильтр имеет линейную фазовую характеристику, тогда как фазовая характеристика второго равна
Y (со) = — arctg(co/co0).
10.8.5. Функция окна
Часто бывает нужно выделить для изучения часть сигнала или может потребоваться «сгладить» функцию, например результат преобразования. Этих целей можно достичь, умножая сигнал или результат преобразования на весовую функцию, пли функцию «окна», т. е. на такую функцию, которая ведет себя более или менее удобно в пределах некоторого интервала и равна нулю вне его. Обозначим окно как w(t)<-+W(со). Эта запись подчеркивает, что окно можно рассматривать либо во временной, либо в частотной области (термин «окно» используется также в третьем значении — просто для обозначения промежутка времени, особенно того интервала, на протяжении которого можно зарегистрировать данные, свободные от интерференции с помехами типа поверхностных волн). Если применить окно к сигналу g(t) во временной области, то в результате получится
К (t) = g(t)w (t) (1/2я) G (со) * W (со).
Применение окна во временной области — это форма частотной фильтрации, так как преобразование Фурье от части сигнала,, выделенной при помощи окна, искажено и по амплитуде, и по фазе по сравнению с G(со).
10 8 Фильтрация 361:
В следующий ниже перечень включены наиболее употребительные во временной области окна (см. [10, р. 157—164]). Приведенные формулы дают значения w(t) в интервале 0 < < | / | < Г; при > T w(t) равно нулю (кроме случая гауссова окна, когда область определения равна ± о о ) . Очевидно, аналогичные окна можно применять в частотной области, тогда обратные преобразования получаем из формулы (10.118).
а) Прямоугольное окно:
w (/) = Ьохог (/) —> W M = 2T sine ю7\
(10.243>
б) Окно, заданное функцией sine: w (/) = sine (лЦТ) W (со) =
OO
= I Z 12тттат+ж«я /1 = 0
+ +
(10.244>
в) Окно с ядром Феджера:
ш(/) =
sine2 (л/,Т)«-> W ((d) =
OO
(-Un Т ' 2 л 1 ) аZ=1 (2, V n i 2 U . ) !
«2Я + + (2я -
- 2 ^2П+2 + юГ)2»+2}. (10.245>
г) Косинусоидальное окно: w (I) = + 1, 0 < U I < 4775,
= -i + ± cos (5яЦТ), 4775 < | /1 < Т,
а ,, .ч( с ITо// .) ч=
sin
m
{с1оГ_
+
(c
sin 4соГ/5
o775lt)2}
•
(10.246>
д) Окно Хеннинга: » ( / ) = 1/2 + lI2Cos (Ж/Т), w(l)+-* W (to) =
= Г {sine «Г + (2(071 sin (оГ)/[я2 — ((оГ)2]}.
(10.247>
е) Окно Хемминга: w (t) = 0,54 + 0,46 cos (лЦТ), w (t) — W ((о) = T {1,08 sine <аТ + (0,92(оT sin (оТ)/[п2 - (соГ)2]}.
(10.248). ж) Треугольное окно:
w (0 = (1 - I / 1/Т) W ((О) = T Sine- (0)7-/2). (10.249),
•362 10. Математический аппарат
б) Гауссово окно: w(t) = exp(—at2), а> О, w(i)^W (со) = ^/фехр ( - со2/4а).
(10.250)
Используются также комбинации окон, например разрывные края прямоугольного окна можно сгладить с помощью ко«синусоидальной функции. Часто применяют, например, прямоугольное окно во временной области, а затем сглаживают его преобразование Фурье с помощью второго окна в частотной области.
Изменение спектра сигнала g(t) в результате применения окна во временной области определяется функцией W(w). Таким образом, кривые Щоо) дают некоторое представление о результате применения окна. В общем случае, чем шире окно и чем более пологий спад оно имеет, тем меньше оно изменяет спектр. Бот [10, р. 164—171], Блэкмен и Тьюки [12] и Курита [87] рассмотрели практические стороны применения окон.
10.8.6. Оптимальные фильтры
<а) Введение. Фильтры, которые встречались до настоящего момента, были ориентированы на неслучайные периодические или апериодические входные сигналы. Если шум на входе представляет собой стационарную случайную функцию, можно создать фильтр, который будет формировать «оптимальный» выходной сигнал в соответствии с некоторым критерием. Критерий Buяера, или наименьших квадратов, принадлежит к числу самых важных и наиболее широко используемых критериев. Чтобы применить его, мы сравниваем выходной сигнал фильтра с некоторым «требуемым» сигналом, тогда разница будет «ошибкой» в выходном сигнале; затем рассчитываем фильтр, необходимый, чтобы минимизировать мощность (или энергию) ошибки, применяя метод наименьших квадратов. Критерий Винера также называется нормой г2 [27, р. 121, 123]; он дает оценку но методу максимального правдоподобия, если ошибки имеют гауссово, или нормальное, распределение,!, е. когда вероятность ошибки е\ равна
P (е,) = {I/O (2я)1'2} ехр [ - V2 (в7/а)2],
(10.251)
вгде а — стандартное отклонение (корень из дисперсии). Иногда для определения ft используется другой критерий —
морма Л; тогда минимизируется 2 [ е у | (27, р. 123; 28; 163).
10.8 Фильтрация 363
Этот критерий дает оценку максимального правдоподобия, «ели ошибки имеют распределение Лапласа, или одностороннее экспоненциальное распределение; тогда вероятность ошибки е\ равна
— U
U, j
где L| I — среднее значение модуля ошибки, а дисперсия равна \л2.
Фильтр, основанный на норме Л> менее чувствителен к ошиб-
кам, чем фильтр, основанный на критерии Винера, или норме/2-
Критерий, основанный на норме
когда минимизируется
£ ^ / , используется при фильтрации по методу минимальной
энтропии (§ 10.8.6д). При экономичной деконволюции [115] ми-
нимизируется
гДе P лишь очень слабо пре-
вышает q. Иногда используется минимаксная норма Чебышева,
или /оо, например при расчете групп [120].
б) Винеровская (минимально-квадратичная) Пусть входной сигнал представлен в виде
фильтрация.
g ( t ) = g s ( f ) + gn(t),
(10.253)
где индексы S H n относятся к сигналу и шуму. Если обозначить h(t) и A(t) «фактический» и «требуемый» выходные сигналы, то их разностью, или ошибкой, будет функция e(t). Тогда энергия ошибки E равна сумме квадратов значений e(t). Отсюда в случае непрерывных функций имеем
т
£ = Iirn (XjIT) ^ {h (/) — A (/)}2 dt —
о
J-т
= rlim (1,2Г) Jr ^ { [
/(т).g (t - т) d x ] - A (/)}2 dt =
=
Iim(I^r)If
T->OQ
KJ-T
ГL J
Г
-OO
f
(т)
g
(i
т) dx f (о) g(t - o)da]dt
J-OO
J
-
-2
\~Jf(T)e(t-x)dT}A(t)dt+\[T#{()dt}.
Здесь квадрат интеграла, равного h(t), записан как произведение двух интегралов, которые различаются только немыми переменными интегрирования. Меняя порядок интегрирования,
•364 10. Математический аппарат
получаем
E=
/(T)^T Г f(o)do\\\m
Г (1,2Г)
g (/ - т) g (/ - о) dt) —
J-OO
J-OO
\Т-+оо
J-T
У
- 2 Г /(т)а!т{ Iim ( 1 , 2 Г ) Г
J-OO
M' оо
J-T
* i ( t ) g ( t - x ) d t }
+
T + Iim (1,2Т) [ Я2 (t)dt =
T оо
J-T
SOO
» OO
— оfо(х) dT \ J—o}o(в)ф
(х-в) da-2
f OO
\ J—o/o(T) Ф я (T) <*т + ^ m ( O ) ,
где использованы соотношения (10.144) и (10.147). Поскольку сигналы g(t) и A(t) заданы, E зависит только
от f(t), и поэтому задача сводится к отысканию такой функции /(/), которая минимизирует величину Е. Для определения вида f(t) в общем случае требуется применение вариационного исчисления, и мы только приведем результат:
SI00 f {0) (Т ~ °)dG = *** (Т)' Т>°' 0 °'254>
Это интегральное уравнение, которое называется уравнением Винера — Хопфа, выполняется для причинно-обусловленных линейных систем, причем функция /(/), удовлетворяющая этому уравнению, есть импульсная характеристика искомого оптимального фильтра. Решение уравнения (10.254) длинное и сложное, в основном из-за условия т ^ 0. За подробностями мы отсылаем читателя к работе [8Э, с. 360—367, 389—392].
в) Фильтр ошибки предсказания. Рассмотрим фильтр ft =
= /ь /2,
fn, предназначенный для того, чтобы предсказы-
вать значение причинно-обусловленного ряда gt = go, gi, . . . , gm>
m > я, на один шаг по времени вперед на основе текущих и про-
шлых значений gt. Например, в момент t = ЗА фильтр предска-
зывает значение g4 исходя из текущего значения g3 и прошлых
значений g0y g 1, g2. В общем случае предсказанное значение gj
равно
/
п
= Z i g 7 - I + k g , - 2 + . . . + z y g o = КZ—f1kg,~k=X k —h1si-k*
J = 1. 2, . . . , ш;
(1,").255)
здесь можно считать верхний предел в сумме равным п, так как g}-k = О» когда k > /. Отметим, что в записанном выше выражении подразумевается, что предсказанное значение g0 равно
нулю. Ошибка предсказания g,- равна
108. Фильтрация 365
где
е, = kt = \fkg,-k - g , = kt=()fkg,-k>
(!0-256)
г / о = — 1. Мы называем фильтр —1, / ь /2, . . , fn фильтром ошибки предсказания длиной (п + 1) для предсказания на один интервал.
В предыдущей части интервал предсказания равнялся одному шагу дискретизации, но можно построить фильтры, имеющие интервал предсказания (период), равный р, где р — целое число [130]. Кроме того, проведенное рассмотрение касается предсказания на основе текущих и прошлых значений сигнала, т. е. это предсказание вперед. Всякий раз, когда зарегистрирован полный набор значений gt, возможно и предсказание назад, основанное на будущих значениях сигнала, как и предсказание, основанное на комбинациях указанных двух способов. Если имеются записи соседних трасс, то их можно использовать е многоканальных методах предсказания [27, р. 139].
В концепции предсказания подразумевается, что все рассматриваемые данные принадлежат одному ансамблю и, следовательно, при построении фильтра предсказания статистические свойства ансамбля являются определяющими. Очевидно, для метода предсказания существенно, является или не является ансамбль эргодическим и стационарным (§ 10.3.10), а также каков характер его распределения.
Если для определения функции фильтра ft используется критерий Винера (наименьших квадратов), то получаются следующие нормальные уравнения (см. задачу 10.42, а, ср. также с (8.58), (10.27)-(10.29)):
t
=
2,
п. (10.257)
Можно получить простое выражение для энергии ошибок Ey используя (10.256) и (10.257). Замечая, что е0 = —go, имеем
гп
m / п
\2
=IoIC?, ^'-4.
g^
где для получения квадрата первого члена суммы мы использовали различные индексы суммирования ky Л Меняя порядок
•366 10. Математический аппарат
суммирования и используя нормальные уравнения, получаем
£= Z {ZЦ Z
} - :2 Z h ( Z gfr-b) + *„ (0) =
= Z /* { Z W u (k - /) J - 2 Z f k f „ ( - k) + фее (0) =
=
Z fk*„ (*) k
2 R
Z
Wgg
(
-
k) + Фи (0).
Вспоминая, что /о = —1, имеем
E= - Z f k t u W ' fe=0
(Ю-258)
Соотношения (10.257) и (10.258) можно объединить и получить следующее матричное уравнение:
*«0>
11 h
-E
fx
0
...
Фм(1-п)
(10.259)
in
0
г) Фильтрация методом максимума энтропии. В термодинамике энтропия есть мера беспорядка (непредсказуемости) молекулярного движения. В теории информации Шеннон и Вивер [139] назвали энтропией меру непредсказуемости временного ряда. Количество информации, которую можно извлечь, увеличивается с ростом энтропии. В одном предельном случае полностью предсказуемый сигнал, такой, как синусоидальная волна, не несет никакой информации, а в другом предельном случае имеется белый шум, совершенно непредсказуемый, и, следовательно, несущий потенциально максимум информации. При фильтрации методом максимума энтропии стремятся получить отфильтрованный выходной сигнал, который настолько непредсказуем, насколько это возможно, пока у него остается та же самая функция автокорреляции, что и у исходной временной последовательности. Иными словами, из всех временных последовательностей, которые имеют заданную функцию автокорреляции, фильтрация методом максимума энтропии выделяет ту, которая максимально непредсказуема.
В качестве меры энтропии можно принять число разрядов, необходимых для кодирования информации. Например, если имеются четыре равновероятных события, их можно закодировать как 00, 01, 10, И, на что потребуются два разряда, где 2 = - I o g 2 ( 1 A ) ; Для восьми равновероятных событий нам потре-
10.8. Фильтрация 36Г
буются три разряда (3 = - I o g 2 ( V s ) ) - В общем случае для равновероятных событий энтропия определяется выражением —Iog2 ( 1 / Р ) , где P—вероятность каждого события. Когда события не равновероятны, энтропия Sn равна среднему значению:
S n = Z log (1 //>,)/( U P i ) = - Z Pi log P r
(10.260>
(Основание логарифмов может быть произвольным, кроме того*
случая, когда сравниваются энтропии с разными основаниями.)
Для сигнала бесконечной длительности определим плотность,
энтропии S как
S = Iim {SJ(n + 1)}.
(10.261)*
n-> OO
Матрица <f>gg в выражении (10.259) представляет собой м а т рицу Теплица; Смайли и др. в работе [151] получили соотношение
E00 = ((oN/я) ехр Г(1/2со„) \ N In [O00 (со)} Gfcol, (10.262).
I
J-COyv
J
где ll оо энергия ошибки предсказания при п = оо, (oN — частота Найквиста и Фоо(со) — спектральная плотность сигнала gt>. т. е.
O00 (со) =
(I)00 (z) =
k
£ —
-OO<Pe?(k)zk.
(10.263)-
Смайли и др. показали, что, когда п бесконечно велико,
S = V2 In E00 =
V2In(CD^n) +
(MOA,)
С
N coZV
In
(O)00 (со)}
do.
(10.264У
В практических ситуациях обычно имеют дело с сигналом*
конечной длины gt, который, как мы предполагаем, представ-
ляет собой реализацию одного из элементов ансамбля. Хотя-
мы имеем только конечное число значений 4>gg(j), теоретическисуществует бесконечный ряд значений <f>gg(j) вне нашего интер-
вала измерений. Обычно при обработке данных предполагается,,
что вне интервала измерений <j>gg(j) равно нулю. Однако Бург
[18, 19] указал, что более разумным является такой выбор не-
известных значений <t>gg(j), при котором не прибавляется информации, а следовательно, не увеличивается энтропия, иными
словами, величина S устойчива по отношению к значениям^
Фвё(к) при \k\> п. Таким образом, используя формулы (10.263)
и (10.264), получаем результат
- ^ Ж = °= L m
t*»
\ k \ > n . (10.265)•
•368 10. Математический аппарат
Хотя Фоо(г) представляет собой бесконечный ряд, в соотноше-
нии (10.265) подразумевается, что 1/Фоо(г) является конечным
рядом вида
п
1 /(Doe(Z)= Z crzr.
Г——П
(10.266)
Поскольку Фоо(г)—действительная функция от г, функция 1/Фоо(«г) также должна быть действительной. Следовательно, •Ck = cky и поэтому
IAD00 (г)= E CfZr = 9 (z)9
г=—п
(10.267)
где можно выбрать функцию 9(z) минимально-фазовой, а 4S ( г - 1 ) — максимально-фазовой.
Кроме того, чтобы удовлетворялось равенство (10.267),
функция Фоо(г) должна быть согласована с известными значе-
ниями функции автокорреляции ^gg(Z) при
Пусть
•фя (Z) = ^K ( - / 1 ) 2 - * + . . . + ^ ( - 1 ) 2 - ' + + <l>q(,(0) + <j>gg(l)z + ...
+$gg(n)zn,
тогда члены в разложении Фоо(г) от z~n до г" должны совпадать с соответствующими членами в разложении Ф^(г).
Уравнение (10.259) можно переписать так:
Z / А Л / - s) = - EVr / - 0 , 1,
s=0
/г, (10.268)
где б/ — символ Кронекера ( б { = 1 при / = /; 6j = 0 при i ¥ = j ) . Это соотношение можно записать с помощью свертки / * <{>gg следующим образом:
(f *
= ~ + P/' I / I <
П 0.269)
где pj равно нулю при / ^ 0 ; таким образом, свертка равна нулю при положительных значениях /, равна E при / = 0 и принимает неопределенные значения р, при отрицательных /.
Вычисляя г-преобразования, имеем
F(Z)On(Z)
= -E+P(Z)1
(10.270)
где
P(Z) = P^Z-' + . . . + р _ п г - п а
Разлагая на множители Ф*(г), получаем <РЯ (Z) = G(Z)G (Z-') = (go + glz + ... + gnz") (gnz-n + ... + go).
10.8. Фильтрация 369
Подставляя в уравнение (10.270), находим
F(z)G(z)G(z-*) = - E + P(z), или F (z) G (z) = { - E + P (z)}/G (z~{) =
= (i / « О М - я + С Р . ! * - 1 + ••• +P-f-n))
X
Поэтому (-1+/,2+
Xtt+(gilgo)Z~1+
...
+(gn/go)Z-n}~1.
. . . +fnZn)(go + glZ+ ... +gnZn) = = (— Я/go + отрицательные степени z).
Из того, что в левой части нет отрицательных степеней г, следует, что
( - 1 + / , 2 + . . . +fn2n)igo
+ g { Z + . . . +gnzn)
=-EIgv-'
или на основании равенства степеней z (включая г°)
F(z)G(z) = -E/g0 = -g!V
E = gf}.
Таким образом, G(z) = -g0/F(z)
и
1 ^ 2 ) = ^(2)0(2"1)}-1 = = F (г) F (z'l)/gl = F(Z)F (z^)/E.
(10.271) (10.272)
Считая, что величина iS равна пределу значений Gi когда я-*-оо, из сравнения выражений (10.272) и (10.267) получим, что
<$ (z) = F (z)/£i/2.
(10.273)
Отметим, что если сигнал gt минимально-запаздывающий, то функции и (z) и F(z) можно выбрать минимально-фазовыми, при этом $(z~l) и F(г-1) будут максимально-фазовыми. Наконец, из (10.267) и (10.273) имеем
Фоо (z) = {»(z) fS (г-1)}"1 = E {F (z)F(z-l)}-\
(10.274)
Таким образом, чтобы определить спектральную плотность, соответствующую максимуму энтропии, мы прежде всего находим фильтр ошибки предсказания // и связанную с ним энергию ошибки £, решая уравнение (10.259); затем из (10.274) определяем спектральную плотность, соответствующую максимальной энтропии Фоо (г). Тогда методы, описанные в § 10.6.6в, дадут нам возможность найти требуемый сигнал, имеющий максимум энтропии. Уравнение (10.259) можно решить с помощью
1Я Зак. 631
•370 10. Математический аппарат
рекурсивного метода, аналогичного алгоритму Левинсона; подробности описаны в работах [1, 130, 151].
д) Фильтрация (деконволюция) методом минимума энтропии. При фильтрации методом минимума энтропии [184, 185] стремятся найти линейный фильтр, который позволяет подчеркнуть «пики» сигнала, тем самым уменьшая степень его беспорядочности, и, следовательно, минимизируя его энтропию. Подчеркивание пиков эквивалентно определению наименьшего числа больших пиков, соответствующих наблюденному сигналу. Один из способов выделения пиков сигнала gt состоит в возведении его значений в некоторую положительную степень, например в четвертую, так как эта операция увеличивает разницу между большими и малыми значениями. Поскольку этот критерий особенно чувствителен к большим амплитудам, при его применении внимание концентрируется на самых сильных вступлениях, которые, видимо, являются отражениями, выделяющимися на фоне помех.
Пусть у нас имеется N трасс, каждая из которых относится к одному и тому же интервалу времени от t = 0 до / = пА. Обозначим gij значение амплитуды на /-трассе в момент t = = /Д. Пусть коэффициенты фильтра равны k = 1, 2, . . . , Nfi и выходной сигнал фильтра равен кц. Тогда
hi,= \ f k g 4 - k .
(10.275)
Когда число пиков в выходных сигналах Hij- уменьшается, результат становится проще. Виггинс [185] принимает в качестве
меры «простоты» записей величину Г, определенную равенством
T=Eril
гг = E/*<,./( E л?,)2,
(Ю.276)
а затем ищет максимум Г, изменяя коэффициенты фильтра />. Это приводит к Nf уравнениям, которые получаются обычным способом:
Вводя обозначение Ui = Z flU — п X (дисперсия i-ro выходного
сигнала), так как (А/Лср » 0, имеем
E ( " г 2 E а?, - UTiri E
g L ,_к=о,
k = \ , 2, . . . , N f .
Таким образом,
Z ( ^ r i Z h4gLi_k^ = Z (V2 Z
Задачи 371
используя (10.275), находим
I{«г'г, S ( I U . / - A . / - 0 } - ? («г2S л?,*,.,.,).
Изменив порядок суммирования в левой части, получаем
Z и{Z «Г'Г, (Z *<eM*,,_A)} = Z {ит2 Z h]igui_ky
k=l, 2,
Nf.
(10.277)
Сумма по / в левой части равна функции автокорреляции /-ой трассы, так что выражение в фигурных скобках представляет собой взвешенную сумму функций автокорреляции зарегистрированных сигналов. Сумма по / в правой части равенства представляет собой функцию взаимной корреляции входных и кубов выходных сигналов, при этом в результате возведения в куб придается большой вес пикообразным компонентам.
Поскольку коэффициенты фильтра используются при расчете величин Ui, Г/ и Нц, входящих в уравнения (10.277), их нельзя найти сразу. Однако можно принять некоторые начальные значения для fky использовать их, чтобы получить щ9 Г/, А//, а затем найти значения Далее эти значения можно использовать, чтобы снова определить величины Ui, Г/, Hij, и, таким образом, можно найти уточненные коэффициенты фильтра. Виггинс [185] указывает, что обычно достаточно 4—6 итераций, чтобы определить параметры фильтра с достаточной точностью.
Задачи
10.1. В механике момент JW силы F относительно точки О равен произведению модуля вектора г, идущего от О к точке, где приложена сила F, на компоненту F, перпендикулярную г. Покажите, что M = г X F.
10.2. Проверьте равенство (10.10). [Указание: запишите векторы через компоненты и воспользуйтесь соотношениями для векторных произведений единичных векторов.]
10.3. Три вектора А, В и С можно перемножить тремя способами: (А • В) С, A - ( B X C ) и A X ( B X C ) . а) Какие из этих трех произведений скаляры, а какие векторы и как направлены
13*
•372 10. Математический аппарат
эти векторы? 6) Докажите, что произведение векторов равно
ах А • (В X С) = В • (С X А) = С • (А X В) = Ьх
ау аг Ьи су cZ
Покажите, что это произведение равно объему параллелепипеда, определяемого векторами А, В и С, и что циклическое изменение порядка изменяет знак произведения:
А - (В X С) = - А • (С X В) = - В - (А X С) = - С • (В X А).
в) Покажите, что A X ( B X C ) = ( A - C ) - B - ( A - B ) - C . [Указание: воспользуйтесь выражениями (10.8) и (10.10), чтобы раскрыть обе части равенства.] г) Почему скобки необходимы в записи A X ( B X C ) , но не нужны для записи произведения А- В X С?
10.4. Покажите, что а) вектор Vip перпендикулярен линиям уровня \|) = const; б) вектор Vip расположен в направлении и равен по модулю максимальной скорости возрастания функции ф; в) скорость возрастания функции г|э в любом направлении равна проекции Vip на это направление.
10.5. Расписывая приведенные ниже выражения и пользуясь формулами (10.8), (10.10), а также определением оператора V, проверьте следующие тождества:
V X = O = V - V X А,
VX(VXA) = V(V-A)-V2A
(последнее справедливо только в прямоугольной системе координат).
10.6. Используя формулы (10.15) — (10.17), проверьте выписанные ниже выражения для V^, A-A, V2t|> а) в цилиндрических координатах и б) в сферических координатах (см. рис. 2.31). В цилиндрических координатах х = г cos 6, f/ = /* sin 6, г = г и
v ^ = "дТ i l + T ~W 12 + Ж 1*>
v л — J g_(r 4 \ \ 1 дА*
дЛ2
_2,
1 д / дф Л , 1
,
где ii, i2, h — единичные векторы, направленные в сторону роста координат г, 0, 2, a ARY Aq, A2 — компоненты вектора А в направлениях г, 0, г. В сферических координатах * = г sin 0 cos^,
у = г sin 0 sin фу z = r COS 0 и
Задачи
373
V . А - J r - I - ( г Ч ) + - п Ь - 1 - ( л Sin 9 ) + ,
O4, _
1 г
д дг
/ , ам \ дг J
. I г2 sin е
д
до
Z infl <?ф \
1
V o l l i v дд ) ^ r г2 s i n 2 8
^
дФ2 9
где ii, i2, h — единичные векторы, направленные в сторону увеличения координат ГУ 0, фу a AN Aq1 АФ — компоненты вектора А в направлениях г, 0, ф.
10.7. а) Докажите, что
12 + т2 + п2=1,
где (If т , п) — направляющие косинусы вектора. [Указание: рассмотрите вектор А, имеющий направляющие косинусы (/, га, /г), и найдите А2.] б) Нормаль, опущенная из начала координат к плоскости, имеет длину h и направляющие косинусы (/, га, /г). Покажите, что уравнение этой плоскости имеет вид
Ix + ту + nz = h.
10.8. а) Докажите следующее следствие формулы (10.2):
E j
(-^ajiMjk=
O=Z J
(-1У+hHiiMhj9
1фк.
б) Проверьте соотношение (10.20), используя (10.2) и результат п. (а).
10.9. а) Покажите, что, когда перемножается более двух матриц, порядок умножения соседних пар матриц может быть произвольным. Таким образом,
= (<А%) Ч = <А ( Ш ) .
б) Докажите,
что
T (e/tflM) =
cG &
TTT e/t ,
применяя
основное
пра-
вило умножения матриц, в) Покажите, что умножение матриц,
разбитых на подматрицы, дает тот же результат, что и пере-
множение по основному правилу умножения матриц. Задав мат-
рицы оА и Si порядка ( 3 X 4 ) и ( 4 X 5 ) , выполните умножение
матриц, не разбитых на подматрицы, и умножение матрицы
имеющей в верхнем левом углу подматрицу порядка ( 2 X 3 ) ,
и матрицы SS, имеющей в левом верхнем углу подматрицу по-
рядка ( 3 X 3 ) .
10.10. а) На основе изложенного в § 8.2.Ir покажите, что ошибку et = Sit- £t*f* можно записать в матричной форме как
S = M - - и что нормальные уравнения будут таковы:
•374 10. Математический аппарат
где матрица ^ имеет такой же вид, как <Л в формуле (10.23),
a
Ж— матрицы-столбцы порядка ( д + 1 ) Х 1 , (2/г+1)Х1
и ( 2 п + 1 ) Х 1 -соответственно, б) Покажите, что величина г; в
формуле (10.42) равна минимальному значению Е. в) Пока-
жите, что величина v* в (10.47) совпадает с v.
10.11. а) Следующие разложения в ряд можно найти в лю-
бом учебнике по анализу:
^ 1 + *+ ! + ? + -
•
Лv3
I
у5
Л
у7
Л
I
81ПХ = Х - ¥ + ¥ - ¥ + . . . ,
fiOS*=1-
у 2
v-4
у 6
2Г + 1 Г — S T + . . . .
Покажите, что cosx = -^(eix + e~I%
sin Л: = -щ- {е1х — е~1х), (формулы Эйлера)
(cos х ± j sin х) = e±ix.
(cos х± j sin x)n = e±inx = (cos nx ± j sin nx) (теорема Муавра).
б) Вычислите величины Z2y 1 / г ь z\Z2 при z\ = 2 — 3/, 22=4+9/; представьте z\ и Z2 в тригонометрической форме и повторите указанные выше вычисления, подтвердив, что результаты совпадают в обоих случаях, в) Докажите следующие формулы. [Ука зание: исходя из третьей формулы Эйлера, составьте сумму, а затем приравняйте действительную и мнимую части.]
Z cos (.V + щ ) = - ¾ ¾ - COS { * + V 2 (« - 1) Yb
Z sin (X + ry) = - ¾ ¾ - Sin {Л: + V2 (я - 1 ) y } .
10.12. а) Воспользуйтесь методом наименьших квадратов,
чтобы найти аппроксимирующую прямую V =VQ + аг по ука-
занным ниже значениям; б) аппроксимируйте те же значения кривой V =V0+ az + bz2.
2, KM V, км/с
2, KM Vy км/с
0,50 2,02 1,00 2,16 1,50 2,32
2,00 2,50 2,50 2,58 3,00 2,60
Задачи 375
10.13. Покажите, что уравнение (10.37) имеет матричное решение
где
1
1
1
.. .
1
Oo
У\
а,
У2
X1
XTI
X3
3) = 2
2
2
X3
. • • XFL 2
. • • XTI
а2
Уз
M
M
M
M
Х\
XCI
X3
• •
XN
Om
Уп
10.14. Периодическую функцию g(t) можно представить в виде конечного ряда:
п
gt » Sn (t) = V2P0 + ГZ—(1Prcos r ^ i + Qr sin rco0/).
а) Покажите, что если Sn(t) наилучшим образом в среднеквадратичном смысле аппроксимирует функцию g(t), то рг и qt должны равняться аг и Ъг, полученным по формулам (10.77) и (10.78). б) Если мы вычислим аг, Ьт до г = 5, а затем решим, что необходимо улучшить аппроксимацию, продлив ряд до г = 8, придется ли нам пересчитывать значения ar, Ьг при г = = 1, . . . , 5?
10.15. Докажите формулу (10.82). 10.16. а) Считая, что g(t) = r(t) +]x(t), G(co) = fl(co) + + jX{со), где g(t)*-*G(c0), a r(t), x(t), (со) и X (со) действительны, получите следующие соотношения:
# (0) = J0000 {г (0 cos ¢01 + х (() sin ¢0/} dt\
X (со) = ^
{г (t) sin со/ — л: (0 cos соt} dt\
Soo
_oo {R (со) cos со/ — X (со) sin со/} dco;
x(t) = (l/2n) ^ {R (to) sin со/ + X (to) cos со/} da. б) Когда g(t) — действительная функция, G (—со) = G (со); Я (/)R=(&()1=/2яR) (R-(eo){, ^ 0 0 G (оXо)(еюх)р=(/и-X/) dc(o-c}o)=,
= (1/я) {R (со) cos со/ — X (a) sin со/} da.
•376 10. Математический аппарат
в) Если функция g(t) действительная и четная, то и функция G (со) действительная и четная, г) Если функция g(t) действи тельная и нечетная, то функция G (со) мнимая и нечетная д) Если g(t) — действительная и причинно-обусловленная-функция, то
/?(*>)= ^ g (t) COS со/ dt,
Х(о))==— J J g ( Z ) sin со/ dt.
10.17. а) Проверьте формулу (10.101), вычитая преобразования Фурье от двух функций единичного скачка, б) Покажите,
""gjWL
-W0
0
CO0
COu
Рис. 10.14. Фильтр с прямоугольной весовой функцией.
что импульс во временной области, отвечающий фильтру с пря моугольной весовой функцией (рис. 10.14), представляет собой: 1) модулированную синусоиду
f (0 = (2/я/) Sin (V2 К - CO0) t) cos (V2 (COU + CO0) t}\
2) разность двух функций sine. 10.18. Докажите соотношение (10 124), вычисляя обратное
преобразование от Gi (со) (со). 10.19. а) Проверьте четыре соотношения (10.136), представ-
ляя графически gi(f) и #г(0> выполняя требуемые отображения и переносы и сравнивая результаты, б) Проверьте три последних соотношения в (10.136) подстановкой в интегральные выражения.
10.20. Докажите второе соотношение в (10.137). 10.21. а) Покажите, что функция автокорреляции апериодической функции принимает свое максимальное значение при нулевом сдвиге. [Указание: начните с рассмотрения неравенства
По» tow-* е + * ) } 2 л > о ,
затем раскройте скобки и отождествите различные интегралы с фп(0) и ^ n ( / ) . ] б) Докажите то же, что указано в п. (а), для случайной функции.
10.22. Две функции X(со) и R(со), связанные соотношениями (10.151) и (10.152), называются парой преобразований Гиль-
Задачи 377
берта. а) Покажите, что следующие пары функций образуют пары преобразований Гильберта:
б (со) cos со sin со sine со
— 1/ясо, — sin СО, cos CD, (cos со — 1 )/co.
б) При обсуждении квадратурных фильтров в § 10.3.11 рассматривались непрерывные функции; проведите анализ в случае дискретных функций, а) Покажите, что (10.154) для дискретных функций переходит в формулу
+ OO yt = ( 1/я) Yj xt~n [ехр(/mi) — l]/rt.
я = —оо
10.23. а) Покажите, что следующие пары функций являются парами преобразований Лапласа:
t" •«-»• n\/sn+l, п — положительное целое число;
COS2 ш ^ 4 -
+ s» +
toO;
(/ - 2)5 step (/ - 2) ¢-¾ (51 S6); (/ - 2)2 step (/ - 3) — в ( s 2 + 2s + 2)/S3.
б) Найдите обратные преобразования от выражений:
l/(s2 + 9),
в " * + 9), ^ d s K s 2 + 9),
l/s(s2 + 9).
10.24. Решите следующие дифференциальные уравнения, используя преобразования Лапласа (при решении уравнения (б) см. § 10.1.7):
а) "57"+ Зу = 5е~2Х, у = 4 при * = 0;
б)
+
+ = sh2/,
4 г = ° и ^ 1 J f при / = 0.
10.25. Покажите, что
sh kt ^ (z sh kA)/(z2 — 2z ch йД + 1),
ch kt
(1 — zchkA)/(z2 — 2zchkS + 1).
10.26. Получите эквиваленты соотношений (10.114) и (10.115) для ^-преобразований; то же самое для (10.166) и (10.167).
10.27. а) Покажите, что импульс z(2 — z) не является минимально-фазовым, рассматривая изменение фазы у, как в § 10.6.6а. б) Обобщите этот результат на импульс Zn(C-Z)i а
•378 10. Математический аппарат
затем на ZnW(г), где п равно целому числу, a W(z) представ-
ляет собой спектр минимально-фазового импульса.
10.28. Используя дискретные функции at = [a0, а\, ^2, аЪу а4]
и =
6i, 62] > получите эквиваленты соотношений (10.123)
и (10.125) для г-преобразований.
10.29. г-преобразование импульса равно
[{1 + ( 0 , 5 + 0,5/)2} {1 + ( 0 , 5 - 0 , 5 / ) 2 ) ( 1 - 0 , 5 z ) ] 2 .
а) Нарисуйте форму импульса, б) Изобразите положение кор-
ней по отношению к единичной окружности; что можно сказать
о фазе импульса? в) Каков нуль-фазовый импульс с таким же
спектром (см. § Ю.б.бг)? Нарисуйте его. г) Изобразите положе-
ние корней для нуль-фазового импульса.
10.30. Покажите, что нуль-фазовый импульс имеет макси-
мальную амплитуду в начале координат. [Указание: рассмот-
рите энергетический спектр.]
10.31. а) Покажите, что если импульс (а + bz) минимально-
фазовый, то импульс \/(a-\-bz) также минимально-фазовый.
б) Покажите, что свертка двух минимально-запаздывающих им-
пульсов представляет собой также минимально-запаздывающий
импульс, в) Если дано, что A(z) — минимально-фазовый им-
пульс, а В (z) — причинно-обусловленный, но не минимально-фа-
зовый импульс, то при каких условиях суммарный импульс
A(z)+B(z)
будет минимально-фазовым? г) Обозначая Ж,
M+ и M** матрицы-столбцы в левых частях (10.210) и (10.211),
имеем
М* — CkM+ = M**.
Покажите, что M** — минимально-фазовый импульс, если таков импульс М*. [Указание: заметим, что M+ = ZkM*].
10.32. Покажите, что у минимально-фазового импульса вида m
П <«< - 2)
W(Z) = ^
,
QI^O9
ЪКФ 0
f[(bk-z)
а) начальная амгглитуда не может равняться нулю; б) максимальная амплитуда не обязательно отвечает первому элементу.
10.33. Покажите, что, когда используется определение г =
= е х р ( + /соА), формула (10.212) переходит в следующую:
£л = (1/2я/А)§ G ( Z ) 2 ^ d Z ,
где интегрирование производится по единичной окружности против часовой стрелки.
10.34. Покажите, что если спектр /?(г) не имеет корней г = 0, zh 1, то существует один и только один минимально-фа-
Задачи 379
зовый импульс, отвечающий R(z) (множителем с можно прене-
бречь, когда I с I = 1).
10.35. а) Пусть задан спектр импульса (который считается минимально-фазовым) —6z - 2 — 5Z-1 + 38 — 5z — 6z2; воспользуйтесь формулой (10.206), чтобы восстановить импульс; б) най-
дите данный импульс, используя алгоритм Левинсона (см. фор-
мулы (10.207)-(10.211)).
*
10.36. Если задан импульс Wt = I 144, —96, —56, 48, 1, —6, 1,0], покажите, что а) z-преобразование функции автокорреляции (спектр) равно
R (z) = 144z ~6 — 960z"5 + 664z~4 + 7200z~3 — 13015z~2 —
- 111OOz-1 + 35430 - 11 IOOz - 13015z2 + 7200z3 + 664z4 -
— 9 6 0 z 5 + 144z6;
6) Wt представляет собой минимально-запаздывающий импульс (найдите разложение на множители W(z)); в) соответствующий
*
нуль-фазовый импульс равен [12; —40; —39; 170;—39;—40; 12];
г) каков самый ранний причинно-обусловленный линейно-фазовый импульс, соответствующий импульсу п. (в)?
10.37. Покажите, что правое выражение в формуле (10.223) соответствует сигналу gt, задержанному на один интервал вре-
мени, и получите отсюда (10.224). [Указание: исследуйте правый член в (10.223) графически, затем проанализируйте сумми-
рование на основании графика.] 10.38. а) Проверьте соотношение Ih(t)=—М0>
t=£0, когда
оба фильтра имеют одинаковую частоту среза, исходя из соот-
ношения М О + М О
^7L(ю)+^tf («О- б) Сравните значения
ш , ыо. f i , ft-
10.39. Покажите, что фильтр
F (со) = ехр (—/feco), = 0,
I со К со0, I со I > со0,
идентичен фильтру, определенному в (10.232), за исключением
того, что М О смещено на k единиц по времени.
10.40. Получите цифровой фильтр, отвечающий фильтру Бат-
теруорта при п = 3. 10.41. Проверьте преобразования Фурье, приведенные в фор-
мулах ( 1 0 . 2 4 3 ) - ( 1 0 . 2 5 0 ) . [Указание: в случае (10.244) умножьте sine (nt/Т) на Ьох2г(0 и воспользуйтесь (10.124); для доказательства (10.245) обратите внимание на результат (10.249); в случае (10.250) используйте задачу 4.11, а.]
10.42. а) Проверьте соотношение (10.257). [Указание: воспользуйтесь той же процедурой, что и при выводе формулы (8.58), учитывая, что нет уравнения, отвечающего значению /о,
так как оно равно константе.] б) Докажите равенство (10.259).
Приложения
A. Список использованных сокращений
AAPG AGIP GCG GSI GTS OTC SEG
American Association of Petroleum Geologists AGIP Petroleum Company Compagnie Generale de Geophysique Geophysical Service Inc. Geoscience Technology Services Corp. Offshore Technology Conference Society of Exploration Geophysicists
Б. Торговые марки и собственные названия фирм
Название метода
Сейскроп Соси Вибросейс
Название фирмы-в лад ельца
Geophysical Service Inc. Societe Nationale Elf-Aquitaine Conoco Inc.
B. Отчет о сейсмических работах
а) Титульный лист
Перечень: для кого выполнена работа, название проекта или области, сроки выполнения проекта, фамилия подрядчика, составившего отчет, исполнители, ответственные за написание отчета.
б) Приложения
Перечень: сведения о привязке данных, документы, относящиеся к отчету. Следует приложить рисунки, карты и разрезы, если с их помощью можно изобразить данные в более наглядном виде, чем путем текстового описания. Приводить следует только относящиеся к делу данные. Размеры карт и разрезов можно уменьшить путем фотографирования. Помечайте приложения так, чтобы легко можно было определить, из какого отчета они взяты.
в) Резюме
Кратко укажите, с какой целью были выполнены работы, что именно было сделано и как должны использоваться результаты. Не более чем на полстраницы.
г) Введение
1) К р а т к о у к а ж и т е цели работы. Если отчет относится только к обр а б о т к е данных, приведите н е о б х о д и м у ю и н ф о р м а ц и ю о методике полевых работ и предварительной обработке.
Приложения 381
2) Опишите место проведения работ, обычно это делается с помощью карты. Выделите рассматриваемые данные на фоне других, приведенных на карте.
3) Опишите в общих чертах качество данных и природу трудностей, с которыми вы сталкивались при выполнении работы (многократные отражения, проблемы ввода статических поправок, прокладка профилей, структурные задачи и т. п.).
д) Процедуры обработки и анализ данных
1) Использованная последовательность стандартных процедур обработки (обычно представленная в виде графа обработки). Значения параметров, метод приведения данных к одному уровню. Охарактеризуйте обработку с помошью различных пакетов программ и опишите цель и методы, в которых применяются нестандаотные программы.
2) Опишите проведенное опробование для выбора последовательности процедур и параметров обработки. Приведите местоположение контрольных точек. Опишите (обычно с примерами) способы вывода данных, использованные для определения параметров мьютинга, фильтрации, выбора характеристики суммирования, скорости, статических поправок, их коррекции и т. д.
3) Проведенные эксперименты, где они проведены и выводы. 4) Обсудите вопрос о скоростях; данные предшествующих исследований, определений по скважинным наблюдениям, полученные из других источников. С каким шагом проведен анализ скоростей, использованный уровень приведения. Каковы изменения скорости?
е) Результаты
1) Включите полученные разрезы и список обработанных данных. 2) Перечислите встреченные трудности, включая указания, когда не было возможности считывать запись с лент, случаи плохой документации, неудачного проведения полевых работ, определения превышений, скважчнные исследования и т. п. 3) Специальные проблемы
ж) Выводы
Достигла ли обработка своих целей? Можно ли было достичь этих целей лучшим способом?
з) Рекомендации
Дополнительная обработка, дальнейшее опробование для последующих работ в этой области.
и) Дополнения
1) Схема расположения обработанных профилей. 2) Статистические сведения. 3) Специальные исследования, не относящиеся к основным задачам ра-
бот. 4) Список участников работ. 5) Ссылки.
382 Приложения
Г. Условные обозначения на картах а) Условные обозначения для элементов структур
7
8
/ — кажущееся падение; 2 — ось антиклинали, перпендикулярная к на правлению падения; 3 — антиклиналь, ось которой погружается влево, 4 — синклиналь, ось которой погружается влево; 5 — нормальный сброс с приподнятым северным крылом или оперяющими разломами на опущенной стороне; 6 — надвиг или взброс; осложнения на стороне приподнятого блока (на нижнем блоке они могут быть нанесены пунктиром); 7 — сдвиг с указанием направления смещения; 8 — штриховые или пунктирные линии указывают на предполагаемые или сомнительные структуры, иногда альтернативную интерпретацию или другой вид данных (возможно, контуры гравитационной аномалии, предполагаемые выходы пород и т. д.); 9 — простирание и падение пластов, цифра указывает величину угла падения (обычно в градусах).
б) Условные обозначения скважин
Местоположение Нефтяная Газонефтяная
Ъ
Газовая
А
Сухая
ЗакрРытая
0
Заброшенная нефтяная
Заброшенная Сихая с признаками Сухая с признаками
газовая
нефти
в) Условные обозначения горных пород
• • • 0* т О,.О,. .О-.» • ...-0-.,0
Конгломерат
шш—
Песчаник
\
Песчанистая глина
Глина j
Алевролит
7l J1LГ-ГZ7l
Аргиллит
Известковый известковал
песчаник
глина
\ /
XXXXX XXXXXXXXXX Изверженные или метамор-
фические породы
Известняк
Доломитизиро- Доломит ванный известняк
Ангидрит
Примечание; породы промежуточного состава обозначаются комбинацией символов.
Литература
1. Andersen N. О. On the calculation of filter coefficients for maximum entropy spectral analysis. Geophysics, 39, 69—72, 1974. [10.8.6d]
2. Anstey N. A. Correlation techniques — a review. Geophysical Prospecting, 12, 355—82, 1964. [8.1.3a]
3. Anstey N. A. S i g n a l characteristics and instrument specifications. Vol. 1 of Seismic Prospecting Instruments. Berlin, Gebriider Borntraeger, 1970. [8.0]
4. Anstey N. A. H o w do w e know w e are right? Geophysical Prospecting, 21, 407—11, 1973. [9.0]
5. Anstey N. A. Seismic Interpretation — the Physical Aspects. Boston, International Human Resources Development Corp., 1977. [9.0]
6. Aud B. W. History of abnormal pressure determinations from seismic data. Offshore Technology Conference Preprints, paper 2611, Dallas, OTC, 1976. [7.2.4]
7. Backus M. M. Water reverberations — their nature and elimination. Geophysics, 24, 233—61, 1959. [8.1.2d]
8. Batch A. H. Color s o n a g r a m s : A new dimension in seismic data interpretation. Geophysics, 36, 1074—98, 1971. [9.2.7]
9. Bates R. Lt Jackson J. A. Glossary of Geology, 2nd ed. Falls Church, Va., AGI, 1980. [9.0]
10. Bath M. Spectral analysis in geophysics. Amsterdam, Elsevier. 1974 Ll0.0, 10.7, 10.8.1, 10.8.5]
11 Bendat J. S.y Piersol A. G. Measurement and a n a l y s i s of random data. ' New York, Wiley, 1966. [10.3.10]
12 Blackman R. B.y Tukey J. W. The M e a s u r e m e n t s of Power Spectra. New ' York, Dover, 1958. [10.8.1, 10.8.5]
13 Bois P., Ia Porte M. Pointe automatique. Geophysical Prospecting, 18, 489—504, 1970. [8.4.1]
14 Bracewell R. The Fourier Transform and its Applications. N e w York, McGraw-Hill, 1965. [8.4.21
15. Brown L. F., Fisher W. L. Seismic Stratigraphic Interpretation and Petroleum Exploration. Tulsa, AAPG Continuing Education Course Note Series 16, 1980. [9.3.5, 9.7.1]
16. Brown A. R.y Dahm C. G., Graebner R. J. Stratigraphic case history u s i n g three-dimensional seismic data in the Gulf of Thailand. Geophysical Prospecting, 29, 327—49, 1981. [9.3.5]
17. Bubb J. N.} Hatlelid W. G. Seismic r e c o g n i t i o n o f carbonate buildups. In Seismic Stratigraphy — Applications to Hydrocarbon Exploration, p.p. 185— 204 (ed C. E. P a y t o n ) , Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [9.3.4] (см. [110])
18. Burg J. P. The relationship between maximum entropy spectra and maximum likelihood spectra. Geophysics, 37, 3 7 5 - 7 6 , 1972. [10.8.6d]
19. Burg J. P. Maximum entropy spectral analysis. Ph. D. thesis, Dept. of Geophysics, Stanford University, Palo Alto, Calif, 1975. [10.8.6d]
384 Литература
20. Buxtorj A. P r o g n o s e n und Befunden beim H a u e n s t e i n b a s i s und Grenchen-
berg Tunnel und die Bedeutung der letzern Iur die G e o l o g i e des Juragebir-
ges. Verh. Naturf GeselL Basel, 27, 1 8 5 - 2 5 4 , [9.3.1b]
21. Campbell F. F. Fault criteria. Geophysics, 30, 976—97, 1965 [9.3.2al
22 Cassand /., Damotie B., Fontanel A.. Grau G., Hemon C., Lavergne M.
Seismic filtering. Tulsa, SEG. (Translated by N. Rothenburg from Le Filt-
rage en Sismique. Paris, Editions Technip, 1966), 1971. [10.0]
23. Cheng D. K. Analysis of Linear Systems. Reading, Mass., A d d i s o n - W e s l e v ,
1959. [10.5.11
J
24. Chun / . / / . , Jacewitz C. A. F u n d a m e n t a l s of frequency-domain migration. Geophysics, 46, 7 1 7 - 3 3 , 1981. [8.3.3]
25. Churchill R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems, 2nd. ed. N e w York, McGraw-Hill, 1963. [10 2 21
26. Claerbout J. F. Digital Filtering and Applications to Seismic Detection and Discrimination. Cambridge, Mass., M. L T. M. Sc. thesis 1963. [10.6.6b]
27. Claerbout J. F. F u n d a m e n t a l s of Geophysical Data P r o c e s s i n g . N e w York, McGraw-Hill, 1976. [8.0, 8.2 2b, 8.3.4, 10.0, 10.1.5, 10.6 6c, 10.8a,cl [Русский перевод: Клаербоут Дж Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации—M.: Недра, 1981.]
28. Claerbout / . F., Muir F. Robust m o d e l i n g with erratic data. Geophysics, 38, 826—44, 1973. [10.8.6a]
29. Clarke G. К. C. Time-varying deconvolution filters. Geophysics, 33, 936— 44, 1968. [8.2.1]
30. Clement W. A. Case history of g e o s e i s m i c m o d e l i n g of basal MorrowSpringer s a n d s t o n e s , W a t o n g a - C h i c k a s h a trend, Geary, Oklahoma. In Seismic Stratigraphy — Applications to Hydrocarben Exploration, 451—76 (ed. C. E. P a y t o n ) . Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [9.7.4] (см. [110])
31. Cook E. £., Taner M. T. Velocity spectra and their use in stratigraphic and lithologic differentiation. Geophysical Prospecting 17, 433—48, 1969. [8.2.3a]
32. Cook F. A., Albaugh D. S., Brown L. D., Kaufman S., Oliver J. £., Hatcher R. D. Thin-skinned tectonics in crystalline Southern Appalachians. Geology, 7, 563—7, 1979. [9.9]
33. Cook F. Л., Brown L. D., Oliver J. E. The Southern Appalachians and the growth of continents. Scientific American, 243, No. 4, 156—68, 1980. [9.9]
34. Cooley J. W.t Tukey I. W. Algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. Computation, 19, 297—301, 1965. [10.6.4]
35. Crump M. D. A Kalman filter approach to the deconvolution of seismic signals. Geophysics, 39, 1 — 13, 1974. [8.2.H]
36. Dahlstrom C. D. A. Structural g e o l o g y in the eastern m a r g i n of the Canadian Rocky Mountains. Canadian Petrol. GeoL Bull., 18, 332—406, 1970. [9.3.1b]
37. Dahm C. G., Graebner R. I. Field development with three-dimensional seismic methods in the Gulf of Thailand — a case history. Geophysics, 47, 149—176, 1982. [9.61
38. Daly R. A., Manger G. E1 Clark S. P. D e n s i t y of rocks. In Handbook of Physical Constants, 19—26 (ed. S.P. Clark). Geological Society of America Memoir 97, New York, 1966. [7.1 3] (см. [116])
39. Davis T. L. Velocity variations around Leduc reefs, Alberta. Geophysics, 37, 584—604, 1972.. [9.3.41
40. Dix С. H. Seismic velocities from surface measurements. Geophysics, 20, 68—86, 1955. [7.3.3a]
41. Dobrin M. B. Seismic exploration for stratigraphic traps; In Seismic stratigraphy — Applications to Hydrocarbon Exploration, pp. 329—52 (ed. C. E. P a y t o n ) . Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [9.3.6] (см. [110])
42. Domenico S N. E f f e c t of water saturation on seismic reflectivity of sand reservoirs encased in shale. Geophysics, 39, 759—69, 1974. [7.1.7]
Литература 385
43. Domenico S. N. E f f e c t of b r i n e - g a s m i x t u r e on v e l o c i t y in an u n c o n s o l i dated sand reservoir. Geophysics, 41, 882—94, 1976. [7.1.7]
44. Domenico S. N. Elastic properties of unconsolidated porous sand reservoirs. Geophysics, 42, 1339—68, 1977 [7.1.7]
45. Duska L. A rapid curved-path method for w e a t h e r i n g and drift corrections. Geophysics, 28, 925—47, 1963. [7 2.2]
46. Fail J. P., Grau G. Les filtres en eventail. G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g , 11, 1 3 1 - 6 3 , 1963. [8.2.7, 10.3.21
47. Faust L. У. Seismic velociiv a s a function of depth and g e o l o g i c time. Geophysics, 16, 192—206, 1951. [7.1.61
48. Faust L. Y. A v e l o c i t y function i n c l u d i n g l i t h o l o g i c variation. G e o p h y s i c s , 18, 271—88, 1953. [7.1.5]
49. Feagin F. J. S e i s m i c data display and r e f l e c t i o n perceptability. G e o p h y s i c s , 46, 106—20, 1981 [9.2.7]
50. Finetti /., Nicolich R., Sancin S. R e v i e w o n the basic theoretical a s s u m p tions in seismic digital filtering. Geophysical Prospecting, 19, 292—320, 1971. [8.0. 10.8.11
51. Flinn E. A., ed., Robinson E. A., Treitel S. Special issue on the M l T Geophysical Analysis Group reports. Geophysics, 32, 411—525, 1967. [8.0]
52. Fitch A. A S e i s m i c Reflection Interpretation. Berlin, Gebruder B o r n t r a e g e r , 1976. [9.0]
53. Galbraith R. Al., Brown A. R. Field appraisal with three-dimensional seismic surveys offshore Trinidad. Geophysics, 47, 177—95, 1982. [9.6]
54. Gallup W. B. G e o l o g y of Turner V a l l e y oil and g a s field Alberta. A A P G Bull., 35, 797—821, 1951. [9.3 lb]
55. Gardner G. H. F., Gardner L. W., Gregory A. R. Formation velocity and density - the diagnostic basics for stratigraphic traps. Geophysics, 39, 770—80, 1974. [7.1.2, 7.1.3, 7.1.5]
56. Garotta R. S e l e c t i o n of s e i s m i c p i c k i n g based upon the dip, m o v e o u t and amplitude of each event Geophysical Prospecting, 19, 357—70, 1971. [8.4.1]
57. Garotta R., Miehon D. C o n t i n u o u s a n a l y s i s of the v e l o c i t y f u n c t i o n and of the moveout corrections. Geophysical Prospecting, 15, 584—97, 1967. [8.2.3a]
58. Gassmann F. Elastic w a v e s through a p i c k i n g of spheres. G e o p h y s i c s , 16, 673—85, 1951. [7.1.51
59. Gazdag J. M o d e l i n g of the acoustic w a v e equation with t r a n s f o r m m e t h o d s . Geophysics, 46, 854—9, 1981. [9.4.3]
6 0 Geertsma J. V e l o c i t y l o g interpretation: the e f f e c t of rock bulk compressibility. Soc. Petroleum Engineers AlMME Trans. 222, 235—53, 1961. [7.1.7]
61. Goguel J. Tectonics. S a n F r a n c i s c o , W. H. F r e e m a n , 1962. [9.3.1b] 62 Gregory A. R. Fluid s a t u r a t i o n e f f e c t s of d y n a m i c e l a s t i c properties of se-
dimentary rocks. Geophysics, 41, 895—921, 1976. [7.1.7.]
63. Gregory A. R. A s p e c t s of rock p h y s i c s from laboratory and l o g d a t a that are important to s e i s m i c interpretation. In S e i s m i c S t r a t i g r a p h y — Applications to Hydrocarbon Exploration, pp. 15—46 (ed. C. E. P a y t o n ) . Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [7.1.1, 7.1.5] (см. [110])
64. Gretener P. E. P o r e Pressure: f u n d a m e n t a l s , g e n e r a l r a m i f i c a t i o n s and implications for structural geology. Education course note series # 4, Tulsa, AAPG. (Revised), 1979. [7.2.4, 9.3.1b]
6 5 Hagedoorn J. G. A p r o c e s s of s e i s m i c reflection interpretation. G e o p h y s i c a l Prospecting, 2, 85—127, 1954. [8.3.21
66. Handbook of Chemistry and Physics. Cleveland, CRC Press, 1975. [10.3.3] 67. Harding T. P., Lowell J. D. Structural s t y l e s , their p l a t e - t e c t o n i c habitats,
and hydrocarbon traps in petroleum provinces. AAPG Bull., 63, 1016—58, 1979. [9.3.1b] 68. Harms J. C., Taekenberg P. S e i s m i c s i g n a t u r e s of s e d i m e n t a t i o n m o d e l s . Geophysics, 37, 45—58, 1972. [9.7.4]
386 Литература
69. Harris L. D., Milici R. С. Characteristics of thin-skinned s t y l e s of d e f o r m a tion in the Southern Appalachians and potential hydrocarbon traps. U S Geological Survey Prof. Paper 1018, 1977. [9.3.1b]
70. Hatton L., Lamer K., Gibson B. 5. M i g r a t i o n of s e i s m i c d a t a from inhomogeneous media. Geophysics, 46, 751—67, 1981. [8.3.5c]
71. Hilterman F. J. T h r e e - d i m e n s i o n a l s e i s m i c m o d e l i n g . G e o p h y s i c s , 35, 1020—37, 1970. [9.4.31
72. Hobbs B. E., Weams W. D., Williams P. F. O u t l i n e of Structural G e o l o g y . New York, Wiley, 1976. [9.3.lb]
73. Hofer H., Varga W. S e i s m o g e o l o g i c experience in the Beaufort Sea. Geophysics, 37, 605—19, 1972. [7.4]
74. Hubbert M. K. S c a l e m o d e l s and g e o l o g i c structures. Geol. Soc. Am. Bull., 48, 1 4 5 9 - 1 5 2 0 , 1937. [9.4 2]
75. Hun F. Correlation b e t w e e n seismic reflection amplitude and well productiv i t y — a case study Geophysical Prospecting, 26, 157—62, 1978. [9.7.4]
76. Isaacs B., Oliver /., Sykes L. R. S e i s m o l o g y and the new g l o b a l tectonics. J. Geophysical Research, 73, 5855—99, 1968. [9.3.1a]
77. Jains 5 . , Wren A. E., M i g r a t i o n before stack: procedure and s i g n i f i c a n c e . Geophysics, 45, 204—12, 1980. [8.3.5d]
78. Jankowsky W. Empirical i n v e s t i g a t i o n of s o m e factors a f f e c t i n g elastic w a v e vebocities in carbonate rocks. Geophysical Prospecting, 18, 103—18, 190. [7.2.1]
79. Judson D. R.y Lin /., Schultz P. 5 . , Sherwood J. W. C. Depth m i g r a t i o n after stack. Geophysics, 45, 361—75, 1080. [8.3.5c]
80. Kanasewich E. R. Time S e q u e n c e A n a l y s i s in Geophysics. Edmonton, U n i v . of Alberta Press., 1973. [8.0, 10.0] [Русский перевод: Канасевич Э. P. Анализ временных последовательностей в геофизике. — M.: Недра, 1985.]
81. Kaplan W. A d v a n c e d calculus. R e a d i n g , Mass., A d d i s o n - W e s l e y , 1952. [10.3.4]
82. Kleyn A. H. O n the m i g r a t i o n of r e f l e c t i o n - t i m e contour maps. G e o p h y s i c a l Prospecting, 25, 125—40, 1977. [8.3.6]
83. Kokesh F. P., Blizard R B. Geometrical f a c t o r s in s o n i c l o g g i n g . G e o p h y sics, 24, 64—76, 1959. [7.3.2]
84. Kulhanek O. Introduction to D i g i t a l F i l t e r i n g in G e o p h y s i c s , A m s t e r d a m , Elsevier, 1976. [10 0, 10.8.1, 10.8.3]
85. Kunetz G., Fourmann / . M. E f f i c i e n t d e c o n v o l u t i o n of m a r i n e s e i s m i c records. Geophysics, 33, 412—23, 1968. [8.2.le]
86. Kuo S. 5 . N u m e r i c a l M e t h o d s and Computers. R e a d i n g , M a s s . , A d d i s o n Wesley, 1965. [10.1.6]
87. Kurita T. Spectral a n a l y s i s of s e i s m i c w a v e s , Part 1. D a t a w i n d o w s for the analysis of transient waves. Spec. Contrib. Geophys. Inst., Kyoto Univ., 9, 97—122, 1939. [10.8.5]
88. Lamer K. L., Hatton L., Gibson B. 5 . , Hsu /. C. Depth m i g r a t i o n of imaged time sections. Geophysics, 46, 734—50, 1981. [8.3.5c, 9.5.1]
89. Lee Y. W. Statistical Theory of C o m m u n i c a t i o n . N e w York, W i l e y 1960 [8.0, 10.3.10, 10.8.1, 10.8.6b]
9 0 Levin F. K., Shah P. M P e g - l e g m u l t i p l e s and d i p p i n g reflectors. G e o p h v ' sics, 42, 9 5 7 - 8 1 , 1977. [8.2.5a]
91. Lindseth R. 0. Synthetic sonic l o g s — a p r o c e s s for s t r a t i g r a p h i c interpretation. Geophysics, 44, 3 - 2 6 , 1979. [7.1.2, 9.4.5, 9.7]
92. Lowell / . D. S p i t z b e r g e n Tertiary o r o g e n i c belt and the S p i t z b e r g e n fracture zone. Geol. Soc. Am. Bull, 83, 3091—102, 1972. [9.3.1b]
93. Lyons P. L., Dobrin M. B. S e i s m i c exploration for stratigraphic traps; in Stratigraphic Oil and Gas Fields — Classification, Exploration Methods and Case Histories, pp. 2 2 5 — 4 3 (ed. R. E. K i n g ) . Tulsa, A A P G Memoir 16,
1972. [9.3.6]
Литература 387
94 Marr J. D Seismic stratigraphic exploration — part 1: Geophysics, 36, 311—29; part 11: Geophysics, 36, 533—53; part 111: Geophysics, 36, 676— 89, 1971. [9.3.61
95. Matsuzawa A., Tawano 7\, Aoki У., Ikawa Г. Structure of the Japan Trench subduction zone from multi-channel seismic reflection records: pp. 171—82 in Marine Geology. Amsterdam, Elsevier, 1979. [9.91
96. Maureau G. 7., van Wijhe D. H. Prediction of porosity in the Permian carbonate of eastern Netherlands using seismic data. Geophysics, 44, 1 5 0 2 - 1 7 , 1979. [9.7.4]
97. May В. 7\, Covey J. D. An inverse ray method for c o m p u t i n g g e o l o g i c structures from seismic reflections: zero-offset case. Geophysics, 46, 268— 87, 1981. [9.4.6]
98. McQuillin R., Bacon M., Barclay W. An Introduction to S e i s m i c Interpretation. H o u s t o n , Gulf P u b l i s h i n g Co, 1979. [9.0] [Русский перевод: МакКуиллин Р., Бекон M., Барклай У. Введение в сейсмическую интерпретацию.—M.: Недра, 1985.]
99. Meckel L D. Jr., Nath А. К. G e o l o g i c c o n s i d e r a t i o n s for stratigraphic modeling and interpretation. In Seismic Stratigraphy — Applications to Hydrocarbon Exploration, pp. 4 1 7 — 3 8 (ed. C. E. P a y t o n ) . Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [7.1.3] (см. [110])
100. Middleion D., Wittlesey J. R. B. Seismic m o d e l s and deterministic operators for marine reverberation. Geophysics, 33, 557—83, 1968. [8.1.2d]
101. Millahn К. O. I n - s e a m seismics: position and development. P r a k l a - S e i s m o s Report, 80, No. 2 + 3, 19—30, 1980. [8.2.81
102. Mitchum R. M., Vail P. R.y Thompson S. The depositional sequence as a basic unit for stratigraphic analysis. In Seismic Stratigraphy — Applications to Hydrocarbon Analysis, pp. 53—62 (ed. C. E P a y t o n ) . Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977 [9.7.2, 9.7.3] (см. [110])
103. Musgrave A. W , Bratton R H. Practical application of B l o n d e a u weathering solution. In Seismic Refraction Prospecting, pp. 2 3 1 — 4 6 (ed A. W. Musgrave). Tulsa, SEG, 1967. [7 2.2]
104. Neidell N. S., Poggiagliolmi E. Stratigraphic m o d e l i n g and interpretation; in Seismic Stratigraphv — Applications to Hydrocarbon Exploration, pp. 389—416, (ed. C. E. P a y t o n ) , Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [9.7.4] (см.
[110])
105 Neidell N. S., Taner M. 7. S e m b l a n c e and other coherency m e a s u r e s for multichannel data. Geophysics, 36, 482—97, 1971. [8.1.3f]
106 Otis R. M.t Smith R. B. Homomorphic deconvolution by l o g spectral averaging. Geophysics, 42, 1146—57, 1977. [8.2. If]
107 Papoulis A. The F o u n e r Integral and its Applications. N e w York, McGrawHill, 1962. [10.3.1, 10.3.3, 10.3.6, 10.3.11, 10.8.3]
108. Paturet D. D i f f e r e n t m e t h o d s of time-depth conversion with and without migration. Geophysical Prospecting, 19, 27—41, 1977. [8.4.1]
109. Paulson К. V., Merdler S. C. Automatic seismic reflection picking. Geophysics, 33, 431—40, 1968. [8.4.1]
110. Payton C. E.y ed. Seismic Stratigraphy — Applications to Hydrocarbon Exploration. Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [9.7 1] [Русский перевод: Сейсмическая стратиграфия/Под ред. Ч. Пейтона. — M.: Мир, 1982.]
111. Peacock К• Ly Treitel S. Predictive deconvolution: theory and practice. Geophysics, 34, 155—69, 1969. [8.2. le]
112. Pickett G. R. Acoustic character l o g s and their applications in formation evaluation. Jour. Pet. Tech., 659—67, 1963. [7.1.2]
113. Pipes L /4., Harvill L. R. Applied M a t h e m a t i c s for E n g i n e e r s and Physicists, 3rd ed. New York, McGraw-Hill, 1970. [10.0, 10.1.1 10.1.2d, 10.1.3b, 10.1.5]
388 Литература
114. Plumley W У. A b n o r m a l l y h i g h fluid pressure: s u r v e y of s o m e b a s i c prin ciples. AAPG Bull, 64, 4 1 2 - 2 2 , 1980. [7.2.4]
115. Postic A. Fourmann /., Claerbout J. P a r s i m o n i o u s d e c o n v o l u t i o n : preprint of paper at SEG 50th Annual Meeting in Houston, 1980. [10.8 6a]
116. Press F. S e i s m i c v e l o c i t i e s In H a n d b o o k of P h y s i c a l C o n s t a n t s , pp. 195— 218 (ed. S P. Clark, Jr). Geological Society of America, Memoir 97, 1966 [7.1.1, 7.1.2, 7.1.5] [Русский перевод: Пресс Ф. Скорости сейсмических волн. — В кн.: Справочник физических констант горных пород/Под ред. С. Кларка-мл. — M.: Мир, 1969, с. 1 8 3 - 2 0 6 . ]
117. Rackets Н. М. A l o w - n o i s e s e i s m i c m e t h o d for u s e in p e r m a f r o s t r e g i o n s . Geophysics, 36, 1150—61, 1971 [7 2.3]
118. Ramsayer G. R. S e i s m i c s t r a t i g r a p h y , a f u n d a m e n t a l e x p l o r a t i o n tool. OTC Paper 3568, 1979. [9.7 2]
119. Reynolds E. B. P r e d i c t i n g over-pressured z o n e s with s e i s m i c data. World Oil 171, # 5, 1970. [7.2.41
120. Rietsch E. G e o p h o n e s e n s i t i v i t i e s for C h e b y s h e v optimized arrays. G e o p h y sics, 44, 1142—3, 1979. [10.8.6al
121. Rittenhouse G. S t r a t i g r a p h i c trap c l a s s i f i c a t i o n In S t r a t i g r a p h i c Oil and Gas Fields — Classification, Exploration Methods and Case Histories, pp. 14—28, (ed. R. E. K i n g ) . T u l s a A A P G Memoir 16, 1972. [9 3.6]
122. Rohie R. /4., Bethke P. M., Toulmin M. S., Edwards Л L. X-ray c r y s t a l l o g r a p h y data, densities and molar v o l u m e s of minerals. In Handbook of physical constants, pp. 27—73, (ed. S P. Clark Jr.) Geological Society of America, Memoir 97, 1966. [7.1 31 (см. [1161)
123. Robinson E. A. R a n d o m w a v e l e t s and cybcrnetic s y s t e m s . London, Griffin, 1962. [10 6.6b]
124. Robinson E. A. Multichannel Time Series A n a l y s i s with D i g i t a l Computer Programs. San Francisco, Holden-Day, 1967a. [10.01
125. Robinson E. A. Predictive d e c o m p o s i t i o n of time series with application to seismic exploration. Geophysics, 32, 418—84, 1967b. [10.01
126. Robinson E. A. S t a t i s t i c a l C o m m u n i c a t i o n and Detection. L o n d o n , Griffin, 1967c. [10.0]
127. Robinson E. /4., Treitel S. Principles of digital filtering. — Geophysics, 29, 395—404, 1964. [8.0]
128. Robinson E. A., Treitel S Principles of d i g i t a l Wiener filtering. G e o p h y sical Prospecting, 15, 311—33, 1967. [8.2.1d|
129. Robinson E. A.y Treitel S. The Robinson-Treitel reader. T u l s a , S e i s m o g r a p h Service, 1973. [10.0]
130. Robinson E. A., Treitel 5 . G e o p h y s i c a l S i g n a l A n a l y s i s . E n g l e w o o d C l i f f s N. J., Prentice-Hall, 1980. [8.0, 10.0, 10.8.6c, dl
131. Roksandic M. M. S e i s m i c f a c i e s a n a l y s i s c o n c e p t s . G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g 26, 383—98, 1978. [9.7.31
132. Sangree / . B., Widmier J. AL Interpretation of d e p o s i t i o n a l f a c i e s from seismic data. Geophysics, 44, 131—60, 1979. [9.7.3]
133. Sattlegger / . W.y Stiller P. K. Section migration before stack, after stack or in-between. Geophysical Prospecting, 22, 297—314, 1974 [8 3 5dl
134. Sattlegger J. W7., Stiller P. /C., Echterhoff J. Л., Hentschke M. tf.'Common offset-plane migration. Geophysical Prospecting, 28, 859—71, 1980. [8.3.5dl
135. Schneider W. A. Integral f o r m u l a t i o n for m i g r a t i o n in t w o d i m e n s i o n s and three dimensions. Geophysics, 43, 49—76, 1978. [8.3.2]
136. Schneider W Д., Backus M. M. D y n a m i c correlation a n a l y s i s . G e o p h y s i c s 33, 105—26, 1968. [8.2.3a]
137. Schramm M. W., Dedman E. V.y Lindsey J. p. Practical s t r a t i g r a p h i c mod e l i n g and interpretation. In S e i s m i c S t r a t i g r a p h y — A p p l i c a t i o n s to H y d r o carbon Exploration, pp. 477—502, (ed. C. E. Payton), Tulsa, AAPG Memoii 26, 1977. [9.81 (cm. [110].)
Литература
389
138. Schultz P. S , Sherwood J. W. С. Depth migration before stack. Geophysics, 45, 3 7 6 - 9 3 , 1980. [8.3.5c, d]
139. Shannon C. £., Weaver W. The Mathematical Theory of Communications. Urbana, 111., Univ. of Illinois Press. [10.8.6d]
140. Sheriff R. £ Encyclopedic Dictionary of Exploration Geophysics. Tulsa, SEG, 1973. [preface] [Русский перевод: P. E. Шерифф. Англо-русский энциклопедический словарь терминов разведочной геофизики. — M.: Нед-
141. Sheriff R. £ . Factors affecting seismic amplitudes. Geophysical Prospecting, 23, 125—38, 1975. [8.2.41
142. Sheriff R. £ . U s i n g seismic data to deduce rock properties. In Developments in Petroleum G e o l o g y — 1 , pp. 243—74, (ed. G. D. Hobson). London, Applied Science Publishers, 1977a. [7 1.4]
143. Sheriff R. £ . Limitations on resolution of seismic reflections and g e o l o g i c detail derivable from them. In Seismic Stratigraphy-Applications to Hydrocarbon Exploration, pp. 3—14, (eH С. E. P a y t o n ) Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977b. [9.7.1.] (см. [110])
144. Sheriff R. £ A first Course in Geophysical Exploration and Interpretation. Boston International Human Resources Development Corp., 1978. [7.1.2, 7.1.5, 8.3.2, 9.0, 9.5.1, 9.6]
145. Sheriff R. E. Seismic Stratigraphy. Boston, International Human Resources Development Corp., 1980. [9.3 6, 9.7.1, 9.7.3, 9.81
146. Sheriff R. £., Farrell I. Display parameters of marine geophysical data. OTC paper 2567, 1976. [9.2.71
147. Sherwood J. W. C., Trorey A. W. Minimum-phase and related properties of the response of a horizontally stratified absorptive earth to plane acoustic waves. Geophysics, 30, 19—7, 1965. [8.1.4]
148. Shipley T. #., Houston M. K., Buffler R. 7\, Shaub F. У., McMillen K. /., Ladd J. W., Worzel J. L. Seismic evidences for widespread possible g a s hydrate horizons on continental slopes and rises. AAPG Bull., 63, 2204—13, 1979. [7.2.5]
149 Silverman D. The digital p r o c e s s i n g of seismic data. Geophysics, 32, 9 8 8 — 1002, 1967. [8 0]
150. Silvia M. 7., Robinson E. A. Deconvolution of Geophysical Time Series in the Exploration for Oil and Natural Gas. Amsterdam, Elsevier, 1979. [10.0]
151. Smylie D. £.. Clarke C. K. G. Ulrych T. /. A n a l y s i s of irregularities in the earth's rotation: in Methods in Computational Physics, vol. 13, Geophvsics pp. 391—430 (ed. B. A. Bolt). New York, Academic Press, 1973.
[10.8.6dl
152. Stoffa P. L.y Buhl P., Bryan G. M. The application of homomorphic deconvolution to shallow-water marine seismology. Geophysics, 39, 401—26, 1974. [8.2.1 f, 10.7]
153. Stommel H. £., Graul M. Current trends in geophysics. Indonesian Petroleum Association Proceedings, Jakarta, Indonesia, 1978. [9.4.4a]
154. Swan B. G., Becker A. Comparison of velocities obtained by delta-time analysis and well velocity surveys Geophysics, 17, 575—85, [7 3.3b]
155. Taner M. T. Simplan: simulated p l a n e - w a v e exploration. S E G 46th M e e t i n g (abstract in Geophysics, 42, 186—7), 1976. [8.2.61
156. Taner M. T. Long-period sea-floor multiples and their suppression. Geophysical Prospecting, 28, 30—48, 1980. [8.2.1c]
157. Taner M 7\, Cook £ . £ . , Neidell N. 5 . Limitations of the reflection seismic method, lessons from computer simulations. Geophysics, 35, 551—73, 1970. [7.4, 8.2.5a, 9.4 6]
158. Taner M. T., Koehler F. Velocity spectra; digital computer derivation and applications of velocity functions. Geophysics, 34, 859—81, 1969. [8.2.3a]
159. Taner M. 7., Koehler F. Surface consistent corrections. Geophysics, 4 6 , 1 7 — 22, 1981. [8.2.4]
390 Литература
160. Taner М. 7\, Sheriff R. Е. A p p l i c a t i o n of a m p l i t u d e , f r e q u e n c y and other attributes to s t r a t i g r a p h i c and h y d r o c a r b o n d e t e r m i n a t i o n ; In S e i s m i c Stratigraphy—Applications to Hydrocarbon Exploration. — pp. 301—28, 9ed. C E Payton). Tulsa, AAPG Memoir 26, 1977. [8.4.2, 9.2.7, 9.7.41 (см.
161. \aner M. 7\, Koehler F., Alhilali К. A. E s t i m a t i o n and correction of nearsurface time anomalies. Geophysics, 39, 441—63, 1974. [8.2.2b]
162. Taner m. t.y Koehler F., Sheriff R. E. C o m p l e x s e i s m i c trace a n a l y s i s . G e o physics, 44, 1 0 4 1 - 6 3 , 1979. [8 4.2, 9 2.7, 9.7.4, 9.81
163. Taylor H. The U n o r m in s e i s m i c d a t a distribution: in D e v e l o p m e n t s in G e o p h y s i c a l E x p l o r a t i o n M e t h o d s — 2 , pp. 5 3 — 7 6 , (ed. A. A. F i t c h ) . L o n don, Applied Science Publishers, 1981. [10.8.6a]
164. Telford W. M.y Geldart L P., Sheriff R. E.y Keys D. A. Applied G e o p h y s i c s . Cambridge, England, Cambridge Univ. Press., 1976. [9.2.5]
165. Timoshenko 5 . , Goodier J. N. Theory of E l a s t i c i t y , 2nd ed. N e w York, McGraw-Hill, 1951. [7.1.51
166. Timur A. V e l o c i t y of c o m p r r ~ s i o n a l w a v e s in p o r o u s m e d i a at p e r m a f r o s t temperatures. Geophysics, 33, 584—95, 1968. [7.2.31
167. Timur A. Temperature d e p e n d e n c e of c o m p r e s s i o n a l and shear w a v e velocities in rocks. Geophysics, 42, 950—6, 1977. [7.1.6]
168. Treitel 5 . , Robinson E. A. The stability of d i g i t a l filters. I E E E T r a n s a c t i o n s on Geoscience Electronics, GE-2, 6—18, 1964. [10.8.1]
169. Treitel 5 . , Robinson E. A. M a x i m u m e n t r o p y spectral d e c o m p o s i t i o n of a seismogram into its minimum entropy component plus noise. Geophysics, 46, 1 1 0 8 - 1 5 , 1981. [10.8.6d]
170. Treitel 5 . , Shanks J. L.y Frasier C. W. S o m e a s p e c t s of f a n f i l t e r i n g . G e o physics, 32, 789—800, 1967. [8.2.7, 10.3.2]
171. Trorey A. W. A s i m p l e theory for s e i s m i c d i f f r a c t i o n s . G e o p h y s i c s , 35, 762—84, 1970. [9.4.4b]
172. Trorey A. W. D i f f r a c t i o n s for arbitrary s o u r c e - r e c e i v e r l o c a t i o n s . G e o p h y sics, 42, 1 1 7 7 - 8 2 , 1977 [9 4.4bl
173. Trusheim F. M e c h a n i s m of salt m i g r a t i o n in Northern G e r m a n y . A A P G Bull., 44, 1519—41, 1960. [9.3.1b]
174. Tucholke B. E., Bryan G. M., Ewing J. I. G a s - h y d r a t e h o r i z o n s in s e i s m i c profiler data from the Western North Atlantic AAPG Bull., 61, 698—707, 1977. [7.2.5]
175. Tucker P. M., Yorston H. / . P i t f a l l s in S e i s m i c Interpretation. T u l s a , S E G . 1973. [9.0]
176. Ulrych T. J. A p p l i c a t i o n of h o m o m o r p h i c d e c o n v o l u t i o n to s e i s m o l o g y . Geophysics, 36, 650—60, 1971. [10.71
177. Vail P. R.y Mitehum R. M.y Thompson 5 . R e l a t i v e c h a n g e s of s e a level f r o m c o a s t a l o n l a p . In S e i s m i c S t r a t i g r a p h y — A p p l i c a t i o n s to H y d r o c a r b o n Exploration, pp. 63—81, (ed. C. E. P a y t o n ) . Tulsa, A A P G Memoir 26, 1977. [9.7.2] (см. [110])
178. Vail P. R.y Todd R. G., Sangree / . £ . C h r o n o s t r a t i g r a p h i c s i g n i f i c a n c e of s e i s m i c r e f l e c t i o n s , pp. 9 9 — 1 1 6 , (ed. C. E. P a y t o n ) . In S e i s m i c S t r a t i g r a phy—Applications to Hydrocarbon Exploration, AAPG Memoir 26 1977 [9.7.2] (см. [1101)
179. Vetter W. / . F o r w a r d - g e n e r a t e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m for e q u a l - d e l a y layered media models. Geophysical Prospecting, 29, 363—73, [9.4.4a]
180. Waters K H. R e f l e c t i o n S e i s m o l o g y . N e w York, W i l e y , 1978. [ 7 . 3 . 3 a ] [Русский перевод: К. Уотерс. О т р а ж а т е л ь н а я сейсмология. — M.: Мир, 1981.]
181. Watkins J. 5 . , Walters L. А.у Godson /?. f f . D e p e n d e n c e of in-situ c o m p r e s sional-wave velocity on porosity in unsaturated rocks. Geophysics, 37, 29—35, 1972. [7.2.2]
Литература 391
182. Webster G. M., ed. D e c o n v o l u t i o n . Tulsa, S E G , G e o p h y s i c a l Reprint Series, 1, vol. 1 and 2, 1978. [8.2.1a]
183. White J. E. S e i s m i c W a v e s : Radiation, T r a n s m i s s i o n and A t t e n u a t i o n . N e w York, M c G r a w - H i l l , 1965. [7.1.5] [Русский перевод: Уайт Дж. Э. В о з б у ждение и распространение сейсмических волн. — M.: Недра, 1985.]
184. Wiggins R. A. M i n i m u m entropy d e c o n v o l u t i o n . In Proc. Int. S y m p . Computer-aided Seismic Analysis and Discrimination, pp. 7—14. IEEE Computer Society, 1977. [10.8.6e]
!85. Wiggins R. A. M i n i m u m e n t r o p y d e c o n v o l u t i o n . G e o e x p l o r a t i o n , 16, 2 1 — 3 5 , 1978. [10.8.6]
186. Wylie Jr, C. R. A d v a n c e d e n g i n e e r i n g m a t h e m a t i c s , 3rd ed. N e w York, McGraw-Hill, 1966. [10.0, 10.1.1, 10.1.6, 10.2.1]
187. Wyllie M. R. /., Gregory A. R.y Gardner L. W. Elastic w a v e velocities in heterogeneous and porous media. Geophysics, 21, 41—70, 1956. [7.1.4]
188. Wyllie M. R. /., Gregory A. R., Gardner G. H. F. An e x p e r i m e n t a l investigation of factors affecting elastic w a v e velocities in porous media. Geophysics, 23, 459—93, 1958. [7.1.4]
189. Zieglar D. L., Spotts J. H. Reservoir and source-bed history of Great Valley of California. A A P G Bull., 62, 813—26, 1978. [7.1.4]
Предметный указатель ко второму тому
Авлакоген 183 Автокорреляция 58, 75, 316. См. так-
же Функция автокорреляции Акустическая жесткость 230, 231, 261 Амплитуды сигнала 108—110, 201,
216
анализ 149, 258 обработка 109, 147 связь с мощностью пласта 264 — с содержанием углеводоро-
дов 28, 260—265 сохранение 108—110, 181, 263 Аномальное пластовое давление 23, 34, 190 Ансамбль 318 — эргодический 318 Антиклиналь 162, 165, 174, 190, 205
Белый шум 87—92 Блок данных 167—169 Блондо метод определения верти-
кального времени 32, 50 Боковое наращивание 244, 249, 253
Векторы 271—275, 371 Взаимной корреляции теорема 314 Взрывающейся границы метод 230 Вибросейс 70, 76—80 Винера теорема о б автокорреляции
319, 331 Винера — Хопфа уравнение 364 Волновое уравнение 127—129 — число 300
кажущееся 116 Волн-спутников подавление 84 Волны
трубные 44 P 14, 28, 44 S 15, 28, 43 Временная (и частотная) область 57 Время вертикальное 32, 39 — интервальное 42 Выклинивание 163, 244, 263 Выравнивание трасс 87, 174 Высота складки 162
Газогидраты 12, 37 Газоносность 28, 29, 31, 36, 263, 268 Гарднера формула 17, 229, 231 Герца уравнения 19 Гиббса явление 95, 311, 357 Гильберта преобразования 144, 320,
376
Глин течение см. Течение соли и глин
Глины 15, 22, 23, 30, 49 Грабены 183, 189, 203, 205 Грегори — Ньютона формула 290
Давления градиент 34 Деконволюция 57, 58, 72, 82, 83—97,
370 выбеливающая 88 гомоморфная 92 многоканальная 97 переменная во времени 93 по максимуму энтропии 93 предсказывающая 87, 90 с пропусками интервалов 91 экономичная 363
Дельта-импульс 303—305, 308, 327 Диапиры 36, 194, 195, 222, 241 Дикса формула 46 Дискретизация сигнала 57, 64—69,
332 пространственная 68
Дифракция и дифрагированные волны 122, 123, 157, 236, 237, 240, 268
Дифференцирования теорема 307,309, 324
Дюамеля интегралы 329
Единичный комплекс сейсмический 245—247, 253 хроцос/ратиграфический 246
Задержка предсказания 91 Замыкание контура 172 «Звон» 312 Знаковая последовательность 78—80 Зона вечной мерзлоты 12, 32 — малых скоростей (ЗМС) 12, 31
50 — тени 261
Избыточность данных 47 Изменения масштаба теорема 307, 32' Импульс
Д и р а к а см. Дельта-импульс единичный 61. См. также Д е л ь
та-импульс линейно-фазовый 348 максимально-фазовый 341—344 минимально-фазовый 81—83, 89,
92, 154, 340—344, 348, 378
Предметный указатель 393
Импульс
нуль-фазовый 82, 94, 155, 347, 378
пилообразный 306, 308 смешанно-фазовый 342 эквивалентный 70, 82 Импульса обработка 91, 93—95, 147, 231
Импульсная характеристика 61, 69— 71, 327
Интегрирования теорема 307, 310,324 Интерпретация стратиграфическая 48,
160, 181, 228, 244 — структурная 173, 180, 181
Карбонаты 48, 190, 209 Каротаж 15, 23, 177—179, 226
акустический 38, 41, 179, 227, 233
псевдосейсмический 230, 259 сейсмический 12, 38—41, 53 синтетический акустический см.
Каротаж псевдосейсмический электрический 14, 15, 23, 175,
178, 251 Карта изопахит 173 Качество записи 167, 201, 205, 207 Kencip 92, 349 Кепстральная область 92 Кинематический сдвиг
нормальный 48, 103, 108, 142 угловой 142 Когерентность трасс 80, 103, 142 Конечные разности 289—294 Контур замыкания 162, 207 Корреляция 57, 73—81 — дискретных функций 334 — отражений 172, 197, 199 Котельникова теорема см. Отсчетов теорема Коэффициент отражения 230 Крамера правило для определителей 271 Кривая максимальной кривизны 122 Криволинейные координаты 272, 274
Лапласа преобразования 295 322—
326, 335, 358, 377
Лапласиан 274, 275
Левинсона
рекурсивный алгоритм
345
Лейбница правило для дифференци-
рования интегралов 310, 329
Литология 14, 47, 108, 173
Ловушки углеводородов 162—165
192
Ловушки стратиграфические 163—165, 180, 190, 216, 219—222 структурные 162, 165, 180
Лучевые построения 136, 234
Масштабный множитель 230, 233 Матрицы 275—280, 373 Метод T — ДГ определения скорости
46 — X2 — T2 определения скорости 44 Миграция 47, 58, 121—142, 150
в пространстве частота — волновое число 126, 133
в пространстве частота — расстояние 127, 133, 136
глубинная 134—136 двумерная 121, 138 до суммирования 136 методом дифракционного сумми-
рования 122—125, 133 — конечных разностей 127—133,
135 — решения волнового уравнения
122, 124, 127—132 трехмерная 138—142 Микротрещины 26 Милна метод 292 Многократные отражения 36, 70, 91, 97, 105, 110, 227, 263 Моделирование 160, 223—236,243,245 математическое 225 обратное 160, 223 прямое 160, 223 физическое 223—225 Модель геологическая 227 — конволюционная (сверточная) 70 Морозобойные трещины 34 Морская сейсморазведка 236—241 Муавра теорема 282, 374 Мьютинг 107, 111
Надвиги и взбросы 165, 184, 187— 191, 202, 243
Наименьших квадратов метод 99, 282 Найквиста волновое число 69, 117
— частота 67, 68, 117, 332 Напряжение 202, 203 Неоднозначность интерпретации 166 Несогласное залегание 163, 165, 173,
216, 220. 247, 251 Нефть 28, 29, 161, 171, 207 Низкоамплитудные изображения 263 Низкочастотная компонента 231 Нормальные уравнения 87, 280, 283,
365
Предметный указатель 394
Нормы
/2, / 4 , Zoo 362, 363
Операторы векторные 273 — конечных разностей 289 Определители 269 Осей синфазности прогиб 242, 261 Относительный уровень моря 247 Отношение сигнал/помеха 83, 95 Отражения регулярные 165 Отсчетов теорема 66, 332 Ошибка предсказания 91
Палеоразрезы 174 Параметры динамические 144, 145 — обработки 148, 150, 181 Парсеваля т е о р е м а 3 1 5 , 3 1 6 Перескок на период 42, 100, 227 Песчаные пласты 15, 22, 23, 178—179,
220, 251, 258 Плоское пятно 261, 268 Плотность пород 16, 43, 231 Подошвенные структуры 192, 193 Полярность сигнала 201, 216, 261 Помеха когерентная 117 Поправки
кинематические 98, 156 статические 98, 148 Пористость пород 17—19, 30, 161, 212, 259 Преобразование возбуждения 327 Проницаемость пород 162
Разломы 48, 135, 145, 166, 176, 183, 189, 197—203
— трансформные 182, 183 Разрешающая способность мигриро-
ванных разрезов 133 Реверберация 70 Редактирование данных 42, 147, 227 Рифты и рифтовые зоны 182—187 Рифы 48, 163—165, 195, 209—215
критерии выделения 212—214 модель 209 Рунге — Кутта м е т о д 2 9 3
Сбросы 162, 164, 165, 170, 176, 183, 184—187, 189, 191—193, 202, 205, 217
— конседиментационные 185, 192, 195, 201
Свертка 57, 61—72, 313, 325, 334 многомерная 72, 316 расчет с использованием матриц 278 связь с взаимной корреляцией 74, 315
Свертки теорема 64, 307 314 324
325
'
Сдвига теорема 306, 307, 324
Сдвиги 188, 189, 191, 202
Сейсмические комплексы 173, 246
Сейсмический разрез 166, 196
временной 167—172, 197
глубинный 199
мигрированный 181, 205
Симметрии теорема 307
Синклиналь кольцевая 207—209
Синтетические сейсмограммы 43,225—
230, 258 Система
инвариантная во времени 61 линейная 61, 69, 326—332, 352 Складки 174, 190—192, 203, 217 Скоростей анализ 36, 37, 48, 51, 102— 108, 149, 151, 167, 235 Скорость в З М С 31 интервальная 26, 40, 46, 48, 53 кажущаяся 116 латеральные вариации 236—243 ОГТ 44—47, 103—107, 150, 2 3 3 -
236 связь с возрастом 26, 27 — с глубиной залегания и дав-
лением 19, 21—27, 30—32 — с литологией 14, 15 — с плотностью 13, 16— с пористостью 14, 17—19, 28,
33, 260 — с температурой 27 — с упругими постоянными 13,
19, 20 — с характером флюидов 27—29,
260
среднеквадратическая 44, 233,235 средняя 40 эффективная средняя 45 Р-волн 14, 15, 20, 28 5 - в о л н 15, 28 Соляные купола 163—165, 186 187 196, 205, 207 — структуры 195, 205, 207—209, 215 241 Спектр 308 амплитудный 64—66, 81, 297, 300,
308, 321 белого шума 87—89 взаимный энергетический 315 мощности 319 обратного фильтра 89 фазовый 64, 82, 297, 300
Предметный указатель 395
Спектральная плотность энергии 76, 316
Спрединг 183, 187 Стратиграфия 173, 181 Структурные признаки 180, 216 Структурный стиль 182—195 Субдукция 182, 183, 188, 265 Суммирование 62, 94, 103
дифракционное 122—125 по ОГТ 110—112 по способу «Симплэн» 112 с весовыми коэффициентами 111 Суперпозиции интеграл 328—330 — принцип 326, 329
Тектоника плит 182—186 Терминал интеллектуальный 150, 151 Течение соли и глины 159, 163, 186,
191, 195, 203—209, 242 Точка максимального наполнения.162 Трасса квадратурная 144, 321 — комплексная 144, 263 Трехмерная интерпретация 171, 243 — миграция см. Миграция трехмер-
ная Турбулентные течения 219, 253 Тусклое пятно 261
Углеводороды 12, 27, 31, 159—162, 181 индикаторы 260 образование и миграция 161 связанные с древними руслами рек 216, 219 — с поверхностями несогласия 216 — со стратиграфическими ловушками 221, 222 связь со скоростью сейсмических волн 28
Угловое несогласие 163—165 Угольный пласт 120, 257 Упаковка шаров 19—21 Уравнение среднего времени 18
Фаза 81, 321, 341, 350 Фаз графики 145 Фазовые осцилляции 261 Фазы латеральное прерывание 145 Фауста формула скорости 21, 26 Фации 244, 251 — сейсмические 249—258 Фильтрация 57, 63, 82, 351—371
аналоговая 351, 352 веерная 97, 116—120 винеровская 86, 280, 362—364 выбеливающая 89, 90
Фильтрация для подавления зеркальных частот 67, 117, 157
реверберации в водном слое 72, 340 кепстральная 350 методом максимума энтропии 366—370 — минимума энтропии 363, 370— 371 обратная 71, 83—85, 88—90 оптимальная 86, 362—371 переменная во времени 95 по кажущимся скоростям см. Фильтрация веерная по методу наименьших квадратов 86, 362—364 поляризационная 120 рекурсивная 86, 354—356 с помощью свип-сигнала 358 частотная 83, 95, 356 цифровая 83, 351—353, 359
Фильтров анализ и синтез 353—356
Фильтры
адаптивные 93
Баттеруорта 358
Калмана 93 квадратурные 321, 377
ошибки предсказания 364, 369
согласованные 358 Фокусировка лучей 159
Форма импульса 65, 67, 81, 84, 90—
95, 147
Функция
автокорреляции 76, 90, 153, 280
316, 318, 319, 176, 376
взаимной корреляции 73, 76, 80
99, 100, 279, 307, 314, 319,332
гребенчатая 64—66, 152, 306,311,
332
дискретная 66
единичного скачка 301—305, 308
интерполяционная 65, 66, 304
минимально-запаздывающая см.
Функция минимально-фазовая
минимально-фазовая
340—344,
369. См. также Импульс мини-
мально-фазовый
обобщенная 303
окна 357, 360—362
отклика на единичный скачок 328
отсчетов см. Функция гребенча-
тая
передаточная 327, 330
причинно-обусловленная 82, 320,
340
396 Предметный указатель
Функция прямоугольного импульса 65, 152, 302—304, 309, 376 случайная 317, 330 физически реализуемая 340
Фурье интеграл 2 9 8 — преобразование быстрое 337 — преобразования 57—61, 81, 299—
323, 334, 335 многомерные 117, 300
— ряды 59, 295—298, 300
Характер отражений 170, 212—214 245, 258
Цвет при изображении сейсмических данных 180, 258, 263
Цифровые системы 332, 339
Частота дискретизации 66—69 зеркальная 6 7 — 6 9 , 1 17 мгновенная 144, 145, Найквиста 67, 357 пространственная см. число
263 Волновое
Эвапориты 48, 187, 214, 215 Эйлера — Kouiu метод 2 9 2 Эйлера ф о р м у л а 297, 3 7 4 Энергия импульса 344 — ошибок 365 — трассы 76, 80, 81 Энтропия 93, 366, 367 Эффект наложения (зеркальных ча-
стот) 67, 69, 117, 351
Яркое пятно 181, 260—263 2-преобразования 84, 85, 334—349
Содержание
Предисловие ко второму тому (перевод Е. А. Ефимовой) 5
Математические обозначения и символы во втором томе (пе-
ревод Е. А. Ефимовой)
7
7. Скорости распространения сейсмических волн (перевод
Е. А. Ефимовой)
12
Общий обзор
12
7Л Факторы, влияющие на скорость
13
7.1.1. Введение
13
7.1.2. Влияние литологии
14
7.1.3 Влияние плотности
16
7.1.4. Влияние пористости
17
7.1.5. Влияние глубины залегания и давления
19
7.1.6. Влияние возраста, частоты и температуры
26
7.1.7. Влияние порового флюида
27
7.2. Применение концепций, основанных на использовании скоростей 29
7.2.1. Введение
29
7.2.2. Зона малых скоростей
31
7.2.3. Зона вечной мерзлоты
32
7.2.4 Выявление зон аномального давления
34
7.2.5. Эффект газогидратов
37
7 3 Измерение скоростей
38
7.3.1. Стандартные скважинные наблюдения
38
7.3.2. Акустический каротаж для определения скоростей . . . . 41
7.3.3. Измерения, основанные на приращении времени пробега с ро-
стом удаления
44
7.3.4. Другие источники информации о скоростях
47
7.4. Интерпретация данных о скоростях
47
Задачи
49
8. Цифровая обработка данных (перевод М. А. Стор) . . . 56
Обший обзор
56
8.1. Основные операции
58
8.1.1. Преобразование Фурье
58
8.1.2. Свертка сигнала
61
8.1.3. Корреляция
73
8.1.4. Понятие фазы волны
81
398 Содержание
8.2. Способы улучшения отношения сигнал/помеха . . . . . . . . 83
8.2.1. Деконволюция и частотная фильтрация
8.2.2. Автоматическое определение статических поправок
8.2.3. Анализ скоростей
8.2.4. Сохранение информации об амплитудах
8.2.5. Суммирование по методу общей глубинной точки .
8.2.6. Суммирование по способу «Симплэн» . . . .
.
8.2.7. Фильтрация по кажущимся скоростям
8.2.8. Поляризационная фильтрация
83 . . . 98
103 108 . . .110 . . . 112 .116 120
8.3. Процедуры миграционного преобразования
121
8.3.1. Введение
121
8.3.2. Миграция методом дифракционного суммирования . . . 1 2 2
8.3.3. Миграция в пространстве частота — волновое число . . 126
8.3.4. Способ конечных разностей при решении волнового уравнения
в задаче миграции
127
8.3.5. Другие соображения по проблеме миграции
133
8.3.6. Трехмерная миграция
139
8.4. Другие приемы цифровой обработки
.142
8.4.1. Автоматическое выделение отражений
142
8.4.2. Комплексная трасса и специальный анализ параметров . . 143
8.5. Процедуры цифровой обработки
145
8.5.1. Стандартный граф обработки
145
8.5.2. Интерактивная обработка
150
Задачи
151
9. Геологическая интерпретация данных метода отраженных
волн (перевод М. А. Стор)
158
Общий обзор
158
9.1. Основные геологические представления
161
9.1.1. Образование и миграция углеводородов
. . 161
9.1.2, Типы ловушек
162
9.2. Процедуры интерпретации
165
9.2.1. 9.2.2. 9.2.3. 9.2.4. 9.2.5. 9.2.6. 9.2.7.
Основные геофизические допущения Сбор и общее рассмотрение первичных данных . . . . Картирование отражающих горизонтов Восстановление истории геологического развития . . . Включение в интерпретацию скважинных данных . . . Получение выводов по данным метода отраженных воли Цвет как способ изображения
165 165 171 .173 .175 . 180 180
9.3. Признаки геологических структур 9.3.1. Понятия из структурной геологии 9.3.2. Разломы 9.3.3. Складки и структуры течения 9.3.4. Рифы
182 182 ' 197 ' 203 ! . " 209
9.3.5. Поверхности несогласия и русла рек 9.3.6. Стратиграфические ловушки 9.3.7. Связь с другими геофизическими данными
. 2)6 219 222
9.4. Моделирование
223
9.4.1. Введение
223
9.4.2. Физическое моделирование
223
9.4.3. Моделирование на ЭВМ
225
9.4.4. Синтетические сейсмограммы
226
Содержание 399
9.4.5. Обращение сейсмических данных в псевдосейсмический каро-
таж
230
9.4.6. Лучевые построения
233
9.5. Латеральные вариации скорости
236
9.5.1. Постепенные латеральные изменения
236
9.5.2. Резкие латеральные изменения
240
9.6. Трехмерная интерпретация
243
9.7. Стратиграфическая интерпретация
244
9.7.1. Введение
244
9.7.2. Анализ сейсмических комплексов
246
9.7.3. Сейсмофациальный анализ
249
9.7.4. Анализ характера отражений
258
9.8. Индикаторы углеводородов
260
9.9. Исследования земной коры
265
Задачи
265
10. Математический аппарат (перевод Е. А. Ефимовой) . . 269
Общий обзор
269
10.1. Обзор основных понятий
269
10.1.1. Определители
269
10.1.2. Векторный анализ
271
10.1.3. Матричный анализ
275
10.1.4. Комплексные числа
281
10.1.5. Метод наименьших квадратов
282
10.1.6. Конечные разности
289
10.1.7. Элементарные дроби
294
10.2. Ряды Фурье и интеграл Фурье
295
10.2.1. Ряды Фурье
295
10.2.2. Интеграл Фурье
298
10.3. Преобразования Фурье
299
10.3.1. Введение
299
10.3.2. Многомерные преобразования и ряд Фурье
300
10.3.3. Функции специфического вида
301
10.3.4. Теоремы о преобразованиях Фурье
306
10.3.5. Явление Гиббса
311
10.3.6. Теорема о свертке
313
10.3.7. Теорема о взаимной корреляции
314
10.3.8. Автокорреляция
316
10.3.9. Многомерная свертка
316
10.3.10. Случайные функции
317
10.3.11. Преобразования Гильберта
^
320
10.4. Преобразования Лапласа
322
10.4.1. Введение
322
10.4.2. Теоремы о преобразованиях Лапласа
324
10.5. Линейные системы
326
10.5.1. Введение
326
10.5.2. Интеграл суперпозиции .
328
10.5.3. Последовательные и параллельные линейные системы . . 330
10.5.4. Связь входа и выхода для случайных функций . . . . 330
10.6. Цифровые системы и г-преобразования
332
10.6.1. Теорема отсчетов . .
332
10.6.2. Свертка и корреляция дискретных функций . . . . . 334
400 Содержание
10.6.3. ^-преобразования
334
10.6.4. Вычисление ^-преобразований. Быстрое преобразование
Фурье
337
10.6.5. Применение ^-преобразований к цифровым системам . . 339
10.6.6. Фазовый анализ
340
10.6.7. Интегральные соотношения для обратных г-преобразо-
ваний
348
10.7. Кепстральный анализ
349
10.8. Фильтрация
351
10.8.1. Введение
351
10.8.2. Синтез и анализ фильтров
353
10.8.3. Частотная фильтрация
356
10.8.4. Фильтры Баттеруорта
358
10.8.5. Функции окна. . .
360
10.8.6. Оптимальные фильтры . . . .
362
Задачи
371
Приложения (перевод Е. А. Ефимовой)
380
Л. Список использованных сокращений
380
Б. Торговые марки и собственные названия фирм
380
В. Отчет о сейсмических работах
380
Г. Условные обозначения на картах
382
Литература
Предметный указатель ко второму тому
Монография
Р. Е. Шерифф, Л. Г1. Гелдарт
СЕЙСМОРАЗВЕДКА Том 2
ОБРАБОТКА И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ
Научный редактор В. А. Пантаева Мл. редактор И. А. Гревцова Художник В. А Медников Художественный редактор М. Н. Кузьмина Технический редактор В. П. Сизова Корректор Л. В. Байкова
ИБ Ni 5551
Сдано в набор 07.05.86. Подписано к печати 08.01.87 Формат 60X90«/и. Бумага типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная Объем 12,5 бум. л. Усл. печ. л. 25. Усл. кр.-отт. 25. Уч.-изд. л. 23,86. Изд. № 8'4340. Тираж 480Э экз. З а н и з ь Цена 3 р. 90 к.
Издательство «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано с матриц Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпромь при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград. Л-52, Измайловский проспект, 29, в Ленинградской типография № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.